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Les graphes et l’homologie calculatoireHomologie d’une fonction
ApplicationsConclusion et perspectives en robotique
Computational Homology
Nicolas Delanoue
Lisa - Angers
Fevrier 2009
Nicolas Delanoue Computational Homology
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Les graphes et l’homologie calculatoireHomologie d’une fonction
ApplicationsConclusion et perspectives en robotique
Computational HomologyTomasz Kaczynski, Konstantin Mischaikow, Marian Mrozek.
Nicolas Delanoue Computational Homology
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Les graphes et l’homologie calculatoireHomologie d’une fonction
ApplicationsConclusion et perspectives en robotique
Plan
1 Les graphes et l’homologie calculatoireIntroduction, formalismeGroupe d’homologie Hi
Cas particulier : le groupe d’homologie H0
Exemples
2 Homologie d’une fonctionIntroductionTheorie du degreApplication, resolution d’equation f (x) = 0Calcul pratique de l’homologie d’une fonction
3 ApplicationsTraitement d’imagesSystemes dynamiques
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Les graphes et l’homologie calculatoireHomologie d’une fonction
ApplicationsConclusion et perspectives en robotique
Introduction, formalismeGroupe d’homologie HiCas particulier : le groupe d’homologie H0Exemples
Exemples de graphe du plan
Nicolas Delanoue Computational Homology
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Les graphes et l’homologie calculatoireHomologie d’une fonction
ApplicationsConclusion et perspectives en robotique
Introduction, formalismeGroupe d’homologie HiCas particulier : le groupe d’homologie H0Exemples
Graphes et graphes combinatoires
Definition
Soit G un graphe du plan, on note par E(G ) la liste de ses noeudset par V(G ) la liste de ses arcs.
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Les graphes et l’homologie calculatoireHomologie d’une fonction
ApplicationsConclusion et perspectives en robotique
Introduction, formalismeGroupe d’homologie HiCas particulier : le groupe d’homologie H0Exemples
Graphes et graphes combinatoires
Definition - Chaınes
Soit G un graphe du plan, on note par
C1 l’ensemble des sommes finies d’elements de V(G ), et par
C0 les sommes d’elements de E(G ).
i.e. le groupe libre abelien . . .
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Les graphes et l’homologie calculatoireHomologie d’une fonction
ApplicationsConclusion et perspectives en robotique
Introduction, formalismeGroupe d’homologie HiCas particulier : le groupe d’homologie H0Exemples
Graphes et graphes combinatoires
Exemples
1 [A,B] + [B,C ] ∈ C1
2 A + B + B + C ∈ C0
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Les graphes et l’homologie calculatoireHomologie d’une fonction
ApplicationsConclusion et perspectives en robotique
Introduction, formalismeGroupe d’homologie HiCas particulier : le groupe d’homologie H0Exemples
Definition - operateur de bord
On note par ∂1 la fonction lineaire
∂1 : C1 → C0
tel que ∂1([X ,Y ]) = X + Y .
Exemple
∂1([A,B] + [D,E ]) = A + B + D + E
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Les graphes et l’homologie calculatoireHomologie d’une fonction
ApplicationsConclusion et perspectives en robotique
Introduction, formalismeGroupe d’homologie HiCas particulier : le groupe d’homologie H0Exemples
Graphes et graphes combinatoires
Bord topologique et bord algebrique
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Les graphes et l’homologie calculatoireHomologie d’une fonction
ApplicationsConclusion et perspectives en robotique
Introduction, formalismeGroupe d’homologie HiCas particulier : le groupe d’homologie H0Exemples
Graphes et graphes combinatoires
Exemple
∂1([A,B] + [B,C ]) = A + B + B + C = A + 2B + C
On peut considerer que les coefficients sont tous definies modulo 2(i.e. dans Z/2Z). Dans ce cas, on a :
∂1([A,B] + [B,C ]) = A + C
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Les graphes et l’homologie calculatoireHomologie d’une fonction
ApplicationsConclusion et perspectives en robotique
Introduction, formalismeGroupe d’homologie HiCas particulier : le groupe d’homologie H0Exemples
Remarque : ∂1 est lineaire
([A,B], [B,C ], [C ,D], [D,E ]) est une base de C1.
[A,B] + [C ,D] =
1010
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Les graphes et l’homologie calculatoireHomologie d’une fonction
ApplicationsConclusion et perspectives en robotique
Introduction, formalismeGroupe d’homologie HiCas particulier : le groupe d’homologie H0Exemples
Remarque : ∂1 est lineaire
(A,B,C ,D,E ) est une base de C0.
A + 2B + C =
12100
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Les graphes et l’homologie calculatoireHomologie d’une fonction
ApplicationsConclusion et perspectives en robotique
Introduction, formalismeGroupe d’homologie HiCas particulier : le groupe d’homologie H0Exemples
Remarque : ∂1 est lineaire
L’operateur ∂1 a pour matrice :1 0 0 01 1 0 00 1 1 00 0 1 10 0 0 1
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Les graphes et l’homologie calculatoireHomologie d’une fonction
ApplicationsConclusion et perspectives en robotique
Introduction, formalismeGroupe d’homologie HiCas particulier : le groupe d’homologie H0Exemples
Remarque : ∂1 est lineaire
L’operateur ∂1 a pour matrice :1 0 0 11 1 0 00 1 1 00 0 1 1
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Les graphes et l’homologie calculatoireHomologie d’une fonction
ApplicationsConclusion et perspectives en robotique
Introduction, formalismeGroupe d’homologie HiCas particulier : le groupe d’homologie H0Exemples
Definition - operateur de bord
On note par ∂0 la fonction lineaire
∂0 : C0 → C−1 = {0}c 7→ 0
Exemple
∂0(A + B) = 0
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Les graphes et l’homologie calculatoireHomologie d’une fonction
ApplicationsConclusion et perspectives en robotique
Introduction, formalismeGroupe d’homologie HiCas particulier : le groupe d’homologie H0Exemples
Definition - cycle
Un cycle est un element ci de Ci tel que ∂ici = 0,On note :
Z0 = {c0 ∈ C0 | ∂0c0 = 0} = ker ∂0
Z1 = {c1 ∈ C1 | ∂1c1 = 0} = ker ∂1
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Les graphes et l’homologie calculatoireHomologie d’une fonction
ApplicationsConclusion et perspectives en robotique
Introduction, formalismeGroupe d’homologie HiCas particulier : le groupe d’homologie H0Exemples
Exemple
A + B ∈ Z0, A ∈ Z0
[A,B] + [B,C ] 6∈ Z1 car ∂1([A,B] + [B,C ]) 6= 0
[A,B] + [B,C ] + [C ,D] + [D,A] ∈ Z1
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Les graphes et l’homologie calculatoireHomologie d’une fonction
ApplicationsConclusion et perspectives en robotique
Introduction, formalismeGroupe d’homologie HiCas particulier : le groupe d’homologie H0Exemples
Definition - bord
On note par
B0 = {c0 ∈ C0 | ∃c1 ∈ C1 tel que ∂1c1 = c0} = im∂1
B1 = {c1 ∈ C1 | ∃c2 ∈ C2 tel que ∂2c2 = c1} = im∂2
Les elements de Bi sont appeles les bords.
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Les graphes et l’homologie calculatoireHomologie d’une fonction
ApplicationsConclusion et perspectives en robotique
Introduction, formalismeGroupe d’homologie HiCas particulier : le groupe d’homologie H0Exemples
Exemple
A + C ∈ B0 car ∂1([A,B] + [B,C ]) = A + C
A 6∈ B0
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Les graphes et l’homologie calculatoireHomologie d’une fonction
ApplicationsConclusion et perspectives en robotique
Introduction, formalismeGroupe d’homologie HiCas particulier : le groupe d’homologie H0Exemples
Remarque
On a Bi ⊂ Zi ⊂ Ci .
Definition
On definit le groupe d’homologie Hi comme etant le quotient
Hi = Zi/Bi
i.e.Hi = ker ∂i/im∂i+1
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Les graphes et l’homologie calculatoireHomologie d’une fonction
ApplicationsConclusion et perspectives en robotique
Introduction, formalismeGroupe d’homologie HiCas particulier : le groupe d’homologie H0Exemples
H0 = ker ∂0/im∂1
ker ∂0 = C0, im∂1 = ”les bords”.
∂1 =
1 0 0 11 1 0 00 1 1 00 0 1 1
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Les graphes et l’homologie calculatoireHomologie d’une fonction
ApplicationsConclusion et perspectives en robotique
Introduction, formalismeGroupe d’homologie HiCas particulier : le groupe d’homologie H0Exemples
ker ∂0 = 〈A,B,C ,D〉
= 〈
1000
,
0100
,
0010
,
0001
〉
Nicolas Delanoue Computational Homology
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Les graphes et l’homologie calculatoireHomologie d’une fonction
ApplicationsConclusion et perspectives en robotique
Introduction, formalismeGroupe d’homologie HiCas particulier : le groupe d’homologie H0Exemples
im∂1 = 〈A + B,B + C ,C + D,D + A〉
= 〈A− B,B − C ,C − D,D − A〉
= 〈
1−100
,
01−10
,
001−1
,
−1001
〉Nicolas Delanoue Computational Homology
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Les graphes et l’homologie calculatoireHomologie d’une fonction
ApplicationsConclusion et perspectives en robotique
Introduction, formalismeGroupe d’homologie HiCas particulier : le groupe d’homologie H0Exemples
H0 = 〈
0BB@1000
1CCA ,
0BB@0100
1CCA ,
0BB@0010
1CCA ,
0BB@0001
1CCA〉/〈0BB@
1−100
1CCA ,
0BB@01−10
1CCA ,
0BB@001−1
1CCA ,
0BB@−1001
1CCA〉
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Les graphes et l’homologie calculatoireHomologie d’une fonction
ApplicationsConclusion et perspectives en robotique
Introduction, formalismeGroupe d’homologie HiCas particulier : le groupe d’homologie H0Exemples
H0 = ker ∂0/im∂1
H0 = 〈A,B,C ,D〉/〈A− B,B − C ,C − D,D − A〉A ∼ B mod im∂1
A ∼ B ∼ C ∼ D mod im∂1
H0 = 〈[A]〉
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Les graphes et l’homologie calculatoireHomologie d’une fonction
ApplicationsConclusion et perspectives en robotique
Introduction, formalismeGroupe d’homologie HiCas particulier : le groupe d’homologie H0Exemples
H0 = ker ∂0/im∂1
H0 = 〈A,B,C ,D〉/〈A− B,C − D〉,A ∼ B mod im∂1,
C ∼ D mod im∂1,
A 6∼ C mod im∂1,
H0 = 〈[A], [C ]〉 ,
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Les graphes et l’homologie calculatoireHomologie d’une fonction
ApplicationsConclusion et perspectives en robotique
Introduction, formalismeGroupe d’homologie HiCas particulier : le groupe d’homologie H0Exemples
H1 = ker ∂1/im∂2
im∂2 = {0} ⊂ C11 0 0 11 1 0 00 1 1 00 0 1 1
1111
=
0000
Donc [A,B] + [B,C ] + [C ,D] + [D,A] ∈ ker ∂1
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Les graphes et l’homologie calculatoireHomologie d’une fonction
ApplicationsConclusion et perspectives en robotique
Introduction, formalismeGroupe d’homologie HiCas particulier : le groupe d’homologie H0Exemples
11110000
,
00001111
,
11111111
∈ ker ∂1
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Les graphes et l’homologie calculatoireHomologie d’une fonction
ApplicationsConclusion et perspectives en robotique
Introduction, formalismeGroupe d’homologie HiCas particulier : le groupe d’homologie H0Exemples
〈
11110000
,
00001111
〉 = ker ∂1
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Introduction, formalismeGroupe d’homologie HiCas particulier : le groupe d’homologie H0Exemples
Labyrinthe
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Les graphes et l’homologie calculatoireHomologie d’une fonction
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Les graphes et l’homologie calculatoireHomologie d’une fonction
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Les graphes et l’homologie calculatoireHomologie d’une fonction
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Introduction, formalismeGroupe d’homologie HiCas particulier : le groupe d’homologie H0Exemples
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Les graphes et l’homologie calculatoireHomologie d’une fonction
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Introduction, formalismeGroupe d’homologie HiCas particulier : le groupe d’homologie H0Exemples
Generalisation
H0 = Z
H1 = Z
Chapitre 2 et 3.
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ApplicationsConclusion et perspectives en robotique
IntroductionTheorie du degreApplication, resolution d’equation f (x) = 0Calcul pratique de l’homologie d’une fonction
Proposition
Soit f : X → X ′ une fonction continue, cette fonction f induit unefonction lineaire de f∗ : H∗(X )→ H∗(X
′).
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ApplicationsConclusion et perspectives en robotique
IntroductionTheorie du degreApplication, resolution d’equation f (x) = 0Calcul pratique de l’homologie d’une fonction
Exemple
f : θ 7→ 2θ
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Les graphes et l’homologie calculatoireHomologie d’une fonction
ApplicationsConclusion et perspectives en robotique
IntroductionTheorie du degreApplication, resolution d’equation f (x) = 0Calcul pratique de l’homologie d’une fonction
Proposition
Soit f : X → X ′ une fonction continue, cette fonction f induit unefonction f∗ : H∗(X )→ H∗(X
′).
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ApplicationsConclusion et perspectives en robotique
IntroductionTheorie du degreApplication, resolution d’equation f (x) = 0Calcul pratique de l’homologie d’une fonction
Proposition
Soit f : X → X ′ une fonction continue, cette fonction f induit unefonction f∗ : H∗(X )→ H∗(X
′).
ϕ1 : C1 → C ′1
ϕ1 =
1 0 1 01 0 1 00 1 0 10 1 0 1
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ApplicationsConclusion et perspectives en robotique
IntroductionTheorie du degreApplication, resolution d’equation f (x) = 0Calcul pratique de l’homologie d’une fonction
Proposition
Soit f : X → X ′ une fonction continue, cette fonction f induit unefonction f∗ : H∗(X )→ H∗(X
′).
f∗1 : H1 → H ′1[c] 7→ [ϕ1(c)]
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ApplicationsConclusion et perspectives en robotique
IntroductionTheorie du degreApplication, resolution d’equation f (x) = 0Calcul pratique de l’homologie d’une fonction
Proposition
Soit f : X → X ′ une fonction continue, cette fonction f induit unefonction f∗ : H∗(X )→ H∗(X
′).
f∗1
1111
=
ϕ1
1111
=
2222
⇒ f∗1 = 2
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ApplicationsConclusion et perspectives en robotique
IntroductionTheorie du degreApplication, resolution d’equation f (x) = 0Calcul pratique de l’homologie d’une fonction
Proposition
Soit f : X → X ′ une fonction continue, cette fonction f induit unefonction f∗ : H∗(X )→ H∗(X
′).
∂′kϕk = ϕk−1∂k
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ApplicationsConclusion et perspectives en robotique
IntroductionTheorie du degreApplication, resolution d’equation f (x) = 0Calcul pratique de l’homologie d’une fonction
Proposition
Soit Sd la sphere de dimension d > 0.
Hk(Sd) =
{Z = 〈e〉 si k = d0 sinon
Definition
Soit f : Sd → Sd continue, le degre de f est l’entier n verifiantf∗d([e]) = n[e].
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ApplicationsConclusion et perspectives en robotique
IntroductionTheorie du degreApplication, resolution d’equation f (x) = 0Calcul pratique de l’homologie d’une fonction
Proposition
Le degre verifie les proprietes suivantes :
deg(id) = 1,
si f est une fonction constante, deg(f ) = 0,
deg(f ◦ g) = deg(f ) deg(g),
f ∼ g ⇒ deg(f ) = deg(g),
si f peut etre prolongee continuement en f : Bd+1 → Sd alorsdeg(f ) = 0 .
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ApplicationsConclusion et perspectives en robotique
IntroductionTheorie du degreApplication, resolution d’equation f (x) = 0Calcul pratique de l’homologie d’une fonction
Soit U = [−m,m]d+1,
Definition
Soit f : U → Rd+1 tel que 0 6∈ f (bdU), on definit f : Sd0 → Sd
0
f (x) :=f (mx)
‖f (mx)‖0
Proposition
Soit f : U → Rd+1 tel que 0 6∈ f (bdU).Si deg f 6= 0 alors f (x) = 0 admet une solution dans U.
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Les graphes et l’homologie calculatoireHomologie d’une fonction
ApplicationsConclusion et perspectives en robotique
IntroductionTheorie du degreApplication, resolution d’equation f (x) = 0Calcul pratique de l’homologie d’une fonction
Exemple
Soit f : [−1, 1]2 → R2 definie par
f :
(xy
)7→(
x2 − y2
2xy
)On a deg(f ) = 2 donc ∃(x , y) ∈ [−1, 1]2 | f (x , y) = (0, 0).
Remarque
1 C’est la fonction C 3 z 7→ z2 ∈ C2 La methode “classique” de Newton par intervalle ne peut
conclure car Df (0) = 0.
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Les graphes et l’homologie calculatoireHomologie d’une fonction
ApplicationsConclusion et perspectives en robotique
IntroductionTheorie du degreApplication, resolution d’equation f (x) = 0Calcul pratique de l’homologie d’une fonction
Contre exemple de la reciproque
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Les graphes et l’homologie calculatoireHomologie d’une fonction
ApplicationsConclusion et perspectives en robotique
IntroductionTheorie du degreApplication, resolution d’equation f (x) = 0Calcul pratique de l’homologie d’une fonction
Exemple
On idenfifie les points du cercle S1 avec les points du segment[0, 1] ou 0 ∼ 1.Soit f : S1 → S1 definie par f (t) = 3t(1− t).
Fig.: Graphe de la fonction.
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Les graphes et l’homologie calculatoireHomologie d’une fonction
ApplicationsConclusion et perspectives en robotique
IntroductionTheorie du degreApplication, resolution d’equation f (x) = 0Calcul pratique de l’homologie d’une fonction
Exemple
On idenfifie les points du cercle S1 avec les points du segment[0, 1] ou 0 ∼ 1.Soit f : S1 → S1 definie par f (t) = 3t(1− t).
Fig.: Calcul par intervalles.
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ApplicationsConclusion et perspectives en robotique
IntroductionTheorie du degreApplication, resolution d’equation f (x) = 0Calcul pratique de l’homologie d’une fonction
Exemple
On idenfifie les points du cercle S1 avec les points du segment[0, 1] ou 0 ∼ 1.Soit f : S1 → S1 definie par f (t) = 3t(1− t).
Fig.: f∗1 = ϕ∗1, (∂ϕ = ϕ∂).
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IntroductionTheorie du degreApplication, resolution d’equation f (x) = 0Calcul pratique de l’homologie d’une fonction
Exemple
On idenfifie les points du cercle S1 avec les points du segment[0, 1] ou 0 ∼ 1.Soit f : S1 → S1 definie par f (t) = 3t(1− t).
Fig.: f∗1 = ϕ′∗1, (∂ϕ′ = ϕ′∂).
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Les graphes et l’homologie calculatoireHomologie d’une fonction
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IntroductionTheorie du degreApplication, resolution d’equation f (x) = 0Calcul pratique de l’homologie d’une fonction
Exemple
On idenfifie les points du cercle S1 avec les points du segment[0, 1] ou 0 ∼ 1.Soit f : S1 → S1 definie par f (t) = 3t(1− t).
Fig.: Calcul par intervalles.
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Les graphes et l’homologie calculatoireHomologie d’une fonction
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IntroductionTheorie du degreApplication, resolution d’equation f (x) = 0Calcul pratique de l’homologie d’une fonction
Exemple
On idenfifie les points du cercle S1 avec les points du segment[0, 1] ou 0 ∼ 1.Soit f : S1 → S1 definie par f (t) = 3t(1− t).
Fig.: f∗1 6= ϕ∗1, (ϕ1(e3) contient un cycle.)
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IntroductionTheorie du degreApplication, resolution d’equation f (x) = 0Calcul pratique de l’homologie d’une fonction
Theoreme
Soit F : X ⇒ Y une fonction d’inclusion semi-continueinferieurement. Si pour tout x ∈ X , F (x) est acyclique,alors il existe une fonction chaine ϕ : C (X )→ C (Y ) tel que
|ϕ(E )| ⊂ F (E ), ∀E ∈ K(X )
ϕ(c) ∈ K0(F (c)),∀c ∈ K0(X )
Dans ce cas, on dit que ϕ est une selection de F .
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IntroductionTheorie du degreApplication, resolution d’equation f (x) = 0Calcul pratique de l’homologie d’une fonction
Theoreme
Soient F : X ⇒ Y une fonction d’inclusion semi-continueinferieurement. On suppose que pour tout x ∈ X , F (x) estacyclique, et que ϕ est une selection.
f∗ = ϕ∗
Fig.: Calcul par intervalles.Nicolas Delanoue Computational Homology
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Soit X un espace topologique, et ϕ : R× X → X le flot associe al’equation differentielle x = f (x).Soit W un sous ensemble de X , on definit
1 W 0 = {x ∈W | il existe t > 0 tel que ϕ(t, x) 6∈W }2 W− = {x ∈W | ϕ([0, t], x) 6⊂W ,∀t > 0}
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Soit X un espace topologique, et ϕ : R× X → X le flot associe al’equation differentielle x = f (x).Soit W un sous ensemble de X , on definit
1 W 0 = {x ∈W | il existe t > 0 tel que ϕ(t, x) 6∈W }2 W− = {x ∈W | ϕ([0, t], x) 6⊂W ,∀t > 0}
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Soit X un espace topologique, et ϕ : R× X → X le flot associe al’equation differentielle x = f (x).Soit W un sous ensemble de X , on definit
1 W 0 = {x ∈W | il existe t > 0 tel que ϕ(t, x) 6∈W },2 W− = {x ∈W | ϕ([0, t], x) 6⊂W ,∀t > 0}.
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Les graphes et l’homologie calculatoireHomologie d’une fonction
ApplicationsConclusion et perspectives en robotique
Traitement d’imagesSystemes dynamiques
Definition
Un ensemble W est un ensemble de Wazewski si
x ∈W ∧ ϕ([0, t], x) ⊂ W ⇒ ϕ([0, t], x) ⊂W ,
W− est ferme dans W 0.
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Theoreme
Soit W un ensemble de Wazewski. W− est une deformation parretraction de W 0 et W 0 est ouvert dans W .
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Corollaire
Soit W un ensemble de Wazewski. H∗(W−) = H∗(W
0)
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Corollaire
Soit W un ensemble de Wazewski tel que H∗(W ) 6= H∗(W0) alors
W \W 0 6= ∅.i.e. il existe des solutions qui, dans le futur, restent dans W .
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Exemple
H0(W−) = Z2 6= Z = H0(W )
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Exemple
H0(W−) = Z = H0(W )
H1(W−) = Z 6= {0} = H1(W )
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Exemple
H0(W−) = Z = H0(W )
H1(W−) = Z 6= {0} = H1(W )
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Systemes dynamiques xn+1 = f (xn).
la theorie des indices de Conley,
systeme dynamiques symboliques
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http://chomp.rutgers.edu/
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