CINEMATIQUE DU POINTCINEMATIQUE DU POINT
OBJECTIFS : - Décrire les principales grandeurs cinématiques (position,vitesse,accélération).
- Définir la trajectoire d’un point d’un solide ou le mouvement du solide.
- Exprimer une loi qui permette d’exprimer la position, la vitesse et l’accélération d’un solide en mouvement de translation rectiligne.
I- CARACTERISTIQUES DU POINT D’UN SOLIDE : I- CARACTERISTIQUES DU POINT D’UN SOLIDE :
1- Sa position :
c’est la distance s parcourue sur la trajectoire depuis l’origine
s = f(t)
M
(S)
s
On appelle trajectoire du point (M) d’un solide (S) l’ensemble des positions occupées successivement par ce point au cours de son déplacement par rapport à un référentiel donné.
Notation : TMS/R = trajectoiredu point M appartenant à S,par rapport au repère R.
M
(S)
s TMS/R
2- Sa trajectoire :2- Sa trajectoire :
Mouvement de S/R Trajectoire TMS/R
Translation rectiligne Droite (point, axe)
Translation circulaire Cercle (centre, rayon)
Rotation à axe fixe Cercle (centre, rayon)
Hélicoïdal Hélice (pas)
Plan sur plan Courbe quelconque dans le plan
Sa trajectoire en fonction du Sa trajectoire en fonction du mouvement :mouvement :
c’est le rapport de la distance s parcourue par la variation de temps t correspondante
V moyenne = s / t
unités : [m/s] =[m]/[s]
Exemple : un sprinter parcourt le 100 m en 10s.Sa vitesse moyenne est de …
M
(S)
s
3- Sa vitesse 3- Sa vitesse moyenne: moyenne:
c’est la dérivée de la position par rapport au temps .
V = s’(t)
unités : [m/s]
M
(S)
s
4- Sa vitesse 4- Sa vitesse instantanée: instantanée:
- l’accélération tangentielle : c’est la dérivée (variation) de la vitesse par rapport au temps
at =V’ (t) unités : [m/s2]
- l’accélération normale : elle dépend du changementde direction du point M.
an =V 2/r unités : [m/s2]
M
(S)
s
5 - Son accélération :5 - Son accélération : elle s’oppose à elle s’oppose à l’inertiel’inertie
II- MOUVEMENT RECTILIGNE UNIFORME: MRUII- MOUVEMENT RECTILIGNE UNIFORME: MRU
2.1. Définition :
Instant t
x
Instant t0
x
x0
O
Origine du repère
CONDITIONS INITIALES CONDITIONS PARTICULIERES
t0 = 0 s : instant initial t : instant particulier du mouvement
x0 : le déplacement initial x : le déplacement à l’instant t
v = constante : la vitesse
a = 0 m/s2 : l’ accélération tangentielle
- La trajectoire du point du solide est une droite (an = 0)
- Son accélération tangentielle est nulle (at=0) donc sa vitesse est constante au cours du temps (v=constante) .
2.2 Conditions aux limites du mouvement :
a = 0
v = constante
x = v.t + x0
Nota : Pour écrire ces équations, il suffit de remplacer v et x0 par les valeurs trouvées.
2.3. 2.3. Équations du mouvement ou horaires:Équations du mouvement ou horaires:
2.4. 2.4. Graphes du mouvement:Graphes du mouvement:
Graphe des Graphe des abscissesabscisses
Graphe des vitessesGraphe des vitesses Graphe desGraphe des accélérationsaccélérations
x = v.t + x0
0 t
x0
x
v = constante
0 t
v0
v
a = 0 0 t
a
III- MOUVEMENT RECTILIGNE UNIFORMEMENT VARIE : III- MOUVEMENT RECTILIGNE UNIFORMEMENT VARIE : MRUVMRUV
3.1. Définition :
Instant t
x
Instant t0
x
x0
O
Origine du repère
CONDITIONS INITIALES CONDITIONS PARTICULIERES
t0 = 0 s : instant initial t : instant particulier du mouvement
x0 : le déplacement initial x : le déplacement à l’instant t
v0 : la vitesse initiale v : la vitesse à l’instant t
a = constante : l’ accélération tangentielle
- La trajectoire du point du solide est une droite (an = 0)
- Son accélération tangentielle est constante (at=constante).3.2 Conditions aux limites du mouvement :
Nota : Pour écrire ces équations, il suffit de remplacer a, v et x0 par les valeurs trouvées.
3.3. 3.3. Équations du mouvement ou horaires:Équations du mouvement ou horaires:
3.4. 3.4. Graphes du mouvement:Graphes du mouvement:
a = constante
v = a.t + v0
x = ½.a.t2 + v0.t + x0
Graphe des Graphe des abscissesabscisses
Graphe des vitessesGraphe des vitesses Graphe desGraphe des accélérationsaccélérations
v = a.t + v0
0 t
v0
v
x = ½.a.t2 + v0.t + x0
0 t
x0
x
a = constante
0 t
a
a
Départ arrêté, un dragster parcourt le 400m en 10 sDéterminer les équations du mouvement et sa
vitesse finale
Réponses : MRUV
Conditions Initiales
Conditions Finales
t0=0s t=10s
X0=0m X=400m
V0=0m/s V=
a =
x = ½.a.t2 + v0.t + x0
<=> 400 = ½.a.102 + 0.t + 0
=> a = 8 m/s2
V = a.t + v0
<=> V = 8.10 + 0=> V = 80 m/s = 288
km/h8 m/s2
80 m/s
Exercice 1:Exercice 1:
Équations du mouvement : pour 0 <t < 10s Il s’agit de donner les fonctions x(t), v(t) et a(t) en
remplaçant x0, v0 et a par leur valeur)
v = 8.t m/s
a = 8m/s2
x = 4.t2 m
Exercice 1:Exercice 1: suite suite
Une Mercedes coupé sport passe de 0 à 100km/h en 10sDéterminer les équations du mouvement et la distance de
la phase d’accélération
Réponses : MRUV avec v=(100/3,6)m/s à t=10s
v = a.t + v0
<=> 27,8 = a.10 + 0
=> a = 2,78 m/s2
CI CF
t0=0s t=10s
X0=0m X=
V0=0m/s V=27,8m/s
a =2,78 m/s2
x = ½.a.t2 + v0.t + x0
<=> x = ½.2,78.102 + 0.t + 0
=> x = 139 m
139 m
Exercice 2:Exercice 2:
x = 1,39.t2 m
v = 2,78.t m/s
a = 2,78 m/s2
Équations du mouvement : pour 0 <t < 10s Il s’agit de donner les fonctions x(t), v(t) et a(t) en
remplaçant x0, v0 et a par leur valeur)
Exercice 2:Exercice 2: suite suite
Une Mercedes coupé sport roule sur 300m à 100km/h sur une voie rapide
Déterminer les équations du mouvement et sa durée
Réponses : MRU avec v=(100/3,6)m/s à x=300m
Équations du mouvement :
CI CF
t0=0s t=
X0=0m X=300m
V0=27,8m/s V=27,8m/s
a = 0m/s2
x = v.t + x0
<=>300=27,8.t+0
=> t = 10,8 s
10,8 s
Exercice 3: Exercice 3:
pour 0 <t < 10,8s
x = 27,8.t m
v = 27,8 m/s
a = 0 m/s2
Une Mercedes coupé sport roule à 100km/h puis s’arrête sur 100 m
Déterminer les équations du mouvement et sa duréeRéponses : MRUV avec v0=(100/3,6)= 27,8 m/s et
x=100mCI CF
t0=0s t=
X0=0m X=100m
V0=27,8m/s V= 0 m/s
a =
v = a.t + v0 <=>0 = a.t + 27,8 (1)
x=½.a.t2+v0.t+x0 <=>100 =½.a.t2 + 27,8.t + 0 (2)
Exercice 4:Exercice 4:
v = -3,86.t + 27, 8m/s
a = -3,86 m/s2
Équations du mouvement : pour 0 <t < 7,2s
Résolution : (1) => a.t = - 27,8
Ds (2) => 100=½.(-27,8 ) .t + (27,8) .tt = 200 / 27,8 = 7,2 s
Ds (1) => a = - 27,8 / 7,2 = -3,86 m/s2
x = -1,93.t2 + 27, 8.tm
( Valeurs à indiquer dans le tableau des conditions limites du mouvement )
Exercice 4:Exercice 4: suite suite
a = (v2 – v02) / [2(x-x0)]
Afin de déterminer l’accélération sans connaître la durée du mouvement, on utilisera la formule :
Application à l’exercice précédent :
a = [02 – (27,8)2] / [2(100 - 0)] a = - 27,82 / 200 a = - 3,86 m/s2
formule formule utileutile
v = a . t + v0 0 = -3,86 . t + 27,8
t = -27,8 / -3,86 = 7,2 s
Tracer les graphes associés aux trois phases de mouvement de la Mercedes
0 10 20.8 28
139
439
539 x (m)
t (s)
0 10 20.8 28
27,8
V (m/s)
t (s)
0 10 20.8 28
2,78 a (m/s2)
t (s)
-3,86
Graphedes abscisses
Graphedes vitesses
Graphedes
accélérations
Exercice 5: Exercice 5:
Le chariot d’une machine de découpage laser atteint la vitesse de 10 cm/s en 2 secondes.
Le chariot évolue à vitesse constante pendant 8 secondes.
Il s’arrête ensuite en l’espace de 12,5 cm.Hypothèse : les accélérations et décélérations sont supposées
constantes.
1/ Déterminer la durée totale de l’opération de découpage ainsi que la distance parcourue.
2/ Tracer les graphes du mouvement du chariot.
Pour cela, évaluer, pour les trois phases de mouvement, les conditions aux limites ainsi que les équations horaires.
Exercice 6Exercice 6: (travail en autonomie): (travail en autonomie)
- Phase 1 : MRUV
CI CF
t0=0s t=2s
X0=0m X=
V0=0m/s V=0,10m/s
a =
V = a.t + V0
=> 0.10 = a . 2 + 0=> a = 0,05 m/s2
v = 0,05.t m/sa = 0,05 m/s2
Équations du mouvement de la phase 1 : 0 <t < 2s
Distance parcourue phase 1 :
x =½.a.t2+v0.t+x0
=> x = ½ . 0,05 . 22
=> x = 0,10 m
0,05m/s2
x = 0,025.t2 m
0,10 m
Corrigé Exercice 6: Corrigé Exercice 6:
Phase 2 : MRU
CI CF
t0=0s t=8s
X0=0m X=
V=V0=0,10m/s
a = 0 m/s2
X = V t + X0
=> X = 0,10 . 8 + 0=> X = 0,8 m
v = 0,10 m/s
a = 0 m/s2
Équations du mouvement de la phase 2 : 0 <t < 8s
x = 0,10.t m
0,8 m
Corrigé Exercice 6:Corrigé Exercice 6:
Phase 3 : MRUV
a=(v2 – v02) / [2(x-
x0)]=> a = -0,102 / [2 . 0,125]=> a = - 0,04 m/s2
v = -0,04t+ 0,10 m/s
a = -0,04 m/s2
Équations du mouvement de la phase 3 : 0 <t < 2,5s
CI CF
t0=0s t=
X0=0m X=0,125m
V0=0,10m/s V=0m/s
a =
Durée de l’arrêt :V = a t + V0
0 = -0,04 . t + 0,10
=> t = 2,5 s- 0,04 m/s2
x = -0,02.t2 + 0,10t m
2,5 s
Corrigé Exercice 6:Corrigé Exercice 6:
- Durée totale de l’opération :
t = 2 + 8 + 2,5 = 12,5 s
- Distance totale parcourue :
x = 0,10 + 0,8 + 0,125 = 1,025 m
Corrigé Exercice 6:Corrigé Exercice 6:
0 2 10 12,5
0,1
0,9
1,025 x (m)
t (s)
0
0,1
V (m/s)
t (s)
0
0,05 a (m/s2)
t (s)
-0,04
2 10 12,5
2 10 12,5
Graphedes abscisses
Graphedes vitesses
Graphedes
accélérations
Corrigé Exercice 6:Corrigé Exercice 6:
Un canon tire un obus verticalement.On supposera que l’obus n’est soumis qu’à
l’accélération de la pesanteur (g=9,81 m/s2).Conditions initiales du mouvement :
v0 = 400m/s, y0 = 0.
1) Quelle altitude atteint l’obus ?
2) Au bout de combien de temps touchera-t-il le sol ?
3) A quelle vitesse initiale aurait-il fallu tirer pour atteindre une altitude de 50 km ?
Exercice 7:Exercice 7: (travail en (travail en autonomie)autonomie)
1 - MRUV
CI CF
t0=0s t=
Y0=0m Y=
V0=400m/s V=0m/s
a = -9.81 m/s2
1/ calcul de l’altitude atteinte : a = (v2 – v0
2) / [2(y-y0)]-9,81 = (02 – 4002) / [2(Y – 0)] Y = -4002 / 2 . (-9,81)=> Y = 8 155 mdurée mouvement ascensionnel : V = a. t + V0
=> 0 = -9,81.t + 400=> t = 40,77 s
8 155 m
40,77 s
Corrigé Exercice 7:Corrigé Exercice 7:
2 / durée jusqu’au contact avec le sol :t = 2 x 40,77 (aller retour)t = 81,54 s
3 / vitesse initiale pour atteindre 50 km :
a = (v2 – v02) / [2 . (y-y0)]
-9,81 = (02 – V02) / [2 . (50 000 -
0)] -V0
2 = -9,81 x 100 000 V0 = 990 m/s = 3564 km/h
Corrigé Exercice 7:Corrigé Exercice 7: (suite) (suite)
18 m 27 m 81 m
La position d’un solide animé d’un mouvement de translation rectiligne est définie en mètres, en fonction du temps en secondes, par la relation x = 3.t2.
A quelle position se trouvera-t-il après 3 secondes du départ ?
Exercice QCM 8:Exercice QCM 8:
uniformeuniformément accéléréuniformément décéléré
La position d’un solide est définie par la relation :
x = 20 + 2.t
Son mouvement est donc :
Exercice QCM 9:Exercice QCM 9:
3 m/s2
6 m/s29 m/s2
Un véhicule roule à 20 km/h. Il accélère et après 6 secondes atteint la vitesse de 84,8 km/h.Calculer alors son accélération.
Exercice QCM 10:Exercice QCM 10:
x = 72.t – 2 t2 x = 20.t – 2 t2 x = 14,4.t – 5 t2
Un véhicule roule à 72 km/h et s’arrête en 5 secondes. Quelle équation définie sa position en fonction du temps ?
Exercice QCM 11:Exercice QCM 11:
20 m/s2 4 km/h 72 km/h
La vitesse d’un solide est définie en fonction du temps par l’équation v = 20 – 4.tQuelle est la vitesse du solide au début du mouvement ?
Exercice QCM 12:Exercice QCM 12:
80 s 16 s 5 s
La vitesse d’un solide est définie en fonction du temps par l’équation v = 20 – 4.tQuel est le temps mis pour obtenir l’arrêt du solide ?
Exercice QCM 13:Exercice QCM 13:
x = 20.t – 2 t2 x = – 2 t2 x = – 4 t
La vitesse d’un solide est définie en fonction du temps par l’équation v = 20 – 4.tQuelle est l’équation définissant la position du solide ? On commence à mesurer la longueur parcourue au début du mouvement : x0 = 0 m
Exercice QCM 14:Exercice QCM 14:
1 m/s2
2 m/s2
4 m/s2
On donne, ci-dessous, le graphe des vitesses d’un solide animé d’un mouvement de translation.Quelle est la valeur de son accélération ?
V (m/s)
t (s)
2
92 6
Exercice QCM 15:Exercice QCM 15:
2 s3 s4 s
On donne, ci-dessous, le graphe des vitesses d’un solide animé d’un mouvement de translation.Combien de temps dure le mouvement uniforme ?
V (m/s)
t (s)
2
92 6
Exercice QCM 16:Exercice QCM 16:
v = 2 – (2/3).tv = 9 + (2/3).tv = -3.t
On donne, ci-dessous, le graphe des vitesses d’un solide animé d’un mouvement de translation.Quelle est l’équation de la vitesse dans la 3ème phase ?
V (m/s)
t (s)
2
92 6
Exercice QCM 17:Exercice QCM 17:
Quelle est la vitesse mini du véhicule afin d’éviter le contact entre la voiture et le peintre cascadeur
4,29 m
4 m1,32 m
Pour cela, écrire les équations horaires de la voiture et celles du cascadeur.
Exercice 18: Exercice 18: cascade de cascade de filmfilm
18 m 27 m 81 m
La position d’un solide animé d’un mouvement de translation rectiligne est définie en mètres, en fonction du temps en secondes, par la relation x = 3.t2.
A quelle position se trouvera-t-il après 3 secondes du départ ?
x = 3 . t2 = 3 . 32 = 27m
Corrigé Exercice QCM 8:Corrigé Exercice QCM 8:
uniformeuniformément accéléréuniformément décéléré
La position d’un solide est définie par la relation :
x = 20 + 2 . t
Corrigé Exercice QCM 9:Corrigé Exercice QCM 9:
soit x = x0 + v0.t + ½ . a . t2
donc x0 = 20m ; v0 = 2m/s ; a = 0m/s2
Son mouvement est donc :
3 m/s2
6 m/s29 m/s2
Un véhicule roule à 20 km/h. Il accélère et après 6 secondes atteint la vitesse de 84,8 km/h.Calculer alors son accélération.
Corrigé Exercice QCM Corrigé Exercice QCM 10:10:
Données : V0 = 20km/h ; V = 84,8 km/h et t = 6s.Calcul de son accélération : v = a t + v0 => a =(v – v0 ) / t => a =(64,8/3,6) / 6 = 3m/s2 CI CF
t0=0s t=6s
X0= X=
V0=5.5m/s V=23.5m/s
a = 3m/s2
x = 72.t – 2 t2 x = 20.t – 2 t2 x = 14,4.t – 5 t2
Un véhicule roule à 72 km/h et s’arrête en 5 secondes. Quelle équation définie sa position en fonction du temps ?
Corrigé Exercice QCM Corrigé Exercice QCM 11:11:
Données :V0 =72km/h=20m/s ;V = 0 km/h et t = 5s.Calcul de son accélération : v = a t + v0 => a =(v – v0) / t => a =(-20) / 5 = -4m/s2
Équation : x = x0 + v0.t + ½.a.t2
= 0 + 20.t + ½.(-4) .t2
CI CF
t0=0s t=5s
X0=0m X=
V0=20m/s V=0m/s
a = -4m/s2
20 m/s2 4 km/h 72 km/h
La vitesse d’un solide est définie en fonction du temps par l’équation v = 20 – 4.tQuelle est la vitesse du solide au début du mouvement ?
Corrigé Exercice QCM Corrigé Exercice QCM 12:12:
CI CF
t0=0s t=
X0= X=
V0=20m/s V=
a = -4 m/s2
soit v = v0 + a.t
donc v0 = 20m/s = 72km/h ;
a = -4m/s2
80 s 16 s 5 s
La vitesse d’un solide est définie en fonction du temps par l’équation v = 20 – 4.tQuel est le temps mis pour obtenir l’arrêt du solide ?
Corrigé Exercice QCM Corrigé Exercice QCM 13:13:
CI CF
t0=0s t= 5 s
X0= X=
V0=20m/s V=0m/s
a = -4 m/s2
Soit l’arrêt effectif lorsque v = 0
donc 0 = 20 – 4 t
=> t = 5s
x = 20.t – 2 t2 x = – 2 t2 x = – 4 t
La vitesse d’un solide est définie en fonction du temps par l’équation v = 20 – 4.tQuelle est l’équation définissant la position du solide ? On commence à mesurer la longueur parcourue au début du mouvement : x0 = 0 m
Corrigé Exercice QCM Corrigé Exercice QCM 14:14:
CI CF
t0=0s t=
X0=0m X=
V0=20m/s V=
a = -4 m/s2
soit v = v0 + a.t
donc v0 = 20m/s ; a = -4m/s2
Équation : x = x0 + v0.t + ½.a.t2
= 0 + 20.t + ½.(-4) .t2
1 m/s2
2 m/s2
4 m/s2
On donne, ci-dessous, le graphe des vitesses d’un solide animé d’un mouvement de translation.Quelle est la valeur de son accélération ?
V (m/s)
t (s)
2
92 6
Corrigé Exercice QCM Corrigé Exercice QCM 15:15:
v = a . t + v0
a =(v – v0 ) / t = 2 / 2 = 1 m/s2
CI CF
t0=0s t=2s
X0=0m X=
V0=0m/s V=2m/s
a = 1 m/s2
2 s3 s4 s
On donne, ci-dessous, le graphe des vitesses d’un solide animé d’un mouvement de translation.Combien de temps dure le mouvement uniforme ?
V (m/s)
t (s)
2
92 6
Corrigé Exercice QCM Corrigé Exercice QCM 16:16:
CI CF
t0=0s t=4s
X0=0m X=
V0=2m/s
a = 0 m/s2
v = 2 – (2/3).tv = 9 + (2/3).tv = -3.t
On donne, ci-dessous, le graphe des vitesses d’un solide animé d’un mouvement de translation.Quelle est l’équation de la vitesse dans la 3ème phase ?
V (m/s)
t (s)
2
92 6
Corrigé Exercice QCM Corrigé Exercice QCM 17:17:
v-vv-v00= -2m/s= -2m/s
ttFF-t-tii = 3s = 3s
a =(v – v0 ) / t = -2/3 m/s2
CI CF
t0=0s t=3s
X0=0m X=
V0=2m/s V=0m/s
a = -2/3 m/s2
Équations horaires du peintre :MRUV
Corrigé Exercice 18: Corrigé Exercice 18: cascade de cascade de filmfilm
CI CF
t0=0s t=
Y0=0m Y=2,68m
V0=0m/s V=
a = 9,81 m/s2
4,29 m
4 m
1,32 m
Calcul du temps pour chuter de 2,68m y = 4,905.t2 => 2,68=4,905.t2
=> t = 0,74s
0,74sy = ½. a.t2+v0.t+y0 => y = 4,905.t2
v = a.t+v0 => v = 9,81.t
a = constante => a = 9,81 m/s2
Équations horaires de la voiture : MRU
Corrigé Exercice 18: Corrigé Exercice 18: cascade de cascade de filmfilm
CI CF
t0=0s t=
x0=0m x=4,29m
V0 =V = a = 0 m/s2
4,29 m
4 m
1,32 m
Calcul de la vitesse nécessaire pour passerde 4,29m en 0,74s :
0,74sx = ½. a.t2+v0.t+x0 => x = v.t
v = constante => v = ?
a = 0 => a = 0 m/s2
x = v.t => 4,29 = v.0,74
=> v = 5,8m/s = 20,87km/h
TD d’approfondissementTD d’approfondissement
Exercice n°1 :On donne le graphe des vitesses suivant.
V
t (s)
20
15
5
Déterminer les équations horaires pour chaque phase
(m/s)
02 5