TOPOGRAFIA
Manaus, 2019
Prof. Antonio Estanislau SanchesEngenheiro Cartógrafo
Apostila 6CÁLCULO de COORDENADAS
através de POLIGONAL
CÁLCULO DA POLIGONAL
Inicia-se o cálculo a partir do ponto de partida:
A partir da coordenada do ponto P1 será possível calcular a coordenada do próximo ponto e assim por diante.
CÁLCULO DO AZIMUTEA orientação é dada apenas para uma direção da poligonal. É preciso calcular os azimutes para todas as demais direções da poligonal, Através dos ângulos horizontais medidos em campo.
Do azimute inicial da direção OPP-P1 e do ângulo horizontal
externo OPP-P1-P2 (aqui denominado de α, medido no sentido
horário) chega-se ao azimute da direção P1-P2.
P2
CÁLCULO DO AZIMUTE
Se o valor do azimute for maior que 360º deve-se subtrair 360º. Se for negativo deverá ser somado 360º ao resultado.
Para ângulos medidos no sentido anti-horário, deve-se somar 180º e subtrair o valor de α do azimute.
������� = ��é +� − 180�
ERRO DE FECHAMENTO ANGULAR
Para uma poligonal fechada, antes de calcular o azimute das direções, é necessário fazer a verificação dos ângulos medidos. Sendo a poligonal uma figura fechada, é possível verificar se houve algum erro na medição dos ângulos.
Num polígono qualquer, o somatório dos ângulos externos deverá ser igual a:
Soma dos ângulos medidos = (n + 2) . 180ºonde n é o número de estações da poligonal.
OuSoma dos ângulos medidos = (no inteiros de 180º)*180º
ERRO DE FECHAMENTO ANGULAR
O erro angular ( ) será dado por:
= (n + 2).180º –
= (no inteiros de 180º)*180º –
Para ângulos internos o somatório deverá ser igual ao número de estações menos dois, multiplicado por 180º.
ae ae
ae
ae = (n – 2).180º – ∑α
O erro angular será distribuído de forma inversamente proporcional aotamanho dos lados, ou seja, o menor lado, recebe a maior correção angular; ficando o sinal da correção contrário ao sinal do erro.
∑externos
ae ∑externos
= (no inteiros de 180º)*180º –ae ∑ externos
TOLERÂNCIA DO ERRO DE FECHAMENTO ANGULAR
A tolerância do erro angular TOL(ε) é igual a tolerância angular do equipamento vezes a raiz quadrada do número de estações:
O , em módulo, deve ser menor que ae
nerroaTOL *=ε
No DET-2 a tolerância angular (TOLεα) é de 1,5’
aTOLξ
ERRO DE FECHAMENTO LINEARA partir do ponto de partida (0PP), calculam-se as coordenadas dos demais pontos atéretornar ao ponto de partida.
A diferença entre as coordenadas calculadas e as fornecidas para este ponto resultará no ERRO LINEAR ou erro planimétrico cometido.
)(*ABAB
AzsenDEE += )cos(*ABAB
AzDNN +=
TOLERÂNCIA DO ERRO FECHAMENTO LINEARComo os ângulos foram previamente ajustados, este erro decorre de imprecisões na medição dasdistâncias.
Os valores de e podem ser calculados por:
O erro planimétrico é decomposto em componentes na direção E (eixo X) e na direção N (eixo Y).
Ex ee =Ny ee =
)()( fornecidoE
calculadoE
E oppoppe −=
)()( fornecidoN
calculadoN
N oppoppe −=
( ) 21
22NEp eee +=
O Erro Linear
será dado por
pe
TOLERÂNCIA DO ERRO FECHAMENTO LINEARPRECISÃO DA POLIGONAL
Se Z > Denominador Tolerância LinearAceita-se o fechamento da poligonal
A precisão da poligonal será definida por “Z”, sendoZ = ΣD / ep ouSomatótio das distâncias dividido pelo erro linear.
CORREÇÃO DO ERRO LINEARAs correções às coordenadas serão proporcionais às distâncias medidas. Quanto maior for a distância, maior será a correção.
RESUMO DO CÁLCULO DA POLIGONAL
• Determinação das coordenadas do ponto de partida;• Determinação da orientação da poligonal;• Cálculo do erro de fechamento angular pelo somatório dos ângulos internos ouexternos (sentido horário ou anti-horário);• Distribuição do erro de fechamento angular;• Cálculo dos Azimutes;• Cálculo das coordenadas parciais (X, Y);• Cálculo do erro de fechamento linear;• Cálculo das coordenadas definitivas (XC, YC)..
CÁLCULO de uma POLIGONAL
Calcular as coordenadas dos pontos da poligonal (fechada) cujas informações de campo aparecem descritas abaixo:
Azimute da Direção P 1 p/ S A T = 15º 28' 29”Coordenadas P 1 => ( E ; N ) = (600,0 ; 750,0)Tolerância angular = 2' m1/2 ; (sendo m = número de ângulos (α) medidos na poligonal)
Tolerância linear = 1 : 1.000
SOLUÇÃO do CÁLCULO da POLIGONAL
Somaα= 106º59’30” + 143º20’20” + 28º20’09” + 153º54’48” + 287º28’02”
Erro Ang = -0,04694o
60,64
0,6215
0,6215
’’
SOLUÇÃO do CÁLCULO da POLIGONAL
����� =�
�1→−0,6215
60,64→ − ! "#$"
����& =�
�2→−0,6215
53,47→ − ! ")*"
����+ =�
�3→−0,6215
73,41→ − ! "#,"
����- =�
�4→−0,6215
37,43→ − !," "
Azimute direção P1 para SAT 15o 28' 29"
Estação Vante Az Ré-vante(hms) ALFA(hms) Cang(hms) ALFACorrig(hms)
P 1 P 2 195o 28' 29" 106o 59' 30" -0o 00' 37" 106o 58' 53"
P 2 P 3 122o 27' 22" 143o 20' 20" -0o 00' 42" 143o 19' 38"
P 3 P 4 85o 47' 00" 28o 20' 09" -0o 00' 30" 28o 19' 39"
P 4 P 1 294o 06' 39" 153o 54' 48" -0o 01' 00" 153o 53' 48"
P 1 SAT 268o 00' 27" 287o 28' 02"
Somaα = 720o 02' 49"(n-1)*180 = 720o 00' 00"
Erro Angular = -0o 02' 49"
Calc K = -0,6215
CÁLCULO DA POLIGONAL
2. CÁLCULO DAS COORDENADAS PARCIAIS
Após o cálculo dos azimutes é possível determinar as coordenadas dos pontos intermediários.
1. CÁLCULO DOS AZIMUTES
SOLUÇÃO do CÁLCULO da POLIGONAL
SOLUÇÃO POLIGONAL SLIDE
Coordenadas AzP1-SAT(hms)
P 1 600,00 750,00 15,2829
Estação Vante Az Ré-vante(hms) ALFA(hms) Cang(hms) ALFACorrig(hms) Az Vante(hms)Distancia E(estação) N(estação) E(vante) N(vante)
P 1 P 2 195o 28' 29" 106o 59' 30" -0o 00' 37" 106o 58' 53" 122o 27' 22" 60,64 600,00 750,00 651,17 717,46
P 2 P 3 122o 27' 22" 143o 20' 20" -0o 00' 42" 143o 19' 38" 85o 47' 00" 53,47 651,17 717,46 704,49 721,39
P 3 P 4 85o 47' 00" 28o 20' 09" -0o 00' 30" 28o 19' 39" 294o 06' 39" 73,41 704,49 721,39 637,49 751,38
P 4 P 1 294o 06' 39" 153o 54' 48" -0o 01' 00" 153o 53' 48" 268o 00' 27" 37,43 637,49 751,38 600,08 750,08
P 1 SAT 268o 00' 27" 287o 28' 02" 224,95 `= Soma
Somaα = 720o 02' 49"
(n-1)*180 = 720o 00' 00"
Erro Angular = -0o 02' 49"
Calc K = -0,6215
�������=��é+� −180�
)(*ABAB
AzsenDEE +=
)cos(*ABAB
AzDNN +=
SOLUÇÃO do CÁLCULO da POLIGONAL
SOLUÇÃO POLIGONAL SLIDE
Coordenadas AzP1-SAT(hms)
P 1 600,00 750,00 15,2829
Estação Vante Az Ré-vante(hms) ALFA(hms) Cang(hms) ALFACorrig(hms) Az Vante(hms)Distancia E(estação) N(estação) E(vante) N(vante)
P 1 P 2 195o 28' 29" 106o 59' 30" -0o 00' 37" 106o 58' 53" 122o 27' 22" 60,64 600,00 750,00 651,17 717,46
P 2 P 3 122o 27' 22" 143o 20' 20" -0o 00' 42" 143o 19' 38" 85o 47' 00" 53,47 651,17 717,46 704,49 721,39
P 3 P 4 85o 47' 00" 28o 20' 09" -0o 00' 30" 28o 19' 39" 294o 06' 39" 73,41 704,49 721,39 637,49 751,38
P 4 P 1 294o 06' 39" 153o 54' 48" -0o 01' 00" 153o 53' 48" 268o 00' 27" 37,43 637,49 751,38 600,08 750,08
P 1 SAT 268o 00' 27" 287o 28' 02" 224,95 `= Soma
Somaα = 720o 02' 49"
(n-1)*180 = 720o 00' 00"
Erro Angular = -0o 02' 49"
Calc K = -0,6215
�������=��é+� −180�
)(*ABAB
AzsenDEE +=
)cos(*ABAB
AzDNN +=
SOLUÇÃO do CÁLCULO da POLIGONAL
SOLUÇÃO POLIGONAL SLIDE
Coordenadas AzP1-SAT(hms)
P 1 600,00 750,00 15,2829
Estação Vante Az Ré-vante(hms) ALFA(hms) Cang(hms) ALFACorrig(hms) Az Vante(hms)Distancia E(estação) N(estação) E(vante) N(vante)
P 1 P 2 195o 28' 29" 106o 59' 30" -0o 00' 37" 106o 58' 53" 122o 27' 22" 60,64 600,00 750,00 651,17 717,46
P 2 P 3 122o 27' 22" 143o 20' 20" -0o 00' 42" 143o 19' 38" 85o 47' 00" 53,47 651,17 717,46 704,49 721,39
P 3 P 4 85o 47' 00" 28o 20' 09" -0o 00' 30" 28o 19' 39" 294o 06' 39" 73,41 704,49 721,39 637,49 751,38
P 4 P 1 294o 06' 39" 153o 54' 48" -0o 01' 00" 153o 53' 48" 268o 00' 27" 37,43 637,49 751,38 600,08 750,08
P 1 SAT 268o 00' 27" 287o 28' 02" 224,95 `= Soma
Somaα = 720o 02' 49"
(n-1)*180 = 720o 00' 00"
Erro Angular = -0o 02' 49"
Calc K = -0,6215
�������=��é+� −180�
)(*ABAB
AzsenDEE +=
)cos(*ABAB
AzDNN +=
SOLUÇÃO do CÁLCULO da POLIGONAL
SOLUÇÃO POLIGONAL SLIDE
Coordenadas AzP1-SAT(hms)
P 1 600,00 750,00 15,2829
Estação Vante Az Ré-vante(hms) ALFA(hms) Cang(hms) ALFACorrig(hms) Az Vante(hms)Distancia E(estação) N(estação) E(vante) N(vante)
P 1 P 2 195o 28' 29" 106o 59' 30" -0o 00' 37" 106o 58' 53" 122o 27' 22" 60,64 600,00 750,00 651,17 717,46
P 2 P 3 122o 27' 22" 143o 20' 20" -0o 00' 42" 143o 19' 38" 85o 47' 00" 53,47 651,17 717,46 704,49 721,39
P 3 P 4 85o 47' 00" 28o 20' 09" -0o 00' 30" 28o 19' 39" 294o 06' 39" 73,41 704,49 721,39 637,49 751,38
P 4 P 1 294o 06' 39" 153o 54' 48" -0o 01' 00" 153o 53' 48" 268o 00' 27" 37,43 637,49 751,38 600,08 750,08
P 1 SAT 268o 00' 27" 287o 28' 02" 224,95 `= Soma
Somaα = 720o 02' 49"
(n-1)*180 = 720o 00' 00"
Erro Angular = -0o 02' 49"
Calc K = -0,6215
�������=��é+� −180�
)(*ABAB
AzsenDEE +=
)cos(*ABAB
AzDNN +=
Evante Nvante
P 1 600,00 750,00 Coord. Partida
P 2 651,17 717,46
P 3 704,49 721,39
P 4 637,49 751,38
P 1 600,08 750,08 Coord. Chegada
-0,08 -0,08 erro linear por eixo
eE eN
ep = 0,11 erro padrão
Calc Z = 1.988
SOLUÇÃO do CÁLCULO da POLIGONAL
Cálculo do erro linear eixo E => eE= 600,00 – 600,08 => eE= – 0,08 mCálculo do erro linear eixo N => eN = 750,00 – 750,08 => eN= – 0,08 m
Cálculo do erro linear EP = [(eE)2 + (eN)2]1/2 => EP = 0,11 m
Z = Soma lados / EP => 224,95 / 0,11 => Z = 1.988 > 1.000 ok
Distribuir os erros lineares entre as coordenadas, de forma diretamente proporcinalàs distâncias, zerando os erros.
SOLUÇÃO do CÁLCULO da POLIGONAL
E N
600,00 750,00 Coord Original P1
600,08 750,08 Coord Calculada P1
-0,08 -0,08 Erro em E e N
eE eN
CE2 = (-0,08)*(60,64/224,95) ou -0,02 m
CN2 = (-0,08)*(60,64/224,95) ou -0,02 m
SOLUÇÃO do CÁLCULO da POLIGONAL
E N
600,00 750,00 Coord Original P1
600,08 750,08 Coord Calculada P1
-0,08 -0,08 Erro em E e N
eE eN
CE2 = (-0,08)*(53,47/224,95) ou -0,02 m
CN2 = (-0,08)*(53,47/224,95) ou -0,02 m
SOLUÇÃO do CÁLCULO da POLIGONAL
E N
600,00 750,00 Coord Original P1
600,08 750,08 Coord Calculada P1
-0,08 -0,08 Erro em E e N
eE eN
CE2 = (-0,08)*(73,41/224,95) ou -0,03 m
CN2 = (-0,08)*(73,41/224,95) ou -0,03 m
SOLUÇÃO do CÁLCULO da POLIGONAL
E N
600,00 750,00 Coord Original P1
600,08 750,08 Coord Calculada P1
-0,08 -0,08 Erro em E e N
eE eN
CE2 = (-0,08)*(37,43/224,95) ou -0,01 m
CN2 = (-0,08)*(37,43/224,95) ou -0,01 m
SOLUÇÃO do CÁLCULO da POLIGONAL
DESENHO da POLIGONAL
F I MF I MF I MF I M