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CALCULO
CUADERNO DE MATERIA
KATHERINE ESTEFANIA
BUSTOS TORRES
AULA 2.16
LATACUNGA, 19 DE FEBRERO DE 2016
LATACUNGA-ECUADOR
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LIMITES
Anlisis de una funcin, es un entorno reducido que se aproxima pero no llega alnmero.
Limites infinitos
- x +lim = 5 5,999999 6,0001 7
= 3,141592652=141421332e = 2,71825
i =1i =-1i =
1
Ejercicios 16= (x-4) (x+4) 4 2 = 422(a3-b3) = (a-b) (a2+ab+b2); (a+b) (a2-ab+b2)
(a4-b4)=(a+b) (a-b) (a2+b2)
(x+y)2 = x2+2xy+y2
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RACIONALIZACION 2 2 2 2= 8 2 2 2 2= 8 2 82 = 8 2 82 2 2
= 8 2 2 4
9 6 9 6= 9 9 6 = 9 9 6
9 6
= 9 9 62 1 5 = 21 2 3 1 2 31 2 3
= 21 2 3
1 2 31 2 3
= 21 2 31 2 21233= 21 2 38 2 61 2
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LIMITES LATERALES
Analizar tanto por la derecha o izquierda al lmite y analizar si se acercan el uno hacia elotro para que comprobemos si existe.
{ < 1 1 < < 44 > 4limLIMITES INFINITOS
fx 2 3x f(x)01
1,52
2,52,8
2,99
-2/3-3/2-7/3-4-9
-24-499
fx 2 3 = 3 23 3 = x x 1 enteros negativos 3 2,9999 +lim 2 3 = 5,00010,0001 = 50 +
lim 2 1 7 = 1 4 17 7 = lim, 26,99916,9997 = 14,99990,0001 = 150 lim 1 1 = 00 1 1 1 = 1
x f(x)
3,00013,9993,83,544,55
5,000015999/99929/411613/37/2
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lim 1 = 1 1 1 = 3
GRAFICA DE FUNCIONES
Funcion del valor absoluto
Grafica de la Funcin cuadrtica x2
x f(x)1,251,11,011,0010
3,81253,3103,033,0033
x f(x)0,9990,190,75
2,9972,9702,3125
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Funcin de Sen y Cos
Grafica de las funciones Tangente y Cotangente
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Grafica de la funcin Secante y Cosecante
=1 6 8 2 4
4 4 =00
X=2
lim 2 3 6 1 2
2
lim 3 6 1 22 lim 8 1 2 1 2 1 24 lim 444 = 11
= 1 11 1 =
X4 X3 X2 X1 X0
1 1 0 0 -242 6 12 24
1 3 6 12 0
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lim 1
lim
1
lim 1 lim 11 1 1= 1 1 1 = 1 1 lim 1 1 1 = 1322 =
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PROPIEDADES DE LOS LMITES
Sean f(x), G(x) dos funciones cuyos lmites se pueden expresar de la siguiente manera:
lim =
lim =
1. lim = 2. lim =lim
3. lim lim = l im 4. lim lim = l im 5. lim = 6. lim = 7.
lim =lim8. lim = lim 9. lim|| = lim
Ejercicios
= = = = = = 1 1lim 3 1 = l i m 3 1 = l i m 3 1 1 lim 3 1 1 1lim 2 3 3 3 1 1 1
1 0 1 1 0 0 -31 1 1 2 3 3 3
1 1 2 3 3 3 0
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lim 2 3 2 3 1 1 1
lim 1 1 21 31 31 3
1 11 11 1 1 =2 2 3 3 3
223 =1312
8 4 = l i m 8 4 = 00 = = = = =
6 4 ; =
= 64 2lim 24 2lim 2 2 4 2 2 = l i m 4 4 44 = 124 = 3
Identidades Trigonomtricas
= 1 = 1= = 1+ = 1 =
Suma de Sen de ngulos
Sen (A+-B) = Sen A Cos B= Cos A Sen B
Cos Cos = -2Sen 1/2 (+) = limite laterales
1. Sen x=
2. Cos x=
3. Tan x=
4. Cot x=ta =
5. Sec x=
=
6.
Csc x=
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lim[
1 1 > 1 2
12 1 < 1
1.-
lim 1 1 = 1 1 lim 11 = 1 1 11 1 = 322.-
lim =2 1 ++ = + = = 1 1 2 =
lim 3 5
3 2 1 =
3
5
3 2 1 = l i m 1 3
5
3 2 1 =1 0 03 0 0 =
13
lim = 0lim = lim 4 7 =
4 7 = 1 01 0 = 11 = 11 = 1LIMITES TRIGONOMETRICOS
lim 22 = 112 =2 lim 5 = 55 15 =
115 = 5
lim coscos
=212
12
2 -1 -12 1 1
2 1 0
1 -1/2 -1/21 1/2 1
1 1/2 0
2x 1= -x
X 1= 2x
x
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lim 2 1 2 2 = 12 = 1 = TABLA DE LAS DERIVADAS
lim = cos = cos cos = cos 1 cos = cos 1 c o s = 1cos 1 cos = 1cos2 = 12coslim = 0
lim2 12 cos 12 lim 2 1 2 ] 1 2 ] cos 12 2
cos 12
2 =
2 12
22 =
12 2 =
12 2
=Cos x
Funcin Derivada = 2 = l i m
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DERIVADA POR DEFINICION1. = 2
= l i m
= l i m 2] 2 = l i m 2 2 2 2 = l i m 2 = l i m 2 = 2 Primera forma2. = 2x = l i m = l i m 2 2 = l i m 2 2 2 2 = l i m 2 2
= l i m 22
= l i m 2 2 = l i m 2 2Segunda Forma
2 = 2 = 2 = 2 = 2
Derivada por tabla 22 2 2 2
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2 2 = 2 2Derivacin por definicin
= l i m2 2
3. = = l i m = l i m
= l i m
= l i m = = l i m 1 = 1 = 12
=
= 2 = 2 = 2 = 2 = 2 2 = 2 2 = 1 6 = 4 4
lim 4] 4] 4 4 lim 2 4 2 4 4 4 lim 4 6 4 lim 4 64 lim4 64 = 4 60 40 0lim 4
Derivada por tabla
= 12 = 12 12
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= 2 3 = 22 3. 2 = 4 6. 2 = 8 1 2
= 4
7
= 74
7
. 8 = 5 6 4
7
= = 2 22 = = 4 = 4 = + = + 2 1
= +
2 22 1
= + 2 4 2 = + 2 1 = + 2 1
= 7cos4 3
=7sen4 38 cos4 30=564 35. 3 2= 33 23 = 23
=
23
23
= 2 23 23 = 3 2 2 2 = 3 63 2 3 2 = 63 = 6 = 6
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Derivada implcita
Regla: Que pasa por un punto sin cortar la recta, la derivada de esa funcin en un punto,ecuacin de la recta. m=pendiente
m= f (x)=f (x, y)
Recta normal:
1 ; = 1 DERIVADA IMPLICITA1 . = 4 3 2
= =
= 4 3 4 4 = 3 4 4 = 2 4 4 = 2 12 = 4
21 2
2. = 4 = 4 = 1 1 4 =
4 = 2
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4 = 2 2
4
2
=2
+ + = 2 Derivada implcita 2 = 3 2 2 = = 3 2 2 2 = 3 2
2=3 2 1 = 23 2 1 Ecuacin de la recta tg 1 =
1 = 215 415
1 415 = 215 1 5 1 5 415 = 215 151915215 = =15192
= 2 2 4 = 32 2 2 4 = 32 2 3 = 2 4 = = 24
2 2 3
= 21 4221 22 31
RECTA NORMAL
= 152 Pendiente de la recta, punto (1,2)
= 232 22 1
= 234 4 1 = 21 2 4 1 = 215 Evalu
(1,2) con = 2
3
2
Esto es igual a la pendiente de la recta tg
P (2,1)
Ecuacin = 1 = 1 2 = 344 1 2 = 344 1 2 344 = 344 3 4 0
3= 34
4
= 3 4 03 = 3 4 034
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= 2 322 4 3 = 342 APLICACIN DERIVADA DE CAMBIO
Si la arista de un cubo crece a razn de 2cm sobre segundo
A que velocidad cambia el volumen del cubo en el instante en que la arista mide 5cm
= =5
Se produce aire al interior de un grado esfrico de modo que si volumen aumenta arazn de 100 cm3/s. con que rapidez crece el radio del globo cuando su dimetro es de50 cm
=43
= = = = = 25 =325 25 =150
DERIVADA
2 31
D=50cm
= =? ?
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= = =
3
=4100/ =425 = 100/425 = 0,013 /
MAXIMOS Y MINIMOS1. = El dominio:
D r(x)=R
2. = ; 0
3.
= 0 = 2 3 1 1 1 1
1 0 1 1 1
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La 1 derivada de una funcin es la tg
1. Obtener el dominio de dicha funcin.2. Calcular la primera derivada.3. Hallar las races de f(x) igualando a cero, las races, hallados son candidatos
hacer puntos crticos tambin son puntos crticos aquellos que no pertenezcan aldominio.4. Representar los puntos crticos en una recta numrica y analizar por intervalos.5. Evaluar los signos e cada uno de los intervalos si es positivo la funcin es
creciente, si es negativos es decreciente, si no hay cambio de signo entonces noexiste el mximo y el mnimo.
Calcular el mximo y el mnimo de las siguientes funciones: = 2 2 5 1
1.
2. = = 32 22 5 = 6 4 5 = 0 = 42 = 44 46526 = 4 13612 = 411,6612 = 411,6612 =1,31; 411,6612 =0,641,310,64 = 0
= 1 , 3 1=0,64
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L-HPITAL
lim = 00
lim =lim = = 5 1 2 1 =1 5 11 2 1 =
11 = 1
lim
5 1 2 1 = 2 52 2 = 00 =
lim 22 = 1 = 00 ;
22 2 12
lim 12
21 =
12 0=
12
Un aeroplano volando hacia el este a 2000 m de altura y 200 km/m, pasa sobre un barcoque viaja al sur a 20 km/h. A qu velocidad se aleja el uno del otro a media hora decruce?
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= 20 /
=200
0.5=100
= 20 0.5=104 = 2 = 0 2 = 2 2 2 = 0 = 2 10 = 10,2 = 12 2 = 1100,5 100200 1020 200,0 /
=
= 100
10,2
=100,5
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INTEGRALES
INTRODUCCION.-
La integral representa una funcin.
Integral definida.-
f(x) = f(x) = f(x)
f(x) = f(a)f(b)
Integral indefinida.-
-
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F(x)+C
PROPIEDADES:
= F(x) +C F(x) + G(x) +C
3 6 = 3 6 Constantes.-
=
3 6 = 3 6
3 6 FORMULAS:
1. = 2.
= =
3. = + =
3 6 3
6
-
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Ejercicios:
1 1 1 = 1
+32 1
52
2 5 255 Grancil Anexo N
= 20 = 20 (ln(x))+c
-
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2 52 = 254
5 254 254 6 52 52 14 52 14 52 14Formulas:
1. 1 = 12 2. 1 =log 3. 1
= 1
; > 0
4. 1 = 12 log Ejercicios:
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1 0 2 5 2 5 2
5 5 23
5 23 23 51223 log 23 523 5
52 4
52 4
2516 4 54 54 4 54 54 3916 5
4 39
4
52 8
52 2516 2516 4
-
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52 52 3916
52 3916
52 3916
CAMBIO DE VARIABLES
U = lnx = 1 =
Formula: = + 1 2
2
3
3
3
-
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3 2
1 2 2 1 2 1 2 12 12 12 ln 2
14 14 ln 14 ln1
= ;= ;
-
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=
12 12 12 +32 1
12 52 2 5
= dv= 1 arce
+c = a > 0
= arcsen ln +c
2 1 1 1
1 2
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12 1 2 22
1 1
2
Formula:
=
Integracin por partes.-
Inversa Logartmica Algebraica Trigonomtrica
Exponenciales u = x
du = 1dx = dx
dv = v =
dx
Formula:
= = =
7
7
7 17
-
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7 17 7 7
49
u = du = 2xdx
du = dxdv = 6 =
uv= 6 6 2
6 2
6
6 13 66 13 66 13 6 u = x
du = de
du = x = 6
6 13
6
16
-
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6 13 6 16 16 6
18
108
u = x
du = dx
dv =
= cos Formula:
-cosxdx = senx
-senxdx = -cosx
= = =
u = du = 2xdx
dv = = = c o s =
2 2
2
u =
-
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dv = dx
du = senxdx
= cos
2 2 22
= 4 1 0
= = 2 4 = 3
=
= 2 4
= 2 = = 3
( 4 1 0 24(
4 1 0
2 4
( 4 1 0 2 4 2( 4 1 0 2 4 +c( 4 1 0 2 4 +c
-
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=
4 1 0 =3
2 4 = 9 20 = 27 ( 4 1 0 2 4 2 +cIntegracin por sustitucin trigonomtrica
Hipotenusa: = Cateto:
=
=
= = =
=
=
= ==
a
bc
a
b
-
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cos= sec= =Ejercicios:
1. = =6 = 6 2.
= + = 366 36=6
66 = 66 log log 36
6
6
6
x
-
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+ 1. =
=1
= 1 2. = + = 1 1
1
ln ln 1
+
= 1. = =4 = 4 = 4
=
16
= 16 2. =
Formula:1 =
1 6 =4
1
1
x
1 6
4x
-
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44 4
4 =14
14 14 ln 14 ln4 16
+ Formula:2 = 1 2 2 = 1 2
=5 =
5
=5 = 2 5 =5= 2 5 5 2 5 =5 555
55 5
5 25
5
2 5
5
x
-
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Por cambio de variable
= 2 5
=2 = 2 = 2 = 12
=
=
= = 2 5 Sustitucin trigonomtrica
= 2 = 2 = 2 = 4 2
4 =2 4 222 22 12
4
2
x
-
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2 1 2
= 2
2
Cambio de variables:
= 6 1 = 6 = 6 = 6
16 Formula:
= 1 16 + 3 1
16
2
12 6 112 Integracin por partes:
-
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+
2 2+
= 2 9 = 1 = + = ++ = +
2 ++2 4 ++2 4
21++
++
= ln 5 1 0 6
-
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45/54
10x + 10
10 10 55 1 0 6Separar las integrales homogneas
10 105 1 0 6 55 1 0 6
= ln 5 1 0 6 5 ++55 5 1 0 65 =
2 1 1 65
1 1 15
ln 5 1 0 6 12 5 1
12 5 1 6 6 33 3 1
= 633 2 1 63 3 1
-
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ln = 3 2 1 6 ++
2631 + 13 = 2 14 14 13
2 12 12
ln3 3 1 2 122 114
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UNIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS
UNIDAD DE GESTIN DE TECNOLOGAS
SEGURIDAD AREA Y TERRESTRE
Nombre:Bustos KatherineAula:2.16 Segundo Nivel
Materia:Calculo
Fecha:07/01/2016
=
= = . 2 2 = + 2 + + 2 = 2+ ++
+
2 +
= = = 1
2 22
= 1 1 = 1 =
-
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= ; =
= 12 2
12
12
= 1 12 12
= 1 2
= 1 2 = 2 =
=
3
1
= 13 3 3 6 3 = 3 63 3 3
= 3 6 3 33 3
= 3
6 3
9
3 3
-
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UNIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS
UNIDAD DE GESTIN DE TECNOLOGAS
SEGURIDAD AREA Y TERRESTRE
Nombre:Bustos KatherineAula:2.16 Segundo Nivel
Materia:Calculo
Tema:limites:
= 2 43 24 = 2 23 2 = 03 4 = 01
= 2 2 = 00
lim
5 6 3 1
4 0 02 0 0 = 42 = 2
= 4545145 = 02lim 1 lim
lim = .
=
= cos cos
-
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= 12 1 2 . 1 2
lim12 2
= = 4 3
= 4
2
3
= 4 84 3 = 4 384 = 4 342
= 4
342
Derivar por tabla
. 2 6 12
2 12 6 13 8. ln 1ln 1
ln
12 1
-
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ln
(
11 12 1 1)
ln 1 12 1 = l n 32 1 9. 6] 6 26 6 2410.+ln1
1 +l n 1 lnIn
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UNIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS
UNIDAD DE GESTIN DE TECNOLOGAS
SEGURIDAD AREA Y TERRESTRE
Nombre:Bustos KatherineAula:2.16 Segundo Nivel
Materia:Calculo
Fecha:19/11/2015
1. = 32 172 452 32 10 = 34 3 4 454 6 1 0 = 2512
2. = 26 6 28 1 0 2 = 20 20 = 00
lim 23 2 2 22 1lim 22 1 63221lim 4 2 63 22 1 = 4 43 22 1
lim 4 23 22 1 = 46 3= 462 3 = 41 2 3 = 493. = 1 1 1 31 1 = 00
=
3 1
= 3 1 1 = 3 1 1 1= 3 1 11 1
= = = = = = = = 1 = 1
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= 1
2
3
3 3 1 1 1 1
= 2 3 3 3 1 1 1 lim 1 1 2 3 3 31 11 11 1 1 = 1312. = 2
2 = 10 = 00 lim 1 11lim 1 1lim 1lim 1
2
1 0 1 1 0 0 -31 1 2 3 3 3
1 1 2 3 3 3 0