Download - consolidacion sucesos
2010 www.entretencionx1000.cl
Probabilidad de
Sucesos
Nivel de Consolidación
Probabilidad de sucesos
Nivel de consolidación
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
2
Probabilidad de sucesos
Nivel de consolidación
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
3
1. Cuál es la probabilidad de que al sacar una carta al azar de un
naipe ingles de 52 cartas esta sea el as de corazones, sabiendo ya
que la carta extraída es de corazones.
Sol.
Usamos P(A/B) = P ((A B)/P (B)) Así:
Debemos obtener la probabilidad de que salga un as de
corazón y esa es
Y la probabilidad de que la carta sea de corazón es de , luego
P(A B) = entonces
P(As/corazón) = P ((as corazones)/P (corazón)) = / =
2. Para obtener licencia de conducir, es necesario aprobar tanto el
examen teórico como el práctico. Se sabe que la probabilidad. que
un alumno apruebe la parte teórica es 0,68, la de que apruebe la
parte práctica es 0,72 y la de que haya aprobado alguna de las dos
partes es 0,82. Si se elige un alumno al azar, ¿cuál es la
probabilidad. de que apruebe el examen para obtener licencia?
Sol.
Determinemos los sucesos que están en dentro de este
problemas
Sea:
A = Aprobar examen teórico = P (A) = 0,68
B = Aprobar examen práctico = P (B) = 0,72
Para poder responder a nuestra interrogante de obtener licencia
debemos encontrar la probabilidad de aprobar el examen teórico y
el examen práctico P(A y B) = P(A B), para hacerlo y así ocupar
todos los datos existentes usaremos la formula
Probabilidad de sucesos
Nivel de consolidación
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
4
P(A B) = P(A) + P (B) - P(A B), Despejando obtenemos
P (A B) = P (A) + P (B) – P (A B)
P(A B) = 0,68 + 0,72 – 0,82 = 0, 58, podemos afirmar que
58% obtiene licencia
3. Un equipo de futbol consta de 11 posiciones se debe escoger una posición de entre 3 escogidas al azar. Si un jugador ha entrenado
en 5 posiciones distintas. ¿Cuál es la probabilidad de que al jugador en el partido le toque jugar al menos en una de las
posiciones que entrenó?
Sol. Sea el suceso J: de que al jugador le toque jugar en al menos
una posición de las que entrenó
Para encontrar nuestro espacio muestral usamos la siguiente
combinatoria
Y la probabilidad deseada será
P (J) = 1 – P ( ) = 1 – = 1 - = 1 - =
4. La probabilidad de resolver correctamente un ejercicio de matemáticas por cualquiera de dos métodos existentes para ello es de un 0,45. La de resolver el problema por el primer método es de
0,40 y por el segundo de 30% ¿La resolución de los dos métodos es independiente?
Sol.
Los suceso son: P(A) = 0,40 P (B) = 0,30 Y P(A B) = 0,45
Probabilidad de sucesos
Nivel de consolidación
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
5
Para calcular si sus sucesos son independientes debemos analizar la intersección A B para esto utilizamos la formula de la unión
P(A B) = P(A) + P (B) – P(A B) despejando
P(A B) = P(A) + P (B) - P(A B) reemplazando obtenemos que
P(A B) = 0,40 + 0,30 – 0,45 = 0,25 pero poder decir si los
sucesos son independientes debemos comparar que P(A B) = P(A) ·
P (B) así
P(A) · P (B) = 0,40 · 0,30 = 0,12 ahora podemos decir que ambos sucesos no son independientes ya que P(A B) P(A) · P (B)
, 0,12 0,25
5. La prevalencia de la diabetes es del 4%. La glucemia basal
diagnóstica correctamente el 95% de los diabéticos, pero da un 2% de falsos positivos. Diagnosticada una persona
¿Cuál es la probabilidad de que realmente sea diabética?
Sol. Los sucesos son A = tener diabetes, B = dar positivo en la glucemia basal y de estos podemos obtener = no tener diabetes,
y los datos que nos dan son
P (A) = 0, 04 P ( ) = 0, 96 P (B/A) = 0, 95 P (B/ ) =
0, 02
Para responder nuestra interrogante nos ayudamos de bayes
esto nos quedaría
P(A/B) = reemplazando los datos en
esta formula
P (A/B) = = = 0,664
Probabilidad de sucesos
Nivel de consolidación
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
6
6. D. En un colegio se realiza una estadística sobre los alumnos aprobados y reprobados por sexo dando el siguiente resultado.
Aprobados hombres = 50 Aprobados mujeres = 60
Reprobados hombres = 50 Reprobados mujeres = 40
Cuál es la probabilidad si al sacar un alumno al azar este sea hombre y este aprobado.
Sol.
Sean A = alumnos aprobados y H = alumno hombre así tendremos la probabilidad condicionada A respecto de H por lo que usamos.
P (H/A) = = =
7. Analicemos estos sucesos:
A = la probabilidad que este lloviendo es de un 0,4 B = la probabilidad de sacar par en un dado es de 0,5
P(A B) = 0,2
Determine si estos sucesos son independientes:
Sol.
Para determinar si estos sucesos son independientes debemos que cumpla al menos una de las siguientes condiciones:
P(A/B) = = = 0,4 que es igual a P(A) =
P(A/B),cumple
P(B/A) = = = 0,5 que es igual a P(B) = P(B/A),
cumple
Probabilidad de sucesos
Nivel de consolidación
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
7
P(A B) = P(A) · P(B) = 0,4 · 0,5 = 0,2 que es igual a P(A
B), cumple
Por lo tanto estos sucesos A y B son independientes.
8. ¿Cuál es la probabilidad de acertar en el centro de un tiro al blanco si se tienen 3 dardos y la probabilidad de acertar en el centro con cada uno de los dardos es de un 20%?
Sol. Lo primero que debemos hacer es identificar nuestros sucesos en este caso son
A = Acertar con el primer dardo B = Acertar con el segundo dardo
C = Acertar con el tercer dardo
Y el principal que debemos encontrar D = Acertar en alguno de los 3 lanzamientos
Recogiendo los datos entregados podemos decir lo siguiente que
P(A) = P (B) = P(C) = 0,2 y por consiguiente sus complementos serían
P ( ) = P ( ) = P ( ) = 0, 8 como los complementos de estos
sucesos son independientes entre sí y no así los mismos sucesos podemos decir que
( ) = ( ) ( ) ( ) luego
P ( ) = P (( ) ( ) ( )) = P ( ) · ( ) · ( ) = 0, 8 · 0, 8 ·0, 8 =
0,512
Ahora podemos encontrar la probabilidad pedida a través de P (D) = 1 – P ( ) lo que da
P (D) = 1 – 0,512 = 0,488
Probabilidad de sucesos
Nivel de consolidación
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
8
9. Sea un experimento aleatorio de lanzar un dado dos veces ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número impar en el segundo
lanzamiento siempre que en el primer lanzamiento haya salido un número par?
Sol.
Determinemos los sucesos: A = obtener un número par en el primer lanzamiento B = obtener un número impar en el segundo lanzamiento
La probabilidad del suceso A P(A) = y la probabilidad del
suceso B P (B) = =
Lo que nos da que P(A) = P (B) como esta es una probabilidad condicionada debemos encontrarla con P (B/A) y como la P(A B) =
reemplazamos obteniendo
P (B/A) = = =
10. Sean los sucesos A, B, C donde A B C = y A B = A
C = B C. Sabiendo que P(A) = y P (B) = Hallar la P(C).
Sol. Se sabe que P ( ) = 1 y podemos expresar esta probabilidad en
función de los tres sucesos antes mencionados, así tenemos la
siguiente expresión.
P ( ) = 1 = P(A B C ) =
P(A) + P(B) + P(C) – P(A B) - P(A C) - P(B C) + P(A B C)
= + + P(C) - 2· (A B) ya que
Probabilidad de sucesos
Nivel de consolidación
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
9
P(A B C) = P(A (B C))
= P(A (A B)=P(A B)
Reemplazando tenemos:
P ( ) = + + P(C) - 2· (A B) =
1 = + + P(C) - 2· (A B) = P(C) = 2· (A B) +
11. Sean 3 caballos C1 , C2 , C3, compiten en una carrera donde
los sucesos son 1.- El C1 le gana a C2 está dado por AB 2.- el C1 le gana a C2, el cual vence a C3, esta dado por ABC y así
sucesivamente con todas las permutaciones posibles y tenemos que P(AB) = 2/3 , P(AC) = 2/3 , P(BC) =1/2, también tenemos que P(ABC) = P(ACB) = P(BAC) = P(BCA) = P(CAB) = P(CBA).
Calcular a) P (C1 gane) b) P (C2 gane) c) P (C3 gane)
Sol. Como en esta carrera no existen los empates. Nuestro espacio
muestral será:
= {ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA} = 6
Tomando los datos entregados en el enunciado tomemos los sucesos
y sus probabilidades y tenemos.
AB = {ABC, ACB, CAB} AC = {ABC, ACB, BAC} BC = {ABC, BAC, BCA}
Ahora las probabilidades de los elementos elementales son:
P ({ABC}) = P ({ACB}) = P1 P ({BAC}) = P ({BCA}) = P2 P ({CAB}) = P ({CBA}) = P3
De esto obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones
Probabilidad de sucesos
Nivel de consolidación
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
10
P (AB) = 2·P1 + P3 = 2/3
P (AC) = 2·P1 + P2 = 2/3 P (BC) = 2·P2 + P1 = 1/2
De este sistema tenemos que P1 = 5/18, que P2 = 1/9, y P3 = 1/9 y nuestra solución es la siguiente:
P (C1 gane) = P ({ABC, ACB}) = 2 · P1 = 2 · =
P (C2 gane) = P ({BAC, BCA}) = 2 · P2 = 2 · =
P (C3 gane) = P ({CAB, CBA}) = 2 · P3 = 2 · =
12. Sean A, B y C tres sucesos pertenecientes a un determinado
espacio muestral, y sean los sucesos M =
Calcular las probabilidades de M sabiendo que P(A) = 0,7, P (B) =0,6, P(C) = 0,5,
P(A B) = 0,45, P(A C) = 0,35, P (B C) = 0,25 y P(A B C) =
0,15.
Sol.
Usando propiedades de sucesos calculamos
P (M) = P ( ) = P ( ) = P ( )
= P (A) – P ( ) = P (A) – P ( )
= P (A) – P ( ) – P ( ) + P ( )
= P (A) – P ( ) – P ( ) + P ( )
P (M) = 0, 7 – 0, 45 – 0, 35 + 0, 15 = 0, 05
13. La probabilidad de que un kilo de carne provenga de una carnicería X es de un 0,7 y la probabilidad que provenga de una
carnicería Y es de un 0,3. Si sabemos que la carnicería X produce un 4 por mil kilos de carne en mal estado mientras que la carnicería Y lo hace en un 8 por mil kilos de carne en mal estado.
Probabilidad de sucesos
Nivel de consolidación
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
11
Si tomamos un kilo de carne en mal estado ¿Cuál es la
probabilidad que provenga de la carnicería Y?
Sol Nuestros datos obtenidos del enunciado serían los siguientes:
Sean: A = kilo de carne en mal estado B = La carne provenga de la carnicería X y su probabilidad es
P (B) = 0,7 C = La carne provenga de la carnicería Y y su probabilidad es
P(C) = 0,3 P(A/B) = 0,004 P(A/C) = 0,008
Luego por el teorema de bayes podemos encontrar.
P (C/A) = =
14. Si una población está compuesta por n + 1 habitantes, si un
poblador le cuenta un secreto a su vecino, quien se lo cuenta a otro
vecino. En cada paso se elige al azar a quien le cuentan el secreto de entre n pobladores. Determinar la probabilidad de que el secreto
corra x veces sin regresar al primer poblador que conto el secreto.
Sol. Para comenzar digamos que los pobladores van de 0 hasta n y
supongamos que el poblador que cuenta su secreto es el poblador 0
Sea nuestro suceso A = que el secreto corra x veces sin que
vuelva al poblador que lo inicio, es decir el poblador 0
Representemos cada suceso elemental como
S = { } de esta manera denotamos a con i = 0,……, n
que corresponde a los pobladores por los que pasa el secreto después
que lo transmitió el poblador 0 Ahora nuestro espacio muestral sería
= {S = { } / , }
Probabilidad de sucesos
Nivel de consolidación
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
12
Luego como el secreto no debe regresar al poblador 0
con esto tenemos que
P (A) = =
15. D: De un banco el 5% de quienes tienen tarjeta han pasado ha ser morosos. El banco ha comprobado que la probabilidad de que un cliente normal se atrase en un paso es de 0,2 y la probabilidad
de que un cliente moroso se atrase en un pago es de 1. Si al elegir un cliente al azar ¿Cuál es la probabilidad de que el
cliente se atrase en un pago mensual?
Sol. Determinemos los sucesos A = que el cliente sea moroso
B = que el cliente se haya atrasado en un pago mensual
Como lo que nos piden es P(B), ocupamos la formula de probabilidad total lo que nos daría.
P (B) = P (B/ ) · P ( ) + P (B/A) · P (A) para poder reemplazar
en esta fórmula debemos encontrar el valor de P ( ) el que
encontramos con la siguiente formula.
P ( ) = 1 – P(A) = 1 – 0,05 = 0,95 por lo que
P(A) = 0,2 · 0,95 + 1 · 0,05 = 0,24
16. D: Si M A ¿Cuál es el valor obtenido de P ( )?
Sol. Como M A entonces por consiguiente por tanto
P ( ) = = = 1
Probabilidad de sucesos
Nivel de consolidación
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
13
17. Sea una población en que cada habitante está clasificado
según dos criterios, el primero es si el sujeto es portador o no de la gripe AH1N1. El segundo criterio es si pertenece o no a un grupo
de riesgo (R).Si la probabilidad de que un sujeto pertenezca a un grupo de riesgo es de 0,020 y la probabilidad de que no pertenezca a un grupo de riesgo y sea portador es de AH1N1 es de
0,003. Si al sacra un sujeto al azar y sabemos que este no pertenece a ningún grupo de riesgo ¿Cuál es la probabilidad de que sea portador?
Sol. Identifiquemos los datos entregados, llamemos a los sucesos de la siguiente manera:
A = portador de AH1N1 B = que pertenezca a un grupo de riesgo y su probabilidad es
P (B) = 0,020 A =que sea portador y no pertenezca a un grupo de riesgo
y su probabilidad es P(A ) = 0,003
Como es una probabilidad del suceso A condicionada por
P(A/ ) = , como nos falta P ( ), la podemos encontrar
por la formula del complemento, se decir,
P (B) = 1 – P ( ) y P (B) lo conocemos despejamos P ( ) = 1 – 0,020
= 0,98 ahora reemplazamos
P (A/ ) = = 0, 00306
Probabilidad de sucesos
Nivel de consolidación
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
14
18. D: Se arregla un dado de tal manera que sea dos veces más
probable que salga un número par que uno impar. Si nuestro suceso M es que salga un número menor que 4 en un solo lanzamiento ¿Cuál es la probabilidad de M?
Sol. Como el enunciado nos dice que la probabilidad que salga un número par es el doble de que salga un número impar entonces sea.
X = probabilidad de que salga un número impar
2X = probabilidad de que salga un número par Luego tenemos que si sumamos todas las probabilidades de todos
los números posibles del dado tenemos que la probabilidad de los números impares y pares sería 1 = X, 3 = X, 5 = X, 2 = 2X, 4 = 2X, 6 = 2X y como la suma total de
las probabilidades es 1 tenemos
X+X+X+2X+2X+2X = 1 9X = 1 X = por lo
que de esta manera tenemos las probabilidades de todos los valores, ahora teniendo todos los datos disponibles podemos encontrar el
valor de la probabilidad de M
M = salga un número menor que 4 {1, 2, 3}
Así P (M) = P (1) + P (2) + P (3) =
19. Una bolsa contiene 5 dados los cuales tienen sus caras
BLANCAS Y NEGRAS. Si el dado número i = {1, 2, 3, 4, 5} tiene i caras BLANCAS y el resto NEGRAS. Al seleccionar al azar un dado de la bolsa y luego se lanza y este sale con la cara NEGRA.
Determinar la probabilidad de que el dado seleccionado sea el i
Sol.
Sea nuestro espacio muestral determinado por los siguientes
sucesos
A: es el número de caras blancas del dado que por ende será el
número del dado
Probabilidad de sucesos
Nivel de consolidación
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
15
B: es el color que se obtiene al lanzar el dado
= {(A, B) / A {1, 2, 3, 4, 5} y B {B, N}} es importante decir
que este no es un espacio equiprobable, ya que la probabilidad de
sacar el dado1 y que salga con cara blanca es distinta a la probabilidad de sacar el dado 3 con cara blanca.
Luego la probabilidad pedida será
P(A = i / B = N) = = =
P (A = i / B = N) = = = =
Luego como i = {1, 2, 3, 4, 5} se reemplaza los valores de cada dado
20. En una fábrica de montajes se tienen 3 maquinas P, Q, R, las
cuales cargan los siguientes porcentajes:
P = 30% Q = 45%
R = 25% Se sabe que el porcentaje de productos cargados tienen defectos en un 2%, 3%, 2% por cada máquina. Si se saca un producto ya
cargado al azar ¿Cuál es la probabilidad de que el producto este defectuoso?
Sol.
Denotemos los sucesos sugerentes en el enunciado. D = sacar un producto defectuoso
A = producto cargado por la maquina P B = producto cargado por la maquina Q
C = producto cargado por la maquina R
Probabilidad de sucesos
Nivel de consolidación
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
16
Luego para resolver esta probabilidad ocupamos la propiedad de la
probabilidad total o de eliminación. P (D) = P(A)·P(D/A) + P(B)·P(D/B) + P(C)·P(D/C) como tenemos todos
los datos necesarios reemplazamos
P (D) = 30% · 2% + 45% · 3% + 25% · 2% P (D) = 0,3 · 0,02 + 0,45 · 0,03 + 0,25 · 0,02 = 0,0245
21. Cuál es la probabilidad de que al sacar una carta al azar de
un naipe inglés de 52 cartas esta sea el as de trébol, sabiendo ya
que la carta extraída es de trébol.
Sol.
Usamos P(A/B) = P(A B)/P (B) Así:
Debemos obtener la probabilidad de que salga un as de trébol
y esa es
Y la probabilidad de que la carta sea de trébol es de ,
Luego P(A B) = entonces
P (As/trébol) = P ((As trébol)/P (trébol)) = / =
22. Tenemos una caja con 4 bolitas rojas numeradas del 1 al 4 y
5 bolitas azules numeradas del 1 al 5 ¿Cuál es la probabilidad de
sacar un 1 rojo al azar sabiendo que la bolita sacada ya es roja?
Sol.
Determinemos los sucesos acá indicados
A = obtener una la bolita 1 roja
B = obtener una bolita roja
Probabilidad de sucesos
Nivel de consolidación
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
17
Luego como sabemos la probabilidad del suceso A que es
claramente P(A) =1/9 y la probabilidad de B P(B) = 4/9
Como P(A/B) = necesitamos encontrar P(A B) que no
es más que la misma que la P(A) = 1/9 entonces con todos los
datos reunidos solo reemplazamos
P (A/B) =
23. Al sacar una carta al azar de un naipe español ¿Cuál es la
probabilidad de sacar el caballo de copas sabiendo de ante mano
que la carta sacada es de copas?
Sol.
P(A/B) = ya que estamos en presencia de
una probabilidad condicional
P (A/B) =
24. Al lanzar un dado ¿Cuál es la probabilidad de que salga el
número par 2, si sabemos que el número obtenido es par?
Sol.
Determinemos los sucesos.
Q = que salga el par 2
P(Q) = 1/6
R = que salga un número par
P(R) = 3/6 = 1/2
Como podemos apreciar esta es una probabilidad condicionada,
ya que la probabilidad de Q está condicionada ya por la
probabilidad de R. De esta manera sabemos que la probabilidad a
utilizar será.
Probabilidad de sucesos
Nivel de consolidación
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
18
P (Q/R) = ahora necesitamos encontrar P (Q R) pero
como el 2 es el único que se repite la P (Q R) = 1/6
P (Q/R) =
25. En un cajón de un closet solo hay ropa interior roja y amarilla,
divididas en partes iguales entre calzones, sostenes, bóxer y
calcetines. Si se sabe que en el cajón hay 44 prendas ¿Cuál es la
probabilidad de sacar al azar un bóxer rojo, si ya se sabe que la
prenda sacada es roja?
Sol.
Debemos encontrar primeramente los sucesos que queremos
desarrollar e identificar el tipo de probabilidad que se debe usar.
A = que salga un bóxer rojo
Como el enunciado nos dice que las prendas se dividen en partes
iguales en número y en color la probabilidad P(A) = 5/44
B = que salga una prenda roja y su probabilidad es de 1/2
Como se aprecia claramente esta es una probabilidad
condicional y su fórmula es
P(A/B) = solo falta encontrar P(A B) que es 5/44
P (A/B) =
Probabilidad de sucesos
Nivel de consolidación
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
19
26. Cuál es la probabilidad de que al sacar una carta al azar de
un naipe ingles de 52 cartas esta sea el 2 de pica, sabiendo ya que la
carta extraída es de pica.
Sol.
Usamos P(A/B) = P ((A B)/P (B)) Así:
Debemos obtener la probabilidad de que salga un 2 de pica y
esa es
Y la probabilidad de que la carta sea de pica es de , luego P(A B)
= entonces
P (dos/pica) = P ((dos pica)/P (pica)) = / =
27. La probabilidad de resolver correctamente un ejercicio de matemáticas por cualquiera de dos métodos existentes para ello es
de un 0,45. La de resolver el problema por el primer método es de 0,2 y por el segundo de 50% ¿La resolución de los dos métodos es
independiente?
Sol. Los suceso son: P(A) = 0,2 P (B) = 0,50 Y P(A B) = 0,45
Para calcular si sus sucesos son independientes debemos analizar la intersección A B para esto utilizamos la formula de la unión
P(A B) = P(A) + P (B) – P(A B) despejando
P(A B) = P(A) + P (B) - P(A B) reemplazando obtenemos que
P(A B) = 0,2+ 0,50 – 0,45 = 0,25 pero poder decir si los
sucesos son independientes debemos comparar que P(A B) = P(A) ·
P (B) así
Probabilidad de sucesos
Nivel de consolidación
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
20
P(A) · P (B) = 0,2 · 0,50 = 0,1 ahora podemos decir que ambos
sucesos no son independientes ya que P(A B) P(A) · P (B) ,
0,1 0,25
28. La prevalencia de la diabetes es del 10%. La glucemia basal diagnóstica correctamente el 93% de los diabéticos, pero da un 2% de falsos positivos. Diagnosticada una persona
¿Cuál es la probabilidad de que realmente sea diabética?
Sol. Los sucesos son A = tener diabetes, B = dar positivo en la
glucemia basal y de estos podemos obtener = no tener diabetes,
y los datos que nos dan son
P (A) = 0, 1 P ( ) = 0, 90 P (B/A) = 0, 93
P (B/ ) = 0, 02
Para responder nuestra interrogante nos ayudamos de bayes esto
nos quedaría
P(A/B) = reemplazando los datos en
esta formula
P (A/B) = = = 0,837
29. En un colegio se realiza una estadística sobre los alumnos aprobados y reprobados por sexo dando el siguiente resultado.
Aprobados hombres = 40 Aprobados mujeres = 70 Reprobados hombres = 60 Reprobados mujeres = 30
Cuál es la probabilidad si al sacar un alumno al azar este sea
hombre y este aprobado.
Sol.
Probabilidad de sucesos
Nivel de consolidación
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
21
Sean A = alumnos aprobados y H = alumno hombre así
tendremos la probabilidad condicionada A respecto de H por lo que usamos.
P (H/A) = = =
30. Analicemos estos sucesos:
A = la probabilidad que este lloviendo es de un 0,3 B = la probabilidad de sacar par en un dado es de 0,6 P(A B) = 0,18
Determine si estos sucesos son independientes: Sol.
Para determinar si estos sucesos son independientes tenemos que ver que cumpla al menos una de las siguientes condiciones:
P(A) =P(A/B) = = = 0,3 que es igual a P(A) =
P(A/B),cumple
P(B)=P(B/A) = = = 0,6 que es igual a P(B) =
P(B/A), cumple
P(A B) = P(A) · P(B) = 0,3 · 0,6 = 0,18 que es igual a P(A
B), cumple
Por lo tanto como se cumplen las tres A y B son independientes.
Probabilidad de sucesos
Nivel de consolidación
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
22
31. ¿Cuál es la probabilidad de acertar en el centro de un tiro al
blanco si se tienen 3 dardos y la probabilidad de acertar en el
centro con cada uno de los dardos es de un 30%?
Sol. Lo primero que debemos hacer es identificar nuestros sucesos
en este caso son
A = Acertar con el primer dardo B = Acertar con el segundo dardo C = Acertar con el tercer dardo
Y el principal que debemos encontrar D = Acertar en alguno de los 3 lanzamientos
Recogiendo los datos entregados podemos decir lo siguiente que
P(A) = P (B) = P(C) = 0,3 y por consiguiente sus complementos serían
P ( ) = P ( ) = P ( ) = 0,7 como los complementos de estos sucesos
son independientes entre sí y no así los mismos sucesos podemos decir que ( ) = ( ) ( ) ( ) luego
P ( ) = P (( ) ( ) ( )) = P ( ) · ( ) · ( ) = 0,7 · 0,7 ·0,7 = 0,343
Ahora podemos encontrar la probabilidad pedida a través de P (D) =
1 – P ( ) lo que da
P (D) = 1 – 0,343 = 0,657
32. Sea un experimento aleatorio de lanzar un dado dos veces ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par en el segundo lanzamiento siempre que en el primer lanzamiento haya salido un
número impar?
Sol. Determinemos los sucesos:
Probabilidad de sucesos
Nivel de consolidación
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
23
A = obtener un número impar en el primer lanzamiento
B = obtener un número par en el segundo lanzamiento
La probabilidad del suceso A P(A) =
La probabilidad del suceso B P (B) = =
Lo que nos da que P(A) = P (B) como esta es una probabilidad condicionada debemos encontrarla con P (B/A) y como la P(A B) =
reemplazamos obteniendo
P (B/A) = = =
33. D: La probabilidad de que un insecto viva más de 25 años es de 0,4 y la de una bacteria es de 0,8. La probabilidad de que viva más de 25 años al menos unos de los dos es de.
Sol. Los sucesos dados por el problema son:
A = que viva más de 25 años al menos unos de los dos B = que el anciano viva más de 25 años y su probabilidad P (B) = 0,4
C = que el anciana viva más de 25 años y su probabilidad P(C) = 0,8
Como nos pide al menos uno de los dos sucesos usamos la siguiente definición
P(A) = P (B U C) = P (B) + P(C) – (B C), como los sucesos B y C
son independientes (B C) = P (B) · P(C) = 0,4 · 0,8 = 0,32 ahora
reemplazando en primera formula tenemos P(A) = P (B U C) = 0,4 + 0,8 – 0,32 = 0,88 por lo tanto la probabilidad
de que al menos uno de los dos viva más de 25 años es de un 88%
Probabilidad de sucesos
Nivel de consolidación
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
24
34. D: Sean los sucesos A, B , C donde A B C = y A B =
A C = B C. Sabiendo que P(A) = y P(B) = Hallar la P(C).
Sol.
Se sabe que P ( ) = 1 y podemos expresar esta probabilidad en
función de los tres sucesos antes mencionados, así tenemos la siguiente expresión.
P( ) = 1 = P(A B C ) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A B) - P(A C)
- P(B C)
+ P(A B C)
= + + P(C) - 2· (A B) ya que P(A B C) = P(A (B C))
= P(A (A B)=P(A B)
Reemplazando tenemos:
P ( ) = + + P(C) - 2· (A B) =
1 = + + P(C) - 2· (A B) = P(C) = 2· (A B) +
35. La probabilidad de que un kilo de carne provenga de una carnicería A es de un 0,6 y la probabilidad que provenga de una
carnicería B es de un 0,4. Si sabemos que la carnicería A produce un 0,002 de kilos de carne en mal estado mientras que la carnicería Y lo hace en un 0,008 de kilos de carne en mal estado. Si tomamos
un kilo de carne en mal estado ¿Cuál es la probabilidad que provenga de la carnicería Y?
Sol
Nuestros datos obtenidos del enunciado serían los siguientes: Sean: A = kilo de carne en mal estado
B = La carne provenga de la carnicería A y su probabilidad es P (B) = 0,6
Probabilidad de sucesos
Nivel de consolidación
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
25
C = La carne provenga de la carnicería B y su probabilidad es
P(C) = 0,4 P(A/B) = 0,002 P(A/C) = 0,008
Luego por el teorema de bayes podemos encontrar.
P (C/A) = =
36. Un jugador de dados dice que al jugar con 3 dados la suma 9
aparece más veces que la suma 12. Si se sabe que las suma 9 está dada por {(126),(153),(144),(225),(243),(333)}
Y la suma de 12 por {(165),(264),(336),(354),(444),(552)}.Calcular las
probabilidades de ambos sucesos podrías decir si estas combinaciones son igualmente probables.
Sol.
Para calcular la probabilidad de que la suma al lanzar los tres dados sea 9 debemos hacer utilizar combinatoria
=
la probabilidad de que el resultado sea nueve es
de igual manera calculamos la probabilidad de que el resultado de
los dados sumen 12
Claramente si comparamos ambas probabilidades podemos decir que ambas combinaciones son igualmente probables
37. Al lanzar una 3 dados una gran cantidad de veces, quien los
lanza se da cuenta que la sumar los números de los 3 dados la
suma 10 se repite más veces que la suma 12. Si la suma 10 está
Probabilidad de sucesos
Nivel de consolidación
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
26
dada por las siguientes combinaciones;
(136),(145),(226),(235),(244),(334), y la suma 12 dada por (165),(264),(336),(354),(444),(552). Determinar si estas combinaciones tienen la misma probabilidad de ocurrencia.
Sol. Para determinar si tienen la misma probabilidad debemos comparar las probabilidades de ambas combinaciones.
Probabilidad de que la suma sea igual a 10
Probabilidad de que la suma sea igual a 12
En conclusión evidentemente ambas combinaciones no son igualmente probables
38. En un juego de azar se tienen 3 tómbolas distintas las cuales contienen bolitas numeradas del 1 al 7, y se llega a la conclusión que el par 4 sale con más frecuencia que el par 6. Si las
combinaciones del par 4 son (142),(431),(547),(654),(411),(443),(444) y las del par 6 son (666),(656),(216),(136),(614),(761),(726).¿Ambas combinaciones
son igualmente probables?
Sol. Sea nuestro espacio muestral y para obtener la
probabilidad del par 4 hay que tener en cuenta la cantidad de términos que componen el número en este caso 3 por lo que hacemos
3!·P(142)+3!·P(431)+3!·P(547)+3!·P(654)+
=
Probabilidad de sucesos
Nivel de consolidación
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
27
De igual manera se hace para encontrar la probabilidad del par 6
En conclusión podemos afirmar que la probabilidad de amabas combinaciones no son igualmente probables.
39. Se tiene un espacio muestral Z determinado por las
permutaciones de 4 números (5,6,7,8,9) y se define que A₁ = {x
Z/en x aparece el número i en el lugar i-esimos}.calcular P(A₁ U A₂ U A₃ U A₄)
Sol.
Para calcular esta probabilidad debemos calcular cada uno de los
términos teniendo claro que A₁ =5, A₂=6, A₃=7 y A₄=8
P (A₁) = P (A₂) =
P (A₃) = P (A₄) =
Ahora para encontrar P (A₁ U A₂ U A₃ U A₄) debemos tener en cuenta que cada combinación está formada por 4 términos por lo que
debemos encontrar la probabilidad de la siguiente manera
=
=
Probabilidad de sucesos
Nivel de consolidación
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
28
40. Sean 3 sucesos X, Y, Z tales que su unión forman el espacio
muestral y X Y = X Z = Y Z y que, P(X) = 1/4 y P (Z) =
1/2. Hallar P(Y)
Sol.
Se sabe que
P ( ) = 1 = P(X Y Z ) = P(X) + P(Y) + P(Z) – P(X Y) - P(X Z) - P(Y
Z) + P(X Y Z)
Luego ocupando propiedades podemos decir que: P(X Y Z) = P(X (Y Z)) = P(X (X Y)=P(X Y) reemplazando
nos queda
P ( ) = 1 = P(X) + P(Y) + P(Z) – P(X Y) - P(X Z) - P(Y Z) + P(X Y)
P ( ) = 1 = + P(Y) + - 2 P(X Y) por lo que despejando P(Y)
tenemos que
P (Y) = 1 - - + 2 P(X Y)
41. Sean 3 sucesos A, B y C tal que A B = , demostrar que
P(A U B/C)= P(A/C) + P(B/C)
Sol.
Sea
P(A U B/C) =
como A B = , de esta manera podemos separar
ambas sumas
P(A U B/C) =
Probabilidad de sucesos
Nivel de consolidación
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
29
42. Se tiene un espacio determinado por las permutaciones de 4
números y se define que A₁ = {x /en x aparece el número i en el
lugar i-esimos}. Determinar P ((A₁ A₂) (A₃ A₄)).
Sol. P ((A₁ A₂) (A₃ A₄)) = P(A₁ A₂) + P(A₃ A₄) - P(A₁ A₂ A₃ A₄)
= P (A₁)+P(A₂)-P(A₁ A₂)+P(A₃)+P(A₄)–P(A₃ A₄)- P(A₁ A₂ A₃ A₄)
Luego debemos encontrar la probabilidad de cada dato encontrado
como i esta en el lugar i-esimos tenemos que
P ( ) = lo que implica que P(A₁), P(A₂), P(A₃), P(A₄) son
iguales
P ( ) = que son iguales a P( ) y P( ) y
ya
teniendo los datos recopilados podemos reemplazar
P ((A₁ A₂) (A₃ A₄)) = 1 - - =
43. Sean tres sucesos que pertenecen a un espacio muestral cualquiera y sea el suceso X = . Calcular la
probabilidad de X si se sabe que
P(A) = 0,8 P(A B) = 0,40
P(A C) = 0,37
P(A B C) = 0,18
Sol.
Apliquemos la probabilidad en la igualdad dada en el enunciado
Probabilidad de sucesos
Nivel de consolidación
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
30
P(X) = P( ) = P( ) = P(A / B C)
= P(A) - P(A (B C)) = P(A) - P((A B) P(A C)
= P(A) – P(A B) – P(A C) + P(A B C) Ahora reemplazamos
P(X) = 0,8 – 0,40 – 0,37 + 0,18 = 0,21
44. Se tienen los sucesos X, Y, Z los cuales pertenecen a cierto
espacio muestral . Si se tiene que A = X (Y Z). Determinar P(A)
si se dan los siguientes datos P(X Y) = 0,42 P(X Z) = 0,38 P(X Y Z) = 0,25
Sol.
P(A) = P(X (Y Z)) = P((X Y) (X Z)) = P(X Y) + P(X Z) - P(X
Y Z)
Reemplazando en la nueva fórmula se tiene que P(A) = 0,42 + 0,38 – 0,25 = 0,55
45. Sean tres sucesos que pertenecen a un espacio muestral
cualquiera y sea el suceso X = . Calcular la
probabilidad de X si se sabe que
P(A) = 0,7
P(A B) = 0,43
P(A C) = 0,35
P(A B C) = 0,17
Sol.
Apliquemos la probabilidad en la igualdad dada en el
enunciado
Probabilidad de sucesos
Nivel de consolidación
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
31
P(X) = P( ) = P( ) = P(A / B C)
= P(A) - P(A (B C)) = P(A) - P((A B) P(A C)
= P(A) – P(A B) – P(A C) + P(A B C)
Ahora reemplazamos
P(X) = 0,7 – 0,43 – 0,35 + 0,17 = 0,09
46. Se tienen los sucesos X, Y, Z los cuales pertenecen a cierto
espacio muestral . Si se tiene que A = X (Y Z). Determinar P(A)
si se dan los siguientes datos P(X Y) = 0,41 P(X Z) = 0,36 P(X Y Z) = 0,3
Sol.
P(A) = P(X (Y Z)) = P((X Y) (X Z)) = P(X Y) + P(X Z) - P(X
Y Z)
Reemplazando en la nueva fórmula se tiene que P(A) = 0,41 + 0,36 – 0,3 = 0,47
47. Sean A, B, C tres sucesos independientes, demostrar sus complementos también lo son
Sol.
Como A, B, C son sucesos independientes entonces
P(A B C) = P(A) · P(B) · P(C) Luego
P( ) = P( ) = P(1 – P(A B C))
= 1 – + - P(A B C)
Probabilidad de sucesos
Nivel de consolidación
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
32
= P( ) · P( ) · P( ) ·
48. Sean X e Y dos sucesos tales que X Y = . Determinar una
condición necesaria y determinante para que X e Y sean sucesos independientes
Sol.
Como queremos que X e Y sean independientes debe cumplir con que
P(X Y) = P(X) · P(Y) pero como X Y = reemplazamos
P( ) = P(X) · P(Y) pero como P( ) = 0 tenemos que
P(X) · P(Y) = 0 P(X) = 0 o P(Y) = 0
De esta manera la condición necesaria para que X e Y sean sucesos independientes es que al menos una de sus probabilidades sea igual a 0
49. Si P (A₁) = 2/3 y P (A₂ / A₁) = 2/3.
Demostrar si se cumple que P( ) =
Sol.
Ocupando la propiedad de sucesos condicionados se tiene que
P( ) = ahora como el enunciado no dice que
Probabilidad de sucesos
Nivel de consolidación
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
33
P(A₂ / A₁) = P(A₁ A₂) para que P(A₂ /
A₁) =
Por lo que = de esta manera podemos reemplazar y
encontrar el valor necesario para ver si cumple con la igualdad
P( ) = por lo que esta
igualdad no se cumple
50. Si P(A) = y P(B/A) = , determinar si los sucesos A y B son
independientes
Sol.
Para poder determinar si A y B son independientes creemos un espacio muestral y sus respectivos sucesos que cumplan con lo dado en el enunciado. En este caso sea nuestro espacio muestral los
primeros 12 números naturales = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} con
los siguientes sucesos
A: múltiplos de 2 = {2,4,6,8,10,12} = P(A) = que coincide con el
enunciado
El suceso B debe ser un suceso talque P(A B) = ¼ para que
P(B/A) = se cumpla ya que
P(B/A) =
Así B será los múltiplos de 4 = {4,8,12} P(B) = luego se tiene
que
A B = {4,8,12} y P(A B) = ¼ ahora con los suceso ya sus
respectivas probabilidades determinadas para ver que ambos sucesos son independientes se tiene que cumplir que
Probabilidad de sucesos
Nivel de consolidación
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
34
P(B) = P(B/A) lo que es falso por lo tanto ambos sucesos A y B no son
independientes
51. Si P(A₁) = 1/3 y P(A₂ / A₁) = 1/3.
Demostrar si se cumple que P( ) =
Sol.
Ocupando la propiedad de sucesos condicionados se tiene que
P( ) = ahora como el enunciado no dice que
P(A₂ / A₁) = P(A₁ A₂) para que P(A₂ /
A₁) =
Por lo que = de esta manera podemos reemplazar y
encontrar el valor necesario para ver si cumple con la igualdad
P( ) = por lo que esta
igualdad no se cumple
52. Si P(A) = y P(B/A) = , determinar si los sucesos A y B son
independientes
Sol. Para poder determinar si A y B son independientes creemos un
espacio muestral y sus respectivos sucesos que cumplan con lo dado
en el enunciado. En este caso sea nuestro espacio muestral los
Probabilidad de sucesos
Nivel de consolidación
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
35
primeros 12 números naturales = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} con
los siguientes sucesos
A: múltiplos de 3 = {3,6,9,12} = P(A) = que coincide con el
enunciado
El suceso B debe ser un suceso talque P(A B) = 1/6 para que P
(B/A) = se cumpla ya que
P(B/A) =
Así B será los múltiplos de 6 = {6,12} P(B) = luego se tiene que
A B = {6,12} y P(A B) = ahora con los suceso ya sus
respectivas probabilidades determinadas para ver que ambos sucesos
son independientes se tiene que cumplir que
P(B) = P(B/A) lo que es falso por lo tanto ambos sucesos A y B no son independientes
53. Determine si la siguiente afirmación es verdadera o falsa P(A/B) = P ( / )
Sol.
Debemos tener en cuenta que
P(A/B) = y P ( ) =
Tomemos las siguientes consideraciones sea = {1…..10} y los
sucesos
A = {1,4} P(A) =
B = {2,3} P(B) =
Luego de estos dos suceso podemos encontrar todos los valores para luego reemplazar
Probabilidad de sucesos
Nivel de consolidación
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
36
A B =
= {2,3,5,6,7,8,9,10}
= {1,4,5,6,7,8,9,10} P( ) =
= {5,6,7,8,9,10} P( ) =
P(A/B) = Y P( ) =
Lo que claramente nos muestra que esta igualdad es falsa
54. Determine si la siguiente afirmación es verdadera o falsa
P(A/B) = P( / )
Sol.
Para probar si esta igualdad es cierta usemos un ejemplo teniendo en cuenta lo siguiente que
P(A/B) = y P ( ) =
Tomemos las siguientes consideraciones sea = {1…..8} y los sucesos
A = {1,3}
B = {2,7} P(B) =
Luego de estos dos suceso podemos encontrar todos los valores para luego reemplazar
A B =
= {2,4,5,6,7,8}
= {1,3,4,5,6,8} P( ) =
= {4,5,6,8} P( ) =
P(A/B) = Y P( ) =
Lo que claramente nos muestra que esta igualdad es falsa
Probabilidad de sucesos
Nivel de consolidación
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
37
55. Diga si P(A/B) + P( / ) = 1 es cierto.
Sol.
Analicemos esta igualdad a través de un ejemplo tomemos un espacio muestral cualquiera en este caso será
= {1,2,3,4,5,6,7} y los sucesos A: {1,2} y B: {3,5} luego a partir de
estos sucesos obtenemos los datos necesarios para verificar esta igualdad A B = , = {3,4,5,6,7} , = {1,2,4,6,7}, = {4,6,7}
Luego reemplazando tenemos
P(A/B) + P( / ) = 1 + = 1
= + = 1
= 0 + = por lo tanto esta afirmación es falsa
56. Determine si P(A/B) + P( / ) = 1 es verdadera o falsa.
Sol.
Sea = {1,2,3,4,5,} y los sucesos
A: {1,2} B: {3,5} por lo que A B =
= {3,4,5} , = {1,2,4} por lo que = {4}
Luego reemplazando tenemos
P(A/B) + P( / ) = 1 + = 1
= + = 1 + = 1 0 + = 1
por lo tanto esta afirmación es falsa ya que
Probabilidad de sucesos
Nivel de consolidación
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
38
57. Determine si la siguiente afirmación es cierta o falsa P(A/B) + P(A/ ) = 1
Sol.
Tomemos un espacio muestral como el siguiente = {1….5} y
los sucesos A = {1} B = {2,4} de ambos sucesos tenemos que A B = asi
P(A/B) =
Luego para determinar el valor de P(A/ ) debemos encontrar y
Así tenemos que = {1,3,5} y = {1} ahora
P(A/ ) = + con esto sumamos ambas
probabilidades lo que nos da que
0 + = que es distinto que 1 por lo que esta afirmación no es cierta
58. Sean X e Y dos sucesos tales que P(X) = y P(Y/X) = ,
demuestre que X Y es verdadera
Sol. Como X Y entonces X Y = X de esta manera para que lo pedido se
verifique utilizamos
P(Y/X) = que no es igual a P(Y/X) = dado en el
enunciado por lo que X Y
Probabilidad de sucesos
Nivel de consolidación
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
39
Nos dan 2 sucesos llamados A y B donde P(A) = y P(B/A) = ,
verificar que A B
Sol. Para verificar esto usaremos la siguiente expresión a trabajar
P(B/Y) = para determinar la P(A B) utilizaremos el enunciado
y si A B esto implica que A B = A de esta manera P(A B) =
P(A) reemplazando nos queda
P(B/Y) = por lo que evidentemente A B
59. Si A y B son sucesos tales que P(A) = ; P(B) = ; P(B/A) = .
determinar si ambos sucesos son independientes
Sol.
Para que estos sucesos sean independientes
P(A B) = P(A) · P(B) pero se sabe que
P(A B) = P(B/A) · P(A) = · y el enunciado nos dice que
P(A) = ; P(B) = · por lo que podemos afirmar que
P(A B) = P(A) · P(B) entonces A y B son independientes
60. Sean dos sucesos C y D tal que P(C) = ; P(C/D) = ; P(D/C)
= determine si
P( / ) =
Probabilidad de sucesos
Nivel de consolidación
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
40
Sol.
P( / ) = pero
por lo que esta afirmación P( / ) = es falsa
61. Si te ganas la oportunidad de participar en un concurso donde
debes elegir una puerta de tres existentes en donde existe un premio detrás de solo una puerta. Si ya tomaste le decisión de que
puerta abrirás y la comunicas el presentador del concurso este abre una de las dos puertas que no fueron elegidas por ti y la que puerta abierta está vacía. Después de todo esto el presentador te
da la opción de cambiar la elección de la puerta que hiciste al principio del concurso, ahora ¿Debes cambiar tu opción de la puerta elegida al principio? Siguiendo un resultado probabilístico
Sol. Si deberías cambiar tu elección ya que tu primera opción
estaba determinada por una probabilidad que era 1/3. Luego cuando
el presentador abre una de las puertas no elegidas por ti se reducen las opciones a 2/3 pero la diferencia es que la probabilidad de la puerta que tu elegiste es de 1/3 mientras la que el presentador no
abrió pasa a tener una probabilidad de 2/3 que es mas alta que la tuya.
62. Si una persona va a un casino con un capital de $22.000 y lleva una expectativa de ganar el doble del dinero con que llego en una ruleta es decir salir con $44000. Si se tienen los siguientes
sucesos A: apostar todo el capital sobre los números impares en una sola jugada
B: apostar $1000 sobre los impares secuencialmente hasta perder los $22000 o ganar los $44000.
Probabilidad de sucesos
Nivel de consolidación
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
41
Determinar cuál de los dos sucesos es el más adecuado para cumplir
la expectativa de la persona que va al casino
Sol.
El suceso A es se puede obtener de manera simple, ya que , la cantidad de valores que tiene una ruleta es 38 y los impares son 18 de
esta manera
P(A) = 47%
El suceso B en cambio está dado por
Claramente el suceso A es el que tiene mas probabilidad de cumplir la expectativa de la persona que va al casino
63. Determinar el mínimo número de estudiantes que debe tener la clase de matemáticas para tener una probabilidad de 0,5 cuando el día de onomástico de algún alumno coincide con el día de
onomástico del director del colegio. si se asume que existe un onomástico por día y solo se toma el primer nombre
Sol.
La probabilidad de que entre x alumnos no haya ningún
nombre que coincida con el nombre del director es de
Por lo tanto la probabilidad de que en la clase de matemática haya al menos un alumnos con el onomástico el mismo día que el del director
del colegio es de
1 - ahora debemos encontrar el valor de x para encontrar el
mínimo número de alumnos así
1 - = 1 - aplicando ln para despejar x tenemos
Probabilidad de sucesos
Nivel de consolidación
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
42
ln(1) – x·ln( ) ln( ) = 0 –x(ln(364) – ln(365)) ln(1) – ln(2)
= x = x 252,65
Luego la cantidad mínima de alumnos que debe tener una sala de
clases es de 253 ya que es el siguiente entero después de 252,65
64. Determinar la mínima cantidad de trabajadores que debe tener
una empresa para garantizar una probabilidad de 0,25 de que el día de cumpleaños de de algún trabajador coincida con el día de
cumpleaños del gerente de la empresa
Sol. Como la probabilidad de que ningún trabajador tenga el mismo
día de cumpleaños que el gerente de entre n trabajadores es de
por lo que exista al menos 1 estará determinada por 1 -
luego para calcular la cantidad mínima debemos hacer
1 - para despejar la n debemos aplicar ln
ln(1) – n·ln( ) ln( ) despejando n tenemos lo siguiente n 505, 3
la mínima cantidad de trabajadores que debe tener una empresa para
que la probabilidad que coincida el día de cumpleaños de un trabajador con el del gerente es de 506
65. Una persona es detenida injustamente y recuerda en el carro
policial que existen dos tribunales TA: compuesto por 3 jueces que independientes tienen una
probabilidad a,a,1/2 respectivamente de emitir un informe individual correcto y donde el informe final se obtiene por mayoría
Probabilidad de sucesos
Nivel de consolidación
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
43
TB: compuesto por 1 juez que tiene probabilidad a de emitir un informe correcto
Determinar por cuál de los dos tribunales la persona debe optar
Sol. Debemos tener claro que debemos encontrar las probabilidades de
que los tribunales emitan un informe correcto
El TA solo emitirá un informe correcto si
A₁ = los 2 miembros con probabilidad a aciertan
A₂ = uno de los 2 miembros con probabilidad a acierta y el con probabilidad ½ acierta
Luego como estos sucesos son disjuntos la P(TA) = P(A₁) + P(A₂) así
P(A₁) + P(A₂) = luego P(TA) = a
Y como TB emitirá un informe correcto si el único miembro con
probabilidad a acierta, de esto tenemos que P(TB) = a
De esta manera tenemos que la probabilidad de que el TA emita un
informe correcto y el TB emita un informe correcto son iguales asi que da lo mismo por cual tribunal opte la persona
66. Se tiene una mano de póker que consiste en cinco cartas seleccionadas sin reemplazo de una baraja de 52 cartas (sin
comodines). Determinar la probabilidad de obtener una escalera de color (cinco cartas consecutivas y la misma pinta hasta la K)
Sol.
Determinemos el suceso de la siguiente manera
A = obtener una escalera de color
Probabilidad de sucesos
Nivel de consolidación
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
44
Como cada pinta tiene 13 cartas y existen 4 pintas distintas, la
cantidad de escaleras que se pueden crear por color es de 9 Los casos posibles están determinados entonces por
y los casos totales de esta manera
P(A) =
67. En un naipe ingles de 52 cartas ¿Cuál es la probabilidad de
que al sacar 5 cartas 4 tengan el mismo número?
Sol. Llamemos al suceso de obtener 4 cartas con el mismo número con la letra B.
Como existen 13 números distintos. Después de haber elegido las 4 cartas quedaran 48 cartas restantes de donde saldrá la 5 carta por lo que
P(B) =
68. Hallar la probabilidad de obtener una escalera de color real en
una mano de póker, si la escalera de color real está formada por J Q K As de un mismo color
Sol
Sea X el suceso de obtener una escalera de color real
Como este tipo de escalera se puede formar 1 por color esta probabilidad estará dada por
P(X) =
Probabilidad de sucesos
Nivel de consolidación
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
45
69. ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar 5 cartas de un naipe ingles salgan 4 ases?
Sol.
La probabilidad de que salgan 4 ases está dada por y
como ya se sacaron 4 cartas 52 – 4 = 48 por lo que esta probabilidad estará dada por
P(C) =
70. En un juego de póker. Determinar la probabilidad de obtener
un full en una mano
Sol.
Sea D= obtener un full en una mano de póker
Como un full está compuesto por 3 cartas del mismo número como
existen 4 pintas distintas, la combinación es ·13 = 52
Luego Para escoger las otras dos cartas del mismo número se hace de
manera análoga así esto sería ·12 = 72 se multiplica por 12 ya que
se ocupo un numero en las tres cartas Ahora
P(D) =
71. Una tienda comprueba que la probabilidad de que un cliente
extienda un chuque con fondos con fecha equivocada es de 0,001.
Mientras que todos los clientes sin fondos extienden cheques con
Probabilidad de sucesos
Nivel de consolidación
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
46
fechas equivocadas. El 90% de los clientes de la tienda tienen
fondos. Si esta tarde un vendedor de la tienda recibe un cheque con fecha equivocada ¿Cuál es la probabilidad de que el cheque sea de un cliente sin fondos?
Sol
Determinemos los sucesos presentados en el enunciado
A = clientes con fondos P(A) = 0,9
B = clientes sin fondos P(B) = 0,1 C = cheques con fecha equivocada D = cheques sin fecha equivocada
P(C/A) = 0,001 P(D/A) = 0,999 P(C/B) = 1
P(D/B) = 0
Para encontrar la probabilidad de que el cheque sea con fecha equivocada sea de un cliente sin fondos
P(B/C) =
72. En una urna existen 5 bolas de colores rojos y azules. Si se extrae una bola de la urna y es roja. Encuentre la probabilidad de
que en la urna haya dos bolas rojas y tres bolas azules si para meter las combinaciones de los colores se lanzaron 5 monedas en que las caras corresponden a las bolas rojas y los sellos a las
azules.
Sol. Denotemos los sucesos necesarios
Sea = el suceso de obtener i caras en los 5 lanzamientos de
una moneda con i = {0,1,2,3,4,5} esto implica que la urna tiene i bolas rojas y 5 – i bolas azules y sea A = extraer una bola roja de la urna.
Como queremos obtener dos bolas rojas usamos
Probabilidad de sucesos
Nivel de consolidación
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
47
P( /A) =
73. Si una moneda no cargada es lanzada al aire n veces por dos
personas ¿Cuál es la probabilidad de que las dos personas obtengan la misma cantidad de sellos?
Sol.
Sea nuestro suceso elemental denotado de la siguiente manera
M =
Con = {Cara , Sello} y sea , r = 0,1,2……n el suceso de que
ambas personas obtienen r caras
Como estos sucesos son disjuntos la probabilidad pedida estará dada de la siguiente manera
P( ) = =
P( ) =
74. Si en una empresa de n +1 trabajadores y uno de ellos echa a correr un rumor sobre el jefe a un segundo trabajador y este a una tercera y así sucesivamente. ¿Cuál es la probabilidad de que el
rumor pase r veces sin repetírsele a ningún trabajador?, si en cada paso se elige aleatoriamente al receptor del rumor.
Sol.
Determinemos el suceso de la siguiente manera
Probabilidad de sucesos
Nivel de consolidación
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
48
B = que el rumor pase r veces sin que se repita a ningún trabajador
Nuestro espacio muestral será entonces y , i = 0,…..,n la
personas por las que pasa el rumor Luego como
Entonces la probabilidad pedida se obtiene
P(B) =
75. En una tienda el sector zapatería esta compuesto por n pares de botas. Si se escogen 2x botas al alzar , si 2x < n. determine la
probabilidad de que no haya ningún par completo.
Sol.
Sea nuestro suceso A = no hay ningún par completo
Digamos que cada zapato estará representado por el par (c,d) donde c = numero del par es decir mientras que d = a cual de los
dos pies es es decir , por lo que el espacio muestral
estará dado de la siguiente manera
Esto implica ahora podemos encontrar
la probabilidad pedida
P(A) = ahora si 2x > n entonces P(A) = 0
76. Un examen de postgrado consta de 10 temas, se debe escoger un tema de entre dos escogidos al azar . determine cuál es la
probabilidad de que a un alumno que preparo 3 temas le toque al menos uno que sabe.
Probabilidad de sucesos
Nivel de consolidación
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
49
Sol. Denotemos el suceso a evaluar de la siguiente manera
A = que le toque al menos un temas de los que ha preparado
Como se han tomado 2 temas al azar de 10 el espacio muestral será
Luego para encontrar la probabilidad deseada usamos
P(A) = 1 – P( ) = 1 – = 1 - = 1 - =
77. Dos francotiradores de igual capacidad tiran al blanco, el
primero dos balas y el segundo una. Si gana aquel francotirador que tenga las balas más cercanas a la cabeza de un maniquí.
Determinar la probabilidad de que gane el primer francotirador.
Sol. Vale considerar que el espacio muestral de este ejercicio está dado por la proximidad de cada lanzamiento a la cabeza del maniquí.
De esta manera podemos considerar, que los primeros dos lanzamientos son del primer francotirador y el tercer lanzamiento del
segundo. Luego si dos lanzamientos quedan a igual distancia de la cabeza asumiremos que la probabilidad 0, de esta manera es espacio muestral será las distintas formas de ordenar los lanzamiento “cerca” ,
“medio”, “lejos” como son tres posibilidades el espacio muestral será 3! = 6
Luego como el primer francotirador lanza dos balas, el suceso A : (x₁ = “cerca”) (x₂ = “cerca”) como son sucesos disjuntos y contiene
dos sucesos elementales, la probabilidad será
P(A) =
Probabilidad de sucesos
Nivel de consolidación
e n t r e t e n c i o n x 1 0 0 0 . c l
50
78. Si se lanzan tres monedas al aire. Calcular la probabilidad de
que las tres monedas salgan caras o sellos.
Sol. Si las monedas son tres monedas distintas nuestro espacio muestral
estará determinado de la siguiente manera
= {a = (a₁, a₂, a₃) : } donde
son los tres resultados de las monedas lanzadas al aire
Con C = cara y S = sellos los posibles resultados de cada lanzamiento
Ahora MC = obtener tres caras
MS = obtener tres sellos Como claramente son sucesos disjuntos ya que no tienes sucesos elementales en común la probabilidad de obtener tres caras o tres
sellos es
P(MC MS) = P(MC) + P(MS) =
79. Para un concierto de una banda de música venden entradas
si las entradas entregan n premios. Si un fanático compra n entradas. Cuál es la probabilidad de que gane al menos un premio.
Sol.
Sea X : que el fanático gane al menos un premio
Con el suceso ya está definido encontramos la probabilidad del
suceso
P(X) = 1 – P( ) = 1 -