UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS
ESCOLA DE ENGENHARIA CIVIL
CURSO DE MESTRADO EM ENGENHARIA CIVIL
RODRIGO FERNANDES
CRITÉRIOS NORMATIVOS SOBRE A INFLUÊNCIA DA RELAÇÃO Aw/Af E ESBELTEZ DE ALMA NO CÁLCULO DA
RESISTÊNCIA À FLEXÃO DE VIGAS ESBELTAS EM ELEMENTOS DE ESTRUTURAS DE AÇO.
Goiânia
2008
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS
ESCOLA DE ENGENHARIA CIVIL
CURSO DE MESTRADO EM ENGENHARIA CIVIL
RODRIGO FERNANDES
CRITÉRIOS NORMATIVOS SOBRE A INFLUÊNCIA DA RELAÇÃO Aw/Af E ESBELTEZ DE ALMA NO CÁLCULO DA
RESISTÊNCIA À FLEXÃO DE VIGAS ESBELTAS EM ELEMENTOS DE ESTRUTURAS DE AÇO.
Dissertação de mestrado apresentada ao Curso de Mestrado em Engenharia Civil da Universidade Federal de Goiás (UFG) para obtenção do título de Mestre em Engenharia Civil. Área de Concentração: Estruturas Orientador: Prof. Dr. Orlando Ferreira Gomes, EEC/UFG. Co-orientador: Prof. Dr. Edgar Bacarji, EEC/UFG.
Goiânia
2008
RODRIGO FERNANDES
CRITÉRIOS NORMATIVOS SOBRE A INFLUÊNCIA DA RELAÇÃO Aw/Af E ESBELTEZ DE ALMA NO CÁLCULO DA
RESISTÊNCIA À FLEXÃO DE VIGAS ESBELTAS EM ELEMENTOS DE ESTRUTURAS DE AÇO.
Dissertação defendida no Curso de Mestrado em Engenharia Civil da Universidade Federal de Goiás (UFG) para obtenção do grau de Mestre, aprovada em _____de______________de________, pela Banca Examinadora constituída pelos seguintes professores:
Prof. Dr. Orlando Ferreira Gomes, EEC/UFG. Orientador
Prof. Dr. Edgar Bacarji, EEC/UFG. Co-orientador
Prof. Dr. André B. Geyer, EEC/UFG. Examinador Interno
Prof. Dr. João Alberto Venegas Requena, FEC/UNICAMP. Examinador Externo
Dedico este trabalho a meu pai, de quem
segui o caminho na engenharia, Jaci Fernandes
Sobrinho, Engenheiro Eletricista, ex professor da
Escola de Engenharia Elétrica da UFG, e também ao
meu professor e orientador, Dr. Orlando Ferreira
Gomes.
AGRADECIMENTOS
A Deus, por tudo. A meu pai, minha mãe, meus irmãos, meu sobrinho, aos
parentes e amigos, pelo incentivo. Aos professores Dr. Orlando Ferreira Gomes e Dr. Edgar
Bacarji, pela orientação. Agradeço também à Escola de Engenharia Civil da UFG e a todos os
meus professores do Curso de Mestrado, que contribuíram para a minha formação. Faço
também um agradecimento ao engenheiro civil Dr. Fausto Antônio Muñoz Muniz, que me
recebeu prontamente em seu escritório de projeto e cálculo estrutural de pontes em Belo
Horizonte, esclareceu minhas dúvidas e contribuiu para a realização desta dissertação.
RESUMO
Neste trabalho é feita uma análise teórica sobre o comportamento de vigas
esbeltas. Uma viga esbelta foi dimensionada com base nos critérios da norma americana
Manual of Steel Construction – Load and Resistance Factor Design (AISC, 1994), e depois
verificada pela norma brasileira NBR 8800: Projeto e execução de estruturas de aço de
edifícios (método dos estados limites) (ABNT, 1986), pelo projeto de revisão da norma
brasileira Projeto de Revisão da NBR 8800: Projeto e execução de estruturas de aço e de
estruturas mistas aço-concreto de edifícios (ABNT, 2003), pelo projeto de revisão da norma
brasileira Projeto de Revisão da NBR 8800: Projeto de estruturas de aço e de estruturas mistas
de aço e concreto de edifícios (ABNT, 2007) e pela norma européia Eurocode 3: Design of
steel structures – Part 1.1: General rules and rules for buildings (CEN, 1992). PFEIL (1989)
dimensionou uma viga esbelta utilizando a norma brasileira NBR 8800/86. As dimensões
calculadas foram verificadas pelas normas citadas. NARAYANAN (1992 apud OWENS,
KNOWLES E DOWLING, 1992) dimensionou uma viga esbelta utilizando a norma britânica
BS 5950: Structural use of steelwork in building. Part 1: Code of practice for design in simple
and continuous construction: hot rolled sections (BSI, 1990), a qual foi também verificada
pelas normas citadas. Também foram consideradas análises teóricas relativas ao cálculo de
vigas esbeltas apresentadas por diversos autores. O objetivo principal é avaliar os critérios
utilizados pelas normas para o cálculo de vigas esbeltas. A partir dos resultados obtidos, para
as vigas analisadas, pelas normas e pelas teorias existentes, foi feita uma análise comparativa
entre os critérios utilizados pelas normas. A conclusão a que se pôde chegar é que a norma
brasileira e seus projetos de revisão apresentam critérios idênticos aos da norma americana
para o cálculo de vigas esbeltas. A norma européia apresenta critérios um pouco diferenciados
dos critérios da norma americana, mas fornecem resultados aproximados entre si. As teorias
utilizadas também forneceram resultados aproximados dos resultados obtidos pelas normas.
Palavras-chave: vigas esbeltas; esbeltez de alma; parâmetros de esbeltez;
flambagem local.
ABSTRACT
This work contains a theoretical analysis of the behavior of plate girders. A plate
girder has been calculated based on the criteria of the American standard “Manual of Steel
Construction – Load and Resistance Factor Design” (AISC, 1994), and checked by the
Brazilian standard “NBR 8800: Projeto e execução de estruturas de aço de edifícios (método
dos estados limites)” (ABNT, 1986), the revision project of the Brazilian standard “Projeto de
Revisão da NBR 8800: Projeto e execução de estruturas de aço e de estruturas mistas aço-
concreto de edifícios” (ABNT, 2003), the revision project of the Brazilian standard “Projeto
de Revisão da NBR 8800: Projeto de estruturas de aço e de estruturas mistas de aço e concreto
de edifícios” (ABNT, 2007) and the European standard “Eurocode 3: Design of steel
structures – Part 1.1: General rules and rules for buildings” (CEN, 1992). PFEIL (1989) has
calculated a plate girder by using the Brazilian standard NBR 8800/86. The calculated
dimension have been checked by the mentioned standards. NARAYANAN (1992 apud
OWENS, KNOWLES E DOWLING, 1992) has dimensioned a plate girder by using the
British standard “BS 5950: Structural use of steelwork in building. Part 1: Code of practice
for design in simple and continuous construction: hot rolled sections” (BSI, 1990), which has
also been checked by the mentioned standards. Furthermore, theoretical analyses related to
the calculus of plate girders presented by many authors have been considered. The main goal
is to assess the criteria utilized by the standards for the calculus of plate girders. From the
obtained results, for the checked girders, by the standards and related theories, a comparative
analysis among the utilized criteria by the standards has been made. The reached conclusion is
that the Brazilian standard and its revision projects has identical criteria compared to the
American standard for the calculus of plate girders. The European standard presents slightly
different criteria compared to the American standard; however, both provide close results one
compared to another. The theories utilized have also provided close results from those
obtained by the standards.
Keywords: plate girders; web slenderness; slenderness ratio; local buckling.
LISTA DE FIGURAS Figura 1.2.1 Perfis Soldados em alma cheia ............................................................ 39 Figura 1.2.2 Viga de Rolamento em Edifícios Industriais ....................................... 39 Figura 1.2.3 Carregamento móvel indica a necessidade de verificação de
flambagem da alma sob carga concentrada ......................................... 40 Figura 1.2.4 Esquema de Ponte Mista Rodoviária, segundo a AASHTO (1983) ... 40 Figura 1.2.5 Ponte com tabuleiro de aço – ortotrópico ............................................ 41 Figura 1.2.6 Esquema de ponte ferroviária .............................................................. 42 Figura 1.2.7 Esquema de ponte ferroviária/mista .................................................... 42 Figura 1.2.8 (RMG Engenharia, 2006) – Fotografias aéreas do viaduto de
Anápolis – Goiás, em fase de construção ............................................ 43 Figura 1.2.9 (RMG Engenharia, 2006) – Planta geral do anel externo do viaduto . 44 Figura 1.2.10 (RMG Engenharia, 2006) – Planta de um dos vãos do viaduto .......... 45 Figura 1.2.11 (RMG Engenharia, 2006) – Elevação do vão ..................................... 46 Figura 1.2.12 (RMG Engenharia, 2006) – Desenho da seção transversal no apoio .. 46 Figura 1.2.13 (RMG Engenharia, 2006) – Desenho da vista lateral e cortes da
unidade III da viga metálica esbelta .................................................... 47 Figura 1.2.14 (RMG Engenharia, 2006) – Desenho com cotas das seções
transversais das vigas esbeltas metálicas ............................................ 48 Figura 1.2.15 (RMG Engenharia, 2006) – Desenho da seção transversal no meio
do vão e detalhamento das ligações da treliça nas vigas ..................... 48 Figura 1.2.16 (RMG Engenharia, 2006) – Seção transversal no apoio 1 .................. 49 Figura 1.2.17 (RMG Engenharia, 2006) – Seção transversal no apoio 2 .................. 50 Figura 1.2.18 (RMG Engenharia, 2006) – Projeto do contraventamento horizontal
no vão, elevação e cortes ..................................................................... 51 Figura 1.2.19 (RMG Engenharia, 2006) – Elevação da viga referente à unidade II e
cortes longitudinais ............................................................................. 51 Figura 1.2.20 (RMG Engenharia, 2006) – Planta de detalhamento do
contraventamento horizontal da unidade II no vão ............................. 52 Figura 1.2.21 (RMG Engenharia, 2006) – Desenho da seção transversal das vigas
esbeltas do viaduto, cotada em milímetros .......................................... 52 Figura 1.2.22 (RMG Engenharia, 2006) – Desenho das bases de neoprene ............. 53 Figura 3.1.1 (SALMON E JOHNSON, 1996) – Gráfico da resistência nominal de
momento versus o parâmetro de esbeltez ............................................ 56 Figura 3.1.2 (DERANI, 2000) – Elementos para o cálculo do módulo plástico de
seções I ................................................................................................ 59 Figura 3.2.1 (Eurocode 3 – figura 5.6.1) – Geometria do campo de tração ............ 89 Figura 3.3.1.1 (JUHÁS, 2001) – Esquema e parâmetros da viga esbelta .................. 93 Figura 3.3.1.2 (JUHÁS, 2001) – Tensão normal de flexão e cisalhante assumidas
na seção transversal. ............................................................................ 95 Figura 3.3.1.3 (JUHÁS, 2001) – Relações das proporções de momento fletor e
força cortante limites para seções transversais homogêneas dadas, ................................................................................... 1.05δ ,1m == 97
Figura 3.3.1.4 (JUHÁS, 2001) – Relações das proporções de momento fletor e força cortante limites para seção transversal híbrida dada,
...................................................................................05.1=δ ,6.0=γ 98 Figura 3.3.1.5 (JUHÁS, 2001) – Relações de interação da capacidade de carga ao
momento-cortante para seções transversais homogêneas e híbridas ... 99
Figura 3.3.2.1 (YU, 1991) – Flambagem por cisalhamento de chapas infinitamente longas. (a) lados simplesmente apoiados. (b) lados fixos ................... 102
Figura 3.3.3.1 (HÖGLUND, 1998) – Estado de tensão em uma alma muito delgada com lados transversalmente restringidos (campo de tração ideal) ...... 106
Figura 3.3.3.2 (HÖGLUND, 1998) – Estado de tensão na alma de uma viga com enrijecedores transversais somente nos finais (campo de tensões principais) ............................................................................................ 106
Figura 3.3.3.3 (HÖGLUND, 1998) – Força cortante resistente de acordo com as teorias do campo de tração e testes ..................................................... 107
Figura 3.3.3.4 (HÖGLUND, 1998) – Fator de redução para flambagem por cisalhamento ........................................................................................
vρ108
Figura 3.3.3.5 (HÖGLUND, 1998) – Modelo de alma na extensão pós-flambagem. (a) Força cortante carregada pela alma pelo campo de tensões principais. (b) Força cortante carregada pela ação de treliça, desenvolvimento do qual é dependente da rigidez das mesas. (c) Notações para a seção transversal ....................................................... 110
Figura 3.3.3.6 (ESTRADA, REAL E MIRAMBELL, 2006) – Modelo do campo de tensões principais (a) Contribuição da alma (b) Contribuição da mesa ..............................................................................................
wV
fV 113 Figura 3.3.3.7 (ESTRADA, REAL E MIRAMBELL, 2006) – Modelo do campo de
tração. Estágios de comportamento em uma chapa sob carga de cisalhamento ........................................................................................ 113
Figura 3.3.3.8 (ESTRADA, REAL E MIRAMBELL, 2006) – Requerimentos para os pilares finais. Modelo do campo de tração. Análise plástica .......... 114
Figura 3.3.3.9 (ESTRADA, REAL E MIRAMBELL, 2006) – Requerimentos para os pilares finais. Modelo do campo de tensões principais. Análise elástica ................................................................................................. 115
Figura 3.4.1 (PFEIL, 1989) – Diagrama tensão-deformação para perfis simples ou compostos (aço com patamar de escoamento) ............................... 116
Figura 3.4.2 (PFEIL, 1989) – Momento resistente plástico ( )pM de uma seção com eixo de simetria ........................................................................... 117
Figura 4.1 (DYM E SHAMES, 1973) – Porção de uma placa de espessura h ..... 130 Figura 4.2 (DYM E SHAMES, 1973) – Geometria deformada da placa ............. 131 Figura 4.3 (DYM E SHAMES, 1973) – Elemento de placa com tensões no
plano médio da placa ........................................................................... 133 Figura 4.4 (DYM E SHAMES, 1973) – Intensidades de força por comprimento
unitário ................................................................................................ 134 Figura 4.5 (DYM E SHAMES, 1973) – Plano inclinado arbitrariamente na
direção relativa às direções x, y ...................................................... ν̂ 135 Figura 4.6 (DYM E SHAMES, 1973) – Cargas constantes aplicadas nos lados
para a placa retangular ......................................................................... 141 Figura 4.7 (DYM E SHAMES, 1973) – Carregamento para uma placa de
formato geral ....................................................................................... 142 Figura 4.8 (DYM E SHAMES, 1973) – Placa retangular simplesmente apoiada
a×b×h em compressão uniaxial uniforme .......................................... 145 Figura 4.9 (DYM E SHAMES, 1973) – Coeficiente plotado versus a
proporção de aspecto a/b ..................................................................... crk
146 Figura 4.10 (DYM E SHAMES, 1973) – Cargas constantes aplicadas nos lados
para a placa retangular ......................................................................... 147
Figura 5.1 (BLEICH, 1952) – Distribuição de tensões em uma chapa retangular 148 Figura 5.2 (BLEICH, 1952) – Distribuição de tensões em uma chapa retangular
reforçada com enrijecedor longitudinal, em adição aos enrijecedores verticais ............................................................................................... 148
Figura 5.3 (BLEICH, 1952) – Relação entre a tensão crítica e o parâmetro de esbeltez l/r de uma coluna ideal de aço estrutural ..........................
cσ153
Figura 5.4 (BLEICH, 1952) – Chapa sob ação das tensões de cisalhamento e tensões compressivas uniformes ..................................................
xyτσ 158
Figura 5.5 (BLEICH, 1952) - Proporção versus a proporção .... occ τ/τ o
cc σ/σ 159 Figura 5.6 (BLEICH, 1952) - Proporção versus a proporção .... o
cc τ/τ occ σ/σ 159
Figura 5.7 (BLEICH, 1952) - Relação entre as proporções ... ooc11ccc σ/σ e τ/τ 163
Figura 5.8 (BLEICH, 1952) – Chapas com um e dois enrijecedores ................... 168 Figura 5.9 (BLEICH, 1952) – Chapa infinitamente longa reforçada por
enrijecedores equidistantes .................................................................. 169 Figura 5.10 (BLEICH, 1952) – Diagramas para b/d = 1 e 2 .................................. 170 Figura 7.1.1 (SALMON E JOHNSON, 1996) – Estados limites na flexão ............. 176 Figura 7.2.1 (SALMON E JOHNSON, 1996) – Tipos de flambagem que podem
ocorrer ................................................................................................. 177 Figura 7.2.2 (SALMON E JOHNSON, 1996) – Flambagem vertical da mesa
comprimida .......................................................................................... 177 Figura 7.2.3 (SALMON E JOHNSON, 1996) – Forças na mesa surgindo da
curvatura da viga ................................................................................. 178 Figura 7.2.4 (SALMON E JOHNSON, 1996) – Efeito da força normal à chapa da
mesa ..................................................................................................... 179 Figura 7.2.5 (SALMON E JOHNSON, 1996) – Efeito da tensão residual ............. 180 Figura 7.4.1 (SALMON E JOHNSON, 1996) – Chapa da alma sob momento
puro ...................................................................................................... 185 Figura 7.5.1 (SALMON E JOHNSON, 1996) – Teoria clássica do cisalhamento
aplicada a um painel de viga esbelta ................................................... 185 Figura 7.5.2 (SALMON E JOHNSON, 1996) – Dois casos de espaçamento dos
enrijecedores transversais .................................................................... 187 Figura 7.6.1 (SALMON E JOHNSON, 1996) – Ação do campo de tração ............ 190 Figura 7.6.2 (SALMON E JOHNSON, 1996) – Tensões de membrana na ação do
campo de tração ................................................................................... 192 Figura 7.6.3 (SALMON E JOHNSON, 1996) – Forças surgidas do campo de
tração ................................................................................................... 193 Figura 7.6.4 (SALMON E JOHNSON, 1996) – Força no enrijecedor resultante
da ação do campo de tração ................................................................. 194 Figura 7.7.1 (SALMON E JOHNSON, 1996) – Resistência ao cisalhamento e ao
momento sob flexão e cisalhamento combinados ............................... 198 Figura 7.9.1 (SALMON E JOHNSON, 1996) – Desenvolvimento da fórmula de
área da mesa ........................................................................................ 205 Figura 8.1.1 Sistema estrutural em viga biapoiada solicitada por carregamento
indicado ............................................................................................... 208 Figura 8.1.2 Diagramas de momento fletor e esforço cortante da viga para o
exemplo do projeto .............................................................................. 209 Figura 8.1.3 (SALMON E JOHNSON, 1996) – Seção transversal das chapas de
enrijecedores intermediários ............................................................... 218
Figura 8.1.4 Detalhes finais da viga dimensionada (todas as medidas em mm) ..... Medidas da seção efetiva para o cálculo do momento fletor
219 Figura 8.1.5
252 Figura 8.1.6
258 Figura 8.2.1
261 Figura 8.2.2
262 Figura 8.2.3
308 Figura 8.2.4
314 Figura 8.3.1
317 Figura 8.3.2
317 Figura 8.3.3
363 Figura 8.3.4
371 Figura 8.3.5
372 Figura A.1
seções “compactas” afetadas pela flambagem lateral com torção ...... 429
resistente (medidas indicadas em mm) ................................................Desenho da largura g do campo de tração para os painéis centrais (medidas em mm) ................................................................................ (PFEIL, 1989) – Sistema estrutural em viga biapoiada solicitada por carregamento indicado ........................................................................ (PFEIL, 1989) – Dimensões da viga propostas para o problema de dimensionamento e verificação ........................................................... Medidas da seção efetiva para o cálculo do momento fletor resistente (medidas indicadas em mm) ................................................Desenho da largura g do campo de tração para os painéis centrais (medidas em mm) ................................................................................ (NARAYANAN, 1992 apud OWENS, KNOWLES E DOWLING, 1992) – Sistema estrutural em viga biapoiada solicitada por carregamento indicado e diagramas (medidas em mm) ...................... (NARAYANAN, 1992 apud OWENS, KNOWLES E DOWLING, 1992) – Detalhamento final das dimensões calculadas (medidas em mm) ..................................................................................................... Medidas da seção efetiva para o cálculo do momento fletor resistente (medidas indicadas em mm) ................................................Desenho da largura g do campo de tração para os painéis centrais (medidas em mm) ................................................................................ Desenho da largura g do campo de tração para os painéis centrais (medidas em mm) ................................................................................ (SALMON E JOHNSON, 1996) – Resistência nominal nM de
LISTA DE TABELAS Tabela 3.2.1 (Eurocode 3 – tabela 5.3.1) – Máxima proporção largura/espessura
para elementos em compressão ........................................................ 83 Tabela 3.2.2 (Eurocode 3 – tabela 5.3.1) – Máxima proporção largura/espessura
para elementos em compressão ........................................................ 84 Tabela 3.2.3 (Eurocode 3 – tabela 5.3.2) – Elementos internos comprimidos ..... 85 Tabela 3.2.4 (Eurocode 3 – tabela 5.3.3) – Elementos externos comprimidos ..... 85 Tabela 3.3.2.1 (YU, 1991) – Tensões de cisalhamento admissíveis, MPa .............. 103 Tabela 3.3.3.1 (HÖGLUND, 1998) – Fator de redução para flambagem por
cisalhamento ..................................................................................... vρ
108 Tabela 3.4.1 (PFEIL, 1989) – Propriedades mecânicas de aços (perfis
laminados ou soldados) .................................................................... 116 Tabela 3.4.2 (PFEIL, 1989) – Módulo plástico (Z) e coeficiente de forma (Z/W)
de seções de vigas ............................................................................ 118 Tabela 3.4.3 (PFEIL, 1989) – Classificação das seções das vigas quanto ao
efeito de flambagem local ................................................................ 119 Tabela 3.4.4 (PFEIL, 1989) – Valores limites da relação largura/espessura de
seções I ou H, com um ou dois eixos de simetria, fletidos no plano da alma ............................................................................................. 120
Tabela 5.1 (BLEICH, 1952) – Proporção para aço estrutural .......... E/E=τ t 156 Tabela 5.2 (BLEICH, 1952) – Determinação da tensão crítica para aço,
MPa ( , cσ
MPa 5.172σ p = MPa 7.227σ y = ) ....................................... 157 Tabela 5.3 (BLEICH, 1952) – Determinação da tensão crítica para aço,
MPa ( , cσ
MPa 6.234σ p = MPa 5.310σ y = ) ....................................... 157 Tabela 5.4 (BLEICH, 1952) – Chapas em cisalhamento e/ou compressão
longitudinal uniformemente ou linearmente distribuída .................. 166 Tabela 5.5 (BLEICH, 1952) – Dados para o momento de inércia requerido
para chapas em cisalhamento tendo um enrijecedor ........................ 0I
169 Tabela 5.6 (BLEICH, 1952) – Dados para o momento de inércia requerido 0
para chapas em cisalhamento tendo dois enrijecedores ................... I
169 Tabela 7.2.1 (SALMON E JOHNSON, 1996) – Limitações de máximo -
LRFD – apêndice G1 ........................................................................wth /
181 Tabela 8.1.1 Tabela utilizada para a escolha das dimensões da alma ................... 210 Tabela 8.2.1 Proporção para aço estrutural com ,
.................................................................................. E/E=τ t
MPaMPa 200σ p =
250σ y = 272 Tabela 8.2.2 Determinação da tensão crítica c para aço, MPa.
( , σ
MPa 200σ p = MPa 250σ y = ) ..................................................... 273 Tabela 9.1.1 Valores obtidos pelas normas dos parâmetros de esbeltez e do
momento fletor resistente característico da viga dimensionada no exemplo 1 (momento fletor solicitante de cálculo
) ........................................................................... kNm 608.0=Msd 375
Tabela 9.1.2 Valores obtidos pelas normas dos parâmetros de esbeltez e do momento fletor resistente característico da viga analisada no exemplo 2 (momento fletor solicitante de cálculo
) ......................................................................... kNm 0.8878=Msd 376 Tabela 9.1.3 Valores obtidos pelas normas dos parâmetros de esbeltez e do
momento fletor resistente característico da viga analisada no exemplo 3 (momento fletor solicitante de cálculo
) ....................................................................... kNm 0.17458=Msd 378 Tabela 9.2.1 Força cortante resistente nominal para flambagem elástica
calculada com a utilização das normas para a viga analisada no exemplo 1 (força cortante solicitante de cálculo ) ...kN 0.155=Vsd 379
Tabela 9.2.2 Força cortante resistente nominal para flambagem elástica calculada com a utilização das normas para a viga analisada no exemplo 2 (força cortante solicitante de cálculo ) kN 7.1792=Vsd 380
Tabela 9.2.3 Força cortante resistente nominal para flambagem elástica calculada com a utilização das normas para a viga analisada no exemplo 3 (força cortante solicitante de cálculo ) kN 2.2182=Vsd 380
Tabela 9.2.4 Força cortante resistente nominal para flambagem inelástica calculada com a utilização das normas para a viga analisada no exemplo 2 (força cortante solicitante de cálculo ) kN 7.1792=Vsd 381
Tabela 9.2.5 Força cortante resistente nominal para flambagem inelástica calculada com a utilização das normas para a viga analisada no exemplo 3 (força cortante solicitante de cálculo ) kN 2.2182=Vsd 382
Tabela 9.2.6 Força cortante resistente nominal incluindo a ação do campo de tração calculada com a utilização das normas para a viga analisada no exemplo 1 (força cortante solicitante de cálculo
) .Força cortante resistente característica incluindo a
kN 0.155=Vsd ............................................................................... 383 Tabela 9.2.7 ação do campo
384 Tabela 9.2.8 Força cortante re
385 Tabela 9.3.1.1 Resultados, obtid
386 Tabela 9.3.1.2
387 Tabela 9.3.2.1
388 Tabela 9.3.3.1
389 Tabela 9.3.4.1
de tração calculada com a utilização das normas para a viga analisada no exemplo 2 (Força cortante solicitante de cálculo
kN 7.1792=Vsd ) ............................................................................. sistente característica incluindo a ação do campo
de tração calculada com a utilização das normas para a viga analisada no exemplo 3 (força cortante solicitante de cálculo
kN 2.2182=Vsd ) ............................................................................. os para os exemplos analisados, das fórmulas de
interação entre momento fletor e força cortante, da teoria de JUHÁS (2001) .................................................................................. Parâmetros e propriedades obtidos para os exemplos analisados, de acordo com a teoria de JUHÁS (2001) ........................................Resultados obtidos para os exemplos analisados, dos parâmetros e tensões críticas, calculados de acordo com a teoria de BLEICH (1952) ............................................................................................... Parâmetros e propriedades obtidos para os exemplos analisados, de acordo com a teoria de YU (1991) .............................................. Parâmetros e propriedades obtidos para os exemplos analisados, de acordo com a teoria de HÖGLUND (1998) ................................ 389
Tabela 10.2.1.1
397 Tabela 10.2.1.2
398 Tabela 10.2.1.3
399 Tabela 10.2.2.1
Cálculo dos parâmetros de esbeltez limites de acordo com as normas, através do anexo A, para os estados limites de flambagem local da mesa (FLM), flambagem lateral com torção (FLT) e flambagem local da alma (FLA), e categoria da seção transversal da viga do exemplo 1 ....................................................................... Cálculo dos parâmetros de esbeltez limites de acordo com as normas, através do anexo A, para os estados limites de flambagem local da mesa (FLM), flambagem lateral com torção (FLT) e flambagem local da alma (FLA), e categoria da seção transversal da viga do exemplo 2 ....................................................................... Cálculo dos parâmetros de esbeltez limites de acordo com as normas, através do anexo A, para os estados limites de flambagem local da mesa (FLM), flambagem lateral com torção (FLT) e flambagem local da alma (FLA), e categoria da seção transversal da viga do exemplo 3 ....................................................................... Cálculo da força cortante resistente nominal nV de acordo com as normas, através da tabela B.1, para flambagem elástica, para os painéis com espaçamento a=493 mm entre enrijecedores da viga analisada no exemplo 1, com α=0.58; k=19.9; MPa 435f y = ;
250t/h = ; 2mm2890A = ; kN 0.155Vw w sd = ............................ de acordo com as
400 Tabela 10.2.2.2 Cálculo da força cortante resistente nominal nV
normas, através da tabela B.1, para flambagem elástica, para os painéis com espaçamento a=920 mm entre enrijecedores da viga analisada no exemplo 1, com α=1.08; k=8.8; MPa 435f y = ;
250t/h = ; 2mm2890A = ; kN 0.155Vw w sd = ............................ de acordo com as
400 Tabela 10.2.2.3 Cálculo da força cortante resistente nominal nV
normas, através da tabela B.1, para flambagem elástica, para os painéis com espaçamento a=1400 mm entre enrijecedores da viga analisada no exemplo 2, com α=0.70; k=14.9; MPa 250f y = ;
4.160t/h = ; 2mm24940A = ; kN 0.1758Vw w sd = ..................... acordo com as
401 Tabela 10.2.2.4 Cálculo da força cortante resistente nominal de nV
normas, através da tabela B.1, para flambagem elástica, para os painéis de espaçamento a=2500 mm entre enrijecedores da viga analisada no exemplo 3, com α=1.25; k=7.9; MPa250f y = ;
4.160t/h = ; 2= ; kN 0.2140Vw w mm24940A sd = ..................... 402 Tabela 10.2.2.5 Cálculo da força cortante resistente nominal de nV acordo com as
normas, através da tabela B.1, para flambagem elástica, para os painéis de espaçamento a=2825 mm entre enrijecedores da viga analisada no exemplo 3, com 41.1α = ; 3.7k = ; MPa250f y = ;
4.160t/h = ; mm24940A =w2 Vsdw ; kN 0.2140= .....................
acordo com as 402
Tabela 10.2.2.6 Cálculo da força cortante resistente nominal de nV normas, através da tabela B.4, para escoamento por cisalhamento, para os painéis com espaçamento a=800 mm entre enrijecedores da viga analisada no exemplo 2, com α=0.40; k=37.4;
MPa 250f y = ; 4.160t/h w = ; kN 7.1792Vsd = ............................. 403
Tabela 10.2.2.7 Cálculo da força cortante resistente nominal nV de acordo com as normas, através da tabela B.4, para escoamento por cisalhamento, para os painéis com espaçamento a=925 mm entre enrijecedores da viga analisada no exemplo 3, com α=0.46; k=29.0;
MPa 250f y = ; 4.160t/h w = ; kN 2.2182Vsd = ............................ 404 em crV de acordo Tabela 10.2.2.8 Cálculo da força cortante resistente de flambag
com as normas, através da tabela B.6, para flambagem elástica, para os painéis com espaçamento a=493 mm entre enrijecedores da viga analisada no exemplo 1, com α=0.58; k=19.9;
MPa 435f y = ; 250t/h w = ; kN 0.155Vsd = ................................. 405 bagem crV de acordo Tabela 10.2.2.9 Cálculo da força cortante resistente de flam
com as normas, através da tabela B.6, para flambagem elástica, para os painéis com espaçamento a=920 mm entre enrijecedores da viga analisada no exemplo 1, com α=1.08; k=8.8;
MPa 435f y = ; 250t/h w = ; kN 0.155Vsd = ................................. 405 nte da ação do campo Tabela 10.2.2.10 Cálculo da força cortante resistente provenie
de tração tfV de acordo com as normas, através da tabela B.10, para os pa is com espaçamento a=920 mm entre enrijecedores da viga analisada no exemplo 1, com α=1.08; k=8.8;
MPa 435f y = ; 250t/h w
iné
= ; kN 0.155Vsd = ................................. 406 mbagem crV , através Tabela 10.2.2.11 - Cálculo da força cortante resistente de fla
da tabela B.4, para escoamento por cisalhamento, para os painéis com espaçamento a=800 mm entre enrijecedores da viga analisada no exemplo 2, com α=0.40; k=37.4; MPa 250f y = ;
4.160t/h w = ; kN 7.1792Vsd = ...................................................... ente de flambagem crV , através da
407 Tabela 10.2.2.12 Cálculo da força cortante resist
tabela B.6, para flambagem elástica, para os painéis com espaçamento a=1400 mm entre enrijecedores da viga analisada no exemplo 2, com α=0.70; k=14.9; MPa 250f y = ; 4.160t/h w = ;
kN 0.1758Vsd = ............................................................................... cortante resistente proveniente da ação do campo
407 Tabela 10.2.2.13 Cálculo da força
de tração tfV de acordo com as normas, através da tabela B.10, para os pai s com espaçamento a=1400 mm entre enrijecedores da viga analisada no exemplo 2, com α=0.70; k=14.9;
MPa 250f y = ; 4.160t/h w
néi
= ; kN 0.1758Vsd = ............................. 408 em crV , de acordo Tabela 10.2.2.14 Cálculo da força cortante resistente de flambag
com as normas, através da tabela B.4, para escoamento por cisalhamento, para os painéis de espaçamento a=925 mm entre enrijecedores da viga analisada no exemplo 3, com α=0.46; k=29.0; MPa 250f y = ; 4.160t/h w = ; kN 2.2182Vsd = ............... 409
Tabela 10.2.2.15 álculo da força cortante resistente de flambagem de acordo C crV ,com as normas, através da tabela B.6, para flambagem elástica, para os painéis de espaçamento a=2500 mm entre enrijecedores da viga analisada no exemplo 3, com α=1.25; k=7.9; MPa250f y = ;
4.160t/h w = ; kN 0.2140Vsd = ...................................................... nte de flambagem crV , através da
409 Tabela 10.2.2.16 Cálculo da força cortante resiste
tabela B.6, para flambagem elástica, para o painéis de espaçamento a=2825 mm entre enrijecedores da viga analisada no exemplo 3, com 41.1α
s
= ; 3.7k = ; MPa250f y = ; 4.160t/h w = ; kN 2.2182Vsd = ... .... ... .
cortante resistente proveniente da ação do campo ............ ........... ....................... ...................... 410
Tabela 10.2.2.17 Cálculo da forçade tração tfV de acordo com as normas, através da tabela B.10, para os pai s com espaçamento a=2500 mm entre enrijecedores da viga analisada no exemplo 3, com α=1.25; k=7.9;
MPa250f y = ; 4.160t/h w
néi
= ; kN 0.2140Vsd = ........................... 410 te da ação do campo Tabela 10.2.2.18 Cálculo da força cortante resis nte proveniente
de tração tfV de acordo com as normas, através da tabela B.10, para os pai s com espaçamento a=2825 mm entre enrijecedores da viga analisada no exemplo 3, com 41.1α
néi= ; 3.7k = ;
MPa250f y = ; 4.160t/h w = ; kN 2.2182Vsd = ............. . iss do com a teoria de
............. 411 Tabela 10.3.3.1 Cálculo da força cortante adm ível de acor
3.1, para os painéis com aV
YU (1991), através da tabela C.espaçamento a=493 mm entre enrijecedores da viga do exemplo 1, com α=0.58; k=19.9; MPa 435f y = ; 250t/h w = ; kN 0.155Vsd =
Cálculo da força cortante admissív e 416
Tabela 10.3.3.2 el de acordo com a teoria dYU (1991), através da tabela C 3.1, para os painéis com
aV.
espaçamento a=920 mm entre enrijecedores da viga do exemplo 1, com α=1.08; k=8.8; MPa 435f y = ; 250t/h w = ; kN 0.155Vsd = .Cálculo da força cortante admissível aV de acordo co a teoria de YU (1991), através da tabela C.es
416 Tabela 10.3.3.3
3.1, para os painéis com paçamento a=800 mm entre en iga do exemplo 2, rijecedores da v
50com α=0.40; k=37.4; MPa 2f y = ; 4.160t/h w = ; kN 7.1792Vsd = ...............................................................................
Cálculo da força cortante admissível de acordo co a teoria de ravés da tabela C.3.1, para os painéis com 1400 mm entre enrijecedores da viga do exemplo
417 Tabela 10.3.3.4
YU (1991), atespaçamento a=
aV
252, com α=0.70; k=14.9; MPa 0f y = ; 4.160t/h w = ; kN 0.1758Vsd = ...............................................................................
417
Tabela 10.3.3.5 álculo da força cortante admissível de acordo com a teoria de U (1991), através da tabela C 3.1, para os painéis com
spaçamento a=925 mm entre en iga do exemplo 3,
C aV.
rijecedores da v250
Yecom α=0.46; k=29.0; MPa f y = ; 4.160t/h w = ;
kN 2.2182Vsd = ...............................................................................Cálculo da força cortante admissí e
avés da tabela C.3..1, para os painéis com 500 mm entre enrijecedores da viga do exemplo
418 Tabela 10.3.3.6 vel de acordo com a teoria d
YU (1991), atr
418 Tabela 10.3.3.7 vel de acordo com a teoria d
YU (1991), at
aV
25espaçamento a=23, com α=1.25; k=7.9; MPa0f y = ; 4.160t/h w = ;
kN 0.2140Vsd = ...............................................................................Cálculo da força cortante admissí e
ravés da tabela C.3.1, para os painéis com 825 mm entre enrijecedores da viga do exemplo
aV
espaçamento a=23, com 41.1α = ; 3.7k = ; MPa0f y = ; 4.160t/h w = ;
kN 2.2182Vsd = ...............................................................................Cálculo da rt de acordo com a
UND (1998), através da tabela C.4.1, para os
25
418 Tabela 10.3.4.1 força co ante resistente nominal
teoria de HÖGLwV
M painéis com espaçamento a=493 mm entre enrijecedores da viga do exemplo 1, com α=0.58; k=19.9; Pa435f y = ; 250t/h w = ;
kN 0.155Vsd = ................................................................................. Cálculo da força cortante resistente no a a
LUND (1998), através da tabela C.4.1, para os
419 Tabela 10.3.4.2 minal de cordo com
teoria de HÖGwV
M painéis com espaçamento a=920 mm entre enrijecedores da viga do exemplo 1, com α=1.08; k=8.8; Pa435f y = ; 250t/h w = ;
kN 0.155Vsd = ................................................................................. Cálculo da força cortante resistente n a a
LUND (1998), através da tabela C.4.1, para os
419 Tabela 10.3.4.3 ominal de cordo com
teoria de HÖGwV
painéis com espaçamento a=800 mm entre enrijecedores da viga do exemplo 2, com α=0.40; k=37.4; MPa 250f y = ;
4.160t/h w = ; kN 7.1792Vsd = ...................................................... Cálculo da força cortante admissível aV de acordo c e
19 tabela C.4.1, para os painéis com
420 Tabela 10.3.4.4 om a teoria d
HÖGLUND ( 98), através daespaçamento a=1400 mm entre enrijecedores da viga do exemplo 2, com α=0.70; k=14.9; MPa 250f y = ; 4.160t/h w = ;
kN 0.1758Vsd = ............................................................................... Cálculo da força cortante admissív e
98), através da tabela C.4.1, para os painéis com
420 Tabela 10.3.4.5 el de acordo com a teoria d
HÖGLUND (19 aV
espaçamento a=925 mm entre enrijecedores da viga do exemplo 3, com α=0.46; k=29.0; MPa 250f y = ; 4.160t/h w = ;
kN 2.2182Vsd = ...............................................................................
421
Tabela 10.3.4.6 álculo da força cortante admissível de acordo com a teoria de ÖGLUND (1998), através da tabela C.4.1, para os painéis com
421 Tabela 10.3.4.7
C aVHespaçamento a=2500 mm entre enrijecedores da viga do exemplo 3, com α=1.25; k=7.9; MPa250f y = ; 4.160t/h w = ;
kN 0.2140Vsd = ...............................................................................Cálculo da força cortante admissível aV de acordo com a teoria de
98), através da tabela C.4.1, para os painéis com HÖGLUND (19espaçamento a=2825 mm entre enrijecedores da viga do exemplo 3, com 41.1α = ; 3.7k = ; MPa250f y = ; 4.160t/h w = ;
kN 2.2182Vsd = ...............................................................................(SALMON E JOHNSON, 1996) – Limites do parâmetro de
a vigas de seção I “compactas” para atingir a
421 Tabela A.1
esbeltez par
430 Tabela A.2 z
432 Tabela A.3 o
433 Tabela A.4
434 Tabela A.5
436 Tabela A.6
437 Tabela A.7
439 Tabela A.8
441 Tabela A.9
443 Tabela A.10
p
resistência de momento plástico pM , de acordo com a LRFD-B5.1 .................................................................................................. Limites do parâmetro de esbelte pλ para vigas de seção I
λ
“compactas” para atingir a resistência de momento plástico pM , de acordo com a NBR 8800/86 ........................................................ Limites do parâmetro de esbeltez pλ para vigas de seçã I “compactas” para atingir a resistência de momento plástico pM , de acordo com a PNBR 8800/03 ...................................................... Limites do parâmetro de esbeltez pλ para vigas de seção I “compactas” para atingir a resistência de momento plástico pM , de acordo com a PNBR 8800/07 ...................................................... Limites dos parâmetros de esbeltez pλ para vigas de seção I “compactas” para atingir a resistência de momento plástico pM , de acordo com o Eurocode 3 ............................................................ (SALMON E JOHNSON, 1996) – Limites do parâmetro de esbeltez λ para “seções não-compactas” de vigas de seção I para r
atingir yF na fibra extrema , de acordo com a LRFD – B5.1 .......... Limites do parâmetro de esbeltez rλ para “seções não-compactas” de vigas de seção I para atingir na fibra extrema, de acordo com a NBR 8800/86 ......................................................................... Limites do parâmetro de esbeltez rλ para “seções não-compactas”
yf
de vigas de seção I para atingir na fibra extrema, de acordo com a PNBR 8800/03 .......................................................................Limites do parâmetro de esbeltez rλ para “seções não-compactas”
yf
de vigas de seção I para atingir na fibra extrema, de acordo com a PNBR 8800/07 .......................................................................Limites do parâmetro de esbeltez rλ para “seções não-compactas”
yf
de vigas de seção I para atingir na fibra extrema, de acordo com o Eurocode 3 .............................................................................
yf444
Tabela B.1 450
Tabela B.2
Critérios normativos para o cálculo da força cortante resistente nominal nV , para flambagem elástica ..............................................Valores do coeficiente de cortante vC utilizado pelas normas para
flambagem elástica, yw f4.615t/h ≥ . Critérios normativos fo
/k 451 Tabela B.3 para o cálculo da rça cortante resistente
457 Tabela B.4
458 Tabela B.5
nominal nV , para flambagem inelástica .......................................... Critérios normativos para o cálculo da força cortante resistente nominal nV , para escoamento por cisalhamento ............................. Valores do coeficiente de cortante vC utilizado pelas normas para
flambagem inelástica, ywy < f/k688t/hf/k7.458 < .............. Critérios normativos pa sistente de
458 Tabela B.6 ra o cálculo da força cortante re
464 Tabela B.7
flambagem crV , para flambagem elástica ........................................ Valores do coeficiente de cortante vC utilizado pelas normas para
flambagem elástica, yw f4.615t/h ≥ .......................................Critérios normativos rça cortante resistente de
/k 464 Tabela B.8 para o cálculo da fo
465 Tabela B.9
flambagem crV , para flambagem inelástica ..................................... Valores do coeficiente de cortante vC utilizado pelas normas para
flambagem inelástica, ywy < f/k688t/hf/k7.458 < .............. Critérios normativos p resistente
465 Tabela B.10 ara o cálculo da força cortante
466 Tabela C.3.1 cá
477 Tabela C.4.1
480 Tabela C.4.2
proveniente da ação do campo de tração tfV ................................... Critérios utilizados por YU (1991) para o lculo da força cortante admissível aV de painéis de chapas de alma de vigas esbeltas ....... Critérios utilizados por HÖGLUND (1998) para o cálculo da força cortante resistente nominal wV de painéis de chapas de alma de vigas esbeltas .................................................................................... Valores do coeficiente de cortante vC utilizado por HÖGLUND
(1998), para flambagem elástica, ywt/ f/k2.611h ≥ ..................
Valores do coeficiente de cortante 481
Tabela C.4.3 utilizado por HÖGLUND vCmb(1998), para fla agem inelástica,
ywy f/k2.611t/hf/k8.469 <≤ ................................................ 481
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
ASHTO merican tion Officials
P me.
A A Association of State Highway and TransportaABNT Associação Brasileira de Normas Técnicas AISC American Institute of Steel Construction BSI
British Standards Institution
ndardization CEN European Committee for StaDIN Deutsches Institut für Normung
n ProgramESDE European Steel Design Educatio
LISTA DE SÍMBOLOS
inúsculas
dores transversais de painéis de chapas de alma.
b
M romanas
istância entre enrijecea - Dra - Proporção entre a área da alma pela área da mesa comprimida.
xνa - Cosseno diretor entre o eixo ν e o eixo x.
yνa Cosseno diretor entre o eixo e o eixo y. ν- Altura da chapa da alma.
b - Largura apropriada. =d para almas e c para mesas.
c
ento a cisalhamento. inal especificado.
g ém espessura de uma placa.
ção I soldada,
effb - Largura efetiva da mesa comprimida.
fb - Largura da chapa da mesa. - Largura efetiva da mesa.
d - Altura total da seção. . crf - Tensão de flambagem
rf - Tensão residual.
vf - Tensão de escoam
yf - Limite de escoamento do aço, valor nom
yff - Tensão de escoamento do material da mesa.
ywf - Tensão de escoamento do material da alma. - Largura do campo de tração.
h - Altura da chapa da alma; tamb0h - Altura da chapa da alma.
ck - Coeficiente em rλ para se wt/h/4 . fu o do momento fletor resistente
- lambagem correspondente à proporção de tensão
lma. Diatância entre pontos de
m - a viga, relação pela m a comprimida mais um terço
-
t
u rfície média da placa.
pgk - Coeficiente, em nção de ra , de reduçãnominal. Fator de fσk ψ .
τk Fator de flambagem para cisalhamento. vk - Coeficiente de flambagem da chapa da a
bl - Comprimento de flambagem lateral da viga. contenção lateral. Fator de hibridez d ywyf f/f .
Tr - Raio de giração da seção formada esda região comprimida da alma, calculado em relação ao eixo situado no plano médio da alma. Comprimentos de ancoragem do campo de tração ao longo das mesas tc s ,s em compressão e tração respectivamente. Espessura da chapa da alma. -
0t - Espessura da chapa da alma.
ft - Espessura da chapa da mesa.
wt - Espessura da chapa da alma. - Ação de alongamento da supe
1u - Deslocamento de um ponto da placa na direção x.
2u Deslocamento de um ponto da placa na direção y.
3u - Deslocamento de um ponto da placa na direção z. v .
da placa. placa.
aiúsculas romanas
rea da seção transversal da mesa.
rsal da alma. C
ão não-uniforme de momento fletor
- . D
idade; para o aço, tomado igual a 205000 MPa para
- F l de uma placa.
.
. ento do aço, valor nominal especificado.
I ntro de gravidade
- inércia requerido dos enrijecedores.
sar nálise pl
M
- nos finais do segmento sem
- soluto) nos pontos a ¼, ½ e ¾, respectivamente, do
- ransversal na simultânea plastificação
- flambagem de projeto de uma viga não restringida
- stente de projeto de uma seção transversal.
- Ação de alongamento da superfície média da placaw - Função de deslocamento vertical da superfície médiaw% - Quantidade em perturbação do deslocamento do plano médio da
M
f A - Á
stA - Área do enrijecedor.
wA - Área da seção transve- Constante de rigidez extensional.
bC - Fator de modificação para variaçpara o segmento da viga sem contenção lateral exceto nos finais do segmento, baseado nos valores absolutos dos momentos fletores. Coeficiente de redução do cortante, definido como a relação cr τ/τvC y
- Rigidez à flexão. E - Módulo de elastic
unidades do SI e igual a 29000 ksi para unidades do U.S. Módulo de elasticidade tangente. tE
- Funcional de energia potencial totaF% - Quantidade em perturbação do funcional de energia
crF - Tensão crítica.
rF - Tensão residual
yF - Tensão de escoam
yfF - Mínima tensão de escoamento especificada da mesa. - momento de inércia da seção bruta, referido ao ce
respectivo. Momento de0I
bL - Distância entre duas seções contidas lateralmente.
pL - Máximo comprimento sem contenção lateral para u pn M=M .
pdL - Máximo comprimento sem contenção lateral para usar a ástica. - Momento fletor agindo na seção transversal; também a distribuição de
momento fletor nos lados de uma placa. Menor momento 1M e maior momento 21 M ,M 2Mcontenção lateral. Momento (valor abCBA M ,M ,Msegmento sem contenção lateral. Momento fletor limite da seção tbM da alma e das mesas. Momento resistente à Rd,bM lateralmente. Momento resiRd,cM
dM - Momento fletor de cálculo.
Rd,fM - Momento plástico de projeto da seção transversal.
nM - Momento resistente nominal.
Rk,NfM - Resistência plástica de momento reduzida da mesa.
pM - Resistência de momento plástico.
plM - Resistência de momento plástico.
rM - Resistência de momento quando a fibra extrema atinge ( ). yF - rF
RkM - Momento fletor resistente característico.
sdM - Momento fletor solicitante de cálculo.
uM - Momento fletor de cálculo.
V,uM - Momento fletor último que depende força cortante V agindo na seção transversal.
xM - Distribuição de momento fletor em relação ao eixo y na seção que tem a normal na direção x, por unidade de comprimento na direção y.
xyM - Distribuição de momento torsor em relação ao eixo x na seção cuja normal é o eixo x, por unidade de comprimento na direção y.
yM - Distribuição de momento fletor em relação ao eixo x na seção que tem a normal na direção y, por unidade de comprimento na direção x.
yxM - Distribuição de momento torsor em relação ao eixo y na seção cuja normal é o eixo y, por unidade de comprimento na direção x.
Sd,fN - Força longitudinal na mesa.
xN - Carga constante na direção x aplicada na face da placa com normal na direção x.
yN - Carga constante na direção y aplicada na face da placa com normal na direção y.
xyN - Carga constante na direção y aplicada na face da placa com normal na direção x.
yxN - Carga constante na direção x aplicada na face da placa com normal na direção y.
Q - Fator de forma; também a distribuição de força cortante nos lados de uma placa.
xQ - Distribuição de força cisalhante na face com a normal na direção x fornecida por unidade de comprimento na direção y.
yQ - Distribuição de força cisalhante na face com a normal na direção y fornecida por unidade de comprimento na direção x.
S - Momento estático referido ao centro de gravidade da seção bruta, da parte da área da seção entre a borda e o ponto onde se mede a tensão.
xcS - Módulo de seção referente á mesa comprimida.
xt
U S Módulo de seção referente á mesa tracionada.
- Energia de deformação de uma placa. V - Força cortante agindo na seção transversal.
Rd,baV - Resistência de projeto à flambagem por cisalhamento.
Rd,bwV - Resistência à flambagem por cisalhamento somente da alma.
dV - Força cortante de cálculo. 'nV - Resistência nominal de cálculo à força cortante de almas, incluindo o
efeito do campo de tração.
plV - Força cisalhante totalmente plástica.
RkV - Força cortante resistente característica.
sV - Energia de flexão de cada enrijecedor.
sdV - Força cortante solicitante de cálculo.
uV - Força cortante de cálculo.
M,uV - Força cortante última que depende do momento fletor M agindo na seção transversal.
W - Módulo elástico de resistência da seção. f,plW - Módulo plástico da seção das mesas.
w,plW - Módulo plástico da seção da alma.
xcW , xtW - Módulos de resistência elásticos em relação ao eixo de flexão, para os lados comprimido e tracionado, respectivamente, da seção.
Z - Módulo plástico de resistência da seção. Minúsculas gregas α - Aspecto proporcional da chapa, relação a/b.
LTα - Fator de imperfeição para flambagem lateral com torção
wβ - Parâmetro w selecionado para projeto; também a relação entre o módulo elástico efetivo e o módulo plástico da seção.
t/h
ε - Coeficiente de resistência, yf/235 .
xxε - Alongamento por unidade de comprimento original na direção x formando um segmento na direção x.
xyε - Alongamento por unidade de comprimento original na direção y formando um segmento na direção x.
yyε - Alongamento por unidade de comprimento original na direção y formando um segmento na direção y.
yxε - Alongamento por unidade de comprimento original na direção x formando um segmento na direção y.
λ - Parâmetro de esbeltez para elementos de chapa. bλ - Parâmetro de esbeltez para elementos de chapa.
bpλ - Limite máximo do parâmetro de esbeltez para elemento compacto.
brλ - Limite máximo do parâmetro de esbeltez para elemento não-compacto.
pλ - Limite máximo do parâmetro de esbeltez para elemento compacto.
pλ - Parâmetro de esbeltez da chapa.
rλ - Limite máximo do parâmetro de esbeltez para elemento não-compacto.
w
λ - Esbeltez da alma. ν - Coeficiente de deformação transversal (Coeficiente de Poisson); para o
aço, no domínio elástico, admite-se . 3.0=νν̂ρ
- Direção do plano inclinado arbitrariamente relativo às direções x, y - Fator de redução da seção efetiva.
σ - Tensão compressiva uniforme. bbσ - Resistência do campo de tração.
cσ , c1σ - Tensão média última.
ocσ , oc1σ - Tensão crítica em compressão pura.
crσ Tensão de flambagem.
pσ - Limite proporcional do material.
yσ - Tensão de escoamento.
1
σ - Tensão compressiva atuante na chapa. τ - Proporção entre o módulo tangente e o módulo de elasticidade,
. E/E=τ t
baτ - Resistência ao cisalhamento simples pós-crítica.
cτ - Tensão crítica de cisalhamento. o
cτ - Tensão crítia em cisalhamento puro.
crτ - Tensão de flambagem em cisalhamento; 3/Fy .
flτ - Tensão crítica de flambagem elástica.
prτ - Limite proporcional em cisalhamento, = ( )3/F8.0=τ8.0 yy
xxτ - Tensão na direção x, na face com normal na direção x.
xyτ - Tensão de cisalhamento; tensão na direção y, na face com normal na direção x.
yyτ - Tensão na direção y, na face com normal na direção y.
yτ - Tensão de escoamento em cisalhamento. φ ou φ - Coeficiente de redução de resistência; também a inclinação do campo de
tração. bφ ou bφ - Coeficiente de resistência ao momento fletor.
v
φ ou vφ - Coeficiente de resistência à força cortante. ψ - Proporção entre tensões atuantes no elemento.
LTχ - Fator de redução para flambagem lateral com torção. Maiúsculas gregas Γ - Curva limitadora de uma placa. Θ - Inclinação do painel diagonal do campo de tração.
SUMÁRIO RESUMO ...................................................................................................... 6 ABSTRACT ................................................................................................. 7 LISTA DE FIGURAS .................................................................................. 8 LISTA DE TABELAS.................................................................................. 12 LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS ................................................ 20 LISTA DE SÍMBOLOS .............................................................................. 21 1 INTRODUÇÃO ........................................................................................... 36 1.1 ASPECTOS GERAIS .................................................................................... 36 1.2 ANÁLISE DE ALGUNS PROJETOS DE VIGAS ESBELTAS .................. 38 1.2.1 Viaduto de Anápolis – Goiás ....................................................................... 43 1.2.2 Viaduto do contorno de Coronel Fabriciano – Belo Horizonte – Minas
Gerais ............................................................................................................ 49 2 OBJETIVOS ................................................................................................ 54 2.1 OBJETIVOS ESPECÍFICOS ........................................................................ 54 3 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ................................................................... 55 3.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS ..................................................................... 55 3.2 NORMAS UTILIZADAS ............................................................................. 59 3.2.1 Load and Resistance Factor Design (LRFD) (AISC, 1994) ……………. 59 3.2.1.1 Limitações – apêndice G1 ............................................................................. 60 3.2.1.2 Resistência de projeto à flexão – apêndice G2 .............................................. 60 3.2.1.3 Resistência ao cisalhamento de projeto com ação do campo de tração –
apêndice G3 ................................................................................................... 62 3.2.1.4 Enrijecedores transversais – apêndice G4 .................................................... 63 3.2.1.5 Interação flexão-cisalhamento – apêndice G5 .............................................. 64 3.2.2 NBR 8800 – Projeto e execução de estruturas de aço de edifícios
(método dos estados limites) (ABNT, 1986) ............................................... 64 3.2.2.1 Resistência de vigas esbeltas ao momento fletor - anexo F .......................... 64 3.2.2.1.1 Generalidades – item F-1 ............................................................................... 64 3.2.2.1.2 Resistência de cálculo – item F-2 .................................................................. 65 3.2.2.2 Resistência à força cortante, incluindo o efeito do campo de tração – anexo
G .................................................................................................................... 67 3.2.2.2.1 Resistência de cálculo – item G-1 ................................................................. 67 3.2.2.2.2 Exigências e limitações referentes ao uso do campo de tração - item G-2 .... 69 3.2.2.2.3 Interação entre momento fletor e força cortante - item G-3 .......................... 70 3.2.3 Projeto de Revisão da NBR 8800 – Projeto e execução de estruturas de
aço e de estruturas mistas aço-concreto de edifícios (ABNT, 2003) ........ 71 3.2.3.1 Momento fletor resistente característico de vigas esbeltas - anexo F
(normativo) .................................................................................................... 71 3.2.3.1.1 Generalidades – item F.1 ............................................................................... 71 3.2.3.1.2 Momento fletor resistente característico – item F.2 ...................................... 72
3.2.3.2 Força cortante resistente característica incluindo o efeito do campo de tração - anexo G (normativo) ......................................................................... 73
3.2.3.2.1 Força cortante resistente característica – item G.1 ........................................ 73 3.2.3.2.2 Exigências e limitações referentes ao uso do campo de tração – item G.2 ... 76 3.2.4 Projeto de Revisão da NBR 8800 – Projeto de estruturas de aço e de
estruturas mistas de aço e concreto de edifícios (ABNT, 2007) ............... 77 3.2.4.1 Momento fletor resistente de cálculo de vigas esbeltas - anexo H
(normativo) .................................................................................................... 78 3.2.4.1.1 Generalidades – item H.1 .............................................................................. 78 3.2.4.1.2 Momento fletor resistente característico – item H.2 ...................................... 78 3.2.4.2 Força cortante resistente de cálculo – item 5.4.3 ........................................... 80 3.2.5 Eurocode 3: Design of steel structures – Part 1.1: General rules and
rules for buildings (CEN, 1992) ……......………………………………… 82 3.2.5.1 Classificação das seções transversais – item 5.3 ........................................... 82 3.2.5.1.1 Base – item 5.3.1 ........................................................................................... 82 3.2.5.1.2 Classificação – item 5.3.2 .............................................................................. 82 3.2.5.1.3 Propriedades da seção transversal efetiva Classe 4 – item 5.3.5 ................... 84 3.2.5.1.4 Momento fletor – item 5.4.5 .......................................................................... 86 3.2.5.2 Resistência à flambagem de membros – item 5.5 ......................................... 86 3.2.5.2.1 Flambagem lateral com torção de vigas – item 5.5.2 .................................... 86 3.2.5.3 Resistência à flambagem por cisalhamento – item 5.6 ................................. 87 3.2.5.3.1 Método simples pós-crítico – item 5.6.3 ....................................................... 87 3.2.5.3.2 Método do campo de tração – item 5.6.4 ...................................................... 88 3.2.5.3.3 Inclinação do campo de tração – item 5.6.4.2 ............................................... 90 3.2.5.4 Interação entre força cortante, momento fletor e força axial – item 5.6.7 ..... 90 3.2.5.4.1 Método simples pós-crítico – item 5.6.7.2 .................................................... 90 3.2.5.4.2 Método do campo de tração – item 5.6.7.3 ................................................... 91 3.3 TEORIAS UTILIZADAS .............................................................................. 92 3.3.1 Teoria de JUHÁS (2001) ............................................................................. 92 3.3.1.1 Capacidade de carga de vigas esbeltas sujeitas a flexão e cisalhamento ....... 92 3.3.2 Teoria de YU (1991) .................................................................................... 100 3.3.2.1 Tensões de cisalhamento admissíveis e resistência de almas ........................ 100 3.3.3 Teoria de HÖGLUND (1998) ...................................................................... 104 3.3.3.1 Resistência à flambagem por cisalhamento de vigas esbeltas de aço e de
alumínio ......................................................................................................... 104 3.3.3.1.1 Alma com enrijecedores somente no suporte ................................................ 104 3.3.3.1.2 Alma enrijecida transversalmente ................................................................. 109 3.3.3.1.3 Influência de mesas rígidas ............................................................................ 109 3.3.3.2 Comportamento geral e efeito de pilar final rígido e não-rígido em vigas
esbeltas de aço inoxidável carregadas em cisalhamento. Propostas de projeto ............................................................................................................ 111
3.3.3.2.1 Introdução ...................................................................................................... 111 3.3.3.2.2 Discussão breve sobre os modelos teóricos para calcular a capacidade
última em vigas esbeltas de aço. Requerimentos para o pilar final ............... 112 3.4 MÉTODO DE DIMENSIONAMENTO DE VIGAS ESBELTAS DE
ACORDO COM A NBR 8800/86 ................................................................. 115 3.4.1 Dimensionamento a flexão .......................................................................... 116 3.4.1.1 Momento resistente plástico ( )pM e momento de início plastificação ( )yM 117 3.4.1.2 Resistência à flexão de vigas com contenção lateral contínua ...................... 118 3.4.1.2.1 Momento resistente de cálculo de vigas I com alma esbelta ......................... 120
3.4.1.3 Resistência à flexão de vigas sem contenção lateral contínua. Flambagem lateral ............................................................................................................. 121
3.4.1.3.1 Cálculo simplificado da resistência à flexão de vigas I com um ou dois eixos de simetria, fletidas no plano da alma .................................................. 122
3.4.1.3.2 Momento crítico de vigas I com um ou dois eixos de simetria, carregadas no plano da alma ............................................................................................ 122
3.4.1.3.3 Momento crítico de vigas I ou H com um eixo de simetria, carregadas no plano da alma ................................................................................................. 123
3.4.2 Dimensionamento da alma das vigas ......................................................... 123 3.4.2.1 Tensões de cisalhamento provocadas por esforço cortante ........................... 124 3.4.2.2 Vigas I com um ou dois eixos de simetria, sem enrijecedores transversais
intermediários, fletidas no plano da alma ...................................................... 124 3.4.2.2.1 Vigas I com valores moderados de .................................................... 00 t/h 125 3.4.2.2.2 Vigas I com valores elevados de ........................................................ 00 t/h 125 3.4.2.2.3 Limite superior da relação em vigas sem enrijecedores .................... 00 t/h 126 3.4.2.3 Vigas I com um ou dois eixos de simetria, com enrijecedores transversais
intermediários, fletidas no plano da alma ...................................................... 126 3.4.2.3.1 Vigas I sem efeito de flambagem da alma ..................................................... 126 3.4.2.3.2 Vigas I com efeito de flambagem da alma .................................................... 127 3.4.2.3.3 Resistência pós-flambagem da alma. Campo de tração ................................ 127 3.4.2.3.4 Limite superior da relação em vigas com enrijecedores transversais 00 t/h 128 3.4.2.4 Interação entre esforço cortante e momento fletor ........................................ 128 4 TEORIA CLÁSSICA DE PLACAS ........................................................... 129 4.1 INTRODUÇÃO ............................................................................................. 129 4.2 CINEMÁTICA DA DEFORMAÇÃO DE PLACAS .................................... 129 4.3 FUNÇÕES DE INTENSIDADE DE TENSÃO RESULTANTE E AS
EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO .................................................................... 132 4.4 APROXIMAÇÃO DA ENERGIA POTENCIAL TOTAL MÍNIMA .......... 138 4.5 ESTABILIDADE ELÁSTICA DE PLACAS. A EQUAÇÃO DE
FLAMBAGEM PARA PLACAS RETANGULARES ................................. 141 4.5.1 O método de equilíbrio – um exemplo ....................................................... 144 5 ESTABILIDADE DE CHAPAS DE ALMA DE VIGAS ......................... 148 5.1 INTRODUÇÃO ............................................................................................. 148 5.2 A COLUNA COMO PARTE DA ESTRUTURA. PRINCÍPIOS DO
PROJETO DE COLUNAS ............................................................................ 151 5.3 O FATOR DE SEGURANÇA ...................................................................... 155 5.4 DETERMINAÇÃO DA TENSÃO CRÍTICA NA EXTENSÃO
INELÁSTICA DE FLAMBAGEM ............................................................... 156 5.5 CHAPAS SIMPLESMENTE APOIADAS SOB CISALHAMENTO E
TENSÕES LONGITUDINAIS UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDAS COMBINADAS ............................................................................................ 158
5.6 CHAPAS SIMPLESMENTE APOIADAS SOB TENSÕES DE CISALHAMENTO E FLEXÃO PURA COMBINADAS ............................ 162
5.7 SUMÁRIO DAS FÓRMULAS DE PROJETO PARA CHAPAS DE ALMA DE VIGAS ESBELTAS ................................................................... 164
5.8 CHAPAS DE ALMA ENRIJECIDAS TRANSVERSALMENTE EM CISALHAMENTO ........................................................................................ 165
6 METODOLOGIA ........................................................................................ 172 6.1 VERIFICAÇÃO DE VIGAS ESBELTAS SEGUNDO OS CRITÉRIOS
DA NORMA AMERICANA ........................................................................ 172 6.2 VERIFICAÇÃO DE VIGAS ESBELTAS SEGUNDO OS CRITÉRIOS
DA NORMA BRASILEIRA ......................................................................... 173 6.3 VERIFICAÇÃO DE VIGAS ESBELTAS SEGUNDO OS CRITÉRIOS
DOS PROJETOS DE REVISÃO DA NORMA BRASILEIRA ................... 174 6.4 VERIFICAÇÃO DE VIGAS ESBELTAS SEGUNDO OS CRITÉRIOS
DA NORMA EUROPÉIA ............................................................................. 174 7 FUNDAMENTOS DO DIMENSIONAMENTO DE VIGAS
ESBELTAS ................................................................................................... 175 7.1 DIFERENÇA ENTRE VIGAS E VIGAS ESBELTAS ................................ 175 7.2 ESTADO LIMITE DE FLAMBAGEM VERTICAL DA MESA ................ 176 7.2.1 Máximo de acordo com a LRFD (Load and Resistance Factor
Design ) ......................................................................................................... wt/h
180 7.3 RESISTÊNCIA NOMINAL DE MOMENTO – LRFD ................................ 181 7.4 REDUÇÃO NO MOMENTO RESISTENTE DEVIDO À FLAMBAGEM
POR FLEXÃO NO PLANO DA ALMA ...................................................... 183 7.5 RESISTÊNCIA NOMINAL AO CISALHAMENTO – FLAMBAGEM
ELÁSTICA E INELÁSTICA ........................................................................ 185 7.5.1 Flambagem elástica sob cisalhamento puro .............................................. 186 7.5.2 Flambagem inelástica sob cisalhamento puro ........................................... 188 7.5.3 Resistência nominal ao cisalhamento ......................................................... 189 7.6 RESISTÊNCIA NOMINAL DE CISALHAMENTO – INCLUINDO A
AÇÃO DO CAMPO DE TRAÇÃO .............................................................. 190 7.6.1 Ação do campo de tração: ótima direção .................................................. 191 7.6.2 Cálculo da resistência ao cisalhamento através da ação do campo de
tração ............................................................................................................ 193 7.6.3 Condição de ruptura ................................................................................... 194 7.6.4 Força no enrijecedor ................................................................................... 195 7.6.5 Resistência nominal ao cisalhamento, incluindo tanto resistência de
flambagem como de pós-flambagem .......................................................... 196 7.6.6 Critérios utilizados pelo manual LRFD ..................................................... 196 7.7 RESISTÊNCIA EM FLEXÃO E CISALHAMENTO COMBINADOS ...... 197 7.7.1 Critérios utilizados pelo manual LRFD ..................................................... 199 7.8 ENRIJECEDORES TRANSVERSAIS INTERMEDIÁRIOS ...................... 201 7.8.1 Requerimentos para omitir enrijecedores transversais ........................... 201 7.8.2 Critério de posicionamento incluindo a ação do campo de tração –
manual LRFD .............................................................................................. 203 7.9 PROPORCIONANDO A SEÇÃO ................................................................ 203 7.9.1 Fórmula da área da mesa ............................................................................ 204 7.9.2 Altura ótima da viga .................................................................................... 206 8 PROJETOS DE VIGAS ESBELTAS COM VERIFICAÇÕES
NORMATIVAS ........................................................................................... 208 8.1 EXEMPLO 1 ................................................................................................. 208 8.1.1 Problema proposto ...................................................................................... 208 8.1.1.1 Verificação da capacidade de carga ao momento-cortante usando a teoria
de JUHÁS (2001) .......................................................................................... 220
8.1.1.2 Verificação da tensão crítica de cisalhamento usando a teoria de BLEICH (1952) ............................................................................................................. 224
8.1.1.3 Verificação da tensão de cisalhamento admissível utilizando a teoria de YU (1991) ...................................................................................................... 226
8.1.1.4 Verificação da força cortante resistente característica utilizando o método do campo de tensões principais de HÖGLUND (1998) ................................ 227
8.1.2 Verificação segundo a NBR 8800/86 .......................................................... 228 8.1.2.1 Resistência de vigas esbeltas ao momento fletor – anexo F .......................... 229 8.1.2.1.1 Generalidades – item F-1 ............................................................................... 229 8.1.2.1.2 Resistência de cálculo – item F-2 .................................................................. 229 8.1.2.2 Resistência à força cortante, incluindo o efeito do campo de tração – anexo
G .................................................................................................................... 232 8.1.2.2.1 Resistência de cálculo – item G-1 ................................................................. 232 8.1.2.2.2 Exigências e limitações referentes ao uso de campo de tração – item G-2 ... 234 8.1.2.2.3 Interação entre momento fletor e força cortante – item G-3 ......................... 237 8.1.3 Verificação segundo a PNBR 8800/03 ........................................................ 237 8.1.3.1 Momento fletor resistente característico de vigas esbeltas - anexo F
(normativo) .................................................................................................... 238 8.1.3.1.1 Generalidades – item F.1 ............................................................................... 238 8.1.3.1.2 Momento fletor resistente característico – item F.2 ...................................... 238 8.1.3.2 Força cortante resistente característica incluindo o efeito do campo de
tração - anexo G (normativo) ......................................................................... 241 8.1.3.2.1 Força cortante resistente característica – item G.1 ........................................ 241 8.1.3.2.2 Exigências e limitações referentes ao uso do campo de tração – item G.2 ... 244 8.1.4 Verificação segundo a PNBR 8800/07 ........................................................ 246 8.1.4.1 Momento fletor resistente de cálculo de vigas esbeltas - anexo H
(normativo) .................................................................................................... 246 8.1.4.1.1 Generalidades – item H.1 .............................................................................. 246 8.1.4.1.2 Momento fletor resistente de cálculo – item H.2 ........................................... 247 8.1.4.2 Força cortante resistente de cálculo – item 5.4.3 ........................................... 249 8.1.5 Verificação segundo o Eurocode 3 ............................................................. 251 8.1.5.1 Momento fletor - item 5.4.5 .......................................................................... 252 8.1.5.2 Cisalhamento - item 5.4.6 .............................................................................. 254 8.1.5.3 Flambagem lateral com torção de vigas - item 5.5.2 ..................................... 254 8.1.5.4 Resistência à flambagem por cisalhamento – item 5.6 ................................. 256 8.1.5.4.1 Método simples pós-crítico- item 5.6.3 ......................................................... 256 8.1.5.4.2 Método do campo de tração- item 5.6.4 ........................................................ 257 8.1.5.5 Interação entre força cortante, momento fletor e força axial - item 5.6.7 ..... 259 8.1.5.5.1 Método simples pós-crítico- item 5.6.7.2 ...................................................... 259 8.1.5.5.2 Método do campo de tração- item 5.6.7.3 ..................................................... 260 8.2 EXEMPLO 2 ................................................................................................. 261 8.2.1 Cálculos efetuados por PFEIL (1989) ........................................................ 261 8.2.1.1 Verificação da capacidade de carga ao momento-cortante usando a teoria
de JUHÁS (2001) .......................................................................................... 266 8.2.1.2 Verificação da tensão crítica de cisalhamento usando a teoria de BLEICH
(1952) ............................................................................................................. 270 8.2.1.3 Verificação da tensão de cisalhamento admissível utilizando a teoria deYU
(1991) ............................................................................................................. 274 8.2.1.4 Verificação da força cortante resistente característica utilizando o método
do campo de tensões principais de HÖGLUND (1998) ................................ 275
8.2.2 Verificação segundo a LRFD ...................................................................... 277 8.2.2.1 Limitações – item G1 .................................................................................... 277 8.2.2.2 Resistência de projeto à flexão - item G2 ...................................................... 278 8.2.2.3 Resistência de projeto ao cisalhamento com a ação do campo de tração –
item G3 .......................................................................................................... 281 8.2.2.4 Enrijecedores transversais – item G4 ............................................................ 282 8.2.2.5 Interação flexão-cisalhamento – item G5 ...................................................... 282 8.2.3 Verificação segundo a NBR 8800/86 .......................................................... 283 8.2.3.1 Resistência de vigas esbeltas ao momento fletor – anexo F ......................... 283 8.2.3.1.1 Generalidades – item F-1 .............................................................................. 283 8.2.3.1.2 Resistência de cálculo – item F-2 .................................................................. 284 8.2.3.2 Resistência à força cortante, incluindo o efeito do campo de tração – anexo
G .................................................................................................................... 288 8.2.3.2.1 Resistência de cálculo – item G-1 ................................................................. 288 8.2.3.2.2 Exigências e limitações referentes ao uso de campo de tração – item G-2 ... 290 8.2.3.2.3 Interação entre momento fletor e força cortante – item G-3 ......................... 292 8.2.4 Verificação segundo a PNBR 8800/03 ........................................................ 293 8.2.4.1 Momento fletor resistente característico de vigas esbeltas - anexo F
(normativo) .................................................................................................... 293 8.2.4.1.1 Generalidades – item F.1 ............................................................................... 293 8.2.4.1.2 Momento fletor resistente característico – item F.2 ...................................... 294 8.2.4.2 Força cortante resistente característica incluindo o efeito do campo de
tração - anexo G (normativo) ....................................................................... 296 8.2.4.2.1 Força cortante resistente característica – item G.1 ........................................ 296 8.2.4.2.2 Exigências e limitações referentes ao uso do campo de tração – item G.2 ... 299 8.2.5 Verificação segundo a PNBR 8800/07 ........................................................ 301 8.2.5.1 Momento fletor resistente de cálculo de vigas esbeltas - anexo H
(normativo)..................................................................................................... 301 8.2.5.1.1 Generalidades – item H.1 .............................................................................. 301 8.2.5.1.2 Momento fletor resistente característico – item F.2 ...................................... 302 8.2.5.2 Força cortante resistente de cálculo – item 5.4.3 ........................................... 304 8.2.6 Verificação segundo o Eurocode 3 ............................................................. 306 8.2.6.1 Momento fletor - item 5.4.5 .......................................................................... 307 8.2.6.2 Cisalhamento - item 5.4.6 .............................................................................. 309 8.2.6.3 Flambagem lateral com torção de vigas - item 5.5.2 ..................................... 310 8.2.6.4 Resistência à flambagem por cisalhamento – item 5.6 ................................. 311 8.2.6.4.1 Método simples pós-crítico- item 5.6.3 ......................................................... 311 8.2.6.4.2 Método do campo de tração- item 5.6.4 ........................................................ 312 8.2.6.5 Interação entre força cortante, momento fletor e força axial - item 5.6.7 ..... 314 8.2.6.5.1 Método simples pós-crítico- item 5.6.7.2 ...................................................... 314 8.2.6.5.2 Método do campo de tração- item 5.6.7.3 ..................................................... 315 8.3 EXEMPLO 3 ................................................................................................. 317 8.3.1 Dimensões propostas por NARAYANAN (1992, apud OWENS,
KNOWLES E DOWLING, 1992) .............................................................. 317 8.3.1.1 Verificação da capacidade de carga ao momento-cortante usando a teoria
de JUHÁS (2001) .......................................................................................... 318 8.3.1.2 Verificação da tensão crítica de cisalhamento usando a teoria de BLEICH
(1952) ............................................................................................................. 322 8.3.1.3 Verificação da tensão de cisalhamento admissível utilizando a teoria de
YU (1991) ...................................................................................................... 326
8.3.1.4 Verificação da força cortante resistente característica utilizando o método do campo de tensões principais de HÖGLUND (1998) ................................ 327
8.3.2 Verificação segundo a LRFD ...................................................................... 330 8.3.2.1 Limitações – item G1 .................................................................................... 330 8.3.2.2 Resistência de projeto à flexão - item G2 ...................................................... 330 8.3.2.3 Resistência de projeto ao cisalhamento com a ação do campo de tração –
item G3 .......................................................................................................... 333 8.3.2.4 Enrijecedores transversais – item G4 ............................................................ 336 8.3.3 Verificação segundo a NBR 8800/86 .......................................................... 336 8.3.3.1 Resistência de vigas esbeltas ao momento fletor – anexo F ......................... 336 8.3.3.1.1 Generalidades – item F-1 .............................................................................. 336 8.3.3.1.2 Resistência de cálculo – item F-2 .................................................................. 337 8.3.3.2 Resistência à força cortante, incluindo o efeito do campo de tração – anexo
G .................................................................................................................... 340 8.3.3.2.1 Resistência de cálculo – item G-1 ................................................................. 340 8.3.3.2.2 Exigências e limitações referentes ao uso de campo de tração – item G-2 ... 344 8.3.4 Verificação segundo a PNBR 8800/03 ........................................................ 345 8.3.4.1 Momento fletor resistente característico de vigas esbeltas - anexo F
(normativo) .................................................................................................... 345 8.3.4.1.1 Generalidades – item F.1 ............................................................................... 345 8.3.4.1.2 Momento fletor resistente característico – item F.2 ...................................... 346 8.3.4.2 Força cortante resistente característica incluindo o efeito do campo de
tração - anexo G (normativo) ....................................................................... 348 8.3.4.2.1 Força cortante resistente característica – item G.1 ........................................ 348 8.3.4.2.2 Exigências e limitações referentes ao uso do campo de tração – item G.2 ... 353 8.3.6 Verificação segundo a PNBR 8800/07 ........................................................ 355 8.3.6.1 Momento fletor resistente de cálculo de vigas esbeltas - anexo H
(normativo) .................................................................................................... 355 8.3.6.1.1 Generalidades – item H.1 .............................................................................. 355 8.3.6.1.2 Momento fletor resistente característico – item H.2 ...................................... 356 8.3.6.2 Força cortante resistente de cálculo – item 5.4.3 ........................................... 358 8.3.6 Verificação segundo o Eurocode 3 ............................................................. 361 8.3.6.1 Momento fletor - item 5.4.5 .......................................................................... 362 8.3.6.2 Cisalhamento - item 5.4.6 .............................................................................. 364 8.3.6.3 Flambagem lateral com torção de vigas - item 5.5.2 ..................................... 365 8.3.6.4 Resistência à flambagem por cisalhamento – item 5.6 ................................. 367 8.3.6.4.1 Método simples pós-crítico- item 5.6.3 ......................................................... 367 8.3.6.4.2 Método do campo de tração- item 5.6.4 ........................................................ 369 8.3.6.5 Interação entre força cortante, momento fletor e força axial - item 5.6.7 ..... 372 8.3.6.5.1 Método simples pós-crítico- item 5.6.7.2 ...................................................... 372 8.3.6.5.2 Método do campo de tração- item 5.6.7.3 ..................................................... 373 9 RESULTADOS E QUADROS COMPARATIVOS ................................. 375 9.1 RESULTADOS OBTIDOS DO MOMENTO FLETOR RESISTENTE
CARACTERÍSTICO PELAS NORMAS PARA OS EXEMPLOS ANALISADOS............................................................................................... 375
9.1.1 Exemplo 1 ..................................................................................................... 375 9.1.2 Exemplo 2 ..................................................................................................... 376 9.1.3 Exemplo 3 ..................................................................................................... 377
9.2 RESULTADOS OBTIDOS DA FORÇA CORTANTE RESISTENTE CARACTERÍSTICA PELAS NORMAS PARA OS EXEMPLOS ANALISADOS .............................................................................................. 378
9.2.1 Flambagem elástica sob cisalhamento puro .............................................. 378 9.2.1.1 Exemplo 1 ...................................................................................................... 379 9.2.1.2 Exemplo 2 ...................................................................................................... 379 9.2.1.3 Exemplo 3 ...................................................................................................... 380 9.2.2 Flambagem inelástica sob cisalhamento puro ........................................... 381 9.2.2.1 Exemplo 1 ...................................................................................................... 381 9.2.2.2 Exemplo 2 ...................................................................................................... 381 9.2.2.3 Exemplo 3 ...................................................................................................... 382 9.2.3 Resistência nominal ao cisalhamento incluindo a ação do campo de
tração ............................................................................................................ 382 9.2.3.1 Exemplo 1 ...................................................................................................... 382 9.2.3.2 Exemplo 2 ...................................................................................................... 383 9.2.3.3 Exemplo 3 ...................................................................................................... 384 9.3 RESULTADOS OBTIDOS PELAS TEORIAS PARA OS EXEMPLOS
ANALISADOS .............................................................................................. 385 9.3.1 Teoria de JUHÁS (2001) ............................................................................. 386 9.3.2 Teoria de BLEICH (1952) ........................................................................... 388 9.3.3 Teoria de YU (1991) .................................................................................... 388 9.3.4 Teoria de HÖGLUND (1998) ...................................................................... 389 10 CONCLUSÕES E COMENTÁRIOS ........................................................ 390 10.1 CONCLUSÕES GERAIS .............................................................................. 390 10.1.1 Sobre os exemplos analisados ..................................................................... 390 10.1.1.1 Exemplo 1 ...................................................................................................... 390 10.1.1.2 Exemplo 2 ...................................................................................................... 391 10.1.1.3 Exemplo 3 ...................................................................................................... 392 10.1.2 Sobre as normas utilizadas ......................................................................... 393 10.1.2.1 LRFD (AISC, 1994) ...................................................................................... 393 10.1.2.2 NBR 8800 (ABNT, 1986) ............................................................................. 393 10.1.2.3 PNBR 8800 (ABNT, 2003) ........................................................................... 393 10.1.2.4 PNBR 8800 (ABNT, 2007) ........................................................................... 393 10.1.2.5 Eurocode 3 (CEN, 1992) ............................................................................... 394 10.1.3 Sobre as teorias utilizadas ........................................................................... 395 10.1.3.1 Teoria de JUHÁS (2001) ............................................................................... 395 10.1.3.2 Teoria de BLEICH (1952) ............................................................................. 395 10.1.3.3 Teoria de YU (1991) ...................................................................................... 395 10.1.3.4 Teoria de HÖGLUND (1998) ........................................................................ 395 10.2 CONCLUSÕES SOBRE OS RESULTADOS OBTIDOS PELAS
NORMAS PARA OS EXEMPLOS ANALISADOS .................................... 396 10.2.1 Momento fletor resistente característico ................................................... 396 10.2.1.1 Exemplo 1 ...................................................................................................... 396 10.2.1.2 Exemplo 2 ...................................................................................................... 397 10.2.1.3 Exemplo 3 ...................................................................................................... 398 10.2.2 Força cortante resistente característica ..................................................... 399 10.2.2.1 Flambagem elástica sob cisalhamento puro 399 10.2.2.1.1 Exemplo 1 ...................................................................................................... 400 10.2.2.1.2 Exemplo 2 ...................................................................................................... 401
10.2.2.1.3 Exemplo 3 ...................................................................................................... 402 10.2.2.2 Flambagem inelástica sob cisalhamento puro ............................................... 403 10.2.2.2.1 Exemplo 1 ...................................................................................................... 403 10.2.2.2.2 Exemplo 2 ...................................................................................................... 403 10.2.2.2.3 Exemplo 3 ...................................................................................................... 403 10.2.2.3 Resistência nominal ao cisalhamento incluindo a ação do campo de tração . 404 10.2.2.3.1 Exemplo 1 ...................................................................................................... 405 10.2.2.3.2 Exemplo 2 ...................................................................................................... 406 10.2.2.3.3 Exemplo 3 ...................................................................................................... 408 10.3 CONCLUSÕES SOBRE OS RESULTADOS OBTIDOS PELAS
TEORIAS PARA OS EXEMPLOS ANALISADOS .................................... 411 10.3.1 Teoria de JUHÁS (2001) ............................................................................. 412 10.3.1.1 Exemplo 1 ...................................................................................................... 412 10.3.1.2 Exemplo 2 ...................................................................................................... 412 10.3.1.3 Exemplo 3 ...................................................................................................... 412 10.3.2 Teoria de BLEICH (1952) ........................................................................... 413 10.3.2.1 Exemplo 1 ...................................................................................................... 413 10.3.2.2 Exemplo 2 ...................................................................................................... 414 10.3.2.3 Exemplo 3 ...................................................................................................... 415 10.3.3 Teoria de YU (1991) .................................................................................... 415 10.3.3.1 Exemplo 1 ...................................................................................................... 415 10.3.3.2 Exemplo 2 ...................................................................................................... 416 10.3.3.3 Exemplo 3 ...................................................................................................... 417 10.3.4 Teoria de HÖGLUND (1998) ...................................................................... 418 10.3.4.1 Exemplo 1 ...................................................................................................... 418 10.3.4.2 Exemplo 2 ...................................................................................................... 419 10.3.4.3 Exemplo 3 ...................................................................................................... 420 10.4 RECOMENDAÇÕES PARA FUTUROS TRABALHOS E PESQUISAS .. 421 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ………………………………….. 423 ANEXOS A CRITÉRIOS NORMATIVOS PARA O CÁLCULO DO MOMENTO
FLETOR RESISTENTE CARACTERÍSTICO ....................................... 428 A.1 SEÇÕES COMPACTAS ............................................................................... 428 A.1.1 Critérios utilizados pela LRFD (AISC, 1994) ........................................... 428 A.1.2 Critérios utilizados pela NBR 8800 (ABNT, 1986) ................................... 431 A.1.3 Critérios utilizados pela PNBR 8800 (ABNT, 2003) ................................. 432 A.1.4 Critérios utilizados pela PNBR 8800 (ABNT, 2007) ................................. 434 A.1.5 Critérios utilizados pelo Eurocode 3 (CEN, 1992) .................................... 435 A.2 SEÇÕES NÃO-COMPACTAS ..................................................................... 436 A.2.1 Critérios utilizados pela LRFD (AISC, 1994) ........................................... 436 A.2.2 Critérios utilizados pela NBR 8800 (ABNT, 1986) ................................... 438 A.2.3 Critérios utilizados pela PNBR 8800 (ABNT, 2003) ................................. 440 A.2.4 Critérios utilizados pela PNBR 8800 (ABNT, 2007) ................................. 441 A.2.5 Critérios utilizados pelo Eurocode 3 (CEN, 1992) .................................... 443 A.3 SEÇÕES ESBELTAS .................................................................................... 444 A.3.1 Critérios utilizados pela LRFD (AISC, 1994) ........................................... 444 A.3.2 Critérios utilizados pela NBR 8800 (ABNT, 1986) ................................... 446
A.3.3 Critérios utilizados pela PNBR 8800 (ABNT, 2003) ................................. 447 A.3.4 Critérios utilizados pela PNBR 8800 (ABNT, 2007) ................................. 448 A.3.5 Critérios utilizados pelo Eurocode 3 (CEN, 1992) .................................... 448 B CRITÉRIOS NORMATIVOS PARA O CÁLCULO DA FORÇA
CORTANTE RESISTENTE CARACTERÍSTICA ................................. 450 B.1 FLAMBAGEM ELÁSTICA SOB CISALHAMENTO PURO .................... 450 B.1.1 Critérios utilizados pela LRFD (AISC, 1994) ........................................... 451 B.1.2 Critérios utilizados pela NBR 8800 (ABNT, 1986) ................................... 452 B.1.3 Critérios utilizados pela PNBR 8800 (ABNT, 2003) ................................. 453 B.1.4 Critérios utilizados pela PNBR 8800 (ABNT, 2007) 454 B.1.5 Critérios utilizados pelo Eurocode 3 (CEN, 1992) .................................... 456 B.2 FLAMBAGEM INELÁSTICA SOB CISALHAMENTO PURO ................ 456 B.2.1 Critérios utilizados pela LRFD (AISC, 1994) ........................................... 459 B.2.2 Critérios utilizados pela NBR 8800 (ABNT, 1986) ................................... 459 B.2.3 Critérios utilizados pela PNBR 8800 (ABNT, 2003) ................................. 460 B.2.4 Critérios utilizados pela PNBR 8800 (ABNT, 2007) ................................. 461 B.2.5 Critérios utilizados pelo Eurocode 3 (CEN, 1992) .................................... 462 B.3 RESISTÊNCIA NOMINAL AO CISALHAMENTO INCLUINDO A
AÇÃO DO CAMPO DE TRAÇÃO .............................................................. 463 B.3.1 Critérios utilizados pela LRFD (AISC, 1994) ........................................... 466 B.3.2 Critérios utilizados pela NBR 8800 (ABNT, 1986) ................................... 467 B.3.3 Critérios utilizados pela PNBR 8800 (ABNT, 2003) ................................. 470 B.3.4 Critérios utilizados pela PNBR 8800 (ABNT, 2007) ................................. 471 B.3.5 Critérios utilizados pelo Eurocode 3 (CEN, 1992) .................................... 471 B.3.5.1 Análise da parcela da ação do campo de tração utilizada pelo
Eurocode 3 ..................................................................................................... tfV
473 C ANÁLISE DAS TEORIAS UTILIZADAS ................................................ 476 C.1 TEORIA DE JUHÁS (2001) ......................................................................... 476 C.2 TEORIA DE BLEICH (1952) ....................................................................... 476 C.3 TEORIA DE YU (1991) ................................................................................ 477 C.3.1 Flambagem elástica sob cisalhamento puro .............................................. 477 C.3.2 Flambagem inelástica sob cisalhamento puro ........................................... 479 C.4 TEORIA DE HÖGLUND (1998) 480 C.4.1 Flambagem elástica sob cisalhamento puro .............................................. 481 C.4.2 Flambagem inelástica sob cisalhamento puro ........................................... 482
Dados Internacionais de Catalogação-na-Publicação (CIP)
(GPT/BC/UFG)
Fernandes, Rodrigo. F363c Critérios normativos sobre influência da relação Aw /Af e esbel- tez de alma no cálculo da resistência à flexão de vigas esbeltas em elementos de estruturas de aço [manuscrito] / Rodrigo Fernandes. – 2008. 483 f.: il., figs., tabs. Orientador: Prof.Dr. Orlando Ferreira Gomes; Co-orientador: Prof. Dr. Edgar Bacarji.
Dissertação (Mestrado) – Universidade Federal de Goiás, Escola de Engenharia Civil, 2008. Bibliografia: f.423-427. Inclui listas de figuras, tabelas, abreviaturas e siglas e de símbo- los. 1. Aço – Estruturas 3. Engenharia de estruturas 4. Vigas esbeltas 5. Esbeltez (estruturas) - Parâmetros. 6. Flambagem (mecânica) I. Gomes, Orlando Ferreira. II. Bacarji, Edgar III. Universidade Federal de Goiás, Escola de Engenharia Civil IV. Título.
CDU: 624.014.2
36
1 INTRODUÇÃO
1.1 Aspectos gerais
As vigas esbeltas da atualidade serão o objeto de estudo deste trabalho, para se
mostrar os tipos utilizados nas estruturas de aço e as razões para suas proporções esbeltas
inerentes. Seu comportamento será descrito com particular ênfase nas diferentes formas de
flambagem que podem ocorrer. A base geral do projeto de uma viga esbelta será discutida de
um modo simplificado, como uma previsão para uma apresentação mais detalhada nos
capítulos 7 a 10. As ações de pós-flambagem e do campo de tração são introduzidas e os
papéis dos principais componentes de uma viga esbelta identificados.
Vigas esbeltas são normalmente fabricadas pela união, feita através de solda, de
duas chapas de mesa a uma chapa de alma. Tais vigas são capazes de suportar grandes cargas
vencendo vãos mais longos que geralmente é possível usando as típicas seções laminadas,
soldadas ou vigas mistas. Vigas esbeltas são tipicamente usadas como vigas de pavimentos de
grandes vãos em construções, como vigas de ponte, e como vigas de gruas em estruturas
industriais. As vigas esbeltas foram muito utilizadas em pontes de vias férreas durante o
período de 1870 a 1900, utilizando chapas rebitadas compostas de cantoneiras conectadas à
chapa da alma com ou sem chapas de cobertura das mesas, nos Estados Unidos, com vãos
entre 15 e 45 m.
No início dos anos de 1950, quando a solda se tornou amplamente usada (devido à
melhoria na qualidade da soldagem e economia na fabricação resultantes do incrementado uso
de equipamentos automáticos), vigas esbeltas soldadas compostas de três chapas
gradualmente tomaram lugar das vigas rebitadas. Durante este período, entretanto, parafusos
de alta resistência gradualmente deslocaram os rebites do campo da construção. Desde as
proximidades dos anos de 1960 as vigas esbeltas passaram a ser soldadas, usando duas chapas
de mesa e uma chapa de alma para constituir uma seção I.
Onde praticamente todas as vigas rebitadas eram compostas de chapas e
componentes em ângulo tendo a mesma resistência ao escoamento dos materiais, a tendência
agora com as vigas soldadas é combinar materiais de diferentes resistências. A mudança de
materiais em localizações variadas ao longo do vão de forma que materiais de mais alta
resistência estejam disponíveis em locais de máximo momento e/ou cisalhamento, ou o uso de
materiais de diferentes resistências para mesas e para almas (vigas híbridas), possibilita a
formação de vigas mais eficientes e econômicas.
37
Para melhor entendimento sobre o comportamento das vigas esbeltas, aços de alta
resistência e técnicas de soldagem melhoradas são combinadas para fazer vigas esbeltas
econômicas em muitas situações que antigamente se pensava serem ideais para treliças.
Geralmente, vãos simples de 20 a 50 m têm sido tradicionalmente o domínio das vigas
esbeltas. Para pontes, vãos contínuos freqüentemente usando variações nas alturas das seções
transversais, nas regiões dos apoios, são usados para vãos de 27 m ou mais. Existem várias
vigas esbeltas de três vãos contínuos nos Estados Unidos com os vãos centrais excedendo 120
m, e se deseja que vãos mais longos sejam possíveis no futuro. A viga esbelta mais longa do
mundo é a estrutura de três vãos contínuos sobre o Rio Save em Belgrado, Iugoslávia, com
vãos de 75-260-75 m. Esta é uma dupla viga caixão com sua seção transversal variando em
altura, de 4,5 m no meio dos vãos para 9,6 m nos apoios.
As duas aproximações propostas pelas normas para o cálculo da força cortante
resistente são o método simplificado pós-crítico, que é geralmente aplicável, e o método do
campo de tração que confere um significante acréscimo de resistência a cargas por levar em
conta a resistência pós-flambagem das vigas.
Esta parte da introdução tem o objetivo de completar a discussão do projeto de
uma viga esbelta considerando aspectos de um projeto detalhado. Por exemplo, o
desenvolvimento da ação pós-flambagem na chapa da alma, somente pode ocorrer quando os
elementos no contorno dessa chapa são aptos a fornecer uma adequada ancoragem para as
forças do campo de tração desenvolvidas no interior da chapa. Estes elementos podem estar
na forma de enrijecedores transversais intermediários ou colunas de extremidades.
Para alcançar um projeto efetivo, ou seja, uma viga esbelta de alta proporção
resistência/peso, é usualmente necessário prover enrijecedores transversais intermediários da
alma. Enrijecedores transversais desempenham um importante papel em permitir que a viga
esbelta alcance uma resistência última de carregamento total. Em primeiro lugar, eles
aumentam a resistência à flambagem da alma; em segundo lugar, eles devem continuar a
permanecer efetivos após a alma flambar, para prover ancoragem para o campo de tração;
finalmente, eles devem prevenir qualquer tendência das chapas das mesas se moverem uma
em relação à outra.
Chapas de alma esbeltas podem ser reforçadas com enrijecedores transversais,
bem como longitudinais, para aumentar a proporção resistência/peso das vigas esbeltas. A
principal função dos enrijecedores longitudinais é de aumentar a resistência à flambagem com
respeito tanto a cargas de cisalhamento como de flexão. Um enrijecedor efetivo irá
38
permanecer reto, com isso, sub-dividindo o painel da alma e limitando a flambagem a sub-
painéis menores. O acréscimo resultante na resistência última da viga pode ser significante.
Qualquer seção transversal de uma viga esbelta é normalmente sujeita à
combinação de força cortante e momento fletor. A função primária das chapas das mesas do
topo e do fundo da viga é de resistir às forças axiais compressiva e de tração que surgem do
momento fletor aplicado. A função básica da chapa da alma é resistir à força cortante
aplicada.
As vigas esbeltas são normalmente projetadas para suportar cargas pesadas sobre
vãos longos em situações onde é necessário produzir um eficiente projeto para fornecer às
vigas alta proporção de resistência por peso. A procura por um projeto eficiente produz
requerimentos conflitantes, particularmente no caso da chapa da alma. Para produzir mais
baixa força axial na mesa para um dado momento fletor, a altura da alma deve ser a maior
possível e para reduzir o peso próprio, a espessura da alma deve ser reduzida ao mínimo.
Como conseqüência, em muitas instâncias a chapa da alma é de proporções esbeltas e com
isso é inclinada a flambar com valores relativamente baixos do cortante aplicado. Um conflito
similar pode existir com as proporções das mesas. A área da mesa requerida é definida pela
força da mesa e a tensão de escoamento do material.
Elementos de chapas não entram em colapso quando flambam, eles podem possuir
uma substancial reserva de resistência pós-flambagem. Para um projeto eficiente, qualquer
cálculo relativo ao estado limite último deve levar a ação pós-flambagem em conta. Este é
particularmente o caso da chapa de alma em cisalhamento onde a resistência pós-flambagem
que surge da ação do campo de tração pode ser bem significante.
1.2 Análise de alguns projetos de vigas esbeltas
Dois projetos de vigas esbeltas serão apresentados a seguir. Estes foram fornecidos
pela empresa de cálculo estrutural e execução de estruturas de pontes, RMG Engenharia, sob
responsabilidade técnica do engenheiro civil Dr. Fausto Antônio Muñoz Muñiz, com sede em
Belo Horizonte – Minas Gerais, os quais foram desenvolvidos nesta empresa, a qual fez a
anotação de responsabilidade técnica do projeto estrutural e também de sua execução junto ao
CREA. Em visita à sede da empresa RMG Engenharia, o engenheiro citado me recebeu em seu
escritório, onde eu lhe comuniquei de que estava desenvolvendo uma dissertação de mestrado
sobre vigas esbeltas. Dr. Fausto fez desenhos como demonstração de alguns tipos de estruturas
39
cuja parte principal são vigas esbeltas. A seguir serão apresentados os desenhos citados. Na
figura 1.2.1 podemos observar alguns tipos de perfis estruturais soldados em alma cheia.
Mesa(a)
soldad h
wt
Alma
ft
(b) (c)
Açoespecial
lamela
(d) Figura 1.2.1 – Perfis Soldados em alma cheia.
viga de rolamento(esbelta)
ponte rolante (2000 kN; 5000 kN)
Figura 1.2.2 – Viga de Rolamento em Edifícios Industriais.
Dr. Fausto fez referência à norma alemã do instituto DEUTSCHES INSTITUT
FÜR NORMUNG (DIN) (1990), DIN 18800 Teil 3: Stahlbauten, Stabilitätsfälle,
Plattenbeulen, que, segundo ele, é bastante utilizada em seu escritório, no cálculo de vigas
esbeltas. A primeira estrutura apresentada foi uma viga de rolamento para edifícios industriais,
cujo esquema está representado na figura 1.2.2.
Este é um tipo de estrutura onde a viga principal, denominada de viga de
rolamento, está sujeita a carga concentrada móvel. Foi sugerida a norma americana
40
AMERICAN INSTITUTE OF STEEL CONSTRUCTION (AISC) (1994), manual Load and
Resistance Factor Design (LRFD) Specification for Structural Steel Buildings para o cálculo
dessa estrutura. Este cálculo requer a verificação da flambagem local da alma sob carga
concentrada, que leva ao uso de enrijecedores longitudinais, como mostrado na figura 1.2.3.
painel parcial
Figura 1.2.3 – Carregamento móvel indica a necessidade de verificação de flambagem da alma sob carga concentrada.
Para a categoria de Ponte Mista Rodoviária, é mostrado um esquema de viga
esbelta/mista, que consta na figura 1.2.4, onde a ligação entre a viga metálica e a laje de
concreto armado é feita através de conectores de cisalhamento soldados ao flange e embebidos
viga esbelta/mista
laje Deformação
Gradiente detemperatura
lenta
Retração noconcreto
conectores decisalhamento
Figura 1.2.4 – Esquema de Ponte Mista Rodoviária, segundo a AASHTO (1983).
no concreto, onde se deve levar em conta o efeito de retração e também de deformação lenta
no concreto. Para este caso foi sugerida a norma da associação americana AMERICAN
ASSOCIATION OF STATE HIGHWAY AND TRANSPORTATION OFFICIALS
41
(AASHTO) (1983) - AASHTO Standard Specifications for Highway Bridges para o cálculo e
verificação dessa estrutura. A laje de concreto dá estabilidade ao conjunto estrutural, na
medida em que ela confere uma ação de grelha, distribuindo a carga para as vigas em conjunto,
reduzindo os efeitos das cargas concentradas, além de contribuírem na absorção da força
compressiva proveniente do momento fletor favorecendo uma redução na seção da mesa supe-
300 - 400 mm
x
y y
10000 mm
12.5 mm2000
viga esbelta
ortotrópico
x
tabuleiro de aço/
Figura 1.2.5 – Ponte com tabuleiro de aço – ortotrópico.
rior da viga esbelta.
Existe também a ponte com tabuleiro de aço/ortotrópico, cujo esquema consta na
figura 1.2.5, que consiste em um tabuleiro que tem a função de mesa superior de vigas I em
aço que são dispostas em duas direções e se apóiam nas vigas principais, cuja característica é
uma elevada proporção de esbeltez, direcionadas no eixo longitudinal da pista, que recebe as
cargas das vigas dispostas em grelha. O tabuleiro de aço trabalha como uma placa enrijecida
com enrijecedores em somente uma face, dispostos nas duas direções, sujeita a tensões
compressivas nos seus quatro lados, constituindo um modelo estrutural bastante resistente.
Para a categoria de Ponte Ferroviária um esquema consta na figura 1.2.6, que
ilustra os elementos principais de um projeto dessa estrutura. Os trilhos descarregam em vigas
na direção paralela ao eixo da ponte, estas descarregam em vigas transversais, que por sua vez,
descarregam em vigas esbeltas, que podem se estender por longos vãos.
Outro esquema de ponte ferroviária/mista, que pode ser vista na figura 1.2.7, onde
o concreto confere uma resistência adicional ao trabalho das mesas superiores, de forma que
42
tensões compressivas que seriam distribuídas nas mesas são transferidas à peça de concreto, e
este efeito deve ser levado em conta nos cálculos da estrutura. Este tipo de estrutura deve dis-
vigas esbeltas Figura 1.2.6 – Esquema de ponte ferroviária.
por de contenções laterais regularmente espaçadas para dar estabilidade lateral à estrutura, bem
como conferir uma ação de grelha na distribuição das cargas, além de dar estabilidade torsional
à estrutura como um todo.
1800 mm
Figura 1.2.7 – Esquema de ponte ferroviária/mista.
43
1.2.1 Viaduto de Anápolis – Goiás
Serão apresentados alguns elementos do projeto do viaduto construído e
recentemente inaugurado no município de Anápolis – Goiás. Este viaduto foi projetado com
aço de alta resistência, tipo USI-SAC 350, para as chapas da alma e das mesas. A estrutura
Figura 1.2.8 (RMG Engenharia, 2006) – Fotografias aéreas do viaduto de Anápolis –Goiás, em fase de construção.
44
completa é constituída de duas pistas, onde cada pista constitui uma estrutura independente da
outra, de acordo com a figura 1.2.8, que mostra fotografias aéreas do viaduto em construção.
Trata-se de um viaduto rodoviário em vigas de chapas metálicas, enrijecidas por enrijecedores
transversais, onde se tem um conjunto de seis vigas esbeltas que apóiam e são ligadas por uma
laje de concreto, o que o enquadra em uma categoria de ponte mista rodoviária. Serão
apresentados alguns dos elementos do projeto do anel externo do viaduto, através das figuras a
seguir. Esta estrutura é horizontalmente curvada, ou seja, apresenta um raio de curvatura de
200 metros em seu eixo longitudinal, e também apresenta uma diferença de altura nas cotas
das pistas, onde o valor máximo da diferença de nível varia em torno de 5m, levando em conta
o comprimento total do anel.
A AMERICAN ASSOCIATION OF STATE HIGHWAY AND
TRANSPORTATION OFFICIALS (AASHTO) lançou recentemente, no ano de 2003, o guia
AASHTO Guide Specifications for Horizontally Curved Steel Girder Highway Bridges
with Design Examples for I-Girder and Box-Girder Bridges (AASHTO, 2003), que traz
considerações para o cálculo de estruturas como o viaduto de Anápolis, vigas tipo I
horizontalmente curvadas. O conjunto de apoio dessa estrutura metálica é constituído de sete
Figura 1.2.9 (RMG Engenharia, 2006) – Planta geral do anel externo do viaduto.
pórticos, onde cada pórtico é composto de dois pilares ligados em sua extremidade por uma
viga que apóia o conjunto de seis vigas metálicas. A fundação dos pilares é feita por blocos de
concreto armado sobre sete estacas, para cada pilar. Estes pórticos foram locados e construídos
45
obedecendo a curvatura do eixo, e cada vão entre os pilares é ligado por vigas que são
simplesmente apoiadas, sem ligação com as vigas dos vãos adjacentes, de forma que todas as
vigas, de um apoio a outro adjacente, são simplesmente apoiadas, não tendo qualquer ligação
com as vigas adjacentes. A figura 1.2.9 mostra a planta geral de locação dos pilares e a
numeração dos vãos e das vigas do anel externo do viaduto. Cada vão tem aproximadamente
30 metros de comprimento, sendo que somente os vãos 1 e 8 da figura 1.2.9 são retilíneos,
todos os outros vãos são horizontalmente curvados.
A figura 1.2.10 apresenta o projeto da planta do vão 3 mostrado na figura 1.2.9.
Cada vão é constituído por três unidades, as quais são fabricadas fora do local da obra e as
unidades são unidas por solda no local da obra, formando um vão.
Figura 1.2.10 (RMG Engenharia, 2006) – Planta de um dos vãos do viaduto.
A figura 1.2.11 mostra a elevação ou vista lateral do vão 3 apresentado na figura
1.2.10. Observando o projeto de elevação da figura 1.2.11 pode-se notar a diferença de nível
entre os apoios, nesse caso os pórticos P20 e P30, cujo projeto de locação consta na figura
1.2.9, e também pode-se observar os enrijecedores transversais distribuídos ao longo do vão.
Estes enrijecedores estão na posição vertical, formando ângulos diferentes de ângulos retos
entre os enrijecedores transversais e as mesas.
A figura 1.2.12 mostra o desenho da seção transversal ao eixo do viaduto no
apoio. Pode-se observar nesta figura o conjunto de seis vigas metálicas apoiadas por uma viga
de concreto armado, inclinada. Nos pontos de apoio das vigas metálicas, é feita uma espécie de
cunha com o próprio concreto, para que as vigas metálicas fiquem apoiadas com o eixo da
46
seção da chapa da alma na vertical. Sobre esta cunha de concreto armado, se tem bases de
placas de neoprene, para apoiar as extremidades das vigas metálicas.
Figura 1.2.11 (RMG Engenharia, 2006) – Elevação do vão.
As vigas são unidas lateralmente nos apoios e a cada terça parte dos vãos por um
sistema de treliças, que pode ser visto na figura 1.2.12, que tem a função principal de dar
estabilidade lateral, e também a função de distribuir as cargas aplicadas, desempenhando uma
Figura 1.2.12 (RMG Engenharia, 2006) – Desenho da seção transversal no apoio.
função de grelha. Além da contenção lateral com sistema de treliça metálica, outro elemento
que ajuda na estabilidade lateral e também desempenha o papel de grelha na distribuição dos
47
esforços é a laje de concreto armado, concretada sobre as mesas superiores das vigas metálicas
(ver seção transversal no apoio, figura 1.2.12). Esta laje de concreto armado tem uma
espessura de 20 cm, e é armada nas duas direções. A ligação entre a laje de concreto armado e
as mesas superiores das vigas é feita através de conectores de cisalhamento, em perfil U,
soldadas às mesas superiores, regularmente espaçados, conforme pode-se observar no desenho
da figura 1.2.13. Nesta figura está representada a vista lateral da unidade III descrita no projeto
7 11
9 09
1104
1111
9 16
7 18
Figura 1.2.13 (RMG Engenharia, 2006) – Desenho da vista lateral e cortes da unidade III da viga metálica esbelta.
da figura 1.2.9. Na vista lateral da unidade III, pode-se observar os enrijecedores transversais
ao longo do vão e também os enrijecedores transversais no apoio.
Os cortes C, D, F e G, representados na figura 1.2.13, estão desenhados na figura
1.2.14, que mostram as seções das vigas esbeltas e os enrijecedores transversais. A chapa da
alma tem espessura de 10 mm e altura 1456 mm, e as chapas das mesas são de 20 x 500 mm
para as mesas superiores e de 25 x 500 mm para as mesas inferiores.
A razão da diferença entre as chapas das mesas é a contribuição da laje de concreto
armado na resistência aos esforços de compressão nas mesas superiores, provocadas pelo
momento fletor, provocando a diminuição da seção da mesa inferior, por levar em conta as
propriedades de estrutura mista no cálculo estrutural. A figura 1.2.15 mostra o desenho da
seção transversal do viaduto mo meio do vão, onde se pode ver o sistema treliçado de
contenção lateral. Nos desenhos das seções transversais do viaduto, no apoio e no meio do vão,
48
figuras 1.2.12 e 1.2.15, não estão desenhadas as seções das lajes sobre as mesas superiores das
vigas metálicas. Estes projetos das lajes estão contidos em outras pranchas do projeto. Na
figura 1.2.15 estão desenhados os detalhes das ligações nos nós das treliças.
Figura 1.2.14 (RMG Engenharia, 2006) – Desenho com cotas das seções transversais das vigas esbeltas metálicas.
Figura 1.2.15 (RMG Engenharia, 2006) – Desenho da seção transversal no meio do vão e detalhamento das ligações da treliça nas vigas.
49
1.2.2 Viaduto do contorno de Coronel Fabriciano – Belo Horizonte – Minas Gerais
Este é um viaduto também construído com vigas esbeltas, enquadrado na categoria
de ponte mista rodoviária. A figura 1.2.16 mostra o desenho da seção transversal do viaduto no
apoio. Pode-se observar nesta figura que a estrutura é constituída de três vigas esbeltas que
apóiam uma laje de concreto armado que forma a pista. Estas vigas estão apoiadas sobre vigas
de concreto armado. Sob as vigas nos apoios pode-se observar que existem placas de neoprene
que têm a função de servir como elemento de contato entre as vigas metálicas e a base de
concreto, contribuindo na absorção e distribuição das tensões na região de contato entre as
estruturas onde a base de placa de neoprene acompanha os deslocamentos verticais na região
de contato entre a base e a viga, através da compatibilização das deformações que o material
favorece, na região interna da placa de neoprene, cujo desenho se encontra na figura 1.2.22. A
contenção lateral das vigas nos apoios e no meio dos vãos é feita através de vigas menores que
ligam transversalmente as três vigas, que podem ser observadas na figura 1.2.16. As três vigas
esbeltas longitudinais são vigas biapoiadas que se estendem por um vão de 26 metros de um
apoio ao outro, conforme figura 1.2.18. A figura 1.2.17 mostra a seção transversal no apoio 2,
onde pode-se notar que é praticamente o mesmo sistema transversal e são contidas lateral-
Figura 1.2.16 (RMG Engenharia, 2006) – Seção transversal no apoio 1.
mente a cada terça parte do vão e nos apoios, de acordo com a figura 1.2.18. Na figura 1.2.18
pode-se observar também o contraventamento horizontal no vão, ligando as vigas de contenção
50
lateral. Nesta figura pode-se observar também a elevação ou vista lateral da viga onde pode-se
ver a disposição dos enrijecedores transversais e longitudinais, onde pode-se perceber que nos
painéis finais da chapa da alma adjacentes aos dois apoios têm três enrijecedores longitudinais
e nos painéis do meio do vão apresentam dois enrijecedores longitudinais, cuja localização é a
zona comprimida da chapa da alma. A figura 1.2.19 mostra a vista lateral da unidade II
representada na figura 1.2.18, mais detalhadamente, cotando os espaçamentos entre os
enrijecedores transversais e as alturas dos enrijecedores longitudinais. Também na figura
1.2.19 pode-se notar que os enrijecedores, tanto os transversais quanto os longitudinais são
colocados em apenas um lado da alma. Na figura 1.2.19 pode-se ver os painéis da chapa da
alma da viga. A chapa da alma tem uma altura livre, que é a distância entre as faces internas
das mesas, de 1956 mm e os enrijecedores transversais estão espaçados de 2887 mm. Os
enrijecedores longitudinais, observando a figura 1.2.19 foram soldados, nos painéis que
possuem dois enrijecedores longitudinais, o de baixo a uma altura de 1006 mm e o de cima a
uma altura de 500 mm acima do de baixo. Nos painéis finais, adjacentes aos apoios, foram
colocados três enrijecedores longitudinais, onde o terceiro foi colocado dividindo o painel de
1006 x 2887 mm em dois painéis de 506 x 2887 mm.
Figura 1.2.17 (RMG Engenharia, 2006) – Seção transversal no apoio 2.
Da figura 1.2.16, pode-se notar que o apoio da viga metálica do centro apresenta uma
elevação de 105 mm para se ter uma inclinação de 3 % para cada lado relativo ao eixo da pis-
51
Figura 1.2.18 (RMG Engenharia, 2006) – Projeto do contraventamento horizontal no vão, elevação e cortes.
Figura 1.2.19 (RMG Engenharia, 2006) – Elevação da viga referente à unidade II e cortes longitudinais.
ta, que coincide com o eixo da chapa da alma da viga do centro. A laje de concreto armado
tem uma espessura de 25 cm e é armada nas duas direções, ligadas às vigas metálicas através
de conectores de cisalhamento, mostrados na figura 1.2.18. A laje desempenha funções
52
importantes na estrutura global, como a redistribuição dos esforços sobre o conjunto das três
vigas, através da ação de grelha e outra função desempenhada pela laje é a absorção de parte
Figura 1.2.20 (RMG Engenharia, 2006) – Planta de detalhamento do contraventamento horizontal da unidade II no vão.
Figura 1.2.21 (RMG Engenharia, 2006) – Desenho da seção transversal das vigas esbeltas do viaduto, cotada em milímetros.
53
das forças longitudinais de compressão atuantes nas mesas superiores resultantes do binário
resistente ao momento fletor aplicado. Por esta razão, pode-se observar na figura 1.2.21, que
representa as seções transversais das vigas metálicas, que a mesa superior tem uma seção bem
menor que a mesa inferior. A figura 1.2.21 mostra a seção transversal das vigas esbeltas,
lembrando que as três vigas esbeltas do viaduto têm seções transversais iguais. Nesta figura
pode-se observar a disposição dos enrijecedores longitudinais e transversais na seção
transversal. As vigas de contenção lateral, que podem ser vistas nas figuras 1.2.16, 1.2.17 e
1.2.18, têm suas extremidades soldadas a estes enrijecedores, sendo que a alma destas vigas
coincide com os enrijecedores transversais e as mesas coincidem com os enrijecedores
longitudinais das vigas esbeltas, isto pode ser observado na elevação da unidade II da viga na
figura 1.2.19. A figura 1.2.22 mostra o detalhamento do apoio das vigas esbeltas nas suas
extremidades, detalhando a base de neoprene que serve de ligação entre as vigas metálicas e a
base de concreto no apoio.
Figura 1.2.22 (RMG Engenharia, 2006) – Desenho das bases de neoprene.
54
2 OBJETIVOS
Este trabalho de pesquisa tem por objetivo geral, realizar um estudo crítico das
metodologias de dimensionamento, atualmente utilizadas para o cálculo de vigas esbeltas.
2.1 Objetivos Específicos
• Comparar os resultados obtidos entre as normas americana, brasileira e
européia.
• Fazer um estudo comparativo entre as diversas metodologias de cálculo
apresentadas pelas normas citadas.
55
3 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
Neste trabalho, é feita uma descrição geral a respeito do comportamento de vigas
esbeltas. Para isto foram pesquisadas algumas fontes bibliográficas que apresentam análises
teóricas referentes ao projeto de dimensionamento desse tipo de estrutura.
3.1 Considerações iniciais
SALMON E JOHNSON (1996), fazem uma ampla abordagem dos aspectos
relacionados à análise de vigas esbeltas, conforme o conteúdo do capítulo 7. Expondo os
cálculos com base na norma americana, a publicação da quarta edição de seu livro reflete as
contínuas mudanças que ocorrem nos requisitos de projeto para aço estrutural,
particularmente a primeira significante atualização feita pelo instituto American Institute of
Steel Construction (AISC) do manual Load and Resistance Factor Design (LRFD)
Specification for Structural Steel Buildings. A presente prática de projeto, proposta por
SALMON E JOHNSON (1996), utiliza o conhecimento de mecânica dos materiais, análise
estrutural, estabilidade estrutural, em combinação com as nacionalmente reconhecidas regras
de projeto para segurança. As regras de projeto mais amplamente usadas são aquelas da
American Institute of Steel Construction (AISC), fornecidas no manual Load and Resistance
Factor Design (LRFD) Specification for Structural Steel Buildings.
SALMON E JOHNSON (1996) apresentam um detalhado roteiro de cálculo para
o projeto de vigas esbeltas metálicas, com base nos critérios adotados nos estados limites. Na
primeira etapa de seu trabalho, como se pode observar na figura 3.1.1, foi feita uma
apresentação gráfica da resistência nominal de momento versus a esbeltez, onde os valores
das esbeltezes para os estados limites de flexão, o de flambagem lateral com torção, o de
flambagem local da mesa e o de flambagem local da alma serão apresentados no capítulo 7
deste trabalho. Foi feita a observação de que a relação para a flambagem lateral com torção é
válida quando a seção é compacta, ou seja, quando esta é capaz de alcançar uma distribuição
de tensões totalmente plástica, levando em conta os estados limites de flambagem local da
alma e da mesa. Quando a seção é não-compacta, ou seja, quando os elementos comprimidos
atingem a resistência ao escoamento antes que a flambagem local ocorra, mas não resistem à
flambagem local inelástica na intensidade de tensão necessária para se alcançar uma
distribuição totalmente plástica de tensões, a resistência nominal de momento deve ser
56
determinada para os três estados limites, onde o menor desses valores é o que deve ser
considerado.
Não-compacta
M
Mr
p
p
Mn
Compacta
r
Esbelta
Figura 3.1.1 (SALMON E JOHNSON, 1996) – Gráfico da resistência nominal de momento versus o parâmetro de esbeltez.
O instituto AMERICAN INSTITUTE OF STEEL CONSTRUCTION (AISC)
(1994), que publicou a norma americana, através do manual Load and Resistance Factor
Design (LRFD) Specification for Structural Steel Buildings, apresenta especificações para
projeto de diversos tipos de estruturas em aço, inclusive as estruturas que são o objeto de
estudo deste trabalho: as vigas metálicas de alma esbelta de seção transversal I. Vigas esbeltas
metálicas de alma única, híbridas e não-híbridas de um único eixo de simetria ou de duplo
eixo de simetria, carregadas no plano da alma podem ser proporcionadas de acordo com as
prescrições do apêndice G da LRFD.
Esta norma fixa exigências e limitações para o cálculo de vigas de alma esbelta.
Na parte específica do tratamento de vigas esbeltas, mais precisamente o apêndice G desta
norma, se inicia um roteiro para cálculo de vigas esbeltas, onde o primeiro passo é a limitação
da relação máxima, que depende da relação a/h, entre o espaçamento dos enrijecedores
e a altura da alma, e que é função também da tensão de escoamento do material.
wt/h
A ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (ABNT) (1986),
lançou a NBR 8800/86 – Projeto e execução de estruturas de aço de edifícios (método dos
estados limites), a qual, baseada no método dos estados limites, fixa as condições exigíveis a
que devem obedecer o projeto, na execução e na inspeção de estruturas de aço para edifícios,
57
executados com perfis laminados ou soldados não híbridos e com ligações feitas por parafusos
ou soldas.
A ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (ABNT) (2003),
através do Projeto de Revisão da NBR 8800 – Projeto e execução de estruturas de aço e de
estruturas mistas aço-concreto de edifícios, que está em consulta pública, assim como a norma
americana, apresenta regras para projetos em estruturas de aço e também estruturas mistas
aço-concreto. Qualquer projeto, para ser executado em território nacional deve se adequar a
esta norma. Esta norma tem muitos aspectos semelhantes à norma americana, principalmente
na parte relativa a vigas esbeltas, onde foram reconhecidos diversos pontos em comum.
O anexo F da norma, que tem caráter normativo, intitulado “Momento fletor
resistente característico de vigas esbeltas”, faz considerações quanto à verificação do
parâmetro de esbeltez , fixando os valores máximo e mínimo para que uma viga se
enquadre na categoria de viga esbelta. A outra fase de verificação pela norma brasileira é
relacionada ao anexo G da norma, que tem o título “Força cortante resistente característica
incluindo o efeito do campo de tração”, onde é apresentado um roteiro de cálculo para se
obter a força cortante resistente característica de almas de seções I e H, prismáticas, fletidas
em relação ao eixo central de inércia perpendicular à(s) alma(s), incluindo o efeito do campo
de tração, onde são fornecidos os cálculos dos parâmetros de esbeltez . A força
cortante resistente característica é obtida com base nestes parâmetros, que dependem da
relação entre o espaçamento dos enrijecedores e a altura da alma, ou seja, a relação a/h.
wt/h=λ
rp λ e λ ,λ
RkV
A ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (ABNT) (2007),
lançou, em janeiro de 2007, o Projeto de Revisão da NBR 8800 – Projeto de estruturas de aço
e de estruturas mistas de aço e concreto de edifícios. Esta norma inclui pilares mistos, lajes
mistas e ligações mistas de aço e concreto. Alguns itens que constavam da NBR 8800/86 não
estão incluídos nesta norma, como as prescrições relacionadas ao dimensionamento de olhais
e à consideração do efeito do campo de tração na determinação da força cortante resistente de
vigas esbeltas.
O comitê europeu EUROPEAN COMMITTEE FOR STANDARDIZATION
(CEN) (1992) lançou o Eurocode 3: Design of steel structures – Part 1.1: General rules and
rules for buildings. Esta norma apresenta considerações para verificação de dimensões de
vigas esbeltas.
A comissão européia EUROPEAN STEEL DESIGN EDUCATION
PROGRAMME (ESDEP) (2002), também apresenta um roteiro de cálculo de vigas esbeltas,
58
desenvolvendo condições para o cálculo do momento fletor resistente e esforço cortante
resistente, incluindo a ação do campo de tração, de acordo com o Eurocode 3: Design of steel
structures.
NARAYANAN (1992 apud OWENS, KNOWLES E DOWLING, 1992), calculou
uma viga esbelta de acordo com as provisões contidas na BS 5950: Part 1 (BSI, 1990) e BS
5400: Part 3 (BSI, 1982). De acordo com NARAYANAN (1992 apud OWENS, KNOWLES
E DOWLING, 1992), vigas esbeltas são empregadas para suportar cargas verticais pesadas
sobre longos vãos: o momento fletor resultante é maior que a capacidade ao momento de
seções laminadas disponíveis. Em sua forma mais simplificada a viga esbelta é construída
constituindo-se de duas chapas de mesa, soldadas por filetes à chapa de alma formando a
seção I. A função primária das chapas de mesa do topo e do fundo é resistir as forças axiais
compressiva e de tração causadas pelo momento fletor aplicado; a principal função da alma é
resistir o cisalhamento. Na verdade esta partição de ações estruturais é usada como base para
projeto em alguns códigos de prática. Para um dado momento fletor as áreas das mesas
requeridas podem ser reduzidas ao se aumentar a distância entre elas. Então para um projeto
econômico, é vantajoso aumentar a distância entre as mesas. Para levar o peso próprio da viga
ao mínimo a espessura da alma deve ser reduzida ao passo que a altura aumenta, mas isto leva
as considerações de flambagem a serem mais significantes em vigas esbeltas do que em vigas
laminadas.
PFEIL (1989), na 5ª edição de seu livro, efetuou o cálculo de uma viga esbelta
com base nos critérios de dimensionamento da norma brasileira NB 14/86 e as correções da
norma NB 14 efetuadas em 1988.
DERANI (2000) fez algumas considerações sobre o comportamento plástico de
estruturas de seção I fletidas em relação ao eixo de maior inércia. De acordo com DERANI
(2000), para esforços solicitantes determinados pela análise plástica, a estrutura deve ter
contenção lateral de forma a impedir o deslocamento lateral e a torção nos locais de formação
de rótula plástica. A resistência de cálculo ( )dM ao momento fletor para vigas com contenção
lateral e para vigas cujas seções não se aplica o estado limite de flambagem lateral com torção
é:
d bM Mn= φ
onde e b 0.9φ =
ypln Zf=M=M
59
Z = Módulo Resistente Plástico relativo ao eixo de flexão
Para perfis I com dois eixos de simetria:
( ) ( )2fwfff t2/dttdtbZ −+−=
t
d tw
f
eixo x
bf
Figura 3.1.2 (DERANI, 2000) – Elementos para o cálculo do módulo plástico de seções I.
DREHMER (2005), em sua dissertação de mestrado, propõe a otimização de
estruturas metálicas formadas por perfis “I” soldados. Segundo DREHMER (2005), o objetivo
em muitos problemas de dimensionamentos ótimos de estruturas, é minimizar os custos ao
mesmo tempo em que satisfaz aos critérios de normas e especificações. Como o custo das
estruturas metálicas está diretamente ligado ao peso, foram efetuados em seu trabalho o
desenvolvimento e a implementação de uma formulação para a otimização de estruturas
formadas por perfis “I” soldados, fazendo a verificação conforme a norma brasileira NBR
8800/86. Em relação à pratica de dimensionamento, DREHMER (2005) observa que “o
dimensionamento de estruturas metálicas é geralmente desenvolvido na base da tentativa e
erro, baseado em especificações de cálculo e guiado pela experiência do engenheiro,
procurando sempre o menor custo da estrutura.”
3.2 Normas utilizadas
Neste trabalho foram selecionadas três diferentes normas para favorecer as
condições de análise dos critérios normativos. Serão apresentados a seguir os trechos
utilizados das normas selecionadas para o desenvolvimento do mesmo.
3.2.1 Load and Resistance Factor Design (LRFD) (AISC, 1994)
Apêndice G - Este apêndice se aplica para vigas de seção I com almas esbeltas.
60
3.2.1.1 Limitações – apêndice G1
Vigas esbeltas híbridas e não-híbridas de simetria dupla ou única de alma única
carregadas no plano da alma devem ser proporcionadas de acordo com as provisões deste
apêndice ou seção F2 – LRFD, providenciado que os seguintes limites sejam satisfeitos:
(a) Para a 1.5h≤ :
w yf
h 2000t f
≤ (A-G1-1)
(b) Para 5.1>ha
:
( )5.16FF14000
th
yfyfw +≤ (A-G1-2)
onde
a = distância livre entre enrijecedores transversais, in.
h = distância livre entre mesas menos o filete ou raio de canto para seções
laminadas; e para seções montadas, a distância entre as linhas das ligações
ou a distância livre entre as mesas quando soldas são usadas, in.
wt = espessura da alma, in.
yfF = mínima tensão de escoamento especificada da mesa, ksi.
.2.1.2 Resistência de projeto à flexão – apêndice G2
A resistência à flexão para vigas esbeltas deve ser
3
b nMφ , onde e é
o menor valor obtido de acordo com os estados limites de escoamento da m sa tracionada e
(A-G2-1)
(b) Para flambagem da mesa comprimida:
(A-G2-2)
b 0.90φ =
e
nM
flambagem da mesa comprimida. Para vigas com mesas desiguais, ver apêndice B5.1 para a
determinação de para o estado limite de flambagem local da alma.
(a) Para escoamento da mesa tracionada:
rλ
ytextn FRS=M
crePGxcn FRRS=M
61
onde
0.1F
970th
a3001200a
1Rcrw
c
r
rPG ≤⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+−= (A-G2-3)
= fator de viga híbrida
eR
= ( )0.1
mm3a12 3r ≤
−+a212 r+
(para vigas não-híbridas, )
= proporção entre a área omprim
m o de escoamento da
= e mpressão da mesa, ksi
ksi
ica a ser usada é dependente dos parâmetros de esbeltez
e
ara
0.1=R e
ra da alma pela área da mesa c ida
= proporção entre a tensão de escoamento da alma pela tensã
mesa ou pelo crF
tensão crítica d cocrF
ytF = tensão de escoamento da mesa tracionada,
xcS = módulo de seção referente à mesa comprimida, 3.in
xtS = módulo de seção referente à mesa tracionada, in 3.
ch = altura da alma
A tensão crít crF
: rp λ e λ ,λ PGC como se segue
P pλ ≤ λ :
yfcr F=F (A-G2-4)
Para p rλ < λ ≤ λ :
yfpr
pyfbcr F
211FCF ≤
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
λ−λ
λ−λ−= (A-G2-5)
Para : rλ>λ
2PG
cr λC
=F (A-G2-6)
O parâmetro de esbeltez deve ser determinado para o estado limite de flambagem
lateral com
o l bagem lateral com torção:
torção e o estado limite de flambagem local da alma; o parâmetro de esbeltez que
resulta no menor valor de crF governa.
(a) Para o estad imite de flam
62
T
b
rL
=λ (A-G2-7)
yfp F
300=λ (A-G2-8)
yfr F
756=λ (A-G2-9)
bPG C286000=C (A-G2-10)
onde
bC = ver seção F1.2, equação F1-3 LRFD
Tr = raio de giração da mesa comprimida mais um terço da porção comprimida da alma,
in.
(b) Para o estado limite de flambagem local da mesa:
f
f
t2b
=λ (A-G2-11)
yf
p F65
=λ (A-G2-12)
cyf
r k/F230
=λ (A-G2-13)
cPG k26200=C (A-G2-14)
0.1=C b
onde c w ck 4 / h / t e 0.35 k 0.763= ≤ ≤ .
O estado limite de flambagem local da alma à flexão não é aplicável.
3.2.1.3 Resistência ao cisalhamento de projeto com ação do campo de tração –
apêndice G3
A resistência ao cisalhamento de projeto com ação do campo de tração deve ser
, kips, onde e é determinado como se segue: v nVφ v 0.90φ = nV
(a) Para w v ywk / F : h / t 187≤
ywwn FA6.0=V (A-G3-1)
63
(b) Para ywvw F/k187>t/h :
( )v
n w yw v 2
1 CV 0.6A F C1.15 1 a / h
⎛ ⎞−⎜= +⎜ +⎝ ⎠
⎟⎟
)]
(A-G3-2)
onde
vC = Proporção da tensão crítica da alma, de acordo com a teoria de flambagem linear,
pela tensão de escoamento em cisalhamento do material da alma
Ver também apêndices G4 e G5.
Para painéis finais em vigas esbeltas não-híbridas, todos os painéis em vigas
esbeltas híbridas e com furos na alma, quando a/h excede 3.0 ou , ação do
campo de tração não é permitida e
([ 2wt/h/260
vywwn CFA6.0=V (A-G3-3)
O coeficiente de flambagem da chapa da alma é obtido como vk
( )2v h/a5
+5=k (A-G3-4)
exceto que deve ser pego como 5.0 se a/h excede 3.0 ou . vk ( )[ ]2wt/h/260
O coeficiente de cisalhamento é determinado como se segue: vC
(a) Para v v
yw w yw
k kh187 234F t F
≤ ≤ :
w
ywv
v t/h
F/k187=C (A-G3-5)
(b) Para yw
v
w Fk
234>th :
( ) yw2
w
vv Ft/h
k44000=C (A-G3-6)
3.2.1.4 Enrijecedores transversais – apêndice G4
Enrijecedores transversais não são requeridos em vigas esbeltas onde
wh / t 418 / F≤ yw , ou onde o cortante requerido , como determinado pela análise uV
64
estrutural para as cargas fatoradas, é menor ou igual a , onde é
determinado para . Enrijecedores podem ser requeridos em certas porções
da viga esbelta para desenvolver o cortante requerido ou para satisfazer as limitações
fornecidas no apêndice G1. Enrijecedores transversais devem satisfazer os requerimentos do
apêndice F2.3.
vywwv CFAφ6.0 vC
90.0=φ e 5=k vv
Ao projetar para a ação do campo de tração, a área do enrijecedor não deve
ser menor que
stA
( )yw 2ust w v w
yst v n
F VA 0.15Dht 1 C 18t 0F V
⎡ ⎤= − − ≥⎥⎢ φ⎣ ⎦
(A-G4-1)
onde
vstF = tensão de escoamento especificada do material do enrijecedor, ksi
D = 1 para enrijecedores em pares
= 1.8 para enirjecedores em ângulo único
= 2.4 para enrijecedores de chapa única
vC e são definidos no apêndice G3, e é o cisalhamento na locação do enrijecedor. nV uV
3.2.1.5 Interação flexão-cisalhamento – apêndice G5
Para ( )n u n0.6 V V V =0.90φ ≤ ≤ φ φ e , vigas
esbeltas com almas projetadas para a ação do campo de tração devem satisfazer o critério
adicional de interação flexão-cisalhamento:
(0.75M φ )n u nM M =0.90≤ ≤ φ
375.1V
V625.0
MM
n
u
n
u ≤φ
+φ
(A-G5-1)
onde é a resistência nominal à flexão de vigas esbeltas do apêndice G2 ou seção F1,
, e é a resistência nominal ao cortante do apêndice G3.
nM
0.90φ = nV
3.2.2 NBR 8800 – Projeto e execução de estruturas de aço de edifícios (método dos
estados limites) (ABNT, 1986)
3.2.2.1 Resistência de vigas esbeltas ao momento fletor - anexo F
3.2.2.1.1 Generalidades – item F-1
65
Este anexo é aplicável ao dimensionameto de vigas I esbeltas ( , para FLA –
ver o anexo D - NBR 8800/86), cuja seção transversal possui dois eixos de simetria ou um
eixo de simetria no plano médio da alma, carregadas neste plano e atendendo aos seguintes
requisitos:
rλ>λ
a) no caso de seções monossimétricas, a maior tensão normal na alma, devida ao
momento fletor, deve ser de tração;
b) o índice de esbeltez não pode ultrapassar o valor wt/h=λ
( )max
y y
0.48E
f f 115λ =
+ (E e , em MPa) yf
a não ser que os espaçamentos entre os enrijecedores transversais, a, sejam tais que
, caso em que pode ser tomado igual a ( )a / h 1.5≤ maxλ yf/E7,11 , se este limite superar o
anterior .
h = distância entre as faces internas das mesas
wt = espessura da alma
O parâmetro relativo ao estado limite de flambagem local da alma (FLA)
contido na tabela do anexo D - NBR 8800/86, é obtido de acordo com a seguinte fórmula:
rλ
yr f
E6.5=λ
3.2.2.1.2 Resistência de cálculo – item F-2
Item F-2.1 – NBR 8800/86 – A resistência de cálculo ao momento fletor é igual a b nMφ , onde
e é o menor valor obtido de acordo com os estados limites de escoamento da
mesa tracionada e de flambagem:
b 0.90φ = nM
a) para o escoamento da mesa tracionada:
ypgxtn fkW=M
b) para flambagem:
crpgxcn fkW=M
onde:
66
wpg
f w y
A h Ek 1 0.0005 5.6 1A t f
⎛ ⎞= − − ≤⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
wA = área da alma
fA = área da mesa comprimida
xcW , = módulos de resistência elásticos em relação ao eixo de flexão, para os
lados comprimido e tracionado, respectivamente, da seção
xtW
crf = tensão de flambagem conforme F-2.2 e F-2.3
Item F.2.2 – NBR 8800/86 – A tensão é calculada, como a seguir indicado, para cada
estado limite de flambagem:
crf
a) para 'pλ ≤ λ
ycr f=f
b) para ' 'p rλ < λ ≤ λ
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
λ−λ
λ−λ−= '
p'r
'p
ycr 5,01ff
c) para ' rλ>λ
2pg
cr λC
=f
F.2.3 Os valores de , e o coeficiente são determinados para cada estado limite de
flambagem, como a seguir indicado. No dimensionamento deve ser usado o menor valor de
'r
'p λ ,λ ,λ pgC
crf .
a) estado limite: flambagem lateral com torção (FLT), ver limitação em 5.4.1.3.2
(NBR 8800/86)
T
b
rL
=λ
'p
y
E1,75f
λ =
' br
y
C E4,44f
λ =
ECπ=C b2
pg
67
bL = distância entre duas seções contidas lateralmente
b) estado limite: flambagem local da mesa comprimida (FLM)
Para definições de Tb r e C ver 5.4.5 - NBR 8800/86
f
f
t2b
=λ
y
'p f
E38,0=λ
y
'r f
E87,0=λ
ota: O estado limite de flambagem local da alma fica automaticamente verificado.
.2.2.2 Resistência à força cortante, incluindo o efeito do campo de tração – anexo G
.2.2.2.1 Resistência de cálculo – item G-1
fletid po de tração,
ominal é determinada como a seguir:
a) para
E38,0=Cpg
ff t e b são a largura total e a espessura, respectivamente, da mesa comprimida.
N
3
3
A resistência de cálculo à força cortante de almas de perfis I e H, prismáticos,
os em relação ao eixo perpendicular à(s) alma(s), incluindo o efeito do cam'nV' ov nVφ , nde v 0.90φ = , e a resistência n
pλ ≤ λ
pl'n V=V
b) para p rλ < λ ≤ λ
p p'n pV 1
⎡λ λ ⎤⎛ ⎞= +η −⎢ ⎥⎜ ⎟λ λ⎝ ⎠⎣ ⎦
lV
c) para rλ>λ
2 2p p'
n pV 1,28 1 1,28 V⎧ ⎫⎡ ⎤λ λ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪= + η −⎢ ⎥⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟λ λ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭
l
onde:
68
2
1
a1,15 1h
η =⎛ ⎞+ ⎜ ⎟⎝ ⎠
Para o significado dos demais termos ver item 5.5.2 - NBR 8800/86.
Item 5.5.2 - NBR 8800/86 – Resistência de cálculo à força cortante de almas de perfis I,
H, U e perfis caixão
A resistência de cálculo de almas à força cortante, de perfis I, H, U e caixão,
fletidos em relação ao eixo perpendicular à alma, é , onde e a resistência
nominal é determinada como a seguir:
nv Vφ 90,0=φ v
nV
a) para pλ ≤ λ
pln V=V
b) para p rλ < λ ≤ λ
plp
n Vλλ
=V
c) para rλ>λ
pl
2p
n V28,1V ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛λ
λ=
onde:
wth
=λ
yp f
kE08,1=λ
yr f
kE40,1=λ
( )2h/a34,5
+4=k , para a/h<1
( )2h/a4
+34,5=k , para ( )a / h 1 k=5,34 para a/h>3≥
(para análise elástica) ywpl fA6,0=V
(para análise plástica) ywpl fA55,0=V
a = distância entre enrijecedores transversais
69
h = altura livre da alma entre mesas
= espessura da alma wt
Notas:
a) Os enrijecedores transversais devem ser soldados à alma e às mesas do perfil,
podendo, entretanto, do lado da mesa tracionada, ser interrompidos de forma que a distância
entre os pontos mais próximos das soldas mesa/alma e enrijecedor/alma fique entre
ww t6 e t4 .
b) As relações largura/espessura dos elementos que formam os enrijecedores não
podem ultrapassar os valores dados na tabela 1 - NBR 8800/86 para seções classe 3 sujeitas à
força normal. O valor dado na tabela 1 - NBR 8800/86 para seções classe 3 é:
yfE
55,0
c) O momento de inércia da seção de um enrijecedor singelo ou de um par de
enrijecedores (um de cada lado da alma) em relação ao eixo no plano médio da alma não
pode ser inferior a ( )450/h .
d) Quando for igual ou superior a 260, a relação a/h não pode ultrapassar a
3 e nem a .
wt/h
[ ]2( )wt/h/260
e) Um método alternativo para a determinação da resistência de cálculo dada por
5.5.2 - NBR 8800/86, utilizando o conceito de campo de tração, é apresentado no Anexo G -
NBR 8800/86.
3.2.2.2.2 Exigências e limitações referentes ao uso do campo de tração - item G-2
Item G-2.1 (NBR 8800/86) - A relação a/h não pode ultrapassar a 3,0 nem a ,
independente da relação
( )[ ]2wt/h/260
wt/h .
Item G-2.2 - NBR 8800/86 - Os enrijecedores transversais, além de atenderem às exigências
dadas nas notas a, b, c de 5.5.2 (NBR 8800/86), devem também ter área mínima da seção
transversal (num plano paralelo às mesas do perfil), dada por:
( ) wpln
st YDath/a15,112
V/V1A η−
−=
nV = resistência nominal à força cortante, sem incluir o efeito do campo de tração, conforme
5.5.2 - NBR 8800/86
70
Y = relação entre os limites de escoamento dos aços da alma e do enrijecedor
D = 1,0, para enrijecedores colocados em pares
D = 1,8, para enrijecedores constituídos de uma cantoneira
D = 2,4, para enrijecedores constituídos de uma chapa
Para os significados dos demais termos, ver 5.5.2 e G-1 - NBR 8800/86.
Item G-2.3 - As ligações dos enrijecedores transversais com a alma têm de ser capazes de
transmitir uma carga distribuída, na direção do comprimento do enrijecedor, cujo valor para
enrijecedor simples ou par de enrijecedores é dado por:
3ys fh0001,0=q
=qs carga distribuída, em N/mm
h = altura da alma, em mm (distância entre faces internas das mesas)
yf = limite de escoamento do aço da alma, em MPa
Item G-2.4 - O efeito do campo de tração não se aplica a painéis extremos da alma, a painéis
com aberturas, nem a painéis adjacentes a estes últimos.
Item G-2.5 - O efeito do campo de tração não se aplica a solicitações diferentes da flexão
normal simples, sendo que deve ser verificada a interação entre força cortante e o momento
fletor, conforme G-3.
Item G-2.6– O efeito do campo de tração também não se aplica a vigas com almas sujeitas a
cargas concentradas em seções sem enrijecedores, por exemplo, no caso de vigas sujeitas a
cargas móveis.
3.2.2.2.3 Interação entre momento fletor e força cortante - item G-3
Quando a resistência de cálculo à força cortante de uma barra fletida depender do
efeito do campo de tração, deve ser atendida a seguinte equação de interação:
d d'
b n v n
M V0,625 1,375M V
+ ≤φ φ
Adicionalmente devem também ser feitas as seguintes verificações isoladas:
d bM Mn≤ φ
'd vV V≤ φ n
dd V e M são o momento fletor e a força cortante de cálculo, respectivamente
71
b nMφ = resistência de cálculo ao momento fletor, conforme F-2 - Anexo F - NBR
8800/86.
= resistência de cálculo à força cortante conforme G-1 - Anexo G - NBR
8800/86.
'v nVφ
3.2.3 Projeto de Revisão da NBR 8800 – Projeto e execução de estruturas de aço e de
estruturas mistas aço-concreto de edifícios (ABNT, 2003)
3.2.3.1 Momento fletor resistente característico de vigas esbeltas - anexo F
(normativo)
3.2.3.1.1 Generalidades – item F.1
Item F.1.1 – PNBR 8800/03 - Este anexo aplica-se ao dimensionameto de vigas esbeltas,
definidas em F.1.2, com seção I ou H soldadas com dois eixos de simetria ou um eixo de
simetria no plano médio da alma, carregada neste plano e atendendo aos seguintes requisitos:
• No caso de seções monossimétricas, a maior tensão normal na alma, devida ao
momento fletor, deve ser de tração;
• O parâmetro de esbeltez wt/h=λ , onde h é a distância entre as faces internas das
mesas e wt é a espessura da alma, não pode ultrapassar 260 nem o valor:
( )máx
y y r
0, 48
f f fλ =
+ (E e em megapascal) yf
a não ser que os espaçamentos entre os enrijecedores transversais, a, sejam tais que
, caso em que pode ser tomado igual a ( )a / h 1,5≤ maxλ yf/E7,11 se este limite superar o
anterior, onde E é o módulo de elasticidade e a resistência ao escoamento do aço. yf
Nesta equação, E é o módulo de elasticidade e a resistência ao escoamento do aço, e é a
tensão residual, igual a 70 MPa nos perfis soldados fabricados por deposição de metal e solda
com chapas cortadas a maçarico e 115 MPa nos demais perfis soldados.
yf rf
Item F.1.2 - As vigas esbeltas são aquelas com relação altura/espessura da alma (
superior a
wt/h )
yf/E70,5 .
72
3.2.3.1.2 Momento fletor resistente característico – item F.2
Item F.2.1 - O momento fletor resistente característico, , é o menor valor obtido de
acordo com os estados limites de escoamento da mesa tracionada e de flambagem:
RkM
a) para o escoamento da mesa tracionada:
yxtRk fW=M
b) para flambagem:
crpgxcRk σkW=M
onde:
xcW é o módulo de resistência elástico em relação ao eixo de flexão, do lado comprimido da
seção transversal;
xtW é o módulo de resistência elástico em relação ao eixo de flexão, do lado tracionado da
seção transversal;
crσ é a tensão de flambagem conforme F.2.2 – PNBR 8800/03;
w fpg
w f w cr
A / A h Ek 1 5,70 1,1200 300A / A t
⎛ ⎞= − − ≤⎜ ⎟⎜ ⎟+ σ⎝ ⎠
0
sendo a área da alma e é a área da mesa comprimida. wA fA
Item F.2.2– A tensão de flambagem é calculada como a seguir indicado, para cada estado
limite de flambagem:
crσ
a) para pλ ≤ λ
ycr f=σ
b) para p rλ < λ ≤ λ
pcr y
r p
f 1 0,5⎡ ⎤⎛ ⎞λ −λ
σ = −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟λ −λ⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
c) para rλ>λ
2pg
cr λC
=σ
Item F.2.3 – PNBR 8800/03 – Os valores de e o coeficiente são determinados
para cada estado limite de flambagem, como a seguir indicado (no dimensionamento deve ser
usado o menor valor de ):
rp λ e λ ,λ pgC
crσ
73
- estado limite: flambagem lateral com torção (FLT):
T
b
rL
=λ
yp f
E76,1=λ
y
br f
EC44,4=λ
ECπ=C b2
pg
- estado limite: flambagem local da mesa comprimida (FLM)
f
f
t2b
=λ
yp f
E38,0=λ
yr f
E35.1=λ
cpg Ek88,0=C
onde:
wc t/h
4=k e c0,35 k 0,763≤ ≤
ff t e b são a largura total e a espessura, respectivamente, da mesa comprimida.
Item F.2.4 - O estado limite de flambagem local da alma não é aplicável.
3.2.3.2 Força cortante resistente característica incluindo o efeito do campo de tração -
anexo G (normativo)
3.2.3.2.1 Força cortante resistente característica – item G.1
Item G.1.1 - A força cortante resistente característica de almas de seções I e H, prismáticas,
fletidas em relação ao eixo central de inércia perpendicular à(s) alma(s), incluindo o efeito do
campo de tração, é determinada como a seguir (ver G.1.3 - PNBR 8800/03): RktV
a) para pλ ≤ λ
74
plRkt V=V
b) para pλ>λ
( )Rkt v v plV C 1 C V= +η −⎡ ⎤⎣ ⎦
onde:
plV é a força cortante correspondente à plastificação da alma por cisalhamento, definida no
item 5.4.3.2.2 - PNBR 8800/03;
vC é o coeficiente de força cortante, dado em G.1.2 – PNBR 8800/03;
2
1
a1,15 1h
η =⎛ ⎞+ ⎜ ⎟⎝ ⎠
- O item 5.4.3.2.2 - PNBR 8800/03 diz o seguinte:
A força cortante correspondente à plastificação da(s) alma(s) por cisalhamento é dada por:
ywpl fA60,0=V
Nesta equação, é a área efetiva de cisalhamento, que deve ser tomada igual a: wA
a) em almas de seções I, H e U: wt d ;
b) em almas simétricas de seções caixão e tubulares retangulares: wt h 2 .
onde d é a altura total da seção transversal.
Item G.1.2- O coeficiente de força cortante deve ser determinado como segue (ver G.1.3 –
PNBR 8800/03):
vC
a) para p w rh / tλ ≤ ≤ λ
w
yvv t/h
f/Ek10,1=C
b) para rw λ>t/h
( )v
v 2w y
1,51k ECh / t f
=
onde:
E é o módulo de elasticidade do aço;
yf é a resistência ao escoamento do aço;
vk é o coeficiente de flambagem da alma por força cortante, dado por:
75
( )2v h/a5
+5=k
devendo ser tomado igual a 5,0 se a/h exceder a 3,0 ou a . ( )[ ]2wt/h/260
Item G.1.3 - |Os parâmetros , e as dimensões a e h são definidos em 5.4.3.2.1 –
PNBR 8800/03.
rp λ e λ ,λ
Item 5.4.3.2.1 - Em seções I, H e U fletidas em torno do eixo central de inércia perpendicular
à alma e seções caixão e tubulares retangulares fletidas em torno de um eixo central de
inércia, a força cortante resistente característica, , é dada por: RkV
a) para pλ ≤ λ
plRk V=V
b) para rp λ<λ<λ
plp
Rk Vλλ
=V
c) para rλ>λ2
pRk plV 1,28 V
λ⎛ ⎞= ⎜ ⎟λ⎝ ⎠
onde:
wth
=λ
y
vp f
Ek10,1=λ
y
vr f
Ek37,1=λ
( )
( )
v 2
2
vw
5 ak 5 , para 3ha / h
ou
a a 260k 5,00, para 3 ou h h h / t
= + ≤
⎡ ⎤= > > ⎢ ⎥
⎣ ⎦
é a força cortante correspondente à plastificação da(s) alma(s) por
cisalhamento, dada na seção 5.4.3.2.2 - PNBR 8800/03, já citada anteriormente;
plV
76
a é a distância entre as linhas de centro de dois enrijecedores transversais
adjacentes;
h é a altura livre da alma entre mesas;
3.2.3.2.2 Exigências e limitações referentes ao uso do campo de tração – item G.2
Item G.2.1 - A relação a/h não pode ultrapassar a 3,0 e nem a ,
independentemente da relação
( )[ ]2wt/h/260
wt/h .
Item G.2.2 – Os enrijecedores transversais, além de atenderem às exigências dadas em
5.4.3.2.3, alíneas a, b, c e e, devem também ter uma área mínima da seção tranversal (num
plano paralelo as mesas do perfil), dada por:
( ) 2Sdst r s w v w
Rd
VA 0,15D ht 1 C 18tV
⎡ ⎤= α − −⎢ ⎥
⎣ ⎦
onde:
é a força cortante solicitante de cálculo na seção transversal da viga onde se situa
o enrijecedor;
SdV
é a força cortante resistente de cálculo, sem incluir o efeito do campo de tração,
conforme o item 5.4.3.1 da NBR 8800;
RdV
é a relação entre as resistências ao escoamento dos aços da alma e do enrijecedor; rα
sD é um coeficiente, igual a 1,0 para enrijecedores colocados em pares, a 1,8 para
enrijecedores constituídos de uma cantoneira e a 2,4 para enrijecedores constituídos de uma
chapa;
Para os significados dos demais termos ver 5.4.3.2.1 e G.1.
Item G.2.5 - O efeito do campo de tração também não se aplica a vigas com almas sujeitas a
forças concentradas em seções sem enrijecedores, por exemplo, no caso de vigas sujeitas a
forças móveis.
Para as seções I e H devem ser obedecidas as seguintes regras:
a) os enrijecedores transversais devem ser soldados à(s) alma(s) e às mesas do perfil,
podendo, entretanto, do lado da mesa tracionada, ser interrompidos de forma que a distância
entre os pontos mais próximos das soldas mesa/alma e enrijecedor/alma fique entre
ww t6 e t4 ;
77
b) a relação largura/espessura dos elementos que formam os enrijecedores não pode
ultrapassar yf/E55,0 ;
c) o momento de inércia da seção de um enrijecedor singelo ou de um par de enrijecedores
(um de cada lado da alma) em relação ao eixo no plano médio da alma não pode ser inferior a
, onde ; jat3w ( )2j 2,5 / a / h 2 0,⎡ ⎤= −⎣ ⎦ 5≥
e) se os enrijecedores são ligados à alma por parafusos, o espaçamento máximo entre os
centros desses parafusos não pode ultrapassar 300 mm. Se são usados filetes de solda
intermitentes, a distância livre entre esses filetes não pode superar 16 vezes a espessura da
alma, nem 250 mm.
Item 5.4.3.2.4 – Um método alternativo para a determinação da força cortante resistente
característica, utilizando o conceito do campo de tração, é apresentado no anexo G da NBR
8800. Se a força cortante resistente for determinada por esse anexo, e se:
Rkt RktSd
V V0,60 V≤ ≤γ γ
Rk RkSd
M M0,75 M≤ ≤γ γ
deve ser verificada a interação entre momento fletor e força cortante por meio do atendimento
da seguinte expressão:
Sd Sd
Rk Rkt
M V0,625 1,375M / V /
+ ≤γ γ
Onde:
γ é o coeficiente de ponderação da resistência para flexão, igual a 1,10;
SdSd V e M são o momento fletor solicitante de cálculo e a força cortante solicitante de càlculo,
respectivamente;
RkM é o momento fletor resistente característico determinado conforme a subseção F.2 do
anexo F - PNBR 8800/03;
RktV é a força cortante resistente característica determinada conforme a subseção G.1 do
anexo G - PNBR 8800/03;
3.2.4 Projeto de Revisão da NBR 8800 – Projeto de estruturas de aço e de estruturas
mistas de aço e concreto de edifícios (ABNT, 2007)
78
3.2.4.1 Momento fletor resistente de cálculo de vigas esbeltas - anexo H (normativo)
3.2.4.1.1 Generalidades – item H.1
Item H.1.1 - As vigas esbeltas são aquelas com relação altura/espessura da alma (
superior a
wt/h )
yf/E70,5 , onde E é o módulo de elasticidade e a resistência ao escoamento
do aço.
yf
Item H.1.2 - Este anexo aplica-se ao dimensionameto de vigas esbeltas, definidas em H.1.1,
com seção I ou H soldadas com dois eixos de simetria ou um eixo de simetria no plano médio
da alma, carregada neste plano e atendendo aos seguintes requisitos:
a) No caso de seções monossimétricas, a maior tensão normal na alma, devida ao
momento fletor, deve ser de tração;
b) O parâmetro de esbeltez wt/h=λ , onde h é a distância entre as faces internas das
mesas e wt é a espessura da alma, não pode ultrapassar 260 nem o valor:
( )máx
y y r
0, 48
f f fλ =
+ (E e em megapascal) yf
a não ser que os espaçamentos entre os enrijecedores transversais, a, sejam tais que
, caso em que pode ser tomado igual a ( )a / h 1,5≤ maxλ yf/E7,11 se este limite superar o
anterior.
Nesta equação, é a tensão residual, igual a 70 MPa nos perfis soldados fabricados por
deposição de metal de solda com chapas cortadas a maçarico e igual a 115 MPa nos demais
perfis soldados.
rf
3.2.4.1.2 Momento fletor resistente característico – item H.2
Item H.2.1 - O momento fletor resistente característico, , é o menor valor obtido de
acordo com os estados limites de escoamento da mesa tracionada e de flambagem:
RdM
a) para o escoamento da mesa tracionada (EMT):
1a
yxtRd γ
fWM =
b) para flambagem:
79
1a
crpgRd γ
MkM =
onde:
xcW é o módulo de resistência elástico em relação ao eixo de flexão, do lado comprimido da
seção transversal;
xtW é o módulo de resistência elástico em relação ao eixo de flexão, do lado tracionado da
seção transversal;
crM é o momento fletor de flambagem elástica, conforme H.2.2;
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+−=
cr
xc
w
c
r
rpg M
EW70,5
th
a3001200a
1k
com
ra igual a relação entre a área da alma e da mesa comprimida, sendo que a seção não pode
apresentar esta relação superior a 10;
ch igual a duas vezes a distância do centro geométrico da seção transversal à face interna da
mesa comprimida.
Item H.2.2– O momento fletor de flambagem elástica, , é calculado como a seguir
indicado, para cada estado limite de flambagem:
crM
a) para pλ ≤ λ
yxccr fWM =
b) para p rλ < λ ≤ λ
xcpr
pycr W
λλλλ
5,01fM⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−
−−=
c) para rλ>λ
2xcpg
cr λWC
M =
Item H.2.3 – Os valores de e o coeficiente são determinados para cada estado
limite de flambagem, como a seguir indicado (no dimensionamento deve ser usado o menor
valor de :
rp λ e λ ,λ pgC
crM )
- estado limite: flambagem lateral com torção (FLT):
80
T
b
rL
=λ
yp f
E76,1=λ
y
br f
EC44,4=λ
ECπ=C b2
pg
- estado limite: flambagem local da mesa comprimida (FLM)
f
f
t2b
=λ
yp f
E38,0=λ
yr f
E35.1=λ
cpg Ek88,0=C
onde:
wc t/h
4=k e c0,35 k 0,763≤ ≤
ff t e b são a largura total e a espessura, respectivamente, da mesa comprimida.
Item H.2.4 - O estado limite de flambagem local da alma não é aplicável.
3.2.4.2 Força cortante resistente de cálculo – item 5.4.3
Item 5.4.3.1 – Seções I, H e U fletidas em relação ao eixo perpendicular à alma e seções
caixão e tubulares retangulares
Item 5.4.3.1.1 - Em seções I, H e U fletidas em relação ao eixo central de inércia
perpendicular à alma e seções caixão e tubulares retangulares fletidas em torno de um eixo
central de inércia, a força cortante resistente característica, , é dada por: RdV
a) para pλ ≤ λ
1a
plRd γ
VV =
81
b) para r p λ<λ<λ
1a
plpRd γ
Vλλ
V =
c) para rλ>λ
1a
pl2
pRd γ
Vλλ
24,1V ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
onde:
wth
=λ
y
vp f
Ek10,1=λ
y
vr f
Ek37,1=λ
( )
( )
v 2
2
vw
5 ak 5 , para 3ha / h
ou
a a 260k 5,00, para 3 ou h h h / t
= + ≤
⎡ ⎤= > > ⎢ ⎥
⎣ ⎦
é a força cortante correspondente à plastificação da(s) alma(s) por
cisalhamento, dada na seção 5.4.3.1.2 - PNBR 8800/07;
plV
a é a distância entre as linhas de centro de dois enrijecedores transversais
adjacentes;
h é a altura livre da alma entre mesas;
Item 5.4.3.1.2 - A força cortante correspondente à plastificação da(s) alma(s) por
cisalhamento é dada por:
ywpl fA60,0=V
Nesta equação, é a área efetiva de cisalhamento, que deve ser tomada igual a: wA
a) em almas de seções I, H e U: wt d ;
b) em almas simétricas de seções caixão e tubulares retangulares: wt h 2 .
onde d é a altura total da seção transversal.
82
3.2.5 Eurocode 3: Design of steel structures – Part 1.1: General rules and rules for
buildings (CEN, 1992)
3.2.5.1 Classificação das seções transversais – item 5.3
3.2.5.1.1 Base – item 5.3.1
(1) Quando análise plástica global é usada, os membros devem ser capazes de formar
rótulas plásticas com suficiente capacidade de rotação para capacitar a requerida
redistribuição de momentos fletores a se desenvolver.
(2) Quando análise elástica global é usada, qualquer classe de seção transversal pode ser
usada para os membros, providenciado para que o projeto dos membros levem em conta os
possíveis limites na resistência de seções transversais devido a flambagem local.
3.2.5.1.2 Classificação – item 5.3.2
(1) Quatro classes de seções transversais são definidas, como segue:
• Classe 1 de seções transversais é aquela na qual estas podem formar rótulas
com a capacidade de rotação requerida para análise plástica.
• Classe 2 de seções transversais é aquela na qual estas podem desenvolver seu
momento plástico, mas têm capacidade de rotação limitada.
• Classe 3 de seções transversais é aquela na qual a tensão calculada na fibra
extrema em compressão do membro de aço pode alcançar sua resistência de escoamento, mas
flambagem local é responsável a prevenir o desenvolvimento de resistência de momento
plástico.
• Classe 4 de seções transversais é aquela na qual é necessário fazer explícitas
permissões para os efeitos de flambagem local quando estiver determinando sua resistência de
momento ou resistência à compressão.
(2) Larguras efetivas podem ser usadas em seções transversais de Classe 4 para fazer as
necessárias permissões para reduções na resistência devido aos efeitos de flambagem local,
ver item 5.3.5 – Eurocode 3.
83
(3) A classificação de uma seção transversal depende das proporções de cada um de seus
elementos em compressão.
Tabela 3.2.1 (Eurocode 3 – tabela 5.3.1) – Máxima proporção largura/espessura para elementos em compressão. a) Almas (elementos internos perpendiculares ao eixo de flexão)
d
t t
d
w w
Classe Alma sujeita a flexão
Distribuição de tensão no elemento (compressão positiva)
-
hd
fy
fy+
1 wd / t 72≤ ε 2 wd / t 83≤ ε
Distribuição de tensões no elemento (compressão positiva) h
fy
fy d/2
d/2
-
+
3 wd / t 124≤ ε
yf/235=ε
(4) Elementos em compressão incluem todo elemento da seção transversal que está
totalmente ou parcialmente em compressão, devido a força axial ou momento fletor, sob a
combinação de carregamento considerada.
(5) Os elementos em compressão variados na seção transversal (tal como a alma ou a
mesa) podem, em geral, estar em diferentes classes.
...
(8) As proporções limites para elementos em compressão Classe 1, 2, e 3 devem ser
obtidas pela tabela 5.3.1 – Eurocode 3, representada na tabela 3.2.1. O elemento que falha em
satisfazer os limites para Classe 3 devem ser tomados como Classe 4.
84
Tabela 3.2.2 (Eurocode 3 – tabela 5.3.1) – Máxima elementos em compressão.
b) meproporção largura/espessura para
sas que permanecem fora: c
tf ft
c
Classe Alma sujeita a flexão
Distribuição de tensão no elemento (compressão positiva) c
+
-
1 fc / t 9≤ ε 2 fc / t 10≤ ε
Distribuição de tensões no elemento (compressão positiva) c
+
-
3 fc / t 14≤ ε
yf/235=ε
3.2.5.1.3 Propriedades da seção transversal efetiva Classe 4 – item 5.3.5
al efetiva Classe 4 devem ser baseadas nas larguras
elementos internos e a tabela 5.3.3 – Eurocode 3 para
(3) Como aproximação, o fator de redução pode ser obtido como se segue:
• Quando
(1) As propriedades da seção transvers
efetivas dos elementos em compressão.
(2) As larguras efetivas de elementos planos em compressão devem ser obtidas usando a
tabela 5.3.2 – Eurocode 3 para
elementos que permanecem fora.
ρ
p 0,673λ ≤ :
• Quando
1=ρ
: ( ) 2p p0, 22 /ρ = λ − λ 673.0>λ p
pλonde é o parâmetro de esbeltez da chapa fornecido como:
( ) ( )0,5p y crf / b / t / 28, 4 kσ⎡ ⎤λ = σ = ε⎣ ⎦
85
(4) para determinar as larguras efetivas dos elementos de mesa, a proporção de tensão
usada na tabela 3.2.3 ou 3.2.4 (tabela 5.3.2 – Eurocode 3 ou tabela 5.3.3 – Eurocode 3) pode
ser baseada nas propriedades da seção transversal bruta.
ψ
Tabela 3.2.3 (Eurocode 3 – tabela 5.3.2) – Elementos internos comprimidos Distribuição de tensão (compressão positiva)
Largura efetiva effb
1
be1 be2
b
2
1=ψ : bρ=beff
eff1e b5.0=b
eff2e b5.0=b
1
2
bc tb
e1b e2b
b
0<ψ
( )eff 1cb b b /= ρ = ρ −Ψ
eff2e b6.0=b
eff1e b4.0=b
12 σ/σ=ψ 1 0>ψ>1 0 0 1> Ψ > − -1 1 2− > Ψ > − Fator de
flambagem σk
4.0 ψ+05.12.8
7.81 2
7,81 6,299,78
− Ψ
+ ψ23.9 ( )5,98 1−Ψ 2
Tabela 3.2.4 (Eurocode 3 – tabela 5.3.3) – Elementos externos comprimidos Distribuição de tensão (compressão positiva)
Largura efetiva effb
21
c
effb
1 0> Ψ ≥
cρ=beff
:
12 σ/σ=ψ 1 0>ψ>1 0 0 1> Ψ > − -1 Fator de
flambagem σk
0.43 34.0+ψ578.0
1.70 2
1,7 517,1− Ψ
+ ψ 23.8
86
onde
t é a espessura relevante crσ é a tensão crítica de flambagem da chapa
σk é o fator de flambagem correspondente à proporção de tensão da tabela 5.3.2 ou 5.3.3 – Eurocode 3 o que for apropriado
ψ
b é a largura apropriada (ver tabela 5.3.1 – Eurocode 3)
b = d para almas
b = c para mesas que permanecem fora
(5) para determinar a largura efetiva da alma, a proporção de tensão usada na tabela 3.2.3
(tabela 5.3.2 – Eurocode 3) pode ser obtida usando a área efetiva da mesa comprimida mais a
área bruta da alma.
ψ
(6) geralmente o eixo centroidal da seção transversal efetiva irá mudar de uma dimensão “e”
comparada ao eixo centroidal da seção transversal bruta. Isto deve ser levado em conta
quando for calcular as propriedades da seção transversal efetiva.
3.2.5.1.4 Momento fletor – item 5.4.5
(1) na ausência de força cortante, a resistência de projeto de uma seção transversal pode ser
determinada como se segue:
Seções tranversais Classe 4: 1MyeffRd,c γ/fW=M
3.2.5.2 Resistência à flambagem de membros – item 5.5
3.2.5.2.1 Flambagem lateral com torção de vigas – item 5.5.2
(1) o momento resistente à flambagem de projeto de uma viga não restringida lateralmente
deve ser tomada como:
1Myy,plwLTRd,b γ/fWβχ=M
onde para seções transversais Classe 4 y,ply,effw W/W=β
e é o fator de redução para flambagem lateral com torção. LTχ
(2) o valor de χ ara a esbeltez não-dimensional apropriada LT p LTλ de ser determinado por: po
87
LT 0.522LTLT LT
1χ =
⎡ ⎤φ + φ −λ⎢ ⎥⎣ ⎦
mas LT 1χ ≤
( ) 2LT LTLT LT0.5 1 0.2⎡ ⎤φ = +α λ − + λ⎢ ⎥⎣ ⎦
(3) os valores do fator de imperfeição para flambagem lateral com torção deve ser
tomado como:
LTα
21.0=α LT para seções laminadas
49.0=α LT para seções soldadas
(5) o valor de LTλ pode ser deteminado por:
[ ][0.5 0.5LT w pl,y y cr LT 1 wW f / M /⎡ ⎤λ = β = λ λ β⎣ ⎦ ]
onde
[ ] ε9.93=f/Eπ=λ 5.0y1
[ ] ( )2y
5.0y N/mm em f f/235=ε
e é o momento crítico elástico para flambagem lateral com torção. crM
(6) informação para o cálculo de (ou para o cálculo direto de ) é fornecido no Anexo
E – Eurocode 3.
crM LTλ
(7) onde a esbeltez não-dimensional LT 0.4λ ≤ , nenhuma permissão para flambagem lateral
com torção é necessária.
(8) uma viga com restrição total não necessita ser checada para flambagem lateral com torção.
3.2.5.3 Resistência à flambagem por cisalhamento – item 5.6
3.2.5.3.1 Método simples pós-crítico – item 5.6.3
(1) no método simples pós-crítico, a resistência de projeto à flambagem por cisalhamento
deve ser obtida por: Rd,baV
ba,Rd w ba M1V dt /= τ γ
onde é a resistência simples pós-crítica ao cisalhamento. baτ
(2) a resistência ao cisalhamento simples pós-crítica deve ser determinada como se
segue:
baτ
88
a) quando w 0.8λ ≤ :
( )3/f=τ ywba
b) quando 2.1<λ<8.0 w :
( ) ( )wba yw1 0.625 0.8 / f / 3⎡ ⎤τ = − λ −⎣ ⎦
c) quando w 1.2λ ≥ :
[ ]( )3/fλ/9.0=τ ywwba
onde wλ é a esbeltez da alma obtida por:
( )[ ]τ
w5.0cryww
kε4.37t/d
=τ/3/f=λ
onde
crτ é a resistência elástica crítica de cisalhamento
τk é o fator de flambagem para cisalhamento.
(3) o fator de flambagem para cisalhamento é obtido pelo seguinte: τk
• Para almas com enrijecedores transversais no suporte mas sem enrijecedores
transversais intermediários:
34.5=k τ
• Para almas comenrijecedores transversais nos suportes e enrijecedores transversais
intermediários com a/d<1:
( )2τ d/a/34.5+4=k
• Para almas comenrijecedores transversais nos suportes e enrijecedores transversais
intermediários com a/d>1:
( )2τ d/a/4+34.5=k
3.2.5.3.2 Método do campo de tração – item 5.6.4
(1) no método do campo de tração, a resistência de projeto à flambagem por cisalhamento
deve ser obtida por: Rd,bbV
( ) ( )[ ] 1MbbwbbwRd,bb γ/φsinσgt9.0+τdt=V
onde é a resistência do campo de tração, obtida por: bbσ
89
0.52 2 2bb yw bbf 3⎡ ⎤σ = − τ +Ψ −Ψ⎣ ⎦
onde é , ψ φ2sinτ5.1 bb
onde é a inclinação do campo de tração φ
g é a largura do campo de tração, ver figura 3.2.4.1
e é a resistência à flambagem por cisalhamento inicial. bbτ
(2) a resistência à flambagem por cisalhamento inicial deve ser determinada como se
segue:
bbτ
a) quando w 0.8λ ≤ :
( )3/f=τ ywbb
b) quando 2.1<λ<8.0 w :
( ) ( )wbb yw1 0.8 0.8 f / 3⎡ ⎤τ = − λ −⎣ ⎦
c) quando w 1.25λ ≥ :
[ ]( )3/fλ/1τ yw2
wbb =
onde wλ é obtida pelo item 5.6.3 – Eurocode 3.
(3) a largura do campo de tração g é fornecida por:
( )c tg d cos - a-s s sin= φ − φ
onde são os comprimentos de ancoragem do campo de tração ao longo das mesas em
compressão e tração respectivamente, obtidas por:
tc s e s
O
O
g
ts
a
sc
b
t
t
td
Figura 3.2.1 (Eurocode 3 – figura 5.6.1) – Geometria do campo de tração.
90
0.5Nf ,Rk
w bb
M2s msin t
⎡ ⎤= ≤⎢ ⎥φ σ⎣ ⎦
as s a
onde é a resistência plástica de momento reduzida da mesa. Rk,NfM
(4) a resistência plástica de momento permitindo a força longitudinal na mesa
(devido ao momento e qualquer força axial no membro), é obtida por:
Rk,NfM Sd,fN
SdM SdN
( ) 22Nf ,Rk f yf f ,Sd f yf M0M 0.25bt f 1 N / bt f /⎡ ⎤⎡ ⎤= − γ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
onde b e são a largura e a espessura da mesa relevante. ft
3.2.5.3.3 Inclinação do campo de tração – item 5.6.4.2
(1) a inclinação do campo de tração varia entre o mínimo de e o máximo onde
é a inclinação do painel diagonal obtido por:
φ 2/Θ Θ Θ
( )a/darctan=Θ
(2) o valor mínimo se aplica quando as mesas são totalmente utilizadas ao resistir o
momento fletor no membro. O valor máximo de Θ se aplica à condição de campo de tração
completo com s = a.
2/Θ
(4) qualquer outro valor de entre os limites é conservativo. Como aproximação
pode ser assumido.
φ Θ e 2/Θ
5.1/Θ=φ
3.2.5.4 Interação entre força cortante, momento fletor e força axial – item 5.6.7
3.2.5.4.1 Método simples pós-crítico – item 5.6.7.2
(1) a seção transversal deve ser assumida satisfatória, sem investigar o efeito da força cortante
na resistência de momento de projeto, se ambos os critérios são satisfeitos:
Sd f ,Rd Sd ba,RdM M e V V≤ ≤
onde é o momento plástico de projeto da seção transversal consistindo das mesas
somente, levando em conta a largura efetiva da mesa comprimida, de acordo com o item
5.3.5 – Eurocode 3.
Rd,fM
effb
Rd,baV é a resistência à flambagem por cisalhamento do item 5.6.3 – Eurocode 3.
91
(2) providenciado que não exceda 50% de a resistência de projeto da seção
transversal para momento fletor e força axial não necessita ser reduzido para permitir a força
cortante.
SdV Rd,baV
(3) quando excede 50% de o seguinte critério deve ser satisfeito: SdV Rd,baV
( ) ( )2
Sd f ,Rd pl.Rd f ,Rd Sd ba,RdM M M M 1 2V / V 1⎡ ⎤≤ + − − −⎣ ⎦
3.2.5.4.2 Método do campo de tração – item 5.6.7.3
(1) a seção transversal pode ser assumida satisfatória, sem investigar o efeito da força cortante
na resistência de momento de projeto, se ambos os critérios são satisfeitos:
Sd f ,Rd Sd bw,RdM M e V V≤ ≤
onde são tomados cada um como o valor máximo respectivo no painel entre
enrijecedores transversais de alma adjacentes.
SdSd V e M
Rd,fM é obtido no item 5.6.7.2 – Eurocode 3
e é a resistência à flambagem por cisalhamento da “alma somente” Rd,bwV
(2) a resistência à flambagem por cisalhamento da “alma somente” é o valor específico
de do item 5.6.4 – Eurocode 3 para o caso onde as mesas estão resistindo o momento
igual a e conseqüentemente no item 5.6.4.1 – Eurocode 3 o momento plástico
resistente reduzido da mesa .
Rd,bwV
Rd,bbV
SdM Rd,fM
0=M Rk,Nf
(3) para a seção com mesas iguais e sem força axial, deve ser calculado assumindo: Rd,bwV
0=s=s tc e 2/Θ=φ
(4) providenciado para que não exceda 50% de a resistência de projeto da seção
transversal para momento fletor e força axial não necessita ser reduzida para permitir a força
cortante.
SdV Rd,bwV
(5) quando excede 50% de mas não excede o seguinte critério deve ser
satisfeito:
SdV Rd,bwV Rd,bwV
( ) ( )2
Sd f ,Rd pl,Rd f ,Rd Sd bw,RdM M M M 1 2V / V 1⎡ ⎤≤ + − − −⎣ ⎦
92
3.3 Teorias utilizadas
Algumas teorias relacionadas ao dimensionamento de vigas esbeltas foram
utilizadas neste trabalho. Serão apresentados a seguir os trechos utilizados destas teorias.
3.3.1 Teoria de JUHÁS (2001)
3.3.1.1 Capacidade de carga de vigas esbeltas sujeitas a flexão e cisalhamento
JUHÁS (2001), em seu trabalho, desenvolveu uma análise teórica original da
capacidade de carga de momento-cortante de vigas esbeltas com típicas seções I compactas.
Estas são combinadas com diferentes aços onde as mesas são de aços de alta resistência e a
alma é de aço de média resistência. A seção transversal homogênea representa apenas o caso
limite para as seções transversais universais. O estágio plástico último é aqui considerado
como uma perfeita plastificação da alma na seção transversal decisiva. Os resultados das
análises teóricas são equações para o cálculo do carregamento cisalhante último, momento
fletor último e a capacidade de carga ao momento-cortante para diferentes seções transversais.
De acordo com resultados teóricos a fórmula de interação simples para seções transversais
homogêneas é apresentada. Esta fórmula que é aplicada na Slovak Technical Standard STN
73 1401:1998 é comparada com a fórmula adequada que resulta da European Prestandard
prEN 1993-1-1. Finalmente, a substituição da fórmula de interação para o projeto seguro de
seções transversais híbridas e vigas esbeltas é sugerida.
Segundo JUHÁS (2001), vigas esbeltas são normalmente sujeitas
simultaneamente à flexão e ao cortante. Nestes casos a capacidade de carga depende da
eficiência das cargas de flexão e cortante. Geralmente, o efeito do carregamento de flexão é o
principal fator decisivo. Para isto, a capacidade de carga ao momento-cortante deve ser
calculada e levada em consideração para um projeto de vigas esbeltas seguro e econômico.
A capacidade de carga ao momento-cortante de vigas esbeltas depende de vários
parâmetros. Além da carga e do esquema estático, as dimensões geométricas e as
propriedades dos materiais são muito importantes. Estes parâmetros influenciam o
comportamento e a ruína de vigas com valor significante. Além disso eles influenciam
também a determinação da capacidade de carga ao momento-cortante de diferentes vigas.
Em relação às dimensões geométricas as seções transversais de vigas podem ser
compactas ou esbeltas. No caso de vigas com seções transversais compactas pode ser utilizada
93
a capacidade de carga plástica ou elastoplástica. No caso de vigas de seções transversais
esbeltas a capacidade de carga pós-crítica elástica ou elastoplástica pode ser utilizada. É
vantajoso projetar as vigas com mesas comprimidas compactas e alma esbelta – delgada,
enrijecida em adequadas medidas por enrijecedores transversais ou transversais e
longitudinais.
Levando em consideração as propriedades dos materiais as seções transversais de
vigas podem ser homogêneas ou combinadas de diferentes aços. É uma vantagem econômica
projetar as vigas híbridas com mesas de aço de alta resistência e almas compactas ou delgadas
de aços de média resistência. No caso de vigas com seções híbridas compactas podem ser
utilizadas capacidades de carga plástica ou elastoplástica. No caso de vigas híbridas com
mesas comprimidas compactas e almas esbeltas enrijecidas a capacidade de carga
elastoplástica pós-critica pode ser utilizada.
M
2
f
V1
M1
l
V
a
fyw yf
cL
F F
b
Af
t f
2
Aw
Af
t
t
d
w
h
lf
( ) 2/δ+1=δ ,d/h=δ ,A/A=γ ,t/d=β ,d/a=α ,f/f=m 0wfwywyf Figura 3.3.1.1 (JUHÁS, 2001) – Esquema e parâmetros da viga esbelta.
Muitos trabalhos teóricos e experimentais têm sido feitos para a análise do atual
comportamento elastoplástico de vigas sujeitas simultaneamente ao momento e cortante e
também para a elaboração de métodos e procedimentos para o cálculo da capacidade de carga
(McGUIRE, 1968; GALAMBOS, 1998 apud JUHÁS, 2001). Previamente, o autor deste
trabalho também realizou um largo programa teórico e experimental orientado para a
investigação da capacidade de carga ao momento-cortante de vigas híbridas com almas
compactas e esbeltas (JUHÁS, 1975, 1987). De acordo com esta investigação as soluções
94
teóricas e práticas da determinação da capacidade de carga ao momento-cortante que são
válidas para vigas híbridas e homogêneas com seções compactas são apresentadas neste
trabalho.
A análise teórica assume vigas com as típicas seções I soldadas combinadas com
diferentes tipos de aço. Estas são suportadas adequadamente contra flambagem lateral com
torção e enrijecidas por enrijecedores transversais devido a aspectos de estabilidade local. O
esquema estático, as características materiais e geométricas e os parâmetros das vigas esbeltas
aparecem na figura 3.3.1.1.
Para a análise teórica é também assumido que:
a) Material elastoplástico ideal;
b) Teoria da energia de deformação com as condições de plasticidade
,f resp. ,f=τ3+σ ywy22 (3.3.1.1)
τ e σ são as tensões normal e cisalhante num ponto individual da seção transversal, é a
tensão de escoamento na tração e é a tensão de escoamento na tração do material da alma;
yf
ywf
c) tensões de cisalhamento reduzem apenas a capacidade de carga da alma, nas
mesas podem ser alcançadas tensões normais , onde é a tensão de escoamento do
material da mesa.
yff yff
No caso de seção transversal compacta, é assumido que a alma não flamba
durante todo o processo de carregamento. Para isto, a análise teórica pode ser baseada na
teoria da flexão linear. De acordo com esta teoria, no caso de carregamento de flexão simples,
as rótulas plásticas ideais com tensões normais constantes e momento fletor totalmente
plástico pode ser assumida em seções transversais críticas. O momento fletor totalmente
plástico de seções transversais I simétricas é
yf
plM
w,plywf,plyfw,plf,plpl Wf+Wf=M+M=M (3.3.1.2)
w,plf,pl W e W
plM
são os módulos plásticos de seção das mesas e da alma. A força cisalhante
influencia a plastificação da seção transversal decisiva e reduz o seu momento fletor plástico
. Então o problema é como assumir a distribuição plástica de tensões na seção transversal
e como calcular este reduzido momento fletor e a capacidade de carga plástica de
momento-cortante de vigas.
V,uM
95
Mais soluções teóricas da capacidade de carga plástica de momento-cortante
existem até o presente momento (NEAL, 1956; MRÁZIK, SKALOUD e TOCHÁCEK, 1986
apud JUHÁS, 2001), mas elas são válidas somente para seções transversais homogêneas. A
solução teórica original para seções transversais híbridas e homogêneas foi desenvolvida
previamente (JUHÁS, 1975, 1987). A distribuição de tensões normais e cisalhantes devido à
flexão através da seção transversal na extensão elástica e plástica dessa solução é apresentada
na figura 3.3.1.2.
tw
b td
fh
fyf
t f 1 1 1
0 z
fsw
z
f fsw
21 1
0
1 2
ba
Figura 3.3.1.2 (JUHÁS, 2001) – Tensão normal de flexão e cisalhante assumidas na seção transversal.
A distribuição de tensão assumida na seção transversal é diferente comparada
àquelas de outros autores particularmente no estágio plástico. O estágio plástico último é aqui
considerado como a perfeita plastificação da alma na seção transversal decisiva. De acordo
com essa suposição dois casos de estágio limite podem ocorrer na seção transversal assumida:
1. A seção transversal inteira é plastificada, ver figura 3.3.1.2a. Então o momento
fletor último é: V,uM
u,V bM M≥ (3.3.1.3)
2. Somente a alma da seção transversal é plastificada, ver figura 3.3.1.2b. Então o
momento fletor último : V,uM é
bV,u M<M (3.3.1.4)
bM significa o momento fletor limite da seção transversal na simultânea plastificação da alma
e das mesas,
96
( )( )32200w,plb ξm3/δξ/1γδm4MM −+= (3.3.1.5)
( )6γδ61d
MVξ ,ξ31ξ
20
020
+=+= (3.3.1.6)
As equações seguintes foram derivadas para o cálculo da força cortante última M,uV :
a) A seção transversal inteira é plastificada
( )
( )0
ξξ3ξmξγδ925.2
3ξξξ6ξγδ95.1
VV
VV
20
210
0
20
21
20
pl
M,u
2
pl
M,u
=−+
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −++⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
(3.3.1.7)
b) Somente a alma da seção transversal é plastificada
( )
( )
( )0
ξξ3ξξγδ5.4ξ25.2
ξξ9ξγδ975.3
VV
3ξξξ9ξγδ95.1
VV
VV
3
30
211
200
20
21
20
pl
M,u
0
20
21
20
2
pl
M,u
3
pl
M,u
=−−
+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
(3.3.1.8)
0
2
1 ξξ1arcsin
3ξξ −= (3.3.1.9)
.3/AfAfV wywww,spl == (3.3.1.10)
plV é a força cisalhante totalmente plástica, é a tensão de escoamento no cisalhamento do
material da alma.
w,sf
Geralmente não é sabido qual caso limite é correto. Para isto é necessário usar as
equações 3.3.1.7 e 3.3.1.8 para o cálculo da carga cisalhante última . Então, o menor
valor é válido. é a força cortante última que depende do momento fletor M agindo na
seção transversal. O momento fletor último depende da força cortante V agindo na
seção transversal. O momento fletor último pode ser calculado pela equação, segundo
JUHÁS (2001)
M,uV
M,uV
V,uM
V,uM
0
20
0pl
M,u
pl
V,u
γδm41γδ61
ξ332
VV
MM
++
= (3.3.1.11)
As equações 3.3.1.7, 3.3.1.8 e 3.3.1.11 são válidas para seções transversais I
híbridas e homogêneas. Se a proporção do material 1=m então estas equações são válidas
97
somente para seções transversais I homogêneas. Se também a proporção de forma então
estas equações são válidas para seções transversais retangulares homogêneas.
0=γ
As relações plV,uplM,u M/MV/V − resultantes das equações 3.3.1.7, 3.3.1.8 e
3.3.1.11 para seções transversais homogêneas com proporções de forma
são marcadas na figura 3.3.1.3. A curva com é valida para seção transversal retangular.
6.1 e ;0=γ 6.0 ;2.0
0=γ
Figura 3.3.1.3 (JUHÁS, 2001) – Relações das proporções de momento fletor e força cortante limites para seções transversais homogêneas dadas, 1.05δ ,1m == .
As relações plV,uplM,u M/MV/V − resultantes das equações 3.3.1.7, 3.3.1.8 e
3.3.1.11 para seções transversais híbridas com proporções de material ão
marcadas na figura 3.3.1.4. A curva com
3 ;5.1 ;1=m s e 2.5 2;
1m = é válida para seções transversais homogêneas.
As soluções completas e correspondentes relações consistem de duas partes com as
proporções limites ( )limplM,u V/V . A primeira parte responde ao caso quando a total
plastificação da seção transversal surge, então ( )limplM,upl V/V<V/V . A segunda parte
responde ao caso em que somente a plastificação da alma surge, então ( )limplpl >V M,u V/V/V .
Na base do estudo paramétrico as seguintes equações foram derivadas para as proporções
limites ( )limplM,u V/V :
( ) ( ) 26.1m48.0m25.0V/V 2limplM,u +−= (3.3.1.12)
É evidente das figuras 3.3.1.3 e 3.3.1.4 que se a força cortante , então a força
cortante influencia o momento fletor último desprezivelmente, mas se a força cortante
lim,M,uV<V
V,uM
98
lim,M,uV>V , então a força cortante influencia o momento fletor último
significantemente. Com o aumento da força cortante V o momento fletor último
decresce rapidamente. Para isto, a relação deveria ser menor que a relação limite
V,uM
V,uM
plV/V
( )limplM,u V/V . Este fato é muito importante, especialmente para o projeto econômico de
seções transversais híbridas e vigas esbeltas.
Figura 3.3.1.4 (JUHÁS, 2001) – Relações das proporções de momento fletor e força cortante limites para seção transversal híbrida dada, .05.1=δ ,6.0=γ
Aplicação prática. Procedimentos práticos de projeto e normas contêm somente
fórmulas de interação simples para o cálculo da capacidade de carga ao momento-cortante de
seções transversais de vigas esbeltas. De acordo com isto as relações teóricas
no caso de seções transversais homogêneas são substituídas na
fórmula de interação
plV,u M/plM,u V/V − M
1VV
MM
MM
2
pl
2
pl
2
pl
≤⎟⎟⎠
⎞⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛γ−⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
VV
pl
2
⎜⎜⎝
⎛+ (3.3.1.13)
M e V são momento fletor e força cortante agindo na seção transversal. No caso limite último
M,uV=M .V,u e M= V
O efeito da força cortante é muito pequeno, se a proporção . Para
isto, de acordo com resultados experimentais a fórmula de interação 3.3.1.13 foi adaptada
para as formas 3.3.1.14 e 3.3.1.15:
5.0<V/V pl
99
1.1VV1.1
VV
MM
MM
2
pl
2
pl
2
pl
2
pl
≤⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛γ−⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ (3.3.1.14)
( )( ) 1 ,
V/V1
V/V11.1 ,MM v2
pl
2pl
vplv ≤φγ−
−=φφ= (3.3.1.15)
A fórmula de interação 3.3.1.15 tem sido aplicada na Slovak Technical Standard
STN 73 1401:1998 Design of Steel Structures. As relações que
correspondem às fórmulas de interação 3.3.1.14 e 3.3.1.15 para (seção transversal I) e
plV,uplM,u M/MV/V −
7.0=γ
Figura 3.3.1.5 (JUHÁS, 2001) – Relações de interação da capacidade de carga ao momento-cortante para seções transversais homogêneas e híbridas.
0=γ (seção transversal retangular) são mostradas na figura 3.3.1.5a.
A fórmula de interação que resulta da European Prestandard prEN 1993-1-1
(2001) Design of Steel Structures, Part 1.1: General Structural Rules tem a forma:
11V
V2M
MMM
2
plpl
w,pl
pl
≤⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+ (3.3.1.16)
A curva adequada para seção transversal I, se a proporção está
também na figura 3.3.1.5a. Podem ser observadas as diferenças entre JUHÁS (2001) e as
fórmulas de interação européias. Elas estão principalmente na área de alta força cortante.
Estas diferenças resultam principalmente das suposições do autor de que a ruptura surge se a
alma de seção transversal I é totalmente plastificada.
25.0=M/M plw,pl
A suposição do autor sobre mecanismo de ruptura parece adequada e é muito
importante, especialmente, para seções transversais híbridas. É claro da figura 3.3.1.4 que as
100
fórmulas de interação 3.3.1.15 e 3.3.1.16 não podem ser válidas para seções transversais
híbridas em áreas com alta força cortante onde o momento fletor último dependente da
força cortante decresce rapidamente. Para isto, a validade das fórmulas de interação 3.3.1.15 e
também a 3.3.1.16 deveriam ser limitadas à proporção
V,uM
( )limplM,u V/V , calculada com a equação
3.3.1.12. Para as seções transversais híbridas com força cortante V podem ser
recomendadas relações lineares devido à figura 3.3.1.5b. Então, a fórmula de interação
substituída tem a forma:
lim,M,uV>
lim,M,upl
pl
lim,V,u VVVV
MM
−
−≤ (3.3.1.17)
lim,V,ulim,M,u M e V são a força cortante e o momento fletor limites seguindo das equações
3.3.1.12 e 3.3.1.14 ou 3.3.1.15.
Segundo JUHÁS (2001), a presente análise teórica e os resultados permitem
determinar a capacidade de carga para flexão e cortante para vigas híbridas ou homogêneas de
seções I. As soluções teóricas completas consistem em duas partes com os valores limites
( )limplM,u V/V . A força cortante influencia o momento fletor último
desprezivelmente. A força cortante influencia o momento fletor último
significativamente. Para isto, a relação deveria ser menor que a proporção limite
lim,M,uV<V
,M,uV>V
V/V
V,uM
V,uM lim
pl
( )limplM,u V/V . Este fato é muito importante, especialmente, para o projeto econômico de
seções transversais híbridas e vigas esbeltas.
As fórmulas de interação sugeridas podem ser também usadas para projetos
práticos de vigas esbeltas. O efeito da força cortante com a proporção pode ser
desprezado.
5.0<V/V pl
O mecanismo de ruptura de uma viga esbelta com alto efeito da força cortante
parece ainda problemático, mas deste ponto de vista o mecanismo que é aplicado na presente
análise teórica e nos procedimentos de cálculo é seguro.
3.3.2 Teoria de YU (1991)
3.3.2.1 Tensões de cisalhamento admissíveis e resistência de almas
101
De acordo com YU (1991), quando a alma com proporção h/t relativamente
pequena é sujeita a tensão de cisalhamento, a capacidade ao cisalhamento da viga é
provavelmente governada pelo escoamento ao cisalhamento com a tensão máxima de 3/Fy
na linha neutra. Por esta razão, a tensão de cisalhamento para tal alma com pequena proporção
h/t deveria ser baseada no escoamento ao cisalhamento com o devido fator de segurança de
1.44, isto é,
yy
v F40.0=44.11
3
F=F (3.3.2.1)
O uso de um menor fator de segurança de 1.44 para escoamento em cisalhamento
é justificado, para uso permanente, pelas conseqüências menores do escoamento incipiente em
cisalhamento comparadas com aquelas associadas com escoamento em tração e compressão.
Para isto, a força cortante para escoamento é determinada pela tensão de
cisalhamento admissível fornecida na equação 3.3.2.1 e a área da alma, ht, como se segue:
( )( )htF40.0=V ya (3.3.2.2)
Para almas com grandes proporções h/t, a capacidade ao cortante da alma é
governada pela flambagem ao cisalhamento. A figura 3.3.2.1 mostra um típico padrão de
ruptura por cisalhamento, uma série de ondas inclinadas desenvolvidas em uma chapa
infinitamente longa devido à flambagem ao cisalhamento. A tensão crítica de flambagem
elástica é dada pela equação 3.3.2.3.
( )( )
2v
cr 22
k E12 1 h / t
πτ =
−ν (3.3.2.3)
Substituindo na equação 3.3.2.3, 3.0=ν
( )MPa ,
t/hEk904.0
τ 2v
cr = (3.3.2.4)
De acordo com YU (1991), se o valor teórico computado de é menor que o
limite proporcional em cisalhamento
crτ
( )yτ8.0 , a tensão admissível para flambagem elástica
pode ser obtida pela equação 3.3.2.4 aplicando o fator de segurança:
( )MPa ,
t/hEk53.0
F 2v
v = (3.3.2.5)
A equação 3.3.2.5 fornece o fator de segurança de 1.71. Conseqüentemente, a
resistência ao cortante admissível para flambagem elástica pode ser determinada pela equação
3.3.2.6:
102
( )( )
hEtk53.0
=htt/h
Ek53.0=V
3v
2v
a (3.3.2.6)
Para almas tendo proporções moderadas de h/t, o valor teórico computado de
pode exceder o limite proporcional em cisalhamento. O valor teórico da tensão crítica de
flambagem ao cisalhamento deveria ser reduzida de acordo com a mudança no módulo de
elasticidade. Considerando a influência do endurecimento pela deformação, a fórmula de
redução pode ser usada:
crτ
criprcr ττ=τ (3.3.2.7)
onde
prτ = limite proporcional em cisalhamento, = ( )3/F8.0=τ8.0 yy
criτ = tensão crítica de flambagem ao cisalhamento inicial, equação 3.3.2.3
Figura 3.3.2.1 (YU, 1991) – Flambagem por cisalhamento de chapas infinitamente longas. (a) lados simplesmente apoiados. (b) lados fixos.
Substituindo os valores de e na equação 3.3.2.7, pode-se obter a equação
3.3.2.8 para a tensão de flambagem ao cisalhamento na extensão inelástica, isto é,
prτ criτ
103
t/h
EFk64.0=τ
yv
cr (3.3.2.8)
Consequentemente a tensão admissível de flambagem ao cisalhamento na
extensão inelástica pode ser obtida por pela equação 3.3.2.8 e o fator de segurança de 1.67
como mostrado pela equação 3.3.2.9,
t/h
EFk38.0=F
yv
v (3.3.2.9)
A resistência admissível ao cisalhamento para flambagem inelástica é
( ) EFkt38.0=htt/h
EFk38.0=V yv
2yv
a (3.3.2.10)
Tabela 3.3.2.1 (YU, 1991) – Tensões de cisalhamento admissíveis, MPa. MPa228Fy = MPa345Fy =
a/h a/h h/t 0.5 1.0 2.0 3.0 >3 0.5 1.0 2.0 3.0 >3
50 91.2 91.2 91.2 91.2 91.2 138.0 138.0 138.0 138.0 138.060 91.2 91.2 91.2 91.2 91.2 138.0 138.0 134.6 128.3 123.570 91.2 91.2 91.2 89.7 85.6 138.0 138.0 115.2 110.4 105.680 91.2 91.2 82.1 78.0 75.2 138.0 122.1 100.7 96.6 89.7 90 91.2 88.2 73.1 69.7 66.9 138.0 109.0 84.2 76.6 71.1 100 91.2 79.4 65.6 62.1 57.3 138.0 98.0 68.3 62.1 57.3 110 91.2 72.5 56.6 51.1 47.6 138.0 82.8 56.6 51.1 47.6 120 91.2 66.2 47.6 43.5 40.0 134.6 69.7 47.6 43.5 40.0 130 91.2 60.4 40.0 36.6 33.8 124.2 54.3 40.0 36.6 33.8 140 91.2 51.1 34.5 31.7 29.0 115.2 51.1 34.5 31.7 29.0 150 87.6 44.9 30.4 27.6 25.5 107.6 44.9 30.4 27.6 25.5 160 82.1 39.3 26.9 24.2 22.1 100.7 39.3 26.9 24.2 22.1 170 77.3 34.5 23.5 21.4 20.0 94.5 34.5 23.5 21.4 20.0 180 73.1 31.1 20.7 19.3 17.9 84.2 31.1 20.7 19.3 17.9 190 69.0 27.6 18.6 17.3 15.9 75.2 27.6 18.6 17.3 15.9 200 65.5 24.8 17.3 15.9 14.5 68.3 24.8 17.3 15.9 14.5 220 56.6 20.7 13.8 13.1 11.7 56.6 20.7 13.8 13.1 11.7 240 47.6 17.3 11.7 11.0 9.7 47.6 17.3 11.7 11.0 9.7 260 40.2 15.2 10.4 9.0 8.3 40.0 15.2 10.4 9.0 8.3 280 34.5 13.1 9.0 8.3 7.6 34.5 13.1 9.0 8.3 7.6 300 30.4 11.0 7.6 6.9 6.2 30.4 11.0 7.6 6.9 6.2
No projeto de vigas, a força cisalhante em qualquer seção não deve exceder o
seguinte valor admissível:
Para v yh / t 1.38 k E / F≤ ,
104
2a v yV 0.38t k F E 0.4F ht= ≤ y (3.3.2.11)
Para yv F/Ek38.1>t/h ,
hEtk53.0
=V3
va (3.3.2.12)
A tabela 3.3.2.1 fornece as tensões admissíveis para =228 e 345 MPa. yF
Na tabela 3.3.2.1, os valores acima das linhas sólidas horizontais são baseados na
equação 3.3.2.1; valores entre as linhas sólidas e as pontilhadas horizontais são baseadas na
equação 3.3.2.9; e os valores abaixo das linhas pontilhadas horizontais são baseados na
equação 3.3.2.5.
3.3.3 Teoria de HÖGLUND (1998)
3.3.3.1 Resistência à flambagem por cisalhamento de vigas esbeltas de aço e de
alumínio
O método do campo de tensões principais proposto por HÖGLUND (1998) foi
originalmente desenvolvido para vigas com enrijecedores de alma somente nos suportes, uma
estrutura para a qual outros métodos do campo de tração são conservativos.
Nesta proposta de projeto a força cortante admissível foi reduzida para altas
proporções de esbeltez por causa do número limitado de testes, até o presente momento
somente duas para para vigas sem enrijecedores intermediários. Desde então um
número de testes foi feito, mostrando que esta redução não é necessária.
wt/h
210>t w/h
3.3.3.1.1 Alma com enrijecedores somente no suporte
Para almas em cisalhamento existe uma substancial resistência pós-flambagem se
provideciado que, após a flambagem, tensões de membrana de tração, ancoradas em mesas e
enrijecedores transversais nos arredores, possa se desenvolver. Em estado puro de
cisalhamento o valor absoluto das tensões principais de membrana e são os mesmos
até que a flambagem não ocorra
1σ 2σ
( )crτ<τ . Após atingir a carga de flambagem ( )wcrcr htτ=V a
chapa da alma irá flambar e a redistribuição de tensões começa. Carga aumentada resulta em
tensão de tração aumentada, mas tensão de compressão aumentada desprezivelmente. 1σ 2σ
105
Para uma alma muito delgada, após a flambagem, é muito menor que e
pode ser desprezada. Se as mesas são prevenidas de se aproximarem umas das outras, como
na figura 3.3.3.1, então
2σ 1σ
φ2sinσ5.0=φcosφsinσ=τ 11 (3.3.3.1)
A direção da tensão de tração é escolhida para obter . Colocando
igual à resistência ao escoamento da alma, , então o resultado é
máximo=τ 1σ
ywf
o45=φ para 23
=ff5.0
=fτ
v
yw
v
u (3.3.3.2)
onde
3
f=f yw
v (3.3.3.3)
Esta teoria, freqüentemente chamada de teoria do campo de tração ideal, é válida
somente se as mesas são prevenidas de se moverem uma em relação à outra por uma estrutura
externa, um painel interno à chapa com vigas transversais rígidas e traves. Em uma viga
longa, com enrijecedores transversais somente no finais, nada além da alma previne as mesa
de se moverem uma em relação à outra, esta é a causa das tensões de membrana na direção
transversal serem zero. O equilíbrio para o triângulo de acordo com a figura 3.3.3.2 fornece
φtanτ
=σ1 (3.3.3.4)
2 tanσ = −τ φ (3.3.3.5)
onde constitui a direção das tensões principais. φ
Este estado de tensão, segundo HÖGLUND (1998), tem a componente de tensão
na direção longitudinal hσ
h 11 tan
tan⎛ ⎞
σ = τ − φ = σ +σ⎜ ⎟φ⎝ ⎠2 (3.3.3.6)
A força longitudinal total na alma é menor que
whh htσ=N (3.3.3.7)
porque perto da mesas existe mais ou menos o estado de tensão de cisalhamento puro.
Esta força deve ser ancorada nos finais da viga por uma pequena viga transversal
chamada pilar final rígido, usada para desenvolver o campo de tensões principais, de acordo
com a figura 3.3.3.2a. Este pilar final é apoiado pelas mesas, que resulta em forças
compressivas nas mesas nos finais da viga.
106
Figura 3.3.3.1 (HÖGLUND, 1998) – Estado de tensão em uma alma muito delgada com lados transversalmente restringidos (campo de tração ideal).
Figura 3.3.3.2 (HÖGLUND, 1998) – Estado de tensão na alma de uma viga com enrijecedores transversais somente nos finais (campo de tensões principais).
A resistência última ao cisalhamento pode ser derivada usando o critério de
escoamento de Von Mises
2 21 1 2 2 yfσ −σ σ +σ = 2
w
r
(3.3.3.8)
e assumindo que a tensão compressiva permanece igual à tensão cisalhante de flambagem
após a flambagem, mas agindo em um ângulo menor que o45
2 cσ = −τ (3.3.3.9)
Além disso, o parâmetro de esbeltez é introduzido wλ
cr
vw τ
f=λ onde
( )22
wcr 2
tEkh12 1τ
π ⎛ ⎞τ = ⎜ ⎟− ν ⎝ ⎠ (3.3.3.10)
Das equações 3.3.3.3 e 3.3.3.5, 3.3.3.8 e 3.3.3.10 a resistência última pode
ser derivada como função de λ
τ=τ u
w
107
4u
w4 2v w w w
3 1 11 para 1.0f 4 2 3τ
= − − λ ≥λ λ λ
(3.3.3.11)
A grande raiz quadrada na equação 3.3.3.11 se aproxima de 1.0 se . Então 5.2λw ≥
uw
v w
1.32 para 2.5fτ
≈ λλ
>
é
(3.3.3.12)
A inclinação da tensão de tração σ definida pelo ângulo φ é decrescida quando a
proporção uτ incrementada.
1
crτ/
No diagrama na figura 3.3.3.3, é obtida como função do parâmetro de
esbeltez . A tensão de cisalhamento correspondente à carga de flambagem, 1 , é
também fornecida no diagrama, bem como a linha correspondente ao campo de tração ideal e
alguns resultados de testes em vigas esbeltas com enrijecedores somente nos suportes.
vu f/τ
wλ2wλ/
Os círculos sólidos são testes em vigas com pilares finais rígidos. Estes testes
concordam muito bem com a curva para a teoria do campo de tensões principais.
Figura 3.3.3.3 (HÖGLUND, 1998) – Força cortante resistente de acordo com as teorias do campo de tração e testes.
Os círculos vazios correspondem a vigas com somente um enrijecedor no final da
viga, pilar final não-rígido. Tais pilares finais têm uma habilidade limitada para servir como
ancoragem para a tensão de membrana longitudinal, e daí a carga última é menor que para
vigas com pilares finais rígidos. Mas há ainda uma substancial resistência pós flambagem.
Segundo HÖGLUND (1998), nos critérios do Eurocode 3, Part 1.5 (estruturas de
chapa) e Eurocode 9 (estruturas de alumínio), as fórmulas de projeto para o fator de redução
108
yw
uv f
τ=ρ (3.3.3.13)
são fornecidas. O valor de (denotado por no Eurocode 3, Part 1.5) é um tanto reduzida
comparada à teoria do campo de tensões rotacionado para permitir a dispersão nos resultados
de teste como resultado de imperfeições iniciais e flambagem plástica.
vρ vχ
Tabela 3.3.3.1 (HÖGLUND, 1998) – Fator de redução para flambagem por cisalhamento.
vρ
Pilar final rígido wλ
Aço Alumínio Pilar final não-rígido
η/48.0<λw η η η
w0.48 / 0.95η ≤ λ < wλ/48.0 wλ/48.0 wλ/48.0
w0.95 1.08≤ λ < wλ/48.0 ( )wλ+66.1/32.1 wλ/48.0
w 1.08λ ≥ ( )wλ+7.0/79.0 ( )wλ+66.1/32.1 wλ/48.0
Figura 3.3.3.4 (HÖGLUND, 1998) – Fator de redução ρ para flambagem por cisalhamento.
v
A capacidade à força cortante é
wwywvw thfρ=V (3.3.3.14)
O fator de redução de flambagem por cisalhamento ρ é fornecido na tabela
3.3.3.1 e no diagrama na figura 3.3.3.4.
v
109
Para parâmetros de esbeltez menores, , o endurecimento pela
deformação em cisalhamento toma lugar, obtendo-se maior resistência que a correspondente
ao escoamento inicial,
η/48.0<λw
1/ 3 0.58η = ≈ . Então
η = 0.70 para S235, S275 e S355 η = 0.60 para S420 e S460 η = ( ) ( )ywuw f/f2.0+4.0 para alumínio onde é a resistência última do material
da alma.
uwf
3.3.3.1.2 Alma enrijecida transversalmente
De acordo com HÖGLUND (1998), enrijecedores transversais soldados à alma
têm dois efeitos principais no comportamento e resistência da viga em cisalhamento:
primeiro, eles previnem a alma de deflexões fora do plano, então aumentando a resistência de
flambagem elástica, e segundo, eles previnem as mesas de se aproximarem uma da outra.
Se a rigidez à flexão das mesas em relação ao eixo no centro da mesa é alta, então
a prevenção das mesas em se moverem uma em relação à outra pode ser alta.
O coeficiente de flambagem ao cisalhamento é, se apoios simples são assumidos
ao redor de todo o painel da alma de comprimento a e largura h,
( )2τ a/h4+34.5=k quando (a) a / h 1.0≥
( )2τ a/h34.5+4=k quando (b) 0.1<h/a
(3.3.3.15)
3.3.3.1.3 Influência de mesas rígidas
Como mencionado, enrijecedores transversais previnem a alma de se defletirem e
previne as mesas de se aproximarem uma da outra nos enrijecedores. No estágio de ruptura,
quatro rótulas, denotadas por E, H, G e K, se formam nas mesas de topo e de fundo, de acordo
com a figura 3.3.3.5b. O campo de tensões de tração, EHGK, se desenvolve na alma. Este
campo de tensão de tração se difere do descrito, nesta instância, por Rockey e Skaloud (1969
apud HÖGLUND, 1998), em que é assumido que este se desenvolve entre as mesas somente.
As outras partes do campo de tração idealizado por Rockey e Skaloud pode ser imaginada
como abrangendo o modelo de tensão rotacionada mostrado na figura 3.3.3.5a. A força
110
cortante, , que é transmitida pelo campo de tensão de tração é obtida pela equação de
equilíbrio da porção c da mesa. Esta equação fornece
fV
cfZ4
=V yfff (3.3.3.16)
as tensões de tração no campo de tensão de tração produz o efeito de enrijecimento na alma
(este efeito é favorável à capacidade de carga) ao mesmo tempo que a tensão efetiva aumenta
na alma (este efeito é mais desfavorável).
Contudo, é assumido que a resistência ao cisalhamento da alma, , não é
mudada pela formação do campo de tração entre as mesas. Então a resistência ao
cisalhamento da viga, , é a soma da resistência ao cisalhamento da alma, , e a
resistência ao cisalhamento contribuída pelas mesas, ,
wV
uV wV
fV
fwu V+V=V (3.3.3.17)
Como foi mostrado pela série de testes realizados por Rockey e Skaloud (1968 apud
HÖGLUND, 1998) e por Skaloud (1971 apud HÖGLUND, 1998) a distância c entre as
rótulas plásticas nas mesas variam de 0.16 a 0.55 vezes o espaçamento a dos enrijecedores,
dependendo da rigidez das mesas. A distância c é estimada pela equação 3.3.3.18 para vigas
esbeltas de aço.
Figura 3.3.3.5 (HÖGLUND, 1998) – Modelo de alma na extensão pós-flambagem. (a) Força cortante carregada pela alma pelo campo de tensões principais. (b) Força cortante carregada pela ação de treliça, desenvolvimento do qual é dependente da rigidez das mesas. (c) Notações para a seção transversal.
2
f f yf2
w w yw
1.6b t fc 0.25
t h f⎛ ⎞
= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
a (3.3.3.18)
Para vigas esbeltas de alumínio os coeficientes 0.25 e 1.6 na equação 3.3.3.18 são
substituídos por 0.08 e 4.4 para alumínio.
111
3.3.3.2 Comportamento geral e efeito de pilar final rígido e não-rígido em vigas
esbeltas de aço inoxidável carregadas em cisalhamento. Propostas de projeto
3.3.3.2.1 Introdução
ESTRADA, REAL E MIRAMBELL (2006) estudaram o efeito dos pilares finais
rigidos e não-rígidos na resistência ao cortante dos painéis finais de vigas esbeltas.
Durante a extensão pós-crítica, desde que tensões compressivas diretas não
possam se desenvolver mais, a carga adicional é resistida por um aumento das tensões de
tração com a formação de um campo de tração diagonal que pode ser esquematicamente
assumido como treliça pratt, onde as cordas e o pilares são providenciados pelas mesas e os
enrijecedores transversais. Uma resistência pós-flambagem significante pode ser mobilizada
por causa desta ação de tração diagonal. No caso de aço inoxidável, atenção especial pode ser
dada ao efeito de que a não-linearidade do material e o endurecimento pela deformação têm
em todo este mecanismo resistente. Além disso, o efeito da condição rígida e não-rígida do
pilar final foi avaliado desde que este é um dos parâmetros que claramente influenciam no
projeto último de vigas esbeltas.
O fenômeno físico desenvolvido em vigas esbeltas de aço inoxidável carregadas
em cisalhamento foi demonstrado para ser qualitativamente o mesmo que o desenvolvido em
vigas esbeltas de aço carbono mas claramente influenciado pela não-linearidade do material.
O principal efeito do comportamento não-linear do material é a redução da capacidade
resistente do elemento estrutural, também demonstrado e avaliado na determinação da
resistência à flambagem por cisalhamento.
De acordo com ESTRADA, REAL E MIRAMBELL (2006), as expressões de
projeto corrente incluídas no Eurocode 3, Part 1-4 para prever a capacidade última de vigas
esbeltas de aço inoxidável são claramente conservativas. Então, expressões analíticas
específicas devem ser desenvolvidas para uma predicção mais precisa da capacidade última
de vigas esbeltas de aço inoxidável.
Para alcançar este objetivo, a investigação analítica e numérica previamente
iniciada foi expendida para melhorar a compreensão fundamental do mecanismo resistente
desenvolvido durante a extensão pós-flambagem em conjunção com o efeito da esbeltez do
painel da alma e a proporção de aspecto na resistência ao cisalhamento última de vigas
esbeltas de aço inoxidável.
112
3.3.3.2.2 Discussão breve sobre os modelos teóricos para calcular a capacidade última em
vigas esbeltas de aço. Requerimentos para o pilar final
A resistência ao cisalhamento é correntemente baseada em modelos de projeto
pós-crítico. Algumas teorias diferentes foram desenvolvidas durante o último século para
ilustrar e modelar o comportamento pós-flambagem em vigas esbeltas de aço para finalmente
prever a capacidade última desses elementos estruturais carregados em cisalhamento. De fato
houve uma constante controvérsia entre pesquisadores tentando adequadamente explicar o
comportamento físico pós-flambagem dos painéis da alma. A tensão de cisalhamento não-
linear e a interação com a tensão normal toma lugar no começo da flambagem elástica por
cisalhamento acima do estado de resistência última e é tão complexo que qualquer atenção em
endereçar este fenômeno para formas fechadas de soluções clássicas parece ser quase um
exercício fútil. Nos dias atuais, há dois modelos nos quais a formulação é incluída em mais
códigos correntes: o modelo de Campo de Tração desenvolvido por Rockey et al. (1975 apud
ESTRADA, REAL E MIRAMBELL, 2006) e o modelo de Campo de Tensões Principais
desenvolvido por Höglund (1998 apud ESTRADA, REAL E MIRAMBELL, 2006).
A formulação do modelo de Campo de Tensões Principais afirma que a resistência
ao cisalhamento da viga, , é a soma da resistência ao cisalhamento fornecido pela alma,
, e a resistência ao cisalhameto contribuída pelas mesas, , como é expresso na seguinte
equação 3.3.3.19 e figura 3.3.3.6.
uV
wV fV
( )3
fdtχ+χ=V+V=V y
wfwfwu (3.3.3.19)
Então, este campo de tração difere do campo de tração no qual é assumido a se
desenvolver entre as mesas somente. As outras partes do campo de tração idealizado por
Rockey e Skaloud podem ser imaginadas estando incluídas no modelo de tensão principal
mostrado na figura 3.3.3.6a. Esta situação faz as expressões analíticas fornecidas pelo modelo
de Campo de Tração (equação 3.3.3.20) mais fácil de ser entendida desde que cada um dos
componentes incluídos na formulação de corresponda a um dos estágios definidos durante
o processo de carregamento de cisalhamento (figura 3.3.3.7)
uV
( ) ( )[ ]φsinσgt9.0+τdt=V bbwbbwRd,bb (3.3.3.20)
Tendo alcançado este ponto da discussão, atenção especial é dada às condições de
rigidez requeridas aos enrijecedores transversais do pilar final na formulação dos modelos
apresentados. Nos dois modelos um pilar final satisfatório deve ser capaz de providenciar
113
adequada ancoragem para a componente longitudinal das tensões de tração desenvolvidas na
alma durante a extensão pós-flambagem. De qualquer forma, as condições requeridas pelos
enrijecedores em cada modelo são diferentemente formuladas.
No método do campo de tração, se for definida a componente horizontal da banda
de tração como , a rigidez do pilar final deve cumprir com o requerimento fornecido pela
equação 3.3.3.21 em ordem de totalmente desenvolver a ação do campo de tração:
σH
pl,C pl,H sM M 0.5H cσ+ ≥ (3.3.3.21)
Figura 3.3.3.6 (ESTRADA, REAL E MIRAMBELL, 2006) – Modelo do campo de tensões principais (a) Contribuição da alma (b) Contribuição da mesa . wV fV
O mecanismo de colapso é fornecido pela formação de rótulas plásticas no topo
do pilar final (ponto C) e no ponto intermediário (H), como ilustrado na figura 3.3.3.8. O
comprimento , que é a distância entre ambas as rótulas plásticas, é a profundidade de
ancoragem da banda de tração diagonal no pilar final. Então, análise plástica é considerada
para determinar os requerimentos dos enrijecedores transversais projetados como pilares
finais.
sc
Figura 3.3.3.7 (ESTRADA, REAL E MIRAMBELL, 2006) – Modelo do campo de tração. Estágios de comportamento em uma chapa sob carga de cisalhamento.
114
Por outro lado, o método do campo de tensões rotacionado distingue pilar final
rígido e não-rígido. O pilar final rígido inclui a viga I formada no final da viga esbelta
providenciando dois enrijecedores nos dois lados ou inserindo uma seção laminada a quente.
Esta pequena viga resultante (ver figura 3.3.3.9) resiste às tensões de membrana horizontais
desenvolvidas no painel da alma pela sua resistência à flexão. Então, a seção transversal
requerida de uma mesa da viga pequena é determinada pela demanda de momento fletor. eA
Figura 3.3.3.8 (ESTRADA, REAL E MIRAMBELL, 2006) – Requerimentos para os pilares finais. Modelo do campo de tração. Análise plástica.
A componente horizontal da tensão de membrana desenvolvida na alma
durante o processo de resposta ao cisalhamento foi demonstrada por Höglund (1998 apud
ESTRADA, REAL E MIRAMBELL, 2006) para ser capaz de ser aproximado, para altos
valores de esbeltez, como mostra a equação 3.3.3.22:
hσ
τ
ww
wy
h
kε4.37t/d
=λ onde λ43.0
=fσ
(3.3.3.22)
Definindo como a força horizontal agindo na pequena viga e introduzindo a
expressão de , o momento fletor máximo pode ser calculado. Desde que na realidade
varia ao longo da altura (ver figura 3.3.3.9), uma carga uniformemente distribuída equivalente
foi considerada, . Por outro lado, sendo o módulo da seção , a máxima tensão é
calculada como:
whh tσ=q
wλ
eq,hq
hq
eA=W e
edAdft4
=W
M=σ
e
2y
2wmax
max (3.3.3.23)
Finalmente impondo o critério de Von Mises desprezando a presença de tensões
de cisalhamento na viga curta, o requerimento para obtido é apresentado na seguinte
equação:
eA
115
2w
e4dtA
e≥ (3.3.3.24)
Para o caso geral, quando o pilar final não é feito de enrijecedores planos, a
condição requerida passa a ser: 2wmin dt4=W (3.3.3.25)
Figura 3.3.3.9 (ESTRADA, REAL E MIRAMBELL, 2006) – Requerimentos para os pilares finais. Modelo do campo de tensões principais. Análise elástica.
Todos os pilares finais que não satisfazem este critério de projeto são
considerados como não-rígidos. Além do mais, painéis finais projetados com um único
enrijecedor são tidos como não-rígidos no método do campo de tensões principais. Como
observado pelo desenvolvimento matemático apresentado acima, no caso do método do
campo de tensões rotacionado, análise elástica é considerada para atingir o critério de projeto
para a condição de rígido em pilar final.
Isto é então importante para esboçar o fato da análise plástica ou elástica aplicada
levar a condições diferentes requeridas para os pilares finais. Como esperado, geometrias que
satisfazem a condição fornecida para o desenvolvimento de análise plástica irá atingir um
favorecido desenvolvimento das tensões do campo de tração e conseqüentemente, maior
resistência pós-flambagem.
3.4 Método de dimensionamento de vigas esbeltas de acordo com a NBR 8800/86
Para efeito de projeto, PFEIL (1989) afirma que os aços podem ser designados por
números que exprimem os respectivos limites de escoamento em MPa, precedidos das letras
116
MR (média resistência) ou AR (alta resistência):
)(comercial comum Aço 240 MR MPa 240=f y MPa 370=f u
A36 ASTM Aço 250 MR MPa 250=f y MPa 400=f u
aresistênci alta de Aço 345 AR MPa 345=f y MPa 450=f u
f y
elf
Figura 3.4.1 (PFEIL, 1989) – Diagrama tensão-deformação para perfis simples ou compostos (aço com patamar de escoamento).
=f y limite de escoamento real =f el limite de proporcionalidade ou de elasticidade
De acordo com PFEIL (1989), denomina-se limite de proporcionalidade do aço
em perfis, a tensão acima da qual o diagrama deixa de ser linear. ε-σ
Tabela 3.4.1 (PFEIL, 1989) – Propriedades mecânicas de aços (perfis laminados ou soldados)
Tipo de aço ( )MPafel ( )MPaf y
MR 240 190 240 MR 250 200 250 AR 345 280 345
Os aços MR 240 e AR 345, em perfis simples ou compostos, apresentam valores
do limite de proporcionalidade da ordem de 80% dos respectivos limites de escoamento
em barras, de acordo com a tabela 3.4.1.
elf
3.4.1 Dimensionamento a flexão
117
3.4.1.1 Momento resistente plástico ( )pM e momento de início de plastificação ( )yM
Na figura 3.4.2 está representada uma seção com um eixo de simetria, sujeita a
flexão simples. O momento resistente plástico corresponde ao diagrama simplificado,
formado por dois retângulos com ordenada . Aplicando-se as equações de equilíbrio da
estática plana, obtém-se:
pM
yf
y
fy
fy
G'Mp
Figura 3.4.2 (PFEIL, 1989) – Momento resistente plástico ( )pM de uma seção com eixo de simetria
a. V 0=∑
0=0 (3.4.1)
b. N 0=∑
tycy Af=Af (3.4.2)
c. M 0=∑
p y yAM f y dA=f= ∫ Z (3.4.3)
onde Z é o módulo plástico da seção, referido ao eixo horizontal passando em G’.
O ponto G’, de transição do diagrama de tensões normais, divide a seção em duas
partes de igual área.
O momento que provoca o início da plastificação da seção, é dado pela
fórmula elástica
yM
118
Wf=M yy (3.4.4)
onde W é o módulo elástico de resistência da seção, referido ao eixo horizontal passando no
centro de gravidade.
A relação entre os momentos de plastificação total e incipiente denomina-se
coeficiente de forma da seção:
WZ
=MM
=forma de .coefy
p (3.4.5)
Para seções I, são apresentados valores do módulo plástico e do coeficiente de
forma na tabela 3.4.2.
Tabela 3.4.2 (PFEIL, 1989) – Módulo plástico (Z) e coeficiente de forma (Z/W) de seções de vigas.
Seção Módulo plástico Z Z/W
ft
x ht0
y
b
(x-x) ( ) ( )20f f f
tbt h t h 2t4
− + − 1.12 (aprox.)
3.4.1.2 Resistência à flexão de vigas com contenção lateral contínua
PFEIL (1989) afirma que as vigas com contenção lateral contínua não estão
sujeitas ao fenômeno de flambagem lateral.
A resistência das vigas à flexão pode ser reduzida por efeito de flambagem local
das chapas que constituem o perfil.
O momento resistente de projeto ( )res dM é dado por
90.0=φ com ,Mφ=M bnbres d (3.4.6)
nM = momento resistente nominal, obtido por análise, sendo o valor determinado pelo limite
de escoamento do aço, ou por flambagem.
De acordo com PFEIL (1989), as seções das vigas podem ser divididas em quatro
classes, com as propriedades descritas na tabela 3.4.3, e os respectivos momentos nominais
. nM
119
As categorias da tabela 3.4.3 são definidas por valores limites das relações
largura/espessura das chapas componentes do perfil. Para perfis I fletidos no plano da alma
(figura 3.4.2), verificam-se os limites da tabela 3.4.4.
Tabela 3.4.3 (PFEIL, 1989) – Classificação das seções das vigas quanto ao efeito de flambagem local. Classe Características Momento nominal ( )nM
1
Seções super-compactas (utilizadas no método plástico): são as que permitem que seja atingido o momento de plastificação ( )pM e a subsequente redistribuição de momentos fletores.
yp Zf=M
2
Seções compactas: são as que permitem que seja atingido o momento de plastificação ( )pM , mas não necessariamente subseqüente redistribuição de momentos fletores.
yp Zf=M
3
Seções semi-compactas: são as que permitem que seja atingido o momento correspondente ao início do escoamento ( )yM , incluindo ou não tensões residuais.
Interpolação linear entre (fórmula 3.4.8) rp M e M
4 Seções esbeltas: são as que estão sujeitas a flambagem local de um de seus elementos comprimidos.
crcr Wf=M
crf = tensão resistente à flexão determinada pela flambagem local da mesa ou da alma do perfil (tensão crítica de flambagem).
rM
b =λ= momento resistente nominal para a situação limite entre as classes 3 e 4, isto é,
(tabela 3.4.4). brλ
Segundo PFEIL (1989), a relação f
f
tb
21
em vigas de classe 2 é inferior à relação
correspondente em colunas, porque nas vigas a plastificação geral exige rotação adicional da
seção, enquanto nas colunas o início da plastificação coincide com a plastificação total.
As considerações de seções super-compactas (classe 1) só tem interesse quando se
deseja analisar estruturas hiperestáticas em regime inelástico, levando-se em conta a
redistribuição dos momentos provocada pelas rótulas plásticas.
Na situação limite entre seções semi-compactas (classe 3) e seções esbeltas (classe
4), isto é, para , o momento resistente nominal denomina-se é dado pelas
expressões:
brb λ=λ rM
- flambagem local da mesa
120
( )r c y r tM W f f W f= − ≤ y (3.4.7a)
rf = tensão residual em perfis laminados ou soldados, considerada igual a 115 MPa.
Tabela 3.4.4 (PFEIL, 1989) – Valores limites da relação largura/espessura de seções I ou H, com um ou dois eixos de simetria, fletidos no plano da alma.
Flambagem local da mesa
f
fb t
b21
=λ
Flambagem local da alma
0
0b t
h=λ
tipo de seção C
lass
e
geral
MR
-250
AR
-350
geral
MR
-250
AR
-350
Super-compacta 1
yfE
30.0 8.5 7 yf
E35.2 67 57
Compacta 2 y
bp fE
38.0=λ 11 9 y
bp fE
5.3=λ 100 85
Semi-compacta 3 br
y r
E0.82f f
λ =−
28 22 y
br fE
6.5=λ 160 136
- flambagem local da alma
ycr fW=M (3.4.7b)
Nas seções semi-compactas (classe 3), os momentos nominais podem ser
interpolados linearmente entre os valores das classes 2 e 3:
( )b bpn p p
br bp
M M M Mr
λ −λ= − −
λ −λ (3.4.8)
3.4.1.2.1 Momento resistente de cálculo de vigas I com alma esbelta
De acordo com PFEIL (1989), nas vigas I com alma esbelta, onde
0 0
0 y 0 máx
h hE5,6 , t f t
⎛ ⎞> ≤ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
121
com 0
0 máx
ht
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
dado pelas fórmulas 3.4.25 e 3.4.30, porém cujos flanges (mesas) atendam os
limites da tabela 3.4.4 para classe 3, o momento resistente de cálculo pode ser calculado com
a expressão:
kfW=M yxres d (3.4.9)
k= coeficiente de redução decorrente de flambagem da alma sob tensões normais de flexão
0 0 0
f f 0 y
h t h Ek 1 0.0005 5,6b t t f
⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠ (3.4.10)
3.4.1.3 Resistência à flexão de vigas sem contenção lateral contínua. Flambagem
lateral
A mesa comprimida de uma viga funciona como uma coluna entre pontos de
apoio laterais, podendo flambar no seu próprio plano. As tensões resistentes de compressão
dependem da esbeltez da mesa comprimida no seu próprio plano (a flambagem da mesa no
plano da alma é impedida por esta). Segundo PFEIL (1989), são de grande importância as
disposições construtivas de contenção lateral, onde existem dois tipos bem definidos:
a) embebimento da mesa comprimida em laje de concreto. Neste caso, tem-se
contenção lateral contínua;
b) apoios laterais formados por quadros transversais, treliças de contraventamento
e outros, com rigidez suficiente. Neste caso, a contenção lateral atua nos pontos de contato do
flange comprimido com os quadros transversais. A distância entre esses pontos de contato
constitui o comprimento de flambagem lateral da viga. bl
Nos pontos de apoio vertical das vigas, admite-se sempre existência de contenção
lateral, que impede o tombamento do perfil.
As vigas sem contenção lateral contínua podem ser divididas em três categorias,
dependendo da distância entre os pontos de apoio lateral.
Nas vigas curtas, o efeito de flambagem lateral pode ser desprezado. A viga atinge
o momento definido por escoamento ou flambagem local.
As vigas longas rompem por flambagem lateral em regime elástico, atingindo o
momento crM .
As vigas intermediárias apresentam ruptura por flambagem lateral inelástica.
122
3.4.1.3.1 Cálculo simplificado da resistência à flexão de vigas I com um ou dois eixos
de simetria, fletidas no plano da alma
PFEIL (1989) apresentou uma formulação simplificada de cálculo para
flambagem lateral, baseada na norma americana AASHTO.
a) vigas curtas
Nas vigas curtas, o momento resistente é igual ao de vigas com contenção lateral
contínua. A condição para se ter viga curta é:
yfc
b
fE
6.5<bl
(3.4.11)
b) vigas longas
O momento fletor resistente nominal ( )nM pode ser obtido com uma fórmula
empírica parabólica: 2
y bn cr y 2
fc
3f 2lM M Wf 14 E 0.9b
⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥= = − ⎜ ⎟π⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
(3.4.12)
A fórmula acima admite o caso mais desfavorável de momento solicitante
uniforme no segmento bl .
Condição para se ter viga longa:
b
fc fc y
l h E0,68b t f
≥ (3.4.13)
c) vigas de comprimento intermediário
Para comprimento situado entre os limites 3.4.11 e 3.4.13, o momento
resistente nominal é obtido por interpolação linear.
bl
3.4.1.3.2 Momento crítico de vigas I com um ou dois eixos de simetria, carregadas no
plano da alma
De acordo com PFEIL (1989), para vigas I ou H com dois eixos de simetria, pode-
se obter um valor mais exato do momento crítico de flambagem lateral com a expressão:
123
( )
22
cr b x 2b f f b T
0,69E 9,70EM C Wl h / b t l / i
⎛ ⎞⎛ ⎞= + ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(3.4.14)
bC = coeficiente que leva em conta o efeito favorável de o momento não ser uniforme no
segmento . Em qualquer caso, PFEIL (1989) observa que pode-se tomar , que estará
correto ou a favor da segurança.
bl 1=Cb
Ti = raio de giração da seção formada pela mesa comprimida mais 1/3 da região comprimida
da alma, (aproximadamente igual a 1/6 da área total da alma), calculado em relação ao eixo
situado no plano médio da alma.
6/th+bt12/bt
=i00ff
3ff
T (3.4.15)
3.4.1.3.3 Momento crítico de vigas I ou H com um eixo de simetria, carregadas no
plano da alma
Obtém-se um valor aproximado de com o maior dos dois termos da fórmula
3.4.14, a saber:
crM
- primeiro termo, representando a resistência do perfil à torção pura, e a flexão em
torno do eixo da alma, substituindo-se por para se obter melhor precisão nos
resultados:
fb fb9.0
( )xc y r
bn cr x
b f fxt y
W f f0,69ECM M Wl h / b t
W f
−
= = ≤ (3.4.16)
- segundo termo, representando a resistência do flange como coluna:
( )2Tb
xbcrn i/lE70.9
WC=M=M (3.4.17)
3.4.2 Dimensionamento da alma das vigas
De acordo com PFEIL (1989), as almas das vigas metálicas servem
principalmente para ligar os flanges e absorver os esforços cortantes. Por razões econômicas,
procura-se concentrar massas nos flanges, para obter maior inércia, reduzindo-se a espessura
da alma.
124
A alma das vigas é dimensionada, basicamente, para duas condições:
a) flambagem sob ação de tensões cisalhantes
b) flambagem sob ação de tensões normais e de cisalhamento.
Nos perfis laminados, as almas são pouco esbeltas ( moderado), tendo
geralmente resistência à flambagem suficiente para atender aos esforços solicitantes, de modo
que a resistência é determinada pelo escoamento do material.
00 t/h
Nos perfis fabricados, as almas são geralmente mais esbeltas ( elevado), de
modo que a resistência da viga fica limitada pela flambagem da alma. Nestes casos, para
aumentar a resistência à flambagem, utilizam-se enrijecedores transversais, que dividem a
alma em painéis retangulares.
00 t/h
3.4.2.1 Tensões de cisalhamento provocadas por esforço cortante
As tensões de cisalhamento , em peças de altura constante solicitadas por
esforço cortante V, são dados pela fórmula:
τ
tIVS
=τ (3.4.18)
t = espessura da chapa no ponto onde se mede a tensão;
S = momento estático referido ao centro de gravidade da seção bruta, da parte da área da
seção entre a borda e o ponto onde se mede a tensão;
I = momento de inércia da seção bruta, referido ao centro de gravidade respectivo.
No caso particular de perfil I, simples ou composto, a aplicação da fórmula 3.4.18
mostra que quase a totalidade do esforço cortante é absorvido pela alma com tensões variando
pouco ao longo da alma.
Para o cálculo das tensões solicitantes de cisalhamento no estado limite de projeto,
utiliza-se a relação
w
dd A
V=τ (3.4.19)
dV = esforço de cisalhamento solicitante de cálculo;
wA = área efetiva de cisalhamento, dada por em perfis soldados. 00 th
3.4.2.2 Vigas I com um ou dois eixos de simetria, sem enrijecedores transversais
intermediários, fletidas no plano da alma
125
3.4.2.2.1 Vigas I com valores moderados de 00 t/h
Para vigas I com alma pouco esbelta (valores baixos de ), a flambagem da
alma por cisalhamento não é determinante (o material entra em escoamento para cargas
inferiores à carga crítica de flambagem). Os valores limites de mencionados acima são
dados pela expressão:
00 t/h
00 t/h
0
0 y
h E2,46t f
≤w
(3.4.20)
O esforço cortante resistente de projeto para vigas atendendo a condição 3.4.20 é
dado por
( ) 9.0=φ com ,f6.0Aφ=3
fAφ=V vywv
ywvres d (3.4.21)
Os perfis laminados em geral, e os perfis soldados de pequena altura têm relações
atendendo a condição 3.4.20, de modo que a flambagem da alma por cisalhamento não
é determinante no dimensionamento desses perfis, nos quais podem ser dispensados
enrijecedores transversais intermediários.
00 t/h
3.4.2.2.2 Vigas I com valores elevados de 00 t/h
Em vigas com valores superiores ao limite 3.4.20, a resistência ao
cisalhamento é reduzida por efeito de flambagem da alma. Este fato é levado em conta
multiplicando-se a expressão 3.4.21 por um coeficiente de redução
00 t/h
vC .
Em vigas I com valores superiores ao limite 3.4.20, pode-se ainda
dispensar os enrijecedores transversais intermediários nos trechos onde o esforço solicitante
for inferior ao esforço resistente de cálculo, dado pela expressão:
00 t/h
dV
( ) 90.0=φ com ,Cf6.0Aφ=V vvywvres d (3.4.22)
O coeficiente é a razão entre a tensão crítica de flambagem elástica vC ( )flτ e a
tensão de escoamento a cisalhamento ( )vf :
fl flv
v y
C 0,6f fτ τ
= ≈ (3.4.23)
126
Nas vigas I sem enrijecedores intermediários, o coeficiente pode ser obtido
com as seguintes expressões:
vC
- para flambagem elástica:
( ) ( )8.0<C t/hfE61.7
=C v200y
v (3.4.24a)
- para flambagem inelástica:
( )8.0>C fE
t/h46.2
=C vy00
v (3.4.24b)
Para , a fórmula 3.4.24b transforma-se na fórmula 3.4.20; a fórmula 3.4.22
transforma-se na 3.4.21.
1=Cv
As fórmulas 3.4.24 podem ser obtidas das fórmulas 3.4.28, fazendo-se ∞=a ,
onde a é a distância entre enrijecedores intermediários.
3.4.2.2.3 Limite superior da relação em vigas sem enrijecedores 00 t/h
Segundo PFEIL (1989), em vigas com alma extremamente esbelta, a alma não
tem rigidez para suportar a pressão transversal do flange, decorrente da curvatura provocada
por flexão da viga. O limite superior de , correspondente a essa condição, é dado pela
fórmula:
00 t/h
( )0
0 máx yw yw r
h 0, 48Et f f 1,64f
⎛ ⎞=⎜ ⎟
⎝ ⎠ + (3.4.25)
rf = tensão residual no perfil, tomada igual a 115 MPa.
Praticamente, as relações de vigas sem enrijecedores transversais
intermediários são limitadas aos seguintes valores, de acordo com PFEIL (1989):
00 t/h
- edifícios (AISC) - 0 0h / t 260≤
- pontes (AASHTO) - 0 0h / t 150≤
3.4.2.3 Vigas I com um ou dois eixos de simetria, com enrijecedores transversais
intermediários, fletidas no plano da alma
3.4.2.3.1 Vigas I sem efeito de flambagem da alma
127
Nas vigas I sem efeito de flambagem da alma ( ), o esforço cortante
resistente de cálculo é dado pela fórmula 3.4.21:
1>Cv
( ) ( ) 90.0=φ com ,f6.0Aφ=V 1>C vywvres dv (3.4.26)
3.4.2.3.2 Vigas I com efeito de flambagem da alma
Nas vigas I com efeito de flambagem da alma ( ), o esforço cortante
resistente de cálculo é reduzido pela flambagem, obtendo-se a expressão 3.4.22:
1<Cv
( ) ( ) 90.0=φ com ,Cf6.0Aφ=V 1<C vvywvres dv (3.4.27)
Nas vigas I com enrijecedores transversais intermediários, o coeficiente pode
ser obtido com as seguintes expressões:
vC
( ) ( )( )v v2 2
y 0 0 0
7,61E 1 1C 1 C 0,8f h / t a / h
⎡ ⎤= +⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦< (3.4.28a)
( ) ( )8.0>C h/a1
+1fE
t/h46.2
=C v20y00
v (3.4.28b)
0h = altura livre da alma da viga;
a= distância entre enrijecedores intermediários.
Segundo PFEIL (1989), as expressões 3.4.28 podem ser substituídas pela
formulação empírica:
( )v 2y 0 0 0
E 1 1C 3,34 1 0,f h / t a / h
= + 3− (3.4.28c)
3.4.2.3.3 Resistência pós-flambagem da alma. Campo de tração
Nas vigas com enrijecedores intermediários, após a flambagem da alma, a viga
transforma-se em um sistema treliçado, com diagonais tracionadas constituídas pelas almas
flambadas. Este sistema treliçado, denominado campo de tração produz um acréscimo no
esforço cortante resistente, obtendo-se a expressão:
128
( )( )
vd res v w y v 2
0
1 CV A 0,6f C1,15 1 a / h
⎡ ⎤−⎢ ⎥= φ +⎢ ⎥+⎣ ⎦
(3.4.29)
O campo de tração, segundo PFEIL (1989), não é utilizado nas vigas com altura
variável e nos painéis de extremidade das vigas de altura constante. Essas restrições estão
a al
aplicado na parte superior do enrijecedor de apoio.
3.4.2.3.4 ção em vigas com enrijecedores transversais
Nas vigas com enrijecedores transversais intermediários, os valores máximos de
adotados nos projetos são:
- edifícios (AISC):
relacionad s com a inclinação das diagonais tracionadas, e com o esforço horizontal unilater
Limite superior da rela 00 t/h
00 t/h
0 0h / t 11,7≤ 0y
E para a/h 1,5f
≤ (3.4.30)
( )max0000 t/ht/h < da fórmula 3.4.25 para
- pontes (AASHTO):
5.1h/a 0 >
y00
E76.6<t/h
f (3.4.31)
De acordo com PFEIL (1989), nas vigas I com enrijecedores transversais, cuja
resistência dependa do campo de tração e que não atendem a condição 3.4.20, é necessário
ar a interação de momentos fletores com esforços cortantes, com a seguinte relação:
3.4.2.4 Interação entre esforço cortante e momento fletor
verific
375.1<Vφ
V625.0+
MφM
nv
d
nb
d (3.4.32)
onde:
nvdnbdvb Vφ<V ,Mφ<M ,9.0=φ=φ
129
4 TEORIA CLÁSSICA DE PLACAS
4.1 Introdução
De acordo com DYM E SHAMES (1973), Vigas, Pórticos e Anéis são estruturas
que têm um aspecto distintivo onde uma das dimensões geométricas domina a configuração.
Este aspecto nos permite fazer vastas simplificações onde se pode substituir o corpo
tridimensional por uma curva e desta forma reduzir o número de variáveis do problema.
Podemos agora considerar certos corpos onde mais de uma dimensão geométrica
dominam a configuração. Especificamente estamos interessados em corpos limitados por
superfícies cujas dimensões laterais são largas comparadas à separação entre estas. Quando as
superfícies limitadoras são planas o corpo é chamado de placa; quando as superfícies são
curvas o corpo é chamado de casca. Como exemplo de tais corpos temos:
a) o casco de um navio
b) a cobertura da asa de um avião
c) um muro de contenção de encostas
É claro através desta lista que o objeto deste item tem considerável significância
para a tecnologia estrutural. DYM E SHAMES (1973) desenvolveram uma teoria de placas e
consideraram sua validade.
4.2 Cinemática da deformação de placas
DYM E SHAMES (1973) propõem um modo simples de deformação para a placa
de acordo com o desenvolvido para a deformação de vigas e como resultado destas
simplificações será necessário somente considerar a deformação do plano médio da placa de
forma a nos permitir encontrar certas informações significantes para a estrutura como um
todo. Tais simplificações levam à inclusão de restrições ocultas no corpo, e as equações de
equilíbrio resultantes do processo variacional aplicado à energia potencial total estão de
acordo com um sistema mais enrijecido que no caso verdadeiro.
Seja uma porção de uma placa de espessura h na figura 4.1 onde o plano de
coordenadas xy corresponde ao plano médio ou superfície média na geometria indeformada.
Na face de topo da placa é indicada a distribuição de carga normal q(x,y) enquanto nos lados
130
é indicada a distribuição de força cisalhante Q e a distribuição de momento fletor M. Estas
quantidades serão discutidas na próxima seção. Note que a curva que limita a placa vista na
direção z é denotada por enquanto que a região interior é denotada por R. Γ
Como um primeiro passo nós assumimos que, em vista da pequena espessura da
placa, o movimento vertical de qualquer ponto da placa é idêntico àquele do ponto (acima ou
abaixo) na superfície média. Então
)y,x(w=)x,x,x(u 3213 (4.1)
onde w é a função de deslocamento vertical da superfície média.
Para movimentos paralelos à superfície média consideram-se duas contribuições.
As primeiras são as ações de alongamento devido a cargas nos lados da placa, as cargas sendo
x
y
z
q(x,y)Região R
curvalimitadora
z
yh
médiasuperfície
MQ
q(x,y)
h
Figura 4.1 (DYM E SHAMES, 1973) – Porção de uma placa de espessura h.
paralelas à superfície média da placa. Para estas componentes de deslocamentos, denotadas
por ( )s1u e ( )
s2u , é assumido que um ponto na posição ( )321 x,x,x tem as mesmas
componentes de deslocamento que os correspondentes pontos (acima ou abaixo) na superfície
média da placa. Então pode-se dizer
( ) ( )1 1 2 3 s su x , x , x u x, y (a)=⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦
( ) ( )2 1 2 3 s su x , x , x v x, y (b)=⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦
(4.2)
onde e ( ) se referem á ação de alongamento da superfície média. Desta forma, linhas
que conectam as superfícies da placa e normais ao plano xy na geometria indeformada
transladam horizontalmente como resultado da ação de alongamento. A segunda contribuição
é atribuída à flexão. Para esta ação, linhas normais à superfície média na geometria
( )su sv
131
indeformada permanecem normais a esta superfície na geometria deformada. Mais
especificamente, linhas, como a linha ab na figura 4.2 que conecta as superfícies da placa e é
normal ao plano xy na geometria indeformada, translada verticalmente e adicionalmente gira
z
b'
a'
x
xw
z
a'
vista ao longoda direção y
w
(a)
a
bwx
wb
aw
vista ao longo
a'
z
w
a'
b'
z
da direção x
y
yy
(b)
b'B1(u )
(u )B
b'2
Figura 4.2 (DYM E SHAMES, 1973) – Geometria deformada da placa.
como elemento rígido como resultado da flexão (ver a b′ ′ na figura 4.2). O deslocamento nas
direções x e y como resultado da ação de flexão denota-se respectivamente por ( ) ( )B2B1 u e u .
Estas quantidades foram mostradas inscritas no alargamento da figura 4.2. Deve ser claro que:
( ) ( )1 1 2 3 B
w x, yu x , x , x z (a)
x∂
= −⎡ ⎤⎣ ⎦ ∂
( ) ( )2 1 2 3 B
w x, yu x , x , x z (b)
y∂
= −⎡ ⎤⎣ ⎦ ∂
(4.3)
Note que de acordo com a hipótese inicial (direcionando-se à equação 4.1),
podemos tomar z como a coordenada do ponto na geometria indeformada a despeito do fato
de que é usado na geometria deformada para identificar o mesmo ponto.
Pode-se agora fornecer o campo de deslocamento como segue combinando ações
de alongamento e flexão
132
( ) ( )1 s
w x, yu u x, y z (a)
x∂
= −∂
( ) ( )2 s
w x, yu v x, y z (b)
y∂
= −∂
( )3u w x, y (c= )
(4.4)
Observe que o campo de deslocamento ( )321 u,u,u é agora totalmente descrito em
termos da deformação da superfície média ( )w e ,v,u ss .
Usando o campo de deslocamento acima é importante computar o campo de
deformações. Obtém-se: 2
sxx 2
u wzx x
∂ ∂ε = −
∂ ∂
2
2s
yy ywz
yv
∂∂
−∂∂
=ε
2s s
xyu v1 wz
2 y x x y⎛ ⎞∂ ∂ ∂
ε = + −⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
(4.5)
Todas as outras deformações são zero. Nota-se imediatamente uma óbvia
dificuldade em que as tensões transversais de cisalhamento ( )yzxz τ,τ serão zero para o campo
de deslocamento proposto. Que estas quantidades não podem sempre ser é claro pelas
considerações de equilíbrio simples. DYM E SHAMES (1973) observaram que tiveram a
mesma dificuldade na teoria técnica de vigas. Segundo DYM E SHAMES (1973), deve-se
aceitar esta discrepância para agora, mas foi dada a devida atenção quando os autores
discutiram as “teorias melhoradas” de placas.
4.3 Funções de intensidade de tensão resultante e as equações de equilíbrio
No estudo de vigas, DYM E SHAMES (1973) empregaram forças resultantes na
seção como a força cisalhante V, o momento fletor M, e a força axial N. Para o estudo de
placas é útil introduzir distribuições por unidade de comprimento destas e de outras
quantidades.
Para este propósito é mostrado na figura 4.3 um elemento de placa com tensões no
plano médio da placa (estas tensões variam na direção z sobre a espessura h da placa).
Definem-se agora intensidades de força cisalhante, , como se segue: yx Q e Q
133
( )h / 2
x xzh / 2Q dz
−= τ∫ a
b
( )h / 2
y yzh / 2Q dz
−= τ∫
(4.6)
É claro ao considerar a figura 4.3 que é a distribuição de força cisalhante na
face com a normal na direção x fornecida por unidade de comprimento na direção y, enquanto
xQ
xx
x
z
y
h
xy
xz
yy yz
yx
dxdy
Figura 4.3 (DYM E SHAMES, 1973) – Elemento de placa com tensões no plano médio da placa.
yQ é a distribuição de força cisalhante na face com a normal na direção y fornecida por
unidade de comprimento na direção x. Estas intensidades de força por unidade de
comprimento são mostradas na figura 4.4. Pode-se a seguir, introduzir intensidades de
momento fletor por unidade de comprimento como se segue:
( )h / 2
x xxh / 2M z dz a
−= τ∫
( )h / 2
y yyh / 2M z dz b
−= τ∫
(4.7)
Estas quantidades são mostradas na figura 4.4. É claro ao considerar a definição
em conjunção com a figura 4.3 que é a distribuição de momento fletor em relação ao eixo
y na seção que tem a normal na direção x por unidade de comprimento na direção y, etc.
Finalmente introduzem-se duas intensidades de momento torsor por unidade de comprimento
como se segue:
xM
( )h / 2
xy xyh / 2M z dz a
−= τ∫
( )h / 2
yx yxh / 2M z dz b
−= τ∫
(4.8)
Novamente considerando a definição de vê-se que este representa a
distribuição de momento torsor em relação ao eixo x na seção cuja normal é o eixo x, por
xyM
134
unidade de comprimento na direção y, etc. É imediatamente aparente da propriedade
complementar da tensão de cisalhamento que:
yxxy M=M (4.9)
x
z
y
h xyM
xQ
xM
Myx
yM
yQ
Figura 4.4 (DYM E SHAMES, 1973) – Intensidades de força por comprimento unitário.
Pode-se prontamente avaliar as diversas funções de intensidade de momento em
termos de w para o caso especial de comportamento elástico linear usando a lei de Hooke para
tensões planas para substituir tensões nas equações de definição. Então tem-se, da lei de
Hooke
( ) ( )xx xx yy2
E a1
τ = ε + νε− ν
( ) ( )yy yy xx2
E b1
τ = ε + νε−ν
( )xy xy2G cτ = ε
(4.10)
Tem-se então:
( ) ( )h / 2
x xx yy2h / 2
EM z dz a1−
= ε + νε−ν∫
( ) ( )h / 2
y yy xx2h / 2
EM z dz b1−
= ε + νε−ν∫
( )h / 2
xy xyh / 2M 2G z dz c
−= ε∫
(4.11)
135
y
z
xt
yy
^
zs
zyxy
xy
xzxx
Figura 4.5 (DYM E SHAMES, 1973) – Plano inclinado arbitrariamente na direção
relativa às direções x, y. ν̂
Substituindo para as deformações através das equações 4.5 obtém-se o seguinte
resultado em extrair a integração
( )2 2
x 2 2
w wM D ax y
⎛ ⎞∂ ∂= − + ν⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
( )2 2
y 2 2
w wM D y x
⎛ ⎞∂ ∂= − + ν⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
b
( ) ( )2
xywM 1 D
x y∂
= − −ν∂ ∂
c
(4.12)
onde D, chamado de rigidez à flexão, é a constante obtida por:
( )2
3
ν112EhD−
= (4.13)
Como um próximo passo serão formuladas as funções de intensidade de tensão
resultante ao longo da seção do plano inclinado arbitrariamente na direção ν relativa às
direções x, y. Deve-se concluir isto através das equações de transformação de tensões para as
tensões ilustradas na figura 4.5. Da disposição bidimensional das equações de transformação
de tensão pode ser visto que
ˆ
yy2
yνxyyνxνxx2
xννν τa+τaa2+τa=τ
( ) ( ) xy2
yν2
xνxxyyyνxνsν τaaττaaτ −+−= (4.14)
Se as resultantes de momento são definidas de maneira análoga às equações 4.7 e
4.8, as equações 4.14 podem ser multiplicadas por z e integradas sobre a espessura fornecer as
seguintes equações de transformação de momento:
sνν M e M
136
y2
yνxyyνxνx2
xνν Ma+Maa2+Ma=M
( ) ( ) xy2
yν2
xνxyyνxνsν MaaMMaaM −+−= (4.15)
Das considerações de equilíbrio simples na direção vertical para o elemento na figura 4.5
dyτ+dxτ=dsτ xzyzzν
Pode-se notar que
dsdx
=a ,dsdy
=a yνxν
Portanto:
xzxνyzyνzν τa+τa=τ
Após definir a resultante de cisalhamento como nas equações 4.6 e integrando sobre a
espessura da placa encontra-se
νQ
xxνyyνν Qa+Qa=Q . (4.16)
As quantidades podem ser relatadas ao considerar o
equilíbrio do elemento de placa, ou integrando as equações de elasticidade de equilíbrio
tridimensional, como foi feito para vigas. Então para o equilíbrio na direção x, na ausência de
forças de corpo,
xyyxyx M e M ,M ,Q ,Q
xyxx xz 0x y z
∂τ∂τ ∂τ+ + =
∂ ∂ ∂
Se esta equação for multiplicada por z e integrada sobre a espessura da placa, notando que as
operações podem ser intercambiadas com a integração z, encontra-se / x e / y∂ ∂ ∂ ∂
h / 2xyx xh / 2
MM z dz=x y z−
∂∂ ∂+ +
∂ ∂ ∂∫ z 0τ
Se a integral de espessura remanescente é integrada por partes,
[ ]h / 2 h / 2h / 2xz
xz xz xh / 2h / 2 h / 2z dz z dz Q
z −− −
∂τ= τ − τ = −
∂∫ ∫
Nota-se aqui a definição 4.6a, e que nenhuma tensão cisalhante é aplicada nas superfícies da
placa . Então encontra-se 2/h±=z
xyxx
MMQx y
∂∂= +
∂ ∂ (4.17)
Exatamente do mesmo jeito pode-se integrar a equação de equilíbrio na direção y para obter
137
xy yy
M MQ
x y∂ ∂
= +∂ ∂
(4.18)
Finalmente considera-se a integração sobre a espessura da última equação de equilíbrio,
h / 2 yzxz zzh / 2
dz 0x y z−
∂τ⎡ ⎤∂τ ∂τ+ + =⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎣ ⎦
∫
Em vista da definição de resultantes de cisalhamento, encontrou-se da equação acima que
( ) ( ) 2/hzzz2/hzzzyx zτzτ
yQ
xQ
=−= −=∂
∂+
∂∂
Notando que e que ( ) 0=zτ 2/h=zzz ( ) ( )zz z h / 2z q
=−τ = − x, y , obtém-se finalmente
( )yxQQ q x, y 0
x y∂∂
+ + =∂ ∂
(4.19)
Pode-se notar que as operações carregadas para obter as equações 4.17 – 4.19
correspondem em tomar momentos em relação aos eixos x e y, e considerando o equilíbrio de
forças na direção z.
Pode-se agora reduzir as três equações de equilíbrio (equações 4.17 – 4.19) a uma
equação única eliminando da equação para formar a seguinte equação yx Q e Q
0qyM
yxM
2xM
2y
2xy
2
2x
2
=+∂
∂+
∂∂
∂+
∂∂ (4.20)
onde usou-se o fato de que . Finalmente usando as equações 4.12 pode-se
introduzir a função w na formulação acima como uma variável dependente. Obtém-se então a
seguinte equação:
yxxy M=M
4 qwD
∇ = (4.21)
Esta é uma equação não-homogênea biharmônica primeiramente obtida para
teoria de placa por Sophie-Germain em 1815.
O operador biharmônico 4∇ é o mesmo que dois operadores harmônicos
sucessivos e para coordenadas retangulares é (2 2∇ ∇ )
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
4
4
2
2
2
2
4
4
yyx2
x
Deve ser aparente disto acima que estes resultados envolvendo a função de
intensidade de tensão somente (equações 4.15 a 4.20) são válidas para todos os materiais.
Aqueles resultados envolvendo w são válidos somente para materiais elásticos lineares.
138
A equação 4.21 irá formar uma das equações governantes da teoria clássica de
placas. Em adição são necessárias especificações das condições de contorno apropriadas
(condições de bordo) para teoria clássica de placas. Na próxima seção, usando a aproximação
variacional deve-se chegar a estas condições de contorno de uma maneira direta. E a equação
de Sophie-Germain será também derivada simultaneamente.
4.4 Aproximação da energia potencial total mínima
A energia de deformação U da placa para comportamento elástico linear é
encontrada ao se avaliar a seguinte integral: h / 2
ij ijR h / 2
1U dz dx dy2 −
= τ ε∫ ∫ ∫ (4.22)
Em referência aos comentários anteriores concernindo as deformações
transversais, nós devemos empregar o estado de tensões planas ao avaliar a expressão acima.
Então substituindo em termos de deformações (ver equação 4.10) obtém-se: ijτ
( ) ( ){ }h / 2 2 2 2xx xx yy yy xy2 R h / 2
EU 2 2 1 dz dx dy2 1 −
= ε + νε ε + ε + −ν ε−ν ∫ ∫ ∫ (4.23)
A energia potencial para as cargas externas mencionadas por enquanto é obtida
como se segue
( ) ( )R
V q x, y w x, y dx dy= −∫ ∫ (4.24)
onde as cargas q são assumidas a agir na superfície do plano médio da placa. Considerando as
equações 4.23 e 4.24 e expressando as deformações em termos do campo de deslocamento da
superfície média (equações 4.5) obtém-se a seguinte expressão para a energia potencial total:
( )
( )
( ) ( )
2 22 2s s
2 2
2 2h / 2 s s2 22 R h / 2
22s s
R
u vw wz zx x y y
u vE w w2 z z dz dx dyx x y y2 1
u v1 w2 1 z2 y x x y
q x, y w x, y dx dy
−
⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂∂ ∂⎪ ⎪− + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪
⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂∂ ∂⎪ ⎪π = + ν − −⎨ ⎬⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂−ν ⎝ ⎠⎝ ⎠⎪ ⎪⎪ ⎪
⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎪ ⎪+ −ν + −⎢ ⎥⎜ ⎟⎪ ⎪∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎣ ⎦⎩ ⎭
−
∫ ∫ ∫
∫ ∫
(4.25)
Extraindo a operação quadrática e integrando sobre a espessura enquanto se nota que
139
{ }⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=∫− 12h,0,hdz z,z,1
32/h
2/h2 (4.26)
pode-se obter a energia potencial total na forma
( )
22s s s s
2Rs s
2 22 2 2 2
2 2 2 2
2R 2
R
u v u v2x y x yC dx dy
2 u v12 y x
w w w w2x y x yD dx dy
2 w2 1x y
qw dx dy
⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ + + ν⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠π = ⎢ ⎥⎛ ⎞∂ ∂−ν⎢ ⎥+ +⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ∂⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂+ + ν⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠+ ⎢ ⎥⎛ ⎞∂⎢ ⎥+ − ν ⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ∂⎝ ⎠⎣ ⎦
−
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
(4.27)
Onde C é a nova constante chamada de rigidez extensional e é obtida por:
2ν1EhC−
= (4.28)
A energia potencial total tem três variáveis dependentes – as componentes de alongamento
e o deslocamento vertical variável w. Então nós temos para as equações de Euler-
Lagrange para :
ss ve u
ss ve u
( ) ( )s s s
F F F 0u x u / x y u / y∂ ∂ ∂ ∂ ∂
− − =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
( ) ( )s s s
F F F 0v x v / x y v / y∂ ∂ ∂ ∂ ∂
− − =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
Substituindo para F dos integrandos da equação 4.27 nós temos:
( )2 2 2
s s s2 2
u u v1 1 0 ax 2 y 2 x y
∂ ∂ ∂− ν + ν+ + =
∂ ∂ ∂ ∂
( )2 2 2
s s s2 2
v v u1 1 0 by 2 x 2 x y
∂ ∂ ∂− ν + ν+ + =
∂ ∂ ∂ ∂
(4.29)
Nota-se que as equações para são desacopladas da equação para w. De acordo com
DYM E SHAMES (1973), este é exatamente como foi o caso para flexão em vigas. Deve-se
estar concernindo aqui com as tensões e momentos nas placas como resultado das cargas
transversais. Desde que as deformações devidas a esta ação irão primariamente surgir dos
efeitos de flexão no lugar dos efeitos de alongamento deve-se considerar somente o primeiro.
ss ve u
140
De acordo retorna-se agora ao funcional de energia potencial total e deletando as variáveis
nós reescrevemos a expressão na seguinte forma: ss ve u
( ) ( )22 2 222
2 2R
R
D w ww 2 1 dx dy2 x y x
qw dx dy
⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎪ ⎪wy
∇ + −ν −⎢ ⎥⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭∫ ∫
∫ ∫
π =
−
( )
(4.30)
Ao extremizar o funcional de energia potencial total obtém-se
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
2 22
2 2
2 22 21
R
2 2 2 2
2 2 2 2
R
w w2 w
x y
D w ww w0 dx dy2 22 x y x y y x y x1
w w w w2 2x y y x
q w dx dy
⎧ ⎫⎡ ⎤∂ δ ∂ δ∇ +⎪ ⎪⎢ ⎥∂ ∂⎪ ⎪⎣ ⎦
⎪ ⎪⎡ ⎤⎪ ∂ δ ∂ δ ⎪∂ ∂δ π = = +⎨ ⎬⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎪ ⎪⎢ ⎥+ − ν⎪ ⎪⎢ ⎥⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ δ ∂ ∂ δ⎪ ⎪⎢ ⎥− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎩ ⎭
− δ
∫ ∫
∫ ∫
)
(4.31)
A expressão foi dividida em ( 222 w / x y∂ ∂ ∂
2 22 2w wx y y x
⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂+⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ao extrair a formulação acima. Pode-se empregar o teorema de Green sucessivamente. Pode-
se desejar tomar o tempo para justificar que o seguinte resultado é alcançado:
( )
( )
( )
( )
( ) 0dywδyx
wν1D
dxwδyx
wν1Ddywδyx
wνxwD
dxwδyx
wνywDdx
xwδ
yxwν1D
dyywδ
yxwν1Ddx
ywδ
xwν
yw
D
dyxwδ
ywν
xwDdydxwδqwD
Γ 2
3
Γ 2
3
Γ 2
3
3
3
Γ 2
3
3
3
Γ
2
ΓΓ
2
2
2
2
2
Γ 2
2
2
2
R
4
=∂∂
∂−−
∂∂∂
−+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂+
∂∂
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂+
∂∂
+∂∂
∂∂∂
−−
∂∂
∂∂∂
−+∂∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
−
∂∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+−∇
∫
∫∫
∫∫
∫ ∫
∫∫∫
(4.32)
141
4.5 Estabilidade elástica de placas. A equação de flambagem para placas retangulares
Nesta seção será apresentada a equação linearizada que leva ao problema de
autovalor para o estudo de flambagem de placas. Especificamente serão apresentados meios
de determinar valores críticos de cargas constantes aplicadas nos lados yxxyyx N e ,N ,N ,N
para a placa retangular (figura 4.6). É assumido que yxxy N=N . Ao se fazer isto deve-se
y
xa
b xN
Nxy
Nyx
Ny
yN
Nx
Nxy
yxN
Figura 4.6 (DYM E SHAMES, 1973) – Cargas constantes aplicadas nos lados para a placa retangular.
seguir o procedimento análogo ao feito para colunas onde primeiramente foi encontrada a
equação de equilíbrio de uma coluna extremizando a energia potencial total. Deve-se então
linearizar a equação enquanto se nota quais restrições são atualmente desenvolvidas neste
processo. As equações de placa de von Kármán são escritas em termos das componentes
retangulares: 2 2 2 2 2 2
42 2 2 2
22 2 24
2 2
F w F w F wD w 2 (ay x x y x y x y
w w wF Eh (b)x y x y
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∇ = − +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂ ∂∇ = −⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
)
(4.33)
onde 2
x2
2
y2
2
xy
F NyF N
xF N
x y
∂=
∂
∂=
∂∂
− =∂ ∂
(4.34)
142
Na análise de colunas, a equação de equilíbrio foi linearizada N P= − . Isto quer dizer que
pode-se desprezar extensões ao longo da linha neutra da coluna. Pode-se colocar os termos
análogos a N, nomeadamente ( )2 2xN F / y= ∂ ∂ , ( )x xyN2 2
yN F /= ∂ ∂ e iguais
às cargas correspondentes nos lados mais uma pequena quantidade em perturbação. Isto é,
( )2F / x= −∂ ∂ ∂y
2 2
x2 2
2 2
y2 2
2 2
xy
F FNy yF FN
x xF FN
x y x y
∂ ∂= − +
∂ ∂
∂ ∂= − +
∂ ∂∂ ∂
= +∂ ∂ ∂ ∂
%
%
%
(4.35)
onde a notação ~ indica a quantidade em perturbação. Deve-se concordar em tomar somente
termos lineares nas quantidades em perturbação e em e suas derivadas. Isto é, deve-se
desprezar todos os produtos e quadrados destas quantidades. De acordo quando se substitui as
equações 4.35 nas equações 4.33 obtém-se após tal processo de linearização:
w%
2 2 24
x xy y2 2
4
w w wD w N 2N N (a)x x y y
F 0 (b)
∂ ∂ ∂∇ = − − −
∂ ∂ ∂ ∂
∇ =
% % %%
%
(4.36)
Nota-se que as equações acima são agora desacopladas e deve-se considerar o primeiro do
par. Para se ganhar discernimento no que se refere a que simplificações foram efetivamente
sN
N
Figura 4.7 (DYM E SHAMES, 1973) – Carregamento para uma placa de formato geral.
incorporadas no estudo pelos passos formais matemáticos prévios, torna-se às considerações
da energia potencial total. Em particular considera-se o potencial do carregamento para uma
placa de formato geral como mostrado na figura 4.7. pode-se dizer usando cargas negativas
nos lados como positivas:
143
( )( ) ( )( )[ ]∫ ∫ −+−−=Γ Γ ssννv dsuNdsuNV (4.37)
No caso de placa retangular (ver figura 4.6) a equação acima se torna:
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
a by yx x xyy x x y0 0y 0 x a
0 0y yx x yxy x x ya by b x 0
V N u N u dx N u N u dy
N u N u dx N u N u dy
= =
= =
⎡ ⎤⎡ ⎤= − + − − + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡− − + − − − + −⎣ ⎦ ⎣
∫ ∫
∫ ∫ ⎤⎦
Coletando os termos tem-se:
. ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
a by xy y x xx a x 0y b y 00 0
a byx xyx x y yy b y 0 x a x 00 0
V N u u dx N u u d
N u u dx N u u dy
= == =
= = = =
⎡ ⎤ y⎡ ⎤= − + −⎣ ⎦⎣ ⎦
⎡ ⎤⎡ ⎤+ − + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∫ ∫
∫ ∫
Agora tais expressões como ( ) ( )y yy b y 0u u
=⎡ −⎣ =
⎤⎦
podem ser dadas como , etc.,
e de acordo notando que
( )b
y0u / y dy∂ ∂∫
xy yxN N= , a equação acima pode ser dada como se segue:
a b y yx x
y xy x0 0
u uu uV N N N dxdyy y x x
⎡ ∂ ∂ ⎤⎛ ⎞∂ ∂= + + +⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎣ ⎦∫ ∫ (4.38)
Como próximo passo toma-se a equação da teoria de placa de von Kármán fornecendo
deformações em termos de deslocamentos. Nota-se desta listagem que no plano médio da
placa 2
xxx
2y
yy
y xxy
u 1 wx 2 x
u 1 wy 2 y
u u1 1 w2 x y 2 x y
∂ ∂⎛ ⎞ε = + ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
∂ ⎛ ⎞∂ε = + ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ w∂ ∂⎛ ⎞ε = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠
Se forem colocadas as deformações igual a zero no plano médio da placa para a seguinte
análise então pode-se dizer disto acima 2
x
2y
y x
u 1 wx 2 x
u 1 wy 2 yu u wx y x y
∂ ∂⎛ ⎞= − ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
∂ ⎛ ⎞∂= − ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
∂ ⎛ ⎞∂ w∂ ∂⎛ ⎞+ = − ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠
(4.39)
Substituindo estes resultados na equação 4.38 tem-se para V:
144
22a b
x xy y0 0
1 w w w wV N 2N N2 x x y y
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦∫ ∫ dxdy
0
Pode-se agora fornecer o funcional de energia potencial total usando o resultado acima para
cargas externas e usando a equação 4.27 com s su v q= = = para a energia de deformação de
flexão. Tem-se então:
( ) ( )22 2 2a b 22
2 20 0
22a b
x xy y0 0
D ww 2 1 dxd2 x y x
1 w w w wN 2N N dxdy2 x x y y
⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎪ ⎪π = ∇ + −ν −⎢ ⎥⎨ ⎬⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠⎪ ⎪⎣⎩ ⎭⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
∫ ∫
∫ ∫
w w yy ⎦ (4.40)
A extremização do funcional acima fornece as equações de Euler-Lagrange, equação 4.36a,
equação alcançada pelo processo de linearização.
Pode-se agora determinar as condições de contorno para a equação linearizada de
flambagem pela extremização do funcional (4.40). estas podem ser deduzidas da teoria de
placa de von Kármán substituindo Nν e sNν respectivamente pelas cargas aplicadas Nν− e
sNν− . Então tem-se:
Ou M 0ν = ou w∂∂ν
é especificado (a)
Ou ss
M w wQ N Ns sν
ν νν
∂ ∂ ∂ 0+ − −∂ ∂ν ∂
= ou w é especificado (b)
E nas descontinuidades do contorno:
[ ]sM w 0ν δ = (c) (4.41)
Tem-se então formulada a equação linearizada de flambagem para placas retangulares.
Pode-se perguntar quais cargas xN , yN e xyN ou combinações destas cargas
permite soluções não-triviais w 0≠ da equação de flambagem. De acordo com DYM E
SHAMES (1973), este é o método de equilíbrio.
4.5.1 O método de equilíbrio – um exemplo
Considera-se agora o caso de uma placa retangular simplesmente apoiada a×b×h em
compressão uniaxial uniforme (ver figura 4.7). Isto quer dizer que 0=N=N yxy e a equação
governante é fornecida como:
145
24
x 2
wD w N 0x
∂∇ + =
∂ (4.42)
As condições de contorno para este problema são
Em x=0,a; 2
2
ww 0x
∂= =∂
Em y=0,b; 2
2
ww 0y
∂= =∂
(4.43)
y
xa
b NxNx
Figura 4.8 (DYM E SHAMES, 1973) – Placa retangular simplesmente apoiada a b h em compressão uniaxial uniforme. × ×
Foi proposta a seguinte expressão como solução para a equação 4.42:
mnm x n yw A sin sin
a bπ π
= (4.45)
Para satisfazer as condições de contorno 4.43, m e n devem ser inteiros. Para evitar a solução
trivial foram tomados m e n não-nulos. Substituindo na equação 4.42 tem-se: 22 2 2
x mnm n m m x n yD N A sin sa b a a b
⎧ ⎫⎡ ⎤π π π π π⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ in 0+ − =⎢ ⎥⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭
Para se ter a solução não-trivial para a equação de equilíbrio é claro da equação acima que
cargas críticas xN existem e podem ser fornecidas como se segue.
( )22 2
xcr
a m nN Dm a b
2⎡ ⎤π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟π⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ (4.46)
Pode-se introduzir a tensão crítica crτ dividindo por h a equação acima. Substituindo D por
sua definição básica (ver equação 4.13) tem-se então:
( )2 22
2 4cr 2
E h mb a2n nb a mb12 1
2⎡ ⎤π ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞τ = + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ν ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ (4.47)
146
Tem-se uma dupla infinidade de valores discretos de ( )xcr
N ou crτ . É claro ao considerar a
equação 4.47 que crτ aumenta com n para qualquer valor de a/b, o qual será chamado de
proporção de aspecto. Isto não vale para m. De acordo, como um primeiro passo no esforço
de encontrar a mínima tensão de flambagem coloca-se n igual ao seu menor valor (ou seja, a
unidade). Pode-se fornecer a equação 4.47 na seguinte forma
( )22
crcr 2
Ek hb12 1
π ⎛ ⎞τ = ⎜ ⎟− ν ⎝ ⎠ (4.48)
onde , chamado de coeficiente de flambagem, tem a forma: crk
2
crb 1 ak ma m b
⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠
(4.49)
Foi mostrado plotado versus a proporção de aspecto a/b para diferentes valores de m na crk
Figura 4.9 (DYM E SHAMES, 1973) – Coeficiente plotado versus a proporção de aspecto a/b.
crk
figura 4.9. É claro ao considerar o diagrama que o valor de m fornecendo o menor valor do
coeficiente de flambagem depende da proporção de aspecto. Então para a/b=1 vê-se que m=1,
mas, para a/b=2, m deve ser 2. Assim que a/b aumenta, nota-se que o coeficiente crítico de
flambagem se aproxima do valor 4. Estabelecendo m e n para as menores cargas críticas para
uma dada proporção a/b então se estabelece o modo de flambagem para a placa. Por enquanto
com a/b=2 e m=2 deve haver uma linha nodal em x=a/2 (ver figura 4.10) e diz-se que a placa
sofre duas flambagens. As linhas curvas no diagrama representam a forma flambada, as linhas
contínuas indicam a deflexão para cima e as linhas pontilhadas indicam a deflexão para baixo.
147
a
b ab =2
2 Flambagens
Linha nodal w=0
Figura 4.10 (DYM E SHAMES, 1973) – Cargas constantes aplicadas nos lados para a placa retangular.
Para m=3 devem haver três flambagens, etc. Finalmente, nota-se da figura 4.9 que quando a/b
é inteiro, então m=a/b para atingir o mínimo valor de . Então para tais casos o
comprimento da placa (direção x) é dividido em m flambagens, ou seja, m meias ondas de
comprimento b.
crk
148
5 ESTABILIDADE DE CHAPAS DE ALMA DE VIGAS
5.1 Introdução
Devido ao fato de que uma das principais tensões em chapas de alma de vigas em
flexão é a tensão compressiva, a possibilidade de ocorrência de um estado de equilíbrio
instável em chapas de alma deve ser considerada. Para isto, o projeto convencional de almas
b
a
xyt
O
txy
x
y
txyt
txy
t
Figura 5.1 (BLEICH, 1952) – Distribuição de tensões em uma chapa retangular.
xyt
txyt t
a
b
Figura 5.2 (BLEICH, 1952) – Distribuição de tensões em uma chapa retangular reforçada com enrijecedor longitudinal, em adição aos enrijecedores verticais.
considerando as tensões cisalhantes admissíveis deve ser suplementado por uma investigação
da estabilidade das almas.
O problema básico pode ser ilustrado pela figura 5.1. Uma chapa retangular de
comprimento a, largura b, e espessura t, apoiada nos quatro lados, está sujeita a forças
149
cisalhantes uniformemente distribuídas ao longo de todos os lados e em adição é
carregada nos lados x=0 e x=a por forças longitudinais , linearmente distribuídas ao longo
destes lados. A distribuição de tensões mostrada na figura 5.1 representa o caso mais geral
que pode ocorrer em um painel de alma de uma viga entre dois enrijecedores rígidos quando
uma força axial age em conjunto com o momento fletor, como no caso de chapas de alma de
arcos. Uma condição de carregamento similar ocorre quando a alma é reforçada por um
enrijecedor longitudinal, em adição aos enrijecedores verticais, como mostrado na figura 5.2,
e a estabilidade da chapa da alma entre a corda superior e os enrijecedores longitudinais deve
ser investigada.
tτ xy
tσ x
De acordo com BLEICH (1952), as condições de carregamento descritas acima
representam, é claro, um caso idealizado, desde que as tensões de cisalhamento são realmente
distribuídas parabolicamente ao longo dos lados x = 0 e x = a e variam também ao longo dos
lados y = 0 e y = b. A suposição de que as tensões são constantes entre x = 0 e x = a é uma
facilitada simplificação, desde que estas tensões variam ao longo da viga com o momento
fletor. Todavia, para permitir a solução do problema de flambagem sem a excessiva
complicação da análise, a simplificação da condição de carregamento é o primeiro passo
necessário na conduta com a estabilidade de chapas de alma em vigas. O erro em basear a
investigação em uma simplificada condição de carregamento será menor se valores médios de
e são usados.
xσ
xσ xyτ
As chapas de alma de vigas com grande altura são em geral muito delgadas para
desenvolver uma resistência à flambagem suficientemente alta para um projeto econômico da
alma sem recorrer a enrijecedores. Para isto, enrijecedores longitudinais ou transversais ou a
combinação de ambos desenvolve um papel importante no projeto de chapas de alma. A
necessidade de usar chapas enrijecidas é responsável por envolver teoria e trabalhos
experimentais no problema de chapas enrijecidas sob tensões de cisalhamento e flexão
combinados.
O primeiro grupo de problemas de estabilidade a ser discutido no capítulo 5 diz
respeito à determinação da tensão crítica de chapas de alma não enrijecidas sob várias
condições de carregamento e várias condições de suporte nos lados. Outra parte deste capítulo
deve dizer respeito ao efeito de enrijecedores transversais na resistência à flambagem de
chapas sob tensões de cisalhamento e flexão.
Pioneiros no campo de chapas de alma não enrijecidas foram Boobnoff (1914
apud BLEICH, 1952) e Timoshenko (1921 apud BLEICH, 1952). Boobnoff (1914 apud
150
BLEICH, 1952) investigou a chapa retangular simplesmente apoiada sob tensões de flexão e
compressivas agindo no plano da chapa em dois lados opostos. Timoshenko (1921 apud
BLEICH, 1952) foi o primeiro a apresentar uma solução prática do problema de estabilidade
de chapas retangulares em cisalhamento pela aplicação do método de energia, que se mostrou
uma excelente ferramenta para resolver um problema que não poderia ser resolvido
diretamente como um problema de valor característico. Ele aplicou o método de energia
também para a determinação da tensão crítica de chapas retangulares simplesmente apoiadas
sob tensões de flexão e compressivas e estendeu a investigação ao caso de tensões de
cisalhamento e flexão pura combinadas.
Uma explicação será dada primeiramente ao desenvolvimento simplificado da
teoria de chapas em cisalhamento. Uma solução exata para chapas infinitamente longas
acionadas em seus lados mais compridos por tensões de cisalhamento foi apresentada por
Southwell e Skan (1924 apud BLEICH, 1952), que trataram das chapas simplesmente
apoiadas e chapas engastadas. Uma investigação completa concernindo a precisão dos
resultados de Timoshenko para chapas simplesmente apoiadas foi feita por Bergmann e
Reissner (1932 apud BLEICH, 1952) e por Seydel (1933 apud BLEICH, 1952), que forneceu
valores melhorados do fator de chapa k. Stein e Neff (1947 apud BLEICH, 1952)
determinaram as tensões críticas de cisalhamento mais precisamente que os prévios autores
por considerar as configurações de flambagem simétrica e antisimétrica. Tensões de
flambagem de chapas retangulares engastadas em cisalhamento foram obtidas por Moheit
(1939 apud BLEICH, 1952) e por Budiansky e Connor (1948 apud BLEICH, 1952). Os
últimos dois autores obtiveram antes valores precisos da tensão crítica. O caso de chapas
engastadas infinitamente longas divididas em painéis quadrados por suportes rígidos
intermediários foi investigado por Budiansky, Connor e Stein (1948 apud BLEICH, 1952).
Stowell (1948 apud BLEICH, 1952) examinou chapas infinitamente longas em cisalhamento
tendo restrições elásticas contra rotação ao longo dos lados paralelos.
Flambagem sob tensões compressivas distribuídas não-uniformemente agindo nos
dois lados opostos da chapa foi considerada por Nölke (1937 apud BLEICH, 1952) que tratou
de chapas engastadas.
Chapas sob tensões de flexão e cisalhamento combinados foram estudadas por
Stein (1934 apud BLEICH, 1952), que forneceu tabelas mostrando a interação entre as
tensões críticas longitudinais e as tensões críticas de cisalhamento . O trabalho de Stein
foi publicado aproximadamente ao mesmo tempo que o trabalho de Timoshenko sobre o
cσ cτ
151
mesmo assunto. Os trabalhos de Batdorf e Stein (1947 apud BLEICH, 1952) e de Stowell e
Schwartz (1947 apud BLEICH, 1952) são dedicados ao problema de chapas sob cisalhamento
e tensão longitudinal uniforme combinadas.
O problema de chapas de alma enrijecidas foi estudado por Timoshenko (1921
apud BLEICH, 1952) em seus trabalhos de 1915 e 1921. Vários problemas relativos à
performance de chapas de alma com enrijecedores foram estudados por Schmieden (1930
apud BLEICH, 1952), Seydel (1931 apud BLEICH, 1952), Chwalla (1936 apud BLEICH,
1952) e Denke (1950 apud BLEICH, 1952). Soluções exatas para chapas infinitamente
longas, simplesmente apoiadas, com enrijecedores transversais foram apresentadas por Stein e
Fralich (1949 apud BLEICH, 1952).
Em adição a estas investigações teóricas relativas à estabilidade de chapas de alma
de vigas que têm sido carregadas por mais de duas décadas, trabalhos experimentais têm sido
feito nos anos recentes. As investigações de laboratório foram feitas para verificar os
resultados teóricos e para observar o comportamento real de chapas de alma em estruturas
reais nas quais as condições de carregamento e as condições de suporte ao longo dos lados
podem se desviar substancialmente das condições idealizadas sobre as quais a análise
matemática é baseada. Alguns destes testes foram feitos com a proposta especial de descobrir
a performance de chapas após flambar e determinar a resistência última de chapas de alma sob
condições que prevalecem nas estruturas atuais.
O comportamento de chapas de almas de vigas sujeitas a momentos fletores foi
investigada experimentalmente por Gabor (1944 apud BLEICH, 1952) e por Bergman e
Wästlund (1947 apud BLEICH, 1952). Chapas sob a ação de forças cisalhantes e sob flexão e
forças cortantes combinados foram estudados experimentalmente por Moheit (1939 apud
BLEICH, 1952), Godfrey e Lyse (1935 apud BLEICH, 1952), Moore (1947 apud BLEICH,
1952), e Bergman e Wästlund.
Todos os trabalhos teóricos citados consideram estabilidade na extensão elástica
somente. Para aplicações práticas, particularmente no projeto de aço estrutural e de navios, a
extensão da teoria à flambagem inelástica é essencial. BLEICH (1952) se atentou em
apresentar os resultados de todas estas teorias para flambagem elástica de tal maneira que elas
são aplicáveis para flambagem inelástica também.
5.2 A coluna como parte da estrutura. Princípios do projeto de colunas
152
Colunas usadas em estruturas de metal podem diferir largamente das colunas
idealizadas. Há uma multiplicidade de fatores que afetam a resistência última de colunas que
são partes integrantes de estruturas de engenharia:
• Efeito da ação das condições de continuidade nas colunas de estruturas em
pórtico.
• Efeito da excentricidade da carga axial.
• Efeito dos momentos fletores transmitidos aos finais das colunas dos membros
estruturais adjacentes, devido à ação de pórtico rígido da estrutura.
É assumido que na seguinte discussão estas imperfeições acidentais, tais como a
não-homogeneidade do material, desvio da forma geométrica assumida (curvatura inicial),
excentricidades não intencionais do carregamento axial devido à inevitável imperfeição do
trabalho de montagem, são levados em conta por uma escolha adequada do fator de
segurança.
Cada um desses fatores acima enumerados varia sobre uma larga extensão e se
combinam uns com os outros em cada caso individual de uma maneira particular. A
determinação da capacidade de carga de um membro em compressão como parte da estrutura
requer em cada caso: (1) estabelecimento do comprimento efetivo da coluna, permitindo as
condições de continuidade nas extremidades que dependem da rigidez dos membros
adjacentes e as cargas que eles carregam; (2) a avaliação do efeito de qualquer excentricidade
potencial devido aos momentos fletores vindos da ação de pórtico ou devido à transferência
excêntrica da carga compressiva através dos membros adjacentes da estrutura.
Felizmente, em muitos casos práticos é possível julgar o efeito sobre a ação de
coluna dos fatores mencionados acima por métodos racionais e condensar os resultados da
análise a regras simples de projeto, fórmulas, ou tabelas numéricas para uso em práticas de
projeto. Esta teoria pode servir como ponto de partida através do qual métodos simplificados
de projeto podem ser derivados.
Foi considerado acima que cada membro em compressão em uma estrutura de
metal representa um caso individual que deve ser projetado de acordo com sua condição
particular de carregamento e de apoio, o projeto sendo baseado sobre a racionalmente
derivada, curva de coluna ideal. Em tal conceito de projeto de colunas a curva de coluna ideal
representa a expressão gráfica (ou tabulada) do efeito das propriedades elastoplásticas do
material na resistência da coluna e nada mais. Não há razão lógica para incorporar na fórmula
de coluna qualquer um dos fatores acidentais que afetam a resistência à flambagem tais como
excentricidades acidentais ou curvaturas iniciais. Estas incertezas são melhor levadas em
153
conta pelo fator de segurança. Isto pode conduzir à mente que o problema de coluna devido,
como discutido antes, representa apenas uma pequena porção do grupo inteiro de problemas
de flambagem no projeto estrutural. Não é apenas lógico, mas também uma questão de
conveniência, basear o projeto em todos os casos de instabilidade sobre uma e a mesma curva
de coluna. Desta maneira, esta característica fundamental que controla o comportamento de
qualquer elemento estrutural sob compressão não deveria ser obscurecida por qualquer fator
particular que pode ter importância para um tipo de membro estrutural, mas de nenhuma
significância para um outro.
Inspecionando a relação entre a tensão crítica e o parâmetro de esbeltez
de uma coluna ideal de aço estrutural, ilustrada pela curva na figura 5.3, é prontamente visto
que o formato da curva é controlado essencialmente por três parâmetros: o módulo de
elasticidade E, que define a hipérbole de Euler, o limite proporcional e o ponto de
escoamento , determinando os pontos A e B da curva para a extensão inelástica. A curva
cσ r/l
pσ
yσ
Figura 5.3 (BLEICH, 1952) – Relação entre a tensão crítica e o parâmetro de esbeltez l/r de uma coluna ideal de aço estrutural.
cσ
AB derivada do conceito de módulo-tangente pode convenientemente ser substituída para uso
prático em projeto de coluna pela parábola quadrática
( )
2y p
c y 2lrl / r
σ −σ ⎛ ⎞σ = σ − ⎜ ⎟′ ⎝ ⎠ (5.1)
154
O coeficiente do segundo termo é definido por duas características do material,
e , e pelo parâmetro de esbeltez l /pσ yσ r′ que corresponde à tensão crítica . pc σ=σ
Este parâmetro de esbeltez l / r′ é 2 2
p
l Er′ π⎛ ⎞ =⎜ ⎟ σ⎝ ⎠
A introdução deste valor na equação 5.1 leva à fórmula
( ) 2
2pyfp
yc rl
Eπσσσ
σσ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
−= (5.2)
Então para qualquer material fornecido com uma zona de escoamento
distintamente marcada a fórmula básica de coluna pode ser facilmente estabelecida quando as
três características do material, E, , e , são conhecidas. Para uso em projeto prático os
valores da tensão média última σ , fornecida pela fórmula de coluna 5.2, pode ser dividida
pelo fator de segurança n. Então os valores de podem ser considerados como tensões
em serviço seguras da coluna ideal e podem ser aplicados ao projeto de colunas baseado sobre
a carga em serviço atual.
pσ
c
yσ
n/σ c
Como será visto nos itens subseqüentes, a proporção desempenha um
importante papel na análise de vários problemas de flambagem, e é conveniente ter disponível
uma expressão analítica simples para que se ajusta à fórmula de coluna analítica sugerida
acima. Tal expressão é prontamente derivada.
E/E=τ t
τ
Pode-se escrever a equação 5.1 na forma condensada 2
cla br
⎛ ⎞σ = − ⎜ ⎟⎝ ⎠
onde a e b são constantes dependentes das características e . Por outro lado pode
também ser expresso por:
pσ yσ cσ
( )2
2
c r/lτEπ
=σ
Eliminando ( destas duas equações é alcançada uma expressão para : )2r/l τ
( )Ebπσaστ 2
cc −=
Mostrando esta como função da tensão crítica média . Substituindo a por e
por
A/P=σ cc yσ
Ebπ 2 ( )p y pσ σ −σ finalmente é atingida a fórmula
155
( )( )
y c
y p
c
p
σ −σ στ =
σ −σ σ (5.3)
Para rotinas de cálculo é conveniente providenciar uma tabela de valores de
calculados pela equação 5.3. Uma amostra de tal tabela é fornecida como a tabela 5.1,
calculada para aço estrutural com o limite proporcional assumido e
resistência ao escoamento .
τ
MPa 5.172σ p =
MPa 7.227σ y =
Baseando o projeto de colunas sobre estas fórmulas racionais de colunas, atenção
deve ser direcionada ao fato de que as características do material fornecidas sob as
especificações usuais podem variar dentro de uma certa extensão. Conseqüentemente,
possíveis valores mínimos de e podem ser introduzidos na fórmula de coluna, levando
em conta a freqüência de sua ocorrência; a seleção de valores mínimos das características das
propriedades do material deve ser baseada sobre considerações de probabilidade, assumindo
que desvios extraordinários dos valores oficiais que ocorrem comparativamente raramente são
cobertos por uma margem especial no fator de segurança.
yσ pσ
5.3 O fator de segurança
Os princípios sobre os quais a escolha do fator de segurança no projeto de
membros em compressão é baseada são essencialmente os mesmos que no caso de membros
em tração. O propósito do fator de segurança é prover uma margem razoável para todos os
fatores indetermináveis, incluindo uma certa permissão para a imperfeição dos métodos
analíticos aplicados na determinação das tensões. Sempre que um fator de segurança é
empregado, deve ser claro a qual condição ele se refere; quanto mais distante tensões de
tração são concernidas, o fator de segurança nas práticas atuais irão indicar segurança contra o
ponto de escoamento, em casos onde tensões alternativas ocorrem contra a resistência à fadiga
do material. Para membros estruturais sob compressão o fator de segurança naturalmente
deveria se referir à resistência à flambagem dos membros. Todavia, ao julgar a segurança de
membros comprimidos um ponto de vista mais cauteloso deve ser adotado, desde que a
ocorrência de instabilidade no membro pode levar à ruptura da estrutura inteira, enquanto o
escoamento de um membro tracionado não necessariamente põe em perigo a vida da
estrutura, mas somente produz deflexões excessivas. Também deve ser considerado que ao
estabelecer o fator de segurança para membros comprimidos, uma permissão favorecida deve
ser feita para cobrir efeitos especiais (excentricidade) que desempenham um menor papel em
156
membros tracionados mas pode afetar a resistência de flambagem de colunas
consideravelmente.
Tabela 5.1 (BLEICH, 1952) – Proporção para aço estrutural.
E/E=τ t
cσ τ cσ τ cσ τ cσ τ
172.5 1.000 186.3 0.810 200.1 0.580 213.9 0.310 173.9 0.983 187.7 0.789 201.5 0.555 215.2 0.281 175.3 0.965 189.1 0.767 202.9 0.529 216.7 0.251 176.6 0.947 190.4 0.745 204.2 0.503 218.4 0.221 178.2 0.929 191.8 0.723 205.6 0.477 219.4 0.1908
179.4 0.910 193.2 0.700 207.0 0.450 220.8 0.1600 180.8 0.891 194.6 0.677 208.4 0.423 222.2 0.1288 182.2 0.871 196.0 0.652 209.8 0.395 223.6 0.0972 183.5 0.851 197.3 0.629 211.1 0.367 224.9 0.0652 184.9 0.831 198.7 0.605 212.5 0.339 226.3 0.0328
227.7 0
A questão também surge em qual dos dois é verdadeiro, o fator de segurança
deveria ser assumido constante em toda a extensão de proporção de esbeltez ou deveria variar
para coluna curtas ou esbeltas.
5.4 Determinação da tensão crítica na extensão inelástica de flambagem
BLEICH (1952) demonstrou que a tensão crítica de chapas longas
retangulares, carregadas longitudinalmente por forças compressivas no plano das chapas,
pode ser computada pela fórmula
cσ
( )22
c 2
E t kb12 1
π τ ⎛ ⎞σ = ⎜ ⎟− ν ⎝ ⎠
onde k é independente de . Na extensão elástica de flambagem, quando , a tensão
crítica pode ser diretamente computada por esta equação. Contudo, na extensão inelástica
, que depende de , é uma quantidade desconhecida fora de computação, e um método de
tentativa e erro deveria ser necessário para determinar . Isto pode ser evitado escrevendo a
equação acima na forma
τ 1=τ
cσ
τ cσ
cσ
157
Tabela 5.2 (BLEICH, 1952) – Determinação da tensão crítica para aço, MPa ( ,
cσMPa 5.172σ p = MPa 7.227σ y = ).
τ/σ c cσ τ/σ c cσ τ/σ c cσ
172.5 172.5 241.5 195.7 829.9 224.6 175.8 174.1 248.5 197.3 956.4 225.3 179.3 175.7 255.2 198.7 1074.4 225.8 182.8 177.2 262.0 200.0 1219.3 226.3 186.2 178.6 269.0 201.2 1380.0 226.6
189.8 180.1 275.9 202.4 1687.3 226.9 193.2 181.4 310.3 207.2 2116.5 227.2 196.7 182.7 344.6 210.8 2801.1 227.4 200.1 183.9 379.2 213.6 3962.5 227.6 203.5 185.1 413.6 215.7
207.0 186.3 481.9 218.7 213.8 188.4 552.0 220.8 220.6 190.4 619.1 222.2 227.4 192.3 688.4 223.2 234.5 194.1
Tabela 5.3 (BLEICH, 1952) – Determinação da tensão crítica para aço, MPa ( ,
cσMPa 6.234σ p = MPa 5.310σ y = ).
τ/σ c cσ τ/σ c cσ τ/σ c cσ
234.6 234.6 317.4 263.9 690.5 299.3 238.0 236.3 324.2 265.5 758.8 301.2 241.4 237.8 331.0 267.1 824.0 302.6 244.9 239.4 337.9 268.6 894.3 303.7 248.4 240.9 344.9 270.1 961.7 304.6 251.7 242.4
358.7 272.8 1032.0 305.4 255.2 243.8 372.4 275.2 1374.8 307.6 258.6 245.2 386.6 277.4 1656.9 308.5 262.2 246.6 400.3 279.5 2049.3 309.2 265.6 247.9 413.7 281.2 269.1 249.2 2695.6 309.7 272.6 250.5 448.5 285.2 3380.7 310.0
482.3 288.4 4000.9 310.2 275.9 251.6 518.0 291.2 282.9 254.0 554.9 293.5 289.8 256.2 587.2 295.3 296.7 258.3 620.4 296.7 303.5 260.2 655.6 298.1 310.4 262.1
158
( )22
c2
E t kb12 1
σ π ⎛ ⎞= ⎜ ⎟− ντ ⎝ ⎠ (5.4)
Determinando τ/σ c por esta equação o valor correspondente de pode ser
encontrado pela tabela pré-calculada de valores como função de
cσ
cσ τ/σ c . Tal tabela pode
ser computada pelos valores- para o material sob consideração. As tabelas 5.2 e 5.3 são
exemplos de tais tabelas. Os valores sobre os quais estas tabelas são baseados foram
computados pela equação 5.3. A tabela 5.2 se aplica ao aço tendo o limite proporcional
e o ponto de escoamento σ
τ
τ
MPa 5.172σ p = MPa 7.y 227= , enquanto a tabela 5.3 se aplica
para , . MPa 6.234σ p = MPa 5σ y = .310
5.5 Chapas simplesmente apoiadas sob cisalhamento e tensões longitudinais
uniformemente distribuídas combinadas
As tensões nas chapas de alma de vigas são uma combinação de tensões de
cisalhamento e tensões longitudinais . É importante considerar o efeito de tal
combinação de tensões na estabilidade da alma. Soluções aproximadas do problema são
conhecidas para dois casos limites: (1) As tensões longitudinais σ são uniformemente
distribuídas sobre a seção transversal da alma, caso em que será considerado neste item; (2) as
tensões σ são tensões de flexão pura, caso em que será considerado no próximo item.
xyτ σ
b
O
txy xyt
txy
xytay
x
tt
Figura 5.4 (BLEICH, 1952) – Chapa sob ação das tensões de cisalhamento e tensões compressivas uniformes σ .
xyτ
159
É considerada a chapa sob ação das tensões de cisalhamento e tensões
compressivas uniformes σ como ilustrado na figura 5.4.
xyτ
É óbvio que a tensão de flambagem em que a chapa de aspecto proporcional
fornecido α pode carregar irá depender da magnitude da tensão de cisalhamento presente
na chapa e irá aumentar quando decresce. Focalizando a atenção na tensão crítica de
cisalhamento seu valor crítico irá ser maior quando a tensão compressiva decresce.
cσ
xyτ
xyτ
cτ σ
Figura 5.5 (BLEICH, 1952) - Proporção versus a proporção σ . occ τ/τ o
cc σ/
Usando o determinante de décima ordem Batdorf e Stein (1947 apud BLEICH,
1952) obtiveram a combinação de tensão crítica para o caso de cisalhamento e simultânea
tensão compressiva longitudinal ou transversal. Eles desenvolveram curvas de interação nas
Figura 5.6 (BLEICH, 1952) - Proporção versus a proporção σ . occ τ/τ o
cc σ/
160
quais o valor crítico de uma tensão pode ser obtido quando um valor fornecido de outra tensão
é presente. A interação entre pode ser expressa convenientemente ao introduzir as
proporções , onde é a tensão crítica em cisalhamento puro e é a
tensão crítica em compressão pura. Ao plotar a proporção occ τ/τ a proporção o
cc σ/σ ,
ostrado na figura 5.5, uma curva de interação é obtida. Batdorf e Stein (1947 apud
BLEICH, 1952) acharam que para proporções 1
cc τ e σ
cτoo
cccc τ/τ e σ/σ o ocσ
versus
como m
α ≥ rva entre /σ c e ser
aproximada pela parábola
a cu 1 e 0=σ co pod
2
c c
c c
1⎛ ⎞τ σ
+ =⎜ ⎟τ σ⎝ ⎠o o
(5.5)
Para valores de as curvas de interação computadas por Batdorf e Stein são
mostradas na figura 5.6. Estas curvas, exceto aquela para , desviam substancialmente
da parábola para . A curva para a chapa infinitamente longa em compressão
transversal foi determinada por Stowell e Schwartz (1947 apud BLEICH, 1952).
1<α
2/1=α
1=α 0=α
Fórmulas de projeto para chapas longas, . A relação simples 5.5 sugere o
desenvolvimento da fórmula de projeto para a resistência à flambagem de uma chapa em
cisalhamento e compressão uniforme combinados para 1
1α ≥
α ≥ . Procede-se da seguinte
man se xyτ e σ são tensões fornecidas no painel de chapa sob consideração e se seira: ua
proporção é
c
c
xyτ τσ
=σ
=β (5.6)
obtém-se da equação 5.5 substituindo cc βτ=σ
2
c c c 1⎛ ⎞τ τ τ
+c c c
β =⎜ ⎟o
o o o (5.7)
Resolvendo para esta equação fornece duas raízes, a menor sendo
τ τ σ⎝ ⎠
cτ
2c c 2 2
41 12
⎛ ⎞βτ = σ κ − + +⎜ ⎟⎜ ⎟β κ⎝ ⎠
o (5.8)
onde . Os valores de e são oocc σ/τ=κ o
cσo
cτ
( )22
c 2
4 E tb12 1
π ⎛ ⎞σ = ⎜ ⎟− ν ⎝ ⎠o
161
( )22
c 22
E t 45.34b12 1
π ⎛ ⎞ ⎛ ⎞τ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟α−ν ⎝ ⎠ ⎝ ⎠o
conseqüentemente
2
2
α1
+34
=4
α/4+34.5=κ (5.9)
A proporção κ depende somente do aspecto proporcional . Substituindo o valor
de na equação 5.8 obtém-se
1>b/a=αo
cσ
( )22
2c 2 22
E t 42 1 1b12 1
⎛ ⎞π ⎛ ⎞τ = βκ − + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟β κ− ν ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (a)
cc βτ=σ (b)
(5.10)
Estas equações são válidas na extensão elástica de flambagem somente.
Tensões críticas, e na extensão inelástica. No caso de cisalhamento e
tensão longitudinal combinados o fator de plasticidade
cτ cσ
τ=η é assumido a depender da
intensidade de tensão
2c
2ci τ3+σ=σ
Introduzindo o valor da proporção de tensão , as seguintes relações são
obtidas:
cc τ/σ=β
β3
+1σ=σ e 3+βτ=σ 2ci2
ci (5.11)
Em ordem de estender a equação 5.10a para a região plástica, substitui-se E por
τE , e expressando por obtém-se cτ iσ
( )22
2 2i2 22
E t 42 3 1 1b12 1
⎛ ⎞σ π ⎛ ⎞= κ β β + − +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+β κ−ντ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(5.12)
onde κ é fornecido pela equação 5.9. Após computar o valor de τ/σ i o valor de pode
ser obtido pelas tabelas 5.2 e 5.3, e as tensões críticas são
iσ
3+β
βσ=σ e
3+β
σ=τ
2
ic2
ic (5.13)
162
As equações 5.12 e 5.13 se aplicam na extensão elástica e inelástica. Quando
i /σ τ ≤ σp (limite proporcional), 1=τ , e estas equações estão de acordo com as equações
5.10.
Fórmulas de projeto para chapas curtas, . Assumindo que a
equação 5.5 pode ser considerada uma favorável aproximação da curva de interação para
chapas com o aspecto proporcional entre ½ e 1, a equação 5.8 permanece válida. Para chapas
extensas, , tem-se
1<α<2/1
1<α
( )2 22
c 2
E t 1b12 1
π ⎛ ⎞ ⎛ ⎞σ = α +⎜ ⎟ ⎜ ⎟α−ν ⎝ ⎠ ⎝ ⎠o
( )22
c 22
E t 5.344b12 1
π ⎛ ⎞ ⎛ ⎞τ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟α−ν ⎝ ⎠ ⎝ ⎠o
Para isto,
( )22
2
c
c
1+α34.5+α4
=στ
=κ o
o
(5.14)
Expressando na equação 5.8 pela expressão acima tem-se ocσ
( )2 22
2c 2 22
E t 1 41 1b 212 1
⎛ ⎞π β⎛ ⎞ ⎛ ⎞τ = α + κ − + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟α β κ−ν ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (5.15)
cc βτ=σ
Estas equações são válidas na extensão elástica de flambagem somente.
Tensões críticas na extensão inelástica. Pela mesma razão que leva à equação
5.12 obtém-se agora
( )2 22
2 2i2 22
E t 1 43 1 1b 212 1
⎛ ⎞σ π β⎛ ⎞ ⎛ ⎞= α + κ β + − +⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ + ⎟⎟α β κ−ντ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (5.16)
onde κ é definido pela equação 5.14. Após determinar as tensões críticas são iσ
3+β
βσ=σ e
3+β
σ=τ
2
ic2
ic (5.17)
As equações 5.16 e 5.17 são válidas na extensão elástica e inelástica de flambagem.
5.6 Chapas simplesmente apoiadas sob tensões de cisalhamento e flexão pura
combinadas
163
A relação entre as proporções é indicada na figura 5.7 por duas
curvas de interação para que foi derivada da solução de Timoshenko (1935
apud BLEICH, 1952) deste problema. Estas curvas são aproximadas e podem ser substituídas
sem erro substancial pela curva pontilhada na figura 5.7, que é parte do círculo representado
pela equação
ooc11ccc σ/σ e τ/τ
1=α e 2/1=α
2 2
1c c
1c c
1⎛ ⎞ ⎛ ⎞σ τ
+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟σ τ⎝ ⎠ ⎝ ⎠o o
(5.18)
Esta relação simples pode ser usada para desenvolver a fórmula de projeto em
uma maneira similar àquela aplicada no item anterior.
Figura 5.7 (BLEICH, 1952) - Relação entre as proporções . ooc11ccc σ/σ e τ/τ
Introduzindo a proporção , a equação 5.18 assume a forma cc1xy1 τ/σ=τ/σ=β
2 22c c
c 1c
1 1⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞τ τ⎢ ⎥+β − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟τ σ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
o
o o0
Com esta equação fornece a raiz positiva ooc1c σ/τ=κ
22c1c κβ+11
κσ=τ o (5.19)
O menor valor de k para flexão pura, 1 2σ = −σ , é
pod
23.9, e é assumido que oc1σ para
todas as proporções 1α ≥ e ser expressa com suficiente precisão por / 2
( )22
1c 2
24 E tb12 1
π ⎛ ⎞σ = ⎜ ⎟− ν ⎝ ⎠o (5.20)
Além disso tem-se
164
Para : 1α ≤( )
22
c 22
E t 5.344b12 1
π ⎛ ⎞ ⎛ ⎞τ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟α−ν ⎝ ⎠ ⎝ ⎠o
Para : 1α ≥( )
22
c 22
E t 45.34b12 1
π ⎛ ⎞ ⎛ ⎞τ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟α−ν ⎝ ⎠ ⎝ ⎠o
(5.21)
das quais os seguintes valores de κ são derivados:
Para 1 12< α ≤ : 2
2
α92
+61
=24
α/34.5+4=κ
Para : 1α ≥ 2
2
α61
+92
=24
α/4+34.5=κ
(5.22)
Substituindo o valor de da equação 5.20 na equação 5.19 finalmente obtém-
se
oc1σ
( )22
c 2 22
E t 124b 112 1
π ⎛ ⎞τ = κ⎜ ⎟ +β κ−ν ⎝ ⎠
cc βτ=σ
(5.23)
Tensão crítica na extensão inelástica. Argumentando da mesma maneira que
nos casos discutidos previamente chega-se à seguinte equação para a tensão : iσ
( )22
2i2 22
E t 124 3b 112 1
σ π ⎛ ⎞= κ β +⎜ ⎟ +β κ−ντ ⎝ ⎠ (5.24)
Tendo determinado , as tensões críticas são iσ c1c σ e τ
3β
βσσe
3β
στ
2
ic12
ic
+=
+= (5.25)
5.7 Sumário das fórmulas de projeto para chapas de alma de vigas esbeltas
Os resultados obtidos nos itens 5.5 e 5.6 são sumarizados na tabela 5.4 em uma
maneira conveniente para rotinas de projeto. Por razões de simplicidade foi assumido que os
painéis da alma são simplesmente apoiados pelas cordas e enrijecedores, desprezando a
influência favorável do efeito de restrição destes membros.
Esta tabela contém fórmulas para a computação da tensão crítica . A
aplicação destas fórmulas ao projeto requer a seleção de um apropriado fator de segurança.
cc1 τ e σ
Quando se aplicar a tabela 5.4 determina-se o fator de chapa k da tabela e
computa-se
165
( )22
i2
E t kb12 1
σ π ⎛ ⎞= ⎜ ⎟− ντ ⎝ ⎠ (5.26)
Para o aço esta equação pode ser escrita
(MPa) kbt185281
τσ 2
i ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= (5.27)
Se o valor τ/σ i está abaixo do limite proporcional, tem-se e 1=τ τ/σ=σ ic , mas se
este valor está acima deste limite, a intensidade de tensão pode ser obtida para aço das
tabelas 5.2 e 5.3, que fornecem as tensões σ como função de
iσ
τ/σ . A intensidade de tensão
sendo encontrada, a última coluna da tabela 5.4 indica fórmulas simples para os valores
das tensões críticas e .
iσ
c1σ cτ
Para obter as tensões críticas para distribuições de tensões longitudinais tendo
proporções não mostradas na tabela, o fator de chapa k pode ser computado por
interpolação linear.
21 σ/σ
5.8 Chapas de alma enrijecidas transversalmente em cisalhamento
A tensão crítica de uma chapa em cisalhamento depende da proporção b/t, a
proporção da menor dimensão da chapa pela sua espessura t. Subdividindo uma chapa
simplesmente apoiada de comprimento a por suficientemente rígidos, enrijecedores
transversais de espaçamento d como indicado na figura 5.8, painéis menores são formados os
quais podem ser considerados aproximadamente como simplesmente apoiados. Então, a
proporção decisiva da largura pela espessura, d/t, pode ser consideravelmente reduzida , e a
tensão crítica, sendo inversamente proporcional ao quadrado dessa proporção,
substancialmente aumentada.
Uma análise aproximada para chapas enrijecidas em cisalhamento na extensão
elástica foi desenvolvida primeiro por Timoshenko. Esta revela características similares
àquelas que caracterizam a teoria de chapas com enrijecedores longitudinais em compressão
discutido por BLEICH (1952). Novamente, existe um valor limite do momento de inércia
dos enrijecedores que assegura linhas nodais retas nestes enrijecedores. Se I é menor que
os enrijecedores flambam e defletem junto com a chapa. Com rigidez à flexão aumentada a
resistência à flambagem da chapa enrijecida aumenta até que um limite superior é alcançado
0I
0I ,
166
Tabela 5.4 (BLEICH, 1952) – Chapas em cisalhamento e/ou compressão longitudinal uniformemente ou linearmente distribuída.
condição de carregamento fator de chapa k nas equações 5.26 e 5.27
tensões
críticas
cc τ e σ
compressão uniforme 1=σ/σ 12
b
11
2 2a
b/a=α
2
1: k=4
11: k= +
α ≥
⎛ ⎞α ≤ α⎜ ⎟α⎝ ⎠ic1 σ=σ
compressão longitudinal 0=σ/σ 12
b
11
2 2=0 =0a b/a=α
( )2
1: k=7.7
1: k=7.7+33 1
α ≥
α ≤ −α ic1 σ=σ
compressão longitudinal 2 1/ 1σ σ = −
b
a
11
2 2 b/a=α
( )2
2 / 3 : k=24
< 2/3: k=24+73 2/3
α ≥
α −α ic1 σ=σ
cisalhamento puro xy
xy b
a b/a=α
2
25.341: k= 3 4
⎜ ⎟41: k= 3 5.34⎛ ⎞α ≥ +α⎝ ⎠
⎛ ⎞α ≤ +⎜ ⎟α⎝ ⎠
3σ
=τ ic
167
Tabela 5.4 (BLEICH, 1952) – Chapas em cisalhamento e/ou compressão longitudinal uniformemente ou linearmente distribuída (continuação).
condição de carregamento fator de chapa k nas equações 5.26 e 5.27
tensões
críticas
cc τ e σ
cisalhamento e compressão longitudinal
2 1/ 1σ σ =
b
a
xy 1
2
1
2
xy
1 xya / b, = /α = β σ τ
( )
2 22 2
2
22 2
2 2
2
41: k=2 3 1 1
4 1onde =3
1 1 41/ 2 1: k= 3 1 12
4 5.34onde =
⎡ ⎤α ≥ κ β β + − + +⎢ ⎥β κ⎣ ⎦
κ +α
22 1
⎡ ⎤⎛ ⎞≤ α ≤ κ α + β β + − + +⎢ ⎥⎜ ⎟α β κ⎝ ⎠ ⎣ ⎦α +
κα +
iσ
c 2
i1c 2
3
3
τ =β +
βσσ =
β +
cisalhamento e compressão longitudinal
2 1/ 0σ σ =
b
a
xy
xy
1
2
1
2
1 xya / b, = /α = β σ τ
( )
2 22 2
2
2 22 2
2
41: k=3.85 3 1 1
5.34 4 /onde 7.7
41/ 2 1: k=3.85 3 1 1
4+5.34/
⎡ ⎤α ≥ κ β β + − + +⎢ ⎥β κ⎣ ⎦
+ ακ =
3onde =7.7 33 1
⎡ ⎤≤ α ≤ κ β β + − + +⎢ ⎥β κ⎣ ⎦
ακ
+ −α
iσ
c 2
i1c 2
3
3
τ =β +
βσσ =
β +
cisalhamento e compressão longitudinal
2 1/ 1σ σ = −
b
a
xy
xy
1
2
1
2
1 xya / b, = /α = β σ τ
22 2
2
22 2
11: k=24 31
2 1onde =9 6
11/ 2 1: k=24 31
α ≥ κ β ++β κ
κ +α
≤ α ≤ κ β +
21 2onde =6 9
+β κ
κ +α
iσ
c 2
i1c 2
3
3
τ =β +
βσσ =
+
β
quando . Um facilitado incremento do momento de inércia I não adiciona a resistência à
flambagem da chapa enrijecida. Quando reforçada por enrijecedores tendo o momento de
inércia , cada painel de chapa pode ser considerado como chapa simplesmente apoiada em
cisalhamento, e a tensão crítica atinge o valor máximo possível. Introduzindo a proporção
b/d o valor desta tensão na extensão elástica pode ser encontrado para cisalhamento puro pela
0I=I
0I
cτ
tabela 5.4 para : d / b 1α = ≤
168
( )22
c 2
E t kb12 1
π ⎛ ⎞τ = ⎜ ⎟− ν ⎝ ⎠ (5.28)
onde
( )2b/d34.5
+4=k se d 1b
⎛ ⎞≤⎜ ⎟⎝ ⎠
(5.29)
Chapas tendo um ou dois enrijecedores. Timoshenko (1915 apud BLEICH, 1952) resolveu
o problema de chapas transversalmente enrijecidas em cisalhamento aproximadamente pelo
método de energia para chapas com um ou dois enrijecedores, de acordo com a figura 5.8.
Sob a suposição de que os enrijecedores não têm rigidez torsional, a expressão para a energia
potencial do sistema de enrijecedor de chapa agora inclui um termo adicional para a energia
de flexão de cada enrijecedor, nomeadamente, sV
22b
s 20
EI d wV d2 dy
⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠∫ y (5.30)
A tensão crítica de cisalhamento pode ser determinada pelo teorema da energia
potencial estacionária.
cτ
xy xy
xyb
enrijecedor
d d d d d
bxy
a a
enrijecedor
Figura 5.8 (BLEICH, 1952) – Chapas com um e dois enrijecedores.
Usando o parâmetro não-dimensional
( )2
3
12 1 IEIDd t d
−νγ = = (5.31)
Timoshenko determinou os valores do parâmetro 0γ γ que são requeridos para
assegurar as tensões críticas de cisalhamento obtidas pela equação 5.28. Determinantes de cτ
169
quarta ordem foram usados para os cálculos, os resultados destes são mostrados nas tabelas
5.5 e 5.6. Wang (1947 apud BLEICH, 1952) estendeu a teoria de Timoshenko para chapas
reforçadas por qualquer número de enrijecedores transversais e forneceu diagramas para
chapas com três e quatro enrijecedores e para chapas infinitamente longas.
Tabela 5.5 (BLEICH, 1952) – Dados para o momento de inércia requerido para chapas em cisalhamento tendo um enrijecedor.
0I
d/b 0.5 0.625 0.75 1.00
Dd/EI=γ 00 30.0 12.6 5.8 1.66
Tabela 5.6 (BLEICH, 1952) – Dados para o momento de inércia requerido para chapas em cisalhamento tendo dois enrijecedores.
0I
d/b 0.4 0.5 0.667 0.833 1.00
Dd/EI=γ 00 67.8 32.1 10.6 4.11 1.92
Chapas infinitamente longas reforçadas por enrijecedores equidistantes. Uma
solução mais exata para chapas infinitamente longas, simplesmente apoiadas, reforçadas por
d d
enrijecedor enrijecedor
b
xy
Figura 5.9 (BLEICH, 1952) – Chapa infinitamente longa reforçada por enrijecedores equidistantes.
enrijecedores transversais igualmente espaçados, foi publicada por Stein e Fralich (1949 apud
BLEICH, 1952). A solução foi obtida pelo método multiplicador Lagrangeano, e os resultados
numéricos foram fornecidos para três espaçamentos de enrijecedores b/d = 1, 2, e 5 (figura
5.9).
170
A figura 5.10 mostra diagramas para b/d = 1 e 2, em que o fator de chapa k na
equação 5.28 é plotada versus a proporção γ definida na equação 5.31. As curvas começam
em com o valor de 5.34 para chapa infinitamente longa não enrijecida, tem pontos de
descontinuidade A devido a mudanças no modo de flambagem, e se aproxima
assintoticamente valores máximos de k para .
0=γ
γ = ∞
Teoricamente, não há valores limites associados aos valores de como na teoria
previamente discutida. Todavia, para propostas práticas os pontos A indicam tais valores
limites para I, desde que um acréscimo de I acima destes valores tem um efeito desprezível na
tensão crítica . As curvas de k no lado direito dos pontos A são próximas de linhas
horizontais.
0γ 0I
cτ
A figura 5.10 indica nas linhas pontilhadas os valores de k obtidos por Wang (1947 apud
BLEICH, 1952) usando a análise aproximada de Timoshenko. Acima de um certo valor de γ
o fator de chapa k é constante, como indicado pelas linhas horizontais à direita dos pontos B.
Para valores altos de a teoria mais exata fornece valores mais altos de k, o que não é muito
importante, mas na vizinhança dos pontos B a discrepância entre as duas curvas é
considerável. De acordo com Wang (1947 apud BLEICH, 1952) o valor é requerido
para a proporção b/d=1 para assegurar que a chapa flambe como chapa simplesmente apoiada,
enquanto a teoria mais exata requer um valor muito mais alto γ (ver ponto C na figura
5.10). A teoria exata requer enrijecedores muito mais pesados. Condições similares existem
γ
2=γ 0
6=0
Figura 5.10 (BLEICH, 1952) – Diagramas para b/d = 1 e 2
para a proporção b/d=2 (figura 5.10). Enquanto resultados mais precisos para chapas com dois
ou três enrijecedores não estão disponíveis, deve ser esperado que discrepâncias similares
devem ser encontradas, e acredita-se que os valores nas tabelas 5.5 e 5.6 não são confiáveis e
seu uso poderia levar a projetos inseguros.
171
A solução do problema de estabilidade para chapa enrijecida infinitamente longa
discutida é aplicável ao projeto da porção final de uma alma de viga onde as tensões
longitudinais são menores e podem ser desprezadas. As três curvas obtidas por Stein e Fralich
(1949 apud BLEICH, 1952) tornam possível interpolar uma equação aproximada para o fator
de placa k, mostrando este como uma função da proporção de rigidez e do aspecto de
proporção do painel, . Esta fórmula aproximada é
γ
d/b=β
( ) ( )2
3 2k 5.34 5.5 0.6
4 7 5γ
= + β −β −
(5.32)
válida para . ( )21 5 e 0 / 7 5≤ β ≤ ≤ γ β − ≤ 4
A equação 5.32 não é aplicável quando ( )24 7 5γ > β − . Neste caso o fator de
chapa é praticamente independente de γ e pode ser computado por 2β5.5+74.4=k (5.33)
Esta equação o fator de chapa maior, e para isto maior tensão de cisalhamento,
que pode ser obtido para a proporção . Para obter estes valores de k a proporção d/b=β γ
deve ser maior que a proporção limitante
( )20 4 7 5γ = β − (5.34)
a equação 5.32 fornece o valor k quando o momento de inércia I do enrijecedor é fornecido e
a resistência à flambagem da chapa é procurada. Quando o momento de inércia I do
enrijecedor é para ser determinado, de modo que a resistência à flambagem desejada é
obtida, a equação 5.32 pode ser resolvida para o valor
cτ
cτ
γ :
( ) ( )( )
23
32
4 7 5k 5.34
5.5 0.6
β −γ = −
β − (5.35)
onde k deve ser computado para dado em termos da equação 5.28. A fórmula 5.35 se
aplica para k > 5.34; se k < 5.34, enrijecedor não é necessário. Por outro lado, quando
cτ
γ
computado pela equação 5.35 se torna maior que o valor limite de acordo com a equação
5.34, o espaçamento d dos enrijecedores deve ser reduzido.
0γ
172
6 METODOLOGIA
Há um crescente número de projetos de vigas esbeltas também no Brasil,
principalmente na construção de pontes e viadutos, devido a diversas vantagens que este tipo
de construção pode oferecer, como menor peso próprio, menor volume de aço, maior
facilidade de execução, maior estabilidade e resistência ao suportar grandes cargas e vencer
grandes vãos. A aprovação deste tipo de projeto para construção em território brasileiro
requer adequação à norma brasileira, mais especificamente para este caso, à norma vigente
que trata de vigas esbeltas, a NBR 8800/86, que estabelece os princípios gerais que devem ser
obedecidos no projeto à temperatura ambiente e na execução, incluindo a inspeção, de
estruturas de aço e de estruturas mistas aço-concreto onde o dimensionamento de uma
estrutura feito de acordo com esta Norma deve seguir coerentemente todos os seus critérios.
Tendo isto em vista, esta dissertação tem por objetivo fazer um estudo comparativo entre a
metodologia americana, a brasileira e a européia, para análise de vigas metálicas esbeltas
compostas de chapas de aço, onde será feito o dimensionamento de uma viga esbelta com
base nos critérios de cálculo adotados pela norma americana, e uma posterior verificação das
dimensões encontradas, pelas normas brasileira e européia. Como uma complementação aos
objetivos desta dissertação, será feito um estudo comparativo entre a normas. A
transformação de unidades é constantemente utilizada ao longo do trabalho. Isto se deve aos
diversos sistemas de unidades adotados pelas diferentes normas.
Para maior clareza sobre a metodologia deste trabalho, serão mais detalhadamente
descritas as etapas deste processo metodológico de verificação, nos subitens a seguir.
6.1 Verificação de vigas esbeltas segundo os critérios da norma americana
Como uma primeira etapa deste trabalho, será feito um estudo a respeito do
projeto de uma viga esbelta, onde serão abordados vários aspectos relativos ao
comportamento de uma viga esbelta. A resistência à flexão e ao cisalhamento de uma viga
esbelta são largamente relacionadas à alma. Uma alma “esbelta” pode causar diversos
problemas, como flambagem devida à flexão no plano da alma, que vai reduzir a eficiência da
alma em carregar sua parte elástica do momento fletor, a flambagem da mesa comprimida na
direção vertical devida ao inadequado enrijecimento da alma para prevenir tal flambagem e a
flambagem devida ao cortante. Nesta parte será abordado o tratamento destes problemas com
base na norma americana, e posteriormente será feito o projeto estrutural de uma viga esbelta.
173
SALMON E JOHNSON (1996) desenvolveram um tratamento detalhado da teoria
das vigas esbeltas, na publicação da quarta edição de seu livro, entitulado Steel Structures –
Design and Behavior, que reflete as contínuas mudanças que ocorrem nos requisitos de
projeto para aço estrutural, particularmente a primeira atualização significante feita pela
American Institute of Steel Construction (AISC) do manual Load and Resistance Factor
Design (LRFD) Specification for Structural Steel Buildings, que é a norma americana. Este
estudo feito por SALMON E JOHNSON (1996) será aproveitado nesta parte do trabalho, o
qual servirá de base para o projeto da viga, que será efetuado no exemplo 1. Com relação ao
projeto, foi escolhida uma configuração para que se pudesse obter uma viga de dimensões não
muito pequenas, de forma que não se pudesse caracterizá-la como viga esbelta, mas ao
mesmo tempo não muito grandes, de forma que se pudesse facilmente fazer a verificação das
dimensões obtidas sem fugir do objetivo do trabalho que é de verificar por diversas normas
tais dimensões. Mais duas vigas esbeltas calculadas por dois autores diferentes foram
selecionadas neste trabalho para ser feita a verificação normativa através da norma americana.
PFEIL (1989) dimensionou uma viga esbelta com base na NB 14/86 e NARAYANAN (1992
apud OWENS, KNOWLES E DOWLING, 1992) dimensionou uma viga esbelta com base na
norma britânica BS 5950/90. Estas duas vigas serão submetidas à verificação pela LRFD, nos
exemplos 2 e 3 do capítulo 8, respectivamente.
6.2 Verificação de vigas esbeltas segundo os critérios da norma brasileira
Pretende-se nesta parte utilizar os critérios de verificação da NBR 8800/86, para a
análise das dimensões obtidas no cálculo da viga esbelta feito de acordo com a LRFD no
exemplo 1, e também das vigas dimensionadas por PFEIL (1989) e por NARAYANAN (1992
apud OWENS, KNOWLES E DOWLING, 1992), visando a adequação à norma brasileira
citada. Esta verificação será feita com base nas prescrições contidas nos anexos F e G da NBR
8800/86. O anexo F - Resistência de vigas esbeltas ao momento fletor, trata da verificação do
momento fletor resistente característico de uma seção onde são conhecidas suas dimensões. O
anexo G – resistência à força cortante, incluindo o efeito do campo de tração, normatiza o
cálculo da força cortante resistente característica de uma determinada peça de viga esbelta,
fixando condições para que seja permitido o cálculo utilizando o efeito do campo de tração.
174
6.3 Verificação de vigas esbeltas segundo os critérios dos projetos de revisão da
norma brasileira
Nesta etapa, se pretende fazer uma verificação das dimensões obtidas na análise
estrutural baseada na LRFD no exemplo 1, e das dimensões das vigas propostas por PFEIL
(1989) e por NARAYANAN (1992 apud OWENS, KNOWLES E DOWLING, 1992), com
base nas prescrições dos projetos de revisão da norma brasileira. Esta verificação será baseada
no conteúdo dos Anexos F e G do Projeto de Revisão da NBR 8800/03 - Projeto e execução
de estruturas de aço e de estruturas mistas aço-concreto de edifícios, que tratam do assunto de
vigas de alma esbelta e fixam exigências e limitações no seu cálculo, e também do anexo H e
item 5.4.3 do Projeto de Revisão da NBR 8800/07 – Projeto de estruturas de aço e de
estruturas mistas de aço e concreto de edifícios. Algumas considerações foram feitas dentro
da PNBR 8800/03, de modo que, a esta norma cabe definir os critérios gerais que regem o
projeto à temperatura ambiente e a execução das estruturas de aço e das estruturas mistas aço-
concreto de edifícios, devendo esta ser complementada por outras normas que fixem critérios
para estruturas específicas. Esta norma, baseada no método dos estados limites, estabelece os
princípios gerais que devem ser obedecidos no projeto à temperatura ambiente e na execução,
incluindo a inspeção, de estruturas de aço, nas quais são fixadas algumas exigências:
- os perfis de aço sejam laminados ou soldados;
- os elementos componentes dos perfis de aço, as chapas e as barras tenham
espessura igual ou superior a 3 mm;
- as ligações sejam parafusadas ou soldadas.
As prescrições desta norma se aplicam exclusivamente aos perfis de aço não-
híbridos. Caso sejam usados perfis híbridos, devem ser feitas adaptações necessárias. Os
perfis, laminados ou soldados devem ser fabricados obedecendo-se às normas brasileiras
aplicáveis.
6.4 Verificação de vigas esbeltas segundo os critérios da norma européia
Será utilizada nesta etapa, a norma européia, o Eurocode 3: Design of steel
structures – Part 1.1: General rules and rules for buildings (CEN, 1992), para a verificação de
dimensionamento da viga dimensionada no exemplo 1, e também das vigas dimensionadas
por PFEIL (1989) (exemplo 2) e por NARAYANAN (1992 apud OWENS, KNOWLES E
DOWLING, 1992) (exemplo 3).
175
7 FUNDAMENTOS DO DIMENSIONAMENTO DE VIGAS ESBELTAS
7.1 Diferença entre vigas e vigas esbeltas
De acordo com SALMON E JOHNSON (1996), vigas esbeltas são realmente
vigas com grande altura. A figura 7.1.1, em referência à LRFD (Load and Resistance Factor
Design), mostra a resistência nominal de momento, Mn, versus o índice de esbeltez λ para os
estados limites à flexão básicos, flambagem lateral com torção, flambagem local da mesa e
flambagem local da alma. A relação para a flambagem lateral com torção na figura 7.1.1a é
válida quando a seção é “compacta” (λ ≤ λp na LRFD-B5) levando em consideração os
estados limites de flambagem local da alma e da mesa. Quando a seção é “não-compacta” (λp
< λ ≤ λr na LRFD-B5), a resistência nominal Mn precisa ser determinada para os três estados
limites; o valor mais baixo controla.
Se a mesa é “esbelta” (λ > λr) para a flambagem local da mesa, a eficiência é
favorecida pela redução e o fator de forma Q < 1 deve ser usado de acordo com a LRFD.
Quando a alma é “esbelta” (λ > λr), o membro sujeito à flexão deve ser tratado de
acordo com as provisões de vigas esbeltas na LRFD – apêndice G. Quando λ não excede λr, a
tensão no elemento pode atingir a tensão de escoamento Fy sem ocorrer a flambagem elástica.
Estes conceitos são aplicáveis quando a LRFD é usada. As resistências de flexão e
de cisalhamento de uma viga esbelta são largamente associadas à alma. A alma “esbelta” pode
causar vários problemas:
1. Flambagem devida à curvatura no plano da alma vai reduzir a eficiência da
alma em carregar sua parte elástica do momento fletor.
2. Flambagem da mesa em compressão na direção vertical devido ao inadequado
enrijecimento da alma para prevenir tal flambagem.
3. Flambagem devida ao cisalhamento.
O aspecto mais distintivo de uma viga esbelta é o uso de enrijecedores
transversais regularmente espaçados. Os enrijecedores aumentam a resistência da alma em
carregar o cisalhamento. A resistência à flambagem elástica ou inelástica da alma de uma viga
esbelta não representa a resistência máxima no cisalhamento. Haverá uma significante
resistência pós-flambagem após a flambagem (desprezada a deformação fora-do-plano) tenha
176
ocorrido quando enrijecedores transversais devidamente projetados são usados. A viga vai se
comportar como uma treliça com sua alma carregando diagonalmente as forças de tração e os
C =1b
yf
300F
=pL
yr = rr
M
M
p
n
Mr
=yrbL
(a) Estado limite de flambagem lateral
com torção
compacta
yf
65F
=p162
yfr = (F -16.5)/k
Mp
Mr
=f2t
fb
c
esbelta
não-compacta
LRFD-Ap. B5.3
(b) Estado limite de flambagem local
da mesa
= th
w
yf
640F
=p r =
Mp
Mr
970yfF
esbeltanão-compacta
compacta
viga de placa
(c) Estado limite de flambagem local
da alma
Figura 7.1.1 (SALMON E JOHNSON, 1996) – Estados limites na flexão.
enrijecedores carregando as forças de compressão. Este comportamento de treliça é referido
como ação do campo de tração.
7.2 Estado limite de flambagem vertical da mesa
O limite máximo da esbeltez da alma é baseado na rigidez necessária no
plano da alma para prevenir a mesa comprimida de flambar verticalmente (figura 7.2.1c).
wth /
Note que h é a altura da chapa da alma em uma seção I soldada. Além disso,
alguma rigidez à flexão é necessária para a alma ao longo da conexão mesa-alma para impedir
a flambagem torsional da mesa (figura 7.2.1b).Para a proposta desse desenvolvimento, pode-
se imaginar que a mesa é um membro em compressão independente do resto da viga (vide
177
figura 7.2.2). Quando a viga é fletida, como aparece exagerado na figura 7.2.3, a curvatura
chega até
(b)
(c)
(a)
(a) flambagem lateral(b) flambagem torsional(c) flambagem vertical
Figura 7.2.1 (SALMON E JOHNSON, 1996) – Tipos de flambagem que podem ocorrer.
Mesa age independentemente
Resistência da alma requerida parasustentação é pequena
quando h/t é altow
w30 t
wt
h
Figura 7.2.2 (SALMON E JOHNSON, 1996) – Flambagem vertical da mesa comprimida.
as componentes de força da mesa que causam compressão nos lados da alma adjacentes às
mesas. Quando a alma permanece estável quando sujeita a essas componentes de força
compressiva das mesas, a mesa não pode flambar verticalmente. Na seguinte derivação a
própria mesa é assumida como tendo rigidez zero para resistir a flambagem vertical, que é um
procedimento conservativo.
Referindo-se à figura 7.2.3, a deformação εf dx acumulada sobre a distância dx é
2h
θd=dxε f (7.2.1)
178
dxhε2
=θd f (7.2.2)
fAf
d00
fA f
fA f fA f
h/2
h/20d
Figura 7.2.3 (SALMON E JOHNSON, 1996) – Forças na mesa surgindo da curvatura da viga.
Como mostrado na figura 7.2.4, a componente vertical que causa compressão é
. Após dividir pela área para obter a tensão compressiva como mostrado na
figura 7.2.4b, pode-se substituir a equação 7.2.2 para ,
θdAσ ff dxt w cf
θd
htεAσ2
=dxtθdAσ
=fw
fff
w
ffc (7.2.3)
Referindo-se à equação abaixo, fornecida por SALMON E JOHNSON (1996), a
tensão elástica de flambagem para uma chapa é:
( )( )
2
cr 22
EF k12 1 b / t
π=
−μ
onde b=h, , e k=1 para o caso da placa de Euler assumida livre ao longo dos lados
paralelos ao carregamento e com o topo e o fundo travados. Então
wt=t
( )( )
2
cr 22w
EF12 1 h / t
π=
−μ (7.2.4)
substituindo a tensão aplicada, equação 7.2.3 na tensão crítica, equação 7.2.4, obtém-se
( )( )
2f f f
22w w
2 A Et h 12 1 h / tσ ε π
=−μ
(7.2.5)
179
onde, fazendo , obtém-se ww A=ht
( )2
w2
w f
Ah Et A24 1
⎛ ⎞⎛π= ⎜ ⎟⎜
f f
1 ⎞⎟σ ε−μ ⎝ ⎠⎝ ⎠
(7.2.6)
Conservativamente assume-se que deve alcançar a tensão de escoamento da
mesa para alcançar a resistência da mesa. Além disso, se a tensão residual existe na
mesa distribuída como como mostra a figura 7.2.5, então a deformação total da mesa será
aquela devida à soma da tensão residual com a tensão de escoamento; para tal
fσ
yfF rF
( )/EF+F=ε yfrf (7.2.7)
A substituição de na equação 7.2.6
e fazendo e considerando que é um valor realístico, obtém-se
3.0=μ e ,ksi 29000=E,7.2.7.eq=ε,F=σ fyff
ksi 5.16=Fr5.0=A/A fw
( )5.16+FF13800
=th
yfyfw (7.2.8)
para unidades do U.S. (United States System), com em ksi yfF
fA f
A ff
d0
d0
h
fA f d0
dxdx
tw=espessura da alma
=cf0
t dxAf f d
w
Figura 7.2.4 (SALMON E JOHNSON, 1996) – Efeito da força normal à chapa da mesa.
Para unidades do SI, com em MPa, a substituição de
na equação 7.2.6 e fazendo e
considerando que , obtém-se
yfF
3.0=μ e ,GPa200=E,7.2.7.eq=ε,F=σ fyff
MPa7.113=Fr
5.0=A/A fw
( )114+FF96500
=th
yfyfw
180
A equação 7.2.8 foi desenvolvida sem levar em conta o posicionamento dos
enrijecedores. O efeito dos enrijecedores certamente será para incrementar a resistência acima
da resistência à flambagem baseada no da equação 7.2.4. crF
F
largura da mesa
yfFr Fr
Fyf
FrFr
(a) tensão (b) tensão média (c)
compressãotração
residual sobreposta
Figura 7.2.5 (SALMON E JOHNSON, 1996) – Efeito da tensão residual.
7.2.1 Máximo de acordo com a LRFD (Load and Resistance Factor Design) wh/t
Vigas esbeltas de alma única de simetria dupla ou única, carregadas no plano da
alma deverão ser proporcionadas de acordo com as provisões da LRFD – apêndice G1,
fornecida para que os seguintes limites sejam satisfeitos:
(a) Para a 1.5h≤ :
w yf
h 2000t F
≤ (7.2.9)
(b) Para :5.1>ha
( )w yf yf
h 14000t F F 16.5
≤+
(7.2.10)
onde
a = distância livre entre enrijecedores transversais, in.
h = distância livre entre mesas quando soldas são usadas, in.
wt = espessura da alma, in.
yfF = mínima tensão de escoamento especificada da mesa, ksi.
181
Em vigas esbeltas não enrijecidas não deverá exceder 260. wth /
Valores para as equações 7.2.10 e 7.2.9 são obtidos na tabela 7.2.1.
Tabela 7.2.1 (SALMON E JOHNSON, 1996) – Limitações de máximo - LRFD – apêndice G1. wth /
yF
(ksi)
wth / (equação 7.2.10)
p/ a/h>1.5
wth / (equação 7.2.9)
p/ a/h<1.5
yF
(MPa) 36 322 333 248 42 282 309 290 45 266 298 310 50 243 283 345 55 223 270 379 60 207 258 414 65 192 248 448 100 130 200 689
7.3 Resistência nominal de momento – LRFD
Desde que vigas esbeltas irão usualmente ter almas “esbeltas”, isto é, λ irá
exceder para flambagem local da alma, a resistência não pode exceder aquela baseada em
atingir a tensão de escoamento na fibra extrema. Nenhum comportamento inelástico é
considerado possível para as propostas do projeto.
rλ
yF
A resistência nominal de momento de vigas esbeltas é controlada pelo estado
limite de escoamento da mesa tracionada ou pelo estado limite de flambagem da mesa
comprimida, como segue, de acordo com a LRFD – apêndice G2:
nM
A resistência à flexão de projeto para vigas esbeltas deverá ser , onde
e e o valor mais baixo obtido de acordo com os estados limites de escoamento
da mesa tracionada e flambagem da mesa comprimida.
nbMφ
900=φb . nM
(a) Para escoamento da mesa tracionada:
PGytxtn RFS=M (7.3.1)
(b) Para flambagem da mesa comprimida:
n xt cr PM S F R G= (7.3.2)
onde
182
crPG
r w cr
ha 970R 11200 300a t F
⎛ ⎞= − − ≤⎜ ⎟⎜ ⎟+ ⎝ ⎠
1 (7.3.3)
ra = proporção entre a área da alma pela área da mesa em compressão ( )10≤
crF = tensão crítica de compressão da mesa, ksi
ytF = tensão de escoamento da mesa tracionada, ksi
xcS = módulo da seção referente à mesa em compressão, , cx yI / 3.in
xtS = módulo da seção referente à mesa tracionada, , tx yI / 3.in
xI = momento de inércia relativo ao eixo x, 4.in
cy = distância do CG da seção à fibra extrema em compressão, in.
ty = distância do CG da seção à fibra extrema em tração, in.
ch = h, altura da chapa da alma para vigas esbeltas de seção I simétrica, in.
A tensão crítica a ser usada é dependente dos parâmetros de esbeltez
e como segue:
crF rp λλλ ,,
PGC
Para pλ ≤ λ ,
cr yfF F= (7.3.4)
Para p rλ ≤ λ ≤ λ ,
pcr b yf yf
r p
1F C F 1 F2
⎡ ⎤⎛ ⎞λ −λ= − ≤⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟λ −λ⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
(7.3.5)
Para , rλ > λ
PGcr 2
CF =λ
(7.3.6)
Antecipadamente, o parâmetro de esbeltez deverá ser determinado para o estado
limite de flambagem lateral com torção e o estado limite de flambagem local da mesa; o
parâmetro de esbeltez que resulta no valor mais baixo de governa. crF
(a) Para o estado limite de flambagem lateral com torção:
b
T
Lr
λ = (7.3.7)
183
pyf
300F
λ = (7.3.8)
ryf
756F
λ = (7.3.9)
PG bC 286000C= (7.3.10)
onde
01=Cb .
=rT raio de giração da mesa em compressão mais um terço da porção da alma em
compressão, mm.
(b) Para o estado limite de flambagem local da mesa:
f
f
b2t
λ = (7.3.11)
pyf
65F
λ = (7.3.12)
ryf c
230F / k
λ = (7.3.13)
PG cC 26200k= (7.3.14)
onde c w ck 4 / h / t e 0.35 k 0.763= ≤ ≤ e 01=Cb .
O estado limite de flambagem local da alma na flexão não é aplicável.
7.4 Redução no momento resistente devido à flambagem por flexão no plano da alma
Desde que a alma de uma viga esbelta tem uma alta proporção , flambagem
pode ocorrer como o resultado da flexão no plano da alma (vide figura 7.4.1). O parâmetro de
esbeltez acima do qual tal flambagem pode ocorrer é desenvolvido a seguir. Além disso,
após essa flambagem elástica ocorrer existe uma resistência pós-flambagem. Quando a viga
esbelta é proporcionada para mais eficientemente suportar uma carga, a alma irá flambar antes
da resistência nominal de momento da viga ser alcançada.
wth /
rλ
Em qualquer situação típica de estabilidade de chapa, a tensão elástica de
flambagem é representada pela equação fornecida por SALMON E JOHNSON (1996),
184
( )( )
2
cr 22
k EF12 1 b / t
π=
−μ
onde para este caso b=h.
O desenvolvimento teórico dos valores de k para flexão no plano da chapa é
fornecido por Timoshenko e Woinowski-Krieger (1959 apud SALMON E JOHNSON, 1996).
Para qualquer valor de carga, k varia com o aspecto proporcional a/h, e com as condições de
suporte ao longo dos lados. Se a chapa pode ser considerada como tendo uma completa
fixação (completa resistência contra rotação dos lados) ao longo dos lados paralelos à direção
do carregamento (lados unidos às mesas), o valor mínimo de k é 39.6 para qualquer proporção
a/h. Se as mesas são assumidas a não oferecer resistência à rotação dos lados, o valor mínimo
de k é 23.9.
Então a tensão crítica (usando E=29000 ksi e μ =0.3) pode ser obtida entre
( ) ksi t/h
627000=F 2cr para k=23.9
(apoio simples nas mesas)
e
( ) ksi t/h
1038000=F 2cr para k=39.6
(apoio completamente fixo nas mesas)
Enquanto cada viga esbelta particular irá ter um diferente grau de restrição das
mesas, a conexão entre as mesas e a alma com solda completa irá se aproximar do caso de
fixação completa. Será razoável então selecionar arbitrariamente um valor de k perto de 39.6,
algo em torno de 80% de diferença aproximando do valor máximo. Pode-se dizer que
( ) ksi t/h
950000=F 2cr (7.4.1)
é representativo da tensão quando a flambagem elástica é iminente devido à flexão no plano
da alma. Tal “flambagem por flexão” não pode ocorrer se
crcrw F970
=ksi ,F
950000=
th
(7.4.2)
Considerando que a alma carrega apenas uma pequena parte do momento fletor
total para o qual a viga está sujeita, a negligência da zona de transição que se inicia a partir da
flambagem inelástica não será significante.
De acordo com SALMON E JOHNSON (1996), flambagem da alma não termina
com a utilidade da viga.
185
h
a
Figura 7.4.1 (SALMON E JOHNSON, 1996) – Chapa da alma sob momento puro.
7.5 Resistência nominal ao cisalhamento – flambagem elástica e inelástica
Em seções I típicas, a alma carrega a maior parte do cisalhamento. Desde que a
viga esbelta tem inerentemente uma alma delgada ( yw F970>th // ), a estabilidade é de
interesse primário.
Considere um painel de chapa de alma de comprimento a entre enrijecedores
transversais e tendo uma altura livre h entre chapas de suporte longitudinal (entre as mesas,
cisalhamento puro(a) elemento em
no painel em(c) tensões principais
cisalhamento puro
(b) tensões principais
cisalhamento purono elemento em
h
a
Figura 7.5.1 (SALMON E JOHNSON, 1996) – Teoria clássica do cisalhamento aplicada a um painel de viga esbelta.
mesa e enrijecedor longitudinal, ou entre enrijecedores longitudinais), como mostrado na
figura 7.5.1. Em regiões de alto cisalhamento e baixo momento fletor, a resistência à
flambagem do painel pode ser investigada assumindo que está sendo solicitada por somente
cisalhamento (cisalhamento puro), como na figura 7.5.1.
186
7.5.1 Flambagem elástica sob cisalhamento puro
A tensão de flambagem elástica para qualquer chapa é obtida pela equação
seguinte:
( )( )
2
cr 22
k EF12 1 b / t
π=
−μ
onde para o caso e cisalhamento puro (vide figura 7.5.1), a equação para flambagem elástica
pode ser escrita (usando em lugar de F para tensão de cisalhamento e para k) τ vk
( )
2v
cr 22
k Emenor dimensão12 1
t
πτ =
⎛ ⎞−μ ⎜ ⎟⎝ ⎠
(7.5.1)
onde para o caso de lados simplesmente apoiados (deslocamento prevenido mas rotação em
torno dos lados sem restrição) 2
vmenor dimensãok 5.34 4.0maior dimensão
⎛ ⎞= + ⎜ ⎟⎝ ⎠
(7.5.2)
o desenvolvimento desta foi obtido por Timoshenko e Woinowski-Krieger (1959 apud
SALMON E JOHNSON, 1996).
Para o objetivo do projeto pode ser desejável colocar as equações. 7.5.1 e 7.5.2 em
termos de h, a altura da alma sem suporte, e a, o espaçamento dos enrijecedores. Quando isto
é feito, dois casos devem ser considerados.
1. Se a / h 1≤ (vide figura 7.5.2a), a equação 7.5.1 se torna
( )( )( )
( )( )
22 2
cr 2 22
E 5.34 4.0 a / h h / a12 1 a / t h / a
⎡ ⎤π +⎣ ⎦τ =−μ
(7.5.3)
2. Se a / h 1≥ (vide figura 7.5.2b), a equação 7.5.1 se torna
( )( )( )
22
cr 22
E 5.34 4.0 h / a
12 1 h / t
⎡ ⎤π +⎣ ⎦τ =−μ
(7.5.4)
É aparente das equações 7.5.3 e 7.5.4 que se for desejável usar h/t como um
parâmetro de estabilidade no denominador, então duas expressões para são necessárias.
Para todas as listas de a/h, equações 7.5.3 e 7.5.4 podem ser escritas
vk
( )( )
2v
cr 22
Ek12 1 h / t
πτ =
−μ (7.5.5)
187
onde
( )2vk 4.0 5.34 / a / h= + para a / h 1≤ (7.5.6)
( )2vk 4.0 / a / h 5.3= + 4 para a / h 1≥ (7.5.7)
Na LRFD – apêndice G3, as equações 7.5.6 e 7.5.7 são substituídas por
( )v 25k 5
a / h= + (7.5.8)
De acordo com SALMON E JOHNSON (1996), a equação 7.5.8 é uma única
equação aceitável para substituir as equações 7.5.6 e 7.5.7.
Para o uso em equações de projeto, a equação 7.5.5 foi colocada em forma não
dimensional, definindo como a proporção entre a tensão de cisalhamento na
flambagem e a tensão de escoamento de cisalhamento ,
vC crτ
yτ
( )( )( )
2cr v
v 22y y
EkC12 1 h / t
τ π= =τ τ −μ
(7.5.9)
na qual é para análise da estabilidade elástica. A substituição de E=29000 ksi,
, , e usando o subscrito w para a tensão de escoamento e para a espes-
vC
y =τ30=μ . ywF60. ywF
h
aa
h enrijecedores enrijecedores
(a) a/h<1 (b) a/h>1
Figura 7.5.2 (SALMON E JOHNSON, 1996) – Dois casos de espaçamento dos enrijecedores transversais.
sura da chapa para identificar este comportamento como ocorrendo na alma, obtém-se wt
188
( )( )( )( )
2v
v 2yw w
29000 kC
0.6F 12 1 0.09 h / tπ
=−
de onde se obtém como fornece a LRFD – apêndice G3, válido para abaixo do limite
proporcional que corresponde a ,
vC crτ
8.0=Cv
( )v
v 2yw w
44000kCF h / t
= (7.5.10)
De acordo com SALMON E JOHNSON (1996), a ASD-F4 usa o coeficiente 45000 em vez de
44000. Este valor um pouco maior é obtido quando é obtido como yτ 3/Fy .
Para unidades do SI, a substituição de E=200Gpa, , , fornece 30=μ . ywy F60=τ .
( )( )( )
2cr v
v 2y yw w
200000kC0.6F 12 1 0.09 h / t
τ π= =τ −
( )v
v 2w yw
303000kCh / t F
=
com em MPa. ywF
7.5.2 Flambagem inelástica sob cisalhamento puro
Como em toda situação de estabilidade, tensões residuais e imperfeições causam
flambagem inelástica quando as tensões críticas se aproximam das tensões de escoamento. A
curva de transição para flambagem inelástica foi fornecida por Basler (1961 apud SALMON
E JOHNSON, 1996) baseada na curva se aproximando e usando resultados de testes de Lyse e
Godfrey (1935 apud SALMON E JOHNSON, 1996). Na zona de transição entre a flambagem
elástica e o escoamento,
cr lim. cr(idealproporc. elástico)
τ = τ τ (7.5.11)
O limite proporcional é tido como , mais alto que para compressão nas
mesas porque o efeito das tensões residuais é menor. Dividindo a equação 7.5.11 por para
obter e usando a equação 7.5.10 tem-se:
yτ80.
yτ
vC
( )( )
( ) yw2
w
v
y
yvy
y
crv Ft/h
k440008.0
τ
τCτ8.0
ττ
C ===
189
yw
v
wv F
kt/h
187C = (7.5.12)
o qual é fornecido pela LRFD – apêndice G3.
Para unidades do SI, tem-se:
( ) ( ) yw
v
wyw2
w
v
y
crv F
kh/t491
=Ft/hk303000
8.0=ττ
=C
com em MPa. ywF
7.5.3 Resistência nominal ao cisalhamento
A resistência nominal ao cisalhamento de uma viga baseada na flambagem
elástica ou inelástica da alma pode ser expressa como
nV
n crV Aw= τ (7.5.13)
ou usando y
crv τ
τ=C ,
n v yV C Aw= τ (7.5.14)
Aproximando como obtém-se yτ ywF60.
( )n v ywV C 0.6F A= w
8
(7.5.15)
que é a fórmula que consta na LRFD – formula (A-G3-3). Na equação 7.5.15, é a equação
7.5.10 para flambagem elástica quando
vC
vC 0.≤ e é a equação 7.5.12 quando para
flambagem inelástica.
8.0>Cv
A equação 7.5.15 será aplicada também para vigas de seção laminada,
considerando que raramente enrijecedores transversais devem ser usados. Se for desejável
obter uma expressão explícita para correspondente a (a alma escoa em
cisalhamento e não ocorre flambagem), a equação 7.5.12 pode ser resolvida para
quando ,
wt/h 1=Cv
wt/h
1=Cv
yw
v
w Fk
187=th
(7.5.16)
Quando não excede o valor da equação 7.5.16, a resistência nominal ao
cisalhamento é
wt/h
190
wywn AF6.0=V (7.5.17)
a qual é fornecida pela LRFD – formula (A-G3-1) bem como pela LRFD – formula (F2-1)
para vigas.
A relação que divide flambagem elástica e inelástica pode ser obtida
colocando igual a 0.8 na equação 7.5.10, obtendo
wt/h
vC
yw
v
w Fk
234=th
(7.5.18)
7.6 Resistência nominal de cisalhamento – incluindo a ação do campo de tração
Segundo SALMON E JOHNSON (1996), uma chapa enrijecida por mesas e
enrijecedores transversais tem uma considerável resistência pós-flambagem.
De acordo com Basler (1961 apud SALMON E JOHNSON, 1996), a habilidade
de uma viga esbelta em comportar-se de uma maneira similar a uma treliça foi reconhecida
antes de 1898. Como mostrado na figura 7.6.1, as forças de tração são carregadas pela ação de
membrana da alma enquanto as forças de compressão são carregadas pelos enrijecedores
transversais. O trabalho de Basler (1961 apud SALMON E JOHNSON, 1996) leva à teoria
que está de acordo com testes e fornece critérios que asseguram que a ação de treliça pode se
desenvolver. A inclusão da ação de treliça aumenta a resistência ao cisalhamento em relação a
que é baseada na flambagem para aproximar da condição correspondente ao escoamento por
cisalhamento na teoria clássica de vigas.
compressão
enrijecedores
tração
Figura 7.6.1 (SALMON E JOHNSON, 1996) – Ação do campo de tração.
191
A resistência nominal de cisalhamento pode ser expressa como a soma da
resistência de flambagem e a resistência pós-flambada da ação do campo de tração,
nV
crV tfV
n crV V Vtf= + (7.6.1)
A resistência nominal de flambagem é obtida pela equação 7.5.14 com crn V=V ,
wyvcr AτCV = (7.6.2)
onde e é obtida pelas equações 7.5.10 e 7.5.12 para flambagem elástica e
inelástica, respectivamente.
ycrv ττ=C /
A resistência ao cisalhamento que surge da ação do campo de tração na alma
desenvolve uma banda de forças de tração que ocorrem após a alma ter flambado sob
compressão diagonal (tensões principais na teoria ordinária de vigas). O equilíbrio é mantido
pela transferência da força para os enrijecedores verticais. Quando a carga da viga aumenta, o
ângulo do campo de tração se modifica para acomodar maior capacidade de carga.
tfV
7.6.1 Ação do campo de tração: ótima direção
Considere a membrana de tração que se desenvolve na alma com um ângulo
, como mostrado na figura 7.6.2. Se tais tensões de tração podem se desenvolver ao longo
da altura total da alma, então a força de tração diagonal total T pode ser
tσ
γ
t wT t h cos= σ γ (7.6.3)
a componente vertical a qual é a força cisalhante V, obtida por
t wV Tsin t h cos sin= γ = σ γ γ
γ
(7.6.4)
Se tais tensões diagonais de tração pudessem se desenvolver ao longo das mesas,
uma rigidez vertical das mesas deveria ser requerida. Tendo-se que as mesas têm pequena
rigidez vertical e estão agindo com sua capacidade em resistir a flexão na viga, o campo de
tração efetivamente pode se desenvolver somente dentro da largura da banda tal que a
componente vertical possa ser transferida aos enrijecedores verticais. Os enrijecedores podem
ser projetados para carregar a força compressiva necessária. Será assumido que o campo de
tração pode se desenvolver dentro da largura de banda s, mostrada na figura 7.6.3a.
A membrana de força de tração que será repartida com um enrijecedor é , e
a força cortante parcial desenvolvida pela compressão no enrijecedor é
wtstσ
tfVΔ
tf t wV st sinΔ = σ (7.6.5)
192
e o ângulo é o ângulo que proporciona a componente máxima do campo de tração parcial. γ
th cos
VT
h
Figura 7.6.2 (SALMON E JOHNSON, 1996) – Tensões de membrana na ação do campo de tração.
Pela geometria,
s h cos a sin= γ − γ (7.6.6)
onde a = espaçamento dos enrijecedores. A substituição da equação 7.6.6 na equação 7.6.5
fornece
( )tf t w
2t w
V t h cos a sin sin
ht sin 2 a sin2
Δ = σ γ − γ
⎛ ⎞= σ γ − γ⎜ ⎟⎝ ⎠
γ (7.6.7)
Para máximo, requer-se que tfVΔ ( ) 0=γdVΔd tf / . Então
( ) ( )tft w
d V ht 2 cos 2 2a sin cosd 2
h cos 2 a sin 2 0
Δ ⎛ ⎞= σ γ − γ γ =⎜γ ⎝γ − γ =
0⎟⎠ (7.6.8)
ou
h/a=
a=γ2tan
1h
2
1+(a/h)1
2
a/h
(7.6.9)
Pela trigonometria da equação 7.6.9,
( )2
1sin 21 a / h
γ =+
(7.6.10)
além disso
193
( )2
2
1 cos 2 1 a / hsin 12 2 1 a / h
⎡ ⎤− γ ⎢ ⎥γ = = −⎢ ⎥+⎣ ⎦
(7.6.11)
A máxima contribuição da ação campo de tração é então obtida pela
substituição das equações 7.6.10 e 7.6.11 na equação 7.6.7 obtendo-se
tfVΔ
( )2wtf t
htV 1 a / h2
a / h⎡ ⎤Δ = σ + −⎢ ⎥⎣ ⎦ (7.6.12)
Não é prático usar a equação 7.6.12 diretamente, desde que a contribuição do
cisalhamento de parte da seção (como o corte MM da figura 7.6.3) que é cortada através dos
triângulos fora da banda s deve ser adicionada. O estado de tensão nesses triângulos é
desconhecido, requerendo uma aproximação alternativa para encontrar o cisalhamento total
quando o ângulo ótimo é alcançado. tfV
M
Ma/h=aspecto proporcional
= ângulo do campo de tração
da banda s
(a)
a
h largura
(b)
sa sen
90a
h
V
h cos
Figura 7.6.3 (SALMON E JOHNSON, 1996) – Forças surgidas do campo de tração.
Um meio alternativo, como usado por Basler (1961 apud SALMON E
JOHNSON, 1996), é cortar o corpo livre como na figura 7.6.4. A seção é tomada
verticalmente na metade entre dois enrijecedores adjacentes e horizontalmente à meia altura.
O corte à meia altura provê o acesso ao campo de tração onde o estado de tensão é conhecido,
e o cisalhamento resultante em cada face vertical é igual a pela simetria. 2Vtf /
7.6.2 Cálculo da resistência ao cisalhamento através da ação do campo de tração
Usando o corpo livre da figura 7.6.4, o equilíbrio das forças horizontais requer
194
( ) wf t w t
t aF t a sin cos sin 22
Δ = σ γ γ = σ γ (7.6.13)
s
O
f fF+FF
w2
Vtf
aP
f
a sent
tfV2
FFw
h2
h V V
Figura 7.6.4 (SALMON E JOHNSON, 1996) – Força no enrijecedor resultante da ação do campo de tração.
A força incremental na alma não é usada porque a alma contribui pouco para
a resistência à flexão da viga. O equilíbrio rotacional tomado em relação ao ponto O, requer
que
wFΔ
tff
V ahF 02 2
Δ − = (7.6.14)
Resolvendo a equação 7.6.14 para e substituindo na equação 7.6.13 obtém-se fFΔ
tf wt
V a t a sin 2h 2
= σ γ (7.6.15)
Resolvendo para e usando a equação 7.6.10 para obtém-se tfV γsin2
( )w
tf t 2
ht 1V2 1 a / h
⎡ ⎤⎢ ⎥= σ⎢ ⎥+⎣ ⎦
(7.6.16)
7.6.3 Condição de ruptura
O atual estado de tensão na alma envolve tanto tensão de cisalhamento quanto
tensão normal ; então a ruptura no elemento sujeito ao cisalhamento em combinação com
uma tração inclinada deve ser considerada. Duas suposições básicas são envolvidas: primeiro,
τ
tσ
195
crτ permanece com valor constante da carga de flambagem para a carga última e para tal a
tensão do campo de tração age em adição à tensão principal ; segundo, o ângulo tσ crτ γ que
será conservativamente tido como , contudo este será sempre menor que este valor. °45
2 21 2σ −
A relação geralmente aceita para a ruptura no estado plano de tensões é a teoria da
“energia de distorção” que pode ser escrita 2y1 2 Fσ + σ σ = (7.6.17)
onde são tensões principais. De acordo com a teoria da energia de distorção, 21 σ e σ
( )1 y +σ
1 =σ
2F 3 1σ = −
cr
(7.6.18)
e para a condição de tensão de que e tcr σ+τ 2σ = −τ , a equação 7.6.18 se torna
t c
yF /σ τ
s t wP t
rv1 1 C
3= − = −
yF (7.6.19)
7.6.4 Força no enrijecedor
Usando a figura 7.6.5, o equilíbrio das forças verticais requer que a força no
enrijecedor seja
sP
( )a sin sin= σ γ γ (7.6.20)
Então, substituindo a identidade trigonométrica,
2 1 cos 2sin2
− γ γ =
obtém-se
( )w
s t 2
at a / h2 1 a / h
P 1⎡ ⎤
⎛ ⎞ ⎢ ⎥−= σ ⎜ ⎟ ⎢ (7.6.21) ⎥+⎝ ⎠
⎣ ⎦
Substituindo a equação 7.6.19 (usando para ) na equação 7.6.21 obtém-se ywF yF
( )( )
yw v wats 2
C a / hP 12 1 a / h
F 1 ⎡ ⎤− ⎢ ⎥= − (7.6.22) ⎢ ⎥+⎣ ⎦
o qual é a força no enrijecedor quando a resistência nominal é alcançada, incluindo a ação
do campo de tração.
nV
Trabalhos mais recentes têm mostrado que a equação 7.6.22 pode ser simplificada
usando de a/h = 1; que neste caso,
196
( )s yw v w1P 0.5F 1 C at 12
⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎝ ⎠
(7.6.23)
( )s yw vP 0.15F 1 C at= − w (7.6.24)
7.6.5 Resistência nominal ao cisalhamento, incluindo tanto resistência de flambagem
como de pós-flambagem
Enquanto almas delgadas de vigas esbeltas exibem alguma resistência ao
cisalhamento antes da flambagem diagonal ocorrer ( do item 7.5) e resistência adicional na
etapa pós-flambagem ( da equação 7.6.16), sua atual resistência é a soma de ambos os
componentes. Substituindo a equação 7.6.2 e 7.6.16 na equação 7.6.1 obtém-se
nV
tfV
( )t
n w y v 2V ht C
2 1 a / h
⎡ ⎤σ⎢ ⎥= τ +⎢ ⎥+⎣ ⎦
(7.6.25)
Substituindo a equação 7.6.19 para e usando tσ 3/F=τ yy obtém-se
( )v v
n yw w 2
C 1 CV F ht3 2 1 a / h
⎡ ⎤−⎢ ⎥= +⎢ ⎥+⎣ ⎦
(7.6.26)
7.6.6 Critérios utilizados pelo manual LRFD
Quando a ação do campo de tração é desenvolvida usando-se enrijecedores
transversais apropriadamente espaçados e dimensionados, a resistência nominal no
cisalhamento pode ser expressa pela equação 7.6.26. Fatorando 3 do denominador, e então
aproximando 3Fy / por , obtém-se yF60.
( )v
n yw w v 2
1 CV 0.6F A C1.15 1 a / h
⎛ ⎞−⎜= +⎜ +⎝ ⎠
⎟⎟
(7.6.27)
que consta na LRFD – formula (A-G3-2) do apêndice G3.
A força nos enrijecedores intermediários quando a ação do campo de tração é
utilizada é obtida pela equação 7.6.24. A área do enrijecedor requerida é
sP
stA
197
( )yw v wsst requerida
yst yst
0.15F 1 C atPAF F
−= = (7.6.28)
Quando o painel tem mais resistência que é necessária para carregar o
cisalhamento fatorado , a área do enrijecedor pode ser reduzida multiplicando por
nVφ
stAuV
( )nu VφV / . Além disso, com a derivação assumida, o enrijecedor estava alinhado com o
centro da viga; quando os enrijecedores são usados somente de um lado ou se enrijecedores
em ângulo são usados há um efeito excêntrico e a área do enrijecedor deve ser incrementada.
Em adição, a área ( )wt18 w ×t da alma tributária com o enrijecedor pode ser subtraída da
requerida . Então, a LRFD – apêndice G4 fornece o requerimento como stA
( )yw 2ust requerida w v w
yst n
F VA 0.15ht 1 C 18tF V
⎛ ⎞= −⎜ ⎟φ⎝ ⎠
− (7.6.29)
onde = tensão de escoamento especificada para o material do enrijecedor ystF
Note que a equação 7.6.29 usa h em vez de a, uma aproximação razoável e uma
simplificação que faz a área do enrijecedor requerida proporcional à área da alma stA wA .
7.7 Resistência em flexão e cisalhamento combinados
Na vasta maioria dos casos a resistência nominal na flexão não é influenciada
pelo cisalhamento, nem a resistência nominal de cisalhamento é influenciada pelo
momento. Particularmente, em almas muito esbeltas onde “flexo-flambagem” pode ocorrer, a
tensão de flexão é redistribuída, onde as mesas carregam uma parte incremental. A resistência
ao cisalhamento da alma, entretanto, não é reduzida como resultado da “flexo-flambagem”
porque maior parte da resistência ao cisalhamento vem da ação do campo de tração com
apenas uma pequena contribuição da porção da alma adjacente à mesa. Em almas com haste,
“flexo-flambagem” não pode ocorrer, mas um alto cisalhamento na alma em combinação com
flexão pode causar escoamento da alma adjacente à mesa; novamente resultando na
transferência de parte do compartilhamento da alma do momento fletor para a mesa.
nM
nV
Desde que instabilidade é evitada, uma análise plástica deve ser usada. Quando
sujeita a alto momento fletor, a alma escoa adjacente à mesa e é, portanto, incapaz de carregar
o cisalhamento. Na região de meia profundidade da alma o cisalhamento causa escoamento;
então esta parte da alma não é habilitada a carregar momento fletor.
198
Referindo-se à figura 7.7.1, a resistência nominal ao cisalhamento na presença
de momento fletor pode ser expressa como
'nV
'n y 0V y t= τ w
h
(7.7.1)
Quando momento fletor não está presente, isto é, , a resistência nominal
deve ser
h=y0
nV
n y wV t= τ (7.7.2)
y0
yFy
yF
yF
h
y<
tensões normais tensões cisalhantes tensões normais tensões cisalhantesa) procedimento simples b) procedimento mais preciso
yF
Figura 7.7.1 (SALMON E JOHNSON, 1996) – Resistência ao cisalhamento e ao momento sob flexão e cisalhamento combinados.
Eliminando das equações 7.7.1 e 7.7.2 obtém-se yτ
'n
0n
Vy hV
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
(7.7.3)
a resistência nominal na presença de cisalhamento na figura 7.7.1a é 'nM
' 0 0n f y y w y w
y yh hM A F h F t F t2 2 2 2
⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
(7.7.4)
que após substituição da equação 7.7.3 na equação 7.7.4 e fazendo obtém-se ww ht=A
2'' w nn y f
f n
A V1M F hA 1 14 A V
⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞⎪ ⎪⎢ ⎥= + −⎨ ⎬⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭
(7.7.5)
A resistência nominal se iguala a quando a fibra extrema alcança a
tensão de escoamento , e com a alma participando inteiramente, é,
nM yM
yF
199
wn y y f
f
A1M M F hA 16 A
⎛ ⎞= = +⎜ ⎟
⎝ ⎠ (7.7.6)
como a porcentagem da resistência ao cisalhamento que é utilizada aumenta, a resistência
nominal de momento diminui. Na ausência de instabilidade, mas na presença de um alto
valor de cisalhamento, a resistência nominal de momento fletor pode ser expressa como
nV'nM
( ) ( )( )
2'r n n
'n n
r
1 1/ 4 a 1 V / VM M
1 1/ 6 a
⎡ ⎤⎡ ⎤+ −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦= ⎢ +⎢ ⎥⎣ ⎦⎥ (7.7.7)
onde . fwr AA=a /
Quando , , ou aproximadamente 0.6. Quando mais de
60% da máxima resistência ao cisalhamento é usada, a resistência nominal disponível
se torna menor que . Esta relação pode ser expressa como:
nn M=M '
nM
0.577=VV nn /'
nV 'nM
Para , 'n nV / V 0.60≤
'n nM M= (7.7.8)
Para , 'n nM / M 0.75≤
'n nV V= (7.7.9)
Quando as equações 7.7.8 ou 7.7.9 não são aplicáveis, a relação de interação deve
ser usada. Se for usado um valor conservativo de , a equação de redução
se torna
02=AA=a fwr ./
' 'n n
n n
M V51 0.6M 8 V
⎛ ⎞= − − ≤⎜ ⎟
⎝ ⎠1.0 (7.7.10)
ou
( )' 'n n
n n
M V5 51.0 0.6 1.375M 8 V 8
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ≤ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
(7.7.11)
onde = resistência nominal de flexão na presença de cisalhamento 'nM
= resistência nominal de cisalhamento na presença de flexão 'nV
= resistência nominal de flexão máxima nM
= resistência nominal de cisalhamento máxima nV
7.7.1 Critérios utilizados pelo manual LRFD
200
De acordo com as provisões da LRFD - apêndice G5, quando a resistência de
cisalhamento de uma viga esbelta depende da inclusão da ação do campo de tração a alma
deve satisfazer o critério de interação, obtido pelas equações 7.7.8, 7.7.9 e 7.7.11, para
cisalhamento combinado com tração da flexão.
nV
Reconhecendo que no projeto de uma viga e são as resistências
requeridas em combinação, estes primeiros termos podem ser substituídos nas equações 7.7.8,
7.7.9 e 7.7.11 por e , respectivamente. O fator de resistência φ para esta
relação tração-cisalhamento é 0.90, o valor usado para flexão.
'nV '
nM
φVu / φM u /
Então, a relação de interação para a LRFD é:
1. Para , os requerimentos básicos de não-interação se aplicam, u nV / V 0.60φ ≤
u nM M≤ φ (7.7.12)
2. Para , os requerimentos básicos de não-interação se aplicam, u nM / M 0.75φ ≤
u nV V≤ φ (7.7.13)
3. Quando as equações 7.7.12 e 7.7.13 não são aplicáveis, isto é, ou o
cisalhamento fatorado uV excede nVφ60. ou o momento fatorado uM excede nMφ75 ,
então a equação 7.7.11 se aplica. Substituindo os primeiros termos na equação 7.7.11 com
φV e obtém-se
0.
φM uu //
u u
n n
M V0.625 1.375M V
⎛ ⎞+ ≤⎜ ⎟φ φ⎝ ⎠
(7.7.14)
que consta na LRFD - formula (A-G5-1). O fator de resistência . 900=φ .
As condições 1 e 2 podem ser combinadas dentro de um critério para determinar
se a equação 7.7.14 precisa ser investigada. Assumindo as desigualdades relativas a e
para as equações 7.7.12 e 7.7.13 não são satisfeitas tem-se um par de equações
abaixo, cada uma associada ao requerimento básico que deve sempre ser satisfeito,
nVφ60.
nMφ750.
u nV 0.6V> φ (7.7.15a)
u nM M< φ (7.7.15b)
u nM 0.75M> φ (7.7.16a)
u nV V< φ (7.7.16b)
Dividindo o primeiro termo pelo segundo para cada um dos pares das equações
7.7.15 e 7.7.16 obtém-se
201
u n
u n
V 0.6VM M
≥ (7.7.17)
u n
u n
M 0.75MV V
≥ (7.7.18)
Invertendo a equação 7.7.18, e colocando com a equação 7.7.17, obtém-se
un n
n u
V0.6V VM M 0.75M
≤ ≤n
(7.7.19)
que é equivalente às limitações na LRFD – apêndice G5.
Quando a proporção está dentro da escala da equação 7.7.19, a equação
7.7.14 deve ser satisfeita.
uu MV /
7.8 Enrijecedores transversais intermediários
Vigas esbeltas irão usualmente ser projetadas para ter enrijecedores
intermediários. Os dois parâmetros de estabilidade para a alma são e a/h como discutido
nas seções 7.5 e 7.6. Flambagem resultante do cisalhamento pode ser evitada quando estes
parâmetros de estabilidade são pegos suficientemente baixos; alternativamente, a tensão
cisalhante pode ser pega abaixo da tensão crítica de flambagem . Desde que vigas de
seções laminadas têm baixa proporção , flambagem resultante de cisalhamento não irá
ocorrer. Quando o espaçamento a dos enrijecedores fizer baixo suficiente, e seu
tamanho é adequado para permiti-los a agir como verticais de compressão na treliça como
discutido na seção 7.6, a resistência pós-flambagem (ação do campo de tração) é disponível e
pode ser utilizada no projeto.
wth /
crτ
w
wth /
ta /
7.8.1 Requerimentos para omitir enrijecedores transversais
Enrijecedores não precisam ser usados quando a resistência à flexão da seção
pode ser atingida sem flambagem diagonal resultante do cisalhamento. Enrijecedores
costumam não ser requeridos, de acordo com a LRFD – apêndice G3, quando
v
w y
kh 187t F
≤w
(7.8.1)
202
Quando enrijecedores não são usados, o coeficiente de flambagem , obtido pela
equação 7.5.8, é deve ser tomado como 5. Este valor deve ser aproximado quando a/h se torna
grande. Quando , a equação 7.8.1 se torna
vk
5=k v
w yw
h 418t F
≤ (7.8.2)
que é o limite obtido pela LRFD – apêndice G4. Quando o limite da equação 7.8.2 não é
excedido, a máxima resistência nominal de cisalhamento é alcançável, nV
n ywV 0.6F Aw= (7.8.3)
que consta na LRFD formula (A-G3-1).
Quando um valor menor que a resistência máxima de cisalhamento é requerido,
enrijecedores intermediários não são requeridos quando
( )n v ywV C 0.6F A≤ w (equação
7.5.15)
a menos que exceda 260. Enrijecedores intermediários são requeridos quando
excede 260.
wh/t wh/t
As expressões para a serem usadas para vigas não enrijecidas são as equações
7.5.12 para flambagem inelástica e 7.5.10 para flambagem elástica com , como segue:
vC
5=k v
1. Quando wyw yw
418 h 523tF F
≤ ≤ (flambagem inelástica)
v
yww
418C h Ft
= (7.8.4)
2. Quando elástica) (flambagem F
523>
th
yww
( )v 2w yw
220000Ch / t F
= (7.8.5)
Sumariamente, enrijecedores intermediários não são requeridos quando um dos seguintes
requerimentos são satisfeitos:
1. w
h 260t
≤ (7.8.6)
2. ( )n v ywV C 0.6F A≤ w (7.8.7)
203
onde é obtido pelas equações 7.8.4 e 7.8.5. A equação 7.8.6 é um limite prático. vC
7.8.2 Critério de posicionamento incluindo a ação do campo de tração – manual
LRFD
Quando o cisalhamento fatorado excede , com obtido pela
equação 7.8.7 com , enrijecedores são requeridos. Quando excede 260,
enrijecedores são sempre requeridos. O uso de enrijecedores intermediários reduz a proporção
a/h e aumenta . A equação 7.8.7 logicamente se aplica em situações com ou sem
enrijecedores intermediários quando o objetivo é prevenir flambagem resultante de
cisalhamento.
uV nVφ nV e 0.90=φ
wh/t5=k v
nV
Na LRFD – apêndice G3 tanto a resistência à flambagem e a resistência pós-
flambagem são reconhecidas. O comportamento pós-flambagem, conhecido como ação do
campo de tração, é similar à ação de treliça como mostrado na figura 7.6.1. a resistência total
nominal é obtida pela equação 7.6.27, nV
( )v
n yw w v 2
1 CV 0.6F A C1.15 1 a / h
⎛ ⎞−⎜ ⎟= +⎜ ⎟+⎝ ⎠
que consta na LRFD – formula (A-G3-2). Desde que é uma função de é função
de , fazendo a avaliação difícil sem um projeto auxiliar.
vC nw V th ,/
a/h e th w/
Enquanto teoricamente os únicos limites superiores de são aqueles da LRFD
– apêndice G1 para prevenir flambagem vertical da mesa, considerações práticas relativas a
manuseio , fabricação e ereção levam em consideração a restrição tradicional,
wh/t
2
w
a 260 3.0h h / t
⎛ ⎞≤ ≤⎜ ⎟⎝ ⎠
(7.8.8)
a LRFD – apêndice G3 não permite o uso do campo de tração quando a equação 7.8.8 é
excedida.
7.9 Proporcionando a seção
204
A seção transversal de uma viga deve ser selecionada tal que ela adequadamente
cumpra suas funções e requeira um mínimo custo. Os requerimentos de sua função podem ser
sumarizados como:
1. Resistência para carregar momento fletor (adequado módulo de seção xS ).
2. Rigidez vertical para satisfazer qualquer limitação nas deflexões (adequado
momento de inércia xI ).
3. Rigidez lateral para prevenir flambagem lateral com torção da mesa
comprimida (adequado suporte lateral ou baixo Tb rL / ).
4. Resistência para carregar o cisalhamento (área da alma adequada).
5. Rigidez para melhorar a resistência à flambagem ou pós-flambagem da alma
(relativo às proporções h/t e a/h).
Para satisfazer estes requerimentos de função com um mínimo custo, vai ser
assumido no que se segue que um mínimo custo é equivalente a um mínimo peso.
7.9.1 Fórmula da área da mesa
Para simplicidade no projeto é conveniente substituir o sistema real da figura
7.9.1a por um sistema substituto, figura 7.9.1b, que permite que o momento seja substituído
por um conjugado com as forças do conjugado agindo nos centróides das mesas. As forças
podem então ser tratadas como situações de carga axial. Se a distância entre as forças das
mesas é aproximadamente (h+d)/2, as forças do conjugado são
( )MC T
h d / 2= =
+ (7.9.1)
A área efetiva na qual estas forças agem é igual à área da chapa da mesa mais uma área
adicional para representar a efetividade da alma em resistir o momento.
fA 'fA
A tensão média na área total efetiva é
( )avg 'f f
M 1fh d / 2 A A
⎛ ⎞= ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠
(7.9.2)
A área deve ser tomada tal que o momento fletor carregado pela alma seja o
mesmo tanto para o sistema real quanto para o substituto:
fA
2
sistema real maxh thM fd 6
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
(7.9.3)
205
'sistema substituto max f
h d h dM f A2d 2+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (7.9.4)
b) sistema de área da mesa
A'f Af
T = C
h t d =
fmax
braço= h+d2
A'f
( )h+d /2
(
=
favg= maxf
C
)h+d2d
M
a) sistema real
Figura 7.9.1 (SALMON E JOHNSON, 1996) – Desenvolvimento da fórmula de área da mesa.
Equacionando as equações 7.9.3 e 7.9.4 obtém-se 22
'f
h th 2d 2 th 2hAd 6 h d h d 6 h d⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
(7.9.5)
onde se , e o termo quadrático é negligenciado, se torna th=A w
' wf
AA6
= (7.9.6)
A seguir, resolvendo a equação 7.9.2 para tem-se fA
( )'
f favg
MA Ah d / 2 f
= −+⎡ ⎤⎣ ⎦
(7.9.7)
na qual, usando a equação 7.9.5 e , obtém-se ( ) d2/d+hf=f maxavg
2w
fmax
AM d 2hAf h h 6 h d⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
(7.9.8)
Deixando o termo quadrático igual à unidade superestimando indiferentemente o
valor de , enquanto deixando d/h=1 estima por baixo o valor. Para uma proposta de
projeto preliminar estas simplificações são justificadas para obter uma simples expressão para
a área requerida de uma placa de mesa,
fA
wf
AMAfh 6
= − (7.9.9)
206
No uso da equação 7.9.9, se f é tido como a tensão média na mesa, o termo d/h estará próximo
se levado em conta. Quando checar a seção, é claro, o momento de inércia correto deve ser
obtido e a máxima resistência computada.
7.9.2 Altura ótima da viga
A variação na área na seção transversal da viga é para ser examinada como função
da profundidade da alma para determinar a profundidade que irá fornecer mínima área.
A área bruta média da viga para o vão inteiro pode ser expressa como gA
g 1 f 2A 2C A C h= + t (7.9.10)
onde
1C = fator para levar em conta a redução no tamanho da mesa nas regiões de
momento mais baixo que o máximo
= fator para levar em conta a redução na espessura da alma nas regiões de
cisalhamento reduzido
2C
Substituindo a equação 7.9.9 na equação 7.9.10 obtém-se
g 1 2M htA 2C C hfh 6
⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎝ ⎠
t (7.9.11)
Para encontrar a área bruta média mínima,
gA0
h∂
=∂
(7.9.12)
Se não houver restrição na profundidade; alto h/t desejável. Assumindo
. A equação 7.9.11 torna-se ww β/h=t ;t/h=tetancons=β
2 2
g 1 2w w
M h hA 2C Cfh 6
⎛ ⎞= − +⎜ ⎟β β⎝ ⎠
(7.9.13)
g 1 12 2
w w
A 2C Mf 4C h 2C h0h f h 6
∂ −= = − +
∂ β2
β (7.9.14)
3 31 w 1 20 6C M 2C h f 6C h f= − β − + (7.9.15)
onde se tem
( )1 w
3
2 1
3MChf 3C C
β=
− (7.9.16)
207
e se for negligenciada a redução na seção em regiões de baixa tensão, , a equação
7.9.16 se torna
1=C=C 21
w33Mh
2fβ
= (7.9.17)
onde = momento fatorado em carga de serviço dividido por . φ/M=M u 90.0=φ
f = tensão média na mesa usando como valor na fibra extrema quando a
resistência nominal de momento é atingida de acordo com a LRFD – apêndice G2.
crF
Usando a equação 7.9.13 com e substituindo por M/f da equação
7.9.17 obtém-se
1=C=C 21
2 2 2
gw w w
4h h h 2hA3 3
= − + =β β β β
2
w
(7.9.18)
da qual o peso da viga por pé pode ser estimado usando o fato de o peso do aço ser 3.4 lb/sq
in./linear ft (0.00784 kg/ 2mm /metro linear). 2 2
3g 2w w
6,8h Mlb / ft 3.4A 8.9f
= = =β β
(7.9.19)
usando unidades de polegada para as variáveis.
208
8 PROJETOS DE VIGAS ESBELTAS COM VERIFICAÇÕES NORMATIVAS
8.1 Exemplo 1
Foi escolhido um sistema estrutural em viga simplesmente apoiada, solicitada
pelo carregamento indicado na figura 8.1.1. Os critérios para o dimensionamento desta viga
foram os utilizados por SALMON E JOHNSON (1996), onde em sua publicação eles
mostraram os requisitos para o projeto de vigas esbeltas analisando os requisitos de
segurança, com base nas regras utilizadas pelo Manual de Construção do Aço – Load and
Resistance Factor Design - LRFD.
8.1.1 Problema proposto
Considerar o projeto parcial de uma viga esbelta soldada, biapoiada, com um vão
de 26.24 ft ( = 8 m) para suportar uma carga uniformemente distribuída w = 0.07 kips/ft ( =
104.17 kg/m = 1 kN/m) mais uma carga concentrada no meio do vão de 66.14 kips ( = 30 tf =
300 kN), como mostrado na figura 8.1.1.
w = 0.07 kips/ft = 104.17 kg/m = 1 kN/m
13.12 ft = 4m
26.24 ft = 8m
13.12 ft = 4m
P = 66.14 kips = 30 tf=300 kN
Figura 8.1.1 – Sistema estrutural em viga biapoiada solicitada por carregamento indicado.
Adotar contenção lateral nos apoios e no meio do vão. A viga deve ter altura
constante da chapa da alma para todo o vão. Usar aço de 435 MPa ( = 63.13 ksi). Adotar E =
. Usar a LRFD – Load and Resistance Factor
Design.
GPa 199.95 = N/mm 199947.89 = ksi 29000 2
a) Cargas
Carga uniformemente distribuída w = 0.07 kips/ft = 104.17 kg/m = 1 kN/m.
209
Carga concentrada no meio do vão P = 66.14 kips = 30 tf = 300 kN.
b) Análise estrutural
Qualquer método de análise estrutural estaticamente indeterminada pode ser usado
para obter o momento elástico e o cortante devido às cargas. Os resultados estão apresentados
na figura 8.1.2.
c) Estimativa do peso
Desde que não haverá limitação, a altura baseada no máximo pode ser
desejada. Na LRFD – apêndice G1 os limites são obtidos, referindo-se à tabela 7.2.1,
wth /
Max p/ 82251=th w ./ ( )1.5>a/h se 74197= . MPa 435=Fy
13.12 ft = 4m 13.12 ft = 4m
439.89 ft-kips=596.38 kNm
Diagrama de momento fletor (ft-kips)
Diagrama de esforço cortante (kips)
33.07 kips=147.1 kN =15 t
33.07 kips=147.1 kN =15 t
33.99 kips=151.19 kN=15.42 t
33.99 kips=151.19 kN=15.42 t
w = 0.07 kips/ft = 104.17 kg/m = 1 kN/mP = 66.14 kips = 30 tf = 300 kN
Figura 8.1.2 - Diagramas de momento fletor e esforço cortante da viga para o exemplo do projeto.
Haverá redução na resistência para o estado limite de flambagem por flexão
quando exceder wth / crF970 / de acordo com a LRFD – apêndice G2 . Para este projeto
estes limites são, adotando-se a conversão 435 MPa = 63.13 ksi:
ycrw F=F quando ksi p/63.13 07122>th ./
Para uma estimativa de peso, tentar e usar a equação 7.9.19, 250=th=β ww /
kips-ft 09.482=90.0/87.433=φ/M=M=M burequerido n , e PG crf R F 59.62 ksi= ≈ (algo
pouco abaixo de ): yF
( )( )
( )[ ]( ) lb/ft 8329=
25062591209482
98=βFR
M98=ftWt 3
2
2
3
w2
crPG
2requerido n .
..
../
210
Assumindo o peso da viga de 70 lb/ft obtém-se o máximo momento positivo
fatorado . Usaremos w=70 lb/ft como o peso
estimado da viga. Os diagramas de momento fletor e esforço cortante são obtidos na figura
8.1.1.
kips-ft 8439=M u . m/kN 1=kg/m 17.104=
d) Determinando as dimensões da chapa da alma
Para com aço 63.13 ksi (435 MPa), assumindo
e usando a equação 7.9.17. Especificar o valor ótimo para h usando vários valores para ,
por exemplo, usando obtém-se
kips-ft 8439=M u .
250=th w/
1=C=C 21
wth /
( ) ( )( )( ) in 2833=
625922501290084393
=FR2
βM3=h 33
crPG
wrequerido n ..
./.
Baseado no requerimento de momento positivo, a altura mais econômica parece
ser primeiramente 33.28 in. pela fórmula. Entretanto, se um peso mais leve da
viga é desejado, a área da alma deve ser usada eficientemente. Uma vez que a espessura da
alma de 0.133 in. é obtida da altura de 33.28 in., a máxima altura para a espessura
de 0.133 in. deveria ser determinada, a qual fornece h = 26 a 33.25 in. , o que se aproxima do
valor da fórmula. Além disso, há uma considerável reserva de resistência ao cisalhamento;
será tipicamente satisfatório entre 12 a 16 ksi (82.74 a 110.32 MPa) de acordo com a
LRFD TABLE 10-50. Com a tensão de cisalhamento de projeto somente entre 4 a 6 ksi
(27.56 a 41.37 MPa) com a espessura da alma de 0.168 in. é provável que uma viga mais leve
irá resultar no uso de uma alma mais delgada (de 0.133 in.). A alma de 0.133 in. (3.4 mm) de
espessura indica uma altura de 33.465 in. ( ) .
( mm 3.845
)
)
( mm 4.3
wu AV /
mm 850
Tabela 8.1.1 – Tabela utilizada para a escolha das dimensões da alma. wt/h
h
(in.) wt
(in.) wA
(sq in.) wu A/V
(ksi) wt/h atual
250 33.28 0.133 4.43 7.46 250.22
197.7 33.28 0.168 5.59 5.91 198.09 Máx p/ 0.133 in. 33.25 usando 250=t/h w
33.465 0.133 4.45 7.43 251.61 Máx p/ 0.133 in. 33.25 usando 198=t/h w
26 0.133 3.46 9.56 195.48 Máx p/ 0.168 in. 42 usando 250=t/h w
42 0.168 7.06 4.68 250 Máx p/ 0.168 in. 33.26 usando 198=t/h w
33.465 0.168 5.62 5.88 199
211
A altura escolhida foi de 33.465 in. A fórmula indica algo bem próximo desse
valor. O baixo valor do cisalhamento indica que a alma pode ser mais esbelta. Desde que
enrijecedores intermediários devam ser usados, pode-se notar que quando a proporção é
alta o espaçamento requerido na extensão da viga vai ser controlado pela equação 7.8.8 e não
será dependente da magnitude da força de cisalhamento. Então quanto mais alta for a viga,
mais longas devem ser as chapas dos enrijecedores, com uma pequena vantagem de livrar o
peso extra.
wth /
A resistência de momento e cisalhamento combinados (LRFD – apêndice G5)
deve ser considerada em regiões onde alto cisalhamento e alto momento ocorrem
simultaneamente. Neste projeto, tal localidade é adjacente ao meio do vão.
Permitindo alguma flexibilidade no projeto, usar h=33.465 in. que quer dizer que
a esbeltez da alma está perto mas não é superior ao limite. Tentar wth /
0.133 x 33.465 in. (3.4 x 850 mm) ( ) p/ 61251=th w ./ uM , ksi 1363=Fy .
e) Selecionar as chapas das mesas
kips-ft 8439=M u .
wth /
th /
, chapa de alma = 0.133 x 33.465 in. ( ). A
alta proporção de para a alma irá reduzir a resistência de momento. Para se obter uma
redução estimada para o estado limite de flexo-flambagem, usa-se a equação 7.3.3 (LRFD –
apêndice G2) com estimado e
in. sq 454=A w .
61251=w . r w fa A / A 1.5= ≈ ,
rPG
r w cr
a h 970R 1 1.1200 300a t F
⎛ ⎞= − − ≤⎜ ⎟⎜ ⎟+ ⎝ ⎠
0
( )PG1.5 970R 1 251.61 0.89 1.0
1200 300 1.5 59⎛ ⎞= − − = ≤⎜ ⎟+ ⎝ ⎠
o que torna PG crR F 54 ksi≈ .
Usando a fórmula de área da mesa, equação 7.9.9, obtém-se o requerimento para
uma mesa como
( )( )
u b wf
PG cr
M / AAR F h 6
439.8 12 / 0.90 4.45 2.5 sq in.54 33.465 6
φ= −
= − =
Agumas possíveis escolhas considerando 54 ksi como sendo um baixo valor
estimado:
0.315 x 7.94 in., , in. sq 52=Af . 612=t2b ff ./
212
0.248 x 10.08 in., , in. sq 52=Af . 320=t2b ff ./
Nesta seleção, a proporção deve ser tomada perto de (8.18 para
).
ff t2b=λ / pλ
ksi 1363=Fy .
Checando para o estado limite de flambagem lateral com torção (LTB), LRFD
– apêndice G2, equações 7.3.7 a 7.3.10:
crF
( ) ( )in. 01.2=
6/45.4+5.2
315.094.7121
=r
3
T
7537=F
300=λ
yfp .
15.95=F
756=λ
yfr
( )75.37=λ>32.78=
01.22/1224.26
=rL
=λ pT
bLTB
Para a LRFD – apêndice G2 fornece rLTBp λ<λ<λ crF :
pcr b yf yf
r p
1F C F 1 F2
⎡ ⎤⎛ ⎞λ −λ= − ≤⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟λ −λ⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
Substituindo os valores da fórmula acima:
cr1 78.32 37.75F 63.13 1 40.82 ksi2 95.15 37.75
⎡ − ⎤⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎢ ⎥−⎝ ⎠⎣ ⎦
Computando para o estado limite de flambagem local da mesa (FLB) (LRFD –
apêndice G2) quando λ
crF
FLB > pλ :
( ) 6.12=315.0294.7
=t2
b=λ
f
f
18.8=13.63
65=
F65
=λyf
p
12.17=35.0/13.63
230=
k/F230
=λcyf
r
No próximo passo, vamos encontrar o valor da redução de resistência para o
estado limite de flexo-flambagem quando crw F970>th // , usando as equações 7.3.11 a
7.3.14,
213
781=52
454=
AA
=af
wr .
..
rPG
r w cr
a h 970R 1 1.1200 300a t F
⎛ ⎞= − − ≤⎜ ⎟⎜ ⎟+ ⎝ ⎠
0
( )PG1.78 970R 1 250 0.90 1.0
1200 300 1.78 40.82⎛ ⎞= − − = ≤⎜ ⎟+ ⎝ ⎠
O momento de inércia da seção tem de ser obtido,
( )( )( )( )
4
3
2
in.731841=I 37415=12465330.133 : 33.465 x 0.133
361426=2783322.5 947x3150
.
./.
./.:..
( ) in. 1108=3150+7316
731841=
t+2hI
=Sf
x ...
./
Então, usando a equação 7.3.2, a resistência nominal pode ser obtida. nM
( )( ) kips-ft 91.319=12/87.01.10882.40=RSF=M PGxcrn
( ) kips-ft 8.439=M<kips-ft 92.287=91.31990.0=Mφ un
Esta baixa resistência não é aceitável. Aumentar as chapas das mesas para
0.394x12.59 in., com O
valor de excede ; então, deve-se verificar os valores dos
parâmetros de esbeltez para os estados limites de flambagem lateral com torção e flambagem
local da mesa:
3xT
4xf in. 29.190=S in., 39.3=r ,in. 52.3258=I in., sq 96.4=A .
98 18.8=λ p.15=t2/b ff
- para o estado limite de flambagem lateral com torção:
( )44.46=
39.32/1224.26
=rL
=λT
b
76.37=13.63
300=
F300
=λyf
p
14.95=13.63
756=
F756
=λyf
r
- para flambagem local da mesa:
( ) 98.15=394.0259.12
=t2
b=λ
f
f
214
18.8=13.63
65=
F65
=λyf
p
12.17=35.0/13.63
230=
k/F230
=λcyf
r
- Cálculo de de acordo com a LRFD – formula (A-G2-5): crF
- para o estado limite de flambagem lateral com torção:
pcr b yf yf
r p
1F C F 1 F2
⎡ ⎤⎛ ⎞λ −λ= − ≤⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟λ −λ⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
cr1 46.44 37.76F 63.13 1 58.36 ksi2 95.14 37.76
⎡ − ⎤⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎢ ⎥−⎝ ⎠⎣ ⎦
- para flambagem local da mesa:
cr1 15.98 8.18F 63.13 1 35.59 ksi2 17.12 8.18
⎡ − ⎤⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎢ ⎥−⎝ ⎠⎣ ⎦
Para esta seção,
9.0=96.445.4
=AA
=af
wr
( )PG0.9 970R 1 250 0.95 1.0
1200 300 0.9 35.59⎛ ⎞= − − = ≤⎜ ⎟+ ⎝ ⎠
A resistência nominal é nM
( ) kips-ft 15.536=12/95.029.19059.35=RSF=M PGxcrn
( ) kips-ft 8.439=M>kips-ft 54.482=15.53690.0=Mφ un
Aceitar chapas das mesas de 0.394x12.59 in.
f) Espaçamento dos Enrijecedores intermediários – posicionamento entre o apoio
e 1/3 do vão.
Chapa da alma = 0.133 x 33.465 in., , . in. sq 454=A w . ksi 1363=Fy .
Nos apoios, (figura 8.1.2). Em painéis finais resistência pós-
flambagem (ação do campo de tração) não é permitida de ser usada. A equação 7.8.7
representa a resistência nominal ao cisalhamento no painel final,
kips 9833=Vu .
nV
( ) wywvn AF60C=V .
( ) 2240=454136360
9009833=
AF60φV
=Cwyw
vurequerido v .
..../.
./
215
O coeficiente é obtido pela equação 7.5.10 para , vC 80<Cv .
( ) ( ) 6789k
=1363250
k44000=
Fthk44000
=C v2
v
yw2
w
vv ../
( ) 0820=67892240=k requerido v ...
( )2v ha5
+5=0820=k/
.
( ) mm 493=in. 41.19=465.3358.0=a Max
58.0=ha
Max
g) Espaçamento dos Enrijecedores intermediários – posicionamento entre 1/3 do
vão até ½ do vão, simetricamente (posição da carga concentrada).
Chapa da alma = 0.133 x 33.465 in., , . in. sq 454=A w . ksi 1363=Fy .
No meio do vão:
kips 0733=Vu .
Usando as equações 7.6.27 e 7.8.8 (LRFD – apêndice G3) para este painel:
250=th
ksi, 437=4540733
=AV
=A
Vφ requerido
ww
u
w
nv ...
Usando a LRFD “NUMERICAL VALUES” TABLE 10-50, novamente encontra-
se que o máximo a/h é controlado pelo limite arbitrário. 2 2
w
a 260 260Max 1.08h h / t 250
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
Este painel adjacente ao meio do vão tem um alto cortante e momento fletor no
mesmo local. Então, LRFD – apêndice G5 é provável para controlar o espaçamento dos
enrijecedores. Então, a equação 7.7.14 deve ser investigada. A resistência de projeto
foi computada na parte (e) para ser na posição de máximo momento; então a
resistência de momento é inteiramente utilizada.
nbMφ
kips-ft 8439.
Desde que mais do que 75% da resistência de momento é usada, a resistência de
cisalhamento total não pode ser usada. Para as propostas práticas na LRFD, a resistência de
momento integral é usada na fórmula de interação, equação 7.7.14.
A limitação na interação da resistência flexão-cisalhamento pode ser satisfeita ou
por um incremento na resistência de momento ou por um incremento na resistência ao
cisalhamento. O procedimento prático neste estágio do projeto é posicionar os enrijecedores
216
intermediários a intervalos suficientemente fechados para fazer com que a utilização da
resistência ao cisalhamento seja baixa o suficiente para satisfazer a equação de interação.
Resolvendo a equação 7.7.14 para o requerido obtém-se nvu VφV /
u u
n n
M V0.625 1.375M V
⎛ ⎞+ ≤⎜ ⎟φ φ⎝ ⎠
requerido ( )u
u b n
v n
M1.375V M 2.2 1.6 1.0 0.6V 0.625
−φ
= = −φ
=
a resistência de projeto que precisa ser providenciada neste painel é nvVφ
Requerido kips 1255=600733=60V=Vφ unv ../../
Usando a LRFD “NUMERICAL VALUES” TABLE 10-50 com =250 e wth /
Requerido ksi 3812=4541255=AVφ wnv .././
Encontra-se máximo a/h>1.2
O apêndice G3 – LRFD determina que quando a/h excede 3.0 ou , a
ação do campo de tração não é permitida. Calculando o limite citado temos:
( )[ ]2wt/h/260
( )[ ] ( ) 082.1=250/260=t/h/260 22w
Este é o valor da máxima relação a/h permitida para o uso do campo de tração.
Os cálculos são os seguintes,
( ) 27.9=082.15
+5=h/a
5+5=k 22v
Assumindo e usando a equação 7.8.10 para 80<Cv . vC ,
( )( )
( ) 103.0=13.63250
27.944000=
Ft/hk44000
=C 2yw
2w
vv
( )v
n yw w v 2
1 CV 0.6F A C1.15 1 a / h
⎛ ⎞−⎜ ⎟= +⎜ ⎟+⎝ ⎠
( )( )
6.106082.1115.1
103.01103.045.413.636.0V2n =⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
−+= kips
( ) kips 12.55=Vφ Requerido>kips 93.95=6.10690.0=Vφ nvnv OK
Então, a máxima distância para o primeiro enrijecedor intermediário na região do
meio do vão é
Max a = 1.082(33.465) = 36.21 in.=920 mm
217
h) Dimensionamento dos enrijecedores intermediários entre os apoios e 1/3 do
vão.
Freqüentemente, enrijecedores em aço A36 são convenientes, com alta tensão de
escoamento do material oferecendo pequena se não nenhuma economia. Tentar aço de 435
MPa, ou seja, 63.13 ksi para todos os enrijecedores.
O cálculo de é obtido da equação 7.6.29, stA
Requerida ( )yw 2ust w v w
yst n
F VA 0.15ht 1 C 18tF V
⎛ ⎞= −⎜ ⎟φ⎝ ⎠
−
Deve-se calcular o valor de que é feito de acordo com a LRFD formula A-G3-
6, sendo necessário obter o valor de
vC
vk ,
( ) ( ) 8619=465334119
5+5=
ha5
+5=k 22v .././
( )( )
( ) ( ) 2190=1363133046533
861944000=
Fthk44000
=C 2yw
2w
vv .
../..
/
Finalmente, com estes valores pode-se calcular o valor de stA :
( )( )( ) ( )2stA 0.15 33.465 0.133 1 0.219 18 0.133 0.20 sq in.= − − =
Esta área requerida assume que os enrijecedores devem ser usados em pares.
Além disso, flambagem local deste elemento não enrijecido deve ser impedida; ou seja,
, de acordo com a LRFD-B5. A altura b e a espessura t, como mostrado na figura
8.1.3, deve satisfazer
rλ ≤ λ
ryst
b 95 95 11.95t F 63.13
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟λ = ≤ λ = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
O requerimento para rigidez fornece 3
st wI jat≥
Onde
( ) ( )2 2
2.5 2.5j 2 2a / h 19.41/ 33.465
= − = − = 5.43
( )( )3 4stI 5.43 19.41 0.133 0.25 in.≥ =
Para encontrar a mínima altura aceitável para o enrijecedor (figura 8.1.3),
218
Requerido 2
st
st2 in. 251=200250
=AI
=r ...
Provido 12W
=tW12
tW=r
232
Requerido ( ) in. 873=25112=W ..
W
b
alma
enrijecedoras
da mesalargura
t
chapas
Figura 8.1.3 (SALMON E JOHNSON, 1996) – Seção transversal das chapas de enrijecedores intermediários.
Isto pode indicar 1.94 in. de extensão das chapas, e para satisfazer 95.11t/b ≤ a
espessura deve ser 0.162 in. Estas podem ser medidas imoderadamente largas e chega ao
valor de 0.63 sq in. Tentar chapas de 0.12 x 1.43, obtendo b/t=11.91 que é menor que .
stA
rλ
Checando o momento de inércia stI ,
( ) 433
st in. 2670=12
992120=
12tW
=I ...
Então, provido excede o requerido . stI 4in. 250.
Usar 2 chapas de 0.12 x 1.43 in. para os enrijecedores intermediários
simetricamente entre os apoios e 1/3 do vão de cada lado.
i) Dimensionamento dos enrijecedores intermediários entre 1/3 do vão e ½ do vão.
Tentar aço de 435 MPa, ou seja, 63.13 ksi para todos os enrijecedores.
O cálculo de é obtido da equação 7.6.29, stA
Requerida ( )yw 2ust w v w
yst n
F VA 0.15ht 1 C 18tF V
⎛ ⎞= −⎜ ⎟φ⎝ ⎠
−
Deve-se calcular o valor de que é feito de acordo com a LRFD – formula A-
G3-6, sendo necessário obter o valor de
vC
vk ,
219
( ) ( ) 27.9=465.33/21.36
5+5=
h/a5
+5=k 22v
( )( )
( ) ( ) 103.0=13.63133.0/465.33
27.944000=
Ft/hk44000
=C 2yw
2w
vv
Finalmente, com estes valores pode-se calcular o valor de stA :
( )( )( ) ( )2st
33.07A 0.15 33.465 0.133 1 0.103 18 0.13395.98
0.28 sq in.
= − −
=
4000
1085
0
30493493 493
10
920681
A
920
p/ enrijecedores
contenção lateral requer enrijecedor no meio do vão
p/ enrijecedores
p/ enrijecedores
Ade apoio 2 chapas de 3 x 36.3 mm 2 chapas de 4.6 x 36.3 mm
2 chapas de 10 x 150 mm
a) vista lateral da viga
20 mm mais curtas
chapa da alma de 3.4 x 850 mm
cortar as chapas dos enrijecedores
chapas das mesas de 10 x 320 mm
b) corte AA Figura 8.1.4 – Detalhes finais da viga dimensionada (todas as medidas em mm).
220
Esta área requerida assume que os enrijecedores devem ser usados em pares.
Além disso, flambagem local deste elemento não enrijecido deve ser impedida; ou seja,
, de acordo com a LRFD – B5. A altura b e a espessura t, serão estimados em 0.18 x
1.43 in.
rλλ ≤
ryst
b 95 95 11.95t F 63.13
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟λ = ≤ λ = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
( ) 433
st in. 400=12
992180=
12tW
=I ...
Para encontrar a mínima altura aceitável para o enrijecedor (figura 8.1.3),
Requerido 2
st
st2 in. 371=290400
=AI
=r ...
Provido 12W
=tW12
tW=r
232
Requerido ( ) in. 054=37112=W ..
Isto pode indicar 2.02 in. de extensão das chapas, e para satisfazer b / t 11.95≤ a
espessura deve ser 0.169 in. Estas podem ser medidas imoderadamente largas e chega ao
valor de 0.63 sq in. Tentar chapas de 0.18 x 1.43, obtendo b/t=7.94 que é menor que .
stA
rλ
Usar 2 chapas (uma de cada lado da alma) de 0.18 x 1.43 in. para os enrijecedores
intermediários simetricamente entre 1/3 do vão e ½ do vão de cada lado.
8.1.1.1 Verificação da capacidade de carga ao momento-cortante usando a teoria de
JUHÁS (2001)
De acordo com a figura 3.3.1.1, podem ser calculados os parâmetros, observando o
detalhamento da figura 8.1.4:
1=f/f=m ywyf
para o cálculo de , serão considerados os espaçamentos a=493 mm e a=920 mm,
respectivamente entre o apoio e 1/3 do vão e entre 1/3 e ½ do vão.
d/a=α
082.1=/850209=a/d=α mm, 209=a para58.0=493/850=a/d=α mm, 493=a para
- cálculo de β :
250=4.3/850=t/d=β w
221
- cálculo de : γ
wf A/A=γ
( ) 2f mm 3200=32010=A
( ) 2w mm 2890=4.3850=A
11.1=2890/3200=A/A=γ wf
- cálculo de δ :
02.1=850/870=d/h=δ
- cálculo de : 0δ
( ) ( ) 01.1=2/02.1+1=2/δ+1=δ0
- cálculo do momento fletor totalmente plástico da seção transversal, utilizando a fórmula
3.3.1.2:
w,plywf,plyfw,plf,plpl Wf+Wf=M+M=M
cálculo de (módulo plástico das mesas): f,plW
( ) ( )( ) 3ffff,pl mm 27520001087010320tdtbW =−=−=
cálculo de (módulo plástico da alma): w,plW
( ) ( ) 322fww,pl mm 61412510-870/23.4t-d/2tW ===
o momento fletor totalmente plástico da seção transversal é:
( )( )kNm 1464.3M
mm 6141252752000MPa 435WfWfM
pl
3wpl,ywfpl,yfpl
=
+=+=
Pode-se, em seguida, utilizar as equações 3.3.1.5 e 3.3.1.6 para efetuar o cálculo de bM :
- cálculo de : 0ξ
( )( )( ) 28.06
01.111.161850kNmm 608166.5
kN 155ξ2
0 =+
=
( ) 11.128.031ξ 2 =+=
( ) ( ) ( )( )( )kNm 82.1356M
11.13/01.111.1/101.111.14614125435M
b
2b
=−+=
- cálculo da força cortante última Mu,V :
da equação 3.3.1.10 tem-se a força cortante totalmente plástica:
( ) kN 82.7253/4.38504353/AfV wywpl ===
222
- cálculo de (equação 3.3.1.9): 1ξ
518.028.011.11arcsin
311.1ξ
2
1 =−=
- cálculo de primeiramente através da equação 3.3.1.7: Mu,V
( )( ) (( )
)
( ) ( )( ) ( ) 011.1
28.03518.011.101.111.1925.2
311.128.028.06518.001.111.195.1
8.725V
8.725V
2
2
222M,u
2M,u
=−+
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −++
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
pode-se encontrar : Mu,V
kN 6.303V M,u =
- cálculo de através da equação 3.3.1.8: Mu,V
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) 011.1
28.03518.0518.001.111.15.428.025.2
11.128.09518.001.111.1975.3
8.725V
311.128.028.09518.001.111.195.1
8.725V
8.725V
3
322
222M,u
2222M,u
3M,u
=−+
+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
resolvendo esta equação encontra-se:
kN 8.477V M,u =
De acordo com JUHÁS (2001), é necessário usar as equações 3.3.1.7 e 3.3.1.8
para calcular a força cortante última . O menor valor é válido. é a força cortante
última que depende do momento fletor M agindo na seção transversal. O momento fletor
último depende da força cortante V agindo na seção transversal. O momento fletor
último pode ser calculado pela equação 3.3.1.11:
Mu,V Mu,V
Vu,M
Vu,M
( )( )( ) 01.111.141
01.111.16128.033
28.7256.303
3.1464M 2
V,u
++
=
kNm 5.1196M V,u =
223
- cálculo da relação ( )limplMu, V/V através da equação 3.3.1.12:
( ) ( ) 26.148.025.0V/V 2limplM,u +−=
( ) 84.0=V/VlimplMu,
onde pode-se calcular o valor de limM,u,V :
( ) kN 7.6098.72584.0V lim,M,u ==
JUHÁS(1975) observa que é evidente das figuras 3.3.1.3 e 3.3.1.4 que se a força
cortante , então a força cortante influencia o momento fletor último
desprezivelmente, mas se a força cortante , então a força cortante influencia o
momento fletor último significantemente. Com o incremento da força cortante V o
momento fletor último decresce rapidamente. Para isto, a proporção deveria ser
menor que a proporção limite
limM,u,V<V Vu,M
limM,u,V>V
Vu,M
Vu,M plV/V
( )limplMu, V/V .
De acordo com esta observação, podemos calcular a proporção plV/V :
21.08.725/155V/V pl ==
onde se pode observar que o valor calculado de é menor que o limite 21.0=V/V pl
( ) 84.0=V/VlimplMu, , o que satisfaz os critérios de dimensionamento segundo JUHÁS (2001).
Para uma melhor aplicação prática, foram propostas algumas fórmulas de
interação, as quais serão verificadas. A fórmula de interação 3.3.1.13 é usada no caso de
seções transversais homogêneas:
1209.08.7250.155
8.7250.155
3.14642.60811.1
3.14642.608 2222
≤=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
onde se verifica que o valor obtido ficou abaixo de 1. Em seguida, utilizaremos as equações
3.3.1.14 e 3.3.1.15, as quais foram adaptadas da fórmula anterior:
( )( )
05.18.725/15511.11
8.725/15511.1φ 2
2
v =−−
=
será considerado o valor de . Em seguida, será utilizada a fórmula 3.3.1.14: v 1φ =
1.19995.08.7250.1551.1
8.7250.15511.11
22
≤=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−
que indica que a fórmula foi satisfeita.
224
Outra fórmula de interação que resulta da European Prestandard prEN 1993-1-
1(2001) Design of Steel Structures, Part 1.1: General Structural Rules é a equação 3.3.1.16:
- cálculo do momento plástico da alma : w,plM
( ) kNm 1.267614125435M w,pl ==
substituindo na equação 3.1.16:
( ) 1475.018.725
15523.14641.267
3.14642.608 2
≤=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+
que indica que a viga dimensionada no exemplo 1 satisfaz a teoria de JUHÁS (2001).
8.1.1.2 Verificação da tensão crítica de cisalhamento usando a teoria de BLEICH
(1952)
Tensão de cisalhamento e compressiva crítica atuante na seção:
( )( ) MPa 60.538504.3/155000A/Vτ wsdxy ===
0σ1 =
SALMON E JOHNSON (1996) observam que em painéis finais não se deve usar
a ação do campo de tração. BLEICH (1952) propôs o cálculo da tensão crítica de flambagem
ao cisalhamento de chapas na extensão elástica e inelástica. A ação do campo de tração não
foi considerada em sua teoria. A ação do campo de tração consiste num acréscimo da
resistência à força cortante numa extensão pós-flambagem da chapa, que representa um
estágio que sucede a extensão elástica ou inelástica.
- para os painéis adjacentes aos apoios, com espaçamento entre enrijecedores
a=493 mm:
58.0=850493
=ba
=α
0τσ
βxy
1 ==
( )( )( )
22
1c 2
22
2
24 E tb12 1
24 210000 MPa 3.4 72.88 MPa85012 1 0.3
π ⎛ ⎞σ = ⎜ ⎟− ν ⎝ ⎠
π ⎛ ⎞= =⎜ ⎟− ⎝ ⎠
o
225
( )( )
( )
22
c 22
22
22
E t 5.344b12 1
210000 MPa 3.4 5.344850 0.5812 1 0.3
π ⎛ ⎞ ⎛ ⎞τ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟α−ν ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
π ⎛ ⎞ ⎛= +⎜ ⎟ ⎜− ⎝ ⎠ ⎝
o
⎞⎟⎠
MPa 35.60=τco
828.0=α92
+61
=24
α/34.5+4=κ 2
2
( )( )( ) ( )
11828.024
8504.3
3.0112210000π
κβ11κ24
bt
ν112Eπτ
2
2
2
22
2
2
2
c
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−=
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−=
MPa 35.60τ c = 0σ c =
Este valor encontrado para a tensão crítica de cisalhamento, MPa 35.60τ c = , ultrapassa o
valor da tensão cisalhante atuante na seção, MPa 60.53τ xy = , o que indica que o espaçamento
a=493 mm para os painéis finais pode ser considerado.
Para os painéis de chapas com espaçamento a=920 mm, na região central do vão:
082.1=850920
=ba
=α
0τσ
βxy
1 ==
( )( )( )
22
1c 2
22
2
24 E tb12 1
24 210000 MPa 3.4 72.88 MPa85012 1 0.3
π ⎛ ⎞σ = ⎜ ⎟− ν ⎝ ⎠
π ⎛ ⎞= ⎜ ⎟− ⎝ ⎠
o
=
( )( )
( )
22
c 22
22
22
E t 45.34b12 1
210000 MPa 3.4 45.34850 1.08212 1 0.3
π ⎛ ⎞ ⎛ ⎞τ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟α−ν ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
π ⎛ ⎞ ⎛= +⎜ ⎟ ⎜− ⎝ ⎠ ⎝
o
⎞⎟⎠
MPa 59.26=τ co
226
O valor acima, representa a tensão crítica de cisalhamento para
esta chapa em cisalhamento puro, considerando suas dimensões e espaçamento entre
enrijecedores, na iminência de flambagem elástica.
MPa 59.26=τ co
( ) 36.008.161
92
2408.1/434.5κ 2
2
=+=+
=
( )( )( ) ( )
11364.024
8504.3
3.0112210000π
κβ11κ24
bt
ν112Eπτ
2
2
2
22
2
2
2
c
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−=
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−=
MPa 53.26τ c =
0σ c =
Este valor, , representa a tensão crítica de cisalhamento, na
iminência de flambagem elástica, desconsiderando a ação das tensões normais de compressão
longitudinal resultantes da flexão se superpondo às tensões de cisalhamento.
MPa 53.26τ c =
8.1.1.3 Verificação da tensão de cisalhamento admissível utilizando a teoria de YU
(1991)
Para a viga dimensionada no exemplo 1, pode-se utilizar a teoria de YU (1991)
para verificar a força cortante admissível:
Para os painéis com espaçamento a=493 mm entre os enrijecedores:
( ) ( ) 87.19=850/49334.5
+4=h/a34.5
+4=k 22v
para yv F/Ek38.1>t/h ,
v
3
a kht
E904.0=V
( ) 16.135435/21000087.1938.1 =
como h/t=250>135.16,
( ) N87.17442287.19850
4.3210000904.0V3
a ==
kN 42.174Va =
227
O valor obtido acima representa a força cortante resistente do painel para
flambagem elástica, sem a ação do campo de tração. Como kN 42.174Va = ultrapassa a força
cortante solicitante, , o espaçamento a=493 mm deve ser considerado, pois
painéis extremos não podem ser calculados utilizando a ação do campo de tração.
kN 0.155Vsd =
Para os painéis com espaçamento a=920 mm:
( ) ( ) 75.8=850/920
4+34.5=
h/a4
+34.5=k 22v
para yv F/Ek38.1>t/h ,
v
3
a kht
E904.0=V
( ) 69.89435/21000075.838.1 =
como h/t=250>89.69,
( ) N 7680975.8850
4.3210000904.0V3
a ==
kN 81.76Va =
O valor acima representa a força cortante resistente permitida para os painéis, para
flambagem elástica. Este valor, kN 81.76Va = é menor que a força cortante solicitante de
cálculo, . Isto indica que a ação do campo de tração pode ser considerada para
o cálculo da força cortante resistente para estes painéis.
kN 0.155Vsd =
8.1.1.4 Verificação da força cortante resistente característica utilizando o método do
campo de tensões principais de HÖGLUND (1998)
A tensão crítica foi calculada de acordo com BLEICH (1952), no item 8.1.1.2,
para painéis com espaçamento a=493 mm.
MPa 15.251=3
435=
3
f=f MPa; 35.60=τ yw
vcr
cr
vw τ
f=λ
04.2=35.6015.251
=λw
228
( ) ( )
4u
4 2v w w w
4
4 2
3 1 11f 4 2 3
3 1 11 02.04 4 2.04 2 3 2.04
τ= − −λ λ λ
= − − = .62
O valor de 62.0=fτ
v
u pode ser verificado na figura 3.3.3.3, utilizando-se o valor
de . 04.2=λw
( ) ( ) 29.0=04.2+7.0/79.=λ+7.0/79.0=ρ wv
o valor acima, , pode ser obtido pela tabela 3.3.3.1 e pela figura 3.3.3.4, utilizando-
se o valor de λ .
29.0=ρ v
04.2=w
( ) ( ) kN 364.57N 5.3645734.385043529.0thfρV wwywvw ====
- para espaçamento de 920 mm:
cr
vw τ
f=λ
A tensão crítica foi calculada de acordo com BLEICH (1952), no item 8.1.1.2,
para painéis com espaçamento a=920 mm.
MPa 15.251=3
435=
3
f=f MPa; 59.26=τ yw
vcr
07.3=59.2615.251
=λw
De acordo com a equação 3.3.3.12, para ,5.2>λwv
u
fτ
é calculado pela seguinte equação:
43.0=07.3/32.1=fτ
v
u
O valor acima pode ser verificado utilizando-se a figura 3.3.3.3, para . 07.3=λw
( ) ( ) 21.0=07.3+7.0/79.=λ+7.0/79.0=ρ wv
( ) ( ) kN00.2644.385043521.0thfρV wwywvw ===
8.1.2 Verificação segundo a NBR 8800/86
229
Será feita, neste item, a verificação das dimensões projetadas de acordo com a
LRFD, segundo os critérios da norma brasileira vigente, a NBR 8800/86. As dimensões que
serão verificadas são aquelas obtidas no exemplo 1, do capítulo 8, e que constam na figura
8.1.4, que apresenta o detalhamento de uma viga esbelta calculada com base nos critérios de
dimensionamento da LRFD. Primeiramente, será utilizado o anexo F da NBR 8800/86. Após
a verificação do momento fletor resistente característico, será utilizado o anexo G da NBR
8800/86. A seguir, serão utilizados os anexos F e G da NBR 8800/86.
8.1.2.1 Resistência de vigas esbeltas ao momento fletor – anexo F
8.1.2.1.1 Generalidades – item F-1
- De acordo com o contido no item F-1 – NBR 8800/86, analisando a viga dimensionada no
item 8.1, a maior relação a/h, é 920/850 que dá um valor de 1,082, que é menor que 1,5 fixado
na norma, neste caso, pode ser tomado igual a maxλ yf/E7,11 . Fazendo a utilização desta
equação, substituindo os valores de E e usados no dimensionamento da viga, obtém-se: yf
( ) 07,257=435/2100007,11=f/E7,11=λ ymax
onde pode-se observar que é um valor maior que a relação da viga calculada que é: wt/h=λ
250=4,3/850=t/h=λ w
portanto, observa-se que o parâmetro de esbeltez λ da viga dimensionada não ultrapassa o
limite imposto pela norma brasileira, o que indica que este parâmetro pode ser considerado.
Também foi feita uma referência ao parâmetro , que é obtido de acordo com o
Anexo D desta norma. O parâmetro relativo ao estado limite de flambagem local da alma
(FLA) contido na tabela do Anexo D da NBR 8800/86, é obtido de acordo com a seguinte
fórmula:
rλ
rλ
04.123=435
2100006.5=
fE
6.5=λy
r
onde pode-se observar que , o que satisfaz a condição e enquadra a peça na condição de
vigas esbeltas.
rλ>λ
8.1.2.1.2 Resistência de cálculo – item F-2
230
- cálculo de conM nsiderando as dimensões das mesas de 10x320 mm:
- cálculo de xtW :
f
xxt t+2/h
I=W
( ) ( )( ) ( )
4mm 1357415417 =
233
x 430103202+1210320
2+128504.3
=I
então pode-se calcular o valor de xtW :
3
f
xxt mm 2.3120495=
4351357415417
=t+2/h
I=W
la ):
- C
ia, da seção formada pela mesa
comprimida mais um terço da região comprimida da alma
- cálculo de 'r
'p λ e λ ,λ :
a) estado limite de f mbagem lateral com torção (FLT
alculando o valor de Tr para a viga em questão, tem-se:
Tr = raio de giração, relativo ao eixo de menor inérc
A=rT
pois verifica-se que o eixo de menor momento de inércia da seção formada pela mesa
comprimida mais 1/3 da alma comprimida é o eixo que contém o plano médio da alma, ou
seja, o eixo y. Fazendo o cálculo do m
Iy
omento de inércia da porção citada da seção transversal
da viga em relação ao eixo y, tem-se:
( ) ( ) 433
y mm 7.27307130=12
4.367.141+
1232010
=I
( ) ( 67.1414.3+32010=A ) 2mm 7.3681=
portanto, o raio de giração a calcular será:
mm 12.86=
7.36817.27307130
=rT , 1=Cb
44.46=12.86
4000=
rL
=λT
b
45.38=435
21000075.1=
fE
75,1=λy
p
231
55.97=435
21000044.4=
fEC
44,4=λy
br
9.2072616=210000π=ECπ=C 2b
2pg
b) estado limite de flambagem local da mesa comprimida (FLM)
( ) 16=102
320=
t2b
=λf
f
34.8=435
21000038.0=
fE
38,0=λy
'p
11.19=435
21000087.0=
fE
87,0=λy
'r
( ) 79800=21000038.0=E38,0=Cpg
ff t e b são a largura total e a espessura, respectivamente, da mesa comprimida.
- cálculo de crf :
- para o estado limite de flambagem lateral com torção (FLT)
para 'r
'p λ <λ<λ
'p
cr y ' 'r p
cr
cr
f f 1 0.5
46.44 38.45f 435 1 0.597.55 38.45
f 405.6 MPa
⎡ ⎤⎛ ⎞λ −λ= −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟λ −λ⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ −⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎢ ⎥−⎝ ⎠⎣ ⎦=
⎤
- para o estado limite de flambagem local da mesa comprimida (FLM)
para 'r
'p λ <λ<λ
'p
cr y ' 'r p
cr
cr
f f 1 0.5
16 8.34f 435 1 0.519.11 8.34
f 280.3 MPa
⎡ ⎤⎛ ⎞λ −λ= −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟λ −λ⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ −⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎢ ⎥−⎝ ⎠⎣ ⎦=
⎤
- cálculo de : pgk
- como deve ser o menor valor obtido entre os dois estados limites, considerar
crf
MPa. 3.280=fcr
232
wpg
f w cr
A h Ek 1 0.0005 5.6 1A t f
⎛ ⎞= − − ≤⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
( )( )pg
3.4 850 210000k 1 0.0005 250 5.6 0.96320 10 280.3
⎛ ⎞= − − =⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
cálculo de : nM
a) para escoamento da mesa tracionada
( )( )kg.mm 6.130311879=
kg/mm 5.4396.0mm 2.3120495=
fkW=M23
ypgxtn
b) para flambagem
( )( )kg.mm 24.83968781=
kg/mm 03.8296.0mm 2.3120495=
fkW=M23
crpgxcn
- A norma diz que a resistência de cálculo ao momento fletor é igual a , onde
, e é o menor valor obtido de acordo com os estados limites de escoamento da
mesa tracionada e de flambagem. Como estamos interessados em calcular a resistência efetiva
da peça, não levaremos em conta os fatores de segurança, dessa forma, consideraremos o
valor de sem considerar :
nbMφ
90,0=φ b
M
nM
n bφ
kg.mm 60820000=M>kg.mm 24.83968781=M sdn
Aceitar chapas das mesas de 10x320 mm.
8.1.2.2 Resistência à força cortante, incluindo o efeito do campo de tração – anexo G
8.1.2.2.1 Resistência de cálculo – item G-1
- iniciaremos procedendo os cálculos de , de acordo com o ítem 5.5.2 - NBR
8800/86:
rp λ e λ ,λ
- para a região da viga entre o apoio e 1/3 do vão com espaçamento a=493 mm:
( ) 87.19=850/49334.5
+4=k 2
250=4.3
850=
th
=λw
233
( )77.105=
43521000087.19
08.1=fkE
08,1=λy
p
( )12.137=
43521000087.19
40.1=fkE
40,1=λy
r
de acordo com o item 5.5.2 - NBR 8800/86, para , rλ>λ2 2
pn pl
105.77V 1.28 V 1.28 75429 17281.97 kgf250
λ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟λ ⎝ ⎠⎝ ⎠
( ) ( ) kgf 75429=kg/mm 5.43mm 850mm 4.36.0=fA6,0=V 2ywpl
- de acordo com SALMON E JOHNSON (1996), para painéis extremos não é permitido o
cálculo da resistência ao cortante através do uso do campo de tração. O item G-1 do Anexo G
da NBR 8800/86, que calcula a resistência de cálculo à força cortante, incluindo o efeito do
campo de tração não deve ser aplicado para este caso. A resistência nominal de cálculo à força
cortante, obtida de acordo com o item 5.5.2 - NBR 8800/86, que calcula a resistência nominal
em regime elástico, sem incluir o efeito do campo de tração,
, indica que o espaçamento de 493 mm entre os
enrijecedores nos painéis extremos é satisfatório.
kgf 15500=V>kgf 97.17281=V sdn
- para a região da viga entre 1/3 do vão e ½ do vão:
a=920 mm
( ) 77.8=850/920
4+34.5=k 2
250=4.3
850=
th
=λw
( )27.70=
43521000077.8
08.1=fkE
08,1=λy
p
( )09.91=
43521000077.8
40.1=fkE
40,1=λy
r
de acordo com o item 5.5.2 - NBR 8800/86, para , rλ>λ
2 2
pn pl
70.27V 1.28 V 1.28 75429 7627.95 kgf250
λ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟λ ⎝ ⎠⎝ ⎠
( ) ( ) kgf 75429=kg/mm 5.43mm 850mm 4.36.0=fA6,0=V 2ywpl
234
- para a região com espaçamento a=920 mm, a resistência de cálculo à força cortante,
calculada de acordo com o item 5.5.2 - NBR 8800/86, ,
sem incluir o efeito do campo de tração não ultrapassa o esforço cortante solicitante de
cálculo. Neste caso, pode-se considerar o efeito do campo de tração, que incrementa
significativamente a resistência de cálculo à força cortante.
kg 15500=V<kgf 95.7627=V sdn
- de acordo com o item G-1 - NBR 8800/86, a resistência de cálculo à força cortante,
incluindo o efeito do campo de tração, é:
para r λ>λ
2 2p p'
n pl V 1.28 1 1.28 V⎧ ⎫⎡ ⎤λ λ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪= +η −⎢ ⎥⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟λ λ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭
2 2'n
70.27 70.27V 1.28 0.59 1 1.28 75429250 250
⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + −⎢ ⎥⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭
kgf 6.47630=V'n
Onde:
2 2
1 1 0.59a 9201.15 1 1.15 1h 850
η = = =⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
- como podemos considerar o espaçamento a=918 mm para a
região central do vão da viga.
kgf 15500>kgf 6.47630=V'n
8.1.2.2.2 Exigências e limitações referentes ao uso de campo de tração – item G-2
Item G-2-1 - NBR 8800/86 - A relação a/h não pode ultrapassar a 3,0 nem a ,
independente da relação
( )[ ]2wt/h/260
wt/h .
- De acordo com este item, pode-se verificar que que é o
espaçamento atual da região do centro do vão, portanto, deveremos modificar este
espaçamento. Utilizaremos a proporção limite a/h=1.08 para encontrar o espaçamento a:
( )[ ] 25.1<082.1=250/260 2
( )a / h 1.082 850 919.7= =
Item G-2-2 - NBR 8800/86 - Os enrijecedores transversais, além de atenderem às exigências
dadas nas notas a, b, c do item 5.5.2 - NBR 8800/86, devem também ter área mínima da seção
transversal (num plano paralelo às mesas do perfil), dada por:
235
( )n plst w
1 V / VA 1 1.15 a / h YDat
2−
= − η
nV = resistência nominal à força cortante, sem incluir o efeito do campo de tração, conforme
5.5.2 - NBR 8800/86
Y = relação entre os limites de escoamento dos aços da alma e do enrijecedor
D = 1,0, para enrijecedores colocados em pares
D = 1,8, para enrijecedores constituídos de uma cantoneira
D = 2,4, para enrijecedores constituídos de uma chapa
Para os significados dos demais termos, ver 5.5.2 e G-1 (NBR 8800/86).
Notas:
a) Os enrijecedores transversais devem ser soldados à alma e às mesas do perfil, podendo,
entretanto, do lado da mesa tracionada, ser interrompidos de forma que a distância entre os
pontos mais próximos das soldas mesa/alma e enrijecedor/alma fique entre ww t6 e t4 .
b) As relações largura/espessura dos elementos que formam os enrijecedores não podem
ultrapassar os valores dados na Tabela 1 (NBR 8800/86) para seções classe 3 sujeitas à força
normal. O valor dado na Tabela 1 (NBR 8800/86) para seções classe 3 é:
yfE
55,0
d) O momento de inércia da seção de um enrijecedor singelo ou de um par de enrijecedores
(um de cada lado da alma) em relação ao eixo no plano médio da alma não pode ser inferior a
( )450/h .
- com as considerações do item , pode-se proceder a verificação para as duas regiões da viga,
a região entre o apoio e 1/3 do vão, com espaçamento a entre os enrijecedores de 493 mm e a
região entre 1/3 e ½ do vão, com espaçamento a=918 mm:
- para a região com a=493 mm:
- a relação largura/espessura dos elementos que formam os enrijecedores não pode
ultrapassar:
08.12=435
21000055.0=
fE
55,0y
- O momento de inércia da seção de um enrijecedor singelo ou de um par de enrijecedores
(um de cada lado da alma) em relação ao eixo no plano médio da alma não pode ser inferior a
( )450/h .
236
4 44h 850 83521 mm
50 50⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
- calculo da área mínima da seção transversal dos enrijecedores:
( )( ) ( )
st
2
1 17281.97 / 75429A2
1 1.15 0.75 493/ 850 493 3.4 322.87 mm
−=
− =
- se a relação largura/espessura =12.08 e a área=322.87, tem-se
h / b 12.08 h 12.08barea bh 322.87 b12.08b 322.87b 5.17 mm; h=62.45 mm
= ⇒ == = ⇒ =
=
- momento de inércia (deve ser maior que 4 4
4h 850 83521 mm50 50
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
):
( ) 433
mm 7.104931=12
45.6217.5=
12bh
- Aceitar enrijecedores transversais constituídos de 2 chapas de 5.17 x 31.22 mm para a região
com espaçamento a=493 mm.
- para a região com a=920 mm:
- a relação largura/espessura dos elementos que formam os enrijecedores não pode
ultrapassar:
08.12=435
21000055.0=
fE
55,0y
- O momento de inércia da seção de um enrijecedor singelo ou de um par de enrijecedores
(um de cada lado da alma) em relação ao eixo no plano médio da alma não pode ser inferior a
( )450/h .4 4
4h 850 83521 mm50 50
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
- calculo da área mínima da seção transversal dos enrijecedores:
( )( ) ( )
st
2
1 7627.95 / 75429A2
1 1.15 0.59 920 / 850 920 3.4 373.42 mm
−=
− =
- se a relação largura/espessura =12.08 e a área=373.42, tem-se
237
h / b 12.08 h 12.08barea bh 373.42 b12.08b 373.42b 5.56 mm; h=67.16 mm
= ⇒ == = ⇒ =
=
- momento de inércia (deve ser maior que 4 4
4h 850 83521 mm50 50
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
):
( ) 433
mm 26.140354=12
16.6756.5=
12bh
- Aceitar enrijecedores transversais constituídos de 2 chapas de 5.56 x 33.58 mm para a região
com espaçamento a=920 mm.
8.1.2.2.3 Interação entre momento fletor e força cortante – item G-3
d d'
b n v n
M V0.625 1.375M V
+ ≤φ φ
( ) ( )60800000 155000.625 1.031 1.375
0.9 83968781.24 0.9 47630.6+ = ≤
8.1.3 Verificação segundo a PNBR 8800/03
Nesta parte, será feita a verificação das dimensões da viga que foi calculada no
exemplo 1, de acordo com a LRFD, seguindo os critérios de cálculo da norma brasileira. Na
verificação serão utilizados os anexos F e G do Projeto de Revisão da NBR 8800 – Projeto e
execução de estruturas de aço e de estruturas mistas aço-concreto de edifícios (ABNT, 2003),
que tratam do estudo de vigas esbeltas. Para maior clareza das etapas a serem executadas
neste capítulo será feita uma breve descrição das mesmas. O primeiro passo nesta verificação
será considerar as dimensões obtidas através do cálculo feito utilizando as considerações da
norma americana, conforme o desenho da figura 8.1.4, que contém o detalhamento de uma
viga esbelta que foi projetada de acordo com a especificações da LRFD. Conhecidas as
dimensões da peça, o passo seguinte será a utilização do anexo F da NBR 8800/2003, que
trata da verificação do momento fletor resistente característico de vigas esbeltas, onde serão
utilizadas as considerações contidas nesse anexo para verificar, pela norma brasileira, as
dimensões obtidas pela norma americana, obtendo o momento fletor resistente característico
da peça, e no caso de verificação de que este valor não ultrapassa o valor do momento fletor
solicitante de cálculo, serão feitas modificações nas dimensões de alguns componentes da
238
peça para a mesma se adeque às especificações da PNBR 8800/03. Após a verificação quanto
ao momento fletor, será utilizado o anexo G da PNBR 8800/03, onde serão feitas as
verificações quanto ao esforço cortante resistente característico, onde serão também feitas
modificações nas dimensões da peça no caso de verificação de que o valor do esforço cortante
resistente característico não ultrapassa o esforço cortante solicitante de cálculo.
8.1.3.1 Momento fletor resistente característico de vigas esbeltas - anexo F (normativo)
8.1.3.1.1 Generalidades – item F.1
- De acordo com o contido nesta parte da norma, analisando a viga dimensionada no exemplo
1, a maior relação a/h, é 920/850 que dá um valor de 1,08, que é menor que 1,5 fixado na
norma, neste caso, pode ser tomado igual a maxλ yf/E7,11 . Fazendo a utilização desta
equação, substituindo os valores de E e usados no dimensionamento da viga, obtém-se: yf
( ) 07,257=435/2100007,11=f/E7,11=λ ymax
onde pode-se observar que é um valor maior que a relação da viga calculada que é: wt/h=λ
250=4,3/850=t/h=λ w
portanto, observa-se que este parâmetro de esbeltez da viga dimensionada não ultrapassa o
limite imposto pela norma brasileira, o que indica que este parâmetro pode ser considerado.
Tendo a relação altura/espessura da viga dimensionada o valor de 250, basta utilizar-se a
fórmula acima para verificar se este valor é ultrapassado pelo valor da fórmula, para
confirmação de que se trata de viga esbelta, objeto de estudo dos Anexos F e G da NBR 8800.
Substituindo os valores de E e na fórmula anterior pode-se obter: yf
wh / t 5.70 210000 / 435 125.24λ = ≤ =
onde se pode certificar de se tratar de viga esbelta.
8.1.3.1.2 Momento fletor resistente característico – item F.2
- Para o cálculo de é necessário o cálculo do módulo de resistência elástico em relação
ao eixo de flexão, , o qual será feito primeiramente para o escoamento da mesa
tracionada. O módulo de resistência elástico é obtido pela seguinte fórmula:
RkM
xtW
xtW
239
f
xxt t+2/h
I=W
onde é o momento de inércia da seção em relação ao eixo de flexão e h é a distância entre
as faces externas das mesas. O momento de inércia da seção em relação ao eixo x é calculado
a seguir:
xI
( ) ( )( ) ( ) 42
33
x mm 1357415417 =430103202+1210320
2+128504.3
=I
então pode-se calcular o valor de xtW :
3
f
xxt mm 2.3120495=
4351357415417
=t+2/h
I=W
- cálculo de : rp λ e λ ,λ
a) estado limite de flambagem lateral com torção (FLT):
- Calculando o valor de para a viga em questão, tem-se: Tr
Tr = raio de giração, relativo ao eixo de menor inércia, da seção formada pela mesa
comprimida mais um terço da região comprimida da alma
AI
=r yT
pois verifica-se que o eixo de menor momento de inércia da seção formada pela mesa
comprimida mais 1/3 da alma comprimida é o eixo que contém o plano médio da alma, ou
seja, o eixo y. Fazendo o cálculo do momento de inércia da porção citada da seção transversal
da viga em relação ao eixo y, tem-se:
( ) ( ) 433
y mm 7.27307130=12
4.367.141+
1232010
=I
( ) ( ) 2mm 7.3681=67.1414.3+32010=A
portanto, o raio de giração a calcular será:
mm 12.86=7.3681
7.27307130=rT
1=Cb
44.46=12.86
4000=
rL
=λT
b
240
45.38=435
21000076.1=
fE
76,1=λy
p
55.97=435
21000044.4=
fEC
44,4=λy
br
9.2072616=210000π=ECπ=C 2b
2pg
b) estado limite de flambagem local da mesa comprimida (FLM)
( ) 16=102
320=
t2b
=λf
f
34.8=435
21000038.0=
fE
38,0=λy
p
11.19=435
21000087.0=
fE
87,0=λy
r
( ) 79800=21000038.0=E38,0=Cpg
ff t e b são a largura total e a espessura, respectivamente, da mesa comprimida.
- cálculo de : crσ
- para o estado limite de flambagem lateral com torção (FLT)
rp λ <λ<λ
cr46.44 38.45435 1 0.5 405.6 MPa97.55 38.45
⎡ − ⎤⎛ ⎞σ = − =⎜ ⎟⎢ ⎥−⎝ ⎠⎣ ⎦
- para o estado limite de flambagem local da mesa comprimida (FLM)
rp λ <λ<λ
cr16 8.34435 1 0.5 280.3 MPa
19.11 8.34⎡ − ⎤⎛ ⎞σ = − =⎜ ⎟⎢ ⎥−⎝ ⎠⎣ ⎦
- cálculo de : pgk
- como deve ser o menor valor obtido entre os dois estados limites, considerar
crσ
3. MPa.280=σ cr
( ) ( )( )( ) ( )( )pg
3.4 850 / 10 320 210000k 1 250 5.7 0.94280.31200 300 3.4 850 / 10 320
⎛ ⎞= − − =⎜ ⎟⎜ ⎟+ ⎝ ⎠
- cálculo do momento fletor resistente característico : RkM
a) para escoamento da mesa tracionada
241
( )3 2Rk xt yM W f 3120495.2 mm 43.5 kg/mm
135741541.2 kgmm
= =
=
= 1357.4 kNm
b) para flambagem
( )( )n xc pg cr
3 2
M W k
3120495.2 mm 0.94 28.03 kg/mm
82219431.63 kgmm
= σ
=
=
= 822.2 kNm
- A norma diz que a resistência de cálculo ao momento fletor é igual a , onde
, e é o menor valor obtido de acordo com os estados limites de escoamento da
mesa tracionada e de flambagem. Como estamos interessados em calcular a resistência efetiva
da peça, não levaremos em conta os fatores de segurança, dessa forma, consideraremos o
valor de sem considerar :
nbMφ
90,0=φ b
M
nM
n bφ
kNm2.608=M>kNm 2.822=M sdn
Aceitar chapas das mesas de 10x320 mm.
8.1.3.2 Força cortante resistente característica incluindo o efeito do campo de tração-
anexo G (normativo)
8.1.3.2.1 Força cortante resistente característica – item G.1
- Com base nas considerações do item 5.4.3.2.2 da PNBR 8800/03, será calculado o valor de
, para a viga em questão: plV
Primeiramente, deve ser calculado o valor de wA :
( ) 2ww mm 2890=4,3850=dt=A
Então, o valor de pode ser calculado: plV
( ) kgf 75429=kgf/mm 5.43mm 28906.0=fA6.0=V 22ywpl = 754.29 kN
- como se pode observar na viga que foi dimensionada com base nas normas da LRFD, no
exemplo 1, existem dois espaçamentos diferentes ao longo da mesma. Na região entre o apoio
e 1/3 do vão, os espaçamentos, a, entre os enrijecedores têm valor igual a 493 mm, e na região
entre 1/3 e ½ do vão, o espaçamento a entre os enrijecedores tem o valor de 920 mm. A partir
242
de agora, serão efetuados os cálculos para cada um destes espaçamentos, que estão situados
nestas duas regiões distintas, a das extremidades da viga e a parte central do vão, para se
verificar a força cortante resistente característica nestes dois painéis. O valor de será
calculado para cada configuração da viga:
η
- para a região entre o apoio e 1/3 do vão (espaçamento a=493 mm):
2
1 0.754931.15 1850
η = =⎛ ⎞+ ⎜ ⎟⎝ ⎠
- para a região entre 1/3 e ½ do vão (espaçamento a=920 mm):
2
1 0.599201.15 1850
η = =⎛ ⎞+ ⎜ ⎟⎝ ⎠
Os parâmetros , e as dimensões a e h são definidos no item 5.4.3.2.1 da NBR 8800. rp λ e λ ,λ
- Utilizando as equações do item 5.4.3.2.1 da PNBR 8800/03, será necessária a obtenção dos
parâmetros . Deve-se primeiramente calcular o valor de rp λ e λ ,λ vk :
- será efetuado o cálculo de para cada um dos espaçamentos situados nas duas regiões
distintas, a das extremidades da viga e a parte central do vão, para se verificar a força cortante
resistente característica nestas duas configurações:
vk
para a=493 mm (região entre os apoios e 1/3 do vão):
a/h=493/850=0.58
( ) 86.19=58.05
+5=h/a
5+5=k 22v
para a=920 mm (região entre 1/3 e ½ do vão):
a/h=920/850=1.082
( ) 27.9=082.15
+5=k 2v
Com os valores de calculados, pode-se obter os valores dos parâmetros , para
cada configuração:
vk rp λ e λ ,λ
Na região entre os apoios e 1/3 do vão:
250=th
=λw
243
( )7.107=
43521000086.19
10,1=f
Ek10,1=λ
y
vp
( )1.134=
43521000086.19
37.1=f
Ek37.1=λ
y
vr
com os valores dos parâmetros calculados, observa-se que , portanto, para o cálculo da
força cortante resistente característica, de acordo com o item 5.4.3.2.1 – PNBR 8800/03, ,
usa-se a seguinte equação:
rλ>λ
RkV
2 2p
Rk pl107.7V 1.28 V 1.28 75429 17918.4 kgf250
λ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟λ ⎝ ⎠⎝ ⎠= 179.18 kN
Este valor representa a resistência nominal ao cortante dos painéis extremos, sem a utilização
da ação do campo de tração. Como este valor ultrapassa o cortante solicitante,
= 155 kN, quer dizer que o espaçamento a=493 mm para os painéis extremos
pode ser considerado.
kgf 15500=Vsd
Na região entre 1/3 e ½ do vão:
250=th
=λw
( )59.73=
43521000027.9
10,1=f
Ek10,1=λ
y
vp
( )65.91=
43521000027.9
37.1=f
Ek37.1=λ
y
vr
como , o cálculo da força cortante resistente característica é dado pela seguinte
equação:
rλ>λ
2 2p
Rk pl73.59V 1.28 V 1.28 75429 8365.77 kgf250
λ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟λ ⎝ ⎠⎝ ⎠= 83.66 kN
Este valor representa a resistência nominal ao cortante dos painéis com espaçamento a=920
mm, sem a utilização da ação do campo de tração. Este valor é menor que o cortante
solicitante e indica que deve ser usado o efeito do campo de tração para estes painéis.
- como rw
λ>th
=λ , a equação a ser utilizada para o cálculo de será a seguinte,
observando-se que este valor será calculado para as duas configurações da viga:
vC
244
( ) y2
w
vv ft/h
Ek51,1=C
- para a região próxima aos apoios:
Painéis extremos não devem ser calculados utilizando a ação do campo de tração.
- para a região do meio do vão:
( )( ) 108.0=
43525021000027.951,1
=C 2v
- com os valores de calculados, podem ser obtidos os valores da força cortante
resistente característica para cada uma das configurações da viga que formam o sistema de
resistência ao cortante, que é dependente do espaçamento dos enrijecedores:
plv V e η ,C
- para as regiões próximas aos apoios:
Painéis extremos não devem ser calculados utilizando a ação do campo de tração.
- para a região do meio do vão : pλ>λ
( )Rkt v v plV C 1 C= +η − V⎡ ⎤⎣ ⎦
( )RktV 0.108 0.59 1 0.108 75429 47843.1 kgf= + − =⎡ ⎤⎣ ⎦ = 478.4 kN
Este valor obtido representa a resistência nominal da viga para a região com
espaçamento a=920 mm entre os enrijecedores, utilizando a ação do campo de tração. Este
valor ultrapassa a força cortante solicitante de cálculo, = 155 kN, o que
indica que o dimensionamento foi satisfatório quanto ao requerimento de força cortante
solicitante.
kgf 15500=Vsd
8.1.3.2.2 Exigências e limitações referentes ao uso do campo de tração – item G.2
- de acordo com o item 5.4.3.2.3 – PNBR 8800/03, deve-se fazer a verificação quanto a
relação largura/espessura, sendo necessária também a obtenção de
08.12=435/21000055,0=f/E55,0 y . Para os dois painéis distintos, o da região próxima
aos apoios e o da região do meio do vão, será a seguir calculada a relação largura/espessura:
- com base nesse item b, as dimensões a serem verificadas aqui devem ser aquelas calculadas
pela LRFD, ou seja,
para a região próxima aos apoios:
enrijecedores: 2 chapas de 3 x 36.3 mm
245
a relação largura/espessura para os enrijecedores desta região será
, ou seja, este valor ultrapassa o valor fixado pela norma, o
que pode indicar um remanejamento nas dimensões dos enrijecedores. Tentando
primeiramente fazer o cálculo de
( )( ) 08.12>33.25=3/4.3+23.36
stA :
( ) 2Sdst r s w v w
Rd
VA 0.15D ht 1 C 18tV
⎡ ⎤= α − −⎢ ⎥
⎣ ⎦
fazendo o levantamento dos valores contidos na fórmula, tem-se que:
( ) ( ) ( ) ( )2st
2
15500A 0.15 850 3.4 1 0.23 18 3.418255.7 /1.10
103.67 mm
= − −
=
c) o momento de inércia da seção de um enrijecedor singelo ou de um par de enrijecedores
(um de cada lado da alma) em relação ao eixo no plano médio da alma não pode ser inferior a
, onde ; jat3w ( )2j 2.5 / a / h 2 0.5⎡ ⎤= −⎣ ⎦ ≥
4
>
- para este item serão feitos os cálculos para os dois painéis:
- para a região próxima aos apoios:
( )3 3st wI jat 5.43 493 3.4 105216.4 mm≥ = =
( ) ( )2 2j 2.5 / a / h 2 2.5 / 493/ 850 2 5.43 0.5⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − = − =⎣ ⎦ ⎣ ⎦
( )33
st
3.0 WtWI 105216.4 W 74.94 mm12 12
= = = ⇒ =
este valor de W encontrado pode ser comparado ao que foi obtido pela LRFD, e pode-se
chegar à conclusão de que este valor é quase o mesmo que não satisfez a exigência de que a
relação largura/espessura não deveria ultrapassar o valor de 12.08, pois neste caso esta relação
terá o valor de 74.94/3=24.98 que ultrapassa o fixado. Então deve-se agora modificar a
espessura do enrijecedor. Tentando aumentar a espessura do enrijecedor de 3 mm para 5.2
mm e substituindo na fórmula do momento de inércia do enrijecedor escrita acima, tem-se:
( )33
st
5.2 WtWI 105216.4 W 62.38 mm12 12
= = = ⇒ =
o valor acima pode ser considerado para a seção transversal do enrijecedor, pois a relação
largura/espessura neste caso será 62.38/5.2=11.99<12.08, que é um valor menor que o fixado
na norma, o que indica que satisfaz as exigências da norma. Deve-se agora calcular a área da
seção transversal dos enrijecedores:
246
( )( ) 22st mm 67.103>mm 48.324=2.54.3+5.292=A
Usar enrijecedores transversais em pares com dimensões de 29.5 x 5.2 mm cada.
- O efeito do campo de tração não se aplica a painéis extremos da alma, a painéis com
aberturas, nem a painéis adjacentes a estes últimos.
- O efeito do campo de tração não se aplica a solicitações diferentes da flexão normal simples,
sendo que deve ser verificada a interação entre a força cortante e o momento fletor, conforme
5.4.3.2.4.
Interação entre força cortante e momento fletor – item 5.4.3.2.4 – PNBR 8800/03
- será feito aqui, com base no item 5.4.3.2.4 – PNBR 8800/03, a verificação da interação entre
força cortante e momento fletor:
Sd Sd
Rk Rkt
M V0.625 1.375M / V /
+ ≤γ γ
60800 155000.625 1.036 1.37582219 /1.10 47843/1.10
+ = ≤ , OK
8.1.4 Verificação segundo a PNBR 8800/07
Nesta parte, será feita a verificação das dimensões da viga que foi calculada no
exemplo 1, de acordo com a LRFD, seguindo os critérios de cálculo da norma brasileira. Na
verificação serão utilizados o anexo H e o item 5.4.3 do Projeto de Revisão da NBR 8800 –
Projeto de estruturas de aço e de estruturas mistas de aço e concreto de edifícios (ABNT,
2007), que tratam do estudo de vigas esbeltas.
8.1.4.1 Momento fletor resistente de cálculo de vigas esbeltas - anexo H (normativo)
8.1.4.1.1 Generalidades – item H.1
- De acordo com o contido nesta parte da norma, analisando a viga dimensionada no exemplo
1, a maior relação a/h, é 920/850 que dá um valor de 1,08, que é menor que 1,5 fixado na
norma, neste caso, pode ser tomado igual a maxλ yf/E7,11 . Fazendo a utilização desta
equação, substituindo os valores de E e usados no dimensionamento da viga, obtém-se: yf
( ) 07,257=435/2100007,11=f/E7,11=λ ymax
247
onde pode-se observar que é um valor maior que a relação da viga calculada que é: wt/h=λ
250=4,3/850=t/h=λ w
portanto, observa-se que este parâmetro de esbeltez da viga dimensionada não ultrapassa o
limite imposto pela norma brasileira, o que indica que este parâmetro pode ser considerado.
Tendo a relação altura/espessura da viga dimensionada o valor de 250, basta utilizar-se a
fórmula acima para verificar se este valor é ultrapassado pelo valor da fórmula, para
confirmação de que se trata de viga esbelta. Substituindo os valores de E e na fórmula
anterior pode-se obter:
yf
wh / t 5.70 210000 / 435 125.24λ = ≤ =
onde se pode certificar de se tratar de viga esbelta.
8.1.4.1.2 Momento fletor resistente de cálculo – item H.2
- Para o cálculo de é necessário o cálculo do módulo de resistência elástico em relação
ao eixo de flexão, , o qual será feito primeiramente para o escoamento da mesa
tracionada. O módulo de resistência elástico é obtido pela seguinte fórmula:
RkM
xtW
xtW
f
xxt t+2/h
I=W
onde é o momento de inércia da seção em relação ao eixo de flexão e h é a distância entre
as faces externas das mesas. O momento de inércia da seção em relação ao eixo x é calculado
a seguir:
xI
( ) ( )( ) ( ) 42
33
x mm 1357415417 =430103202+1210320
2+128504.3
=I
então pode-se calcular o valor de xtW :
3
f
xxt mm 2.3120495=
4351357415417
=t+2/h
I=W
- cálculo de : rp λ e λ ,λ
a) estado limite de flambagem lateral com torção (FLT):
- Calculando o valor de para a viga em questão, tem-se: Tr
Tr = raio de giração, relativo ao eixo de menor inércia, da seção formada pela mesa
comprimida mais um terço da região comprimida da alma
248
AI
=r yT
pois verifica-se que o eixo de menor momento de inércia da seção formada pela mesa
comprimida mais 1/3 da alma comprimida é o eixo que contém o plano médio da alma, ou
seja, o eixo y. Fazendo o cálculo do momento de inércia da porção citada da seção transversal
da viga em relação ao eixo y, tem-se:
( ) ( ) 433
y mm 7.27307130=12
4.367.141+
1232010
=I
( ) ( ) 2mm 7.3681=67.1414.3+32010=A
portanto, o raio de giração a calcular será:
mm 12.86=7.3681
7.27307130=rT
1=Cb
44.46=12.86
4000=
rL
=λT
b
45.38=435
21000076.1=
fE
76,1=λy
p
55.97=435
21000044.4=
fEC
44,4=λy
br
9.2072616=210000π=ECπ=C 2b
2pg
b) estado limite de flambagem local da mesa comprimida (FLM)
( ) 16=102
320=
t2b
=λf
f
34.8=435
21000038.0=
fE
38,0=λy
p
11.19=435
21000087.0=
fE
87,0=λy
r
( ) 79800=21000038.0=E38,0=Cpg
ff t e b são a largura total e a espessura, respectivamente, da mesa comprimida.
- cálculo de crM :
- para o estado limite de flambagem lateral com torção (FLT)
249
rp λ <λ<λ
kgmm 3.1265672852.312049545.3855.9745.3844.465.015.43M cr =⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−−
−=
- para o estado limite de flambagem local da mesa comprimida (FLM)
rp λ <λ<λ
kgmm 5.874674802.312049534.811.19
34.8165.015.43M cr =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−−
−=
- cálculo de pgk :
- como deve ser o menor valor obtido entre os dois estados limites, considerar
.
crM
87467480 kgmm 5.M cr =
( ) ( )( )( ) ( )( )pg
3.4 850 / 10 320 210000k 1 250 5.7 0.94280.31200 300 3.4 850 / 10 320
⎛ ⎞= − − =⎜ ⎟⎜ ⎟+ ⎝ ⎠
- cálculo do momento fletor resistente característico : RkM
c) para escoamento da mesa tracionada
( )3 2Rk xt yM W f 3120495.2 mm 43.5 kg/mm
135741541.2 kgmm
= =
== 1357.4 kNm
d) para flambagem
( ) kgmm 63.822194315.8746748094.0MkM crpgRd ===
kNm 2.608MkNm 2.822M sdRd =>=
Aceitar chapas das mesas de 10x320 mm, de acordo com o anexo H – PNBR 8800/07.
8.1.4.2 Força cortante resistente de cálculo – item 5.4.3
- Com base nas considerações do item 5.4.3.1.2 da PNBR 8800/07, será calculado o valor de
, para a viga em questão: plV
Primeiramente, deve ser calculado o valor de wA :
( ) 2ww mm 2890=4,3850=dt=A
Então, o valor de pode ser calculado: plV
( ) kgf 75429=kgf/mm 5.43mm 28906.0=fA6.0=V 22ywpl = 754.29 kN
250
- como se pode observar na viga que foi dimensionada com base nas normas da LRFD, no
exemplo 1, existem dois espaçamentos diferentes ao longo da mesma. Na região entre o apoio
e 1/3 do vão, os espaçamentos, a, entre os enrijecedores têm valor igual a 493 mm, e na região
entre 1/3 e ½ do vão, o espaçamento a entre os enrijecedores tem o valor de 920 mm. A partir
de agora, serão efetuados os cálculos para cada um destes espaçamentos, que estão situados
nestas duas regiões distintas, a das extremidades da viga e a parte central do vão, para se
verificar a força cortante resistente característica nestes dois painéis.
- Utilizando as equações do item 5.4.3.1.1 da PNBR 8800/07, será necessária a obtenção dos
parâmetros . Deve-se primeiramente calcular o valor de rp λ e λ ,λ vk :
- será efetuado o cálculo de para cada um dos espaçamentos situados nas duas regiões
distintas, a das extremidades da viga e a parte central do vão, para se verificar a força cortante
resistente característica nestas duas configurações:
vk
para a=493 mm (região entre os apoios e 1/3 do vão):
a/h=493/850=0.58
( ) 86.19=58.05
+5=h/a
5+5=k 22v
para a=920 mm (região entre 1/3 e ½ do vão):
a/h=920/850=1.082
( ) 27.9=082.15
+5=k 2v
Com os valores de calculados, pode-se obter os valores dos parâmetros , para
cada configuração:
vk rp λ e λ ,λ
Na região entre os apoios e 1/3 do vão:
250=th
=λw
( )7.107=
43521000086.19
10,1=f
Ek10,1=λ
y
vp
( )1.134=
43521000086.19
37.1=f
Ek37.1=λ
y
vr
com os valores dos parâmetros calculados, observa-se que , portanto, para o cálculo da
força cortante resistente característica, de acordo com o item 5.4.3.1.1 – PNBR 8800/07, ,
usa-se a seguinte equação:
rλ>λ
RkV
251
2 2p
Rk pl107.7V 1.28 V 1.28 75429 17918.4 kgf250
λ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟λ ⎝ ⎠⎝ ⎠= 179.18 kN
Este valor representa a resistência nominal ao cortante dos painéis extremos, sem a utilização
da ação do campo de tração. Como este valor ultrapassa o cortante solicitante,
= 155 kN, quer dizer que o espaçamento a=493 mm para os painéis extremos
pode ser considerado.
kgf 15500=Vsd
Na região entre 1/3 e ½ do vão:
250=th
=λw
( )59.73=
43521000027.9
10,1=f
Ek10,1=λ
y
vp
( )65.91=
43521000027.9
37.1=f
Ek37.1=λ
y
vr
como , o cálculo da força cortante resistente característica é dado pela seguinte
equação:
rλ>λ
2 2p
Rk pl73.59V 1.28 V 1.28 75429 8365.77 kgf250
λ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟λ ⎝ ⎠⎝ ⎠= 83.66 kN
Este valor representa a resistência nominal ao cortante dos painéis com espaçamento a=920
mm, sem a utilização da ação do campo de tração. Este valor é menor que o cortante
solicitante e indica que, de acordo com a PNBR 8800/07, este espaçamento não deve ser
considerado.
Aceitar chapa da alma de 3.4x850 mm. Considerar o espaçamento entre enrijecedores a=493
mm, para toda a extensão da viga, de acordo com a PNBR 8800/07.
8.1.5 Verificação segundo o Eurocode 3
Nesta parte será feita a verificação pela norma européia, o Eurocode 3: Design of
steel structures – Part 1.1: General rules and rules for buildings. O procedimento é similar às
outras etapas de verificação, utilizando as dimensões obtidas com o cálculo realizado no
exemplo 1, com base na norma americana, para se fazer a verificação quanto às considerações
da norma européia.
252
8.1.5.1 Momento fletor - item 5.4.5
74.0=435/235=f/235=ε y
- para as mesas:
( ) ( ) ( ) ( )( ) 16.1=43.074.04.28/10/160=kε4.28/t/b=λ σp
( ) ( )2 2p p0.22 / 1.16 0.22 /1.16 0.70ρ = λ − λ = − =
de acordo com o item 5.3.5 (3) do Eurocode 3, o fator de redução ρ é menor que 1 para
673.0>λ p e é igual a 1 (ou seja, não há redução da largura efetiva) para p 0.673λ ≤ .
Tabela 5.3.3 - Eurocode 3: 1=ψ
( ) mm 112=16070.0=cρ=beff
- para a alma:
( ) ( ) ( ) ( )( ) 43.2=9.2374.04.28/4.3/850=kε4.28/t/b=λ σp
( ) ( )2 2p p0.22 / 2.43 0.22 / 2.43 0.37ρ = λ − λ = − =
tabela 5.3.2 (Eurocode 3): 1Ψ = −
( )
mm 4.94=b6.0=bmm 9.62=b4.0=b
mm 25.157=2/85037.0=bρ=b
effe2
eff1e
ceff
- A seção efetiva e suas medidas estão representados na figura 8.1.5, com as reduções
calculadas acima de acordo com o Eurocode 3:
1062.9
267.7
94.4
425
10 10
850
10
3.4
224
320
320
eixo centroidal
eixo centroidalda seção efetiva
zona não-efetiva
83.6
Figura 8.1.5 – Medidas da seção efetiva para o cálculo do momento fletor resistente (medidas indicadas em mm).
253
- cálculo do centro de gravidade da seção efetiva:
( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )ef
ef
224 10 865 62.9 3.4 860 62.9 / 2
425 94.4 3.4 425 94.4 / 2 10
320 10 5y
2240 3.4 425 94.4 62.9 3200y 349 mm
+ −⎡ ⎤⎢ ⎥+ + + +⎢ ⎥⎢ ⎥+⎢ ⎥⎣ ⎦=
+ + + +
=
xcxt W e W são obtidos pelas seguintes fórmulas:
c
xxc
t
xxt y
I=W ;
yI
=W
onde é o momento de inércia da seção em relação ao eixo de flexão e são as
distâncias entre as faces externas das mesas tracionada e comprimida ao centro de gravidade
da seção efetiva. O centro de gravidade da seção efetiva está a 83.6 mm abaixo da metade da
altura da alma.
xI ct y e y
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )( )( ) ( )( )
( )( )( ) ( )( )
( ) ( )( )
32
x
32
32
32
32
224 10I 224 10 430 83.6
123.4 62.9
3.4 62.9 62.9 / 2 267.7 94.4 83.612
3.4 94.4 83.63.4 94.4 83.6 94.4 83.6 / 2
123.4 425 83.6
3.4 425 83.6 425 83.6 / 212
320 10320 10 430 83.6
12
= + +
+ + + + +
++ + + +
−+ + − −
+ + −
4x mm 1075150363=I
então pode-se calcular o valor de xtW :
3
t
xxt mm7.3059619
6.834351075150363
yI
W =−
==
- cálculo de xcW :
3
c
xxc mm 5.2073178=
6.83+4351075150363
=yI
=W
- cálculo do momento fletor resistente de projeto:
- item 5.4.5.2 - Eurocode 3 – flexão em torno de um eixo:
254
Seções transversais classe 4: 1MyeffRd,c γ/fW=M
o com o calculado acima, o módulo de seção efetivo será o menor valor entre
xtxc W e W , observando que
- de acord
o coeficiente não será utilizado, pois se pretende obter a
resistência efetiva da peça:
1Mγ
3eff mm 5.2073178=W
( )3 22073178.5 mm 43.5 kg/mm 90183264.14 kgmmc,RdM∴ = =
.1.5.2 Cisalhamento - item 5.4.6
- item 5.4.6(1) – a resistência plástica de cisalhamento de projeto é fornecida por:
8
( ) 0MyvRd,pl γ/3/fA=V
onde vA é a área de cisalhamento. De acordo com o item 5.4.6(2), a área de cisalhamento é
subitem c) perfis I, H e seções caixão, soldados, com ralela à alma: .
obtida como se segue:
( )wdt∑ carga pa
( ) 2v mm 2890=4.3850=A
( ) ( ) kg 6.72581=3/5.432890=γ/3/fA=V 0MyvRd,pl
item 5.4.7 (Eurocode 3) – Cisalhamento e flexão
omentos
resistentes fornecidos no item 5.4.5.2 - Eurocode 3.
.1.5.3 Flambagem lateral com torção de vigas - item 5.5.2
- cálculo de de acordo com o Anexo F – Eurocode 3:
-
(2) Desde que o valor de projeto da força cisalhante SdV não exceda 50% da resistência
plástica ao cisalhamento de projeto Rd,plV nenhuma redução precisa ser feita nos m
kg 15500=V>kg 6.72581=V SdRd,pl
8
crM
0.522w tz
cr 2M 2z z
I L GIEIL I EI
⎡ ⎤π+= ⎢ ⎥π⎣ ⎦
- cálculo da constante de torsão tI :
255
( ) ( )( ) ( )( )( ) 4333w
3ft mm 47.224469=4.3850+103202
31
=ht+bt231
=I
- cálculo da constante torsional wI :
( )( ) 62323
fw mm0009864533333=
2485032010
=24
hbt=I
- cálculo do segundo momento de área em relação ao menor eixo : zI
( ) ( ) 4333
w3
fz mm36.54616117=
124.3850
+1232010
2=12ht
+12bt
2=I
- cálculo do momento elástico crítico para flambagem lateral com torção da viga , de
acordo com o item F.1.1 (1) – F.1 – anexo F – Eurocode 3:
crM
( )
( )( )
0.522w tz
cr 2 2z z
2
2
0.5
2
2
I L GIEIML I EI
205000 54616117.364000
2050004000 224469.472 1 0.39864533333000
54616117.36 205000 54616117.36
⎡ ⎤π= +⎢ ⎥π⎣ ⎦
π=
⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟
+⎢ ⎥⎝ ⎠+⎢ ⎥π⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Nmm 2955912586=M cr
- cálculo do parâmetro de esbeltez LTλ para flambagem lateral com torção: 0.52
LT pl,y crEW / M⎡ ⎤λ = π⎣ ⎦
[ ][ ]0.5LT LT 1 w/λ = λ λ β
( ) 2LT LTLT LT0.5 1 0.2⎡ ⎤φ = +α λ − + λ⎢ ⎥⎣ ⎦
LT 0.522LTLT LT
1χ =
⎡ ⎤φ + φ −λ⎢ ⎥⎣ ⎦
b,Rd LT w pl,y y M1M W f= χ β γ/
5458.0=λ LT
- momento resistente de cálculo para flambagem lateral com torção:
b,RdM 736779236.4 Nmm=
256
8.1.5.4 Resistência à flambagem por cisalhamento – item 5.6
8.1.5.4.1 Método simples pós-crítico – item 5.6.3
(1) No método simples pós-crítico, a resistência de projeto deve ser obtida por: Rd,baV
1MbawRd,ba γ/τdt=V
(2) A resistência ao cisalhamento simples pós-crítico deve ser determinada como se
segue:
baτ
- para espaçamento a=493 mm:
τ
ww
kε4.37t/d
=λ
74.0=435/235=f/235=ε y
( ) ( ) 87.19=850/493/34.5+4=d/a/34.5+4=k 22τ
( ) 03.2=87.1974.04.37
4.3/850=
kε4.37t/d
=λτ
ww
- quando w 1.2λ ≥ :
[ ]( ) [ ]( ) MPa 35.111=3/43503.2/9.0=3/fλ/9.0=τ ywwba
- portanto, a resistência de projeto de flambagem por cisalhamento é calculada de acordo com
o subitem (1):
( ) kg 6.32194=14.114.3850=γ/τdt=V 1MbawRd,ba
- para espaçamento a=920 mm:
τ
ww
kε4.37t/d
=λ
74.0=435/235=f/235=ε y
( ) ( ) 75.8=850/920/4+34.5=d/a/4+34.5=k 22τ
( ) 05.3=75.874.04.37
4.3/850=
kε4.37t/d
=λτ
ww
- quando w 1.2λ ≥ :
[ ]( ) [ ]( ) MPa 11.74=3/43505.3/9.0=3/fλ/9.0=τ ywwba
257
- portanto, a resistência de projeto de flambagem por cisalhamento é calculada de acordo com
o subitem (1):
( ) kg 8.21417=411.74.3850=γ/τdt=V 1MbawRd,ba
8.1.5.4.2 Método do campo de tração – item 5.6.4
(1) No método do campo de tração, a resistência de projeto à flambagem por cisalhamento
deve ser obtida por: Rd,bbV
( ) ( )[ ] 1MbbwbbwRd,bb γ/φsinσgt9.0+τdt=V
- cálculo de conforme 5.6.4.1(2): bbτ
- para os painéis com espaçamento a=493 mm:
painéis finais não devem ser calculados utilizando a ação do campo de tração, será calculado
para este painel somente a resistência de flambagem de acordo com o item 5.6.4 – Eurocode
3.
( ) 03.2=87.1974.04.37
4.3/850=
kε4.37t/d
=λτ
ww
[ ]( ) [ ]( ) MPa 94.603/43503.2/13/fλ/1τ 2yw
2wbb ===
( ) kN 1.17694.604.3850τdtV bbwRd,bb ===
- para os painéis com espaçamento a=920 mm:
( ) 05.3=75.874.04.37
4.3/850=
kε4.37t/d
=λτ
ww
[ ]( ) [ ]( ) MPa 27=3/43505.3/1=3/fλ/1=τ 2yw
2wbb
- cálculo da inclinação do campo de tração, conforme 5.6.4.2:
( ) ( ) o43=rad 75.0=920/850arctan=a/darctan=Θ o.6582=rad 5.0=5.1/75.0=5.1/Θ=φ
- cálculo da força longitudinal na mesa, conforme 5.6.4.1(4) (Eurocode 3): Sd,fN
kg 7.70697=860
60800000=
t+dM
=Nf
sdSd,f
- cálculo do momento plástico reduzido da mesa, conforme 5.6.4.1(4) (Eurocode 3): Nf ,RkM
258
( ) 22Nf ,Rk f yf f ,Sd f yf M0M 0.25bt f 1 N / bt f /⎡ ⎤⎡ ⎤= − γ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
( )( ) ( )( ) 22Nf ,RkM 0.25 320 10 43.5 1 70697.7 / 320 10 43.5
258234.1 kgmm
⎡ ⎤⎡ ⎤= − ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦=
- cálculo da resistência do campo de tração , conforme 5.6.4.1(1) (Eurocode 3): bbσ
( ) ( )( ) MPa 08.34=rad 5.02sin275.1=φ2sinτ5.1=Ψ bb
( )
0.52 2 2bb yw bb
0.522 2
bb
f 3
435 3 27 34.08 34.08
399.74 MPa
⎡ ⎤σ = − τ +Ψ −Ψ⎣ ⎦
⎡ ⎤= − + −⎣ ⎦σ =
- cálculo dos comprimentos de ancoragem do campo de tração ao longo das mesas
comprimidas e tracionadas, conforme item 5.6.4.1(3):
( ) ( )
0.52 258234.1s 181.84 mm
sin 0.5 3.4 39.97⎡ ⎤
= =⎢ ⎥⎣ ⎦
- cálculo da largura g do campo de tração, conforme 5.6.4.1(3) – Eurocode 3:
( )( ) ( ) ( )
c tg d cos a s s sin
850cos 0.5 920 181.84 181.84 sin 0.5g 479.23 mm
= φ− − − φ
= − − −
=
- a resistência de projeto à flambagem por cisalhamento deve ser obtida por: Rd,bbV
181.84920
181.84
479.23
28.65
28.65
850
Figura 8.1.6 – Desenho da largura g do campo de tração para os painéis centrais (medidas em mm).
259
( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )
kN04.359V5.0sin7.3994.32.4799.0274.3850
φsinσgt9.0τdtV
Rd,bb
bbwbbwRd,bb
=
+=
+=
8.1.5.5 Interação entre força cortante, momento fletor e força axial - item 5.6.7
8.1.5.5.1 Método simples pós-crítico – item 5.6.7.2
- cálculode , de acordo com o item 5.6.7.2(1) (Eurocode 3): Rd,fM
yfxRd,f FZ=M
- cálculo de , que é o módulo plástico da seção somente das mesas: xZ
( ) ( ) 3x mm 2752000=243032010=Z
( ) kg.mm 119712000=5.432752000=M Rd,f
- de acordo com o item 5.6.7.2(1) (Eurocode 3), a seção transversal pode ser assumida
satisfatória, sem investigar o efeito da força cortante na resistência de projeto ao momento, se
ambos os seguintes critérios são satisfeitos:
Sd f ,Rd Sd ba,RdM M e V V≤ ≤
- para o caso em análise, kg 6.20345=V Rd,ba
- de acordo com o item 5.6.7.2(3) (Eurocode 3), quando excede 50% de o seguinte
critério deve ser satisfeito:
SdV Rd,baV
( ) ( )2
Sd f ,Rd pl,Rd f ,Rd Sd ba,RdM M M M 1 2V / V 1⎡ ⎤≤ + − − −⎣ ⎦
- cálculo de : Rd,plM
kgmm 5.146426437=M Rd,pl
( )
( )( )Sd
2
Sd
M 119712000 146426437.5 119712000
1 2 15500 / 20345.6 1
M 139100503.1 kgmm
≤ + −
⎡ ⎤− −⎣ ⎦
≤
Como é menor que o valor acima, o critério de interação entre força
cortante, momento fletor e força axial utilizado pelo item 5.6.7.2 – Eurocode 3 foi satisfeito.
kgmm 60820000=Msd
260
.1.5.5.2 Método do campo de tração – item 5.6.7.3
o campo de tração, assumindo , conforme
5.6.4.1(3) – Eurocode 3:
- a resistência de projeto à flambagem por cisalhamento deve ser obtida por:
8
- cálculo da largura g d 2/Θ=φ e 0=s=s c
( )( ) ( ) ( )
c tg d cos a s s sin
850cos 0.375 920 sin 0.375
= φ− − − φ
= − g 453.96 mm=
Rd,bwV
( ) ( )[ ]( )( ) ( ) ( )( )[ ]
kgf 56.28139=V375.0sin97.394.396.4539.0+7.24.3850=
γ/φsinσgt9.0+τdt=V
Rd,bw
1MbbwbbwRd,bw
( ) ( )( )
( )( )
2
Sd f ,Rd pl,Rd f ,Rd Sd bw,Rd
Sd
2
Sd
M M M M 1 2V / V 1
M 119712000 146426437.5 119712000
1 2 15500 / 28139.56 1
M 146150394.3 kgmm
⎡ ⎤≤ + − − −⎣ ⎦
≤ + −
⎡ ⎤− −⎣ ⎦
≤
cortante e momento fletor adotados pelo item 5.6.7.3 – Eurocode 3 foram
tisfeitos.
Como kgmm 60820000=Msd é menor que o valor acima, os requerimentos de interação
entre força
sa
261
8.2 Exemplo 2
Neste exemplo será feita a verificação normativa da peça dimensionada por
PFEIL (1989), que propôs as dimensões de uma viga de placa e efetuou as verificações com
base na NB 14/86. Em algumas etapas de sua análise, PFEIL (1989) fez algumas
considerações de cálculo de acordo com a norma AASHTO. As dimensões propostas e os
cálculos efetuados por PFEIL (1989) serão apresentados no subitem seguinte. Nos subitens
posteriores, serão utilizadas teorias consideradas e as normas americana, brasileira e européia
para a verificação normativa das dimensões propostas por PFEIL (1989).
8.2.1 Cálculos efetuados por PFEIL (1989)
PFEIL (1989), na 5ª edição de seu livro, propôs o seguinte problema de
dimensionamento:
Uma viga I soldada, em aço MR250 ( )MPa 250=f y , representada nas figuras
8.2.1 e 8.2.2, tem as seguintes condicionantes: vão 20 m; altura da alma 2 m; largura dos
flanges 0.60 m; contenção lateral dos flanges nos apoios e no meio do vão; carga distribuída
de ação variável 120 kN/m, mais o peso próprio da viga. PFEIL (1989) propõe:
- Verificar se o dimensionamento é satisfatório.
- Pesquisar a influência da eliminação da contenção lateral no meio do vão.
L = 20 m
w
Figura 8.2.1 (PFEIL, 1989) – Sistema estrutural em viga biapoiada solicitada por carregamento indicado.
Ação Permanente ( ) kN/m 6=Próprio Pesow g
Ação Variável kN/m 120=w q
a) Características geométricas da seção.
262
2 2g g 0 g
c t
y 11.133 cm I I Ay -Ay 5505363 cm
y 93.3 cm y 114.3 cm h=207.6 cm
= = + =
= =
4∑
3
t
gt
3
c
gc cm 48166=
yI
= W cm 59007=yI
=W
1989)) (PFEIL, 3 (classe 160<5.157=27.1
200=
th
0
0
( ) 1989)) (PFEIL, 2 (classe 11<76.6=44.42
60=
2tb
fc
fc
De acordo com PFEIL (1989), o módulo plástico da seção (Z) é a soma dos
1400
12x1400
800 800 1400
20000 mm
1000
yy
gG10
00
CH 600x44.45 mm12
t =1
52.4
0
b'
b
0t
CH 2000x12.7 mm
CH 600x31.75 mm
CH 200x25.4 mm
Figura 8.2.2 (PFEIL, 1989) – Dimensões da viga propostas para o problema de dimensionamento e verificação.
momentos estáticos das áreas das chapas, em relação ao eixo passando no ponto G’ que divide
a área da seção em duas partes iguais. Chamando “a” a distância da face inferior do flange
comprimido ao ponto G’, tem-se:
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) 3
60 4.44 1.27 a A / 2 710.6 / 2 a 70 cm
Z=60 4.44 72.22 1.27 70 35 1.27 130 65
60 3.17 131.58 58108.9 cm
+ = = ∴ =
+ +
+ =
tc W19.1=W96.0=Z
263
b) Esforço solicitante de cálculo.
Peso próprio da viga
( )( )2g 710.6 0.785 kgf/ cm , m 557.8 kgf/m 6 kN/m= = ≈
Carregamento de cálculo
( ) ( ) kN/m 8.175=1204.1+63.1=q4.1+g3.1
Esforços solicitantes máximos de cálculo
( )( ) kN 1758=2/208.175=V
kNm 8790=8/208.175=M
máx d
2máx d
c) Momento resistente de projeto, com contenção lateral, considerando efeito de
flambagem local da alma.
( )( ) kNm 12042=kNcm 1204200=2548168=fW=M
kNm 14527=kNcm 1452733=259.58108=Zf=M
ytr
yp
( )n157.5 100M 14257 14257 12042 12146 kNm160 100
−= − − =
−
nM é aproximadamente igual a , uma vez que rM 0 0h / t rλ = ≈ λ .
( ) kNm 10931=121469.0=M9.0=M nres d
d) Momento resistente de projeto, com flambagem lateral, havendo contenção
lateral nos apoios e no meio do vão.
( )( ) 560>779=
44.4606.2071000
=tbhl
fcfc
b
( ) ( )( )
( )
2
d res 2
3 250 2000M 0.9 59007 25 14 20500 0.9 60
1327500 1 0.13 1154925 kNcm=11549 kNm
⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥= − ⎜ ⎟⎜ ⎟π⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
= − =
e) Comparação entre o momento resistente e o momento solicitante.
O momento resistente de projeto é o menor dos dois valores calculados nas alíneas
c e d; ele é determinado pela flambagem local da alma
( ).iosatisfatór kN.m 8790=M>kN.m 10391=M dres d
f) Efeito da eliminação da contenção lateral no meio do vão sobre o momento
resistente com flambagem lateral.
( )( ) 1558=
44.4606.2072000
=tbhl
fcfc
b
264
1(1327500=M dres - kNm 6505=kNcm 650475=)51.0
Segundo PFEIL (1989), o momento resistente de cálculo é reduzido para 6505
kN.m quando se elimina a contenção lateral no meio do vão. Nesse caso, ter-se-ia
(deficiente). dres d M<M
g) Esforço cortante resistente de cálculo.
O esforço cortante resistente de cálculo será verificado para duas situações:
- espaçamento de enrijecedores intermediários a=80 cm junto ao apoio;
- espaçamento a=140 cm a 160 cm do apoio.
Será utilizada a fórmula 3.3.22, que determina o esforço cortante resistente,
considerando flambagem da alma, porém sem levar em conta a resistência post-flambagem.
Para espaçamento a=80 cm junto ao apoio, tem-se:
2
v205000 1.27 200C 3.34 1 0.3 1.335 1
250 200 80⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎝ ⎠
= > (fórmula
3.3.28c)
De acordo com PFEIL (1989), como , não há redução de resistência por
flambagem da alma. Aplica-se a fórmula 3.3.21:
1>Cv
( ) ( ) ( )
res dd
ywvres d
V<kN 1758=V
kN 3430=256.027.12009.0=f6.0Aφ=V
Para espaçamento a=140 cm a 160 cm do apoio, tem-se:
2
v205000 1.27 200C 3.34 1 0.3 0.76
250 200 140⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎝ ⎠
=
Com o espaçamento a=140 cm existe redução do esforço cortante resistente por
efeito de flambagem da alma. Obtém-se:
( ) ( ) ( ) ( ) kN 2600=76.0256.027.120090.0=Cf6.0Aφ=V vywvres d
PFEIL (1989) observa que a resistência ao esforço cortante da viga está folgada.
h) Condição de dispensa de enrijecedores intermediários.
160<
70>5.157=
27.1200
=th
0
0
Com essas características geométricas, os enrijecedores intermediários poderão
ser dispensados se o esforço cortante solicitante for menor que o resistente dado pela fórmula
3.3.22.
265
( ) 8.0<252.0=27.1/200250
1560000=C 2v
(fórmula
3.4.24a)
v205000 1.27C 3.34 0.3 0.31
250 200≈ − =
(fórmula
3.4.28c)
( ) ( ) ( )( ) res dd
res d
V>kN 1301=10/4.71758=V kN 864=252.0256.027.12009.0=V
(fórmula
3.4.22)
Verifica-se que os enrijecedores transversais intermediários não podem ser
dispensados.
i) Dimensionamento dos enrijecedores transversais intermediários.
Neste exemplo, os enrijecedores intermediários são colocados apenas em um lado
da alma. Segundo PFEIL (1989), para escolha da largura b’ da chapa do enrijecedor, podem
ser utilizadas duas regras práticas da norma AASHTO:
cm15=60/4=b/4>b'cm 12=30/200+08.5=30/h+"2>'b 0
Adotamos ( )b 15 cm, t=3/8 b /16′ ′′= ≈ ′ e verificamos a condição de rigidez das
normas AISC e NB 14:
( ) ( )
430
3 4
htb3 50
0.95 15 2001069 256 satisfaz3 50
′ ⎛ ⎞≥ ⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞= > =⎜ ⎟⎝ ⎠
A condição de rigidez da norma AASHTO é dada pela fórmula
( )( )
( )
3
r 3 30 0
2 20
rcr
0.95 15 / 3Ik 28.40.092h t 0.092 200 1.27
h 200k 5 20 5 20 31a 140
= = =
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 5= − = − = >⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
Verifica-se que a condição de rigidez da norma AASHTO não é satisfeita. Assim,
para a viga ser usada em uma ponte rodoviária, será necessário aumentar a rigidez do
enrijecedor intermediário. Adotando-se , obtém-se: 1/2"= tcm, 20='b
31>90=kcm 3387=I
r
4
j) Espaçamento dos enrijecedores intermediários.
O espaçamento máximo entre enrijecedores intermediários deve obedecer a
relação:
266
2
0 0 0
2
0
a 260 3h h t
a 260 2.72h 200 /1.27
⎛ ⎞≤ ≤⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞≤ =⎜ ⎟⎝ ⎠
Foi adotado no projeto 70.0=200140
=ha
0.
k) Dimensionamento do enrijecedor de apoio.
O enrijecedor de apoio é constituído por uma chapa de cada lado da alma.
Admitindo-se uma largura de cada chapa b’=20 cm, a espessura da mesma deverá ser:
cm 1.67=/12b'> tAASHTOcm 1.27=/16b'> tAISC
Neste exemplo adotaremos duas placas com largura b’=20 cm, espessura t=1”.
Nos enrijecedores de extremidade, considera-se uma largura de alma igual a
como parte do enrijecedor. ( ) cm 25.15=27.112=t12 0
( ) ( ) 433
cm 13549=12
27.124.15+
124054.2
=I
( ) ( ) 2cm 0.121=27.124.15+54.240=A
cm 6.10=0.121
13549=
AI
=i
( ) 15.14=6.10/20075.0=i/l
16.0=205000
250π15.14
=λ
( ) MPa 250=2500.1=fcr
( ) kN 1758=V > kN 2939=256.13090.0=N máx dres d
De acordo com PFEIL (1989), vê-se que o enrijecedor de apoio atende com folga.
8.2.1.1 Verificação da capacidade de carga ao momento-cortante usando a teoria de
JUHÁS (2001)
Neste item, as dimensões propostas por PFEIL (1989), serão utilizadas para a
verificação de sua capacidade de carga ao momento-cortante, conforme a teoria proposta por
JUHÁS (2001). Uma redução na espessura da alma, de 12.7 mm para 12.47 mm será
considerada, para se fazer a verificação em conformidade com as normas. De acordo com a
267
figura 3.3.1.1, podem ser calculados os parâmetros, observando o detalhamento da figura
8.2.2:
1=f/f=m ywyf
para o cálculo de , serão considerados os espaçamentos a=800 mm e a=1400 mm,
respectivamente entre o apoio e 1/3 do vão e entre 1/3 e ½ do vão.
d/a=α
7.0=/20001400=a/d=α mm, 1400=a para4.0=/2000008=a/d=α mm, 008=a para
- cálculo de β :
38.16047.12/2000t/dβ w ===
- cálculo de : γ
wf A/A=γ
( ) 2f mm 26670=60045.44=A
( ) 2494047.122000A w == 2mm
07.124940/26670A/Aγ wf ===
- cálculo de δ :
( ) 04.1=2000/75.31+45.44+2000=d/h=δ
- cálculo de : 0δ
( ) ( ) 02.1=2/04.1+1=2/δ+1=δ0
- cálculo do momento fletor totalmente plástico da seção transversal, utilizando a equação
3.3.1.2:
w,plywf,plyfw,plf,plpl Wf+Wf=M+M=M
cálculo de (módulo plástico das mesas): f,plW
( ) ( ) 3f,pl mm 4.44327597=1315.831.75600+722.245.44600=W
cálculo de (módulo plástico da alma): w,plW
( ) ( ) 0.13592300650130047.1235070047.12W w,pl =+= 3mm
o momento fletor totalmente plástico da seção transversal é:
( )( 0.135923004.44327597250WfWfM w,plywf,plyfpl
+= )+=
kNm0.14480M pl =
Pode-se, em seguida, utilizar as equações 3.3.1.5 e 3.3.1.6 para efetuar o cálculo de bM :
268
- cálculo de : 0ξ
( )( )( ) 512.06
02.107.16120008963163
6.1792ξ2
0 =+
=
( ) 34.1512.031ξ 2 =+=
( ) ( ) ( )( )( )kNm 7.16880M
34.13/02.134.1/102.107.1413592300250M
b
32b
=−+=
- cálculo da força cortante última : Mu,V
Da equação 3.3.1.10 tem-se a força cortante totalmente plástica:
( ) kN78.35993/47.1220002503/AfV wywpl ===
- cálculo de (equação 3.3.1.9): 1ξ
361.0512.034.11arcsin
334.1ξ
2
1 =−=
- cálculo de primeiramente através da equação 3.3.1.7: Mu,V
( )( ) (( )
)
( ) ( )( ) ( ) 034.1
512.03361.034.102.107.1925.2
334.1512.0512.06361.002.107.195.1
78.3599V
78.3599V
2
2
222M,u
2M,u
=−+
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
pode-se encontrar Mu,V :
kN46.1958V M,u =
- cálculo de através da equação 3.3.1.8: Mu,V
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) 034.1
512.03361.0361.002.107.15.4512.025.234.1
512.09361.002.107.1975.378.3599
V334.1512.0
512.09361.002.107.195.178.3599
V
78.3599V
3
322
222M,u
2222M,u
3M,u
=−−
+
−+−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
resolvendo esta equação encontra-se:
269
kN 9.2124V M,u =
De acordo com JUHÁS (2001), é necessário usar as equações 3.3.1.7 e 3.3.1.8 para calcular a
força cortante última . O menor valor é válido. é a força cortante última que
depende do momento fletor M agindo na seção transversal. O momento fletor último
depende da força cortante V agindo na seção transversal. O momento fletor último pode
ser calculado pela equação 3.3.1.11:
Mu,V Mu,V
Vu,M
Vu,M
( )( )( ) 02.107.141
02.107.161512.033
278.359946.1958
14480M 2
V,u
++
=
kNm 8476M V,u =
- cálculo da relação ( )limplMu, V/V através da equação 3.3.1.12:
( ) ( )2u,M pl lim
V / V 0.25 0.48 1.26= − +
( ) 84.0=V/VlimplMu,
onde pode-se calcular o valor de limM,u,V :
( ) kN 82.302378.359984.0V M,u ==
JUHÁS(2001) observa que é evidente das figuras 3.3.1.3 e 3.3.1.4 que se a força cortante
, então a força cortante influencia o momento fletor último
desprezivelmente, mas se a força cortante , então a força cortante influencia o
momento fletor último significantemente. Com o incremento da força cortante V o
momento fletor último decresce rapidamente. Para isto, a proporção deveria ser
menor que a proporção limite
limM,u,V<V Vu,M
limM,u,V>V
Vu,M
Vu,M plV/V
( )limplMu, V/V .
De acordo com esta observação, podemos calcular a proporção : plV/V
498.078.3599/66.1792V/V pl ==
onde se pode observar que o valor calculado de 498.0V/V pl = é menor que o limite
( ) 84.0=V/VlimplMu, , o que satisfaz os critérios de dimensionamento segundo JUHÁS (1975).
Para uma melhor aplicação prática, foram propostas algumas fórmulas de interação, as quais
serão verificadas. A fórmula de interação 3.3.1.13 é usada no caso de seções transversais
homogêneas:
270
151.078.3599
175878.3599
175814480879007.1
144808790 2222
≤=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
onde se verifica que o valor obtido é menor que 1. Em seguida, utilizaremos as equações
3.3.1.14 e 3.3.1.15, as quais foram adaptadas da fórmula anterior:
( )( )
06.178.3599/175807.11
78.3599/175811.1φ 2
2
v =−−
=
será considerado o valor de . Em seguida, será utilizada a fórmula 3.3.1.14: v 1φ =
1.101.178.3599
17581.178.3599
175807.1122
≤=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−
que indica que a fórmula foi satisfeita.
Outra fórmula de interação que resulta da European Prestandard prEN 1993-1-
1(2001) Design of Steel Structures, Part 1.1: General Structural Rules é a equação 3.3.1.16:
- cálculo do momento plástico da alma w,plM :
( )( ) kNm 08.339813592300250M w,pl ==
substituindo na equação 3.3.1.16:
( ) 161.0178.3599
1758214480
08.3398144808790 2
≤=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+
Portanto, a viga dimensionada por PFEIL (1989) atende às condições da teoria de
capacidade de carga ao momento-cortante proposta por JUHÁS (2001).
8.2.1.2 Verificação da tensão crítica de cisalhamento usando a teoria de BLEICH
(1952)
Tensão de cisalhamento crítica atuante na seção:
( )( ) MPa 49.70200047.12/1758000A/Vτ wsdxy ===
MPa 29.42σ1 =
- para os painéis adjacentes aos apoios, com espaçamento entre enrijecedores a=800
mm:
40.0=2000800
=ba
=α
60.049.7029.42
τσ
βxy
1 ===
271
( )( )
( ) MPa 87.1722000
47.123.0112
205000π24
bt
ν112Eπ24σ
2
2
2
2
2
2
c1
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−=o
( )( )( ) ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−=
2
2
2
2
2
2
2
2
c
40.034.54
200047.12
3.0112205000π
α34.54
bt
ν112Eπτ o
MPa 20.269τ c =o
Este valor encontrado, , ultrapassa o valor do limite proporcional, que para
o valor da tensão de escoamento é
MPa 20.269τ c =o
( ) MPa 200=2508.0=σ p
deve-se então utilizar a fórmula da tensão crítica na extensão inelástica fornecida por
BLEICH (1952), que neste caso é a equação 5.24:
( )22
2i2 22
E t 124 3b 112 1
σ π ⎛ ⎞= κ β +⎜ ⎟ +β κ−ντ ⎝ ⎠
( ) 556.1=40.092
+61
=α92
+61
=24
α/34.5+4=κ 22
2
( )( ) ( )
( )222
2
2
2i
556.16.01136.0
556.1242000
47.123.0112
205000πτσ
++
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−=
MPa 40.360τσ i =
para a determinação de , deve-se antes utilizar a equação 5.3 para a determinação do valor
de
iσ
τ
( )( )
y c
y p
c
p
σ −σ στ =
σ −σ σ
Considerando o valor de como tensão de escoamento utilizado no
dimensionamento de PFEIL (1989) e adotando os valores de
MPa250=f y
MPa 200σ p = e
na equação acima, pode-se montar a tabela 8.2.1 para os valores de .
MPa 250σ y =
cσ
272
Tabela 8.2.1 – Proporção para aço estrutural com , .
E/E=τ t
MPa 200σ p = MPa 250σ y =
cσ τ cσ τ cσ τ cσ τ 200.00 1.000 212.50 0.797 225.00 0.563 237.50 0.297 201.25 0.981 213.75 0.775 226.25 0.537 238.75 0.269 202.50 0.962 215.00 0.753 227.50 0.512 240.00 0.240 203.75 0.942 216.25 0.730 228.75 0.486 241.25 0.211 205.00 0.923 217.50 0.707 230.00 0.460 242.50 0.182
206.25 0.902 218.75 0.684 231.25 0.434 243.75 0.152 207.50 0.882 220.00 0.660 232.50 0.407 245.00 0.123 208.75 0.861 221.25 0.636 233.75 0.380 246.25 0.092 210.00 0.840 222.50 0.612 235.00 0.352 247.50 0.062 211.25 0.819 223.75 0.587 236.25 0.325 248.75 0.031
250.00 0
Utilizando os valores de calculados na tabela 8.2.1, pode-se obter a tabela 8.2.2. τ
Fazendo , a tabela 8.2.2 fornece os valores de em função de ic σ=σ iσ τ/σ i . Para
os painéis finais com espaçamento a=800 mm, foi encontrado o valor de τ/σ i :
MPa 40.360τσ i =
Utilizando a tabela 8.2.2 pode-se determinar o valor de : iσ
MPa 00.232σ i =
e então pode-se utilizar as equações 5.25 para determinar os valores de : c1c σ e τ
MPa 57.12636.0
00.232
3β
στ
22
ic =
+=
+=
( ) MPa 94.7557.1266.0βτσ cc1 ===
Se for considerado o valor de , tem-se: 0=τ/σ=β xy1
( )( ) ( ) MPa 89.4653556.124
200047.12
3.0112205000π
τσ 2
2
2i =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−=
Utilizando a tabela 8.2.2 pode-se determinar o valor de : iσ
MPa 00.239σ i =
e então pode-se utilizar as equações 5.25 para determinar os valores de : c1c σ e τ
MPa 99.137300.239
3β
στ
2
ic ==
+=
273
0βτσ cc1 ==
Tabela 8.2.2 – Determinação da tensão crítica para aço, MPa. ( ,
cσMPa 200σ p = MPa 250σ y = ).
τ/σ c cσ τ/σ c cσ τ/σ c cσ
200.00 200.00 264.58 218.75 435.89 237.50 203.18 201.25 270.80 220.00 460.68 238.75 206.47 202.50 277.41 221.25 489.90 240.00 209.89 203.75 284.44 222.50 525.09 241.25 213.44 205.00 291.96 223.75 568.62 242.50
217.12 206.25 300.00 225.00 624.50 243.75 220.96 207.50 308.65 226.25 700.00 245.00 224.96 208.75 317.98 227.50 810.35 246.25 229.13 210.00 328.10 228.75 994.99 247.50 233.47 211.25 339.12 230.00 1410.67 248.75
238.05 212.50 351.19 231.25 242.83 213.75 364.50 232.50 247.85 215.00 379.27 233.75 253.13 216.25 395.81 235.00 258.69 217.50 414.51 236.25
Para os painéis de chapas com espaçamento a=1400 mm, na região central do vão:
( )( ) MPa 49.70200047.12/1758000A/Vτ wsdxy ===
MPa 49.70σ1 =
1=τσ
=βxy
1
7.0=20001400
=ba
=α
( )( )
( ) MPa 87.1722000
47.123.0112
205000π24
bt
ν112Eπ24σ
2
2
2
2
2
2
c1
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−=o
( )( )( ) ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−=
2
2
2
2
2
2
2
2
c
70.034.54
200047.12
3.0112205000π
α34.54
bt
ν112Eπτ o
274
MPa 31.107τ c =o
O valor acima, representa a tensão crítica de cisalhamento para
esta chapa em cisalhamento puro, considerando suas dimensões e espaçamento entre
enrijecedores, na iminência de flambagem elástica.
MPa 31.107τ c =o
62.0=)7.0(9
2+
61
=24
7.0/34.5+4=κ 2
2
( )( )( ) ( ) 2
2
2
2
22
2
2
2
c
62.01162.024
200047.12
3.0112205000π
κβ11κ24
bt
ν112Eπτ
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−=
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−=
MPa 09.91τ c =
MPa 09.91βτσ cc ==
Este valor, , representa a tensão crítica de cisalhamento, na
iminência de flambagem elástica, considerando a ação das tensões normais de compressão
resultantes da flexão se superpondo às tensões de cisalhamento.
MPa 09.91τ c =
MPa 09.91βτσ cc ==
8.2.1.3 Verificação da tensão admissível de cisalhamento utilizando a teoria de YU
(1991)
Para a viga dimensionada por PFEIL (1989), pode-se utilizar a teoria proposta por
YU (1991) para verificar a força cortante admissível:
Para os painéis com espaçamento a=800 mm entre os enrijecedores:
( ) ( ) 38.37=2000/80034.5
+4=h/a34.5
+4=k 22v
para v yh / t 1.38 k E / F≤ ,
EFkt64.0=V yv2
a
( ) 6.241250/20500038.3738.1 =
como h/t=160.4<241.6,
( ) ( ) kN92.435520500025038.3747.1264.0V 2a ==
De acordo com YU (1991), . Tem-se então: htF6.0V ya ≤
275
( ) ( ) kN 374147.1220002506.0htF6.0V ya ===
O valor obtido acima representa a força cortante resistente admissível do painel para
flambagem inelástica, sem a ação do campo de tração. Como kN 3741Va = ultrapassa a força
cortante solicitante, , o espaçamento a=800 mm deve ser considerado, porque
painéis extremos não podem ser calculados utilizando a ação do campo de tração.
kN 1758Vsd =
Para os painéis com espaçamento a=1400 mm:
( ) ( ) 89.14=2000/140034.5
+4=h/a34.5
+4=k 22v
para yv F/Ek38.1>t/h ,
v
3
a kht
E904.0=V
( ) 5.152250/20500089.1438.1 =
como h/t=160.4>152.5,
( ) kN41.267589.142000
47.12205000904.0V3
a ==
O valor acima representa a força cortante resistente admissível para os painéis, para
flambagem elástica. Este valor, é maior que a força cortante solicitante de
cálculo, . Isto indica que os painéis com a=1400 mm podem ser
considerados para flambagem elástica.
kN41.2675Va =
kN66.1792Vsd =
8.2.1.4 Verificação da força cortante resistente característica utilizando o método do
campo de tensões principais de HÖGLUND (1998)
A tensão crítica foi calculada de acordo com BLEICH (1952), no item 8.2.1.2,
para painéis com espaçamento a=800 mm.
MPa 57.126τ cr =
MPa 33.1443
2503
ff yw
v ===
cr
vw τ
f=λ
276
07.157.12633.144λw ==
( ) ( ) 99.007.132
107.1411
07.13
λ321
λ411
λ3
fτ
24
4
2w
4ww
4
v
u
=−−=
−−=
O valor de 0.1=fτ
v
u pode ser verificado na figura 3.3.3.3, utilizando-se o valor de 07.1λw = .
45.007.1/48.0λ/48.0ρ wv ===
o valor acima, , pode ser obtido pela tabela 3.3.3.1 e pela figura 3.3.3.4, utilizando-
se o valor de λ .
45.0ρ v =
07.1w =
( ) ( ) kN 8.280547.12200025045.0thfρV wwywvw ===
- para espaçamento de 1400 mm:
cr
vw τ
f=λ
A tensão crítica foi calculada de acordo com BLEICH (1952), no item 8.2.1.2, para
painéis com espaçamento a=1400 mm.
MPa 31.107τ cr =
MPa 33.1443
2503
ff yw
v ===
cr
vw τ
f=λ
16.131.10733.144λw ==
Para , 0.1λw ≥v
u
fτ
é calculado pela seguinte equação:
( ) ( ) 96.016.132
116.1411
16.13
λ321
λ411
λ3
fτ
24
4
2w
4ww
4
v
u
=−−=
−−=
277
O valor de 96.0fτ
v
u = pode ser verificado na figura 3.3.3.3, utilizando-se o valor de
. 16.1λw =
( ) ( ) 42.016.17.0/79.0λ7.0/79.0ρ wv =+=+=
O valor acima, 42.0ρ v = , pode ser obtido pela tabela 3.3.3.1 e pela figura 3.3.3.4, utilizando-
se o valor de λ . 16.1w =
( ) ( ) kN 7.261847.12200025042.0thfρV wwywvw ===
Este é o valor do cortante nominal dos painéis com espaçamento de 1400 mm, calculado pelo
método do campo de tensões principais de HÖGLUND (1998).
8.2.2 Verificação segundo a LRFD
8.2.2.1 Limitações – item G1
(a) para a 1.5h≤ :
w yf
h 2000t f
≤
- adotando a conversão , teremos: ksi 23.36=MPa 250=Fyf
w yf
h 2000 2000 335.38t F 36.23
≤ = =
De acordo com SALMON E JOHNSON (1996), vigas esbeltas devem ter o parâmetro de
esbeltez à flambagem local da alma:
yfr
w F970
=λ>th
=λ
Para este caso,
15.161=23.36
970=
F970
=λ>th
=λyf
rw
A viga calculada por PFEIL (1989) apresenta a espessura da alma de ½ in. (meia
polegada), ou seja, 12.7 mm. A partir desse instante, iremos considerar uma redução na
espessura da alma:
278
ww
h 2000161.15 335.38 t 12.41 mmt 161.15
= < ⇒ = =
A redução da espessura da alma de 12.70 mm para 12.41 mm pode ser considerada. Pode-se
observar que a viga dimensionada por PFEIL (1989), após esta pequena modificação
(redução) na espessura da alma, atende às especificações da LRFD referentes a vigas esbeltas.
8.2.2.2 Resistência de projeto à flexão - item G2
- cálculo de para o escoamento da mesa tracionada. O módulo de resistência elástico
obtido pela seguinte fórmula:
xtS xtS é
t
xxt y
I=S
onde é o momento de inércia da seção em relação ao eixo de flexão e é a distância
entre a face externa da mesa tracionada ao centro de gravidade. O centro de gravidade da
seção está a 111.95 mm acima da distância entre a face superior da mesa inferior e a metade
da altura da alma.
xI ty
( )( ) ( )( )
( )( )( )
( )( )( )
( )( )( )2
3
23
23
23
x
2/75.31+95.111175.31600+12
75.31600+
2/95.111195.111141.12+12
95.111141.12+
2/05.88805.88841.12+12
05.88841.12+
2/45.44+05.88845.44600+12
45.44600=I
44x in. 9.132046=mm 05496206514=I
então pode-se calcular o valor de xtS :
33
t
xxt in. 58.2932=mm 43.48056365=
75.31+95.111105496206514
=yI
=S
- cálculo de xcS :
33
c
xxc in. 77.3596=mm 43.58940552=
45.44+05.88805496206514
=yI
=S
- cálculo de : rp λ e λ ,λ
- Calculando o valor de para a viga em questão, tem-se: Tr
279
Tr = raio de giração, relativo ao eixo de menor inércia, da seção formada pela mesa
comprimida mais um terço da região comprimida da alma
AI
=r yT
pois verifica-se que o eixo de menor momento de inércia da seção formada pela mesa
comprimida mais 1/3 da alma comprimida é o eixo que contém o plano médio da alma, ou
seja, o eixo y. Fazendo o cálculo do momento de inércia da porção citada da seção transversal
da viga em relação ao eixo y, tem-se:
( ) ( )( )3 3
y
4 4
44.45 600 888.05 / 3 12.47I
12 12800147833.7 mm 1922.36 in.
= +
= =
a área da seção considerada será:
( ) ( ) 22 in. 06.47=mm 33.30361=3/05.88847.12+60045.44=A
portanto, o raio de giração a calcular será:
in. 39.6=06.4736.1922
=rT
1=Cb .
a) estado limite: flambagem lateral com torção (FLT):
61.61=39.6
7.393=
rL
=λT
b
31.50=ksi 56.35
300=
F300
=λyf
p
78.126=ksi 56.35
756=
F756
=λyf
r
286000=Cpg
b) estado limite de flambagem local da mesa comprimida (FLM)
( ) 75.6=75.1262.23
=t2
b=λ
f
f
9.10=56.35
65=
F65
=λyf
p
82.22=35.0/56.35
230=
k/F230
=λcyf
r
280
( ) 91700=35.026200=Cpg
316.0=38.160/4=t/h/4=k wc
ff t e b são a largura total e a espessura, respectivamente, da mesa comprimida.
- cálculo de crF :
- para o estado limite de flambagem lateral com torção (FLT)
para p rλ < λ ≤ λ
pcr yf
r p
1F F 12
1 61.61 50.3135.56 1 32.93 ksi2 126.78 50.31
⎡ ⎤⎛ ⎞λ −λ= −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟λ −λ⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ − ⎤⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎢ ⎥−⎝ ⎠⎣ ⎦
- para o estado limite de flambagem local da mesa comprimida (FLM)
para pλ ≤ λ
ksi 35.56=F=F yfcr
- cálculo de PGR :
- como deve ser o menor valor obtido entre os dois estados limites, considerar
crF
ksi 32.93=Fcr
( )PG0.94 970R 1 160.38 1.00
1200 300 0.94 32.93⎛ ⎞= − − =⎜ ⎟+ ⎝ ⎠
( )( ) 94.0=
45.4460047.122000
=a r
- cálculo de : nM
a) para escoamento da mesa tracionada
( ) ft-kip 1.8695=12/ksi 35.58in. 58.2932=FS=M 3ytxtn
b) para flambagem
( ) ft-kip 1.9870=12/ksi 32.93in. 77.3596=FRS=M 3crPGxcn
O valor encontrado para o momento fletor resistente característico ultrapassa o momento
fletor solicitante de cálculo, pois o valor acima pode ser convertido 8695.1 kip-ft = 1202.13
tm = 12020 kNm e de acordo com a viga calculada por PFEIL (1989), o valor do momento
fletor solicitante de cálculo tem o valor de 8790 kNm que convertido tem o valor de 887.8 tm
= 6421.5 kip-ft.
281
Aceitar as chapas das mesas de dimensões 600x44.45 mm p/ mesa superior e
600x31.75 mm p/ mesa inferior, de acordo com a LRFD.
8.2.2.3 Resistência de projeto ao cisalhamento com a ação do campo de tração – item
G3
- para a região com espaçamento a=800 mm entre os enrijecedores:
- cálculo de vC :
( ) ( ) 25.36=2000/8005
+5=h/a
5+5=k 22v
05.187=23.3625.36
187=Fk
187<16.161=th
yw
v
w
Para w vh / t 187 k / F≤ yw
( ) ( ) kgf 1.381206=kips 42.840=23.3674.78491.06.0=FA6.0=V ywwn
= 3812 kN
Este valor encontrado, representa a força cortante resistente
nominal para os painéis finais de espaçamento entre os enrijecedores a=800 mm. Como este
valor ultrapassa o cortante solicitante, que é
kgf 1.381206=kips 42.840=Vn
21.395=Vu kips
- para os painéis de espaçamento a=1400 mm:
- cálculo de vC :
( ) ( ) 2.15=2000/1400
5+5=
h/a5
+5=k 22v
56.151=23.362.15
234=Fk
234>16.161=th
yw
v
w
( )( )
( ) 71.0=23.3616.161
2.1544000=
Ft/hk44000
=C 2yw
2w
vv
Resistência nominal ao cortante sem a ação do campo de tração de acordo com o apêndice G3
– formula (A-G3-3) – LRFD:
( )( ) ( )kgf15.270657=kips70.596=V
71.023.36491.074.786.0=
CFA6.0=V
n
vywwn
= 2706.6 kN
282
Resistência nominal ao cortante com a ação do campo de tração:
Para :F/k187>t/h ywvw
( )v
n w yw v 2
1 CV 0.6A F C1.15 1 a / h
⎛ ⎞−⎜ ⎟= +⎜ ⎟+⎝ ⎠
( )( )( )
n 2
1 0.71V 0.6 78.74 0.491 36.23 0.711.15 1 55.12 / 78.74
⎛ ⎞−⎜ ⎟= +⎜ ⎟+⎝ ⎠
kgf 349408.44=kips 32.770=Vn = 3494 kN
8.2.2.4 Enrijecedores transversais – item G4
Área do enrijecedor não deve ser menor que:
( )yw 2ust w v w
yst v n
F VA 0.15Dht 1 C 18t 0F V
⎡ ⎤= − −⎢ ⎥φ⎣ ⎦
≥
( ) ( )( ) ( ) ( )2st
2
180A 0.15 2.4 78.74 0.491 1 0.234 18 0.4910.9 349.4
1.76 in.
⎡ ⎤= − −⎢ ⎥⎣ ⎦
=
os enrijecedores calculados por PFEIL (1989) têm a seguinte dimensão:
b=150 mm=5.9 in.; t=9.5 mm=0.374 in.; Item F2.3 – apêndice F – LRFD: 2st in. 21.2=A
( ) ( )2 2j 2.5 / a / h 2 0.5 2.5 / 55.12 / 78.74 2 3.1= − ≥ = − =
( ) 24.20=1.3491.012.55=jat 33w
momento de inércia dos enrijecedores:
( ) ( )( ) 423st in. 6.25=2/9.59.5374.0+12/9.5374.0=I
Os enrijecedores dimensionados por PFEIL (1989) atendem às exigências da LRFD.
8.2.2.5 Interação flexão-cisalhamento – item G5
375.1V
V625.0
MM
n
u
n
u ≤φ
+φ
( ) ( )6421.5 395.210.625 1.177 1.375
0.9 8695.1 0.9 770.32+ = ≤
283
8.2.3 Verificação segundo a NBR 8800/86
8.2.3.1 Resistência de vigas esbeltas ao momento fletor - anexo F
8.2.3.1.1 Generalidades – item F-1
- De acordo com o contido no item 3.2.2.1.1, analisando a viga dimensionada por PFEIL
(1989), a maior relação a/h, é 1400/2000 que dá um valor de 0.7, que é menor que 1,5 fixado
na norma, neste caso, pode ser tomado igual a maxλ yf/E7,11 . Fazendo a utilização desta
equação, substituindo os valores de E e usados no dimensionamento da viga, obtém-se: yf
( ) 04.335=250/2050007,11=f/E7,11=λ ymax
onde pode-se observar que é um valor maior que a relação da viga calculada que é: wt/h=λ
5.157=7.12/2000=t/h=λ w
portanto, observa-se que o parâmetro de esbeltez λ da viga dimensionada não ultrapassa o
limite imposto pela norma brasileira, o que indica que este parâmetro pode ser considerado.
Também foi feita uma referência ao parâmetro , que é obtido de acordo com o Anexo D
desta norma. O parâmetro relativo ao estado limite de flambagem local da alma (FLA)
contido na tabela do Anexo D da NBR 8800/86, é obtido de acordo com a seguinte fórmula:
rλ
rλ
36.160=250
2050006.5=
fE
6.5=λy
r
onde pode-se observar que , o que não satisfaz a condição e não enquadra a peça na
condição de vigas esbeltas. A viga dimensionada por PFEIL (1989) é não-compacta para o
parâmetro de esbeltez de flambagem local da alma. Para que possamos prosseguir com a
verificação considerando a viga como viga esbelta, tentaremos modificar as dimensões da
alma para que se tenha o valor , onde conservaremos a altura da alma:
rλ<λ
=λ 36.160
ww
h 2000160.36 t 12.47 mmt 160.36
λ = = ⇒ = =
284
portanto, para que possamos enquadrar a viga na categoria de vigas esbeltas, dimimuiremos a
a verificação de acordo
om os anexos F e G da NBR 8800/86, que tratam de vigas esbeltas.
- cálculo de
- cálculo de para o escoamento da mesa tracionada. O módulo de resistência elástico
espessura da alma de 12.7 mm para 12.47 mm, e prosseguiremos com
c
8.2.3.1.2 Resistência de cálculo – item F-2
xtW :
xtW xtW
é obtido pela seguinte fórmula:
t
xxt y
I=W
onde é o momento de inércia da seção em relação ao eixo de flexão e é a distância
entre a face externa da mesa tracionada ao centro de gravidade. O centro de gravidade da
seção está a 111.95 mm acima da metade da altura livre da alma.
xI ty
( )( ) ( )( )
( )( )( )
( )( )( )
( )( )
3
531600+75.31600
+ ( )2
23
23
23
x
2/75.31+95.11117.12
2/95.111195.111147.12+12
95.111147.12+
2/05.88805.88847.12+12
05.88847.12+
2/45.44+05.88845.44600+12
45.44600=I
e ca lar o valor de
4x mm 05496206514=I
xtW :então pode-s lcu
3
t
xxt mm 43.48056365=
75.31+95.111105496206514
=yI
=W
- cálculo de xcW :
3
c
- Cálculo de 'r
'p λ e λ ,λ :
xxc m 43.58940552=
05496206514I=W m
45.44+05.888=
y
- calculando o valor de para a viga em questão, tem-se:
= raio de giração, relativo ao eixo de menor inércia, da seção formada pela mesa
comprimida mais um terço da região comprimida da alma
Tr
Tr
285
AI
=r yT
pois verifica-se que o eixo de menor momento de inércia da seção formada pela mesa
comprimida mais 1/3 da alma comprimida é o eixo que contém o plano médio da alma, ou
seja, o eixo y. Fazendo o cálculo do momento de inércia da porção citada da seção transversal
da viga em relação ao eixo y, tem-se:
( ) ( )( ) 43
y mm 7.800147833=12
47.123/5+
12=I
portanto, o raio de giração a calcular será:
3 0.88860045.44
a área da seção considerada será:
( ) ( ) 2mm 33.30361=3/05.88847.12+60045.44=A
mm 34.162=33.30361
780014783=rT
a) estado limite: flambagem lateral com torção (FLT):
.3
1=Cb
6.61=34.162
10000=
rL
=λT
b
11.50=250
20500075.1=
fE
75,1=λy
p
14.127=250
20500044.4=
fEC
44,4=λy
br
b) estado limite de flambagem local da mesa comprimida (FLM)
MPa 9.2023268=205000π=ECπ=C 2b
2pg
( ) 75.6=45.442
600=
t2b
=λf
f
88.10=250
20500038.0=
fE
38,0=λy
'p
91.24=250f y
20500087.0=
E87,0=λ'
r
esa comprimida.
( ) MPa 77900=20500038.0=E38,0=Cpg
ff t e b são a largura total e a espessura, respectivamente, da m
286
- cálculo :
- para o estado limite de flambagem lateral com torção (FLT)
para
de crf
' 'p rλ < λ ≤ λ
cr61.6 50.11⎡ − ⎤⎛ ⎞f 250 1 0.5 231.4 MPa
127.14 50.11= − =⎜ ⎟⎢ ⎥−⎝ ⎠⎣ ⎦
- para o estado limite de flambagem local da me comprimida (FLM) sa
para 'pλ ≤ λ
MPa 250=f=f ycr
- cálculo de
- como deve ser o menor valor obtido entre os dois estados limites, considerar
pgk :
crf
MPa. 4.231=fcr
( )( )pg
12.47 2000 205000k 1 0.0005 160.38 5.6 1.00600 44.45 ⎜
⎝ 231.4⎛ ⎞
− =⎜ ⎟⎟⎠
- cálculo de :
a) para escoamento da mesa tracionada
b) para flambagem
e acordo com a viga calculada por PFEIL (1989), o
ceitar as chapas das mesas de dimensões 600x44.45 mm p/ mesa superior e 600x31.75 mm
= −
nM
( )n xt pg y
3 2
M W k f
365.43 mm 25.0 kg/mm
1201409136 kgmm
=
=
48056=
( )3 258940552.43 mm 23.14 kg/mm=
O momento nominal da viga é o menor entre os dois valores obtidos, ou seja,
tm1201.41=kg.mm 1201409136=M n .D
n xc pg crM W k f
1363884383 kgmm
=
=
valor do momento fletor solicitante de cálculo tem o valor de 8790 kNm que convertido para
toneladas metro tem o valor de 887.8 tm.
A
p/ mesa inferior propostas por PFEIL (1989), de acordo com a NBR 8800/86.
PFEIL (1989) propôs a verificação da influência da eliminação da contenção lateral no meio
do vão. A eliminação da contenção lateral no meio do vão irá modificar suas propriedades no
287
estado limite de flambagem lateral com torção, pois o comprimento bL entre duas seções
contidas lateralmente irá duplicar. A seguir, será calculado o momento o momento fletor
teral no meio do vão:
a) estado limite: flambagem lateral com torção (FLT):
resistente de cálculo considerando a eliminação da contenção la
2.123=34.162
20000=
rL
=λT
b
11.50=250
20500075.1=
fE
75,1=λy
p
14.127=250
20500044.4=
fEC
44,4=λy
br
MPa 9.2023268=205000π=ECπ= 2b
2pg C
- cálcul
b) estado limite de flambagem lateral com torção (FLT)
para
o de crf :
' 'p rλ < λ ≤ λ
cr123.2 50.11f 250 1 0.5 131.4 MPa127.14 50.11
⎡ − ⎤⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎢ ⎥−⎝ ⎠⎣ ⎦
- cálculo de : pgk
MPa. 4.131=fcr
( )( )pgk 0.0005= −
12.47 2000 2050001 160.36 5.6 1.00600 44.45 131.4
⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
a) para escoamento da mesa tracionada
b) para flambagem
- cálculo de nM :
( )n xt pg y
3 2
M W k f
48056365.43 mm 25.0 kg/mm
09136 kgmm
=
=
12014=
( )n xt pg y
3 2
M W k f
58940552.43 mm 13.14 kg/mm
774478858.9 kgmm
=
=
=
288
O valor de tm774.48=kgmm 9.774478858=M n obtido com a eliminação da contenção
lateral ficou abaixo do valor do momento fletor solicitante de cálculo que é
87=Msd tm887.8=kNm . 90
A elim ação da contenção lateral no meio do vão não satisfaz o requerimento de momento in
fletor solicitante de cálculo da NBR 8800/86, conforme havia sido concluído por PFEIL
(1989).
.2.3.2 Resistência à força cortante, incluindo o efeito do campo de tração – anexo G
verificação da resistência à força cortante, incluindo o efeito do campo de tração, da
viga calculada por PFEIL (1989), iniciaremos procedendo os cálculos de
e solicitante de projeto tem o seguinte
valor:
(PFEIL (1989)).
- para a região da viga com espaçamento a=800 mm:
8
8.2.3.2.1 Resistência de cálculo – item G-1
- Para a
p λ e λ ,λ r , de acordo
com o ítem 5.5.2 da NBR 8800/86. A força cortant
kgf 11.179266=kN 1758=V maxd
( ) 38.37=2000/80034.5
+4=k 2
38.160=47.12
2000=
th
=λw
( )08.189=
25008.1=
f08,1=λ
yp
20500038.37kE
( )11.245=
25020500038.37
40.1=fkE
40,1=λy
r
a) de acordo com o item 5.5.2 da NBR 8800/86, para pλ ≤ λ ,
pln V=V
( ) ( kg/m 0.25mm 2000mm 47.126.0=fA6,0=V ) kgf 374100=m2ywpl
- O item G-1 - Anexo G - NBR 8800/86 - Resistência de cálculo à força cortante, incluindo o
efeito do campo de tração, não deve ser usado para painéis extremos.
- para a região da viga com espaçamentos a=1400 mm:
289
( ) 90.14=2000/140034.5
+4=k 2
38.160=47.12
2000=
th
=λw
( )3.
2502050009.14
08.1=fkE
08,1=λ p 7119=y
( )75.154=
2502050009.14
40.1=fkE
40,1=λy
r
de acordo com o item 5.5.2 da NBR 8800/86, para , r
λ>λ2 2
pn pl
119.37V 1.28 V 1.28 3160.38
λ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟λ ⎝ ⎠74100 265269.7 kgf=
⎝ ⎠
- de acordo com o item G-1 do Anexo G (NBR 8800/86), a resistência de cálculo à força
cortante, incluindo o efeito do campo de tração, é:
para
( ) ( ) kgf 374100=kg/mm 5.02mm 0002mm 2.4716.0=fA6,0=V 2ywpl
rλ>λ
2 2p p'
n pV 1.28 1 1.28 V⎧ ⎫⎡ ⎤λ λ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪= +η −⎢ ⎥⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟λ λ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭
l
2 2'n
'n
119.37 119.37V 1.28 0.71 1 1.28 374100160.38 160.38
V 342539.21 kgf
⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + −⎢ ⎥⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭
=
onde:
2
1 0.7114001.15
η =
12000
=⎛ ⎞+ ⎜ ⎟⎝ ⎠
A força cortante resistente característica ultrapassa a força cortante
é satisfatório.
kgf 21.342539=V 'n
solicitante de cálculo, kgf 11.179266=kN 1758=V maxd , o que indica que o dimensionamento
Aceitar chapa da alma com altura h=2000 mm e espessura mm 47.12=t w , e espaçamento
entre enrijecedores a=800 mm nos painéis finais e a=1400 mm nos painéis do centro, de
acordo com a NBR 8800/86.
290
8.2.3.2.2 Exigências e limitações referentes ao uso do campo de tração - ite
m G-2
om este item, pode-se verificar que
dendo este espaçamento ser
ém de atenderem às exigências
dadas nas notas a, b, c de 5.5.2 (NBR 8800/86), devem também ter área mínima da seção
transversal (num plano paralelo às mesas do perfil), dada por:
( )[ ]2wt/h/260 , Item G-2-1 (NBR 8800/86) - A relação a/h não pode ultrapassar a 3,0 nem a
independente da relação wt/h .
- De acordo c ( )[ ] ( ) 7.0=2000/1400>63.2=38.160/260 2
que é o espaçamento da região que tem o maior espaçamento, po
considerado.
- O item G-2-2 da NBR 8800/86 faz as seguintes considerações:
Item G-2-2 (NBR 8800/86) - Os enrijecedores transversais, al
( )n plst
1 V / V−= − η wA 1 1.15 a / h YDat
2
ação, conforme
e do enrijecedor
a
significados dos demais termos, ver 5.5.2 e G-1 (NBR 8800/86).
podendo, entretanto, do lado da mesa tracionada, ser interrompidos de forma que a distância
pon
ores
não podem ultrapassar os valores dados na Tabela 1 (NBR 8800/86) para seções classe 3
sujeitas à força normal. O valor dado na Tabela 1 (NBR 8800/86) para seções classe 3 é:
nV = resistência nominal à força cortante, sem incluir o efeito do campo de tr
5.5.2 (NBR 8800/86)
Y = relação entre os limites de escoamento dos aços da alma
D = 1,0, para enrijecedores colocados em pares
D = 1,8, para enrijecedores constituídos de uma cantoneira
D = 2,4, para enrijecedores constituídos de uma chap
Para os
- as notas a, b e c do item 5.5.2 (NBR 8800/86) são:
Notas:
a) Os enrijecedores transversais devem ser soldados à alma e às mesas do perfil,
entre os tos mais próximos das soldas mesa/alma e enrijecedor/alma fique entre
ww t6 e t4 .
b) As relações largura/espessura dos elementos que formam os enrijeced
yfE
55,0
291
c) O momento de inércia da seção de um enrijecedor singelo ou de um par de
enrijecedores (um de cada lado da alma) em relação ao eixo no plano médio da alma não
pode ser inferior a
egião com espaçamento de 1400 mm entre os
ão com a=800 mm (observar que os enrijecedores calculados por PFEIL (1989)
o colocados em apenas um lado da alma):
- a relação largura/espessura dos elementos que formam os enrijecedores não pode
ultrapassar:
( )450/h .
- com estas considerações, pode-se proceder a verificação para as duas regiões da viga, a
região com espaçamento de 800 mm e a r
enrijecedores:
- para a regi
sã
75.15=250
205000E55.0
por PFEIL (1989) têm a seguinte dimensão:
ém foram sugeridas as dimensões:
150/9.5=15.79 ou 200/12.7=15.74
- O momento de inércia da seção de um enrijecedor singelo ou de um par de enrijecedores
(um de cada lado da alma) em relação ao eixo no plano médio da alma não pode ser inferior a
=f
55,0y
os enrijecedores dimensionados
b=150 mm; t=9.5 mm. Tamb
b=200 mm; t=12.7 mm.
A relação largura/espessura é:
( )450/h . 4 4
4h 2000 2560000 mm50 50
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
- calculo da área mínima da seção transversal dos enrijecedores:
( )( )( ) ( )
st1 374100 / 374100A
21 1.15 0.81 800 / 2000 2.4 800 12.47 0
−=
− =
2
1
800η =
⎛ ⎞
0.81=
a=1400 mm (observar que os enrijecedores calculados por PFEIL (1989)
são colocados em apenas um lado da alma):
1.15 12000
+ ⎜ ⎟⎝ ⎠
- para a região com
292
- a relação largura/espessura dos elementos que formam os enrijecedores não pode
ultrapassar:
75.15=250
20500055.0=
fE
55,0y
- O momento de inércia da seção de um enrijecedor singelo ou de um par de enrijecedores
alma não pode ser inferior a
(um de cada lado da alma) em relação ao eixo no plano médio da
( )450/h .4 4
4h 2000 2560000 mm50 50
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
- calculo da área mínima da seção transversal dos enrijecedores:
( )( )( ) ( 21 1.15 0.71 1400 / 2000 2.4 1400 1− )
st1 265269 / 374100A
22.47 2611.2 mm
−=
=
2
1 0.7114001.15 12000
η = =⎛ ⎞+ ⎜ ⎟⎝ ⎠
, tem-se
- a largura do enrijecedor foi obtida acima, tentar h=202.73 mm:
- se a relação largura/espessura =15.75 e a área 2st mm 2611.2 =A
h / b 15.75 h 15.75b5.75b 2611.2
b 12.87 mm; h=202.73 mm
= ⇒ ==
= area bh 2611.2 b1= = ⇒
h / b 15.75 202.73 /12.87 15.75< ⇒ =
- momento de inércia (deve ser maior que 4 4
4h 2000 2560000 mm50 50
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
):
( )( )( )22 39144108=2/47.12+2/73.20273.20287.12+
12=)d 4
33
mm 76.73.20287.12
Aceitar enrijecedores transversais constituídos de 1 chapa somente de um lado da alma de
(bh+12bh
-
12.87 x 202.73 mm para as regiões com espaçamento a=800 mm e a=1400 mm.
8.2.3.2.3 Interação entre momento fletor e força cortante - item G-3
d d'
b n v n
M V0.625 1.375M V
+ ≤φ φ
293
( ) ( )887800 1792660.625+ 1.185 1.375
0.9 1201410 0.9 342539= ≤
a viga esbelta dimensionada
por PFEIL (1989, p. 164), seguindo os critérios de cálculo do Projeto de Revisão da Norma
800 – Projeto e execução de estruturas de aço e de estruturas mistas aço-concreto de
A estudo de vigas esbeltas.
.1
- De acordo com o contido nesta parte da norma, analisando a viga por PFEIL (1989), a maior
relação a/h, é 1400/2000 que dá um valor de 0.70, que é menor que 1.5 fixado na norma, neste
8.2.4 Verificação segundo a PNBR 8800/03
Nesta parte, será feita a verificação das dimensões d
Brasileira. Na verificação serão utilizados os anexos F e G do Projeto de Revisão da NBR
8
edifícios ( BNT, 2003), que tratam do
8.2.4.1 Momento fletor resistente característico de vigas esbeltas - anexo F (normativo)
8.2.4.1 Generalidades – item F.1
caso, maxλ pode ser tomado igual a yf/E7,11 . Faze utilização desta equação,ndo a
substituindo os valores de E e usados no dimensionamento da viga, obtém-se: yf
( ) 04.335=250/2050007,11=f/E7,11=λ ymax
onde pode-se observar que é um valor maior que a relação wt/h=λ da viga calculada qu
λ
e é:
portanto, observa-se que este parâmetro de esbeltez da viga dimensionada não ultrapassa o
limite imposto pela norma brasileira, o que indica que este parâmetro pode ser considerado.
48.157=7.12/2000=t/h= w
- com base no item F.1.2 – Anexo F - PNBR 8800/03, viga esbelta deve ter a relação wt/h
superior a yf/E70,5
wh / t 5.7 205000 / 250 163.22λ = ≥ =
para a viga dimensionada por PFEIL (1989) se enquadra na categoria de vigas não-compactas.
ara esta se enquadrar na categoria de vigas esbeltas, o procedimento a se utilizar será a
a
P
redução n espessura da alma:
294
w w wh / t 163.22 2000 / t 163.22 t 12.25 mmλ = = ⇒ = ⇒ =
Considerar a redução na espessura da alma, de 12.7 mm para 12.25 mm.
8.2.4.1.2 Momento fletor resistente característico – item F.2
- Para o cálculo de é necessário o cálcu do módulo de resistência elástico em relação RkM lo
ao eixo de flexão, xtW , o qual será feito primeiramente para o escoamento da mesa
tracionada. O módulo de resistência elástico xtW é obtido pela seguinte fórmula:
fxt t+2/h
=W
onde xI é o momento de inércia
xI
da seção em relação ao eixo de flexão e h é a distância entre
as faces externas das mesas. O momento de inércia da seção em relação ao eixo x é calculado
a seguir:
- cálculo de xtW para o escoamento da mesa tracionada. O módulo de resistência elástico xtW
é obtido pela seguinte fórmula:
t
xIxt y
=W
onde é o momento de inércia da seção em relação ao eixo de flexão e é a distância
entre a face externa da mesa tracionada ao centro de gravidade. O centro de gravidade da
seção está a 111.95 mm acima da metade da altura livre da alma
xI ty
.
( )( ) ( )( )
( )( )( )
( )( )( )
( )( )( )2
3
23
23
23
x
2/75.31+95.111175.31600+12
75.31600+
2/95.111195.11125.
2/05.88805.88825.12+12
05.88825.12+
2/45.44+05.88845.44600+12
45.44600=I
então pode-se calcular o valor de
112+12
95.111125.12+
4x mm 05480988405=I
xtW :
3
t
xxt mm 11.47923305=
75.31+95.111105480988405
=yI
=W
- cálculo de xcW :
295
3
c
xxc mm 55.58777355=
45.44+05.88805480988405
=yI
=W
- cálculo de rp λ e λ ,λ :
( ) ( )( ) 433
y 12+
12=I mm 9.800145343=
25.123/05.88860045.44
a área da seção considerada será:
portanto, o raio de giração a calcular será
( ) ( ) 2mm2.30296=3/05.88825.12+60045.44=A
:
mm 34.162=2.30296
9.800145343=rT
.
a) estado limite: flambagem lateral com torção (FLT):
1=Cb
6.61=34.162
10000=
rL
=λT
b
40.50=250
20500076.1=
fE
76,1=λy
p
14.127=205000
44.4=EC
44,4=λ b 250f y
r
b) estado limite de flambagem local da me a comprimida (FLM)
MPa 9.2023268=205000π=ECπ=C 2b
2pg
s
( ) 75.6=45.442
600=
t2b
=λf
f
88.10=250
20500038.0=
fE
38,0=λy
'p
87.22=35.0/250
20500035.1=
k/fE
35.1=λcy
'r
c wk 4 / h / t 4 / 163.22 0.313= = =
5
são a largura total e a espessura, respectivamente, da mesa comprimida.
- cálculo de :
Considerar k 0c .3=
( ) MPa 63140=35.020500088.0=Ek88,0=C cpg
f t e b f
crσ
296
- para o estado limite de flambagem lateral com torção (FLT)
para p rλ < λ ≤ λ
cr61.6 50.40⎡ − ⎤⎛ ⎞f 025 1 0.5 231.76 MPa
127.14 50.40= − =⎜ ⎟⎢ ⎥−⎝ ⎠⎣ ⎦
- para o estado limite de flambagem local da me comprimida (FLM) sa
para pλ ≤ λ
MPa 250=f=f ycr
- cálculo de :
- como deve ser o menor valor obtido entre os dois estados limites, considerar
pgk
crf
MPa. 76.231=σ cr
( ) ( )( )))((( )pg
12.25 2000 / 44.45 600 205000k 1 163.22 5.7 1.00231.761200 300 12.25 2000 / 44.45 600+
⎛ ⎞= − − =⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
- cálculo de :
a) para escoamento da mesa tracionada
b) para flambagem
.2.4.2 Força cortante resistente característica incluindo o efeito do campo de tração -
.2 da PNBR 8800/03, será calculado o valor de
para a viga em questão:
Primei :
nM
( )n xt pg y
3 2
M W k f
305.11 mm 25.0 kg/mm
1198082628 kgmm
=
=
47923=
( )n xc pg cr
3 2
M W k f
58777355.55 mm 23.14 kg/mm
=
=
1360108007 kgmm=
8
anexo G (normativo)
8.2.4.2.1 Força cortante resistente característica – item G.1
- Com base nas considerações do item 5.4.3.2
plV ,
ramente, deve ser calculado o valor de wA
297
( ) 2ww mm 24500=25.122000=dt=A
Então, o valor de plV pode ser calculado:
( ) kgf 367500=kgf/mm 5.02mm 245006.0=fA6.0=V 22ywpl
- como se pode observar na viga que foi dimensionada por PFEIL (1989), existem dois
espaçamentos diferentes ao longo da mesma. Os painéis extremos do vão, ou painéis finais,
têm os espaçamentos, a = 800 mm, entre os enrijecedores, e na região central do vão, o
espaçamento a = 1400 mm. A partir de agora, serão efetuados os cálculos para cada um destes
espaçamentos, que estão situados nestas duas regiões distintas, a das extremidades da viga e a
sistente característica nestes dois
painéis. O valor de será calculado para cada configuração da viga:
- para os painéis finais (espaçamento a = 800 mm):
parte central do vão, para se verificar a força cortante re
η
2
1 0.73η = = 8001.15 12000
⎛ ⎞+ ⎜ ⎟⎝ ⎠
- para os painéis centrais do vão (espaçamento a = 1400 mm):
20.71= =
1
1400η
⎛ ⎞
os m 4.3.2.1 da NBR 8800.
s espaçamentos situados nas duas regiões
tral do vão, para se verificar a força cortante
resistente característica nestas duas configurações:
para a = 800 mm (painéis finais):
1.15 12000
+ ⎜ ⎟⎝ ⎠
Os parâmetr λ , e as dimensões a e h são definidos no ite 5. rp e λ ,λ
- Utilizando as equações do item 5.4.3.2.1 da PNBR 8800/03, será necessária a obtenção dos
parâmetros rp λ e λ ,λ . Deve-se primeiramente calcular o valor de vk :
- será efetuado o cálculo de k para cada um dov
distintas, a das extremidades da viga e a parte cen
a/h=800/2000=0.40
( ) 25.36=40.05
+5=h/a
5+5=k 2v 2
para a=1400 mm (painéis do centro do vão):
a/h=1400/2000=0.70
( ) 2.15=70.05
+5=k 2v
298
Com os valores de vk calculados, pode-se obter os valores dos parâmetros , para
cada configuração:
Painéis finais:
rp λ e λ ,λ
26.163=25.12
2000=
th
=λw
( )65.189=
25020500025.36
10,1=f
Ek10,1=λ
y
vp
( )2.236=37.1=37.1=λ
, portanto, para o cálculo da
força cortante resistente característica, de acordo com o item 5.4.3.2.1 – PNBR 8800/03, ,
uação:
al ao cortante dos p
ação do
ampo e traç passa o cortante solicitante, , quer
dizer que o espaçamento a = 800 mm para os painéis extremos pode ser considerado.
Para os painéis centrais
25020500025.36
fEk
y
vr
com os valores dos parâmetros calculados, observa-se que pλ<λ
RkV
usa-se a seguinte eq
kgf 367500=V=V plRk
Este valor obtido, kgf 367500=VRk , representa a resistência nomin ainéis
extremos, de espaçamento entre os enrijecedores a=800 mm, sem a utilização da
c d ão. Como este valor ultra kgf 11.179266=Vsd
: 26.163=th
=λw
( )8.122=
2502050002.15
10,1=f
Ek10,1=λ
y
vp
( )95.152=
25037.1=
f37.1=λ
yr
como , o cálculo da força cortante resistente característica é dado pela seguinte
equação:
2050002.15Ek v
rλ>λ
2
RkV 1.28 367500 266136.51 kgf163.26
⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠
Este valor, kgf 51.266136=VRk ,
122.8⎛
representa a resistência nominal ao cortante dos painéis
licitante de cálculo.
com espaçamento a = 1400 mm, sem a utilização da ação do campo de tração. Este valor é
maior que o so
299
- Cálculo da força cortante resistente característica incluindo o efeito do campo de tração para
- como
estes painéis:
rw
λ>th
=λ , a equação a ser utilizada para o cálculo de será a seguinte, vC
observando-se que este valor será calculado para as duas configurações da viga:
( ) y2
wv ft/h
vEk51,1=C
os:
Painéis extremos não devem ser calculados utilizando a ação do campo de tração.
- para a região do meio do vão:
- para a região próxima aos apoi
( )( ) 706.0=
25026.1632050002.15
- com os valores de plv V e η ,C calculados, podem ser obtidos os valores d
51,1=C 2v
a força cortante
sisten nfigurações da viga que formam o sistema de
Painéis extremos não devem ser calculados utilizando a ação do campo de tração.
- para a região do meio do vão
re te característica para cada uma das co
resistência ao cortante, que é dependente do espaçamento dos enrijecedores:
- para as regiões próximas aos apoios:
pλ>λ :
( )Rkt vV C 1 C V= +η −⎡ ⎤⎣ ⎦ v pl
( )RktV 0.706 0.71 1 0.706 367500 336166.95 kgf= + − =⎡ ⎤⎣ ⎦
este valor obtido, kgf 95.336166=VRkt representa a resistên para a região
com espaçamento a = 1400 mm entre os enrijecedores, utilizando a ação do campo de tração
cia nominal da viga
.
pa te de cálculo, , o que indica
e nte.
- de acordo com o item 5.4.3.2.3 – PN
e
Este valor ultra ssa a força cortante solicitan kgf 11.179266=Vsd
que o dim nsionamento foi satisfatório quanto ao requerimento de força cortante solicita
8.2.4.2.2 Exigências e limitações referentes ao uso do campo de tração – item G.2
BR 8800/03, deve-se fazer a verificação quanto a
relação largura/espessura, sendo necessária também a obtenção d
75.15=250/20500055,0=f/E55,0 y . Para os dois painéis distintos, o da região próxima
aos apoios e o da região do meio do vão, será a seguir calculada a relação largura/espessura:
300
- ase nesse item b, as dimensões a serem verificadas aqui devem ser aqcom b uelas calculadas
para a região próxima ao
ou , ou seja, este valor não ultrap
ode ser considerado. Tentando primeirame
pela LRFD, ou seja,
s apoios e do meio do vão:
enrijecedores: 1 placa de 12.7 x 200 mm ou 1 placa de 9.5 x 150 mm.
a relação largura/espessura para os enrijecedores desta região será ( ) 75.15>79.15=5.9/150
assa o valor fixado pela norma,
nte fazer o cálculo de stA
( ) 75.15<748.15=7.12/200
o que pode indicar que p
de acordo com o item G.2.2 – Anexo G – PNBR 8800/03 tem-se:
( ) 2Sdst r s w v w
Rd
VA 0.15D ht 1 C 18tV
⎡ ⎤= α − −⎢ ⎥
⎣ ⎦
fazendo o levantamento dos valores contidos na fórmula, tem-se que:
( )( ) ( ) ( ) ( )2180st
2
A 0.15 2.4 2000 12.47 1 0.706 18 12.47266.1/1.10
1013.4 mm
= − −
= −
este valor negativo pode indicar que enrijecedores não são requeridos.
o momento de inércia da seção de um enrijecedor singelo ou de um par de enrijecedores (um
de cada lado da alma) em relação ao eixo no plano médio da alma não pode ser inferior a
, onde ≥ ;
4
>
jat3w ( )2j 2.5 / a / h 2 0.5⎡ ⎤= −⎣ ⎦
( )3 3st wI jat 3.10 1400 12.47 8415677.6 mm≥ = =
( ) ( )2 2j 2.5 / a / h 2 2.5 / 1400 / 2000 2 3.10 0.5⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − = − =⎣ ⎦ ⎣ ⎦
( )( )( )2
23
st
2/47.12+2/73.20273.20287.12+12
)d(bh+bh
=I
nicas com dimensões de 12.87 x 202.73
373.20287.12=
12
4mm 76.39144108=
Usar enrijecedores transversais, em chapas ú
mm cada.
- O efeito do campo de tração não se aplica a painéis extremos da alma, a painéis com
aberturas, nem a painéis adjacentes a estes últimos.
simples, - O efeito do campo de tração não se aplica a solicitações diferentes da flexão normal
sendo que deve ser verificada a interação entre a força cortante e o momento fletor, conforme
5.4.3.2.4.
301
Interação entre força cortante e momento fletor - item 5.4.3.2.4 - PNBR 8800/03
- será feito aqui, com base no item 5.4.3.2.4 - PNBR 8800/03, a verificação da interação entre
força cortante e momento fletor:
Sd Sd
Rk Rkt
M V0.625 1.375M / V /
+ ≤γ γ
887800000 179266.110.625 1.278 1.3751198082628 /1.10 266136 /1.10
+ = ≤
visão da Norma
Brasileira de janeiro de 2007. Na verificação serão utilizados o anexo H e o item 5.4.3 do
o e
oncreto de edifícios (ABNT, 2007), que tratam do estudo de vigas esbeltas.
.2.5.1 Momento fletor resistente de cálculo de vigas esbeltas - anexo H (normativo)
9), a maior
relação a/h, é 1400/2000 que tem o valor de 0.70, que é menor que 1.5 fixado na norma, neste
caso, pode ser tomado igual a
8.2.5 Verificação segundo a PNBR 8800/07
Nesta parte, será feita a verificação das dimensões da viga esbelta dimensionada
por PFEIL (1989, p. 164), seguindo os critérios de cálculo do Projeto de Re
Projeto de Revisão da NBR 8800 – Projeto de estruturas de aço e de estruturas mistas de aç
c
8
8.2.5.1.1 Generalidades – item H.1
- De acordo com o contido nesta parte da norma, analisando a viga por PFEIL (198
maxλ yf/E7,11 . Fazendo a utilização desta equação,
nto da vi
substituindo os valores de E e f usados no dimensioname ga, obtém-se: y
( ) 04.335=250/2050007,11=f/E7,11=λ ymax
onde pode-se observar que é um valor maior que a relação wt/h=λ da viga calculada que é
:
bserva-se q e este parâmetro de esbeltez da viga dimensionada não ultrapassa o
limite imposto pela norma brasileira, o que indica que este parâmetro pode ser considerado.
- com base no item H.1.1 – anexo H - PNBR 8800/07, viga esbelta deve ter a relação
superior a
48.157=7.12/2000=t/h=λ w
portanto, o u
wt/h
yf/E70,5
302
wh / t 5.7 205000 / 250 163.22λ = ≥ =
a viga dimensionada por PFEIL (1989) se enquadra na categoria de vigas não-compactas.
Para esta se enquadrar na categoria de vigas esbeltas, o procedimento a se utilizar será a
redução na espessura da alma:
pessura da alma, de 12.7 mm para 12.25 mm, de acordo com o
w w wh / t 163.22 2000 / t 163.22 t 12.25 mmλ = = ⇒ = ⇒ =
Considerar a redução na es
anexo H – PNBR 8800/07.
.2.5.1.2 Momento fletor resistente característico – item F.2
to da mesa
tracionada. O m resistência elástico é obtido pela seguinte fórmula:
8
- Para o cálculo de M é necessário o cálculo do módulo de resistência elástico em relação
ao eixo de flexão, xtW , o qual será feito primeiramente para o escoamen
Rk
ódulo de xtW
f
xxt t+2/h
=W
onde xI é o momento de inércia da seção em relação ao eixo de flexão e h é a distância entre
as faces e
I
xternas das mesas. O momento de inércia da seção em relação ao eixo x é calculado
esa tracionada. O módulo de resistência elástico
é obtido pela seguinte fórmula:
a seguir:
- cálculo de xtW para o escoamento da m xtW
t
xxt y
=W
onde xI é o momento de inércia da seção em relação ao eixo de flexão e ty é a distância
entre a face externa da mesa tracionada ao centro de gravidade
I
. O centro de gravidade da
seção está a 111.95 mm acima da metade da altura livre da alma.
( )( ) ( )( )
( )( )( )
( )( )( )
( )( )( )2
3
23
23
23
x
2/75.31+95.111175.31600+12
75.31600+
2/95.111195.111125.12+12
95.111125.12+
2/05.88805.88825.12+12
05.88825.12+
2/45.44+05.88845.44600+12
45.44600=I
303
4mm 0098 405x 548 8=I
então pode-se calcular o valor de xtW :
3
t
xxt mm 11.47923305=
75.31+95.111105480988405
=yI
=W
- cálculo de xcW :
3
cyx
xc mm 55.58777355=45.44+05.88805480988405
=I
=W
- cálculo de : rp λ e λ ,λ
( ) ( )( ) 433
y +12
=I mm 9.800145343=12
25.123/05.88860045.44
a área da seção considerada será:
portanto, o raio de giração a calcular será:
( ) ( 0.88825.12+60045.44=A ) 2mm2.30296=3/5
mm 34.162=2.30296
9.800145343=rT
a) estado limite: flambagem latera m torção (FLT):
1=Cb
l co
6.61=34.162
10000=
rL
=λT
b
40.50=250
20500076.1=
fE
76,1=λy
p
14.127=250
20500044.4=
fEC
44,4=λy
br
MPa 9.2023268=205000π=ECπ=C 2b
2pg
b) estado limite de flambagem local da mesa comprimida (FLM)
( ) 75.6=45.442
600=
t2b
=λf
f
88.10=250
20500038.0=
fE
38,0=λy
'p
87.22=35.0/250
20500035.1=
k/fE
35.1=λcy
'r
304
c wk 4 / h / t 4 / 163.22 0.313= = =
Considerar 5
o a largura total e a espessura, respectivamente, da mesa comprimida.
- para o e limite de f bagem lateral com torção (FLT)
para
ck 0.3=
( ) MPa 63140=35.020500088.0=Ek88,0= cg Cp
ff t e b sã
- cálculo de crM :
stado lam
p rλ < λ ≤ λ
crf 250 1 0.5 231.76 MPa127.14 50.40
= − =⎜ ⎟⎢ ⎥−⎝ ⎠⎣ ⎦ 61.6 50.40⎡ − ⎤⎛ ⎞
- para o estado limite de flambagem local da mesa comprimida (FLM)
para pλ ≤ λ
MPa 250=f=f ycr
:
- como deve ser o menor valor obtido entre os dois estados limites, considerar
- cálculo de pgk
crf
MPa. 76.231=σ cr
( ) ( )( )( ) ( )( )pgk 1
0= −
+
12.25 2000 / 44.45 600 205000163.22 5.7 1.00231.76120 300 12.25 2000 / 44.45 600
⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
- cálculo de
a) para escoamento da mesa tracionada
b) para flambagem
Força cortante resistente de cálculo – item 5.4.3
nM :
( )n xt pg y
3 2
M W k f
47923305.11 mm 25.0 kg/mm
gmm
=
=
1198082628 k=
( )n xc pg cr
3 2
M W k f
58777355.55 mm 23.14 kg/mm
1360108007 kgmm
=
=
=
8.2.5.2
305
Com base nas considerações do item 5.4.3.1.2 da PNBR 8800/07, será calculado o valor de
, para a viga em questão:
Primei :
ntos, que estão situados nestas duas regiões distintas, a das extremidades da viga e a
s espaçamentos situados nas duas regiões
istinta arte central do vão, para se verificar a força cortante
configurações:
para a = 800 mm (painéis finais):
a/h=800/2000=0.40
plV
ramente, deve ser calculado o valor de wA
( ) 2ww mm 24500=25.122000=dt=A
Então, o valor de plV pode ser calculado:
( ) kgf 367500=kgf/mm 5.02mm 245006.0=fA6.0=V 22ywpl
- como se pode observar na viga que foi dimensionada por PFEIL (1989), existem dois
espaçamentos diferentes ao longo da mesma. Os painéis extremos do vão, ou painéis finais,
têm os espaçamentos, a = 800 mm, entre os enrijecedores, e na região central do vão, o
espaçamento a = 1400 mm. A partir de agora, serão efetuados os cálculos para cada um destes
espaçame
parte central do vão, para se verificar a força cortante resistente característica nestes dois
painéis.
- Utilizando as equações do item 5.4.3.1.1 da PNBR 8800/07, será necessária a obtenção dos
parâmetros rp λ e λ ,λ . Deve-se primeiramente calcular o valor de vk :
- será efetuado o cálculo de vk para cada um do
d s, a das extremidades da viga e a p
resistente característica nestas duas
( ) 25.36=40.055
+5= 2
para a=1400 mm (painéis do centro do vão):
a/h=1400/2000=0.70
h/a+5=k 2v
( ) 2.15=70.05
+5=k 2v
ode-se obter os valores dos parâmetros , para
cada configuração:
Painéis finais:
Com os valores de vk calculados, p rp λ e λ ,λ
26.163=25.12
2000=
th
=λw
306
( )65.189=
25020500025.36
10,1=f
Ek10,1=λ
y
vp
( )2.236=37.1=37.1=λ
, portanto, para o cálculo da
força cortante resistente característica, de acordo com o item 5.4.3.1.1 – PNBR 8800/07, ,
uação:
al ao cortante dos p
ação do
ampo e traç assa o cortante solicitante, , quer
dizer que o espaçamento a = 800 mm para os painéis extremos pode ser considerado.
Para os painéis centrais:
25020500025.36
fEk
y
vr
com os valores dos parâmetros calculados, observa-se que pλ<λ
RkV
usa-se a seguinte eq
kgf 367500=V=V plRk
Este valor obtido, kgf 367500=VRk , representa a resistência nomin ainéis
extremos, de espaçamento entre os enrijecedores a=800 mm, sem a utilização da
c d ão. Como este valor ultrap kgf 11.179266=Vsd
26.163=th
=λw
( )8.122=
2502050002.15
10,1=f
Ek10,1=λ
y
vp
( )95.152=
25037.1=
f37.1=λ
yr
como , o cálculo da força cortante resistente característica é dado pela seguinte
equação:
2050002.15Ek v
rλ>λ
2
RkV 1.28 367500 266136.51 kgf163.26
⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠
Este valor, kgf 51.266136=VRk , representa a resistência nominal ao cortante dos painéis
com espaçamento a = 1
122.8⎛
400 mm, sem a utilização da ação do campo de tração. Este valor é
aior que o solicitante de cálculo, o que indica que o mesmo pode ser considerado, de acordo
8.2.6 Ver
m
com a PNBR 8800/07.
ificação segundo o Eurocode 3
307
Nesta parte será feita a verificação pela norma européia, o Eurocode 3: Design of
s and rules for buildings. O procedimento é similar às
utras etapas de verificação, utilizando as dimensões calculadas por PFEIL (1989), para se
fazer a verificação quanto às considerações da norma européia.
8.2.6.1 Momento fletor - item 5.4.5
steel structures – Part 1.1: General rule
o
97.0=250/235=f/235=ε y
- para as mesas:
( ) ( ) ( ) ( )( ) 374.0=43.097.04.28/45.44/300=kε4.28/t/b =λ σp
de acordo com o item 5.3.5 (3) do Eurocode 3, o fator de redução é menor que 1 para
1=ρ
ρ
673.0>λ p e é igual a 1 (ou seja, não há redução da largura efetiva) para p 0.673λ ≤ .
Tabela 5.3.3 - Eurocode 3:
1=ψ
( ) mm 300=3001=cρ=beff
- para a alma:
( ) ( ) ( ) ( )( ) 06.1=27.3097.04.28/47.12/2000=kε4.28/t/b=λ σp
( ) ( )2 2p p0.22 / 1.06 0.22 /1.06 0.75ρ = λ − λ = − =
tabela 5.3.2 (Eurocode 3): 1.25Ψ = −
( ) ( )( )22k 5.98 1 5.98 1 1.25 30.27σ = −Ψ = − − =
( )
mm 62.399=b6.0=bmm 42.266=b4.0=b
mm 04.666=05.88875.0=bρ=b
effe2
eff1e
ceff
308
44.45266.42
eixo centroidal
zona não-efetiva222.01
399.62
1111.95
31.75 31.75
2000
44.45
12.47
20.81
eixo centroidalda seção efetiva
600
600 Figura 8.2.3 – Medidas da seção efetiva para o cálculo do momento fletor resistente (medidas indicadas em mm).
- A seção efetiva e suas medidas estão representados na figura 8.2.3, com as reduções
calculadas acima de acordo com o Eurocode 3:
- cálculo d o centro de gravidade da seção efetiva:
( ) ( )( )( )
( )( )
( )( )
( ) ( )
( ) ( )( )( )ef
399.62 12.47 1111.95 31.75 399.62 / 2
600 31.75 31.75 / 2y
600 44.45
+ + +⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥+⎣ ⎦=
⎡ ⎤
600 44.45 2054
266.42 12.47 2031.75 266.42 / 2
1111.95 12.47 31.75 1111.95 / 2
12.47 266.42 399.62 1111.95
600 31.75
⎡ ⎤⎢ ⎥+ −⎢ ⎥⎢ ⎥
+ +
⎢ ⎥+ + +⎢ ⎥⎢ ⎥+⎢ ⎥⎣ ⎦
são obtidos pelas seguintes fórmulas:
mm 89.1122=yef
xcxt W e W
c
xxc
t
xxt y
I=W ;
yI
=W
onde é o momento de inércia da seção em relação ao eixo de flexão e ão as
distâncias entre as faces externas das mesas tracionada e comprimida ao centro de gravidade
da seção efetiva. O centro de gravidade da seção efetiva está a 91.14 mm acima da metade da
altura da alma.
xI ct y e y s
309
( ) ( )( )
( ) ( )(
( )( ))
( ) ( )( )( ) ( )( )
( ) ( )
32
32
3
2
32
600 44.45I 600 44.45 44.45 / 2 908.86
12.47 266.4212.47 266.42 908.86 266.42 2
1212.47 399.62 20.81
1212.47 399.62 20.81 399.62 20.81 / 2
12.47 1091.141.14 / 2
1091.
= + +
+ + −
+
+ + +
+ + ( )214 31.75 /+
então pode
x 12
/
+
12.47 1091.14 10912
+ +
3600 31.75600 31.75
122
4x mm 05419941252=I
-se calcular o valor de xtW :
( )3
t
x 5419941252=
I=Wxt mm 5.48267784=
1122.890
y
- cálculo de xcW :
3
c
xxc mm 14.56853922=
31.95305419941252
=yI
=
ento fletor resistente de projeto:
Seções transversais classe 4:
- de acordo com o calculado acima, o módulo de seção efetivo será o menor valor entre
W
- cálculo do mom
- item 5.4.5.2 - Eurocode 3 – flexão em torno de um eixo:
1MyeffRd,c γ/fW=M
xtxc observando que o coeficiente não será utilizado, pois se pretende obter a
resistência efetiva da peça:
W e W , 1Mγ
3eff mm 5.48267784=W
( )3 2c,RdM 48267784.5 mm 25.0 kg/mm 1206694612 kgmm∴ = =
de ci
8.2.6.2 Cisalhamento - item 5.4.6
- item 5.4.6(1) – a resistência plástica salhamento de projeto é fornecida por:
( ) 0MyvRd,pl γ/3/fA=V
310
onde é a área de cisalhamento. De acordo com o item 5.4.6(2), a área de cisalhamento é
btida como se segue:
ela à alma: .
vA
o
( )∑ wdtsubitem c) perfis I, H e seções caixão, soldados, com carga paral
( ) 2v mm 24940=47.122000=A
( ) ( ) kg 9.359977=3/0.2524940=γ/3/fA=V 0MyvRd,pl
- item 5.4.7 (Eurocode 3) – Cisalhamento e flexão
(2) Desde que o valor de projeto da força cisalhante não exceda 50% da resistência
plástica ao cisalhamento de projeto nenhuma redução precisa ser feita nos momentos
resistentes fornecidos no item 5.4.5.2 - Eurocode 3.
- cálculo de de acordo com o Anexo F – Eurocode 3:
SdV
Rd,plV
kg 179266=V>kg.7 Sd 935997=V Rd,pl
kg 179266=V>179988.94=kg/2 9.359977=2/V SdRd,pl
8.2.6.3 Flambagem lateral com torção de vigas - item 5.5.2
M cr
0.5
w tzcr 2 2
I L GIEIML I EI
22
z z
⎡ ⎤π= +⎢ ⎥π⎣ ⎦
- cálculo da constante de torsão
tI :
( ) ( )( ) ( )( )( ) 4333w
3ft mm 2.23415267=47.122000+1.386002
31
=ht+bt231
=I
- cálculo da constante torsiona l wI :
( )( ) ( ) 6112323
fw mm1013716=
2420006001.38
=24
hbt=I
- cálculo do segundo momento de área em relação ao menor eixo zI :
( ) ( ) 4333
w3
fz mm1371923183=
1247.122000
+126001.38
2=12ht
+12bt
2=I
ítico pa l da viga de
acordo com o item F.1.1 (1) – F.1 – Anexo F – Eurocode 3:
- cálculo do momento elástico cr ra flambagem lateral-torsiona crM ,
311
( )
( ) ( )( )
0.522w tz
cr 2 2z z
2
2
0.5
211
2
I L GIEIML I EI
205000 137192318310000
20500010000 23415267.213716 10 2 1 0.31371923183 205000 1371923183
⎡ ⎤π= +⎢ ⎥π⎣ ⎦
π=
⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟
+⎢ ⎥⎝ ⎠+⎢ ⎥π⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
kgmm .452845810729=Nmm 02790786979=M cr
- cálculo do parâmetro de esbeltez LTλ para flambagem lateral-torsional:
( ) 0.52
0.52LT pl,y crEW / M
205000 59060966 / 27907869790
65.44
⎡ ⎤λ = π⎣ ⎦
⎡ ⎤= π⎣ ⎦=
[ ][ ]( )( ) [ 0.50.565.44 / 93.9 235 / 250 48267784.5 / 59060⎡ ⎤=
⎣ ⎦ ]
LT LT 1 w/
966
0.65
λ = λ λ β
=
0.5
( ) 2LT LTLT LT0.5 1 0.2⎡ ⎤φ = +α λ − + λ⎢ ⎥⎣ ⎦
LT 0.522LTLT LT
1χ =
⎡ ⎤φ −λφ + ⎢ ⎥⎦
⎣
b,Rd LT w pl,y y M1M W f= χ β γ /
Nmm 9146745163=M Rd,b
8.2.6.4 Resistência à flambagem por cisalhamento – item 5.6
8.2.6.4.1 Método simples pós-crítico - item 5.6.3
(1) No método simples pós-crítico, a resistência de projeto deve ser obtida por:
cia ao cisalhamento simples pós-crítico deve ser determinada como se
segue:
Rd,baV
1MbawRd,ba γ/τdt=V
(2) A resistên baτ
312
- para espaçamento a=800 mm:
τ
ww
kε4.37t/d
=λ
97.0=250/235=f/235=ε y
( ) ( ) 38.37=2000/800/34.5+4=d/a/34.5+4=k 22τ
( ) 72.0=38.3797.04.37
47.12/2000=
kε4.37t/d
=λτ
ww
- quando w 0.8λ ≤ :
( ) ( ) MPa 34.144=3/250=3/f=τ ywba
- portanto, a resistência de projeto de flambagem por cisalhamento é calculada de acordo com
o ele ultrapassa o cortante solicitante, que é
ento de 800 mm para os painéis finais pode ser considerado.
para espaçamento a=1400 mm dos painéis centrais:
o subitem (1):
( ) kg 2.359884=43.1447.122000=γ/τdt=V 1MbawRd,ba
Este valor, kg 2.359884=V Rd,ba é o valor do cortante resistente para os painéis extremos sem
a ação do campo de tração. Com
kg , o espaçam179266=VSd
-
τ
wt/dw
kε4.37=λ
97.0=250/235=f/235=ε y
( ) 90.142000/1400/34.54k 2τ =+=
( )14.1
9.1497.04.37kε4.37λ w
w ==47.12/2000t/d
τ
=
- quando w 1.2λ ≤ :
[ ]( ) [ ]( ) MPa 9.1133/25014.1/9.03/fλ/9.0τ ywwba ===
- portanto, a resistência de projeto de flambagem por cisalhamento é calculada de acordo com
o subitem (1):
( ) kg 6.28406639.1147.122000γ/τdtV 1MbawRd,ba ===
8.2.6.4.2 Método do campo de tração - item 5.6.4
313
(1) No método do campo de tração, a resistência de projeto à flambagem por cisalhamento
deve ser obtida por: Rd,bbV
( ) ( )[ ] 1MbbwbbRd,bb γ/φsinσgt9.0+τdt=V w
- cálculo de conforme 5.6.4.1(2):
- para os painéis com espaçamento a=800 mm:
bbτ
ser calculados
utilizando a ação do campo de tração. Este painel foi verificado no item anterior pelo método
simples pós-crítico do Eurocode 3, onde foi obtida uma resistência nominal ao cisalhamento
g o que indica que sua resistência é satisfatória e o
s pain
- para os painéis com espaçamento a=1400 mm:
Os painéis com espaçamento a=800 mm entre os enrijecedores não devem
de kg 2.359884=V Rd,ba > k 179266=VSd
espaçamento a=800 mm para o éis extremos pode ser considerado.
( ) 2.1=5.134.37
=kε4.37
=λτ
w 97.047.12/2000t/d w
quando 25.1<λ<8.0 w :
( ) ( )( ) ( )
wbb yw1 0.8 0.8 f / 3
1 0.8 1.2 0.8 250 / 3 98.15 MPa
⎡ ⎤τ = − λ −⎣ ⎦
= − − =⎡ ⎤⎣ ⎦
- cálculo da força longitudinal na mesa, conforme 5.6.4.1(4) – Eurocode 3:
- cálculo da inclinação do campo de tração, conforme 5.6.4.2 – Eurocode 3:
( ) ( ) o55=rad 96.0=1400/2000arctan=a/darctan=Θ o67.36=rad 64.0=5.1/96.0=5.1/Θ=φ
Sd,fN
kg 06.439787=1.38+2000t+d f
Sd,f
- cálculo do momento plástico reduzido Nf ,RkM da mesa, conforme 5
896330000=
M=N sd
.6.4.1(4) – Eurocode 3:
( ) 22Nf ,Rk f yf f ,Sd f yf M0M 0.25bt f 1 N / bt f /⎡ ⎤⎡ ⎤= − γ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
2
kgmm
( )( ) ( )( )Nf ,Rk 0.25 600 31.75 25.0 1 439787.06 / 600 31.75 25.02
M
556690.1
⎡ ⎤⎡ ⎤= − ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦ =
- cálculo da resistência do campo de tração , conforme 5.6.4.1(1) – Eurocode 3: bbσ
( ) ( ) MPa 0.141rad 64.sin15.985.1φ2sinτ5.1Ψ bb ===
314
[ ]( )[ ]MPa 25.90σ
0.1410.14115.983250
ΨΨτ3fσ
bb
5.0222
5.022bb
2ywbb
=−+−=
−+−=
- cálculo dos comprimentos de ancoragem do campo de tração ao longo das mesas
comprimidas e tracionadas, conforme item 5.6.4.1(3) – Eurocode 3:
( ) ( ) mm4.23503.947.121.556690
64.0sin2s
8.0
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
- cálculo da largura g do campo de tração, conforme 5.6.4.1(3) – Eurocode 3:
( )( ) ( ) (mm
φsinssaφcosdg tc −−−=)
3.1049g64.0sin4.2354.235140064.0cos2000
=
−−−=
1400
20001049.3
36.67
36.67
235.4
235.4 Figura 8.2.4 – Desenho da largura g do campo de tração para os painéis centrais (medidas em mm).
or cisalhamento deve ser obtida por:
- a resistência de projeto à flambagem p Rd,bbV
( ) ( )[ ]( )( ) ( )( )
kN 6.3082V64.0sin25.9047.123.10499.015.9847.122000
γ/φsinσgt9.0τdtV
Rd,bb
1MbbwbbwRd,bb
=+=
+=
( )
nto fletor e força axial – item 5.6.7
8.2.6.5.1 Método simples pós-crítico – item 5.6.7.2
8.2.6.5 Interação entre força cortante, mome
315
- cálculode Rd,fM , de acordo com o item 5.6.7.2(1) (Eurocode 3):
yfxRd,f FZ=M
- cálculo de , que é o módulo plástico da seção somente das m sas:
- módulo plástico somente das mesas:
- de acordo com o item 5.6.7.2(1) (Eurocode 3), a seção transversal pode ser assumida
satisfatória, sem investigar o efeito da força cortante na resistência de projeto ao momento, se
ambos os seguintes critérios são satisfeitos:
de acordo com o item 5.6.7.2(3) (Eurocode 3), quando excede 50% de o seguinte
io deve ser satisfeito:
exZ
( ) ( ) 3f,pl mm 4.44327597=1315.831.75600+722.245.44600=W
( ) kg.mm 1108189935=0.254.44327597=M Rd,f
SdM ≤ f ,Rd Sd ba,RdM e V V≤
- para o caso em análise, kg 270100=V Rd,ba
SdV Rd,baV-
critér
( ) ( )2
Sd f ,Rd pl,Rd f ,Rd Sd ba,RdM M M M 1 2V / V 1⎡ ⎤≤ + − − −⎣ ⎦
- cálculo de Rd,plM :
kgmm1454264935=M Rd,pl
( )SdM 1108189935 1454264935 110818≤ + −
( )( )2
Sd
9935
1 2 179266 / 270100 1
M 1415125195 kgmm
⎡ ⎤− −⎣ ⎦
≤
como , o critério de interação entre força cortante, momento fletor e
po de tração – item 5.6.7.3
kgmm 887800000=Msd
força axial utilizado pelo item 5.6.7.2 – Eurocode 3 foi satisfeito.
8.2.6.5.2 Método do cam
- cálculo da largura g do campo de tração, conforme 5.6.4.1(3) – Eurocode 3:
( )( ) ( ) ( )
c tg d cos a s s sin
2000cos 0.48 1400 sin 0.48g 1127.5 mm
= φ− − − φ
= −
=
316
- a resistência de projeto à flambagem por cisalhamento Rd,bwV deve ser obtida por:
( ) ( )[ ]( )( ) ( ) ( )( )[ ]
kgf 5.382388=V48.0sin57.2347.125.11279.0+81.947.122000=
γ/φsinσgt9.0+τdt=V
Rd,bw
1MbbwbbwRd,bw
o item 5.6.7.3 (4) diz que se for provido que SdV não exceda 50% de Rd,bwV a resistência de
projeto da seção transversal para o momento fletor e força axial não precisa ser reduzido para
permitir a força cortante.
Como kg179266=VSd , os requerimentos de interação entre força cortante e momento fletor
adotados pelo item 5.6.7.3 – Eurocode 3 foram satisfeitos para a viga dimensionada por
PFEIL (1989).
317
8.3 Exemplo 3
8.3.1 Dimensões propostas por NARAYANAN (1992, apud OWENS, KNOWLES E
DOWLING, 1992)
NARAYANAN (1992 apud OWENS, KNOWLES E DOWLING, 1992) propôs o
seguinte problema de dimensionamento:
2140 1280520
5201280 2140
15989 1598917458
Força cortante kN
Momento fletor kNm
300009350 11300 9350
760 kN 760 kN92 kN/m
Figura 8.3.1 (NARAYANAN, 1992 apud OWENS, KNOWLES E DOWLING, 1992) – Sistema estrutural em viga biapoiada solicitada por carregamento indicado e diagramas (medidas em mm).
1850 18502500 2500 2500 2500 2500 25002825 2825 2825 2825
30000
2 x 240 x 222 x 240 x 22
todos os enrijecedores intermediários2 x 80 x 13
700
50
50
2100
14
Figura 8.3.2 (NARAYANAN, 1992 apud OWENS, KNOWLES E DOWLING, 1992) – Detalhamento final das dimensões calculadas (medidas em mm).
318
A viga mostrada na figura 8.3.1 é totalmente restringida através do seu
comprimento. Para o carregamento mostrado projetar uma viga esbelta enrijecida em aço
Grade 43 ( )MPa 400=f MPa; 255=f uy . A altura da viga é irrestrita.
Neste exemplo é feita a verificação de uma viga esbelta proposta por
NARAYANAN (1992 apud OWENS, KNOWLES E DOWLING, 1992), onde ele deixa clara
a aplicação específica de vigas esbeltas em edifícios e com certa freqüência em pequenas
pontes de vãos médios. Na verificação dos cálculos executados, o autor utiliza os
procedimentos das normas BS 5950 Parte 1 e BS 5400 Parte 3. Estas dimensões serão
verificadas nos itens seguintes, através das normas utilizadas neste trabalho e também pelas
teorias propostas pelos diversos autores considerados.
8.3.1.1 Verificação da capacidade de carga ao momento-cortante usando a teoria de
JUHÁS (2001)
Neste item, as dimensões propostas por NARAYANAN (1992 apud OWENS,
KNOWLES E DOWLING, 1992), alterando-se apenas a espessura da alma, reduzindo-a de
14 mm para 12.47 mm, serão utilizadas para a verificação de sua capacidade de carga ao
momento-cortante, conforme a teoria proposta por JUHÁS (2001). De acordo com a figura
3.3.1.3, podem ser calculados os parâmetros, observando o detalhamento da figura 8.3.2:
1=f/f=m ywyf
para o cálculo de , serão considerados os espaçamentos a=1850 mm, a=2500 mm, e
a=2825 mm.
d/a=α
para a=925 mm, 463.02000/925d/aα ===
para a=2500 mm, 250.12000/2500d/aα ===
para a=2825 mm, 410.12000/2825d/aα ===
- cálculo de β :
4.16047.12/2000t/dβ w ===
- cálculo de : γ
wf A/A=γ
( ) 2f mm 35000=70050=A
( ) 2w mm2494047.122000A ==
319
40.124940/35000A/Aγ wf ===
- cálculo de :
- cálculo de :
do momento fletor totalmente plástico da seção transversal, utilizando a fórmula
3.3.1.2:
cálculo de (módulo plástico das mesas):
cálculo de (módulo plástico da alma):
o momento fletor totalmente plástico da seção transversal é:
)
δ
( ) 05.1=2000/100+2000=d/h=δ
0δ
( ) ( ) 025.1=2/05.1+1=2/δ+1=δ0
- cálculo
w,plywf Wf+,plyfw,plf,plpl Wf=M+M=M
f,plW
( ) ( )f,pl 71=1025507002=W 3mm 750000
w,plW
( ) ( ) 3w,pl mm 12470000500100047.122W ==
( )( 1247000071750000250WfWfM w,plywf,plyfpl
+=
+=
kNm0.21055M pl =
se da, utilizar as equações 3.3.1.5 e 3.3.1.6 para efetuar o cálculo de
- cálculo de :
Pode-se, em gui bM :
0ξ
( )( ) 40.06
025.140.161200017458000
2140ξ2
0 =+
=
( ) 22.140.031ξ 2 =+=
( )( ) ( ) ( )( )( )32b 22.13/025.122.1/1025.140.1412470000250M −+=
kNm5.19848 M b =
Da equação 3.3.1.10 tem-se a força cortante totalmente plástica:
- cálculo da força cortante última Mu,V :
( ) kN78.35993/47.1220002503/AfV wyw ==pl =
- cálculo de (equação 3.3.1.9): 1ξ
426.040.022.1
arcsin3
ξ1 =−= 122.1 2
320
- cálculo de primeiramente através da equação 3.3.1.7: Mu,V
( )( )( )
( )
( ) ( )( ) ( ) 022.1
40.03426.022.1025.140.1925.2
322.140.040.06426.0025.140.195.1
78.3599V
78.3599V
2
2
222M,u
2M,u
=−+
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
pode-se encontrar Mu,V :
kN 1946V M,u =
- cálculo de através da equação 3.3.1.8: Mu,V
( )( ) (( )
)
( )( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) 022.1
025.140.15.440.025.2+
40.03426.0426.022.1
40.09426.0025.140.1975.378.3599
V322.140.0
40.09426.0025.140.195.178.3599
V
78.3599V
3
322
222M,u
2222M,u
3M,u
=−−
−+−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
resolvendo esta equação encontra-se:
kN 8.2787V M,u =
De acordo com JUHÁS (2001), é necessário usar as equações 3.3.1.7 e 3.3.1.8 para calcular a
força cortante última Mu,V . O menor valor é válido. Mu,V é a força cortante última
depende do momento fletor M agindo na seção transversal. O momento fletor últ Vu,M
depende da força cortante V agindo n
que
imo
a seção transversal. O momento fletor último
ser calculado pela equação 3.3.1.11:
pode Vu,M
( )( )( ) 025.140.41
025.140.16140.033
278.3599
194621055M 2
V,u
++
= 1
kNm 9.15965= M V,u
- cálculo da relação ( )limplMu, V/V através da equação 3.3.1.12:
( ) ( )2u,M pl lim
V / V 0.25 0.48 1.26= − +
321
( ) 84.0=V/VlimplMu,
onde pode-se calcular o valor de limM,u,V :
( ) 96.339481=19.40414584.0=V kg=3394.8 kN
JUHÁS(2001) observa que é evidente das f 1.5 e 3.3.1.6 que se a força cortante
limM,u,V<V , então a força cortante influencia o momento fletor último Vu,M
desprezivelmente, mas se a força cortante limM,u,V>V , então a força cor influencia o
momento fletor último Vu,M significan me
M.limu,
iguras 3.3.
tante
te ento da força cortan
propo ão
nor que a proporção lim
nte. Com o increm te V o
deveria ser momento fletor último Vu,M decresce rapidamente. Para isto, a rç plV/V
me ite ( )limplMu, V/V .
porção De acordo com esta observação, podemos calcular a pro pl :
59.078.3599/2140V/V pl
V/V
==
onde se pode observar que o valor calculado de 59.0V/V pl = é menor que o limite
( ) 84.0=V/VlimplMu, , o que satisfaz os critérios de dimensionamento segundo JUHÁS (2001).
Para uma melhor aplicação prática, foram propostas algumas fórmulas de interação, as quais
serão verificadas. A fórmula de interação 3.3.1.13 é usada no caso de seções transversais
homogêneas:
170.021402140174584.117458 2222
=⎟⎞
⎜⎛+⎟
⎞⎜⎛
⎟⎞
⎜⎛−⎟
⎞⎜⎛
78.359978.35992105521055≤
⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝
onde se verifica que o valor obtido ficou abaixo de 1. Em eguida, utilizaremos as equações
3.3.1.14 e 3.3.1.15, as quais foram adaptadas da fórmula anterior:
s
( )( )
18.178.3599/214040.11
78.3599/214011.1φ 2
2
v =−−
=
será considerado o valor de . Em seguida, será utilizada a fórmula 3.3.1.14: v 1φ =
1.189.078.3599
21401.178.3599
214040.11 ≤=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−
2
Outra fórmula de interação que resulta da European Prestandard prEN 1993-1-1(2001) Design
of Steel Structures, Part 1.1: General Structural Rules é a equação 3.3.1.16:
lma
2
que indica que a fórmula foi satisfeita.
- cálculo do momento plástico da a w,plM :
322
( ) kNm 5.311712470000250M w,pl ==
substituindo na equação 3.3.1.16:
( ) 183.0178.3599
2140221055
5.31172105517458 2
≤=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+
Portanto, a viga dimensionada por NARAYANAN (1992, apud OWENS, KNOWLES E
OWLING, 1992) atende às condições da teoria de capacidade de carga ao momento-cortante
.3.1.2 Verificação da tensão crítica de cisalhamento usando a teoria de BLEICH
Tensão de cisalhamento crítica atuan na seção:
D
proposta por JUHÁS (2001).
8
(1952)
te
( )( ) MPa 80.85200047.12/2140000A/Vτ wsdxy ===
MPa 29.42σ1 =
- para os painéis adjacentes aos apoios, com espaçamento entre enrijecedores a=925
mm:
46.02000925
baα ===
49.080.8529.42
τσ
βxy
1 ===
( )( )
( ) MPa 87.1722000
47.123.0112
205000π24
bt
ν112Eπ24σ
2
2
2
2
2
2
c1
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−=o
( )( )( ) ⎟
⎠⎝⎠ 246.01
τ c =o
⎞⎜⎛ +⎟
⎞⎜⎝⎛
−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−=
2
2
2
2
2
2
2
c
34.542000
47.123.012
205000π
α34.54
bt
ν112Eπτ o
Este valor encontrado, , ultrapassa o valor do limite proporcional, que para
MPa 58.210
MPa 58.210τ c =o
o valor da tensão de escoamento é
( ) MPa 200=2508.0=σ p
323
deve-se então utilizar a fórmula da tensão crítica na extensão inelástica fornecida por
BLEICH (1952), que neste caso é a equação 5.24:
( )22
2i2 22
E t 124 3b 112 1
σ π ⎛ ⎞= κ β +⎜ ⎟ +β κ−ντ ⎝ ⎠
( )22.1
46.09
261
α9
261
24α/34.54
κ22
2
=+=+=+
=
( )( ) ( )
( )222
2
2
2i
22.149.011349.0
22.1242000
47.123.0112
205000πτ
σ
++
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−=
MPa 84.325σ i = τ
para a determinação de , deve-se antes utilizar a equação 5.3 para a determinação do valor
de
iσ
τ
( )( )
y c c
y p p
σ −σ στ =
σ −σ σ
como tensão de escoamento e adotando os valores de
.1 para os
la 8.2.
Fazendo , a tabela 8.2.2 fornece os valores de em função de
Considerando o valor de MPa250=f y
MPa 200σ p = e MPa 250σ y = na equação acima, pode-se utilizar a tabela 8.2
valores de cσ .
Utilizando os valores de τ calculados na tabela 8.2.1, pode-se obter a tabe 2.
ic σ=σ iσ τ/σ i . Para
os painéis finais com espaçamento a=925 mm, foi encontrado o valor de τ/σ i :
MPa 84.325τ
σ i =
e então pode-se utilizar as equações 5.25 para determinar os valores de :
Utilizando a tabela 8.2.2 pode-se determinar o valor de iσ :
MPa 50.228σ i =
c1c σ e τ
MPa 94.126349.0
50.228
3β 2 +
στ
2
ic =
+==
( ) MPa 20.6294.12649.0βτσ cc1 ===
324
Se for considerado o valor de , tem-se: 0=τ/σ=β xy1
( )( ) ( ) MPa2.47.12205000πσ 22
i ⎞⎛
Utilizando a tabela 8.2.2 pode-se determinar o valor de :
e então pode-se utilizar as equações 5.25 para determinar os valores de :
9365322.12420003.0112τ 2 =⎟
⎠⎜⎝−
=
iσ
MPa 60.232σ i =
c1c σ e τ
MPa 29.134360.232
3β
στ
2
ic ==
+=
0βτσ cc1 ==
Para os painéis de chapas com espaçamento a=2500 mm, na região central do vão:
( )( ) MPa 80.85200047.12/2140000A/Vτ wsdxy ===
MPa 29.42σ1 =
25.120002500
baα ===
49.080.8529.42
τσ
βxy
1 ===
( )( )
( ) MPa 87.1722000
47.123.0112
205000π24
bt
ν112Eπ24σ
2
2
2
2
2
2
c1
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−=o
( )( )( ) ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−=
2
2
2
2
2
2
2
2
c
25.1434.5
200047.12
3.0112205000π
α434.5
bt
ν112Eπτ o
M 90.56τ c =o Pa
O valor acima, MPa 90.56τ c =o , representa a tensão crítica de cisalhamento para
esta chapa em cisalhamento puro, considerando
suas dimensões e espaçamento entre
enrijecedores, na iminência de flambagem elástica.
( ) 33.025.161
92
α61
92
24α/434.5κ 22
2
=+=+=+
=
325
( )( )( ) ( ) ( )22
2
2
2
22
2
2
2
c
33.049.01133.024
200047.12
3.0112205000π
κβ11κ24
bt
ν112Eπτ
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−=
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−=
MPa 31.56τ c =
( ) MPa 60.2731.5649.0βτσ cc ===
Este valor, , representa a tensão crítica de cisalhamento, na
iminência de flambagem elástica, considerando a ação das tensões normais de compressão
resultantes da flexão se superpondo às tensões de cisalhamento.
MPa 31.56τ c =
MPa 60.27βτσ cc ==
Para os painéis de chapas com espaçamento a=2825 mm, na região central do vão:
( )( ) MPa 80.85200047.12/2140000A/Vτ wsdxy ===
MPa 29.42σ1 =
41.120002825
baα ===
49.080.8529.42
τσ
βxy
1 ===
( )( )
( ) MPa 87.1722000
47.123.0112
205000π24
bt
ν112Eπ24σ
2
2
2
2
2
2
c1
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−=o
( )( )( ) ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−=
2
2
2
2
2
2
2
2
c
41.1434.5
200047.12
3.0112205000π
α434.5
bt
ν112Eπτ o
MPa 96.52τ c =o
O valor acima, , representa a tensão crítica de cisalhamento para
esta chapa em cisalhamento puro, considerando suas dimensões e espaçamento entre
enrijecedores, na iminência de flambagem elástica.
MPa 96.52τ c =o
( ) 31.041.161
92
α61
92
24α/434.5κ 22
2
=+=+=+
=
326
( )( )( ) ( ) ( )22
2
2
2
22
2
2
2
c
31.049.01131.024
200047.12
3.0112205000π
κβ11κ24
bt
ν112Eπτ
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−=
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−=
MPa 98.52τ c =
( ) MPa 96.2598.5249.0βτσ cc ===
Este valor, , representa a tensão crítica de cisalhamento, na
iminência de flambagem elástica, considerando a ação das tensões normais de compressão
resultantes da flexão se superpondo às tensões de cisalhamento.
MPa 98.52τ c =
MPa 96.25βτσ cc ==
8.3.1.3 Verificação da tensão admissível de cisalhamento utilizando a teoria de YU
(1991)
Para a viga dimensionada no exemplo 3, pode-se utilizar a teoria proposta por YU
(1991) para verificar a força cortante admissível:
Para os painéis com espaçamento a=925 mm entre os enrijecedores:
( ) ( )96.28
2000/92534.54
h/a34.54k 22v =+=+=
para yv F/Ek38.1t/h ≤ ,
htF6.0EFkt64.0V yyv2
a ≤=
( ) 7.212250/20500096.2838.1 =
como h/t=2000/12.47=160.4<212.7,
( ) ( ) kN 1.383420500025096.2847.1264.0V 2a ==
O valor de deve se menor que kN 1.3834Va = ( ) ( ) kN 374147.1220002506.0htF6.0V ya ==≤
portanto, tem-se que
kN 3741Va =
O valor obtido acima representa a força cortante resistente do painel para flambagem elástica,
sem a ação do campo de tração. Como kN 3741Va = ultrapassa a força cortante solicitante,
, o espaçamento a=925 mm deve ser considerado, porque painéis extremos não
podem ser calculados utilizando a ação do campo de tração.
kN 2140Vsd =
327
Para os painéis com espaçamento a=2500 mm:
( ) ( )9.7
2000/2500434.5
h/a434.5k 22v =+=+=
para yv F/Ek38.1>t/h ,
v
3
a kht
E904.0=V
( ) 1.111250/2050009.738.1 =
como h/t=160.4>111.1,
( ) kN 4.14199.72000
205000904.0Va ==
O valor acima representa a força cortante resistente admissível para os painéis, para
flambage te valor, kN 4.1419Va
47.12 3
m elástica. Es = é menor que a força cortante solicitante de
cálculo, kN 2140Vsd = . Isto indica que a ação do campo de tração pode ser considerada para
o cálculo
Para os painéis com espaçamento a=2825 mm:
da força cortante resistente para estes painéis.
( ) ( )3.7
2000/2825434.5
h/a434.5k 22v =+=+=
para yv F/Ek38.1>t/h ,
v
3
a kht
E904.0=V
( ) 8.106250/2050003.738.1 =
como h/t=160.4>106.8,
( ) kN 6.13113.72000
205000904.0Va ==
O valor acima representa a força cortante resistente admissível para os painéis, para
flambage te valor, kN 6.1311Va
47.12 3
m elástica. Es = é menor que a força cortante solicitante de
cálculo, kN 2140Vsd = . Isto indica que a ação do campo de tração pode ser considerada para
o cálculo da força cortante resistente para estes painéis.
8.3.1.4 tica utilizando o método do
mpo de tensões principais de HÖGLUND (1998)
Verificação da força cortante resistente caracterís
ca
328
cr
vw τ
f=λ
A tensão crítica foi calculada de acordo com BLEICH (1952), no item 8.3.1.2, para painéis
com espaçamento a=925 mm.
MPa3.134τ cr =
MPa3.1443
2503
ff yw
v ===
04.13.1343.144λw ==
( ) ( ) 00.104.132
104.1411
04.13
λ321
λ411
λ3
fτ
24
4
2w
4ww
4
v
u
=−−=
−−=
O valor de 00.1fτ
v
u = pode ser verificado na figura 3.3.3.3, utilizando-se o valor de
. 04.1λw =
46.004.1/48.0λ/48.0ρ wv ===
o valor acima, , pode ser obtido pela tabela 3.3.3.1 e pela figura 3.3.3.4, utilizando-
se o valor de λ .
46.0ρ v =
04.1w =
( ) ( ) kN1.286847.12200025046.0thfρV wwywvw ===
Para painéis com espaçamento a=2500 mm:
A tensão crítica foi calculada de acordo com BLEICH (1952), no item 8.3.1.2, para painéis
com espaçamento a=2500 mm.
MPa9.56τ cr =
MPa3.1443
2503
ff yw
v ===
59.19.563.144λw ==
329
( ) ( ) 77.059.132
159.1411
59.13
λ321
λ411
λ3
fτ
24
4
2w
4ww
4
v
u
=−−=
−−=
O valor de 77.0fτ
v
u = pode ser verificado na figura 3.3.3.3, utilizando-se o valor de
. 59.1λw =
( ) ( ) 34.059.17.0/79.0λ7.0/79.0ρ wv =+=+=
o valor acima, , pode ser obtido pela tabela 3.3.3.1 e pela figura 3.3.3.4, utilizando-
se o valor de λ .
34.0ρ v =
59.1w =
( ) ( ) kN0.212047.12200025034.0thfρV wwywvw ===
Para painéis com espaçamento a=2825 mm:
A tensão crítica foi calculada de acordo com BLEICH (1952), no item 8.3.1.2, para painéis
com espaçamento a=2825 mm.
MPa0.53τ cr =
MPa3.1443
2503
ff yw
v ===
65.10.533.144λw ==
( ) ( ) 75.065.132
165.1411
65.13
λ321
λ411
λ3
fτ
24
4
2w
4ww
4
v
u
=−−=
−−=
O valor de 75.0fτ
v
u = pode ser verificado na figura 3.3.3.3, utilizando-se o valor de
. 65.1λw =
( ) ( ) 34.065.17.0/79.0λ7.0/79.0ρ wv =+=+=
o valor acima, , pode ser obtido pela tabela 3.3.3.1 e pela figura 3.3.3.4, utilizando-
se o valor deλ .
34.0ρ v =
65.1w =
( ) ( ) kN0.212047.12200025034.0thfρV wwywvw ===
330
8.3.2 Verificação segundo a LRFD
8.3.2.1 Limitações – item G1
(a) para a 1.5h≤ :
w yf
h 2000t f
≤
- adotando a conversão , teremos: ksi 23.36=MPa 250=Fyf
w
h 2000 335.38t 36.23
≤ =
De acordo com SALMON E JOHNSON (1996), vigas esbeltas devem ter o parâmetro de
esbeltez à flambagem local da alma:
yfr
w F970
=λ>th
=λ
Para este caso,
15.161=23.36
970=
F970
=λ>th
=λyf
rw
A viga calculada por NARAYANAN (1992, apud OWENS, KNOWLES E DOWLING,
1992) apresenta a espessura da alma de 14 mm. A partir desse instante, iremos considerar uma
redução na espessura da alma:
ww
h 2000161.15 335.36 t 12.41 mmt 161.15
= < ⇒ = =
A redução da espessura da alma de 14 mm para 12.41 mm pode ser considerada. Pode-se
observar que a viga dimensionada por NARAYANAN (1992, apud OWENS, KNOWLES E
DOWLING, 1992), após esta pequena modificação (redução) na espessura da alma, atende às
especificações da LRFD referentes a vigas esbeltas.
8.3.2.2 Resistência de projeto à flexão - item G2
- cálculo de para o escoamento da mesa tracionada. O módulo de resistência elástico
obtido pela seguinte fórmula:
xtS xtS é
331
t
xxt y
I=S
onde é o momento de inércia da seção em relação ao eixo de flexão e é a distância
entre a face externa da mesa tracionada ao centro de gravidade. O centro de gravidade da
seção está a meia da altura da alma.
xI ty
( )( ) ( )( )
( )12200041.12
+1025507002+12
250700=I
32
3
x
44x in. 4.196601=mm 08183166666=I
então pode-se calcular o valor de xtS :
33
t
xxt in. 9.4871=mm 4.79835772=
102508183166666
=yI
=S
- cálculo de xcS :
33
c
xxc in. 9.4871=mm 4.79835772=
102508183166666
=yI
=S
- cálculo de : rp λ e λ ,λ
- Calculando o valor de para a viga em questão, tem-se: Tr
Tr = raio de giração, relativo ao eixo de menor inércia, da seção formada pela mesa
comprimida mais um terço da região comprimida da alma
AI
=r yT
pois verifica-se que o eixo de menor momento de inércia da seção formada pela mesa
comprimida mais 1/3 da alma comprimida é o eixo que contém o plano médio da alma, ou
seja, o eixo y. Fazendo o cálculo do momento de inércia da porção citada da seção transversal
da viga em relação ao eixo y, tem-se:
( ) ( )( ) 4433
y in. 71.3433=mm 1429219757=12
41.123/1000+
1270050
=I
a área da seção considerada será:
( ) ( ) 22 in. 66.60=mm 7.39136=3/100041.12+70050=A
portanto, o raio de giração a calcular será:
in. 52.7=66.60
71.3433=rT
332
1=Cb .
a) estado limite: flambagem lateral com torção (FLT):
16.59=52.7
88.444=
rL
=λT
b
31.50=ksi 56.35
300=
F300
=λyf
p
78.126=ksi 56.35
756=
F756
=λyf
r
286000=Cpg
b) estado limite de flambagem local da me primida (FLM) sa com
( ) 99.6=969.1255.27
=t2
b=λ
f
f
9.10=56.35
65=
F65
=λyf
p
82.22=35.0/56.35
230=
k/F230
=λcyf
r
( ) 91700=35.026200=Cpg
316.0=38.160/4=t/h/4=k wc
la ura total e a espessura, respectivamente, da mesa comprimida.
- para o e limite de f bagem lateral com torção (FLT)
para
ff t e b são a rg
- cálculo de crF :
stado lam
p rλ < λ ≤ λ
crF 35.56 1 33.50 ksi2 126.78 50.31
= − =⎜ ⎟⎢ ⎥−⎝ ⎠⎣ ⎦ 1 59.16 50.31⎡ − ⎤⎛ ⎞
- para o estado limite de flambagem local da mesa comprimida (FLM)
para pλ ≤ λ
ksi 35.56=F=F yfcr
e
- como deve ser o menor valor obtido entre os dois estados limites, considerar
- cálculo d PGR :
crF
ksi 33.50=Fcr
333
( )PG0.71 970R 1 161.15 1.00
1200 300 0.71 33.50⎛ ⎞= − − =⎜ ⎟+ ⎝ ⎠
( )( ) 71.0=50700
41.122000=a r
- cálculo de : nM
a) para escoamento da mesa tracionada
( ) ft-kip 18.14445=12/ksi 35.58in. 9.4871=FS=M 3ytxtn
b) para flambagem
( ) ft-kip 72.13600=12/ksi 33.50in. 9.4871=FRS=M 3crPGxcn
O valor encontrado para o momento fletor resistente característico ultrapassa o momento
fletor solicitante de cálculo, pois o valor acima obtido pode ser convertido
e de acordo com a viga calculada
por NARAYANAN (1992, apud OWENS, KNOWLES E DOWLING, 1992), o valor do
momento fletor solicitante de cálculo tem o valor de
.
kNm 18803.6=kgmm 1880357098=ft-kip 72.13600=M n
ft-kip 12643.91= tm8.1745=kNm 17458=Msd
Aceitar as chapas das mesas de dimensões 700x50 mm p/ as mesas, de acordo com a LRFD.
8.3.2.3 Resistência de projeto ao cisalhamento com a ação do campo de tração – item
G3
- para a região dos painéis extremos, com espaçamento a=1850 mm entre os enrijecedores:
Como para painéis finais não se pode usar o efeito do campo de tração, utilizar a
LRFD – Formula (A-G3-1)
( ) ( ) 84.10=2000/1850
5+5=
h/a5
+5=k 22v
29.102=23.3684.10
187=Fk
187>16.161=th
yw
v
w
portanto, o valor de da viga ultrapassa o valor limite, e considerando o fato de que a
alma da viga proposta por NARAYANAN (1992, apud OWENS, KNOWLES E DOWLING,
1992) sofreu uma redução na sua espessura, de 14 mm para 12.41 mm, houve uma redução
em sua resistência nominal ao cortante, e tem também o fato de que para painéis extremos não
wt/h
334
deve ser considerada a ação do campo de tração, tentaremos diminuir o espaçamento a entre
os enrijecedores dos painéis finais.
Tentar diminuir o espaçamento a = 1850 mm para a = 925 mm e fazer a verificação.
Considerando a=925 mm,
( ) ( ) 37.28=2000/9255
+5=h/a
5+5=k 22v
47.165=23.3637.28
187=Fk
187<16.161=th
yw
v
w
De acordo com a LRFD – Apêndice G3,
para w vh / t 187 k / F≤ yw
ywwn FA6.0=V
( ) ( ) kgf 66.378874=kips 28.835=ksi 23.36.in 74.78in. 488.06.0=Vn =3788.7 kN
o valor obtido para a resistência de projeto ao cortante,
=3788.7 kN, representa a resistência nominal ao cortante sem a ação do campo de tração, o
que está de acordo com a LRFD - Apêndice G3 que diz que em painéis finais, a ação do
campo de tração não é permitida. A resistência de projeto ao cortante obtida acima ultrapassa
o valor da força cortante solicitante de cálculo fornecida por NARAYANAN (1992, apud
OWENS, KNOWLES E DOWLING, 1992) em seu projeto, que é
.
kgf 66.378874=kips 28.835=Vn
kips 09.481=kgf 27.218219=kN 2140=Vsd
Considerar o espaçamento a=925 mm para os painéis finais.
- para os painéis de espaçamento a=2500 mm:
( ) ( ) 2.8=2000/2500
5+5=
h/a5
+5=k 22v
32.111=23.362.8
234=Fk
234>16.161=th
yw
v
w
( )( )
( ) 38.0=23.3616.161
2.844000=
Ft/hk44000
=C 2yw
2w
vv
E a resistência nominal ao cortante sem a ação do campo de tração, de acordo com a LRFD é: ( )( ) ( ) kgf143974=kips41.317=38.023.36488.074.786.0=CFA6.0=V vywwn
Resistência nominal ao cortante com a ação do campo de tração – LRFD – Apêndice G3:
Para :F/k187>t/h ywvw
335
( )v
n w yw v 2
1 CV 0.6A F C1.15 1 a / h
⎛ ⎞−⎜ ⎟= +⎜ ⎟+⎝ ⎠
( )( )( )
n 2
1 0.38V 0.6 78.74 0.488 36.23 0.381.15 1 98.42 / 78.74
⎛ ⎞−⎜ ⎟= +⎜ ⎟+⎝ ⎠
kgf 271579.75=kips 73.598=Vn =2715.8 kN
Este é o valor da força cortante resistente de projeto, calculado de acordo com a LRFD -
Apêndice G, =2715.8 kN. O valor da força cortante
solicitante de projeto máxima para estes painéis tem o valor
kgf 271579.75=kips 73.598=Vn
kgf 200884.09=kips 87.442=kN 1970=Vsd
Considerar os painéis intermediários com espaçamento a=2500 mm na posição entre os
painéis finais e a carga concentrada, de cada lado.
- para os painéis de espaçamento a=2825 mm:
- cálculo de vC :
( ) ( ) 5.7=2000/2825
5+5=
h/a5
+5=k 22v
47.106=23.365.7
234=Fk
234>16.161=th
yw
v
w
( )( )
( ) 35.0=23.3616.161
5.744000=
Ft/hk44000
=C 2yw
2w
vv
Resistência nominal ao cortante com a ação do campo de tração – LRFD – apêndice G3:
Para :F/k187>t/h ywvw
( )v
n w yw v 2
1 CV 0.6A F C1.15 1 a / h
⎛ ⎞−⎜ ⎟= +⎜ ⎟+⎝ ⎠
( )( )( )
n 2
1 0.35V 0.6 78.74 0.488 36.23 0.351.15 1 111.22 / 78.74
⎛ ⎞−⎜ ⎟= +⎜ ⎟+⎝ ⎠
kgf 256346.39=kips 15.565=Vn =2563.5 kN
Este é o valor da força cortante resistente de projeto, calculado de acordo com a LRFD -
Apêndice G, =2563.5 kN. O valor da força cortante kgf 256346.39=kips 15.565=Vn
336
solicitante de projeto máxima para estes painéis tem o valor
kgf 24.30255=kips 9.116=kN 520=Vsd
Considerar os painéis intermediários com espaçamento a=2825 mm na posição entre as cargas
concentradas.
8.3.2.4 Enrijecedores transversais – item G4
Área do enrijecedor não deve ser menor que:
( )yw 2ust w v w
yst v n
F VA 0.15Dht 1 C 18t 0F V
⎡ ⎤= − −⎢ ⎥φ⎣ ⎦
≥
( )( )( ) ( ) ( )2 2st
443A 0.15 78.74 0.491 1 0.38 18 0.491 1.76 in.0.9 598
⎡ ⎤= − −⎢ ⎥⎣ ⎦
=
os enrijecedores calculados por NARAYANAN (1992, apud OWENS, KNOWLES E
DOWLING, 1992) têm a seguinte dimensão:
b=172 mm=6.77 in.; t=13 mm=0.512 in.; 2st in. 47.3=A
Item F2.3 – Apêndice F – LRFD:
( ) ( )2 2j 2.5 / a / h 2 0.5 2.5 / 72.83/ 78.74 2 0.92= − ≥ ⇒ − =
( ) 93.7=92.0491.083.72=jat 33w
momento de inércia dos enrijecedores:
( ) 43st in. 24.13=12/77.6512.=I
Os enrijecedores dimensionados por NARAYANAN (1992, apud OWENS, KNOWLES E
DOWLING, 1992) atendem às exigências da LRFD.
8.3.3 Verificação segundo a NBR 8800/86
8.3.3.1 Resistência de vigas esbeltas ao momento fletor - anexo F
8.3.3.1.1 Generalidades – item F-1
- De acordo com o contido no item F-1 do Anexo F – NBR 8800/86, analisando a viga
dimensionada por NARAYANAN (1992, apud OWENS, KNOWLES E DOWLING, 1992), a
maior relação a/h, é 2825/2000 que dá um valor de 1.413, que é menor que 1,5 fixado na
337
norma, neste caso, pode ser tomado igual a maxλ yf/E7,11 . Fazendo a utilização desta
equação, substituindo os valores de E e usados no dimensionamento da viga, obtém-se: yf
( ) 04.335=250/2050007,11=f/E7,11=λ ymax
onde pode-se observar que é um valor maior que a relação da viga calculada que é: wt/h=λ
86.142=14/2000=t/h=λ w
portanto, observa-se que o parâmetro de esbeltez λ da viga dimensionada não ultrapassa o
limite imposto pela norma brasileira, o que indica que este parâmetro pode ser considerado.
Também foi feita uma referência ao parâmetro , que é obtido de acordo com o
Anexo D desta norma. O parâmetro relativo ao estado limite de flambagem local da alma
(FLA) contido na tabela do Anexo D da NBR 8800/86, é obtido de acordo com a seguinte
fórmula:
rλ
rλ
36.160=250
2050006.5=
fE
6.5=λy
r
onde pode-se observar que , o que não satisfaz a condição e não enquadra a peça na
condição de vigas esbeltas. A viga dimensionada por NARAYANAN (1992, apud OWENS,
KNOWLES E DOWLING, 1992) é não-compacta para o parâmetro de esbeltez de flambagem
local da alma. Para que possamos prosseguir com a verificação considerando a viga como
viga esbelta, tentaremos modificar as dimensões da alma para que se tenha o valor
, onde conservaremos a altura da alma:
rλ<λ
36.160=λ
ww
h 2000160.36 t 12.47 mmt 160.36
λ = = ⇒ = =
portanto, para que possamos enquadrar a viga na categoria de vigas esbeltas, dimimuiremos a
espessura da alma da viga proposta por NARAYANAN (1992, apud OWENS, KNOWLES E
DOWLING, 1992), de 14 mm para 12.47 mm, e prosseguiremos com a verificação de acordo
com os anexos F e G da NBR 8800/86, que tratam de vigas esbeltas.
8.3.3.1.2 Resistência de cálculo – item F-2
- cálculo de para o escoamento da mesa tracionada. O módulo de resistência elástico
é obtido pela seguinte fórmula:
xtW xtW
338
t
xxt y
I=W
onde é o momento de inércia da seção em relação ao eixo de flexão e é a distância
entre a face externa da mesa tracionada ao centro de gravidade.
xI ty
( )( ) ( )( )
( )12200047.12
+1025507002+12
507002=I
32
3
x
4x mm 08187166666=I
então pode-se calcular o valor de xtW :
3
t
xxt mm 87.77973015=
105008187166666
=yI
=W
- cálculo de xcW :
3
c
xxc mm 87.77973015=
105008187166666
=yI
=W
- Cálculo de : 'r
'p λ e λ ,λ
- calculando o valor de para a viga em questão, tem-se: Tr
Tr = raio de giração, relativo ao eixo de menor inércia, da seção formada pela mesa
comprimida mais um terço da região comprimida da alma
AI
=r yT
pois verifica-se que o eixo de menor momento de inércia da seção formada pela mesa
comprimida mais 1/3 da alma comprimida é o eixo que contém o plano médio da alma, ou
seja, o eixo y. Fazendo o cálculo do momento de inércia da porção citada da seção transversal
da viga em relação ao eixo y, tem-se:
( ) ( )( ) 433
y mm 1429220531=12
47.123/1000+
1270050
=I
a área da seção considerada será:
( ) ( ) 2mm 67.39156=3/100047.12+70050=A
portanto, o raio de giração a calcular será:
mm 05.191=67.39156
1429220531=rT
339
1=Cb
a) estado limite: flambagem lateral com torção (FLT):
14.59=05.191
11300=
rL
=λT
b
11.50=250
20500075.1=
fE
75,1=λy
p
14.127=250
20500044.4=
fEC
44,4=λy
br
MPa 9.2023268=205000π=ECπ=C 2b
2pg
b) estado limite de flambagem local da mesa comprimida (FLM)
( ) 00.7=502
700=
t2b
=λf
f
88.10=250
20500038.0=
fE
38,0=λy
'p
91.24=250
20500087.0=
fE
87,0=λy
'r
( ) MPa 77900=20500038.0=E38,0=Cpg
ff t e b são a largura total e a espessura, respectivamente, da mesa comprimida.
- cálculo de crf :
- para o estado limite de flambagem lateral com torção (FLT)
para 'r
'p λ <λ<λ
'p
cr y ' 'r p
cr
cr
f f 1 0.5
59.14 50.11f 250 1 0.5127.14 50.11
f 235.34 MPa
⎡ ⎤⎛ ⎞λ −λ= −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟λ −λ⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ −⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎢ ⎥−⎝ ⎠⎣ ⎦=
⎤
- para o estado limite de flambagem local da mesa comprimida (FLM)
para 'pλ ≤ λ
MPa 250=f=f ycr
- cálculo de pgk :
340
- como deve ser o menor valor obtido entre os dois estados limites, considerar
crf
MPa. 34.235=fcr
( )( )pg
12.47 2000 205000k 1 0.0005 160.38 5.6 1.00700 50 235.34
⎛ ⎞= − − =⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
- cálculo de : nM
a) para escoamento da mesa tracionada
( ) kg.mm 1949325397=kg/mm 0.25mm 87.77973015=fkW=M 23ypgxtn
b) para flambagem
( ) kg.mm 1834705063=kg/mm 3.532mm 87.77973015=fkW=M 23crpgxcn
O momento nominal da viga é o menor entre os dois valores obtidos, ou seja,
.De acordo com a viga calculada por NARAYANAN
(1992, apud OWENS, KNOWLES E DOWLING, 1992), o valor do momento fletor
solicitante de cálculo tem o valor de 17458 kNm que convertido para toneladas metro tem o
valor de 1780.22 tm.
tm.711834=kg.mm 1834705063=M n
Aceitar chapas das mesas de dimensões 700x50 mm, de acordo com a NBR 8800/86.
8.3.3.2 Resistência à força cortante, incluindo o efeito do campo de tração – anexo G
8.3.3.2.1 Resistência de cálculo – item G-1
- Para a verificação da resistência à força cortante, incluindo o efeito do campo de tração, da
viga calculada por NARAYANAN (1992, apud OWENS, KNOWLES E DOWLING, 1992),
iniciaremos procedendo os cálculos de , de acordo com o ítem 5.5.2 da NBR
8800/86. A força cortante solicitante de projeto tem o seguinte valor:
rp λ e λ ,λ
tf22.218=kN 2140=V maxd (NARAYANAN, 1992 apud OWENS, KNOWLES E
DOWLING, 1992).
- para a região da viga com espaçamento a=1850 mm:
( ) 24.10=2000/185034.5
+4=k 2
38.160=47.12
2000=
th
=λw
341
( )96.98=
25020500024.10
08.1=fkE
08,1=λy
p
( )29.128=
25020500024.10
40.1=fkE
40,1=λy
r
de acordo com o item 5.5.2 da NBR 8800/86, para , rλ>λ2 2
pn pl
98.96V 1.28 V 1.28 374100 182312.58 kgf160.38
λ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟λ ⎝ ⎠⎝ ⎠
( ) ( ) kgf 374100=kg/mm 0.25mm 2000mm 47.126.0=fA6,0=V 2ywpl
O valor obtido acima, , representa o valor da força cortante
resistente nominal de cálculo, sem a ação do campo de tração. Este valor não ultrapassa o
cortante solicitante de cálculo, . Como para painéis finais não se deve usar a
ação do campo de tração, tentaremos reduzir o espaçamento entre os enrijecedores dos painéis
finais, de 1850 mm para 925 mm e novamente utilizar o item 5.5.2 da NBR 8800/86, que
calcula a força cortante resistente sem a ação do campo de tração:
tf182.31=kgf 58.182312=Vn
tf22.218=Vsd
- Considerando espaçamento a=925 mm para os painéis finais:
( ) 96.28=2000/92534.5
+4=k 2
38.160=47.12
2000=
th
=λw
( )42.166=
25020500096.28
08.1=fkE
08,1=λy
p
( )74.215=
25020500096.28
40.1=fkE
40,1=λy
r
de acordo com o item 5.5.2 da NBR 8800/86, para , pλ<λ
kgf 374100=V=V pln
( ) ( ) kgf 374100=kg/mm 0.25mm 2000mm 47.126.0=fA6,0=V 2ywpl
O valor obtido acima, > t , indica que o cortante resistente
sem a ação do campo de tração ultrapassa o cortante solicitante, então,
kgf 374100=Vn f22.218=Vsd
Considerar o espaçamento a=925 mm para os painéis finais.
- O item G-1 - Anexo G - NBR 8800/86 - Resistência de cálculo à força cortante, incluindo o
efeito do campo de tração, não deve ser usado para painéis extremos.
342
- para a região da viga com espaçamentos a=2500 mm:
( ) 90.7=2000/2500
4+34.5=k 2
38.160=47.12
2000=
th
=λw
( )92.86=
25020500090.7
08.1=fkE
08,1=λy
p
( )68.112=
25020500090.7
40.1=fkE
40,1=λy
r
de acordo com o item 5.5.2 da NBR 8800/86, para , rλ>λ2 2
pn pl
86.92V 1.28 V 1.28 374100 140649.02 kgf160.38
λ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟λ ⎝ ⎠⎝ ⎠
( ) ( ) kgf 374100=kg/mm 5.02mm 0002mm 2.4716.0=fA6,0=V 2ywpl
- de acordo com o item G-1 do Anexo G (NBR 8800/86), a resistência de cálculo à
força cortante, incluindo o efeito do campo de tração, é:
para r λ>λ
2 2p p'
n pl V 1.28 1 1.28 V⎧ ⎫⎡ ⎤λ λ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪= +η −⎢ ⎥⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟λ λ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭
2'n
' n
86.92 86.92V 1.28 0.543 1 1.28 374100160.38 160.38
V 267412.9 kgf
⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + −⎢ ⎥⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭
=
2
Onde:
2
1 0.54325001.15 12000
η = =⎛ ⎞+ ⎜ ⎟⎝ ⎠
A força cortante resistente característica ultrapassa a força
cortante solicitante de cálculo, , o que indica que o
dimensionamento do espaçamento a=2500 mm na região entre os painéis finais e a carga
concentrada, simetricamente, é satisfatório.
kgf 9.267412=V 'n
tf88.200=kN 1970=V maxd
- para a região da viga com espaçamentos a=2825 mm:
343
( ) 34.7=2000/2825
4+34.5=k 2
38.160=47.12
2000=
th
=λw
( )78.83=
25020500034.7
08.1=fkE
08,1=λy
p
( )61.108=
25020500034.7
40.1=fkE
40,1=λy
r
de acordo com o item 5.5.2 da NBR 8800/86, para , rλ>λ2 2
pn pl
83.78V 1.28 V 1.28 374100 130670.62 kgf160.38
λ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟λ ⎝ ⎠⎝ ⎠
( ) ( ) kgf 374100=kg/mm 5.02mm 0002mm 2.4716.0=fA6,0=V 2ywpl
- de acordo com o item G-1 do Anexo G (NBR 8800/86), a resistência de cálculo à
força cortante, incluindo o efeito do campo de tração, é:
para r λ>λ
2 2'n
' n
83.78 83.78V 1.28 0.502 1 1.28 374100160.38 160.38
V 252872.17 kgf
⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + −⎢ ⎥⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭
=
onde:
2
1 0.50228251.15 12000
η = =⎛ ⎞+ ⎜ ⎟⎝ ⎠
A força cortante resistente característica ultrapassa a força cortante
solicitante de cálculo, , o que indica que o dimensionamento do
espaçamento a=2825 mm na região entre os painéis finais e a carga concentrada,
simetricamente, é satisfatório.
kgf 17.252872=V 'n
tf03.53=kN 520=V maxd
Aceitar chapa da alma com altura h=2000 mm e espessura mm 47.12=t w , e espaçamento
entre enrijecedores a=925 mm nos painéis finais, a=2500 mm nos painéis situados entre os
painéis finais e as cargas concentadas e espaçamento a=2825 para os painéis situados entre as
cargas concentradas.
344
8.3.3.2.2 Exigências e limitações referentes ao uso do campo de tração - item G-2
- com estas considerações, pode-se proceder a verificação para as duas regiões da viga, a
região com espaçamento de 1850 mm e a região com espaçamento de 2500 mm entre os
enrijecedores:
- para a região com a=1850
- a relação largura/espessura dos elementos que formam os enrijecedores não pode
ultrapassar:
75.15=250
20500055.0=
fE
55,0y
os enrijecedores dimensionados por NARAYANAN (1992, apud OWENS, KNOWLES E
DOWLING, 1992) têm a seguinte dimensão:
b=172 mm; t=13 mm.
A relação largura/espessura é:
172/13=13.23
- O momento de inércia da seção de um enrijecedor singelo ou de um par de enrijecedores
(um de cada lado da alma) em relação ao eixo no plano médio da alma não pode ser inferior a
( )450/h .4 4
4h 2000 2560000 mm50 50
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
- calculo da área mínima da seção transversal dos enrijecedores:
( )( ) ( )
st
2
1 140649 / 374100A2
1 1.15 0.54 2500 / 2000 2500 12.47 2176.44 mm
−=
− =
2
1 0.5425001.15 12000
η = =⎛ ⎞+ ⎜ ⎟⎝ ⎠
- se a requerida área=2176.44, pode-se calcular a área do enrijecedor:
área = 13(172)=2236
- momento de inércia (deve ser maior que 4 4
4h 2000 2560000 mm50 50
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
):
( ) 4
33
mm 3.5512485=1217213
=12bh
345
portanto, o requerimento de momento de inércia foi satisfeito.
- Aceitar enrijecedores transversais constituídos de 2 chapas de 13 x 80 mm..
8.3.4 Verificação segundo a PNBR 8800/03
Nesta parte, será feita a verificação das dimensões da viga esbelta dimensionada
por NARAYANAN (1992, apud OWENS, KNOWLES E DOWLING, 1992), seguindo os
critérios de cálculo do Projeto de Revisão da Norma Brasileira. Na verificação serão
utilizados os anexos F e G do Projeto de Revisão da NBR 8800 – Projeto e execução de
estruturas de aço e de estruturas mistas aço-concreto de edifícios (ABNT, 2003), que tratam
do estudo de vigas esbeltas.
8.3.4.1 Momento fletor resistente característico de vigas esbeltas - anexo F (normativo)
8.3.4.1.1 Generalidades – item F.1
- De acordo com o contido nesta parte da norma, analisando a viga por NARAYANAN (1992,
apud OWENS, KNOWLES E DOWLING, 1992), a maior relação a/h, é 2825/2000 que dá
um valor de 1.41, que é menor que 1.5 fixado na norma, neste caso, pode ser tomado
igual a
maxλ
yf/E7,11 . Fazendo a utilização desta equação, substituindo os valores de E e
usados no dimensionamento da viga, obtém-se:
yf
( ) 04.335=250/2050007,11=f/E7,11=λ ymax
onde pode-se observar que é um valor maior que a relação da viga calculada que é: wt/h=λ
86.142=14/2000=t/h=λ w
portanto, observa-se que este parâmetro de esbeltez da viga dimensionada não ultrapassa o
limite imposto pela norma brasileira, o que indica que este parâmetro pode ser considerado.
- com base no item F.1.2 – Anexo F - PNBR 8800/03, viga esbelta deve ter a relação
superior a
wt/h
yf/E70,5
wh / t 5.7 205000 / 250 163.22≥ =
para a viga dimensionada por NARAYANAN (1992, apud OWENS, KNOWLES E
DOWLING, 1992) se enquadra na categoria de vigas não-compactas. Para esta se enquadrar
346
na categoria de vigas esbeltas, o procedimento a se utilizar será a redução na espessura da
alma:
w w wh / t 163.22 2000 / t 163.22 t 12.25 mmλ = = ⇒ = ⇒ =
Considerar a redução na espessura da alma, de 14 mm para 12.25 mm.
8.3.4.1.2 Momento fletor resistente característico – item F.2
- cálculo de para o escoamento da mesa tracionada. O módulo de resistência elástico
é obtido pela seguinte fórmula:
xtW xtW
t
xxt y
I=W
onde é o momento de inércia da seção em relação ao eixo de flexão e é a distância
entre a face externa da mesa tracionada ao centro de gravidade.
xI ty
( )( ) ( )( )
( )12200047.12
+1025507002+12
507002=I
32
3
x
4x mm 08187166666=I
então pode-se calcular o valor de xtW :
3
t
xxt mm 87.77973015=
105008187166666
=yI
=W
- cálculo de xcW :
3
c
xxc mm 87.77973015=
105008187166666
=yI
=W
- cálculo de : rp λ e λ ,λ
( ) ( )( ) 433
y mm 1429217730=12
25.123/2000+
1270050
=I
a área da seção considerada será:
( ) ( ) 2mm33.39083=3/100025.12+70050=A
portanto, o raio de giração a calcular será:
mm 23.191=33.39083
1429217730=rT
1=Cb .
a) estado limite: flambagem lateral com torção (FLT):
347
09.59=23.191
11300=
rL
=λT
b
40.50=250
20500076.1=
fE
76,1=λy
p
14.127=250
20500044.4=
fEC
44,4=λy
br
MPa 9.2023268=205000π=ECπ=C 2b
2pg
b) estado limite de flambagem local da mesa comprimida (FLM)
( ) 0.7=502
700=
t2b
=λf
f
88.10=250
20500038.0=
fE
38,0=λy
'p
87.22=35.0/250
20500035.1=
k/fE
35.1=λcy
'r
c wk 4 / h / t 4 / 163.22 0.313= = =
Considerar ck 0.3= 5
( ) MPa 63140=35.020500088.0=Ek88,0=C cpg
ff t e b são a largura total e a espessura, respectivamente, da mesa comprimida.
- cálculo de : crσ
- para o estado limite de flambagem lateral com torção (FLT)
para p rλ < λ ≤ λ
cr59.09 50.40250 1 0.5 235.84 MPa
127.14 50.40⎡ − ⎤⎛ ⎞σ = − =⎜ ⎟⎢ ⎥−⎝ ⎠⎣ ⎦
- para o estado limite de flambagem local da mesa comprimida (FLM)
para pλ ≤ λ
MPa 250=f=σ ycr
- cálculo de : pgk
- como deve ser o menor valor obtido entre os dois estados limites, considerar
crσ
MPa. 84.235=σ cr
348
( ) ( )( )( ) ( )( )pg
12.25 2000 / 50 700 205000k 1 163.22 5.7235.841200 300 12.25 2000 / 50 700
1.00
⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎜ ⎟+ ⎝ ⎠
=
- cálculo de : nM
a) para escoamento da mesa tracionada
( )n xt pg y
3 2
M W k f
77973015.87 mm 25.0 kg/mm
1949325397 kgmm
=
=
=
b) para flambagem
( )n xc pg cr
3 2
M W k
77973015.87 mm 23.53 kg/mm
1834705063 kgmm
= σ
=
=
O momento nominal da viga é o menor entre os dois valores obtidos, ou seja,
.De acordo com a viga calculada por NARAYANAN
(1992, apud OWENS, KNOWLES E DOWLING, 1992), o valor do momento fletor
solicitante de cálculo tem o valor de 17458 kNm que convertido para toneladas metro tem o
valor de 1780.22 tm.
tm.711834=kg.mm 1834705063=M n
Aceitar as chapas das mesas de dimensões 700x50 mm p/ mesas, de acordo com a
PNBR 8800/03.
8.3.4.2 Força cortante resistente característica incluindo o efeito do campo de tração -
anexo G (normativo)
8.3.4.2.1 Força cortante resistente característica – item G.1
- Com base nas considerações do item 5.4.3.2.2 da PNBR 8800/03, será calculado o valor de
, para a viga em questão: plV
Primeiramente, deve ser calculado o valor de wA :
( ) 2ww mm 24500=25.122000=dt=A
Então, o valor de pode ser calculado: plV
349
( ) kgf 367500=kgf/mm 5.02mm 245006.0=fA6.0=V 22ywpl
- como se pode observar na viga que foi dimensionada por NARAYANAN (1992,
apud OWENS, KNOWLES E DOWLING, 1992) existem três espaçamentos diferentes ao
longo da mesma. Os painéis extremos do vão, ou painéis finais, têm os espaçamentos, a =
1850 mm, entre os enrijecedores, e na região entre os painéis finais e a posição das cargas
concentradas, de cada lado, com espaçamento a=2500 mm, e a região central do vão, o
espaçamento a = 2825 mm. O valor de será calculado para cada configuração da viga: η
- para os painéis finais (espaçamento a = 1850 mm):
2
1 0.63818501.15 12000
η = =⎛ ⎞+ ⎜ ⎟⎝ ⎠
- para os painéis centrais do vão (espaçamento a = 2500 mm):
2
1 0.54325001.15 12000
η = =⎛ ⎞+ ⎜ ⎟⎝ ⎠
- para os painéis centrais do vão (espaçamento a = 2825 mm):
2
1 0.50228251.15 12000
η = =⎛ ⎞+ ⎜ ⎟⎝ ⎠
Os parâmetros , e as dimensões a e h são definidos no item 5.4.3.2.1 da NBR 8800. rp λ e λ ,λ
- Utilizando as equações do item 5.4.3.2.1 da PNBR 8800/03, será necessária a
obtenção dos parâmetros . Deve-se primeiramente calcular o valor de rp λ e λ ,λ vk :
- será efetuado o cálculo de para cada um dos espaçamentos situados nas duas
regiões distintas, a das extremidades da viga e a parte central do vão, para se verificar a força
cortante resistente característica nestas duas configurações:
vk
para a = 1850 mm (painéis finais):
a/h=1850/2000=0.925
( ) 84.10=925..05
+5=h/a
5+5=k 22v
para a=2500 mm (painéis centrais):
a/h=2500/2000=1.25
350
( ) 2.8=25.15
+5=k 2v
para a=2825 mm (painéis centrais):
a/h=2825/2000=1.413
( ) 5.7=413.15
+5=k 2v
Com os valores de calculados, pode-se obter os valores dos parâmetros ,
para cada configuração:
vk rp λ e λ ,λ
Painéis finais:
26.163=25.12
2000=
th
=λw
( )71.103=
25020500084.10
10,1=f
Ek10,1=λ
y
vp
( )16.129=
25020500084.10
37.1=f
Ek37.1=λ
y
vr
com os valores dos parâmetros calculados, observa-se que , portanto, para o cálculo da
força cortante resistente característica, de acordo com o item 5.4.3.2.1 – PNBR 8800/03, ,
usa-se a seguinte equação:
rλ>λ
RkV
2
Rk103.71V 1.28 367500 189823.07 kgf163.26⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠
Este valor obtido, , representa a resistência nominal ao cortante dos
painéis extremos, sem a utilização da ação do campo de tração. Como este valor não
ultrapassa o cortante solicitante, , indica que o espaçamento a = 1850 mm
para os painéis extremos não pode ser considerado. Tentar diminuir o espaçamento para
a=925 mm e novamente utilizar o item 5.4.3.2.1 – PNBR 8800/03:
kgf 189823.07=VRk
=Vsd tf22.218
- para os painéis finais (espaçamento a = 925 mm):
2
1 0.799251.15 12000
η = =⎛ ⎞+ ⎜ ⎟⎝ ⎠
para a = 925 mm (painéis finais):
a/h=925/2000=0.463
351
( ) 32.28=463.05
+5=h/a
5+5=k 22v
para os painéis finais:
26.163=25.12
2000=
th
=λw
( )63.167=
25020500032.28
10,1=f
Ek10,1=λ
y
vp
( )77.208=
25020500032.28
37.1=f
Ek37.1=λ
y
vr
com os valores dos parâmetros calculados, observa-se que , portanto, para o cálculo da
força cortante resistente característica, de acordo com o item 5.4.3.2.1 – PNBR 8800/03, ,
usa-se a seguinte equação:
pλ<λ
RkV
kgf 367500=V=V plRk
Este valor obtido, , representa a resistência nominal ao cortante dos painéis
extremos, sem a utilização da ação do campo de tração. Como este valor ultrapassa o cortante
solicitante, , indica que o espaçamento a = 925 mm para os painéis extremos
pode ser considerado.
kgf 367500=VRk
tf22.218=Vsd
Para os painéis centrais de espaçamento a=2500 mm:
26.163=th
=λw
( )2.90=
2502050002.8
10,1=f
Ek10,1=λ
y
vp
( )34.112=
2502050002.8
37.1=f
Ek37.1=λ
y
vr
como , o cálculo da força cortante resistente característica é dado pela seguinte
equação:
rλ>λ
2
Rk90.2V 1.28 367500 143588.89 kgf
163.26⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠
Este valor, , representa a resistência nominal ao cortante dos painéis
com espaçamento a = 2500 mm, sem a utilização da ação do campo de tração. Este valor é
kgf 89.143588=VRk
352
menor que o solicitante de cálculo. Portanto, deve-se proceder o cálculo da força cortante
- como
resistente característica incluindo o efeito do campo de tração para estes painéis:
rw
λ>th
=λ , a equação a ser utilizada para o cálculo de será a seguinte, vC
observando-se que este valor será calculado para as duas configurações da viga:
( ) y2
w
vv ft/h
Ek5,1=C
1
- para a região do meio do vão:
( )( ) 381.0=
25026.63 2
12050002.851,1
=Cv
com lados, dem ser obtidos os valores da força cortante
resistente para os painéis de espaçamento a=2500 mm:
- para a região do meio do vão
- os valores de plv V e η ,C calcu po
pλ>λ :
( )Rkt vV C 1 C V= +η −⎡ ⎤⎣ ⎦ v pl
( )RktV 0.381 0.543 1 0.381 367500 263540.50 kgf= + − =⎡ ⎤⎣ ⎦
este valor obtido, kgf 5.263540=VRkt representa a resistênci para a região
com espaçamento a = 2500 mm entre os enrijecedores, utilizando a ação do campo de tração
a nominal da viga
.
álculo, , o que indica
que o dimensionamento foi satisfatório quanto ao requerimento de força cortante solicitante.
Para os painéis centrais de espaçamento a=2825 mm:
Este valor ultrapassa a força cortante solicitante de c kgf 218220=Vsd
26.163=th
=λw
( )26.86=
2502050005.7
10,1=f
Ek10,1=λ
y
vp
( )43.107=
2050005.737.1=
Ek37.1=λ v
250f yr
como , o cálculo da força cortante resistente característica é dado pela seguinte
equação:
rλ>λ
2
Rk 367500 131318.72 kgf163.26
⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
86.26V 1.28⎛= =
353
Este valor, kgf 72.131318=VRk , representa a resistência nominal ao cortante dos painéis
com espaçamento a = 2825 mm, sem a utilização da ação do campo de tração. Este valor é
resistente característica incluindo o efeito do campo de tração para estes painéis:
- como
menor que o solicitante de cálculo. Portanto, deve-se proceder o cálculo da força cortante
rw
λ>th
=λ , a equação a ser utilizada para o cálculo de será a seguinte,
observando-se que este valor será calculado para as duas configurações da viga:
vC
( ) y2
w
vv ft/h
Ek5,1 1=C
- para a região do meio do vão:
( )( ) 348.0=
25026.1632050005.7
2v
51,1=C
com lados, dem ser obtidos os valores da força cortante
resistente para os painéis de espaçamento a=2825 mm:
- para a região do meio do vão
- os valores de plv V e η ,C calcu po
pλ>λ :
( )Rkt vV C 1 C V= +η −⎡ ⎤⎣ v pl⎦
( )RktV 0.348 0.502 1 0.348 367500 248174.22 kgf= + − =⎡ ⎤⎣ ⎦
este valor obtido, kgf 22.248174=VRkt representa a resistência nomi região
com espaçamento a = 2825 mm entre os enrijecedores, utilizando a ação do campo de tração.
Este valor u
nal da viga para a
te solicitante de cálculo, , o que indica
namento foi satisfatório quanto ao requerimento de força cortante solicitante.
.3.4.2.2 Exigências e limitações referentes ao uso do campo de tração – item G.2
relação largura/espessura, sendo
ltrapassa a força cortan kgf 218220=Vsd
que o dimensio
8
- de acordo com o item 5.4.3.2.3 – PNBR 8800/03, deve-se fazer a verificação quanto a
necessária também a obtenção de
75.15=250/20500055,0=f/E55,0 y . Para os três painéis distintos, o da região próxima
aos apoios e o da região do meio do vão com espaçamentoa a de 2500 e 2825 mm, será a
uladas
WLES E DOWLING, 1992), ou seja,
seguir calculada a relação largura/espessura:
- com base nesse item b, as dimensões a serem verificadas aqui devem ser aquelas calc
por NARAYANAN (1992, apud OWENS, KNO
354
enrijecedores: 2 chapas de 13 x 80 mm
a relação largura/espessura para os enrijecedores desta região será 75.15<23.13=13/172 , ou
seja, este valor satisfaz este requerimento inicial. Tentando prim
eiramente fazer o cálculo de
stA :
( ) 2Sdst r s w v w
RdV⎣ ⎦
VA 0.15D ht 1 C 18t⎡ ⎤
= α − −⎢ ⎥
fazendo o levantamento dos valores contidos na fórmula, tem-se que:
( ) ( ) ( ) ( )2st
21072.2 mm=
218219A 0.15 2000 12.47 1 0.381 18 12.47143588 /1.10
= − −
de c da alma) em relação ao eixo no plano médio da alma não pode ser inferior a
, onde ≥ ;
>
o momento de inércia dos enrijecedores é:
a área dos enrijecedores é ( ) 2st mm 2236=17213=A .
o momento de inércia da seção de um enrijecedor singelo ou de um par de enrijecedores (um
ada lado
jat3w ( )2j 2.5 / a / h 2 0.5⎡ ⎤= −⎣ ⎦
( ) (j 2.5 / a / h 2 2.5 / 1850= − =⎣ ⎦ ⎣ )2 2/ 2000 2 5.43 0.5⎡ ⎤ ⎡ ⎤ − =⎦
( ) 43
mm 3.5512485=12
=I 17213
Usar enrijecedores transversais em pares com dimensões de 13 x 80 mm cada.
- O efeito do campo de tração não se aplica a painéis extremos da alma, a painéis com
deve ser verificada a interação entre a força cortante e o momento fletor, conforme
5.4.3.2.4 – PNBR 8800/03, a verificação da interação entre
força cortante e momento fletor:
aberturas, nem a painéis adjacentes a estes últimos.
- O efeito do campo de tração não se aplica a solicitações diferentes da flexão normal simples,
sendo que
5.4.3.2.4.
item 5.4.3.2.4 – PNBR 8800/03 – interação entre força cortante e momento fletor
- será feito aqui, com base no item
Sd Sd
Rk Rkt
M V0.625 1.375M / V /
+ ≤γ γ
1598900000 2198000.625 1.311 1.3751834710000 / 263540 /
+ =γ γ
≤
355
8.3.5 Verificação segundo a PNBR 8800/07
istas de aço e concreto de edifícios (ABNT, 2007), que
atam do estudo de vigas esbeltas.
.3.5.1 Momento fletor resistente de cálculo de vigas esbeltas - anexo H (normativo)
.3.5.1.1 Generalidades – item H.1
, é
Nesta parte, será feita a verificação das dimensões da viga esbelta dimensionada
por NARAYANAN (1992, apud OWENS, KNOWLES E DOWLING, 1992), seguindo os
critérios de cálculo do Projeto de Revisão da Norma Brasileira. Na verificação serão
utilizados o anexo H e o item 5.4.3 do Projeto de Revisão da NBR 8800 – Projeto de
estruturas de aço e de estruturas m
tr
8
8
- De acordo com o contido nesta parte da norma, analisando a viga por NARAYANAN (1992,
apud OWENS, KNOWLES E DOWLING, 1992), a maior relação a/h 2825/2000 que dá
um valor de 1.41, que é menor que 1.5 fixado na norma, neste caso, maxλ pode ser tomado
igual a yf/E7,11 . Fazendo a utilização desta equação, substitu e E e
usados no dimensionamento da viga, obtém-se:
indo os valores d yf
( ) 04.335
onde pode-se observar que é um valor maior que a relação da viga calculada que é:
o
o.
no item H.1.1 – Anexo H - PNBR 8800/07, viga esbelta deve ter a relação
superior a
=250/2050007,11=f/E7,11=λ ymax
wt/h=λ
86.142=14/2000=t/h=λ w
portanto, observa-se que este parâmetro de esbeltez da viga dimensionada não ultrapassa
limite imposto pela norma brasileira, o que indica que este parâmetro pode ser considerad
- com base wt/h
yf/E70,5
wh / t 5.7 205000 / 250 163.22≥ =
para a viga dimensionada por NARAYANAN (1992, apud OWENS, KNOWLES E
DOWLING, 1992) se enquadra na categoria de vigas não-compactas. Para esta se enquadrar
na categoria de vigas esbeltas, o procedimento a se utilizar será a redução na espessura da
alma:
w w wh / t 163.22 2000 / t 163.22 t 12.25 mmλ = = ⇒ = ⇒ =
356
Considerar a redução na espessura da alma, de 14 mm para 12.25 mm.
.3.5.1.2 Momento fletor resistente característico – item H.2
esa tracionada. O módulo de resistência elástico
é obtido pela seguinte fórmula:
8
- cálculo de xtW para o escoamento da m xtW
txt y
onde xI é o momento de inércia da seção em relação ao eixo
xI=W
de flexão e é a distância
entre a face externa da mesa tracionada ao centro de gravidade.
ty
( )( ) ( )( )
( )12200047.12
+1025507002+12
507002=I
32
3
x
4mm 0716 666x 818 6=I
então pode-se calcular o valor de xtW :
3
t
xxt mm 87.77973015=
105008187166666
=yI
=W
- cálculo de xcW :
3
cyx
xc mm 87.77973015=1050
08187166666=
I=W
- cálculo de : rp λ e λ ,λ
( ) ( )( ) 433
y +12
=I mm 1429217730=12
25.123/200070050
a área da seção considerada será:
portanto, o raio de giração a calcular será:
( ) ( /100025.12+70050=A ) 2mm33.39083=3
mm 23.191=33.39083
1429217730=rT
a) estado limite: flambagem lateral com torção (FLT):
1=Cb
09.59=23.191
11300=
rL
=λT
b
357
40.50=250
20500076.1=
fE
76,1=λy
p
14.127=250f y
r
20500044.4=
EC44,4=λ b
b) estado limite de flambagem local da mesa comprimida (FLM)
MPa 9.2023268=205000π=ECπ=C 2b
2pg
( ) 0.7=502
700=
t2b
=λf
f
88.10=250
20500038.0=
fE
38,0=λy
'p
87.22=35.0/250
20500035.1=
k/fE
35.1=λcy
'r
c wk 4 / h / t 4 / 163.22 0.313= = =
Considerar
esa comprimida.
- cálculo :
- para o estado limite de flambagem lateral com torção (FLT)
para
ck = 0.35
( ) MPa 63140=35.020500088.0=Ek88,0=C cpg
ff t e b são a largura total e a espessura, respectivamente, da m
de M cr
p rλ < λ ≤ λ
cr59.09 50.40⎡ − ⎤⎛ ⎞250 1 0.5 235.84 MPa
127.14 50.40= − =⎜ ⎟⎢ ⎥−⎝ ⎠⎣ ⎦
- para o estado limite de flambagem local da me comprimida (FLM)
σ
sa
para pλ ≤ λ
MPa 250=f=σ ycr
- cálculo de :
- como deve ser o menor valor obtido entre os dois estados limites, considerar
pgk
crσ
MPa. 84.235=σ cr
358
( ) ( )( )( ) ( )( )pg
12.25 2000 / 50 700 205000k 1 163.22 5.7235.841200 300 12.25 2000 / 50 700
1.00
⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎜ ⎟+ ⎝ ⎠
=
- cálculo de nM :
a) para escoamento da mesa tracionada
b) para flambagem
O mo
.De acordo com a viga calculada por NARAYANAN
992, apud OWENS, KNOWLES E DOWLING, 1992), o valor do momento fletor
te tido para toneladas metro tem o
alor de 1780.22 tm.
( )n xt pg y
3 2
M W k f
77973015.87 mm 25.0 kg/mm
=
=
1949325397 kgmm=
( )n xc pg cr
3 2
M W k
77973015.87 mm 23.53 kg/mm
1834705063 kgm
= σ
=
=
m
mento nominal da viga é o menor entre os dois valores obtidos, ou seja,
183470506=M n tm.711834=kg.mm 3
(1
solicitan de cálculo tem o valor de 17458 kNm que conver
v
Aceitar as chapas das mesas de dimensões 700x50 mm p/ mesas, de acordo com a
PNBR 8800/07.
8.3.5.2 Força cortante resistente de cálculo – item 5.4.3
2 da PNBR 8800/07, será calculado o valor de
para a viga em questão:
imei
e foi di
WLING, 1992) existem três espaçamentos diferentes ao
longo da mesma. Os painéis extremos do vão, ou painéis finais, têm os espaçamentos, a =
1850 mm, entre os enrijecedores, e na região entre os painéis finais e a posição das cargas
- Com base nas considerações do item 5.4.3.1.
plV ,
Pr ramente, deve ser calculado o valor de wA :
( ) 2ww mm 24500=25.122000=dt=A
Então, o valor de plV pode ser calculado:
( ) kgf 367500=kgf/mm 5.02mm 245006.0=fA6.0=V 22ywpl
- como se pode observar na viga qu mensionada por NARAYANAN (1992,
apud OWENS, KNOWLES E DO
359
concentradas, de cada lado, com espaçamento a=2500 mm, e a região central do vão, o
espaçamento a = 2825 mm. Os parâmetros rp λ e λ ,λ , e as dimensões a e h são ef d inidos no
em 5.
calcular o valor de
ara cada um dos espaçamentos situados nas duas
a e a parte central do vão, para se verificar a força
cortante resistente característica nestas duas configurações:
para a = 1850 mm (painéis finais):
it 4.3.1.1 da PNBR 8800/07.
- Utilizando as equações do item 5.4.3.1.1 da PNBR 8800/07, será necessária a
obtenção dos parâmetros rp λ e λ ,λ . Deve-se primeiramente vk :
- será efetuado o cálculo de vk p
regiões distintas, a das extremidades da vig
a/h=1850/2000=0.925
( ) 84.10=925..05
+5=h/a
5+5=k 22v
para a=2500 mm (painéis centrais):
a/h=2500/2000=1.25
( ) 2.8=25.15
+5=k 2v
para a=2825 mm (painéis centrais):
a/h=2825/2000=1.413
( ) 5.7=413.15
+5=k 2v
Com os valores de calculados, pode-se obter os valores dos parâmetros
para cada configuração:
Painéis finais:
vk rp λ e λ ,λ ,
26.163=25.12
2000=
th
=λw
( )71.103=
250f yp
20500084.1010,1=
Ek10,1=λ v
( )16.129=
20500084.1037.1=
fEk
37.1=λy
vr
250
com os valores dos parâmetros calculados, observa-se que , portanto, para o cálculo da
força cortante resistente característica, de acordo com o item 5.4.3.1.1 – PNBR 8800/07, ,
usa-se a seguinte equação:
rλ>λ
RkV
360
2
Rk 163.26⎜ ⎟⎝ ⎠
Este valor obtido, 189823.0=VRk enta a resistência nominal ao cortante dos
painéis extremos, sem a utilização da ação do campo de tração. Como este valor não
ultrapassa o cortante solicitante, tf22.218=Vsd , indica que o
103.71V 1.28 367500 189823.07 kgf⎛ ⎞= =
repres
espaçamento a = 1850 mm
considerado. Tentar diminuir o espaçamento para
m 5.4.3 – PNBR 8800/07:
para a = 925 mm (painéis finais):
a/h=925/2000=0.463
kgf 7 ,
para os painéis extremos não pode ser
a=925 mm e novamente utilizar o ite
( ) 32.28=463.05
+5=h/a
5+5=k 22v
para os painéis finais:
26.163=25.12
2000=
th
=λw
( )63.167=
25020500032.28
10,1=f
Ek10,1=λ
y
vp
( )77.r
, portanto, para o cálculo da
força cortante resistente característica, de acordo com 5.4.3 – PNBR 8800/07, ,
uação:
btido,
campo de tração. Como este valor ultrapassa o cortante
licita 5 mm para os painéis extremos
pode ser considerado.
Para os painéis centrais de espaçamento a=2500 mm:
208=25020500032.28
37.1=f
Ek37.1=λ
y
v
com os valores dos parâmetros calculados, observa-se que pλ<λ
o item RkV
usa-se a seguinte eq
kgf 367500=V=V plRk
Este valor o kgf 7500 , representa a resistência nominal ao cortante dos painéis
extremos, sem a utiliza
36=VRk
ção da ação do
so nte, tf22.218=Vsd , indica que o espaçamento a = 92
26.163=th
=λw
( )2.90=
2502050002.8
10,1=f
Ek10,1=λ
y
vp
361
( )34.112=
25037.1=
f37.1=λ
yr
como , o cálculo da força cortante resistente característica é dado pela seguinte
equação:
2050002.8Ek v
rλ>λ
2
RkV 1.28 367500 143588.89 kgf163.26
⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
Este valor, kgf 89.143588=VRk , representa a resistência nominal ao cortante dos painéis
com espaçamento a = 2500 mm, sem a utilização da açã
90.2⎛= =
o do campo de tração. Este valor é
enor e proceder a diminuição do espaçamento
. Tentar a=1400 mm.
para a=1400 mm (painéis do centro do vão):
a/h=1400/2000=0.70
m que o solicitante de cálculo. Portanto, deve-s
entre os enrijecedores destes painéis
( ) 2.15=70.05
+5=k 2v
Para os painéis centrais:
26.163=th
=λw
( )8.122=
2502050002.15
10,1=f
Ek10,1=λ
y
vp
( )95.152=
25037.1=
f37.1=λ
yr
como , o cálculo da força cortante resistente característica é dado pela seguinte
equação:
2050002.15Ek v
rλ>λ
2
Rk 163.26⎜ ⎟⎝ ⎠
Tem-se que kgf 51.266136=VRk > tf22.218=Vsd , represent
122.8V 1.28 367500 266136.51 kgf⎛ ⎞= =
a a resistência nominal ao
ortante dos painéis com espaçamento a = 1400 mm, Este espaçamento para os painéis
i a PNBR 8800/07.
8.3.6 Ver
c
centra s pode ser considerado, de acordo com
ificação segundo o Eurocode 3
362
Nesta parte será feita a verificação pela norma européia, o Eurocode 3: Design of
steel structures – Part 1.1: General rules and rules for buildings. O procedimento é similar às
outras etapas de verificação, utilizando as dimensões da viga analisada no exemplo 3,
o 92, apud OWENS, KNOWLES E DOWLING, 1992),
ara se fazer a verificação quanto às considerações da norma européia.
dimensi nada por NARAYANAN (19
p
8.3.6.1 Momento fletor - item 5.4.5
97.0=250/235=f/235=ε y
- para as mesas:
( ) ( ) ( ) ( )( ) 39.0=43.097.04.28/50/350=kε4.28/t/b=λ σ
de acordo com o item 5.3.5 (3) do Eurocode 3, o fator de redução é menor que 1 para
p
ρ
673.0>λ 673.0≤λ pp e é igual a 1 (ou seja, não há redução da largura efetiva) para .
Tabela 5.3.3 - Eurocode 3:
- para a alma:
1=ψ
( ) mm 350=3501=cρ=beff
( ) ( ) ( ) ( )( )kε4.28/t/b=λ p 19.1=9.2397.04.28/47.12/2000=σ
( ) ( )2 2p p0.22 / 1.19 0.22 /1.19 0.685ρ = λ − λ = − =
tabela 5.3.2 (Eurocode 3):
- A seção efetiva e suas medidas estão representados no desenho abaixo, com as reduções
calculadas acima de acordo com o Eurocode 3:
1=ψ
( )mm 274=b4.0=b
mm 685=2/2000685.0=bρ=b
eff1e
ceff
mm 411=b6.0=b effe2
363
50274
315
411
1000
50 50
2000
50
12.47
700
24.54
700
eixo centroidal
eixo centroidalda seção efetiva
zona não-efetiva
Figura 8.3.3– Medidas da seção efetiva para o cálculo do momento fletor resistente (medidas indicadas em mm).
- cálculo do centro de gravidade da seção efetiva:
( )( )( )( )
( ) ( )( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )
ef
700 50 2075
274 12.47 2050 274 / 2
411 12.47 1050 411/ 2
1000 12.47 550
700 50 25y 1025.46 mm
2 700 50
12.47 1411 274
⎡ ⎤⎢ ⎥+ −⎢ ⎥⎢ ⎥+ +⎢ ⎥⎢ ⎥+⎢ ⎥⎢ ⎥+⎣ ⎦= =
⎡ ⎤⎢ ⎥+ +⎢ ⎥⎣ ⎦
xcxt W e W são obtidos pelas seguintes fórmulas:
c
xxc
t
xxt y
I=W ;
yI
=W
onde é o momento de inércia da seção em relação ao eixo de flexão e são as
distâncias entre as faces externas das mesas tracionada e comprimida ao centro de gravidade
da seção efetiva. O centro de gravidade da seção efetiva está a 83.6 mm abaixo da metade da
altura da alma.
xI ct y e y
364
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )(
( ))
( )(
( ))
( )( )
32
x
32
32
32
32
700 50I 700 50 1024.54 25
1212.47 274
12.47 274 1024.54 274 / 212
12.47 435.5412.47 435.54 435.54 / 2
1212.47 975.46
12.47 975.46 975.46 / 212
700 50700 50 975.46 25
12
= + +
+ + −
+ +
+ +
+ + +
4x mm 08051487939=I
então pode-se calcular o valor de xtW :
3
t
xxt mm 46.78515865=
50+975.4608051487939
=yI
=W
- cálculo de xcW :
3
c
xxc mm 13.74929625=
50+54.102408051487939
=yI
=W
- cálculo do momento fletor resistente de projeto:
- item 5.4.5.2 - Eurocode 3 – flexão em torno de um eixo:
Seções transversais classe 4: 1MyeffRd,c γ/fW=M
- de acordo com o calculado acima, o módulo de seção efetivo será o menor valor entre
, observando que o coeficiente não será utilizado, pois se pretende obter a
resistência efetiva da peça:
xtxc W e W 1Mγ
3eff mm 13.74929625=W
( )3 2c,RdM 74929625.13 mm 25.0 kg/mm 1873240628 kgmm∴ = =
8.3.6.2 Cisalhamento - item 5.4.6
- item 5.4.6(1) – a resistência plástica de cisalhamento de projeto é fornecida por:
( ) 0MyvRd,pl γ/3/fA=V
onde é a área de cisalhamento. De acordo com o item 5.4.6(2), a área de cisalhamento é
obtida como se segue:
vA
365
subitem c) perfis I, H e seções caixão, soldados, com carga paralela à alma: ( )wdt∑ .
( ) 2v mm 24940=47.122000=A
( ) ( ) kg 9.359977=3/0.2524940=γ/3/fA=V 0MyvRd,pl
- item 5.4.7 (Eurocode 3) – Cisalhamento e flexão
(2) Desde que o valor de projeto da força cisalhante não exceda 50% da resistência
plástica ao cisalhamento de projeto nenhuma redução precisa ser feita nos momentos
resistentes fornecidos no item 5.4.5.2 - Eurocode 3.
SdV
Rd,plV
kg 67.130523=V>kg 9.359977=V SdRd,pl
8.3.6.3 Flambagem lateral com torção de vigas - item 5.5.2
- cálculo de de acordo com o Anexo F – Eurocode 3: crM
0.522w tz
cr 2 2z z
I L GIEIML I EI
⎡ ⎤π= +⎢ ⎥π⎣ ⎦
- cálculo da constante de torsão : tI
( ) ( )( ) ( )( )( ) 4333w
3ft mm 13.59626064=47.122000+507002
31
=ht+bt231
=I
- cálculo da constante torsional wI :
( )( ) 62323
fw mm0000002858333333=
24200070050
=24
hbt=I
- cálculo do segundo momento de área em relação ao menor eixo : zI
( ) ( ) 4333
w3
fz mm 2858656516=
1247.122000
+1270050
2=12ht
+12bt
2=I
- cálculo do momento elástico crítico para flambagem lateral com torção da viga , de
acordo com o item F.1.1 (1) – F.1 – Anexo F – Eurocode 3:
crM
366
( )
( ) ( )( )
0.522w tz
cr 2 2z z
2
2
0.5
26
2
I L GIEIML I EI
205000 285865651611300
20500011300 59626064.132858333333 10 2 1 0.3
2858656516 205000 2858656516
⎡ ⎤π= +⎢ ⎥π⎣ ⎦
π=
⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟
+⎢ ⎥⎝ ⎠+⎢ ⎥π⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Nmm 04758606523=M cr
- cálculo do parâmetro de esbeltez LTλ para flambagem lateral com torção:
( )
0.52LT pl,y cr
0.52
EW / M
205000 85750000 / 47586065230 60.38
⎡ ⎤λ = π⎣ ⎦
⎡ ⎤= π =⎣ ⎦
[ ][ ]( )( ) [ ]
0.5LT LT 1 w
0.50.5
/
60.38 / 93.9 235 / 250 74929625.13/ 85750000
0.62
λ = λ λ β
⎡ ⎤=⎣ ⎦
=
( )( )
2LT LTLT LT
2
0.5 1 0.2
0.5 1 0.49 0.62 0.2 0.62 0.937
⎡ ⎤φ = +α λ − + λ⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤= + − + =⎣ ⎦
LT 0.522LTLT LT
0.52 2
1
1 0.6090.937 0.937 0.616
χ =⎡ ⎤φ + φ −λ⎢ ⎥⎣ ⎦
= =⎡ ⎤+ −⎣ ⎦
( ) (
kgmm 1150413425=Nmm 01150413425=M
25085750000874.0609.0=γ/fWβχ=M
Rd,b
1Myy,plwLTRd,b )
O valor do momento para flambagem lateral com torção ficou abaixo do momento fletor
solicitante de cálculo, devido ao fato de que foi considerado o comprimento de 11300 mm
sem contenção lateral. A viga calculada por NARAYANAN (1992, apud OWENS,
KNOWLES E DOWLING, 1992) foi calculada com restrição total em seu comprimento, por
isso não houve restrição quanto à flambagem lateral com torção. Para se incrementar o
momento se for considerar algum comprimento sem contenção lateral, deve-se reduzir o valor
de 11300 mm com o qual foram feitos os cálculos acima.
367
8.3.6.4 Resistência à flambagem por cisalhamento – item 5.6
8.3.6.4.1 Método simples pós-crítico - item 5.6.3
(1) No método simples pós-crítico, a resistência de projeto deve ser obtida por: Rd,baV
1MbawRd,ba γ/τdt=V
(2) A resistência ao cisalhamento simples pós-crítico deve ser determinada como se
segue:
baτ
- para espaçamento a=1850 mm:
τ
ww
kε4.37t/d
=λ
97.0=250/235=f/235=ε y
( ) ( ) 24.10=2000/1850/34.5+4=d/a/34.5+4=k 22τ
( ) 38.1=24.1097.04.37
47.12/2000=
kε4.37t/d
=λτ
ww
- quando w 1.2λ ≥ :
[ ]( ) [ ]( ) MPa 13.94=3/25038.1/9.0=3/fλ/9.0=τ ywwba
- portanto, a resistência de projeto de flambagem por cisalhamento é calculada de acordo com
o subitem (1):
( ) kg 4.234685=41.947.122000=γ/τdt=V 1MbawRd,ba
o valor obtido acima, é a força cortante resistente de cálculo para o
espaçamento dos painéis finais a=1850 mm, sem a ação do campo de tração. Este valor
ultrapassa o cortante solicitante que é , onde, de acordo com o Eurocode 3,
este espaçamento pode ser adotado.
kg 4.234685=V Rd,ba
=VSd kg 218220
- para redução no espaçamento a=925 mm:
( ) ( ) 96.282000/925/34.54d/a/34.54k 22τ =+=+=
( )82.0
96.2897.04.3747.12/2000λw ==
b) quando 2.1<λ<8.0 w :
(( ) )wba yw1 0.625 0.8 / f / 3⎡ ⎤τ = − λ −⎣ ⎦
368
( )[ ]( ) MPa 5.1423/2508.082.0625.1τ ba =−−=
- portanto, a resistência de projeto de flambagem por cisalhamento é calculada de acordo com
o subitem (1):
( ) kg35539525.1447.122000τdtV bawRd,ba ===
o valor obtido acima, é a força cortante resistente de cálculo para o espaçamento dos painéis
finais a=925 mm, sem a ação do campo de tração. Este valor ultrapassa o cortante solicitante
que é , onde, de acordo com o Eurocode 3, este espaçamento pode ser
adotado.
kg 218220=VSd
- para espaçamento a=2500 mm:
τ
ww
kε4.37t/d
=λ
97.0=250/235=f/235=ε y
( ) ( ) 9.7=2000/2500/4+34.5=d/a/4+34.5=k 22τ
( ) 57.1=9.797.04.37
47.12/2000=
kε4.37t/d
=λτ
ww
- quando w 1.2λ ≥ :
[ ]( ) [ ]( ) MPa 74.82=3/25057.1/9.0=3/fλ/9.0=τ ywwba
- portanto, a resistência de projeto de flambagem por cisalhamento é calculada de acordo com
o subitem (1):
( ) kg 8.206253=27.847.122000=γ/τdt=V 1MbawRd,ba
o valor obtido acima, é a força cortante resistente de cálculo para o
espaçamento dos painéis finais a=2500 mm, sem a ação do campo de tração. Este valor não
ultrapassa o cortante solicitante que é , onde, de acordo com o Eurocode 3,
este espaçamento não pode ser adotado para o método simples pós-crítico, onde, de acordo
com o Eurocode 3, deve-se, para estes painéis, fazer o cálculo pelo método do campo de
tração.
kg 8.206253=V Rd,ba
=VSd kg 218220
- para espaçamento a=2825 mm:
τ
ww
kε4.37t/d
=λ
97.0=250/235=f/235=ε y
369
( ) ( ) 34.7=2000/2825/4+34.5=d/a/4+34.5=k 22τ
( ) 63.1=34.797.04.37
47.12/2000=
kε4.37t/d
=λτ
ww
- quando w 1.2λ ≥ :
[ ]( ) [ ]( ) MPa 70.79=3/25063.1/9.0=3/fλ/9.0=τ ywwba
- portanto, a resistência de projeto de flambagem por cisalhamento é calculada de acordo com
o subitem (1):
( ) kg 8.198771=97.747.122000=γ/τdt=V 1MbawRd,ba
o valor obtido acima, é a força cortante resistente de cálculo para o
espaçamento dos painéis finais a=2825 mm, sem a ação do campo de tração. Este valor não
ultrapassa o cortante solicitante que é , onde, de acordo com o Eurocode 3,
este espaçamento não pode ser adotado para o método simples pós-crítico, onde, de acordo
com o Eurocode 3, deve-se, para estes painéis, fazer o cálculo pelo método do campo de
tração.
kg 8.198771=V Rd,ba
=VSd kg 218220
8.3.6.4.2 Método do campo de tração - item 5.6.4
(1) No método do campo de tração, a resistência de projeto à flambagem por cisalhamento
deve ser obtida por: Rd,bbV
( ) ( )[ ] 1MbbwbbwRd,bb γ/φsinσgt9.0+τdt=V
- cálculo de conforme 5.6.4.1(2): bbτ
- para os painéis com espaçamento a=1850 mm:
Os painéis com espaçamento a=1850 mm entre os enrijecedores não devem ser calculados
utilizando a ação do campo de tração. Este painel foi verificado no item anterior pelo método
simples pós-crítico do Eurocode 3, onde foi obtida uma resistência nominal ao cisalhamento
de , o que indica que sua resistência é satisfatória e o
espaçamento a=1850 mm para os painéis extremos pode ser considerado.
kg 218220=V>kg 4.234685=V sdRd,ba
- para os painéis com espaçamento a=2500 mm:
( ) 57.1=9.797.04.37
47.12/2000=
kε4.37t/d
=λτ
ww
370
[ ]( ) [ ]( ) MPa 56.58=3/25057.1/1=3/fλ/1=τ 2yw
2wbb
- cálculo da inclinação do campo de tração, conforme 5.6.4.2:
( ) ( ) o39.38=rad 67.0=2500/2000arctan=a/darctan=Θ o.7852=rad 45.0=5.1/67.0=5.1/Θ=φ
- cálculo da força longitudinal na mesa, conforme 5.6.4.1(4) (Eurocode 3): Sd,fN
kg 78.795328=2050
1630424000=
t+dM
=Nf
sdSd,f
- cálculo do momento plástico reduzido da mesa, conforme 5.6.4.1(4) (Eurocode 3): Nf ,RkM
( ) 22Nf ,Rk f yf f ,Sd f yf M0M 0.25bt f 1 N / bt f /⎡ ⎤⎡ ⎤= − γ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
( )( ) ( )( ) 22Nf ,RkM 0.25 700 50 25.0 1 795328.78 / 700 50 25.0
1901101.88 kgmm
⎡ ⎤⎡ ⎤= − ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦=
- cálculo da resistência do campo de tração , conforme 5.6.4.1(1) (Eurocode 3): bbσ
( ) ( )( ) MPa 81.68=rad 45.02sin56.585.1=φ2sinτ5.1=Ψ bb
( )
0.52 2 2bb yw bb
0.522 2
bb
f 3
250 3 58.56 68.81 68.81
169.82 MPa
⎡ ⎤σ = − τ +Ψ −Ψ⎣ ⎦
⎡ ⎤= − + −⎣ ⎦σ =
- cálculo dos comprimentos de ancoragem do campo de tração ao longo das mesas
comprimidas e tracionadas, conforme item 5.6.4.1(3):
( ) ( )
0.52 1901101.88s 435.69 mm
sin 0.45 12.47 16.98⎡ ⎤
= =⎢ ⎥⎣ ⎦
- cálculo da largura g do campo de tração, conforme 5.6.4.1(3) – Eurocode 3:
( )( ) ( ) ( )
c tg d cos a s s sin
2000cos 0.45 2500 435.69 435.69 sin 0.45g 1092.5 mm
= φ− − − φ
= − − −
=
- a resistência de projeto à flambagem por cisalhamento deve ser obtida por: Rd,bbV
( ) ( )[ ]( )( ) ( ) (( )[ ]
kgf 59.236705=V45.0sin98.1647.125.10929.0+86.547.122000=
γ/φsinσgt9.0+τdt=V
Rd,bb
1MbbwbbwRd,bb
)
371
25.78
435.692500
2000
435.6925.78
1092.5
Figura 8.3.4 – Desenho da largura g do campo de tração para os painéis centrais (medidas em mm).
- para os painéis com espaçamento a=2825 mm:
( ) 63.1=34.797.04.37
47.12/2000=
kε4.37t/d
=λτ
ww
[ ]( ) [ ]( ) MPa 32.54=3/25063.1/1=3/fλ/1=τ 2yw
2wbb
- cálculo da inclinação do campo de tração, conforme 5.6.4.2:
( ) ( ) o52.35=rad 62.0=2825/2000arctan=a/darctan=Θ o.532=rad 41.0=5.1/62.0=5.1/Θ=φ
- cálculo da força longitudinal na mesa, conforme 5.6.4.1(4) (Eurocode 3): Sd,fN
kg 868400=2050
1780220000=
t+dM
=Nf
sdSd,f
- cálculo do momento plástico reduzido da mesa, conforme 5.6.4.1(4) (Eurocode 3): Rd,NfM
( ) 22Nf ,Rk f yf f ,Sd f yf M0M 0.25bt f 1 N / bt f /⎡ ⎤⎡ ⎤= − γ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
( )( ) ( )( ) 22Nf ,RkM 0.25 700 50 25.0 1 868400 / 700 50 25.0
164377.7 kgmm
⎡ ⎤⎡ ⎤= − ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦=
- cálculo da resistência do campo de tração , conforme 5.6.4.1(1) (Eurocode 3): bbσ
( ) ( )( ) MPa 57.59=rad 41.02sin32.545.1=φ2sinτ5.1=Ψ bb
372
( )
0.52 2 2bb yw bb
0.522 2
bb
f 3
250 3 54.32 59.57 59.57
179.6 MPa
⎡ ⎤σ = − τ +Ψ −Ψ⎣ ⎦
⎡ ⎤= − + −⎣ ⎦σ =
- cálculo dos comprimentos de ancoragem do campo de tração ao longo das mesas
comprimidas e tracionadas, conforme item 5.6.4.1(3):
( ) ( )
0.52 164377.7s 135.9 mm
sin 0.41 12.47 17.96⎡ ⎤
= =⎢ ⎥⎣ ⎦
- cálculo da largura g do campo de tração, conforme 5.6.4.1(3) – Eurocode 3:
( )( ) ( ) (
c tg d cos a s s sin
2000cos 0.41 2825 135.9 135.9 sin 0.41g 816.51 mm
= φ− − − φ
= − − −
=)
- a resistência de projeto à flambagem por cisalhamento deve ser obtida por: Rd,bbV
( ) ( )[ ]( )( ) ( ) ( )( )[ ]
kgf 5.201026=V41.0sin96.1747.125.8169.0+43.547.122000=
γ/φsinσgt9.0+τdt=V
Rd,bb
1MbbwbbwRd,bb
2000
2825135.9
135.923.5
23.5
816.5
Figura 8.3.5 – Desenho da largura g do campo de tração para os painéis centrais (medidas em mm).
8.3.6.5 Interação entre força cortante, momento fletor e força axial - item 5.6.7
8.3.6.5.1 Método simples pós-crítico – item 5.6.7.2
373
- cálculode , de acordo com o item 5.6.7.2(1) (Eurocode 3): Rd,fM
yfxRd,f FZ=M
- cálculo de , que é o módulo plástico da seção somente das mesas: xZ
( ) ( ) 3x mm 71750000=2102570050=Z
( ) kg.mm 1793750000=0.2571750000=M Rd,f
- de acordo com o item 5.6.7.2(1) (Eurocode 3), a seção transversal pode ser assumida
satisfatória, sem investigar o efeito da força cortante na resistência de projeto ao momento, se
ambos os seguintes critérios são satisfeitos:
Sd f ,Rd Sd ba,RdM M e V V≤ ≤
- para o caso em análise, kg 206254=V Rd,ba
- de acordo com o item 5.6.7.2(3) (Eurocode 3), quando excede 50% de o seguinte
critério deve ser satisfeito:
SdV Rd,baV
( ) ( )2
Sd f ,Rd pl,Rd f ,Rd Sd ba,RdM M M M 1 2V / V 1⎡ ⎤≤ + − − −⎣ ⎦
- cálculo de : Rd,plM
kgmm2143750000=M Rd,pl
( )( )
Sd
2
Sd
M 1793750000 2143750000 1793750000
1 218219 / 206254 1
M 2142572154 kgmm
≤ + −
⎡ ⎤− −⎣ ⎦≤
como , o critério de interação entre força cortante, momento fletor e
força axial utilizado pelo item 5.6.7.2 – Eurocode 3 foi satisfeito.
kgmm 1745800000=Msd
8.3.6.5.2 Método do campo de tração – item 5.6.7.3
- cálculo da largura g do campo de tração, conforme 5.6.4.1(3) – Eurocode 3:
( )( ) ( ) (
c tg d cos a s s sin
2000cos 0.34 2500 sin 0.34g 1051.8 mm
= φ− − − φ
= −
=)
- a resistência de projeto à flambagem por cisalhamento deve ser obtida por: Rd,bwV
374
( ) ( )[ ]( )( ) ( ) (( )[ ]
kgf 03.238934=V34.0sin98.1647.128.10519.0+86.547.122000=
γ/φsinσgt9.0+τdt=V
Rd,bw
1MbbwbbwRd,bw
)
( ) ( )( )
( )( )
2
Sd f ,Rd pl,Rd f ,Rd Sd bw,Rd
2
M M M M 1 2V / V 1
1793750000 2143750000 1793750000
1 2 218219 / 238934 1
1904603556 kgmm
⎡ ⎤≤ + − − −⎣ ⎦
= + −
⎡ ⎤− −⎣ ⎦=
Como é menor que o valor acima, os requerimentos de interação
entre força cortante e momento fletor adotados pelo item 5.6.7.3 – Eurocode 3 foram
satisfeitos.
kgmm 1745800000=Msd
375
9 RESULTADOS E QUADROS COMPARATIVOS
Neste capítulo serão apresentados, através de tabelas, os resultados obtidos no
capítulo 8, pelas normas e teorias utilizadas, para as vigas analisadas.
9.1 Resultados obtidos do momento fletor resistente característico pelas normas para
os exemplos analisados
Os itens a seguir trazem as tabelas com os resultados do momento fletor resistente
de cálculo, obtidos pelas normas utilizadas.
9.1.1 Exemplo 1
A tabela 9.1.1 traz os valores dos parâmetros de esbeltez para cada estado limite
de flambagem e momento fletor resistente característico, para a viga analisada no exemplo 1,
Tabela 9.1.1 – Valores obtidos pelas normas dos parâmetros de esbeltez e do momento fletor resistente característico da viga dimensionada no exemplo 1 (momento fletor solicitante de cálculo ). kNm 608.0=Msd
normas
parâmetros de esbeltez e momento fletor resistente
característico LRFD
ap
êndi
ce G
2
NB
R 8
800/
86
anex
o F
PNB
R 8
800/
03
anex
o F
PNB
R 8
800/
07
anex
o H
Euro
code
3
itens
5.4
.5 e
5.5
.2
f
f
t2b
=λ
flambagem local da mesa
16
16
16
16
16
wth
=λ
flambagem local da alma
250
250
250
250
250
T
b
rL
=λ
flambagem lateral com torção
46.4
46.4
46.4
46.4
-
nM (kNm) momento resistente característico 74
1.3
839.
7
822.
2
822.
2
736.
8
376
calculados através dos critérios de cada norma utilizada. Pode-se observar que os resultados
obtidos pelas normas para o momento fletor resistente característico são aproximados.
9.1.2 Exemplo 2
A tabela 9.1.2 se refere à viga analisada no exemplo 2, onde são apresentados os
valores dos momentos fletores resistentes da viga obtidos pelas normas, onde se deve fazer a
observação de que para a verificação quanto viga esbelta, a alma dimensionada por PFEIL
(1989) sofreu uma pequena redução em sua espessura. Esta redução de espessura efetuada nas
etapas de verificação não diminuiu significativamente a resistência ao cortante da alma, de
forma que os espaçamentos entre os enrijecedores dos painéis caculados por PFEIL (1989)
não foram alterados. O valor do momento fletor resistente obtido pelas normas é muito
aproximado do momento fletor resistente calculado por PFEIL (1989), que calculou o valor
Tabela 9.1.2 – Valores obtidos pelas normas dos parâmetros de esbeltez e do momento fletor resistente característico da viga analisada no exemplo 2 (momento fletor solicitante de cálculo ). kNm 0.8878=Msd
normas
parâmetros de esbeltez e momento fletor resistente
característico LRFD
ap
êndi
ce G
2
NB
R 8
800/
86
anex
o F
PNB
R 8
800/
03
anex
o F
PNB
R 8
800/
07
anex
o H
Euro
code
3
itens
5.4
.5 e
5.5
.2
f
f
t2b
=λ
flambagem local da mesa
6.8
6.8
6.8
6.8
6.8
wth
=λ
flambagem local da alma 161.
2
160.
4
163.
2
163.
2
163.
2
T
b
rL
=λ
flambagem lateral com torção
61.6
61.6
61.6
61.6
-
nM (kNm) momento resistente característico 12
021.
3
1201
4.1
1198
0.8
1198
0.8
9146
.7
377
de verificando a resistência da viga pela NB 14/86 e considerando a
seção classe 3 para flambagem local da alma e classe 2 para flambagem local da mesa. A
proximidade dos valores do momento fletor resistente calculado por PFEIL (1989) como
seção classe 3 e do obtido pelas normas considerando seção classe 4 (esbelta), é explicada
pelo fato de que as dimensões da chapa da alma propostas por PFEIL (1989) levaram a um
parâmetro de esbeltez à flambagem local da alma muito próximo (um pouco abaixo) do limite
que separa seções esbeltas de não-compactas, onde o momento resistente foi calculado
utilizando a interpolação linear entre , e pelos critérios das normas foi efetuada a
redução na espessura da alma, o que resultou num parâmetro de esbeltez à flambagem local
da alma um pouco acima (muito próximo) do limite que separa seções esbeltas de não-
compactas, onde o cálculo do momento fletor resistente foi feito através do valor da tensão
crítica para os parâmetros de esbeltez, onde acarreta a diminuição da resistência à
flexão.
kNm 5.12385M n =
crf
rp M e M
crf
9.1.3 Exemplo 3
A tabela 9.1.3 relaciona os valores dos momentos fletores resistentes
característicos da viga analisada no exemplo 3, obtidos através da utilização das normas já
citadas no processo de verificação. Para que esta viga pudesse ser verificada na categoria de
viga esbelta, foi necessário fazer uma redução na espessura da alma proposta por
NARAYANAN (1992, apud OWENS, KNOWLES E DOWLING, 1992), que tem o valor de
14 mm, e após a redução, passou a ter o valor de 12.47 mm, a qual foi utilizada na verificação
pelas normas. Esta redução foi calculada de acordo com o limite inferior do parâmetro de
esbeltez à flambagem local da alma. NARAYANAN (1992, apud OWENS, KNOWLES E
DOWLING, 1992) obteve o momento resistente característico da viga considerando
contenção lateral total ao longo de seu comprimento. Nas verificações pelas normas, foi
adotado um comprimento sem contenção lateral de 11300 mm no meio do vão. Pelas normas
LRFD, NBR 8800/86, PNBR 8800/03 e PNBR 8800/07, este comprimento sem restrição
lateral foi aceito e os momentos fletores resistentes da tabela 9.1.3 foram calculados levando
este comprimento sem contenção lateral em conta. O Eurocode 3 apresentou, de acordo com o
item 5.5.2 – Eurocode 3, um valor reduzido do momento fletor para flambagem lateral com
torção que ficou abaixo do momento fletor solicitante de cálculo e o valor do momento fletor
378
resistente obtido pelo Eurocode 3, que consta na tabela 9.1.3 foi obtido pelo item 5.4.5 –
Eurocode 3.
Tabela 9.1.3 – Valores obtidos pelas normas dos parâmetros de esbeltez e do momento fletor resistente característico da viga analisada no exemplo 3 (momento fletor solicitante de cálculo ). kNm 0.17458=Msd
normas
parâmetros de esbeltez e momento fletor resistente
característico LRFD
ap
êndi
ce G
2
NB
R 8
800/
86
anex
o F
PNB
R 8
800/
03
anex
o F
PNB
R 8
800/
07
anex
o H
Euro
code
3
itens
5.4
.5 e
5.5
.2
f
f
t2b
=λ
flambagem local da mesa
7.0
7.0
7.0
7.0
7.0
wth
=λ
flambagem local da alma 161.
2
160.
4
163.
2
163.
2
163.
2
T
b
rL
=λ
flambagem lateral com torção
59.2
59.1
59.1
59.1
- nM (kNm)
momento resistente característico 1880
3.6
1834
7.1
1834
7.1
1834
7.1
1873
2.4
9.2 Resultados obtidos da força cortante resistente característica pelas normas para
os exemplos analisados
Os itens a seguir apresentam as tabelas comparativas para as três vigas analisadas
neste trabalho para o cálculo da força cortante resistente de cálculo fornecidas pelas normas
utilizadas.
9.2.1 Flambagem elástica sob cisalhamento puro
A seguir serão apresentadas as tabelas que fornecem os valores da força cortante
nominal sem a ação do campo de tração para os painéis que apresentaram flambagem elástica
ao cisalhamento, onde painéis finais de vigas devem apresentar uma força cortante nominal
379
sem a ação do campo de tração superior à força cortante solicitante pois a ação do campo de
tração não pode ser considerada para painéis extremos.
9.2.1.1 Exemplo 1
A tabela 9.2.1 apresenta os valores da força cortante resistente nominal de cada
painel da viga dimensionada no exemplo 1, obtidos pelas normas utilizadas. Esta viga
apresenta uma alma muito esbelta, por isso ela sofre flambagem elástica em todos os seus
painéis. O Eurocode 3 forneceu valores mais altos para a força cortante resistente nominal
que as outras normas, que apresentam resultados muito aproximados entre si. Os painéis
finais desta viga, com espaçamento a = 493 mm apresentaram uma força cortante resistente
maior que a solicitante, e para os painéis com espaçamento a = 920 mm a força cortante
resistente é menor que a solicitante, onde se pode recorrer ao acréscimo de resistência
proveniente de ação do campo de tração.
Tabela 9.2.1– Força cortante resistente nominal para flambagem elástica calculada com a utilização das normas para a viga analisada no exemplo 1, para flambagem elástica (força cortante solicitante de cálculo
). kN 0.155=Vsd
normas
força cortante resistente
característica nV
espaçamento “a” entre
enrijecedores dos painéis LR
FD
apên
dice
G3
NB
R 8
800/
86
item
5.5
.2
PNB
R 8
800/
03
item
5.4
.3.2
.1
PNB
R 8
800/
07
item
5.4
.3
Euro
code
3
item
5.6
.3
a = 493 mm
171.
3
172.
8
179.
2
179.
2
321.
9
flambagem (kN)
crV
a = 920 mm 78.8
76.3
83.7
83.7
214.
2
9.2.1.2 Exemplo 2
A tabela 9.2.2 apresenta os valores da força cortante resistente característica dos
painéis da viga analisada no exemplo 2, que apresentam flambagem elástica, calculados por
380
cada norma utilizada. Para estes painéis, o Eurocode 3 apresentou resultados um pouco mais
altos que as outras normas, que apresentam resultados aproximados. Para esta viga, somente
os painéis que têm espaçamento entre enrijecedores a = 1400 mm sofrem flambagem elástica.
Tabela 9.2.2 – Força cortante resistente nominal para flambagem elástica calculada com a utilização das normas para a viga analisada no exemplo 2 (força cortante solicitante de cálculo ). kN 7.1792=Vsd
normas
força cortante resistente
característica nV
espaçamento “a” entre
enrijecedores dos painéis LR
FD
apên
dice
G3
NB
R 8
800/
86
item
5.5
.2
PNB
R 8
800/
03
item
5.4
.3.2
.1
PNB
R 8
800/
07
item
5.4
.3
Euro
code
3
item
5.6
.3
flambagem (kN)
crV a = 1400 mm
2706
.6
2652
.7
2661
.4
2661
.4
2840
.7
9.2.1.3 Exemplo 3
A tabela 9.2.3 apresenta os valores da força cortante resistente nominal obtida
Tabela 9.2.3 – Força cortante resistente nominal para flambagem elástica calculada com a utilização das normas para a viga analisada no exemplo 3 (força cortante solicitante de cálculo ). kN 2.2182=Vsd
normas
força cortante resistente
característica nV
espaçamento “a” entre
enrijecedores dos painéis LR
FD
apên
dice
G3
NB
R 8
800/
86
item
5.5
.2
PNB
R 8
800/
03
item
5.4
.3.2
.1
PNB
R 8
800/
07
item
5.4
.3
Euro
code
3
item
5.6
.3
a = 2500 mm
1439
.7
1406
.5
1435
.9
1435
.9
2062
.5
flambagem (kN)
crV
a = 2825 mm
1326
.1
1306
.7
1313
.2
1313
.2
1987
.7
381
para os painéis da viga analisada no exemplo 3, que apresentam flambagem elástica, pelas
normas utilizadas. Os resultados obtidos pelo Eurocode 3 são mais altos que os das outras
normas.
9.2.2 Flambagem inelástica sob cisalhamento puro
A seguir serão apresentadas as tabelas que fornecem os valores da força cortante
nominal sem a ação do campo de tração. Serão apresentados neste item os valores da
resistência nominal ao cortante de todos os painéis que apresentaram flambagem inelástica ao
cisalhamento, lembrando que os painéis finais das vigas devem apresentar uma força cortante
nominal sem a ação do campo de tração superior à força cortante solicitante, pois a ação do
campo de tração não pode ser considerada para painéis extremos.
9.2.2.1 Exemplo 1
A viga do exemplo 1 não apresenta painéis que flambam na extensão inelástica.
Todos os painéis desta viga apresentam flambagem elástica, os quais foram apresentados no
item 9.2.1.1.
9.2.2.2 Exemplo 2
A tabela 9.2.4 apresenta os valores da força cortante resistente característica dos painéis da
Tabela 9.2.4 – Força cortante resistente nominal para flambagem inelástica calculada com a utilização das normas para a viga analisada no exemplo 2 (força cortante solicitante de cálculo ). kN 7.1792=Vsd
normas
força cortante resistente
característica nV
espaçamento “a” entre
enrijecedores dos painéis LR
FD
apên
dice
G3
NB
R 8
800/
86
item
5.5
.2
PNB
R 8
800/
03
item
5.4
.3.2
.1
PNB
R 8
800/
07
item
5.4
.3
Euro
code
3
item
5.6
.3
flambagem (kN)
crV a = 800 mm
3812
.1
3741
.0
3675
.0
3675
.0
3598
.8
382
viga do exemplo 2, que apresentam flambagem inelástica, calculados por cada norma
utilizada. Como esta viga apresenta uma alma pouco esbelta, os valores obtidos pela LRFD e
pelo Eurocode 3 para o cortante resistente são mais aproximados que no caso da viga
calculada exemplo 1, onde os valores do cortante resistente apresentado pela LRFD se
diferencia muito do apresentado pelo Eurocode 3, porque esta apresenta uma alma muito
esbelta. Pode-se utilizar a tabela B.1 do Anexo B para verificar a proximidade dos valores
apresentados pela LRFD e pelo Eurocode 3 através da tabela 9.2.2.
9.2.2.3 Exemplo 3
A tabela 9.2.5 apresenta os valores da força cortante resistente nominal obtida
para todos os painéis da viga analisada no exemplo 3 pelas normas utilizadas.
Tabela 9.2.5 – Força cortante resistente nominal para flambagem inelástica calculada com a utilização das normas para a viga analisada no exemplo 3 (força cortante solicitante de cálculo ). kN 2.2182=Vsd
normas
força cortante resistente
característica nV
espaçamento “a” entre
enrijecedores dos painéis LR
FD
apên
dice
G3
NB
R 8
800/
86
item
5.5
.2
PNB
R 8
800/
03
item
5.4
.3.2
.1
PNB
R 8
800/
07
item
5.4
.3
Euro
code
3
item
5.6
.3
flambagem (kN)
crV a = 925 mm
3788
.7
3741
.0
3675
.0
3675
.0
3553
.9
9.2.3 Resistência nominal ao cisalhamento incluindo a ação do campo de tração
A seguir serão apresentadas as tabelas que fornecem os valores da força cortante
nominal incluindo a ação do campo de tração, dos exemplos analisados, dos painéis
intermediários das vigas, excluídos os painéis finais, pois a ação do campo de tração não pode
ser considerada para estes.
9.2.3.1 Exemplo 1
383
A tabela 9.2.6 apresenta os valores da força cortante resistente de cálculo incluindo a ação do
campo de tração obtidos pelas normas utilizadas. Os valores apresentados foram divididos em
força cortante nominal do painel sem a ação do campo de tração, ou seja, o cortante nominal
Tabela 9.2.6 – Força cortante resistente nominal incluindo a ação do campo de tração calculada com a utilização das normas para a viga dimensionada no exemplo 1 (força cortante solicitante de cálculo ). kN 0.155=Vsd
normas
força cortante resistente
característica nV
espaçamento “a” entre
enrijecedores dos painéis LR
FD
apên
dice
G3
NB
R 8
800/
86
anex
o G
PNB
R 8
800/
03
anex
o G
PNB
R 8
800/
07
-
Euro
code
3
item
5.6
.4
a = 493 mm
171.
3
172.
8
179.
2
179.
2
176.
1
flambagem (kN)
crV
a = 920 mm 78.8
76.3
81.5
83.7
78.0
campo de tração (kN) tfV a = 920 mm
404.
8
400.
0
397.
0
-
281.
0
nominal kN) tfcr V+V ( a = 920 mm
483.
5
476.
3
478.
5
83.7
359.
0
na iminência de flambagem e a força cortante resistente incluindo a ação do campo e tração,
que representa a ação pós-flambagem, onde este valor não foi calculado para painéis finais. O
item 5.6.4 – Eurocode 3 fornece a resistência de flambagem, considerando esta separadamente
da ação do campo de tração, mais aproximada das outras normas, onde os valores de
calculados pelo Eurocode 3 se aproximam das demais normas, diferentemente do método
simples pós-crítico do Eurocode 3, onde os valores de são mais altos que os das outras
normas. Os valores de calculados pelas normas são aproximados, exceto os calculados
pelo Eurocode 3, que forneceu valores mais baixos.
crV
crV
tfV
9.2.3.2 Exemplo 2
384
A tabela 9.2.7 fornece os valores, obtidos pelas normas utilizadas, da força
cortante resistente de cálculo para os painéis da viga analisada no exemplo 2, dimensionada
por PFEIL (1989), em duas partes, a primeira não inclui a ação do campo de tração e a
segunda a leva em consideração.
Tabela 9.2.7 – Força cortante resistente característica incluindo a ação do campo de tração calculada com a utilização das normas para a viga analisada no exemplo 2 (Força cortante solicitante de cálculo ). kN 7.1792=Vsd
normas
força cortante resistente
característica nV
espaçamento “a” entre
enrijecedores dos painéis LR
FD
apên
dice
G3
NB
R 8
800/
86
anex
o G
PNB
R 8
800/
03
anex
o G
PNB
R 8
800/
07
-
Euro
code
3
item
5.6
.4
a = 800 mm
3812
.1
3741
.0
3675
.0
3675
.0
3598
.8
flambagem crV (kN)
a = 1400 mm
2706
.6
2652
.7
2661
.4
2661
.4
2446
.6
campo de tração (kN) tfV a = 1400 mm
787.
5
772.
7
767.
1
-
634.
7 nominal
kN) tfcr V+V ( a = 1400 mm
3494
.1
3425
.4
3428
.5
2661
.4
3082
.6
9.2.3.3 Exemplo 3
A tabela 9.2.8 apresenta os valores obtidos pelas normas utilizadas para a força
cortante resistente nominal para os painéis da viga analisada no exemplo 3, dimensionada por
NARAYANAN (1992, apud OWENS, KNOWLES E DOWLING, 1992). Os valores
apresentados foram divididos em duas partes, a força cortante nominal do painel sem a ação
do campo de tração, ou seja, o cortante nominal na iminência de flambagem e a força cortante
resistente incluindo a ação do campo e tração, onde este valor não foi calculado para painéis
finais. Os valores apresentados na tabela 9.2.8 são obtidos pelas normas utilizadas
considerando algumas modificações nas dimensões originalmente propostas por
NARAYANAN (1992, apud OWENS, KNOWLES E DOWLING, 1992), como a redução na
385
espessura da alma de 14 mm para 12.47 mm, e a redução do espaçamento entre os
enrijecedores dos painéis finais. Pode-se observar que os valores de obtidos através do
Eurocode 3 são menores que os obtidos através das outras normas.
tfV
Tabela 9.2.8 – Força cortante resistente característica incluindo a ação do campo de tração calculada com a utilização das normas para a viga analisada no exemplo 3 (força cortante solicitante de cálculo ). kN 2.2182=Vsd
normas
força cortante resistente
característica nV
espaçamento “a” entre
enrijecedores dos painéis LR
FD
apên
dice
G3
NB
R 8
800/
86
anex
o G
PNB
R 8
800/
03
anex
o G
PNB
R 8
800/
07
-
Euro
code
3
item
5.6
.4
a = 925 mm
3788
.7
3741
.0
3675
.0
3675
.0
3554
.0
a = 2500 mm
1439
.7
1406
.5
1400
.1
1400
.1
1461
.5
flambagem crV (kN)
a = 2825 mm
1326
.1
1306
.7
1278
.9
1278
.9
1354
.2
a = 2500 mm
1276
.1
1267
.6
1235
.2
-
905.
6 campo de tração
(kN) tfVa = 2825 mm
1237
.4
1222
.0
1202
.8
-
656.
0
a = 2500 mm
2715
.8
2674
.1
2635
.3
1400
.1
2367
.1
nominal kN) tfcr V+V (
a = 2825 mm
2563
.5
2528
.7
2481
.7
1278
.9
2010
.3
9.3 Resultados obtidos pelas teorias para os exemplos analisados
Neste item serão apresentados os resultados obtidos pelas teorias utilizadas para
os exemplos analisados, calculados no capítulo 8.
386
9.3.1 Teoria de JUHÁS (2001)
A tabela 9.3.1.1 apresenta os resultados, obtidos para os exemplos analisados, das
fórmulas de interação entre momento fletor e força cortante, da teoria de JUHÁS (2001).
Pode-se observar nesta tabela que todas as vigas analisadas neste trabalho se adequaram às
fórmulas de interação entre momento e cortante propostas por JUHÁS (2001), assim como os
exemplos analisados também se adequaram a todas as fórmulas de interação entre momento e
cortante propostas pelas normas utilizadas.
Tabela 9.3.1.1 – Resultados, obtidos para os exemplos analisados, das fórmulas de interação entre momento fletor e força cortante, da teoria de JUHÁS (2001).
exemplos analisados fórmulas de interação
1 2 3
1VV
VV
MM
MM
2222
≤⎟⎟⎞
⎜⎜⎛
+⎟⎟⎞
⎜⎜⎛
⎟⎟⎞
⎜⎜⎛γ−⎟
⎟⎞
⎜⎜⎛
plplplpl ⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝
(equação 3.3.1.13)
0.21 0.51 0.70
1.1VV1.1
VV
MM
MM
2222
≤⎟⎟⎞
⎜⎜⎛
+⎟⎟⎞
⎜⎜⎛
⎟⎟⎞
⎜⎜⎛γ−⎟
⎟⎞
⎜⎜⎛
plplplpl ⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝
(equação 3.3.1.14)
1.00 1.01 0.89
11V
V2M
MMM
2
w,pl ≤⎟⎟⎞
⎜⎜⎛
−+plplpl ⎠⎝
(equação 3.3.1.16)
0.48 0.61 0.83
A tabela 9.3.1.2 apresenta os parâmetros e propriedades obtidos para os exemplos
analisados, de acordo com a teoria de JUHÁS (2001). Nesta tabela estão incluídos alguns
parâmetros calculados por esta teoria, como a proporção de aspecto α, a proporção de material
m, a proporção de forma γ , o parâmetro de esbeltez da alma β . As propriedades da seção e
os esforços atuantes também estão incluídos nesta tabela.
387
Tabela 9.3.1.2 – Parâmetros e propriedades obtidos para os exemplos analisados, de acordo com a teoria de JUHÁS (2001).
exemplos analisados 1 2 3 parâmetro α dos painéis parâmetros e propriedades
0.58
1.08
0.40
0.70
0.46
1.
25
1.41
m 1.00 1.00 1.00
β 250 160.4 160.4 γ 1.11 1.07 1.40
δ 1.02 1.04 1.05
0δ 1.01 1.02 1.03
ξ 1.11 1.34 1.22
0ξ 0.28 0.51 0.40
1ξ 0.52 0.36 0.43
plM/M 0.42 0.61 0.83
plV,u M/M 0.82 0.59 0.76
plV/V 0.21 0.49 0.59
plM,u V/V 0.42 0.54 0.54
parâ
met
ros
( )limplM,u V/V 0.84 0.84 0.84
wt (mm) 3.4 12.47 12.47
d (mm) 850 2000 2000
h (mm) 870 2076.2 2100
fb (mm) 320 600 700
ft (mm) 10 44.45 50
wA ( )2mm 2890 24940 24940
fA ( )2mm 3200 26670 35000
M (kNm) 608.2 8790.0 17458.0
plM (kNm) 1464.3 14480.0 21055.0
V,uM (kNm) 1196.5 8476.0 15965.9
V (kN) 154.2 1758.0 2140.0
plV (kN) 725.8 3599.8 3599.8
prop
rieda
des
M,uV (kN) 303.6 1958.5 1946.0
388
9.3.2 Teoria de BLEICH (1952)
A tabela 9.3.2.1 apresenta os resultados obtidos para os exemplos analisados, dos
parâmetros e tensões críticas, calculados de acordo com a teoria de BLEICH (1952).
Tabela 9.3.2.1 – Resultados obtidos para os exemplos analisados, dos parâmetros e tensões críticas, calculados de acordo com a teoria de BLEICH (1952).
exemplos analisados parâmetros e tensões críticas 1 2 3
α 0.58 1.08 0.40 0.70 0.46 1.25 1.41
β 0.00 0.00 0.60 1.00 0.49 0.49 0.49
parâ
met
ros
κ 0.83 0.36 1.56 0.62 1.22 0.33 0.31
yσ 435.0 435.0 250.0 250.0 250.0 250.0 250.0
pσ 348.0 348.0 200.0 200.0 200.0 200.0 200.0
1σ 0.0 0.0 42.3 70.5 42.3 42.3 42.3
xyτ 53.6 53.6 70.5 70.5 85.8 85.8 85.8
o
c1σ 72.9 72.9 172.9 172.9 172.9 172.9 172.9
o
cτ 60.4 26.6 269.2* 107.3 210.6* 56.9 53.0
c1σ 0.0 0.0 75.9 91.1 62.2 27.6 26.0
tens
ões c
rític
as (M
Pa)
cτ 60.4 26.6 126.6 91.1 126.9 56.3 53.0
* valores de > indicam que a flambagem ocorre na extensão inelástica. o
cτ pσ
9.3.3 Teoria de YU (1991)
A tabela 9.3.3.1 apresenta os parâmetros e propriedades obtidos para os exemplos
analisados, de acordo com a teoria de YU (1991).
389
Tabela 9.3.3.1 – Parâmetros e propriedades obtidos para os exemplos analisados, de acordo com a teoria de YU (1991).
exemplos analisados 1 2 3
parâmetros e propriedade
α=0.
58
α=1.
08
α=0.
40
α=0.
70
α=0.
46
α=1.
25
α=1.
41
vk 19.9 8.8 37.4 14.9 29.0 7.9 7.3
λ=h/t 250.0 250.0 160.4 160.4 160.4 160.4 160.4
parâ
met
ros
yvr F/Ek38.1λ = 135.2 89.7 241.6 152.5 212.7 111.1 106.8
prop
rieda
de
aV (kN) 174.4 76.8 3741.0 2675.4 3741.0 1419.4 1311.6
9.3.4 Teoria de HÖGLUND (1998)
A tabela 9.3.4.1 apresenta os parâmetros e propriedades obtidos para os exemplos
analisados, de acordo com a teoria de HÖGLUND (1998).
Tabela 9.3.4.1 – Parâmetros e propriedades obtidos para os exemplos analisados, de acordo com a teoria de HÖGLUND (1998).
exemplos analisados 1 2 3
parâmetros e propriedades
α=0.
58
α=1.
08
α=0.
40
α=0.
70
α=0.
46
α=1.
25
α=1.
41
wλ 2.04 3.07 1.07 1.16 1.04 1.59 1.65
vu f/τ 0.62 0.43 0.99 0.96 1.00 0.77 0.75
parâ
met
ros
vρ 0.29 0.21 0.45 0.42 0.46 0.34 0.34
crτ (MPa) 60.4 26.6 126.6 107.3 134.3 56.9 53.0
vf (MPa) 251.2 251.2 144.3 144.3 144.3 144.3 144.3
uτ (MPa) 155.7 108.0 142.9 138.5 144.3 111.1 108.2
prop
rieda
des
wV (kN) 364.6 264.0 2805.8 2618.7 2868.1 2120.0 2120.0
390
10 CONCLUSÕES E COMENTÁRIOS
10.1 Conclusões gerais
Neste trabalho, três vigas de diferentes dimensões e condições de carregamento,
que têm a mesma característica de serem vigas de alma esbelta foram verificadas quanto à sua
resistência, através das normas LRFD – Manual of Steel Construction (AISC, 1994), NBR
8800/86 - Projeto e execução de estruturas de aço de edifícios (método dos estados limites)
(ABNT, 1986), Projeto de Revisão da NBR 8800 – Projeto e execução de estruturas de aço e
de estruturas mistas aço-concreto de edifícios (ABNT, 2003), Projeto de Revisão da NBR
8800 – Projeto de estruturas de aço e de estruturas mistas de aço e concreto de edifícios
(ABNT, 2007) e Eurocode 3: Design of steel structures (CEN, 1992). Teorias relacionadas ao
dimensionamento de vigas esbeltas também foram utilizadas para a verificação das vigas.
JUHÁS (2001) desenvolveu uma teoria para o cálculo da interação entre momento fletor e
força cortante em vigas compactas e vigas esbeltas, híbridas e homogêneas. BLEICH (1952)
apresentou uma teoria para o cálculo da tensão crítica de cisalhamento de chapas de alma de
vigas carregadas por cisalhamento e tensões de flexão e compressivas combinadas. YU (1991)
apresentou uma teoria que calcula a tensão admissível de painéis de chapas de alma de vigas
esbeltas. HÖGLUND (1998) propôs o cálculo da força cortante nominal de painéis de vigas
esbeltas utilizando o método do campo de tensões principais.
10.1.1 Sobre os exemplos analisados
Todas as vigas verificadas neste trabalho são adequadas às normas e às teorias
utilizadas.
10.1.1.1 Exemplo 1
A viga calculada no exemplo 1 tem a resistência ao escoamento do aço = 435
MPa, e o parâmetro de esbeltez à flambagem local da alma . Este parâmetro de
esbeltez tem um valor muito próximo de seu limite máximo para esta tensão de escoamento
do aço. Os valores limites dos parâmetros de esbeltez à flambagem local da alma para
diversos valores da resistência ao escoamento do aço foram fornecidos por SALMON E
yf
250=h/t=λ w
391
JOHNSON (1996), e constam na tabela 7.2.1. Pode-se notar que esta é uma viga calculada
com aço de alta resistência, com um parâmetro de esbeltez à flambagem local da alma
próximo de seu limite máximo, onde se pode dizer que esta viga apresenta uma alma muito
esbelta.
Para o cálculo do momento fletor, para vigas que apresentam parâmetro de
esbeltez à flambagem local da alma de categoria esbelta, pode-se ter a ocorrência de que os
outros dois parâmetros de esbeltez, que são o de flambagem local da mesa e o de flambagem
lateral com torção, se enquadrem na categoria de compacta ou não-compacta. Para o
parâmetro de esbeltez de flambagem local da mesa, uma relação de mais baixa
diminui o valor do parâmetro de esbeltez de flambagem local da mesa, que pode estar abaixo
do referido parâmetro limite para seções não-compactas ou compactas. Para o parâmetro de
esbeltez de flambagem lateral com torção, o aumento do raio de giração de um terço da altura
da alma comprimida mais a mesa comprimida, ou a diminuição do comprimento
diminuem o valor do parâmetro de esbeltez de flambagem lateral com torção, o qual pode se
situar abaixo do limite para seções não-compactas ou compactas. Foi o que aconteceu no
cálculo das dimensões das mesas da viga dimensionada no exemplo 1 do capítulo 8. A
fórmula da área da mesa utilizada para o cálculo da área requerida da mesa indicou um valor
de , um valor que foi considerado baixo, após a escolha das dimensões
que atingiam esta área e posterior verificação dos seus parâmetros de esbeltez que se
enquadravam na categoria de não-compactas. Foi necessário aumentar a área da seção para
e posterior verificação dos dois parâmetros de esbeltez citados, onde estes
se enquadraram na categoria de não-compactas, mas com uma área maior da seção das mesas,
o que incrementa as propriedades da seção, se obtendo uma reserva de resistência favorável
quando se for fazer as necessárias reduções nas tensões críticas.
ff t2/b
bL ,
2.in5.2
2.in96 =
2cm 13.16=
2cm 32.4
Para o cálculo da força cortante resistente, esta viga apresentou uma alma muito
esbelta, o que acarretou a flambagem elástica de todos os seus painéis, onde os painéis finais
suportaram a força cortante solicitante e os painéis centrais tiveram que recorrer ao acréscimo
de resistência proveniente da ação do campo de tração, pois sua resistência nominal de
flambagem ficou abaixo do cortante solicitante.
10.1.1.2 Exemplo 2
392
PFEIL (1989) calculou uma viga (exemplo 2) que apresentou um parâmetro de
esbeltez à flambagem local da alma com valor . O valor de 48.157=h/t=λ w λ limite que
separa seções não-compactas de esbeltas para este valor da tensão de escoamento do aço é
. PFEIL (1989) verificou o seu momento fletor resistente de cálculo pela
NB 14/86 considerando sua seção como não-compacta (classe 3). Ao fazer a verificação pelas
normas, foi necessário modificar a seção da chapa da alma, através da redução de sua
espessura, de 12.7 mm para 12.47 mm, para que esta viga se enquadrasse na categoria de viga
esbelta, para se ter condições de verificação pelas normas. Pode-se notar da viga analisada no
exemplo 2, dimensionada por PFEIL (1989), considerando a pequena redução na espessura da
alma, que esta apresenta um aço de média resistência, = 250 MPa e um parâmetro de
esbeltez à flambagem local da alma próximo de seu limite mínimo, onde se pode dizer que
esta viga apresenta uma alma pouco esbelta. A força cortante resistente calculada para os
painéis, pelas normas e pelas teorias utilizadas apresentou valores bem acima da força
cortante solicitante.
36.160=h/t=λ w
yf
10.1.1.3 Exemplo 3
A viga do exemplo 3, dimensionada por NARAYANAN (1992, apud OWENS,
KNOWLES E DOWLING, 1992) foi verificada com aço = 250 MPa (média resistência), e
apresentou um parâmetro de esbeltez à flambagem local da alma com valor de 160.36, valor
que é próximo de seu limite mínimo, de acordo com a equação 7.4.2. NARAYANAN (1992,
apud OWENS, KNOWLES E DOWLING, 1992) propôs a espessura da alma de 14 mm,
fornecendo , que a enquadra na categoria de não-compacta. Foi necessário
também efetuar uma redução na espessura da chapa da alma, de 14 mm para 12.47 mm, onde
yf
86.142=h/t=λ w
λ aumentou para 160.4, para que esta se enquadrasse na categoria de viga esbelta com alma
pouco esbelta. A resistência ao cortante dos painéis desta viga é menor que no caso do
exemplo 2, pois as duas almas têm a mesma seção transversal, e os painés intermediários da
viga dimensionada por NARAYANAN (1992, apud OWENS, KNOWLES E DOWLING,
1992) apresentam um maior espaçamento entre enrijecedores, por isso a resistência nominal
incluindo a ação do campo de tração diminui, porque ocorre uma diminuição na resistência de
flambagem, e um pequeno aumento na resistência da ação do campo de tração.
393
10.1.2 Sobre as normas utilizadas
A norma brasileira e seus projetos de revisão apresentam critérios idênticos aos da
norma americana para o cálculo de vigas esbeltas. A norma européia apresenta critérios um
pouco diferenciados dos critérios da norma americana, mas estas apresentam resultados
aproximados entre si. Os anexos A e B deste trabalho trazem análises comparativas entre os
critérios utilizados pelas normas.
10.1.2.1 LRFD (AISC, 1994)
Todos os critérios utilizados pela norma LRFD (AISC, 1994), apêndice G, foram
demonstrados por SALMON E JOHNSON (1996), com base em teorias de resistência dos
materiais e estabilidade estrutural, de acordo com o conteúdo do capítulo 7. Através do
apêndice G1, esta norma fixa as limitações de máximo e mínimo para a categoria de
vigas esbeltas. O apêndice G2 calcula a resistência de projeto à flexão de vigas esbeltas, onde
o momento fletor resistente depende da tensão crítica que é calculada para três estados limites
de flambagem. O apêndice G3 calcula a resistência de projeto ao cisalhamento, incluindo a
ação do campo de tração, para flambagem elástica e inelástica. O apêndice G4 se refere ao
dimensionamento dos enrijecedores transversais e o apêndice G5 calcula a interação flexão-
cisalhamento.
wt/h
10.1.2.2 NBR 8800 (ABNT, 1986)
A norma NBR 8800 (ABNT, 1986) apresenta critérios idênticos aos critérios da
norma americana, de acordo com os anexos A e B deste trabalho.
10.1.2.3 PNBR 8800 (ABNT, 2003)
A norma PNBR 8800 (ABNT, 2003) apresenta critérios idênticos aos critérios da
norma americana, de acordo com os anexos A e B deste trabalho.
10.1.2.4 PNBR 8800 (ABNT, 2007)
394
A norma PNBR 8800 (ABNT, 2007) apresenta critérios idênticos aos critérios da
norma americana, de acordo com os anexos A e B deste trabalho. Este projeto de revisão não
considera a ação do campo de tração no cálculo da força cortante resistente característica de
vigas esbeltas, o que o difere das demais normas utilizadas.
10.1.2.5 Eurocode 3 (CEN, 1992)
A norma européia Eurocode 3 (CEN, 1992) apresenta critérios diferenciados dos
critérios utilizados pela norma americana, tanto no cálculo do momento fletor resistente
característico, como no cálculo da força cortante resistente característica, e também no
dimensionamento dos enrijecedores e na verificação da interação entre momento fletor e força
cortante. Para o cálculo do momento fletor resistente característico, a norma européia utiliza
reduções na seção transversal causadas por efeitos de flambagem local, de acordo com as
tabelas 3.2.1, 3.2.2, 3.2.3 e 3.2.4. Estas reduções na seção efetiva causam uma redução no
módulo elástico efetivo da seção, o qual é multiplicado pela tensão de escoamento do material
para a obtenção do momento fletor resistente, e as outras normas utilizam o módulo elástico
da seção bruta, sem sofrer redução, o qual é multiplicado pela tensão crítica, a qual é reduzida
de acordo com os estados limites de flambagem. Esta é a principal diferença entre as normas
européia e americana. Para o estado limite de flambagem lateral com torção, o Eurocode 3
calcula as propriedades para cada seção individual, e a norma americana utiliza o parâmetro
de esbeltez de flambagem lateral com torção.
Para o cálculo da força cortante resistente, o cálculo pelo método simples pós-
crítico do Eurocode 3 corresponde ao cálculo da resistência de flambagem da norma
americana, os quais se diferenciam, principalmente, nos valores do coeficiente de redução do
cortante, que podem ser observados nas tabelas B.2 e B.5. No método do campo de tração, o
Eurocode 3, assim como a norma americana, utiliza duas parcelas de resistência, a resistência
de flambagem e a resistência proveniente da ação do campo de tração. A parcela de
resistência de flambagem utilizada pelo Eurocode 3, neste caso, se aproxima da parcela
correspondente utilizada pela norma americana, devido à proximidade dos valores do
coeficiente de redução do cortante, de acordo com as tabelas B.7 e B.9. A parcela referente à
ação do campo de tração calculada pelo Eurocode 3 se diferencia da utilizada pela norma
americana, de acordo com a tabela B.10.
395
10.1.3 Sobre as teorias utilizadas
As teorias utilizadas apresentaram resultados satisfatórios para os exemplos
analisados, se comparados aos resultados obtidos pelas normas utilizadas.
10.1.3.1 Teoria de JUHÁS (2001)
A teoria de JUHÁS (2001), baseada no Eurocode 3, apresenta fórmulas de
interação entre momento fletor e força cortante, para vigas híbridas e homogêneas, compactas
e esbeltas. Os resultados obtidos por esta teoria indicam que os exemplos analisados se
adequaram às fórmulas de interação fornecidas, assim como ocorreu com as fórmulas de
interação fornecidas pelas normas utilizadas.
10.1.3.2 Teoria de BLEICH (1952)
A teoria proposta por BLEICH (1952) calcula as tensões críticas compressivas e
cisalhantes combinadas de painéis de chapas de alma de vigas esbeltas. Os resultados obtidos
por esta teoria para os exemplos analisados são aproximados dos resultados obtidos pelas
normas, para o cálculo da força cortante resistente de flambagem, com exceção do Eurocode
3, que no método simples pós-crítico, fornece valores diferentes para a força cortante
resistente de flambagem.
10.1.3.3 Teoria de YU (1991)
A teoria de YU (1991) calcula a força cortante resistente de flambagem de painéis
de chapas de alma de vigas esbeltas. Os resultados obtidos por esta teoria para os exemplos
analisados são aproximados dos resultados obtidos pelas normas americana e brasileira, para o
cálculo da força cortante resistente de flambagem.
10.1.3.4 Teoria de HÖGLUND (1998)
A teoria de HÖGLUND (1998) calcula a força cortante resistente de flambagem
de painéis de chapa de alma de vigas esbeltas, utilizando o campo de tensões principais. Os
resultados obtidos por esta teoria são aproximados dos resultados obtidos pelo método
396
simples pós-crítico do item 5.6.3 – Eurocode 3, para o cálculo da força cortante resistente de
flambagem, onde nas tabelas B.2 e C.4.2 podem ser comparados os valores do coeficiente de
cortante utilizado respectivamente pelo Eurocode 3 e por HÖGLUND (1998).
10.2 Conclusões sobre os resultados obtidos pelas normas para os exemplos analisados
As conclusões sobre os resultados obtidos pelas normas para os exemplos
analisados serão apresentadas com base no capítulo 9 e nos anexos A e B. O capítulo 9
apresenta os resultados obtidos pelas normas através do capítulo 8, para os exemplos
analisados. Os anexos A e B apresentam análises comparativas entre os critérios utilizados
pelas normas para o cálculo do momento fletor e força cortante resistentes característicos de
vigas esbeltas. No presente item, serão calculados o momento fletor resistente e a força
cortante resistente incluindo a ação do campo de tração, através dos anexos A e B. Os
resultados obtidos pelos anexos A e B devem ser iguais aos resultados apresentados no
capítulo 9, pois não foi efetuada nenhuma mudança na estrutura das normas nestes anexos,
apenas foi modificada a forma com que estas se apresentam.
10.2.1 Momento fletor resistente característico
As tabelas 10.2.1.1, 10.2.1.2 e 10.2.1.3 apresentam os parâmetros de esbeltez
limites de acordo com as normas, obtidos através do anexo A, e também os calculados para as
vigas analisadas, apresentados no capítulo 9, para os estados limites de flambagem local da
mesa (FLM), flambagem lateral com torção (FLT), flambagem local da alma (FLA) e as
categorias da seção transversal das vigas analisadas para cada estado limite.
10.2.1.1 Exemplo 1
A do exemplo 1 apresenta uma seção esbelta para o estado limite de flambagem
local da mesa, não-compacta para flambagem lateral com torção e esbelta para flambagem
local da alma, de acordo com os critérios das normas utilizadas, onde seções não-compactas e
seções esbeltas, para os estados limites de flambagem, sofrem uma redução na tensão crítica
de flambagem, o que causa uma redução no momento fletor resistente característico. Pode-se
observar que o estado limite que determinou a resistência à flexão da viga pelas normas
americana e brasileira é o estado limite de flambagem local da mesa, pois a tensão crítica
397
calculada para este estado limite foi mais reduzida que para o estado limite de flambagem
lateral com torção e de acordo com o Eurocode 3, o estado limite que determinou sua
resistência à flexão é o de flambagem lateral com torção.
Tabela 10.2.1.1 - Cálculo dos parâmetros de esbeltez limites de acordo com as normas, através do anexo A, para os estados limites de flambagem local da mesa (FLM), flambagem lateral com torção (FLT) e flambagem local da alma (FLA), e categoria da seção transversal da viga do exemplo 1.
parâmetros de esbeltez normas
estados limites de
flambagem λ pλ (item A.1)
rλ (item A.2)
categoria da seção
FLM 16 8.2 14.4 esbelta FLT 46.4 37.8 95.1 não-compacta LRFD
apêndice G2 FLA 250 80.6 122.1 esbelta FLM 16 8.2 14.4 esbelta FLT 46.4 37.8 95.1 não-compacta NBR 8800/86
anexo F FLA 250 80.6 122.1 esbelta FLM 16 8.2 14.4 esbelta FLT 46.4 37.8 95.1 não-compacta PNBR 8800/03
anexo F FLA 250 80.6 122.1 esbelta FLM 16 8.2 14.4 esbelta FLT 46.4 37.8 95.1 não-compacta PNBR 8800/07
anexo H FLA 250 80.6 122.1 esbelta FLM 16 7.4 10.36 esbelta FLT - - - - Eurocode 3
itens 5.4.5 e 5.5.2 FLA 250 61.0 91.1 esbelta
10.2.1.2 Exemplo 2
A viga do exemplo 2 apresenta uma seção compacta para flambagem local da
mesa, não-compacta para flambagem lateral com torção e esbelta para flambagem local da
alma, de acordo com as normas. Esta viga possui mesas de espessuras diferentes, onde a mesa
superior tem uma espessura maior que a mesa inferior. Isto faz com que o módulo elástico
para o lado comprimido seja maior que para o lado tracionado. Apesar de esta viga ser não-
compacta para o estado limite de flambagem lateral com torção, o estado limite que
determinou sua resistência à flexão é o estado limite de escoamento da mesa tracionada. Já
pelo Eurocode 3, o estado limite que determinou a resistência à flexão para esta viga foi o
estado limite de flambagem lateral com torção, pois o momento fletor resistente calculado
398
para os outros dois estados limites é maior que o calculado para flambagem lateral com torção
neste caso.
Tabela 10.2.1.2 - Cálculo dos parâmetros de esbeltez limites de acordo com as normas, através do anexo A, para os estados limites de flambagem local da mesa (FLM), flambagem lateral com torção (FLT) e flambagem local da alma (FLA), e categoria da seção transversal da viga do exemplo 2.
parâmetros de esbeltez normas
estados limites de
flambagem λ pλ (item A.1)
rλ (item A.2)
categoria da seção
FLM 6.8 10.8 21.8 compacta FLT 61.6 49.8 127.1 não-compacta LRFD
apêndice G2 FLA 160.4 106.3 161.1 esbelta FLM 6.8 10.9 24.9 compacta FLT 61.6 50.1 127.1 não-compacta NBR 8800/86
anexo F FLA 160.4 106.3 160.3 esbelta FLM 6.8 10.9 22.9 compacta FLT 61.6 50.4 127.1 não-compacta PNBR 8800/03
anexo F FLA 160.4 106.3 163.2 esbelta FLM 6.8 10.9 22.9 compacta FLT 61.6 50.4 127.1 não-compacta PNBR 8800/07
anexo H FLA 160.4 106.3 163.2 esbelta FLM 6.8 9.7 13.5 compacta FLT - - - - Eurocode 3
itens 5.4.5 e 5.5.2 FLA 160.4 80.5 120.2 esbelta
10.2.1.3 Exemplo 3
A viga do exemplo 3 apresenta uma seção compacta para flambagem local da
mesa, não-compacta para flambagem lateral com torção e esbelta para flambagem local da
alma, de acordo com as normas. Pode-se observar que o estado limite que determinou sua
resistência à flexão é o estado limite de flambagem lateral com torção de acordo com as
normas americana e brasileira. O Eurocode 3 forneceu uma resistência à flexão para o estado
limite de flambagem lateral com torção abaixo do momento fletor solicitante, isto porque foi
considerado em todas as normas um comprimento sem contenção lateral de 11300 mm no
meio do vão. Já a viga dimensionada por NARAYANAN (1992, apud OWENS, KNOWLES
E DOWLING, 1992) foi considerada tendo restrição lateral completa para todo o vão, por isso
as normas apresentaram uma redução na resistência à flexão devido à flambagem lateral com
399
torção. Devido ao fato desta viga ter contenção lateral completa, não é necessária a
verificação do estado limite de flambagem lateral com torção.
Tabela 10.2.1.3 - Cálculo dos parâmetros de esbeltez limites de acordo com as normas, através do anexo A, para os estados limites de flambagem local da mesa (FLM), flambagem lateral com torção (FLT) e flambagem local da alma (FLA), e categoria da seção transversal da viga do exemplo 3.
parâmetros de esbeltez normas
estados limites de
flambagem λ pλ (item A.1)
rλ (item A.2)
categoria da seção
FLM 7.0 10.8 21.8 compacta FLT 59.1 49.8 127.1 não-compacta LRFD
apêndice G2 FLA 160.4 106.3 161.1 esbelta FLM 7.0 10.9 24.9 compacta FLT 59.1 50.1 127.1 não-compacta NBR 8800/86
anexo F FLA 160.4 106.3 160.3 esbelta FLM 7.0 10.9 22.9 compacta FLT 59.1 50.4 127.1 não-compacta PNBR 8800/03
anexo F FLA 160.4 106.3 163.2 esbelta FLM 7.0 10.9 22.9 compacta FLT 59.1 50.4 127.1 não-compacta PNBR 8800/07
anexo H FLA 160.4 106.3 163.2 esbelta FLM 7.0 9.7 13.5 compacta FLT - - - - Eurocode 3
itens 5.4.5 e 5.5.2 FLA 160.4 80.5 120.2 esbelta
10.2.2 Força cortante resistente característica
As tabelas contidas neste item apresentam os valores da força cortante resistente
nominal , de acordo com as normas, calculadas de acordo com o anexo B, para os painéis
das vigas analisadas.
nV
10.2.2.1 Flambagem elástica sob cisalhamento puro
As tabelas a seguir trazem os valores da força cortante resistente nominal ,
calculados de acordo com as normas, através do anexo B, para os painéis que apresentam
flambagem elástica
nV
400
10.2.2.1.1 Exemplo 1
Tabela 10.2.2.1 - Cálculo da força cortante resistente nominal de acordo com as normas, através da tabela B.1, para flambagem elástica, para os painéis com espaçamento a=493 mm entre enrijecedores da viga analisada no exemplo 1, com α=0.58; k=19.9;
nV
MPa 435f y = ; 250t/h w = ; ; .
2w mm2890A =
kN 0.155Vsd =
normas parâmetro de
esbeltez wt/hλ =
coeficiente de cortante
vC
força cortante resistente nominal
nV (kN) LRFD
apêndice G3 0.220 165.9
NBR 8800/86 item 5.5.2 0.220 165.9
PNBR 8800/03 item 5.4.3.2.1 0.230 173.5
PNBR 8800/07 item 5.4.3 0.230 169.8
Eurocode 3 item 5.6.3
yf/k8.1168
0.440 331.9
Tabela 10.2.2.2 - Cálculo da força cortante resistente nominal n de acordo com as normas, através da tabela B.1, para flambagem elástica, para os painéis com espaçamento a=920 mm entre enrijecedores da viga analisada no exemplo 1, com α=1.08; k=8.8;
V
MPa 435f y = ; 250t/h w = ; ; .
2w mm2890A =
kN 0.155Vsd =
normas parâmetro de
esbeltez wt/hλ =
coeficiente de cortante
vC
força cortante resistente nominal
nV (kN) LRFD
apêndice G3 0.098 73.9
NBR 8800/86 item 5.5.2 0.099 74.7
PNBR 8800/03 item 5.4.3.2.1 0.103 77.7
PNBR 8800/07 item 5.4.3 0.100 75.4
Eurocode 3 item 5.6.3
yf/k7.1757
0.293 221.0
401
Na tabela 10.2.2.1, para os painéis com a=493 mm o coeficiente obtido pelas
normas americana e brasileira com seus projetos de revisão é de aproximadamente 22%
enquanto que pelo Eurocode 3 é de 44%. Para os painéis com a=920 mm, na tabela 10.2.2.2, o
coeficiente reduz o cortante para 9.9% pelas normas americana e brasileira com seus
projetos de revisão, enquanto pelo Eurocode 3 esta redução é para 29.3%. O Eurocode 3
forneceu valores mais altos da força cortante resistente para estes painéis pelo método simples
pós-crítico.
vC
vC
10.2.2.1.2 Exemplo 2
De acordo com a tabela 10.2.2.3, para os painéis com a=1400 mm, os valores do
coeficiente são mais aproximados, esta maior aproximação pode ser observada na tabela
B.2, onde à medida que diminui, os valores de vão se tornando mais próximos para
todas as normas. Pode-se notar que o parâmetro deste painel está próximo do valor
mínimo para flambagem elástica, onde somente pelo Eurocode 3, o parâmetro e
encontra na tabela B.3 para flambagem inelástica.
vC
wt/h vC
wt/h
wt/h s
Tabela 10.2.2.3 - Cálculo da força cortante resistente nominal n de acordo com as normas, através da tabela B.1, para flambagem elástica, para os painéis com espaçamento a=1400 mm entre enrijecedores da viga analisada no exemplo 2, com α=0.70; k=14.9;
V
MPa 250f y = ; 4.160t/h w = ; ; .
2w mm24940A =
kN 0.1758Vsd =
normas parâmetro de
esbeltez wt/hλ =
coeficiente de cortante
vC
força cortante resistente nominal
nV (kN) LRFD
apêndice G3 0.702 2626.2
NBR 8800/86 item 5.5.2 0.709 2652.4
PNBR 8800/03 item 5.4.3.2.1 0.736 2753.4
PNBR 8800/07 item 5.4.3 0.713 2667.3
Eurocode 3 item 5.6.3
yf/k0.657
0.784 (tabela B.3)
2932.9 (tabela B.3)
402
10.2.2.1.3 Exemplo 3
Tabela 10.2.2.4 - Cálculo da força cortante resistente nominal de acordo com as normas, através da tabela B.1, para flambagem elástica, para os painéis de espaçamento a=2500 mm entre enrijecedores da viga analisada no exemplo 3, com α=1.25; k=7.9; ;
nV
MPa250f y = 4.160t/h w = ; ; .
2w mm24940A =
kN 0.2140Vsd =
normas parâmetro de
esbeltez wt/hλ =
coeficiente de cortante
vC
força cortante resistente nominal
nV (kN) LRFD
apêndice G3 0.372 1391.7
NBR 8800/86 item 5.5.2 0.375 1406.6
PNBR 8800/03 item 5.4.3.2.1 0.390 1459.0
PNBR 8800/07 item 5.4.3 0.378 1414.1
Eurocode 3 item 5.6.3
yf/k3.902
0.572 2139.9
Tabela 10.2.2.5 - Cálculo da força cortante resistente nominal de acordo com as normas, através da tabela B.1, para flambagem elástica, para os painéis de espaçamento a=2825 mm entre enrijecedores da viga analisada no exemplo 3, com ; ; ;
nV
41.1α = 3.7k = MPa250f y = 4.160t/h w = ; ; .
2w mm24940A =
kN 0.2140Vsd =
normas parâmetro de
esbeltez wt/hλ =
coeficiente de cortante
vC
força cortante resistente nominal
nV (kN) LRFD
apêndice G3 0.346 1294.4
NBR 8800/86 item 5.5.2 0.350 1309.4
PNBR 8800/03 item 5.4.3.2.1 0.363 1358.0
PNBR 8800/07 item 5.4.3 0.351 1313.1
Eurocode 3 item 5.6.3
yf/k5.935
0.552 2065.0
403
Nas tabelas 10.2.2.4 e 10.2.2.5, os painéis com a=2500 mm e a=2825 mm sofrem
flambagem elástica onde os valores de são 37% e 35%, pelas normas americana e
brasileira com seus projetos de revisão, e 57% e 55% aproximadamente pela norma européia,
de acordo com a tabela B.2.
vC
10.2.2.2 Flambagem inelástica sob cisalhamento puro
As tabelas a seguir trazem os valores da força cortante resistente nominal ,
calculados de acordo com as normas, através do anexo B, para os painéis que apresentam
flambagem inelástica ou escoamento por cisalhamento.
nV
10.2.2.2.1 Exemplo 1
Todos os painéis desta viga apresentam flambagem elástica.
10.2.2.2.2 Exemplo 2
Tabela 10.2.2.6 - Cálculo da força cortante resistente nominal de acordo com as normas, através da tabela B.4, para escoamento por cisalhamento, para os painéis com espaçamento a=800 mm entre enrijecedores da viga analisada no exemplo 2, com α=0.40; k=37.4;
nV
MPa 250f y = ; ; .
4.160w =t/hkN 7.1792Vsd =
normas parâmetro de
esbeltez wt/hλ =
coeficiente de cortante
vC
força cortante resistente nominal
nV (kN)
LRFD apêndice G3
NBR 8800/86 item 5.5.2
PNBR 8800/03 item 5.4.3.2.1
PNBR 8800/07 item 5.4.3
Eurocode 3 item 5.6.3
yf/k7.414 - 3741.0
404
Para os painéis com a=800 mm, o valor de se enquadra no intervalo da
tabela B.4, para escoamento por cisalhamento, de acordo com as normas.
wt/h
10.2.2.2.3 Exemplo 3
Na tabela 10.2.2.7 o valor de se situa no intervalo da tabela B.4. Somente
de acordo com o Eurocode 3 este valor de está situado na tabela B.3 para flambagem
inelástica, onde o coeficiente tem valor de 98.7%.
wt/h
t/h w
vC
Tabela 10.2.2.7 - Cálculo da força cortante resistente nominal de acordo com as normas, através da tabela B.4, para escoamento por cisalhamento, para os painéis com espaçamento a=925 mm entre enrijecedores da viga analisada no exemplo 3, com α=0.46; k=29.0;
nV
MPa 250f y = ; ; .
4.160w =t/hkN 2.2182Vsd =
normas parâmetro de
esbeltez wt/hλ =
coeficiente de cortante
vC
força cortante resistente nominal
nV (kN) LRFD
apêndice G3 NBR 8800/86
item 5.5.2 PNBR 8800/03 item 5.4.3.2.1
PNBR 8800/07 item 5.4.3
- 3741.0
Eurocode 3 item 5.6.3
yf/k0.471
0.987 (tabela B.3)
3692.4 (tabela B.3)
10.2.2.3 Resistência nominal ao cisalhamento incluindo a ação do campo de tração
As tabelas 10.2.2.8, 10.2.2.9, 10.2.2.11, 10.2.2.12, 10.2.2.14, 10.2.2.15 e
10.2.2.16 apresentam a parcela da força cortante resistente de flambagem , de acordo com
as tabelas B.6 ou B.8, de acordo com a categoria de flambagem ocorrida. As tabelas
10.2.2.10, 10.2.2.13, 10.2.2.17 e 10.2.2.18 apresentam a parcela da força cortante resistente
proveniente da ação do campo de tração , de acordo com a tabela B.10. Os valores de
apresentados nestas tabelas, calculados pelo Eurocode 3 são um pouco menores que os
crV
tfV tfV
405
apresentados nas respectivas tabelas do capítulo 9 porque nestas foram considerados os
comprimentos de ancoragem do campo de tração nas mesas, e a tabela B.10 não considera
estes comprimentos de ancoragem.
10.2.2.3.1 Exemplo 1
Tabela 10.2.2.8 - Cálculo da força cortante resistente de flambagem de acordo com as normas, através da tabela B.6, para flambagem elástica, para os painéis com espaçamento a=493 mm entre enrijecedores da viga analisada no exemplo 1, com α=0.58; k=19.9;
crV
MPa 435f y = ; 250t/h w = ; . kN 0.155Vsd =
normas parâmetro de
esbeltez wt/hλ =
coeficiente de cortante
vC
força cortante resistente de flambagem
crV (kN) LRFD
apêndice G3 NBR 8800/86
anexo G PNBR 8800/03
anexo G PNBR 8800/07
item 5.4.3
tabela 10.2.2.1
Eurocode 3 item 5.6.4
yf/k8.1168
0.241 181.8
Tabela 10.2.2.9 - Cálculo da força cortante resistente de flambagem de acordo com as normas, através da tabela B.6, para flambagem elástica, para os painéis com espaçamento a=920 mm entre enrijecedores da viga analisada no exemplo 1, com α=1.08; k=8.8;
crV
MPa 435f y = ; 250t/h w = ; . kN 0.155Vsd =
normas parâmetro de
esbeltez wt/hλ =
coeficiente de cortante
vC
força cortante resistente de flambagem
crV (kN) LRFD
apêndice G3 NBR 8800/86
anexo G PNBR 8800/03
anexo G PNBR 8800/07
item 5.4.3
tabela 10.2.2.2
Eurocode 3 item 5.6.4
yf/k7.1757
0.106 80.0
406
As tabelas 10.2.2.8 e 10.2.2.9 apresentam a parcela calculada pelas normas,
onde o Eurocode 3 apresenta valores mais aproximados para esta parcela no método do
campo de tração. A tabela 10.2.2.10 mostra a parcela da força cortante resistente proveniente
da ação do campo de tração para os painéis com a=920 mm. O Eurocode 3 apresentou um
valor mais baixo desta parcela, em comparação com as outras normas.
crV
tfV
Tabela 10.2.2.10 – Cálculo da força cortante resistente proveniente da ação do campo de tração de acordo com as normas, através da tabela B.10, para os painéis com espaçamento a=920 mm entre enrijecedores da viga analisada no exemplo 1, com α=1.08; k=8.8; ; ;
tfV
f y = MPa 435 250t/h w = kN 0.155Vsd = .
normas força cortante resistente proveniente da ação do campo de tração (kN)tfV
LRFD apêndice G3
NBR 8800/86 anexo G
PNBR 8800/03 anexo G
kN3.384Vtf = onde
ywt F9.0σ = onde
099.0Cv = (tabela 10.2.2.9)
PNBR 8800/07 - -
Eurocode 3 item 5.6.4
kN0.207Vtf = onde
ywbb f93.0σ = onde
106.0Cv = (tabela 10.2.2.9)
10.2.2.3.2 Exemplo 2
As tabelas 10.2.2.11 e 10.2.2.12 mostram a parcela da força cortante resistente de
flambagem para os painéis finais e os intermediários, respectivamente. Os painéis finais
apresentam escoamento por cisalhamento e os painéis com a=1400 mm apresentam
flambagem elástica onde o coeficiente =71%, e de acordo com o Eurocode 3 estes
apresentam flambagem inelástica onde o coeficiente =72.3%.
crV
vC
vC
407
Tabela 10.2.2.11 - Cálculo da força cortante resistente de flambagem crV , através da tabela B.4, para escoamento por cisalhamento, para os painéis com espaçamento a=800 mm entre enrijecedores da viga analisada no exemplo 2, com α=0.40; k=37.4; MPa 250y = ; f 4.160t/h w = ; Vsd kN 7.1792= .
normas pa e râmetro d
esbeltez wt/hλ =
co e c flam
kN)
eficiente dortan
vC te
força cortante resistente de
bagemcrV (
LRFD apêndice G3
NBR 8800/86 anexo G
PNBR 8800/03 anexo G
PNBR 8800/07 item 5.4.3
Eurocode 3 item 5.6.4
tabela 10.2.2.6
mm entre enrijecedores da viga analisada no exemplo 2, com α=0.70; k=14.9;
Tabela 10.2.2.12 - Cálculo da força cortante resistente de flambagem crV , através da tabela B.6, para flambagem elástica, para os painéis com espaçamento a=1400
MPa 250y = ; f 4.160t/h w = ; Vsd kN 0.1758= .
normas pa e râmetro d
esbeltez wt/hλ =
co e c flam
kN)
eficiente dortan
vC te
força cortante resistente de
bagemcrV (
LRFD apêndice G3
NBR 8800/86 anexo G
PNBR 8800/03 anexo G
PNBR 8800/07
tabela 10.2.2.3
item 5.4.3
Eurocode 3 item 5.6.4
yf/k0.657
0.723 (tabela B.8) (tabela B.8)
2704.7
408
A tabela 10.2.2.13 mostra a parcela da força cortante resistente proveniente da
ação do campo de tração para os painéis com a=1400 mm, onde o valor obtido pelas
normas americana e brasileira com seu projeto de revisão é maior que o obtido pelo Eurocode
3. O valor obtido pelo Eurocode 3 nesta tabela é um pouco menor que o seu valor
correspondente que consta na tabela 9.2.7, porque o comprimento de ancoragem do campo de
tração nas mesas não foi considerado na tabela B.10.
tfV
Tabela 10.2.2.13 - Cálculo da força cortante resistente proveniente da ação do campo de tração de acordo com as normas, através da tabela B.10, para os painéis com espaçamento a=1400 mm entre enrijecedores da viga analisada no exemplo 2, com α=0.70; k=14.9; ; ;
tfV
f y MPa 250= 4.160t/h w = kN 0.1758Vsd = .
normas força cortante resistente proveniente da ação do campo de tração (kN)tfV
LRFD apêndice G3
NBR 8800/86 anexo G
PNBR 8800/03 anexo G
kN2.743Vtf = onde
ywt F291.0σ = onde
709.0Cv = (tabela 10.2.2.12)
PNBR 8800/07 - -
Eurocode 3 item 5.6.4
kN7.507Vtf = onde
ywbb f348.0σ = onde
723.0Cv = (tabela 10.2.2.12)
10.2.2.3.3 Exemplo 3
As tabelas 10.2.2.14, 10.2.2.15 e 10.2.2.16 apresentam o cálculo da força cortante
resistente nominal de acordo com as normas, através do item B.3 do anexo B. Na tabela
10.2.2.14 pode-se observar que o painel sofre escoamento por cisalhamento conforme as
normas, exceto pelo Eurocode 3 onde esta sofre flambagem inelástica com um coeficiente de
cortante de 98.7%. Nas tabelas 10.2.2.15 e 10.2.2.16, os painéis com a=2500 mm e a=2825
mm sofrem flambagem elástica onde os valores de são 37% e 35%, para as normas
nV
vC
409
americana e brasileira com seus projetos de revisão, e 57% e 55% aproximadamente para a
norma européia, de acordo com a tabela B.6.
Tabela 10.2.2.14 - Cálculo da força cortante resistente de flambagem , de acordo com as normas, através da tabela B.4, para escoamento por cisalhamento, para os painéis de espaçamento a=925 mm entre enrijecedores da viga analisada no exemplo 3, com α=0.46; k=29.0; ;
; .
crV
MPa 250f y =
4.160t/h w = kN 2.2182Vsd =
normas parâmetro de
esbeltez wt/hλ =
coeficiente de cortante
vC
força cortante resistente de flambagem
crV (kN) LRFD
apêndice G3 NBR 8800/86
anexo G PNBR 8800/03
anexo G PNBR 8800/07
item 5.4.3
- 3741.0
Eurocode 3 item 5.6.4
yf/k0.471
0.987 (tabela B.8)
3692.4 (tabela B.8)
Tabela 10.2.2.15 - Cálculo da força cortante resistente de flambagem , de acordo com as normas, através da tabela B.6, para flambagem elástica, para os painéis de espaçamento a=2500 mm entre enrijecedores da viga analisada no exemplo 3, com α=1.25; k=7.9; ; ;
.
crV
160=MPa250f y = 4.t/h w
kN 0.2140Vsd =
normas parâmetro de
esbeltez wt/hλ =
coeficiente de cortante
vC
força cortante resistente de flambagem
crV (kN) LRFD
apêndice G3 NBR 8800/86
anexo G PNBR 8800/03
anexo G PNBR 8800/07
item 5.4.3
tabela 10.2.2.4
Eurocode 3 item 5.6.4
yf/k3.902
0.404 1511.3
410
Tabela 10.2.2.16 - Cálculo da força cortante resistente de flambagem através da tabela B.6, para flambagem elástica, para os painéis de espaçamento a=2825 mm entre enrijecedores da viga analisada no exemplo 3, com ;
; ;
crV ,
41.1α =3.7k = MPa250f y = 4.160t/h w = ; kN 2.2182Vsd = .
normas parâmetro de
esbeltez wt/hλ =
coeficiente de cortante
vC
força cortante resistente de flambagem
crV (kN)
LRFD apêndice G3
NBR 8800/86 anexo G
PNBR 8800/03 anexo G
PNBR 8800/07 item 5.4.3
tabela 10.2.2.5
Eurocode 3 item 5.6.4
yf/k5.935
0.376 1406.6
Tabela 10.2.2.17 – Cálculo da força cortante resistente proveniente da ação do campo de tração de acordo com as normas, através da tabela B.10, para os painéis com espaçamento a=2500 mm entre enrijecedores da viga analisada no exemplo 3, com α=1.25; k=7.9; ; ;
tfV
f y = MPa250 4.160t/h w = kN 0.2140Vsd = .
normas força cortante resistente proveniente da ação do campo de tração (kN)tfV
LRFD apêndice G3
NBR 8800/86 anexo G
PNBR 8800/03 anexo G
kN2.1217Vtf = onde
ywt F625.0σ = onde
375.0Cv = (tabela 10.2.2.15)
PNBR 8800/07 - -
Eurocode 3 item 5.6.4
kN6.710Vtf = onde
ywbb f722.0σ = onde
404.0Cv = (tabela 10.2.2.15)
411
Tabela 10.2.2.18 – Cálculo da força cortante resistente proveniente da ação do campo de tração de acordo com as normas, através da tabela B.10, para os painéis com espaçamento a=2825 mm entre enrijecedores da viga analisada no exemplo 3, com
; ; ;
tfV
41 k.1α = 3.7= MPa250f y = 4.160t/h w = ; kN 2.2182Vsd = .
normas força cortante resistente proveniente da ação do campo de tração (kN)tfV
LRFD apêndice G3
NBR 8800/86 anexo G
PNBR 8800/03 anexo G
kN3.1172Vtf = onde
ywt F650.0σ = onde
350.0Cv = (tabela 10.2.2.16)
PNBR 8800/07 - -
Eurocode 3 item 5.6.4
kN9.676Vtf = onde
ywbb f757.0σ = onde
376.0Cv = (tabela 10.2.2.16)
As tabelas 10.2.2.17 e 10.2.2.18 mostram a força cortante resistente proveniente
da ação do campo de tração de acordo com as normas, através da tabela B.10. As normas
americana e brasileira com seu projeto de revisão de 2003 apresentam valores mais altos
dessa parcela em comparação com o Eurocode 3.
tfV
10.3 Conclusões sobre os resultados obtidos pelas teorias para os exemplos analisados
As conclusões sobre os resultados obtidos pelas teorias para os exemplos
analisados serão apresentadas com base no capítulo 9 e no anexo C. O capítulo 9 apresenta os
resultados obtidos pelas teorias, calculados no capítulo 8, para os exemplos analisados. O
anexo C apresenta análises interpretativas dos critérios utilizados pelos autores para a
verificação da resistência de vigas esbeltas. Neste item, serão obtidos os resultados de cada
teoria através do anexo C. Estes resultados devem ser iguais aos apresentados pelo capítulo 9,
pois não foi efetuada nenhuma mudança na estrutura das teorias no desenvolvimento deste
anexo, apenas foi realizada uma análise interpretativa destas teorias.
412
10.3.1 Teoria de JUHÁS (2001)
Os exemplos analisados são adequados à teoria de JUHÁS (2001).
10.3.1.1 Exemplo 1
De acordo com a tabela 9.3.1.2, a viga do exemplo 1 apresenta uma proporção
< e uma proporção < o que indica que o momento fletor
M está abaixo do limite máximo do momento fletor na presença de cortante e a força
cortante V está abaixo do limite máximo da força cortante na presença de momento fletor
. Todas as fórmulas de interação propostas por JUHÁS (2001) foram satisfeitas pelas
dimensões da viga do exemplo 1, de acordo com a tabela 9.3.1.1, o que indica que o exemplo
1 é adequado a esta teoria.
plM/M
M,uV
plV,u M/M plV/V plM,u V/V
V,uM
10.3.1.2 Exemplo 2
De acordo com a tabela 9.3.1.2, a viga do exemplo 2 possui uma proporção
um pouco maior que , mas a proporção é menor que
( )lim. De acordo com o item C.1 do anexo C, para proporções
plM/M
M,u V/V
plV,u M/M plV/V
Vupl 8.0V/ plM, < , a
proporção alcança valores acima de 0.9. Os valores encontrados pela teoria de
JUHÁS (2001) para e foram calculados utilizando M e V máximos. O que ocorre
efetivamente no caso da viga do exemplo 2 é que em qualquer seção tomada ao longo da
extensão da viga, onde se tem M máximo, V não atua com seu valor máximo e onde se tem V
máximo, M não atua com seu valor máximo. Como M tem quase o mesmo valor de , e
considerando que onde se tem M máximo, o valor do cortante V é pequeno, o qual, se for
utilizado para o cálculo de , certamente este excederá o valor de M. Como todas as
fórmulas de interação da teoria de JUHÁS (2001) foram satisfeitas de acordo com a tabela
9.3.1.1, pode-se considerar que a viga do exemplo 2 é adequada a esta teoria.
plV,u M/M
M V,u M,uV
V,uM
V,uM
10.3.1.3 Exemplo 3
413
De acordo com a tabela 9.3.1.2, a viga do exemplo 3 possui as proporções
> e > , mas a proporção <( )lim. De acordo
com o item C.1 do anexo C, para proporções
plM/M plV,u M/M plV/V plM,u V/V plV/V
8
plM,u V/V
.0V/V plM,u < , a proporção alcança
valores acima de 0.9. Os valores encontrados pela teoria de JUHÁS (2001) para
foram calculados utilizando M e V máximos. O que ocorre efetivamente no caso da viga do
exemplo 3, assim como ocorreu com a viga do exemplo 2, é que em qualquer seção tomada ao
longo da extensão da viga, onde se tem M máximo, V não atua com seu valor máximo e onde
se tem V máximo, M não atua com seu valor máximo. Como tem quase o mesmo valor
de M, e também se aproxima de V, se forem utilizados os valores reais dos esforços
atuantes M e V em cada seção, calculados serão maiores que M e V. Como
todas as fórmulas de interação da teoria de JUHÁS (2001) foram satisfeitas de acordo com a
tabela 9.3.1.1, pode-se considerar que a viga do exemplo 3 é adequada a esta teoria.
plM/
V,uM e
V,uM
M,uV
V,uM
M,uV
V,uM e M,uV
10.3.2 Teoria de BLEICH (1952)
Os exemplos analisados são adequados à teoria de BLEICH (1952).
10.3.2.1 Exemplo 1
No exemplo 1, o parâmetro considerado 0β = para os painéis com 58.0α = e
indica que não há tensões compressivas resultantes do momento fletor agindo em
dois lados opostos da chapa, somente tensões cisalhantes , isto quer dizer que por ser uma
chapa de alma muito esbelta, não foi levado em conta a resistência de momento fletor desta
chapa. O painel
08.1α = 1σ
xyτ
58.0α = apresenta um parâmetro 83.0κ = e o painel tem o
parâmetro . O parâmetro indica a relação entre a tensão crítica de
cisalhamento máxima e a tensão crítica compressiva de flexão máxima. Painéis com
espaçamento menor entre enrijecedores apresentam o parâmetro
08.1α =
36.0κ = oo
c1c σ/τκ =
κ maior que de painéis que
apresentam espaçamento maior entre enrijecedores, se mantida a seção da chapa. O painel
possui uma tensão crítica de cisalhamento 58.0α = MPa40 .60τ c = , onde é a tensão
crítica de cisalhamento combinada com a tensão crítica compressiva . Como a tensão
atuante =0, tem-se que a tensão crítica =0 e a tensão crítica de cisalhamento ,
cτ
c1σ
1σ c1σo
cc ττ =
414
portanto, a tensão crítica de cisalhamento se iguala à máxima tensão crítica de
cisalhamento em cisalhamento puro . O painel
cτ
o
cτ 08.1α = possui um espaçamento maior
entre enrijecedores, então este apresenta uma tensão crítica de cisalhamento ,
menor que a metade da tensão crítica de cisalhamento do painel . A tensão
compressiva atuante =0 faz com que a tensão crítica de cisalhamento alcance o seu valor
máximo . Portanto, a tensão cisalhante atuante na chapa tem seu
valor ultrapassado no painel e é menor que a metade de no painel , onde
foi necessário recorrer ao acréscimo de resistência deste painel através da ação do campo de
tração.
MPa 60.26τ c =
58.0=
MPa60
08.1α =
α
.53
1σo
cc ττ = τ xy =
xy58.0α = τ
10.3.2.2 Exemplo 2
No exemplo 2 o parâmetro 6.0β = foi considerado para o painel 40.0α = e
para o painel . Isto indica que a tensão compressiva é maior nos painéis
intermediários que nos painéis finais, onde o valor do momento fletor atuante é maior no meio
do vão. A consideração dos valores de para os painéis desta viga indica que estes painéis
poderão resistir tensões de cisalhamento e compressivas de flexão combinadas. O parâmetro
para o painel e
0.1β =
56.1κ =
.0=
α =
70
40.0 κ
α 1σ
β
.0 para o painel 62 70.0α= = indica a relação entre a
tensão crítica de cisalhamento máxima e a tensão crítica compressiva de flexão máxima.
Pode-se observar que os valores de κ destes painéis são maiores que os valores calculados
para a viga do exemplo 1, porque os painéis da viga do exemplo 2 têm uma alma menos
esbelta que a alma da viga do exemplo 1, podendo, portanto, resistir às tensões combinadas
em maior intensidade. O painel 40.0α = resiste a uma tensão crítica de cisalhamento
e a uma tensão crítica compressiva de flexão σ atuando
combinadas. Este painel flamba na extensão inelástica, pois a tensão > . O painel
resiste a uma tensão crítica de cisalhamento
MPa 9.
o
c pσ
75=
τ
c1
MPa
MPa 6.126τ c =
70.0α = 1.91τ c = e a uma tensão crítica
compressiva de flexão atuando combinadas. Para os dois painéis, tem-se
e também , o que indica que a tensão crítica dos painéis ultrapassa a tensão
atuante.
σ c1
1σxyc ττ >
MPa 1.91=
c1σ >
415
10.3.2.3 Exemplo 3
No exemplo 3 o parâmetro 49.0β = foi considerado para os três painéis. A
consideração dos valores de β para os painéis desta viga indica que estes painéis poderão
resistir tensões de cisalhamento e compressivas de flexão combinadas. O parâmetro 22.1κ =
para o painel e para os painéis 46.0α = 0.31 e κ = 33.0 1.41 e 25.1α = indica a relação entre a
tensão crítica de cisalhamento máxima e a tensão crítica compressiva de flexão máxima. O
painel resiste a uma tensão crítica de cisalhamento 46.0α = MPa 9.126τ c = e a uma tensão
crítica compressiva de flexão MPa 2.62σ c1 = atuando combinadas. Este painel flamba na
extensão inelástica, pois a tensão > . Os painéis o
cτ pσ 1.41 e 25.1α = resistem a uma tensão
crítica de cisalhamento e a uma tensão crítica compressiva de flexão
atuando combinadas. Para o painel
MPa 53.0 e 3.τ c = 56
MPa 26.0 e 27.6σ c1 = 46.0α = , tem-se τ e
também , o que indica que a tensão crítica dos painéis ultrapassa a tensão atuante. Os
painéis apresenta a tensão crítica de cisalhamento abaixo da tensão atuante
e a tensão crítica compressiva de flexão abaixo da tensão atuante , onde foi
necessário recorrer ao acréscimo de resistência destes painéis através da ação do campo de
tração.
xyc τ>
1σ>
1.41 e 25.
c1σ
1α =
xyc ττ < 1c σ<1σ
10.3.3 Teoria de YU (1991)
As tabelas 10.3.3.1 a 10.3.3.7 apresentam o cálculo da força cortante admissível
de acordo com a teoria de YU (1991), através da tabela C.1. Estes resultados se
aproximam dos resultados obtidos pelas normas, que constam nas tabelas 10.2.2.1 a 10.2.2.7,
com exceção do Eurocode 3, que apresenta resultados diferentes dos demais.
aV
10.3.3.1 Exemplo 1
As tabelas 10.3.3.1 e 10.3.3.2 trazem os valores calculados da força cortante
admissível de acordo com a teoria de YU (1991), para os painéis α=0.58 e α=1.08 da viga
do exemplo 1. Pode-se observar que estes painéis sofrem flambagem elástica e os valores de
são aproximados dos valores da força cortante resistente característica calculados pelas
aV
aV
416
normas, exceto o Eurocode 3, que constam nas tabelas 10.2.2.1 e 10.2.2.2 e a extensão na qual
os painéis flambam também coincide com os indicados pelas normas.
Tabela 10.3.3.1 – Cálculo da força cortante admissível de acordo com a teoria de YU (1991), através da tabela C.3.1, para os painéis com espaçamento a=493 mm entre enrijecedores da viga do exemplo 1, com α=0.58; k=19.9; ;
aV
MPa 435f y = 250t/h w = ; kN 0.155Vsd = .
flambagem parâmetro h/t força cortante resistente
admissível V (kN) a
elástica (item C.3.1) yf/k8.1168 170.5
Tabela 10.3.3.2 – Cálculo da força cortante admissível de acordo com a teoria de YU (1991), através da tabela C.3.1, para os painéis com espaçamento a=920 mm entre enrijecedores da viga do exemplo 1, com α=1.08; k=8.8; ;
aV
MPa 435f y = 250t/h w = ; kN 0.155Vsd = .
flambagem parâmetro h/t força cortante resistente
admissível V (kN) a
elástica (item C.3.1) yf/k7.1757 75.4
10.3.3.2 Exemplo 2
As tabelas 10.3.3.3 e 10.3.3.4 trazem os valores calculados da força cortante
admissível de acordo com a teoria de YU (1991), para os painéis α=0.40 e α=0.70 da viga
do exemplo 2. A tabela 10.3.3.3 indica que o painel α=0.40 sofre flambagem inelástica com
se aproximando dos valores calculados pelas normas, exceto o Eurocode 3, que constam
na tabela 10.2.2.6. A tabela 10.3.3.4 indica que o painel α=0.70 flamba na extensão elástica,
com o valor de próximo dos valores calculados pelas normas, exceto o Eurocode 3, que
constam na tabela 10.2.2.3.
aV
aV
aV
417
Tabela 10.3.3.3 – Cálculo da força cortante admissível aV de acordo co a teoria de YU (1991), através da tabela C.3.1, para os painéis com espaçamento a=800 mm entre enrijecedores da plo viga do exem 2, com α=0.40; k=37.4; MPa 250f y = ; 4.160t/h w = ; kN Vsd 7.1792= .
flambagem parâmetro h/t fo
admissível aV (kN) rça cortante sistente re
inelástica (item C.3.2) yf/k7.414 3741.0
Tabela 10.3.3.4 – Cálculo da força cortante admissível aV de acordo co a teoria de YU (1991), através da tabela C.3.1, para os painéis com espaçamento a=1 e pl400 mm entr enrijecedores da viga do exem o 2, com α=0.70; k=14.9; MPa 250f y = ; 4.160t/h w = ; kN Vsd 0.1758= .
flambagem parâmetro h/t fo
admissível aV (kN) rça cortante sistente re
elástica (item C.3.1) yf/k0.657 2677.2
10.3.3.3 Exemplo 3
s
calculados las normas, exceto o Eurocode 3, que constam nas tabelas 10.2.2.4 e 10.2.2.5.
As tabelas 10.3.3.5, 10.3.3.6 e 10.3.3.7 trazem os valores calculados da força
cortante admissível aV de acordo com a teoria de YU (1991), para os painéis α=0.46, α=1.25
e α=1.41 da viga do exemplo 3. A tabela 10.3.3.5 indica que os painéis α=0.46 flambam na
extensão inelástica com o valor de aV próximo dos calculados pelas normas, exceto o
Eurocode 3, que constam na tabela 10.2.2.7. As tabelas 10.3.3.6 e 10.3.3.7 indicam que os
painéis α=1.25 e α=1.41 flambam na extensão elástica, com os valores de aV próximos do
pe
418
Tabela 10.3.3.5 – Cálculo da força cortante admissível aV de acordo com a teoria de YU C. in(1991), através da tabela 3.1, pa pa éis com espaçam a α=0.46; k=29.0;
ra osento a=925 mm entre enrijecedores d viga do exemplo 3, com
MPa ; t/h w250f y = 4.160= ; kNVsd 2.2182= .
parâmetro h/t força cortante resistente
admis (kN) flambagem sível aV
inelástica yf/k0.471 3741.0 (item C.3.2)
Tabela 10.3.3.6 – Cálculo da força cortante admissível aV de acordo com a teoria de YU vé (1991), atra s da espaçamento a=2500 mm entre enrijecedores da α=1.25; k=7.9;
tabela C.3..1, para os painéis com viga do exemplo 3, com
MPa ; t/h w250f y = 4.160= ; kNVsd 0.2140= .
parâmetro h/t força cortante resistente
admis (kN) flambagem sível aV
elástica yf/k3.902 1419.4 (item C.3.1)
Tabela 10.3.3.7 – Cálculo da força cortante admissível aV de acordo com de YU ( d .1 éis coa teoria 1991), através a tabela C.3 , pa pain m
espaçamento a=2825 mm entre enrijecedores da ra os
viga do exemplo 3, com41.1 ; 7k =α = 3. ; MPa0 ; t/h w25f y = 4.160= ; kN 2.2182Vsd = .
fl parâmetro h/t força cortante resistente
admis (kN) ambagem sível aV
elástica yf/k5.935 1311.6 (item C.3.1)
10.3.4 Teoria de HÖGLUND (1998)
am dos resultados obtidos pelo Eurocode 3, que
nas tabelas 10.2.2.1 a 10.2.2.7, com exceção das demais normas, que apresentam
orma européia.
10.3.4.1 Exemplo
As tabelas 10.3.4.1 e 10.3.4.2 trazem os valores calculados da força cortante
Os resultados obtidos de acordo com a teoria de HÖGLUND (1998) que constam
nas tabelas 10.3.4.1 a 10.3.4.7 se aproxim
constam
resultados diferentes da n
1
admissível de acordo com a teoria de HÖGLUND (1998), para os painéis α=0.58 e aV
419
α=1.08 da viga do exemplo 1. Pode-se observar que estes painéis sofrem flambagem elástica e
os valores de wV são aproximados dos valores da força cortante resistente característica
calculados pelo Eurocode 3, que constam nas tabelas 10.2.2.1 e 10.2.2.2 e a extensão na qual
s painéis flambam também coincide com o indicado pelos critérios do Eurocode 3.
n 493 m entre enrijecedores da viga do exemplo 1, com α=0.58; k=19.9;
o
Tabela 10.3.4.1 – Cálculo da força cortante resistente nominal wV de acordo com a teoria de HÖGLUND (1998), através da tabela C.4.1, para os painéis com espaçame mto a=
435= M f y Pa ; 250t/h w = ; Vsd kN 0.155= . eficien e d
flambageparâm co e
cortan resistent nal kN)
m etro de esbeltez
wt/hλ =
tte
vC
força cortante e nomi
wV (
elástica yf/k8.1168
0.477 onde
w
359.8 (item C.4.1) 07.2λ =
ento a=920 mm entre enrijecedores da viga do exemplo 1, com α=1.08; k=8.8;
Tabela 10.3.4.2 – Cálculo da força cortante resistente nominal wV de acordo com a teoria de HÖGLUND (1998), através da tabela C.4.1, para os painéis com espaçam
435 MP f = a ; 250t/h w = ; Vsdy kN 0.155= . eficien e d
flambageparâm co e
cortan resistent nal kN)
m etro de esbeltez
wt/hλ =
tte
vC
força cortante e nomi
wV (
elástica yf/k7.1757
0.347 onde
w
261.7 (item C.4.1) 10.3λ =
10.3.4.2 Exe 2
A
A
mplo
As tabelas 10.3.4.3 e 10.3.4.4 trazem os valores calculados da força cortante
resistente nominal wV de acordo com a teoria de HÖGLUND (1998), para os painéis α=0.40
e α=0.70 da viga do exemplo 2. tabela 10.3.4.3 indica que o painel α=0.40 sofre
escoamento por cisalhamento com wV se aproximando do valor calculado pelo Eurocode 3,
que consta na tabela 10.2.2.6. tabela 10.3.4.4 indica que o painel α=0.70 flamba na
420
extensão elástica, com o valor de próximo do valor calculado pelo Eurocode 3, que consta
na
0.3.4.3 – Cálculo da força cortante resistente nominal de acordo com a teoria de HÖGL p o es =80 ores da viga do exem
wV
UND (1998), através da
; 416
tabela 10.2.2.3.
Tabela 1 wVara plo
tabela C.4.1, s painéis com 2, com α=0.40; paçamento a 0 mm entre enrijeced
k=37.4; MPa 250f y = .t/h w 0= ; kN 7.1792Vsd = .
flambagem parâm coeficiente de
cortante força cortante
resistente nominal
eλ = tro de esbeltez
wt/hvC w (kN)V
escoamento por cisalhamento yf7.414 1.00 3741.0 /k(item C.4.2)
Tabela 10.3.4.4 – te admissível de acordo com a teoria de HÖGLUND (1998), através da tabela C.4.1, para os painéis com espa 0 m eced plo 2, c 0; k=14
.
fl parâm coeficiente de
c força cortante
resistente nominal
Cálculo da força cortan aVçamento a=140
.9; MPa 250f y = ; m entre enrij ores da viga do exem om α=0.74.160t/h w = ; kN 0.1758Vsd =
ambagemetro de esbeltez
wt/hλ = ortantevC w (kN)V
elástica yf/k0.657
0.710 onde
w
2656.1 (item C.4.1) 16.1λ =
10.3.4.3 E
im
os painéis α=1.25 e
=1.41 flambam na extensão elástica com os valores de próximos do calculado através
dos
xemplo 3
As tabelas 10.3.4.5, 10.3.4.6 e 10.3.4.7 trazem os valores calculados da força
cortante admissível wV de acordo com a teoria de HÖGLUND (1998), para os painéis
α=0.46, α=1.25 e α=1.41 da viga do exemplo 3. A tabela 10.3.4.5 indica que os painéis
α=0.46 sofrem escoamento por cisalhamento com wV próx o do calculado pelo Eurocode 3,
que consta na tabela 10.2.2.7. As tabelas 10.3.4.6 e 10.3.4.7 indicam que
wVα
critérios do Eurocode 3, que constam nas tabelas 10.2.2.4 e 10.2.2.5.
421
Tabela 10.3.4.5 – Cálculo da força cortante admissível de acordo com a teoria de HÖGLUND (1998), através da tabela C.4.1, para os painéis com esp 5 m eced plo 3, c 6; k=29
.
parâm coeficiente de cortan
força cortante resisten inal
aVaçamento a=92
.0; MPa 250f y = ; m entre enrij ores da viga d exemo om α=0.44.160t/h w = ; kN 2.2182Vsd =
flambagem etro de esbeltez
wt/hλ = te vC
te nomw (kN)V
escoamento por cisalhamento (item C.4.2)
yf/k0.471 1.00 3741.0
Tabela 10.3.4.6 – Cálculo da força cortante admissível de acordo com a teoria de HÖGLUND (1998), através da tabela C.4.1, para os painéis com espa 0 m ece plo 3, c 5; k=7.
.
fl parâm coe de
c força cortante
resisten inal
aVçamento a=250
9; MPa250f y = ; m entre enrij dores da viga do exem om α=1.24.160t/h w = ; kN 0.2140Vsd =
ambagemetro de esbeltez
wt/hλ =
ficienteortante
vC te nom
w (kN)V
elástica (item C.4.1) y
59.1λw
f/k3.902 0.576
onde =
2154.8
Tabela 10.3.4.7 – Cálculo da força cortante admissível de acordo com a teoria de HÖGLUND (1998), através da tabela C.4.1, para os painéis com espa 5 m eced lo 3, com
aVçamento a=282
m entre enrij ores da viga do xemp e 41.1α = ; 3.7k = ; MPa250f y = ; 4.160t/h w = ; kN 2.2182Vsd = .
fl parâm coe de
c força cortante
resisten inal
ambagemetro de esbeltez
wt/hλ =
ficienteortante
vC te nom (kN)wV
elástica (item C.4.1) y
6.1λw
f/k5.935 0.562
onde 2102.4 5=
10.4 Recomendações para futuros trabalhos e pesquisas
422
mo:
ntais da capacidade de carga ao momento e ao cortante de vigas esbeltas.
daí, obter o estado de deformações correspondente que, associado às
relações constitutivas do material, permitem definir o estado de tensões em todo o elemento.
Este estado de tensões é transformado em esforços internos que têm de estar em equilíbrio
com as ações externas.
Este trabalho apresenta diversos critérios de dimensionamento e verificação de
vigas esbeltas, os quais podem servir de base para o desenvolvimento de futuros trabalhos e
pesquisas tratando de aspectos relacionados aos desenvolvidos nesta dissertação, co
a) Realização de um programa experimental, onde se pode utilizar um dos
exemplos calculados nesta dissertação, como o exemplo 1, para obtenção, através de ensaios
experime
b) Desenvolvimento e elaboração de programas computacionais para o cálculo e
verificação de dimensões de vigas esbeltas, utilizando linguagens de programação como C ou
Fortran.
c) Realização de uma modelagem numérica, através do método dos elementos
finitos, das vigas esbeltas apresentadas nos exemplos, para análises linear e não-linear,
utilizado programas computacionais comerciais de uso corrente. O método dos elementos
finitos consiste não apenas em transformar o sólido contínuo em uma associação de elementos
discretos e escrever as equações de compatibilidade e equilíbrio entre eles, mas admitir
funções contínuas que representam, por exemplo, o campo de deslocamentos no domínio de
um elemento e, a partir
423
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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428
ANEXOS
A CRITÉRIOS NORMATIVOS PARA O CÁLCULO DO MOMENTO FLETOR
RESISTENTE CARACTERÍSTICO
A.1 Seções compactas
A.1.1 Critérios utilizados pela LRFD (AISC, 1994)
Caso 1: Momento plástico é atingido ( )pn M=M com grande capacidade de
rotação plástica
SALMON E JOHNSON (1996) afirmaram que a seção deve ser “compacta” para
prevenir flambagem local; isto é, λ para a mesa ( )ff t2/b e para a alma ( )wh/t não deve
exceder e contenção lateral deve ser providenciada de forma que o comprimento sem
contenção lateral não exceda , onde
pλ
bL pdL
yy
p1pd r
ksi ,FM/M2200+3600
=L (A.1)
A LRFD-F1.2d usa no lugar de ; mas será sempre no Caso 1.
Nesta categoria, uma análise plástica envolvendo redistribuição de momentos é uma opção.
2M pM 2M pM
Caso 2: Momento plástico é alcançado ( )pn M=M mas com relativamente
pequena capacidade de rotação
SALMON E JOHNSON (1996) forneceram a tabela A.1, que apresenta os limites
de esbeltez fornecidos para vários valores da tensão de escoamento para seções compactas.
De acordo com SALMON E JOHNSON (1996), a seção deve ser compacta para prevenir
flambagem local, isto é, λ para a mesa ( )ff t2/b e para a alma ( )wh/t não devem exceder
e uma contenção lateral deve ser providenciada de tal forma que
pλ
( )yb r/
0.
L λ
1=Cb
não exceda .
Este último limite diz que não pode exceder quando .
pλ
pλ bL pL
yyf
p rksi ,F
300=L (A.2)
A LRFD utiliza o valor do módulo de elasticidade E=29000 ksi. Para unidades do SI, pode-se
obter , com o módulo de elasticidade E=200000 MPa: pL
429
yyf
yyf
p r29000
200000F
300rEE
F300L ==
yyf
p rMPa ,F84.787L = (A.3)
Para o estado limite de flambagem local da mesa, o valor de λ , para unidades do SI, pode ser
obtido
29000200000
F65
EE
F65
t2b
λyfyff
fp ===
yff
fp F
70.170t2
bλ == (A.4)
Para o estado limite de flambagem local da alma, o valor de λ , para unidades do SI, pode ser
obtido
29000200000
F640
EE
F640
thλ
yfyfwp ===
yfwp F
72.1680thλ == (A.5)
Caso 1, M = M
Res
istê
ncia
nom
inal
de
mom
ento
Mn M p
M r
n panálise plástica permitida
1
2
0 L L Lppd r
Comprimento sem contenção lateral L
LRFD Formula (F1 - 13)Caso 3 ou 4
comportamentoinelástico
comportamentoelástico
Caso 5
b
análise plástica não usadaCaso 2, M = M masn p
LRFD Formula (F1 - 17), eq. A.1
LRFD Formula (F1 - 4), eq. A.2
LRFD Formula (F1 - 6)
LRFD Formula (F1 - 2), eq. A.7
eq. A.9
eq. A.33
Figura A.1 (SALMON E JOHNSON, 1996) – Resistência nominal de seções “compactas” afetadas pela flambagem lateral com torção.
nM
Para os casos em que λ não ultrapassa , a resistência nominal à flexão pode atingir a
resistência plástica de momento, , como indicado abaixo:
pλ nM
pM
430
pn M=M (A.6)
onde , onde é o módulo plástico da seção. xyp ZF=M xZ
Tabela A.1 (SALMON E JOHNSON, 1996) – Limites do parâmetro de esbeltez para vigas de seção I “compactas” para atingir a resistência de momento plástico , de acordo com a LRFD-B5.1.
pλ
pM
tensão de escoamento
yfF (MPa)
flambagem local
da mesa
yff
f
F70.170
t2b
=
(equação A.4)
flambagem local
da alma
yfw F72.1680
th=
(equação A.5)
flambagem lateral
com torção
yfy
b
F84.787
rL
=
(equação A.3) 248 10.8 107 50.0 290 10.0 98.8 46.3 310 9.7 95.4 44.7 345 9.2 90.5 42.4 379 8.8 86.3 40.5 414 8.4 82.6 38.7 448 8.1 79.4 37.2
Caso 3: Flambagem lateral com torção de seções “compactas” pode ocorrer
na extensão inelástica ( )rnp MMM ≥>
Esta resistência de momento é aproximada pela relação linear entre os pontos
1
nM
( )pp L em M e 2 ( )rr L em M na figura A.1. Flambagem local deve ser impedida. Desde que
quase todas as seções laminadas são “compactas”, isto é, elas têm pλ ≤ λ , a resistência
nominal é uma função linear da resistência à flambagem lateral com torção. Então, nM
( ) b pn b p p r
r p
L LM C M M M M
L L
⎡ ⎤⎛ ⎞−= − − ≤⎢ ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
p⎥ (A.7)
onde é a resistência de momento disponível para cargas em serviço quando a fibra
extrema alcança a tensão de escoamento (incluindo a tensão residual), e pode ser expressa
por
rM
yfF
( )r yf rM F F S= − x (A.8)
onde
yfF = tensão de escoamento mínima especificada para o aço da mesa
431
rF = tensão residual compressiva na mesa
= 10 ksi para seções laminadas; 16.5 ksi para seções soldadas
xS = módulo elástico da seção ( )2/d/I= x
xI = momento de inércia em relação ao eixo x
d = altura total da seção
O comprimento é, como fornecido na LRFD – F1.2a, rL
( ) ( )2y 1r 2
yf r
r XL 1 1 X F
F F= + +
− yf rF− (A.9)
onde
2EGJA
Sπ
=Xx
1 (A.10)
e 2
w x2
y
C SX 4I GJ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
(A.11)
A.1.2 Critérios utilizados pela NBR 8800 (ABNT, 1986)
O item F-2.3 - anexo F - NBR 8800/86 utiliza, para o estado limite de flambagem
local da mesa, o seguinte valor do parâmetro de esbeltez limite para seções compactas: pλ
yp F
E38.0=λ (A.12)
O item F-2.3 - anexo F - NBR 8800/86, para o estado limite de flambagem lateral
com torção, utiliza o seguinte valor do parâmetro de esbeltez : pλ
yp F
E75.1=λ (A.13)
A tabela A.1 (SALMON E JOHNSON, 1996) pode ser transformada de acordo
com os critérios utilizados pela NBR 8800/86, fornecendo os valores dos parâmetros . Para
o estado limite de flambagem local da mesa, substituindo o valor do módulo de elasticidade
E=205000 MPa, o parâmetro de esbeltez se torna:
pλ
pλ
432
yyyp F
1.172=
F205000
38.0=FE
38.0=λ (A.14)
Para o estado limite de flambagem lateral com torção, substituindo o valor de
E=205000 MPa no parâmetro de esbeltez fornecido pela NBR 8800/86 tem-se: pλ
Tabela A.2 – Limites do parâmetro de esbeltez para vigas de seção I “compactas” para atingir a resistência de momento plástico
, de acordo com a NBR 8800/86.
pλ
pM
tensão de escoamento
yf (MPa)
flambagem local
da mesa
yf
f
f172
t2b
=
(equação A.14)
flambagem local
da alma
yw f1681
th=
(equação A.5)
flambagem lateral
com torção
yy
b
f3.792
rL
=
(equação A.15) 248 10.8 107 50.0 290 10.0 98.8 46.3 310 9.7 95.4 44.7 345 9.2 90.5 42.4 379 8.8 86.3 40.5 414 8.4 82.6 38.7 448 8.1 79.4 37.2
yyyp F
34.792=
F205000
75.1=FE
75.1=λ (A.15)
A tabela A.1 (SALMON E JOHNSON, 1996), que apresenta valores limites do
parâmetro de esbeltez para seções compactas pode ser substituída pela tabela A.2, a qual
apresenta os valores limites do parâmetro de esbeltez para seções compactas fornecidos
pela NBR 8800/86.
pλ
pλ
A.1.3 Critérios utilizados pela PNBR 8800 (ABNT, 2003)
O item F-2.3 - anexo F - PNBR 8800/03 utiliza, para o estado limite de
flambagem local da mesa, o seguinte valor do parâmetro de esbeltez limite para seções
compactas:
pλ
yp F
E38.0=λ (A.16)
433
O item F-2.3 - anexo F - PNBR 8800/03, para o estado limite de flambagem
lateral com torção, utiliza o seguinte valor do parâmetro de esbeltez : pλ
yp F
E76.1=λ (A.17)
A tabela A.1 (SALMON E JOHNSON, 1996) pode ser adaptada aos critérios
utilizados pela PNBR 8800/03. Para o estado limite de flambagem local da mesa, substituindo
o valor do módulo de elasticidade E=205000 MPa, o parâmetro de esbeltez da equação
A.16 se torna:
pλ
yyyp F
1.172=
F205000
38.0=FE
38.0=λ (A.18)
Para o estado limite de flambagem lateral com torção, substituindo o valor de
E=205000 MPa no parâmetro de esbeltez da equação A.17 fornecido pela PNBR 8800/03
tem-se:
pλ
yyyp F
9.796=
F205000
76.1=FE
76.1=λ (A.19)
A tabela A.3 apresenta os valores limites do parâmetro de esbeltez para seções
compactas fornecidos pela PNBR 8800/03.
pλ
Tabela A.3 – Limites do parâmetro de esbeltez para vigas de seção I “compactas” para atingir a resistência de momento plástico
, de acordo com a PNBR 8800/03.
pλ
pM
tensão de escoamento
yF (MPa)
flambagem local
da mesa
yf
f
F172
=t2
b
(equação A.18)
flambagem local
da alma
yw F1681
=th
(equação A.5)
flambagem lateral com
torção
yy
b
F9.796
=rL
(equação A.19) 248 10.8 107 50.0 290 10.0 98.8 46.3 310 9.7 95.4 44.7 345 9.2 90.5 42.4 379 8.8 86.3 40.5 414 8.4 82.6 38.7 448 8.1 79.4 37.2
434
A.1.4 Critérios utilizados pela PNBR 8800 (ABNT, 2007)
O item H-2.3 - anexo H - PNBR 8800/07 utiliza, para o estado limite de
flambagem local da mesa, o seguinte valor do parâmetro de esbeltez limite para seções
compactas:
pλ
yp F
E38.0=λ (A.20)
O item H-2.3 - anexo H - PNBR 8800/07, para o estado limite de flambagem
lateral com torção, utiliza o seguinte valor do parâmetro de esbeltez : pλ
yp F
E76.1=λ (A.21)
A tabela A.1 (SALMON E JOHNSON, 1996) pode ser adaptada aos critérios
utilizados pela PNBR 8800/07. Para o estado limite de flambagem local da mesa, substituindo
o valor do módulo de elasticidade E=205000 MPa, o parâmetro de esbeltez da equação
A.20 se torna:
pλ
yyyp F
1.172=
F205000
38.0=FE
38.0=λ (A.22)
Tabela A.4 – Limites do parâmetro de esbeltez para vigas de seção I “compactas” para atingir a resistência de momento plástico
, de acordo com a PNBR 8800/07.
pλ
pM
tensão de escoamento
yF (MPa)
flambagem local
da mesa
yf
f
F172
=t2
b
(equação A.22)
flambagem local
da alma
yw F1681
=th
(equação A.5)
flambagem lateral com
torção
yy
b
F9.796
=rL
(equação A.23) 248 10.8 107 50.0 290 10.0 98.8 46.3 310 9.7 95.4 44.7 345 9.2 90.5 42.4 379 8.8 86.3 40.5 414 8.4 82.6 38.7 448 8.1 79.4 37.2
435
Para o estado limite de flambagem lateral com torção, substituindo o valor de
E=205000 MPa no parâmetro de esbeltez da equação A.21 fornecido pela PNBR 8800/07
tem-se:
pλ
yyyp F
9.796=
F205000
76.1=FE
76.1=λ (A.23)
A tabela A.4 apresenta os valores limites do parâmetro de esbeltez para seções
compactas fornecidos pela PNBR 8800/07.
pλ
A.1.5 Critérios utilizados pelo Eurocode 3 (CEN, 1992)
A tabela 5.3.1 - Eurocode 3 fornece os valores máximos da relação
largura/espessura das mesas. De acordo com a tabela 5.3.1 – Eurocode 3, para Classe 1
(seções super-compactas),
fc / t 9≤ ε (A.24)
para seções soldadas. Observando que e que 2/b=c f yf/235=ε , a equação A.25 se torna
MPa em f ,f97.137
=f/2359=t2/b=t/c yy
yfff (A.25)
Para seções Classe 2 (seções compactas), o Eurocode 3 utiliza o valor limite:
fc / t 10≤ ε (A.26)
para seções soldadas.
MPa em f ,f30.153
=f/23510=t2/b=t/c yy
yfff (A.27)
A tabela 5.3.1 – Eurocode 3 apresenta os valores máximos de para as
classificações das seções. Para seções Classe 1, o Eurocode 3 utiliza o valor limite:
wt/h
wh / t 72≤ ε (A.28)
w yy
1103.74h / t 72 235 / ff
≤ = (A.29)
Para seções Classe 2, o Eurocode 3 utiliza o valor limite:
wh / t 83≤ ε (A.30)
w yy
1272.37h / t 83 235 / ff
≤ = para em MPa. yf (A.31)
436
A tabela A.5 apresenta os valores limites do parâmetro de esbeltez para seções
compactas fornecidos pelo Eurocode 3.
pλ
Tabela A.5 – Limites dos parâmetros de esbeltez para vigas de seção I “compactas” para atingir a resistência de momento plástico
, de acordo com o Eurocode 3.
pλ
pM
tensão de escoamento
yf (MPa)
flambagem local
da mesa
yf
f
f30.153
=t2
b
(equação A.27)
flambagem local
da alma
yw f37.1272
th=
(equação A.31)
flambagem lateral
com torção
248 9.7 80.8 valores 290 9.0 74.7 devem ser 310 8.7 72.2 calculados 345 8.3 68.5 para cada caso, 379 7.9 65.3 de acordo com 414 7.5 62.5 o item 5.5.2 – 448 7.2 60.1 Eurocode 3
A.2 Seções não-compactas
A.2.1 Critérios utilizados pela LRFD (AISC, 1994)
Caso 4: Estado limite geral onde a resistência nominal de momento Mn
ocorre na extensão inelástica ( )rnp MMM ≥>
De acordo com SALMON E JOHNSON (1996), esta condição é relativamente
incomum para seções laminadas. Quando para flambagem lateral com torção,
ou
rbp L<L<L
( ) rffp λ<t2/b=λ<λ para flambagem local da mesa, ou ( ) rwp λ<t/h=λ<λ para
flambagem local da alma, a resistência estará nesta categoria. Estes limites de esbeltez são
fornecidos para vários valores da tensão de escoamento na tabela A.6 fornecida por
SALMON E JOHNSON (1996). A LRFD usa o símbolo λ para representar a estabilidade
geral do parâmetro de esbeltez.
Quando λ está entre para qualquer um ou mais de um dos estados limites
de flambagem local da mesa, flambagem local da alma, ou flambagem lateral com torção, a
relação para a resistência de momento é linear. Para os estados limites de flambagem local da
mesa ou da alma, a LRFD – apêndice F1 prescreve
rp λ e λ
437
( ) pn p p r
r p
M M M M⎛ ⎞λ −λ
= − − ⎜ ⎟⎜ ⎟λ −λ⎝ ⎠ (A.32)
Para o estado limite de flambagem lateral com torção, a relação linear da equação
A.32 é usada; entretanto, o resultado é aumentado pela multiplicação por quando existe bC
Tabela A.6 (SALMON E JOHNSON, 1996) – Limites do parâmetro de esbeltez para “seções não-compactas” de vigas de seção I para atingir na fibra extrema , de acordo com a LRFD – B5.1.
rλ
yF
tensão de escoamento
yfFck
(MPa)
flambagem local da mesa
seções I soldadas
( ) cyff
f
k/85.113F71.430
t2b
−=
(equação A.36)
flambagem local da alma
yfw F34.2547
th=
(equação A.38)
flambagem lateral
com torção
A.9 .eqrL
y
b =
(LRFD–F1.2a) 248 0.35 21.7 161.7 valores 290 0.35 19.0 149.7 devem 310 0.35 18.0 144.6 ser 345 0.35 16.6 137.2 determinados 379 0.35 15.4 130.8 para cada 414 0.36 14.7 125.2 forma W 448 0.36 14.0 120.3 para dada 621 0.40 11.9 102.2 tensão de 690 0.41 11.3 97.0 escoamento
um gradiente de momento. É claro que o máximo se não for levado em conta o
quão escarpado é o gradiente de momento. A expressão de acordo com a LRFD – apêndice F1
é idêntica à equação A.7, exceto pelo fato de que é expressa na forma dos parâmetros
pn M é M
λ ,
( ) pn b p p r
r p
M C M M M M⎡ ⎤⎛ ⎞λ −λ
= − − ≤⎢ ⎜ ⎟⎜ ⎟λ −λ⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦p⎥ (A.33)
onde
CBAmax
maxb M3+M4+M3+M5.2
M5.12=C (A.34)
onde
bC = fator de modificação para variação não-uniforme de momento fletor para o
segmento da viga sem contenção lateral exceto nos finais do segmento,
baseado nos valores absolutos dos momentos fletores
maxM = momento máximo no segmento sem contenção lateral
438
AM = momento no ponto a 1/4 do segmento sem contenção lateral
BM = momento no ponto médio do segmento sem contenção lateral
CM = momento no ponto a 3/4 do segmento sem contenção lateral
Para o estado limite de flambagem local da mesa, SALMON JOHNSON (1996) forneceram o
valor de , rλ
( ) cyff
fr k/5.16F
162t2
bλ
−== (A.35)
a equação A.35 pode ser convertida para as unidades do SI:
( )( ) 29000200000
k/9.65.16F162
t2b
λcyff
fr
−==
( ) cyff
fr k/85.113F
71.430t2
bλ
−== (A.36)
Para o estado limite de flambagem local da alma, SALMON JOHNSON (1996) forneceram o
valor de , rλ
ywr F
970thλ == (A.37)
a equação A.37 pode ser convertida para as unidades do SI:
29000200000
F970
EE
F970
thλ
yfyfwr ===
yfwr F
34.2547thλ == (A.38)
A.2.2 Critérios utilizados pela NBR 8800 (ABNT, 1986)
O item F-2.3b – anexo F – NBR 8800/86 utiliza, para o estado limite de
flambagem local da mesa, o seguinte valor do parâmetro de esbeltez limite para seções
não-compactas:
rλ
y
'r F
E87.0=λ (A.39)
439
O item F-2.3a – anexo F – NBR 8800/86, para o estado limite de flambagem
lateral com torção, utiliza o seguinte valor do parâmetro de esbeltez : rλ
y
br F
EC44.4=λ (A.40)
O item F-2 – anexo F - NBR 8800/86 apresentou uma nota que afirma que o estado limite de
flambagem local da alma fica automaticamente verificado. O item F-1 – anexo F - NBR
8800/86 diz que para vigas esbeltas, λ deve ser maior que para FLA. O valor de
fornecido pela tabela 27 – anexo D – NBR 8800/86 é:
rλ rλ
yr f
E6.5=λ (A.41)
Tabela A.7 – Limites do parâmetro de esbeltez para “seções não-compactas” de vigas de seção I para atingir na fibra extrema, de acordo com a NBR 8800/86.
rλ
yf
tensão de escoamento
yf (MPa)
flambagem local da mesa
seções I soldadas
yf
f
f9.393
=t2
b
(equação A.42)
flambagem local da alma
yw f5.2535
=th
(equação A.44)
flambagem lateral com
torção
yT
b
f3.2010
=rL
(equação A.43) 248 25.0 161.0 127.7 290 23.1 148.9 118.0 310 22.4 144.0 114.2 345 21.2 136.5 108.2 379 20.2 130.2 103.3 414 19.4 124.6 98.8 448 18.6 119.8 95.0 689 15.0 96.6 76.6
A tabela A.6 (SALMON E JOHNSON, 1996) pode ser adaptada para as
condições da NBR 8800/86. Substituindo o valor do módulo de elasticidade E=205000 MPa
na equação A.39, tem-se, para flambagem local da mesa:
yyy
'r f
9.393=
f205000
87.0=fE
87.0=λ (A.42)
Considerando e substituindo o valor do módulo de elasticidade E=205000
MPa na equação A.40, tem-se, para flambagem lateral com torção:
1=Cb
440
yyy
br f
3.2010=
f205000
44.4=f
EC44.4=λ (A.43)
Substituindo o valor do módulo de elasticidade E=205000 MPa na equação A.41,
tem-se, para flambagem local da alma:
yyyr f
5.2535=
f205000
6.5=fE
6.5=λ (A.44)
A tabela A.7 apresenta os valores limites dos parâmetros para seções não-
compactas fornecidos pela NBR 8800/86.
rλ
A.2.3 Critérios utilizados pela PNBR 8800 (ABNT, 2003)
O item F-2.3 – anexo F – PNBR 8800/03 utiliza, para o estado limite de
flambagem local da mesa, o seguinte valor do parâmetro de esbeltez limite para seções
não-compactas:
rλ
cy
'r k/f
E35.1=λ (A.45)
onde c w ck 4 / h / t e 0.35 k 0.763= ≤ ≤ .
O item F-2.3 – anexo F – PNBR 8800/03, para o estado limite de flambagem
lateral com torção, utiliza o seguinte valor do parâmetro de esbeltez : rλ
y
br F
EC44.4=λ (A.46)
O item F.2.4 – anexo F – PNBR 8800/03 apresentou uma nota que afirma que o estado limite
de flambagem local da alma fica automaticamente verificado. O item F.1.2 – anexo F – PNBR
8800/03 diz que vigas esbeltas são aquelas com relação altura/espessura da alma ( )wt/h
superior a:
yr f
E70.5=λ (A.47)
A tabela A.6 (SALMON E JOHNSON, 1996) pode ser adaptada para as
condições da PNBR 8800/03. Substituindo o valor do módulo de elasticidade E=205000 MPa
na equação A.45, tem-se, para flambagem local da mesa:
441
cycyr k/f
2.611=
k/f205000
35.1=λ (A.48)
Considerando e substituindo o valor do módulo de elasticidade E=205000
MPa na equação A.46, tem-se, para flambagem lateral com torção:
1=Cb
yyy
br f
3.2010=
f205000
44.4=f
EC44.4=λ (A.49)
Substituindo o valor do módulo de elasticidade E=205000 MPa na equação A.47,
tem-se, para flambagem local da alma:
yyyr f
8.2580=
f205000
70.5=fE
70.5=λ (A.50)
Tabela A.8 – Limites do parâmetro de esbeltez para “seções não-compactas” de vigas de seção I para atingir na fibra extrema, de acordo com a PNBR 8800/03.
rλ
yf
tensão de escoamento
yF (MPa)
flambagem local da mesa
seções I soldadas
cyf
f
k/f2.611
=t2
b
(equação A.48)
flambagem local da alma
yw f8.2580
=th
(equação A.50)
flambagem lateral
com torção
yT
b
f3.2010
=rL
(equação A.49)
248 23.0 161.0 127.7 290 21.2 148.9 118.0 310 20.5 144.0 114.2 345 19.5 136.5 108.2 379 18.6 130.2 103.3 414 18.0 124.6 98.8 448 17.4 119.8 95.0 689 14.7 96.6 76.6
A tabela A.8 apresenta os valores limites dos parâmetros para seções não-
compactas fornecidos pela PNBR 8800/03.
rλ
A.2.4 Critérios utilizados pela PNBR 8800 (ABNT, 2007)
442
O item H.2.3 – anexo H – PNBR 8800/07 utiliza, para o estado limite de
flambagem local da mesa, o seguinte valor do parâmetro de esbeltez limite para seções
não-compactas:
rλ
cy
'r k/f
E35.1=λ (A.51)
onde c w ck 4 / h / t e 0.35 k 0.763= ≤ ≤ .
O item H.2.3 – anexo H – PNBR 8800/07, para o estado limite de flambagem
lateral com torção, utiliza o seguinte valor do parâmetro de esbeltez : rλ
y
br F
EC44.4=λ (A.52)
O item H.2.4 – anexo H – PNBR 8800/07 apresentou uma nota que afirma que o estado limite
de flambagem local da alma não é aplicável. O item H.1.1 – anexo H – PNBR 8800/07 diz
que vigas esbeltas são aquelas com relação altura/espessura da alma ( )wt/h superior a:
yr f
E70.5=λ (A.53)
A tabela A.6 (SALMON E JOHNSON, 1996) pode ser adaptada para as
condições da PNBR 8800/07. Substituindo o valor do módulo de elasticidade E=205000 MPa
na equação A.51, tem-se, para flambagem local da mesa:
cycyr k/f
2.611=
k/f205000
35.1=λ (A.54)
Considerando e substituindo o valor do módulo de elasticidade E=205000
MPa na equação A.52, tem-se, para flambagem lateral com torção:
1=Cb
yyy
br f
3.2010=
f205000
44.4=f
EC44.4=λ (A.55)
Substituindo o valor do módulo de elasticidade E=205000 MPa na equação A.53,
tem-se, para flambagem local da alma:
yyyr f
8.2580=
f205000
70.5=fE
70.5=λ (A.56)
443
Tabela A.9 – Limites do parâmetro de esbeltez para “seções não-compactas” de vigas de seção I para atingir na fibra extrema, de acordo com a PNBR 8800/07.
rλ
yf
tensão de escoamento
yF (MPa)
flambagem local da mesa
seções I soldadas
cyf
f
k/f2.611
=t2
b
(equação A.54)
flambagem local da alma
yw f8.2580
=th
(equação A.56)
flambagem lateral
com torção
yT
b
f3.2010
=rL
(equação A.55)
248 23.0 161.0 127.7 290 21.2 148.9 118.0 310 20.5 144.0 114.2 345 19.5 136.5 108.2 379 18.6 130.2 103.3 414 18.0 124.6 98.8 448 17.4 119.8 95.0 689 14.7 96.6 76.6
A tabela A.9 apresenta os valores limites dos parâmetros para seções não-
compactas fornecidos pela PNBR 8800/07.
rλ
A.2.5 Critérios utilizados pelo Eurocode 3 (CEN, 1992)
A tabela 5.3.1 - Eurocode 3 fornece os valores máximos da relação
largura/espessura das mesas. De acordo com a tabela 5.3.1 – Eurocode 3, para Classe 3, que
corresponde a seções não-compactas nas normas americana e brasileira, esta relação é
fc / t 14≤ ε (A.57)
observando que e que 2/b=c f yf/235=ε , a equação A.57 se torna
MPa em f ,f
214=f/23514=t2/b=t/c y
yyfff (A.58)
A tabela 5.3.1 – Eurocode 3 apresenta os valores máximos de para as
classificações das seções. Para seções classe 3, que correspondem à classe de seções não-
compactas, o Eurocode 3 utiliza o valor limite:
wt/h
wh / t 124= ε (A.59)
444
Tabela A.10 – Limites do parâmetro de esbeltez para “seções não-compactas” de vigas de seção I para atingir na fibra extrema, de acordo com o Eurocode 3.
rλ
yf
tensão de escoamento
yF (MPa)
flambagem local da mesa
seções I soldadas
yf
f
f214
=t2
b
(equação A.58)
flambagem local da alma
yw f1900
=th
(equação A.60)
flambagem lateral
com torção
248 13.6 120.7 valores 290 12.6 111.6 devem ser 310 12.2 107.9 calculados 345 11.5 102.3 para cada 379 11.0 97.6 caso, 414 10.5 93.4 de acordo com 448 10.1 89.8 o item 5.5.2 – 689 8.15 72.4 Eurocode 3
onde yf/235=ε . Substituindo este valor na equação A.59, teremos:
w yy
1900h / t 124 235 / ff
≤ = (A.60)
para em MPa. yf
A tabela A.6 – SALMON E JOHNSON (1996) pode ser adaptada para as
condições do Eurocode 3, de acordo com a tabela A.10.
A.3 Seções esbeltas
A.3.1 Critérios utilizados pela LRFD (AISC, 1994)
Caso 5: Estado limite geral onde a resistência nominal de momento é
igual à resistência de flambagem elástica
nM
crM ( )rn M<M
SALMON E JOHNSON (1996) fizeram uma abordagem detalhada e ampla sobre
os conceitos relativos à resistência nominal de momento. Uma complexidade surge quando se
deseja usar e expressos pelas equações A.8 e A.9, respectivamente, para vigas esbeltas.
Para vigas de seções laminadas, não somente os valores de e estão disponíveis na
LRFD Manual mas também todas as propriedades, estão prontamente disponíveis. Para vigas
rM rL
rM rL
445
esbeltas todas as propriedades devem ser computadas para cada viga. Desta forma, enquanto as
provisões de vigas da LRFD – F1 são logicamente aceitáveis para vigas esbeltas, regras
simplificadas são fornecidas na LRFD – Apêndice G2 para evitar o uso de propriedades de
torção e as expressões complexas que o acompanham para . rL
A resistência nominal de momento de vigas esbeltas é controlada tanto pelo
estado limite de escoamento na mesa tracionada como pela flambagem da mesa comprimida,
como se segue, de acordo com a LRFD – Apêndice G2:
nM
(a) Para escoamento da mesa tracionada:
PGytxtn RFS=M (A.61)
(b) Para flambagem da mesa comprimida:
PGcrxcn RFS=M (A.62)
onde
crPG
r w cr
ha 970R 1 1.01200 300a t F
⎛ ⎞= − − ≤⎜ ⎟⎜ ⎟+ ⎝ ⎠
(A.63)
ra = proporção entre a área da alma pela área da mesa em compressão ( 10)≤
crF = tensão crítica de compressão da mesa, ksi
ytF = tensão de escoamento da mesa tracionada, ksi
xcS = módulo da seção referente à mesa em compressão, , cx yI / 3.in
xtS = módulo da seção referente à mesa tracionada, , tx yI / 3.in
xI = momento de inércia relativo ao eixo x, 4.in
cy = distância do CG da seção à fibra extrema em compressão, in.
ty = distância do CG da seção à fibra extrema em tração, in.
ch = h, altura da chapa da alma para vigas esbeltas de seção I simétrica, in.
Os valores dos parâmetros de esbeltez para os estados limites de flambagem
lateral com torção e de flambagem local da alma, bem como as fórmulas para o cálculo da
tensão crítica foram fornecidos no capítulo 7, subitem 7.3. crF
Para o estado limite de flambagem lateral com torção estas provisões de vigas
esbeltas aproximam a relação x usada para vigas de seção laminada e mostrada na
figura A.1. A viga esbelta usa em vez de . Nota-se que da equação 7.3.8
nM
cr =F
bL
n S/ xM nM pλ
446
para obter é idêntica à equação A.2; no entanto, é usado para vigas esbeltas no lugar
em que é usado para vigas laminadas. A equação 7.3.9 para obtendo para vigas
esbeltas evita equações mais complicadas para vigas laminadas; e também evita a necessidade
de computar as propriedades de torção para vigas esbeltas.
pL Tr
yr rλ rL
A.3.2 Critérios utilizados pela NBR 8800 (ABNT, 1986)
O item F-2.1 – NBR 8800/86 calcula a resistência de cálculo ao momento fletor
como o menor valor obtido de acordo com os estados limites de escoamento da mesa
tracionada e de flambagem:
nM
a) para o escoamento da mesa tracionada:
ypgxtn fkW=M (A.64)
b) para flambagem:
crpgxcn fkW=M (A.65)
onde
wpg
f w cr
1≤A h Ek 1 0.0005 5.6A t f
⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠ (A.66)
O valor de é obtido de acordo com os valores dos parâmetros de esbeltez , que
são fornecidos no Anexo F – NBR 8800/86, para os estados limites de flambagem lateral com
torção e flambagem local da alma. Os valores limites de são fornecidos pelas tabelas
A.2 e A.7, respectivamente, e as equações que calculam são fornecidas no item F.2.2 –
NBR 8800/86, para cada estado limite de flambagem:
crf λ ,λ rp λ e
rp λ e λ
crf
a) para 'pλ ≤ λ
ycr f=f (A.67)
b) para ' 'p rλ < λ ≤ λ
'p
cr y ' 'r p
f f 1 0.5⎡ ⎤⎛ ⎞λ −λ
= −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟λ −λ⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ (A.68)
c) para ' rλ>λ
2pg
cr λC
=f (A.69)
447
A LRFD – Apêndice G2 utiliza equações idênticas às utilizadas pela NBR
8800/86 para o cálculo de crf .
A.3.3 Critérios utilizados pela PNBR 8800 (ABNT, 2003)
O item F-2.1 – PNBR 8800/03 calcula a resistência de cálculo ao momento fletor
como o menor valor obtido de acordo com os estados limites de escoamento da mesa
tracionada e de flambagem:
nM
a) para o escoamento da mesa tracionada:
yxtn fW=M (A.70)
b) para flambagem:
crpgxcn σkW=M (A.71)
onde
w fpg
w f w cr
A / A h Ek 1 5.70 1.01200 300A / A t
⎛ ⎞= − − ≤⎜ ⎟⎜ ⎟+ σ⎝ ⎠
(A.72)
O valor de é obtido de acordo com os valores dos parâmetros de esbeltez , que
são fornecidos no Anexo F – PNBR 8800/03, para os estados limites de flambagem lateral
com torção e flambagem local da alma. Os valores limites de são fornecidos pelas
tabelas A.3 e A.8, respectivamente, e as equações que calculam são fornecidas no item
F.2.2 – PNBR 8800/03, para cada estado limite de flambagem:
crσ rp λ e λ ,λ
rp λ e λ
crσ
a) para pλ ≤ λ
ycr f=σ (A.73)
b) para p rλ < λ ≤ λ
pcr y
r p
f 1 0,5⎡ ⎤⎛ ⎞λ −λ
σ = −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟λ −λ⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ (A.74)
c) para rλ>λ
2pg
cr λC
=σ (A.75)
A LRFD – Apêndice G2 utiliza equações idênticas às utilizadas pela PNBR
8800/03 para o cálculo de . crσ
448
A.3.4 Critérios utilizados pela PNBR 8800 (ABNT, 2007)
O item H.2.1 – PNBR 8800/07 calcula a resistência de cálculo ao momento fletor
como o menor valor obtido de acordo com os estados limites de escoamento da mesa
tracionada e de flambagem:
RdM
a) para o escoamento da mesa tracionada:
1a
yxtRd γ
fWM = (A.76)
b) para flambagem:
1a
crpgRd γ
MkM = (A.77)
onde
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+−=
cr
xc
w
c
r
rpg M
EW70,5
th
a3001200a
1k (A.78)
O valor de é obtido de acordo com os valores dos parâmetros de esbeltez , que
são fornecidos no Anexo H – PNBR 8800/07, para os estados limites de flambagem lateral
com torção e flambagem local da mesa. Os valores limites de são fornecidos pelas
tabelas A.4 e A.9, respectivamente, e as equações que calculam são fornecidas no item
H.2.2 – PNBR 8800/07, para cada estado limite de flambagem:
crM rp λ e λ ,λ
rp λ e λ
crM
a) para pλ ≤ λ
yxccr fWM = (A.79)
b) para p rλ < λ ≤ λ
xcpr
pycr W
λλλλ
5,01fM⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−
−−= (A.80)
c) para rλ>λ
2xcpg
cr λWC
M = (A.81)
A LRFD – Apêndice G2 utiliza equações idênticas às utilizadas pela PNBR
8800/03 para o cálculo da tensão crítica.
A.3.5 Critérios utilizados pelo Eurocode 3 (CEN, 1992)
449
O item 5.4.5.2 – Eurocode 3 calcula o momento fletor resistente de projeto como
sendo:
Seções transversais Classe 4:
1MyeffRd,c γ/fW=M (A.82)
O Eurocode 3 não utiliza, como nas normas americana e brasileira, um valor de
tensão crítica para cada estado limite de flambagem, ele utiliza reduções na seção transversal,
cujos valores estão na tabela 5.3.2 – Eurocode 3, para elementos internos em compressão, que
é o caso de almas, e na tabela 5.3.3 – Eurocode 3, para elementos que permanecem fora, que é
o caso das mesas. Em conformidade com estas reduções fornecidas pelas tabelas 5.3.2 e 5.3.3
– Eurocode 3, está o valor de , que é o módulo efetivo da seção. effW
Para o estado limite de flambagem lateral com torção, o item 5.5.2 – Eurocode 3
traz considerações para o cálculo das propriedades de torção para cada tipo de seção
transversal, necessários para o cálculo da resistência de flambagem de vigas sem contenção
lateral.
450
B CRITÉRIOS NORMATIVOS PARA O CÁLCULO DA FORÇA CORTANTE
RESISTENTE CARACTERÍSTICA
Neste anexo é feita uma análise comparativa dos critérios utilizados pelas normas
para o cálculo da força cortante resistente característica de vigas esbeltas.
B.1 Flambagem elástica sob cisalhamento puro
A tabela B.1 apresenta os critérios normativos para o cálculo da força cortante
resistente nominal , para flambagem elástica, de acordo com os itens B.1.1 a B.1.5 deste
anexo.
nV
Tabela B.1 – Critérios normativos para o cálculo da força cortante resistente nominal , para flambagem elástica.
nV
normas parâmetro de esbeltez
wt/hλ =
coeficiente de cortante
vC
força cortante resistente nominal
nV
LRFD apêndice G3
yvw F/k615t/h ≥ (equação B.6)
( )v
v 2w yw
303000kCh / t F
=
(equação B.2)
( ) wywvn AF6.0C=V (equação B.5)
NBR 8800/86 item 5.5.2
yw f/k634t/h ≥ (equação B.12)
( ) y2
wv ft/h
k306063C =
(equação B.14)
ywvn fA6.0C=V (equação B.15)
PNBR 8800/03 item 5.4.3.2.1
yw f/k620t/h ≥ (equação B.21)
( ) y2
wv ft/h
k317504C =
(equação B.23)
ywvn fA6.0C=V (equação B.24)
PNBR 8800/07 item 5.4.3
yw f/k620t/h ≥ (equação B.32)
( ) y2
wv ft/h
k307582C =
(equação B.34)
ywvn fA6.0C=V (equação B.35)
Eurocode 3 item 5.6.3
yτw f/k688t/h ≥ (equação B.40)
[ ]wv λ/9.0C = (equação B.42)
onde
y
ww
f/k3.573t/h
λ =
(equação B.38)
ywvn fA6.0C=V (equação B.43)
451
A tabela B.2 apresenta os valores do coeficiente de cortante utilizado pelas
normas para flambagem elástica, de acordo com a tabela B.1.
vC
Tabela B.2 – Valores do coeficiente de cortante utilizado
pelas normas para flambagem elástica, vC
yw f/k4.615t/h ≥ .
wt/h (multiplicar por yf/k )
normas
615.
4 65
6.5
706.
7 76
1.6
787.
8 91
9.1
1050
.5
1181
.8
1313
.1
1444
.4
1575
.7
1707
.0
1838
.3
LRFD apêndice G3 0.
80
0.70
0.
61
0.52
0.
49
0.36
0.
27
0.22
0.
18
0.15
0.
12
0.10
0.
09
NBR 8800/86 item 5.5.2
- 0.
71
0.61
0.
53
0.49
0.
36
0.28
0.
22
0.18
0.
15
0.12
0.
11
0.09
PNBR 8800/03 item 5.4.3.2.1
- 0.
74
0.64
0.
55
0.51
0.
38
0.29
0.
23
0.18
0.
15
0.13
0.
11
0.09
PNBR 8800/07 item 5.4.3
- 0.
71
0.62
0.
53
0.50
0.
36
0.29
0.
22
0.18
0.
15
0.12
0.
11
0.09
Eurocode 3 item 5.6.3
- - 0.
73
0.68
0.
65
0.56
0.
49
0.44
0.
39
0.36
0.
33
0.30
0.
28
B.1.1 Critérios utilizados pela LRFD (AISC, 1994)
SALMON E JOHNSON (1996) definiram o parâmetro adimensional como a
proporção entre a tensão crítica na flambagem e a tensão de escoamento ao cisalhamento
. Para estabilidade elástica da chapa, o valor de é:
vC
crτ
yτ vC
( ) yw2
w
vv Ft/h
k44000=C (B.1)
a demonstração desta equação foi feita por SALMON E JOHNSON (1996) e se encontra no
item 7.5.1 do capítulo 7. Para unidades do SI, tem-se
( )v
v 2w yw
303000kCh / t F
= (B.2)
452
A resistência nominal ao cisalhamento para flambagem elástica acontece quando é menor
ou igual a 0.8 do limite proporcional , ou seja, para
crτ
yτ vC 0.8≤ , e tem o seguinte valor:
wcrn Aτ=V (B.3)
e usando ycrv τ/τ=C
wyvn AτC=V (B.4)
e aproximando tem-se ywy F6.0=τ
( ) wywvn AF6.0C=V (B.5)
esta equação consta na LRFD – formula (A-G3-3), que representa o valor da resistência
nominal ao cisalhamento sem a ação do campo de tração. A relação que divide
flambagem elástica de inelástica é obtida colocando igual a 0.8 na equação B.2, obtendo
wt/h
vC
yw
v
w Fk
4.615th= (B.6)
Se excede o valor da equação B.6, a flambagem ocorre na extensão elástica
e se não excede, ou ocorre flambagem inelástica, ou há escoamento por cisalhamento da alma
e não ocorre flambagem.
wt/h
B.1.2 Critérios utilizados pela NBR 8800 (ABNT, 1986)
Resistência nominal fornecida pelo item 5.5.2 da NBR 8800/86:
para , rλ>λ
pl
2p
n V28,1V ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛λ
λ= (B.7)
onde
wth
=λ (B.8)
yp f
kE08.1=λ (B.9)
ywpl fA6.0=V (B.10)
453
O item 5.5.2 da NBR 8800/86, que calcula a resistência nominal ao cortante sem a
ação do campo de tração, fornece o parâmetro de esbeltez , para flambagem elástica,
como se segue:
rλ
yr f
kE40.1=λ (B.11)
substituindo E=205000 MPa na equação B.11, tem-se;
( )yy
r fk9.633
f205000k40.1λ == (B.12)
substituindo E=205000 MPa e as equações B.8, B.9 e B.10 na equação B.7 tem-se:
( )
( )yw
2
w
yn fA6.0
t/h
f205000k08.1
28.1V
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
( )( )
( )yw2wy
n fA6.0t/hf
k23911228.1V =
( )( )yw
y2
wn fA6.0
ft/hk4.306063V = (B.13)
fazendo
( ) y2
wv ft/h
k4.306063C = (B.14)
substituindo a equação B.14 na equação B.13, tem-se a força cortante resistente nominal
ywvn fA6.0C=V (B.15)
B.1.3 Critérios utilizados pela PNBR 8800 (ABNT, 2003)
A resistência nominal fornecida no item 5.4.3.2.1 da PNBR 8800/03 é:
para , rλ>λ2
pRk plV 1,28 V
λ⎛ ⎞= ⎜ ⎟λ⎝ ⎠
(B.16)
onde
454
wth
=λ (B.17)
yp f
kE10.1=λ (B.18)
ywpl fA6.0=V (B.19)
O item 5.4.3.2.1 da PNBR 8800/03, que calcula a resistência nominal ao cortante
sem a ação do campo de tração, fornece o parâmetro de esbeltez para flambagem elástica
como se segue:
rλ
yr f
kE37.1=λ (B.20)
substituindo E=205000 MPa na equação B.20, tem-se
( )yy
r fk3.620
f205000k37.1λ == (B.21)
substituindo E=205000 MPa e as equações B.17, B.18 e B.19 na equação B.16 tem-se:
( )
( )yw
2
w
yn fA6.0
t/h
f205000k10.1
28.1V
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
( )( )
( )yw2wy
n fA6.0t/hf
k24805028.1V =
( )( )yw
y2
wn fA6.0
ft/hk317504V = (B.22)
fazendo
( ) y2
wv ft/h
k317504C = (B.23)
substituindo a equação B.23 na equação B.22, tem-se a força cortante resistente nominal
ywvn fA6.0C=V (B.24)
B.1.4 Critérios utilizados pela PNBR 8800 (ABNT, 2007)
A resistência nominal fornecida no item 5.4.3.1.1 da PNBR 8800/07 é:
para , rλ>λ
455
pl
2p
Rd Vλλ
24.1V ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= (B.25)
onde
wth
=λ (B.26)
yp f
kE10.1=λ (B.27)
ywpl fA6.0=V (B.28)
O item 5.4.3.1.1 da PNBR 8800/07, que calcula a resistência nominal ao cortante
sem a ação do campo de tração, fornece o parâmetro de esbeltez para flambagem elástica
como se segue:
rλ
yr f
kE37.1=λ (B.29)
substituindo E=205000 MPa na equação B.29, tem-se
( )yy
r fk3.620
f205000k37.1λ == (B.30)
substituindo E=205000 MPa e as equações B.26, B.27 e B.28 na equação B.25 tem-se:
( )
( )yw
2
w
yn fA6.0
t/h
f205000k10.1
24.1V
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
( )( )
( )yw2wy
n fA6.0t/hf
k24805024.1V =
( )( )yw
y2
wn fA6.0
ft/hk307582V = (B.31)
fazendo
( ) y2
wv ft/h
k307582C = (B.32)
substituindo a equação B.32 na equação B.31, tem-se a força cortante resistente nominal
ywvn fA6.0C=V (B.33)
456
B.1.5 Critérios utilizados pelo Eurocode 3 (CEN, 1992)
O item 5.6.3 – Eurocode 3, que calcula a resistência nominal ao cortante sem a
ação do campo de tração, através do método simples pós-crítico, fornece a tensão crítica de
cisalhamento em função do parâmetro de esbeltez wλ , para flambagem elástica, como se
segue:
para w 1.2λ ≥ (flambagem elástica)
[ ]( )3/fλ/9.0=τ ywwba (B.34)
e a força cortante resistente, de acordo com o item 5.6.3 – Eurocode 3 é:
1MbawRd,ba γ/τdt=V (B. 35)
onde o parâmetro de esbeltez da alma é:
( )[ ]τ
w5.0cryww
kε4.37t/d
=τ/3/f=λyτ
w
f/k3.573t/d
= (B.36)
para w 1.2λ ≥
2.1kε4.37
t/dλ
τ
ww ≥= (B.37)
substituindo ywf/235=ε na equação B.37, tem-se
( ) yττyw f/k688kf/2354.372.1t/d =≥ (B.38)
substituindo a equação B.34 na equação B.35 tem-se
( )[ ]wywwbawRd,ba λ/9.03/fA=τdt=V
[ ]wywRd,ba λ/9.0fA6.0==V (B.39)
fazendo
[ ]wv λ/9.0C = (B.40)
a equação B.39 fornece a força cortante resistente nominal:
ywvRd,ba fA6.0CV = (B.41)
B.2 Flambagem inelástica sob cisalhamento puro
As tabelas B.3 e B.4 apresentam os critérios normativos para o cálculo da força
cortante resistente nominal , para flambagem inelástica e para escoamento por nV
457
cisalhamento, respectivamente. Estas tabelas foram feitas de acordo com os itens B.2.1 a
B.2.5 deste anexo. A tabela B.5 apresenta os valores do coeficiente de cortante utilizado
pelas normas para flambagem inelástica, de acordo com a tabela B.3.
vC
nV
Tabela B.3 - Critérios normativos para o cálculo da força cortante resistente nominal , para flambagem inelástica.
nV
normas parâmetro de esbeltez
w vt/hλ = coeficiente de cortante
C
força cortante resistente nominal
LRFD apêndice
G3 ywwyw FtFvv k
615hk491 ≤≤
(equações B.45 e B.6) yww Ft/h ywn FA6V =v
vk491C =
(equação B.47)
v .0C (equação B.48)
NBR 8800/86
item 5.5.2 ywwyw FtFvv k
634hk489 ≤≤
(equações B.50 e B.12) w
v t/hywn fA6=V yf/k489
C =
(equação B.55)
v .0C(equação B.56)
PNBR 8800/03
item 5.4.3.2.1
ywwyw FtFvv k
620hk498 ≤≤
(equações B.58 e B.21) w
v t/hywn fA6=Vyf/k498
C =
(equação B.62)
v .0C (equação B.63)
PNBR 8800/07
item 5.4.3 ywwyw FtFvv k
620hk498 ≤≤
(equações B.65 e B.30) w
v t/hywn fA6=V yf/k498
C =
(equação B.69)
v .0C(equação B.70)
Eurocode 3 item 5.6.3 y
τ
wy
τ
f688
tf459 ≤≤
khk
(equações B.74 e B.38)
( )[ ]8.0λ625.01C wv −−= (equação B.79)
onde
y
ww
f/k3.573t/h
λ =
(equação B.73)
ywn fA6=V v .0C (equação B.80)
458
Tabela B.4 - Critérios normativos para o cálculo da força cortante resistente nominal , para escoamento por cisalhamento. nV
normas parâmetro de esbeltez
wt/hλ =
coeficiente de cortante
vC
força cortante resistente nominal
nV
LRFD apêndice G3
ywvw F/k491t/h < (equação B.45)
- ywn FA6.0=V (equação B.46)
NBR 8800/86 item 5.5.2
yw f/k489t/h < (equação B.50)
- ywn fA6.0V = (equação B.51)
PNBR 8800/03 item 5.4.3.2.1
yw f/k498t/h < (equação B.58)
- ywn fA6.0V = (equação B.59)
PNBR 8800/07 item 5.4.3
yw f/k498t/h < (equação B.65)
- ywn fA6.0V = (equação B.66)
Eurocode 3 item 5.6.3
yτw f/k459t/h < (equação B.74)
- ywn fA6.0V = (equação B.75)
Tabela B.5 – Valores do coeficiente de cortante utilizado pelas normas para flambagem inelástica,
vC
ywy f/k688t/hf/k7.458 << .
wt/h (multiplicar por yf/k )
normas
458.
7 49
1.0
506.
8 51
7.3
525.
2 53
8.4
556.
7 56
4.6
577.
7 59
0.9
604.
0 61
5.4
688.
0
LRFD apêndice G3
- 1.00
0.
97
0.95
0.
93
0.91
0.
88
0.87
0.
85
0.83
0.
81
0.80
-
NBR 8800/86 item 5.5.2
- 1.00
0.
96
0.95
0.
93
0.91
0.
88
0.87
0.
85
0.83
0.
81
0.80
-
PNBR 8800/03 item 5.4.3.2.1
- - 0.
98
0.96
0.
95
0.92
0.
89
0.88
0.
86
0.84
0.
82
0.81
-
PNBR 8800/07 item 5.4.3
- - 0.
98
0.96
0.
95
0.92
0.
89
0.88
0.
86
0.84
0.
82
0.81
-
Eurocode 3 item 5.6.3 1.
00
0.95
0.
94
0.93
0.
91
0.89
0.
88
0.87
0.
86
0.84
0.
83
0.83
0.
75
459
B.2.1 Critérios utilizados pela LRFD (AISC, 1994)
De acordo com SALMON E JOHNSON (1996), na zona de transição entre
flambagem elástica e inelástica, tem-se
elásticocr
proporc..limcr τ τ=τ (B.42)
onde o limite proporcional é tido como . SALMON E JOHNSON (1996) obtiveram o
valor de , para flambagem inelástica, a partir da equação B.42, que é:
yτ8.0
vC
yw
v
wv F
kt/h
187=C (B.43)
A demonstração da equação B.43 foi realizada por SALMON E JOHNSON (1996) e se
encontra no item 7.5.2 do capítulo 7 deste trabalho. Para unidades do SI, tem-se:
yw
v
wv F
kt/h
491C = (B.44)
Para o valor de , ocorre escoamento na alma por cisalhamento e não ocorre
flambagem e pode-se obter o valor máximo de para esta situação, substituindo
na equação B.44,
1=Cv
wt/h 1=Cv
yw
v
w Fk
491th= (B.45)
A LRFD – apêndice G3 utiliza, para o cálculo da resistência nominal para escoamento por
cisalhamento da alma e para flambagem inelástica o seguinte critério:
para ywvw F/k491t/h < (escoamento da alma por cisalhamento)
ywn FA6.0=V (B.46)
para ywvwywv F/k4.615t/hF/k491 ≤≤ (flambagem inelástica da alma)
yw
v
wv F
kt/h
491C = (B.47)
( )ywvn FA6.0C=V (B.48)
B.2.2 Critérios utilizados pela NBR 8800 (ABNT, 1986)
460
O item 5.5.2 – NBR 8800/86 utiliza o seguinte critério para o cálculo da
resistência nominal ao cortante para escoamento por cisalhamento da alma:
para pλ ≤ λ
pl'n V=V (B.49)
substituindo E=205000 MPa na equação B.9, tem-se
( )yy
p fk489
f205000k08.1λ == (B.50)
substituindo a equação B.10 na equação B.49 tem-se
ywn FA6.0=V (B.51)
O item 5.5.2 - NBR 8800/86 utiliza, para flambagem inelástica da alma, o
seguinte critério:
para p rλ < λ ≤ λ
plp
n Vλλ
=V (B.52)
substituindo as equações B.8, B.9 e B.10 na equação B.52 tem-se:
( )yww
y
plp
n fA6.0t/h
fkE
08.1
=Vλλ
=V (B.53)
substituindo E=205000 MPa na equação B.53 tem-se:
( )
( )yww
y
n fA6.0t/h
f205000k
08.1
V =
( )yww
yn fA6.0
t/h
f/k489V = (B.54)
fazendo
w
yv t/h
f/k489C = (B.55)
substituído a equação B.55 na equação B.54, tem-se a força cortante resistente nominal
( )ywvn fA6.0CV = (B.56)
B.2.3 Critérios utilizados pela PNBR 8800 (ABNT, 2003)
461
O item 5.4.3.2.1 – PNBR 8800/03 utiliza o seguinte critério para o cálculo da
resistência nominal ao cortante para escoamento por cisalhamento da alma:
para pλ ≤ λ
pln V=V (B.57)
substituindo E=205000 MPa na equação B.18 tem-se:
( )yy
p fk498
f205000k10.1λ == (B.58)
substituindo a equação B.19 na equação B.57 tem-se:
ywn FA6.0=V (B.59)
O item 5.4.3.2.1 - PNBR 8800/03 utiliza, para flambagem inelástica da alma, o
seguinte critério para o cálculo da resistência nominal ao cortante:
para rp λ<λ<λ
plp
n Vλλ
=V (B.60)
Substituindo as equações B.17, B.58 e B.19 na equação B.60 tem-se:
( )yww
yn fA6.0
t/h
f/k498V = (B.61)
fazendo
w
yv t/h
f/k498C = (B.62)
e substituído na equação B.61, tem-se a força cortante resistente nominal
( )ywvn fA6.0C=V (B.63)
B.2.4 Critérios utilizados pela PNBR 8800 (ABNT, 2007)
O item 5.4.3.1.1 – PNBR 8800/07 utiliza o seguinte critério para o cálculo da
resistência nominal ao cortante para escoamento por cisalhamento da alma:
para pλ ≤ λ
pln V=V (B.64)
substituindo E=205000 MPa na equação B.27 tem-se:
462
( )yy
p fk498
f205000k10.1λ == (B.65)
substituindo a equação B.28 na equação B.64 tem-se:
ywn FA6.0=V (B.66)
O item 5.4.3.2.1 - PNBR 8800/03 utiliza, para flambagem inelástica da alma, o
seguinte critério para o cálculo da resistência nominal ao cortante:
para rp λ<λ<λ
plp
n Vλλ
=V (B.67)
Substituindo as equações B.26, B.65 e B.28 na equação B.67 tem-se:
( )yww
yn fA6.0
t/h
f/k498V = (B.68)
fazendo
w
yv t/h
f/k498C = (B.69)
e substituído na equação B.68, tem-se a força cortante resistente nominal
( )ywvn fA6.0C=V (B.70)
B.2.5 Critérios utilizados pelo Eurocode 3 (CEN, 1992)
O item 5.6.3 – Eurocode 3 utiliza o seguinte critério para o cálculo da resistência
nominal ao cortante para escoamento por cisalhamento da alma:
Quando w 0.8λ ≤
( )3/f=τ ywba (B.71)
bawRd,ba τdtV = (B.72)
onde o valor de wλ é fornecido pelo item 5.6.3 – Eurocode 3:
( )[ ]τ
w5.0cryww
kε4.37t/d
=τ/3/f=λyτ
w
f/k3.573t/d
= (B.73)
fazendo
ww
d / t 0.837.4 kτ
λ = ≤ε
463
tem-se
( ) ( )( )w y
y
d / t 0.8 37.4 k 0.8 37.4 235 / f k
k458.66f
τ τ
τ
≤ ε =
= (B.74)
substituindo a equação B.71 na equação B.72 tem-se
( ) ywywwbawRd,ba fA6.0=3/fA=τdt=V
ywRd,ba fA6.0=V (B.75)
O item 5.6.3 – Eurocode 3 utiliza, para flambagem inelástica da alma, o seguinte
critério:
Quando 2.1<λ<8.0 w
( )[ ]( )3/f8.0λ625.01τ ywwba −−= (B.76)
bawRd,ba τdtV = (B.77)
substiuindo a equação B.76 na equação B.77 tem-se:
( )wba,Rd w ywV 0.6A f 1 0.625 0.8⎡ ⎤= − λ −⎣ ⎦ (B.78)
fazendo
( )[ ]8.0λ625.01C wv −−= (B.79)
a equação B.78 fornece a força cortante resistente nominal
vywwRd,ba CfA6.0V = (B.80)
B.3 Resistência nominal ao cisalhamento incluindo a ação do campo de tração
As tabelas B.6 e B.8 apresentam os critérios normativos para o cálculo da força
cortante resistente de flambagem , para flambagem elástica e inelástica, respectivamente,
de acordo com os itens B.3.1 a B.3.5 deste anexo. As tabelas B.7 e B.9 apresentam os valores
do coeficiente de cortante utilizado pelas normas para flambagem elástica e inelástica, de
acordo com as tabelas B.6 e B.8, respectivamente. Somente o Eurocode 3 apresenta mudanças
nos critérios para o cálculo da força cortante resistente de flambagem , as demais normas
não modificam seus critérios em relação aos itens B.1 e B.2 deste anexo. A tabela B.10
apresenta os critérios normativos para o cálculo da força cortante resistente proveniente da
ação do campo de tração
crV
vC
tfV .
crV
464
Tabela B.6 - Critérios normativos para o cálculo da força cortante resistente de flambagem , para flambagem elástica. crV
normas parâmetro de esbeltez
wt/hλ =
coeficiente de cortante
vC
força cortante resistente de flambagem
crV
LRFD apêndice G3
NBR 8800/86 item 5.5.2
PNBR 8800/03 item 5.4.3.2.1
PNBR 8800/07 item 5.4.3
tabela B.1
Eurocode 3 item 5.6.3
yw f/k7.716t/h ≥ (equação B.117)
[ ]2wv λ/1C =
(equação B.123) onde
y
ww
f/k3.573t/h
λ =
(equação B.38)
vywcr CfA6.0V = (equação B.124)
Tabela B.7 – Valores do coeficiente de cortante utilizado
pelas normas para flambagem elástica, vC
yw f/k4.615t/h ≥ .
wt/h (multiplicar por yf/k )
normas
615.
4 65
6.5
706.
7 76
1.6
787.
8 91
9.1
1050
.5
1181
.8
1313
.1
1444
.4
1575
.7
1707
.0
1838
.3
LRFD apêndice G3
NBR 8800/86 item 5.5.2
PNBR 8800/03 item 5.4.3.2.1
PNBR 8800/07 item 5.4.3
tabe
la B
.2
Eurocode 3 item 5.6.3
- - 0.
64
0.55
0.
52
0.38
0.
29
0.23
0.
19
0.15
0.
13
0.11
0.
09
465
Tabela B.8 - Critérios normativos para o cálculo da força cortante resistente de flambagem , para flambagem inelástica. crV
normas parâmetro de esbeltez
wt/hλ = vC coeficiente de cortante
força cortante resistente de flambagem
crV
LRFD apêndice G3
NBR 8800/86 item 5.5.2
PNBR 8800/03 item 5.4.3.2.1
PNBR 8800/07 item 5.4.3
tabela B.3
Eurocode 3 item 5.6.3
ywy ftfk716hk458 <≤
(equações B.115 e B.117)
( )[ ]8.0λ8.01C wv −−= (equação B.119)
onde
y
ww
f/k3.573t/h
λ =
(equação B.73)
vywcr CfA6.0V = (equação B.120)
Tabela B.9 – Valores do coeficiente de cortante utilizado pelas normas para flambagem inelástica,
vC
ywy f/k688t/hf/k7.458 << .
wt/h (multiplicar por yf/k )
normas
458.
7 49
1.0
506.
8 51
7.3
525.
2 53
8.4
556.
7 56
4.6
577.
7 59
0.9
604.
0 61
5.4
688.
0
LRFD apêndice G3
NBR 8800/86 item 5.5.2
PNBR 8800/03 item 5.4.3.2.1
PNBR 8800/07 item 5.4.3
tabe
la B
.5
Eurocode 3 item 5.6.3 1.
00
0.95
0.
92
0.91
0.
90
0.88
0.
85
0.84
0.
82
0.81
0.
79
0.77
0.
64
466
Tabela B.10 - Critérios normativos para o cálculo da força cortante resistente proveniente da ação do campo de tração tfV .
normas força cortante resistente proveniente da ação do campo de tração tfV
LRFD apêndice G3
NBR 8800/86 anexo G
PNBR 8800/03 anexo G
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=2
wttf
α1
12
AσV
(equação B.83) onde
( )t v1 C Fσ = − yw (equação B.84)
onde é obtido pela tabela B.6 ou B.8. vC
PNBR 8800/07 - -
Eurocode 3 item 5.6.4
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
−−
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=22
wbbtf
α11
11α
α11
α1
2A
σ9.0V
(equação B.142) onde
( )
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+−
=
α1arctansin3/fC5.1
α1arctansin3/fC5.1
fCf
σ
ywv
5.0
2
ywv
2yw
2v
2yw
bb
(equação B.135) onde é obtido pela tabela B.6 ou B.8. vC
B.3.1 Critérios utilizados pela LRFD (AISC, 1994)
De acordo com SALMON E JOHNSON (1996), a resistência nominal ao
cisalhamento pode ser expressa como a soma da resistência de flambagem e a resistência
pós-flambagem da ação do campo de tração,
crV
tfV
tfcrn V+V=V (B.81)
467
A primeira parcela, , representa a resistência nominal ao cortante sem a ação do campo de
tração e é calculada de acordo com os itens B.1.1 e B.2.1 deste anexo. A segunda parcela,
, que representa o valor da força cortante nominal proveniente da ação do campo de
tração, é calculada por:
crV
tfV
( )w
tf t 2
ht 1V2 1 a / h
⎡ ⎤⎢ ⎥= σ⎢ ⎥+⎣ ⎦
(B.82)
substituindo e α=a/h na equação B.82 tem-se ww htA =
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=2
wttf
α1
12
AσV (B.83)
onde
( )t v1 C Fσ = − yw (B.84)
a demonstração destas equações foi feita por SALMON E JOHNSON (1996) e está
disponível no item 7.6 do capítulo 7. Substituindo as equações B.4 e B.82 na equação B.81
tem-se
( )t
n w y v 2V ht C
2 1 a / h
⎡ ⎤σ⎢ ⎥= τ +⎢ ⎥+⎣ ⎦
(B.85)
substituindo a equação B.84 para e usando tσ 3/F=τ ywy na equação B.85 tem-se
( )v v
n yw w 2
C 1 CV F ht3 2 1 a / h
⎡ ⎤−⎢ ⎥= +⎢ ⎥+⎣ ⎦
(B.86)
De acordo com SALMON E JOHNSON (1996), a resistência nominal ao
cisalhamento pode ser expressa pela equação B.86. Fatorando 3 do denominador e
aproximando 3/Fyw por , tem-se ywF6.0
( )v
n yw w v 2
1 CV 0.6F A C1.15 1 a / h
⎛ ⎞−⎜ ⎟= +⎜ ⎟+⎝ ⎠
(B.87)
que é a equação que consta na LRFD – formula (A-G3-2) – apêndice G.
B.3.2 Critérios utilizados pela NBR 8800 (ABNT, 1986)
468
O anexo G – NBR 8800/86 utiliza os seguintes critérios para o cálculo da
resistência à força cortante, para flambagem inelástica, incluindo o efeito do campo de tração:
para p rλ < λ ≤ λ
p p'n pV 1
⎡λ λ ⎤⎛ ⎞= +η −⎢ ⎥⎜ ⎟λ λ⎝ ⎠⎣ ⎦
lV (B.88)
O anexo G – NBR 8800/86 fornece o valor de η :
( )2h/a+115.1
1=η (B.89)
substituindo as equações B.8 e B.9 na equação B.88 tem-se
( ) ( ) plw
y
w
y
n Vt/h
fk
489
1ηt/h
fk
489
V
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−+= (B.90)
fazendo-se
( )w
yv t/h
fk489
C = (B.91)
substituindo as equações B.10, B.89 e B.91 na equação B.90 tem-se
( )( )n v v w2
1V C 1 C 0.6A F1.15 1 a / h
⎡ ⎤⎢= + −⎢ +⎣ ⎦
yw⎥⎥
(B.92)
onde a equação B.92 se torna
( )v
n w yw v 2
1 CV 0.6A F C1.15 1 a / h
⎛ ⎞−⎜ ⎟= +⎜ ⎟+⎝ ⎠
(B.93)
que é idêntica à equação fornecida na LRFD – formula (A–G3–2 ).
Para flambagem elástica, a NBR 8800/86 fornece os seguintes valores:
para rλ>λ
2 2p p'
n pV 1,28 1 1,28 V⎧ ⎫⎡ ⎤λ λ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪= + η −⎢ ⎥⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟λ λ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭
l (B.94)
substituindo as equações B.8 e B.9 na equação B.94 tem-se
469
( )
( )
2
y
w
n p2
y
w
kE1.08f
1.28h / t
V VkE1.08f
1 1.28h / t
⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟
⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎡ ⎤⎛ ⎞⎪ ⎪⎢ ⎥⎜ ⎟⎪ ⎪⎢ ⎥⎜ ⎟⎪ ⎪+η −⎢ ⎥⎜ ⎟⎪ ⎪⎢ ⎥⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟⎢ ⎥⎪ ⎪⎝ ⎠⎣ ⎦⎩ ⎭
l (B.95)
substituindo o módulo de elasticidade E=205000 MPa na equação B.95, tem-se
( )
( )
( )
( )
pl2
w
y
2
w
y
n V
t/h
f205000k08.1
28.11η
t/h
f205000k08.1
28.1
V
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−+
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
( ) ( ) ply
2wy
2w
n Vft/hk4.3060631η
ft/hk4.306063V
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−+= (B.96)
fazendo-se
( ) y2
wv ft/h
k4.306063C = (B.97)
substituindo as equações B.10, B.89 e B.97 na equação B.96 tem-se
( )( )n v v w2
1V C 1 C 0.6A F1.15 1 a / h
⎡ ⎤⎢= + −⎢ +⎣ ⎦
yw⎥⎥
(B.98)
onde a equação B.98 se torna
( )v
n w yw v 2
1 CV 0.6A F C1.15 1 a / h
⎛ ⎞−⎜ ⎟= +⎜ ⎟+⎝ ⎠
(B.99)
que é idêntica à equação fornecida na LRFD – formula (A–G3–2 ).
470
B.3.3 Critérios utilizados pela PNBR 8800 (ABNT, 2003)
O Anexo G – PNBR 8800/03 utiliza os seguintes critérios para o cálculo da
resistência à força cortante, para flambagem inelástica, incluindo o efeito do campo de tração:
para p w rh / tλ ≤ ≤ λ
w
yvv t/h
f/Ek10,1=C (B.100)
e a força cortante resistente é
( )Rkt v v plV C 1 C= +η −⎡ ⎤⎣ ⎦V (B.101)
substituindo E=205000 MPa na equação B.100 tem-se:
( )w
yv
w
yvv t/h
f/k498
t/h
f/205000k10.1C == (B.102)
o valor de η é fornecido pelo anexo G – PNBR 8800/03:
( )2h/a+115.1
1=η (B.103)
substituindo a equação B.103 na equação B.101 tem-se
( )v
Rkt v pl2
1 CV C1.15 1 a / h
⎡ ⎤−⎢ ⎥= +⎢ ⎥+⎣ ⎦
V (B.104)
substituindo a equação B.19 na equação B.104 tem-se
( ) ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
−+=
2
vvywRkt
h/a115.1
C1CfA6.0V
que é idêntica à equação fornecida na LRFD – formula (A–G3–2 ).
Para flambagem elástica, a PNBR 8800/03 fornece, para o cálculo da força
cortante resistente incluindo a ação do campo de tração:
para rλ>λ
( ) y2
w
vv ft/h
Ek51.1=C (B.105)
( )Rkt v v plV C 1 C= +η −⎡ ⎤⎣ ⎦V (B.106)
onde é fornecido pela equação B.20. Substituindo E=205000 MPa na equação B.105 tem-
se
rλ
471
( )( ) ( ) y
2w
v
y2
w
vv ft/h
k309550ft/h
205000k51.1C == (B.107)
e a força cortante resistente incluindo a ação do campo de tração fornecida pela PNBR
8800/03:
( )v
Rkt v pl2
1 CV C1.15 1 a / h
⎡ ⎤−⎢ ⎥= +⎢ ⎥+⎣ ⎦
V (B.108)
substituindo a equação B.19 na equação B.108 tem-se
( ) ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
−+=
2
vvywRkt
h/a115.1
C1CfA6.0V
que é idêntica à equação fornecida na LRFD – formula (A–G3–2 ).
B.3.4 Critérios utilizados pela PNBR 8800 (ABNT, 2007)
A PNBR 8800/07 não considera a ação do campo de tração no cálculo da
resistência nominal ao cisalhamento.
B.3.5 Critérios utilizados pelo Eurocode 3 (CEN, 1992)
Para o método do campo de tração, o Eurocode 3 calcula a força cortante
resistente característica através da seguinte equação:
( ) ( )[ ] 1MbbwbbwRd,bb γ/φsinσgt9.0+τdt=V (B.109)
chamando de a primeira parcela da equação B.109, tem-se crV
bbwcr τdtV = (B.110)
a segunda parcela da equação B.109 pode ser chamada de tfV :
( )φsinσgt9.0V bbwtf = (B.111)
substituindo as equações B.110 e B.111 na equação B.109 tem-se
tfcrRd,bb VVV += (B.112)
Cálculo de . Para o cálculo de , o item 5.6.4 – Eurocode 3 utiliza os
seguintes critérios, para flambagem inelástica:
crV crV
Quando 25.1<λ<8.0 w
472
( ) ( )wbb yw1 0.8 0.8 f / 3⎡ ⎤τ = − λ −⎣ ⎦ (B.113)
fazendo
8.0kε4.37
t/dλ
τ
ww == (B.114)
tem-se
( )( )( )
y
ττy
τw
fk
7.458kf/2354.378.0
kε4.378.0t/d
==
=
(B.115)
fazendo-se
25.1<kε4.37
t/d=λ
τ
ww (B.116)
tem-se
( )( )( )
y
ττy
τw
fk
66.716=kf/2354.3725.1=
kε4.3725.1<t/d
(B.117)
Substituindo a equação B.113 na equação B.110 tem-se:
( ) ( )( )wcr w yw
ww yw
V A 1 0.8 0.8 f / 3
0.6A f 1 0.8 0.8
⎡ ⎤= − λ −⎣ ⎦⎡ ⎤= − λ −⎣ ⎦
(B.118)
fazendo-se
( )[ ]8.0λ8.01C wv −−= (B.119)
a equação B.118 fornece a força cortante resistente de flambagem:
vywcr CfA6.0V = (B.120)
O item 5.6.4 – Eurocode 3 utiliza os seguintes critérios para o cálculo de , para
flambagem elástica:
crV
Quando w 1.25λ ≥
[ ]( )3/fλ/1=τ yw2
wbb (B.121)
substituindo a equação B.121 na equação B.110 tem-se:
[ ]( )[ ]2
wyw
y2
wwcr
λ/1fA6.0
3/fλ/1AV
=
= (B.122)
fazendo-se
473
[ ]2wv λ/1C = (B.123)
a equação B.123 fornece a força cortante resistente de flambagem crV :
vywcr CfA6.0V = (B.124)
B.3.5.1 Análise da parcela da ação do campo de tração utilizada pelo Eurocode 3 tfV
A segunda parcela da equação B.111 é referente à ação do campo de tração e pode
ser chamada de , de acordo com a equação B.113, tfV
( )φsinσgt9.0V bbwtf = (B.125)
O fator é fornecido no item 5.6.4 – Eurocode 3: bbσ
[ ] ΨΨτ3fσ 5.022bb
2ywbb −+−= (B.126)
onde
φ2sinτ5.1Ψ bb= (B.127)
onde
( )2
a/darctanφ = (B.128)
De acordo com o item 5.6.4.2 – Eurocode 3 , o valor mínimo de
se aplica quando as mesas são totalmente utilizadas ao resistir o momento
fletor no membro, desprezando-se a contribuição de resistência das mesas na ancoragem do
campo de tração. Pode-se expressar em função de e da relação d/a. De acordo com o
item 5.6.4 – Eurocode 3, os valores de são:
( ) 2/a/darctanφ =
bbσ
bbτ
yf
a) quando w 0.8λ ≤ :
( )3/f=τ ywbb (B.129)
substituindo a equação B.129 na equação B.126, obtém-se
0σ bb = (B.130)
portanto, o campo de tração não é formado, pois para w 0.8λ ≤ , 0σ bb = .
b) quando 2.1<λ<8.0 w :
( ) ( )wbb yw1 0.8 0.8 f / 3⎡ ⎤τ = − λ −⎣ ⎦ (B.131)
474
substituindo as equações B.127, B.128 e B.131 na equação B.126, tem-se
( )[ ]( )[ ]( ) ( )( )( )
( )[ ]( ) ( )( )a/darctansin3/f8.0λ8.015.1
a/darctansin3/f8.0λ8.015.1
f8.0λ8.01fσ
yww
5.0
2
yww
2yw
2w
2yw
bb
−−−
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
−−
+−−−=
(B.132)
c) quando w 1.25λ ≥ :
[ ]( )3/fλ/1τ yw2
wbb = (B.133)
onde wλ é fornecido no item 5.6.3 – Eurocode 3. Substituindo as equações B.127, B.128 e
B.133 na equação B.126, tem-se
[ ][ ]( ) ( )( )( )
[ ]( ) ( )( )a/darctansin3/fλ/15.1
a/darctansin3/fλ/15.1
fλ/1fσ
yw2
w
5.0
2
yw2
w
2yw
22w
2yw
bb
−
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡ +−=
(B.134)
As equações B.132 e B.134 se transformam em
( )
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+−
=
α1arctansin3/fC5.1
α1arctansin3/fC5.1
fCf
σ
ywv
5.0
2
ywv
2yw
2v
2yw
bb
(B.135)
onde é a equação B.119 para flambagem inelástica e a equação B.123 para flambagem
elástica, e . A largura do campo de tração g, na equação B.125, fornecido pelo item
5.6.4 do Eurocode 3 é:
vC
d/aα =
( ) φsinssaφcosdg tc −−−= (B.136)
onde são os comprimentos de ancoragem do campo de tração ao longo das mesas em
compressão e tração respectivamente. Desconsiderando os comprimentos s e
substituindo a equação B.136 na equação B.125, obtém-se:
tc s e s
tc s e
( )
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
−=
φsinaφ2sin2dtσ9.0
φsinφsinaφcosdtσ9.0V
2wbb
wbbtf
(B.137)
Substituindo a equação B.128 na equação B.137, obtém-se
475
( )( ) ( ) ⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+−−
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
22wbbtfa/d1
121
21a
a/d1
a/d2dtσ9.0V (B.138)
fazendo a=d/(d/a) na equação B.138 tem-se
( )( ) ( ) ( ) ⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
22wbbtfa/d1
11a/d2
d
a/d1
a/d2dtσ9.0V (B.139)
e fatorando o termo d/2 da equação B.139 obtém-se
( )( ) ( ) ⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+−−
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
22wbbtfa/d1
11)a/d(
1
a/d1
a/dt2dσ9.0V (B.140)
observando-se que , a equação B.140 se transforma em ww Adt =
( )( ) ( ) ⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+−−
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=22
wbbtf
a/d1
11)a/d(
1
a/d1
a/d2
Aσ9.0V (B.141)
fazendo se encontra a expressão final para , da equação B.141: d/aα = tfV
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
−−
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=22
wbbtf
α11
11α
α11
α1
2A
σ9.0V (B.142)
476
C Análise das teorias utilizadas
Neste anexo será feita uma análise interpretativa das teorias utilizadas no trabalho.
C.1 Teoria de JUHÁS (2001)
De acordo com JUHÁS (2001), as equações 3.3.1.7, 3.3.1.8 e 3.3.1.11 são usadas
para se obter e , que representam a força cortante resistente última na presença de
momento fletor e o momento fletor resistente último na presença de cortante. A equação
3.3.1.12 fornece a proporção
M,uV V,uM
( )limplM,u V/V . Se , a força cortante influencia o
momento fletor último desprezivelmente, se , a força cortante influencia
significativamente, então deve-se ter
lim,M,uV<V
,M,uV>VV,uM lim
V,uM ( )lim
/V plM,upl V/VV < para que o cortante não
influencie o momento fletor resistente significantemente. Pode-se observar nas figuras 3.3.1.3,
para proporção de forma , e 3.3.1.4, para proporção de material m=1, que para
proporções , a proporção alcança valores acima de 0.9. Para
proporções , tem-se um significativo decréscimo na proporção
6.0γ >
8.0pl <
8.0>
V
pl
/V M,u
V/V M,u
plM/V,uM
plV,u M/M .
C.2 Teoria de BLEICH (1952)
De acordo com BLEICH (1952), uma chapa de alma de viga está sujeita
basicamente a ação superposta de tensões cisalhantes e tensões compressivas
linearmente distribuídas em dois lados opostos. A tensão crítica compressiva de flambagem
que a chapa pode carregar depende da intensidade de tensão de cisalhamento atuando
na chapa. A tensão crítica de cisalhamento será maior quando a tensão compressiva
decresce. De acordo com a equação 5.18, as relações e formam a equação
de um círculo. A tensão de cisalhamento que a chapa pode carregar só poderá atingir o
valor máximo se a tensão for igual a zero, pois tem-se para satisfazer a
equação 5.18 e a tensão crítica compressiva que a chapa pode carregar só poderá atingir o
valor máximo se a tensão for igual a zero, pois tem-se σ para satisfazer a
equação 5.18. O parâmetro
xyτ
o
c1σ/
1σ
1σ
c1σ xyτ
cτ
c
c1σ
c1σo
cc τ/τ
τ/τ cc =o
σ/ c1c1 =o
τ
o
cτ
o
c1σ
1σ
xyτ
β
1
1
cc1 τ/σ= representa a proporção entre a tensão crítica
477
compressiva e a tensão crítica de cisalhamento que podem atuar combinadas. O parâmetro
representa a proporção entre a tensão crítica de cisalhamento em cisalhamento
puro e a tensão crítica de flexão pura . Se a tensão ultrapassar o valor do limite
proporcional , deve-se calcular
oo
c1c σ/τκ =
o
cτo
c1σo
cτ
pσ τ/σ i . Quando τ/σ i < , pσ 1τ = e as equações que
calculam a tensão crítica nas extensões elástica e inelástica se tornam iguais.
C.3 Teoria de YU (1991)
A teoria de YU (1991) calcula a tensão crítica de cisalhamento nas extensões
elástica e inelástica de flambagem de chapas retangulares. O método do campo de tração não
é considerado em sua teoria. A tabela C.3.1 foi feita de acordo com os itens C.3.1 e C.3.2
deste anexo. Esta tabela apresenta os critérios utilizados por YU (1991) para o cálculo da
força cortante admissível de painéis de chapa de alma de vigas esbeltas. aV
Tabela C.3.1 – Critérios utilizados por YU (1991) para o cálculo da força cortante admissível de painéis de chapa de alma de vigas esbeltas. aV
flambagem parâmetro h/t força cortante resistente
admissível aV
elástica (item C.3.1) y
v633th>
Fk
9.
(equação C.3.10)
vkh
E904.03t
aV =
(equação C.3.5)
inelástica (item C.3.2) yFt
vk9.633h
≤
(equação C.3.10)
EFkt646. yv20
aV
Va = (equação C.3.15)
com yw FA6.0≤
(equação C.3.17)
C.3.1 Flambagem elástica sob cisalhamento puro
De acordo com YU (1991), a resistência à força cortante admissível, para
flambagem elástica pode ser obtida por:
478
hEtk53.0
=V3
va (C.3.1)
a equação que calcula a tensão critica de cisalhamento para flambagem elástica é
( ) v
2
2
2
cr kht
ν112Eπτ ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−= (C.3.2)
Substituindo na equação C.3.2, tem-se: 3.0=ν2
cr vt0.904E kh
⎛ ⎞τ = ⎜ ⎟⎝ ⎠
(C.3.3)
A equação C.3.3 representa a tensão crítica de cisalhamento para flambagem elástica. A
inserção do fator e segurança de 1.71 na equação C.3.3 leva à equação C.3.4 2
cr vt0.53E kh
⎛ ⎞τ = ⎜ ⎟⎝ ⎠
(C.3.4)
De acordo com YU (1991), a equação C.3.3 representa o valor de quando este
é menor que o limite proporcional em cisalhamento
crτ
( )yτ8.0 . A força cortante resistente
admissível pode ser obtida multiplicando a tensão crítica de cisalhamento pela área de
cisalhamento. Multiplicando a equação C.3.3 pela área da seção da chapa, tem-se:
aV
( )2 3
a vt tV 0.904E k ht 0.904E kh h
⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠
v (C.3.5)
considerando o fator de segurança, utiliza-se a equação C.3.4 para se obter:
( )2 3
a vt tV 0.53E k ht 0.53E kh h
⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠
v (C.3.6)
fazendo-se , onde ycrv τ/τC = 3/Fτ yy = e pode ser obtido pela equação C.3.3, tem-se crτ
3/F
khtE904.0
Cy
v
2
v
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
= (C.3.7)
substituindo E=205000 MPa na equação C.3.7 tem-se
( ) y2
vv Ft/h
k320984C = (C.3.8)
A relação h/t que divide flambagem elástica e inelástica pode ser obtida colocando 8.0Cv =
na equação C.3.7:
479
y
v
FEk
40.1th= (C.3.9)
substituindo E=205000 MPa na equação C.3.9 encontra-se
y
v
Fk
9.633th= (C.3.10)
C.3.2 Flambagem inelástica sob cisalhamento puro
De acordo com YU (1991), para almas com h/t moderado, o valor teórico
calculado de pode exceder o limite proporcional em cisalhamento. Para este estágio, crτ
criprcr ττ=τ (C.3.11)
onde é o limite proporcional em cisalhamento prτ ( )3/F8.0=τ8.0=τ yypr e é a tensão
de flambagem ao cisalhamento crítica inicial
criτ
( )( )
2v
cri 22
k E12 1 h / t
πτ =
−ν (C.3.12)
substituindo e na equação C.3.11 tem-se: prτ criτ
t/h
EFk646.0=τ
yv
cr (C.3.13)
a equação C.3.11 representa a tensão crítica de cisalhamento para flambagem inelástica. Ao se
usar o fator de segurança de 1.67, esta equação se torna:
t/h
EFk387.0=τ
yv
cr (C.3.14)
a força cortante resistente admissível para flambagem inelástica pode ser obtida através da
equação C.3.13:
( ) EFkt646.0htt/h
EFk646.0V yv
2yva == (C.3.15)
De acordo com YU (1991), para almas com proporção h/t relativamente pequena,
a resistência ao cisalhamento é governada pelo escoamento em cisalhamento com tensão
máxima 3/Fτ yy = . Portanto, a força cortante para escoamento é determinada pela tensão
de escoamento por cisalhamento e a área da alma ht:
480
( )( )ht3/FV ya = (C.3.16)
fazendo-se e aproximando htA w = 3/Fy por a equação C.3.16 se torna yF6.0
ywa FA6.0V = (C.3.17)
C.4 Teoria de HÖGLUND (1998)
A tabela C.4.1 apresenta os critérios utilizados por HÖGLUND (1998) para o
cálculo da força cortante resistente nominal de painéis de chapas de alma de vigas
esbeltas. As tabelas C.4.2 e C.4.3 apresentam os valores do coeficiente de cortante
utilizado por HÖGLUND (1998), para flambagem elástica e inelástica, respectivamente.
wV
vC
Tabela C.4.1 – Critérios utilizados por HÖGLUND (1998) para o cálculo da força cortante resistente nominal de painéis de chapas de alma de vigas esbeltas. wV
flambagem parâmetro de esbeltez
wt/hλ =
coeficiente de cortante
vC
força cortante resistente nominal
wV
elástica (item C.4.1) y
w f2.611t/h ≥
k
(equação C.4.7)
( )wv λ7.0/32.1C += (equação C.4.12)
onde
ywτ
ww f/Ek
t/h8.0λ =
(equação C.4.4)
inelástica (item C.4.2)
yw
y
fk2.611t/h
fk8.469
<
≤
(equações C.4.15 e C.4.7)
wv λ/8.0C = (equação C.4.18)
onde
ywτ
ww f/Ek
t/h8.0λ =
(equação C.4.4)
escoamento por cisalhamento (item C.4.2)
yww f
8.469t/h < 1Cvτk
(equação C.4.15)
= (equação C.4.16)
ywvw fA6.0CV = (equação C.4.10)
481
Tabela C.4.2 – Valores do coeficiente de cortante utilizado por
HÖGLUND (1998), para flambagem elástica, vC
yw f/k2.611≥t/h .
wt/h (multiplicar por yf/k )
teoria
611.
2 65
6.5
706.
7 76
1.6
787.
8 91
9.1
1050
.5
1181
.8
1313
.1
1444
.4
1575
.7
1707
.0
1838
.3
HÖGLUND (1998) 0.75
0.
71
0.68
0.
64
0.63
0.
57
0.51
0.
47
0.44
0.
41
0.38
0.
36
0.33
Tabela C.4.3 – Valores do coeficiente de cortante utilizado por HÖGLUND (1998), para flambagem inelástica,
vC
ywy f/k2.611t/hf/k8.469 <≤ .
wt/h (multiplicar por yf/k )
teoria
469.
8 49
1.0
506.
8 51
7.3
525.
2 53
8.4
556.
7 56
4.6
577.
7 59
0.9
604.
0 60
9.0
611.
2
HÖGLUND (1998) 0.96
0.
92
0.89
0.
87
0.86
0.
84
0.81
0.
80
0.78
0.
77
0.75
0.
74
0.74
C.4.1 Flambagem elástica sob cisalhamento puro
O parâmetro de esbeltez da alma utilizado por HÖGLUND (1998) é o mesmo
utilizado pelo Eurocode 3 – item 5.6.3:
wλ
cr
vw τ
fλ = (C.4.1)
onde
( ) τ
2w
2
2
cr kht
ν112Eπτ ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛−
= (C.4.2)
e a tensão de escoamento por cisalhamento vf é
3
ff yw
v = (C.4.3)
substituindo as equações C.4.2 e C.4.3 na equação C.4.1 tem-se
ywτ
ww f/Ek
t/h8.0λ = (C.4.4)
482
o fator de redução é obtido em função do parâmetro de esbeltez da alma . De acordo
com a tabela 3.3.3.1, para flambagem elástica, tem-se:
vρ wλ
para 08.1λw ≥
( )wv λ7.0/79.0ρ += (C.4.5)
fazendo na equação C.4.4 tem-se 08.1λw =
08.1f/Ek
t/h8.0λ
ywτ
ww == (C.4.6)
sustituindo E=205000 MPa na equação C.4.6 tem-se
yw
τw f
k2.611t/h = (C.4.7)
A força cortante resistente fornecida por HÖGLUND (1998) é
wywvw htfρV = (C.4.8)
fazendo e ww htA =
vv C6.0ρ = (C.4.9)
substituindo a equação C.4.9 na equação C.4.8 tem-se a expressão para a força cortante
resistente:
ywvw fA6.0CV = (C.4.10)
da equação C.4.9 tem-se
6.0ρ
C vv = (C.4.11)
subsituindo a equação C.4.5 na equação C.4.11 tem-se
( )wv λ7.0/32.1C += (C.4.12)
C.4.2 Flambagem inelástica sob cisalhamento puro
Para escoamento por cisalhamento, a tabela 3.3.3.1 fornece : vρ
para 83.0λw <
3/1ρ v = (C.4.13)
fazendo na equação C.4.4 tem-se 83.0λw =
483
83.0f/Ek
t/h8.0λ
ywτ
ww == (C.4.14)
sustituindo E=205000 MPa na equação C.4.14 tem-se
yw
τw f
k8.469t/h = (C.4.15)
substituindo a equação C.4.13 na equação C.4.11 tem-se
1Cv = (C.4.16)
Para flambagem inelástica a tabela 3.3.3.1 fornece : vρ
para 08.1λ83.0 w <≤
wv λ/48.0ρ = (C.4.17)
substituindo a equação C.4.17 na equação C.4.11 tem-se
wv λ/8.0C = (C.4.18)
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