Contact et frottement en mise en forme
A. Introduction :
Dans de nombreux systèmes mécaniques, les liaisons
mécaniques, les transmissions des efforts, les procédés
de transformation des matériaux (emboutissage,
découpage, usinage, forgeage), sont assurés par des
conditions de contact.
Le contact peut avoir lieu entre des solides déformables
ou entre solides déformables et contacteurs rigides.
B. Exemples :
1 - Forgeage 3D d’un cardon
Higher punch
Wokpiece
Die
Lower punch
2 - Découpage des tôles
Poin
çon
3 - Emboutissage des tôles
Tôle déformableMatrice rigide
Poinçon rigide
Serre-flanc rigide
4 - Matriçage d ’une bielle Lopin déformable
Outil rigide
( , , )Rigide
Déformable
1t
cn
C
M
h
2
1
2t
C. Cinématique du mouvement
Repère local au point de contact
cn
1t
2t
2u1u
Déplacement du solide 1
Déplacement de l’outil 2
Déplacement des obstacles
Gestion de contact
h1 h2h3
Points tangents
Points intérieurs Points tangents
Projection orthogonale sur la surface
Obstacle
Obstacle
CiblePoint tangent
tc
n un.uu
cn n.uu
c21 n.uuh
cnt n.uuu
Vecteur déplacement Déplacement normal Déplacement tangentiel
tc
n Rn.RR
cn n.RR
c
nt n.RRR
Vecteur réaction Réaction normale Réaction tangentielle
Distance entre pièce 1 et pièce 2
cn.R
Contrainte normale de la pièce déformable
D. Contact unilatéral et bilatéral
Contact peut avoir lieu :1. Entre solide déformable et contacteur rigide2. Entre deux solides déformables3. Entre deux parties du même solide
Contact peut être :1. Purement glissant (sans frottement)2. Avec frottement
Contact est :1. Bilatéral (zone de contact reste fixe au cours de la déformation)2. Unilatéral (zone de contact varie au cours de la déformation)
)rifiantlubouglissant(0(sec)1
1. Contact bilatéral :
Le contact est bilatéral si la condition de contact suivante est maintenue :
0n.uuh c12
2. Contact unilatéral (ou de SIGNIORI) :Les deux solides sont libres de se décoller si les réactions extérieuresvont dans ce sens (perte de contact) :
0hR0R0n.uuh nnc
21
1. Impénétrabilité : condition de contact cinématique
2. Non adhésion : condition de contact statique, le point M ne doit pascoller au solide (réaction toujours positive)
3. Non contact : condition de décollement cinématique, le point M setrouve à l’extérieur du solide décollement
0h
0R0h n
0R0h n
E. Lois de frottement
1. Loi de Coulomb
: coefficient de frottement de Coulomb entre la cible et le contacteur
nt RR
t
tnt u
uRR
Remarque : Il existe un seuil de déclenchement d’un phénomène irréversible
0u t
si glissement
0u t
si adhérence
nt RR
1,0 22t2
1tt RRR
tR
tu
nRglissement
adhérence
nR glissement
tR
tu
y : Contrainte d’écoulement et coefficient de Tresca
2. Loi de Tresca
3. Loi de Coulomb-Orowan
t
t
Py
t
tnt u
u3
m,uuRMinR
t
tt u
u3
mR
: Contrainte équivalent de von - Mises
4. Loi de Critescu
t
tP
yt u
u3
mR
1,0m
ntt R)u(fR
Remarque :1. Fonction de régularisation f(u) (discontinuité du déplacement au voisinage de 0)
1uf tulimt
avec
5. Loi de Norton-Hoff ptt uR
1p0 et est le coefficient de frottement de Norton-Hoff (en Pa)
0
tt u
uarctan2)u(f
Exemple de fonction de régularisation :
2. Loi de Norton-Hoff est très pratique pour les calculs enviscoplasticité
3. Loi de Coulomb-Orowan est difficile d’emploi, elle dépend de Rnet de la déformation plastique cumulée (inconnues du problème)
4. Loi de Tresca se prête bien aux calculs simples de plasticité
5. Loi de Critescu se prête bien aux matériaux écrouissables
6. Loi de Coulomb se prête bien aux calculs simples d’élasticitéisotrope
F. Équilibre des solides
Corps rigide (contacteur)
Corps déformable
cn t
u
sf
u
Surface de contactc
M
1
2
cc
s
c
u
v
surRn.surfn.sur0hsuruusur0fdiv
a. Équations d’équilibre (contact solide déformable – outil rigide):
b. Action de contact sans frottement :
V
sV
vsolide dSu.fdVu.fdV:21W
Action des efforts de outil 2 sur le solide 1
cc
dSnRdSn.n.Rf cn
cccont
Equilibre du solide 1 sans contact :
Travail des actions de contact sur le solide 1
c
dSu.fW ncontcont
cc12n n.n.uuu
c. Action de contact avec frottement
Action des efforts du contacteur 2 sur le solide 1
c
dSRnRf tc
ncont
Travail des actions de contact sur le solide 1
c
dSu.Ru.nRW ttnc
ncont
cn12t n.uuuu
contV
sV
vsolide WdSu.fdVu.fdV:21W
Equilibre du solide 1 avec contact + frottement
G. Discrétisation par éléments finis de l’équilibre
:C Loi de comportement
uB
u N u k
interpolation des déformations
interpolation des déplacements
FuuKu
21W TT
solide
sous forme matricielle
K B C BdVT
V
dSfNdVfNF sT
Vv
T Matrice de rigidité
Vecteur efforts extérieures
contV
sV
vsolide WdSu.fdVu.fdV:21W
contact0uGn.n.uuhéquilibre0Wdiv
nTcc
12
solide
L’équilibre du système avec contact revient à minimiser l’équation de l ’énergie sous la contrainte suivante:
1. Méthode de pénalisation
2. Méthode de multiplicateur de Lagrange
3. Méthode du lagrangien augmenté
4. Méthode du lagrangien perturbé
Méthodes de résolution du contact :
H. Gestion numérique du contact
1. Un tri des noeuds esclaves (appartenant au solide déformable)susceptibles d’être en contact
2. Chaque nœud esclave sélectionné est projeté orthogonalement sur lesfacettes de la surface maîtresse (obstacle)
3. Les fonctions de forme et les normales extérieuresdes obstacles sont utilisées pour déterminer la position du point P
4. La position relative h du nœud esclave et sa projection orthogonalesont données par :
Node
1k
kkc
Node
1k
kCP nhX,NhnXX
PX
,Nk cn
h
cX
5. Le point est jugé concerné par la facette de l ’obstacle si la distance hpar rapport aux autres facettes est minimale :
11 1 D : +1-1
)hmin(h i
6. La position du point concerné sur la facette est calculé par ses coordonnées dans le repère de référence :
11et11
2 D :Quadrangle
+1
+1
-1
-1
,
7. Le point est concerné par la facette si :
8. La position par rapport à cette facette est déterminée par le signe de h
1. h = 0 point tangent2. h > 0 pénétration 3. h <0 pas contact
9. Pour chaque point on connaît :a. distance au contacteur : hb. position de son projeté sur la surface du contacteur
c. normale de son projeté
d. déplacement à imposer :
110et10et10
Triangle
+1
+1
Node
1k
kk n,N
,
Node
1k
ckk n,Nhu
1. Méthode de pénalisation :Il faut traduire la condition de non-pénétration h = 0 pour calculer lesdéplacements de contact. La méthode est de remplacer le problème aveccontrainte par la résolution d’une suite de problème sans fonctioncontrainte en introduisant la notion de multiplicateurs de pénalité. Cetteméthode consiste à ajouter un terme très grand à l’expression del’énergie du système
uFuGGu2
uKu21uW TTT
solide
FuGGKu
W0W Tsolide
FuGGK T
J. Méthodes de résolution du contact
contact0uGn.n.uuhéquilibre0Wdiv
nTcc
12
solide
2. méthode des multiplicateurs de Lagrange :
L’inconvénient de la méthode de pénalisation est que la solution dépenddu choix du coefficient de pénalisation . La méthode desmultiplicateurs de Lagrange peut palier à ce problème en introduisantune inconnue l avec un sens physique. Contrairement à la méthodedes pénalisation, la taille du problème est augmentée dans cetteméthode.
uFuGuKu21,uW TTT
solide ll
l
l
l0uG
FGuK
0W
0u
W
0),u(W Tsolide
l
0Fu
0GGK
T
3. méthode du lagrangien perturbé :Pour éviter les problèmes de zéro sur la diagonale de la matrice deraideur, on a remplacé la contrainte de la méthode des multiplicateurs de
Lagrange par
uF21uGuKu
21,uW TTTT
solide ll
ll
021uG T l
0uG T
l
l
l
l 01uG
FGuK
0W
0u
W
0,uW Tsolide
l
0
Fu1GGK
T
ll
l
l
l kTk1k
kkT
solide uGFGuGGK
0W
0uW
0),u(W
4. méthode du lagrangien augmenté :1 - La solution (ou précision) dépend directement du coefficient dansla méthode du Lagrangien perturbé et de pénalisation.2 - La méthode des multiplicateurs de Lagrange fournit une solutionexacte mais la taille du système du problème augmente.3 - La présence de zéros sur la diagonale des matrices nécessite desprécautions numériques.4 - La méthode lagrangien augmenté peut être comme une techniquerestant simple et permettant de minimiser les inconvénients précédents.
uFuGGu2
uGuKu21,uW TTTTT
solide
ll