Computacion Cuantica - Clase 1
Computacion Cuantica - Clase 1
Ariel Bendersky1
1Departamento de Computacion - FCEyN - Universidad de Buenos Aires
Octubre 2015 - ESANFI - Arica, Chile
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Computacion Cuantica - Clase 1
Organizacion del curso
Clase 1 - Formalismo. Qubits, operadores unitarios y elmodelo de circuitos.
Clase 2 - Algoritmos cuanticos. Algoritmo de Deutsch-Jozsa,transformada de Fourier cuantica, algoritmo de factorizacionde Shor.
Clase 3 - Algoritmo de busqueda de Grover. Computacioncuantica basada en la medicion.
Clase 4 - No localidad. Desigualdades de Bell y loopholes. Lano localidad como recurso para computacion cuantica.
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Organizacion del curso
Clase 1 - Formalismo. Qubits, operadores unitarios y elmodelo de circuitos.
Clase 2 - Algoritmos cuanticos. Algoritmo de Deutsch-Jozsa,transformada de Fourier cuantica, algoritmo de factorizacionde Shor.
Clase 3 - Algoritmo de busqueda de Grover. Computacioncuantica basada en la medicion.
Clase 4 - No localidad. Desigualdades de Bell y loopholes. Lano localidad como recurso para computacion cuantica.
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Organizacion del curso
Clase 1 - Formalismo. Qubits, operadores unitarios y elmodelo de circuitos.
Clase 2 - Algoritmos cuanticos. Algoritmo de Deutsch-Jozsa,transformada de Fourier cuantica, algoritmo de factorizacionde Shor.
Clase 3 - Algoritmo de busqueda de Grover. Computacioncuantica basada en la medicion.
Clase 4 - No localidad. Desigualdades de Bell y loopholes. Lano localidad como recurso para computacion cuantica.
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Organizacion del curso
Clase 1 - Formalismo. Qubits, operadores unitarios y elmodelo de circuitos.
Clase 2 - Algoritmos cuanticos. Algoritmo de Deutsch-Jozsa,transformada de Fourier cuantica, algoritmo de factorizacionde Shor.
Clase 3 - Algoritmo de busqueda de Grover. Computacioncuantica basada en la medicion.
Clase 4 - No localidad. Desigualdades de Bell y loopholes. Lano localidad como recurso para computacion cuantica.
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Clase 1
Un poco de historia.
Un qubit. Muchos qubits. Productos tensoriales.
Estados y evolucion temporal. Espacios de Hilbert yoperaciones unitarias.
El modelo de circuitos de la computacion cuantica.
Conjuntos universales de compuertas cuanticas.
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Clase 1
Un poco de historia.
Un qubit. Muchos qubits. Productos tensoriales.
Estados y evolucion temporal. Espacios de Hilbert yoperaciones unitarias.
El modelo de circuitos de la computacion cuantica.
Conjuntos universales de compuertas cuanticas.
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Clase 1
Un poco de historia.
Un qubit. Muchos qubits. Productos tensoriales.
Estados y evolucion temporal. Espacios de Hilbert yoperaciones unitarias.
El modelo de circuitos de la computacion cuantica.
Conjuntos universales de compuertas cuanticas.
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Clase 1
Un poco de historia.
Un qubit. Muchos qubits. Productos tensoriales.
Estados y evolucion temporal. Espacios de Hilbert yoperaciones unitarias.
El modelo de circuitos de la computacion cuantica.
Conjuntos universales de compuertas cuanticas.
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Un poco de historia.
Un qubit. Muchos qubits. Productos tensoriales.
Estados y evolucion temporal. Espacios de Hilbert yoperaciones unitarias.
El modelo de circuitos de la computacion cuantica.
Conjuntos universales de compuertas cuanticas.
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Historia
Hitos
1982 - Richard Feynman se da cuenta de que una computadoraclasica es muy ineficiente para simular sistemas cuanticos. Proponeusar sistemas cuanticos para simular otros sistemas cuanticos.
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Historia
Hitos
1985 - David Deutsch define las maquinas de Turing cuanticas.Eso le da un marco teorico a la computacion cuantica como laconocemos hasta hoy.¿Para que sirve?
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Historia
Hitos
1994 - Peter Shor descubre un algoritmo cuantico eficiente parafactorizar numeros naturales. Eso rompe los sistemas decriptografıa mas utilizados.
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Historia
¿Como es una computadora cuantica?
Figura tomada de http://www.uibk.ac.at/th-physik/qo/research/trappedions.html
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Historia
¿Como es una computadora cuantica?
Figura tomada de la tesis doctoral de Christian Schmiegelow.
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Historia
¿Como se estudia?
Igual que en computacion clasica, en computacion cuantica nosabstraemos del hardware, y pensamos en cualquier sistema de dosniveles (qubit) como el analogo cuantico del bit clasico. Con eso enmente podemos desarrollar un formalismo unico, que no dependedel sistema fısico en cuestion, para estudiar computacion cuantica.
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Formalismo
Los estados cuanticos
Definicion
El estado de un sistema cuantico esta representado por un vector|ψ〉 perteneciente a un espacio de Hilbert H con 〈ψ|ψ〉 = 1.
|ψ〉 es un vector columna complejo de modulo 1
|ψ〉 =
(01
); |ψ〉 =
1√3
1i
1+i√2
〈ψ| es el transpuesto conjugado de |ψ〉, tambien notado como |ψ〉†.
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Formalismo
Los qubits
El qubit - Definicion
Se llama qubit a cualquier sistema de dimension 2. Es elequivalente cuantico del bit.
La base computacional
|0〉 =
(10
)|1〉 =
(01
)Notemos que es una base ortonormal: 〈0|1〉 = 0 y 〈i |i〉 = 1. Lacomputacion clasica solo admite estados de esta base canonica.
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Formalismo
Los qubits
El qubit - Definicion
Se llama qubit a cualquier sistema de dimension 2. Es elequivalente cuantico del bit.
La base computacional
|0〉 =
(10
)|1〉 =
(01
)Notemos que es una base ortonormal: 〈0|1〉 = 0 y 〈i |i〉 = 1. Lacomputacion clasica solo admite estados de esta base canonica.
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Formalismo
Los qubits
Estado mas general
|ψ〉 = cos (θ/2) |0〉+ sen (θ/2) e iφ|1〉
El estado de un qubit puede ser cualquier vector de modulo 1.Estan definidos a menos de una fase global.
La esfera de Bloch
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Formalismo
Los qubits
Estado mas general
|ψ〉 = cos (θ/2) |0〉+ sen (θ/2) e iφ|1〉
El estado de un qubit puede ser cualquier vector de modulo 1.Estan definidos a menos de una fase global.
La esfera de Bloch
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Formalismo
Los qubits
Dos qubits
La base computacional es:
{|00〉, |01〉, |10〉, |11〉}
donde |ij〉 = |i〉 ⊗ |j〉.
〈ij |kl〉 = δikδjl
n-qubits
La base computacional esta formada por todas las n-uplas binarias:
{|0...00〉, |0...01〉, |0...10〉, |1...11〉}
El espacio de Hilbert de n qubits Hn tiene dimension 2n.
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Formalismo
Los qubits
Dos qubits
La base computacional es:
{|00〉, |01〉, |10〉, |11〉}
donde |ij〉 = |i〉 ⊗ |j〉.
〈ij |kl〉 = δikδjl
n-qubits
La base computacional esta formada por todas las n-uplas binarias:
{|0...00〉, |0...01〉, |0...10〉, |1...11〉}
El espacio de Hilbert de n qubits Hn tiene dimension 2n.
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Formalismo
La evolucion temporal
Evolucion unitaria
La evolucion de un sistema cuantico en un estado |ψinicial〉 estadada por:
|ψinicial〉 −→ |ψfinal〉 = U|ψinicial〉
donde U es un operador (matriz) unitario: U† = U−1.Un ingrediente de la computacion cuantica es controlar esasoperaciones U.
Ejemplo
|0〉 −→ |1〉 se hace mediante
U =
(0 11 0
)Porque |1〉 = U|0〉.
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Formalismo
La evolucion temporal
Evolucion unitaria
La evolucion de un sistema cuantico en un estado |ψinicial〉 estadada por:
|ψinicial〉 −→ |ψfinal〉 = U|ψinicial〉
donde U es un operador (matriz) unitario: U† = U−1.Un ingrediente de la computacion cuantica es controlar esasoperaciones U.
Ejemplo
|0〉 −→ |1〉 se hace mediante
U =
(0 11 0
)Porque |1〉 = U|0〉.
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Formalismo
La evolucion temporal
Importante
Toda operacion unitaria se puede implementar. Es decir, se puedenforzar interacciones que hagan que un sistema evolucione deacuerdo a un operador unitario dado.
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Formalismo
Las mediciones proyectivas
Descripcion matematica de las mediciones
Una medicion esta definida por un conjunto de proyectores {Πi}*con
∑i Πi = Id . La mecanica cuantica dice:
La probabilidad de obtener el resultado i al realizar dichamedicion al estado |ψ〉 es pi = 〈ψ|Πi |ψ〉.El estado del sistema luego de obtener el resultado i es:
|ψi 〉 =Πi |ψ〉√〈ψ|Πi |ψ〉
* Un proyector es un operador tal que Π2 = Π.
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Formalismo
Los observables
Se llama observable a cualquier operador hermıtico A = A†.
El valor medio de dicho observable en el estado |ψ〉 es〈ψ|A|ψ〉.La medicion de un observable se hace a partir de medir losproyectores que resultan de su diagonalizacion. A =
∑i αi Πi ,
luego:
〈ψ|A|ψ〉 = 〈ψ|∑
i
αi Πi |ψ〉 =∑
i
αi 〈ψ|Πi |ψ〉 =∑
i
αipi
Los autovalores αi son los posibles resultados de la medicionde A.
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Formalismo
Los observables
Se llama observable a cualquier operador hermıtico A = A†.
El valor medio de dicho observable en el estado |ψ〉 es〈ψ|A|ψ〉.La medicion de un observable se hace a partir de medir losproyectores que resultan de su diagonalizacion. A =
∑i αi Πi ,
luego:
〈ψ|A|ψ〉 = 〈ψ|∑
i
αi Πi |ψ〉 =∑
i
αi 〈ψ|Πi |ψ〉 =∑
i
αipi
Los autovalores αi son los posibles resultados de la medicionde A.
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Formalismo
Los observables
Se llama observable a cualquier operador hermıtico A = A†.
El valor medio de dicho observable en el estado |ψ〉 es〈ψ|A|ψ〉.La medicion de un observable se hace a partir de medir losproyectores que resultan de su diagonalizacion. A =
∑i αi Πi ,
luego:
〈ψ|A|ψ〉 = 〈ψ|∑
i
αi Πi |ψ〉 =∑
i
αi 〈ψ|Πi |ψ〉 =∑
i
αipi
Los autovalores αi son los posibles resultados de la medicionde A.
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Formalismo
Los observables
Se llama observable a cualquier operador hermıtico A = A†.
El valor medio de dicho observable en el estado |ψ〉 es〈ψ|A|ψ〉.La medicion de un observable se hace a partir de medir losproyectores que resultan de su diagonalizacion. A =
∑i αi Πi ,
luego:
〈ψ|A|ψ〉 = 〈ψ|∑
i
αi Πi |ψ〉 =∑
i
αi 〈ψ|Πi |ψ〉 =∑
i
αipi
Los autovalores αi son los posibles resultados de la medicionde A.
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Formalismo
Computacion cuantica
Computos cuanticos
Los computos cuanticos tienen tres etapas:
Preparar un estado trivial. Tıpicamente: |000...0〉 =∣∣0⟩.
Aplicar una operacion unitaria U al estado. Dicha operaciones la implementacion del algoritmo cuantico.
Realizar una medicion trivial. Tıpicamente, medirproyectivamente en la base computacional.
Interpretar el resultado de la medicion.
Es decir
pi =⟨0∣∣U†ΠiU
∣∣0⟩
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Formalismo
Computacion cuantica
Computos cuanticos
Los computos cuanticos tienen tres etapas:
Preparar un estado trivial. Tıpicamente: |000...0〉 =∣∣0⟩.
Aplicar una operacion unitaria U al estado. Dicha operaciones la implementacion del algoritmo cuantico.
Realizar una medicion trivial. Tıpicamente, medirproyectivamente en la base computacional.
Interpretar el resultado de la medicion.
Es decir
pi =⟨0∣∣U†ΠiU
∣∣0⟩
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Formalismo
Computacion cuantica
Computos cuanticos
Los computos cuanticos tienen tres etapas:
Preparar un estado trivial. Tıpicamente: |000...0〉 =∣∣0⟩.
Aplicar una operacion unitaria U al estado. Dicha operaciones la implementacion del algoritmo cuantico.
Realizar una medicion trivial. Tıpicamente, medirproyectivamente en la base computacional.
Interpretar el resultado de la medicion.
Es decir
pi =⟨0∣∣U†Πi
U∣∣0⟩
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Formalismo
Computacion cuantica
Computos cuanticos
Los computos cuanticos tienen tres etapas:
Preparar un estado trivial. Tıpicamente: |000...0〉 =∣∣0⟩.
Aplicar una operacion unitaria U al estado. Dicha operaciones la implementacion del algoritmo cuantico.
Realizar una medicion trivial. Tıpicamente, medirproyectivamente en la base computacional.
Interpretar el resultado de la medicion.
Es decir
pi =⟨0∣∣U†ΠiU
∣∣0⟩
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Formalismo
Complejidad cuantica
Dificultad
La complejidad (cantidad necesaria de recursos) de un algoritmocuantico tiene que ver con la dificultad de implementar U.
Por eso
Exigimos que el estado inicial y la medicion sean triviales. Si no, essimple trivializar U:
pi =⟨0∣∣U†ΠiU
∣∣0⟩ = 〈Ψ|Πi |Ψ〉 =⟨0∣∣Πi
∣∣0⟩donde |Ψ〉 = U
∣∣0⟩ y Πi = U†ΠiU. Fijando el estado inicial y lamedicion metemos toda la complejidad en U.
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Formalismo
Complejidad cuantica
Si todos los algoritmos cuanticos consisten en aplicar unaoperacion unitaria. ¿Por que algunos algoritmos son mas complejos–difıciles– que otros?Los proximos slides veremos eso:
El modelo de circuitos.
Conjuntos universales de compuertas cuanticas.
Formalizaremos levemente la nocion de complejidad.
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Formalismo
Complejidad cuantica
Si todos los algoritmos cuanticos consisten en aplicar unaoperacion unitaria. ¿Por que algunos algoritmos son mas complejos–difıciles– que otros?Los proximos slides veremos eso:
El modelo de circuitos.
Conjuntos universales de compuertas cuanticas.
Formalizaremos levemente la nocion de complejidad.
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Formalismo
Complejidad cuantica
Si todos los algoritmos cuanticos consisten en aplicar unaoperacion unitaria. ¿Por que algunos algoritmos son mas complejos–difıciles– que otros?Los proximos slides veremos eso:
El modelo de circuitos.
Conjuntos universales de compuertas cuanticas.
Formalizaremos levemente la nocion de complejidad.
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Formalismo
El modelo de circuitos
El modelo de circuitos
Es simplemente una representacion grafica de las operacionesunitarias.
Ejemplo
|0〉 U Πi
pi = 〈0|U†ΠiU|0〉
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Formalismo
El modelo de circuitos
El modelo de circuitos
Es simplemente una representacion grafica de las operacionesunitarias.
Ejemplo
|0〉 U Πi
pi = 〈0|U†ΠiU|0〉
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Formalismo
El modelo de circuitos
El modelo de circuitos
Es simplemente una representacion grafica de las operacionesunitarias.
Ejemplo
|0〉 U Πi
pi = 〈0|U†ΠiU|0〉
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Formalismo
El modelo de circuitos
El modelo de circuitos
Es simplemente una representacion grafica de las operacionesunitarias.
Ejemplo
|0〉 U Πi
pi = 〈0|U†ΠiU|0〉
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Formalismo
El modelo de circuitos
El modelo de circuitos
Es simplemente una representacion grafica de las operacionesunitarias.
Ejemplo
|0〉 U Πi
pi = 〈0|U†ΠiU|0〉
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El modelo de circuitos
El modelo de circuitos
Es simplemente una representacion grafica de las operacionesunitarias.
Ejemplo
|0〉 U Πi
pi = 〈0|U†ΠiU|0〉
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Formalismo
Circuitos de muchos qubits
|0〉 U1U3
U5|0〉 U2U4|0〉
Se entiende como:
U(1,2,3)5 (Id (1) ⊗ U
(2,3)4 )(U
(1,2)3 ⊗ Id (3))(U
(1)1 ⊗ U
(2)2 ⊗ Id (3))|000〉
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Formalismo
Algunas unitarias utiles
Unitarias de un solo qubit.
Id =
(1 00 1
), X = σX =
(0 11 0
)
Y = σY =
(0 −ii 0
), Z = σZ =
(1 00 −1
)
H = 1√2
(1 11 −1
), S =
(1 00 i
)
T = Uπ/8 =
(1 0
0 e i π4
)
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Formalismo
Algunas unitarias utiles
Controlled not
Es una compuerta de negacioncontrolada que hace interactuardos qubits.
•
CNOT |00〉 = |00〉
CNOT |01〉 = |01〉
CNOT |10〉 = |11〉
CNOT |11〉 = |10〉
En general: Controlled U
•U
Es una compuerta U controlada.
CU|00〉 = |00〉
CU|01〉 = |01〉
CU|10〉 = |1〉U|0〉
CU|11〉 = |1〉U|1〉
Con U = X se obtiene CNOT .
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Formalismo
Algunas unitarias utiles
Controlled not
Es una compuerta de negacioncontrolada que hace interactuardos qubits.
•
CNOT |00〉 = |00〉
CNOT |01〉 = |01〉
CNOT |10〉 = |11〉
CNOT |11〉 = |10〉
En general: Controlled U
•U
Es una compuerta U controlada.
CU|00〉 = |00〉
CU|01〉 = |01〉
CU|10〉 = |1〉U|0〉
CU|11〉 = |1〉U|1〉
Con U = X se obtiene CNOT .
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Conjuntos universales de compuertas cuanticas
Conjuntos universales de compuertascuanticas
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Conjuntos universales de compuertas cuanticas
Conjuntos universales de compuertas cuanticas
Definicion
Decimos que un conjunto S de compuertas cuanticas es universalsi cualquier unitaria U (de cualquier numero de qubits) puedeaproximarse por una secuencia de aplicaciones de operaciones de S.
Nuestro caso de interes
CNOT y operaciones de un solo qubit son universales.
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Conjuntos universales de compuertas cuanticas
Conjuntos universales de compuertas cuanticas
Definicion
Decimos que un conjunto S de compuertas cuanticas es universalsi cualquier unitaria U (de cualquier numero de qubits) puedeaproximarse por una secuencia de aplicaciones de operaciones de S.
Nuestro caso de interes
CNOT y operaciones de un solo qubit son universales.
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Conjuntos universales de compuertas cuanticas
Ideas para la demostracion
La compuerta de Toffoli
••
Niega el tercer qubit cuando los dos primeros tienen un 1.
Implementacion
• • • • T
• • T † T † S
H T † T T † T H
Puedo usar Toffoli tranquilo.
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Conjuntos universales de compuertas cuanticas
Ideas para la demostracion
La compuerta de Toffoli
••
Niega el tercer qubit cuando los dos primeros tienen un 1.
Implementacion
• • • • T
• • T † T † S
H T † T T † T H
Puedo usar Toffoli tranquilo.
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Conjuntos universales de compuertas cuanticas
Resultado intermedio
Toda matriz unitaria de NxN puede construirse a partir delproducto de matrices de la forma
Vi =
1 0 · · · · · · 00 1 · · · · · · 0...
.... . .
...a bc d
......
. . ....
0 0 · · · · · · 1
llamadas matrices de dos niveles.
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Conjuntos universales de compuertas cuanticas
Demostracion
Primero notemos que para todo vector (x , y) existe una unitaria Vtal que:
V
(xy
)=
(√xx∗ + yy∗
0
)En efecto,
V =1√
xx∗ + yy∗
(x∗ y∗
−y x
)cumple eso y es unitaria.
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Demostracion
De igual forma, para un vector |ζ〉 = (ζ1, ..., ζN) vale que:
VN−1...V1|ζ〉 =
〈ζ|ζ〉
0...0
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Conjuntos universales de compuertas cuanticas
Si la inversa de U es:
U† =
ζ1 ζ∗2 · · · ζ∗N
ζ2. . .
...ζN · · ·
tenemos que VN−1...V1U
† es:
VN−1...V1U† =
1 0 · · · 00... U ′†
0
Repetimos inductivamente y listo.
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Conjuntos universales de compuertas cuanticas
Lo que falta
Falta ver que cada unitaria de dos niveles se puede escribir comoCNOT y unitarias de un solo qubit.
Paso 1 - Idea
Si V es una unitaria de dos niveles, llevar esos niveles al 11..11 y el11..10. La idea es usar los dos niveles originales, por ejemplo100101 y 001000 y usar un bit en el que difieran para hacer, conCNOT o (X ⊗ Id)CNOT (X ⊗ Id) los cambios en cada bit en elque difieren. Finalmente, un swap del qubit que usamos de controlcon el ultimo.
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Conjuntos universales de compuertas cuanticas
Lo que falta
Paso 2 - Final
Hacer una unitaria en el ultimo qubit controlada por todos losdemas:
•••••U
¿Como se hace con CNOT y unitarias de un qubit?
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Conjuntos universales de compuertas cuanticas
Lo que falta
Una forma es agregar n − 1 qubits auxiliares y usar compuertas deTofolli (que sabemos implementar).
• •• •• •• •• •
|0aux〉 • •
|0aux〉 • •
|0aux〉 • •
|0aux〉 •
target U
El truco es que el anteultimo qubit es 1 si todos los anteriores loson, por eso lo uso para controlar.
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Lo que falta
Como realizar U de manera controlada. Se puede hacer mediante:
• •
A B C
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Conjuntos universales de compuertas cuanticas
En resumen
Resultado principal
Toda unitaria se puede implementar con compuertas CNOT , quehacen interactuar los qubits de a dos, y unitarias de un solo qubit.
Pregunta pendiente
¿Hay operaciones unitarias mas simples que otras? Sı. Llamaremoscomplejidad de la implementacion de una operacion unitaria a lacantidad de compuertas CNOT y de un qubit que son necesariasen dicha implementacion.Una definicion asintoticamente equivalente es la cantidad decompuertas CNOT necesarias.
Importante
Dada una unitaria, no hay un metodo para saber la mejor manerade implementarla. De ahı que se sigan optimizando algunasunitarias conocidas.38/39
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Conjuntos universales de compuertas cuanticas
En resumen
Resultado principal
Toda unitaria se puede implementar con compuertas CNOT , quehacen interactuar los qubits de a dos, y unitarias de un solo qubit.
Pregunta pendiente
¿Hay operaciones unitarias mas simples que otras? Sı. Llamaremoscomplejidad de la implementacion de una operacion unitaria a lacantidad de compuertas CNOT y de un qubit que son necesariasen dicha implementacion.Una definicion asintoticamente equivalente es la cantidad decompuertas CNOT necesarias.
Importante
Dada una unitaria, no hay un metodo para saber la mejor manerade implementarla. De ahı que se sigan optimizando algunasunitarias conocidas.38/39
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Conjuntos universales de compuertas cuanticas
En resumen
Resultado principal
Toda unitaria se puede implementar con compuertas CNOT , quehacen interactuar los qubits de a dos, y unitarias de un solo qubit.
Pregunta pendiente
¿Hay operaciones unitarias mas simples que otras? Sı. Llamaremoscomplejidad de la implementacion de una operacion unitaria a lacantidad de compuertas CNOT y de un qubit que son necesariasen dicha implementacion.Una definicion asintoticamente equivalente es la cantidad decompuertas CNOT necesarias.
Importante
Dada una unitaria, no hay un metodo para saber la mejor manerade implementarla. De ahı que se sigan optimizando algunasunitarias conocidas.38/39
Computacion Cuantica - Clase 1
Conjuntos universales de compuertas cuanticas
Hoy vimos...
Un poco de formalismo.
El modelo de circuitos.
CNOT y unitarias de un qubit son universales.
Definimos la complejidad de un algoritmo cuantico.
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Computacion Cuantica - Clase 1
Conjuntos universales de compuertas cuanticas
Hoy vimos...
Un poco de formalismo.
El modelo de circuitos.
CNOT y unitarias de un qubit son universales.
Definimos la complejidad de un algoritmo cuantico.
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Conjuntos universales de compuertas cuanticas
Hoy vimos...
Un poco de formalismo.
El modelo de circuitos.
CNOT y unitarias de un qubit son universales.
Definimos la complejidad de un algoritmo cuantico.
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