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Geometria delle masse 1/97 Testo di riferimento: Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni/1 – Erasmo Viola
DETERMINAZIONE GRAFICA DEL BARICENTRO
(SISTEMA DI MASSE)
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Geometria delle masse 2/97 Testo di riferimento: Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni/1 – Erasmo Viola
IL BARICENTRO DI UN SISTEMA DI MASSE È IL CENTRO DI UN QUALSIASI SISTEMA DI VETTORI PARALLELI E CONCORDI (DETTI VETTORI MASSA), APPLICATI IN CORRISPONDENZA DELLE MASSE, CON MODULO PROPORZIONALE ALLE MASSE STESSE.
IL CENTRO DI UN SISTEMA DI VETTORI È IL PUNTO ATTORNO AL QUALE RUOTA L’ASSE CENTRALE QUANDO I VETTORI RUOTANO ATTORNO AL PROPRIO PUNTO DI APPLICAZIONE (DELLO STESSO ANGOLO).
LA COSTRUZIONE GRAFICA DISCENDE DIRETTAMENTE DALLA DEFINIZIONE DI BARICENTRO.
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Geometria delle masse 3/97 Testo di riferimento: Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni/1 – Erasmo Viola
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Geometria delle masse 4/97 Testo di riferimento: Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni/1 – Erasmo Viola
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Geometria delle masse 5/97 Testo di riferimento: Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni/1 – Erasmo Viola
MOMENTO STATICO (SISTEMA DISCRETO)
∑= iix ymS ∑= iiy xmS
∑=
=N
iimM
1 MASSA TOTALE
Coordinate del baricentro =G yx S M =G xy S M
y
x
G
xG
yG
x
y
P≡O i
imi
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Geometria delle masse 6/97 Testo di riferimento: Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni/1 – Erasmo Viola
NOTA
DEFINIZIONE CANONICA DI MOMENTO STATICO PER I SISTEMI CONTINUI:
∫ ρ=Ax ydAS , ∫ ρ=
Ay xdAS CON
∫ ρ=A
dAM , G yx S M= , G xy S M=
NELLE APPLICAZIONI DI TIPO INGEGNERISTICO =ρ cost. ⇒ ρ INCIDE SULLE PROPRIETÀ STATICHE SOLO PER UN FATTORE MOLTIPLICATIVO MENTRE NON INFLUENZA LA POSIZIONE DEL BARICENTRO (SI SEMPLIFICA): SI PUÒ PORRE 1=ρ .
SI PARLA PIÙ PROPRIAMENTE DI GEOMETRIA DELLE AREE
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Geometria delle masse 7/97 Testo di riferimento: Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni/1 – Erasmo Viola
MOMENTO STATICO (SISTEMA CONTINUO)
∫=Ax ydAS ∫=
Ay xdAS
Coordinate del baricentro =G yx S A =G xy S A
y
x
dAG
x
yG
x
y
A
P≡O
Figura piana
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Geometria delle masse 8/97 Testo di riferimento: Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni/1 – Erasmo Viola
MOMENTO DI INERZIA ASSIALE
(SISTEMA DISCRETO)
MOMENTI DI INERZIA ∑= 2
iix ymI ∑= 2iiy xmI
MOMENTO CENTRIFUGO ∑= iiixy yxmI
y
xx
y
P≡O i
imi
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Geometria delle masse 9/97 Testo di riferimento: Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni/1 – Erasmo Viola
MOMENTO DI INERZIA ASSIALE (SISTEMA CONTINUO)
MOMENTI DI INERZIA
∫=Ax dAyI 2 ∫=
Ay dAxI 2 (1.)
MOMENTO CENTRIFUGO
∫=Axy xydAI
y
x
dA
x
y
A
P≡O
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Geometria delle masse 10/97 Testo di riferimento: Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni/1 – Erasmo Viola
PROPRIETÀ DISTRIBUTIVA
(DEI MOMENTI STATICI E DI INERZIA)
ASSEGNATE SU DI UN PIANO x/y n AREE DISGIUNTE 1A , 2A ,…, nA , SI VERIFICA:
( )11
n n
ai
ii
a iS SA A==
⎛ ⎞=⎜ ⎟
⎝ ⎠∑∪ (2.)
( )1
, ,1
n n
a a ib a ai
bi
iAI AI==
⎛ ⎞=⎜ ⎟
⎝ ⎠∑∪ (3.)
N.B. LE CARATTERISTICHE STATICHE ED INERZIALI DELLE AREE DISGIUNTE,
( )iaS A ( ), ia abI A , VANNO CALCOLATE TUTTE RISPETTO AGLI STESSI ASSI.
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Geometria delle masse 11/97 Testo di riferimento: Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni/1 – Erasmo Viola
( ) ( ) ( )1 2x x xA AS AS S= + ( ) ( ) ( )1 2y y yA AS AS S= + ( ) ( ) ( )1 2x x xA AI AI I= + ( ) ( ) ( )1 2y y yA AI AI I= + ( ) ( ) ( )1 2xy xy xyA A AI I I= +
( ) ( ) ( )1 2x x xA AS AS S= − ( ) ( ) ( )1 2y y yA AS AS S= − ( ) ( ) ( )1 2x x xA AI AI I= − ( ) ( ) ( )1 2y y yA AI AI I= − ( ) ( ) ( )1 2xy xy xyA A AI I I= −
y
xP≡O
G1
G2A1
A2
1 2A A A= +
x P≡O
y
x
= -G1yy
P≡O P≡O
A1A G22A
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Geometria delle masse 12/97 Testo di riferimento: Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni/1 – Erasmo Viola
MOMENTO DI INERZIA POLARE
(SISTEMA DISCRETO)
( )∑∑ +== 222
iiiiip yxmrmI xy II +=
y
xx
y
P≡O i
imi
r
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Geometria delle masse 13/97 Testo di riferimento: Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni/1 – Erasmo Viola
MOMENTO DI INERZIA POLARE (SISTEMA CONTINUO)
( )∫∫ +==
AAP dAyxdArI 222 xy II += (4.)
y
x
dA
x
y
A
P≡O
r
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Geometria delle masse 14/97 Testo di riferimento: Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni/1 – Erasmo Viola
L’AREA ELEMENTARE VA SCELTA IN MODO CHE I PUNTI CONTENUTI AL SUO INTERNO POSSANO RITENERSI EQUIDISTANTI DALL’ASSE (O DAL POLO) RISPETTO AL QUALE SI VUOLE CALCOLARE IL MOMENTO STATICO O D’INERZIA (O POLARE). MOMENTO STATICO RISPETTO A x
dA Bdy=
( )xdS Bdy y=
0
H
x xS dS Bydy= = =∫ ∫
2
2BH
= (5.)
ORDINATA DEL BARICENTRO
A BH= 2
xG
S HyA
= = (6.)
x
y
B
H
dy
y
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Geometria delle masse 15/97 Testo di riferimento: Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni/1 – Erasmo Viola
MOMENTO STATICO RISPETTO A y dA Hdx=
( )ydS Hdx x=
0
B
y yS dS Hxdx= = =∫ ∫
2
2HB
= (7.) ASCISSA DEL BARICENTRO
A BH= 2
yG
S BxA
= = (8.)
MOMENTO D’INERZIA RISPETTO A x dA Bdy=
( ) 2xdI Bdy y=
2
0
H
x xI dI By dy= = =∫ ∫
3
3BH
= (9.)
x
y
B
H
dx
x
x
y
B
H
dy
y
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Geometria delle masse 16/97 Testo di riferimento: Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni/1 – Erasmo Viola
MOMENTO D’INERZIA RISPETTO A y dA Hdx=
( ) 2ydI Hdx x=
2
0
B
y yI dI Hx dx= = =∫ ∫
3
3HB
= (10.)
ASSI BARICENTRICI
(11.)
dA Bdy=
( ) 2xdI Bdy y=
2
2
2
H
xH
I By dy−
= =∫
3
12BH
=
B/2
H/2
B/2
H/2
y
xG
y
dy
x
y
B
H
dx
x
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Geometria delle masse 17/97 Testo di riferimento: Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni/1 – Erasmo Viola
y
xx≡G
y
r
dr
2R
dA dxdy=
( )xydI dxdy xy=
2 2
2 2
H B
xyH B
I xdx ydy− −
⎛ ⎞⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎝ ⎠
∫ ∫
2 22
2 2
02− −
⎡ ⎤= =⎢ ⎥
⎣ ⎦∫BH
H B
x ydy
x E y ASSI DI SIMMETRIA 0xyI⇒ = (12.)
(13.)
rdrdA π= 2 ( ) 22 rrdrdIG π=
43
0
22
R
GRI r dr= =∫ ππ
PER LA 4.: 4
2 4G
x yI RI I= = =
π
B/2
H/2
xG
B/2
H/2
y
dy
dx
x
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Geometria delle masse 18/97 Testo di riferimento: Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni/1 – Erasmo Viola
12
A BH=
( ) BdA H y dyH
= −
( )xBdS H y dy yH
⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠
( ) 2
0 6
H
xB BHS H y ydyH
= − =∫
3x
GS HyA
= = , 3
yG
S BxA
= = (14.)
H-y
y
y
x
B
Hd y
(H-y)B/H
atg(B/H)
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Geometria delle masse 19/97 Testo di riferimento: Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni/1 – Erasmo Viola
( ) BdA H y dy
H= −
( ) 2⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠
xBdI H y dy yH
( ) 3
2
0 12
H
xB BHI H y y dyH
= − =∫ (15.)
H-y
y
y
x
B
Hd y
(H-y)B/H
atg(B/H)
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Geometria delle masse 20/97 Testo di riferimento: Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni/1 – Erasmo Viola
23
BdA H y dyH
⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠
223x
BdI H y dy yH
⎛ ⎞⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
2 33
2
3
23 36
H
xH
B BHI H y y dyH−
⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎝ ⎠∫
(16.)
y
2/3H-y
H
xG
y
B(2/3H-y)B/H
d y
H/3
atg(B/H)
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Geometria delle masse 21/97 Testo di riferimento: Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni/1 – Erasmo Viola
dA dxdy=
( )xydI dxdy xy=
2 2 23 3
3 3
72
B BH y
H
xyH B
B HI xdx ydy−
− −
⎛ ⎞⎜ ⎟= = −⎜ ⎟⎝ ⎠
∫ ∫
(17.)
xG
y
B
H
H/3
d yx
dx
2/3H
y
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Geometria delle masse 22/97 Testo di riferimento: Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni/1 – Erasmo Viola
dA dxdy=
( )xydI dxdy xy=
2 2 23 3
3 3
72
BH
xyH B B
yH
B HI xdx ydy− − +
⎛ ⎞⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎝ ⎠
∫ ∫
(18.)
xG
y
B
H
H/3
d y x
dx
2/3H
y
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Geometria delle masse 23/97 Testo di riferimento: Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni/1 – Erasmo Viola
xI ′ SI PUÒ OTTENERE INTEGRANDO L’AREA ELEMENTARE dA RISPETTO A y′. PIÙ AGEVOLMENTE, PER LA 3.:
( ) ( ) ( )CDEIADECIADCI xxx ′′′ −=
( ) ( )CDEIADCI xx ′′ = (POLARSIMMETRIA)⇒
( ) ( )12x xI ADC I ADEC′ ′= (19.)
DALLE 11. E 19. ⇒ 3
24xBHI ′ = (20.)
B
H G′
A D
C E
x′
y
G
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Geometria delle masse 24/97 Testo di riferimento: Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni/1 – Erasmo Viola
2
2 2
0
2 sin 2xA
S ydA R t d R t
π
= = θ θ=∫ ∫
2xG
S RyA
= =π
( ) 2 2 3
0
42 sin2x GI tR R y d tR
π
π⎛ ⎞= θ− θ= −⎜ ⎟π⎝ ⎠∫ (21.)
( ) 32 2
0
2 sin2xtRI tR R d
π
π= θ θ=∫ yI= (22.)
N.B. [ ]
2
1sin sin cos2
bb
aa
dθ θ = θ − θ θ∫
R
x
x
G
y≡t
y
θRsinθ
Rdθθ= tRddA
π= tRA
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Geometria delle masse 25/97 Testo di riferimento: Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni/1 – Erasmo Viola
43
xG
S RyA
= =π
22
0 0
42 sin3
R
xRI r r d dr
π
⎛ ⎞= θ− θ =⎜ ⎟π⎝ ⎠∫ ∫
4 488 9R Rπ
= −π
(23.)
( ) 42 2
0 0
2 sin8
R
xRI r r d dr
π
π= θ θ =∫ ∫
OPPURE, DALLE 3. E 13.: 4 41
2 4 8xR RI π π
= = (SIMMETRIA RISPETTO ALL’ASSE x)
212
A R= π
2 3
0
223
R
xS r dr R= =∫R
dry
G
y
x
xr
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Geometria delle masse 26/97 Testo di riferimento: Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni/1 – Erasmo Viola
( )
2
2sin 3
2
2sin
3
s12
insin 12
H
x
H dAy
t HI z t z BHdα
−α
= α = =α∫
( )
2
2cos 3
2
2
d
c
A
os
coscos 12
H
y
H x
t HI z tdz
′α
′−
α
′= α = =
α∫
3
12B H
=′ ′ (24.)
y
xG
B'
BH'
H
dz
α
t
z
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Geometria delle masse 27/97 Testo di riferimento: Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni/1 – Erasmo Viola
TEOREMI DEL TRASPORTO
PRIMO TEOREMA 2
0AdII aa += (25.)
TERZO TEOREMA AdhII baab +=
00 (26.)
y
x
dAG
A
P≡O
a0
a
b0 b
d
h
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Geometria delle masse 28/97 Testo di riferimento: Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni/1 – Erasmo Viola
PER IL CALCOLO DI aI E abI , NON È LECITO CONCENTRARE L’AREA NEL BARICENTRO. ECCEZIONI:
a) SE IN UN RETTANGOLO b×δ RISULTA δ << b
SI HA:
0
2 3 2 2112x x i i iI I Ay b b y b y= + = δ + δ ≅ δ
b) iiiiyxxy yAxyAxII =+=00
y
xP≡O
Gx
y
δ b 0y
xi0
i
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Geometria delle masse 29/97 Testo di riferimento: Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni/1 – Erasmo Viola
PER LE FIGURE NON ELEMENTARI, CON LE 3., 25. IL CALCOLO DI xI E yI È PIÙ AGEVOLE, RISPETTO ALL’USO DIRETTO DELLA DEFINIZIONE (1.).
y
x
x
y
B
HH/6
H/3
x′
y
G
y
xG
x
y
B
H
2 3
2 3x xH BHI I BH ⎛ ⎞= + =⎜ ⎟
⎝ ⎠
2 3
2 6 36x xBH H BHI I ′
⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎝ ⎠
2 3
2 3 12x xBH H BHI I ⎛ ⎞= + =⎜ ⎟
⎝ ⎠
CON xI ′ NOTO DALLA 20.
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Geometria delle masse 30/97 Testo di riferimento: Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni/1 – Erasmo Viola
CON LE 22. E 25. SI RIOTTIENE LA 21.
( )2 3 42x x GI I A y tR π⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟π⎝ ⎠
DALLE 3., 13. E 25. SI RIOTTIENE LA 23.
( )4 4
2 88 9x x GR RI I A y π
= − = −π
R
x
x
G
y y
R
y
G
y
x
x
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Geometria delle masse 31/97 Testo di riferimento: Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni/1 – Erasmo Viola
LEGGI DI TRASFORMAZIONE PER ROTAZIONE DEGLI ASSI x/y ATTORNO ALL’ORIGINE
0 0
OQ OH HQ OH WKOWcos SWsinOWcos ROsin cos sin
x
x y
= = + = + == α+ α == α+ α = α+ α
0 0
OT SQ SK QK SK HWSWcos OWsinROcos OWsin cos sin
y
y x
= = = − = − == α− α == α− α = α− α
S
T Q x
y 0y
R
α KH
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Geometria delle masse 32/97 Testo di riferimento: Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni/1 – Erasmo Viola
0 0cos sinx x y= α+ α
0 0cos siny y x= α− α
MOMENTI D’INERZIA
( )220 0cos sinx A A
I y dA y x dA= = α− α =∫ ∫
2 2 2 20 0
0 0
cos sin
2sin cosA A
A
y dA x dA
x y dA
= α + α
− α α
∫ ∫∫
0 0 0 0
2 2cos sin 2 sin cosx x y x yI I I I= α+ α− α α
0 0 0 0
2 2sin cos 2 sin cosy x y x yI I I I= α+ α+ α α
( )0 0
0 0
2 2
sin cos sin cos
cos sin
xy x y
x y
I I I
I
= α α− α α+
+ α− α(27.)
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Geometria delle masse 33/97 Testo di riferimento: Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni/1 – Erasmo Viola
RISULTA (28.) =+=+
00 yxyx IIII costante
ESSENDO (29.)
2 1 cos2cos2
+ αα = 2 1 cos2sin
2− α
α =
2sin cos sin2α α = α LE 27. DIVENTANO (30.)
0 0 0 0
0 0cos2 I sin2
2 2x y x y
x x y
I I I II
+ −= + α− α
0 0 0 0
0 0cos2 I sin2
2 2x y x y
y x y
I I I II
+ −= − α+ α
0 0
0 0sin2 I cos2
2x y
xy x y
I II
−= α+ α
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Geometria delle masse 34/97 Testo di riferimento: Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni/1 – Erasmo Viola
IN UN PIANO xyx II , LE 30.1 E 30.3 DESCRIVONO LA ROTAZIONE DI UN RAGGIO VETTORE, CON ANGOLO DI ROTAZIONE α2 . LE COORDINATE DEL CENTRO DI ROTAZIONE, C, SI RICAVANO DAI TERMINI CHE NON DIPENDONO DAL PARAMETRO α2 :
0 0 , 02
x yI IC
+⎛ ⎞≡⎜ ⎟
⎝ ⎠. (31.)
LA POSIZIONE INIZIALE RISPETTO A C DELL’ESTREMO CHE RUOTA È DATA DAI COEFFICIENTI DEI TERMINI IN α2cos :
0 0 0 0
0 2 2x y x y
x
I I I II
α=
+ −= +
0 00Ixy x yI
α==
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Geometria delle masse 35/97 Testo di riferimento: Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni/1 – Erasmo Viola
PER ROTAZIONE α DEGLI ASSI x E y RISPETTO AGLI ASSI x0 E y0, LA ROTAZIONE DEL RAGGIO VETTORE NEL PIANO xyx II È α2 . IL VERSO DI ROTAZIONE SI CONSERVA.
LA LUNGHEZZA DEL RAGGIO VETTORE SI RICAVA DAL TEOREMA DI PITAGORA, PER 0=α (32.):
( )0 0
0 0 0 0 0 0
222 21 4
2 2x y
x y x y x y
I IR I I I I
−⎛ ⎞= + = − +⎜ ⎟
⎝ ⎠
(I , I )xyI
x0 0 y0(I , I )x
C2α
I
xx y
I + I x0 0y
2xI - I y
20 0
x
0y0xI
O
y 0
α
dAx
x0
A
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Geometria delle masse 36/97 Testo di riferimento: Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni/1 – Erasmo Viola
POSIZIONE ASSUNTA PER 2α = π DALL’ESTREMO CHE RUOTA:
0 0 0 0
2 2 2x y x y
x
I I I II π
α=
+ −= −
0 02
Ixy x yI πα=
= −
(I , I )
0yx 0
Ixy
0x
π
C
x0y 0
I
(I , -I )y 0
0yx 0I
x0y 0
Ix
xI + I
I - I
y
20 0
x y
20 0
2I - I
0x y 0
O
y 0
α
dAx
x0
A
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Geometria delle masse 37/97 Testo di riferimento: Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni/1 – Erasmo Viola
NEL PIANO xyy II , LE 30.2 E 30.3 DESCRIVONO LA ROTAZIONE IN α− 2 DI UN RAGGIO VETTORE CON STESSO CENTRO DI ROTAZIONE C E STESSA LUNGHEZZA R (IL VERSO NON SI CONSERVA). SOVRAPPONENDO I PIANI
xyx II E xyy II , I DUE RAGGI VETTORI SONO SIMMETRICI RISPETTO ALLA VERTICALE PER C ( α∀ ).
(I , I )
xI + I
I 0 yx 0
xy
0x
I - I 2α
y
20 0
Cx y
20 0
x(I , I )yx
x0 y0
I ,x
2α
2I - I
0x y0
Iy
(I , I )y yx(I , I )y0 yx0 0
O
y 0
α
dAx
x0
A
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Geometria delle masse 38/97 Testo di riferimento: Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni/1 – Erasmo Viola
CIRCOLI DI MOHR CONSENTONO DI CALCOLARE I MOMENTI DI INERZIA xI E yI , RISPETTO AD UNA QUALSIASI COPPIA DI RETTE NORMALI PER O, x E y, NOTI I MOMENTI DI INERZIA
0xI , 0yI E IL MOMENTO
CENTRIFUGO 00 yxI , RISPETTO
AD UNA PREFISSATA COPPIA DI RETTE NORMALI 0x E 0y PER O.
SI COSTRUISCONO NEL PIANO x xyI I A PARTIRE DAI PUNTI
( )0 0 0, x x yD I I≡ E ( )0 0 0
, y x yD I I′ ≡ − .
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Geometria delle masse 39/97 Testo di riferimento: Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni/1 – Erasmo Viola
A RIGORE, D′ NON DOVREBBE ESSERE DISEGNATO NEL PIANO
x xyI I , MA NEL PIANO y xyI I .
Ix
xy
D≡(I , I x x0 0 0y
D'≡(I , −I )y0 yx0 0
x
dA
A
O
x
y
0
0y
α
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Geometria delle masse 40/97 Testo di riferimento: Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni/1 – Erasmo Viola
L’IDEA DI BASE È INDIVIDUARE 2 PUNTI DIAMETRALI, COI QUALI IDENTIFICARE IN MODO UNIVOCO L’INTERO CIRCOLO.
POICHÉ LE 30. SONO NEL PARAMETRO α2 , PUNTI DIAMETRALMENTE OPPOSTI (ANGOLO AL CENTRO DI π) RAPPRESENTANO PROPRIETÀ INERZIALI PER COPPIE D’ASSI RUOTATE TRA LORO DI 2π . NELL’IPOTESI CHE
0xI , 0yI E
00 yxI SIANO NOTI ( 0=α ) È QUINDI SUFFICIENTE TROVARE IL PUNTO PER 2α = π .
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Geometria delle masse 41/97 Testo di riferimento: Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni/1 – Erasmo Viola
IL CIRCOLO È IDENTIFICATO IN MODO UNIVOCO SE SONO NOTI
( )0
,x xyD I Iα=
≡ E ( )2
,x xyD I I πα=
′ ≡ .
0 0 0 00, , , ,x y xy x y x yI I I I I I
α== NOTI
0 022
0 02 2
x y
xy xy
I Ix y
y x I I
ππ α=α= α= α=
π πα= α= α= α=
⎧ =⎧ =⎪⎪ ⇒⎨ ⎨
= − = −⎪ ⎪⎩ ⎩
RISULTA ( ) ( )0
2
, ,x xy y xyI I I Iπα= α=
≡ −
y
dA
0
Aα=0 0y
y
dA
Aα=π/2
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Geometria delle masse 42/97 Testo di riferimento: Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni/1 – Erasmo Viola
SI SUOLE QUINDI PORRE ( )
000, yxy IID −≡′ E DISEGNARE
QUESTO PUNTO, CON ABUSO DI FORMALISMO, NEL PIANO
x xyI I , RESTANDO INTESO CHE
0yI È IL MOMENTO DI INERZIA
xI RISPETTO ALL’ASSE x, QUANDO QUESTO RUOTA DI UN ANGOLO TALE DA PORTARLO A SOVRAPPORSI ALL’ASSE 0y .
PER LO STESSO ANGOLO DI ROTAZIONE, IL MOMENTO CENTRIFUGO xyI PER LA COPPIA D’ASSI RUOTATA x y ASSUME IL VALORE
00 yxI− .
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Geometria delle masse 43/97 Testo di riferimento: Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni/1 – Erasmo Viola
Ix
xy
D≡(I , I
C
x x0 0 0y
D'≡(I , −I )y0 yx0 0
x
dA
A
O
x
y
0
0y
α
00 yx II >
000
>yxI
x0xOy0
yα=0
Oy0
α=π
x0y
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Geometria delle masse 44/97 Testo di riferimento: Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni/1 – Erasmo Viola
Ix
xy ξI
IηD≡(I , I
C
x x0 0 0y
D'≡(I , −I )y0 yx0 0
x
dA
A
O
x
y
0
0y
α
00 yx II >
000
>yxI
MOMENTI PRINCIPALI D’INERZIA
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Geometria delle masse 45/97 Testo di riferimento: Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni/1 – Erasmo Viola
IL PUNTO DI COORDINATE ( ),0ξI È IL RUOTATO DI D SECONDO IL PIÙ PICCOLO DEGLI ANGOLI DI ROTAZIONE AL CENTRO CHE PORTANO D SULL’ASSE xI .
IL PUNTO DI COORDINATE ( ),0ηI È IL RUOTATO DI D' SECONDO IL PIÙ PICCOLO DEGLI ANGOLI DI ROTAZIONE AL CENTRO CHE PORTANO D' SULL’ASSE xI .
ξI E ηI , ESTREMANTI DI xI AL VARIARE DI α, SONO TALI CHE 0ξη =I .
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Geometria delle masse 46/97 Testo di riferimento: Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni/1 – Erasmo Viola
SI RICAVANO DALL’ASCISSA DI C (31.), AGGIUNGENDO E TOGLIENDO IL RAGGIO (32.). SE
0 0>x yI I ⇒ ξ η>I I :
0 0 0 0
0 0
2
2
2 2
ξ
η
+ −⎛ ⎞= ± +⎜ ⎟
⎝ ⎠
x y x yx y
I
I I I II
I
OPPURE:
( )0 0
0 0 0 0
2 21 42 2
x yx y x y
II I
I I I
I
ξ
η
+= ± − +
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Geometria delle masse 47/97 Testo di riferimento: Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni/1 – Erasmo Viola
SE 0 0
>y xI I , IL PUNTO D SI TROVA ALLA SINISTRA DEL PUNTO D' ⇒ η ξ>I I :
0 0 0 0
0 0
2
2
2 2
η
ξ
+ −⎛ ⎞= ± +⎜ ⎟
⎝ ⎠
x y x yx y
I
I I I II
I
OPPURE:
( )0 0
0 0 0 0
2 21 42 2
η
ξ
+= ± − +x y
x y x y
II I
I I I
I
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Geometria delle masse 48/97 Testo di riferimento: Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni/1 – Erasmo Viola
Ix
D*
xy ξI
IηD≡(I , I
C
x x0 0 0y
D'≡(I , −I )y0 yx0 0
x
dA
A
O
x
y
0
0y
α
00 yx II >
000
>yxI
POLO DI MOHR 0*DD x , 0*D D y′
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Geometria delle masse 49/97 Testo di riferimento: Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni/1 – Erasmo Viola
xdA
A
O
xy
0
0y
α
Ix
D*
xyI ξI
Iη
D≡(I , I )
C
x x0 0 0y
D'≡(I , −I )y 0 yx0 0
00 yx II >
000
>yxI
0*DD x , 0*D D y′
0x
0y
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Geometria delle masse 50/97 Testo di riferimento: Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni/1 – Erasmo Viola
Ix
D*
xyIξI
IηD≡(I , I
C
x x0 0 0y
D'≡(I , −I )y 0 yx0 0
2β
β
T≡(I , I ⊥||||t t t
||t
00 yx II >
000
>yxI
PROPRIETÀ DEL POLO DI MOHR
x
dA
A
O
x
y
0
0y
α
tβ
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Geometria delle masse 51/97 Testo di riferimento: Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni/1 – Erasmo Viola
Ix
D*
xy ξI
IηD≡(I , I
C
x x0 0 0y
D'≡(I , −I )y0 yx0 0
2α0
ξη
0α
x
dA
A
O
x
y
0
0y
α
ξ
η
α0
00 yx II >
000
>yxI
ASSI PRINCIPALI D’INERZIA
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Geometria delle masse 52/97 Testo di riferimento: Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni/1 – Erasmo Viola
Ix
D*
xy
ξI
Iη
C2α0
ξη
0αxD≡(I , I )
000 x y
D'≡(I , −I )0x y00y
x
dA
A
O
x
y
0
0y
α
ξ
η
α0
00 yx II >
000
<yxI
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Geometria delle masse 53/97 Testo di riferimento: Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni/1 – Erasmo Viola
Ix
D*
xy
ξI
Iη
C2α0ξ
η
0αxD≡(I , I )
000 x y
0D'≡(I , −I )y 0x y0
x
y
0
0y
α
ξ
η
α0
x
dA
A
O
00 yx II <
000
>yxI
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Geometria delle masse 54/97 Testo di riferimento: Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni/1 – Erasmo Viola
Ix
D*
xy
ξI
Iη
C2α0
ξη
0αxD≡(I , I )
000 x y
0D'≡(I , −I y 0x y0
x
dA
A
O
x
y
0
0y
α
ξ
η
α0
00 yx II <
000
<yxI
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Geometria delle masse 55/97 Testo di riferimento: Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni/1 – Erasmo Viola
NOTE
IL CIRCOLO DI MOHR È SEMPRE UBICATO NEL SEMIPIANO 0>xI .
SE GLI ASSI PRINCIPALI ξ E η SI RIFERISCONO AL BARICENTRO, PRENDONO IL NOME DI ASSI CENTRALI DI INERZIA.
x
dA
A
G≡O
x
y
0
0y
α
η
α0
ξ
x
dA
A
x
0
α
η
α0
ξ
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Geometria delle masse 56/97 Testo di riferimento: Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni/1 – Erasmo Viola
ASSI PRINCIPALI DI INERZIA
(PROCEDIMENTO ANALITICO)
GLI ASSI RISPETTO A CUI SI HA UN ESTREMANTE DI xI E yI (33.):
( )0 0 0 0sin2 2 cos2 0x
x y x ydI I I Id
=− − α− α=α
DALLA 33. SI RICAVA L’ANGOLO
0α CHE ANNULLA LA DERIVATA PRIMA DI xI (34.):
0 0
0 0
0 0
2tg2 tg2 x y
x y
Ix
I I
∧
ξ = α = −−
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Geometria delle masse 57/97 Testo di riferimento: Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni/1 – Erasmo Viola
0 0
0 0
0
21 atg2
x y
x y
II I
⎛ ⎞α = −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
0 0
0 0
20x y
x y
II I
− >−
ROTAZIONE ANTIORARIA
0 0
0 0
20x y
x y
II I
− <−
ROTAZIONE ORARIA
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Geometria delle masse 58/97 Testo di riferimento: Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni/1 – Erasmo Viola
2xxy
dI Id
= −α
L’ANGOLO 0α PER IL QUALE SI HA UN ESTREMO DI xI ANNULLA IL MOMENTO CENTRIFUGO xyI .
y xdI dId d
= −α α
; 2 2
2 2y xd I d I
d d= −
α α
I MOMENTI DI INERZIA xI E yI ATTINGONO VALORI ESTREMI PER LO STESSO VALORE 0α : A maxxI CORRISPONDE minyI , A minxI CORRISPONDE maxyI .
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Geometria delle masse 59/97 Testo di riferimento: Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni/1 – Erasmo Viola
UGUAGLIANDO A ZERO LA ydI dα, SI OTTIENE DI
NUOVO LA 34.:
0 0
0 0
0 0
2tg2 tg2 x y
x y
Iy
I I
∧
η = α = −−
SE 0α È SOLUZIONE DELLA 34., LO È ANCHE 0 2α + π :
0 0
0 0
0
22 atg x y
x y
In
I I⎛ ⎞
α = − + π⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
0 0
0 0
0
21 atg2 2
x y
x y
In
I I⎛ ⎞ π
α = − +⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
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Geometria delle masse 60/97 Testo di riferimento: Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni/1 – Erasmo Viola
⇓ RESTANO INDIVIDUATI 2
ASSI ξ E η, TRA LORO
ORTOGONALI, RISPETTO AI
QUALI ξI E ηI RISULTANO
UNO MASSIMO E L’ALTRO
MINIMO, MENTRE 0=ξηI .
ξI E ηI SONO DETTI
MOMENTI PRINCIPALI DI
INERZIA.
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Geometria delle masse 61/97 Testo di riferimento: Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni/1 – Erasmo Viola
CALCOLIAMO 0
, ,x yI I I Iξ η α=α= ESPRIMENDO 0cos2α E 0sin 2α IN FUNZIONE DI 0tg2α (35.):
0 20
1cos21 tg 2
±α =
+ α 0
0 20
tg2sin21 tg 2± α
α =+ α
E TENENDO CONTO DELLA 34., PER
0α=α LE 30. DIVENTANO (36.):
DOVE SI È ASSUNTO
00 yx II > .
( )0 0
0 0 0 0
2 21 42 2
x yx y x y
II I
I I I
I
ξ
η
+= ± − +
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Geometria delle masse 62/97 Testo di riferimento: Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni/1 – Erasmo Viola
DALLE 31., 32. E 36. SI RICONOSCE CHE, NEL PIANO x xyI I , I PUNTI
( ),0Iξ E ( ),0Iη SONO GLI ESTREMI DEL DIAMETRO DELLA CRF DI EQ. PARAMETRICHE 30.1 E 30.3, PARALLELO ALL’ASSE xI (
00 yx II > ):
SE 00 yx II < :
( )0 0
0 0 0 0
2 21 42 2
x yx y x y
II I
I I I
I
η
ξ
+= ± − +
RxI C +=ξ
RxI C −=ηI
xyI
(I , 0)C ξ(I , 0)η
R(I , I )x x y
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Geometria delle masse 63/97 Testo di riferimento: Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni/1 – Erasmo Viola
NELL’IPOTESI ξ≡0x E η≡0y , ( 0=ξηI ) LE PRIME 2 DELLE 27. DIVENTANO (37.):
2 2cos sinxI I Iξ η= α + α
2 2sin cosyI I Iξ η= α + α E LE 30. DIVENTANO (38.):
cos22 2x
I I I II ξ η ξ η+ −
= + α
cos22 2y
I I I II ξ η ξ η+ −
= − α
sin22xy
I II ξ η−
= α
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Geometria delle masse 64/97 Testo di riferimento: Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni/1 – Erasmo Viola
DAL CONFRONTO TRA LE 38. E LE EQ. PARAMETRICHE IN ϕ:
cossin
C
C
x x Ry y R
= + ϕ⎧⎨ = + ϕ⎩
DELLA CRF ( ) ( ) 222 Ryyxx CC =−+−
NEL PIANO x y, SI RICONOSCE CHE LE 38. SONO LE EQ. PARAMETRICHE IN α2 DELLA CRF DEL PIANO x xyI I (
00 yx II > ): 2 2
2
2 2x xy
I I I II Iξ η ξ η+ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
CON ,02
I IC ξ η+⎛ ⎞
≡ ⎜ ⎟⎝ ⎠
, 2
I IR ξ η−
= .
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Geometria delle masse 65/97 Testo di riferimento: Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni/1 – Erasmo Viola
LE 30.1, 30.3 E LE 38.1, 38.3 DESCRIVONO LA STESSA CIRCONFERENZA NEL PIANO
x xyI I . CIÒ CHE CAMBIA È L’ORIGINE DI PERCORRENZA.
30.1, 30.3 38.1, 38.3
Ix
xyI
(I , 0)C ξ(I , 0)η
2αorigine
(I , I )x x yx(I , I )
C
2α
xI
0y00 x
origine
(I , 0)η
Ixy
(I , 0)ξ
x x y
O
y
dA
ξ x
A
αO
y 0
α
dAx
x0
A
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Geometria delle masse 66/97 Testo di riferimento: Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni/1 – Erasmo Viola
EQ. PARAMETRICHE 30.1/30.3 E 30.2/30.3 A CONFRONTO
30.1, 30.3 30.2, 30.3
I VERSI DI ROTAZIONE SU x xyI I (PIANO DI MOHR) SI CONSERVANO, SU y xyI I SI INVERTONO.
x(I , I )
C
2α
xI
0y00 x
origine
(I , 0)η
Ixy
(I , 0)ξ
x x y
O
y 0
α
dAx
x0
A
O
y 0
α
dAx
x0
A
(I , 0)η C
xyI2α
y x
I(I , 0)ξ
origine
y(I , I )x y0 0 0
y
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Geometria delle masse 67/97 Testo di riferimento: Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni/1 – Erasmo Viola
ELLISSE CENTRALE DI INERZIA (O DI CULMANN)
2 2
2 2 1η ξ
ξ η+ =
ρ ρ
RAGGI DI INERZIA
IA
ξξρ =
IA
ηηρ =
ANALISI DIMENSIONALE
[ ]4
2
LIL
A Lξ
ξ
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦⎡ ⎤ρ = = =⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦
η
ξ
ρξ
G
ρη
E
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Geometria delle masse 68/97 Testo di riferimento: Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni/1 – Erasmo Viola
ξρ ( ηρ ) MISURA QUANTO LE AREE ELEMENTARI SONO CENTRIFUGATE (LONTANE) RISPETTO ALL’ASSE ξ (η).
( )I I I Iξ η η ξ> > ⇒ IL DIAMETRO MAGGIORE È DISTESO LUNGO L’ASSE η (ξ).
POLARE DI R RISPETTO
A E * *
2 2: 1η ξ
ξξ ηη+ =
ρ ρr
R È IL POLO DELLA
RETTA r
ξ
ρξ
G
ρη
R≡(ξ , η )**
E
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Geometria delle masse 69/97 Testo di riferimento: Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni/1 – Erasmo Viola
LA CORRISPONDENZA BIUNIVOCA TRA I PUNTI R E LE RETTE r PRENDE IL NOME DI POLARITÀ
1. SE ∈R E, LA POLARE r È TANGENTE AD E NEL POLO R.
2. SE ∈R r , LA POLARE r E IL POLO R SI DICONO AUTOCONIUGATI:
def∈ ⇔R r r E R SONO AUTOCONIUGATI
1. + 2. ⇒ E, ELLISSE CENTRALE DI INERZIA, È IL LUOGO DEI PUNTI AUTOCONIUGATI.
G
Ex
yr
R≡(ξ , η )**
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Geometria delle masse 70/97 Testo di riferimento: Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni/1 – Erasmo Viola
DUE POLI R E ′R SI DICONO CONIUGATI IN UNA POLARITÀ QUANDO L’UNO APPARTIENE ALLA POLARE DELL’ALTRO:
def, ′′ ⇔∈ ∈R Rr r
R E ′R SONO CONIUGATI IN UNA POLARITÀ
DUE RETTE r E ′r SI DICONO CONIUGATE IN UNA POLARITÀ QUANDO L’UNA CONTIENE IL POLO DELL’ALTRA:
def, ′′ ⇔∈ ∈R Rr r
r E ′r SONO CONIUGATE IN UNA POLARITÀ
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Geometria delle masse 71/97 Testo di riferimento: Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni/1 – Erasmo Viola
TEOREMA DI RECIPROCITÀ
TUTTE LE RETTE DI UN FASCIO, PROPRIO O IMPROPRIO, DI CENTRO H HANNO I POLI SULLA RETTA h, POLARE DI H.
H h′1
2h′
3h′4h′5h′
6h′
H ′4 ∞
H ′3
H ′5
H ′6
H ′2H ′1
G
FASCIO PROPRIO
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Geometria delle masse 72/97 Testo di riferimento: Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni/1 – Erasmo Viola
FASCIO IMPROPRIO
G: BARICENTRO.
IL POLO DI UNA RETTA BARICENTRICA È UN PUNTO IMPROPRIO.
IL POLO DELLA RETTA IMPROPRIA È IL BARICENTRO.
h′ h′12h′3h′4h′
5h′
6 ∞h′
H ′4 ∞
H ′3
H ′5
H ′6
H ′2H ′1G=
H∞
H ′
h
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Geometria delle masse 73/97 Testo di riferimento: Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni/1 – Erasmo Viola
DAL TEOREMA DERIVA CHE: QUANDO UNA RETTA r TRASLA, IL SUO POLO DESCRIVE UNA RETTA BARICENTRICA, DETTA DIAMETRO CONIUGATO ALLA DIREZIONE DI r. LE RETTE CHE PASSANO PER G, CENTRO DI E, SI DICONO DIAMETRI.
DUE DIAMETRI SI DICONO CONIUGATI QUANDO CIASCUNO DI ESSI È CONIUGATO ALLA DIREZIONE DELL’ALTRO.
diametri
EG
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Geometria delle masse 74/97 Testo di riferimento: Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni/1 – Erasmo Viola
COSTRUZIONE GRAFICA DEL DIAMETRO CONIUGATO ALLA DIREZIONE DI 1 RETTA DATA
A È POLO DI 1c , B È POLO DI 2c ⇒ PER IL TEOREMA DI RECIPROCITÀ, LA RETTA d CHE PASSA PER A E B CONTIENE TUTTI I POLI DEL FASCIO IMPROPRIO AVENTE COME CENTRO IL PUNTO IMPROPRIO DI 1c E 2c .
E
A
G
c
c1
2
ddiametro coniugato alla
retta data
diametri coniugati
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Geometria delle masse 75/97 Testo di riferimento: Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni/1 – Erasmo Viola
L’ANTIPOLO DI UNA RETTA r è IL PUNTO ′R SIMMETRICO, RISPETTO AL CENTRO G DI E, DEL POLO R DI r.
LA RETTA r È L’ANTIPOLARE DI ′R .
LA CORRISPONDENZA TRA r E ′R SI CHIAMA ANTIPOLARITÀ RISPETTO ALL’ELLISSE CENTRALE D’INERZIA E.
DUE PUNTI SI DICONO CONIUGATI NELL’ANTIPOLARITÀ QUANDO L’UNO APPARTIENE ALL’ANTIPOLARE DELL’ALTRO.
A: POLO DI 1c ANTIPOLO DI 2c
1c : POLARE DI A ANTIPOLARE DI B
E
A
G
c1
2
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Geometria delle masse 76/97 Testo di riferimento: Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni/1 – Erasmo Viola
SU OGNI DIAMETRO d, I PUNTI CONIUGATI NELL’ANTIPOLARITÀ, R E
′R , VERIFICANO LA RELAZIONE:
′ =GR GR cost= k .
OVE LA COSTANTE k è LA POTENZA DELL’INVOLUZIONE, DI CENTRO G, SUBORDINATA DALLA POLARITÀ SUL DIAMETRO d.
EL
A
G
C
c
c1
2
2
: :C G GL GL GC
k GL
′ =
=
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Geometria delle masse 77/97 Testo di riferimento: Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni/1 – Erasmo Viola
NOCCIOLO CENTRALE DI INERZIA
È IL LUOGO N DEGLI ANTIPOLI DELLE RETTE DEL PIANO CHE NON TAGLIANO LA FIGURA σ.
a) IL BARICENTRO G DI σ APPARTIENE
A N.
GσN
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Geometria delle masse 78/97 Testo di riferimento: Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni/1 – Erasmo Viola
b) IL CONTORNO DEL NOCCIOLO È IL LUOGO DEGLI ANTIPOLI DELLE RETTE TANGENTI ALLA FRONTIERA DELLA FIGURA SENZA TAGLIARLA.
c) I PUNTI INTERNI AL NOCCIOLO
SONO GLI ANTIPOLI DELLE RETTE ESTERNE ALLA FIGURA.
d) IL NOCCIOLO È SEMPRE UNA
FIGURA CONVESSA.
X
Y
Gx
y
σNσ'
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Geometria delle masse 79/97 Testo di riferimento: Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni/1 – Erasmo Viola
e) SE LA FRONTIERA DELLA FIGURA HA UN PUNTO ANGOLOSO, IL CONTORNO DEL NOCCIOLO HA UN TRATTO RETTILINEO; SE LA FRONTIERA DELLA FIGURA HA UN TRATTO RETTILINEO, IL CONTORNO DEL NOCCIOLO HA UN PUNTO ANGOLOSO.
S1
2S
U
V
1R 2R
G
1rr2
v
s1
s2
u σN
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Geometria delle masse 80/97 Testo di riferimento: Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni/1 – Erasmo Viola
f) SE UNA FIGURA PIANA HA FORMA POLIGONALE, IL NOCCIOLO HA ANCH’ESSO FORMA POLIGONALE: I VERTICI DEL NOCCIOLO SONO GLI ANTIPOLI DEI LATI DELLA FIGURA, I LATI DEL NOCCIOLO SONO LE ANTIPOLARI DEI VERTICI DELLA FIGURA.
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Geometria delle masse 81/97 Testo di riferimento: Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni/1 – Erasmo Viola
NOTE RIASSUNTIVE
SE LA FIGURA POSSIEDE UN ASSE DI SIMMETRIA, IL BARICENTRO APPARTIENE ALL’ASSE DI SIMMETRIA. IL MOMENTO CENTRIFUGO RISPETTO AGLI ASSI DI SIMMETRIA È NULLO. GLI ASSI DI SIMMETRIA SONO ANCHE CENTRALI D’INERZIA. L’ELLISSE E IL NOCCIOLO CENTRALE D’INERZIA RISULTANO ORIENTATI SECONDO L’ASSE RISPETTO AL QUALE RISULTANO MEDIAMENTE DISTRIBUITE LE MASSE (AREE) DELLA FIGURA. SE L’ELLISSE CENTRALE D’INERZIA È CONTENUTA ALL’INTERNO DELLA FIGURA, IL NOCCIOLO CENTRALE D’INERZIA È CONTENUTO ALL’INTERNO DELL’ELLISSE. POLO E RETTA ANTIPOLARE SI TROVANO SEMPRE DA PARTI OPPOSTE RISPETTO AL BARICENTRO.
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Geometria delle masse 88/97 Testo di riferimento: Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni/1 – Erasmo Viola
ESERCIZIO 8.3
( ) ( ) ( )
0 0 0 0
1 2 3= + +x x x xI I I I
( ) ( ) ( )0 0 0 0
1 2 3= + +y y y yI I I I
( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0 0 0
1 2 3 0= + + ≠x y x y x y x yI I I I
0
023
yx
xO
G
s
t
H
B
cmt
cms
cmB
cmH
1
3,1
8
20
=
=
=
=
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Geometria delle masse 89/97 Testo di riferimento: Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni/1 – Erasmo Viola
( )
0
23
34
212 2 2
2 2260.40
12
xBs H sI Bs
t H scm
⎛ ⎞⎛ ⎞= + − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
−+ ≅
( )
0
23
34
212 2 2
2 367.05
12
ysB B tI Bs
H s tcm
⎛ ⎞⎛ ⎞= + − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠−
+ ≅
0 0
4
22 2 2 2
680.68
x yH s B tI Bs
cm
⎛ ⎞⎛ ⎞= − − − ≅⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
≅ −
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Geometria delle masse 90/97 Testo di riferimento: Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni/1 – Erasmo Viola
2
2
4
2 2
2479.71 cm
x y x yx y
I I I II I0 0 0 0
0 0ξ
+ −⎛ ⎞= + + =⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
0 0 0 0
0 0
2
2η
4
2 2
147.74 cm
x y x yx y
I I I II I
+ −⎛ ⎞= − + =⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
xy
Ix
xD≡(I , I )000 x yD*
0D'≡(I , −I )y 0x y 0
2α0
0α ˜ 18°
ξ
η
ξI , 0)(ηI , 0)(
x0||
y 0|| xI + Iy
20 0( , 0)
=
ASCISSA CENTRO + RAGGIO
ASCISSA CENTRO – RAGGIO
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Geometria delle masse 91/97 Testo di riferimento: Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni/1 – Erasmo Viola
0 0
0 0
0
2tan 2 0,72
I
∧
ξ = − =−x y
x y
Ix
I
( )01 arctan 0,72 17 882
∧′ξ = = °x
0
0xξ17°88'
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Geometria delle masse 92/97 Testo di riferimento: Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni/1 – Erasmo Viola
0
3
17°88
0
0xξ
3
17°88'3
1 1
4 4
6
3
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Geometria delle masse 93/97 Testo di riferimento: Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni/1 – Erasmo Viola
0
0
y
xξ17°88'5
0
0
y
xξ
44
17°88'
4
0y
5
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Geometria delle masse 94/97 Testo di riferimento: Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni/1 – Erasmo Viola
118706,01 −=ξ cm; 178406,61 −=η cm
972907,02 −=ξ cm; 758750,02 −=η cm
491200,03 −=ξ cm; 654414,21 =η cm
118706,04 =ξ cm; 178406,64 =η cm
972907,05 =ξ cm; 758750,05 =η cm
491200,06 =ξ cm; 654414,26 −=η cm
0
0xξ17°88'
1
2
34
5
6
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Geometria delle masse 95/97 Testo di riferimento: Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni/1 – Erasmo Viola
GLI ANTIPOLI 2, 3, 4 E 1, 6, 5 SONO PRATICAMENTE ALLINEATI ⇔ I RETTANGOLI POSSONO ESSERE CONSIDERATI SOTTILI E LA FIGURA PUÒ ESSERE STUDIATA IN RIFERIMENTO ALLA LINEA MEDIA.
ALLINEAMENTO = GRADO DI APPROSSIMAZIONE
1 1
4 4
2
25
5
0
0
y
xξ
η
1
2
4
5