-
Cenni di logica e calcolo proposizionale
Corso di Laurea in InformaticaUniversità degli Studi di Bari (sede Brindisi)
Analisi Matematica
S.Milella ([email protected]) Cenni di logica 1 / 10
-
Proposizioni
proposizione semplice := frase elementare di senso compiuto che può essere vera (V) ofalsa (F)
4 è un numero pari (V)
Milano è la capitale d’Italia (F)
La Milella è simpaticissima (?) Non è una proposizione semplice!
Le proposizioni semplici si possono combinare tra loro tramite i connettivi logici
¬ negazione∧ congiunzione∨ disgiunzione⇒ implicazione⇔ equivalenza
Le proposizioni composte sono il risultato di tali operazioni.
S.Milella ([email protected]) Cenni di logica 2 / 10
-
Proposizioni
proposizione semplice := frase elementare di senso compiuto che può essere vera (V) ofalsa (F)
4 è un numero pari (V)
Milano è la capitale d’Italia (F)
La Milella è simpaticissima (?) Non è una proposizione semplice!
Le proposizioni semplici si possono combinare tra loro tramite i connettivi logici
¬ negazione∧ congiunzione∨ disgiunzione⇒ implicazione⇔ equivalenza
Le proposizioni composte sono il risultato di tali operazioni.
S.Milella ([email protected]) Cenni di logica 2 / 10
-
Proposizioni
proposizione semplice := frase elementare di senso compiuto che può essere vera (V) ofalsa (F)
4 è un numero pari (V)
Milano è la capitale d’Italia (F)
La Milella è simpaticissima (?) Non è una proposizione semplice!
Le proposizioni semplici si possono combinare tra loro tramite i connettivi logici
¬ negazione∧ congiunzione∨ disgiunzione⇒ implicazione⇔ equivalenza
Le proposizioni composte sono il risultato di tali operazioni.
S.Milella ([email protected]) Cenni di logica 2 / 10
-
Proposizioni
proposizione semplice := frase elementare di senso compiuto che può essere vera (V) ofalsa (F)
4 è un numero pari (V)
Milano è la capitale d’Italia (F)
La Milella è simpaticissima (?) Non è una proposizione semplice!
Le proposizioni semplici si possono combinare tra loro tramite i connettivi logici
¬ negazione∧ congiunzione∨ disgiunzione⇒ implicazione⇔ equivalenza
Le proposizioni composte sono il risultato di tali operazioni.
S.Milella ([email protected]) Cenni di logica 2 / 10
-
Proposizioni
proposizione semplice := frase elementare di senso compiuto che può essere vera (V) ofalsa (F)
4 è un numero pari (V)
Milano è la capitale d’Italia (F)
La Milella è simpaticissima (?) Non è una proposizione semplice!
Le proposizioni semplici si possono combinare tra loro tramite i connettivi logici
¬ negazione∧ congiunzione∨ disgiunzione⇒ implicazione⇔ equivalenza
Le proposizioni composte sono il risultato di tali operazioni.
S.Milella ([email protected]) Cenni di logica 2 / 10
-
Proposizioni
proposizione semplice := frase elementare di senso compiuto che può essere vera (V) ofalsa (F)
4 è un numero pari (V)
Milano è la capitale d’Italia (F)
La Milella è simpaticissima (?) Non è una proposizione semplice!
Le proposizioni semplici si possono combinare tra loro tramite i connettivi logici
¬ negazione∧ congiunzione∨ disgiunzione⇒ implicazione⇔ equivalenza
Le proposizioni composte sono il risultato di tali operazioni.
S.Milella ([email protected]) Cenni di logica 2 / 10
-
Proposizioni composte
Esempi
A: Brindisi è in Puglia
¬A: Brindisi non è in PugliaA: torno a casa, B: leggo un libro
A ∧ B: torno a casa e leggo un libroA ⇒ B: se torno a casa allora leggo un libroA: 2 è un numero dispari, B: Roma è la capitale dell’Irlanda
A ⇔ B: 2 è un numero dispari se e solo se Roma è la capitale dell’Irlanda
Non tutte le frasi ottenute hanno senso nel linguaggio comune, ma sono tutteproposizioni logiche composte e, come tali, possono essere vere o false.
S.Milella ([email protected]) Cenni di logica 3 / 10
-
Proposizioni composte - Tavole di verità
Date due proposizioni semplici A e B, i valori di verità delle proposizioni composte siriassumono nelle seguenti tavole:
tavola di verità di ¬A (si legge non A)A ¬AV FF V
tavola di verità di A ∧ B (si legge A e B)A B A ∧ BV V VV F FF V FF F F
tavola di verità di A ∨ B (si legge A o B) ∨ non è esclusivoA B A ∨ BV V VV F VF V VF F F
S.Milella ([email protected]) Cenni di logica 4 / 10
-
Proposizioni composte - Tavole di verità
Date due proposizioni semplici A e B, i valori di verità delle proposizioni composte siriassumono nelle seguenti tavole:
tavola di verità di ¬A (si legge non A)A ¬AV FF V
tavola di verità di A ∧ B (si legge A e B)A B A ∧ BV V VV F FF V FF F F
tavola di verità di A ∨ B (si legge A o B) ∨ non è esclusivoA B A ∨ BV V VV F VF V VF F F
S.Milella ([email protected]) Cenni di logica 4 / 10
-
Proposizioni composte - Tavole di verità
Date due proposizioni semplici A e B, i valori di verità delle proposizioni composte siriassumono nelle seguenti tavole:
tavola di verità di ¬A (si legge non A)A ¬AV FF V
tavola di verità di A ∧ B (si legge A e B)A B A ∧ BV V VV F FF V FF F F
tavola di verità di A ∨ B (si legge A o B) ∨ non è esclusivoA B A ∨ BV V VV F VF V VF F F
S.Milella ([email protected]) Cenni di logica 4 / 10
-
Proposizioni composte - Tavole di verità
tavola di verità di A ⇒ B (si legge A implica B oppure se A allora B)
A B A ⇒ BV V VV F FF V VF F V
Si dice anche che A è una condizione sufficiente per B e B è una condizionenecessaria per A.
tavola di verità di A ⇔ B (si legge A equivale a B oppure A se solo se B)
A B A ⇔ BV V VV F FF V FF F V
S.Milella ([email protected]) Cenni di logica 5 / 10
-
Proposizioni composte - Tavole di verità
tavola di verità di A ⇒ B (si legge A implica B oppure se A allora B)
A B A ⇒ BV V VV F FF V VF F V
Si dice anche che A è una condizione sufficiente per B e B è una condizionenecessaria per A.
tavola di verità di A ⇔ B (si legge A equivale a B oppure A se solo se B)
A B A ⇔ BV V VV F FF V FF F V
S.Milella ([email protected]) Cenni di logica 5 / 10
-
Proposizioni composte
contraddizione := proposizione composta sempre falsa
tautologia := proposizione composta sempre vera
Esempi
A ∧ (¬A) è una contraddizione, infatti
A ¬A A ∧ (¬A)V F FF V F
A ⇒ (A ∨ B) è una tautologia, infatti
A B A ∨ B A ⇒ (A ∨ B)V V V VV F V VF V V VF F F V
S.Milella ([email protected]) Cenni di logica 6 / 10
-
Proposizioni composte
contraddizione := proposizione composta sempre falsa
tautologia := proposizione composta sempre vera
Esempi
A ∧ (¬A) è una contraddizione, infatti
A ¬A A ∧ (¬A)V F FF V F
A ⇒ (A ∨ B) è una tautologia, infatti
A B A ∨ B A ⇒ (A ∨ B)V V V VV F V VF V V VF F F V
S.Milella ([email protected]) Cenni di logica 6 / 10
-
Proposizioni composte
contraddizione := proposizione composta sempre falsa
tautologia := proposizione composta sempre vera
Esempi
A ∧ (¬A) è una contraddizione, infatti
A ¬A A ∧ (¬A)V F FF V F
A ⇒ (A ∨ B) è una tautologia, infatti
A B A ∨ B A ⇒ (A ∨ B)V V V VV F V VF V V VF F F V
S.Milella ([email protected]) Cenni di logica 6 / 10
-
Proposizioni composte
Osservazioni
¬(¬A) equivale ad A¬(A ∧ B) equivale a (¬A) ∨ (¬B)¬(A ∨ B) equivale a (¬A) ∧ (¬B)A ⇒ B equivale a (¬B) ⇒ (¬A)¬(A ⇒ B) equivale a A ∧ (¬B)i connettivi ∨ ed ∧ sono commutativi ed associativi
(da dimostrare con le tavole di verità)
S.Milella ([email protected]) Cenni di logica 7 / 10
-
Predicati e quantificatori
predicato:= frase contenente una o più variabili
Esempi
A(x): x è un numero razionale
A(x , y): x è maggiore di y
La verità o falsità di un predicato dipende dai valori attribuiti alle variabili:
A(√
2) è una proposizione falsa
A(3, 1) è una proposizione vera.
I predicati si trasformano in proposizioni semplici utilizzando i quantificatori:
∀ quantificatore universale (si legge per ogni)
∃ quantificatore esistenziale (si legge esiste)
Si fa uso anche del simbolo ∃| (si legge esiste un solo)
S.Milella ([email protected]) Cenni di logica 8 / 10
-
Predicati e quantificatori
predicato:= frase contenente una o più variabili
Esempi
A(x): x è un numero razionale
A(x , y): x è maggiore di y
La verità o falsità di un predicato dipende dai valori attribuiti alle variabili:
A(√
2) è una proposizione falsa
A(3, 1) è una proposizione vera.
I predicati si trasformano in proposizioni semplici utilizzando i quantificatori:
∀ quantificatore universale (si legge per ogni)
∃ quantificatore esistenziale (si legge esiste)
Si fa uso anche del simbolo ∃| (si legge esiste un solo)
S.Milella ([email protected]) Cenni di logica 8 / 10
-
Predicati e quantificatori
predicato:= frase contenente una o più variabili
Esempi
A(x): x è un numero razionale
A(x , y): x è maggiore di y
La verità o falsità di un predicato dipende dai valori attribuiti alle variabili:
A(√
2) è una proposizione falsa
A(3, 1) è una proposizione vera.
I predicati si trasformano in proposizioni semplici utilizzando i quantificatori:
∀ quantificatore universale (si legge per ogni)
∃ quantificatore esistenziale (si legge esiste)
Si fa uso anche del simbolo ∃| (si legge esiste un solo)
S.Milella ([email protected]) Cenni di logica 8 / 10
-
Predicati e quantificatori
Esempi
Dato il predicato A(x): x ∈ R, x è pari
∀x A(x) (significa: per ogni x , x è un numero reale ed è pari) è una proposizionefalsa
∃x A(x) (significa: esiste almeno un numero reale pari) è una proposizione vera∃|x A(x) (significa: esiste un solo numero reale pari) è una proposizione falsa
Dato il predicato A(x , y): x + y = 2
∀x ∃y A(x , y) è una proposizione vera∃y ∀x A(x , y) è una proposizione falsa
Attenzione all’ordine dei quantificatori!
S.Milella ([email protected]) Cenni di logica 9 / 10
-
Predicati e quantificatori
Esempi
Dato il predicato A(x): x ∈ R, x è pari
∀x A(x) (significa: per ogni x , x è un numero reale ed è pari) è una proposizionefalsa
∃x A(x) (significa: esiste almeno un numero reale pari) è una proposizione vera∃|x A(x) (significa: esiste un solo numero reale pari) è una proposizione falsa
Dato il predicato A(x , y): x + y = 2
∀x ∃y A(x , y) è una proposizione vera∃y ∀x A(x , y) è una proposizione falsa
Attenzione all’ordine dei quantificatori!
S.Milella ([email protected]) Cenni di logica 9 / 10
-
Predicati e quantificatori
Osservazioni
Dato un predicato A(x)
la negazione della proposizione ∀x A(x) è ∃x ¬A(x)la negazione della proposizione ∃x A(x) è ∀x ¬A(x)la negazione della proposizione ∀x ∃y A(x , y) è ∃x ∀y ¬A(x , y)la negazione della proposizione ∃x ∀y A(x , y) è ∀x ∃y ¬A(x , y)
S.Milella ([email protected]) Cenni di logica 10 / 10