Download - Centro di massa
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Centro di massaConsideriamo un sistema di due punti materiali di masse m1 e m2 che possono muoversi in una dimensione lungo un asse x
xm1 m2
x1 x2
Centro di massa:M
xmxm
mm
xmxmx 2211
21
2211c
xc
Il centro di massa è in una posizione intermedia tra x1 e x2
Il centro di massa è più vicino al corpo di massa maggiore
Caso particolare: se m1=0 è xc=x2 (se m2=0 è xc=x1 )
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Centro di massa di un sistema di puntiPer un sistema di n punti materiali in una dimensione si pone:
n
1iii
n21
nn2211c xm
M
1
m...mm
xm...xmxmx
In 3 dimensioni, la posizione del centro di massa è definita da:
n
1iii
n21
nn2211c rm
M
1
m...mm
rm...rmrmr
zmM
1z ym
M
1y xm
M
1x
n
1iiic
n
1iiic
n
1iiic
Il centro di massa è un punto geometrico che si muove come se in esso fosse concentrata tutta la massa del sistema
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Moto del centro di massa
nn2211c rm...rmrmr M
nn2211c am...amama M
n21c F...FFa M
Nella somma delle forze vanno considerate sia le forze interne (interazioni tra i punti del sistema) che quelle esterne (dovute all’azione di agenti esterni al sistema)
Per la terza legge di Newton, le forze interne sono a due a due uguali e opposte, quindi non contribuiscono alla somma a secondo membro, dove rimane la risultante delle sole forze esterne
cext a MF
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Forze interne e forze esterne
m1
m2
m3
Fext,1
Fext,2
Fext,3
f21
f12
f31
f13
f32
f23
La risultante delle forze interne è sempre nulla perchè sono a due a due uguali in modulo e dirette in verso opposto
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Quantità di motoPer una particella si definisce il vettore quantità di moto:
vmp
Derivando rispetto al tempo la quantità di moto si ha:
dt
pdFFam
dt
vdm
dt
pd
L’equazione precedente è una formulazione più generale della seconda legge di Newton in quanto tiene conto della possibilità che la massa della particella possa variare nel tempo
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Quantità di moto di un sistemaSi definisce la quantità di moto di un sistema di punti materiali come somma delle singole quantità di moto:
n21 pppP
...
La quantità di moto del sistema è pari alla quantità di moto che avrebbe il centro di massa se in esso fosse concentrata tutta la massa del sistema
Equazione del moto del centro di massa:
Centro di massa: nn2211c rm...rmrmr M
nn2211c vm...vmvmv M
dt
dt
Pd
dt
vdMa MF ext
ccext
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Teorema dell’impulsoConsideriamo un punto materiale su cui agisce una forza molto intensa per un breve intervallo di tempo Δt tra t1 e t2 (situazione tipica in un urto):
(t)dtFpddt
pd(t)F
JpΔ(t)dtFpp(t)dtFpd2
1
2
1
2
1
t
t
12
t
t
t
t
Impulso: ΔtF(t)dtFJ2
1
t
t
La variazione della quantità di moto è pari all’impulso
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Conservazione della quantità di moto
Sistema chiuso = nessuna particella può entrare o uscire dal sistema
Sistema isolato = sistema di punti materiali in cui la risultante delle forze esterne è nulla
In un sistema chiuso e isolato la quantità di moto del sistema si conserva (ma possono variare le quantità di moto delle singole particelle!)
Se è nulla una sola componente della risultante delle forze esterne (es. Fext,x ) allora si conserva la corrispondente componente della quantità di moto (Px )
costanteP0dt
Pd0Fext
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Urto tra due punti materiali Processo di urto tra due punti materiali:
l’interazione tra i due punti è di breve durata (da potersi ritenere istantanea) rispetto al tempo di osservazione del sistema
durante l’urto, l’intensità delle forze esterne è trascurabile rispetto a quella delle forze di interazione tra i due corpi
Affinchè si verifichi un processo di urto, non è necessario che ci sia il contatto tra le due particelle Negli esperimenti di fisica subnucleare, si verificano urti tra
particelle elementari senza che queste vengano a contatto In un processo di urto si conserva la quantità di moto del
sistema:
il moto del centro di massa del sistema non risente dell’urto
f2,f1,2,i1,i pppp
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Urto completamente anelastico (1)In urto completamente anelastico, le due particelle, dopo l’urto, restano attaccate.
)Vm(mvmvm 212211
Conservazione della quantità di moto:
21
2211
mm
vmvmV
La velocità finale dei due corpi è pari alla velocità del centro di massa del sistema, che resta inalterata dall’urto
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Urto completamente anelastico (2)
In questo esempio, la particella di massa m2 è inizialmente ferma (v2=0):
21
11
mm
vmV
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Pendolo balisticoIl pendolo balistico è usato per misurare la velocità dei proiettiliIl proiettile penetra nel blocco di legno
(urto completamente anelastico):
Il sistema blocco+proiettile oscilla, conservando la sua energia meccanica:
mM
mvV
m)gh(Mm)V(M2
1 2
2ghm
mMv
Ricavando V dalla seconda equazione e sostiuendo nella prima:
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Urto elasticoIn un urto elastico si conserva l’energia cinetica del sistema
Conservazione della quantità di moto:
Conservazione dell’energia cinetica:
22112211 VmVmvmvm
222
211
222
211 Vm
2
1Vm
2
1vm
2
1vm
2
1
Velocità finali:
21
112122
21
221211
mm
v2mv mmV
mm
v2mv mmV
Se m1=m2 allora V1=v2 e V2=v1 (i corpi si scambiano le velocità)
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Urto elastico con bersaglio fissoIn questo caso v2=0 e le formule per le velocità finali diventano:
121
121
21
211 v
mm
2mV v
mm
mmV
Se m1=m2 :V1 = 0 e V2 = v1 (i corpi si scambiano le velocità)
Se m2>>m1 : V1 ≈ -v1 e V2 ≈ 0 (il proiettile rimbalza sul bersaglio e torna indietro con velocità in modulo uguale a quella iniziale)
Se m2<<m1 : V1 ≈ v1 e V2 ≈ 2v1 (il proiettile prosegue il suo moto indisturbato e il bersaglio schizza via con velocità pari al doppio della velocità iniziale del proiettile)