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Q ={x1, . . . , xq}
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P (x1), . . . , P (xq)/)<8-')<5)+' <1 +'6-( 4 ¼Ï½Ï <' .5 -*(/+/*)
<' . 38.86 ')+ <5)( .5 (8;1')2' ? @) < 351+,'( +',6 '( 4 1)' +'..' (*1,2' '(+ 1)'05,/5q.' 5.85+*/,' </(2,n+' 4 ;1' )*1( 5..*) ( )*+',
X-5, .5 (1 /+' ? �' (1--*,+ <'
X'(+ . 3')('6q.' <'( 8.86 ')+( <'
Q<' -,*q5q/./+8 )*) )1..'Ð ?
(1--(X) = {x ∈ Q | P (x) > 0}
�5 +=8*,/' <' . 3/)9*,6 5+/*) 9*,6 5./(' 1)' ,'6 5,;1' (/6-.' B -.1 ( . 3808)'6 ')+<*))8 -5, .5 (*1,2' '(+ -,*q5q.' 4 6 */)( .5 ;15)+/+8 < 3/)9*,6 5+/*) 2*,,'(-*)A<5)+' '(+ >,5)<' ? {. 5--5,5Ç+ <*)2 ;1 3/. '7 /(+' 1) ./') ')+,' .5 ÑÌÄÁ·¼·¹ ¾ À¼Á º»Ã Ä·¼ºÁ9*1,)/' -5, 1)' (*1,2' '+ .5 </(+,/q1+/*) <' -,*q5q/./+8 <' . 35.-=5q'+ <' 2'++'(*1,2' ? s /)(/ 4 *) <8�)/+ .5 ;15)+/+8 < 3/)9*,6 5+/*) < 31) 8.86')+
x ∈(1--
(X)-5, BI(x) = − log2 P (x) = log2
1
P (x)�5 05.'1, 6*p'))' <' . 3/)9*,6 5+/*) 9*1,)/' -5, . 3')('6q.' <'( 8.86')+( <'(1--
(X)i *1' 1) ,Ò.' +,n( /6-*,+5)+ <5)( .5 +=8*,/' <' . 3/)9*,6 5+/*) ?
ÓÔÕ Ö×ØÙÚÕ ÕÛ ØÜÖ×ØÙÚÕ ØÕ Ý×ÞßÖÕ ÕÛ àÕ Ö×ØÙÚÕ ÕÛ àÕ ØÜÖ×ØÙÚÕ ØÕ ÖÙáÙà Ý×áÛ àÕÝ ØÕÚßÜÝ ØÕàâã ÕßÛÜ ä×Þß ßÜÙàâÝÕß àÕ ÝåÝÛæç Õ ØÕ ÛßÙáÝç âÝÝâ×á èé êà Ý ëÙÚâÛ Õá ìÙâÛ ØÞ ÝÞää ×ßÛ ØÕ àÙ à×â ØÕ äß×ãÙãâàâÛÜ ØÕXè êà ÕÝÛ ÜÚÙàÕç ÕáÛ á×ÛÜ ÝÞää
P (X)äÙß Ø ëÙÞÛßÕÝ ÙÞÛÕÞßÝ è
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H�íDGRGQD ]%]% î À')+,*-/' ¾ ÀÌÁ½ ˺̻ͽ ¾¼Ëͻη½ X½Ë· ¿Ä ïÄ¿½Ì» à ºð½ÁÁ½
H(X)¾½ ¿ À¼Á º»Ã Ä·¼ºÁ  ºÌ»Á¼½ ñ Ä» ¿ À½Á˽à ò¿½ ¾½Ë ¹¿¹Ã ½Á·Ë ¾½ ˺Á ËÌññ º»· ó
H(X) = −∑
x∈(1--
(X)
P (x) log2 P (x).
ô) -'1+ 8>5.'6 ')+ <8�)/,H(X)
-5, .5 (*66' <'( ;15)+/+8( < 3/)9*,65+/*) <'+*1( .'( 8.86 ')+(
x<' .5 (*1,2'
X? h*1, 2'.5 4 .*,(;1'
P (x) = 04 *) -*('
P (x) log2 P (x) = 0? s1((/ 4 -*1, 5..8>', . 382,/+1,' 4 )*1( *6 '++,*)( -5,9*/( <'
-,82/(',x ∈
(1--(X)
?�õ$ O#$ % ~/
X'(+ 1)' (*1,2' q/)5/,' ;1/ 86 '+
050'2 1)' -,*q5q/./+8
p4 5.*,(
H(X) = −p log2 p− (1 − p) log2(1− p)
�5 9*)2+/*)H(p) = −p log2 p−(1−p) log2(1−p)
'(+ 5--'.8'  ºÁ Í·¼ºÁ ¾ À½Á·»ºñ ¼½ò¼Áļ»½?] %]%� ��QO�G�R�I ^$ # �$DR�QO G$ E �DR�QOG$ LQDö QGDR$ $R LQD^GRGQDD$##$� 3')+,*-/' '(+ 1)' )*+/*) 9*)<56 ')+5.' -*1, .5 +,5)(6 /((/*) < 3/)9*,6 5+/*) 4 ')-5,+/21./', -*1, .5 2*6-,'((/*) '+ .5 2*,,'2+/*) < 3',,'1,( x2*<5>'y ? � 5/( )*1( )'-,8(')+*)( /2/ ;1' .'( -,*-,/8+8( '((')+/'..'( ;1 / (',*)+ 1+/./(8'( -*1, 6*<8./(',.' ('2,'+ x÷c?c ?ey ?øT�Q�� $ ]%] ���$ G��$ GD�a�#GR� ^$ # �$DR�QO G$� % ùº¼½Á·
XÌÁ½ ˺̻ͽ¾¼Ëͻη½ ½· q
¿½ ÁºÃ ò»½ ¾ À¹¿¹Ã ½Á·Ë ¾½ (1--(X)Ï ú ¿º»Ë
0 ≤ H(X) ≤ log2(q)
û ½ ñ ¿ÌËü• H(X) = 0 ˼ ½· ˽̿½Ã ½Á· Ë À¼¿ ½ý ¼Ë·½ x ∈
(1--(X)
·½¿ Ñ̽P (x) = 1 (
¼Ï½Ïq = 1)ü
• H(X) = log2(q)˼ ½· ˽̿½Ã ½Á· ˼ P (x) =
1
q
ñ ºÌ» ·ºÌ·x ∈
(1--(X)
Ï
��$"P$ % ô) 5H(X) =
∑
x∈(1--
(X)
P (x) log2
1
P (x)≥ 0
? w' -.1 ( 4H(X) = 0
(/ '+('1.'6 ')+ (/ +*1( .'( +',6 '( <' 2'++' (*66' (*)+ )1.( ? ô, 4 -*1,
x ∈(1--
(X)4
P (x) log2
1
P (x)= 0
(/ '+ ('1.'6 ')+ (/P (x) = 1
?h*1, .5 <'17 /n6 ' /)8>5./+8 4 )*+*)(
f(p1, . . . , pq) = −∑q
i=1 pi log2 pi
? {. (1� +5.*,( <' -,*10', ;1' .' 6 57/616 <'
f4 (*1( .5 2*)+,5/)+'
p1 + · · ·+pq = 14 051+
log2 q? &'.5 ,'0/')+ : 8+1</', .'( '7+,'65 <' .5 9*)2+/*)
ϕ(p1, . . . , pq−1) = −
q−1∑
i=1
pi log2 pi−(1−(p1+· · ·+pq−1)) log2(1−(p1+· · ·+pq−1))
j
�'( <8,/08'( -5,+/'..'( <'ϕ4
∂ϕ
∂pi
= −1
ln 2( ln pi − ln(1− (p1 + · · ·+ pq−1)) ),
( 35))1.')+ (/p1 = · · · = pq−1 = 1 − (p1 + · · · + pq−1)
? {. ( 3') (1/+ ;1'ϕ5<A
6 '+ 1) -*/)+ 2,/+/;1' -*1,p1 = · · · = pq−1(= pq) = 1
q
? ô) 08,/�' 952/.'A6 ')+ ;1' .5 6 5+,/2' �52*q/'))' <'
ϕ'(+ )8>5+/0' <8�)/' ') 2' -*/)+ 2,/+/;1' 4
<*)2 ;1 3/. 2*,,'(-*)< : 1) -*/)+ <' 6 57/616 ? w' -.1( 4 .' 6 57/616 051+−∑q
i=11q
log21q
= log2 q?
�?
� 5+=86 5+/;1'6 ')+ 4 1)nA1-.'+ <' 05,/5q.'( 5.85+*/,'( </(2,n+'(
(X1, . . . , Xn)( 3/<')+/�' : 1)' ('1 .' 05,/5q.' 5.85+*/,' </(2,n+' <*)+ .' (1--*,+ '(+(1--
(X1, . . . , Xn) = {(x1, . . . , xn) | P (xi, . . . , xn) > 0}
}'65,;1*)( ;1' .*,(;1' .'(n05,/5q.'( (*)+ 61+1'..'6 ')+ /)<8-')<5)+'( 4 *)
*q+/')+ B(1--
(X1, . . . , Xn) = {(x1, . . . , xn) | P (xi) · · ·P (xn) > 0}
=n∏
i=1
(1--(Xi)
H�íDGRGQD ]%� % î À½Á·»ºñ ¼½ ͺÁþ º¼Á·½ ¾½n ËºÌ»Í½Ë ¾¼Ëͻη½Ë X1, . . . , Xn
½Ë·¾¹ÿ Á¼½ ñ Ä» ó
H(X1, . . . , Xn) = −∑
(x1,...,xn)∈(1--
(X1,...,Xn)
P (x1, . . . , xn) log2 P (x1, . . . , xn)
��QO QIGRGQD ]%]% ù ¼ ¿½Ë n ËºÌ»Í½Ë ËºÁ· Ã̷̽¿ ¿½Ã ½Á· ¼Á¾¹ñ ½Á¾ÄÁ·½Ëü ºÁ Ä ó
H(X1, . . . , Xn) =
n∑
i=1
H(Xi)
��$"P$ % {. (1� + <' 08,/�', . 38>5./+8 -*1,n = 2
É 1) (/6-.' ,5/(*))'6')+-5, ,821,,')2' -',6 '+ ')(1 /+' < 38+5q ./, . 38>5./+8 -*1, 1) )*6q,' 5,q /+,5/,' <'(*1,2'( ? h*1, <'17 (*1,2'( /)<8- ')<5)+'(
X1'+
X2*) *q+/')+ B
H(X1, X2) = −∑
x1
∑
x2
P (x1)P (x2) (log2 P (x1) + log2 P (x2))
=
(
∑
x1
P (x1) log2 P (x1)
)(
∑
x2
P (x2)
)
+
(
∑
x2
P (x2) log2 P (x2)
)(
∑
x1
P (x1)
)
= H(X1) + H(X2)
z
(52=5)+ ;1'∑x1
P (x1) =∑
x2
P (x2) = 1? � 3'7+')(/*) -5, ,821,,')2' 4 ;1/ (1/+ .'
6 Ê6' -,/)2/-' 4 '(+ </,'2+' ?�
H�íDGRGQD ]%b % ù º¼½Á·X½·
Y¾½Ìý ËºÌ»Í½Ë ¾¼Ëͻη½Ë Ï î À½Á·»ºñ ¼½ ͺÁ¾¼·¼ºÁÁ½¿ ¿½¾½
X¹·ÄÁ· ¾ºÁÁ¹ ¿ À¹ï¹Á½Ã ½Á·
Y = y½Ë· ¾¹ÿ Á¼½ ñ Ä» ó
H(X | Y = y) = −∑
x∈(1--
(X|y)
P (x | y) log2 P (x | y)
î À½Á·»ºñ ¼½ ͺÁ¾¼·¼ºÁÁ½¿ ¿½ ¾½ ¿Ä ˺̻ͽ X¹·ÄÁ· ¾ºÁÁ¹½
Y½Ë· ¾¹ÿ Á¼½ ñ Ä» ó
H(X | Y ) = −∑
y∈(1--
(Y )
P (y)H(X | Y = y)
øT�Q�� $ ]%� �S�a#$ ^$ #� LT��D$�% � ·ÄÁ· ¾ºÁÁ¹½Ë n ËºÌ»Í½Ë ¾¼Ëͻη½ËX1, . . . , Xn
ü ¿ À¹� Ä¿¼·¹ Ë̼ïÄÁ·½ ½Ë· ËÄ·¼Ë ļ·½ óH(X1, . . . , Xn) = H(X1) + H(X2 | X1) + · · ·+ H(Xn | X1, . . . , Xn−1)
��$"P$ % �5 -,'10' '(+ <*))8' <5)( .' 25(n = 2
? �' 25( >8)8,5. ') <82*1.' -5,1) (/6-.' ,5/(*))'6 ')+ -5, ,821,,')2' ?@) ,'6 5,;15)+ ;1' -*1, +*1+ 8.86 ')+
x1�78 ∑
x2
P (x2 | x1) = 14 *) - '1+
82,/,' BH(X1) + H(X2 | X1) = −
∑
x1
P (x1) log2 P (x1)
−∑
x1
P (x1)∑
x2
P (x2 | x1) log2 P (x2 | x1)
= −∑
x1
P (x1) log2 P (x1)∑
x2
P (x2 | x1)
−∑
x1
P (x1)∑
x2
P (x2 | x1) log2 P (x2 | x1)
= −∑
x1,x2
P (x1, x2)(log2 P (x1) + log2 P (x2 | x1))
−∑
x1,x2
P (x1, x2) log2 P (x1, x2)
= H(X1, X2)
�
øT�Q�� $ ]%b �H$"õG� $ $R R�QGIG� $ GD�a�#GR�I ^$ # �$DR�QO G$� % ù º¼½Á·X, Y
½·Z·»º¼Ë ËºÌ»Í½Ë Ï ú ¿º»Ë ó
0 ≤ H(X | Y ) ≤ H(X)
r
Äï½Í ¹� Ä¿¼·¹ ˼ ½· ˽̿½Ã ½Á· ˼ X ½·Y ˺Á· ¼Á¾¹ñ ½Á¾ÄÁ·½ËÏ
0 ≤ H(X | Y, Z) ≤ H(X | Z)
Äï½Í ¹� Ä¿¼·¹ ˼ ½· ˽̿½Ã ½Á· ˼ X | Z ½·Y | Z ˺Á· ¼Á¾¹ñ ½Á¾ÄÁ·½Ëü / ?' ? ñ ºÌ» ·ºÌ·
x, y, zºÁ Ä
P (x, y | z) = P (x | z)P (y | z)Ï
��$"P$ % {. (1� + <' -,*10', .5 -,'6 /n,' /)8>5./+8 4 .5 <'17/n6 ' ') '(+ 1)'2*)(8;1')2' ? u*1( 5..*)( 1+/./(', . 3/)8>5./+8 (1/05)+' 4 5--'.8' -5,9* /( /)8>5./+8{d B
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? ~5 08,/�25+/*) '(+ 1) (/6-.' '7',2/2' <','2=',2=' < 3'7+,'6 5 ?�' 95/+ ;1'
0 ≤ H(X | Y )<82*1.' </,'2+'6 ')+ <' .5 <8�)/+/*) <'
H(X | Y )?
@) ,'6 5,;15)+ ;1' ∑y P (y | x) = 1
xx�78y *) -'1+ 82,/,' B
H(X)−H(X | Y ) =
= −∑
x
P (x) log2 P (x) +∑
y
P (y)∑
x
P (X | y) log2 P (X | y)
= −∑
x
P (x) log2 P (x)∑
y
P (y | x) +∑
x,y
P (x | y)P (y) log2 P (X | y)
= −∑
x,y
P (x, y) log2 P (x) +∑
x,y
P (x, y) log2 P (X | y)
= −∑
x,y
P (x, y) log2
P (x)P (y)
P (x, y)
≥∑
x,y
P (x, y)
(
1−P (x)P (y)
P (x, y)
)
=∑
x,y
P (x, y)−∑
x
P (x)∑
y
P (y)
= 1− 1 = 0
50'2 8>5./+8 (/ '+ ('1.'6 ')+ (/ P (x)P (y)
P (x, y)= 1, ∀x, y
4 51+,'6 ')+ </+X'+
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Document signé
ALICE
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DocumentExtraction
Fonction
de
Hachage
Algorithme de
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Document signé
ALICE
Génération d’une pairede clés
Fonction de signature
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