Hewlett-Packard
Ano: 2018
CONJUNTOS
NUMÉRICOS Aulas 01 a 06
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos
Sumário CONJUNTOS NUMÉRICOS ....................................................................................................................................... 2
Conjunto dos números Naturais ......................................................................................................................... 2
Conjunto dos números Inteiros .......................................................................................................................... 2
Conjunto dos números Racionais ....................................................................................................................... 2
Conjunto dos números Irracionais ...................................................................................................................... 2
Conjunto dos números Reais .............................................................................................................................. 2
RELAÇÃO DE INCLUSÃO .......................................................................................................................................... 2
SUBCONJUNTOS ...................................................................................................................................................... 3
OBSERVAÇÕES ......................................................................................................................................................... 3
INVERSO E OPOSTO DE UM RACIONAL ................................................................................................................... 3
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 3
FECHAMENTO ......................................................................................................................................................... 3
MÚLTIPLO E DIVISOR DE UM NÚMERO INTEIRO .................................................................................................... 4
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC) ..................................................................................................................... 4
MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC) ......................................................................................................................... 4
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 4
O VALOR ABSOLUTO DE UM NÚMERO ................................................................................................................... 4
Módulo de um número (definição formal) ............................................................................................................. 5
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 5
CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS ................................................................................................................. 5
FRAÇÃO GERATRIZ .................................................................................................................................................. 5
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 6
CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS .............................................................................................................. 6
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 6
CONJUNTO DOS REAIS ............................................................................................................................................ 6
REAIS E A RETA NUMÉRICA ..................................................................................................................................... 6
INTERVALOS REAIS .................................................................................................................................................. 7
PRELIMINAR 1 ..................................................................................................................................................... 7
PRELIMINAR 2 ..................................................................................................................................................... 7
INTERVALOS REAIS .................................................................................................................................................. 7
REPRESENTAÇÃO DOS INTERVALOS ....................................................................................................................... 7
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 8
OPERAÇÕES ENTRE INTERVALOS ............................................................................................................................ 8
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 8
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 1
QUESTÕES EXTRAS .............................................................................................................................................. 8
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 2
AULA 01
CONJUNTOS NUMÉRICOS Alguns conjuntos numéricos já foram estudados em
anos anteriores. São eles:
Conjunto dos números Naturais Surgiu a partir da necessidade de contagem –
importante passo no desenvolvimento da
matemática.
ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, … , 𝑛 , … } em que 𝑛 representa um número natural genérico.
Conjunto dos números Inteiros Surgiu a partir da necessidade gerada pela operação
diferença.
ℤ = ℕ ∪ {−1, −2, −3, −4, … }
ℤ = {… , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . }
Conjunto dos números Racionais O conjunto dos racionais surge da necessidade de
representar algumas razões não exatas.
ℚ = {𝑥 |𝑥 𝑝𝑜𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑟 𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑡𝑜 𝑛𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑚
𝑛,
𝑚 ∈ ℤ e 𝑛 ∈ ℤ∗}
Exemplo 1.1
5
4∈ ℚ ; 0 ∈ ℚ, 𝑝𝑜𝑖𝑠 0 =
0
1 ;
0,12 ∈ ℚ, 𝑝𝑜𝑖𝑠 0,12 =12
100
•
Conjunto dos números Irracionais Esse conjunto surgiu a partir da necessidade de
calcular o comprimento da diagonal de um quadrado
de lado com medida 1. (PITAGÓRICOS)
O conjunto dos irracionais é um conjunto disjunto do
conjunto dos números racionais e tem como
elementos apenas as dízimas não-periódicas.
Exemplo 1.2
√2 é irracional ; 𝜋 é irracional ; √53
é irracional
Conjunto dos números Reais É o conjunto formado pela união do conjunto dos
números racionais com o conjunto dos números
irracionais.
ℝ = {𝑥| 𝑥 ∈ ℚ 𝑜𝑢 𝑥 é 𝑖𝑟𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙}
Note que, o conjunto dos números irracionais pode
ser representado por “ ℝ − ℚ ”.
RELAÇÃO DE INCLUSÃO A relação de inclusão entre os conjuntos estudados
pode ser ilustrada pelos diagramas de Venn a seguir.
Temos a seguinte cadeia de inclusão: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ.
• Os números inteiros;
• Os decimais exatos (aqueles que, na sua
representação decimal, têm parte decimal
finita); Exemplos: 3,25 0,001 1,12243
• As dízimas periódicas (aqueles que, na sua
representação decimal, têm parte decimal
infinita e com repetição de um "bloco" formado
por um ou mais algarismos). Exemplo: 0, 3̅ =
0,333 …
Não. Há alguns “tipos” de números que não são
racionais, entre eles:
• As dízimas não-periódicas (aqueles que, na sua
representação decimal, têm parte decimal
infinita e SEM repetição de um "bloco" formado
por um ou mais algarismos); e
• As raízes que têm índice par e radicando
negativo.
ℝ
ℝ − ℚ
ℚ
ℤ
ℕ
Quais números podem ser escritos na forma
mencionada?
Mas, pode-se dizer que o conjunto dos números
racionais contém todos os números conhecidos?
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 3
SUBCONJUNTOS
OBSERVAÇÕES Obs.1: O sucessor de um número natural é o número
natural que vem imediatamente após o número em
questão.
Exemplo 1.3:
a) 5 é 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑠𝑜𝑟 𝑑𝑒 4. b) 10 é 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑠𝑜𝑟 𝑑𝑒 9.
c) (𝑥 + 1) é 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑠𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑥.
d) 0 (zero) não é sucessor de nenhum número
natural.
Obs.2: Os conjuntos estudados são infinitos.
Obs.3: Há uma forma para se representar números
pares e ímpares de maneira genérica:
PARES
Se 𝑥 é par, então 𝑥 = 2𝑛 para algum 𝑛 ∈ ℤ.
ÍMPARES
Se 𝑥 é ímpar, então 𝑥 = 2𝑛 + 1 para algum 𝑛 ∈ ℤ.
Obs.4: Podemos descrever cada número inteiro como
um ponto na reta ordenada.
Obs.5: O oposto de um número 𝒂 é dado por – 𝒂.
Na reta ordenada, dois números opostos são
equidistantes da origem.
INVERSO E OPOSTO DE UM RACIONAL
Dado 𝑚
𝑛∈ ℚ, temos
• Seu oposto: −𝑚
𝑛
• Seu inverso: (𝑚
𝑛)
−1=
𝑛
𝑚, onde 𝑚 ≠ 0
Exemplo 1.4
Tomando o número racional 𝟓
𝟑 , temos
seu oposto: −5
3 seu inverso: (
5
3)
−1=
3
5
Obs.6: Uma fração 𝑚
𝑛, 𝑛 ≠ 0, é dita irredutível quando
𝑚𝑑𝑐(𝑚, 𝑛) = 1.
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 1.1. Dados 𝑎 e 𝑏 números naturais, tais que 𝑎 + 𝑏 =
12 e 𝑎 ∙ 𝑏 = 20, determine:
a) (6𝑎) ∙ 𝑏
b) (5𝑎) − (2𝑎)(3𝑏) + (5𝑏)
1.2. Determine 𝑛 natural, tal que 𝑛2 − 𝑛 = 20.
1.3. Sabendo que a soma de três números
consecutivos é 63, determine esses números.
AULA 02 FECHAMENTO
Considere um conjunto A e quaisquer dois de
seus elementos. Se o resultado de uma operação feita
com esses dois elementos também for elemento de A,
então é dito que A é fechado para essa operação.
Exemplo 2.1: O conjunto dos números naturais é
fechado para as operações de adição e multiplicação.
Isto é,
𝑎, 𝑏 ∈ ℕ ⇒ 𝑎 + 𝑏 ∈ ℕ
𝑎 ∙ 𝑏 ∈ ℕ
2 + 3 = 5 𝑒 5 ∈ ℕ ; 2 ∙ 0 = 0 𝑒 0 ∈ ℕ
TAREFA 2: Ler, na página 4, o tópico “As
propriedades fundamentais da adição e da
multiplicação em ℕ” e o exercício 5. Além disso, fazer
os PRATICANDO EM SALA (PSA) 2, 3, 4, 5 e 6.
TAREFA 1 – Ler: na página 3 e 11, os tópicos “Alguns
subconjuntos especiais do conjunto dos números
naturais” e “Alguns subconjuntos especiais do conjunto
dos números inteiros”; e na página 43, as observações
21 e 22.
Após a leitura recomendada, você deve ter
observado que
• um * na parte superior à direita do símbolo do
conjunto exclui o zero do conjunto.
• um + na parte inferior à direita do símbolo do
conjunto mantém somente o 0 e os positivos
no conjunto.
• um – na parte inferior à direita do símbolo do
conjunto mantém somente o 0 e os negativos
no conjunto.
Qual é o padrão na escrita dos subconjuntos?
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 4
Note que na operação diferença isto nem sempre
acontece,
3 − 2 = 1 ∈ ℕ, no entanto 2 − 3 = −1 ∉ ℕ.
Veja, na tabela a seguir, para quais operações cada
conjunto numérico estudado é fechado.
Operação ℕ ℤ ℚ ℝ − ℚ ℝ
Adição X X X X Multiplicação X X X X Subtração X X X Divisão X X
Obs.1: Quando se trata do fechamento da operação
divisão é evidente que estamos tratando dos
respectivos conjuntos sem o elemento “0 (zero)”, pois
a divisão por zero não está definida.
MÚLTIPLO E DIVISOR DE UM
NÚMERO INTEIRO Considere os números 𝑎, 𝑏 ∈ ℕ.
Diz-se que a é divisor de b, ou que b é múltiplo de a, se
existe um número inteiro c tal que b a c .
Exemplo 2.2: O número 26 é múltiplo de 13, pois
26 13 2 , pode-se dizer ainda que 13 é um divisor do
26.
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC) Considere os números 𝑎, 𝑏 ∈ ℕ.
O mínimo múltiplo comum de a e b é o menor 𝑐 ∈ ℕ
que é múltiplo de a e de b.
O mínimo múltiplo comum de dois ou mais números
pode ser obtido por fatoração simultânea como
podemos observar no exemplo a seguir.
Exemplo 2.3: Vamos determinar o 24, 30mmc .
Observe que vamos dividir pelos fatores dos dois
números até que eles fiquem iguais a 1.
3
224, 30
212, 15
26, 15
33, 15
51, 5
1, 1 2 3 5
Assim temos que 24, 30 120mmc
Obs.2: Todos os múltiplos comuns de a e b são
múltiplos do mmc de a e b.
MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC) Considere os números 𝑎, 𝑏 ∈ ℕ.
O máximo divisor comum de a e b é o maior 𝑐 ∈ ℕ que
é divisor de a e de b.
O máximo comum de dois ou mais números pode ser
obtido por fatoração simultânea como podemos
observar no exemplo a seguir.
Exemplo 2.4: Vamos determinar o 24, 30mdc .
Observe que vamos dividir apenas pelos fatores que
dividem simultaneamente os dois números.
24, 30 2
12, 15 3
4, 5 2 3
Assim temos que 24, 30 6mdc
Obs.3: Todos os divisores comuns de a e b são
divisores do mdc de a e b.
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 2.1. Dois corredores partem juntos numa pista
circular no mesmo sentido. Sabendo que o primeiro
completa uma volta a cada 12 minutos e o segundo
uma volta a cada 15 minutos, determine o tempo
mínimo para eles se encontrarem na linha de
chegada.
O VALOR ABSOLUTO DE UM NÚMERO Considere que, em uma reta ordenada, a abscissa 0
(zero) esteja associada a um ponto 𝑂 (origem) e um
ponto 𝑃 qualquer tenha sua abscissa denominada 𝑥.
O módulo ou valor absoluto do número inteiro 𝑥,
denotado por |𝑥|, é um valor (necessariamente
positivo) que nos diz a distância entre os pontos 𝑃 e 𝑂.
• Se 𝑷 está à direita de 𝑶, então sua abscissa 𝑥 é
um número inteiro positivo e, desse modo, seu
valor absoluto é igual a ele mesmo.
Em símbolos:
𝑃
𝑂
0
𝑥
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 5
𝑆𝑒 𝑥 > 0, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 |𝑥| = 𝑥.
Exemplo 2.5
𝑥 = 5 > 0, então |5| = 5
• Se 𝑷 está à esquerda de 𝑶, então sua abscissa 𝑥 é
um valor inteiro negativo e, desse modo, seu
valor absoluto é igual ao seu oposto (que é
positivo).
Em símbolos:
𝑆𝑒 𝑥 < 0, então |𝑥| = −𝑥.
Exemplo 2.6
𝑥 = −4 < 0, então |−4| = 4
Módulo de um número (definição
formal) O módulo ou valor absoluto do número inteiro 𝑥,
denotado por |𝑥|, é o quanto ele dista da origem na
reta real. Temos que,
|𝑥| = {𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0
−𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 < 0
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 2.2. Determine o valor ou simplifique as expressões
a seguir:
a) ||17 + 8 ∙ (−2)| − |−9 − 6| + 3 ∙ |12 + (−2)||
b) |𝑥 + 3| − |𝑥 − 5| + |2𝑥 − 4| + |𝑥2|, se 2 < 𝑥 < 5
AULA 03 CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS Vimos que os decimais exatos e as dízimas periódicas
podem ser representados na forma 𝑚
𝑛, com 𝑚 e 𝑛
inteiros e 𝑛 ≠ 0.
Exemplo 3.1
3,5 =35
10=
7
2
0,8333 … =5
6
FRAÇÃO GERATRIZ Como já foi dito, uma dízima periódica pode ser
representada como uma fração de dois números
inteiros (com denominador não nulo). A essa fração é
dado o nome de fração geratriz.
Obs.1: Em uma dízima periódica, a menor sequência
de algarismos que se repete é denominada período.
Destacamos o período de uma dízima periódica
colocando um “–“ sobre ele. Veja:
0,83333 … = 0,83̅
Exemplo 3.2
Determinar a fração geratriz de 2,03333.
I) 𝑥 = 2,03̅
II) 10𝑥 = 20, 3̅
III) 100𝑥 = 203, 3̅
IV) {100𝑥 = 203, 3̅
10𝑥 = 20, 3̅
90𝑥 = 183
Logo, 𝑥 =183
90=
61
30
TAREFA 3 – Ler, nas páginas 3 a 5 do tablet, “O valor
absoluto de um número inteiro” e fazer o PSA 7, 30 e 31.
𝑃
𝑂
0
5
𝑂
𝑃
−4
0
−
Como retirar o módulo de um expressão?
Note que o resultado do módulo depende do sinal
da expressão “dentro” dele. Logo, para retirar o
módulo de uma expressão, faça o seguinte:
1º) Avalie o sinal da expressão “dentro” do módulo. Em geral, para avaliar o sinal das expressões algébricas,
basta substituir alguns valores do intervalo ao qual 𝑥 pertence.
2º) Se for positiva, apenas elimine o módulo e
reescreva a expressão, sem alterá-la; se for negativa,
elimine o módulo e escreva o oposto da expressão
(isto é, troque os sinais de todos os seus termos).
Este processo é relevante quando temos
incógnitas dentro do módulo.
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 6
Exemplo 3.3
Para determinar a fração geratriz (𝑥) de 0,5555 …,
basta utilizar o seguinte método:
i) Escreva a dízima destacando o período,
conforme a Obs.1 e iguale-a a 𝑥.
𝑥 = 0, 5̅
ii) Se entre a vírgula e o período não houver
nenhum algarismo, vá para o passo iii).
Caso haja, conte o número de algarismos
entre a vírgula e o período e multiplique
ambos os lados da equação pela potência
de 10 correspondente.
Não há algarismos entre a vírgula e o
período, logo continuamos com 𝑥 = 0, 5̅ .
iii) Conte o número de algarismos que
formam o período (no caso, 1) e
multiplique a equação obtida em i) pela
potência de 10 correspondente.
10𝑥 = 5,5555 …
iv) Subtraia ii) de iv) e resolva a equação
resultante.
{10𝑥 = 5,5555 …
𝑥 = 0,5555 …
9𝑥 = 5
Logo, 𝑥 =5
9.
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS
3.1. Sejam p e q, primos entre si, tais que 𝑝
𝑞=
1
2+35
1+13
.
Determine a diferença 𝑞 − 𝑝.
3.2. Encontre a fração geratriz, em cada caso a seguir.
a) 0,33333. . .
b) 2, 3̅
c) 0, 23̅̅̅̅
3.3. Escreva em ordem crescente as frações 2
3,
1
5,
7
5 e
15
30.
AULA 04 CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS Vimos que o conjunto dos irracionais abrange todas as
dízimas não periódicas.
ℝ − ℚ = {𝑥 |𝑥 ≠𝑝
𝑞; 𝑝 ∈ ℤ 𝑒 𝑞 ∈ ℤ∗}
Exemplo 4.1
𝜋 = 3,141592 … ; √2 ; √2 + √3
Obs.1: É importante lembrar que o conjunto dos
números irracionais não é fechado para as operações
básicas, entre elas diferença e soma. Isto é, nem toda
soma de irracionais é irracional.
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS
4.1. Prove que √2 não é racional.
DESAFIO: Prove que √3 não é racional.
CONJUNTO DOS REAIS Já vimos que,
ℝ = {𝑥| 𝑥 ∈ ℚ 𝑜𝑢 𝑥 é 𝑖𝑟𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙}
Em outras palavras, o conjunto dos números reais é
dado pela união de racionais e irracionais.
ℝ = ℚ ∪ (ℝ − ℚ)
REAIS E A RETA NUMÉRICA Para cada número real está associado um único ponto
da reta. Reciprocamente, à cada ponto da reta está
associado um único número real. Isto é, temos uma
relação biunívoca entre a reta numérica e os números
reais.
−
TAREFA 4 – Ler, no tablet, a parte teórica 4 exercício 25
TAREFA 5 – Ler, no tablet, a parte teórica 4 e fazer os
PROPOSTOS 35, 36, 37, 39, 40(a, d, f) e 41(a, b, c)
E
Os números reais e a reta numérica
É importante observar que os reais conseguem
completar uma reta, ou seja, você consegue associar
a cada ponto da reta um número real sem deixar
nenhum “buraco” na reta.
Note que, os conjuntos ℕ, ℤ e ℚ não são capazes de
completar a reta. As suas representações na reta
numérica deixam “buracos” (pontos sem número).
Essa associação será muito importante quando
formos tratar os subconjuntos de ℝ.
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 7
AULA 05
INTERVALOS REAIS Até agora, realizamos operações apenas entre
conjuntos finitos. Será iniciado o estudo de uma nova
classe de conjuntos, os intervalos. Estes, de modo
geral, possuem infinitos elementos.
PRELIMINAR 1 Dados os conjuntos 𝐴 = {𝑥 ∈ ℕ | 2 < 𝑥 < 7} e 𝐵 =
{𝑥 ∈ ℤ+ | − 3 ≤ 𝑥 < 5}, determine 𝐴 ∪ 𝐵.
𝐴 = {3, 4, 5, 6} e 𝐵 = {0, 1, 2, 3, 4}
Logo, 𝐴 ∪ 𝐵 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
Note que
• os dois conjuntos são finitos; e
• para realizar a operação união, primeiro
alteramos a representação dos conjuntos para a
forma tabular.
Obs.1: A representação dos conjuntos pode ser
fundamental para facilitar a realização das operações
entre conjuntos.
PRELIMINAR 2 Dados os conjuntos 𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ |2 < 𝑥 < 7} e 𝐵 =
{𝑥 ∈ ℝ | − 3 ≤ 𝑥 < 5}, tente determinar 𝐴 ∪ 𝐵.
Note que
• os dois conjuntos são infinitos; e
• é “complicado” realizar a operação com a
representação atual, e também não é possível
representá-los na forma tabular.
Portanto, ainda não sabemos como determinar 𝐴 ∪ 𝐵.
INTERVALOS REAIS Os intervalos são subconjuntos de ℝ que podem ser
expressos por meio de desigualdades.
Exemplo 5.1
O conjunto 𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ | − 1 ≤ 𝑥 ≤ 3} é um intervalo
real.
REPRESENTAÇÃO DOS INTERVALOS Para representar os intervalos reais de maneira mais
“visual” utilizaremos pedaços de retas.
Exemplo 5.2
O conjunto 𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ | − 1 ≤ 𝑥 ≤ 3} pode ser
representado da seguinte forma?
(onde a parte pintada representa os elementos de 𝐴)
A representação apresentada é boa, porém, note que
não fica claro se os extremos, −1 e 3, pertencem ou
não ao intervalo. Para deixar claro quando os
extremos pertencem ou não ao intervalo, será usada a
notação explicada no quadro a seguir.
Logo, o conjunto 𝐴 (do exemplo 5.2) seria
corretamente representado por
Assim, para representar qualquer intervalo de
números reais, basta seguir o seguinte passo-a-passo:
i. Desenhe uma reta (com a seta para a direita).
ii. Coloque os elementos dos extremos.
iii. Pinte a parte que representa os elementos do
intervalo.
iv. Avalie se os extremos pertencem ou não ao
intervalo.
v. Represente as “bolinhas”, deixando claro se
estão fechadas ou abertas.
3
1
1
1
1
1
1
1
−1
1
1
1
1
1
1
1
−1
1
1
1
1
1
1
1
TAREFA 6 – Ler, no tablet, nas páginas 42 a 45,
“Conjunto dos números reais” e “Representação dos
números reais na reta numérica”. E FAZER o PSA 42
3
1
1
1
1
1
1
1
Extremos do intervalo
“Bolinha” fechada: quando o extremo pertencer ao
intervalo, utilizaremos uma “bolinha” fechada para
representá-lo. A ideia é mostrar que o ponto do
extremo também está pintado. Evidenciando, desse
modo, que ele também é elemento do intervalo.
“Bolinha” aberta: quando o extremo não pertencer
ao intervalo, utilizaremos uma “bolinha” aberta para
representá-lo. A ideia é mostrar que o ponto do
extremo não está pintado. Evidenciando, desse
modo, que ele não é elemento do intervalo.
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 8
Exemplo 5.3
O conjunto 𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 < 4} pode ser
representado por
Exemplo 5.4
O conjunto 𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 ≤ 4} pode ser também
escrito na forma
𝐵 =] − ∞; 4 ]
Obs.1: −∞ ou ∞ não são números Reais, portanto,
nunca usamos qualquer notação que indique a ideia
de fechado junto aos símbolos −∞ ou ∞.
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 5.1. Represente cada intervalo a seguir, em seu
caderno, utilizando as três notações estudadas:
parênteses ou colchetes, pela propriedade e,
também, na reta numérica.
a) 𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ |2 < 𝑥 ≤ 5}
b) 𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ| 𝑥 ≥3
2}
c) 𝐶 = [ 1 ; 4]
d) 𝐷 = (−1; 3)
e) 𝐸 = [0 ; 4[
AULA 06 OPERAÇÕES ENTRE INTERVALOS Visto que os intervalos são conjuntos, podemos
efetuar, entre eles, as operações união, interseção,
diferença e complementar.
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 6.1. Dado o conjunto 𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ | − 1 ≤ 𝑥 ≤ 3}, 𝐵 =
]0 ; 5], e 𝐶 = [−4; 2[ determine os conjuntos a
seguir.
a) 𝐴 ∪ 𝐵
b) 𝐴 ∩ 𝐵
c) 𝐴 − 𝐵
d) 𝐵 − 𝐴
e) (𝐴 ∩ 𝐶) − 𝐵
EXTRA
QUESTÕES EXTRAS
1. Sendo 1, 6A , 0, 8B e , 10C , tem-se
que o conjunto B A B C é igual a
(A) .
(B) 8, 10 .
(C) 6, 10 .
(D) 6, 8 .
(E) , 6 8, 10 .
2. Sejam x e y número primos entre si, tais que
1
11
11
1 1,23
x
y
.
A soma x y é igual a
(A) 67.
(B) 37.
4
1
1
1
1
1
1
1
TAREFA 7 – Ler, no tablet, na página 46, a tabela
“Intervalos com descrição, notação e representação”.
Parêntese e colchete
Após a leitura recomendada, você deve ter observado
que podemos representar os intervalos utilizando
parênteses ou colchetes.
• Colchete no sentido normal [ ] : utilizado para
denotar extremos fechados.
• Colchete no sentido contrário ] [ : utilizado para
denotar extremos abertos.
• Parêntese: utilizado para denotar extremos
abertos.
TAREFA 8 – Fazer os PSA 44 e 45(a, d)
TAREFA 9 – Ler, nas 45 a 50, “Os intervalos” e fazer os PSA
46, 47 e 48
EXTRA: Exercícios CONHECENDO AVALIAÇÕES 15,
18.
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 9
(C) 30.
(D) 23.
(E) 7.
3. Sendo 𝑥 ∈ ℕ, com 0 4x , tem-se que a
expressão 2 8 5 12 3 30x x x é igual a
(A) 16 98x .
(B)16 82x .
(C) 18 38x .
(D)12 38x .
(E)12 22x .
4. Sejam 𝐴 =] − 3; 2], 𝐵 =] − 1; 4] e 𝐷 =] − 10; 10[.
Represente, por meio de uma propriedade que
caracterize seus elementos, o conjunto 𝐶𝐷(𝐴∪𝐵)
.
5. Calcule o valor numérico da expressão a seguir.
{24 ⋅ 0,75 + [((22 − 32)2
(2,5)2 )]}
−2
6. Uma rodoviária possui duas linhas de ônibus. Um
ônibus da linha 𝐴 sai da rodoviária a cada 15 minutos
e um ônibus da linha 𝐵 sai a cada 25 minutos. Dado
que às 6h saem juntos, da rodoviária, um ônibus de
cada linha, determine o primeiro horário, após as 12h,
no qual os ônibus das linhas 𝐴 e 𝐵 sairão juntos
novamente.
7. Dados os conjuntos 𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≤ 0 𝑜𝑢 𝑥 > 2},
𝐵 = [0; 4[ e 𝐶 = [−2; 2], uma representação gráfica
do conjunto (𝐵 ∪ 𝐶) − 𝐴𝑐 é
8. Em algumas famílias de uma comunidade carente
foram distribuídos 240 cadernos, 576 lápis e 1080
borrachas. A distribuição foi feita de tal modo que o
maior número de famílias fosse contemplado e que
cada família recebesse a mesma quantidade 𝑥 de
lápis, a mesma quantidade 𝑦 de cadernos e a mesma
quantidade 𝑧 de borrachas. Nessas condições, a
quantidade 𝑧 de borrachas que cada família recebeu
foi igual a
a) 24.
b) 28.
c) 36.
d) 40.
e) 45.
GABARITO
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 1.1. a) 120 b) 60
1.2. 5n
1.3. 20, 21, 22
2.1. 60 minutos
2.2. a) 16 b) 2 4 6x x
3.1. 9
3.2. a) 1
3 b)
7
3 c)
23
99
3.3. 1 15 2 7
5 30 3 5
4.1. Demonstração
5.1. A representação por reta será feita em sala.
a) 2, 5 b) 3, c) |1 4x x
d) | 1 3x x e) |0 4x x
6.1. a) 1, 5 b) 0, 3 c) 1, 0 d) 3, 5 e) 1, 0
QUESTÕES EXTRAS 1. D
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 10
2. A
3. E
4. | 10 3 ou 4<x<10x x
5. 1
256
6. 12h15
7. C
8. E