Download - CORRIENTE TRANSITORIA Y INDUCTANCIA
Corrientes transitorias e inductancia
Presentación PowerPoint de
Paul E. Tippens, Profesor de Física
Southern Polytechnic State University
Objetivos: Después de completar este módulo deberá:
• Definir y calcular la inductancia en términos de una corriente variable.
• Discutir y resolver problemas que involucran aumento y reducción de corriente en capacitores e inductores.
• Calcular la energía almacenada en un inductor y encontrar la densidad de energía.
Autoinductancia
R
I creciente
Considere una bobina conectada a una resistencia R y voltaje V. Cuando se cierra el interruptor, el aumento de corriente I aumenta el flujo, lo que produce una fuerza contraelectromotriz interna en la bobina. El interruptor abierto invierte la fem.
R
I decrecienteLey de Lenz:
La fcem (flecha roja) debe
oponerse al cambio en
flujo:
Inductancia
La fuerza contraelectromotriz (fcem) E inducida en
una bobina es proporcional a la tasa de cambio de la corriente DI/Dt.
Una inductancia de un henry (H) significa que el cambio de corriente a la tasa de un ampere por segundo inducirá una fcem de un volt.
R
Di/ Dt creciente
1 V1 H
1 A/s
; inductancei
L Lt
D
DE inductancia
Ejemplo 1: Una bobina de 20 vueltas tiene una fem inducida de 4 mV cuando la corriente cambia a la tasa de 2 A/s. ¿Cuál es la inductancia?
; /
iL L
t i t
D
D D D
EE
( 0.004 V)
2 A/sL
L = 2.00 mH
Nota: Se sigue la práctica de usar i minúscula para corriente variable o transitoria e Imayúscula para corriente estacionaria.
R
Di/ Dt = 2 A/s
4 mV
Cálculo de inductancia
Recuerde dos formas de encontrar E:
iL
t
D
DEN
t
D
DE
Al igualar estos términos se obtiene:
iN L
t t
D D
D D
Por tanto, la inductancia L se puede encontrar de:
NL
I
Di/ Dt creciente
R
Inductancia L
Inductancia de un solenoide
El campo B que crea una corriente I para longitud l es:
0NIB
y = BA
0 NIA N
LI
Al combinar las últimas dos ecuaciones se obtiene:
2
0N AL
R
Inductancia L
lB
Solenoide
Ejemplo 2: Un solenoide de 0.002 m2 de área y 30 cm de longitud tiene 100 vueltas. Si la corriente aumenta de 0 a 2 A en 0.1 s, ¿cuál es la inductancia del solenoide?
Primero se encuentra la inductancia del solenoide:
-7 2 22 T m0 A
(4 x 10 )(100) (0.002 m )
0.300 m
N AL
R
l
A
L = 8.38 x 10-5 H
Nota: L NO depende de la corriente, sino de parámetros físicos de la bobina.
Ejemplo 2 (Cont.): Si la corriente en el solenoide de 83.8 H aumentó de 0 a 2 A en 0.1 s, ¿cuál es la fem inducida?
R
l
A
L = 8.38 x 10-5 H
iL
t
D
DE
-5(8.38 x 10 H)(2 A - 0)
0.100 s
E 1.68 mV E
Energía almacenada en un inductor
En un instante cuando la corriente cambia a Di/Dt, se tiene:
; i i
L P i Lit t
D D
D DE E
Dado que la potencia P = trabajo/t, Trabajo = P Dt. Además, el valor promedio de Li es Li/2 durante el aumento a la corriente final I. Por tanto, la energía total almacenada es:
Energía potencial almacenada en
inductor:
212
U Li
R
Ejemplo 3: ¿Cuál es la energía potencial almacenada en un inductor de 0.3 H si la corriente se eleva de 0 a un valor final de 2 A?
212
U Li
212
(0.3 H)(2 A) 0.600 JU
U = 0.600 J
Esta energía es igual al trabajo realizado al llegar a la corriente final I; se devuelve cuando la corriente disminuye a cero.
L = 0.3 H
I = 2 A
R
Densidad de energía (opcional)
R
l
A
La densidad de energía u es la energía U por unidad de volumen V
220 1
2; ;
N AL U LI V A
Al sustituir se obtiene u = U/V :
2 2
0
2201
2
2;
N AI
N A UU I u
V A
2 2
0
22
N Iu
Densidad de energía (continúa)
R
l
A
2 2
0
22
N Iu
Densidad de energía:
Recuerde la fórmula para el campo B:
0
0
NI NI B
B
2 2
0 0
2
02 2
NI Bu
2
02
Bu
Ejemplo 4: La corriente estacionaria final en un solenoide de 40 vueltas y 20 cm de longitud es 5 A. ¿Cuál es la densidad de energía?
R
l
A
-7
0 (4 x 10 )(40)(5 A)
0.200 m
NIB
B = 1.26 mT
2 -3 2
-7 T m0 A
(1.26 x 10 T)
2 2(4 x 10 )
Bu
u = 0.268 J/m3
La densidad de energía es importante para el estudio de las ondas electromagnéticas.
El circuito R-L
R
L
S2
S1
V
E
Un inductor L y un resistor R se conectan en serie y el interruptor 1 se cierra:
iV – E = iR
iL
t
D
DE
iV L iR
t
D
D
Inicialmente, Di/Dt es grande, lo que hace grande la fcem y la corriente i pequeña. La corriente aumenta a su valor máximo I cuando la tasa de cambio es cero.
Aumento de corriente en L
( / )(1 )R L tVi e
R
En t = 0, I = 0
En t = , I = V/R
Constante de tiempo t:
L
Rt
En un inductor, la corriente subirá a 63% de su valor máximo en una constante de tiempo t = L/R.
Tiempo, t
I
i
Aumento de corriente
t
0.63 I
Reducción R-L
R
L
S2
S1
V
Ahora suponga que S2 se cierra después de que hay energía en el inductor:
E = iRi
Lt
D
DE
iL iR
t
D
D
Inicialmente, Di/Dt es grande y la fem E que activa
la corriente está en su valor máximo I. la corriente se reduce a cero cuando la fem se quita.
Para reducción de corriente en L:
E
i
Reducción de corriente en L
( / )R L tVi e
R
En t = 0, i = V/R
En t = , i = 0
Constante de tiempo t:
L
Rt
En un inductor, la corriente se reducirá a 37% de
su valor máximo en una constante de tiempo t.
Tiempo, t
I
i
Reducción de corriente
t
0.37 I
Ejemplo 5: El circuito siguiente tiene un inductor de 40 mH conectado a un resistor de 5 W y una batería de 16 V. ¿Cuál es la constante de tiempo y la corriente después de una constante de tiempo?
5 W
L = 0.04 H
16 V
R
0.040 H
5
L
Rt
W
Constante de tiempo: t = 8 ms
( / )(1 )R L tVi e
R
Después del tiempo t:
i = 0.63(V/R)
16V0.63
5i
W i = 2.02 A
El circuito R-C
RC
S2
S1
V
E
Cierre S1. Entonces, conforme la carga Q se acumula en el capacitor C, resulta una fcem E:
iV – E = iR
Q
CE
QV iR
C
Inicialmente, Q/C es pequeño, lo que hace pequeña la fcem y la corriente i es un máximo I.Conforme la carga Q se acumula, la corriente se reduce a cero cuando Eb = V.
Aumento de carga
t = 0, Q = 0, I = V/R
t = , i = 0, Qm = C V
Constante de tiempo t:
RCt
En un capacitor, la carga Qaumentará a 63% de su valor máximo en una
constante de tiempo t.
QV iR
C
/(1 )t RCQ CV e
Desde luego, conforme la carga aumenta, la corriente i se reducirá.
Tiempo, t
Qmax
q
Aumento de carga
Capacitor
t
0.63 I
Reducción de corriente en C
/t RCVi e
R
En t = 0, i = V/R
En t = , i = 0
Constante de tiempo t:
RCt
La corriente se reducirá a 37% de su valor máximo en una constante de tiempo t; la carga aumenta.
Tiempo, t
I
i
Reducción de corriente
Capacitor
t
0.37 I
Conforme aumenta la carga Q
Descarga R-CAhora suponga que se cierra S2 y se permite la descarga de C:
E = iRQ
CE
QiR
C
Inicialmente, Q es grande y la fem E que activa la
corriente está en su valor máximo I. La corriente se reduce a cero cuando la fem se quita.
Para reducción de corriente en L:
RS2
S1
V
i
C
E
Reducción de corriente
En t = 0, I = V/R
En t = , I = 0
En un capacitor que se descarga, tanto corriente como carga se reducen a 37% de sus valores máximos en una constante de tiempo t = RC.
/t RCVi e
R
RCt
Conforme la corriente se reduce, la carga también se reduce:
/t RCQ CVe
Tiempo, t
Ii
Current Decay
Capacitor
t
0.37 IReducción de corriente
Ejemplo 6: El circuito siguiente tiene un capacitor de 4 F conectado a un resistor de 3 W y una batería de 12 V. El interruptor está abierto. ¿Cuál es la corriente después de una constante de tiempo t?
Constante de tiempo: t = 12 s
/(1 )t RCVi e
R
Después del tiempo t:
i = 0.63(V/R)
12V0.63
3i
W i = 2.52 A
3 W
C = 4 F
12 V
R
t = RC = (3 W)(4 F)
Resumen
R
l
A
NL
I
2
0N AL
Energía potencial,densidad de energía:
212
U Li2
02
Bu
; inductancei
L Lt
D
DE inductancia
Resumen
( / )(1 )R L tVi e
R
L
Rt
En un inductor, la corriente aumentará a 63% de su valor máximo en una constante de tiempo t = L/R.
Tiempo, t
Ii
Aumento de corriente
t
0.63I
Inductor
La corriente inicial es cero debido al rápido cambio de corriente en la bobina. Eventualmente, la fem inducida se vuelve cero, lo que resulta en la corriente máxima V/R.
Resumen (Cont.)
( / )R L tVi e
R
La corriente se reducirá a 37% de su valor
máximo en una constante de tiempo t = L/R.
La corriente inicial, I = V/R, se reduce a cero conforme se disipa la fem en la bobina.
Tiempo, t
Ii
Current Decay
t
0.37I
Inductor
Reducción de corriente
Resumen (Cont.)Cuando se carga un capacitor, la carga se eleva a 63% de su máximo mientras la corriente disminuye a 37% de su valor máximo.
Tiempo, t
Qmax
q
Aumento de carga
Capacitor
t
0.63 I
/(1 )t RCQ CV e RCt
/t RCVi e
R
Tiempo, t
Ii
Current Decay
Capacitor
t
0.37 I
Reducción de carga