Lista de Exercícios para Treinamento - 008 1
Complexos, Polinômios e Trigonometria 01. (UNICAMP-SP) Ao decolar, um avião deixa o solo com um
ângulo constante de 15°. A 3,8 km da cabeceira da pista existe um morro íngreme. A figura abaixo ilustra a decolagem, fora de escala.
Podemos concluir que o avião ultrapassa o morro a uma altura, a partir da sua base, de:
01) 3,8.tg(15°) km.
02) 3,8.sen(15°) km.
03) 3,8.cos(15°) km.
04) 3,8.sec(15°) km.
05) 3,8.cotg(15°) km.
02. (UESB) Considerando-se que os números reais x e y
satisfazem à equação 3x + (y + 2)i = 5y – 4 + 7i, pode-se concluir que:
01) x – y = 1.
02) 3x – 5y = 4.
03) x.y = 35.
04) 𝑥
𝑦=
7
2.
05) 𝑥2 = 16.
03. (AFA) As raízes da equação 2x3 − ax2 + bx + 54 = 0
formam uma progressão geométrica. Se a, b R, b 0,
então 𝑎
𝑏 é igual a:
01) -1/3.
02) 3.
03) -3/2.
04) 2/3.
05) 5.
04. (IFBA) Considerando-se o polinômio P(x) = x3 + 8, no
universo dos números complexos, uma de suas raízes é:
01) 2.
02) −1 + √3 ∙ 𝑖.
03) −1 − √3 ∙ 𝑖.
04) 1 + √3 ∙ 𝑖.
05) √3 + 𝑖.
05. (UNEB) A figura mostra um instrumento utilizado para medir o diâmetro de pequenos cilindros. Ele consiste em um bloco metálico que tem uma fenda com o perfil em forma de V, contendo uma escala. O cilindro é colocado na fenda e a medida de seu diâmetro, em centímetros, é o número que, na escala, corresponde ao ponto de tangência entre o cilindro e o segmento AB. Nessas condições, ao construir a escala de um instrumento desses, o número 2 corresponde a um determinado ponto do segmento AB. Sendo d a distância desse ponto ao ponto A, pode-se afirmar que o valor de d, em cm, é:
01) √1+𝑐𝑜𝑠𝜃
1−𝑐𝑜𝑠𝜃.
02) √1−𝑐𝑜𝑠𝜃
1+𝑐𝑜𝑠𝜃.
03) √1−𝑠𝑒𝑛𝜃
1+𝑐𝑜𝑠𝜃.
04) √1+𝑠𝑒𝑛𝜃
1−𝑠𝑒𝑛𝜃.
05) √1−𝑠𝑒𝑛𝜃
1+𝑠𝑒𝑛𝜃.
06. (UEFS) Considerem-se, no plano complexo representado
na figura, os pontos P, Q e R pertencentes a uma circunferência de centro na origem. Sendo P o afixo de
𝑧 = 2 −3
2𝑖 e QR, um arco medindo
5𝜋
12 u.c., pode-se afirmar
que o ponto R é afixo do número complexo que pode ser representado, algebricamente, por:
01) 5
4∙ (−1 + 𝑖√3).
02) 5√2
4∙ (−1 + 𝑖√3).
03) 5
4∙ (−√3 + 𝑖).
04) 7
4∙ (−√3 + 𝑖).
05) 5√2
4∙ (−1 + 𝑖).
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Lista de Exercícios para Treinamento - 008 2
07. (UEFS) O número complexo 1 + i é raiz do polinômio
P(x) = x4 + 3x3 + px2 − 2x + q, com p,q R. Então, a soma das raízes reais de P(x) é:
01) -5.
02) -3.
03) 2.
04) 3.
05) 5.
08. (UEFS) Se os arcos , e , nessa ordem, formam uma
progressão aritmética, então a expressão 𝑠𝑒𝑛𝛼+𝑠𝑒𝑛𝛽+𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑐𝑜𝑠𝛼+𝑐𝑜𝑠𝛽+𝑐𝑜𝑠𝜃 é
equivalente a:
01) tg.
02) tg.
03) tg.
04) tg( + ).
05) tg( + + ).
09. (UEFS) As telhas onduladas de amianto, bastante
populares, vêm tendo seu uso proibido em diversos municípios brasileiros, por ser um material cancerígeno e por também poder causar doenças respiratórias. Para substituí-las, podem ser usadas as chamadas ecotelhas (telhas onduladas produzidas a partir da reciclagem de material plástico, como, por exemplo, aparas de tubos de creme dental). As ecotelhas têm elevada resistência mecânica, bem como à ação dos raios ultravioleta e infravermelho, além de serem econômicas, são 100% impermeáveis. Supondo-se que a curva representativa de uma secção transversal de uma telha ondulada, como a da figura, seja definida por parte da função real
𝑓(𝑥) = 1 − 2. 𝑠𝑒𝑛 (𝑥
2−
5𝜋
3), é correto afirmar que o conjunto
imagem e o período de f(x) são, respectivamente:
01) [-1, 3] e 4.
02) [-3, 1] e 4.
03) [-1, 3] e 3.
04) [-1, 1] e 2.
05) [-3, 3] e 2.
10. (IFBA) A divisão de um polinômio P(x) por x2 – x resulta no
quociente 6x2 + 5x + 3 e resto -7x. O resto da divisão de P(x) por 2x + 1 é igual a:
01) 1.
02) 2.
03) 3.
04) 4.
05) 5.
11. (UESB) Sejam 𝑷(𝒙) = 𝒙𝟑 + 𝟐𝒂. 𝒙𝟐 + (𝟑𝒂 + 𝒃). 𝒙 − 𝟑𝒃 e
𝑸(𝒙) = 𝟓𝒙𝟑 + (𝒂 + 𝟐𝒃). 𝒙 + 𝟐𝒂 polinômios divisíveis por (x + 1), pode-se afirmar que o resto da divisão de Q(x) por (x + b) é:
01) 15. 02) 12. 03) 8. 04) 3. 05) -4.
12. (UESB) Considerando-se que 1
2∙ [𝑠𝑒𝑛
𝑎
2∙ 𝑐𝑜𝑠
𝑎
2] = 𝑏, pode-
se afirmar que b pertence ao conjunto:
01) ]-, -1]. 02) ]-1, -1/4[. 03) [-1/4, 1/4]. 04) ]1/4, 1[.
05) [1, +[. 13. (EBMSP) A conscientização da importância da atividade
física para a manutenção e promoção da qualidade de vida tem incentivado a população à procura dessa prática. A ioga, por exemplo, já é aceita pela medicina ocidental como mais uma opção de terapia complementar no tratamento de várias doenças. A meditação, exercícios de respiração profunda e posturas corporais, realizados com movimentos suaves e alongados, trazem bem estar e relaxamento. A figura 1 ilustra a postura denominada “Triângulo”, a cuja prática se atribui melhora no equilíbrio físico e emocional, benefícios aos músculos laterais do tronco e fortalecimento da cintura, dentre outros. Tal postura, remete à composição da figura 2, em que:
• 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ . • O raio AD do setor circular CAD mede 0,8u.c. e é
perpendicular ao segmento AB.
• O arco DC mede 𝜋
15 u.c.
Nessas condições, pode-se afirmar que a altura do triângulo ABC relativa à base AB é, em unidades de comprimento, igual a:
01) √2 + √6
5.
02) 2 + √6
5.
03) √2 + 3
5.
04) √3 + √6
6
05) √3 + √2
8
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Lista de Exercícios para Treinamento - 008 3
14. (UNEB) Se um avião decola, formando um ângulo de 60º com a horizontal e viaja em linha reta a uma velocidade de 400 km/h, então, após meia hora de voo, a altitude desse avião é de:
01) 100√3 𝑘𝑚.
02) 90√3 𝑘𝑚.
03) 75√3 𝑘𝑚.
04) 60√3 𝑘𝑚.
05) 50√3 𝑘𝑚.
15. (UNEB) Novos equipamentos podem preparar aeroportos
em dias de nevoeiros. Uma solução são os sistemas de satélite que podem orientar os pilotos a pousar com segurança, mesmo em dias de forte neblina. [...]Em São Paulo, Congonhas já começou a ter problemas devido ao mau tempo. É típico dessa época do ano. No aeroporto mais movimentado do país, é impossível pousar quando a visibilidade fica abaixo de 800m, o mínimo necessário para operar com os instrumentos de navegação instalados. O sistema de pouso usado no Brasil funciona como o rádio de carro. O transmissor fica na pista e o receptor na cabine. As ondas de radiofrequência indicam i posicionamento exato do avião e o melhor ângulo para um pouso perfeito. Mas em Congonhas e na maioria dos aeroportos do país, o sistema só funciona quando a neblina é fraca. O piloto precisa avistar a pista quando chega a 800m de altura.
Suponha que um piloto, voando em um pequeno avião, durante um dia com pouca neblina, só conseguisse avistar o aeroporto de Congonhas na altura mínima necessária para operar com os instrumentos de navegação e que, nesse exato instante, o piloto iniciasse o procedimento de descida de modo tal que o ângulo formado pela horizontal e pela sua trajetória fosse de 20º. Considerando-se sen10o = 0,17, é correto afirmar que a distância, em km, que o avião deverá percorrer até o pouso será, aproximadamente, igual a:
01) 2,40.
02) 2,64.
03) 2,93.
04) 3,16.
05) 3,41.
16. (UESC) Se 0 e 0 /2 e sen + cos = 2,
então sen( + ) é igual a:
01) sen(/3).
02) sen(3/2).
03) cos(2/3).
04) tg(/6).
05) tg(/4).
17. (UEFS) O número complexo z que satisfaz z8 = 16 e
1 + z + z2 + z3 + ... + z7 = − 6 − 3i é:
01) z = i√2.
02) z = − 1 − i.
03) z = − 1 + i.
04) z = 1 − i.
05) z = 1 + i.
Questões 18 e 19:
Para fazer um estudo sobre certo polinômio P(x), um estudante recorreu ao gráfico da função polinomial y = P(x), gerado por um software matemático. Na figura, é possível visualizar-se a parte da curva obtida para valores de x, de − 5 até 2,7.
18. (UESC) Sendo o polinômio P(x), de grau quatro e divisível
por Q(x) = x − 3, o resto de sua divisão por D(x) = x – 5 é:
01) − 60.
02) − 56.
03) − 40.
04) − 34.
05) − 22.
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Lista de Exercícios para Treinamento - 008 4
19. (UESC) O número de raízes da equação |P(x)| = 1, no intervalo [−5, 2,7], é igual a:
01) 2.
02) 3.
03) 4.
04) 5.
05) 6.
20. (UEFS) As raízes de P(x) = x3 − 14x2 + 63x − 90 são
medidas dos lados de um triângulo. Nessas condições, a área desse triângulo, em u.a, é igual a:
01) 62 .
02) 10 .
03) 102 .
04) 14 .
05) 142 .
21. (UEFS) Sendo i
iz
21
5
−= , considere o número complexo w
com módulo igual ao de z e argumento principal medindo o dobro do argumento principal de z. Nessas condições, w pode ser representado algebricamente por:
01) )43(5
5i− .
02) )43(5
1i+− .
03) i43+ .
04) )24(5 i+− .
05) )24(5 i− .
22. (UEFS) Os números reais x1, x2 e x3 são os três primeiros
termos de uma Progressão Aritmética crescente e também
são raízes do polinômio 3.)( 23 +++−= xxkxxP , onde
1111
323121
−=
+
+ xxxxxx
. O vigésimo termo dessa
progressão é:
01) 16.
02) 22.
03) 35.
04) 37.
05) 41.
23. (UNEB) Sabendo-se que o número complexo z verifica a equação i.z + 2z + 1 – i = 0, pode-se afirmar que o valor de 5.|z| é igual a:
01) 1.
02) 10 .
03) 3 .
04) 2.
05) 3.
24. (UNEB) Considerando-se mxsenx =+ cos , m > 0 e
4cos
nxsenx = , pode-se afirmar que o valor de 2m – n é
igual a:
01) 2.
02) 1.
03) 0.
04) -2.
05) -3.
25. (UNEB) Se 3
=arcsenx , então ).2cos( arcsenx é igual a:
01) 1.
02) 0.
03) 31− .
04) -1/2.
05) 4
31−.
26. (UEFS) A sequência (zn) é uma progressão geométrica
cujo primeiro termo e razão são, respectivamente iguais a z1 = 1 – i e q = i. Nessas condições, pode-se concluir que
5
3
z
z é igual a:
01) -1.
02) -i.
03) 1.
04) i.
05) 1 + i.
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Lista de Exercícios para Treinamento - 008 5
27. (UEFS) Os afixos dos números complexos:
• oo isen4545cos + .
• oo isen135135cos + .
• oo isen270270cos + são, no plano de Argand-Gauss:
01) Pontos colinares.
02) Vértices de um triângulo eqüilátero.
03) Vértices de um triângulo retângulo.
04) Pontos de uma circunferência com centro na origem e raio 1.
05) Pontos de uma circunferência com centro na origem e
raio 2 .
28. (UEFS) A soma e o produto das raízes do polinômio
P(x) = 2x2 + bx + c são, respectivamente, -6 e 5. Assim, o valor mínimo que P(x) pode assumir pertence ao conjunto:
01) {-6, -4, -1}.
02) {-5, -3, 0}.
03) {-8, 1, 6}.
04) {2, 4, 5}.
05) {3, 7, 8}.
29. (AFA) Considerando os números complexos z1 e z2, tais
que:
• z1 é a raiz cúbica de 8i que tem afixo no segundo quadrante.
• z2 é raiz da equação x4 + x2 – 12 = 0 e Im(z2) > 0.
Pode-se afirmar que |z1 + z2| é igual a:
01) 3 + √3.
02) 2√3.
03) 1 + 2√2.
04) 2 + 2√2.
05) 3 − √5.
30. (EBMSP) Sendo um número complexo
z = (a2 – 25) + (a – 5)i, com a ∈ R; a condição suficiente para que z seja um número imaginário puro é:
01) a = 5.
02) a = ± 5.
03) a = -5.
04) a ≠ ± 5.
05) a ≠ 0.
31. (EBMSP) Se o resto da divisão do polinômio P(x) = x4 – 5x3 – kx – 65 por D(x) = x – 5 é 10, então o valor de k é:
01) -15.
02) -25.
03) -5.
04) 0.
05) 10.
32. (EBMSP) A menor raiz real positiva da equação
1cos
cos=
senxx
xsenx é:
01) 0.
02) 30º.
03) 45º.
04) 90º.
05) 120º.
33. (UNEB) Os afixos dos números complexos z1 = -2i, z2 e z3
são equidistantes do ponto P(0, 0) e são vértices de um triângulo eqüilátero. Nessas condições, pode-se concluir que z2.z3 é igual a:
01) 1 – i.
02) 1 + i.
03) i3+ .
04) um imaginário puro.
05) um número real.
34. (UEFS) Sendo W = 3i, pode-se afirmar que
Z = W2 – 2i.W + 1 + i é um número complexo, cujo módulo é igual a:
01) 2 .
02) 3 .
03) 2.
04) 5 .
05) 3.
35. (UEFS) O resto da divisão do polinômio P(x) = x9 + x pelo
polinômio Q(x) = x2 – 1 é:
01) -x + 1.
02) 2x + 1.
03) 0.
04) -x.
05) 2x.
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Lista de Exercícios para Treinamento - 008 6
36. (EBMSP) Sendo i a unidade imaginária e z um número
complexo tal que 2)3i1(z += , então o argumento de z
é:
01) 30º.
02) 60º.
03) 120º.
04) 150º.
05) 210º.
37. (UEFS) Se x é um ângulo do segundo quadrante que
satisfaz a equação 6. 𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 (𝜋
2− 𝑥) = 4 + 2. cos (−𝑥),
então cosx é igual a:
01) -2/3.
02) -3/5.
03) -1/2.
04) 1/2.
05) 3/4.
38. (UEFS) O argumento principal e o módulo do número
complexo z, são, respectivamente, iguais a
3OA e 6
=
= . Sendo z uma das raízes do polinômio
P(x) = 2x3 – 5x2 + mx – n, m e n constantes, pode-se afirmar que o valor da única raiz real de P(x) = 0 é:
01) -2.
02) -1/2.
03) 3/2.
04) 2.
05) 5/2.
39. (UEFS) Com relação aos números complexos z1 e z2, tais
que z1 + i.z2 = 3 e z2 + i.z1 = 2 + i, é correto afirmar:
01) Re(z1) = 2. Re(z2).
02) Re(z1 – z2) = 0.
03) 21 zz = .
04) |z1| = |z2|.
05) z2 R.
40. (UEFS) O polinômio p(x) = x3 + r.x2 – s.x − t, no qual r, s
e t são constantes estritamente positivas, tem uma raiz dupla e é divisível por q(x) = x + 2. Nessas condições, é correto afirmar que:
01) 1 < r < 3.
02) r > 3.
03) s > 12.
04) 0 < t < 4.
05) 4 < t < 16.
GABARITO
(TRIGONOMETRIA, NÚMEROS COMPLEXOS E POLINÔMIOS) 01) 01 02) 03 03) 01 04) 04 05) 01
06) 01 07) 01 08) 02 09) 01 10) 05
11) 02 12) 03 13) 01 14) 01 15) 01
16) 05 17) 03 18) 02 19) 04 20) 05
21) 01 22) 03 23) 02 24) 01 25) 04
26) 04 27) 04 28) 03 29) 02 30) 03
31) 01 32) 04 33) 05 34) 04 35) 05
36) 03 37) 01 38) 02 39) 01 40) 05
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