Download - Chuong 1 Co So Pp SPHH.ppt
-
8/18/2019 Chuong 1 Co So Pp SPHH.ppt
1/19
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
1
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP. HCM
Khoa Kyõ Thuaät Xaây Döïng - BM KTTNN
Giảng viên: PGS. TS. NGUYỄN THỐNG
E-mail: [email protected] or [email protected]
Web: http://www4.hcmut.edu.vn/~nguyenthong/index
Tél. (08) 38 691 592 - 098 99 66 719 PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
2
NỘI DUNG MÔN HỌC CHƯƠNG 1: Cơ sở pp. Sai phân hữu hạn.CHƯƠNG 2: Bài toán khuếch tán.CHƯƠNG 3: Bài toán đối lưu - khuếch tán.CHƯƠNG 4: Bài toán thấm.CHƯƠNG 5: Dòng không ổn định trong kênh hở.CHƯƠNG 6: Đàn hồi tóm tắt & pp. Phần tử hũu hạn.CHƯƠNG 7: Phần tử lò xo & thanh dàn.CHƯƠNG 8: Phần tử thanh chịu uốn.CHƯƠNG 9: Giới thiệu sơ lược về phần tử phẳng (biến
dạng phẳng, ứng suất phẳng, tấm vỏ chịu uốn).
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
3
TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Phương pháp số trong cơ học kết cấu. PGS. PTS.
Nguyễn Mạnh Yên. NXB KHKT 19992. Water Resources systems analysis. Mohamad
Karamouz and all. 20033. Phương pháp PTHH. Hồ Anh Tuấn-Trần Bình. NXB
KHKT 1978
4. Phương pháp PTHH thực hành trong cơ học.Nguyễn Văn Phái-Vũ văn Khiêm. NXB GD 2001.
5. Phương pháp PTHH. Chu Quốc Thắng. NXB KHKT
19976. The Finite Element Method in Engineering. S. S.RAO 1989.
7. Bài giảng PP SỐ ỨNG DỤNG. TS. Lê đình Hồng. PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
4
KIEÅM TRA- Trong tröôøng hôïp coù kieåm tra giöõa kyø
thôøi gian laø 45 ph.- Thi tự luận cuoái moân hoïc 90ph.Chuù yù: Mang theo maùy tính laøm baøi taäp trong
lớ p. Cho phép tham khảo tài liệu cá nhân.
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
5
MỤC ĐÍCH MÔN HỌC
Giới thiệu các phương pháp số xácđịnh gần đúng lời giải của các bàitoán vi phân đạo hàm riêng (tuyến tính hoặc phi tuyến) mà ta KHÔNG thể tìm được lời giải giải tích chính xác.
Trong số các phương pháp số có:Phương pháp Sai phân hữu hạn (SPHH) & Phần tử hữu hạn (PTHH), &Thể tích hữu hạn (TTHH).
.PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
6
CƠ SỞ
PHƯƠNG PHÁP
SAI PHÂN HỮU HẠN
(SPHH)
mailto:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]
-
8/18/2019 Chuong 1 Co So Pp SPHH.ppt
2/19
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
7
Hiện tượng vật lý biểu diễn
toán học bằng phương trìnhđạo hàm riêng lời giải cho phép nghiên cứu hiện tượng.
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
8
PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG Đạo hàm riêng ( ĐHR)
f (x,y,z,t): hàm xác định trong một miền không gian R3 x, y, z: ba biến không gian độc lập ; t:
biến thời gian độc lập.* Ký hiệu ĐHR cấp 1 của f:
đối với x :Tương tự với y & z
xf or
x
f
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
9
* ÑHR caáp 2 cuûa f :
2f/ x2 = ( / x)(f/ x) = f xx , 2f/ y2 =( / y)(f/ y) = f yy
2f/ t2 = ( / t)(f/ t) = f tt , 2f/ xy= ( / x)(f/ y) = f xy
ÑHR caáp 2 lieân tuïc f xy = f yx , f xz
= f zx , f yz = f zy , ....
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
10
ĐỊNH NGHĨA PT ĐẠO HÀM RIÊNG Dạng tổng quát:
F(x, y, z, t, U, Ut, Ux, Uy, Uz, Uxy, Uxz,Uyz, …) = 0
Biến phụ thuộc U (ẩn số phải tìm )
* Cấp của PTĐHR là cấp cao nhấtcủa các ĐHR có trong PT
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
11
ĐỊNH NGHĨA PT ĐẠO HÀM RIÊNG
* PTĐHR là tuyến tính nếu:Tất cả các ĐHR có mặt trong PT đều ở
dạng tuyến tính
Không có hệ số liên kết với các ĐHR chứa biến phụ thuộc.
Nếu không PTĐHR là phi tuyến.
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
12
PHÂN LOẠI PT ĐHR
Theo ý nghĩa vật lý
Theo toán học
-
8/18/2019 Chuong 1 Co So Pp SPHH.ppt
3/19
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
13
Phân biệt bài toán theo ý nghĩa vật lý
Bài toán cân bằng (giá trị biên)miền kín thỏa mãn các điều kiện biên cho sẵn:
Ví dụ:
Bài toán thấm ổn định
Bài toán phân bố ứng suất tỉnh trong kết cấu.
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
14
Phân biệt bài toán theo ý nghĩa vật lý
Bài toán lan truyền miền hở thỏa mãn các điều kiện biên cho sẵn vàđiều kiện ban đầu:
Ví dụ:
Bài toán khuếch tán, đối lưu chất trong môi trường chất lỏng.
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
15
Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính bậc 2 dạng tổng quát:
u(x,y) hàm ẩn số cần tìmx,y các biến độc lập chỉ không gian
a, b,c,d,e,f : các hàm số tuyến tính của x,yg(x,y) hàm đã xác định
)y,x(gu.f y
ue
x
ud
y
uc
yx
u b
x
ua
2
22
2
2
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
16
Phân loại về mặt toán học
b2 – 4ac > 0 bài toán dạng hyperbol
b2 – 4ac < 0 bài toán dạng ellip
b2 – 4ac = 0 bài toán dạng parabol
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
17
DẠNG TOÁN HỌC ELLIP
Mô tả vấn đề kỹ thuật: Cân bằng
PGS. Dr. Nguyễn Thống
Laplacet/P0y
u
x
u2
2
2
2
Poissont/Py
u
x
u2
2
2
2
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
18
DẠNG TOÁN HỌC HYPERBOL
Mô tả vấn đề kỹ thuật: Lan truyền
Songt/Px
ua
t
u2
22
2
2
luuDoit/Px
u
t
u
-
8/18/2019 Chuong 1 Co So Pp SPHH.ppt
4/19
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
19
DẠNG TOÁN HỌC PARABOL Mô tả vấn đề kỹ thuật: Khuếch tán
Fourier t/Px
u
t
u
2
2
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
20
HIỆN TƯỢNG VẬT LÝ BÀI TOÁN LANTRUYỀN NỒNG ĐỘ CHẤT f TRONG MÔI
TRƯỜNG DÒNG CHẢY UPT đối lưu ( không khuếch tán) :
f t + u f x = 0
f(x,t): nồng độ chất, u(x, t): thành phần lưu tốc theo phương x.
PTĐHR tuyến tính cấp 1, loại hyperbolic.
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
21
HIỆN TƯỢNG VẬT LÝ BÀI TOÁNKHUẾCH TÁN CHẤT f TRONG MÔITRƯỜNG (TỈNH)
PT khuếch tán ( không đối lưu) f t = f xx
: hệ số khuếch tán (> 0).a = , b = c = 0 = b2 – 4ac = 0
PTĐHR tuyến tính cấp 2, loại parabolic.
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
22
HIỆN TƯỢNG VẬT LÝ BÀI TOÁNLAN TRUYỀN & KHUẾCH TÁN (ĐỒNG THỜI) CỦA NỒNG ĐỘ CHẤT f TRONGMÔI TRƯỜNG DÒNG CHẢY
PT đối lưu - khuếch tán: f t + u f x = f xx
PTĐHR tuyến tính cấp 2
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
23
HIỆN TƯỢNG VẬT LÝ BÀI TOÁN LAN
TRUYỀN SÓNG f tt = c
2 f xx
c: tốc độ truyền sóng. a = c2, b = 0, c = -1
b2 – 4ac = 4c2 > 0
PTĐHR tuyến tính cấp 2, loại hyperbolic.
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
24
HIỆN TƯỢNG VẬT LÝ BÀI TOÁN
THẤM PT Laplace f xx + f yy = 0
PT Poisson f xx + f yy = G(x, y)
G(x,y): số hạng nguồn
a = 1, b = 0, c = 1
b2 – 4ac = - 4 < 0PTĐHR tuyến tính cấp 2, loại elliptic.
-
8/18/2019 Chuong 1 Co So Pp SPHH.ppt
5/19
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
25
MIỀN KÍN &MIỀN HỞ
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
26
MIỀN KÍN
Miền lờigiải
BÀI TOÁN GIÁ TRỊ BIÊN
X
Y
Biên
Điều kiệnbiên U(x,y) =???
O
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
27
MIỀN HỞ Miền lờigiải
BÀI TOÁN GIÁ TRỊ BAN ĐẦU X, Y
t
Biên
Điềukiệnbiên
U(x,y,t) =???
O
Điềukiện ban
đầu
Phương lan truyền
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
28
ĐIỀU KIỆN BIÊN Khi giải các phương trình đaọ hàm
riêng biểu diễn một hiện tượng vật lýbất kỳ đều cần phải có ĐIỀU KIỆN BIÊN. ĐIỀU KIỆN BIÊN là giá trị (hoặc
gradient) của biến nghiên cứu đã
được xác định tại các vị trí biên (không còn là ẩn số của bài toán).
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
29THAÁM COÙ AÙP DÖÔÙI COÂNG TRÌNH
ĐIỀU KIỆN BIÊN
H=z+p/ Biết
H=?
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
30
CÁC LOẠI ĐIỀU KIỆN BIÊN Biên Dirichlet: Giá trị trên biên
của hàm ẩn phải tìm U là đã biết tại các vị trí trên biên:
)t,z,y,x(f u
-
8/18/2019 Chuong 1 Co So Pp SPHH.ppt
6/19
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
31
Miền lời giảiU cần tìm
X
Y
Biên
U(bien)=Know U(x,y) =???
O
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
32
CÁC LOẠI ĐIỀU KIỆN BIÊN
Biên Neuman: Giá trị đạo hàmtheo phương (thẳng góc với biên) của hàm ẩn U đã biết.
)t,z,y,x(f n
u
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
33
Miền lời giảiU cần tìm
X
Y
Biên
U(x,y) =???
O )t,z,y,x(f n
u
n
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
34THAÁM COÙ AÙP DÖÔÙI COÂNG TRÌNH
ĐIỀU KIỆN BIÊNloại Neuman 0
n
H
H(x,y)=?
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
35
CÁC LOẠI ĐIỀU KIỆN BIÊN
Biên Cauchy: Là tổ hợp 2 loại biên trên.
, , f đã biết
)t,z,y,x(f n
u)z,y,x(u)z,y,x(
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
36
Chú ý:
Biên C thường gồm nhiều phần vàtrên mỗi phần phải có một và chỉ một loại ĐKB.
Tuy nhiên ĐKB này có thể thay đổi trong quá trình giải bài toán(trường hợp bài toán mô phỏng theo thời gian).
-
8/18/2019 Chuong 1 Co So Pp SPHH.ppt
7/19
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
37
ĐIỀU KIỆN
BAN ĐẦU
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
38
ĐKBĐ chỉ cần khi xét bài toán lan truyền (PT parabolic hay hyperbolic với biến thời
gian t).
PTĐHR cấp 1:
t = 0, f (x,y,z,0) = g(x,y,z) (x,y,z)
PTĐHR cấp 2:
t = 0, f (x,y,z,0) = g(x,y,z) (x,y,z)
và f t (x,y,z,0) = h(x,y,z) (x,y,z)g(x,y,z) , h(x,y,z): hàm số đã biết.
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
39
TÓM TẮT
Giải bài toán ĐHR cần có:
Điều kiện biên
Điều kiện ban đầu (khi bàitoán có biến thời giantrong ẩn số phải tìm)
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
40
SAI PHÂN HỮU HẠN
(SPHH)
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
41
SPHH là phương pháp số ứng dụng
để giải các phương trình đạo hàmriêng với các bước cơ bản sau: Rời rạc hoá miền tính toán 1D
hoặc 2D (ô lưới chử nhật), hoặc 3D(khối chử nhật) Chỉ xét tính toán biến nghiên cứu
tại các điểm nút ô lưới.
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
42
1D x
y=f(x)
y1y2
y3 Yn-1
yn Yn+1
x
Số giá trị Y (vô cực) trên miền liên tục X giảm xuốngchỉ còn một số vị trị hữu hạn trên X
Vị trí xác định giá trị biếnnghiên cứu (hữu hạn vị trí)
-
8/18/2019 Chuong 1 Co So Pp SPHH.ppt
8/19
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
43
1D
i =0 N nút mạng lưới: vị trí xácđịnh giá trị biến cần tìmxi : bước lưới khoảng cách 2 nútkế tiếp (có thể khác nhau từ vị trínày sang vị trí khác).
i (i+1) (i+2)(i-1)(i-2) X
(
xi)
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
44
2D
X, i
Y, j
(i,j) (i+1,j)(i-1,j)
(i,j+1)
(i,j-1)
xi
yi
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
45
3D
X, i
Z, k
(i,j+1,k)(i-1,j,k)
(i,j,k+1)
(i,j,k-1)x
i
yi
(i+1,j,k)
(i,j,k)
(i,j-1,k)
Y, jzi
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
46
Tại các nút ô lưới Các đạo hàmriêng (hoặc đạo hàm) được xấp xỉ bằng các sai phân phương trìnhđại số. Áp dụng cho “tất cả” các nút ô
lưới nhận được hệ phương trình tuyến tính của các ẩn số đại
lượng nghiên cứu tại nút lưới.
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
47
Hệ phương trình này
KẾT HỢP với cácphương trình biểu thị các ĐIỀU KIỆN BIÊN sẽ đủ hệ gồm có N phương trình độc lập tuyến tínhđể xác định N ẩn số.
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
48
Bài toán cân bằng: hệ
phương trình được giải 1 lần Bài toán mô phỏng hiện
tượng theo thời gian: hệ phương trình được giải một lần & kết quả tương ứng tại 1thời điểm & sau đó tiếp tục tiến lên theo thời gian.
-
8/18/2019 Chuong 1 Co So Pp SPHH.ppt
9/19
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
49
CHÚ Ý Bài toán PHI TUYẾN (các hệ số hệ phương trình phụ thuộc giá trị biến
nghiên cứu !) CẦN PHẢI GIẢI LẶP
Lời giải là một xấp xỉ tốt của lời giải chính xác (về nguyên tắc KHÔNGBIẾT) CẦN XEM XÉT: xét sai số cắt bỏ, tính nhất quán, tính ổn định.
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
50
Ví dụ xét bài toán 2D
Thiết lập lưới chử nhật và thay thế U(x,y) bởi U(i x,j y). Định vị các nút theo i, j Phương
trình sai phân được viết theo i, j vàcác điểm lân cận của nó.
Giả thiết xem Ui,j như là U(x0,y0):
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
51
Quy ước:
Ui+1,j = U(x0+ x,y0) &
Ui-1,j = U(x0- x,y0)
Ui,j+1 = U(x0,y0 + y ) &
Ui,j-1 = U(x0,y0- y )
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
52
CHÚ Ý Thông thường người ta hay
chọn x= y Thường ta hay dùng chỉ số
dưới để chỉ KHÔNG GIAN & chỉ số TRÊN để chỉ biến THỜI GIAN.
t
j,iUChỉ thời gian Chỉ không gian
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
53
SAI PHÂN TIẾN -FORWARD
(KHÔNG GIAN)
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
54
Định nghĩa về đạo hàm riêng của
U(x,y) tại vị trí (x0,y0):
Hy vọng rằng [U(x0+ x,y0)-U(x0,y0)]/ x sẽ là một xấp xỉ “hợp lý” của
0x
)y,x(U)y,xx(Ulim
x
U 0000
x
U
-
8/18/2019 Chuong 1 Co So Pp SPHH.ppt
10/19
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
55
Triển khai chuỗi Taylor của U(x0+ x,y0) chung quanh (x0,y0):
xxxwith
!n
x
x
U
)!1n(
x
x
U...
!2
x
x
U
xxU)y,x(U)y,xx(U
00
n
n
n
1n
x
1n
1n2
x
2
2
x
0000
00
0
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
56
Sơ đồ sai phân “tiến” (không gian):
(Forward)
....
!2
x
x
U
x
)y,x(U)y,xx(U
x
U
0
00
x
2
2
0000
y,x
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
57
Viết dưới dạng chỉ số:
sai số cắt bỏ
Ta gọi
biểu thức SAI PHÂN của
x
UU
x
U j,i j,1i
j,i
x/UU j,i j,1i
j,i
x/U
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
58
CHÚ Ý
Sai số cắt bỏ được hiểu là:
[Sai số cắt bỏ] = [Đạo hàm riêng] – [Biểu thức SPHH]
Người ta hay sử dụng ký hiệu 0cho sai số cắt bỏ :
)x(0x
UU
x
U j,i j,1i
j,i
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
59
GỈA THIẾT & TÍNH CHẤT
Khi x đủ nhỏ:
Với K là số thực dương Không biết giá trị chính xác của
0(
x) & chỉ xét được nó thay đổi thế nào khi x 0. Thừa nhận:
xK )x(0
x0x0 2 PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
60
SAI PHÂN LÙI -BACKWARD
(KHÔNG GIAN)
-
8/18/2019 Chuong 1 Co So Pp SPHH.ppt
11/19
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
61
Triển khai chuỗi Taylor của U(x0- x,y0) chung quanh (x0,y0):
...
x
U1...
!2
x
x
U
xx
U)y,x(U)y,xx(U
00
0
x
1n
1nn
2
x
2
2
x
0000
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
62
Sơ đồ sai phân “lùi” (không gian):
Dưới dạng chỉ số:
)x(0x
)y,xx(U)y,x(U
x
U 0000
y,x 00
)x(0x
UU
x
U j,1i j,i
j,i
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
63
TÓM TẮT
x0 (x0+ x)(x0- x)
X,iUI,J
UI+1,J UI-1,J
Sơ đồ sai phân
Forward theokhông gian
Sơ đồ sai phânBackward theo
không gian
Vị trí khaitriển Taylor
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
64
BÀI TẬP 1Chứng minh:
(Sơ đồ sai phân trung tâm)
2 j,1i j,1i
j,i
)x(0x2
UU
x
U
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
65
TÓM TẮT
Sai phân tiến:
Sai phân lùi:
Sai phân trung tâm:
)x(0x
UU
x
U j,1i j,i
j,i
)x(0x
UU
xU j,i j,1i
j,i
2 j,1i j,1i
j,i
)x(0x2
UU
x
U
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
66
BÀI TẬP 2
Hãy dùng ý nghĩa đồ thị để giải thíchvề xấp xỉ sai phân của đạo hàm bậc 1 tại C:
x0 (x0+ x)(x0- x)X
UA
BC
x x
-
8/18/2019 Chuong 1 Co So Pp SPHH.ppt
12/19
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
BÀI TẬP 3
Trong không gian 2D, tìm xấp xỉ của đạo hàm riêng bậc 2:
?x
U)y,x(K
x&?
x
)y,x(U
j,i
2
00
2
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
68
BÀI TẬP 4
Trong không gian 2D, tìm xấp xỉ của đạo hàm riêng bậc 2:
?y.x
)y,x(U
j,i
00
2
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
69
XẤP XỈ THEO
THỜI GIAN
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
70
Các nghiên cứu trên chỉ tập trungxem xét đạo hàm riêng theo khônggian của biến nghiên cứu U(x,y,z,t). Trong phương trình đạo hàm riêng
còn gặp các số hạn:
cần xấp xỉ trong p/p SPHH.
2
2
t
U;
t
U
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
71
Tương tự như khai triển Taylor
áp dụng với biến không gian,với biến thời gian ta cũng có saiphân tiến, sai phân lùi cho xấp xỉ :
t
U
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
72
SAI PHÂN THEO THỜI GIAN
Sai phân tiến:
Sai phân lùi:
Xem giải thích bằng đồ thị sau
)t(0tUU
tU
t
j,i
1t
j,i
t
j,i
)t(0t
UU
t
U 1t
j,i
t
j,i
t
j,i
-
8/18/2019 Chuong 1 Co So Pp SPHH.ppt
13/19
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
73
GIẢI THÍCH BẰNG ĐỒ THỊ (2D)
Sai phân tiến:time
tt+1
tt
Unknown
KnownUt+1(i,j)
Ut(i,j) Ut(i+1,j)
Ut(i-1,j)
Ut(i,j-1)
Ut(i,j+1)
X
Y
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
74
GIẢI THÍCH BẰNG ĐỒ THỊ (2D)
Sai phân lùi:time
tt
tt-1
Unknown
KnownUt(i,j)
Ut-1(i,j)
Ut(i+1,j) Ut(i-1,j)
Ut(i,j-1)
Ut(i,j+1)
X
Y
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
75
SAI PHÂN SƠ ĐỒ HIỆN
& SAI PHÂN SƠ ĐỒ ẨN
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
76
SAI PHÂN SƠ ĐỒ HIỆN Sơ đồ sai phân hiện (Explicit)
được gọi khi ta dùng sơ đồ SAIPHÂN TIẾN (forward difference)khi xấp xỉ theo thời gian.
Các số hạng sai phân trongcác số hạng đạo hàm (riêng)
theo không gian đều lấy ở thời điểm cũ.
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
77
Ví dụ: Xét phương trình truyền nhiệt 1D:
Dùng sai phân tiến đối với đạo hàmtheo thời gian & sai phân trung tâmcho số hạng đạo hàm theo không gian
Phương trình sai phân viết chođiểm (j):
2
2
x
)t,x(T
t
)t,x(T
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
78
Hay:
Giá trị được xác định “trực tiếp” từ các giá trị của nó & giá trị của các nút lân cận trong “quá khứ” đã biết (thời điểm t).
2
t
1 j
t
j
t
1 j
t
j
1t
j
x
TT2T
t
TT
2
t
1 j
t
j
t
1 jt
j
1t
jx
TT2TtTT
1t
jT
-
8/18/2019 Chuong 1 Co So Pp SPHH.ppt
14/19
-
8/18/2019 Chuong 1 Co So Pp SPHH.ppt
15/19
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
85
Bài tập 3Hãy viết phương trình sai phân
theo sơ đồ ẨN (i,j,t+1) chophương trình nước ngầm bão hoà(thấm không ổn định-thấm thayđổi theo thời gian) và có áp 2Dtrong môi trường không đồng chất và không đẳng hướng:
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
86
Trường hợp 1: Mạng lưới tính K trùngvới mạng lưới tính h (Ki,j)
Trường hợp 2: Mạng lưới tính K so levới mạng lưới tính h (ví dụ Ki+1/2,j)
S hệ số phụ thuộc tính chất nước & đất (g/t hằng số), K hệ số thấm.
y
hy,xK
yx
hy,xK
xt
)t,y,x(hS
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
87
Hướng dẫn:
Xác định biểu thức tính ai và b theoK &
bh.ah.a
h.ah.ah.a
1t
1 j,i5
1t
1 j,i4
1t
j,1i3
1t
j,1i2
1t
j,i1
t
.h
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
88
CHÚ ÝChỉ tìm được lời giải phương trình
sai phân hữu hạn ([P/t đạo hàm riêng]-[Sai số cắt bỏ]) với hy vọng là sai số làm tròn là bé & bỏ qua.
Chấp nhận lời giải sai phân với điều kiện sai phân phaỉ thỏa tính NHẤT
QUÁN & tính ỔN ĐỊNH (theo định lýLax hội tụ).
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
89
TÍNH NHẤT QUÁN (Consistency)
Định nghĩa: Sự khác biệt giữa biểu thức sai phân hữu hạn vàphương trình đạo hàm riêng sẽ BIẾN MẤT khi ta thu nhỏ lưới MỘT CÁCH BẤT KỲ.
Lim lưới 0 [P/t đaọ hàm riêng]-[P/t saiphân hữu hạn] = Lim lưới 0 [Sai số cắt bỏ] 0
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
90
TÍNH CHẤT
Sai số làm tròn dạng 0( t),0( x),… có tính NHẤT QUÁNSai số cắt bỏ dạng 0( t/ x),…
không có tính NHẤT QUÁNvì t/
x bất định khi t 0 &x 0, trừ khi lưới thu nhỏ
theo cách mà t/
x 0.
-
8/18/2019 Chuong 1 Co So Pp SPHH.ppt
16/19
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
91
TÍNH ỔN ĐỊNH
Ta nói sơ đồ sai phân ổn định (dùng khi
bài toán giải lặp hoặc bài toán giải theothời gian):
Sai số vì bất kỳ lý do nào KHÔNG ĐƯỢC PHÉP tăng liên tục qua cácbước giải từ thời điểm này sang thời điểm kế.
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
92
TÍNH ỔN ĐỊNH
Chứng minh tính ổn định đòi hỏi khối lượng
tính toán lớn & phức tạp.Quan hệ giữa tính NHẤT QUÁN, HỘI TỤ & ỔN ĐỊNH Định lý tương đương của Lax:
Với một bài toán giá trị ban đầu được thiết lập thỏa đáng & một xấp xỉ sai phân hữu hạn của nó thỏa đ/k nhất quán, tính ổn định lđiều kiện cần & đủ để lời giải hội tụ .
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
93
TÍNH HỘI TỤ
LỜI GIẢI THEO
THỜI GIAN
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
94
Khi sơ đồ sai phân hội tụ Lời giải của phương trình sai phânTIẾN VỀ lời giải phương trìnhđạo hàm riêng khi kích thước lưới thu nhỏ
Thông thường khi sơ đồ lànhất quán & ổn định lời giải
nói chung là hội tụ theo thời gian.
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
95
CÁC LOẠISAI SỐ
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
96
Sai số làm tròn số: Độ
chính xác máy tính là hữu hạn các giá trị số sẽ “bị” làm tròn.
-
8/18/2019 Chuong 1 Co So Pp SPHH.ppt
17/19
-
8/18/2019 Chuong 1 Co So Pp SPHH.ppt
18/19
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
103
Trong đó:M momen uốn (+ nếu thớ dưới bị
căng) q cường độ tải phân bố (+ từ dưới lên)
y độ võng (+ hướng lên trên)E module đàn hồi dầm khi kéo
hoặc nénJ momen quán tính tiết diện
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
104
Yêu cầu: Dùng pp. SPHH chiachiều dài dầm thành 4 đoạn
bằng nhau và xác định Momen & độ võng của dầm tại các vị trí này.
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
105
Hướng dẫn: Giải M trước với M0=M4=0
Viết pt. sai phân với sơ đồ trung tâm chopt. đạo hàm riêng của M, pt (1).
Áp dụng pt. này lần lượt cho các điểm 1,2, 3 có 3 pt. biểu diễn quan hệ Mi
q0
Lh=L/4 h h h0
1 2 3 4
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
106
Đáp số:
Momen M1 = 0.0391q0L2
M2 = 0.0625q0L2
M3 = 0.0547q0L2
Độ võng y1 = -0.00463q0L4 /EJy2 = -0.00682q0L4 /EJ
y3 = -0.00513q0L4 /EJ
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
107
Bài tập 2: Xét một dầm có tiết diện
không đổi trên nền đàn hồi. Phương trình vi phân chuyển vị y có dạng:
k hệ số nền, q tải trọng phân bố, Emodule đàn hồi, J momen quán tính
qkydx
ydEJ
4
4
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
108
a. Gọi m là số đoạn chia dầm, viết phương trình sai phân tại nút i.
b. Biết rằng momen M & lực cắt Q trongdầm có quan hệ với chuyển vị y như sau:
Giả thiết 2 đầu dầm là tự do (M=0, Q=0). Viết phương trình sai phân ở 2 đầu dầm.
3
3
2
2
dx
ydEJ
dx
dMQ&M
dx
ydEJ
-
8/18/2019 Chuong 1 Co So Pp SPHH.ppt
19/19
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
109
HD: L chiều dài dầm, h=L/m
i
4
2i1ii4
4
1i2i qEJ
hyy4ym6y4y
4
EJ
hL
0yy2y2y&0yy2y2112101
2m1mm2m1mm1m yy4y4y&yy2y
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
110
Chú ý: Với m đoạn (m+1) ẩn số tại nút phải có (m+1)
phương trình (đltt).Sau khi giải có yi sẽ xác
định được M & Q theo phương trình vi phân tương ứng.
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
111
Áp dụng Xem sơ đồ sau. Cho m=4, =L(h/EJ)1/4= 4:
q0
Lh=L/4h
1 2 3 4
x
y0-1-2
EJ
hqy;
EJ
hq751.0y
;EJ
hq493.0y;
EJ
hq245.0y;
EJ
hq007.0y
4
04
4
03
4
02
4
01
4
00
PGS. TS. Nguyễn Thống
PHƯƠNG PHÁP SỐ ỨNG DỤNG
Chương 1: Cơ sở phương pháp Sai phân hữu hạn
112
HEÁT CHÖÔNG