Download - CHƯƠNG 2 BIẾN NGẪU NHIÊN
![Page 1: CHƯƠNG 2 BIẾN NGẪU NHIÊN](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568134a6550346895d9bb110/html5/thumbnails/1.jpg)
CHƯƠNG 2BIẾN NGẪU NHIÊN
1
![Page 2: CHƯƠNG 2 BIẾN NGẪU NHIÊN](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568134a6550346895d9bb110/html5/thumbnails/2.jpg)
Khái niệm biến ngẫu nhiên
• Biến ngẫu nhiên là một đại lượng nhận giá trị phụ thuộc vào kết quả của phép thử ngẫu nhiên. Giá trị của nó là ngẫu nhiên không dự đoán trước được.
• Kí hiệu: X, Y, Z…
2
![Page 3: CHƯƠNG 2 BIẾN NGẪU NHIÊN](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568134a6550346895d9bb110/html5/thumbnails/3.jpg)
Ví dụ 1
• Lượng khách vào một cửa hàng trong ngày• Độ bền của một sản phẩm• Số sản phẩm hỏng trong 100 sản phẩm mới
nhập về• Chiều cao của một sinh viên gọi ngẫu nhiên
trong lớp này
3
![Page 4: CHƯƠNG 2 BIẾN NGẪU NHIÊN](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568134a6550346895d9bb110/html5/thumbnails/4.jpg)
Ví dụ 1
• Tung một đồng xu. Ta có các biến cố sau:– Đồng xu ngửa : “N”– Đồng xu sấp: “S”Đặt
Khi đó X là một biến ngẫu nhiên.Lưu ý: “X=1” hay “X=0” là các biến cố.
4
0
1
neáuSaápX
neáuNgöûa
![Page 5: CHƯƠNG 2 BIẾN NGẪU NHIÊN](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568134a6550346895d9bb110/html5/thumbnails/5.jpg)
Ví dụ 2
• Hộp có 6 viên bi gồm 4 trắng và 2 vàng. Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi từ hộp. Đặt Y là số viên bi vàng có trong 2 viên lấy ra.
• Khi đó Y cũng là biến ngẫu nhiên.• Ta có:
• “Y=0”, “Y=1”, “Y<2” là các biến cố nào???
5
0 1 2; ;Y
![Page 6: CHƯƠNG 2 BIẾN NGẪU NHIÊN](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568134a6550346895d9bb110/html5/thumbnails/6.jpg)
Định nghĩa (tham khảo)
Biến ngẫu nhiên X là một ánh xạ từ không gian mẫu các biến cố sơ cấp vào tập số thực
Chú ý:- X là bnn- {X=x} hoặc {X<x}, … là biến cố.
6
:X R
X
![Page 7: CHƯƠNG 2 BIẾN NGẪU NHIÊN](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568134a6550346895d9bb110/html5/thumbnails/7.jpg)
Phân loại bnn
7
Rời rạc
Giá trị X liệt kê được thành một dãy số hữu hạn
hoặc vô hạn
Bnn X
Liên tục
Giá trị X lấp đầy một khoảng hay một số khoảng của trục số,
hoặc cả trục số
![Page 8: CHƯƠNG 2 BIẾN NGẪU NHIÊN](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568134a6550346895d9bb110/html5/thumbnails/8.jpg)
Luật phân phối xác suất
• Biểu diễn quan hệ giữa các giá trị của biến ngẫu nhiên và xác suất tương ứng.– Xác suất để bnn nhận một giá trị bất kì– Xác suất để bnn nhận giá trị trong một
khoảng bất kì• Dạng thường gặp: công thức, bảng ppxs,
hàm ppxs, hàm mật độ
8
![Page 9: CHƯƠNG 2 BIẾN NGẪU NHIÊN](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568134a6550346895d9bb110/html5/thumbnails/9.jpg)
Luật phân phối_Công thức
Ví dụ 1. Một người nhắm bắn một mục tiêu cho đến khi nào bắn trúng một phát thì thôi (số phát bắn không hạn chế). Xác suất bắn trúng của mỗi phát đều bằng p. Tìm qui luật ppxs của số viên đạn được sử dụng
9
![Page 10: CHƯƠNG 2 BIẾN NGẪU NHIÊN](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568134a6550346895d9bb110/html5/thumbnails/10.jpg)
Luật phân phối_Công thức
X: số viên đạn được sử dụngX có tập giá trị là N* hay X= 1,2,3….Ta có:
10
2
1
2 1
3 1
....................................
P X p
P X p p
P X p p
![Page 11: CHƯƠNG 2 BIẾN NGẪU NHIÊN](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568134a6550346895d9bb110/html5/thumbnails/11.jpg)
Luật phân phối_Công thức
• Qui luật ppxs của X là:
• X gọi là có phân phối hình học
• Tính xác suất sau:
11
1
1 2 ...n
P X n P X P X
11 1,2,3,...
nP X n p p n
![Page 12: CHƯƠNG 2 BIẾN NGẪU NHIÊN](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568134a6550346895d9bb110/html5/thumbnails/12.jpg)
Bảng ppxs• Ví dụ 2. Một hộp có 10 sản phẩm trong đó có
6 sản phẩm đạt loại A. Lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm. Lập bảng phân phối xác suất của số sản phẩm loại A lấy ra?
12
![Page 13: CHƯƠNG 2 BIẾN NGẪU NHIÊN](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568134a6550346895d9bb110/html5/thumbnails/13.jpg)
Bảng ppxsX là số sản phẩm loại A lấy ra. Ta có: X=0,1,2
Bảng ppxs:
13
1 124 64
2 210 10
26210
2 80 1
15 15
52
15
C CCP X P X
C C
CP X
C
X 0 1 2
P 2/15 8/15 5/15
![Page 14: CHƯƠNG 2 BIẾN NGẪU NHIÊN](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568134a6550346895d9bb110/html5/thumbnails/14.jpg)
Luật ppxs_Bảng
• Bảng phân phối xác suất của X.
• xi : giá trị có thể có của bnn X
• pi : xác suất tương ứng; pi=P(X=xi).
• Chú ý:
14
X x1…. x2
…. xn
P p1…. p2
…. pn
1
1n
ii
p
![Page 15: CHƯƠNG 2 BIẾN NGẪU NHIÊN](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568134a6550346895d9bb110/html5/thumbnails/15.jpg)
Luật ppxs_BảngVí dụ 2. Có 2 kiện hàng. Kiện 1 có 4 sản phẩm tốt, 3 sản
phẩm xấu. Kiện 2 có 6 sản phẩm tốt, 4 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên từ kiện 1 ra 2 sản phẩm và từ kiện 2 ra 1 sản phẩm. Lập luật phân phối xác suất của số sản phẩm tốt trong 3 sản phẩm lấy ra?
Giải:Gọi Y là số sản phẩm tốt trong 3 sản phẩm lấy ra.- Y=0,1,2,3Gọi Ai là bc có i sản phẩm tốt lấy ra từ kiện 1.
Gọi Bj là bc có j sản phẩm tốt lấy ra từ kiện 2.
15
![Page 16: CHƯƠNG 2 BIẾN NGẪU NHIÊN](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568134a6550346895d9bb110/html5/thumbnails/16.jpg)
Luật ppxs_Bảng
16
24
2 1 27
6 6 2 11 163 1
10 35 35 35 35 .
CP Y P A B
C
23
0 0 0 0 27
4 20
10 35 .
CP Y P A B P A P B
C
1 1 24 3 3
1 0 0 1 2 27 7
4 6 111
10 10 35 . .
C C CP Y P AB A B
C C
1 124 34
2 0 1 1 2 27 7
4 6 162
10 10 35 . .
C CCP Y P A B AB
C C
![Page 17: CHƯƠNG 2 BIẾN NGẪU NHIÊN](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568134a6550346895d9bb110/html5/thumbnails/17.jpg)
Luật ppxs_Bảng• Bảng phân phối xác suất:
17
Y 0 1 2 3
P 2/35 11/35 16/35 6/35
![Page 18: CHƯƠNG 2 BIẾN NGẪU NHIÊN](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568134a6550346895d9bb110/html5/thumbnails/18.jpg)
Luật ppxs_ Hàm phân phối
• Hàm phân phối xác suất hay hàm phân bố, ký hiệu F(x), định nghĩa như sau:
• Hay
18
( ) xF x P X
( ) tF t P X
![Page 19: CHƯƠNG 2 BIẾN NGẪU NHIÊN](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568134a6550346895d9bb110/html5/thumbnails/19.jpg)
Luật ppxs_ Hàm phân phối• Cho bnn X có bảng pp
• Tìm hàm ppxs của bnn X và vẽ đồ thị• Tính
• F(x) có liên tục tại x với x-{0,1,2,3}• Tính P(1<X<3)
19
x 0 1 2 3f(x) 2/35 11/35 16/35 6/35
2 2
lim , lim , lim , limx xx x
F x F x F x F x
![Page 20: CHƯƠNG 2 BIẾN NGẪU NHIÊN](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568134a6550346895d9bb110/html5/thumbnails/20.jpg)
Luật ppxs_ Hàm phân phối
• Cho X là bnn rời rạc có tập giá trị được sắp
• Khi đó:
20
1 2 3 ....x x x i iP X x p và
1
1 1 2
1 2 2 3
1 1 1
0 ,
,
,
...............................
... ,k k k
x x
p x x x
F x p p x x x
p p x x x
--- - ---- - - ----
- - - ---
![Page 21: CHƯƠNG 2 BIẾN NGẪU NHIÊN](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568134a6550346895d9bb110/html5/thumbnails/21.jpg)
• Là xác suất để X nhận giá trị nhỏ hơn x, x là một giá trị bất kì.
• Cho biết tỉ lệ phần trăm giá trị của X nằm bên trái số x.
• Xác suất X thuộc [a,b)
21
)( ( ) ( )b F aP b Fa X
Luật ppxs_ Hàm phân phối
![Page 22: CHƯƠNG 2 BIẾN NGẪU NHIÊN](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568134a6550346895d9bb110/html5/thumbnails/22.jpg)
Luật ppxs_ Hàm phân phối
22
i) 0 1,F x x R
ii) F x là hàm tăng, liên tục bên trái. Nếu X là biến
ngẫu nhiên liên tục thì F x là hàm liên tục trên R.
iii) lim 0x
F F x
lim 1x
F F x
iv) P a X b F b F a .
![Page 23: CHƯƠNG 2 BIẾN NGẪU NHIÊN](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568134a6550346895d9bb110/html5/thumbnails/23.jpg)
Hàm mật độ xác suất
• Cho X là bnn liên tục• Người ta chứng minh được rằng
P(X=a)=0 với mọi giá trị của aĐể mô tả bnn liên tục ta dùng hàm mật độHàm f(x) là hàm mật độ của một biến ngẫu
nhiên X nào đó nếu thỏa mãn 2 điều kiện sau:
23
) 0 ,
) 1
i f x x R
ii f x dx
![Page 24: CHƯƠNG 2 BIẾN NGẪU NHIÊN](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568134a6550346895d9bb110/html5/thumbnails/24.jpg)
Hàm mật độ xác suất• Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên liên
tục X là đạo hàm cấp 1 của hàm phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên đó, ký hiệu f(x)
24
f x F x
![Page 25: CHƯƠNG 2 BIẾN NGẪU NHIÊN](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568134a6550346895d9bb110/html5/thumbnails/25.jpg)
Tính chất
• Một hàm số bất kì thỏa mãn 2 tính chất đầu tiên i) ii) sẽ là hàm mật độ của một biến ngẫu nhiên liên tục nào đấy. 25
) 0
) 1
)b
a
i f x x R
ii f x dx
iii P a X b f x dx
![Page 26: CHƯƠNG 2 BIẾN NGẪU NHIÊN](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568134a6550346895d9bb110/html5/thumbnails/26.jpg)
Hàm mật độ xác suất• Đồ thị hàm mật độ
• Diện tích dưới đồ thị f(x) và Ox là 1.
26
0
y
x
f x 1
f x dx
![Page 27: CHƯƠNG 2 BIẾN NGẪU NHIÊN](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568134a6550346895d9bb110/html5/thumbnails/27.jpg)
Hàm mật độ xác suất
• Lưu ý:
• Do đó:
27
( ) ( ) 0c
c
P X c f x dx
)( ) (
( ) ( )b
a
X b
P a X b P a X b f x dx
P a X b P a
![Page 28: CHƯƠNG 2 BIẾN NGẪU NHIÊN](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568134a6550346895d9bb110/html5/thumbnails/28.jpg)
Hàm mật độ xác suất
28
f(x)
( ) ( )b
a
P a X b f x dx
a b
( )P a X b P a X b
![Page 29: CHƯƠNG 2 BIẾN NGẪU NHIÊN](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568134a6550346895d9bb110/html5/thumbnails/29.jpg)
CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG• Kỳ vọng (Expected Value) E(X)• Phương sai (Variance) V(X), Var(X)• Độ lệch chuẩn (Standard Error)• Trung vị (Median) me
• Mốt (Mode) m0
• Hệ số biến thiên (Coefficient of Variation) CV• Hệ số bất đối xứng (Skewness) • Hệ số nhọn (Kurtosis)• Giá trị tới hạn
29
![Page 30: CHƯƠNG 2 BIẾN NGẪU NHIÊN](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568134a6550346895d9bb110/html5/thumbnails/30.jpg)
Kỳ vọng (Expected Value)
• Ký hiệu: E(X)• Định nghĩa:
• E(X) là trung bình theo xác suất của X• Có cùng đơn vị với X
30
-
,vôùi X rôøi raïc
. ( ) ,vôùi X lieân tuïc
i ii
x p
E Xx f x dx
![Page 31: CHƯƠNG 2 BIẾN NGẪU NHIÊN](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568134a6550346895d9bb110/html5/thumbnails/31.jpg)
Tính chất
31
1)Tínhchaát 1: E(C)=C vôùi C laø haèng soá
2)Tínhchaát 2: E(C+X)=C+E(X)
3)Tínhchaát 3: E(C.X)=C.E(X)
4)Tínhchaát 4: E(X Y)=E(X) E(Y)
5)Tínhchaát 5: E(X.Y)=E(X).E(Y) neáu X vaø Y ñoäc laäp
6)Tínhchaát 6: E(
)=
i ii
x p
Xx f x dx
![Page 32: CHƯƠNG 2 BIẾN NGẪU NHIÊN](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568134a6550346895d9bb110/html5/thumbnails/32.jpg)
Phương sai (Variance)
• Ký hiệu: V(X); Var(X)• Định nghĩa:
32
2 22Var X E X E X E X E X
22
22
,neáu X rôøi raïc.
,neáu X lieân tuïc.
i ii
x p E X
Var Xx f x dx E X
![Page 33: CHƯƠNG 2 BIẾN NGẪU NHIÊN](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568134a6550346895d9bb110/html5/thumbnails/33.jpg)
• XA, XB là lãi suất thu được trong một năm (đơn vị %) khi đầu tư vào 2 công ty A, B một cách độc lập. Cho biết quy luật phân phối của 2 biến ngẫu nhiên trên như sau:
33
XA 4 6 8 10 12P 0,05 0,1 0,3 0,4 0,15
XB -4 2 8 10 12 16P 0,1 0,2 0,2 0,25 0,15 0,1
![Page 34: CHƯƠNG 2 BIẾN NGẪU NHIÊN](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568134a6550346895d9bb110/html5/thumbnails/34.jpg)
• Đầu tư vào công ty nào có lãi suất kỳ vọng cao hơn?
• Đầu tư vào công ty nào có mức độ rủi ro ít hơn?
• Nếu muốn đầu tư vào cả 2 công ty thì nên đầu tư theo tỉ lệ nào sao cho:– Thu được lãi suất kỳ vọng lớn nhất?– Mức độ rủi ro về lãi suất thấp nhất?
34
![Page 35: CHƯƠNG 2 BIẾN NGẪU NHIÊN](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568134a6550346895d9bb110/html5/thumbnails/35.jpg)
Độ lệch chuẩn
• V(X) đo độ dao động, phân tán, đồng đều, tập trung của X.
• V(X) có đơn vị là bình phương đơn vị của X
• -(X) có đơn vị là đơn vị của X
35
X Var X
![Page 36: CHƯƠNG 2 BIẾN NGẪU NHIÊN](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568134a6550346895d9bb110/html5/thumbnails/36.jpg)
Tính chất của phương sai
36
2
1 1i
1)Tínhchaát 1: V(C)=0 vôùi C laø haèng soá
2)Tínhchaát 2: V(C+X)=V(X)
3)Tínhchaát 3: V(C.X)=C .V(X)
4) neáu X vaø Y ñoäc laäp
neáu caùc X ñoäc laäp toa
V(X Y)=V(X) V(Y)
V = øn phaànn n
i ii i
X V X
![Page 37: CHƯƠNG 2 BIẾN NGẪU NHIÊN](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568134a6550346895d9bb110/html5/thumbnails/37.jpg)
Biến ngẫu nhiên chuẩn hóa
• Cho X là bnn có kỳ vọng - và độ lệch chuẩn ->0.
• Đặt:
• Ta có:
• Biến Z gọi là bnn chuẩn hóa của bnn X.
37
XZ
0 1E Z V Z
![Page 38: CHƯƠNG 2 BIẾN NGẪU NHIÊN](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568134a6550346895d9bb110/html5/thumbnails/38.jpg)
Cho bnn X:
38
X 1 2 3 4 5 6P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
2 22 2
2 2 2 2
1 1 1 71. 2. ... 6. 3,5
6 6 6 2
( ) 3,5
1 1 1 911 . 2 . ... 6 .
6 6 6 6
35 35
12 12
E X
V X E X E X E X
E X
V X X
Ví dụ 1
![Page 39: CHƯƠNG 2 BIẾN NGẪU NHIÊN](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568134a6550346895d9bb110/html5/thumbnails/39.jpg)
E(X)=3,5 : giá trị trung bình theo xác suất của X là 3,5. Hay nếu ta thực hiện phép thử n lần (n đủ lớn) thì giá trị trung bình của X trong n lần đó sẽ xấp xỉ 3,5.
Chú ý: nếu X có đơn vị là m thì:E(X) có đơn vị là mV(X) có đơn vị là m2
-(X) có đơn vị là m
39
Ví dụ 1
![Page 40: CHƯƠNG 2 BIẾN NGẪU NHIÊN](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568134a6550346895d9bb110/html5/thumbnails/40.jpg)
Theo thống kê việc 1 người Mỹ 25 tuổi, xác suấtSống thêm 1 năm là 0.992Chết trong vòng 1 năm tới là 0,008.
Một chương trình bảo hiểm đề nghị người tham gia bảo hiểm cho sinh mạng người đó trong vòng 1 năm
Số tiền chi trả 1000 USD.Lệ phí tham gia là 10 USD.
40
Ví dụ 2
![Page 41: CHƯƠNG 2 BIẾN NGẪU NHIÊN](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568134a6550346895d9bb110/html5/thumbnails/41.jpg)
• Gọi X là lợi nhuận thu được trên 1 người tham gia bảo hiểm. Ta có:
• Ta thấy lợi nhuận kì vọng là một số dương nên công ty bảo hiểm có thể làm ăn có lãi.
• Tất nhiên tính trên điều kiện số người tham gia bảo hiểm là đủ lớn.
41
X -990 +10
P 0,008 0,992
990 0,008 10 0,992
2 USD
E X
E X
Ví dụ 2
![Page 42: CHƯƠNG 2 BIẾN NGẪU NHIÊN](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568134a6550346895d9bb110/html5/thumbnails/42.jpg)
42
X -990 +10
P 0,008 0,992
22 2
2
990 0,008 10 0,992 7940
7936 USD 89,08
E X
V X X USD
Ví dụ 2
![Page 43: CHƯƠNG 2 BIẾN NGẪU NHIÊN](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568134a6550346895d9bb110/html5/thumbnails/43.jpg)
43
Cho bnn liên tục X có hàm mật độ
a) Kiểm tra lại f(x).b) Tính E(X), V(X).
, 0,1
0 ,
2
0(
1)
,
x
x
xf x
Ví dụ 3
1
2
0
22
3E X xf x dx x dx
![Page 44: CHƯƠNG 2 BIẾN NGẪU NHIÊN](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568134a6550346895d9bb110/html5/thumbnails/44.jpg)
44
Tính V(X)
12 2 3
0
2
12
2
1 2 1
2 3 18
E X x f x dx x dx
V X
Ví dụ 3
![Page 45: CHƯƠNG 2 BIẾN NGẪU NHIÊN](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568134a6550346895d9bb110/html5/thumbnails/45.jpg)
Tuổi thọ của một loại côn trùng M là biến ngẫu nhiên X (đơn vị: tháng) với hàm mật độ như sau:
• Tìm hằng số k?• Xác định hàm ppxs?• Tính tuổi thọ trung bình của loại côn trùng trên.
45
2 4 , 0,4
0 ,
kx x xf x
nôi khaùc
Ví dụ 4
![Page 46: CHƯƠNG 2 BIẾN NGẪU NHIÊN](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568134a6550346895d9bb110/html5/thumbnails/46.jpg)
• 2 tính chất cơ bản hàm mật độ:
• Ta có:
• Thử lại thấy điều kiện đầu cũng thỏa.• Vậy k=3/64
46
) 0 , ) 1i f x x ii f x dx
Ví dụ 4
4
2
0
64 31 4 1
3 64
kf x dx kx x dx k
![Page 47: CHƯƠNG 2 BIẾN NGẪU NHIÊN](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568134a6550346895d9bb110/html5/thumbnails/47.jpg)
• Hàm phân phối xác suất:
• Tuổi thọ trung bình:
47
3
0 , 0
3 4,0 4
64 3 4
1 , 4
x
x
x xF x f t dt x
x
4
3
0
3 124 (tháng)
64 5E X x x dx
Ví dụ 4
![Page 48: CHƯƠNG 2 BIẾN NGẪU NHIÊN](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568134a6550346895d9bb110/html5/thumbnails/48.jpg)
Ví dụ 5
• Giả sử một cửa hàng sách định nhập về một số cuốn truyện trinh thám. Nhu cầu hàng năm về loại sách này như sau:
• Cửa hàng mua sách với giá 7USD một cuốn, bán ra với giá 10USD một cuốn nhưng đến cuối năm phải hạ giá với giá 5USD một cuốn. Cửa hàng muốn xác định số lượng nhập sao cho lợi nhuận kì vọng là lớn nhất.
48
Nhu cầu (cuốn) 30 31 32 33
P 0,3 0,15 0,3 0,25
![Page 49: CHƯƠNG 2 BIẾN NGẪU NHIÊN](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568134a6550346895d9bb110/html5/thumbnails/49.jpg)
Ví dụ 5
• Gọi Xi là số tiền lời khi nhập thêm i cuốn sách (ngoài 30 cuốn).
• Số tiền lời khi nhập 30+i (cuốn) là: Yi= 90+Xi
• Với X0:
• Bảng ppxs của X0 là:
• Vậy E(Y0)=E(90+ X0)=90+E(X0)=90
49
X0 0
P 1
![Page 50: CHƯƠNG 2 BIẾN NGẪU NHIÊN](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568134a6550346895d9bb110/html5/thumbnails/50.jpg)
Ví dụ 5• Với X1 ta có bảng ppxs:
• Vậy E(Y1)=90+E(X1)=91,5
• Với X2 ta có:
• Vậy E(Y2)=90+E(X2)=92,2550
X1 -2 3
P 0,3 0,7
X2 -4 1 6
P 0,3 0,15 0,55
![Page 51: CHƯƠNG 2 BIẾN NGẪU NHIÊN](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568134a6550346895d9bb110/html5/thumbnails/51.jpg)
Ví dụ
• Với X3 ta có bảng ppxs:
• Vậy E(Y3)=90+E(X3)=91,5• Ta thấy E(Y2) lớn nhất như vậy nếu nhập về 32
cuốn sách thì lợi nhuận kì vọng lớn nhất.
51
X3 -6 -1 4 9
P 0,3 0,15 0,3 0,25
![Page 52: CHƯƠNG 2 BIẾN NGẪU NHIÊN](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568134a6550346895d9bb110/html5/thumbnails/52.jpg)
Hệ số biến thiên
• Kí hiệu: CVx.
• Đo mức độ thuần nhất của bnn. CVx càng nhỏ bnn càng thuần nhất.
• So sánh độ phân tán của các bnn không có cùng đơn vị, không có cùng kỳ vọng.
52
0XXCV E X
E X
![Page 53: CHƯƠNG 2 BIẾN NGẪU NHIÊN](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568134a6550346895d9bb110/html5/thumbnails/53.jpg)
Median (Trung vị)
• Ký hiệu MedX, me là giá trị chia đôi hàm phân phối.
• Hay
53
0,5
0,5
e
e
P X m
P X m
0,5e eP X m P X m
![Page 54: CHƯƠNG 2 BIẾN NGẪU NHIÊN](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568134a6550346895d9bb110/html5/thumbnails/54.jpg)
Median (Trung vị)
• Nếu X liên tục thì:
54
0,5em
f x dx
1 0,5S
em
![Page 55: CHƯƠNG 2 BIẾN NGẪU NHIÊN](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568134a6550346895d9bb110/html5/thumbnails/55.jpg)
Median (Trung vị)
• Nếu X rời rạc thì:
55
1 1
1
, , 0,5
0,5
i i i i
e
i i i
m m x x F x F xm
x F x F x
neáu
neáu
10 F x iF x 1iF x
0,5e im x0,5
1,e i im m x x
![Page 56: CHƯƠNG 2 BIẾN NGẪU NHIÊN](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568134a6550346895d9bb110/html5/thumbnails/56.jpg)
ModXKý hiệu: Nếu X rời rạc:
Nếu X liên tục:
56
0x R
f m max f x
0 ii
P X m max P x x
0ModX m
![Page 57: CHƯƠNG 2 BIẾN NGẪU NHIÊN](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568134a6550346895d9bb110/html5/thumbnails/57.jpg)
Ví dụ 1Cho bnn X
Ta có:
Vậy57
X 1 2 3 4 5
P 0,1 0,2 0,15 0,3 0,25
X 1 2 3 4 5
F(X) 0 0,1 0,3 0,45 0,75
4Med X Mod X
![Page 58: CHƯƠNG 2 BIẾN NGẪU NHIÊN](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568134a6550346895d9bb110/html5/thumbnails/58.jpg)
Ví dụ 2
Cho bnn X có hàm mật độ:
a) Tìm MedX, ModX.b) Tìm E(X), Var(X) nếu có.
58
2
1
1phaân phoái Cauchyf x
x
![Page 59: CHƯƠNG 2 BIẾN NGẪU NHIÊN](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568134a6550346895d9bb110/html5/thumbnails/59.jpg)
Ví dụ 3
Cho bnn X có hàm mật độ:
a) Tìm MedX, ModX.b) Tìm E(X), Var(X) nếu có.
59
1sin , 0,
20 , 0,
x xf x
x
![Page 60: CHƯƠNG 2 BIẾN NGẪU NHIÊN](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568134a6550346895d9bb110/html5/thumbnails/60.jpg)
Ví dụ 4 (Khó)
• Cho bnn X có hàm mật độ:
a) Tìm MedX, ModX.b) Tìm E(X), Var(X) nếu có.
• Lưu ý tính chất:
60
2
21
2Standard Normal Distribution
x
f x e
2
21
12
x
e dx
![Page 61: CHƯƠNG 2 BIẾN NGẪU NHIÊN](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568134a6550346895d9bb110/html5/thumbnails/61.jpg)
Ví dụ 5
61
Cho bnn X có hàm mật độ xác suất:
Tìm ModX, MedX?Tìm E(X), Var(X)?Tìm hàm ppxs F(x)?
0 , 0
0, 0x
xf x
e x
![Page 62: CHƯƠNG 2 BIẾN NGẪU NHIÊN](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568134a6550346895d9bb110/html5/thumbnails/62.jpg)
Ví dụ 4
• Cho bnn X có hàm mật độ xác suất
• Tìm MedX và ModX?
62
32 ,0 2
40 , 0,2
x x xf x
x
![Page 63: CHƯƠNG 2 BIẾN NGẪU NHIÊN](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568134a6550346895d9bb110/html5/thumbnails/63.jpg)
Hệ số bất đối xứng
• Kí hiệu:
• Đo mức độ bất đối xứng của luật phân bố
63
3
3 3 ;E X
E XX
![Page 64: CHƯƠNG 2 BIẾN NGẪU NHIÊN](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568134a6550346895d9bb110/html5/thumbnails/64.jpg)
Hệ số bất đối xứng
• Đồ thị đối xứng
64
3 0
![Page 65: CHƯƠNG 2 BIẾN NGẪU NHIÊN](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568134a6550346895d9bb110/html5/thumbnails/65.jpg)
Hệ số bất đối xứng
• Hàm mật độ lệch về bên phải.
65
3 0
![Page 66: CHƯƠNG 2 BIẾN NGẪU NHIÊN](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568134a6550346895d9bb110/html5/thumbnails/66.jpg)
Hệ số bất đối xứng
• Hàm mật độ lệch về bên trái.
66
3 0
![Page 67: CHƯƠNG 2 BIẾN NGẪU NHIÊN](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568134a6550346895d9bb110/html5/thumbnails/67.jpg)
Hệ số nhọn
• Kí hiệu:
• Đặc trưng cho độ nhọn của hàm mật độ so với đồ thị của phân bố chuẩn.
• Biến ngẫu nhiên có phân bố chuẩn thì -4=3
67
4
4 4
E X
X
![Page 68: CHƯƠNG 2 BIẾN NGẪU NHIÊN](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568134a6550346895d9bb110/html5/thumbnails/68.jpg)
Hệ số nhọn
• -4>3 đồ thị hàm mật độ nhọn hơn so với phân phối chuẩn
• -4=3 đồ thị hàm mật độ tù hơn so với phân phối chuẩn
68
![Page 69: CHƯƠNG 2 BIẾN NGẪU NHIÊN](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568134a6550346895d9bb110/html5/thumbnails/69.jpg)
Hệ số nhọn
• Đồ thị hàm mật độ của bnn pp chuẩn
69
4 3 4 3 4 3
2
221
2
x
f x e
![Page 70: CHƯƠNG 2 BIẾN NGẪU NHIÊN](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568134a6550346895d9bb110/html5/thumbnails/70.jpg)
Kiểm tra 30’ lớp 187Bài 1. Một hộp có 10 sản phẩm. Gọi X là số phế phẩm
trong hộp, X có bảng phân phối xác suất như sau:
• Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 2 sản phẩm. Tính xác suất lấy được 1 phế phẩm và 1 chính phẩm.
Bài 2. Cho bnn X có hmd:
Biết E(X)=0,6. Tìm a và b.70
X 0 1 2P 0,6 0,3 0,1
2 , 0,1
0 , 0,1
ax bx xf x
x
![Page 71: CHƯƠNG 2 BIẾN NGẪU NHIÊN](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568134a6550346895d9bb110/html5/thumbnails/71.jpg)
Hệ số nhọn
• Đồ thị hàm mật độ của bnn pp chuẩn
71
4 3 4 3 4 3
2
221
2
x
f x e
![Page 72: CHƯƠNG 2 BIẾN NGẪU NHIÊN](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062304/568134a6550346895d9bb110/html5/thumbnails/72.jpg)
Kiểm tra 30’• 1. Một lô sản phẩm gồm 100 sản phẩm trong đó
có 90 sản phẩm tốt và 10 phế phẩm. Chọn ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm (chọn 1 lần). Gọi X là số sản phẩm tốt trong 3 sản phẩm lấy ra.
• Tìm phân phối xác suất của X. • Viết hàm phân phối và tính E(X); Var(X) và
P(X≥1)?
72
2 0 6 0 7 0 4 Tìm:
. , ; , ; , .
) ; ) ; )
Cho P A P B P AB
a P A B b P A A B c P A B B