Download - Corso di Fisica Moderna
![Page 1: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/1.jpg)
1Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Università degli Studi di Udine
Corso di laurea in Fisica Computazionale
Corso di Fisica Moderna
Sara Padovani
![Page 2: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/2.jpg)
2Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Corso di Fisica Moderna
1. Particelle identiche e spin
2. Statistica classica (Maxwell-Boltzmann)
3. Statistiche quantistiche (Fermi-Dirac e Bose-Einstein)
4. Gas di fotoni (applicazione della statistica di Bose-Einstein)
5. Gas di elettroni-metalli (applicazione della statistica di Fermi-Dirac)
6. Teoria delle bande per i solidi (cenni)
7. Fisica dei semiconduttori
![Page 3: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/3.jpg)
3Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
In Meccanica Quantistica non esiste il concetto di traiettoria, che presuppone
la conoscenza simultanea della posizione e della velocità delle particelle.
Supponiamo di considerare due particelle del tutto identiche, e di determinare
con elevata precisione la loro posizione ad un certo istante t , trovando due
posizioni r1 e r2 . Supponiamo di ripetere la misura ad un successivo istante t’,
trovando delle posizioni r1’ e r2 ‘. Siamo in grado di dire se la particella in 1 era
quella che si trovava in r1 , oppure viceversa? La risposta è NO.
Particelle identiche
Supponiamo di avere due particelle identiche in una scatola.
In Meccanica Classica: possiamo pensare di seguire il moto di ogni particella e
individuarne la traiettoria, senza “disturbare” il sistema.
![Page 4: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/4.jpg)
4Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Questo è un principio generale che prende il nome di:
PRINCIPIO DI INDISTINGUIBILITÀ‘
dato un sistema contenente N particelle fra loro identiche, è impossibile che una
misura dia risultati diversi se si immagina di scambiare fra loro due particelle
In altre parole, il sistema deve essere simmetrico rispetto a tutte le permutazioni
possibili.
Principio di indistinguibilità
![Page 5: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/5.jpg)
5Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Principio di indistinguibilità
Il principio di indistinguibilità per le particelle identiche deve sempre
essere tenuto presente nelle trattazioni di MQ, in particolare nella forma in
cui scrivere la funzione d’onda di una particella.
La funzione d’onda che descrive il sistema deve essere insensibile allo
scambio di due particelle.
Sia
la funzione d’onda che descrive il sistema costituito da due particelle
identiche non interagenti , tale per cui all’istante t
• la particella a si trova nella posizione r1
• la particella b nella posizione r2
( ) ( )trrtrrba ,,,, 2121, Ψ=Ψ
![Page 6: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/6.jpg)
6Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Sistema costituito da due particelle identiche
Un sistema costituito da due particelle può essere descritto dalla funzione
d’onda:
che soddisfa all’equazione di Schrödinger:
con H hamiltoniano del sistema:
( )trr ,, 21Ψ
ψψ
Ht
i ˆ=∂
∂h
( )trrUmm
H ,,22
ˆ21
2
2
2
22
1
1
2
+∇−∇−=hh
![Page 7: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/7.jpg)
7Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
La probabilità di trovare la particella 1 nell’elemento di volume d3r1, e la
particella 2 nell’elemento d3r2 è definita dal modulo quadro della funzione
d’onda:
che va normalizzato su tutto il volume
Sistema costituito da due particelle identiche
( ) 1,, 2
3
1
32
21 =Ψ∫ rdrdtrr
( ) 2
3
1
32
21 ,, rdrdtrrdw Ψ∝
![Page 8: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/8.jpg)
8Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Se l’energia potenziale U non dipende dal tempo, è possibile risolvere
l’Equazione di Schrödinger con il metodo della separazione delle variabili,
ponendo:
In tal caso la funzione d’onda dipende solo dalle coordinate
spaziali e soddisfa all’Equazione di Schrödinger stazionaria:
SOLUZIONE DELL’EQUAZIONE STAZIONARIA
Sistema costituito da due particelle identiche
( ) ( ) hiEt
errtrr−
Ψ=Ψ 2121 ,,,
( ) ( ) ( ) ( ) ( )21212121
2
2
2
2
21
2
1
1
2
,,,,2
,2
rrErrrrUrrm
rrm
ψψψψ =+∇−∇−hh
( )21,rrΨ
![Page 9: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/9.jpg)
9Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
La MQ mi fornisce gli strumenti per costruire una funzione d’onda che descrive
lo stato di un sistema costituito da particelle identiche senza specificare quale
particella sta in uno stato e quale nell’altro.
Se E è l’energia totale del sistema, esistono due funzioni che possono
soddisfare al vincolo E = Ea+Eb
SOLUZIONE DELL’EQUAZIONE STAZIONARIA
A
B
Sistema costituito da due particelle identiche
( ) ( ) ( )2121, , rrrr abab ΨΨ=Ψ
( ) ( ) ( )2121, , rrrr baba ΨΨ=Ψ
![Page 10: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/10.jpg)
10Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Operatore di scambio
Definiamo l’operatore di scambio P che inverte la posizione delle particelle:
Applicando l’operatore P due volte, si deve riottiene la situazione iniziale ossia:
Quindi:
P2 ha autovalore 1
P ha autovalori ±1
Significa che esistono due tipologie di funzioni d’onda che possono descrivere
il sistema:
( ) ( )1221 ,, rrrrP Ψ=Ψ
( ) ( ) ( )211221
2 ,,, rrrrPrrP Ψ=Ψ=Ψ
( ) ( )( ) ( )2112
2112
,,
,,
rrrr
rrrr
Ψ−=Ψ
Ψ+=Ψ Simmetrica
Antisimmetrica
![Page 11: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/11.jpg)
11Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Ci sono due funzioni d’onda che descrivono un sistema costituito dalla
combinazione lineare degli stati A e B :
Se E è l’energia totale del sistema, esistono due funzioni che possono
soddisfare al vincolo E = Ea+Eb
SOLUZIONE DELL’EQUAZIONE STAZIONARIA
A
B
Sistema costituito da due particelle identiche
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )212121, rrrrArr abba ΨΨ±ΨΨ=Ψ±
( ) ( ) ( )2121, , rrrr abab ΨΨ=Ψ
( ) ( ) ( )2121, , rrrr baba ΨΨ=Ψ
Esistono due tipologie di particelle!!!
![Page 12: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/12.jpg)
12Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Bosoni e fermioni
Funzione simmetrica
Funzione antisimmetrica
BOSONIBOSONI
FERMIONIFERMIONI
Particelle con spin
intero
Particelle con spin
semi- intero
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )212121, rrrrArr abbaSS ΨΨ+ΨΨ=Ψ=Ψ+
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )212121, rrrrArr abbaAA ΨΨ−ΨΨ=Ψ=Ψ−
Sistema a due particelle
![Page 13: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/13.jpg)
13Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Supponiamo di avere due fermioni identici, ovvero che
Si ha che
Fermioni identici
due fermioni identici, non possono occupare lo stesso stato quantico
Ritorniamo alla funzione antisimmetrica che descrive due fermioni:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )212121, rrrrArr abbaAA ΨΨ−ΨΨ=Ψ=Ψ−
( ) ( )11 rr ba Ψ=Ψ
( ) ( )22 rr ba Ψ=Ψ
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0, 212121 =ΨΨ−ΨΨ=Ψ rrrrArr abbaAA
( ) 0,2
21 =Ψ rrA
![Page 14: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/14.jpg)
14Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Formulato nel 1925 dichiara che:
due fermioni identici, non possono occupare lo stesso stato
quantico.
Principio di esclusione di Pauli
E' il principio di esclusione di Pauli che permette ad un oggetto di non
dissolversi nelle vostre mani, dato che ogni fermione occupa uno spazio
vitale che non può spartire.
![Page 15: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/15.jpg)
15Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
La funzione d’onda totale può essere espressa come il prodotto di una
funzione spaziale α e una di spin β
Funzione d’onda totale = αααα (funzione spaziale) × ββββ(funzione di spin)
La parte spaziale descrive il
moto orbitale di una
particella rispetto all’altra ed
e’ rappresentata dalle
armoniche sferiche Ylm(θθθθ,ϕϕϕϕ)
E’ una funzione
• simmetrica per spin paralleli
• antisimmetrica per spin antiparalleli
BOSONI: α e β entrambe simmetriche o antisimmetriche
FERMIONI:α simmetrica
β antisimmetrica… o viceversa
Bosoni e fermioni
)(),( spinYm
l βϕϑ ×=Ψ
![Page 16: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/16.jpg)
16Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
FERMIONI: funzione d’onda anti-simmetrica per inversione spaziale. Non
possono quindi coesistere nello stesso stato (al più possono esistere due
fermioni nello stesso stato energetico, ma con spin opposto)
BOSONI: funzione d’onda simmetrica per inversione spaziale. Come
conseguenza di questo fatto possono coesistere nello stesso stato anche in
numero molto grande.
Bosoni e fermioni
Funzione simmetrica
Funzione antisimmetrica
BOSONIBOSONI
FERMIONIFERMIONI
Particelle con spin
intero
Particelle con spin
semi- intero
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )212121, rrrrArr abbaSS ΨΨ+ΨΨ=Ψ=Ψ+
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )212121, rrrrArr abbaAA ΨΨ−ΨΨ=Ψ=Ψ−
![Page 17: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/17.jpg)
17Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
FERMIONI (quanti di materia) corrispondono alle particelle che costituiscono la
materia (nuclei, atomi, molecole) cioè i quark (di cui sono formati i protoni e i
neutroni, costituenti del nucleo atomico), l'elettrone e il neutrino, più altre repliche
dello stesso tipo di particelle (con le stesse interazioni) ma molto più pesanti e
quindi instabili.
BOSONI (quanti di forza): particelle che, nella concezione duale onda-
corpuscolo della MQ, sono i portatori delle forze fondamentali che si esercitano
tra le particelle elementari e che quindi ne determinano le interazioni.
Nel modello standard fermioni e bosoni sono le due categorie di particelle
fondamentali: i quanti di materia e i quanti di forza.
Modello standard: bosoni e fermioni
FORZE FONDAMENTALI
l'elettromagnetica l'elettromagnetica
deboledebole
forte forte
gravitazionalegravitazionale
fotonefotone
bosoni bosoni WW±± e Ze Z
gluonigluoni
gravitonegravitone
![Page 18: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/18.jpg)
18Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Modello standard: bosoni e fermioni
γγγγγγγγ±±±±±±±±
νννννννν
Nel modello standard fermioni e bosoni sono le due categorie di particelle
fondamantali: i quanti di materia e i quanti di forza.
![Page 19: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/19.jpg)
19Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Nel suo famoso articolo del 1925, in cui enunciò il principio di
esclusione, Wolfgang Pauli introdusse per la prima volta
quattro numeri quantici per descrivere compiutamente lo
stato degli elettroni all'interno degli orbitali atomici.
Il quarto numero quantico introdotto da Pauli era lo "spin",
momento angolare intrinseco associato alla particella.
Lo spin
Dal punto di vista sperimentale, nel frattempo, i tempi erano maturi per
l'osservazione degli effetti di tale ipotesi.
![Page 20: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/20.jpg)
20Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Corso di Fisica Moderna
1. Particelle identiche e spin
2. Meccancia statistica classica (Maxwell-Boltzmann)
3. Statistiche quantistiche (Fermi-Dirac e Bose-Einstein)
4. Gas di fotoni (applicazione della statistica di Bose-Einstein)
5. Gas di elettroni-metalli (applicazione della statistica di Fermi-Dirac)
6. Teoria delle bande per i solidi (cenni)
7. Fisica dei semiconduttori
![Page 21: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/21.jpg)
21Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
La meccanica statistica è un ramo della fisica che studia il comportamento e
le proprietà medie di sistemi costituiti da un numero molto grande di particelle:
lo strumento di queste analisi sono i metodi e le tecniche della statistica,
applicati alla descrizione del moto delle particelle.
Si è sviluppata nel corso del XIX secolo principalmente per merito del fisico
inglese James Clerk Maxwell, del fisico austriaco Ludwig Boltzmann e del
fisico matematico statunitense J. Willard Gibbs. Convinti che la materia fosse
costituita da un gran numero di particelle minuscole (atomi e molecole) in
costante movimento, questi scienziati erano consapevoli del fatto che la
determinazione del moto di ogni singola particella, in base all'applicazione della
meccanica newtoniana, fosse un procedimento impraticabile.
Maxwell, Boltzmann e Gibbs svilupparono metodi statistici che permettessero
di descrivere la dinamica delle singole particelle in termini di valori medi delle
variabili microscopiche, e di dedurre da questi le caratteristiche
termodinamiche macroscopiche dei sistemi.
Meccanica statistica
![Page 22: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/22.jpg)
22Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Negli anni Venti la meccanica statistica venne riformulata, al fine di includere i
nuovi principi della teoria quantistica. La natura delle particelle infatti, così
come viene intesa dalla teoria quantistica, è diversa da quella tipica della teoria
classica, basata sui principi della dinamica di Newton. Due particelle classiche
sono teoricamente distinguibili, (possono essere distinte apponendo a ciascuna
un'etichetta di riconoscimento) le particelle quantistiche sono del tutto
indistinguibili.
La nuova teoria di fisica richiese una ridefinizione generale dei principi della
meccanica statistica: inoltre, fu necessario utilizzare due diversi metodi statistici
per descrivere le proprietà fisiche di sistemi di particelle quantistiche. Per la
descrizione statistica di sistemi di particelle dotate di spin semi-intero
(fermioni) si richiedeva la statistica di Fermi-Dirac, mentre per sistemi di
particelle dotate di spin intero (i bosoni) era necessaria la statistica di Bose-Einstein.
Meccanica statistica quantistica
![Page 23: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/23.jpg)
23Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Statistica classica:
C. MaxwellL. Boltzmann
La statistica di Maxwell-BoItzmann è stata ricavata nell'ambito dello studio della
teoria cinetica dei gas, nella quale si assume che le molecole interagiscono tra
di loro molto debolmente e solo durante le collisioni: si possono quindi
trascurare tutti gli altri tipi di forze possibili.
Sistema chiuso di N particelle distinguibili “debolmente” interagenti
Meccanica statistica classica: Maxwell e Boltzmann
![Page 24: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/24.jpg)
24Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
1 2 3 ... S
ε1 ε 2 ε 3 … ε S
N1 N2 N3 … NS
IPOTESI:
1. Sistema chiuso
2. Particelle distinguibili
3. Interazioni deboli particelle non-interagenti
4. N=cost. E=cost.
5. Tutti i parametri rilevanti (volume, ...) che determinano gli stati del sistema
sono costanti.
6. Si conoscono gli “stati di particella singola” 1, 2, ... S e
le loro energie ε1, ε2, ...
Vincoli
∑=
=S
i
i NN1
∑=
=⋅S
i
ii EN1
ε
Statistica di Maxwell-Boltzmann
![Page 25: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/25.jpg)
25Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
1 2 3 ... S
ε1 ε 2 ε 3 … ε S
N1 N2 N3 … NS
Ho realizzato una ripartizione detta MACROSTATO
Questa ripartizione può essere fatta in un certo numero di MODI o MICROSTATI (W)
Vincoli
∑=
=S
i
i NN1
∑=
=⋅S
i
ii EN1
ε
Statistica di Maxwell-Boltzmann
![Page 26: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/26.jpg)
26Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
In quanti modi posso
realizzare questa
ripartizione?
Statistica di Maxwell-Boltzmann
![Page 27: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/27.jpg)
27Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Tutti i modi (microstati) che rispettano i vincoli sono equiprobabili
Lo stato di equilibrio del sistema è quello più probabile, cioè quello che può
essere realizzato col massimo numero di modi possibili (principio di massima
verosimiglianza)
Voglio determinare:
1. Il numero di modi W associato ad una certa ripartizione (macrostato)
2. La distribuzione statistica n(E) che descrive il sistema all’equilibrio
termico
Statistica di Maxwell-Boltzmann
IP
![Page 28: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/28.jpg)
28Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Numero di modi: sistema con numero finito di stati
Possibilità di mettere N1 particelle nello stato 1 ordinatamente
ciascuna di queste può essere ottenuta con N1! differenti permutazioni delle
particelle quindi le possibilità distinte sono
Lo stato 2 potrà essere occupato
nel numero di modi:
si ottieneSWWWW ⋅⋅⋅= K21
Numero di modi
( )( ) ( )( )( )!
!121
1
1
'
1NN
NNNNNNW
−=−−−−= K
( )
=
−=
111
1!!
!
N
N
NNN
NW
( )( )!!
!
212
12
NNNN
NNW
−−
−=
∏=
=S
i iNNW
1 !
1!
Statistica di Maxwell-Boltzmann
Coefficiente
binomiale
![Page 29: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/29.jpg)
29Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Statistica di Maxwell-Boltzmann
![Page 30: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/30.jpg)
30Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Applichiamo ora il PRINCIPIO DI MASSIMA VEROSIMIGLIANZA:
un sistema fisico reale le particelle tenderanno a disporsi secondo la
configurazione che prevede il numero massimo possibile di modi W
Questo significa che per un sistema fisico reale l’equazione di W sarà
massimizzata da una particolare configurazione delle partizioni N1, ..., NS.
Ricordiamo che non tutte le configurazioni delle partizioni sono ammesse, ma
solo quelle che rispettano i vincoli di esclusione introdotti prima.
Inoltre ipotizziamo che all’equilibro termodinamico il sistema è nella sua
configurazione più probabile.
Distribuzione più probabile
Statistica di Maxwell-Boltzmann
![Page 31: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/31.jpg)
31Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Per la risoluzione di un problema di massimizzazione vincolata si può applicare
il metodo dei moltiplicatori di Lagrange che riduce l’analisi ad una
massimizzazione semplice di una funzione in Ni.
Tale metodo consiste nel massimizzare la funzione:
−⋅−
−−= ∑∑
==
ENNNWNNLS
i
ii
S
i
is
11
1 ln),,,,( εβαβαK
La condizione necessaria per avere un estremo è che le derivate parziali si
annullino:
0=∂
∂
α
L0=
∂
∂
β
L0=
∂
∂
iN
L
Distribuzione più probabile: Metodo dei moltiplicatori di Lagrange
Statistica di Maxwell-Boltzmann
![Page 32: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/32.jpg)
32Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
0=∂
∂
α
L
0=∂
∂
β
L
0=∂
∂
iN
L
∑=
=S
i
i NN1
∑=
=⋅S
i
ii EN1
ε
Fornisce i valori N1, ..., NS per la distribuzione più probabile
Statistica di Maxwell-Boltzmann
Distribuzione più probabile: Metodo dei moltiplicatori di Lagrange
−⋅−
−−= ∑∑
==
ENNNWNNLS
i
ii
S
i
is
11
1 ln),,,,( εβαβαK
La condizione necessaria per avere un estremo è che le derivate parziali si
annullino:
0ln
=−−∂
∂i
iN
Wβεα
![Page 33: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/33.jpg)
33Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Statistica di Maxwell-Boltzmann
Formula di Stirling
( ) NNNN −≅ ln!ln
![Page 34: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/34.jpg)
34Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Formula di Stirling
∏=
=S
i iNNW
1 !
1! ∑
=
∆−=∆s
i
iNW1
!lnln!ln!lnln1
∑=
−=s
i
iNNW
( ) NNNN −≅ ln!ln
∑=
∆−≅∆s
i
ii NNW1
lnln
Statistica di Maxwell-Boltzmann
Distribuzione più probabile
Distribuzione
ieeN i βεα
1= 0
ln=−−
∂
∂i
iN
Wβεα
![Page 35: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/35.jpg)
35Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
La situazione reale, però, comporta generalmente un numero molto grande di
stati che avranno occupazione medio bassa.
Si suddivide l’ energia in intervalli ∆E abbastanza grandi da contenere un
numero gi (degenerazione) sufficientemente grande di stati x aventi energie
εi1, εi2, εi3,…
Tale che sia
∆E <<Ei gi >> 1 Ni>> 1
Avrò quindi una ripartizione delle
particelle nei vari intervalli,
caratterizzata dalle Ni e tale per cui
∑ = NN i
Statistica di Maxwell-Boltzmann
Numero di modi: caso generale
![Page 36: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/36.jpg)
36Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
I modi per disporre N1 particelle nel primo intervallo sono
( )!!
!
111
1NNN
N
N
NW
−=
=
∏=
=S
i i
N
i
N
gNW
i
1 !!
Ma le N1 particelle possono essere messe nei g1 stati, quindi avrò g1
possibilità per la prima, g1 per la seconda ecc...
In totale avrò quindi possibilità diverse di sistemazione
si ottieneSWWWW ⋅⋅⋅= K21
Numero di modi
Statistica di Maxwell-Boltzmann
Numero di modi: caso generale
( )!!
!
11
111
NNN
NgW
N
−=
![Page 37: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/37.jpg)
37Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
∑∑∑===
∆
=∆−∆≅∆
s
i
i
i
ii
s
i
i
s
i
ii NN
gNNNgW
111
lnlnlnln
Statistica di Maxwell-Boltzmann
Distribuzione più probabile: caso generale
Distribuzione
∏=
=S
i i
N
N
gNW
i
1 !!
0ln
=−−∂
∂i
iN
Wβεα
∑∑==
−+=s
i
i
s
i
ii NgNNW11
!lnlnlnln
E
i
iee
gN
βα=
![Page 38: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/38.jpg)
38Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
La distribuzione più probabile, che risulta essere:
Distribuzione di Maxwell- Bollzmann
valida per particelle “classiche” distinguibili
Statistica di Maxwell-Boltzmann
Distribuzione più probabile: caso generale
Fattore di Boltzmann
numero medio di
particelle per stato
ieeg
Nn
i
i
i βεα
1==
iee
gN i
i βεα=
![Page 39: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/39.jpg)
39Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Al fine di determinare i parametri α e β si definisce la funzione di partizione Z
ed si esprime il numero medio di particelle per stato ni in funzione di Z:
Statistica di Maxwell-Boltzmann
Funzione di partizione
Z
Ne =−α
∑ ∑∑ −−−− ===stati stati
i
stati
iiii egeeegNN
βεαβεα
∑ −=stati
iiegZ
βε
NZ lnln −=α
iee
gN i
i βεα=
![Page 40: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/40.jpg)
40Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Descriviamo l’energia media per particella termini della funzione di partizione:
Statistica di Maxwell-Boltzmann
Funzione di partizione
∑ −−=∂
∂
stati
iiieg
Z βεεβ
ββεε βε
∂
∂−=
∂
∂−=== ∑∑ − Z
NZ
Z
Neg
Z
NNE
stati
ii
stati
iii
ln
βε
∂
∂−==
Z
N
E ln
iegZ
NN ii
βε−=
Energia media per particella
∑ −=stati
iiegZ
βε
![Page 41: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/41.jpg)
41Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Nel caso in cui lo spettro di energia di particella singola possa essere
considerato continuo, e ciò avviene quando il volume è grande:
Statistica di Maxwell-Boltzmann
Distribuzione più probabile: distribuzione continua di stati
( ) ( )ε
εεε
βαd
ee
gdN
E=
( ) ( )( ) E
eeg
Nn
βαε
εε
1==
numero di particelle che popolano i livelli compresi
nell’intervallo εεεε e εεεε+dεεεε
numero medio di particelle che occupano
un singolo stato ieeg
Nn
i
i
i βεα
1==
iee
gN i
i βεα=
![Page 42: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/42.jpg)
42Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Statistica di Maxwell-Boltzmann
iegZ
Nn ii
βε−=
Numero medio di particelle per stato
∑ −=stati
iiegZ
βε
( ) εε βεdeg
Z
Ndn i−=
Funzione di partizione
( ) εε βεdegZ
−∞
∫=0
Distribuzione continua di stati
( )dE
dsEg =Se la densità degli stati è definita come:
( ) εεβεβεdge
Z
Ndseedn iia −−− ==
ieeg
Nn
i
i
i βεα
1==
![Page 43: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/43.jpg)
43Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Statistica di Maxwell-Boltzmann
βε
∂
∂−=
Zln
Energia media per particella
( ) εε βεdeg
Z
Ndn i−=
NZ lnln −=α
( ) εε βεdegZ
−∞
∫=0
Calcolo densità degli stati per un sistema classico
Calcolo di αααα e ββββ
Per il calcolo dei parametri αααα e ββββ è necessario procedere
al calcolo della funzione di partizione Z.
![Page 44: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/44.jpg)
44Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Statistica di Maxwell-Boltzmann
Densità degli stati
Numero di stati nel volume infinitesimo
dello spazio delle fasi
Integrando su tutto il volume occupato dal gas
zyx dpdpCdxdydzdpds =*
dppCVdpdpCVdpds zyx
24π==
Energia delle particelle liberem
pE
2
2
=
dEdE
dppCVgpCVds )(4 2 == π
( ) ( ) 21
23
22/ επεε VmCVddsg ==
![Page 45: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/45.jpg)
45Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Densità degli stati
Statistica di Maxwell-Boltzmann
![Page 46: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/46.jpg)
46Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Calcolo della funzione di partizione
Statistica di Maxwell-Boltzmann
( ) ( ) 21
21
23
22 εεπε BVVmCg ==
( )2
21
23
0
πβεε βε −−
∞
== ∫ BVdegZ
( ) 23
23
2−
= βπ CVmZ
Nota la densità degli stati:
Calcolo la funzione di partizione:
( ) εε βεdegZ
−∞
∫=0
![Page 47: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/47.jpg)
47Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Statistica di Maxwell-Boltzmann
βε
∂
∂−=
Zln
KT2
3=ε
KT
1=βTeoria cinetica del
gas ideale
Calcolo di αααα e ββββ
NZ lnln −=α ( )
=
−2
32
3
2ln βπα CmN
V
( ) 23
23
2−
= βπ CVmZ
![Page 48: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/48.jpg)
48Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Statistica di Maxwell-Boltzmann
![Page 49: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/49.jpg)
49Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Distribuzione di Maxwell-Boltzmann
Statistica di Maxwell-Boltzmann
KT
1=β
( ) ( ) KTMB eKTf
ε
επ
ε−−
= 21
232
Numero medio di particelle per stato ( ) εε βεαdeegdn i−−=
( )ε
εd
dn
Nf
1=Funzione di distribuzione
Distribuzione di Maxwell-Boltzmann
( )
=
−2
32
3
2ln βπα CmN
V
( ) ( ) 21
21
23
22 εεπε BVVmCVg ==
![Page 50: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/50.jpg)
50Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Distribuzione di Maxwell-Boltzmann a varie temperature
Statistica di Maxwell-Boltzmann
( ) ( ) KTMB eKTf
ε
επ
ε−−
= 21
232
![Page 51: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/51.jpg)
51Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Distribuzione di Maxwell delle velocità
Statistica di Maxwell-Boltzmann
( ) ( ) KTMB eKTf
ε
επ
ε−−
= 21
232
2
2
1mv=ε ε
mv
2= ( )( ) dv
dv
dvfdvvF
εε=)(
( ) KTmv
evKT
mvF 22
23
2
24
−
=
ππ
Distribuzione di Maxwell delle velocità
![Page 52: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/52.jpg)
52Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Distribuzione di Maxwell delle velocità
Statistica di Maxwell-Boltzmann
( ) KTmv
evKT
mvF 22
23
2
24
−
=
ππ
( )dvvFvv ∫= 22
KTvm2
3
2
1 2 =
![Page 53: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/53.jpg)
53Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Distribuzione di Maxwell delle velocità
Statistica di Maxwell-Boltzmann
![Page 54: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/54.jpg)
54Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
La statistica di Maxwell-Boltzmann fornisce delle buone previsioni sul
comportamento di un gas in condizioni normali (pressione atmosferica: P = 1 atm;
temperatura ambiente: T = 300 °K).
Ma molti fenomeni risultano comunque del tutto incomprensibili dal punto di vista
della fisica classica, tra cui ricordiamo:
1. Calore specifico dei solidi a basse temperature
2. Emissione corpo nero (legge di Rayleigh/Jeans)
Statistica di Maxwell-Boltzmann
![Page 55: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/55.jpg)
55Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Calore specifico
Statistica di Maxwell-Boltzmann
V
A
V
VT
NT
EC
∂
∂=
∂
∂=
ε
KT2
3=ε
KT3=ε
Calore specifico a volume costante
RCV2
3=
RCV 3=
Gas monoatomico
Una mole di solido (Gli atomi vengono trattati come oscillatori
tridimensionali)
![Page 56: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/56.jpg)
56Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Calore specifico a basse temperature
Statistica di Maxwell-Boltzmann
Calore specifico CV del rame in funzione della temperatura
Secondo la fisica classica, il calore specifico deve rimanere finito anche allo
zero assoluto. Questo fatto è però in contrasto con l'esperienza: infatti il calore
specifico decresce man mano che ci si avvicina allo zero assoluto (la cosa fu
predetta da Nerst nel 1916 ed il processo, allora ancora ignoto, secondo cui il
calore specifico decresce lo chiamò degenerazione del gas, mentre un gas a
temperature vicine allo zero assoluto venne chiamato degenere).
![Page 57: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/57.jpg)
57Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Radiazione di corpo nero
Uno degli insuccessi della teoria classica ondulatoria è il calcolo della
radiazione emessa da un corpo nero.
Raileigh e Jeans descrissero la distribuzione di intensità I delle onde emesse
in funzione della lunghezza d’onda λ, modellando la radiazione di corpo nero
come quella proveniente da un insieme di oscillatori che possono emettere ed
assorbire radiazione ad ogni frequenza:
Legge di Rayleigh/Jeans
42
λπ
λ
KTc
d
dI=
Il calcolo di Rayleigh e Jeans
riproduce i dati sperimentali solo per
grandi λ, per piccole λ la formula è
errata
CATASTROFE ULTRAVIOLETTACATASTROFE ULTRAVIOLETTA
![Page 58: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/58.jpg)
58Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Lezione 2
1. Statistiche quantistiche
• Fermi-Dirac
• Bose-Einstein
2. Gas di Fermi
3. Gas di fotoni (applicazione della statistica di Bose-Einstein)
![Page 59: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/59.jpg)
59Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
è
à
è
!
"
Meccanica statistica classica
![Page 60: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/60.jpg)
60Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Distribuzione di Maxwell-Boltzmann a varie temperature
Statistica di Maxwell-Boltzmann
( ) ( ) KTMB eKTf
ε
επ
ε−−
= 21
232
Maxwell e Boltzmann svilupparono metodi statistici per descrivere la dinamica delle singole
particelle in termini di valori medi delle variabili microscopiche, e di dedurre da questi le
caratteristiche termodinamiche macroscopiche dei sistemi.
La statistica di Maxwell-Boltzmann fornisce
delle buone previsioni sul comportamento di
un gas in condizioni normali (pressione
atmosferica: P = 1 atm; temperatura ambiente:
T = 300 °K).
![Page 61: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/61.jpg)
61Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
#$
Meccanica statistica quantistica
PRINCIPIO DI INDISTINGUIBILITÀ
dato un sistema contenente N particelle fra loro identiche, è impossibile che
una misura dia risultati diversi se si immagina di scambiare fra loro due
particelle
Il sistema deve essere simmetrico rispetto a tutte le permutazioni possibili.
![Page 62: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/62.jpg)
62Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
%à
&
'
!!!!
""""
Meccanica statistica quantistica
PRINCIPIO DI ESCLUSIONE DI PAULI
due fermioni identici, non possono occupare lo stesso stato quantico.
Funzione simmetrica
Funzione antisimmetrica
BOSONIBOSONI
FERMIONIFERMIONI
Particelle con spin
intero
Particelle con spin
semi- intero
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )212121, rrrrArr abbaSS ΨΨ+ΨΨ=Ψ=Ψ+
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )212121, rrrrArr abbaAA ΨΨ−ΨΨ=Ψ=Ψ−
![Page 63: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/63.jpg)
63Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Statistiche quantistiche
E. Fermi
P. Dirac
A. Einstein
S. N. Bose
![Page 64: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/64.jpg)
64Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Tutti i modi (microstati) che rispettano i vincoli sono equiprobabili
Lo stato di equilibrio del sistema è quello più probabile, cioè quello che può
essere realizzato col massimo numero di modi possibili
Abbiamo determinato:
Il numero di modi W (MICROSTATI) associato ad una certa configurazione
(MACROSTATO)
La distribuzione statistica n(E) che descrive il sistema all’equilibrio termico
Statistica di Maxwell-Boltzmann
∏=
=S
i i
N
i
N
gNW
i
1 !!
ieeg
Nn
i
i
i βεα
1==
![Page 65: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/65.jpg)
65Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
1 2 3 ...
ε1 ε 2 ε 3 …
N1 N2 N3 …
1. Sistema chiuso
2. Interazioni deboli particelle non-interagenti
3. N=cost. E=cost.
4. Tutti i parametri rilevanti (volume, ...) che determinano gli stati del sistema
sono costanti.
5. Si conoscono gli “stati di particella singola” 1, 2, ... s e le loro energie ε1, ε2, ...
Vincoli
∑=
=1i
i NN
∑=
=⋅1i
ii ENε
Statistiche quantistiche
Ipotesi
6. Particelle indistinguibili (c’è solo un modo di mettere Ni particelle nello stato i)
7. Particelle dipendenti (se la particella 1 si trova nello stato g1, altera la
probabilità che 2 si trovi in g2)
![Page 66: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/66.jpg)
66Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Statistiche
Esempio: 2 particelle in 3 stati
9!2
3!2
!!
2
1
=== ∏=
S
i i
N
i
N
gNW
i
Maxwell-Boltzmann: il numero di modi W
associato ad una certa configurazione
Particelle
distinguibili
Bosoni
Fermioni
9 modi
6 modi
3 modi
![Page 67: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/67.jpg)
67Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
La situazione reale, però, comporta generalmente un numero molto grande di
stati che avranno occupazione medio bassa.
Si suddivide l’ energia in intervalli ∆E abbastanza grandi da contenere un
numero gi (degenerazione) sufficientemente grande di stati x aventi energie
εi1, εi2, εi3,…
Tale che sia
∆E <<Ei gi >> 1 Ni>> 1
Avrò quindi una ripartizione delle
particelle nei vari intervalli,
caratterizzata dalle Ni e tale per cui
∑ = NN i
Statistiche
Numero di modi: caso generale
![Page 68: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/68.jpg)
68Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
p1 p2 p3 p4 p5
I gi stati possono essere occupati in gi! modi diversi
Per ciascuno di questi modi vi sono (gi-Ni) stati liberi che possono essere
realizzati in (gi-Ni)! modi diversi indistinguibili
Anche gli Ni! modi di scegliere gli stati occupati sono equivalenti perché le
particelle sono indistinguibili
Particelle indistinguibili: FERMIONI
In totale i modi possibili sono:
gi stati
Ni fermioni
gi- Ni stati vuoti
( )!!
!
iii
i
iNgN
gW
−=
( )∏−
=!!
!
iii
i
NgN
gW
![Page 69: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/69.jpg)
69Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Il numero di disposizioni possibili di particelle e setti è:
Di queste Ni! rappresentano diverse disposizioni delle particelle (indistinguibili) e
(gi-1)! sono le disposizioni dei setti (che non comportano modifiche al sistema)
Particelle indistinguibili: BOSONI
gi stati
Ni bosoni
gi- 1 setti mobili
Descrizione della configurazione:
combinazione di Ni+ (gi-1) oggetti
( )[ ]( )!1!
!1
−
−+=
ii
ii
igN
gNW
( )[ ] !1' −+= iii gNW
( )[ ]( )∏
−
−+=
!1!
!1
ii
ii
gN
gNW
![Page 70: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/70.jpg)
70Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
IPOTESI: Ni<<gi e particelle indistinguibili
L’ occupazione di uno stato non modifica significativamente il numero di stati
disponibili, quindi possibilità di mettere Ni particelle nello stato i
ordinatamente:
Particelle indistinguibili: sistema diluito
iN
iiiii ggggW =⋅⋅⋅= K'
!
'
i
N
i
iN
gW
i
=
ciascuna di queste può essere ottenuta in Ni! modi diversi, cambiano l’ordine
delle particelle. Poiché le particelle sono indistinguibili tutti questi modi sono
fisicamente identici, ed il numero di configurazioni fisicamente differenti è:
In totale i modi possibili sono: ∏=!i
N
N
gW
i
STATI IDENTICI
Particelle indipendenti
![Page 71: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/71.jpg)
71Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Particelle indistinguibili: sistema diluito
Fermioni
Bosoni
( )∏−
=!!
!
iii
i
NgN
gW
( )[ ]( )∏
−
−+=
!1!
!1
ii
ii
gN
gNW
![Page 72: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/72.jpg)
72Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Confronto dei risultati
∏=!i
N
N
gW
i
( )∏−
=!!
!
iii
i
NgN
gW
( )[ ]( )∏
−
−+=
!1!
!1
ii
ii
gN
gNW
∏=
=S
i i
N
N
gNW
i
1 !!
Numero di modi W associato ad una certa configurazione
Particelle distinguibiliMAXWELL-BOLTZMANN
Particelle indistinguibiliFermioni
FERMI-DIRAC
Particelle indistinguibiliBosoni
BOSE-EINSTEINSistema diluito
![Page 73: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/73.jpg)
73Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Distribuzione più probabile: Metodo dei moltiplicatori di Lagrange
Statistiche quantistiche
Per la risoluzione di un problema di massimizzazione vincolata si può applicare
il metodo dei moltiplicatori di Lagrange che riduce l’analisi ad una
massimizzazione semplice di una funzione in Ni.
Ragioniamo come se le variabili N1, ..., NS siano continue e non discrete.
Calcoliamo il massimo della funzione lnW, invece che di W per il seguente
motivo:
i massimi di W, sono anche i massimi di lnW essendo W>0.
Quindi invece di cercare il massimo di W, calcoliamo il massimo per la funzione
lnW.
Utilizzamo l’approssimazione di Stirling, nell’ipotesi Ni>>1.
ii N
W
WN
W
∂
∂=
∂
∂ 1ln
![Page 74: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/74.jpg)
74Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
−⋅−
−−= ∑∑
==
ENNNWNNLS
i
ii
S
i
is
11
1 ln),,,,( εβαβαK
La condizione necessaria per avere un estremo (massimo) è che le derivate
parziali si annullino:
Distribuzione più probabile: Metodo dei moltiplicatori di Lagrange
Statistiche quantistiche
∑=
=S
i
i NN1
∑=
=⋅S
i
ii EN1
ε
0ln
=−−∂
∂E
N
W
i
βαFornisce i valori N1, ...,
NS per la distribuzione
più probabile
0=∂
∂
α
L
0=∂
∂
β
L
0=∂
∂
iN
L
![Page 75: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/75.jpg)
75Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
0ln
=−−∂
∂E
N
W
i
βα
Statistica di Fermi-Dirac
Distribuzione più probabile
Distribuzione
( )∏−
=!!
!
iii
i
NgN
gW ∑ ∆
−≅∆ i
i
i NN
gW 1lnln
Stirling
1
1
+==
ieeg
Nn
i
ii βεα
![Page 76: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/76.jpg)
76Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Statistica di Fermi-Dirac
Distribuzione più probabile
![Page 77: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/77.jpg)
77Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
0ln
=−−∂
∂E
N
W
i
βα
Statistica di Bose-Einstein
Distribuzione più probabile
Distribuzione
Stirling
∑ ∆
+≅∆ i
i
i NN
gW 1lnln
1
1
−==
ieeg
Nn
i
ii βεα
( )[ ]( )∏
−
−+=
!1!
!1
ii
ii
gN
gNW
![Page 78: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/78.jpg)
78Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Statistica di Bose-Einstein
Distribuzione più probabile
![Page 79: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/79.jpg)
79Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Confronto dei risultati
( )∏−
=!!
!
iii
i
NgN
gW
( )[ ]( )∏
−
−+=
!1!
!1
ii
ii
gN
gNW
∏=
=S
i i
N
N
gNW
i
1 !!
1
1
−==
ieeg
Nn
i
ii βεα
1
1
+==
ieeg
Nn
i
ii βεα
ieeg
Nn
i
i
i βεα
1==
![Page 80: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/80.jpg)
80Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Statistica di Fermi-Dirac
Distribuzione di Fermi-Dirac
L’andamento di questa distribuzione è molto particolare:
• Il termine esponenziale ha limiti diversi per T 0 a seconda che
l’enegia ε sia maggiore o minore dell’energia di Fermi:
• Per εεεε =εεεε F fFD = 1/2
( )1
1
+
=−
kT
FDF
e
fεε
ε
εεεεF ENERGIA
DI FERMI
( )
>
<=
F
F
FDf
εε
εεε
0
1
![Page 81: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/81.jpg)
81Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Allontanandosi dalla condizione T=0 la cassetta si “smussa”
T > 0T = 0
Effetti della temperatura sulla distribuzione di Fermi-Dirac
( )1
1
+
=−
kT
FDF
e
fεε
ε
εεεεF ENERGIA
DI FERMI
Statistica di Fermi-Dirac
![Page 82: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/82.jpg)
82Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
La distribuzione di Maxwell-Boltzmann è un caso limite di quella di Fermi-
Dirac per energie molto alte, se tuttavia l’energia cala, per i fermioni la
probabilità di occupazione di uno stato su un livello energetico a energia
E segue una via diversa e per energie pari a EF, detta Energia di Fermi,
vale ½.
Statistica di Fermi-Dirac
Distribuzione di Fermi-Dirac
( )1
1
+
=−
kT
FDF
e
fεε
ε
( )kT
MBF
e
fεε
ε−
=1
![Page 83: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/83.jpg)
83Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Statistica di Fermi-Dirac
Confronto:Fermi-Dirac e Maxwell-Boltzmann
( )1
1
+
=−
kT
FDF
e
fεε
ε
La distribuzione di Maxwell-Boltzmann prevede che a basse temperature
sia lo stato a minore energia ad essere popolato sempre più in proporzione
ai livelli eccitati
( )kT
MBF
e
fεε
ε−
=1
MOLECOLE
T=0
FERMIONI
T=0
E=EF
E
E=0
Nel caso dei fermioni, esiste un valore
massimo di popolazione (al max la
generazione dei livelli)
Nel limite di T 0, le particelle riempiranno
tutti i livelli ad energia minima
compatibilmente col principio di
esclusione, fino al livello EF
![Page 84: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/84.jpg)
84Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Effetti della temperatura sulla distribuzione di Fermi-Dirac
Livelli energetici e energia di Fermi
T=alta
E=EF
E
E=0
T=bassaT=0
Statistica di Fermi-Dirac
![Page 85: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/85.jpg)
85Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
è !"# à # é "
Confronto tra le statistiche
• GAS DI BOSONI: si origina una condensazione del gas stesso, cioè, i bosoni costituenti il gas tendono ad occupare tutti lo stesso stato energetico (E = E0)
• GAS DI FERMIONI: un solo fermione si troverà nello stato a cui compete energia zero, tutti gli altri andranno ad occupare stati ad energia superiore fino a che non siano esauriti i fermioni stessi (livello energetico EF).
E -> 0 (cioè per T -> 0 ma T0)
( )1
1
+
=−
kT
FDF
e
fεε
ε( )kT
MBF
e
fεε
ε−
=1 ( )
1
1
−
=−
kT
BEF
e
fεε
ε
![Page 86: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/86.jpg)
86Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Statistica di Bose-Einstein
Distribuzione di Bose-Einstein
Il significato fisico della distribuzione per i BOSONI è completamente
differente di quella per i FERMIONI non esiste alcun vincolo superiore
all’occupazione di un qualunque livello energetico
( )1
1
−
=−
kT
BEF
e
fεε
ε
MOLECOLE
T=0
FERMIONI
T=0
E=EF
E
E=0
BOSONI
T=0
![Page 87: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/87.jpg)
87Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Gas di Fermi
E. Fermi
P. Dirac
![Page 88: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/88.jpg)
88Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Densità degli stati: N particelle indistinguibili in una scatola cubica
Si abbiano N particelle in una scatola di volume V=L3.
All’ interno della scatola il potenziale è nullo e l’equazione di Schrödinger
indipendente dal tempo di ogni particella è:
Con ni interi positivi. Questa è un’onda stazionaria.
)()(2 2
2
2
2
2
2
rErzyxm
ψψ =
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂−
h
⋅
⋅
⋅= z
L
nseny
L
nsenx
L
nAsenrk
πππψ 321)(
La funzione d’onda normalizzata al volume V è fattorizzabile e risulta essere:
Gas di Fermi
K2,1,0=nconL
nk
π11 =
L
nk
π22 =
L
nk
π3
3 =
![Page 89: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/89.jpg)
89Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Densità degli stati: N particelle in una scatola cubica
I valori di energia sono:
( ) ( )2
3
2
2
2
10
2
3
2
2
2
1
22
2nnnEnnn
LmE ++=++
=
πh
22
2k
mE
h=
Essendo:
Gas di Fermi
![Page 90: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/90.jpg)
90Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
N particelle in una scatola cubica: densità degli stati
( )dE
dSEg =
Nel guscio sferico di spessore dk si trovano dS
stati, la densità degli stati è definita come:
( ) 212
3
2
22
2
1VE
mEg
=
hπ
( )2
2
==
π
kV
dk
dSkg 2
2
2k
mE
h=
Gas di Fermi
![Page 91: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/91.jpg)
91Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Densità degli stati
Gas di Fermi
![Page 92: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/92.jpg)
92Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Calcolo della funzione di partizione
( ) 21
212
3
2
22
2
1εε
πε BVV
mg =
=
h
( )2
21
23
0
πβεε βε −−
∞
== ∫ BVdegZ
232
3
22
−
= β
πV
mZ
h
Nota la densità degli stati:
Calcolo la funzione di partizione:
( ) εε βεdegZ
−∞
∫=0
Gas di Fermi
![Page 93: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/93.jpg)
93Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
2
21
23 π
β−
= BVZ
KT
1=β
Calcolo di αααα e ββββ
NZ lnln −=α
=
−2
323
22ln β
πα
h
m
N
V
232
3
22
−
= β
πV
mZ
h
Gas di Fermi
… non lo dimostriamo...
![Page 94: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/94.jpg)
94Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Numero medio di particelle per stato
( )dE
dn
NEf
1=Funzione di distribuzione
Distribuzione di Fermi-Dirac
Distribuzione di Fermi-Dirac
( ) dE
e
EgdnKT
EE F
1
1
+
=−
( ) 21
212
3
2
22
2
1εε
πε BVV
mg =
=
h
Gas di Fermi
1
2
8)(
2/1
3
3
2
+=
−KT
EE F
e
EmVEf
hπ
![Page 95: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/95.jpg)
95Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Gas di fotoni
A. Einstein
S. N. Bose
![Page 96: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/96.jpg)
96Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Quindi essendo e
L
nk
π11 =
L
nk
π22 =
L
nk
π3
3 =
Gas di Fotoni
( )2
3
2
2
2
12
nnnL
hp ++= ( )2
3
2
2
2
12
nnnL
hcE ++=
kp h= cpE =
Studio del “gas di fotoni” come applicazione della statistica di Bose-Einstein.
Consideriamo un volume di spazio nel quale onde elettromagnetiche sono in
equilibrio termico con le pareti del contenitore.
I fotoni, trattati come particelle quantistiche, rappresentano onde elettromagnetiche
e per soddisfare le condizioni al contorno con le pareti devono venire associate
con onde che si annullano ai bordi.
Le condizioni di quantizzazione periodica per il numero d’onda k sono:
![Page 97: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/97.jpg)
97Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Ci interessa la densità degli stati g(E)=ds/dE.
Consideriamo lo spazio 3D con coordinate n1, n2 e n3,
raggio n, ed elemento di volume sferico 4 πn2dn. Ci si
limita ad un ottante di sfera, e si considerano 2 modi di
polarizzazione distinti:
Densità degli stati
dnndndn
dsdnng
248
12)( π
==
dnL
hcdE
2=
dE
dnEngEg ))(()( =
2
33
38)( E
ch
LEg
π=
nL
hcE
2=
Gas di Fotoni
![Page 98: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/98.jpg)
98Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Numero medio di particelle per stato
( )dE
dn
NEf
1=Funzione di distribuzione
Distribuzione di Bose-Einstein
Distribuzione di Bose-Einstein
( ) dEe
EgdnKT
E
1
1
−=
2
33
38)( E
ch
LEg
π=
1
8)(
2
33
3
−=
KTE
e
E
ch
LEf
π
Gas di Fotoni
![Page 99: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/99.jpg)
99Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Radiazione di corpo nero
Uno degli insuccessi della teoria classica ondulatoria è il calcolo della
radiazione emessa da un corpo nero.
Rayleigh e Jeans descrissero la distribuzione di intensità I delle onde emesse
in funzione della lunghezza d’onda λ, modellando la radiazione di corpo nero
come quella proveniente da un insieme di oscillatori che possono emettere ed
assorbire radiazione ad ogni frequenza:
Legge di Rayleigh/Jeans
42
λπ
λ
KTc
d
dI=
Il calcolo di Rayleigh e Jeans
riproduce i dati sperimentali solo per
grandi λ, per piccole λ la formula
errata
CATASTROFE ULTRAVIOLETTACATASTROFE ULTRAVIOLETTA
![Page 100: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/100.jpg)
100Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Radiazione di corpo nero
Nel 1900 Planck propose una teoria della radiazione di corpo nero che
riproduceva i dati sperimentali a tutte le lunghezze d’onde.
La legge di radiazione postulata da Planck è:
Legge di Planck
1
12
5
−=
KThc
e
hcc
d
dI
λλπ
λ
![Page 101: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/101.jpg)
101Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Radiazione di corpo nero
Partendo dalla legge di radiazione postulata da Planck si trova:
Legge di Planck
1
12
4
−=
KThc
e
hcc
d
dI
λλπ
λ 1
8 3
3
−=
KTh
e
h
cd
dIν
νπ
λ
Alte lunghezze d’onda (hν<<KT)
Legge di Rayleigh-Jeans
Basse lunghezze d’onda (hν>>KT)
Legge di Wien
3
2 8
c
KT
d
dI πν
ν=
KBh
ec
h
d
dI νπν
ν
−=
3
3 8
![Page 102: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/102.jpg)
102Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Radiazione di corpo nero
Legge di Planck
3
2 8
c
KT
d
dI πν
ν=
Oscillatori armonici classici
Legge di Rayleigh-Jeans
Legge di Planck1
8 3
3
−=
KBh
e
h
cd
dIν
νπ
ν
KT=ε
1−=
KTh
e
hν
νεOscillatori armonici quantistici
Il problema era quello di giustificare la legge di Planck.
Fu Einstein a rendersi conto che Planck aveva introdotto un nuovo concetto
nella fisica: il quanto di luce.
![Page 103: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/103.jpg)
103Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Distribuzione di Bose-Einstein
Statistica di Bose-Einstein
Legge di Planck
1
8)(
2
33
3
−=
KTE
e
E
ch
LEf
π
Legge di Planck1
8)(
3
3
−=
KBh
e
h
cu
ν
νπν
Abbiamo dunque ricavato il modello di quantizzazione della radiazione
elettromagnetica, che è in eccellente accordo con gli spettri di emissione
osservati per un corpo nero in equilibrio termico.
Inoltre, la legge di Planck è ora pienamente giustificata da una trattazione
statistica nella quale i fotoni sono descritti in termini della quantistica bosonica.
VdnEU /)( =ν
![Page 104: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/104.jpg)
104Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Corso di Fisica Moderna
1. Particelle identiche e spin
2. Statistica classica (Maxwell-Boltzmann)
3. Statistiche quantistiche (Fermi-Dirac e Bose-Einstein)
4. Gas di fotoni (applicazione della statistica di Bose-Einstein)
5. Gas di elettroni-metalli (applicazione della statistica di Fermi-Dirac)
6. Teoria delle bande per i solidi (cenni)
7. Fisica dei semiconduttori
![Page 105: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/105.jpg)
105Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Metalli
METALLI
La linea rossa divide i metalli dai non metalli
Alcalini
Alcalino terrosi
Transizione
Terre rare
Gas nobili
Alogeni
Non metalli
IA
IIA IIIA IVA VA VIA
Circa i tre quarti degli elementi chimici conosciuti sono metalli.
IIIB IVB VB VIB VIIB VIIIB IB IIB
Altri metalli
![Page 106: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/106.jpg)
106Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Metalli
Gruppo IA
1 elettrone di valenza in un orbitale s
ALCALINIALCALINI
Gruppo IIA
2 elettroni di valenza in un orbitale s
ALCALINOALCALINO--TERROSITERROSI
Gruppo IIIA
2 elettroni di valenza in un orbitale s,
1 in orbitale p
Metalli con elettroni di valenza in orbitali s e p
Gli elettroni più esterni di un atomo che sono coinvolti in un legame sono
chiamati elettroni di valenza. Gli elettroni del nocciolo non vengono coinvolti
nel legame. Il numero degli elettroni di valenza è eguale al numero del gruppo.
![Page 107: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/107.jpg)
107Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Metalli
Gruppo IVA
2 elettroni di valenza in un orbitale s,
2 in orbitale p
Metalli con elettroni di valenza in orbitali s e p
Gruppo VA
2 elettroni di valenza in un orbitale s,
3 in orbitale p
Gruppo VIA
2 elettroni di valenza in un orbitale s,
4 in orbitale p
![Page 108: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/108.jpg)
108Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Metalli
La più numerosa famiglia di metalli è quella degli elementi di transizione,
comprendente 33 membri; in essa gli elettroni di valenza sono disposti
secondo regole non semplici negli orbitali d ed s. La famiglia è stata suddivisa
in otto gruppi.
Gruppi: IB-VIIIB
Gli elettroni di valenza in questi metalli sono disposti secondo regole
complicate negli orbitali f e s.
Metalli di transizione
Lantanidi e attinidi
![Page 109: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/109.jpg)
109Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Strutture cristalline
14 Reticoli
![Page 110: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/110.jpg)
110Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Metalli
Strutture cristalline
![Page 111: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/111.jpg)
111Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Metalli
Strutture cristalline
Il 90% dei metalli presenta struttura:
• cubica a corpo centrato
• esagonale compatta
• cubica a facce centrate
![Page 112: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/112.jpg)
112Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Sono strutture ad alto impacchettamento
Metalli
Strutture cristalline
![Page 113: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/113.jpg)
113Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Metalli
Il legame metallico
I metalli sono caratterizzati da un alta conducibilità elettrica ed in un metallo un
gran numero di elettroni (in genere 1 o 2 per atomo) è libero di muoversi
liberamente (elettroni di conduzione).
Il legame metallico è dovuto alla “nuvola
di elettroni liberi” e presenta energie di
legame modeste rispetto a gli altri legami
(ionico, covalente) quindi po’ essere
considerato un legame debole.
I metalli hanno bassa energia di ionizzazione (quantità di energia
necessaria per strappare un elettrone a
un atomo neutro) quindi i loro elettroni
esterni sono attratti debolmente dai
rispettivi nuclei, e se ne separano
facilmente.
![Page 114: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/114.jpg)
114Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
à
ò
à
Gas di elettroni liberi: modello di Drude
Secondo Drude tutti gli elettroni di
valenza diventano conduttori di
elettricità e sono chiamati elettroni di conduzione.
![Page 115: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/115.jpg)
115Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
•
!
•
!
• " #
• à è %& ττ
à
• èèèè
• à è
'()!* ì
Gas di elettroni liberi: modello di Drude
Assunzioni del modello di Drude
( ) KTmv
evKT
mvF 22
23
2
24
−
=
ππ
![Page 116: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/116.jpg)
116Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
• ,
• à
" - !.#
La teorica classica di Drude non spiega:
• capacità termica
• cammino libero medio elettronico l = vτ
Gas di elettroni liberi: modello di Drude
![Page 117: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/117.jpg)
117Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
/ /
.!0
'()!*
! .!
•
!
•
!
" #
• à è %& ττ
à
• èèèè
• è
Assunzioni del modello di Sommerfeld
Gas di elettroni liberi: modello di Sommerfeld
![Page 118: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/118.jpg)
118Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
• Il termine esponenziale ha limiti diversi per T 0 a seconda che
l’enegia ε sia > o < dell energia di Fermi:
• Per ε = ε F, allora fFD=1/2
( )1
1
+
=−
kT
FDF
e
fεε
ε
εεεεF ENERGIA DI FERMI
( )
>
<=
F
F
FDf
εε
εεε
0
1
Gas di elettroni liberi: modello di Sommerfeld
Distribuzione di Fermi-Dirac
![Page 119: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/119.jpg)
119Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Allontanandosi dalla condizione T=0 la cassetta si “smussa”
Si definisce temperatura di Fermi TF ≡ EF/ k.
Quando T >> TF, fFD tende a diventare un esponenziale decadente.
T >> TFT = TF
T > 0T = 0
Effetti della temperatura sulla distribuzione di Fermi-Dirac
Gas di elettroni liberi: modello di Sommerfeld
![Page 120: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/120.jpg)
120Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
La distribuzione di Maxwell-Boltzmann è un caso limite di quella di Fermi-
Dirac per energie molto alte, se tuttavia l’energia cala, per i fermioni la
probabilità di occupazione di uno stato su un livello energetico a energia
E segue una via diversa e per energie pari a EF, detta Energia di Fermi,
vale ½.
Distribuzione di Fermi-Dirac
( )1
1
+
=−
kT
FDF
e
fεε
ε
( )kT
MBF
e
fεε
ε−
=1
Gas di elettroni liberi: modello di Sommerfeld
![Page 121: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/121.jpg)
121Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Confronto:Fermi-Dirac e Maxwell-Boltzmann
( )1
1
+
=−
kT
FDF
e
fεε
ε
La distribuzione di Maxwell-Boltzmann prevede che a basse temperature
sia lo stato a minore energia ad essere popolato sempre più in proporzione
ai livelli eccitati
( )kT
MBF
e
fεε
ε−
=1
MOLECOLE
T=0
FERMIONI
T=0
E=EF
E
E=0
Nel caso dei fermioni, esiste un valore
massimo di popolazione (al max la
generazione dei livelli)
Nel limite di T 0, le particelle riempiranno
tutti i livelli ad energia minima
compatibilmente col principio di
esclusione, fino al livello EF
Gas di elettroni liberi: modello di Sommerfeld
![Page 122: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/122.jpg)
122Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Effetti della temperatura sulla distribuzione di Fermi-Dirac
Livelli energetici e energia di Fermi
T=alta
E=EF
E
E=0
T=bassaT=0
Gas di elettroni liberi: modello di Sommerfeld
![Page 123: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/123.jpg)
123Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
123
Buca di potenziale infinita: 1 dimensione
![Page 124: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/124.jpg)
124Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Buca di potenziale infinita: 1 dimensione
![Page 125: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/125.jpg)
125Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
125
Buca di potenziale infinita: 2 dimensioni
![Page 126: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/126.jpg)
126Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Densità degli stati: N elettroni in una scatola cubica
Si abbiano N elettroni in una scatola di volume V=L3.
All’ interno della scatola il potenziale è nullo e l’equazione di Schrödinger
indipendente dal tempo di ogni particella è:
Con ni interi positivi. Questa è un’onda stazionaria.
)()(2 2
2
2
2
2
2
rrzyxm
kkk ψεψ =
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂−
h
⋅
⋅
⋅
= z
L
nseny
L
nsenx
L
nsen
Vrk
πππψ 321
21
8)(
La funzione d’onda normalizzata al volume V è fattorizzabile e risulta essere:
Si abbiano N elettroni in una scatola di volume V=L3.
Gas di elettroni liberi: modello di Sommerfeld
![Page 127: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/127.jpg)
127Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Funzioni d’onda che soddisfino alle condizioni periodiche agli estremi:
Ugualmente per y e z.
Con
Le funzioni d’onda che soddisfano all’equazione di Schrödinger stazionaria,
alla normalizzazione sul volume e alle condizioni di periodicità sono onde
piane della forma:
),,(),,( zyLxzyx kk +=ψψ
L
n2k
π= K2,1,0=n
rki
k eV
r⋅
=
21
1)(ψ
Densità degli stati: N elettroni in una scatola cubica
Gas di elettroni liberi: modello di Sommerfeld
![Page 128: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/128.jpg)
128Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
I valori di energia sono: ( )2222
22
22zyx kkk
mk
m++==
hhε
λ
π2=k
22
2FF k
m
h=ε
L’ampiezza del vettore d’onda k è legato alla lunghezza d’onda:
kz
kxky
kF
Nello stato fondamentale di un sistema ad N
elettroni liberi gli stati occupati possono essere
rappresentati come punti all’interno di una sfera
nello spazio k. L’energia sulla superficie della
sfera è detta energia di Fermi:
Densità degli stati: N elettroni in una scatola cubica
Gas di elettroni liberi: modello di Sommerfeld
![Page 129: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/129.jpg)
129Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Energia di Fermi
Gas di elettroni liberi: modello di Sommerfeld
Nk3
V
L
2
k3
4
23
F23
3
F
=π
=
π
π⋅
31
23
=
V
NkF
π32
22 3
2
=
V
N
mF
πε
h
L
n2k
π=
![Page 130: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/130.jpg)
130Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
31
23
=
V
NkF
π 32
22 3
2
=
V
N
mF
πε
h
KT F
F
ε=
31
23
==
V
N
mm
kv F
F
πhh
Gas di elettroni liberi: modello di Sommerfeld
![Page 131: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/131.jpg)
131Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
( )dE
dSEg =
Nel guscio sferico di spessore dk si trovano dS
stati, la densità degli stati è definita come:
( )2
2
==
π
kV
dk
dSkg
22
2k
mE
h=
( ) 212
3
22
2
2ε
πε
=
h
mVg
Densità degli stati per l’elettrone libero
Densità degli stati: N elettroni in una scatola cubica
Gas di elettroni liberi: modello di Sommerfeld
![Page 132: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/132.jpg)
132Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Densità degli stati
Gas di elettroni liberi: modello di Sommerfeld
![Page 133: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/133.jpg)
133Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
( ) 212
3
22
2
2ε
πε
=
h
mVgDensità degli stati per l’elettrone libero
Densità degli stati
Gas di elettroni liberi: modello di Sommerfeld
KT
Densità di stati pieni ad una temperatura finita T
( ) ( )εε gTf ,
Stati pieni a T=0
![Page 134: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/134.jpg)
134Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Il modello di Drude non spiga la capacità termica dei metalli.
Capacità termica
Gas di elettroni liberi: modello di Sommerfeld
KCV2
3=
NKCV2
3=
V
A
V
VT
NT
EC
∂
∂=
∂
∂=
ε
La meccanica statistica classica
prevede che una particella libera
puntiforme abbia capacità termica
Quindi per un metallo con N atomi
(1 elettrone di valenza)
Sperimentalmente il contributo elettronico a temperatura ambiente è non più
dell’ 1% di questo valore !!!
Secondo Drude tutti gli elettroni di valenza diventano conduttori di elettricità
![Page 135: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/135.jpg)
135Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Capacità termica
Gas di elettroni liberi: modello di Sommerfeld
Modello di Sommerfeld: non tutti gli elettroni per riscaldamento dallo zero
assoluto acquistano un’energia ∼ KT. Solo quegli elettroni che appartengono
a stati entro l’intervallo di energia KT rispetto al livello di Fermi vengono
eccitati termicamente.
Se N è il numero totale di elettroni, soltanto una frazione dell’ordine di ∼ T/TF
può essere eccitata termicamente alla temperatura T
KTT
NTE
F
el ≈
F
elel
T
TNK
T
EC ≈
∂
∂=
Ciascuno di questi NT/TF elettroni ha
un’energia dell’ordine di KT:
Energia termica totale degli elettroni
![Page 136: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/136.jpg)
136Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Capacità termica
Gas di elettroni liberi: modello di Sommerfeld
Ricaviamo espressione per la capacità
termica valida a basse temperature FF EKTKT =<<
( )KTEgC Fel
2
3
1π=
( ) 212
3
22
2
2ε
πε
=
h
mVg
32
22 3
2
=
V
N
mF
πε
h
( ) ( ) ( ) dET
fEEgdE
T
fEEgfdEEEg
TT
EC F
elel
∂
∂≅
∂
∂=
∂
∂=
∂
∂= ∫∫∫
∞∞∞
000
F
elT
TNKC
2
2
1π=
FT ∼ 2-6 × 104 k
![Page 137: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/137.jpg)
137Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Capacità termica sperimentale
Gas di elettroni liberi: modello di Sommerfeld
A temperature inferiori alla temperatura di Fermi la capacità termica a volume
costante nei metalli segue la relazione:
3ATTCCC retel +=+= γ
Contributo elettronicopredomina a basse
temperature
Contributo reticolare
![Page 138: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/138.jpg)
138Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Capacità termica: risultati sperimentali
Gas di elettroni liberi: modello di Sommerfeld
3ATTCCC retel +=+= γ
( )T
VN
KNm
T
TNKC
F
el3
222
2
0
22
/33
1
π
ππ
h
==
Si usa introdurre una massa efficacie dell’elettrone di valenza mte*
γ γ γ γf
m
mte
f
sper*
≡γ
γCorrezione dovuta a interazione:
e- valenza - e- valenza
e- valenza - reticolo
e- valenza - fonone
2CT
T
C+= γ
![Page 139: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/139.jpg)
139Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Capacità termica: risultati sperimentali
Gas di elettroni liberi: modello di Sommerfeld
m
mte
f
sper*
≡γ
γ
![Page 140: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/140.jpg)
140Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
In una vibrazione reticolare l’energia è quantizzata.
Il quanto di energia associato all’onda elastica è il FONONE, in analogia col
fotone, quanto di energia delle onde elettromagnetiche.
Il fonone interagisce con altre particelle e campi come se avesse un momento
Kp h=
Fononi
![Page 141: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/141.jpg)
141Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Conduzione: effetto del campo elettrico
Gas di elettroni liberi: modello di Sommerfeld
kp h=
Eedt
kd
dt
pdF −=== h
h
dtFkd =
Impulso di un elettrone libero
In un campo elettrico E la forza F che
agisce sull’elettrone è
In assenza di collisioni la sfera di Fermi
risulta traslata (dopo dt) di:
E=0
E ≠ ≠ ≠ ≠0
![Page 142: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/142.jpg)
142Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Conduzione: effetto del campo elettrico
Gas di elettroni liberi: modello di Sommerfeld
h
τFkd =
Quando la forza applicata viene tolta i processi di collisione (degli elettroni con
impurezze, imperfezioni reticolari e fononi) tendono a riportare il sistema nel
suo stato stazionario.
Se il tempo di collisione è τ, lo spostamento della sfera di Fermi all’ equilibrio è
![Page 143: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/143.jpg)
143Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Conduzione: legge di Ohm
Gas di elettroni liberi: modello di Sommerfeld
ττ Em
e
m
Fvd −==
τEm
envnedj
2
=−=
Ej σ= τσm
en
2
=
Questo spostamento contribuisce a ciascun
elettrone ad un incremento della velocità:
Se vi sono n elettroni per unità di volume, la
densità di corrente elettrica è:
La relazione per j ha la forma della legge di Ohm, e σ è la conduttività elettrica:
La resistività elettrica è:τσ
ρ2
1
ne
m==
![Page 144: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/144.jpg)
144Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Libero cammino medio elettronico
Gas di elettroni liberi: modello di Sommerfeld
ne
m2
στ =Tempo di rilassamento
ove n è la densità degli elettroni di conduzione
Il libero cammino medioFvl τ=
![Page 145: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/145.jpg)
145Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Libero cammino medio elettronico: confronto modello di Drude e modello di Sommerfeld
Gas di elettroni liberi: modello di Sommerfeld
τσm
en
2
=Legge di Ohm: sne
m 14
210−≅=
στ
Drude: Maxwell-Boltwmann
AvlcmsvKTmv &10102
3
2
1 172 ≈=≈= − τ
AvlcmsvEmv FFF&10010
2
1 182 ≈=≈= − τ
Sommerfeld: Fermi-Dirac
A temperatura ambiente per il rame
s14102 −×≅τ Aml &300103 8 =×≅ −
![Page 146: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/146.jpg)
146Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Resistività elettrica sperimentale
Gas di elettroni liberi: modello di Sommerfeld
Agitazione termica del
reticolo
Scattering degli elettroni
da impurezze
La resistività elettrica calcolata secondo il
modello ad elettroni liberi: τσρ
2
1
ne
m==
iL ρρρ +=La resistività elettrica:
Alte temperature
Basse temperature
Resistività residua ρi
![Page 147: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/147.jpg)
147Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Resistività elettrica sperimentale
Gas di elettroni liberi: modello di Sommerfeld
iL ρρρ +=La resistività elettrica:θρ
θρ
<<∝
>>∝
TT
TT
L
L
5
![Page 148: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/148.jpg)
148Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
CvlK3
1=
Conduttività termica
Gas di elettroni liberi: modello di Sommerfeld
La conduttività termica K di un solido è definita come:
Ove Q è il flusso di energia termica (energia trasmessa in unità di area e tempo).
Il processo di conduttività termica può essere descritto mediante un processo di
urti. Si trova dalla teoria cinetica dei gas che la conduttività termica può essere
espressa mediante la capacità termica C, la velocità media delle particelle v e il
libero cammino medio l, dalla seguente relazione:
x
TKQ
∂
∂=
![Page 149: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/149.jpg)
149Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
In generale, nei solidi la conduttività termica è somma di un contributo
elettronico ed uno fononico:
Nei metalli a temperatura ambiente il contributo dominante è quello
elettronico.
CvlK3
1=
2
2
1FF mv=ε
KT F
F
ε=
F
elT
TNKC
2
3
1π=
m
TnKKel
3
22 τπ=
τ=lvF
Conduttività termica
Gas di elettroni liberi: modello di Sommerfeld
Utilizzando le relazioni ricavate nel modello ad elettroni liberi di Sommerfeld:
Si ottiene che il contributo elettronico alla conduttività termica è:
fonel KKK +=
![Page 150: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/150.jpg)
150Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
m
TnKK
3
22 τπ=
Legge di Widemann-Franz
Gas di elettroni liberi: modello di Sommerfeld
La legge di Widemann-Franz stabilisce che per i metalli il rapporto tra
conduttività termica ed elettrica è direttamente proporzionale alla
temperatura, con valori della costante di proporzionalità indipendenti dal
metallo stesso.
τσm
en
2
=
LTTe
KK==
2
22
3
π
σ
Legge di Widemann-Franz Numero di Lorentz
2.54 ××××10-8 W Ω Ω Ω Ω/K2
L non dipende ne’ da m ne’ da n!!!
![Page 151: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/151.jpg)
151Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Legge di Widemann-Franz: conferme sperimentali
Gas di elettroni liberi: modello di Sommerfeld
LTTe
KK==
2
22
3
π
σ
Legge di Widemann-Franz Numero di Lorentz
2.54 ××××10-8 W Ω Ω Ω Ω/K2
SUCCESSO MODELLO ELETTRONI LIBERI
![Page 152: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/152.jpg)
152Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Modello di Drude
Modello ad elettroni liberi
Modello di SommerfeldDistribuzione di
Maxwell-BoltzmannDistribuzione di
Fermi-Dirac
Legge di Ohm τσm
en
2
= sne
m 14
210−≅=
στ τσ
m
en
2
= sne
m 14
210−≅=
στ
Libero cammino medio elettronico
Avl
cmsvKTmv
&10
102
3
2
1 172
≈=
≈= −
τ Avl
cmsvEmv
F
FF
&100
102
1 182
≈=
≈= −
τ
Capacità termicaF
elT
TNKC 2
2
1π=NKCel
2
3=
Te
KK2
22
3
π
σ=T
e
KK2
2
2
3=
σ
Legge di Widemann-Franz
OKOK
OK
OK
OKOK
![Page 153: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/153.jpg)
153Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
àààà
![Page 154: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/154.jpg)
154Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Limiti del modello ad elettroni liberi
Inoltre, il modello non spiega perché alcuni elementi chimici cristallizzano in
modo da diventare buoni conduttori di elettricità, mentre altri diventano isolanti,
altri ancora semiconduttori, con proprietà elettriche che variano notevolmente a
seconda della temperatura
Il modello a elettroni liberi è molto semplice, ma funziona molto bene per
diversi metalli, ad es. gli alcalini, Mg, Al, ecc. nei quali la sovrapposizione fra i
vari livelli è molto alta.
Tuttavia, in altri casi, nei quali la sovrapposizione è meno ampia, il modello
non è sufficiente.
Si deve, allora, passare ad un modello più complesso che tiene conto della interazione degli elettroni con gli ioni che formano la struttura cristallina e che rappresentano una successione regolare di buche di potenziale.
![Page 155: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/155.jpg)
155Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Metalli, isolanti e semiconduttori
La conduttività e la resistività elettrica a
temperatura ambiente sono molto
differenti per le tre tipologie di solidi:
àààà ΩΩΩΩ
ρρρρ
ρρρρ
ρρρρ
Resistività e conduttività elettrica
![Page 156: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/156.jpg)
156Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Come variano la resistività con la temperatura?
• Metalli: Gli elettroni sono liberi di muoversi. La conducibilità diminuisce con
la temperatura.
• Semiconduttori. Allo zero assoluto non c’è conducibilità elettrica e la
conducibilità cresce con la temperatura.
• Isolanti: Conducibilità zero in un ampio intervallo di temperature.
Metalli, isolanti e semiconduttori
Resistività elettrica
![Page 157: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/157.jpg)
157Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Bande di energia
Supponiamo di avere N atomi identici
isolati: presentano livelli energetici con la
stessa energia
Ma mano che si avvicinano gli atomi, un
particolare livello energetico dell’atomo
isolato si scinde in N livelli energetici
differenti
Nel caso di un solido i livelli energetici sono
così vicini che appaiono come un continuo:
si crea una banda di energia.
![Page 158: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/158.jpg)
158Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Bande di energia
![Page 159: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/159.jpg)
159Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Modello a bande di energia
a
Elettrone non è libero, ma è soggetto ad un potenziale periodico dovuto
agli ioni che formano la struttura cristallina e che rappresentano una
successione regolare di buche di potenziale
Il modo più semplice per studiare il moto
in un potenziale periodico consiste nel
sostituire il potenziale reale con una
sequenza regolare di buche quadrate
(Potenziale di Kroning e Penney).
Le soluzioni dell’equazione di Schrödinger per un potenziale periodico è,
ovviamente, più complessa di quella del modello a elettroni liberi.
b a
![Page 160: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/160.jpg)
160Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Modello a bande di energia
L’ampiezza dell’onda non è più costante ma è periodica in x, come il potenziale,
per cui la forma non è più
ψ(x) = Aeikx ma ψ(x) = uk(x) eikx Teorema di Bloch
con uk(x) funzione periodica: uk(x) = uk(x + a)= uk(x + na)
per cui la funzione d’onda totale è
Le soluzioni dell’eq. di Schrödinger per un
potenziale periodico è, ovviamente, più
complessa di quella del modello a elettroni
liberi. b a
ΨΨΨΨ(x,t) = uk(x)e(ikx-iωωωωt)
En(k)= En(k+K)
![Page 161: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/161.jpg)
161Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
E è una funzione continua e periodica in k.
La periodicità in k comporta l’apertura dei gap.
Teorema di BlochEn(k)= En(k+K)
Modello a bande di energia
Le bande “permesse” sono separate da intervalli di energia “vietati” (bande vietate o
band gaps). Cioè (in quella direzione) l’elettrone non può propagarsi con quelle energie.
![Page 162: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/162.jpg)
162Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Bande di energia
Le bande possono essere ampiamente distanti tra di loro, vicine o addirittura
sovrapposte: è la loro configurazione che determina le proprietà elettriche
dei solidi.
SODIO METALLICO SEMICONDUTTORE
![Page 163: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/163.jpg)
163Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Bande di energia
Gli elettroni nei solidi sono disposti in bande di energia, separate da regioni nelle quali non sono permessi stati elettronici (intervalli proibiti).
![Page 164: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/164.jpg)
164Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
La banda di valenza è parzialmente piena e/o comunque si sovrappone alla banda di conduzione.
Gli elettroni possono occupare facilmente uno qualsiasi dei livelli e quindi
ritrovarsi associati ad un qualsiasi atomo.
Questa abbondanza di portatori liberi di muoversi fa dei metalli degli ottimi
conduttori di corrente.
Bande di energia: metallo
![Page 165: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/165.jpg)
165Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
•
•
→ à
• ! à
T > 0
Funzione di Fermi
EF
EC,V
Banda di valenza
parzialmente pienaE = 0
Bande di energia: metallo
![Page 166: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/166.jpg)
166Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
La banda di valenza, completamente piena, èmolto distante dalla banda di conduzione. Affinché
un elettrone riesca a passare dalla BDV alla BDC è
necessario fornire una energia almeno pari al gap.
Questa energia, negli isolanti, è ben maggiore della
energia termica degli elettroni, per cui la transizione è
altamente improbabile.
In termini di legami, gli atomi sono interessati da
legami tanto forti che difficilmente vengono rotti per
mettere in libertà un elettrone che possa trasportare
corrente.
Nella banda di valenza piena non è possibile la
conduzione perché gli elettroni possono solo
scambiarsi tra di loro le posizioni ma non dare luogo
ad un flusso netto di carica.
Un ottimo isolante, molto usato nella realizzazione di
dispositivi elettronici, è l’ossido di silicio, SiO2, il cui gap
vale Eg=8eV.
Bande di energia: isolante
![Page 167: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/167.jpg)
167Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
• è è
→ à
• è à #$%& '(
• ! )*)
→ à
è
EF
EV
Banda di conduzione
vuota
Egap
Bande di energia: isolante
T > 0
Funzione di Fermi Banda di
valenza piena
EC
![Page 168: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/168.jpg)
168Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
La banda di valenza e di conduzione sono abbastanza vicine (0.2<EG<2eV) per
cui non è impensabile fornire ad un elettrone
di valenza una quantità di energia che gli
permetta di raggiungere la conduzione.
I semiconduttori hanno principalmente
legami covalenti. Nella rappresentazione a
legami, questo equivale a dire che il legame
covalente può, con relativa facilità, venire
spezzato ed il suo elettrone diventare libero
e quindi capace di condurre corrente.
Bande di energia: semiconduttore
![Page 169: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/169.jpg)
169Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
EF
EV
Banda di conduzione
parzialmente piena
Egap
Bande di energia: semiconduttore
T > 0
Funzione di Fermi Banda di valenza
parziamentepiena
EC
• è
→à
• + è à #,& '(
• !
→à
![Page 170: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/170.jpg)
170Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
àààà
![Page 171: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/171.jpg)
171Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Sc
Y Zr
Ti
Hf
V
Nb
Ta
Cr
Mo
W
Mn
Tc
Re
Fe
Ru
Os
Co
Rh
Ir
Ni
Pd
Pt
Cu
Ag
Au
Zn
Cd
Hg
C N O F
P
Se
S Cl
Br
I
At Rn
Xe
Kr
Ar
Ne
He
Al
Ga
In
Tl Pb Bi Po
Sn
B
Si
As
TeSb
Ge
La Ce Pr Nd PmSm GdEu Tb Dy Ho Er TmYb Lu
Ac Th Pa U Np Pu AmCmBk Cf Es FmMd No Lr
VIAIVA
IA
IIA IIIA VA VIIA
VIIIA
Lantanidi
Attinidi
VIBIIIB IVB VB VIIB VIIIB IB IIB
H
Li
Na
K
Rb
Cs
Fr
Be
Mg
Ca
Sr
Ba
Ra
2
3
1
4
5
6
7
Semiconduttori
I materiali semiconduttori appartengono alle colonne IV (Si, Ge), III-V (GaAs, InP,
GaN, InSb), II-VI (CdSe, CdTe), IV-VI (PbS, PbSe).
I semiconduttori hanno una struttura cristallina, con legami (completamente o parzialmente) covalenti tra gli atomi
![Page 172: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/172.jpg)
172Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Semiconduttori
Configurazioni elettroniche
![Page 173: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/173.jpg)
173Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Semiconduttori
Struttura cristallina
I semiconduttori di maggiore interesse hanno una
struttura tipo cubico a facce centrate (fcc).
La base e’ formata da due atomi, uno a (000), l’altro
ad a/4 (111)
La struttura reale puo’ essere pensata come formata
da due reticoli fcc interpenetrati.
Se i due atomi della base sono uguali si parla di
struttura del diamante, se sono diversi di struttura a
zincoblenda.
(0,0,0)
(1/4,1/4,1/4)
(0,0,0)
BASE
![Page 174: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/174.jpg)
174Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
1. Semiconduttri elementari
Si, Ge
2. Semiconduttori binari
InP, GaAs
Semiconduttori
Struttura cristallina
Struttura Diamante
Struttura Zincoblenda
![Page 175: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/175.jpg)
175Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Semiconduttori
Struttura cristallina
Alcuni importanti semiconduttori hanno una struttura esagonale compatta (hcp), corrispondente a 3 layer successivi di sfere ad alto impaccamento nelle
posizioni A, B, A.
La base e’ formata da due atomi.
Struttura wurzite
![Page 176: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/176.jpg)
176Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Ogni atomo di Si si lega con altri 4 atomi
La disposizione spaziale è perfettamente simmetrica con gli atomi ai vertici di
un tetraedro
Tetraedri contigui si legano a formare il cristallo mediante legami covalenti
In 1 cm3 di silicio ci sono 5×1022 atomi
Semiconduttori
Silicio
![Page 177: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/177.jpg)
177Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Semiconduttori
Altri semiconduttori
• Germanio (Ge)
• Composti binari dei gruppi III-V:
GaAs, InP, GaN, …
• Composti ternari o quaternari: GaAlAs, AlInGAP, InGaN, …
• Composti binari dei gruppi II-VI: CdTe, CdSe, …
![Page 178: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/178.jpg)
178Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Bande di energia: semiconduttore
La banda di valenza e di conduzione sono abbastanza vicine (0.2<EG<2eV)per è possibile di pensare di fornire ad un
elettrone di valenza una quantità di
energia che gli permetta di raggiungere
la conduzione.
![Page 179: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/179.jpg)
179Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Bande di energia
ASSORBIMENTO
Un elettrone in BDV assorbe un fotone
viene eccitato in BDC.
Affinché questo avvenga è necessario
che l'energia del fotone hν sia
maggiore o uguale alla differenza di
energia tra i due livelli energetici
coinvolti nella transizione
gapEEEh =−≥ 12ν
E1
E2
EMISSIONE SPONTANEA
L'emissione spontanea rappresenta il
processo inverso all’assorbimento: si
manifesta quando l’elettrone dalla BDC
si riporta alla BDV emettendo un fotone
di energia pari a
gapEEEh =−= 12ν
![Page 180: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/180.jpg)
180Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Nel caso di un semiconduttore a band-gap diretto il massimo
dell'energia nella banda di valenza ed il minimo in quella di
conduzione si presentano per lo stesso valore del vettore d'onda k.
Nei semiconduttori a gap diretto, un elettrone nella banda di
conduzione può subire una transizione energetica verso un livello
vuoto della banda di valenza, emettendo un fotone, senza che
siano necessari cambiamenti del vettore d'onda.
Semiconduttore a gap diretto
![Page 181: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/181.jpg)
181Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Nel caso di gap indiretto invece, (Si o Ge), la transizione di un
elettrone tra la banda di conduzione e quella di valenza deve
coinvolgere anche una variazione del vettore d'onda. In altre parole,
la transizione può avvenire solo se si verifica anche una interazione
con una unità quantica che descrive l'oscillazione meccanica, ovvero
un fonone del cristallo. Questo, ovviamente, riduce la probabilità delle
transizioni indirette → “phonon-assisted transition”.
Semiconduttore a gap indiretto
![Page 182: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/182.jpg)
182Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Solo i materiali a gap diretto permettono di realizzare dispositivi per applicazioni
fotoniche (laser, LED, …) efficienti, essendo la probabilità di transizioni
elettroniche estremamente elevata.
Semiconduttori a
gap diretto
tipicamente
impiegati sono
GaAs, InP, InAs,
InGaAs, InGaAsP.
Proprietà ottiche
![Page 183: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/183.jpg)
183Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Semiconduttori
Band gap dei principali semiconduttori
![Page 184: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/184.jpg)
184Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
EF
EV
Banda di conduzione
parzialmente piena
Egap
Bande di energia: semiconduttore
T > 0
Funzione di Fermi Banda di valenza
parziamentepiena
EC
• è
→ à
• è à !" #$
• %
→ à &
![Page 185: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/185.jpg)
185Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Legge dell’azione di massa
Vogliamo dapprima determinare il numero di elettroni eccitati nella banda
di conduzione ad una certa temperatura T.
Distribuzione di Fermi : ( )1
1
+
=−
kT
FD
e
fµε
ε
con µ livello di Fermi.
Alle temperature di interesse: εεεε-µµµµ >> KT (KT=25meV a T ambiente)
Descrive la probabilità che uno stato di
conduzione elettronico sia occupato
( ) kTe ef
εµ
ε−
≅
![Page 186: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/186.jpg)
186Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
( ) 212
3
22
2
2ε
πε
=
h
mVgDensità degli stati per l’elettrone libero
Densità degli stati
Densità degli stati
KT
Densità di stati pieni ad una temperatura finita T
( ) ( )εε gTf ,
Stati pieni a T=0
![Page 187: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/187.jpg)
187Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Legge dell’azione di massa
Energia di un elettrone in banda di conduzione:
Il numero di stati (per unità di volume) con energia tra ε e ε+dε:
( ) ( ) εεπ
εε dEm
dD Ge
e2
123
22
2
2
1−
=
h
e
22
Gm2
kE
h+=ε
Il numero di elettroni in banda di conduzione per
unità di volume sono:
( ) ( ) kT
E
e
E
ee
G
G
eh
KTmdDfn
−∞
== ∫
µπ
εεε2
3
2
22
![Page 188: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/188.jpg)
188Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Legge dell’azione di massa
Energia di una lacuna in banda di valenza:
Il numero di stati (per unità di volume) con energia tra ε e ε+dε delle lacune in cima alla banda di valenza:
( ) ( ) εεπ
εε dm
dD he
212
3
22
2
2
1−
=
h
h
km
k
2
22h
−=ε
Il numero di lacune in banda di valenza per unità di
volume sono:
( ) ( ) kThhh e
h
KTmdDfp
µπ
εεε−
∞−
== ∫
23
2
02
2
Funzione di distribuzione per le lacune ( ) ( ) kTeh eff
µε
εε−
≅−=1
![Page 189: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/189.jpg)
189Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Legge dell’azione di massa
Valida sotto l’unica ipotesi che la distanza tra il livello di Fermi µ e i limiti di
entrambe le bande sia >> KT (KT=25meV a T ambiente)
Si osservi che np:
• non dipende dalla presenza o meno di impurezze nel semiconduttore
• non dipende da µ
Moltiplicando le espressioni ricavate per n e p, concentrazioni di elettroni in
BDC e di lacune in BDV, si ottiene la relazione di equilibrio:
Legge dell’azione di massa
( ) kT
E
he
g
emmh
KTnp
−
= 2
33
2
24
π
![Page 190: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/190.jpg)
190Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Concentrazione dei portatori intrinseci
Inoltre, uguagliando le espressioni
Semiconduttore intrinseco (puro):
L’eccitazione termica di un elettrone di BDC lascia dietro di se una lacuna.
( ) kT
E
heii
g
emmh
KTpn 24
323
2
22
−
==
π
kT
E
eG
eh
KTmn
−
=
µπ 2
3
2
22kTh e
h
KTmp
µπ −
=
23
2
22
pn =
si ottiene
kT
E
e
hkT
g
em
me
23
2
=
µ
+=
e
hg
m
mKTE ln
4
3
2
1µ
![Page 191: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/191.jpg)
191Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Concentrazione dei portatori intrinseci
pn =
Se mh=me allora gE2
1=µ
Semiconduttore intrinseco (puro):
EFEgap
+=
e
hg
m
mKTE ln
4
3
2
1µ
![Page 192: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/192.jpg)
192Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Legge dell’azione di massa
Il silicio
In un cristallo puro di silicio
A temperatura ambiente
n = p =1.4×1010 portatori/cm3
Valore che va confrontato con la densità di atomi di silicio: 5×1022 atomi/cm3
pn =
Stima di ni a 300K:
da confrontarsi con ≈ 1023 cm-3 per i conduttori
( ) 310182/3216
1032/1.1
2/3
27
2262/
2/3
2
2*
1010
)102(6
)(103105,02,02e
)(22
2
−−−
⋅⋅−−
−−
≈≈
⋅⋅
⋅⋅⋅⋅≈
=
−
cmem
eeVm
eV
c
Tkcmn
TkEBi
Bgap
hπ
![Page 193: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/193.jpg)
193Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Mobilità regione intrinseca
Concentrazione dei portatori intrinseci
La mobilità è definita come:
La conducibilità elettrica:
Quindi:
E
v=µ
he pene µµσ +=
h
hh
e
ee
m
e
m
e τµ
τµ ==
Sperimentalmente si osserva che la mobilità nei semiconduttori è piu’ alta
che nei metalli
![Page 194: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/194.jpg)
194Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Semiconduttore intrinseco ed estrinseco
Se un semiconduttore non contiene impurezze, che ne modifichino le proprietà
elettriche, viene detto si dice intrinseco
E si trova che:
• la concentrazione di portatori intrinseci è fortemente dipendente dalla
temperatura
• la concentrazione dei portatori a temperatura ambiente non è così alta da
poterli considerare dei buoni conduttori.
n = p ≅ ≅ ≅ ≅ 1010 portatori/cm3
Nei Metalli (1023 portatori/cm3)
kT
E
eG
eh
KTmn
−
=
µπ 2
3
2
22kTh e
h
KTmp
µπ −
=
23
2
22
![Page 195: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/195.jpg)
195Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Semiconduttore intrinseco ed estrinseco
Al fine di migliorare le proprietà di conduzione di un semiconduttore si
introducono delle opportune impurezze chimiche “droganti.
Un semiconduttore drogato viene detto estrinseco.
La loro concentrazione del drogante è sempre di molti ordini di grandezza
inferiore a quella degli atomi del semiconduttore (1022 cm-3).
Le concentrazioni di drogante vanno da 1013 a 1018 cm-3.
Per concentrazioni inferiori a 1013 le impurezze non hanno effetti sul
comportamento elettrico del materiale, a concentrazioni superiori a 1018 si
comincia a modificare la natura del materiale.
![Page 196: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/196.jpg)
196Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Semiconduttore estrinseco
Un atomo estraneo al reticolo può collocarsi in due posizioni:
• Sostituzionale: prende il posto di un atomo del reticolo;
• Interstiziale: si mette al centro (di solito) della cella formata dagli
atomi del reticolo.
L’aggiunta volontaria di impurezze al semiconduttore viene denominata
DROGAGGIO, e il drogaggio viene effettuato con impurezze sostituzionali.
Consideriamo il caso tipico del SILICIO, elemento
del gruppo IV, con quattro elettroni di valenza.
Il Si cristallizza nella struttura del diamante ed ogni
atomo forma quattro legami covalenti uno con
ciascuno dei suoi primi quattro vicini.
![Page 197: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/197.jpg)
197Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Consideriamo di drogare un elemento tetravalente (gruppo IV, Si, Ge) con un
elemento pentavalente (gruppo V, P, As, Sb).
Un atomo del gruppo V ha 5 elettroni di valenza: essendo sostituzionale,
utilizza 4 elettroni per formare i 4 legami dell’atomo di silicio del quale ha
preso il posto, e il quinto elettrone è non legato.
Visto che questi atomi donano il loro elettrone al semiconduttore si dicono
DONORI e il semiconduttore si dice di tipo n
L’elettrone “donato” deve avere un’energia superiore a quelli che formano il
legame (e stanno nella banda di valenza), ma inferiore a quella degli elettroni
liberi nella banda di conduzione. Quindi, deve cadere nel gap!
Semiconduttore di tipo n
drogaggio tipo “n”
con un atomo
pentavalente (fosforo)
Donore
![Page 198: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/198.jpg)
198Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
L’elettrone in eccesso si muove in un potenziale che deriva dallo ione di
impurezza, pari a
dove ε è la costante dielettrica del mezzo (=12 per il Si).
Il fattore di 1/ ε tiene conto dell’attenuazione della forza coulombiana tra le
cariche ed è dovuto alla polarizzazione elettronica del mezzo.
Energia di legame dei donori può essere utilizzando la teoria di Bohr per
l’atomo d’idrogeno, tenendo in considerazione la costante dielettrica del
mezzo
Con raggio di Bohr
22
4
2 n
meEn
h−=
222
*4
2 n
meEn
hε−=
*4
22
me
nrn
hε=
r
e
ε
Semiconduttore di tipo n
![Page 199: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/199.jpg)
199Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Semiconduttore drogati di tipo n
Se il suo livello (ED) è molto vicino a CB, basterà l’agitazione termica a
ionizzarlo, promuovendo l’elettrone in banda di conduzione.
Il numero di donori per unità di volume [cm3] è detta densità di donori, ND
[atomi/cm3].
drogaggio tipo “n”
con un atomo
pentavalente (fosforo)
EF
livello del
donore
donore
![Page 200: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/200.jpg)
200Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Semiconduttore drogati di tipo p
Le stesse considerazioni possono essere effettuate per il drogaggio con
elementi del gruppo III (B, Al, Ga e In).
In questo caso in un legame manca un elettrone (c’è una lacuna). Se il relativo
livello energetico è di poco superiore a VB sarà facile che un elettrone della
banda di valenza salti nella buca, lasciandone una in banda di valenza.
Queste impurezze che catturano elettroni “donando” buche, si dicono
accettori e il semiconduttore si dice di tipo p.
livello
dell’accettore
EF
drogaggio tipo
“p” con un
atomo trivalente
(Al)
accettore
![Page 201: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/201.jpg)
201Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Semiconduttori drogati
Le energie di ionizzazione per donori ed accettori sono le stesse.
Il modello di Bohr modificato è valido quantitativamente sia per lacune che per
elettroni.
T=300K KT =25 meV: a temperatura ambiente accettori e donori giocano un ruolo importante per la conduttività
Energie di ionizzazione
![Page 202: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/202.jpg)
202Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
In un volume di semiconduttore drogato uniformemente la carica globale è
nulla (condizione di neutralità della carica) perché il drogante ionizzato è
compensato dal suo portatore.
Supponendo i droganti completamente ionizzati (ipotesi valida a temperatura
ambiente):
• le cariche positive presenti sono pari alla somma delle lacune, p, e degli ioni
degli atomi donori ND
• le cariche negative invece sono pari alla somma degli elettroni liberi, n, e
degli atomi accettori NA
La condizione di neutralità di carica si traduce in:
Semiconduttore drogato
DA NNnp −=−0)( =−−+ AD NnNpq
![Page 203: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/203.jpg)
203Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Semiconduttore drogato
Ricordando la legge di azione di massa
Questa coppia di equazioni permette di ricavare, nota la quantità di drogante,
la concentrazione dei portatori maggioritari e minoritari effettivamente
disponibili. Si ritrova che p e n dipendono da:
- la quantità netta di drogante, |NA-ND|;
- la concentrazione di portatori intrinseci, ni
2
innp =
DA NNnp −=−
2
2
22i
DADA nNNNN
p +
−+
−=
2
2
22i
ADAD nNNNN
n +
−+
−=
![Page 204: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/204.jpg)
204Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Semiconduttore drogato
Se il materiale è drogato in modo significativo con un ben definito elemento
La densità di portatori maggioritari corrisponde praticamente alla densitàdi drogante, e la densità dei portatori minoritari segue la legge di azione di
massa.
Nella pratica costruttiva dei dispositivi elettronici si è quasi sempre in questa
situazione, essendo i livelli di drogaggio normalmente utilizzati pari a 1014-1018
[atomi/cm3] contro un valore di ni=1.4×1010 [atomi/cm3]
iDA nNN >− ||
DA NN >>
AD NN >>
ANp ≅
DNn ≅
A
i
N
nn
2
≅
D
i
N
np
2
≅
Semiconduttore tipo p
Semiconduttore tipo n
![Page 205: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/205.jpg)
205Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
edn en µσ =
con un drogaggio di tipo “n”, la conducibilità è dovuta praticamente solo alla densità Nd dei donori
con un drogaggio di tipo “p”, la conducibilità è dovuta praticamente solo alla densità Na degli accettori
hap en µσ =
Semiconduttore drogato: conducibilità
![Page 206: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/206.jpg)
206Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Semiconduttore drogato
![Page 207: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/207.jpg)
207Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Allo zero assoluto tutte le impurezze sono neutre
(non ionizzate).
Quindi tutti i livelli di donore sono pieni e, per
definizione, il livello di Fermi deve stare allo
stesso livello o sopra all’ultimo livello
occupato. Esso, perciò, starà tra ED e CB.
Semiconduttore drogato: livello di Fermi
Per gli accettori avviene il simmetrico. Allo zero
assoluto EF sta tra il livello accettore e VB.
Al crescere della temperatura il livello di
Fermi si porta alla metà del gap.
A temperature non troppo alte, il livello di Fermi starà sempre nel gap, ma vicino alla banda di conduzione nel tipo n, vicino alla banda di valenza nel tipo p
![Page 208: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/208.jpg)
208Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Giunzione pn
Dall’unione di un semiconduttore di tipo N e uno di tipo P nasce la così detta
giunzione PN. Per diffusione, le lacune presenti nel cristallo P tendono a
spostarsi in quello N, e viceversa gli elettroni: in prossimità della giunzione si
forma così un sottile strato isolante chiamato regione di svuotamento.
Le giunzioni PN sono comunemente usate come diodi: interruttori elettronici
che permettono un flusso di corrente in una direzione ma non in quella
opposta. Nel caso del diodo, applicando una polarizzazione diretta ai capi
della giunzione si osserva il passaggio della corrente.
![Page 209: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/209.jpg)
209Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Giunzione pn
I due livelli di Fermi non coincidono.
Se ora li portiamo a contatto il livello di Fermi del sistema deve divenire unico,
cioè ci sarà un travaso di elettroni dalla regione dove EF è più alto (n) a quello
dove è più basso (p). Viceversa per le lacune, che andranno da p a n.
Per cui all’interfaccia si formano due zone ove sono presenti solo cariche fisse
(ioni) e non portatori liberi. Tale zona di larghezza do si chiama zona svuotata o di carica spaziale.
![Page 210: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/210.jpg)
210Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Giunzione pn
![Page 211: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/211.jpg)
211Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Giunzione pn
Polarizzazione diretta
Applicando una d.d.p. positiva al semiconduttore di tipo P le lacune vengono
respinte, e si dirigono verso la zona di svuotamento. Analogamente fanno gli
elettroni nel semiconduttore N. La zona di svuotamento si assottiglia, fino a
che, in corrispondenza di una tensione di soglia Vs, si riempie completamente
ed una corrente comincia a scorrere nel diodo.
![Page 212: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/212.jpg)
212Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Giunzione pn
Polarizzazione inversa
Se invece la differenza di potenziale positiva viene applicata al semiconduttore
N, allora elettroni e lacune si allontanano ulteriormente dalla zona di
svuotamento, che si ispessisce: il diodo rimane isolante, a meno di una
piccola corrente detta corrente oscura.
![Page 213: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/213.jpg)
213Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
La curva caratteristica di un diodo è descritta dalla seguente relazione:
• la quantità I0 corrisponde alla corrente che si ottiene per una forte
polarizzazione inversa: è la corrente oscura del diodo. E’ dell’ordine del mA
• la presenza del fattore KT mostra come la conduzione del diodo sia un
fenomeno dipendente dalla temperatura: se T aumenta, l’esponenziale
diminuisce, e quindi la corrente aumenta: infatti cresce il numero dei
portatori in grado di staccarsi dal reticolo. A temperatura ambiente,
KT/e=1/40 Volt
• il coefficente η dipende dalle caratteristiche del materiale: nel diodo al
silicio, vale circa 2.
Giunzione pn
Curva caratteristica
−= 10
KT
eV
eII η
![Page 214: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/214.jpg)
214Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
L’espressione completa della corrente di un diodo è:
V > 0 (p+, n-) = polarizzazione diretta
V < 0 (p-, n+) = polarizzazione inversa
Giunzione pn
Curva caratteristica
−= 10
KT
eV
eII η
![Page 215: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/215.jpg)
215Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
ν
è
é
Diodi
Diodi emettitori di luce (LED - Light Emitting diode)
νh=gapE
![Page 216: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/216.jpg)
216Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Diodi
Diodi emettitori di luce (LED - Light Emitting diode)
νh=gapE
AlInGaP AlInGaN
Rosso-giallo Verde-blu
![Page 217: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/217.jpg)
217Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
" #$%
&
ò
Diodi
Celle fotovoltaiche
![Page 218: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/218.jpg)
218Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Diodi
Celle fotovoltaiche
Il principio di funzionamento su cui si
basa una cella fotovoltaica è l’effetto
fotoelettrico.
L’assorbimento della radiazione solare è
strettamente legato al semiconduttore. Ogni
semiconduttore assorbe una specifica parte
dello spettro solare in dipendenza dall’energy
gap.
SILICIO
Efficienza 10-17%
CELLE MULTIGIUNZIONE AD ALTA EFFICIENZA
I semiconduttori più utilizzati sono: InGaP, GaAs, Ge Fonte CESI
![Page 219: Corso di Fisica Moderna](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022051103/589edb521a28ab96498bfdb3/html5/thumbnails/219.jpg)
219Sara Padovani Fisica Moderna 2009/2010
Sara Padovani
Centro Ricerche Plast-optica S.p.A.
Via J. Linussio 1, Amaro (UD)
0433 487 522