Download - Curs DIIS Sapt5
-
Dinamica sistemelor cu un singur GLD
32
stxu
+
=
22
220
41
1
Pentru cele trei turaii ale motorului se vor obine urmtoarele amplitudini ale
deplasrii de rspuns
n=600rotaii-min u0=0.36 mm
n=180rotaii-min u0=7.53 mm
n=20 rotaii-min u0=5.07 mm
Cea mai mare amplitudine a micrii se obine pentru turaia cu valoare medie dintre cele trei
(180rot/min) deoarece pentru acest caz pulsaia factorului perturbator i pulsaia proprie sunt
mai apropiate.
2.6 Rspunsul la aciunea simultan a mai multor fore armonice
n condiiile n care sistemul lucreaz n domeniul liniar elastic, se poate aplica
principiul superpoziiei efectelor.
Se vor calcula independent, ptr fiecare for armonic factorul de amplificare
dinamic, sgeata static i deplasarea instantanee. Deplasarea de rspuns se va obine prin
nsumarea acestor deplasri calculate independent.
Este evident c n aceast situaie exist mai multe posibiliti de intrare a sistemului
n regim de rezonan, cte una pentru fiecare pulsaie a forelor perturbatoare ce acioneaz
simultan.
Valorile maxime ale rspunsului depind n aceast situaie nu numai de rapoartele
dintre pulsaiile perturbatoare i pulsaia proprie, dar i de raportul dintre pulsaiile forelor
perturbatoare. Dac raportul pulsaiilor forelor este un numr raional, rspunsul este
periodic, iar n cazul n care pulsaiile sunt egale, rspunsul va fi n plus i armonic.
Exemplu rezolvat
S se reprezinte istoricul deplasrilor masei m=6t (doar componenta staionar,
neglijnd amortizarea), considernd simultan dou solicitri armonice ce acioneaz ca n
figura urmtoare.
-
Dinamica construciilor i inginerie seismic
33
t
t
s
s
t
x
axa de calcula a a a
F1(t) F2(t)m
( )( )ttF
ttF
40sin10)(2
20sin20)(1
=
=
a=2m
E=21107 kN/m
2
platbande sudate 30024mm
a) Se determin flexibilitatea grinzii. Se ncarc sistemul cu o for unitar dup direcia
GLD, se traseaz diagrama de moment M i apoi prin integrarea acesteia cu ea nsi se
obine flexibilitatea .
a a a a
1kN
a a a a
Mmax=2a =a=2kNm
M
1kNm
EIM
aM
EIEI
MMdx
3
32
3
2
2
212 max
max=
==
b) se determin pulsaia proprie i perioada proprie
1222122
323 tstsst
stI +
++= ; EI = 90850 kNm2
sradm
EI
m/7.37
32
31=== ; sT 17.0
2==
pi
c) se determin ust care reprezint deplasarea produs dup direcia GLD ca urmare a aplicrii
unei fore F0 dup direcia uneia dintre forele armonice, de exemplu F1(t).
se ncarc sistemul cu o fora F0 i se traseaz diagrama M1;
se ncarc sistemul cu o for unitar dup direcia GLD i se obine diagrama M
(aceeai cu cea de la punctul (a));
-
Dinamica sistemelor cu un singur GLD
34
se obine deplasarea = EIMdxM
ust1 .
a a a a
a 2a
M1max = a F0=3F0/2
F0 F0
F0
2a F0=F0
a
M1
+
++
++== 23
2
2
021
3
12
3
2
2
022
3
11
3
2
22
031
3
2
22
0311 aFaFaFaF
EIEI
MdxMust
EI
aFust
0
3
11= - aceeai expresie se obine pentru deplasarea produs de fora F0
avnd direcia F2(t).
pentru F1(t) mmukNF st 6.12001 1 ==
pentru F2(t) mmukNF st 8.01002 2 ==
d) se determin pentru fiecare for armonic factorul de amplificare diamic dac
se neglijeaz amortizarea 2
1
1
=
pentru F1(t) 392.11/201 == srad
pentru F2(t) 95.72/402 == srad
Obs : deoarece fora F2(t) are o pulsaie apropiat de pulsaia proprie, pentru oscilaia
produs de aceast for rezult o amplificare semnificativ a rspunsului
dinamic. Valoarea negativ a factorului de amplificare indic o defazare a
deplasrilor de rspuns fa de aciunea dinamic (cnd fora armonica F2(t)
acioneaz n jos, componenta deplasrii de rspuns generat de aceast for
va fi orientat n sus).
e) rspunsul la cele dou solicitri se obine suprapunnd cele dou oscilaii produse
independent de fiecare din cele dou fore:
-
Dinamica construciilor i inginerie seismic
35
)40sin(36.6)20sin(23.2)2sin(2)1sin(1)( 21 tttututu stst =+=
In figura de mai jos s-a reprezentat variaia n timp a deplasrii u(t). Deoarece este i
mai sugestiv o reprezentare care permite compararea istoricului rspunsului istoricul forelor
armonice cu istoricul solicitrilor armonice, s-a realizat i un al dolilea grafic n care s-au
reprezentat cele dou fore armonice perturbatoare i fora elastic de rspuns care se obine
prin multiplicarea deplasrii instantanee cu rigiditatea sistemului
==
32
31 EIk
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
u(t
) [m
m]
timp[s]
deplasari de raspuns
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7k u
(t) [k
N]
timp[s]
forte armonice aplicate si forta elastica de raspuns
k u(t)=f elastica F1(t) F2(t)
-
Dinamica sistemelor cu un singur GLD
36
2.7 Rspunsul sistemelor cu 1 GLD la aciuni neperiodice
2.7.1 Rspunsul sub aciunea unui impuls unitar
O for de tip impuls este o for care are o valoare mare i acioneaz pe o perioad
foarte scurt. Impulsul unitar corespunde situaiei n care fora F(t) acioneaz o durat infinit
scurt 0 i are intensitatea p=1/; n aceast situaie mrimea impulsului forei,
definit ca integrala funciei F(t), este egal cu unitatea.
F(t)
p
Fig. 19 Impuls unitar
Conform legii a 2-a a lui Newton, dac o for acioneaz asupra unei mase m, variaia
cantitii de micare este egal cu fora aplicat
pumpumdt
d ctm= = = )( .
Prin integrarea ambilor termeni se obine
==2
1
12 )(t
t
umuumpdt (2.12)
ceea arat c mrimea impulsului forei este egal cu variaia cantitii de micare.
Rezultatul se poate aplica i sistemelor oscilante cu 1GLD atunci cnd fora
acioneaz pe o durat infinitezimal, deoarece nici rigiditatea nici amortizarea nu au timp s
fie antrenate n micare. Prin urmare, n cazul aplicrii unui impuls unitar la momentul t=,
din relaia (2.12) rezult c masei m i se aplic o vitez mu 1)( = , deplasarea iniial, pn
n momentul aplicrii impulsului fiind nul 0)( =u .
Viteza i deplasrile iniiale reprezint condiiile iniiale ale vibraiei libere iniiate
prin aplicarea impulsului. Prin nlocuirea acestor condiii iniiale n expresia soluiei
difereniale a ecuaiei vibraiilor libere se obine rspunsul unui sistem neamortizat sub
aciunea impulsului unitar:
-
Dinamica construciilor i inginerie seismic
37
[ ]
=
==
==
+=
ttm
tu
muu
uu
tu
tutu
,)(sin1
)(
1)(
0)(
)sin()cos()(
0
0
00
In mod similar, pentru un sistem amortizat se obine rspunsul unui sistem amortizat
sub aciunea impulsului unitar
[ ]
= ttem
tu t )(sin1
)( *)(*
Reprezentarea grafic pentru cele dou funcii sunt redate n figura de mai jos.
neamortizat
amortizat
u(t)
Fig. 20 Rspunsul unui sistem cu 1 GLD la un impuls unitar aplicat la momentul t=
2.7.2 Rspunsul sub aciunea unei fore arbitrare
O for F(t) care variaz arbitrar cu timpul poate fi reprezentat ca o serie de
impulsuri infinitezimale.
Rspunsul unui sistem liniar elastic sub aciunea unui impuls de mrime F()d
aplicat la momentul este egal cu produsul dintre mrimea impulsului i rspunsul unui
impuls unitar
[ ] >= t)()()( tudFtduiar rspunsul sistemului la timpul t este egal cu suma rspunsurilor tuturor impulsurilor
aplicate pn la acel moment sub forma integralei de convoluie, aplicabil oricrui sistem
dinamic liniar.
==tt
dtuFtdutu
00
)()()()(
-
Dinamica sistemelor cu un singur GLD
38
Rspunsul sistemului la impulsul 2
Rspunsul sistemului la impulsul 1
Rspunsul sistemului la impulsul de la momentul
Rspunsul total
F(t)
Fig. 21 Integrala de convoluie [1]
In felul acesta se obine integrala Duhamel pentru un sistem cu 1 GLD n cazul
vibraiei neamortizate
[ ]
dtFm
tu
t
=0
)(sin)(1
)( (2.13)
i pentru vibraie amortizat
[ ] = t
t dteFm
tu0
*)(*
)(sin)(1
)(
(2.14)
Ecuaia este valabil numai pentru condiii iniiale de repaus. Integrala Dunhamel este
o metod general de determinare a rspunsului dinamic sub aciunea unei fore arbitrare.
Deoarece integrala de convoluie se bazeaz pe principiul suprapunerii efectelor, integrala
Duhamel este valabil numai pentru sisteme liniar elastice. Pentru ncrcri dinamice
-
Dinamica construciilor i inginerie seismic
39
complicate sau care sunt descrise numeric prin valori discrete, rspunsul de determin prin
rezolvarea numeric a integralei. In aceast situaie se recomand ca pasul de timp folosit
pentru descrirea prin perechi de valori a variaiei forei dinamice s fie mai mic dect 1/10 din
perioada proprie a sistemului oscilant analizat.
2.7.3 Rspunsul sistemelor cu 1 GLD la aciuni de tip impuls
O categorie important de aciuni dinamice este reprezentat de aciunile de tip oc ca
cele din figura urmtoare.
timp
forta
Fig. 22 Aciuni neperiodice de scurt durat - ocuri
Pentru a obine rspunsul sistemelor la aceste aciuni trebuie considerate condiiile
iniiale. Rspunsul se poate obine prin una din urmtoarele metode:
metode clasice de rezolvare a ecuaiilor difereniale
evaluarea integralei Duhamel
exprimarea pulsului prin superpoziia a dou sau mai multe funcii simple pentru care
soluia este deja disponibil sau mai simplu de determinat
o impulsul dreptunghiular se obine din compunerea a dou funcii ce descriu
aciunea brusc a unei fore constante;
o impulsul semicircular sinusoidal se obine din compunerea a dou funcii
armonice;
o impulsul triunghiular simetric se obine din compunerea a trei funcii ce descriu
aciuni ale forelor de tip ramp.
-
Dinamica sistemelor cu un singur GLD
40
F(t)F1(t)
F2(t)
F1(t) F2(t)
F(t)
F(t)
F1(t) F3(t)
F2(t)
t
t
t
Fig. 23 Definirea impulsurilor cu durata td prin superpoziia unor funcii simple [1]
In continuare se va analiza rspunsul la un impuls sinusoidal semicircular, pornind
de la rspunsul la solicitrile armonice. Se vor prezenta soluiile ecuaiei de micare
d
d
0 tptr t
tptr t 0
sin)()()(
>
==+dt
tp
tFtkutum
pi
pentru dou cazuri 21Ttd i 21=Ttd . Pentru fiecare caz se va analiza faza forat i cea
liber.
Cazul 1 21
Ttd
In ecuaia corespunztoare rspunsului unui sistem neamortizat la o solicitare
armonic se va nlocui cu dt
pi i cu T
pi2 pentru a exprima rspunsul funcie de perioada
proprie T i de durata impulsului td.
-
Dinamica construciilor i inginerie seismic
41
d
dd
d
st
ttT
t
t
T
t
t
t
Tu
tu
= ptr 2sin2
sin
21
1)(2 pi
pi (2.15)
Dup finalizarea impulsului sistemul va vibra liber, condiiile iniiale ale acestei oscilaii fiind
deplasarea i viteza de la finalul impulsului, )( dtu i )( dtu . Pentru vibraia liber se va obine
dd
d
d
d
std
dtt
T
t
T
t
t
T
T
t
t
T
u
tu
T
tuu
tuu
tu
tutu
>
=
=
=
=
+=
ptr 2
12sin
12
cos)(
2
)(
)(
)sin()cos()(
20
0
00
pi
pi
pi
Cazul 2 21
=T
td
Pentru vibraia forat se obine
d
st
t tT
t
T
t
T
t
u
tu
= ptr
2cos
22sin
2
1)( pipipi
Condiiile iniiale pentru faza de vibraie liber sunt 2
)( pi=
st
d
u
tui 0)( =dtu . Deplasrile
instantanee pentru aceast faz se vor calcula dup relaia:
d
st
ttT
t
u
tu>
= ptr
2
12cos
2
)(pi
pi.
Istoricul rspunsului
In Fig. 24 se poate urmri variaia n timp a deplasrilor normalizate de rspuns pentru
diverse valori ale raportului T
td i se observ cum rspunsul este difereniat funcie de
valorile raportului dintre durata impulsului i perioada proprie. Linia punctat prezint
variaia deplasrii statice )(/)( tuktF st= normalizate prin mprirea la sgeata static ust.
Diferena dintre cele dou curbe indic efectul dinamic, care este cu att mai mic cu ct
durata impulsului este mai mare, ceea ce implic o variaie lent a forei fa de perioada
proprie. Dup oprirea impulsului sistemul oscileaz liber, n jurul poziiei de echilibru, cu
amplitudine constant dac se neglijeaz amortizarea. Dac ...5.2,5.1=T
td masa sistemului
-
Dinamica sistemelor cu un singur GLD
42
oscilant rmne n poziia de echilibru la sfritul ocului, deoarece att deplasarea ct i
viteza imprimate masei la sfritul impulsului sunt nule.
td/T=1/8 td/T=1/4
td/T=1/2 td/T=1
td/T=2
ust(t)/ust
u(t)/ust
td/T=1.5
td/T=2.5 td/T=3
t/T t/T
Fig. 24 Raspunsul sistemelor cu 1 GLD la un impuls sinusoidal [1]
Rspunsul maxim
Pentru fiecare din cele dou faze de vibraie (liber i forat) se poate determina o valoare
maxim a rspunsului. Cea mai mare valoare dintre cele dou maxime reprezint rspunsul
maxim general.
Pe durata oscilaiei forate numrul vrfurilor depinde de raportul T
td , aa nct pentru o
durat mai mare a impulsului se produc mai multe vrfuri. Momentele la care se produc
-
Dinamica construciilor i inginerie seismic
43
aceste vrfuri se obin punnd condiia de anulare a vitezei. nlocuind expresiile obinute
pentru aceste momente n relaia (2.15) se poate obine expresia pentru maximele locale
exprimat ca factor de rspuns stu
umax .
Valorile acestor vrfuri sunt reprezentate grafic n Fig. 25. Se observ:
dac 5.15.0
-
Dinamica sistemelor cu un singur GLD
44
Rk
pu 0max = Rpkufst 0max == .
Din punct de vedere fizic, mrimea stu
uR max= are semnificaia factorului de amplificare
dinamic notat m cu n cazul solicitrilor armonice.
2.7.4 Efectul formei impulsului i analiza aproximativ a impulsurilor
scurte
Pe baza analizelor efectuate asemntor impulsului sinusoidal semicircular, se obin
spectrele normalizate pentru trei tipuri de impulsuri, fiecare caracterizat de aceeai valoarea a
forei maxime.
R =
um
ax/u
st
td/T
Fig. 26 Spectre normalizate pentru impulsuri de aceeai valoare maxim a ocului [1]
Din studiul spectrelor normalizate se pot trage urmtoarele concluzii cu privire la influena
formei impulsului
Pentru durata impulsului 2Ttd > :
forma impulsului influeneaz mrimea deplasrii;
deplasarea crete odat cu viteza de ncrcare: cea mai mic vitez de ncrcare
corespunde impulsului triunghiular, fiind urmat de cel semicircular, deplasarea cea
mai mare corespunznd impulsului rectangular la care fora crete brusc de la valoarea
0 la valoarea p0.
-
Dinamica construciilor i inginerie seismic
45
Pentru durata impulsului 2Ttd < :
deplasrile maxime sunt controlate de integrala n timp a impulsului;
pentru cazul limit cnd durata impulsului devine foarte mic comparativ cu perioada
proprie a sistemului
0
Ttd
o se definete magnitudinea impulsului =dt
dttF
0
)(
o rspunsul sistemului
m
ttu
)sin()( = cu amplitudinea
Tkmu
== pi
21max
soluiile astfel obinute reprezint o supraestimare deoarece s-a considerat c impulsul
este concentrat in 0dt ; totui pentru 4Ttd < soluia astfel obinut este foarte
apropiat de rspunsul exact.
pentru 4Ttd < deplasarea maxim este controlat doar de aria impulsului, nu i de
forma sa.
Aceast ultim afirmaie este probat prin determinarea spectrelor normalizate pentru cele trei
tipuri de impulsuri, avnd arie egal. Se consider un impuls dreptunghiular de amplitudine
20p , unul triunghiular de amplitudine p0, i unul semicircular de amplitudine 40pip . Aceste
impulsuri au toate aria dtp02
1.
td/T
u max
/(p 0
/k)
Fig. 27 Spectre normalizate pentru impulsuri cu aceeai arie [1]
*