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COMPLEMENTOS AO CURSO DE FÍSICAMATEMÁTICA II: FUNÇÃO DEGREEN E TEORIA ESPECTRAL DE OPERADORES COMPACTOS
DOMINGOS H. U. MARCHETTI
IFUSP - 2018
Conteúdo
1. Preliminares à Teoria de SturmLiouville 31.1. Solução geral e solução do PVI 41.2. Teoremas de Sturm 101.3. Problema de SturmLiouville 121.4. Existência de autovalores 152. O Problema de Sturm-Liouville 182.1. Considerações Algébricas 182.2. Operador integral inverso a L0 seu núcleo integral de Green 212.3. A equação integral do Problema de Sturm-Liouville 262.4. Redução de uma forma quadrática Hermiteana aos eixos principais 323. Operadores Compactos: Teoria Espectral 443.1. Compacidade na reta e em espaços métricos 443.2. Equicontinuidade 483.3. Operadores compactos 493.4. Teoria espectral de operadores compactos autoadjuntos 534. Equações integrais 604.1. O método de aproximações Sucessivas 604.2. Transformação inversa, valores regulares e singulares 664.3. Aproximação por núcleos integrais de posto nito 724.4. Alternativa e determinante de Fredholm 74
Nestas notas temos por objetivo coletar e reorganizar os principais resultados da teoria espectralde operadores hermitianos compactos contidos no texto do Prof. Chaim S. Hönig Análise funcionale o problema de Sturm-Liouville e empregados no tratamento da Teoria de SturmLiouville. Estareorganização do material se faz necessário por conta de nossa preocupação em desenvolver oproblema de SturmLiouville concisamente, inserindo apenas o que lhe é própriamente pertinente.
1
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COMPLEMENTOS 2
Faremos uma discussão preliminar do problema de Sturm-Liouville por intermédio dos teoremasde comparação e oscilação de Sturm. Nesta abordagem seguiremos o Cap. IV do texto do Prof.Jorge Sotomayor Lições de equações diferenciais ordinárias .Dividiremos o assunto em quatro seções. A Seção 1 introduz o problema de Sturm-Liouville
como concebido em sua forma clássica, por intermédio dos teoremas de Sturm. A Seção 2 introduza função de Green G(x, y) do problema de SturmLiouville e dene o operador integral Gρ quetem como núcleo esta função. Segue desta representação que as autofunções ϕn(x) do problemaassociados ao autovalor λn são autofunções do operador integral Gρ associado ao autovalor 1/λn.A teroria espectral para Gρ é muito mais simples pois Gρ é um operador Hermitiano compacto. NaSeção 3 estudamos a teoria espectral dos operadores compactos em geral. Na Seção 2 aplicamosesta teoria a Gρ, estendendo em seguida o método da função de Green ao sentido generalizado.Visando dar uma base algébrica mais sólida ao tratamento via função de Green do problema deSturmLiouville, faremos na Seção 4 uma exposição da teoria de Fredholm das equações integrais.
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COMPLEMENTOS 3
1. Preliminares à Teoria de SturmLiouville
O objetivo é estudar o problema de SturmLiouville cuja formulação se dá em termos de umaequação diferencial ordinária de segunda ordem da forma
− Lλ[y]def.= (p(x)y′)
′+ (λρ(x)− q(x)) y = f(x) (1.1)
onde p, p′, q e ρ são funções contínuas denidas em um intervalo [a, b] tais que p(x), ρ(x) ≥ 0
(p(x) > 0 problema regular) e λ ∈ R.Primeiramente, por que estudar este tipo de equação e quais as motivações para este estudo?
Apontamos, ao menos, três motivações principais (para uma discussão sobre esta questão, vejahttps://math.stackexchange.com/questions/1915313): 1. Seja Lλ : C 2(a, b) −→ C (a, b) a transfor-mação linear (entre espaços vetoriais de funções) cuja ação é denida pelo lado direito da igualdade
(1.1) e seja (f, g) =
∫ b
a
f(x)g(x)dx o produto interno nestes espaços. Lλ é um operador dife-
rencial autoadjunto, i. e., a equação adjunta L∗λ[v], denida por (Lλ[u], v) = (u, L∗λ[v]) paraquaisquer duas funções u e v no domínio de Lλ, e obtida por integração parcial, mantém a mesmaforma (1.1): L∗λ[v] = Lλ[v]. Por conta disso, os valores próprios λ's, da equação de autovaloresLλ[y] = L0[y]− λy = 0, são reais e as autofunções yλ's, correpondentes a autovalores distintos, sãoortogonais; 2. Denimos sobre o espaço (a = 0 e b = L)
H10 (0, L) =
f : (0, L) −→ R : f, f ′ ∈ L2(0, L), f(0) = f(L) = 0
de Sobolev os funcionais
E, J : H10 (0, L) −→ R
de energia e norma ponderada:
E[y] =
∫ L
0
(p(x)y′(x)2 + q(x)y(x)2
)dx (1.2)
J [y] =
∫ L
0
ρ(x)y(x)2dx = ‖y‖2ρ . (1.3)
Equações de EulerLagrange do problema de SturmLiouville são obtidas pelo cálculo das variações.Para calcular a derivada funcional de E e J na direção do vetor v (satisfazendo v(0) = v(L) = 0):
limε→0
1
ε(E[y + εv]− E [y]) =
(v,δE
δy[y]
)=
∫ L
0
v(x)δE[y]
δy(x)dx
limε→0
1
ε(J [y + εv]− J [y]) =
(v,δJ
δy[y]
)substituímos (1.2) e (1.3) no lado esquerdo destas equações e integramos por partes, resultando asequações
δE[y]
δy(x)= −2 (p(x)y′)
′+ 2q(x)y
δJ [y]
δy(x)= 2ρ(x)y . (1.4)
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COMPLEMENTOS 4
O mínimo do funcional energia E[y] sujeito ao vínculo de normalização ‖y‖ρ = 1:
miny∈H1
0 (0,L)E[y] : J [y] = 1
satisfaz, pelo método do multiplicador de Lagrange:
limε→0
1
ε(E[y + εv]− λJ [y + εv]− E [y] + λJ [y]) =
(v,δE[y]
δy− λδJ [y]
δy
)= 0
resultando por (1.4) a equação de EulerLagrange (1.1) com f ≡ 0:1
− (p(x)y′)′+ (q(x)− λρ(x))y = 0 ,
sujeita ao vínculo ‖y‖ρ = 1 e cuja única solução dado pelo par (λ, y(x)), fornece o menor autovalorλ1 e autofunção y1(x) correspondente ao problema de autovalores de SturmLiouville (mínimoglobal do funcional energia vinculado). Dados λ1 e y1(x), minimizamos o funcional energia E[y]
sujeito ao vínculo de normalização e ortogonalidade:
miny∈H1
0 (0,L)
E[y] : J [y] = 1 e (y, y1)ρ =
∫ L
0
y(x)y1(x)ρ(x)dx = 0
cuja única solução (λ, y(x)), fornece o segundo menor autovalor λ2 > λ1 e autofunção correspon-dente y2(x) normalizada ‖y2‖ρ = 1. Prosseguindo, os minimizantes do funcional de energia E[y]
sujeitos ao vínculo de normalização e ortogonalidade com respeito as soluções obtidas anterior-mente, produzem uma coleção enumerável de autovalores e autofunções correspondentes
λ1 < λ2 < · · · < λn < · · ·y1(x), y2(x), . . . , yn(x), . . . (1.5)
mutuamente ortogonais e normalizadas do problema de autovalores de SturmLiouville. 3. Aterceira e última motivação para se estudar as equações da forma (1.1) é que as leis que descrevema eletrostática/eletrodinâmica, que regem a dinâmica e regime estacionário de meios contínuos,como por exemplo a propagação do calor e vibrações em meios elásticos, e que descrevem a funçãode onda de uma partícula quântica em um potencial podem ser reduzidas a uma ou mais equaçõesdesta forma por separação de variáveis adequada a simetria do problema.Este estudo está dividido em quatro Subseções:
1.1. Solução geral e solução do PVI. Inicialmente, estudaremos as propriedades básicas deuma equação diferencial linear de segunda ordem
y′′ + p(x)y′ + q(x)y = f(x) (1.6)
onde p, q, f : (a, b) −→ R são funções contínuas.
1Escrevemos a ação A = E−λJ =∫
L dx, onde a Lagrangeana L = L [y, y′] = p(x) (y′)2+(q(x)−λ)y2. A equação
de EulerLagrange ∂/∂xLy′ −Ly = 0, onde Ly′ e Ly denotam, respectivamente, as derivadas parciais de L comrespeito a y′ e y, associada a esta Lagrangeana coincide com a equação de SturmLiouville.
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COMPLEMENTOS 5
Existência e unicidade do PVI. Consideremos o problema de valor inicial (PVI) dado pelaequação (1.6) juntamente com os dados iniciais:
y(x0) = y0
y′(x0) = v0 (1.7)
com (x0, y0, v0) ∈ (a, b)× R× R arbitrário.
Teorema 1.1. Se p, q e f são contínuas em (a, b), então o PVI, equações (1.6) e (1.7), tem uma,
e somente uma, solução denida no intervalo (a, b).
Prova. Seja
y1(x) = y(x)
y2(x) = y′(x)
as componentes de uma função y = (y1, y2) : J ⊂ (a, b) −→ R2 a valores vetoriais. Como
y′1 = y2
y′2 = −q(x)y1 − p(x)y2 + f(x)
a função y satisfaz um PVI
y′ = f(x,y) (1.8)
y0 = y(x0) (1.9)
onde f = (f1, f2) com f1 = f1(x, y1, y2) = y2 e f2 = f2(x, y1, y2) = −q(x)y1 − p(x)y2 + f(x) ey0 = (y0, v0) ∈ R2 para algum x0 ∈ J ⊂ (a, b). Note que cada componente fi de f é contínua em x
e diferenciável em y1 e y2 e o campo vetorial (x,f) está denido no cilíndro aberto Ω = (a, b)×R×R.Logo, pelo Teorema de existência e unicidade do PVI para um sistema de equações diferenciais deprimeira ordem, existe um aberto J contendo x0 e uma única função y : J −→ R2 tal que y(J) ⊂ R2
e satisfaz o PVI (1.8) e (1.9) para todo x ∈ J . A existência do PVI pode ser estendida a um intervalomaximal J∗ que coincide com intervalo (a, b) pois as soluções de um sistema linear são globais nointervalo de denição e isso conclui a prova do Teorema 1.1.
Equação homogênea (f ≡ 0). Considere agora a equação (1.6) homogênea
y′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0 , x ∈ (a, b) (1.10)
com p, q contínuas. Pelo Teorema 1.1, existe uma única solução para cada um dos dados iniciais:
y(x0) = 1 , y′(x0) = 0 (1.11)
ey(x0) = 0 , y′(x0) = 1 (1.12)
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COMPLEMENTOS 6
para algum x0 ∈ (a, b). Sejam
φ1 : (a, b) −→ R
φ2 : (a, b) −→ R
as soluções do PVI (1.10) juntamente com (1.11) e (1.12), respectivamente. Então, qualquer função
φ(x) = α1φ1(x) + α2φ2(x) , α1, α2 ∈ R (1.13)
é solução do PVI (1.10) comφ(x0) = α1 , φ′(x0) = α2 .
A recíproca também é verdadeira.
Proposição 1.2. Qualquer solução de (1.10) é da forma (1.13) para algum par α1, α2 ∈ R.
Prova. Seja φ : (a, b) −→ R uma solução de (1.10) e tome φ(x0) = α1 e φ′(x0) = α2, x0 ∈ (a, b).Então, devido a linearidade da equação (1.10),
ψ(x) = φ(x)− α1φ1(x)− α2φ2(x) ,
satisfaz (1.10) com ψ(x0) = ψ′(x0) = 0. Pelo Teorema 1.1, ψ(x) ≡ 0 é a única solução do PVI,concluindo a demonstração.
De onde se conclui que (1.13) é a solução geral da equação (1.10).
Denição 1.3. Duas funções φ1, φ2 : (a, b) −→ R são linearmente dependentes (L. D.) se
existir uma constante k ∈ R tal que
φ2(x) = kφ1(x) , ∀x ∈ (a, b) .
Duas funções (φ1 e φ2) são linearmente independentes (L. I.) se a condição
α1φ1(x) + α2φ2(x) = 0 , ∀x ∈ (a, b)
implicar que α1 = α2 = 0 (obviamente, φ1 e φ2 são L. I. se não forem L. D.).
Denição 1.4. Dadas duas funções φ1, φ2 : (a, b) −→ R diferenciáveis, o determinante
W (φ1, φ2;x) =
∣∣∣∣∣ φ1(x) φ2(x)
φ′1(x) φ′2(x)
∣∣∣∣∣= φ1(x)φ′2(x)− φ2(x)φ′1(x) (1.14)
é chamado Wronskiano das funções φ1, φ2 em x ∈ (a, b) ou simplesmente função Wronskiana.
Proposição 1.5. Sejam φ1, φ2 : (a, b) −→ R duas funções diferenciáveis cujo Wronskiano
W (φ1, φ2;x0) é diferente de 0 em um ponto x0 ∈ (a, b). Então φ1, φ2 são L. I..
Prova. Suponhamos, por contradição, que φ1, φ2 sejam L. D.. Então existem α1 e α2 tais que|α1|+ |α2| 6= 0 e
α1φ1(x) + α2φ2(x) = 0 , ∀x ∈ (a, b) .
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COMPLEMENTOS 7
Derivando esta equaçãoα1φ
′1(x) + α2φ
′2(x) = 0
e tomando x = x0, temos (φ1(x0) φ2(x0)
φ′1(x0) φ′2(x0)
)(α1
α2
)=
(0
0
). (1.15)
Como por hipótese W (φ1, φ2;x0) 6= 0, a única solução de (1.15) para (α1, α2) é α1 = α2 = 0,contradizendo |α1|+ |α2| 6= 0 e a suposição de φ1, φ2 serem L. D..
Observação 1.6. A reciproca é falsa, como pode ser visto pelo seguinte exemplo: φ1(x) = x3 e
φ2(x) = |x|3, denidas em R, são L. I. porém W (φ1, φ2;x0) = 0 para todo x0 ∈ R.
Teorema 1.7. Sejam φ1, φ2 : (a, b) −→ R duas soluções quaisquer de (1.10). Então φ1 e φ2 são L.
I. se, e somente se, W (φ1, φ2;x0) 6= 0 em um ponto x0 ∈ (a, b). Se, além disso, W (φ1, φ2;x0) 6= 0
em algum ponto x0, então W (φ1, φ2;x) 6= 0 para todo x ∈ (a, b).
Prova. Devido a Proposição 1.5, resta provar para a primeira assertiva que, se φ1, φ2 são soluçõesL. I. de (1.10), então W (φ1, φ2;x0) 6= 0 em algum ponto x0. Vamos mostrar que W (φ1, φ2;x) 6= 0,∀x ∈ (a, b).Suponhamos, por contradição, que W (φ1, φ2;x0) = 0. Então o sistema de equações
α1φ1(x0) + α2φ2(x0) = 0
α1φ′1(x0) + α2φ
′2(x0) = 0 (1.16)
tem solução nãoDerivando a expressão trivial ((α1, α2) 6= (0, 0)) para (α1, α2). Escrevemos
φ(x) = α1φ1(x) + α2φ2(x) , x ∈ (a, b)
que, por hipótese, é solução da equação (1.10) e, por (1.16), satisfaz as condições iniciais
φ(x0) = φ′(x0) = 0 .
Logo, pelo Teorema 1.1, φ(x) = 0 para todo x ∈ (a, b) e isso implica que φ1, φ2 são L. D.,contradizendo a hipótese. A segunda assertiva segue da fórmula de AbelLiouville (veja Teorema1.8 a seguir).
Teorema 1.8. Sejam φ1, φ2 : (a, b) −→ R duas soluções quaisquer de (1.10). Então
W (φ1, φ2;x) = W (φ1, φ2;x0) exp
(−∫ x
x0
p(s)ds
), x0 ∈ (a, b) . (1.17)
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COMPLEMENTOS 8
Prova. Diferenciando (1.14) com respeito a x, temos
W ′(φ1, φ2;x) = φ′1(x)φ′2(x)− φ′2(x)φ′1(x) + φ1(x)φ′′2(x)− φ2(x)φ′′1(x)
= φ1(x)φ′′2(x)− φ2(x)φ′′1(x)
= φ1(x) (−p(x)φ′2(x)− q(x)φ2(x))− φ2(x) (−p(x)φ′1(x)− q(x)φ1(x))
= −p(x) (φ1(x)φ′2(x)− φ2(x)φ′1(x))
= −p(x)W (φ1, φ2;x) .
Integrando (logW )′ = W ′/W = −p(x) sobre o intervalo (x0, x) obtemos pelo teorema fundamentaldo cálculo a fórmula (1.17) desejada.
Observação 1.9. Pela fórmula de AbelLiouville (1.17), uma de duas alternativas ocorre: ou
W (φ1, φ2;x) = 0, ∀x ∈ (a, b) ou W (φ1, φ2;x) 6= 0, ∀x ∈ (a, b).
Teorema 1.10. Sejam ψ1, ψ2 : (a, b) −→ R duas soluções L. I. de (1.10). Então qualquer solução
φ de (1.10) é da forma
φ(x) = α1ψ1(x) + α2ψ2(x) , (1.18)
para algum par α1, α2 ∈ R.
Prova. Seja φ(x) uma solução de (1.10). Fixe x0 ∈ (a, b) e escreva
α1ψ1(x) + α2ψ2(x) = φ(x0)
α1ψ′1(x) + α2ψ
′2(x) = φ′(x0) .
Como W (ψ1, ψ2;x0) 6= 0, então α1 e α2 são determinados pelos valores φ(x0) e φ′(x0) da solução esua derivada no ponto x0.Considere a função
σ(x) = α1ψ1(x) + α2ψ2(x)
que é uma solução de (1.10) com
σ(x0) = α1ψ1(x0) + α2ψ2(x0) = φ(x0)
σ′(x0) = α1ψ′1(x0) + α2ψ
′2(x0) = φ′(x0) .
Pelo Teorema 1.1, de existência e unicidade, σ(x) = φ(x). Note que a diferença δ(x) = σ(x)−φ(x)
satisfaz (1.10) com δ(x0) = δ′(x0) = 0, cuja única solução é δ(x) = 0 para todo x ∈ (a, b), concluindoa demonstração do teorema.
Observação 1.11.(1) Se encontrarmos quaisquer duas soluções ψ1, ψ2 L.I. de (1.10), então escrevemos sua solução
geral (1.18).
(2) Se y1(x) e y2(x) são duas soluções da equação nãohomogênea , então y1(x)− y2(x) é uma
solução da equação homogênea (1.10). Portanto, se yp(x) é uma solução particular qualquer
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COMPLEMENTOS 9
de (1.6) então uma solução geral de (1.6) é
y(x) = α1ψ1(x) + α2ψ2(x) + yp(x)
(3) Se conhecermos duas soluções L. I. de (1.10), então podemos determinar uma solução geral
de (1.6) pelo método da variação das constantes.
Comentário Algébrico. Seja C j(a, b), j ≥ 0, o espaço vetorial (real) das funções φ : (a, b) −→ Rda classe C j (isto é, a classe das funções continuamente diferenciáveis até a jésima derivada). Aequação (1.6) dene um operador diferencial em C 2(a, b):
L : C 2(a, b) −→ C (a, b)
φ 7−→ L [φ] = φ′′ + p(x)φ′ + q(x) ,
com p, q : (a, b) −→ R contínuas.O núcleo (ou espaço nulo) N (L) do operador L é um subespaço vetorial de C 2(a, b):
N (L) =φ ∈ C 2(a, b) : L[φ] = 0
(lembre que a combinação linear de duas soluções φ1 e φ2 de é uma solução de (1.10). 0 é afunção em (a, b) identicamente nula, isto é, o elemento 0 do espaço vetorial C 0(a, b)). Vimos quedim (N (L)) = 2.A imagem R(L) do operador L em C 2(a, b) é o subespaço vetorial de C 0(a, b)
R(L) =f ∈ C 0(a, b) : ∃φ ∈ C 2(a, b) e L[φ] = f
.
Segue do Teorema 1.1, de existência e unicidade da solução de (1.6), que R(L) = C 0(a, b). Logo,o operador L é sobrejetivo. Porém, como N (L) tem dimensão 2, o operador L não é inversível.2
A imagem inversa L−1[f ] de um elemento f ∈ C 0(a, b) é uma variedade linear (am) da forma
yp + N (L)
onde yp(x) é qualquer elemento de L−1[f ].Incluindo ao espaço C 2(a, b) no domínio D (Lµ) do operador diferencial Lµ = L0− µρ, dado por
(1.1), as condições de contorno,
D (Lµ) =φ ∈ C 2(a, b) : αφ(a) + βφ′(a) = γφ(b) + δφ(b) = 0
,
se µ é diferente de qualquer autovalor λ de L0: µ 6∈ λ ∈ R : Lλ[φ] = L0[φ]−λρφ = 0 para algum φ 6=0, então, como veremos,
(L0 − µρ) : D (Lµ) −→ C 0(a, b)
é injetivo e sobrejetivo. O operador inverso Sµ = (L0 − µρ)−1 é compacto S é um operadorintegral e seu núcleo integral é a função de Green G(x, x′;µ): Sµ[f ](x) =
∫ baG(x, x′;µ)f(x′)dx′.
Por isso iremos retornar a nossa leitura do texto do Prof. Elon Lima Espaços métricos sobreespaços métricos (Banach e Hilbert) compactos e separaveis.
2Para ser inversível L precisaria ser injetivo, isto é, N (L) = 0. Equivalentemente, L[φ1 − φ2] = L[φ1]− L[φ1] =0 =⇒ φ1 − φ2 = 0 .
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COMPLEMENTOS 10
Nos tópicos a seguir desta seção preliminar, seguiremos de perto o Cap. IV do texto do Prof.Jorge Sotomayor Lições de equações diferenciais ordinárias.
1.2. Teoremas de Sturm. Introduziremos aqui os instrumentos necessários para a análise doproblema de autovalores mencionado nas motivações. Demonstraremos dois teoremas devido aSturm e duas aplicações que nos permitem provar de maneira ilustrativa a existência de umainnidade de autovalores e autofunções correspondentes do problema de Sturm-Liouville. Vejaequação (1.5).
Teorema 1.12 (de separação). Sejam u, v : (a, b) −→ R duas soluções L. I. de (1.10) com p,
q : (a, b) −→ R contínuas. Então os zeros de u e v se alternam em (a, b).
Prova. Pelo Teorema 1.7, se u e v são L. I., então o Wronskiano W (u, v;x) não se anula em algumponto x0 ∈ (a, b) e, devido ao Teorema 1.8,
W (u, v;x) = u(x)v′(x)− v(x)u′(x) 6= 0 , ∀x ∈ (a, b) . (1.19)
Em consequência disso, o sinal de W (u, v;x) permanece constante para todo x ∈ (a, b).Se x1 e x2 são quaisquer dois zeros consecutivos de u(x) em (a, b), então os sinais da derivada
u′(x) nestes pontos são distintos: ou
u′(x1) < 0 < u′(x2) (1.20)
e, neste caso, u(x) < 0 para x ∈ (x1, x2); ou
u′(x2) < 0 < u′(x1) (1.21)
e u(x) > 0 para x ∈ (x1, x2). Como, devido a (1.19),
W (u, v;x1) = −v(x1)u′(x1)
W (u, v;x2) = −v(x2)u′(x2)
têm o mesmo sinal, segue de (1.20) ou (1.21) que os sinais de v(x1) e v(x2) são também distintos.Este fato implica que v(x) deve se anular pelo menos uma vez no interval (x1, x2). Trocando u e vde papeis, se por outro lado x1 e x2 são quaisquer dois zeros consecutivos de v(x) em (a, b), entãou(x) deve se anular pelo menos uma vez no interval (x1, x2). Logo os zeros de u e v se entrelaçamem (a, b) pois, caso contrário, teríamos uma contradição.
Teorema 1.13 (de comparação). Sejam u, v : (a, b) −→ R soluções não triviais (i. e., não
identicamente nulas) de
(p(x)u′)′+ q(x)u = 0 (1.22)
e
(p(x)v′)′+ q(x)v = 0 (1.23)
onde p, p′, q e q são contínuas em (a, b), p(x) > 0 e q(x) ≥ q(x). Se x1 < x2 são zeros consecutivos
de u, então v se anula pelo menos uma vez em (x1, x2), a menos que q(x) = q(x) neste intervalo
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COMPLEMENTOS 11
e, nesse caso u e v são L. D.:
v(x) = ku(x) , ∀x ∈ (x1, x2)
para algum k ∈ R.
Prova. Subtraindo (1.22) multiplicado por v de (1.23) multiplicado por u, obtemos
(p(x)u′)′v − (p(x)v′)
′u− (q(x)− q(x))uv = 0 . (1.24)
Reescrevendo os dois primeiros termos como uma derivada total
(p(x)u′)′v − (p(x)v′)
′u = (p(x)u′v − p(x)v′u)
′
= − (p(x)W (u, v;x))′ ,
a integral de (1.24) sobre o intervalo (x1, x2), pelo teorema fundamental do cálculo, pode ser escritacomo ∫ x2
x1
(q(x)− q(x))u(x)v(x)dx = p(x1)W (u, v;x1)− p(x2)W (u, v;x2) .
Suponha, por contradição, que v(x) não se anule no intervalo (x1, x2). Podemos ainda supor, semperda de generalidade, que ambos u(x) > 0 e v(x) > 0 em (x1, x2). Como u1(x1) = u1(x2) = 0 eu′(x1) > 0 e u′(x2) < 0, concluímos∫ x2
x1
(q(x)− q(x))u(x)v(x)dx = −p(x1)v(x1)u′(x1) + p(x2)v(x2)u′(x2) ≤ 0
que é uma contradição pois q(x) ≥ q(x), por hipótese, a não ser que q(x) = q(x) em (x1, x2) e,nesse caso, pelo Teorema de separação 1.12, as duas soluções u e v são L. D.: ∃k ∈ R tal quev(x) = ku(x) para todo x ∈ (x1, x2).
Daremos a seguir duas aplicações do Teorema de comparação.
Proposição 1.14. Considere a equação (1.22) no intervalo (a, b) com p, p′ e q contínuas e p(x) > 0.
Se q(x) ≤ 0 em (a, b), então as soluções não triviais de (1.22) tem no máximo um zero neste
intervalo.
Prova. Uma solução (não identicamente nula) de
(p(x)v′)′= 0
é
v(x) =
∫ x
a
1
p(s)ds
(note que p(x)v′(x) = 1, pelo teorema fundamental do cálculo). Como pela hipótese sobre p(x),v(x) se anula apenas em x = a, segue do Teorema de comparação 1.13 que u(x) tem no máximoum zero no intervalo (a, b).
Proposição 1.15. Sejam c, K constantes tais que
0 < c2 < q(x) < K2
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COMPLEMENTOS 12
em (a, b) e seja u(x) uma solução não trivial de
u′′ + q(x)u = 0 .
i. Se x1 e x2 são zeros sucessivos de u, então
π
K≤ x2 − x1 ≤
π
c. (1.25)
ii. Se u(a) = u(b) = 0 e u tem n− 1 zeros em (a, b), então
cb− aπ≤ n ≤ K
b− aπ
. (1.26)
Prova. Para o ítem i., z(x) = sin c(x− x1) é uma solução de
z′′ + c2z = 0
tal que z(x1) = 0 e o zero sucessivo de z(x) é x1 + π/c. Pelo Teorema de comparação 1.13, temos
x2 ≤ x1 + π/c
que prova a segunda desigualdade de (1.25). Usando o mesmo raciocínio para a solução z(x) =
sinK(x− x1) dez′′ +K2z = 0
obtemosx2 − x1 ≥
π
K,
concluindo a demonstração de i.. Sob as hipóteses do ítem ii., existem exatamente n intervalosentre zeros consecutivos de u em (a, b). Aplicando a cada um dos intervalos, iterativamente, asestimativas do ítem i., obtemos
nπ
K≤ b− a ≤ n
π
cou seja, as desigualdades (1.26), concluindo a prova da Proposição 1.15.
1.3. Problema de SturmLiouville. A equação(equação (1.1) com f ≡ 0)
− Lλ[y] = (p(x)y′)′+ (λρ(x)− q(x)) y = 0 (1.27)
com p(x), ρ(x) > 0, é chamada equação de StrmLiouville homogênea. Considere (1.27) denidano intervalo I = [a, b], p(x) da classe C 1(a.b), q(x) e ρ(x) da classe C (a.b) e λ1 e λ2 valores distintosde λ para os quais (1.27) admite em I soluções y1(x) e y2(x) não triviais.Subtraindo
(p(x)y′1)′y2 + (λ1ρ(x)− q(x)) y1y2 = 0
de(p(x)y′2)
′y1 + (λ2ρ(x)− q(x)) y2y1 = 0
resulta(λ1 − λ2) ρ(x)y1y2 = (p(x)y1y
′2 − p(x)y′1y2)
′. (1.28)
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COMPLEMENTOS 13
Integrando (1.28) sobre I, segue do teorema fundamental do cálculo que
(λ1 − λ2)
∫ b
a
ρ(x)y1(x)y2(x)dx = p(x) (y1(x)y′2(x)− y′1(x)y2(x))|ba . (1.29)
e para que o lado direito desta igualdade se anule, impomos às soluções de (1.27) condições adicio-nais nas extremidades do intervalo I:Condições de contorno (ou fronteira) autoadjuntas (separadamente em a e b),
αy(a) + βy′(a) = 0
γy(b) + δy′(b) = 0 (1.30)
com |α|+ |β| 6= 0 e |γ|+ |δ| 6= 0.Se p(a) = p(b), podemos então também assumir condições de contorno periódicas:
y(a) = y(b)
y′(a) = y′(b) .
Denição 1.16. Um problema de SturmLiouville regular em [a, b] consiste de uma equação da
forma (1.27) juntamente com condições de contorno autoadjuntas (1.30).
Os valores λ para os quais (1.27) e (1.30) admitem solução não trivial são ditos autovalores
do problema.
As soluções soluções u(x) não triviais de (1.27) e (1.30) correspondentes a um autovalor λ são
ditas autofunções do problema associado a λ.
Proposição 1.17. Considere um problema de SturmLiouville regular em [a, b], Se λ1 e λ2 são
autovalores distintos e y1(x) e y2(x) autofunções a eles associadas, então y1 e y2 são ortogonais em
[a, b] em relação ao produto interno com peso
〈y1, y2〉ρ =
∫ b
a
y1(x)y2(x)ρ(x)dx = 0 .
Prova. Segue imediatamente de (1.29) juntamente com (1.30) (verique!).
Exemplo 1.18. A equação y′′ + λy = 0 em [0, π] com condição de contorno (autoadjunta com
α = γ = 0 e β = δ = 1): y(0) = y(π) = 0 tem autovalores
λ ∈
1, 4, . . . , n2, . . .
(1.31)
e a autofunção
un(x) = sinnx (1.32)
associada ao nésimo autovalor λn = n2 possui n− 1 zeros no intervalo (0, π).
A mesma equação com a condição de fronteira (autoadjunta com α = γ = 0 e β = δ = 1):
y′(0) = y′(π) = 0
tem autovalores no mesmo conjunto (1.31) e a autofunção
vn(x) = cosnx (1.33)
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COMPLEMENTOS 14
associada ao nésimo autovalor λn = n2 também possui n− 1 zeros no intervalo (0, π).
A mesma equação y′′ + λy = 0 em [−π, π] com a condição de contorno periódica: u(−π) = u(π)
e u′(π) = u′(π) possui autovalores
λ ∈
0, 1, . . . , n2, . . .
e a cada autovalor λn = n2 6= 0 temos associado um autoespaço bidimensional de funções geradas
por un(x) e vn(x) dadas pelas autofunções (1.32) e (1.33).
Denição 1.19. Se a equação (1.27) denida no interior (a, b) do intervalo I = [a, b] em uma ou
ambas extremidades uma das funções p(x), q(x) e ρ(x) não é contínua ou uma das funções p(x),
q(x) se anula, então dizemos que o problema de contorno para (1.27) em I é singular. Se I for
um intervalo innito a equação (1.27) em I também é dita ser singular.
Em qualquer um destes casos, se λ1 e λ2 são valores distintos para os quais (1.27) em I admite
soluções não triviais y1 e y2, então (1.28) continua válida mas (1.29) pode divergir. Exigimos nestes
casos que as soluções de (1.27) sejam de quadrado integrável em I em relação a ρ.
Note que, pela desigualdade de CauchySchwarz(∫ b
a
|y1(x)| |y2(x)| ρ(x)dx
)2
≤∫ b
a
y1(x)2ρ(x)dx
∫ b
a
y2(x)2ρ(x)dx <∞
e no lugar de (1.29) temos
(λ1 − λ2)
∫ b
a
ρ(x)y1(x)y2(x)dx = limwa,zb
p(x) (y1(x)y′2(x)− y′1(x)y2(x))|zw . (1.34)
Proposição 1.20. Considere um problema singular para (1.27) em um intervalo I = [a, b] (a ou b
ou ambos pode ser innito) com condições de contorno que impliquem que o lado direito de (1.34)
seja nulo. Se λ1 e λ2 são autovalores distintos e y1(x) e y2(x) autofunções a eles associadas de
quadrado integrável em relação a ρ, então
〈y1, y2〉ρ := limya,zb
∫ z
y
y1(x)y2(x)ρ(x)dx = 0 .
Exemplo 1.21. A equação de Bessel
(xy′)′+
(k2x− n2
x
)y = 0
denida no intervalo (0, a], a > 0, é da forma (1.27) com p(x) = ρ(x) = x, q(x) = n2/x e λ = k2,
para n ∈ Z. Trata-se de um problema de SturmLiouville singular em vista de p se anular e
q divergir em x = 0. Uma condição de contorno apropriada a este problema: y(a) = 0 e y(x)
limitada quando x tende a 0, a qual garante soluções não triviais do problema de autovalores de
quadrado integrável.
Exemplo 1.22. Há muitas outras equações de relevancia Física da forma de Sturm-Liouville
(1.27), sendo a maioria delas singular: i. Equação de Legendre e associada de Legendre((1− x2)y′
)′+
(l(l + 1)− m2
1− x2
)y = 0
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COMPLEMENTOS 15
em (−1, 1) com p(x) = 1− x2 e q(x) = m2/(1− x2), m ∈ Z (com m = 0 temos a eq. de Legendre),
é singular nos pontos x = ±1; ii. Equação de Laguerre(xe−xy′
)′+ λe−xy = 0 ,
em (0,∞) com p(x) = xe−x, ρ(x) = e−x e λ ∈ R, é singular nos pontos x = 0 e ∞; iii. Equação
de Hermite (e−x
2
y′)′
+ λe−x2
y = 0
em (−∞,∞) com p(x) = ρ(x) = e−x2e λ ∈ R, é singular nos pontos x = ±∞.
1.4. Existência de autovalores. Por simplicidade, considere o Problema de SturmLiouville :
u′′ + (λρ(x)− q(x))u = 0 (1.35)
regular em [a, b] com condição de contorno de Dirichlet
u(a) = u(b) = 0 . (1.36)
Veremos nesta subseção como os resultados anteriores devido a Sturm permitem provar a existênciade uma innidade de autovalores e autofunções correspondentes. O objetivo é mostrar a seguinte
Proposição 1.23. Os autovalores do Problema de SturmLiouville regular em [a, b] dado por (1.35)
e (1.36) formam uma sequência λ0 < λ1 < · · · < λn < · · · tal que limn→∞ λn =∞.
A menos de um fator constante, existe apenas uma autofunção un(x) associada a cada λn e un(x)
tem exatamente n zeros em (a, b).
A prova deste resultado envolve vários Lemas preparatórios a seguir. Veremos ao nal como(1.35) está relacionada a forma geral da equação (1.27).Para cada λ ∈ R, seja uλ(x) a única solução de (1.35) com
uλ(a) = 0 e u′λ(a) = 1
e considere a aplicação
N : R −→ Z+ = 0, 1, . . .λ 7−→ N(λ)
que associa a cada λ o número de zeros de uλ(x) no intervalo semiaberto (a, b].
Lema 1.24. (i) λ > ν implica N(λ) ≥ N(ν); (ii) Se uλ(b) = 0, então N é descontínua no ponto
λ.
Prova. Se λ > ν, então devido a ρ(x) > 0 temos λρ(x) − q(x) > νρ(x) − q(x). Pelo Teorema dacomparação 1.13 (com νρ(x)−q(x) no lugar de q(x) e λρ(x)−q(x) no lugar de q(x)) uλ(x) se anulapelo menos uma vez entre dois zeros consecutivos de uν(x). Como em x = a ambos uλ(x) e uν(x)
se anulam, o número de zeros de uν em (a, b) é menor ou igual ao número de zeros de uλ nesteintervalo, que implica a desigualdade do ítem (i).Para o ítem (ii), se uλ(b) = 0, então ν < λ implica, pelo ítem (i),
N(ν) ≤ N(λ)− 1
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COMPLEMENTOS 16
provando que N é discontínua no ponto λ.
Lema 1.25. (i) 0 ∈ N(R) onde N(R) = R(N) é o conjunto imagem de N . (ii) limλ→∞N(λ) =
∞.
Prova. Se λ é tal que λρ(x)− q(x) ≤ 0 em [a, b], então pela Proposição 1.14 segue-se que uλ não seanula em [a, b]. Isto é, N(λ) = 0 para λ ≤ λ0 onde λ0 é o maior λ tal que a desigualdade anterioré satisfeita.Para o ítem (ii), se λ é tal que
λρ(x)− q(x) ≥ n2π2
(b− a)2
em [a, b], então pelo ítem (i) da Proposição 1.15, uλ tem pelo menos n zeros no intervalo [a, b], ouseja,
N(λ) ≥ n .
Como n ∈ Z+ é arbitrário e ρ(x) e q(x) é contínua em um intervalo fechado e limitado, isto provaa segunda asserção.
Lema 1.26. N é contínua à direita e λ é um ponto de discontinuidade se, e somente se, uλ(b) = 0.
Neste caso
N(λ)− limν↑λ
N(ν) = 1 . (1.37)
Prova. O caso N(λ) ≡ 0 é trivial. Seja λ ∈ R e suponha que
N(λ) = m ≥ 0 .
Sejama = x0 < x1 < · · · < xm ≤ b
os zeros da função uλ(x) em [a, b]. Como u′λ(x0) = 1 6= 0, . . ., u′λ(xm) 6= 0, existem ε1 > 0 e δ > 0
tais que seMi = x ∈ [a, b] : |x− xi| < δ
e
M =m⋃i=0
Mi ,
então x ∈ M implica |u′λ(x)| > ε1. Além disso, se uλ(b) 6= 0 (isto é, xm 6= b) podemos supor queδ < b− xm. Seja
ε2 = inf |uλ(x)| : x ∈ [a, b] \M > 0 ,
e observe que x ∈ [a, b] \M implica |uλ(x)| > ε2. Pela continuidade e diferenciabilidade (isso nãofoi demonstrado no texto do Djairo e Aloizio) das soluções de (1.35) em relação a λ, resulta que∃ r > 0 tal que
|uλ(x)− uν(x)| < ε2
|u′λ(x)− u′ν(x)| < ε1
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COMPLEMENTOS 17
para todo x ∈ [a, b], se |λ− ν| < r, pelo teorema do valor médio: para cada x ∈ [a, b], existe
λ ∈ [ν, λ] tal que uλ − uν =
∫ λ
ν
duα/dα dα = (λ − ν)uλ e o mesmo para u′λ − u′ν . Para ν nestas
condições, se x ∈ [a, b] \M então uν(x) 6= 0 e tem o mesmo sinal de uλ. Além disso, uν(x) tem nomáximo um zero em cada um dos Mi, pois u′ν não se anula em M .Logo, por conta do sinal de uν(x) que concorda com uλ(x) em [a, b] \M , uν(x) tem exatamente
um zero em cada Mi, 0 ≤ i ≤ m em− 1 ≤ N(ν) ≤ m .
Pelo ítem (i) do Lema 1.24, temos que N é contínua à direita em λ e se λ é um ponto de discon-tinuidade de N , então temos (1.37). Se uλ(b) 6= 0, existe um zero de uν(x) em Mm e N(ν) = m,provando a continidade de N em λ.
Segue dos Lemas 1.24, 1.25 e 1.26 que os pontos λ0 < λ1 < · · · < λn < · · · de descontinuidade
de N(λ) formam uma sequência innita satisfazendo
(1) λ < λ0, uλ(x) não se anula em (a, b];(2) Para n ≥ 1, se λn−1 < λ < λn, então uλ(x) tem exatamente n zeros em (a, b) mas uλ(b) 6= 0;(3) Para todo n ≥ 0, uλn(x) tem exatamente n zeros em (a, b) e uλn(b) = 0;(4) limn→∞ λn =∞.
Prova da Proposição 1.23. Os autovalores do Problema de SturmLiouville (1.35) e (1.36) coinci-dem com as discontinuidades λn's de N(λ), que formam uma sequência innita, e as autofunçõescorrespondentes são dadas pelas funções uλn(x), n = 0, 1, 2, . . ., com n zeros no intervalo (a, b).
Observação 1.27. Considere a equação (1.27) para o problema de SturmLiouville regular em [a, b]
com a condição de contorno (1.36) de Dirichlet. Fazendo a mudança da variável independente x
para
w(x) =
∫ x
a
ds
p(s)
reduzimos a equação (1.27) em uma equação do tipo (1.35) regular em [0, w(b)] (veja Exercício 1.b
da sexta lista de exercícios).
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COMPLEMENTOS 18
2. O Problema de Sturm-Liouville
Consideremos o operador diferencial linear de segunda ordem
Lλ[u] = L0[u]− λρ(x)u (2.1)
eL0[u] = − (p(x)u′)
′+ q(x)u , (2.2)
onde p : [a, b] −→ R é continuamente diferenciável, q, ρ : [a, b] −→ R são contínuas com p(x) > 0
e ρ(x) > 0 para x ∈ [a, b], atuando sobre espaço vetorial de funções u : [a, b] −→ R da classe C 2
sujeitas às condições de fronteira autoadjuntas:
F1[u] = αu(a) + βu′(a)
F2[u] = γu(b) + δu′(b) (2.3)
com α, β, γ e δ reais tais que
|α|+ |β| 6= 0 e |γ|+ |δ| 6= 0 . (2.4)
Denição 2.1. O problema de Sturm-Liouville consiste em achar uma função u = u(x) que é
solução do sistema de equações
Lλ[u] = f(x) (2.5)
em [a, b] e
F1[u] = F2[u] = 0 , (2.6)
com f : [a, b] −→ R uma função contínua.
Dizemos que λ é um autovalor do problema de Sturm-Liouville se a equação homogênea
Lλ[y] = L0[y]− λρ(x)y = 0
tem uma solução y = y(x), não identicamente nula, que satisfaz a condição de fronteira (2.6). A
solução y chama-se autofunção correspondente ao autovalor λ.
2.1. Considerações Algébricas. Faremos um sumário das propriedades algébricas do problemade SturmLiouville, algumas já mencionada na Seção 1 outras tocadas brevemente e aprofundadasmais adiante na presente seção.Identidade de Lagrange e suas consequencias.
Proposição 2.2. Dados u, v ∈ C 2(a, b), então vale a indentidade de Lagrange
〈v, L0[u]〉 − 〈L0[v], u〉 = p(b)W (u, v; b)− p(a)W (u, v; a) . (2.7)
Prova. Temos
vL0[u]− L0[v]u = v (p(x)u′)′ − (p(x)v′)
′u
= (v (p(x)u′)− (p(x)v′)u)′
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COMPLEMENTOS 19
e, pelo teorema fundamental do cálculo ,∫ b
a
(vL0[u]− L0[v]u) dx =
∫ b
a
(v (p(x)u′)− (p(x)v′)u)′dx
= p(x) (u(x)v′(x)− v(x)u′(x))|ba (2.8)
de onde se conclui, juntamente com a denição (1.14), a demonstração da proposição.
Proposição 2.3. Sejam duas funções u, v ∈ C (2)(a, b) satisfazendo as condições de fronteira (2.6)
(ou p(a) = p(b) = 0 para o problema singular), então temos p(b)W (u, v; b) = p(a)W (u, v; a) = 0 e
〈v, L0[u]〉 = 〈L0[v], u〉 .
O operador L0 neste caso é dito ser formalmente autoadjunto.
Prova. Se u e v satisfazem (2.6), então o sistema
αu(a) + βu′(a) = 0
αv(a) + βv′(a) = 0
para as incógnitas (α, β) tem uma solução não trivial: (α, β) 6= (0, 0), por hipótese. Disso segueque
W (u, v; a) =
∣∣∣∣∣ u(a) v(a)
u′(a) v′(a)
∣∣∣∣∣ = u(a)v′(a)− v(a)u′(a) = 0 ,
e o mesmo ocorre para a outra extremidade: W (u, v; b) = 0, de onde se conclui, juntamente com(2.7), a demonstração da proposição.
Proposição 2.4. (i) Todos os autovalores do problema de SturmLiouville (2.1)-(2.3) são reais.
(ii) Toda autofunção correspondente a um dado autovalor λ deste problema e combinação linear
de autofunções reais.
Prova. Seja L0[y] = λρ(x)y com y(x) não identicamente nula. Então L0[y] = λρ(x)y. Por (2.8),temos
0 =
∫ b
a
(yL0[y]− L0[y]y) dx
=
∫ b
a
(yλρ(x)y − λρ(x)yy
)dx = (λ− λ)
∫ b
a
|y(x)|2 ρ(x)dx
e como a integral não se anula pela hipótese de y ∈ C 2[a, b] ser não trivial, concluimos que λ = λ.Para o ítem (ii), seja y = v+ iw 6= 0 uma autofunção do problema de SturmLiouville correspon-
dente ao autovalor λ. Como as funções p(x), q(x) e ρ(x) e parâmetros λ, α, β, δ e γ que denemo problema (2.1)-(2.3) são reais, segue imediatamente da linearidades das equações
L0[v + iw] = L0[v] + iL0[w] = λ (v + iw)
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COMPLEMENTOS 20
eFj[v + iw] = Fj[v] + iFj[w] = 0 , j = 1, 2
que as funções reais u e v são autofunções do problema correspondentes ao mesmo autovalor λ.
Proposição 2.5. As autofunções (reais) do problema de SturmLiouville (2.5) e (2.6) correspon-
dentes a autovalores distintos são ortogonais relativamente a ρ(x), isto é, se L0[y1] = λρ(x)y1 e
L0[y2] = µρ(x)y2, com λ 6= µ, então
〈y1, y2〉ρ =
∫ b
a
y1(x)y2(x)ρ(x)dx = 0 .
Prova. Segue da Proposição 2.4 que λ e µ e auto funções associadas y1 e y2 são reais e, de (1.29) eProposição 2.3 que
(λ− µ)
∫ b
a
y1(x)y2(x)ρ(x)dx = p(x) (y1(x)y′2(x)− y′1(x)y2(x))|ba = 0
concluindo a demonstração.
Enumerabilidade dos autovalores. A nalidade deste parágrafo é esboçar uma prova que as auto-funções ortogonais (e, consequentemente, os autovalores a estes associados) do probema de SturmLiouville formam um conjunto enumerável. Argumentaremos ainda que este conjunto é completono sentido que a solução y(x) de (2.5) e (2.6), quando λ não é um autovalor, pode ser expressapor uma série de autofunções do problema, uniformemente convergente e convergente em médiaquadrática. Estes resultados serão demonstrados no Teorema , fundamental deste parágrafo.Lembremos de nossa leitura do texto Espaços Métricos de Elon L. Lima, que uma coleção
B de abertos em um espaço métrico (M,d) chama-se uma base quando todo aberto A ⊂ M seexprime como uma união A =
⋃α
Bα de conjuntos Bα ∈ B. Isto é equivalente a dizer que, dados
arbitrariamente um aberto A de M e x ∈ A, existe B ∈ B tal que x ∈ B ⊂ A. Em particular,diz-se que M tem uma base enumerável quando existe uma coleção B = B1, B2, . . . , Bn, . . .de abertos de M tais que todo aberto de M é a união de Bn's. Lembremos que um subconjuntoE ⊂ M diz-se denso em M quando E = M , isto é, quando todo ponto de M é limite de umsequência de pontos de E. Veja pág. 305 do texto para a demonstração da caracterização a seguir:
Proposição 2.6. As seguintes armações com respeito a um espaço métrico (M,d) são equivalen-
tes:
(1) M contém um subconjunto enumerável denso;
(2) M possui uma base enumerável de abertos;
(3) Toda cobertura aberta de M admite uma subcobertura enumerável.
Proposição 2.7. Os autovalores do problema de Sturm-Liouville formam um conjunto enumerável.
Prova. Pela Proposição 2.5, aos autovalores corresponde autofunções ortogonais aos pares da classeC 2(a, b) e, portanto, de quadrado integrável. A coleção das funções contínuas de quadrado integrá-veis CL2(ρ)(a, b) forma um espaço vetorial e, portanto, métrico cuja métrica d2(f, g) = ‖f − g‖2,ρ =
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COMPLEMENTOS 21√∫ b
a
(f(x)− g(x))2 ρ(x)dx, para quaisquer duas funções f, g : [a, b] −→ R, é induzida pela norma
no espaço CL2(ρ)(a, b). Como este espaço é separável (pois o espaço C (a, b) com a métrica da con-vergência uniforme, que tem uma topologia mais na que CL2(ρ)(a, b), o é) então o conjunto detodos autovetores ortogonais é necessariamente enumerável.
Seja (λn)n≥1 a sequência de autovalores do problema de SturmLiouville e (yn(x))n≥1 a sequência
das autofunções correspondentes. Admitindo que os yn's formam uma base ortonormal de CL2(a, b):〈ym, yn〉ρ = δm,n, podemos então resolver formalmente o problema (2.5) e (2.6): seja
y(x) =∑n≥1
cnyn(x)
cn = 〈y, yn〉ρ .
Por linearidade das equações, temos
L0[y] =∑n≥1
cnL0[yn] =∑n≥1
cnλnρ(x)yn
e, por conseguinte, Lλ[y] = f implica
L0[y]− λρ(x)y = ρ(x)∑n≥1
cn (λn − λ) yn(x)
= f(x)
= ρ(x)∑n≥1
〈fρ, yn〉ρyn(x)
= ρ(x)∑n≥1
〈f, yn〉yn(x) (2.9)
pois
〈fρ, yn〉ρ =
∫ b
a
f(x)
ρ(x)yn(x)ρ(x)dx =
∫ b
a
f(x)yn(x)dx = 〈f, yn〉 .
Igualando as duas séries em (2.9), temos cn (λn − λ) = 〈f, yn〉 por ortogonslidade dos yn's, isto é
cn =〈f, yn〉
(λn − λ)
e, portanto,
y(x) =∑n≥1
〈f, yn〉(λn − λ)
yn(x)
se λ 6= λn para todo n. Esta fórmula será deduzida novamente, veja ítem (e) do Teorema 2.15, porintermédio de uma equação integral equivalente com informação sobre a sua convergência.
2.2. Operador integral inverso a L0 seu núcleo integral de Green. Vamos a seguir assumirque λ = 0 não é um autovalor do problema (2.5) e (2.6).
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COMPLEMENTOS 22
Teorema 2.8. Existe uma função G : [a, b] × [a, b] −→ R contínua tal que, dado f ∈ C [a, b],
u ∈ C 2[a, b] é solução do sistema
L0[u] = f(x) , x ∈ [a, b] (2.10)
e
F1(u) = F2(u) = 0 , (2.11)
se, e somente se,
u(x) =
∫ b
a
G(x, y)f(y)dy . (2.12)
A função G chama-se função de Green do problema.
Prova. Estabeleceremos, primeiramente, a existência de uma solução da forma (2.12). A demons-tração divide-se em duas partes.a. Construção da função de Green. Seja φi = φi(x), i = 1, 2, uma solução real nãonula deL0[φi] = 0, satisfazendo Fi[φi] = 0.Observe que φ1(x) e φ2(x) são L. I. pois, do contrário, seriam proporcionais: φ2(x) = kφ1(x).
Por denição, se φi, i = 1, 2 satisfaz L0[φi] = 0 e Fi[φi] = 0, então φ = φ2 = kφ1, com k ∈ R, énãonula, satisfaz L0[φ] = 0 e F1[φ] = F2[φ] = 0. Pela Denição 2.1, φ seria uma autofunção doproblema associada ao autovalor λ = 0, em contradição com a hipótese assumida anteriormente.Procuremos a função G da forma
G(x, y) =
G1(x, y) = cφ1(x)φ2(y) se a ≤ x ≤ y
G1(x, y) = cφ2(x)φ1(y) se y ≤ x ≤ b(2.13)
com c = c(y) uma constante a ser determinada, como veremos a seguir, por uma condição sobre aderivada ∂G/∂x de G em x = y.Quando a variável y é mantida xa, escremos Gy(x) = G(x, y). Temos assegurado que
L0[Gy](x) = 0 , ∀x 6= y
Fi[Gy] = 0 , i = 1, 2 , (2.14)
pois, por linearidade, L0[Gy](x) = cφ2(y)L[φ1](x) = 0 se x < y, L0[Gy](x) = cφ1(y)L[φ2](x) = 0 sex > y, F1[Gy] = cφ2(y)F1[φ1] = 0 e F2[Gy] = cφ1(y)F2[φ2] = 0.Observe que (2.13) é contínua em R = [a, b]×[a, b], incluindo a diagonal L = (x, y) ∈ R : x = y:
G1(y, y) = cφ1(y)φ2(y) = G2(y, y) , y ∈ [a, b] .
Mas exigir continuidade da derivada ∂G(x, y)/∂x em mathcalL implica, como veremos, que afunção de Green (2.13) é trivial. Para xar o valor da constante c = c(y), vamos adotar a condição
∆G(y) =−1
p(y)(2.15)
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COMPLEMENTOS 23
onde ∆G(y) denota o salto da derivada ∂G/∂x da função de Green G em (x, y) ao se aproximarde L horizontalmente de ambos os lados.Temos
∆G(y) =∂G
∂x(x, y)
∣∣∣∣x=y+0
− ∂G
∂x(x, y)
∣∣∣∣x=y−0
=∂G2
∂x(y, y)− ∂G1
∂x(y, y)
= c (φ1(y)φ′2(y)− φ′1(y)φ2(y))
= cW (φ1, φ2; y) .
Como a função Wronskiana W (φ1, φ2; y) de φ1 e φ2 para algum ponto y é diferente de 0 (pois docontrário seriam L. D. e, portanto, proporcionais: φ2 = kφ1, em contradição com λ = 0 não serautovalor), obtemos de (2.15) que
c(y) =−1
p(y)W (φ1, φ2; y).
Vamos mostrar que pW = −c−1 é, de fato, constante em y. Diferenciando esta quantidadejuntamente com L0(φi) = − (p(y)φ′i)
′ + q(y)φi = 0, i = 1, 2, temos
(pW )′ = p′W + pW ′
= p′ (φ1φ′2 − φ′1φ2) + p (φ1φ
′′2 − φ′′1φ2)
= − (pφ′′1 + p′φ′1)φ2 + φ1 (pφ′′2 + p′φ′2)
= −qφ1φ2 + qφ1φ2 = 0 .
Logo c(y) assume o mesmo valor para todo y ∈ [a, b], o qual xamos igual a
c =−1
p(a)W (φ1, φ2; a). (2.16)
Substituindo c em (2.13), resulta
G(x, y) =
φ1(x)φ2(y)
−p(a)W (φ1, φ2; a)se a ≤ x ≤ y
φ1(y)φ2(x)
−p(a)W (φ1, φ2; a)se y ≤ x ≤ b
(2.17)
de onde se conclui que G é simétrica:
G(x, y) = G(y, x) . (2.18)
Em vista de (2.18), (2.15) e (2.16), o salto ∆G(x) da derivada da função de Green quando nosaproximamos verticalmente de L é
∆G(x) =∂G
∂x(x, y)
∣∣∣∣y=x−0
− ∂G
∂x(x, y)
∣∣∣∣y=x+0
=−1
p(x). (2.19)
Passemos à segunda parte.
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COMPLEMENTOS 24
b. Vericação de que (2.12) resolve ( 2.10) e (2.11). Lembremos que as condições de fronteira(2.11) já estão asseguradas por (2.14). Temos
u(x) =
∫ x
a
G2(x, y)f(y)dy +
∫ b
x
G1(x, y)f(y)dy . (2.20)
Diferenciando esta expressão, usando o teorema fundamental do cálculo,
u′(x) =
∫ x
a
∂G2
∂x(x, y)f(y)dy +G2(x, x)f(x) +
∫ b
x
∂G1
∂x(x, y)f(y)dy −G1(x, x)f(x)
=
∫ x
a
∂G2
∂x(x, y)f(y)dy +
∫ b
x
∂G1
∂x(x, y)f(y)dy
pela continuidade de G(x, y) e f(x). Diferenciando novamente,
u′′(x) =
∫ x
a
∂2G2
∂x2(x, y)f(y)dy +
∂G2
∂x(x, x)f(x) +
∫ b
x
∂2G1
∂x2(x, y)f(y)dy − ∂G1
∂x(x, x)f(x) .
Multiplicando u, u′ e u′′ respectivamente por q(x), −p′(x) e −p(x), somando em seguida os termos,resulta da denição (2.2) e (2.19)
L0[u](x) =
∫ x
a
L0[G2y](x)f(y)dy +
∫ b
x
L0[G1y](x)f(y)dy − p(x)∆G(x)f(x)
= f(x) . (2.21)
A solução das equações (2.10) e (2.11) é necessariamente da forma (2.12), contanto que a soluçãodo problema seja única. Suponha, por contradição, que existam duas soluções u1 e u2 de (2.10) e(2.11). Segue da linearidade das equações que u = u1 − u2 satisfaz L0[u] = 0 e F1[u] = F2[u] = 0
que, pela hipótese de λ = 0 não ser autovalor, tem apenas a solução trivial: u ≡ 0, provando aunicidade de (2.12) e concluindo a demonstração.
Observação 2.9. A demonstração do teorema mostra que a aplicação
f ∈ C [a, b] 7−→ u = G f ∈ C 2[a, b]
onde
G f(x) =
∫ b
a
G(x, y) f(y) dy (2.22)
é o operador integral com núcleo G(x, y), é contínua. Esse fato pode ser demonstrado pelo teorema
do gráco fechado: se o gráco (f,G f), f ∈ C ([a, b]), é fechado em C [a, b] × C 2[a, b], então G
é contínua (na métrica do supremo ou de quadrado integrável). Veremos que a aplicação G é
equicontínua e esse fato irá determinar as propriedades dos autovlores e autofunções do problema
de SturmLiouville.
Exemplo 2.10. Considere a equação
−u′′ = f(x) ,
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COMPLEMENTOS 25
em [a, b] com u(a) = u(b) = 0 e f ∈ C ([a, b]). Sabemos que λ = 0 não é um autovalor do problema:
L0[u] = −u′′ = λu, com F1[u] = u(a) = 0 e F2[u] = u(b) = 0, cujos autovalores e autofunções
correspondentes são: λn = n2π2/(b− a)2 e ϕn =√
2 sinnπ(x− a)/(b− a), n ∈ N.Seja φi(x), i = 1, 2, uma solução de L0[φi] satisfazendo Fi(φi) = 0:
φ1(x) = x− aφ2(x) = x− b .
Temos
W (φ1, φ2;x) =
∣∣∣∣∣ x− a x− b1 1
∣∣∣∣∣ = b− a 6= 0 .
A função de Green do problema é dada por (2.17):
G(x, y) =
−(x− a)(y − b)
b− ase a ≤ x ≤ y
−(y − a)(x− b)b− a
se y ≤ x ≤ b
e podemos facilmente vericar que
u(x) =b− xb− a
∫ x
a
(y − a)f(y)dy +x− ab− a
∫ b
x
(b− y)f(y)dy
satisfaz as equações do problema, sendo esta sua única solução.
Exemplo 2.11. Considere a equação
−u′′ − u = f(x) ,
em [0, π] com u(0) = u′(π) = 0. Sabemos que λ = 0 não é um autovalor do problema: L0[u] =
−u′′ − u = 0, com F1[u] = u(0) = 0 e F2[u] = u′(π) = 0. A solução geral da equação homogênea
correspondente e sua derivada
u(x) = A cosx+B sinx
u′(x) = −A sinx+B cosx ,
juntamente com as condições de fronteira: F1[u] = A = 0 e F2[u] = B cos π = −B = 0, fornecem
somente a solução trivial para λ = 0.
Seja φi(x), i = 1, 2, uma solução de L0[φi] satisfazendo Fi[φi] = 0:
φ1(x) = sinx
φ2(x) = cosx .
Temos
W (φ1, φ2;x) =
∣∣∣∣∣ sinx cosx
cosx − sinx
∣∣∣∣∣ = −1 6= 0 .
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COMPLEMENTOS 26
A função de Green do problema é dada por (2.17):
G(x, y) =
sinx cos y se 0 ≤ x ≤ y
sin y cosx se y ≤ x ≤ π
e podemos facilmente vericar que
u(x) = cos x
∫ x
0
sin y f(y)dy + sinx
∫ π
x
cos y f(y)dy
satisfaz as equações do problema, sendo esta sua única solução. De fato,
u′(x) = − sinx
∫ x
0
sin y f(y)dy + cosx
∫ π
x
cos y f(y)dy
e
u′′(x) = − cosx
∫ x
0
sin y f(y)dy − sin2 xf(x)− sinx
∫ π
x
cos y f(y)dy − cos2 xf(x)
= −u(x)− f(x) .
2.3. A equação integral do Problema de Sturm-Liouville. Uma consequência desse teoremaé a equivalência entre o problema de Sturm-Liouville (veja Denição 2.1) e a solução de uma equaçãointegral, similar em espírito à equivalência do problema de valor inicial para equações diferenciaisde primeira ordem e a equação integral correspondente. Estendemos, para isso, a denição dooperador integral incluindo o peso ρ:
Gρf(x) =
∫ b
a
G(x, y) f(y) ρ(x) dy (2.23)
de modo que G1 = G , dado por (2.22), seja um caso particular com ρ ≡ 1.A aplicação
f ∈ CL2(ρ)[a, b] 7−→ u = Gρf ∈ C 2L2(ρ)[a, b]
atua sobre o espaço métrico(CL2(ρ)[a, b], d2
)das funções f : [a, b] −→ C contínuas de quadrado
integrável em relação ao peso ρ(x):∫ b
a
|f(x)|2 ρ(x)dx := ‖f‖22,ρ <∞ ,
munido de um produto interno com peso ρ(x):
〈f, g〉ρ :=
∫ b
a
f(x)g(x)ρ(x)dx ,
e cuja norma ‖f‖22,ρ = 〈f, f〉ρ dene a métrica d2(f, g) = ‖f − g‖2,ρ.
Proposição 2.12. u ∈ C 2[a, b] é solução do problema de SturmLiouville (2.5) e (2.6) se, e
somente se, satisfaz a equação integral
u(x)− λGρu(x) = g(x) (2.24)
com g(x) = G f(x).
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COMPLEMENTOS 27
Prova. Pelo Teorema 2.8, u é solução do problema L0[u] = λρu + f com F1[u] = F2[u] = 0 se, esomente se, u satisfaz
u(x) =
∫ b
a
G(x, y) (λρ(y)u(y) + f(y)) dy ,
concluindo a prova da proposição.
Corolário 2.13. (a) λ é autovalor do problema de SturmLiouville (2.5) e (2.6) se, e somente se,
1/λ é autovalor de Gρ. (b) u é autofunção do problema de SturmLiouville correspondente a λ se,
e somente se, u é autofunção de Gρ correspondente a 1/λ.
Prova. Segue da proposição anterior com f = 0, juntamente com a Denição 2.1, que u é autofunçãodo problema de SturmLiouville correspondente ao autovalor λ se, e somente se (faça g = G f = 0
em (2.24)),
Gρu(x) =1
λu(x) ,
concluindo a demonstração.
Sendo o núcleo G(x, y) do operador Gρ real e simétrico: G(x, y) = G(y, x), (2.23) dene umoperador Hermitiano:
〈Gρf, g〉ρ = 〈f,Gρg〉ρ , ∀ f, g ∈ CL2(ρ)[a, b] .
De fato, ∫ b
a
Gρf(x)g(x)ρ(x)dx =
∫ b
a
(∫ b
a
G(x, y)f(y)ρ(y)dy
)g(x)ρ(x)dx
=
∫ b
a
f(y)
(∫ b
a
G(y, x)g(x)ρ(x)dx
)ρ(y)dy
=
∫ b
a
f(y)Gρg(y)ρ(y)dx
onde na segunda igualdade usamos a simetria de G(x, y) e o teorema de Fubini para trocar a ordemde integração. Note que o integrando é contínuo em [a, b]× [a, b] e, portanto, a integral é uniformee absolutamente convergente.
Corolário 2.14. (a) Todo autovalor λ do problema de SturmLiouville é real e tem uma autofunção
correspondente real.
Prova. Se u é uma solução não trivial de L0[u] = λρu com F1[u] = F2[u] = 0, então u é soluçãonão trivial de L0(u) = λρu com F1[u] = F2[u] = 0. Pelo Corolário 2.13, temos
Gρu =1
λu , Gρu =
1
λu
e
0 = 〈Gρu, u〉ρ − 〈u,Gρu〉ρ =
(1
λ− 1
λ
)〈u, u〉ρ =
λ− λ|λ|2
‖u‖22,ρ
implica que λ = λ. A segunda parte segue da Proposição 2.4.
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COMPLEMENTOS 28
Solução do problema de SturmLiouville e suas propriedades. Mais adiante iremos mostrarque Gρ, denido em C [a, b] ou em CL2(ρ)[a, b], é um operador compacto e estudaremos as propri-edades espectrais destes operadores. A aplicação da teoria espectral de operadores compactos aoproblema de SturmLiouville produz o seguinte
Teorema 2.15. Considere o problema de SturmLiouville
Lλ[u] = − (p(x)u′)′+ (q(x)− λρ(x))u = f(x) (2.25)
e
F1[u] = F2[u] = 0 (2.26)
onde Lλ, F1 e F2 satisfazem as condições adotadas em (2.1)-(2.3). Então,
(a) Os autovalores do problema, isto é, λ's para os quais uma solução u 6= 0 de Lλ[u] = 0,
juntamente com (2.26), exista, formam uma sequencia innita crescente (λn)n≥1 de números
reais tais que
limn→∞
λn =∞ (2.27)
e ∑n≥1
1
λn<∞ (2.28)
(i. e. Gρ é compacto da classe traço).
(b) Cada autovalor λn tem multiplicidade 1, isto é, o espaço vetorial N (Lλ) invariante pela
ação de Lλ tem dimensão 1; xando uma autofunção real ϕn tal que
‖ϕn‖22,ρ =
∫ b
a
ϕn(x)2ρ(x)dx = 1 ,
então qualquer outra autofunção correspondente a λn é multipla de ϕn.
(c) A sequência (ϕn)n≥1 forma uma base ortonormal do espaço pré-Hilbertiano CL2(ρ)[a, b].
(d) Para toda função u ∈ C 2[a, b] tal que F1[u] = F2[u] = 0, temos
u(x) =∞∑n=1
cnϕn(x)
onde os cn's são coecientes de Fourier em relação a base ortonormal:
cn = 〈u, ϕn〉ρ =
∫ b
a
u(x)ϕn(x)ρ(x)dx ,
sendo a série uniformemente e absolutamente convergente em [a, b].
(e) Seja λ 6= λn para todo n ∈ N e f ∈ C [a, b]. O problema de SturmLiouville (2.25) e (2.26)
tem uma, e só uma solução u dada por
u(x) =∑n≥1
〈f, ϕn〉λn − λ
ϕn(x) ,
sendo a série uniformemente e absolutamente convergente em [a, b].
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COMPLEMENTOS 29
(f) Se λ = λm para algum m ∈ N, dado f ∈ C [a, b], o problema de SturmLiouville (2.25) e
(2.26) tem solução se, e somente se, 〈f, ϕm〉 = 0, isto é,∫ b
a
f(x)ϕm(x)dx = 0 .
Neste caso a solução u(x) é como no ítem (e), sendo arbitrária a componente cm de ϕm.
Prova de (a). Provamos (2.27) na Proposição 1.23 para o caso particular (1.35) e (1.36). PeloCorolário 2.13 e o fato de Gρ ser compacto, os autovalores 1/λn de Gρ só podem acumular em 0.Logo (2.27) para o problema de SturmLiouville (2.25) e (2.26) segue de limn→∞(1/λn) = 0.Antes de provar que 1/λn tende a 0 de forma somável, vamos primeiramente mostrar que∑
n≥1
1/λ2n < ∞. Para isso, iremos aplicar a desigualdade de Bessel (como nas séries de Fourier
- consulte a Sec. 3.5 de Análise de Fourier e equações diferenciais parciais, Djairo G. de Figuei-redo) à função
y 7−→ G(x, y) .
O nésimo coeciente de Fourier desta função, mantendo x ∈ (a, b) xo, é
cn = 〈G(x, ·), ϕn〉ρ
=
∫ b
a
G(x, y)ϕn(y)ρ(y)dy = (Gρϕn) (x) .
Portanto ∑n≥1
|cn|2 ≤∫ b
a
G(x, y)2ρ(y)dy . (2.29)
Como Gρϕn = (1/λn)ϕn, pelo Corolário 2.13, reescrevemos (2.29) como∑n≥1
1
λ2n
ϕn(x)2 ≤∫ b
a
G(x, y)2ρ(y)dy (2.30)
e integrando na variável x, tendo em conta a normalização de ϕn, obtemos∑n≥1
1
λ2n
≤∫ b
a
∫ b
a
G(x, y)2ρ(x)dxρ(y)dy <∞
por G(x, y) ser uniformemente contínua em [a, b]× [a, b].Equação (2.28) é consequência do Teorema de Mercer (consulte Methods of Mathematical Phy-
sics por R. Courant e D. Hilbert, págs. 130-140):
G(x, y) =∑n≥1
1
λnϕn(x)ϕn(y) (2.31)
sendo a soma convergente uniformemente e absolutamente em [a, b], que veremos mais adiante.Integrando esta identidade em x e y, juntamente com a normalização dos ϕn's, temos∑
n≥1
1
λn=
∫ b
a
∫ b
a
G(x, y)ρ(x)dxρ(y)dy <∞ .
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COMPLEMENTOS 30
Prova de (b). Suponhamos que existam duas soluções u1(x) e u2(x) L. I. de Lλ[u] = 0 comF1[u] = F2[u] = 0 . Considere a função Wrosnskiana
W (u1, u2;x) =
∣∣∣∣∣ u1(x) u2(x)
u′1(x) u′2(x)
∣∣∣∣∣ .Como u1 e u2 são L. I. ,W 6= 0. Como (pW )′ = 0, segue que p(x)W (u1, u2;x) = p(a)W (u1, u2; a) 6=0. Porém, o sistema
F1[u1] = αu1(a) + βu′1(a) = 0
F1[u2] = αu2(a) + βu′2(a) = 0
para (α, β) tem solução não trivial (α, β) 6= (0, 0) devido a condição (2.4). Isto implica que(u1(a) u2(a)
u′1(a) u′2(a)
)(α
β
)=
(0
0
)tem solução não identicamente nula se, e somente se, W (u1, u2; a) = 0, em contradição com asuposição de u1 e u2 serem L. I.. Logo N(Lλ) = 1.
Prova de (c). A prova é análoga à prova do Teorema da base no contexto de séries de Fourier(consulte a Sec. 3.11 e veja Teorema 3.9 de Análise de Fourier e equações diferenciais parciais,Djairo G. de Figueiredo). Um sistema ortonormal (ϕn)n≥1 é dito completo se cada função g :
[a, b] −→ R da classe C[a, b] pode ser aproximada por uma série nitan∑k=1
ckϕk(x), em média
quadrática: ∥∥∥∥∥g −n∑k=1
ckϕk
∥∥∥∥∥2
2,ρ
=
∫ b
a
(g(x)−
n∑k=1
ckϕk(x)
)2
ρ(x)dx < ε
com precisão ε > 0 arbitráriamente pequena, tomando n sucientemente grande. Para um sistema
ortonormal completo a desigualdade de Bessel:
∥∥∥∥∥g −∞∑k=1
ckϕk
∥∥∥∥∥2
2,ρ
≥ 0 torna-se uma igualdade e,
consequentemente, para qualquer g ∈ C[a, b] a identidade de Parseval:∑n≥1
c2n = ‖g‖2
2,ρ ,
onde os cn = 〈g, ϕn〉ρ são os coecientes de Fourier de g, é satisfeita.
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COMPLEMENTOS 31
Prova de (d). Aplicando o Teorema 2.8 ao problema L0[u] = h(x) com F1[u] = F2[u] = 0, temos
u(x) = (G h) (x)
=
∫ b
a
G(x, y)h(y)dy
=
∫ b
a
G(x, y)h(y)
ρ(y)ρ(y)dy = (Gρh/ρ) (x) .
Se h/ρ ∈ CL2(ρ)[a, b], então pelo ítem (c),
h(x)
ρ(x)=
∑n≥1
cnϕn(x)
cn = 〈h/ρ, ϕn〉ρ (2.32)
e, consequentemente,
u(x) = (Gρh/ρ) (x) =∑n≥1
cn1
λnϕn(x) .
Vamos mostrar que, se h/ρ ∈ C [a, b], então a série para u(x) é uniformemente e absolutamenteconvergente em [a, b]. Note que u = (Gρh/ρ) é da classe C 2[a, b] se h/ρ ∈ C [a, b]. Pela desigualdadede Schwarz,
∑n≥1
∣∣∣∣cn 1
λnϕn(x)
∣∣∣∣ ≤(∑n≥1
|cn|2)1/2(∑
n≥1
1
λ2n
ϕn(x)2
)1/2
≤ ‖h/ρ‖2,ρ
(∫ b
a
G(x, y)2ρ(y)dy
)1/2
≤ ‖h/ρ‖2,ρ
√b− aM
onde usamos a identidade de Parseval:∑
n≥1 |cn|2 = ‖h/ρ‖2
2,ρ, a desigualdade de Bessel (2.30) eM2 = maxx,y∈[a,b] G(x, y)2ρ(y).
Prova de (e). Pela Proposição 2.12, Lλ[u] = L0[u] − λρ(x)u = f(x), juntamente com F1[u] =
F2[u] = 0, é equivalente a equação integral
u− λGρu = Gρf/ρ . (2.33)
Tomando o produto interno desta equação, em relação a ρ, com a né sima autofunção ϕn, resulta
〈u, ϕn〉ρ − λ〈Gρu, ϕn〉ρ = 〈Gρf/ρ, ϕn〉ρ
e, como Gρ é um operador autoadjunto e Gρϕn = 1/λnϕn, temos
〈u, ϕn〉ρ −λ
λn〈u, ϕn〉ρ =
1
λn〈f/ρ, ϕn〉ρ . (2.34)
Resolvendo para 〈u, ϕn〉ρ, obtemos
〈u, ϕn〉ρ =1
λn − λ〈f/ρ, ϕn〉ρ =
1
λn − λ〈f, ϕn〉 (2.35)
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COMPLEMENTOS 32
de onde se conclui que a solução de (2.33) é dada pela série
u(x) =∑n≥1
〈f, ϕn〉λn − λ
ϕn(x) (2.36)
convergente em média quadrática e, pelo mesmo argumento utilizado no ítem anterior, uniforme-mente e absolutamente convergente em [a, b].
Prova de (f). Supondo λ = λm, para algum m ∈ N, equação (2.34) com n = m implica
0 = λm
(〈u, ϕm〉ρ −
λmλm〈u, ϕm〉ρ
)= 〈f/ρ, ϕm〉ρ = 〈f, ϕm〉 .
Somando a equação (2.35) sobre n ∈ N\m, temos
u(x) =∑
n≥1,n 6=m
〈f, ϕn〉λn − λm
ϕn(x) , (2.37)
onde a convergência da série já foi discutida no ítem anterior. Portanto, uma solução geral doproblema de SturmLiouville não homogêneo quando λ = λm é dada por
u(x) =∑
n≥1,n 6=m
〈f, ϕn〉λn − λm
ϕn(x) + cmϕm(x) (2.38)
com cm ∈ R uma constante arbitrária. Aplicando o operador de SturmLiouville 1/ρLλ − λm àsolução u(x), obtemos
1
ρ(x)Lλ[u]− λmu =
∑n≥1,n 6=m
〈f, ϕn〉λn − λm
(λn − λm)ϕn(x)
=∑
n≥1,n 6=m
〈f, ϕn〉ϕn(x)
=∑n≥1
〈f, ϕn〉ϕn(x)
=∑n≥1
〈f/ρ, ϕn〉ρϕn(x) =f(x)
ρ(x)
onde usamos a ortogonalidade 〈f, ϕm〉 = 0.
2.4. Redução de uma forma quadrática Hermiteana aos eixos principais . Seja A = A∗
uma matriz n × n Hermiteana, onde A∗ é a matriz adjunta denida por 〈y, Ax〉 = 〈A∗y,x〉 paratodo x, y ∈ Cn. Considere a base e1, e2, . . . , en de Cn ortonormal: 〈ei, ej〉 = δij que diagonalizaa matriz A:
E∗AE = Λ
= diag (λi, i = 1, . . . , n) ,
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COMPLEMENTOS 33
onde λ1, λ2, . . . , λn enumera os autovalores de A contando multiplicidades e E = [e1e2 · · · en] é amatriz n× n unitária: E−1 = E∗, com os autovetores nas correspondentes colunas.Reduzimos a forma quadrática 〈y, Ax〉 aos eixos principais
〈y, Ax〉 =n∑i=1
λiyixi
=n∑i=1
λi〈y, ei〉〈ei,x〉
onde xi = 〈ei,x〉 e yi = 〈y, ei〉 = 〈ei,y〉 são as componentes do vetor x e y na base. Segueque a matriz A pode ser decomposta em termos de seus elementos espectrais: σ = λ1, λ2, . . . , λno conjunto de autovalores ou espectro e P1, P2, . . . , Pn a coleção de projetores nas direções dosautovetores correspondentes: Pi = 〈·, ei〉〈ei, ·〉 = eie
Ti :
A =n∑i=1
λi〈·, ei〉〈ei, ·〉
=n∑i=1
λiPi .
Em geral, se f é um polinômio ou uma função que pode ser expressa por uma série de potências,temos
f(A) =n∑i=1
f(λi)〈·, ei〉〈ei, ·〉
e, em particular,
I =n∑i=1
〈·, ei〉〈ei, ·〉
é a decomposição espectral da identidade. Entre todas as notações do projetor Pi preferimos〈·, ei〉〈ei, ·〉 por ser mais simples de estender para o espaço vetorial de funções.Considere o operador integral Gρ dado por (2.23). Do Teorema 2.15 extraímos que as autofunções
ϕn(x), n = 1, 2, . . ., associadas aos autovalores 1/λn's formam uma base ortonormal para o espaçovetorial CL2(ρ)[a, b]. Seja f , g ∈ CL2(ρ)[a, b], isto é, as normas ‖f‖2,ρ, ‖g‖2,ρ são ambas nitas. Sejamfn = 〈f, ϕn〉ρ e gn = 〈g, ϕn〉ρ as componentes de f e g na direção do nésima autofunção ϕn(x).Analogamente, reduzimos a forma quadrática 〈g,Gρf〉ρ aos eixos principais
〈g,Gρf〉ρ =∑n≥1
1
λngnfn
=∑n≥1
1
λn〈g, ϕn〉ρ〈ϕn, f〉ρ
de onde segue a decomposição espectral do operador integral
Gρ = L−10 ρ =
∑n≥1
1
λn〈·, ϕn〉ρ〈ϕn, ·〉ρ . (2.39)
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COMPLEMENTOS 34
Em termos de seu núcleo integral G(x, y), devido a
〈g,Gρf〉ρ =
∫ b
a
g(x) (Gρf) (x)ρ(x)dx
=
∫ b
a
∫ b
a
g(x)G(x, y)f(y)ρ(y)dyρ(x)dx ,
temos
G(x, y) =∑n≥1
1
λnϕn(x)ϕn(y) (2.40)
(compare com (2.31)), sendo que o traço de Gρ,
TrGρ =
∫ b
a
G(x, x)ρ(x)dx
=
∫ b
a
∑n≥1
1
λnϕn(x)2ρ(x)dx
=∑n≥1
1
λn
∫ b
a
ϕn(x)2ρ(x)dx
=∑n≥1
1
λn<∞
por G(x, x)ρ(x) ser uma função uniformemente contínua em [a, b]. A troca da integral com osomatório na terceira igualdade é justicada pela convergência uniforme da série (2.40), devido aoseguinte resultado
Teorema 2.16 (T. Mercer (1909)). Seja G(x, y) o núcleo do operador integral Gρ dado por (2.23).
Suponha G(x, y) simétrico e positivo denido, isto é, todos autovalores µn = 1/λn, n ≥ 1, positivos:
1/λn > 0 (com 0 o único ponto de acumulação por Gρ ser compacto). Então a série (2.40) que o
representa converge uniformemente e absolutamente em [a, b]× [a, b].
Prova. Armamos inicialmente que G(x, x) ≥ 0, ∀x ∈ [a, b]. Caso contrário, se G(x0, x0) < 0 emalgum ponto x0 ∈ (a, b), então G(x, x) < 0 em uma vizinhança Ix0 = (x0 − δ, x0 + δ), δ > 0, porcontinuidade, que contradiz o fato de G(x, y) ser positiva denida: 〈χ,Gρχ〉ρ ≥ 0 ao escolhermosuma função χ(x) = 1 para x ∈ Ix0 e χ(x) = 0 para x ∈ [a, b] \Ix0 .Observamos, além disso, que a função
H(x, y) = G(x, y)−n∑k=1
1
λkϕk(x)ϕk(y)
dene um núcleo de um operador integral Hρ:
Hρf(x) =
∫ b
a
H(x, y)f(y)ρ(y)dy
que é simétrico e positivo denido, para todo n ∈ N. Hρ é um operador denido no complementoortogonal CL2(ρ)[a, b]\Mk ao subespaço vetorial Mk gerado pelas autofunções ϕk(x), k = 1, . . . , nde Gρ, ortonormais com respeito ao produto interno 〈·, ·〉ρ com peso ρ(x). Como os autovalores
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COMPLEMENTOS 35
µk = 1/λk, k ∈ N, de Gρ são todos positivos os autovalores µk = 1/λk, k > n, de Hρ são igualmentepositivos.Segue destas observações que
H(x, x) = G(x, x)−n∑k=1
1
λkϕk(x)2 ≥ 0 , ∀x ∈ [a, b]
de onde se conclui que o somatórion∑k=1
1
λkϕk(x)2 ≤ max
x∈[a,b]G(x, x) <∞
é nito uniformemente em [a, b], para todo n ∈ N. Pela desigualdade de Schwarz, temos(n∑k=1
ϕk(x)√λk· ϕk(y)√
λk
)2
≤
(n∑k=1
ϕk(x)2
λk
)·
(n∑k=1
ϕk(y)2
λk
)sendo ambas as somas do lado direito uniformememente nitas em [a, b] × [a, b]. Segue destadesigualdade que a série (2.40) converge absolutamente e uniformemente em [a, b]× [a, b].
Observação 2.17. A convergência uniforme continua sendo válida se Gρ tiver um número nito
de autovalores negativos e esse é o caso dos operadores de SturmLiouville.
Segue da decomposição (2.39), que(1
ρL0 − λρ
)−1
= (L0 − λρ)−1 ρ =∑n≥1
1
λn − λ〈·, ϕn〉ρ〈ϕn, ·〉ρ (2.41)
(compare com 2.36).As decomposições espectrais do operadores (2.39) e (2.41) sugerem a seguinte denição de G que
torma explícita a construção da função de Green, agora para o problema (2.25) e (2.26) com λ 6= 0:
Denição 2.18. Considere λ 6= λn para todo n ≥ 1. A função G : [a, b]× [a, b] −→ R contínua é o
núcleo integral da solução de L0[u]−λρ(x)u = f(x), com condições de contorno F1[u] = F2[u] = 0:
u(x) =
∫ b
a
G(x, y)f(y)dy ,
se, e somente se,
(1) Para cada y ∈ (a, b), G(x, y) = Gy(x) é contínua em x, satisfaz F1[Gy] = F2[Gy] = 0;
(2) Se x 6= y, Gy(x) é da classe C 2[a, b] em x e
limxy
∂G
∂x(x, y)− lim
xy
∂G
∂x(x, y) =
−1
p(y);
(3) Se x 6= y, Gy(x) satisfaz1
ρ(x)L0[Gy]− λGy = 0.
Suponhamos que λ1 seja um autovalor do problema L0[u]−λρ(x)u = 0, juntamente com F1[u] =
F2[u] = 0 e f/ρ ∈ C [a, b] seja ortogonal à autofunção ϕ1(x) correspondente: 〈f/ρ, ϕ1〉ρ = 0. Então,
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COMPLEMENTOS 36
por (2.37),
u(x) =
(1
ρL0 − λ1
)−1f
ρ(x)
=∑n≥2
〈f/ρ, ϕn〉ρλn − λ1
ϕn(x)
=
∫ b
a
∑n≥2
ϕn(x)ϕn(y)
λn − λ1
f(y)
ρ(y)ρ(y)dy
=
∫ b
a
G(x, y)f(y)
ρ(y)ρ(y)dy (2.42)
e1
ρ(x)L0[u]− λ1u =
∫ b
a
∑n≥2
ϕn(x)ϕn(y)f(y)
ρ(y)ρ(y)dy
de onde se conclui que
1
ρ(x)L0[Gy]− λ1Gy =
∑n≥2
ϕn(x)ϕn(y) = −ϕ1(x)ϕ1(y) , x 6= y (2.43)
devido a completeza do sistema ortogonal (ϕn(x))n≥1:∑n≥1
ϕn(x)ϕn(y) = δ(x− y) , (2.44)
isto é, a função delta de Dirac é o núcleo integral do operador identidade (formalmente)
(I f/ρ) (x) =
∫ b
a
δ(x− y)f(y)
ρ(y)ρ(y)dy
=
∫ b
a
∑n≥1
ϕn(x)ϕn(y)f(y)
ρ(y)ρ(y)dy
=∑n≥1
〈f/ρ, ϕn〉ρ ϕn(x) = f/ρ(x) . (2.45)
Observação 2.19. Note que o núcleo integral denido em (2.42)
G(x, y) =∑n≥2
ϕn(x)ϕn(y)
λn − λ1
(2.46)
é simétrico com respeito a troca das variáveis x e y:
G(x, y) = G(y, x) . (2.47)
Note que a série (2.44) é uniformemente e absolutamente convergente em toda região fechada e
limitada (compacta) em R\L = (x, y) ∈ [a, b]× [a, b] : x 6= y. A troca entre a integral e soma
na equação (2.45]) é, portanto, justicada com exceção do ponto y = x.
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COMPLEMENTOS 37
Teorema 2.20. Suponha que L0[u] − λ1ρ(x)u = 0, juntamente com F1[u] = F2[u] = 0, tenha
solução não identicamente nula ϕ1(x) tal que ‖ϕ1‖2,ρ = 1. Existe uma função contínua
G : [a, b]× [a, b] −→ R
tal que, dado f/ρ ∈ C [a, b], u ∈ C 2 [a, b] é solução de Lλ1 [u] = f(x), com F1[u] = F2[u] = 0 se, e
somente se, 〈ϕ1, f〉 = 0 e
u(x) =
∫ b
a
G(x, y)f(y)dy , (2.48)
onde G é chamada função de Green generalizada, é a única solução do problema no complemento
ortogonal à direção ϕ1(x).
Prova. (=⇒) 〈ϕ1, f〉 = 0 é uma condição necessária: suponha ϕ1(x) e u(x) soluções do problemade SturmLiouville homogêneo e não homogêneo, respectivamente. Então, integrando em [a, b] oproduto de ϕ1(x) pela equação (2.25) (sem o peso ρ(x)):
〈ϕ1, (L0[u]− λρu)〉 = 〈ϕ1, f〉 . (2.49)
Mas L0, juntamente com 2.26, é auto adjunto
〈ϕ1, (L0[u]− λρu)〉 = 〈(L0[ϕ1]− λρϕ1), u〉 = 0
de onde se conclui que o lado direito de (2.49) é nulo, concluindo a asserção.Prova. (⇐=) Construção da função de Green generalizada (inversa do operador diferencial nocomplemento ortogonal à direção ϕ1(x)): Seja φi = φi(x; y), i = 1, 2, uma solução real nãonula de
1
ρ(x)L0[φi]− λ1φi = −ϕ1(x)ϕ1(y) , x 6= y (2.50)
satisfazendo Fi[φi] = 0.Procuramos a função G da forma
G(x, y) =
φ1(x; y) se a ≤ x < y
φ2(x; y) se y ≤ x ≤ b(2.51)
que é contínua em x = y:G(y + 0, y) = G(y − 0, y) (2.52)
Primeiro passo. A condiçãoφ1(y; y) = φ2(y; y)
determina uma das duas constantes arbitrárias, uma de cada solução φi(x; y). Note que φi(x; y)
satisfaz uma equação não homogênea e a solução geral é dada por uma solução particular da nãohomogênea mas a solução geral da homogênea. Uma constante desta solução geral é xada pelacondição de fronteira Fi[φi] = 0.Vamos mostrar que ∂G/∂x(x, y) é descontínua em x = y, sem ter que impôr esta condição para
se xar a constante que ainda resta arbitrária. Armamos que
∂G
∂x(y + 0, y)− ∂G
∂x(y − 0, y) =
−1
p(y). (2.53)
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COMPLEMENTOS 38
Usando (2.43), temos
ϕ1(x)(L0[Gy](x)− λ1ρ(x)Gy(x))− Gy(x)(L0[ϕ1](x)− λ1ρ(x)ϕ1(x)) = −ρ(x)ϕ1(x)2ϕ1(y) (2.54)
onde o segundo termo do lado esquerdo é nulo: L0[ϕ1](x) − λ1ρ(x)ϕ1(x) = 0. O lado esquerdodesta equação pode, por outro lado, ser escrito como uma derivada total:
ϕ1(x)L0[Gy](x)− Gy(x)L0[ϕ1](x) = − d
dx
(p(x)
(ϕ1(x)G′y(x)− ϕ′1(x)Gy(x)
))(2.55)
Integrando sobre [a, b] a equação (2.54), juntamente com (2.55), ‖ϕ1‖2,ρ = 1 e as condições de
fronteira (2.26) satisfeitas por ϕ1 e Gy, resulta
p(x)ϕ1(x)G′y(x)∣∣∣ya
+ p(x)ϕ1(x)G′y(x)∣∣∣by− p(x)ϕ′1(x)Gy(x)
∣∣∣ba
= ϕ1(y)
e, consequentemente,
p(x)W(ϕ1, Gy;x
)∣∣∣ba
+ p(y)ϕ1(y)G′y(y − 0)− p(y)ϕ1(y)G′y(y + 0) = ϕ1(y) ,
de onde se conclui (2.53). Note que usamos apenas as propriedades até agora deduzidas para Gy(x).A equação (2.53) é necessária para se mostrar que (2.48) satisfaz (2.25).Segundo passo. Para determinar a constante restante, impomos a ortogonalidade: 〈ϕ1, Gy〉ρ = 0.Juntamente a isso, vamos mostrar que a ortogonalidade da função de Green generalizada estáintimamente relacionada com sua simétria pela troca de x por y (veja comentário na Observação2.19):
G(x, y) = G(y, x) . (2.56)
Sejam y e z dois pontos quaisquer distintos no intervalo (a, b) e escreva Gy(x) = G(x, y) eGz(x) = G(x, z). Usando
0 = Gy(x)Lλ[Gz](x)− Gz(x)Lλ[Gy](x) = − d
dx
(p(x)
(Gy(x)G′z(x)− G′y(x)Gz(x)
))(2.57)
e integrando sobre [a, b], pela descontinuidade de G′y e G′z em x = y e x = z, respectivamente,temos
0 = p(x)Gy(x)G′z(x)∣∣∣za
+ p(x)Gy(x)∣∣∣bz− p(x)G′y(x)Gz(x)
∣∣∣ya− p(x)G′y(x)Gz(x)
∣∣∣by
= p(x)W(Gy, Gz;x
)∣∣∣ba
+ p(z)G(z, y)(G′z(z − 0)− G′z(z + 0)
)−p(y)
(G′y(y − 0)− G′y(y + 0)
)G(y, z)
= p(z)G(z, y) (1/p(z))− p(y) (1/p(y)) G(y, z)
= G(z, y)− G(y, z)
demonstrando (2.56).
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COMPLEMENTOS 39
Por outro lado, por (2.57),
0 = 〈Gy,1
ρLλ[Gz]〉ρ − 〈Gz,
1
ρLλ[Gy]〉ρ
= −ϕ1(z)〈Gy, ϕ1〉ρ + ϕ1(y)〈Gz, ϕ1〉ρ
de onde se conclui que,〈Gy, ϕ1〉ρ = 0 , ∀y ∈ (a, b) . (2.58)
A condição de ortogonalidade (2.58), juntamente com a continuidade (2.52) de G(x, y) em x = y,garantem a simetria da função de Green e determinam ambas constantes.Terceiro passo. Vericação de que (2.48) resolve (2.25) com λ = λ1 e (2.26): Vamos mostrar que(2.48) com G(x, y) dado por (2.51):
u(x) =
∫ x
a
φ2(x; y)f(y)dy +
∫ b
x
φ1(x; y)f(y)dy (2.59)
satisfaz Lλ1 [u] = f e F1[u] = F2[u] = 0. Consulte as equações (2.20)-(2.21) para a dedução deexpressões análogas.Cada termo de (2.59) depende da variável x através da função φi(x; y) e dos extremos do intervalo
de integração. Derivando (2.59) em relação a x, temos
u′(x) =
∫ x
a
∂φ2
∂x(x; y)f(y)dy +
∫ b
x
∂φ1
∂x(x; y)f(y)dy + (φ2(x;x− 0)− φ1(x;x+ 0))f(x)
=
∫ x
a
∂φ2
∂x(x; y)f(y)dy +
∫ b
x
∂φ1
∂x(x; y)f(y)dy ,
devido a continuidade de G(x, y) em x = y. Derivando (2.59) mais uma vez em relação a x, temos
u′′(x) =
∫ x
a
∂2φ2
∂x2(x; y)f(y)dy +
∫ b
x
∂2φ1
∂x2(x; y)f(y)dy +
(∂φ2
∂x(x;x− 0)− ∂φ1
∂x(x;x+ 0)
)f(x)
=
∫ x
a
∂2φ2
∂x2(x; y)f(y)dy +
∫ b
x
∂2φ1
∂x2(x; y)f(y)dy − 1
p(x)f(x)
pela simetria G(x, y) = G(y, x) e (2.53). Segue destas expressões, juntamente com (2.25) e (2.50),que
Lλ1 [u] =
∫ x
a
Lλ1 [φ2](x; y)f(y)dy +
∫ b
x
Lλ1 [φ1](x; y)f(y)dy + f(x)
= −ρ(x)ϕ1(x)
(∫ x
a
ϕ1(y)f(y)dy +
∫ b
x
ϕ1(y)f(y)dy
)+ f(x)
= f(x) ,
pela ortogonalidade 〈ϕ1, f〉 =
∫ b
a
ϕ1(y)f(y)dy = 0, e F1[u] = F2[u] = 0 devido a Fi[φi] = 0, i = 1 e
2, e continuidade de G(x, y) em x = y, concluindo a demonstração do teorema.
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COMPLEMENTOS 40
Exemplo 2.21. Considere a equação
− u′′ = f(x) , em [0, 1] (2.60)
com
u(0) = 0 , u(1)− u′(1) = 0 . (2.61)
A solução geral da equação homogênea: u(x) = a+ bx, juntamente com a condição (2.61) implica
que ϕ0(x) =√
3x é uma autofunção (normalizada) do problema, associada ao autovalor λ = 0.
Neste caso, a solução de (2.60) requer a função de Green no sentido generalizado, isto é, vamos
inverter o operador L0[u] = −u′′, com F1[u] = F2[u] = 0 dado por (2.61), no complemento ortogonal
à direção ϕ0(x) =√
3x.
Função de Green generalizada: A função φ1 = φ1(x; y) satisfaz
− φ′′1 = −3xy (2.62)
com F1[φ1] = φ1(0) = 0; A função φ2 = φ2(x; y) satisfaz
− φ′′2 = −3xy (2.63)
com F2[φ2] = φ2(1)− φ′2(1) = 0.
A solução geral de (2.62) ou (2.63) é
φ(x, y) =x3y
2+ a(y)x+ b(y) .
Usando as condições de contorno:
φ1(0) = b1(y) = 0
e, por φ′(x; y) = 3x2y/2 + a(y),
φ2(1)− φ′2(1) =y
2+ a2 + b2 −
3y
2− a2
= b2 − y = 0 ,
logo b2(y) = b. A função de Green do problema é, por (2.51),
G(x, y) =
x3y
2+ a1(y)x se 0 ≤ x < y
x3y
2+ a2(y)x+ y se y ≤ x ≤ 1
.
Impondo a condição de continuidade,
φ1(y, y) =y4
2+ a1(y)y =
y4
2+ a2(y)y + y = φ2(y; y) ,
obtemos a1(y) = a2(y) + 1 e, consequentemente,
G(x, y) =
x3y
2+ a(y)x+ x se 0 ≤ x < y
x3y
2+ a(y)x+ y se y ≤ x ≤ 1
. (2.64)
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COMPLEMENTOS 41
Impondo a condição de ortogonalidade,∫ 1
0
G(x, y)ϕ0(x)dx =√
3
∫ y
0
φ1(x; y)xdx+√
3
∫ 1
y
φ2(x; y)xdx
=√
3
(∫ y
0
(x3y
2+ a(y)x+ x
)xdx+
∫ 1
y
(x3y
2+ a(y)x+ y
)xdx
)=√
3
(∫ y
0
x2dx+ y
∫ 1
y
xdx+
∫ 1
0
(x4y
2+ a(y)x2
)dx
)=√
3
(y3
3+y
2(1− y2) +
y
10+a(y)
3
)= 0
implica
a(y) = 3
(y3
6− 6y
10
)=y3
2− 9y
5.
Substituindo este resultado em (2.64), concluímos
G(x, y) =
xy
2(x2 + y2) +
9
5xy + x se 0 ≤ x < y
xy
2(x2 + y2) +
9
5xy + y se y ≤ x ≤ 1
.
A solução do problema (2.60) e (2.61) é, portanto,
u(x) =
∫ 1
0
(xy
2
(x2 + y2
)+
9
5xy
)f(y)dy +
∫ x
0
yf(y)dy + x
∫ 1
x
f(y)dy .
Note que a derivada segunda em x do primeiro termo do lado direito desta expressão se anula por
ortogonalidade: 3x
∫ 1
0
yf(y)dy = ϕ0(x)
∫ 1
0
ϕ0(y)f(y)dy = ϕ0(x)〈ϕ0, f〉 = 0.
Exemplo 2.22. Considere −u′′ − π2/4u = f(x) em [0, 1] com
u(0) = u′(1) = 0 .
λ = π2/4 é um autovalor para este problema, isto é, Lπ2/4[u] = −u′′ − π2/4u = 0 com F1[u] =
u(0) = 0 e F2[u] = u′(1) = 0 tem uma solução não identicamente nula: ϕ1(x) =√
2 sinπx/2,
normalizada
‖ϕ1‖22 = 2
∫ 1
0
sin2 π
2xdx = 2
∫ 1
0
1− cos πx
2dx = 1 ,
onde usamos cos πx = cos2 πx/2− sin2 πx/2 = 1− 2 sin2 πx/2 e
∫ 1
0
cos πxdx = (1/π) sinπx|10 = 0.
Função de Green generalizada: A função φ1 = φ1(x; y) satisfaz −φ′′1 − π2/4φ1 =
−2 sinπx/2 sinπy/2 com F1[φ1] = φ1(0) = 0; A função φ2 = φ2(x; y) satisfaz −φ′′2 − π2/4φ2 =
−2 sinπx/2 sinπy/2 com F2[φ2] = φ′2(0) = 0. A solução geral de
−φ′′i −π2
4φi = −2 sinπx/2 sinπy/2
é
φi(x; y) = − 2
πx cos
π
2x sin
π
2y + ai(y) cos
π
2x+ bi(y) sin
π
2x .
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COMPLEMENTOS 42
Impondo as condições de fronteira, temos
F1[φ1] = φ1(0) = a1(y) = 0
e
F2[φ2] = φ′2(1) = sinπ
2y − π
2a2(y) = 0 =⇒ a2(y) =
2
πsin
π
2y .
Substituindo as expressões de φ1 e φ2 em (2.51), temos
G(x, y) =
− 2
πx cos
π
2x sin
π
2y + b1(y) sin
π
2x se 0 ≤ x < y
2
π(1− x) cos
π
2x sin
π
2y + b2(y) sin
π
2x se y ≤ x ≤ 1
.
Da continuidade de G(x, y) em x = y, resulta
b1(y) = b2(y) +2
πcos
π
2y
e, consequentemente,
G(x, y) =
2
πsin
π
2x cos
π
2y − 2
πx cos
π
2x sin
π
2y + b(y) sin
π
2x se 0 ≤ x < y
2
π(1− x) cos
π
2x sin
π
2y + b(y) sin
π
2x se y ≤ x ≤ 1
para alguma b(y) a ser determinada pela condição de ortogonalidade:
0 =
∫ 1
0
G(x, y)ϕ1(x)dx
=√
2
(− 2
πsin
π
2y
∫ 1
0
x sinπ
2x cos
π
2x dx+ b(y)
∫ 1
0
sin2 π
2x dx
)+√
2
(2
πcos
π
2y
∫ y
0
sin2 π
2x dx+
2
πsin
π
2y
∫ 1
y
sinπ
2x cos
π
2x dx
)=√
2
(− 1
π2sin
π
2y +
1
2b(y) +
1
πcos
π
2y
(y − 1
πsinπy
)+
2
π2sin
π
2y cos2 π
2y
)=√
2
(− 1
π2sin
π
2y +
1
2b(y) +
1
πy cos
π
2y
)resultando
G(x, y) =
2
π(1− y) sin
π
2x cos
π
2y − 2
πx cos
π
2x sin
π
2y +
2
π2sin
π
2x sin
π
2y se 0 ≤ x < y
2
π(1− x) cos
π
2x sin
π
2y − 2
πy sin
π
2x cos
π
2y +
2
π2sin
π
2x sin
π
2y se y ≤ x ≤ 1
.
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COMPLEMENTOS 43
A solução u : [0, 1] −→ R da equação não homogênea no complemento ortogonal à direção da
autofunção ϕ1(x) =√
2 sinπx/2 é
u(x) =2
πsin
π
2x
∫ 1
0
(−y cos
π
2y +
1
πsin
π
2y
)f(y) dy − 2
πx cos
π
2x
∫ 1
0
sinπ
2y f(y) dy
+2
πcos
π
2x
∫ x
0
sinπ
2y f(y) dy +
2
πsin
π
2x
∫ 1
x
cosπ
2y f(y) dy
=−2
πsin
π
2x
∫ 1
0
y cosπ
2y f(y) dy
+2
πcos
π
2x
∫ x
0
sinπ
2y f(y) dy +
2
πsin
π
2x
∫ 1
x
cosπ
2y f(y) dy ,
pela ortogonalidade 〈f, ϕ1〉 =√
2
∫ 1
0
sinπ
2y f(y) dy = 0.
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COMPLEMENTOS 44
3. Operadores Compactos: Teoria Espectral
O objetivo desta seção é introduzir uma subclasse H [a, b] da classe C [a, b] das funções f :
[a, b] −→ R contínuas que tem um papel importante na análise espectral dos operadores integraisGρ cujo núcleo integral G(x, y), dado pela função de Green do problema de SturmLiouville. Asubclasse H [a, b] é formada pelas funções equicontínuas que, por intermédio do Teorema deAscoli, caracterizam os subconjuntos H (relativamente) compactos da classe C [a, b] de funçõescontínuas com a métrica d (f, g) = maxa≤x≤b |f(x)− g(x)| da convergência uniforme.Faremos aqui uso de conceitos apresentados nos Caps. 8 e 9 do belíssimo livro Espaços Métricos
do Prof. Elon L. Lima (veja Terceiro roteiro de leitura, para mais detalhes) e do texto Análisefuncional e o problema de SturmLiouville do Prof. Chaim S. Hönig.Em seguida, desenvolveremos em detalhes o Teoria espectral de operadores compactos Hermiti-
anos em espaços pré-Hilbertianos. Para este assunto seguiremos os textos Análise funcional e oproblema de SturmLiouville do Prof. Chaim S. Hönig e Lições de equações diferenciais ordiná-rias do Prof. Jorge Sotomayor.
3.1. Compacidade na reta e em espaços métricos. Enunciaremos três resultados clássicos daAnálise de R, sobre sua topologia, que nos oferecem diferentes caracterizações de um compacto Kde R.
Teorema 3.1 (BolzanoWeierstrass). Todo subconjunto innito limitado K ⊂ R possui um ponto
de acumulação.
Teorema 3.2 (chamado, às vezes, Bolzano-Weierstrass). Toda sequência (xn)n≥1 limitada de nú-
meros reais possui uma subsequência(xnj
)j≥1
convergente.
Teorema 3.3 (BorelLebesgue). Seja [a, b] ⊂⋃λ∈L
Aλ onde (Aλ)λ∈L é uma família de conjuntos
abertos. Então existem λ1, . . . , λn ∈ L tais que
[a, b] ⊂ Aλ1 ∪ · · · ∪ Aλn .
Observação 3.4. No Teorema 3.3, [a, b] pode ser substituído por um subconjunto F fechado e
limitado qualquer de R. Basta tomar um intervalo [a, b] tal que F ⊂ [a, b], incluir o aberto Aλ0 =
R\F e aplicar o Teorema 3.3 com [a, b] ⊂ Aλ0 ∪ Aλ1 ∪ · · · ∪ Aλn e⋃λ∈L
Aλ uma cobertura de F por
abertos.
Vamos incluir as provas destes resultados pois ilustram o conceito que pretendemos descrever emespaços métricos em geral.Prova do Teorema 3.1. Seja A = x ∈ R : K ∩ [x,∞) é innito, isto é, A é o conjunto de todos osx's tais que existam innitos pontos de K à sua direita. Como K é limitado, K ⊂ [a, b] para alguma e b de R, sendo b uma quota superior para K. Seja c = supA, isto é, c é a menor quota superiorde A de tal maneira que (c− ε, c+ ε) ∩ K é innito, existem innitos pontos de K à direita dec − ε mas não há uma innidade de pontos à direita de c + ε. Como ε > 0 é arbitrário, c é umponto de acumulação de K, concluindo a demonstração.
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COMPLEMENTOS 45
Prova do Teorema 3.2. Sejam α e β tais que
α < xn < β , ∀n ∈ N
e Xn = xn, xn+1,..., n = 1, 2, . . ., uma sequencia decrescente de conjuntos com innitos pontos de(xn)n≥1:
[a, b] ⊃ X1 ⊃ X2 ⊃ · · · ⊃ Xn ⊃ · · · .Se an = inf Xn é a maior quota inferior do conjunto Xn, então o ínmo da sequencia decrescentesatisfaz
a1 ≤ a2 ≤ · · · ≤ an ≤ · · · .Por (xn)n≥1 ser uma sequência limitada e a sequência (an)n≥1 dos ínmos de Xn ser monotonica,existe o limite
a = limn→∞
an .
Consequentemente, dado ε > 0 existe n0 = n0(ε) tal que
a− ε < an0 < a+ ε .
Como an0 = inf Xn0 , existe n ≥ n0 tal que an0 ≤ xn < a+ ε e
a− ε < xn < a+ ε . (3.1)
Basta agora escolher uma sequência (εj)j≥1 com εj = 1/j e tomar a subsequência(xnj
)j≥1
de(xn)n≥1 tal que para cada j a desigualdade (3.1) seja satisfeita: a− εj < xnj
< a + εj, concluindoa demonstração do teorema.
Prova do Teorema 3.3. Pela hipótese e denição de cobertura, para cada y ∈ [a, b] existe algumíndice λ ∈ L tal que y ∈ Aλ. Seja X o conjunto dos pontos x ∈ [a, b] tais que o intervalo [a, x] estácontido em uma união nita:
Aλ1 ∪ · · · ∪ Aλn .O conjunto X 6= ∅ pois para algum λ, temos a ∈ Aλ e como Aλ é um aberto, existe δ > 0 tal quea+δ < b e [a, a+δ) ⊂ Aλ. Então [a, a+δ) ⊂ X, isto é, está contido em uma união nita de abertosAλ's. É evidente que, qualquer y tal que a ≤ y < x, então y ∈ X. Logo X é um intervalo [a, c) ou[a, c], onde c = supX. Armamos que X = [a, c], pois existe λ0 tal que c ∈ Aλ0 . Por outro lado,como Aλ0 é aberto, existe ε > 0 tal que (c− ε, c+ ε) ∈ Aλ0 . Pela denição de supremo, podemosencontrar x ∈ X tal que
c− ε < x ≤ c .
Porém,[a, x] ⊂ Aλ1 ∪ · · · ∪ Aλn
e[a, c] ⊂ Aλ1 ∪ · · · ∪ Aλn ∪ Aλ0 .
Portanto, c ∈ X e c = b, pois se não for contradiz a denição de supremo, concluindo a demons-tração.
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COMPLEMENTOS 46
Introduziremos agora algumas denições para espaço métrico (M,d) em geral.
Denição 3.5. Seja X um subconjunto de um espaço métrico (M,d).
(1) Uma cobertura de X é uma família F = (Cλ)λ∈L de subconjuntos de M tal que
X ⊂⋃λ∈L
Cλ ≡ S ,
isto é, cada x ∈ X, ∃λ ∈ L tal que x ∈ Cλ.(2) Se existe L′ ⊂ L tal que para cada x ∈ X ainda podese obter λ ∈ L′ com x ∈ C, então a
subfamília F ′ = (Cλ)λ∈L′ chamase subcobertura de X. A subcobertura F ′ é própria se L′
é um subconjunto próprio de L.
(3) Uma cobertura= (Aλ)λ∈L de X dizse aberta quando cada subconjunto Aλ, λ ∈ L, é abertoem M . F é nita se L é um conjunto nito: L = λ1, . . . , λn e escrevemos neste caso
X ⊂ Aλ1 ∪ · · · ∪ Aλn .
Denição 3.6. Um espaço métrico (M,d) chama-se compacto se toda cobertura F aberta possui
uma subcobertura nita.Um subconjunto X de M chama-se um subconjunto compacto quando o
subespaço métrico (X, d|X), onde d|X é a restrição da métrica d em M aos pontos do subconjunto
X, é compacto.
Enunciaremos sem demonstrações algumas implicações do conceito compacto. Para uma provados resultados a seguir, consulte o Cap. 8 do texto Espaços Metricos de Elon L. Lima.
Proposição 3.7. Todo subconjunto fechado de um espaço métrico compacto é compacto. Um
subconjunto compacto de qualquer espaço métrico é necessariamente fechado.
Corolário 3.8. Qualquer intresecção K =⋂λ∈L
Kλ de compactos Kλ é compacto.
Corolário 3.9. Todo espaço métrico compacto é completo.
Proposição 3.10. Todo espaço métrico compacto é limitado.
De fato, se B(x, r) = y ∈M : d (x, y) < r denota a bola aberta de centro em x ∈ M e raior > 0, então M é compacto se, e somente se, for possível extrair da cobertura M =
⋃x
B (x, 1) uma
subcobertura nita M = B (x1, 1)∪ · · ·∪B (xn, 1). Porém uma subcobertura nita de M por bolasde raio 1 é necessariamente limitada por B(x1, 2n).Segue das Proposições 3.7 e 3.10 que qualquer K ⊂ M compacto é fechado e limitado. Se M é
R ou Rn, então a recíproca
K fechado e limitado =⇒ K compacto
é também satisfeita. A reciproca porém não é em geral válida, como podese ver do seguinteexemplo.
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COMPLEMENTOS 47
Exemplo 3.11. Considere o espaço métrico (de Hilbert)
l2 (R) =
x = (xn)n≥1 ∈ RN : ‖x‖2
2 =∑n≥1
x2n <∞
das sequências (xn)n≥1 em R de quadrado somável, munido com o produto interno 〈x, y〉 =∑n≥1
xnyn
e métrica d(x, y) = ‖x− y‖2 induzida pela norma ‖x‖22 = 〈x, x〉. Considere o subconjunto X =
e1, e2, . . . , en, . . . ⊂ l2(R) formado pelas sequências en = (0, . . . , 0, 1, 0, . . .) cuja única compo-
nente não nula na nésima posição é 1. Como ‖en‖2 = 1 e ‖en − em‖ =√
2, ∀n,m ∈ N com
n 6= m, temos X ⊂ B (0, r), r > 1, é limitado, innito e discreto e, portanto, fechado mas não é
compacto:
X ⊂⋃n≥1
B (en, r) , r <
√2
2
não admite subcobertura nita.
Proposição 3.12. A imagem f(K) de um conjunto compacto K por uma aplicação f : M −→ N
contínua, de um espaço métrico (M,d) em um espaços métrico (N, d′), é um conjunto compacto.
Corolário 3.13. Se M é compacto, então toda aplicação f : M −→ N contínua é fechada (F ⊂M
fechado =⇒ f(F ) ⊂ N fechado)
Corolário 3.14. Se M é compacto, então toda apliacação contínua é limitada.
Teorema 3.15. Se (E, d) é um espaço métrico, são equivalentes as armações:
A. E é compacto;
B. E é sequencialmente compacto (toda sequência de pontos de E contém uma subsequência
convergente);
C. E é completo e totalmente limitado, isto é, para todo ε > 0, existe um recobrimento nito
de E formado por conjuntos de diâmetro ≤ ε.
Uma variante deste resultado, útil em aplicações, é o seguinte
Teorema 3.16. São equivalentes as armações:
A'. X é relativamente compacto em E, isto é, X é compacto;
B'. Toda sequência de pontos em X contém uma subsequência convergente em E;
C'. X é totalmente limitado.
Observação 3.17. (E, d) é totalmente limitado se, e somente se, E é compacto. Todo espaço
metrico totalmente limitado é separável, isto é, cumpre uma das seguintes armações equiva-
lentes:
(1) E contém um subconjunto enumerável denso;
(2) E contém uma base enumerável de abertos;
(3) Toda cobertura aberta de E admite uma subcobertura enumerável.
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COMPLEMENTOS 48
De fato, se E é totalmente limitado, então para cada n existe Fn ⊂ E nito tal que d (x, Fn) < 1/n
para todo x ∈ E. Seja F =⋃n≥1
Fn. Como F é uma união enumerável de conjuntos nitos, é
enumerável e para todo x ∈ E temos d (x, F ) = 0. Logo, F é denso em E.
Após esta breve exposição sobre os diversos conceitos relacionados a compacidade de um conjunto,estenderemos estes conceitos de maneira a estabelecer a teoria espectral de operados integraiscompactos.
3.2. Equicontinuidade. Seja (E, d) um espaço métrico compacto, (F, d′) um espaço métrico com-pleto e C (E,F ) o conjunto das funções f : E −→ F contínuas munido da distância
d∞(f, g) = supx∈E
d′ (f(x), g(x)) .
Observe que (C (E,F ) , d∞) é um espaço métrico completo. Na aplicação em mãos, E é um intervalofechado [a, b], F é a reta R e C ([a, b] ,R) (C [a, b], por brevidade) denota o conjunto da aplicaçõescontínuas de [a, b] em R. A imagem de uma f : [a, b] −→ R contínua é um intervalo fechado elimitado de R, portanto, compacto.
Denição 3.18. Seja H ⊂ C (E,F ) um conjunto de aplicações de E em F . Dizemos que H é
equicontínuo no ponto x0 ∈ E se, e somente se, dado ε > 0, existe uma vizinhaça Vx0 de x0 tal
que
d′(f(x), f(x0)) < ε , se x ∈ Vx0para todo f ∈H .
Dizemos que H é equicontínuo se H é equicontínuo em todo ponto x ∈ E. Observe que
H ⊂ C (E,F ).
Exemplo 3.19. Dado m > 0, o conjunto
H =
f ∈ C 1 [a, b] : sup
a≤x≤b|f ′(x)| ≤ m
é um subconjunto equicontínuo de C [a, b] pois, pelo teorema do valor médio:
|f(x)− f(y)| ≤ m |x− y| , ∀x, y ∈ [a, b]
(f é Lipschitz contínua) para todo f ∈H .
Teorema 3.20 (Ascoli). Um subconjunto H ⊂ C (E,F ) é relativamente compacto se, e somente
se, ele satisfaz as condições
(1) H é equicontínuo;
(2) Para todo x ∈ E, o conjunto Hx = f(x) : f ∈H é relativamente compacto em F .
Prova. Seguiremos o Cap. III, 1, B. do texto Análise funcional e o problema de SturmLiouvilledo Prof. Chaim S. Hönig. Implicação (=⇒), iniciaremos pelo ítem 2. Se H é relativamentecompacto, então Hx, por ser a imagem de uma aplicação contínua, também o é:
f ∈ C (E,F ) 7−→ f(x) ∈ F .
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COMPLEMENTOS 49
Resta provar o ítem 1.: H é equicontínua. Do ítem C' do Teorema 3.16 segue que existe umrecobrimento nito H1, . . . , Hn de H por conjuntos de diâmetro ε/3. Fixemos f1 ∈ H1, . . . ,fn ∈ Hn. Da continuidade das funções f1, . . . , fn, segue que, dado x0 ∈ E, existe uma vizinhançaVx0 de x0 tal que, para x ∈ Vx0 , temos
d′ (fi(x), fi(x0)) <ε
3, i = 1, . . . , n .
Dado f ∈H , seja i tal que f ∈ Hi. Para x ∈ Vx0 , pela desigualdade triangular, temos
d′ (f(x), f(x0)) ≤ d′ (f(x), fi(x)) + d′ (fi(x), fi(x0)) + d′ (fi(x0), fi(x0)) < ε ,
o que prova a equicontinuidade de H no ponto x0 e, consequentemente, em todo ponto x ∈ E.Implicação (⇐=): seja H ⊂ C (E,F ) equicontínuo e tal que, para todo x ∈ E, Hx seja relativa-
mente compacto em F . Para demonstrar que H é relativamente compacto é suciente, pelo ítemC' do Teorema 3.16, mostrar que H é completamente limitado, isto é, dado ε, existe um recobri-mento nito de H por conjuntos de diâmetro ≤ ε. Sendo H equicontínuo, para todo x ∈ E, existeuma vizinhança aberta Ax de x tal que, se x′ ∈ Ax então d′ (f(x′), f(x)) < ε/3. Sendo E compacto,H pode ser recoberto por um número nito de abertos Ax1 , . . . , Axn com esta propriedade. Poroutro lado Hi = Hxi , i = 1, . . . , n, é por hipótese relativamente compacto e existe, portanto, umrecobrimento nito Hi,1, . . . , Hi,mi
por conjuntos de diâmetro ≤ ε/3.Para cada sequência de inteiros p1, . . . , pn com 1 ≤ pi ≤ mi, seja
Hp1,...,pn = f ∈H : f(xi) ∈ Hi,pi , i = 1, . . . , n .
Esses conjuntos evidentemente formam um recobrimento nito de H e resta mostrar que cadaHp1,...,pn tem diâmetro < ε. Sejam f, g ∈ Hp1,...,pn quaisquer. Para todo x ∈ E, existe i tal quex ∈ Axi e, pela desigualdade triangular,
d′ (f(x), g(x)) ≤ d′ (f(x), f(xi)) + d′ (f(xi), g(xi)) + d′ (g(xi), g(x)) < ε ,
concluindo a demonstração.
3.3. Operadores compactos. Sejam E e F espaços normados, isto é, E e F são espaços métricoscom a métrica induzida por uma norma d(x, y) = ‖x− y‖, e seja
k : E −→ F (3.2)
uma aplicação linear:k (αx+ βy) = αk(x) + βk(y)
quaisquer que sejam α, β ∈ R e x, y ∈ E.O conjuto das aplicações lineares contínuas de E em F forma um espaço vetorial L (E,F ) munido
da norma k ∈ L (E,F ) 7−→ ‖k‖ = sup‖x‖≤1 ‖k(x)‖. Para todo x ∈ E temos ‖k(x)‖ ≤ ‖k‖ ‖x‖ e ‖k‖é a menor constante c tal que ‖k(x)‖ ≤ c ‖x‖. Um exemplo de aplicação linear contínua, pertinenteao problema de SturmLiouville desenvolvido nestas notas, tem suas propriedades deduzidas nosseguintes
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COMPLEMENTOS 50
Lema 3.21. Sejam E e F espaços normados e k uma aplicação linear de E em F . São equivalentes
as seguintes propriedades:
(1) k é contínua na origem;
(2) sup‖x‖≤1 ‖k(x)‖ = M <∞;
(3) existe C > 0 tal que ‖k(x)‖ ≤ C ‖x‖ para todo x ∈ E;(4) k é contínua.
Prova. 1.⇒2.: sendo k contínua na origem, dado ε > 0, existe δ > 0 tal que ‖x‖ < δ implica‖k(x)‖ < ε e, portanto, ‖x/δ‖ ≤ 1 implica
‖k(x/δ)‖ = ‖k(x)/δ‖ = ‖k(x)‖ /δ < ε/δ ≡M <∞ .
2.⇒3.: para todo x ∈ E, x 6= 0, o elemento x/ ‖x‖ tem norma 1 e, portanto, ‖k (x/ ‖x‖)‖ ≤ C
implica‖k(x)‖ = ‖k (x/ ‖x‖)‖ ‖x‖ ≤ C ‖x‖ .
3.⇒4.: se ‖x− x0‖ ≤ ε/C = δ, então
‖f(x)− f(x0)‖ = ‖f(x− x0)‖ ≤ C ‖x− x0‖ ≤ ε .
4.⇒1.: é evidente.
Lema 3.22. Sejam E = C [a, b], F = C [c, d] e K : [c, d] × [a, b] −→ R uma função contínua.
Dena para todo f ∈ E
(K f) (s) =
∫ b
a
K(s, t)f(t)dt , s ∈ [c, d] . (3.3)
A aplicação K é linear de C [a, b] em C [c, d], com ambos espaços munidos da norma do supremo
‖f‖ = supx∈[a,b] |f(x)|, é contínua: K ∈ L (C [a, b] ,C [c, d]) e sua norma satisfaz
‖K ‖ ≤ sups∈[c,d]
∫ b
a
|K(s, t)| dt . (3.4)
Prova. Sendo f(t) e K(s, t) contínuas, a aplicação (3.3) está bem denida. Sendo K uniformementecontínua em [c, d] × [a, b], dado ε > 0, existe δ = δ(ε) > 0 tal que |t1 − t2|,|s1 − s2| < δ implicam|K(s1, t1)−K(s2 − t2)| < ε. Logo,
|(K f) (s1)− (K f) (s2)| ≤∫ b
a
|K(s1, t)−K(s2 − t)| |f(t)| dt
≤ ε(b− a) ‖f‖ (3.5)
de onde se conclui a continuidade de (K f) (s). A linearidade da aplicação é devido a linearidadeda operação de integração e sua continuidade segue de
|(K f) (s)| ≤∫ b
a
|K(s, t)| |f(t)| dt
≤∫ b
a
|K(s, t)| dt · ‖f‖ (3.6)
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COMPLEMENTOS 51
que implica
‖K f‖ ≤ sups∈[c,d]
∫ b
a
|K(s, t)| dt · ‖f‖ (3.7)
e a desigualdade (3.4). Pode-se mostrar que ‖K ‖ = sups∈[c,d]
∫ ba|K(s, t)| dt e como esta norma é
nita, devido a continuidade uniforme de K(s, t), Lema 3.21 juntamente com (3.7) implicam queK : C [a, b] −→ C [c, d] é uma aplicação linear contínua.
A seguir introduziremos o ingrediente necessário para a denição de operadores compactos (veja
o texto Análise funcional e o problema de SturmLiouville do Prof. Chaim S. Hönig, para suademonstração)
Proposição 3.23. São equivalentes as seguintes assertivas:
a. k leva a bola unitátia B(x, 1) = y ∈ E : ‖x− y‖ < 1 de E, centrada em algum x, em um
conjunto relativamente compacto de F ;
b. k leva conjuntos limitados de E em conjuntos relativamente compactos de F ;
c. Toda sequência limtada de pontos (xn)n≥1 de E contém uma subsequência(xnj
)j≥1
tal que
a sequência(k(xnj
))j≥1
é convergente.
Denição 3.24. Dizemos que a aplicação linear k : E −→ F é compacta ou completamente
contínua se ela satisfaz as condições equivalentes a., b. e c. da Proposição 3.23.
Observação 3.25. Como todo conjunto relativamente compacto de um espaço normado é limi-
tado, segue que toda aplicação linear compacta é contínua. O conjunto das aplicações lineares
compactas de E em F é, portanto, um subespaço vetorial de L (E,F ).
Retornemos ao exemplo pertinente ao problema de SturmLiouville.
Lema 3.26. A aplicação linear K : C [a, b] −→ C [c, d] dada por (3.3) é compacta.
Prova. Basta mostrar que K (B), onde B é uma bola unitária em C [a, b]: B = B(g, 1) =
f ∈ C [a, b] : ‖f − g‖ < 1 para algum g ∈ C [a, b], é um conjunto relativamente compacto deC [c, d]. Para isso, pelo Teorema de Ascoli, é suciente mostrar que
(1) K (B) é equicontínua e(2) para todo s0 ∈ [c, d], o subconjunto de R,
K (B)s0 = (K f) (s0) : f ∈ B ,
é limitado.
Itens 1. e 2. seguem da prova do Lema 3.22 (veja equações (3.5) e (3.6)). Por K ser umaaplicação linear em um espaço normado, é suciente tomar a bola B centrada na origem (funçãonula): g(s) = 0, ∀s ∈ [a, b] (veja Lema 3.21). Neste caso f−g = f e K (f−g) = K f−K g = K f .Se |s1 − s2| < δ, então
|(K f) (s1)− (K f) (s2)| ≤ ε(b− a) ‖f‖ ≤ ε(b− a) ,
qualquer que seja f ∈ B, provando a equicontinuidade de K (B).
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COMPLEMENTOS 52
Para todo f ∈ B e s0 ∈ [a, b], temos
|(K f) (s0)| ≤∫ b
a
|K(s0, t)| dt · ‖f‖ ≤∫ b
a
|K(s0, t)| dt <∞ .
Logo K (B)s0 é limitado, concluindo a demonstração do lema.
Lemas 3.22 e 3.26 se aplicam ao operador Gρ : C [a, b] −→ C [a, b] dado por
(Gρf) (x) =
∫ b
a
G(x, y)ρ(y)dy
onde ρ : [a, b] −→ R e G : [a, b] × [a, b] −→ R são uniformemente contínua e tais que ρ(x) > 0
e G(x, y) = G(y, x). Os resultados são válidos na topologia (mais na) uniforme, com a mé-trica d∞(f, g) = supx∈[a,b] |f(x)− g(x)| = ‖f − g‖∞ induzida pela norma do supremo ‖f‖∞ =
supx∈[a,b] |f(x)|, como também na topologia do espaço preHilbertiano CL2(ρ) [a, b] com a métrica
d2(f, g) = ‖f − g‖2,ρ induzida pela norma ‖f‖22,ρ =
∫ b
a
f(x)2ρ(x)dx = 〈f, f〉ρ.
Lema 3.27. A aplicação linear K : CL2 [a, b] −→ CL2 [c, d] dada por (3.3) é compacta.
Prova. Basta mostrar que K (B), onde B é uma bola unitária em CL2 [a, b]: B = B(0, 1) =
f ∈ CL2 [a, b] : ‖f‖ < 1, é um conjunto relativamente compacto de CL2 [c, d]. Para isso, peloTeorema de Ascoli, é suciente mostrar que
(1) K (B) é equicontínua e(2) o subconjunto de R,
‖K (B)‖2 =
(∫ d
c
|(K f) (s)|2 ds)1/2
: f ∈ B
,
é limitado.
Novamente, ítens 1. e 2. seguem de uma variante da prova do Lema 3.22 (veja equações (3.5) e(3.6)). Se |s1 − s2| < δ, então, pela desigualdade de Cauchy-Schwarz,
|(K f) (s1)− (K f) (s2)| ≤∫ b
a
|K(s1, t)−K(s2 − t)| |f(t)| dt
≤(∫ b
a
|K(s1, t)−K(s2 − t)|2 dt)1/2
‖f‖2
≤ ε√b− a ‖f‖2 ≤ ε
√b− a ,
qualquer que seja f ∈ B, provando a equicontinuidade de K (B).
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COMPLEMENTOS 53
Para todo f ∈ B e s ∈ [a, b], temos, pela desigualdade de Cauchy-Schwarz,
|(K f) (s)| ≤∫ b
a
|K(s, t)| |f(t)| dt
≤(∫ b
a
|K(s, t)|2 dt)1/2
‖f‖2
≤(∫ b
a
|K(s, t)|2 dt)1/2
e, portanto,
‖K f‖2 =
(∫ d
c
|(K f) (s)|2 ds)1/2
≤(∫ d
c
∫ b
a
|K(s, t)|2 dtds)1/2
<∞
Logo ‖K (B)‖2 é limitado, concluindo a demonstração do lema.
Observação 3.28. Como a métrica d∞ (f, g) = ‖f − g‖∞ = supx∈[c,d] |f(x)− g(x)| é mais na que
a métrica d2(f, g) = ‖f − g‖2: ‖f − g‖2 ≤√d− c ‖f − g‖∞, a função identidade i : C [c, d] −→
CL2 [c, d], i(f) = f , é contínua. Bastava provar no lema acima que a aplicação linear K :
CL2 [a, b] −→ C [c, d] é compacta.
3.4. Teoria espectral de operadores compactos autoadjuntos. Seja A : E −→ E umoperador (aplicação linear de E em E) compacto em um espaço E pre-Hilbertiano cuja norma‖x‖ =
√〈x, x〉 de x ∈ E (‖x‖ = 0⇔ x = 0) é induzida por um produto interno
〈·, ·〉 : E × E −→ C
denido pela forma sesquilinear Hermitiana: 〈x, y〉 = 〈y, x〉. Dados x, y ∈ E quaisquer, é satisfeitaa desigualdade de CauchySchwarz
|〈x, y〉| ≤ ‖x‖ ‖y‖ (3.8)
e a identidade do paralelogramo
‖x+ y‖2 + ‖x− y‖2 = 2(‖x‖2 + ‖y‖2) . (3.9)
Denotamos o núcleo e, respectivamente, a imagem de A por N (A) = x ∈ E : Ax = 0 eI (A) = Ax : x ∈ E. λ é um autovalor de A se, e somente se, N (A− λI) 6= 0. Nestecaso, o subespaço N (A− λI) de E, invariante pela ação de A, é formado pelos autovetores de Aassociados a λ e o vetor nulo 0. O operador A, sendo compacto, é contínuo e A ∈ L(E), o espaçodos operadores limitados de E para E: ∃c > 0 tal que ‖Ax‖ ≤ c ‖x‖, cuja norma é induzida pelanorma do espaço vetorial E (‖A‖ é a menor quota superior c):
‖A‖ = sup‖x‖=1
‖Ax‖ . (3.10)
O operador A é autoadjunto se, para todo x, y ∈ E temos
〈y, Ax〉 = 〈Ay, x〉 .
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COMPLEMENTOS 54
Proposição 3.29. Seja A ∈ L(E) um operador autoadjunto contínuo. Então
‖A‖ = sup‖x‖=1
〈x,Ax〉 .
Prova. Verica-se facilmente que
4〈x,Ay〉 = 〈x+ y, A (x+ y)〉 − 〈x− y, A (x− y)〉 .
Seja γ = sup‖x‖=1 |〈x,Ax〉|, onde o supremo é atingido pela menor quota superior desta quantidade.
Pela denição de quota superior: |〈z, Az〉| ≤ c ‖z‖2 com z = x ± y e identidade do paralelogramo(3.9), temos
4 |〈x,Ay〉| ≤ γ(‖x+ y‖2 + ‖x− y‖2)
= 2γ(‖x‖2 + ‖y‖2) .
Se ‖x‖ = ‖y‖ = 1, então esta desigualdade ca
|〈x,Ay〉| ≤ γ .
Fazendo y = Ax/ ‖Ax‖, obtemos
|〈x,Ay〉| = |〈Ax, y〉| = |〈Ax,Ax/ ‖Ax‖〉| = ‖Ax‖ ≤ γ
para todo x ∈ E tal que ‖x‖ = 1 e, em particular, para x∗ ∈ E que atinge o supremo em (3.10).Logo,
‖A‖ ≤ γ . (3.11)
Por outro lado, pela desigualdade de Cauchy-Schwarz (3.8), temos
|〈x,Ax〉| ≤ ‖x‖ ‖Ax‖ = ‖Ax‖ ,
∀x ∈ E tal que ‖x‖ = 1. Tomando o supremo nesta desigualdade, concluimos γ ≤ ‖A‖ que,juntamente com (3.11), demonstra a proposição.
Lema 3.30. Se A é um operador auto-adjunto compacto, então existe um autovalor λ de A com
|λ| = ‖A‖.
Prova. Pela Proposição 3.29, ‖A‖ = sup‖x‖=1 |〈x,Ax〉|, onde x ∈ E 7−→ 〈x,Ax〉 ∈ R é uma funçãocontínua de x. Existe, portanto, uma sequência (xn)n≥1 em E com ‖xn‖ = 1 e tal que
limn→∞〈xn, Axn〉 = ‖A‖ . (3.12)
Como 〈xn, Axn〉 é limitado em R e A é compacto, existe uma subsequência (xnk)k≥1 de (xn)n≥1 tal
que 〈xnk, Axnk
〉 e Axnk=: yk convergem
limk→∞〈xnk
, Axnk〉 = λ
limk→∞
Axnk= y
para um λ ∈ R e um ponto y ∈ E. Observe que, devido a (3.12), |λ| = ‖A‖.
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COMPLEMENTOS 55
Porém, devido a ‖Axnk‖2 ≤ ‖A‖2 = λ2, temos
‖(A− λI)xnk‖2 = ‖Axnk
‖2 − 2λ〈xnk, Axnk
〉+ λ2
≤ 2(λ2 − λ〈xnk
, Axnk〉)−→ 0
quando k tende a ∞. Isso prova que y = limk→∞ λxnké não nulo (pois λ 6= 0 e ‖xnk
‖ = 1) e, pelacontinuidade a aplicação x 7−→ Ax,
Ay = A limk→∞
λxnk= λ lim
k→∞Axnk
= λy .
Logo, λ é um autovalor de A com |λ| = ‖A‖ e y é um autovetor de A associado a λ.
Lema 3.31. Se A é um operador auto-adjunto compacto, então
(i) Os autovalores de A estão contidos no intervalo [−‖A‖ , ‖A‖];(ii) Os autovetores x e y associados a autovalores λ e η distintos são ortogonais: 〈x, y〉 = 0;
(iii) O subespaço invariante N (A− λI) = x ∈ E : (A− λI)x = 0 de autovetores associados
a algum autovalor λ 6= 0 de A tem dimensão nita.
Prova. Se x é um autovetor associado ao autovalor λ de A (de norma unitária: ‖x‖ = 1), entãopela denição (3.10) de norma de A segue que
‖A‖ ≥ ‖Ax‖ = |λ| ‖x‖ = |λ|
de onde se conclui a demonstração do ítem (i) se λ ∈ R. Mas, como A é autoadjunto, os autovaloresde A devido a
λ = λ ‖x‖2 = 〈λx, x〉 = 〈Ax, x〉 = 〈x,Ax〉 = 〈x, λx〉 = λ ‖x‖2 = λ
são necessariamente reais. Se x e y são autovetores associados a autovalores λ e η distintos, então
λ〈x, y〉 = 〈λx, y〉 = 〈Ax, y〉 = 〈x,Ay〉 = 〈x, ηy〉 = η〈x, y〉
e, portanto,(λ− η)〈x, y〉 = 0 ,
concluindo a prova do ítem (ii). Suponhamos, por contradição, que dim (N (A− λI)) = ∞.Podemos então encontrar uma sequência ortonormal innita x1, x2, . . . , xn, . . . que gera estesubespaço invariante. Como os xn's pertencem a N (A− λI), temos que, para todo n, Axn = λxn.Segue-se que, se m 6= n,
‖Axn − Axm‖2 = λ ‖xn − xm‖2 = λ〈xn − xm, xn − xm〉 = λ(‖xn‖2 + ‖xm‖2) = 2λ
ou seja, a distância entre quaisquer dois vetores xn e xm desta sequência: ‖xn − xm‖ =√
2 émantida positiva e igual para todo par de vetores pela ação de A: ‖Axn − Axm‖ =
√2λ > 0, devido
a hipótese λ 6= 0. Disso segue que: 1. o conjunto X = x1, x2, . . . , xn, . . . é limitado e fechado.2. não podemos extrair da sequencia Ax1, Ax2, . . . , Axn, . . . , uma subsequência convergente, emcontradição como a hipótese de A ser um operador compacto, concluindo a demonstração do ítem(iii).
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COMPLEMENTOS 56
Lema 3.32. Os autovalores de A ou são em número nito ou formam uma sequência que tem 0
como único ponto de acumulação.
Prova. Por (i) do Lema 3.31 sabemos que o espectro de A, isto é, o conjunto de autovaloresde A, é limitado, com ±‖A‖ suas quotas inferiores e superiores. Sendo o intervalo [−‖A‖ , ‖A‖]um conjunto compacto de R, toda sequencia innita de autovalores tem ao menos um ponto deacumulação. Suponhamos, por contradição, que λ 6= 0 é um ponto de acumulação. Neste caso existeuma subsequência λn1 , λn2 , . . . , λnk
, . . . de autovalores de A convergente para λ: limk→∞ λnk= λ.
Sem perda de generalidade, podemos escolhê-la tal que |λnk| > |λ| /2, k ≥ 1. Se xn1 , xn2 , . . . , xnk
,. . . são autovetores associados a estes autovalores com ‖xnk
‖ = 1, então se k 6= l,
‖Axnk− Axnl
‖2 = ‖λnkxnk− λnl
xnl‖2
= 〈λnkxnk− λnl
xnl, λnk
xnk− λnl
xnl〉
= |λnk|2 ‖xnk
‖2 + |λnl|2 ‖xnl
‖2
= |λnk|2 + |λnl
|2 ≥ |λ|2
Resulta, como na demonstração de (iii) do Lema 3.31, que a sequência Axn1 , Axn2 , . . . , Axnk, . . .
não admite uma subsequência convergente, em contradição com A ser um operador compacto (vejaDenição 3.24). Isso conclui a demonstração pois um número nito de pontos (autovalores de A)não se acumula em parte alguma do intervalo.
Dado um subespaço H ⊂ E, denimos o subespaço ortogonal a H por
H⊥ = x ∈ E : 〈x, y〉 = 0 para todo y ∈ H .
Notemos que H⊥ é fechado.Sejam λ1, λ2, . . . , λn, . . . os autovalores não nulos de A e seja H o subespaço fechado de E gerado
pelos pelos subespaços dois a dois ortogonais: N (A− λ1I), N (A− λ2I), . . . , N (A− λnI), . . . .Como N (A) é o subespaço dos autovalores associados ao autovalor λ = 0, segue por (ii) do Lema3.31 que N (A) ⊂ H⊥.Por outro lado, H é invariante pela ação de A e, em consequência, H⊥ também o é. Como a
restrição A|H⊥ de A a H⊥ não tem autovalores não nulos (pois os autovalores não nulos estão emH) segue-se que A|H⊥ ≡ 0 em decorrência do Lema 3.30. Obtemos então que H⊥ ⊂ N (A), o queacarreta, juntamente com a inclusão oposta obtida anteriormente, H⊥ = N (A).Além disso, como N (A− λnI) ⊂ I (A) (note, para isso, que αx : α ∈ C ⊂ N (A− λnI) é
invariante pela ação de A: Aαx = λnαx) temos H ⊂ I (A). Se x ∈ E e y ∈ N (A) então 〈Ax, y〉 =
〈x,Ay〉 = 0, isto é, I (A) ⊂ N (A)⊥. Consequentemente, N (A) ⊂ I (A)⊥ ⊂ H⊥ = N (A), ouseja, N (A) = I (A)⊥.Como H é gerado pelos subespaços N (A− λnI)'s, segue-se que existe uma base ortonormal de
H composta pelos autovetores e1, e2, . . . , en, . . . associados aos autovalores λ′1, λ′2, . . . , λ
′n, . . .
de A. Por (iii) do Lema 3.31, a mutiplicidade geométrica dim (N (A− λnI)) de cada autovalorλn é nita, os autovalores λ′n foram renumerados repetindo λn um número de vezes igual a estamultiplicidade.
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COMPLEMENTOS 57
Lema 3.33. H = I (A).
Prova. Já sabemos que H ⊂ I (A), restando mostrar a inclusão no outro sentido. Dado x ∈ E,denimos ym ∈ H por (série parcial de x na base de H)
ym =m∑i=1
〈x, ei〉ei .
Pela desigualdade de Bessel‖ym‖2 ≤ ‖x‖2
e
Aym =m∑i=1
〈x, ei〉Aei =m∑i=1
〈x, ei〉λ′iei =m∑i=1
〈x, λ′iei〉ei =m∑i=1
〈x,Aei〉ei =m∑i=1
〈Ax, ei〉ei . (3.13)
Como A é um operador compacto, existe uma subsequência (ymk)k≥1 tal que (Aymk
)k≥1 convergea um ponto y de H (lembre que H é invariante pela ação de A). Mas, por continuidade da formasesquilinear 〈·, ·〉, juntamente com (3.13),
〈Ax− y, ej〉 = 〈Ax, ej〉 − limk→∞〈Aymk
, ej〉
= 〈Ax, ej〉 − limk→∞〈∑mk
i=1〈x, ei〉Aei, ej〉
= 〈Ax, ej〉 − limk→∞
∑mk
i=1〈Ax, ei〉〈ei, ej〉
= 〈Ax, ej〉 − 〈Ax, ej〉 = 0
para todo j ≥ 1, que acarreta
Ax− y ∈ H⊥ = N (A) = I (A)⊥ .
Mas Ax−y ∈ I (A) (pois Ax−y = limk→∞ (Ax− Aymk) = limk→∞A (x− ymk
)). Logo Ax−y = 0
e isso prova que Ax ∈ H qualquer que seja x ∈ E, de onde se conclui que I (A) ⊂ H e a prova dolema.
Estamos prontos para enunciar o principal resultado sobre o espectro de operadores compactos
atuando sobre um espaço préHilbertiano, isto é, um espaço vetorial separável, munidos de umproduto interno, porém, não necessariamente completo. O seguinte resultado sumariza os conteúdosdos Lemas 3.303.33.
Teorema 3.34 (espectral de operadores compactos Hermitianos). Seja E um espaço pré-Hilbertiano
e A um operador compacto Hermitiano (sinônimo de auto-adjunto), com A 6= 0. Existe uma
sequência (nita ou innita) (λn)n≥1 de autovalores λn 6= 0 e uma sequência (en)n≥1 de autovetores
correspondentes, formando um conjunto ortonormal: 〈en, em〉 = δn,m tal qye, para todo x ∈ E,
Ax =∑n≥1
λn〈x, en〉en .
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COMPLEMENTOS 58
A sequência (λn)n≥1 contém todos os autovalores nãonulos de A, está ordenada de forma que
|λn| ≥ |λn+1|
e necessariamente satisfaz, quando innita,
limn→∞
λn = 0 .
Por m, a dimensão do subespaço invariante N (A− λI) correspondente a qualquer um autovalor
λ é nita e igual ao número de vezes que λ comparece na sequência.
Prova. Indiquemos por λ1 e e1 o par autovalor e autovetor correpondente de A com |λ1| = ‖A‖,cuja existência foi demonstrada no Lema 3.30. Se E1 = E e A1 = A|E1
= A, temos |λ1| = ‖A1‖ eE2 = N (A− λ1I)⊥ é um subespaço de E1 invariante pela ação de A ortogonal a e1.A restrição A2 = A1|E2
de A1 ao subespaço E2 é um operador hermitiano compacto. Logo,aplicando o Lema 3.30, existe um par λ2 e e2 de autovalor e autovetor correspondente de A1 (e,portanto, de A) com |λ2| = ‖A2‖ ≤ ‖A1‖. Segue que |λ2| ≥ |λ1|.Repetindo, Lema 3.30 aplicado a An : En −→ En, onde An = A|En−1
é hermitiano compactoEn = E⊥n−1 é pré-Hilbrtiano, obtemos um par λn e en de autovalor e autovetor correspondente deAn (e, portanto, de A) tal que λn = ‖An‖. Segue que os autovalores não-nulos λ1, λ2, . . . , λn de Asatisfazem
|λ1| ≥ |λ2| ≥ · · · ≥ |λn| ;
os autovetores correspondentes e1, e2, . . . , en de A são ortogonais dois a dois, normalizados e formamum sistema ortonormal; os subespaços E1, E2, . . . , En+1 de E onde En+1 = E⊥n é o subespaço deEn ortogonal aos vetores e1, e2, . . . , en.A. Se a restrição An+1 = A|En+1
= 0 de A ao subespaço En+1 for nula, então temos,
Ax =n∑i=1
λi〈x, ei〉ei (3.14)
para todo x ∈ E, isto é, o conjunto A(E) é o subespaço gerado por e1, e2, . . . , en. De fato, sex = x−
∑ni=1〈x, ei〉ei então 〈x, ei〉 = 0 para i = 1, . . . , n e, por conseguinte, x ∈ En+1 donde segue
que Ax = 0 e (3.14).B. Se para todo n ≥ 1 a restrição An+1 = A|En+1
de A ao subespaço En+1 for não nula, entãotemos uma sequência innita (λn)n≥1 de autovalores e um sistema ortonormal (en)n≥1 de autovetorescorrespondentes tais que
(a) a sequencia decrescente |λn| tende a 0. Caso contrário, existiria um ε > 0 tal que |λn| > ε
para todo n e uma sequência (en/λn)n≥1 limitada (‖en/λn‖ ≤ 1/ε ) sem que Aen/λn = en,n ≥ 1, contivesse uma subsequência convergente. Veja Lema 3.32 para uma outra provadesta asserção;
(b) para todo x ∈ E, temosAx =
∑n≥1
λn〈x, en〉en
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COMPLEMENTOS 59
sendo esta série convergente para Ax. Basta para isto mostrar que, dado x ∈ E e ε > 0,existe m0 tal que, para m ≥ m0, ‖Ax−
∑mn=1 λn〈x, en〉en‖ < ε, o que resulta de∥∥∥Ax−∑m
n=1λn〈x, en〉en
∥∥∥ =∥∥∥A(x−∑m
n=1〈x, en〉en
)∥∥∥≤ ‖Am+1‖
∥∥∥x−∑m
n=1〈x, en〉en
∥∥∥≤ |λm+1| ‖x‖
uma vez que |λm+1| tende a 0 quando m→∞;(c) todo autovalor λ 6= 0 de A encontra-se na sequência (λn)n≥1, pois se não, o autovetor
correspondente e seria ortogonal a todos os en e, de (b), teríamos Ae = 0, contrário ahipótese de que Ae = λe 6= 0.
(d) Dado um autovalor λ 6= 0 que aparece p vezes na sequência (λn)n≥1, o subespaço N (A− λI)
invariante gerado pelos autovetores correspondentes a λ tem dimensão ≥ p, pois pelo Lema3.30 existem pelo menos p autovetores ortonormais correspondentes a λ. O subespaço nãopode ter dimensão > p pois, neste caso, existiria pelo um autovetor e correspondente aλ ortogonal aos anteriores e a todos os en's e, como em (c), seguiria que Ae = 0, emcontradição à hipótese λ 6= 0.
Corolário 3.35. Sob as mesmas condições do Teorema 3.34, temos a seguinte caracterização fun-
cional de um autovalor λn 6= 0 de A
|λn| = supx∈E
|〈x,Ax〉|〈x, x〉
: 〈x, ei〉 = 0, i = 1, . . . , n− 1
(3.15)
e, para quaisquer x, y ∈ E, temos
〈Ax, y〉 =∑n≥1
λn〈x, en〉〈en, y〉 . (3.16)
A fórmula (3.15) aplicada ao problema de SturmLiouville aparece nas motivações para se estudaras equações da forma (1.1) como operadores em espaços vetoriais de funções no contexto dasequações de EulerLagrange. A fórmula (3.16) foi utlizada na Subseção 2.4 para deduzir a equação(2.50), satisfeita pela função de Green no sentido generalizado.
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COMPLEMENTOS 60
4. Equações integrais
4.1. O método de aproximações Sucessivas.Núcleo integral limitado. Esta seção é dedicada às equações integrais do segundo tipo da forma
u(x)−∫ b
a
K(x, y)u(y)dy = f(x) (4.1)
com f, |f | : [a, b] −→ R integráveis e o núcleo integral K : [a, b]× [a, b] −→ R uma função limitadae contínua, com exceção talvez de x = y, também chamadas de equações integrais de Fredholm.Permitimos discontinuidade na diagonal com a nalidade de incluir os núcleos integrais de Volterra,contínuos na região triângular a ≤ y ≤ x ≤ b e nulo no complemento.Para qualquer função f(x) integrável, a integral
Kf(x) :=
∫ b
a
K(x, y)f(y)dy (4.2)
é uma função contínua de x e (4.1) pode ser reescrita como
u = f +Ku . (4.3)
Tentaremos inicialmente uma solução de (4.3) pelo método de aproximações sucessivas. Tomandoa 0ésima aproximação u0(x) = 0, obtemos sucessivamente melhores aproximações: u1 = f +Ku0,u2 = f +Ku1, . . . ,
un = f +Kun−1
= f +Kf + · · ·+Kn−1f
onde a nésima iterada Knf de K em f é denida pelas relações de recorrência
K1f = Kf
K2f = K (Kf)
...
Knf = K(Kn−1f
)=
∫ b
a
K(·, xn) · · ·∫ b
a
K(x3, x2)
∫ b
a
K(x2, x1)f(x1)dx1dx2 · · · dxn (4.4)
...
Somos assim levados a uma solução tentativa na forma de série de funções, chamada de série deNeumann:
u(x) = f(x) +K1f(x) + · · ·+Kn−1f(x) + · · · (4.5)
Se a série de Neumann (4.5) convergir uniformemente, sua soma u(x) será uma solução de (4.3).De fato, aplicando K em (4.5), obtemos a equação (4.3):
Ku = K(f +Kf + · · ·+Kn−1f + · · ·
)= Kf +K2f + · · ·+Knf + · · · = u− f . (4.6)
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COMPLEMENTOS 61
Am de assegurar a convergência uniforme de (4.5), é suciente assumir que
M := maxa≤x,y≤b
|K(x, y)| < 1
b− a(4.7)
pois, pelas denições (4.2) e (4.4), a série (4.6) é majorada pela séries numérica:
maxa≤x≤b
|Ku(x)| ≤ M ‖f‖1 +M2(b− a) ‖f‖1 + · · ·+Mn(b− a)n−1 ‖f‖1 + · · ·
=M ‖f‖1
1−M(b− a)<∞
convergente pela hipótese (4.7), onde
‖f‖1 =
∫ b
a
|f(x)| dx .
A condição (4.7) é de forma alguma necessária para a convergência uniforme de (4.5), como podeser visto pelos seguintes exemplos.
Exemplo 4.1.(1) K(x, y) = α(x)β(x), onde α(x) e β(x) são duas funções contínuas arbitrárias, sujeitas
somente à condição: ∫ b
a
α(x)β(x)dx = 0 .
Para qualquer f(x) contínua, temos então
Kf(x) =
∫ b
a
α(x)β(x)f(x)dx = Cα(x)
K2f(x) =
∫ b
a
α(x)β(y)Cα(y)dy = Cα(x)
∫ b
a
β(y)α(y)dy = 0
...
Knf(x) = K(Kn−1f
)(x) = 0 , ∀n ≥ 2 .
A série de Neumann (4.5) neste caso se reduz a apenas dois termos e a solução de (4.3) é
u(x) = f(x) + Cα(x)
onde C =
∫ b
a
β(y)f(y)dy.
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COMPLEMENTOS 62
(2) Núcleo integral de Volterra: K(x, y) = 0 para a ≤ x < y ≤ b. Mantendo a notação
M = max |K(x, y)| e ‖f‖1 =
∫ b
a
|f(x)| dx, temos
|Kf(x)| =
∣∣∣∣∫ x
a
K(x, y)f(y)dy
∣∣∣∣ ≤M ‖f‖1∣∣K2f(x)∣∣ =
∣∣∣∣∫ x
a
K(x, y)Kf(y)dy
∣∣∣∣ ≤ ∫ x
a
M ·M ‖f‖1 dy = M2 ‖f‖1 (x− a)
∣∣K3f(x)∣∣ =
∣∣∣∣∫ x
a
K(x, y)K2f(y)dy
∣∣∣∣ ≤M3 ‖f‖1
∫ x
a
(y − a) dy = M3 ‖f‖1
(x− a)2
2
...∣∣Kn+1f(x)∣∣ =
∣∣∣∣∫ x
a
K(x, y)Knf(y)dy
∣∣∣∣ ≤Mn+1 ‖f‖1
∫ x
a
(y − a)n−1
(n− 1)!dy = Mn+1 ‖f‖1
(x− a)n
n!
...
A série (4.6) é, portanto, majorada pela série numérica
S = M ‖f‖1 +M2 ‖f‖1 (b− a) +M3 ‖f‖1
(b− a)2
2+ · · ·+Mn+1 ‖f‖1
(b− a)n
n!+ · · ·
= M ‖f‖1 exp (M(b− a)) <∞
convergente, não importando quão grande seja M . Consequentemente, as séries de Neu-
mann (4.5) para os núcleos integrais de Volterra sempre convergem uniformemente para a
solução de (4.3).
Núcleo integral de quadrado integrável. A condição (4.7) pode ser substituída por uma con-dição menos restritiva ∫ a
b
∫ b
a
|K(x, y)|2 dxdy < 1 . (4.8)
Sob esta condição podemos ainda dispensar qualquer hipotese de continuidade, sendo sucienteassumir que K : [a, b] × [a, b] −→ C seja quadrado integrável, isto é, pertencente ao espaço L2
correspondente ao domínio de integração [a, b] × [a, b]. Denotaremos este espaço por L2 paradistinguir do espaço de funções em [a, b] . O produto escalar e a norma em L2 e L2 são denotadospor ( , ) e ‖ ‖ e 〈 , 〉 e ‖||‖, respectivamente. Além disso, se as hipóteses sobreK forem generalizadasentão será necessário restringir a função f apropriadamente: f, |f | e |f |2 devem ser integráveis em[a, b], isto é, f pertence ao espaço L2.Seja K ∈ L2. Segue do teorema de Fubini sobre integrações sucessivas que a integral∫ b
a
|K(x, y)|2 dy
existe para quase todo x e∫ b
a
∫ b
a
|K(x, y)|2 dydx =
∫ b
a
∫ b
a
|K(x, y)|2 dxdy = ‖|K|‖2 .
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COMPLEMENTOS 63
Portanto,
k(x) =
(∫ b
a
|K(x, y)|2 dy)1/2
é um elemento do espaço L2 e ‖k‖ = ‖|K|‖. Se f ∈ L2, a integral
Kf(x) :=
∫ b
a
K(x, y)f(y)dy
faz sentido para todos os pontos x para os quais k(x) é nito e dene uma função em L2: peladesigualdade de Schwarz,∣∣∣∣∫ b
a
K(x, y)f(y)dy
∣∣∣∣2 ≤ ∫ b
a
|K(x, y)|2 dy ·∫ b
a
|f(y)|2 dy = k2(x) ‖f‖2 (4.9)
e, portanto,
‖Kf‖2 =
∫ b
a
∣∣∣∣∫ b
a
K(x, y)f(y)dy
∣∣∣∣2 dx ≤ ‖k‖2 ‖f‖2 = ‖|K|‖2 ‖f‖2 . (4.10)
Como K pertence ao espaço L2, ‖|K|‖2 < ∞ e o núcleo integral K(x, y) gera a transformaçãolinear: K : f ∈ L2 −→ Kf ∈ L2 a qual satisfaz (∀f, g ∈ L2, c ∈ C)
(1) Aditividade: K (f + g) = Kf +Kg,(2) Homogeneidade: K (cf) = cKf ,(3) Quota superior: ∃M tal que ‖Kf‖ ≤ M ‖f‖ (a menor quota M é denominada norma da
transformação linear K, que denotamos por ‖K‖).
Toda transformação linear K é contínua no sentido que, se (fn)n≥1 é uma sequência de funções
em L2 convergente em média quadrática para f : ‖f − fn‖2 =
∫ b
a
|f(x)− fn(x)|2 dx → 0, então a
sequência (Kfn)n≥1 converge em média quadrática para Kf :
‖Kf −Kfn‖ = ‖K (f − fn)‖ ≤ ‖K‖ ‖f − fn‖ → 0
quando n → ∞. Por outro lado, toda transformação K que é aditiva, homogênea e contínua étambém limitada e, portanto, linear. De fato, se K nestas condições não fosse limitada, existiriauma sequência (hn)n≥1 de funções em L2 tal que
‖Khn‖ > n ‖hn‖ ,
para todo n ≥ 1. Escrevendo gn = hn/(n ‖hn‖), teríamos
‖gn‖ =1
n→ 0 e ‖Kgn‖ =
1
n ‖hn‖‖Khn‖ > 1
em contradição com a hipótese de continuidade.
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COMPLEMENTOS 64
As operações de adição e multiplicação para uma transformação linearK são denidas de maneirausual:
(cK) f = cKf
(K1 +K2) f = K1f +K2f
(K1K2) f = K1 (K2f)
de onde se conclui, imediatamente, que
‖cK‖ = |c| ‖K‖‖K1 +K2‖ ≤ ‖K1‖+ ‖K2‖‖K1K2‖ ≤ ‖K1‖ ‖K2‖ .
Em particular, para iteração da transformação linear K em (4.4), temos∥∥K2∥∥ ≤ ‖K‖2
...
‖Kn‖ ≤ ‖K‖n
...
A convergência de uma sequência (Kn)n≥1 de transformações lineares para uma transformaçãolinear K pode ser denida de várias maneiras:
a. para cada f ∈ L2, Knf converge fracamente paraKf : limn→∞ (h,Knf −Kf) = 0, ∀h ∈ L2;b. para cada f ∈ L2, Knf converge fortemente (em média quadrática) para Kf , isto é,
limn→∞ ‖Knf −Kf‖ = 0;c. limn→∞ ‖Kn −K‖ = 0
Denominamos, respectivamente, a. convergência fraca, b. convergência forte (ou simplesmenteconvergência), c. convergência na norma. Obviamente, convergência forte implica convergênciafraca (basta usar a desigualdade de Schwarz). Se (Kn)n≥1 tende para K na norma então, para cadaelemento f de L2,
‖Knf −Kf‖ = ‖(Kn −K) f‖ ≤ ‖Kn −K‖ ‖f‖ → 0
quando n → ∞ e, portanto, Knf tende fortemente para Kf . Sendo, além disso, a convergênciauniforme em f , em todo subconjunto limitado de L2 (i.e. em todo conjunto de elementos f cujanorma ‖f‖ ≤ C para algum C < ∞) a convergência na norma é também chamada convergência
uniforme.Tendo introduzido estas noções preliminares, estamos prontos para demonstrar o seguinte.
Teorema 4.2. Se o núcleo integral K(x, y) satisfaz a condição (4.8), a equação integral
u−Ku = f (4.11)
tem uma única solução u pertencente a L2 para todo f pertencente a L2. Esta solução é obtida
como o limite da série de Neumann (4.5) em média quadrática e no sentido ordinário para quase
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COMPLEMENTOS 65
todo ponto x. Além disso, é suciente assumir que K(x, y) pertença a L2 e que a transformação
linear K satisfaça ‖K‖ < 1.
Prova. Pela equação (4.10) e denição 3. a seguir, temos
‖K‖ ≤ ‖|K|‖ < 1 , (4.12)
pela hipótese (4.8), onde ‖K‖ denota a norma da transformação linear K no espaço L2. Vamosagora mostrar que é suciente assumir ‖K‖ < 1. Para isso, notamos que a série de Neuman
u = f +K1f + · · ·+Kn−1f + · · · (4.13)
converge em média quadática, pois
‖un − um‖ =∥∥Kmf + · · ·+Kn−1f
∥∥≤
(‖K‖m + · · ·+ ‖K‖n−1) ‖f‖
=‖K‖m − ‖K‖n
1− ‖K‖‖f‖
tende a 0 quando n,m tendem a innito, pela hipótese (4.12). O limite da série (4.13) é claramnenteum elemento de L2:
‖u‖ =∥∥f +Kf + · · ·+Kn−1f + · · ·
∥∥≤
(1 + ‖K‖+ · · ·+ ‖K‖n−1 + · · ·
)‖f‖
=1
1− ‖K‖‖f‖ <∞ (4.14)
para qualquer f pertencente a L2.Em vista da continuidade da transformação linear K,
K (limun) = limKun
= lim(Kf +K2f + · · ·+Knf
),
é permitido aplicar a transformação K à equação (4.13), no lado direito termo-a-termo:
Ku = Kf +K2f + · · ·+Knf + · · ·=
(f +Kf +K2f + · · ·+Knf + · · ·
)− f = u− f .
O elemento u de L2, representado pela série de Neumann (4.13), é portanto uma solução da equaçãointegral (4.11).A série (4.13) também converge no sentido ordinário uma vez que, pela equação (4.9), temos
|Knf(x)| ≤ k(x)∥∥Kn−1f
∥∥ ≤ k(x) ‖K‖n−1 ‖f‖
e a série (4.13) no sentido ordinário (veja (4.4) e (4.5)) é necessariamente igual ao elemento u(x)
de L2 para (quase) todo ponto x para os quais k(x) é nito pois, por hipótese (4.12), Kf deneuma função em L2.
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COMPLEMENTOS 66
Sob a condição (4.12) a solução é única. Suponha, em contradição, que existam dois elementosu1 e u2 distintos de L2 tais que u1 −Ku1 = f e u2 −Ku2 = f . Então
u1 − u2 −K (u1 − u2) = 0
e‖u1 − u2‖ = ‖K (u1 − u2)‖ ≤ ‖K‖ ‖u1 − u2‖ < ‖u1 − u2‖ .
devido a ‖K‖ < 1. Temos necessariamente que ‖u1 − u2‖ = 0 e, consequentemente, u1(x) = u2(x)
para quase todo x.
4.2. Transformação inversa, valores regulares e singulares. Seja I a transformação em L2
identidade: If = f , ∀f ∈ L2 e O a transformação nula: Of = 0. Podemos escrever a equaçãointegral (4.11) como
(I −K)u = f . (4.15)
O Teorema 4.2 de existência e unicidade da solução de (4.15) estabelece, sob a condição (4.12),uma correspondência entre os elementos de L2: u e f por intermédio de uma transformação R,
u = Rf
que é aditiva, homogênea e, em virtude de (4.14), também limitada. Logo, R : L2 −→ L2 é umatransformação linear.Temos,
(I −K)Rf = (I −K)u = f , ∀f ∈ L2
e, portanto,(I −K)R = I . (4.16)
Em particular, temos
(I −K)R (I −K)h = (I −K)h, ∀h ∈ L2
que implicaR (I −K)h = h, ∀h ∈ L2
e, consequentemente,R (I −K) = I . (4.17)
Sumarizamos as equações (4.16) e (4.17) pela armação: R é a transformação inversa de I − K.Denotamos R = (I −K)−1.A inversa de uma transformação linear T qualquer, quando existe, é univocamente denida.
Quando a inversa à direita Sd: TSd = I e a inversa à esquerda Se: SeT = I de T existem sãonecessariamente iguais Sd = Se = S à inversa de T . A existência da inversa à direita não assegura,em geral, a existência da inversa à esquerda. Entretanto, se T transforma elementos distintos emelementos distintos de L2, isto é, se
Tf1 = Tf2 =⇒ f1 = f2 ,
então a equação TS = I implica que ST = I, pela mesma razão que (4.16) implica (4.17).
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COMPLEMENTOS 67
Temos visto que toda transformação linear da forma I −K, onde ‖K‖ < 1, tem uma inversa aqual pode ser construída por intermédio da série de Neuman (4.13):
(I −K)−1 = I +K + · · ·+Kn−1 + · · ·
convergente em norma:∥∥(I −K)−1 −(I +K + · · ·+Kn−1
)∥∥ =∥∥∥∑
m≥nKm∥∥∥
≤∑
m≥n‖K‖m
=‖K‖n
1− ‖K‖→ 0
quando n→∞.É claro que a inversa de I−K pode existir mesmo se ‖K‖ > 1, como pode ser visto nos Exemplos
1 2. Por isso vamos introduzir um parâmetro λ ∈ C na equação (4.15), juntamente com a seguintedenição.
Denição 4.3. Considere a equação integral
(I − λK)u = f (4.18)
com λ um número complexo, f e K pertencentes respectivamente a L2 e L2. O valor λ é dito ser
regular com respeito a K se (I − λK)−1 existir. Para λ regular escrevemos
(I − λK)−1 = I + λKλ (4.19)
onde Kλé uma transformação linear em L2, univocamente denida por esta equação para todo λ
exceto λ = 0; denimos K0 = K (por continuidade). Kλ é denominada transformação resolvente.
Os valores não-regulares de λ são chamados singulares.
Aplicando o Teorema 4.2 com λK no lugar de K, concluímos
Corolário 4.4. Todo valor λ tal que |λ| < 1/ ‖K‖ é regular e
(I − λK)−1 = I + λK + · · ·+ λn−1Kn−1 + · · · , (4.20)
no sentido de convergência na norma.
Por sua denição (4.19), a transformação resolvente Kλ satisfaz
(I − λK) (I + λKλ) = (I + λKλ) (I − λK) = I
que, por sua vez, é equivalente para λ 6= 0 à equação (válida também para λ = 0)
λKKλ = λKλK = Kλ −K . (4.21)
Vamos mostrar que Kλ e Kµ comutam para quaisquer dois valores λ e µ regulares:
KλKµ = KµKλ . (4.22)
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COMPLEMENTOS 68
Para isso, note que a mesma equação (4.21) é válida com λ substituído por µ. Reescrevendo (4.21)como
(Kλ −K)µKµ = (λKλK)µKµ = λKλ (µKKµ) = λKλ (Kµ −K) ,
concluímosµ (KλKµ −KKµ) = λ (KλKµ −KλK)
que juntamente com (4.21), resulta
(λ− µ)KλKµ = λKλK − µKKµ = (Kλ −K)− (Kµ −K) = Kλ −Kµ
e, em consequência,
KλKµ =Kλ −Kµ
λ− µ. (4.23)
Como o lado direito é simétrico em relação a λ e µ, equação (4.22) é deduzida desta equação.O conjunto dos valores λ regulares é, além disso, um conjunto aberto. Mais precisamente,
Proposição 4.5. Se µ é um valor regular para equação (4.18) então todos os valores λ tais que
|λ− µ| < 1
‖Kµ‖(4.24)
são regulares e temos (no sentdo de convergência na norma)
Kλ = Kµ + (λ− µ)K2µ + · · ·+ (λ− µ)n−1Kn
µ + · · · . (4.25)
Prova. Observe que, de acordo com a hipótese, λ − µ é um valor regular com respeito a trans-formação Kµ e a transformação resolvente correspondente, denotada por (Kµ)λ−µ, é representadapela série no lado direito de (4.25). Portanto, o problema se reduz a mostrar que (Kµ)λ−µ = Kλ,ou equivalentemente,
λ (Kµ)λ−µK = λK (Kµ)λ−µ = (Kµ)λ−µ −K .
Claramente, temos que (Kµ)−µ = K. Nossa asserção segue, portanto, da equação (4.23) com K
substituído por Kµ e os valores λ e µ substituídos por λ− µ e −µ:
(Kµ)λ−µK =(Kµ)λ−µ −K
λ.
Em particular, segue do desenvolvimento em série que a norma de Kλ é uma função contínua de
λ:
|‖Kλ‖ − ‖Kµ‖| ≤ ‖Kλ −Kµ‖≤ |λ− µ| ‖Kµ‖2 + · · ·+ |λ− µ|n−1 ‖Kµ‖n + · · ·
= |λ− µ| ‖Kµ‖2
1− |λ− µ| ‖Kµ‖→ 0
quando λ → µ. Além disso, se (λn)n≥1 é uma sequência de valores regulares tendendo para λ∞então, por (4.23),
‖Kλn −Kλm‖ ≤ |λn − λm| ‖Kλn‖ ‖Kλm‖ ≤ |λn − λm|M2 → 0
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COMPLEMENTOS 69
para m,n→∞. A sequencia de transformações resolventes (Kλn)n≥1 satisfaz, portanto, o critériode convergência de Cauchy com respeito a convergência na norma, convergindo na norma para umatransformação linear K∞. Equação (4.21) com λ substituído por λn torna-se no limite
λ∞K∞K = λ∞KK∞ = K∞ −K
que implica que λ∞ é um valor regular e que Kλ∞ = K∞.Estes fatos podem ser sumarizados como:
Teorema 4.6. A transformação resolvente Kλ é uma função analítica regular de λ em cada ponto µ
o qual é um valor regular para K. Kλ não pode ser continuada analiticamente além deste conjunto
e quando um ponto regular se aproxima de um ponto singular a norma de Kλ diverge.
Prova. Pela Proposição 4.5, Kλ é uma função de λ analítica regular em algum ponto µ enquantosua série de potência em torno de µ tiver raio de convergência estritamente positivo que, por suavez, é garantido enquanto ‖Kµ‖ < ∞ pela equação (4.24). A Proposição 4.5 aplicada a todo µregular dene o conjunto aberto resolvente, cujos pontos aderentes de sua fronteira necessariamentedevem satisfazer ‖Kµ‖ =∞.
Núcleo integral da transformação resolvente. Vimos que toda função K(x, y) pertencente aoespaço L2 gera uma transformação linear K do espaço L2 nele mesmo, cuja norma não excedea norma de K(x, y) como um elemento de L2: ‖K‖ ≤ ‖|K|‖. Em seguida, operamos com astransformações, sem fazer uso dos núcleos que o geram. Põe-se o problema de se examinar comoestas operações com as transformações lineares podem ser interpretadas em termos de operaçõescom núcleos integrais.É evidente que se as transformações F e G são geradas por núcleos F (x, y) e G(x, y) pertencentes
a L2, então as transformações cF e F + G são geradas por núcleos cF (x, y) e F (x, y) + G(x, y),igualmente pertencentes a L2. Vamos mostrar a asserção, menos evidente, que a transformaçãoH = FG é gerada pelo núcleo
H(x, y) =
∫ b
a
F (x, z)G(z, y)dz ,
o qual também pertence a L2 e satisfaz, pela desigualdade de Schwarz (basta adaptar as fórmulas(4.9) e (4.10), veja (4.26) a seguir)
‖|H|‖ ≤ ‖|F |‖ ‖|G|‖ .
Para um elemento h de L2 arbitrário, as ações Hh e F (Gh) são denidas pelas integrais
Hh(x) =
∫ b
a
(∫ b
a
F (x, z)G(z, y)dz
)h(y)dy
e
F (Gh) (x) =
∫ b
a
F (x, z)
(∫ b
a
G(z, y)h(y)dy
)dz .
Para mostrar que estas integrais existem e são iguais uma a outra para quase todo x, evocamoso teorema de Fubini. Isso reduz a mostrar que para um ponto x = x0 não excepcional a função
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COMPLEMENTOS 70
F (x0, z)G(z, y)h(y) é integrável no quadrado [a, b]× [a, b] e isso segue do fato que as funções G(z, y)
e F (x0, z)h(y) são quadrado integrável no quadrado. Para isso aplicamos a desigualdade de Schwarze notamos que G e h pertencem a L2 e L2 e F (x0, ·) a L2.Segue imediatamente destes fatos que se a transformaçãoK é gerada pelo núcleo integralK(x, y),
as transformações K2, K3, . . . , são geradas pelos núcleos integrais K(2)(x, y), K(3)(x, y), . . . , de-nominados núcleos integrais iterados e denidos pela fórmula recursiva
K(n)(x, y) =
∫ b
a
K(x, z)K(n−1)(z, y)dz , n = 2, 3, . . .
com K(1)(x, y) = K(x, y).Pela desigualdade de Schwarz,∣∣K(n)(x, y)
∣∣2 =
∣∣∣∣∫ b
a
K(x, z)K(n−1)(z, y)dz
∣∣∣∣2 ≤ ∫ b
a
|K(x, z)|2 dz∫ b
a
∣∣K(n−1)(z, y)∣∣2 dz (4.26)
e integrando em x e y, resulta∥∥∣∣K(n)∣∣∥∥ ≤ ‖|K|‖ · ∥∥∣∣K(n−1)
∣∣∥∥ ≤ · · · ≤ ‖|K|‖nao ser iterada n vêzes.Considere a série para o nucleo integral
Kλ(x, y) = K(x, y) + λK(2)(x, y) + · · ·+ λn−1K(n)(x, y) + · · · (4.27)
onde λ é um parâmetro complexo. A série é majorada na norma do espaço L2 pela série numérica
‖|Kλ|‖ ≤ ‖|K|‖+ |λ| ‖|K|‖2 + · · ·+ |λ|n−1 ‖|K|‖n + · · · .
Disso segue que, para todo valor de λ tal que
|λ| < 1
‖|K|‖(4.28)
a série (4.27) converge em média quadrática para Kλ(x, y), que é um elemento de L2.
Proposição 4.7. Os valores de λ tais que a desigualdade (4.28) é satisfeita são regulares com
respeito a transformação linear K gerada pelo núcleo integral K(x, y). A transformação resolvente
Kλ denida por (4.19) é também do tipo integral, isto é, gerada pelo núcleo integral pertencente a
L2, sendo Kλ(x, y) dado pela soma (4.27), convergente em média quadrática e no sentido ordinário,
para quase todo (x, y) ∈ [a, b]× [a, b].
Prova. A transformação linear Kλ gerada pelo núcleo integral Kλ(x, y) coincide com a transfor-mação resolvente denida por (4.19) no parágrafo anterior. De fato, a convergência em médiaquadrática da série (4.27) implica na convergência na norma da transformação linear correspon-dente
Kλ = K + λK2 + · · ·+ λn−1Kn + · · · (4.29)
e a asserção segue por comparação com (4.19) e (4.20).Além disso, sob a condição (4.28), (4.27) converge, não somente na média como no sentido
ordinário, para o mesmo limiteKλ(x, y), para quase todo (x, y). Isso segue da seguinte desigualdade,
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COMPLEMENTOS 71
válida para n > 2, ∣∣K(n)(x, y)∣∣ =
∣∣∣∣∫ b
a
∫ b
a
K(x, s)K(n−2)(s, t)K(t, y)dsdt
∣∣∣∣=
∣∣(K(n−2), Hxy
)∣∣≤ ‖|K|‖n−2 ‖|Hxy|‖
onde Hxy(s, t) denota a função K(x, s)K(t, y), a qual pertence a L2 para quase todo (x, y).
A condição (4.28) é suciente, porém não necessária para a convergência da série (4.27) comopode-se ser visto pelos Exemplos 1 e 2 trocando-seK por λK na séries (4.6) seguida da multiplicaçãopor K.Entretanto, é possível que para certas transformações K o valor de λ seja regular, isto é, a trans-
formação resolvente Kλ para este λ exista, sem que a série (4.29) correspondente seja convergente.A questão que se coloca é: a transformação Kλ continua do tipo integral também nestes casos?Para respondê-la, multiplicando os dois membros da igualdade (4.19), que dene a transformação
resolvente Kλ, pela direita por K, fazendo uso em seguida da relação (4.21), obtemos
(1− λK)−1K = K + λKλK = K +Kλ −K = Kλ . (4.30)
Provaremos na próxima subseção o seguinte
Lema 4.8. Toda transformação a qual pode ser representada pelo produto TK de duas transfor-
mações lineares, sendo K do tipo integral, é também do tipo integral.
Segue do Lema 4.8 e (4.30) que, para todo valor λ regular, a transformação resolvente Kλ é dotipo integral. Observamos, de passagem, que existem transformações lineares em L2 que não sãodo tipo integral, por exemplo, a indentidade If = f . De fato, se I fosse gerada pelo núcleo integralI(x, y), teríamos então ∫ b
a
∫ b
a
f(x)I(x, y)f(y)dydx = (If, g) = (f, g) (4.31)
para todo f e g em L2. Escolhendo, em particular, f e g iguais a função característica de doisintervalos J1 e J2 disjuntos J1 ∩ J2 = ∅ arbitrários e contidos em [a, b], teremos
(f, g) = 0
enquanto que o primeiro membro de (4.31) é a integral de I(x, y) sobre o quadrado [a, b] × [a, b]
no plano xy cujos lados são paralelos aos eixos e não interseptam a diagonal x = y. Portanto,a integral é nula sobre todo o quadrado e, consequentemente, I(x, y) = 0 para quase todo (x, y)
neste, que é impossível para uma função.
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COMPLEMENTOS 72
4.3. Aproximação por núcleos integrais de posto nito. Uma classe particularmente simplesde transformações lineares em L2 é formada pelas assim ditas transformações de posto nito,representadas na forma
Kf =r∑i=1
(f, ψi)ϕi (4.32)
onde ϕ1, ϕ2, . . . , ϕr e ψ1, ψ2, . . . , ψr são elementos do espaço L2 dados. Cada transformação deposto nito é do tipo integral com núcleo integral
K(x, y) =r∑i=1
ϕi(x)ψi(y) (4.33)
sendo que este núcleo é dito ser de posto nito. O núcleo integral de posto nito é, claramente,um elemento do espaço L2. Além disso, podese passar de núcleos de posto nito para núcleopertencentes a L2 em geral, fazendo uso do seguinte
Teorema 4.9. Todo núcleo integral K(x, y) pertencente a L2 pode ser aproximado, tão bem quanto
se deseja, por um núcleo integral de posto nito, onde a aproximação se dá no sentido da métrica
em L2, isto é, em média quadrática: dado ε > 0, existe R = R(ε) tal que para todo r > R, existe
Kr representado na forma (4.32) tal que
‖|K −Kr|‖ < ε .
Prova. Sabemos que a séries de Fourier em ambas variáveis x e y de uma funçãoK : [a, b]×[a, b] −→C quadrado integrável converge em média para esta função. Basta então tomar a série parcial comíndice (número de termos) sucientemente grande.
Se preferir, há uma outra prova que não faz menção a séries de Fourier. Consulte para isso o
texto "Functional Analysis"de Frigyes Riesz e Béla Sz.-Nagy, Seção 69. Prosseguiremos com duasaplicações deste resultado. Iniciaremos com a seguinte prova concernente à transformação linearTK ser do tipo integral se T é limitada e K é gerada pelo núcleo integral K(x, y) pertencente aL2.Prova do Lema 4.8. Seja (Kn(x, y))n≥1 uma sequência de núcleos integrais de posto nito da forma
Kn(x, y) =rn∑i=1
ϕn,i(x)ψn,i(y) ,
convergente em média para K(x, y). Seja χn,i = Tϕn,i e escreva
Hn(x, y) =rn∑i=1
χn,i(x)ψn,i(y) .
Para y ∈ [a, b] xo, Kn(x, y) e Hn(x, y) são elementos de L2 e, além disso,
Hn(x, y) = TKn(x, y) , ∀y .
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COMPLEMENTOS 73
Consequentemente,∫ b
a
|H(x, y)−Hn(x, y)|2 dx = ‖T‖2
∫ b
a
|K(x, y)−Kn(x, y)|2 dx
e tomando a integral com respeito a y, temos
‖|H −Hn|‖2 ≤ ‖T‖2 ‖|K −Kn|‖2 .
Pelo Teorema de RieszFischer da convergência em média, Teorema 4.9, a convergência em médiade (Kn(x, y))≥1 para K(x, y) implica a convergência em média de (Hn(x, y))≥1 para, digamos,H(x, y). Denotando a transformação linear correspondente por H, temos
‖H −Hn‖ ≤ ‖|H −Hn|‖ −→ 0
e‖TK − TKn‖ ≤ ‖T‖ ‖K −Kn‖ ≤ ‖T‖ ‖|K −Kn|‖ −→ 0 ,
quando n tende a ∞.Por outro lado, para cada elemento f ∈ L2, temos
Hnf =rn∑i=1
(f, ψn,i)χn,i
= Trn∑i=1
(f, ψn,i)ϕn,i = T (Knf)
e, consequentemente,Hn = TKn e H = TK ,
o que prova que a transformação TK é gerada pelo núcleo integral H(x, y), concluindo a demons-tração.
Como segunda aplicação do teorema da aproximação vamos mostrar que núcleos integrais distin-
tos geram sempre transformações lineares distintas, quase certamente, no sentido que se K1(x, y) eK2(x, y) diferem em apenas um conjunto nulo do plano, então K1 ≡ K2.É suciente mostrar que a transformação K gerada pelo núcleo integral K(x, y) não pode ser
igual a transformação nula O (denida por Of = 0 para qualquer f ∈ L2) a não ser que K(x, y)
é quase certamente zero. Suponha, por absurdo, que K = O. Então, para duas funções f , g ∈ L2
arbitrárias e F (x, y) = g(x)f(y) em L2, temos
(K,F ) =
∫ b
a
∫ b
a
K(x, y)F (x, y)dxdy
=
∫ b
a
(∫ b
a
K(x, y)f(y)dy
)g(x)dx = (Kf, g) = 0 .
Segue que K(x, y) é ortogonal a todos os núcleos integrais de posto nito e, como estes são densosem L2 pelo Teorema 4.9, K(x, y) é ortogonal a si próprio: ‖|K|‖2 = (K,K) = 0, implicando queK(x, y) = 0 quase certamente e concluindo a demonstração da armação.
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COMPLEMENTOS 74
4.4. Alternativa e determinante de Fredholm.Equação integral com núcleo de posto nito. No caso em que o núcleo integral K(x, y) é deposto nito (4.33), o estudo da equação integral
f −Kf = g (4.34)
reduz-se ao estudo de um sistema linear de equações algébricas. Sem perda de generalidade, pode-mos assumir que as ϕi(x)'s em (4.33) formam um conjunto de funções L. I. e assumimos o mesmodas ψi(x)'s.A equação (4.34) é da forma
f −r∑i=1
(f, ψi)ϕi = g (4.35)
e toda solução f desta equação pode ser escrita como
f = g +r∑j=1
ξjϕj (4.36)
com constantes numéricas ξj's a serem determinadas pela equação. Substituindo (4.36) em (4.35),resulta uma relação linear homogênea das ϕj(x)'s
r∑j=1
(ξj − (g, ψj)−
r∑i=1
(ϕi, ψj) ξi
)ϕj = 0
que implica, por serem L. I., que todos os coecientes desta relação devem se anular. Consequen-temente, os coecientes ξj's da expansão (4.36) de uma solução f de (4.35) satisfazem um sistemade equações algébricas
ξj −r∑i=1
cijξi = ηj , j = 1, . . . , r, (4.37)
onde
cij = (ϕi, ψj)
ηj = (g, ψj) .
No outro sentido, cada solução (ξj)rj=1 do sistema (4.37) fornece, por meio de (4.36), uma solução
f da equação (4.35).Escrevendo as matrizes r×r identidade I = [δij]
ri,j=1 e C = [cij]
ri,j=1 e vetor η = [ηj]
rj=1, a equação
(4.37) na forma matricial(I − C) ξ = η (4.38)
tem uma única solução ξ = [ξj]rj=1, se o determinate d := det (I − C) 6= 0 de (I − C) é diferente de
0, dada pela fórmula de Cramer
ξi =1
d
r∑j=1
d
(i
j
)ηj , i = 1, . . . , r , (4.39)
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COMPLEMENTOS 75
onde d
(i
j
)denota o menor da matriz I − C em relação a entrada ij, isto é, o determinante de
I − C com a iésima e jésima coluna subtraídas. Para isso, note que
ξ = (I − C)−1 η
=1
dAdj (I − C)η (4.40)
é a única solução ξ de (4.38) quando d 6= 0. A matriz adjunta Adj (A) de uma matriz A é a
transposta da matriz dos cofatores de A: Adj (A) = Cof(A)T , com Aij = (−1)i+jd
(i
j
)o cofator de
A em relação a entrada ij, reproduzindo assim a regra de Cramer (4.39) (VERIFICAR!).A única solução de (4.34) é portanto
f = g +1
d
r∑i,j=1
d
(i
j
)(g, ψj)ϕi = (I +K1) g (4.41)
sendo K1 uma transformação linear com núcleo integral
K1(x, y) =1
d
r∑i,j=1
d
(i
j
)ϕi(x)ψj(y) .
Em particular, a equação integral homogênea
f −r∑i=1
(f, ψi)ϕi = 0 (4.42)
ou sua equivalente equação algébrica,
ξj −r∑i=1
cijξi = 0 , j = 1, . . . , r, (4.43)
tem como única solução a trivial: f = 0 ou ξi = 0, i = 1, . . . , r.Por outro lado, quando d = 0, tanto (4.42) como (4.43) admitem soluções não identicamente
nulas, o número de soluções L. I. sendo igual a nulidade da matriz (I − C), isto é, a diferençaentre a ordem r e o seu posto.Considere a equação integral adjunta de (4.34) 3,
f ′ −K∗f ′ = g′ (4.44)
onde o núcleo integral K∗(x, y) da transformação adjunta K∗ é adjunto do núcleo integral K(x, y)
de acordo com a relaçãoK∗(x, y) = K(y, x) ,
isto é,
K∗(x, y) =r∑i=1
ψi(x)ϕi(y) .
3O linha nas funções f e g signica apenas outras funções f ′ e g′ da mesma classe. A equação adjunta quando Ktem posto nito é da forma (4.45) (compare com 4.42).
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COMPLEMENTOS 76
Como anteriormente, introduzimos as quantidades correspondentes: a matriz C∗ =[c∗ij]de
ordem r, e os determinantes d∗ e d∗(i
j
)da matriz I − C∗ e de I − C∗ com a iésima linha e
jésima coluna removidas. Temos
c∗ij = (ψi, ϕj) = (ϕj, ψi) = cji
de onde segue que d∗ = d, d∗(i
j
)= d
(i
j
)e que as duas matrizes I − C e I − C∗ tem a mesma
nulidade. Consequentemente, quando d 6= 0 temos d∗ 6= 0 e a equação (4.44) tem uma únicasolução f ′ para qualquer g′ pertencente a L2, enquanto que quando d = d∗ = 0, a equação (4.42) ea equação
f −r∑i=1
(f, ϕi)ψi = 0 (4.45)
tem o mesmo número ν, ν ≥ 1, de soluções L. I..Para certos g's, equação (4.34) tem uma solução mesmo se d = 0, a saber, quando g é ortogonal
a todas as soluções de (4.45). De fato, escrevendo
f = g +r∑j=1
ξjϕj , f ′ =r∑j=1
ξ′jϕj , ηj = (g, ψj)
passamos para o sistema de equações algébricas
ξj −r∑i=1
cijξi = ηj , (4.46)
ξ′j −r∑i=1
cijξ′i = 0 j = 1, . . . , r, (4.47)
e observamos que a ortogonalidade entre g e f ′ é equivalente à entre os vetores η = [ηj]rj=1 e
ξ′ =[ξ′j]rj=1
:
(g, f ′) =(g,∑r
j=1ξ′jψj
)=∑r
j=1ξ′j (g, ψj) =
∑r
j=1ξ′jηj = η · ξ .
e o problema se reduz a um bem conhecido teorema de álgebra para um sistema de equações: asolução ξ = [ξj]
rj=1 de (4.46) existe se, e somente se, o vetor η = [ηj]
rj=1 é ortogonal a todas as
soluções ξ′ =[ξ′j]rj=1
do sistema adjunto homogêneo (4.47).Resumindo,
Teorema 4.10 (alternativa de Fredholm). Ou as equações integrais (I) f − Kf = g e (I*)
f ′−K∗f ′ = g′ cujos núcleos integrais são, respectivamente, K(x, y) e K∗(x, y) = K(y, x), têm uma
única solução, f e f ′, quaisquer que sejam g e g′ (têm a única solução f = 0 e f ′ = 0 quando g = 0
e g′ = 0), ou as equaçõs homogêneas (H) ϕ − Kϕ = 0 e (H*) ϕ′ − K∗ϕ′ = 0 tem soluções não
identicamente nulas, o número ν de soluções L. I. é nito e mesmo para (H) e (H*).
No segundo caso, a condição necessária e suciente para que (I) e (I*) tenham soluções é que
g seja ortogonal a todas soluções ϕ's de (H*) e que g′ seja ortogonal a todas soluções ϕ′'s de (H).
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COMPLEMENTOS 77
Veremos a seguir que a alternativa de Fredholm, expressa no enunciado do Teorema 4.10, semantém inalterada para equações integrais cujo núcleo não é de posto nito.Consideremos agora equações integrais
f − λKf = g (4.48)
com um parâmetro λ ∈ C. Vamos substituir nos cálculos anteriores K(x, y) por λK(x, y); a matriz
C será substituída por λC e o determinante d e seus menores d
(i
j
)tornar-se-ão polinômios em λ,
denotados respectivamente por d(λ) e d
(i
j, λ
). Como d(0) = 1, d(λ) não é identicamente nulo
e possuem no máximo um número nito ≤ r de raízes, λ1, . . . , λν . Todos os valores de λ diferentesdestes zeros são regulares e o núcleo resolvente é igual a
K1(x, y) =1
d
r∑i,j=1
d
(i
j, λ
)ϕi(x)ψj(y) .
Os valores λ1, . . . , λν são singulares, pois para estes valores a equação (4.48) não pode ser resolvidapara todos os g's e, consequentemente, a transformação I − λK não possue uma inversa. Para
uma equação integral com núcleo de posto nito existem no máximo um número nito de valores
singulares; o núcleo integral da tranformação resolvente é uma função racional do parâmetro λ aqual tem pólos nestes valores singulares.Determinantes de Fredholm. Ivar Fredholm4 foi o primeiro a propor um método de resoluçãode equações integrais da forma
f(x)− λ∫ b
a
K(x, y)f(y)dy = g(x) (4.49)
sob a hipótese que K : [a, b]× [a, b] −→ C é uniformemente contínuo. Fredholm parte da idéia, jáutilizada por Volterra, de substituir a integral em (4.49) por uma soma∫ b
a
K(x, y)f(y)dy −→n∑j=1
K(x, ξj)f(ξj)h
e considerar a equação (4.49) apenas nos pontos x = ξi, i = 1, . . . , n, igualmente espaçados porh = (b− a)/n no intervalo [a, b]:
ξi = a+ ih , i = 1, . . . , n .
A equação integral torna-se um sistema de equações lineares algébricas para as variáveis desconhe-cidas fi = f(ξj), j = 1, . . . , n:
fi − λhn∑j=1
kijfj = gi , i = 1, . . . , n , (4.50)
4Sur une nouvelle méthode pour la résolution du problème de Dirichlet, Vetenskaps-Academiens Förh. Stockholm,3946 (1900); Sur une classe d'équations fonctionnelles, Acta Math. 27, 365390 (1903)
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COMPLEMENTOS 78
onde kij = K(ξi, ξj) e gi = g(ξi) são as entradas de uma matriz K = [kij]ni,j=1 e as componentes
do vetor g = (g1, . . . , gn), ambos de ordem n. Se f = (f1, . . . , fn) denota o vetor das incógntas,o sistema de equações (4.50) na forma matricial pode ser escrito como (note a semelhança com(4.38))
(I − λhK)f = g ,
cuja solução f = (I − λhK)−1 g será obtida por intermédio de uma fórmula para inversa (I − λhK)−1
análoga a (4.40), isto é, a razão entre a transposta da matriz dos cofatores e o determinante damatriz em um sentido mais amplo como veremos a seguir.Observamos primeiramente que o determinante da matriz I − λhK é um polinômio de ordem n
em λh que pode ser desenvolvido de acordo com a seguinte fórmula:
Proposição 4.11. Com d(λ) = det (I − λhK), temos
d(λ) = 1− λhn∑i=1
kii +λ2h2
2!
n∑i,j=1
∣∣∣∣∣ kii kijkji kjj
∣∣∣∣∣− · · ·+
+ (−1)nλnhn
n!
n∑i1,...,in=1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ki1i1 ki1i2 · · · ki1in
ki2i1 ki2i2. . . ki2in
......
......
kini1 kini2 · · · kinin
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣. (4.51)
Prova. Para obter (4.51), empregaremos a clássica fórmula do determinante
d(λ) =∑π
(−1)|π| (I − λhK)1π1· · · (I − λhK)nπn (4.52)
onde o somatório é sobre todas as permutações π =
(1 2 . . . n
π1π2 . . . πn
)do conjunto de índices In =
1, 2, . . . , n e (−1)|π| indica o sinal da permutação, com |π| denotando o número de permuta-ção elementares (transposições), entre pares de índices, de In necessária para tornar a sucessãoπ1π2 . . . πn na ordem natural 1 2 . . . n. Notamos que |π| não é unívoca e o sinal da permutaçãoindepende da maneira que é realizada a contagem. Para estas e outras noções utilizadas na prova,veja Caps. 1 e 4 de Álgebra exterior de Elon L. Lima.Desenvolvendo o produto de elementos da matriz I−λhK em (4.52), juntamente com I = [δij]
ni,j=1
onde δij = 0 se i 6= j e δii = 1, obtemos
d(λ) = 1−∑π
(−1)|π|
(λh
n∑i=1
kiπi∏j 6=i
δj,πj+
+λ2h2∑
1≤i<j≤n
kiπikjπj∏
k 6=i,j
δk,πk − · · ·+ (−1)n λnhnk1π1 · · · kinin
(4.53)
que ainda não tem a forma (4.51) devido as somas sobre os índices dos λhKiπi 's que aparecem naexpansão estarem ordenados para evitar contagem repetida de termos. Para que os índices das
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COMPLEMENTOS 79
somas percorram todos os valores em In, observe que o coeciente∑π
(−1)|π|∑
1≤ii<···<ik≤n
ki1πi1 · · · kikπik∏
k 6=i1,...,,ik
δk,πk
de (−1)kλkhk, para algum k ∈ In, é da forma
∑1≤ii<···<ik≤n
∑π
(−1)|π|ki1πii · · · kikπik =∑
1≤ii<···<ik≤n
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ki1i1 ki1i2 · · · ki1ik
ki2i1 ki2i2. . . ki2ik
......
......
kiki1 kiki2 · · · kikik
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=
1
k!
n∑i1,...,ik=1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ki1i1 ki1i2 · · · ki1ik
ki2i1 ki2i2. . . ki2ik
......
......
kiki1 kiki2 · · · kikik
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣onde a soma sobre π percorre as permutações π =
(i1 i2 . . . ikπi1 πi2 . . . πik
)do conjunto de índices reduzidos
i1, i2, . . . , ik, fazendo com que a soma resulte um determinante, isto é, algum menor de K daordem k. Como o determinante de uma matriz é a única função multilinear antisimétrica porpermutações de suas linhas e/ou colunas, se anulando portanto quando duas ou mais linhas oucolunas forem repetidas, podemos substituir a soma ordenada nos índices pela soma irrestrita,dividindo pela multiplicidade k! dos termos que não se anulam, em correspondência com o númerode permutações do conjunto i1, i2, . . . , ik de índices reduzidos. Note que toda vez que transpomosum par de linhas transpomos igualmente o par correspondente de colunas, mantendo com isso osinal do determinante e concluindo a prova da proposição.
Sendo p(λ) um polinômio não identicamente 0, pois p(0) = 1, o sistema (4.50) tem uma única
solução f = (f1, . . . , fn) para todo λ, com exceção de no máximo um número nito de valores≤ n; além disso, a solução f tem a forma de n razões cujo denominador é o determinante d(λ) e onumerador determinantes construídos a partir dos menores de K e das coordenadas gi de g.No lugar de investigar se a solução de (4.50) tende, quando n→∞, para um limite e se este, por
sua vez, fornece a solução de (4.49), Fredholm utilizou a fórmula clássica algébrica somente paradeduzir a partir desta, por uma passagem puramente formal de n para ∞, uma expressão a qualele mostrou de uma maneira direta convergir e fornecer a solução de (4.49).Para simplicar as expressões, introduzimos a notação
K
(x1x2 . . . xny1y2 . . . yn
)=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣K (x1, y1) K (x1, y2) · · · K (x1, yn)
K (x2, y1) K (x2, y2). . . K (x2, yn)
......
......
K (xn, y1) K (xn, y2) · · · K (xn, yn)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
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COMPLEMENTOS 80
e observamos que este determinante muda de sinal pela troca de posição entre quaisquer par devariáveis xi e xk ou de variáveis yi e yk e, consequentemente, permanece inalterado quando se aplicaum número par de transposições deste tipo. Em particular, o determinante permanece inalterado
por permutações quaisquer dos elementos
(xiyi
).
Os coecientes de λm/m! na expansão (4.51) podem ser escritos de maneira mais compacta como
hmn∑
i1,...,in=1
K
(ξi1ξi2 . . . ξimξi1ξi2 . . . ξim
)e esta soma tem como limite formal, quando h→ 0, as integrais de Riemann multiplas∫ b
a
∫ b
a
· · ·∫ b
a
K
(ξ1ξ2 . . . ξmξ1ξ2 . . . ξm
)dξ1dξ2 . . . dξm .
O limite formal do determinante (4.51) é então dado pela série completa
d(λ) = 1− λ∫ b
a
K
(ξ1
ξ1
)dξ1 +
λ2
2!
∫ b
a
∫ b
a
K
(ξ1ξ2
ξ1ξ2
)dξ1dξ2 − · · ·+
+ (−1)nλn
n!
∫ b
a
∫ b
a
· · ·∫ b
a
K
(ξ1ξ2 . . . ξnξ1ξ2 . . . ξn
)dξ1dξ2 . . . dξn + · · · . (4.54)
Primeiramente, observamos que esta série é convergente em valor absoluto para todo λ ∈ C.Para mostrar isso, usaremos o fato que o determinante de ordem n de uma matriz cujos elementossão limitados, em valor absoluto, por M é no máximo Mnnn/2. Este resultado é um Corolário dadesigualdade de Hadamard, a qual será demonstrada mais adiante.Disso segue, juntamente com max |K(x, y)| < M , que a série (4.54) é estimada pela seguinte
série majorante
|d(λ)| ≤∞∑n=0
nn/2
n!Mn(b− a)n |λ|n (4.55)
que converge pelo teste da razão, uma vez que
1
n+ 1
(n+ 1)(n+1)/2
nn/2M(b− a) |λ| = (1 + 1/n)n/2√
n+ 1M(b− a) |λ| ≤
√e
n+ 1M(b− a) |λ| < 1
quaisquer que sejaM , b−a e |λ|, se n for suciente grande. A série (4.54), não sendo identicamente0 por d(0) = 1, é uma função inteira de λ denominada determinante de Fredholm.O limite formal para a clássica fórmula algébrica para o numerador da solução de (4.50) leva a
um núcleo integral, similar a K1 na expressão (4.41), na forma de uma série
K
(x
y
)− λ
∫ b
a
K
(xξ1
yξ1
)dξ1 +
λ2
2!
∫ b
a
∫ b
a
K
(xξ1ξ2
yξ1ξ2
)dξ1dξ2 − · · ·+
+ (−1)nλn
n!
∫ b
a
∫ b
a
· · ·∫ b
a
K
(xξ1ξ2 . . . ξnyξ1ξ2 . . . ξn
)dξ1dξ2 . . . dξn + · · · (4.56)
que converge para todo λ ∈ C, pela mesma razão que d(λ) converge; a soma d
(x
y
)(λ) é chamada
de menor de Fredholm. Desenvolvendo cada termo desta expressão por Laplace em relação a
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COMPLEMENTOS 81
primeira linha, obtemos
K
(xξ1ξ2 . . . ξnyξ1ξ2 . . . ξn
)= K
(x
y
)K
(ξ1ξ2 . . . ξnξ1ξ2 . . . ξn
)−K
(x
ξ1
)K
(ξ1ξ2 . . . ξnyξ2 . . . ξn
)+K
(x
ξ2
)K
(ξ1ξ2 . . . ξnyξ1 . . . ξn
)−
− · · ·+ (−1)nK
(x
ξn
)K
(ξ1ξ2 . . . ξnyξ1 . . . ξn−1
)= K
(x
y
)K
(ξ1ξ2 . . . ξnξ1ξ2 . . . ξn
)−K
(x
ξ1
)K
(ξ1ξ2 . . . ξnyξ2 . . . ξn
)−K
(x
ξ2
)K
(ξ2ξ1 . . . ξnyξ1 . . . ξn
)−
− · · · −K(x
ξn
)K
(ξnξ1 . . . ξn−1
yξ1 . . . ξn−1
)e como a variável em uma integral denida pode ser denotada por qualquer outra letra, segue destaexpressão que∫ b
a
∫ ba· · ·∫ baK
(xξ1ξ2 . . . ξnyξ1ξ2 . . . ξn
)dξ1dξ2 . . . dξn = K
(x
y
)∫ ba
∫ ba· · ·∫ baK
(ξ1ξ2 . . . ξnξ1ξ2 . . . ξn
)dξ1dξ2 . . . dξn−
−n∫ ba
∫ ba· · ·∫ baK
(x
z
)K
(zξ1 . . . ξn−1
yξ1 . . . ξn−1
)dzdξ1dξ2 . . . dξn−1 .
Comparando (4.54) com (4.56), juntamente com a expressão acima, concluímos que d
(x
y
)=
d
(x
y
)(λ) satisfaz a seguinte equação integral
d
(x
y
)= K(x, y)d+ λ
∫ b
a
K(x, z)d
(z
y
)dz .
Por um cálculo análogo, partindo do desenvolvimento de K
(xξ1ξ2 . . . ξnyξ1ξ2 . . . ξn
)por Laplace em relação
a primeira coluna, fornece a seguinte relação
d
(x
y
)= K(x, y)d+ λ
∫ b
a
d
(x
z
)K(z, y)dz .
Estas duas relações expressam o fato que
1
dd
(x
y
)coincide com o núcleo integral do resolvente Kλ(x, y) associado ao núcleo K(x, y) (veja, para isso,equações (4.18), (4.19) e (4.29)), para todos valores de λ para os quais d(λ) 6= 0. Estes valoressão regulares com respeito a K(x, y). Por outro lado, os zeros de d(λ) são valores singulares. De
fato, um zero λ0 de d(λ) é um polo de Kλ(x, y), pois d
(x
y
)(λ) não é divisível por (λ− λ0), uma
imediata consequência da relação
− d′(λ) =
∫ b
a
d
(x
x
)(λ) dx . (4.57)
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COMPLEMENTOS 82
Suponha por contradição que d
(x
y
)(λ) é divisível por (λ− λ0). Então o lado direito de (4.57)
deve se anular em λ = λ0 embora o lado esquerdo da (4.57), sendo limλ→λ0 d(λ)/(λ − λ0) =
limλ→λ0(d(λ) − d(λ0))/(λ − λ0) = d′(λ0) 6= 0, assumindo por simplicidade λ0 um zero simples ded(λ), não se anula neste valor. Para provar a relação (4.57), diferenciamos termo-a-termo a série(uniformemente convergente) (4.54) em λ e integramos termo-a-termo (4.56), com y = x, em x
sobre o intervalo [a, b]. Concluindo: os valores singulares são precisamente os zeros da funçãointeira d(λ); estes por sua vez ou são em número nito ou enumeráveis, não possuindo ponto deacumulação nito.É possível estender o método de solução de Fredholm, e ele próprio fez isso, para o caso que λ
é um valor singular. Porém as fórmulas são menos elementares por envolver menores de ordemsuperior. Notamos, como consequência de (4.57), uma fórmula interessante
− (log d(λ))′ =1
d(λ)
∫ b
a
d
(x
x
)(λ) dx
=
∫ b
a
K(x, x)dx+ λ
∫ b
a
K(2)(x, x)dx+ · · ·+ λn−1
∫ b
a
K(n)(x, x)dx+ · · ·
válida no maior círculo no plano complexo de centro na origem e que não contenha valores sin-
gulares em seu interior. A segunda igualdade segue da substituição d
(x
x
)(λ)/d(λ) = Kλ(x, y) e
de sua expansão em série de Neumann (4.27), a qual é uniformemente convergente. Uma últimaobservação: a hipótese que K(x, y) é uma função continua e [a, b] × [a, b] pode ser enfraquecidapara uma função limitada e integrável para quase todo ponto. Para a versão fraca é necessário acondição adicional que K(x, x) = 0 em [a, b] pois integrabilidade de K(x, y) em [a, b] × [a, b] nãogarante integrabilidade na diagonal x = y.Desigualdade de Hadamard. Demonstraremos agora uma desigualdade para determinantes,cujo Corolário foi utilizado para estimar a série em λ do determinante de Fredholm (4.54) poruma série majorante (4.55), uniformemente convergente.
Teorema 4.12. Se C = [cij]ni,j=1 é uma matriz n × n com entradas ckl = akl + ibkl em C então o
determinante |C| de C satisfaz
|C| ≤ A1A2 · · ·An (4.58)
onde
Ak =
√∑n
l=1|ckl|2 =
√∑n
l=1
(|akl|2 + |bkl|2
).
Com exceção do caso obvio quando o lado direito de (4.58) é zero, a igualdade de (4.58) é atingida
somente quando os vetores nas linhas de C forem aos pares ortogonais:n∑k=1
cikcjk = 0 , para i 6= j .
Prova. Se o lado direito de (4.58) não é zero, o problema pode ser reduzido ao caso onde asquantidades Ak's são iguais a 1, dividindo os elementos de matriz ck,l, l = 1, . . . , n, da késimalinha por Ak.
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COMPLEMENTOS 83
O determinante |C| é uma função contínua das 2n2 variáveis akl's e bkl's as quais variam em umdomínio limitado caracterizado pelas condições A1 = 1, A2 = 1, . . . , An = 1. Uma função contínuaem um domínio limitado atinge seu máximo valor |C|∗ = |C∗| em certos valores c∗ij. O máximovalor |C|∗ é certamente ≥ 1 pois a matriz identidade I = [δkl]
nk,l=1 tem determinate |I| = 1 e satisfaz
A1 = · · · = An = 1.Armamos que o determinante extremal |C|∗ tem os vetores de suas linhas ortogonais aos pares.
Para mostrar isso, basta considerar apenas duas linhas i e j. Vamos mostrar que a hipótese que
Sij =n∑k=1
c∗ikc∗jk 6= 0
leva a uma contradição. Partindo de |C|∗, construímos um determinante |C|′ = |C ′| cujos elementosc′kl da matriz C ′ são idênticos aos elementos c∗kl da matriz C∗exceto por aqueles na jésima linha:c′jl 6= c∗jl, l = 1, . . . , n, que denimos como sendo uma combinação linear das iésima e jésimalinhas de C∗:
c′jl = λc∗il + µc∗jl .
As quantidades λ e µ são determinadas por duas condições: (i) ortogonalidaden∑k=1
c∗ikc′jk = 0
e (ii) normalizaçãon∑k=1
∣∣c′jk∣∣2 = 1 .
Da condição (i) deduzimos que λ+ Sijµ = 0; da condição (ii) deduzimos que
|λ|2 + λµSij + λµSij + |µ|2 = 1 .
Substituindo a primeira na segunda, resulta(1− |Sij|2
)|µ|2 = 1
ou seja, |µ| > 1. Mas, escolhendo µ positivo, temos |C|′ = µ |C|∗ > |C|∗uma contradição com ofato que |C∗| é o máximo valor de |C|.Como as linhas de C∗ são ortogonais, temos
|C|∗ |C|∗ = |C∗|∣∣∣(C∗)T ∣∣∣ =
∣∣∣C∗ (C∗)T ∣∣∣ =∣∣∣[c∗ik] [c∗jk]T ∣∣∣ =
∣∣∣[∑n
k=1c∗ikc
∗jk
]∣∣∣ = |[δij]| = 1 ,
concluindo a demonstração do teorema.