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COLÉGIO CRISTO REI – GEOMETRIA PLANA
PROF : ADRIANO LOURENÇO
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GEOMETRIA PLANA Polígonos convexos
Polígonos não-convexos
Os lados AB, AC, CD, DE, EF e FA.
Os vértices A, B, C, D, E e F.
Os ângulos internos A, B, C, D, E e F. é ângulo externo relativo ao vértice A. A diagonal BD.
A
B C
D
EF
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POLÍGONO REGULAR• Chama-se polígono regular qualquer
polígono que tem todos os lados congruentes e todos os ângulos internos congruentes.
B
A
C
D
EF
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Soma dos ângulos internos
• A soma dos ângulos internos de um polígono convexo com n lados é dado por Si = (n – 2).180º.
Si = (n – 2).180ºA2
A3
A4
A5
AnA1
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TEOREMA DE PITÁGORAS TEOREMA DE TALES
c² = a² + b²
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Apótema Polígonos Regulares
E
F
D
C
BA
O
M
Rm
O
A B
m θR
L/2
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O
A B
m θR
L/2
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Área de polígonos
Área do quadrado
L
L A = L2
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Exemplo
Calcular a medida de cada lado e de cada uma das diagonais de um quadrado, cuja área mede 18 cm2.
L
LD
A = L2 ⇒ L2 = 18 ⇒ L = 3√2
D2 = L2 + L2 ⇒ D = L√2
⇒ D = 3√2.√2
⇒ D = 6 cm
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Área do retângulo
Base (b)
Altura (h)
A = b . h
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Exemplo
Calcular o perímetro de um retângulo de 18 m2 de área, sabendo que um de seus lados é o dobro do outro.
2x
x
A = 18 ⇒ x.2x = 18
⇒ 2x2 = 18 ⇒ x2 = 9
⇒ x = 3
Os lados medem 3 m e 6 m.
P = 2.3 + 2.6 = 18 m
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Área do Paralelogramo
h
A = b . h
base (b)
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6
4
60º
Exemplo
Os lados de um paralelogramo medem 4 cm e 6 cm e formam, entre si, ângulo de 60º. Obter a sua área.
h
sen 60º = h
4⇒ h = 4. sen 60º = 4.
2
√3⇒ h = 2√3
A = b . h = 6. 2√3 ⇒ A = 12√3
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Área do Losango
d1
d2 A = d1 . d2
2
L
L
L
L
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Área do Triângulo
A =b . h
2
h
base (b)
b . c. sen α
2A = A=√p.(p-a).(p-b).(p-c)
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Área do Triângulo Eqüilátero
L
L
Lh
h =L√3
2
A =L2√3
4
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Área do Hexágono regular
L
LL
L
L
L
A =6L2√3
4
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CÍRCULO ou CIRCUNFERENCIA??
A = π R²
C = 2. π. R
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UFRGS 2012 1+1/2+1/4+1/8 = 15/8
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C= 2.pi.r = 2. 3,14 . 1C=6,28 (1 volta)
Como serão 10 voltas
C= 62,8 (letra B)
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x
x+6
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Elementos de um poliedro
• Alguns elementos de um poliedro recebem nomes especiais.
Face de poliedro é cada um dos polígonos que o delimitam.
GEOMETRIA ESPACIAL
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Elementos de um poliedro
• Alguns elementos de um poliedro recebem nomes especiais.
Aresta de poliedro é cada um dos lados das faces. É cada “quina” do poliedro.
![Page 26: COLÉGIO CRISTO REI – GEOMETRIA PLANA PROF : ADRIANO LOURENÇO](https://reader037.vdocuments.site/reader037/viewer/2022103016/552fc180497959413d8f15f8/html5/thumbnails/26.jpg)
Elementos de um poliedro
A
B C
D
E
F G
H
• Alguns elementos de um poliedro recebem nomes especiais.
Vértice de poliedro é cada um dos vértices das faces. É cada “ponta” do poliedro.
![Page 27: COLÉGIO CRISTO REI – GEOMETRIA PLANA PROF : ADRIANO LOURENÇO](https://reader037.vdocuments.site/reader037/viewer/2022103016/552fc180497959413d8f15f8/html5/thumbnails/27.jpg)
O PRISMA E SUAS FORMAS Observe os objetos abaixo. Todos têm forma de
poliedro, mas apresentam algumas características comuns. Eles estão associados a um tipo de poliedro muito especial: o prisma.
![Page 28: COLÉGIO CRISTO REI – GEOMETRIA PLANA PROF : ADRIANO LOURENÇO](https://reader037.vdocuments.site/reader037/viewer/2022103016/552fc180497959413d8f15f8/html5/thumbnails/28.jpg)
DEFINIÇÃO Observe a animação.
r
O conjunto de todos esses segmentos é um sólido poliédrico chamado prisma.
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ELEMENTOS PRINCIPAIS DO PRISMAO prisma tem dois tipos de faces
A
B C
D
EF
A’
B’ C’
D’
E’F’
bases (polígonos congruentes).
faces laterais (paralelogramos).
Superfície total do prisma é a união da superfície lateral com as duas bases do prisma.
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ELEMENTOS PRINCIPAIS DO PRISMAO prisma tem dois tipos de arestas
A
B C
D
EF
A’
B’ C’
D’
E’F’
arestas das bases(AB, A’B’, ..., FA, F’A’).
arestas laterais(AA’, BB’, CC’, ... ,FF’ ).
![Page 31: COLÉGIO CRISTO REI – GEOMETRIA PLANA PROF : ADRIANO LOURENÇO](https://reader037.vdocuments.site/reader037/viewer/2022103016/552fc180497959413d8f15f8/html5/thumbnails/31.jpg)
ELEMENTOS PRINCIPAIS DO PRISMA
h
A
B C
D
EF
A’
B’ C’D’
E’F’
A distância h entre as duas bases do prisma é a altura do prima.
![Page 32: COLÉGIO CRISTO REI – GEOMETRIA PLANA PROF : ADRIANO LOURENÇO](https://reader037.vdocuments.site/reader037/viewer/2022103016/552fc180497959413d8f15f8/html5/thumbnails/32.jpg)
CLASSIFICAÇÃO DOS PRISMAS Um prisma é classificado pelo tipo de polígono que
constitui suas bases.
P. hexagonalhexágono
P. pentagonalpentágono
P. quadrangularquadrado
P. triangulartriângulo
PrismaPolígonos das bases
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VEJA ALGUNS DESSES PRISMAS
Prisma triangular Prisma Pentagonal
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CLASSIFICAÇÃO DOS PRISMAS
Prisma triangular reto Prisma Pentagonal oblíquo
hh
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PRISMA REGULAR Todo prisma reto cujas bases são polígonos
regulares é chamado de prisma regular.
O prisma é reto eABC é triângulo eqüilátero⇒
A
B
C
Prisma triangular regular
O prisma é reto e aBase é hexágono regular⇒
Prisma hexagonal regular
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PRISMAS QUADRANGULARES Se as bases de um paralelepípedo reto são
retângulos, ele é chamado paralelepípedo reto-retângulo ou paralelepípedo retângulo.
Paralelepípedo retângulo ou ortoedro
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PRISMAS QUADRANGULARES Se todas as arestas de um paralelepípedo
retângulo são congruentes entre si, ele é chamado cubo ou hexaedro regular.
Cubo ou hexaedro regular
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ESTUDO DO CUBO O cubo é o mais simples dos prismas. Ele é um
prisma quadrangular regular, cujas faces são quadrados congruentes. Por isso qualquer de suas faces pode ser considerada como base.
a → medida de cada uma das arestasa
aa
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a
a
a
DIAGONAIS NO CUBO Num cubo, distinguimos dos tipos de diagonais.
a → medida de cada uma das arestas
d
D
d → diagonal da face
D → diagonal do cubo
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DIAGONAIS NO CUBO Obtendo os valores d e D em função da medida a
da aresta.
a
a
a
d
D
a
d2 = a2 + a2
⇒ d = 2a2
⇒ d = a√2
![Page 41: COLÉGIO CRISTO REI – GEOMETRIA PLANA PROF : ADRIANO LOURENÇO](https://reader037.vdocuments.site/reader037/viewer/2022103016/552fc180497959413d8f15f8/html5/thumbnails/41.jpg)
DIAGONAIS NO CUBO Obtendo os valores d e D em função da medida a
da aresta.
a
a
a
d
Da
D2 = a2 + d2
⇒ D = a2 + 2a2
⇒ D = 3a2
⇒ D = a√3
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ÁREA DA SUPERFÍCIE TOTAL DO CUBO Planificando a superfície total de um cubo de
aresta a, obtemos a figura.
a
aa
a
a
a
a
AT = 6a2
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VOLUME DO CUBO
a
aa
a
a
a
a
V = a³
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ESTUDO DO PARALELEPÍPEDO RETÂNGULO O paralelepípedo retângulo é um prisma
quadrangular. Suas faces são duas a duas congruentes.
a, b e c → As dimensões do paralelepípedo.
ac
b
Suas doze arestas são quatro a quatro congruentes. As medidas dessas arestas são as dimensões do paralelepípedo.
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b
a
DIAGONAL DO PARALELEPÍPEDO Diagonal de um paralelepípedo é todo segmento
cujos extremos são dois vértices não-pertencentes a uma mesma face.
d → diagonal da face inferior
D → diagonal do paralelepípedo
c
d
D
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b
a
CÁLCULO DA DIAGONAL DO PARALELEPÍPEDO Obtendo o valor de D em função das dimensões a,
b e c do paralelepípedo.
c D
d2 = a2 + b2 e D2 = d2 + c2
d
D2 = a2 + b2 + c2⇒ D = √a2 + b2 + c2
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EXEMPLO O comprimento e a largura de um paralelepípedo
medem 12 cm e 4 cm. Uma de suas diagonais mede 13. Obter a medida de sua altura?
D = √a2 + b2 + c2 ⇒ 13 = √122 + 42 + c2
⇒ 169 = 144 + 16 + c2 ⇒ c2 = 169 – 160
⇒ c2 = 9 ⇒ c = 3
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ÁREA DA SUPERFÍCIE TOTAL DO PARALELEPÍPEDO Planificando a superfície total de um
paralelepípedo de dimensões a, b e c obtemos a figura.
ac
b
a
b
c
ab
ab
ac
ac
bc bc
AT = 2ab + 2ac + 2bc
AT = 2(ab + ac + bc)
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EXEMPLO A área da superfície total de um paralelepípedo é 248
cm2. suas dimensões são proporcionais a 2, 3 e 5. Calcular a medida da diagonal do paralelepípedo?
As dimensões a, b e c são proporcionais a 2, 3 e 5 indica que a = 2k, b = 3k e c = 5k.
AT = 248 ⇒ 2(ab + ac + bc) = 248
⇒ ab + ac + bc = 124
:(2)
⇒ 2k.3k + 2k.5k + 3k.5k = 124
⇒ 6k2 + 10k2 + 15k2 = 124 ⇒ 31k2 = 124
⇒ k2 = 4 ⇒ k = 2
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VOLUME DO PARALELEPÍPEDO RETÂNGULO Analise as duas figuras a seguir.
cubo unitárioV = 1 u3
V = 5.3.4 = 60 u3
5 u3 u
4 u
De modo geral, o volume de um paralelepípedo de dimensões a, b e c é dado por
V = a.b.c
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EXEMPLOS Uma das dimensões de um paralelepípedo é
aumentada em 20%; outra, aumentada em 30%; a terceira em 10%. O que ocorre com o volume do paralelepípedo?
Suponhamos que as dimensões sejam x, y e z. Então, o volume original é V = xyz.
Se x aumenta 20%, a nova dimensão passa para 1,2 x.
Se y aumenta 30%, a nova dimensão passa para 1,3 y.
Se z aumenta 10%, a nova dimensão passa para 1,1 z.
V’ = 1,2x . 1,3 y . 1,1 z = 1,404.xyz = 1,404.V
Concluímos que o volume aumenta 40,4%.
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ESTUDO GERAL DO PRISMA Vamos aprender a calcular áreas e volumes em
prismas quaisquer. Em geral. Vamos considerar prismas retos em que
As arestas laterais são alturas;
As faces laterais são retângulos;
A
B
C
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ÁREAS NO PRISMA No prisma as áreas.
Área Lateral (AL) – Soma das áreas dos retângulos;
Área da base (AB) – Área do polígono da base;
Área total (AT) – Soma da área lateral com as bases
AT = AL + 2AB
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EXEMPLO A figura a seguir mostra um prisma triangular reto,
com as dimensões indicadas. Calcular a área lateral e a área total desse prisma.
3
5
64
AL = 3.6 + 4.6 + 5.6
AL = 18 + 24 + 30 = 72
AB = (3.4)/2 = 6
AT = AL + 2.AB
AT = 72 + 2.6 = 84
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EXEMPLO Num prisma hexagonal regular, a altura mede 6 m e a
área de cada base é 24√3 m2. Achar sua área lateral.
x
6
A = 24√3 ⇒
4
6x2√3= 24√3
⇒ x2 = 16 ⇒ x = 4
Af = b.h ⇒ Af = 4.6 = 24
AL = 6.Af ⇒ AL = 6.24 = 192 m2
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PRINCÍPIO DE CAVALIERI Bonaventura Cavalieri nasceu na Itália, no final do
século XVI. Discípulo de Galileu, ele deixou contribuições importantes nas áreas de óptica e geometria.
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PRINCÍPIO DE CAVALIERI Dados dois ou mais sólidos apoiados em um mesmo
plano , se
Todos têm a mesma altura;
Todo plano paralelo a e que corte os sólidos determina, em todos eles, seções planas de mesma área;
Então os sólidos têm o mesmo volume.
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VOLUME DO PRISMA Vamos deduzir uma fórmula para o cálculo do
volume do prisma. Para isso, vamos aplicar o princípio de Cavalieri.
V = AB.h
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PIRÂMIDEA pirâmide tem dois tipos de faces
A base (polígono ABCDEF).
Faces laterais (triângulos).
Superfície total da pirâmide é a união da base com a superfície lateral.
V
A
B C
D
EF
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ELEMENTOS PRINCIPAIS DA PIRÂMIDEA pirâmide tem dois tipos de arestas
arestas da base(AB, BC, CD, DE, EF e FA).
arestas laterais(VA, VB, VC, VD, VE e VF ).
V
A
B C
D
EF
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ELEMENTOS PRINCIPAIS DA PIRÂMIDE
h
A distância h do vértice ao plano da base é a altura da pirâmide.
V
A
B C
D
EF
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CLASSIFICAÇÃO Uma pirâmide é classificado pelo tipo de polígono
que constitui sua base.
P. hexagonalhexágono
P. pentagonalpentágono
P. quadrangularquadrado
P. triangulartriângulo
PirâmidePolígono da base
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VEJA ALGUMAS DESSAS PIRÂMIDES
Pirâmide triangular Pirâmide Pentagonal
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PIRÂMIDES REGULARES
A base da pirâmide é um quadrado ⇒
Pirâmide quadrangular regular
A base da pirâmide é um hexágono regular⇒
Pirâmide hexagonal regular
V
h
O
V
h
O
![Page 65: COLÉGIO CRISTO REI – GEOMETRIA PLANA PROF : ADRIANO LOURENÇO](https://reader037.vdocuments.site/reader037/viewer/2022103016/552fc180497959413d8f15f8/html5/thumbnails/65.jpg)
V
A B
CD
APÓTEMA DA PIRÂMIDE
VM é o apótema (p) da pirâmidep
M
⇒
BM = MC
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SEGMENTOS NOTÁVEIS NA PIRÂMIDE REGULAR
VO = h, altura;
V
B
A
MO
ah
m
r
p
b
VA = a, aresta lateral;
AB = b, aresta da base;
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SEGMENTOS NOTÁVEIS NA PIRÂMIDE REGULAR
OM = m, apótema da base;
V
B
A
MO
ah
m
r
p
b
OA = r, raio da base;
VM = p, apótema pirâmide;
![Page 68: COLÉGIO CRISTO REI – GEOMETRIA PLANA PROF : ADRIANO LOURENÇO](https://reader037.vdocuments.site/reader037/viewer/2022103016/552fc180497959413d8f15f8/html5/thumbnails/68.jpg)
A PIRÂMIDE E O TEOREMA DE PITÁGORAS
p2 = h2 + m2
V
B
A
MO
h
m
p
![Page 69: COLÉGIO CRISTO REI – GEOMETRIA PLANA PROF : ADRIANO LOURENÇO](https://reader037.vdocuments.site/reader037/viewer/2022103016/552fc180497959413d8f15f8/html5/thumbnails/69.jpg)
A PIRÂMIDE E O TEOREMA DE PITÁGORASV
A
O
ah
r
a2 = h2 + r2
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A PIRÂMIDE E O TEOREMA DE PITÁGORAS
a2 = p2 + (b/2)2
V
B
A
M
ap
b/2
![Page 71: COLÉGIO CRISTO REI – GEOMETRIA PLANA PROF : ADRIANO LOURENÇO](https://reader037.vdocuments.site/reader037/viewer/2022103016/552fc180497959413d8f15f8/html5/thumbnails/71.jpg)
VOLUME DA PIRÂMIDE Se um prisma e uma pirâmide têm alturas iguais e
suas bases têm a mesma área, então o volume da pirâmide é a terça parte do volume do prisma.
AB.hV =3
1
![Page 72: COLÉGIO CRISTO REI – GEOMETRIA PLANA PROF : ADRIANO LOURENÇO](https://reader037.vdocuments.site/reader037/viewer/2022103016/552fc180497959413d8f15f8/html5/thumbnails/72.jpg)
TRONCO DE PIRÂMIDER
C
A
h
B
D
A’ B’
C’D’h’
C
A
h – h’
B
D
A’ B’
C’D’R
A’ B’
C’D’h’
Tronco de pirâmide
![Page 73: COLÉGIO CRISTO REI – GEOMETRIA PLANA PROF : ADRIANO LOURENÇO](https://reader037.vdocuments.site/reader037/viewer/2022103016/552fc180497959413d8f15f8/html5/thumbnails/73.jpg)
RAZÃO DE SEMELHANÇA - COMPRIMENTOSR
C
A
h
D
R
A’ B’
C’D’h’
B
=RA’
RA
A’B’
AB=... =
h’
h= k
Razão de semelhança
![Page 74: COLÉGIO CRISTO REI – GEOMETRIA PLANA PROF : ADRIANO LOURENÇO](https://reader037.vdocuments.site/reader037/viewer/2022103016/552fc180497959413d8f15f8/html5/thumbnails/74.jpg)
RAZÃO DE SEMELHANÇA - ÁREASR
C
A
h
D
R
A’ B’
C’D’h’
B
=A’B
AB
A’L
AL=
A’T
AT
![Page 75: COLÉGIO CRISTO REI – GEOMETRIA PLANA PROF : ADRIANO LOURENÇO](https://reader037.vdocuments.site/reader037/viewer/2022103016/552fc180497959413d8f15f8/html5/thumbnails/75.jpg)
CONES
![Page 76: COLÉGIO CRISTO REI – GEOMETRIA PLANA PROF : ADRIANO LOURENÇO](https://reader037.vdocuments.site/reader037/viewer/2022103016/552fc180497959413d8f15f8/html5/thumbnails/76.jpg)
ESFERAS
Área: A = 4πr2
Volume:
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g
g
eixo
90º90ºBase
Base
O**
O**R
h
A Fig. mostra um Cilindro Oblíquo.
R é raio da base
h é altura
g é geratriz
Cilindro
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Cilindro Circular Reto
OO**
g gh
1) o eixo é perpendicular aos planos das bases.
RDC
ou Cilindro de Revoluçãoou Cilindro de Revolução
R
BAO’O’**
2) g = h
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A B
D C
A B
D C
Cilindro de RevoluçãoCilindro de Revolução::
Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.
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A B
D C
Cilindro de RevoluçãoCilindro de Revolução::
Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.
![Page 81: COLÉGIO CRISTO REI – GEOMETRIA PLANA PROF : ADRIANO LOURENÇO](https://reader037.vdocuments.site/reader037/viewer/2022103016/552fc180497959413d8f15f8/html5/thumbnails/81.jpg)
A B
D C
![Page 82: COLÉGIO CRISTO REI – GEOMETRIA PLANA PROF : ADRIANO LOURENÇO](https://reader037.vdocuments.site/reader037/viewer/2022103016/552fc180497959413d8f15f8/html5/thumbnails/82.jpg)
A B
D C
![Page 83: COLÉGIO CRISTO REI – GEOMETRIA PLANA PROF : ADRIANO LOURENÇO](https://reader037.vdocuments.site/reader037/viewer/2022103016/552fc180497959413d8f15f8/html5/thumbnails/83.jpg)
A B
D C
![Page 84: COLÉGIO CRISTO REI – GEOMETRIA PLANA PROF : ADRIANO LOURENÇO](https://reader037.vdocuments.site/reader037/viewer/2022103016/552fc180497959413d8f15f8/html5/thumbnails/84.jpg)
A B
D C
![Page 85: COLÉGIO CRISTO REI – GEOMETRIA PLANA PROF : ADRIANO LOURENÇO](https://reader037.vdocuments.site/reader037/viewer/2022103016/552fc180497959413d8f15f8/html5/thumbnails/85.jpg)
A B
D C
![Page 86: COLÉGIO CRISTO REI – GEOMETRIA PLANA PROF : ADRIANO LOURENÇO](https://reader037.vdocuments.site/reader037/viewer/2022103016/552fc180497959413d8f15f8/html5/thumbnails/86.jpg)
A B
D C
![Page 87: COLÉGIO CRISTO REI – GEOMETRIA PLANA PROF : ADRIANO LOURENÇO](https://reader037.vdocuments.site/reader037/viewer/2022103016/552fc180497959413d8f15f8/html5/thumbnails/87.jpg)
A B
D C
![Page 88: COLÉGIO CRISTO REI – GEOMETRIA PLANA PROF : ADRIANO LOURENÇO](https://reader037.vdocuments.site/reader037/viewer/2022103016/552fc180497959413d8f15f8/html5/thumbnails/88.jpg)
A B
D C
![Page 89: COLÉGIO CRISTO REI – GEOMETRIA PLANA PROF : ADRIANO LOURENÇO](https://reader037.vdocuments.site/reader037/viewer/2022103016/552fc180497959413d8f15f8/html5/thumbnails/89.jpg)
A B
D C
![Page 90: COLÉGIO CRISTO REI – GEOMETRIA PLANA PROF : ADRIANO LOURENÇO](https://reader037.vdocuments.site/reader037/viewer/2022103016/552fc180497959413d8f15f8/html5/thumbnails/90.jpg)
A B
D C
![Page 91: COLÉGIO CRISTO REI – GEOMETRIA PLANA PROF : ADRIANO LOURENÇO](https://reader037.vdocuments.site/reader037/viewer/2022103016/552fc180497959413d8f15f8/html5/thumbnails/91.jpg)
A B
D C
![Page 92: COLÉGIO CRISTO REI – GEOMETRIA PLANA PROF : ADRIANO LOURENÇO](https://reader037.vdocuments.site/reader037/viewer/2022103016/552fc180497959413d8f15f8/html5/thumbnails/92.jpg)
A B
D C
![Page 93: COLÉGIO CRISTO REI – GEOMETRIA PLANA PROF : ADRIANO LOURENÇO](https://reader037.vdocuments.site/reader037/viewer/2022103016/552fc180497959413d8f15f8/html5/thumbnails/93.jpg)
A B
D C
![Page 94: COLÉGIO CRISTO REI – GEOMETRIA PLANA PROF : ADRIANO LOURENÇO](https://reader037.vdocuments.site/reader037/viewer/2022103016/552fc180497959413d8f15f8/html5/thumbnails/94.jpg)
A B
D C
![Page 95: COLÉGIO CRISTO REI – GEOMETRIA PLANA PROF : ADRIANO LOURENÇO](https://reader037.vdocuments.site/reader037/viewer/2022103016/552fc180497959413d8f15f8/html5/thumbnails/95.jpg)
A B
D C
![Page 96: COLÉGIO CRISTO REI – GEOMETRIA PLANA PROF : ADRIANO LOURENÇO](https://reader037.vdocuments.site/reader037/viewer/2022103016/552fc180497959413d8f15f8/html5/thumbnails/96.jpg)
A B
D C
![Page 97: COLÉGIO CRISTO REI – GEOMETRIA PLANA PROF : ADRIANO LOURENÇO](https://reader037.vdocuments.site/reader037/viewer/2022103016/552fc180497959413d8f15f8/html5/thumbnails/97.jpg)
A B
D C
![Page 98: COLÉGIO CRISTO REI – GEOMETRIA PLANA PROF : ADRIANO LOURENÇO](https://reader037.vdocuments.site/reader037/viewer/2022103016/552fc180497959413d8f15f8/html5/thumbnails/98.jpg)
A B
D C
![Page 99: COLÉGIO CRISTO REI – GEOMETRIA PLANA PROF : ADRIANO LOURENÇO](https://reader037.vdocuments.site/reader037/viewer/2022103016/552fc180497959413d8f15f8/html5/thumbnails/99.jpg)
A B
D C
![Page 100: COLÉGIO CRISTO REI – GEOMETRIA PLANA PROF : ADRIANO LOURENÇO](https://reader037.vdocuments.site/reader037/viewer/2022103016/552fc180497959413d8f15f8/html5/thumbnails/100.jpg)
A B
D C
![Page 101: COLÉGIO CRISTO REI – GEOMETRIA PLANA PROF : ADRIANO LOURENÇO](https://reader037.vdocuments.site/reader037/viewer/2022103016/552fc180497959413d8f15f8/html5/thumbnails/101.jpg)
Retângulo ABCD é a seção meridiana do cilindro.
2R
SeçãoSeçãoMeridianaMeridiana
A
B
C
DOO**
O’O’**h Se ABCDSe ABCD
é um quadrado é um quadrado cilindro eqüiláterocilindro eqüilátero
Cilindro eqüilátero é o cilindro reto em que h = Cilindro eqüilátero é o cilindro reto em que h = 2R2R
Seção Seção MeridianaMeridiana
![Page 102: COLÉGIO CRISTO REI – GEOMETRIA PLANA PROF : ADRIANO LOURENÇO](https://reader037.vdocuments.site/reader037/viewer/2022103016/552fc180497959413d8f15f8/html5/thumbnails/102.jpg)
Planificação :
Rx
h
![Page 103: COLÉGIO CRISTO REI – GEOMETRIA PLANA PROF : ADRIANO LOURENÇO](https://reader037.vdocuments.site/reader037/viewer/2022103016/552fc180497959413d8f15f8/html5/thumbnails/103.jpg)
Rx
h
Planificação :
![Page 104: COLÉGIO CRISTO REI – GEOMETRIA PLANA PROF : ADRIANO LOURENÇO](https://reader037.vdocuments.site/reader037/viewer/2022103016/552fc180497959413d8f15f8/html5/thumbnails/104.jpg)
Rx
h
Planificação :
![Page 105: COLÉGIO CRISTO REI – GEOMETRIA PLANA PROF : ADRIANO LOURENÇO](https://reader037.vdocuments.site/reader037/viewer/2022103016/552fc180497959413d8f15f8/html5/thumbnails/105.jpg)
Rx
h
Planificação :
![Page 106: COLÉGIO CRISTO REI – GEOMETRIA PLANA PROF : ADRIANO LOURENÇO](https://reader037.vdocuments.site/reader037/viewer/2022103016/552fc180497959413d8f15f8/html5/thumbnails/106.jpg)
R
h
x
Planificação :
![Page 107: COLÉGIO CRISTO REI – GEOMETRIA PLANA PROF : ADRIANO LOURENÇO](https://reader037.vdocuments.site/reader037/viewer/2022103016/552fc180497959413d8f15f8/html5/thumbnails/107.jpg)
R
h
x
Planificação :
![Page 108: COLÉGIO CRISTO REI – GEOMETRIA PLANA PROF : ADRIANO LOURENÇO](https://reader037.vdocuments.site/reader037/viewer/2022103016/552fc180497959413d8f15f8/html5/thumbnails/108.jpg)
R
h
x
Planificação :
![Page 109: COLÉGIO CRISTO REI – GEOMETRIA PLANA PROF : ADRIANO LOURENÇO](https://reader037.vdocuments.site/reader037/viewer/2022103016/552fc180497959413d8f15f8/html5/thumbnails/109.jpg)
R
h
x
Planificação :
![Page 110: COLÉGIO CRISTO REI – GEOMETRIA PLANA PROF : ADRIANO LOURENÇO](https://reader037.vdocuments.site/reader037/viewer/2022103016/552fc180497959413d8f15f8/html5/thumbnails/110.jpg)
R
h
x
Planificação :
![Page 111: COLÉGIO CRISTO REI – GEOMETRIA PLANA PROF : ADRIANO LOURENÇO](https://reader037.vdocuments.site/reader037/viewer/2022103016/552fc180497959413d8f15f8/html5/thumbnails/111.jpg)
R
h
x
Planificação :
![Page 112: COLÉGIO CRISTO REI – GEOMETRIA PLANA PROF : ADRIANO LOURENÇO](https://reader037.vdocuments.site/reader037/viewer/2022103016/552fc180497959413d8f15f8/html5/thumbnails/112.jpg)
R
h
x
Planificação :
![Page 113: COLÉGIO CRISTO REI – GEOMETRIA PLANA PROF : ADRIANO LOURENÇO](https://reader037.vdocuments.site/reader037/viewer/2022103016/552fc180497959413d8f15f8/html5/thumbnails/113.jpg)
R
h
x
Planificação :
![Page 114: COLÉGIO CRISTO REI – GEOMETRIA PLANA PROF : ADRIANO LOURENÇO](https://reader037.vdocuments.site/reader037/viewer/2022103016/552fc180497959413d8f15f8/html5/thumbnails/114.jpg)
R
h
x
Planificação :
![Page 115: COLÉGIO CRISTO REI – GEOMETRIA PLANA PROF : ADRIANO LOURENÇO](https://reader037.vdocuments.site/reader037/viewer/2022103016/552fc180497959413d8f15f8/html5/thumbnails/115.jpg)
R
h
x
Planificação :
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R
h
x
Planificação :
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R
h
x
Planificação :
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R
h
x
Planificação :
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R
h
x
Planificação :
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R
h
x
Planificação :
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R
h
x
Planificação :Planificação :
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R
h
xR
R
2R
Planificação :
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Áreas e Volumes
AALL = 2 = 2 Rh RhAALL = 2 = 2 Rh Rh
At = AL+ 2 AbAt = AL+ 2 Ab
V = R R22. hV = R R22. h
Área Lateral( AL )
Área Total( At )
Volume( V )
AAbb = = R R22AAbb = = R R22Área Base( Ab )
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UFRGS 2012
Tomando a aresta da base a e a altura h temos o volume V:
Dobrando a aresta da base e reduzindo a altura a metade teremos o novo volume V1:
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ESTUDO DA RETA
GEOMETRIA ANALÍTICA
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x
y
O (0, 0)
1º quadrante2º quadrante
3º quadrante 4º quadrante
eixo das abscissas
eixo das ordenadas
Origem
PLANO CARTESIANO
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P
x
y
O
4
3
P(3, 4)
COORDENADAS NO PLANO
3 é a abscissa de P;
4 é a ordenada de P;
3 e 4 são as coordenadas de P;
P(x, y)
Em geral:
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BISSETRIZES NO PLANO
x
y
y = xy = –x
1ª bissetriz2ª bissetriz
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EQUAÇÃO GERAL DA RETA A toda reta contida no sistema xOy de
coordenadas cartesianas está associada uma equação de 1.º grau, nas variáveis x e y. Essa equação se verifica para todos os pontos da reta, e só eles.
Retas paralelas aos eixos;
Retas não-paralelas aos eixos;
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RETAS PARALELAS AOS EIXOS A figura mostra duas retas r e s, contidas no
plano cartesiano xOy.
x
y
O 4
2
r
s
Equação da reta r: x = 4
Equação da reta s: y = 2
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RETAS NÃO-PARALELAS AOS EIXOS A figura mostra a reta r, contidas no plano cartesiano xOy, determinada pelos pontos A(2, 1) e B(3, 3).
x
y
O 3
1
r
2
3
P(x, y) ∊ AB A, B e P ⇒estão alinhados
x y 1
1 2 1
3 3 1= 0
x + 3y + 6 – 3 – 3x – 2y = 0
⇒ y – 2x + 3 = 0
A
BP(x, y)
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EXEMPLOS Analisar se M(2, –1) e N(3, 5) são pontos da
reta de equação geral 5x + y – 9 = 0.
⇒ 5.2 + (–1) – 9 = 0
Para que cada ponto pertença à reta, suas coordenadas devem satisfazer a equação.
M(2, –1) ⇒ 10 –1 – 9 = 0 ⇒ 0 = 0
⇒ 5.3 + 5 – 9 = 0N(3, 5) ⇒ 15 + 5 – 9 = 0 ⇒ 11 ≠ 0
Concluímos que M é ponto da reta dada, mas N não é.
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40 m
INCLINAÇÃO DE UMA RETA Imagine um carro subindo uma rampa reta,
conforme figura. Suponha que para cada 40 m percorridos na horizontal, a pista se eleve 6 m.
40 m
6 m
O ângulo α que a rampa forma com a horizontal é o ângulo de inclinação da rampa. O valor de tg α é a inclinação da rampa.
6 mInclinação = tg α = = 0,15
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INCLINAÇÃO DE UMA RETA Vamos analisar agora duas situações
extremas. Quando o carro percorre um trecho horizontal,
dizemos que a rampa tem inclinação 0 e que o ângulo de inclinação é 0º. (tg 0o = 0).
α = 0o ⇒ Inclinação = tg α = tg 0o = 0
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INCLINAÇÃO DE UMA RETA Vamos analisar agora duas situações
extremas. O auto não sobe uma rampa vertical.
Nesse caso, não se define a inclinação da rampa e o ângulo de inclinação é 90º. (tg 90º = Não é definido).
α = 90o
⇓
Inclinação não se define.
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Q
INCLINAÇÃO DE UMA RETA Considere uma reta r, não paralela aos eixos
x e y, contida no plano cartesiano xOy.
x
y
O
yQ
yP
xQxP
P
M
xQ – xP
yQ – yP
Inclinação = tg α
yQ– yP
xQ– xP
a = tg α =
x
y a =
r
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INCLINAÇÃO DE UMA RETA Convém lembrar as tangentes de alguns
ângulos importante:
a = tg 30º =
x
y
O30ºM
3√3
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INCLINAÇÃO DE UMA RETA Convém lembrar as tangentes de alguns
ângulos importante:
a = tg 45º = 1
x
y
O45ºM
![Page 139: COLÉGIO CRISTO REI – GEOMETRIA PLANA PROF : ADRIANO LOURENÇO](https://reader037.vdocuments.site/reader037/viewer/2022103016/552fc180497959413d8f15f8/html5/thumbnails/139.jpg)
INCLINAÇÃO DE UMA RETA Convém lembrar as tangentes de alguns
ângulos importante:
a = tg 60º = √3
x
y
O
60ºM
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INCLINAÇÃO DE UMA RETA Convém lembrar as tangentes de alguns
ângulos importante:
x
y
O
120º
M
a = tg 120º = – tg 60º = –√3
![Page 141: COLÉGIO CRISTO REI – GEOMETRIA PLANA PROF : ADRIANO LOURENÇO](https://reader037.vdocuments.site/reader037/viewer/2022103016/552fc180497959413d8f15f8/html5/thumbnails/141.jpg)
INCLINAÇÃO DE UMA RETA Convém lembrar as tangentes de alguns
ângulos importante:
a = tg 135º = – tg 45º = – 1
x
y
O
135º
M
![Page 142: COLÉGIO CRISTO REI – GEOMETRIA PLANA PROF : ADRIANO LOURENÇO](https://reader037.vdocuments.site/reader037/viewer/2022103016/552fc180497959413d8f15f8/html5/thumbnails/142.jpg)
INCLINAÇÃO DE UMA RETA Convém lembrar as tangentes de alguns
ângulos importante:
a = tg 150º = – tg 30º =
x
y
O
150º
M
3–√3
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EXEMPLOS Em cada caso, obter a inclinação e
classificar o ângulo α de inclinação da reta MN.
x
y
Oα
M
N
–2 1
3
5
xN – xM
yN – yM a = tg α =
1 – (–2)5 – 3
a =
32
a =
a > 0 e α é agudo(α < 90º)
a) M(–2, 3) e N(1, 5)
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INCLINAÇÃO DE UMA RETA - RESUMO
O ângulo de inclinação α de uma reta é tal que 0º ≤ α ≤ 180º.
Sua inclinação a pode ser positiva, negativa ou nula, conforme a medida do ângulo α (α ≠ 90º).
α = 0º ⇔ a = 0.
0º < α < 90º ⇔ a > 0.
α = 90º ⇔ a inclinação a não é definida.
90º < α < 180º ⇔ a < 0.
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EXEMPLOS Achar as inclinações das retas r, s e t da
figura abaixo.
x
y
O120º45º 45º
r st
ar = tg 45º = 1
as = tg 45º = 1 at = tg 120º – √3= – tg 60º =
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EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA Uma reta é determinada, quando são dados sua inclinação e um de seus pontos. Suponhamos no plano xOy, uma reta r que passa por A(2, 3) e têm ângulo de inclinação α = 135º.
Vamos obter a equação da reta r.
x
y
O
135º
A
2
3M(x, y)
xM – xA
yM – yA
a = tg 135º = –1.
x – 2
y – 3 –1 = a =
y – 3 = –1(x – 2)
y – 3 = –1x + 2
y = –1x + 5
⇒
y = –x + 5
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EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA – CASO GERAL Suponhamos que uma reta r de inclinação a = tg α e
que passe pelo ponto P(xP, yP), como mostra a figura.
x
y
Oα
P
xP
yP
M (x, y) xM – xA
yM – yA
x – xP
y – yP a = a =
y – yP = a(x – xP)
⇒
⇒ y – yP = ax – axP ⇒ y = ax + (–axP + yP)
⇒ y = ax + b Equação reduzida da reta
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EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA Na equação reduzida y = ax + b, temos:
Significa que a reta passa pelo ponto (0, b) → ponto do eixo y.
x = 0 ⇒ y = a.0 + b
⇒ y = b
O coeficiente a é a inclinação da reta; ele é também chamado, por isso, coeficiente angular da reta.
O coeficiente b é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo y; ele é chamado de coeficiente linear da reta.
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EXEMPLOS Veja a representação da reta r: 2x – y + 4 =
0 no plano xOy.
x
y
O
r
–2
4
y = 2x + 4
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EXEMPLOS O gráfico a seguir mostra uma reta s.
Encontrar a equação reduzida e uma equação geral para essa reta.
x
y
O
s
45º
2
y = ax + b
A reta corta o eixo y no ponto de ordenada 2, ponto (0, 2), logo b = 2.
α = 180º – 45º = 135ºa = tg 135º = –1.
y = – x + 2
⇒ x + y – 2 = 0
α
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EXEMPLOS Achar a equação reduzida da reta r que
passa pelos pontos A(–2, 6) e B(1, –3).
xA – xB
yA – yB
–2 – 16 –(–3)
a =xy
= =
Primeiro vamos calcular a inclinação da reta.
–39
= ⇒ a = –3
Utilizando o ponto A(–2, 6), por exemplo, obtemos a equação
fundamental, em seguida a equação reduzida da reta.
y – yP = a(x – xP) ⇒ y – 6 = –3(x + 2)
⇒ y – 6 = –3x – 6 ⇒ y = –3x
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Formulário Geometria Analítica
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![Page 155: COLÉGIO CRISTO REI – GEOMETRIA PLANA PROF : ADRIANO LOURENÇO](https://reader037.vdocuments.site/reader037/viewer/2022103016/552fc180497959413d8f15f8/html5/thumbnails/155.jpg)
![Page 156: COLÉGIO CRISTO REI – GEOMETRIA PLANA PROF : ADRIANO LOURENÇO](https://reader037.vdocuments.site/reader037/viewer/2022103016/552fc180497959413d8f15f8/html5/thumbnails/156.jpg)
UFRGS 2012
![Page 157: COLÉGIO CRISTO REI – GEOMETRIA PLANA PROF : ADRIANO LOURENÇO](https://reader037.vdocuments.site/reader037/viewer/2022103016/552fc180497959413d8f15f8/html5/thumbnails/157.jpg)
(0-2)²+(0-3)²=10 ????
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ANÁLISE DE GRÁFICOS
Exemplo 1: Construa o gráfico da função f: dado por f(x) = 2x + 1 e determine o conjunto
imagem.
1º) Iremos montar uma tabela atribuindo os pontos para o plano cartesiano:
x f (x) = 2.x + 1
(x ; y)
-2 2. (-2) + 1 = -3
(-2 ; -3)
-1 2. (-1) + 1 = -1
(-1 ; -1)
0 2. (0) + 1 = 1
(0 ; 1)
1 2. (1) + 1 = 3
(1 ; 3)
2 2. (2) + 1 = 5
(2 ; 5)
Como o domínio são todos os reais, podemos escolher qualquer valor para “x”
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ANÁLISE DE GRÁFICOS
x f (x) = 2.x + 1
(x ; y)
-2 2. (-2) + 1 = -3
(-2 ; -3)
-1 2. (-1) + 1 = -1
(-1 ; -1)
0 2. (0) + 1 = 1
(0 ; 1)
1 2. (1) + 1 = 3
(1 ; 3)
2 2. (2) + 1 = 5
(2 ; 5)
Domínio: RContradomínio: RImagem: R
f (x) = 2x + 1y
x
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ANÁLISE DE GRÁFICOS
Exemplo 2: O gráfico abaixo representa uma função. Determine o que se pede.
y
x-2 0 1 2 3
1
3f (-2) =
f (0) =
f (2) =
Domínio:
Imagem:
3
3
1
[-2 ; 3]
[1 ; 3]
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ANÁLISE DE GRÁFICOSExemplo 3: Determine entre os gráficos abaixo quais deles representam uma função.
y
x
y
x
y
x
Não é função
É funçãoÉ função
É funçãoÉ funçãoNão é função
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y
x
y
x
FUNÇÃO DO 1º GRAUCRESCENTE E DECRESCENTE – GRÁFICO
FUNÇÃO CRESCENTE: a > 0 FUNÇÃO DECRESCENTE: a < 0
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FUNÇÃO DO 2º GRAU - GRÁFICO
ponto cponto c
Reta decrescenteb < 0
Reta crescenteb > 0
EXEMPLOS:
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EXEMPLO: (UFRGS – 2011) O gráfico do polinômio de coeficientes reais p(x) = ax2 + bx + c está representado abaixo.
FUNÇÃO DO 2º GRAU - GRÁFICO
Com base nos dados desse gráfico, é correto afirmar que os coeficientes a, b e c satisfazem as desigualdades
a) a > 0; b < 0; c < 0.b) a > 0; b < 0; c > 0.c) a > 0; b > 0; c > 0.d) a > 0; b > 0; c < 0.e) a < 0; b < 0; c < 0.
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y = x2 y = ( x + 1)2
y = ( x – 3)2
Translação Horizontal
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y = x2 y = x2 + 2
y = x2 - 1
Translação Vertical
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y = x2 y = (x + 1)2 – 3 y = (x – 2)2 + 1
Translação Horizontal + Vertical
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y = x2
y = – x2
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y = x2 – 4
y = – x2 + 4
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y = x
y = | x |
Módulo de uma Função
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y = x2 – 4 y = | x2 – 4 |
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y = (x + 2)2 – 3 y = | (x + 2)2 – 3 |