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Chercheur en maths :quel métier bizarre !
Chercheur en maths :quel métier bizarre !
Chimène Sivak et Stéphane FischlerUniversité Paris-Sud
Janvier 2005
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Plan de l’exposéPlan de l’exposé
1. Formations et débouchés2. La recherche3. Quelques idées reçues4. Un peu de mathématiques…
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1. Formation et débouchés1. Formation et débouchés
Les études de maths Les métiers des maths
- L’enseignement- La recherche
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Les études de mathsLes études de maths
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Premier cyclePremier cycle
• Université :DEUG (filière non sélective)
• Classes préparatoires.
Etudes
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Deuxième cycleDeuxième cycle
• Université :Licence et Maîtrise.
• Grandes écoles :• E.N.S. : pour recherche et enseignement.• Ecole Polytechnique : généraliste.• Mines, Ponts, Centrale, … : ingénieur.
• CAPES, Agrégation (concours).
Etudes
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Troisième cycleTroisième cycle
• D.E.A.Université et/ou Grandes écoles.
• Thèse (3 ans) :• Université (peut être couplé à de
l’enseignement en premier cycle).• Grandes écoles.• Entreprise.
Etudes
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Les métiers des mathsLes métiers des maths
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L’enseignementL’enseignement
• Collège, Lycée.• Classes préparatoires.• Grandes écoles.• Université :
• Cours en amphithéâtre : 100 étudiants.• Séances d’exercices (T.D.) : 25 étudiants.
Métiers
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La rechercheLa recherche
• Organismes publics de recherche :CNRS, INRIA, INSERM …
• Universités :Enseignants-chercheurs.
• Entreprises privées :Recherche appliquée.
Métiers
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2. La recherche2. La recherche
Qu’est-ce que la recherche ? Résoudre un problème La place de l’ordinateur « Il n’y a plus rien à trouver… » Les difficultés En France… Notre quotidien
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Qu’est-ce que la recherche ?Qu’est-ce que la recherche ?
• Se poser des questions.• Résoudre le problème posé.• Trouver des relations avec d’autres
problèmes…Ce qui revient à se poser d’autres questions!
• Rédiger, publier et communiquer sesrésultats.
La recherche
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Résoudre un problèmeRésoudre un problème
• D’abord résoudre un cas particulier :• Faire des essais dans un cas simple.• En tirer une méthode pour un cas plus général.
• Puis généraliser.• Savoir rebrousser chemin si on est dans une
impasse !
La recherche
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La place de l’ordinateurLa place de l’ordinateur
• Outil indispensable :• Rédaction des articles.• Communication : email, internet.• Calcul numérique ou formel.
• Mais ne remplace pas l’homme :• Incapable de réfléchir, d’avoir des idées…• Un calcul n’est pas une démonstration !
La recherche
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« Il n’y a plus rien à trouver… »« Il n’y a plus rien à trouver… »
• Plus de théorèmes depuis 1945 qu’avant.• Il reste des questions anciennes non
résolues.• Et les avancées posent beaucoup de
nouvelles questions !
La recherche
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Les difficultésLes difficultés
• Peu de femmes.• Compétitif.• Nécessite vraie motivation ; métier-passion.• Problème de communication avec le grand
public :• Contenu inaccessible.• Intérêt difficile à partager.
La recherche
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En France…En France…
• Emploi permanent, mais pas bien payé.• 9 années d’études.• Salaire à l’embauche : 1800 EUR environ.• Avantage : beaucoup d’autonomie.
• Recherche de très haut niveau :• 8 Médaillés Fields.• Nombreuses revues françaises.• Nombreux articles en français.
La recherche
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Notre quotidienNotre quotidien
• Enseignement :• 6 h/semaine de T.D.• Préparation des exercices et des devoirs.• Correction des copies.
• Recherche :• 1 ou 2 exposé(s) par semaine (1 heure).• Congrès (quelques semaines par an).• Travail de recherche proprement dit.
• Autres :• Vulgarisation, Math en Jeans, …• Organisation de conférences, …
La recherche
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3. Quelques idées reçues3. Quelques idées reçues
Solitaire Coupé du monde Peu de moyens
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Solitaire ?Solitaire ?
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Oui :Oui :
• La recherche en mathématiques, c’estavant tout un travail personnel.
Exemples:- Réfléchir par soi-même.- Trouver de nouvelles idées.- Apprendre de nouvelles choses.- Se tenir au courant des avancées.
Solitaire ?
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Non :Non :
• Mise en commun des résultats.Exemples:- Séminaires hebdomadaires.- Congrès, colloques (nationaux ou internationaux).
• Travail en équipe.Exemples:- Collaborations : chacun apporte ses idées et son savoir.- Groupes de travail (on étudie en groupe).
Solitaire ?
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Coupé du monde ?Coupé du monde ?
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Oui :Oui :
• Peu de gens comprennent !Pour un article moyen, dans le monde :- 10 personnes comprennent vraiment tous les détails.- 100 personnes comprennent les idées principales.- 1000 personnes comprennent l’intérêt des résultats.
• Pas beaucoup d’applications :Intérêt théorique avant tout.
Coupé du monde ?
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Non :Non :
• Applications à d’autres sciences.Exemples:- Physique théorique : relativité, atomistique.- Informatique : compression d’images (JPEG).• Applications industrielles.Exemples:- Codes correcteurs d’erreurs ; cryptographie.- Recherche de puits de pétrole.- Lutte contre les avalanches.
Coupé du monde ?
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Peu de moyens ?Peu de moyens ?
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Oui :Oui :
• Peu de moyens pour la recherchefondamentale.
Exemples :- Peu de postes.- Peu d’argent pour les missions, le matériel et la
bibliothèque.- Pas assez de personnel d’encadrement.
Peu de moyens ?
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Non :Non :
• Moins grave en maths que dans les autresdisciplines.
Exemples:- Biologie, Chimie, Physique : besoin de matériel très
coûteux.- Mathématiques fondamentales : « il nous suffit d’un papier
et d’un crayon ! »
Peu de moyens ?
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4. Un peu de mathématiques…4. Un peu de mathématiques…
Le théorème de Fermat Le code R.S.A. Le problème de Syracuse
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Le théorème de Fermat(1636)
Le théorème de Fermat(1636)
Cubem autem in duos cubos, autquadratoquadratum in duosquadratoquadratos, et generaliter nullamin infinitum ultra quadratum potestatemin duos eiusdem nominis fas est dividere.
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Le théorème de Fermat(1636 - 1994)
Le théorème de Fermat(1636 - 1994)
Il n’existe pas d’entiers positifs non nulsx,y,z tels que
xn + yn = zn
avec n ≥ 3.
Fermat
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Pour n=2…Pour n=2…
L’équationx2 + y2 = z2
a une infinité de solutions entières :32 + 42 = 52
122 + 52 = 132
…
Fermat
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Stratégie de preuve (1)Stratégie de preuve (1)
Si xn + yn = zn, on considère l’équationA2 = B (B - xn) (B + yn)
qui est celle d’une« courbe elliptique »
avec des propriétés bien particulières…
Fermat
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Stratégie de preuve (2)Stratégie de preuve (2)
…tellement particulières qu’elle ne peut pas êtremodulaire.
Or Wiles a démontré (sous certaines hypothèses)que toute courbe elliptique est modulaire : c’estla conjecture de Taniyama-Weil.
Fermat
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Le code R.S.A.Le code R.S.A.
Inventé par Rivest, Shamir et Adlemanen 1977.
Utilisé pour transmettre des donnéesconfidentielles sans que personne nepuisse les déchiffrer.
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CodageCodage
Message à envoyer : bonjourMessage codé : 02 15 14 10 15 21 18
Le problème est maintenant de cryptercette suite de chiffres…
R.S.A.
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Clef publique / Clef privéeClef publique / Clef privée
Une clef publique : permet à n’importe quide pouvoir crypter un message.
Une clef privée : permet seulement à unepersonne de décrypter les messages.
R.S.A.
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ProblèmeProblème
Personne ne doit pouvoir deviner quelleest la clef privée !
R.S.A.
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SolutionSolution
Nombres privés : deux grands nombrespremiers p et q.
Nombre public : le produit pq.
Justification : factoriser, c’est très long !
R.S.A.
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CongruencesCongruences
On notea ≡ b (mod N)
si a-b est multiple de N.
Exemple : 26 ≡ 5 (mod 7)
R.S.A.
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Choix des clefsChoix des clefs
p = 11, q = 23 privésN = pq = 11*23 = 253 publicN’ = (p-1)(q-1) = 10*22 = 220 privéClef privée : D = 27 choisieClef publique : E = 163 calculée pourque D*E ≡ 1 (mod N’)
R.S.A.
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Cryptage de 02Cryptage de 02
Cryptage : 2163 ≡ 52 (mod 253)Le message crypté est 52.
Décryptage : 5227 ≡ 2 (mod 253)Le message décrypté est 2.
Publics : 163, 253. Privé : 27.
R.S.A.
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ExempleExemple
Message initial : bonjourMessage codé : 02/15/14/10/15/21/18Message crypté :
52/152/159/43/152/109/35
R.S.A.
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Problème de SyracuseProblème de Syracuse
Partons d’un entier n :• Si n est pair, on le divise par 2.• Si n est impair, on le multiplie par 3 et on
ajoute 1.
On recommence ce procédé…
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ConjectureConjecture
En recommençant suffisamment de fois,on finit toujours par arriver à 1.
Syracuse
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ExemplesExemples
• 7 → 22 → 11→ 34 → 17 → 52 → 26 → 13 → 40 → 20 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1• 3 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1
Légende :→ on multiplie par 3 et on ajoute 1→ on divise par 2
Syracuse
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Maintenant, c’est à vous dechercher…
Maintenant, c’est à vous dechercher…