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Instrumentos y matriz de datos
Curso: Estadística
Profesor::Dina Ñuflo Valdivia
Fecha: 26/09/2017
Estadística Descriptiva
Medidas de Dispersión
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LOGRO DE LA SESIÓN
Al finalizar la sesión, elestudiante estará en lacapacidad de calcular einterpretar medidas dedispersión de datosnuméricos sin agrupar yagrupados en tablas defrecuencias.
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Sesión 6: Medidas de dispersión
CONTENIDO SABERES PREVIOS
1. Rango.2. Rango intercuartílico.3. Varianza.4. Desviación estándar.5. Coeficiente de variación.
➲ Promedio aritmético.
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Introducción
•¿Los promedios proporcionan suficiente informaciónpara una adecuada descripción de los datos?
•¿Por qué estudiar la dispersión?
•¿Qué medida de dispersión es la más adecuada paracomparar variabilidades entre dos conjuntos de datos?
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Introducción•Los estudiantes de Estadística reciben diferentes calificaciones en laasignatura (variabilidad). ¿A qué puede deberse?
➢Diferencias individuales en el conocimiento de la materia.
•¿Podría haber otras razones (fuentes de variabilidad)?
•Por ejemplo supongamos que todos los alumnos poseen el mismo nivel deconocimiento. ¿Las notas serían las mismas en todos? Seguramente No.
– Dormir poco el día del examen, no desayunaste,...
➢Diferencias individuales en la habilidad para hacer un examen.
– El examen no es una medida perfecta del conocimiento.
➢Variabilidad por error de medida.
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MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y DISPERSIÓN
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Medidas Resumen
Media Aritmética
Mediana
Moda
Descripción Numerica de Datos
Varianza
Desviación Estándar
Coeficiente de Variación
Rango
Rango Intercuartílico
Asimetría
Tendencia Central Variación Forma
Cuartiles
Percentiles
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¿Qué son las Medidas de Dispersión?
•Son las que miden el grado deconcentración o dispersión de losvalores de una variable en tornode un promedio.
Los más utilizados son:
•Rango o Recorrido
•Recorrido Intercuartílico (RIC)
•Varianza y Desviación estándar
•Coeficiente de Variación
¿Cómo sabré si unpromedio es confiable?,o si los datos estánconcentrados.
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Variabilidad o Dispersión
▪Baja dispersión = Alta concentración=Datoshomogéneos.
▪Alta dispersión = Baja concentración=Datosheterogéneos.
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Imagen visual de la Distribución de la variable
La media provee una buena
representación de los valores
en la base de datos.
Datos de baja variabilidad
Datos con alta variabilidad
La media ya NO provee una
buena información de los
datos.
Al incrementar datos
la distribución cambia..
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Mismo centro,
Variación diferente
Medidas de Dispersión
Variación
Varianza Desviación
Estándar
Coeficiente
de Variación
Rango RangoIntercuartílico
• Medidas de dispersión
dan información sobre
la dispersión o
variabilidad de los
datos.
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Variabilidad o DispersiónMiden el grado de dispersión de los datos.
•Rango (R):
Es la diferencia entre las observaciónes extremas.
– Ejemplo: Datos; 2,1,4,3,8,4.
– Es muy sensible a los valores extremos.
•Rango intercuartílico (RIC):– Es la diferencia entre el tercer y primer cuartil.
– No es tan sensible a valores extremos.
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Ejemplo: DVD - Satisfacción
Niveles de satisfacción de 20 clientes:
1 3 5 5 7 8 8 8 8 8 8 9 9 9 9 9 10 10 10 10
Q1 = (7+8)/2 = 7.5
Me = (8+8)/2 = 8
Q3 = (9+9)/2 = 9
RIC = Q3 − Q1 = 9 − 7.5 = 1.5
n=20
25
%
25
%
25
%
25
%
Q3Q2Q1
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Las puntuaciones de un exámen de15 estudiantes se listan abajo.
Halle el primer, segundo y tercer cuartíl de las puntuaciones, y el RIC.
28 43 48 51 43 30 55 44 48 33 45 37 37 42 38
Datos Ordenados:
28 30 33 37 37 38 42 43 43 44 45 48 48 51 55
Mitad inferior Mitad Superior
Q2Q1 Q3
Ejemplo: Rango Intercuartílico (RIC)
= 48 – 37
=
11
Las puntuaciones del exámen en la
parte media de los datos varian al
menos en 11 puntos.
n=15
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DESVIACIÓN ESTÁNDAR
•Mide la dispersión de los datos con respecto al promedio.Cuanto menor es la desviación estándar, menos dispersos estánlos datos con respecto al promedio.
•Llamada también desviación típica.
•En la práctica, la desviación estándar se utiliza con másfrecuencia que la varianza.
•Una de las razones es que se expresa en las mismas unidadesde medida de la variable.
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DESVIACIÓN ESTÁNDAR (s)
Interpretación del valor de “ s ”
• Tomemos como ejemplo las siguientes estadísticas de lasedades de pacientes atendidos en un consultorio médico:
Media = 39,80 años y s = 13,74 años
• La dispersión media de las edades de los pacientes conrespecto al promedio es de 13,74 años, o bien así:
• La variabilidad media de las edades de los pacientes enrelación al promedio es de 13,74 años.
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Varianza y Desviación Estándar
Para facilitar los cálculos de s2 (la varianza)
utilizaremos la ecuación equivalente:
Desviación estándar muestral:
Es la raíz cuadrada de la varianza.
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Fórmula alternativa para s2
Ejemplo: Los pesos (en libras) de una muestra de cinco
cajas que se envían por UPS (empresa de mensajería)
son los siguientes: 12, 6, 7, 3 y 10. Calcule la varianza y
la desviación estándar.
Varianza muestral S2 :
Desviación estándar muestral S:
Interpretación: En promedio, los pesos de las
cajas varian 3,51 libras respecto de la media de 7,6
libras.
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MEDIDAS DE DISPERSIÓN
RANGO VARIANZA DESVIACIÓN ESTANDAR
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Coeficiente de Variación
Es la razón entre la desviación estándar y la media.
◻ También se la denomina variabilidad relativa.
◻ Es frecuente mostrarla en porcentajes.
• Si la media es 80 y la desviación estándar 20 entonces
CV=20/80=0,25=25% (variabilidad relativa).
■ Es una cantidad adimensional. Conveniente para comparar dos omás conjuntos de datos medidos en unidades diferentes.
◻ Si el peso tiene CV=30% y la altura tiene CV=10%, los individuospresentan mayor dispersión relativa en peso que en altura.
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Se usa como estadístico de comparación respecto al cual se establece si un conjunto de datos es homogéneo o heterogéneo.
- Si CV ≤ 30% → los datos son homogéneos (baja dispersión).
- Si CV > 30% → los datos son heterogéneos. (alto grado de dispersión).
Coeficiente de Variación
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Variabilidad o Dispersión▪¿Cuál de las siguientes variables presenta un menorgrado de dispersión?
▪¿Cuál de las siguientes variables presenta un mayorgrado de dispersión?
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• Solución:
• Media = 2.1667
• Desv. Estándar = 1.4035
Ejemplo 1: Variabilidad o Dispersión
Ante la pregunta sobre el número de hijos por familia, unamuestra de 12 hogares, marcó las siguientes respuestas:
2 1 2 4 1 32 3 2 0 5 1
Calcule el coeficiente de dispersión de los datos
Interpretación: Como C.V.= 64.78% > 30% concluimos que la
distribución del número de hijos por familia es heterogénea.
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Ejemplo 2: Dos marcas de máquinas A y B, han sido diseñadas para cierto
tipo de producción. Tienen igual precio. Un fabricante para decidir cual comprar
ha observado 10 máquinas diferentes de cada marca en operación durante
una hora. El promedio y la desviación estándar de artículos producidos por
cada máquina es respectivamente: A; Media= 40.3, DE=4.27; B; Media= 40.8,
DE=10.22. Halle C.V. e indique cual de las dos máquinas tiene menor
dispersión en las unidades de artículos producidos.
• Máquina A:
• Media = 40.3
• Desv. Estándar = 4.27
• Máquina B:
• Media = 40.8
• Desv. Estándar = 10.22
Interpretación: Como C.V.= 10.60% < 25.05% concluimos que las
máquinas A tienen menor dispersión relativa que las máquinas B. Es
decir, el rendimiento de la marca A es mejor que el de la marca B.
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Asimétrica
Negativa
Moda
Mediana
Media
Simétrica
(No Asimétrica)
Media
Mediana
Moda
Asimétrica
Positiva
Moda
Mediana
Media
• Si media=mediana=moda, la distribución es simétrica.• Si media<mediana, la distribución es asimétrica negativa.• Si media>mediana, la distribución es asimétrica positiva.
Relación entre la media, mediana y moda
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Este diagrama permite determinar, en formagráfica, lo siguiente:
✵ Valores extremos o atípicos (outliers).
✵ La tendencia central.
✵ La variabilidad.
✵ La asimetría de la distribución.
Estos gráficos son bastante útiles para comparar doso más conjuntos de datos en cuanto a su tendenciacentral y variabilidad.
Diagrama de Cajas (Boxplot)
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Estadísticos de Posición
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Diagrama de Cajas (Boxplots)
Outlier o
Valor
Extremo
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Forma de la Distribución y BoxPlot
Asimétrica
Derecha
Asimétrica
IzquierdaSimétrica
Q1 Q2 Q3 Q1 Q2 Q3 Q1 Q2 Q3
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Boxplots: Aplicación
El índice fog se utiliza para medir la dificultad para leer un texto escrito:
cuanto más alto es el valor del índice, más difícil es el nivel de lectura.
Se toman muestras aleatorias independientes de 6 anuncios de
Scientific American, Fortune y New Yorker. Se miden los índices fog de
los 18 anuncios y se anotan en la Tabla siguiente.
Scientific American
Fortune New Yorker
15,75 12,63 9,27
11,55 11,46 8,28
11,16 10,77 8,15
9,92 9,93 6,37
9,93 9,87 6,37
8,20 9,42 5,66
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Boxplots: Aplicación
Objetivo del investigador:
Comparar los niveles de dificultad (en índices fog) para leer un
texto escrito.
Grupos de comparación:
Grupo 1: Índice promedio de dificultad de la revista Scientific
American.
Grupo 2: Índice promedio de dificultad de la revista Fortune.
Grupo 3: Índice promedio de dificultad de la revista New Yorker.
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Boxplots: Aplicación
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33
Tipo de Revista Estadístico
Índice fog
(Dificultad de
Lectura)
Scientific
American
Varianza 7,005
Desv. típ. 2,64665
Coeficiente
Variación 0,241229
Rango 7,55
Amplitud
intercuartil
3,63
Fortune
Varianza 1,445
Desv. típ. 1,20210
Coeficiente
Variación 0,112556
Rango 3,21
Amplitud
intercuartil
2,00
New Yorker
Varianza 1,994
Desv. típ. 1,41196
Coeficiente
Variación 0,192103
Rango 3,61
Amplitud
intercuartil
2,34
Boxplots: Aplicación
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Boxplots: ProblemaSe llevó a cabo una encuesta entre los miembros del Club del libro del mes,
para verificar si pasan más tiempo viendo televisión que leyendo. Suponga
que en una muestra de 15 encuestados se obtuvieron las horas semanales
que se dedican a ver televisión y las que se dedican a la lectura.
Encuestados Televisión Leyendo
1 10 6
2 14 16
3 16 8
4 18 10
5 15 10
6 14 8
7 10 14
8 12 14
9 4 7
10 8 8
11 16 5
12 5 10
13 8 3
14 19 10
15 11 6
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Boxplots: Problema
Comente que le indican los
Diagrama de Cajas (Boxplots)
¿Como se podrían comparar
estas dos actividades?
Encuesta entre los
miembros del Club del libro
del mes, para comparar si
pasan más tiempo viendo
televisión que leyendo.
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Propiedades de la Varianza
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Conclusión:
•Las medidas de dispersión son necesarias para dos propósitos básicos:
•Para verificar la confiabilidad de los promedios, y
•Para que sirva como base para el control de la variación misma.
Ahora estamos listospara describir yanalizar datosestadísticos
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“Las estadísticas no sustituyen el juicio.”
Henry Clay