Download - Carte Ecuatii Diferentiale
-
GAVRIIL PLTINEANU PAVEL MATEI
ECUAII DIFERENIALE I
ECUAII CU DERIVATE PARIALE CU
APLICAII
Bucureti
2007
-
Referent tiinific: prof. univ. dr. ILEANA TOMA Universitatea Tehnic de Construcii Bucureti
-
PREFA
Teoria ecuaiilor difereniale i a ecuaiilor cu derivate pariale reprezint un
domeniu fundamental al matematicii cu numeroase aplicaii n diferite domenii ale tiinei i
tehnicii, precum: mecanic, astronomie, termodinamic, optic, elasticitate, chimie, biologie
etc.
Necesitatea crerii acestei teorii a nceput odat cu apariia calculului diferenial i
integral i provine din faptul c numeroase fenomene i procese din natur se modeleaz
matematic prin ecuaii difereniale sau prin ecuaii cu derivate pariale.
Iat cteva dintre aceste procese: micarea unui punct material ntr-un cmp
conservativ, vibraiile unui sistem oscilant, cderea liber a corpurilor, deplasarea unei
membrane elastice sub aciunea unei ncrcri continue, propagarea cldurii ntr-o bar,
dezintegrarea radioactiv, creterea populaiei, diverse reacii chimice etc.
Primele contribuii notabile n teoria ecuaiilor difereniale aparin creatorilor
analizei matematice Isaac Newton (1642-1727) i G. M. Leibniz (1646-1716).
Pornind de la studiul problemelor de dinamic a punctului material, Newton a
descoperit legea a doua a mecanicii: dvF m a mdt
= =
GJG G, relaie care reprezint o ecuaie
diferenial. Combinnd aceast lege cu legea gravitaiei, el a calculat orbitele planetelor i
a unor comete.
Leibniz a fost condus la studiul ecuaiilor difereniale de o problem de geometrie, aa
numita problem invers a tangentelor, care const n determinarea unei curbe plecnd de la
unele proprieti ale tangentei la curb. Leibniz este cel care a introdus termenul de ecuaie
diferenial.
Lista matematicienilor care i-au adus contribuia la dezvoltarea teoriei ecuaiilor
difereniale continu cu fraii Johann i Daniel Bernoulli, Euler, Laplace, Lagrange, Cauchy,
Fourier, Poincar, Picard, Liapunov, Voltera etc.
-
ECUAII DIFERENIALE I ECUAII CU DERIVATE PARIALE CU APLICAII
6
L. Euler a dat o prim definiie clar a ecuaiei difereniale, explicnd i n ce const
rezolvarea unei astfel de ecuaii. Dup L. Euler, o ecuaie diferenial este o relaie ntre x, y
i dypdx
= i rezolvarea ei const n gsirea unei relaii ntre x i y care nu-l mai conine pe p.
Dintre numeroasele rezultate obinute de Euler n domeniul ecuaiilor difereniale,
amintim metoda de rezolvare a ecuaiilor difereniale de ordinul n cu coeficieni constani, cu
numeroase aplicaii n mecanic i fizic.
Problema existenei i unicitii soluiei unei ecuaii difereniale a fost formulat i
rezolvat pentru prima oar de Cauchy i ulterior simplificat de Lipschitz. Metoda
aproximaiilor succesive aparine lui Picard,iar forma sa abstract lui Stefan Banach.
Lucrarea de fa conine un minimum de cunotine de baz din domeniul ecuaiilor
difereniale i al ecuaiilor cu derivate pariale, care nu pot s lipseasc din cultura
matematic a unui inginer constructor.
Sunt prezentate urmtoarele capitole: Ecuaii difereniale, Sisteme de ecuaii
difereniale, Ecuaii cu derivate pariale de ordinul nti, Serii Fourier, Ecuaii cu derivate
pariale de ordinul al doilea, Elemente de calcul variaional.
Am ncercat s iniiem pe cititori n procesul de modelare a proceselor de evoluie
prin ecuaii difereniale sau ecuaii cu derivate pariale, n studiul existenei i unicitii
soluiei unei asemenea ecuaii, n nsuirea algoritmilor de calcul a soluiei precum i n
interpretarea rezultatelor.
n cadrul fiecrui capitol sunt prezentate exemple rezolvate integral, care contribuie
la o bun nelegere a teoriei. Am fost preocupai tot timpul pentru a pstra un echilibru ntre
rigoare i accesibilitate.
Cartea se adreseaz n special studenilor Universitii Tehnice de Construcii
Bucureti, dar n egal msur i altor categorii de studeni din universiti tehnice, precum
i unor specialiti din cercetare i proiectare.
Mulumim referentului tiinific, doamna prof. univ. dr. Ileana Toma, pentru
observaiile i aprecierile fcute n urma citirii manuscrisului.
Autorii
-
CAPITOLUL 1
ECUAII DIFERENIALE
1.1. Noiuni generale. Exemple. Teorema de existen i unicitate
Prin ecuaie diferenial ordinar de ordinul n se nelege orice relaie de forma:
0),...,'',',,( )( =nyyyyxF , (1)
unde x este variabila independent, este funcia necunoscut, , , ..., sunt
derivatele funciei y i F este o funcie real continu definit pe un domeniu .
)(xyy = 'y ''y )(ny1n+ \
Dac (1)(1) ( )F C i derivata parial 0)(
nyF pe , atunci din teorema funciilor
implicite rezult c, local, ecuaia (1) se poate pune sub forma
( ) ( 1)( , , ',..., )ny f x y y y = n . (2)
Ecuaia diferenial (2) se numete forma normal a ecuaiei (1).
Prin soluie a ecuaiei (1) [respectiv (2)] pe intervalul I \ , se nelege orice funcie : I \ , de clas ( ) ( )n IC (2) , care verific ecuaia
( )( , ( ), '( ),..., ( )) 0nF x x x x = , x I
respectiv ( ) ( 1)( ) ( , '( ),..., ( ))n nx f x x x = , x I .
Evident, se presupune c pentru orice x I , punctul . ( )( , ( ), '( ),..., ( ))nx x x x
Graficul unei soluii a ecuaiei difereniale (1) se mai numete i curb integral a
acestei ecuaii difereniale.
Cea mai simpl ecuaie diferenial se ntlnete la calculul integral i const n aflarea
(1) F este de clas (1)C pe , dac F i derivatele sale pariale de ordinul nti sunt continue pe . (2) este de clas ( )nC pe I , dac i derivatele sale ' , '' ,..., ( )n sunt continue pe I.
-
8 ECUAII DIFERENIALE I ECUAII CU DERIVATE PARIALE CU APLICAII
primitivei unei funcii. ntr-adevr, fiind dat funcia continu , dac notm cu
y primitiva sa, atunci obinem ecuaia diferenial:
:f I \ \
' ( )y f x= , x I . (3)
Soluia ecuaiei difereniale (3) este
( ) ( )y x F x C= + , (4)
unde F este o primitiv a lui f pe I.
Constatm c soluia cutat nu este unic, ci exist o infinitate de soluii ale ecuaiei
(3). Soluia (4) a ecuaiei (3), care depinde de o constant arbitrar C, se numete soluia
general. Fiecare soluie particular se obine din soluia general dac dm constantei C o
valoare numeric concret.
Numeroase probleme din tiin i tehnic se modeleaz matematic prin ecuaii
difereniale.
Exemplul 1.1.1. S studiem cderea liber a unui punct material, sub aciunea forei
gravitaionale. Alegem ca ax Oy dreapta vertical pe care se mic (cade) punctul; originea
este la suprafaa pmntului, iar sensul pozitiv l alegem n sus. Notm cu y(t) coordonata
punctului M la momentul t. Aadar, variabila independent este timpul t, iar funcia
necunoscut este . ( )y y t=
De la mecanic tim c acceleraia este ; pe de alt parte, se tie c acceleraia
gravitaional este constant, se noteaz cu g i este aproximativ egal cu 9,81 . Cum
acceleraia gravitaional este orientat n jos, n sistemul de coordonate ales, va avea semnul
. Egalnd cele dou acceleraii ale punctului, obinem ecuaia diferenial:
''( )y t2/m s
''( )y t g= . (5)
Dup prima integrare, obinem:
1'( )y t gt= + C , (6)
iar dup a doua integrare: 2
1( ) 2t
2y t g C t C= + + . (7)
Expresia (7) reprezint soluia general a ecuaiei (5) i conine dou constante
arbitrare i . 1C 2C
Din (6), pentru , deducem: 0t =
-
1. Ecuaii difereniale 9
1 0'(0)C y v= = - viteza iniial a punctului.
Procednd asemntor n (7), obinem:
2 (0)C y y= = 0 - poziia iniial a punctului.
Cu aceste notaii, obinem soluia particular 2
0 0( ) 2ty t g v t= + + y . (8)
Aadar, dac cunoatem poziia iniial 0y a punctului i viteza sa iniial , din (8)
putem calcula poziia punctului material n cdere liber la fiecare moment t.
0v
Exemplul 1.1.2. Se tie c viteza de descompunere a radiului este direct proporional
cu cantitatea de radiu existent. S presupunem c n momentul , avem 0t = 0R grame de
radiu. S notm cu ( )R t cantitatea (n grame) de radiu existent (rmas) la momentul
i cu c ( ) coeficientul de proporionalitate. Suntem condui la ecuaia diferenial
0t >
0c >
'( ) ( )R t cR t= . (9)
Se verific, prin derivare, c soluia acestei ecuaii difereniale este
0( )ctR t R e= . (10)
Exemplul 1.1.3. S studiem oscilaiile mici ale unui pendul (fig. 1). Notm cu y(t)
unghiul format de pendul cu axa vertical la momentul t, cu l lungimea pendulului i cu g
acceleraia gravitaional. Asupra punctului material P
de mas m acioneaz fora gravitaional , de mrime FJG
F mg=JG
, care se descompune n componentele 1FJJG
i
2FJJG
, de mrimi 1 cosF mg =JJG
i 2 singF m =JJG
F
.
Presupunnd firul inextensibil, aciunea forei JG
2
se reduce la componenta FJJG
2FJJG
. Observm c este
orientat spre origine i este tangent la arcul de cerc
pOP . Lungimea arcului pOP este egal cu ly(t), de unde deducem c acceleraia unghiular va fi ly . Din
legea a doua a lui Newton, rezult c:
''( )t
O
M
P
y
y 1FJG
2FJJG
Fig. 1
FJG
-
10 ECUAII DIFERENIALE I ECUAII CU DERIVATE PARIALE CU APLICAII
2''( ) sin ( )ml y t F mg y t = = JJG
.
Deoarece pentru oscilaii mici (adic valori mici ale lui y), putem aproxima sin ,
mai departe obinem ecuaia
y y
''( ) ( ) 0gy t y tl
+ = . (11)
Se poate arta c, soluia general a acestei ecuaii difereniale este
( ) cos( )gy t A tl
= + , (12)
unde A i sunt nite constante arbitrare.
Exemplul 1.1.4. S analizm micarea unui punct material de mas m care se
deplaseaz pe axa Ox sub aciunea unei fore elastice FJG
orientat spre origine. Dac notm cu
x(t) distana de la punctul material la origine, la momentul , atunci, din legea a doua a lui
Newton, rezult c:
0t >
( )mx t F= . Pe de alt parte, F fiind o for elastic, este de forma . Obinem astfel
ecuaia diferenial a oscilatorului armonic:
2 ( )F x= t
=2( ) ( ) 0mx t x t+ . (13)
Soluia general este de forma
( ) cos( )x t A t = + , , 0A
unde A i sunt nite constante arbitrare.
n ipoteza suplimentar a existenei unei fore de frecare proporional cu viteza, de
forma i a unei fore exterioare f(t) aplicat punctului material, se obine o ecuaie
diferenial mai complicat i anume:
( )k x t
2( ) ( ) ( ) ( )mx t kx t x t f t+ + = . (14)
Exemplul 1.1.5. S studiem geometria unei oglinzi care are proprietatea c reflect
razele luminoase provenite de la o surs punctual O, sub forma unui fascicol paralel cu o
direcie dat.
-
1. Ecuaii difereniale 11
Alegem punctul O ca origine a axelor de coordonate, axa Ox dreapta paralel cu
fascicolul i dreapta Oy perpendicular pe Ox (fig. 2). Fie , curba de intersecie
dintre corpul oglinzii i planul xOy. Fie P(x,y) un punct de pe curb, fie T punctul de
intersecie dintre tangenta n P la curb i axa Ox i fie PR perpendiculara pe tangent n
punctul P. Cum PQ este paralel cu Ox rezult c . innd seama c
unghiul de inciden este egal cu unghiul de reflexie , deducem c
deci . Aadar, panta dreptei OP este
( )y y x=
'QPT OTP = =) )
i r
0 090 90i rOPT = = = =) , 2xOP =)
2 ytgx
= . Pe de alt parte, panta dreptei PT, este . Cum '( )tg y x = 222
1tgtgtg
=
, rezult
ecuaia diferenial
2
2 '1 '
y yy
P(x,y)
T
T
O
2 R
ir
y=y(x)
M[0,y()] Q
x
Fig. 2
y x=
,
care se mai scrie sub forma:
1 ')'
2 (x y yy
= .
Derivnd aceast ecuaie n raport
cu y i innd seama c 1'
dxdy y
= ,
obinem:
2
1 1 1 ' '2 ' ( )' ' '
dy dyy yy y y dy dy
+ =
i mai departe
2
1 '' (1' '
dyy 1 )y dy y
+ = +
sau 2 2
2
1 ' ' 1 '' 'y dyy
y dy y+ +
=
y
'
.
Simplificnd cu 'y i cu 1 2y+ , rezult:
'1'
y dyy dy
= ,
deci
-
12 ECUAII DIFERENIALE I ECUAII CU DERIVATE PARIALE CU APLICAII
''
dy dyy y
= . (15)
Dup o prim integrare, obinem
1ln ' ln lny y C= + 1 0>, C ,
sau 1'yy C= respectiv 1'yy C= . Dup nc o integrare, rezult 2
12y C x C= + 2
2
, deci
212 2y C x C= + . (16)
Aadar, am obinut o familie de parabole.
Fie M punctul de intersecie al curbei cu axa Oy. Deoarece triunghiul OMT
este dreptunghic isoscel, rezult c , deci . Dac n (16) facem ,
obinem
( )y y x=045 = '(0) 1y = 0x =
2
2(0)2
yC = . (17)
Pe de alt parte, derivnd (16), rezult
1'yy C= .
Cum '( , rezult 0) 1y = 1(0)y C= i mai departe 2
12 2
CC = . Prin urmare, soluia
general a ecuaiei (15) este 2
12y C x C= +2
1 , (18)
care reprezint din punct de vedere geometric o familie de parabole simetrice fa de axa Ox.
Focarul acestor parabole coincide cu originea O a axelor de coordonate. Dac fixm
i rotim parabola n jurul axei Ox, obinem paraboloidul de rotaie 1C
2 2 112 ( )2
Cy z C x+ = + .
Aadar, oglinda are forma unui paraboloid de rotaie.
Aa cum am vzut i n exemplele prezentate, o ecuaie diferenial poate avea o
infinitate de soluii.
Fie ecuaia diferenial de ordinul nti sub form normal:
' ( ,y f x y= ) (19)
unde f este o funcie continu definit pe mulimea deschis . 2D \
-
1. Ecuaii difereniale 13
Pentru a izola o anumit soluie a ecuaiei (19), se impune o condiie iniial i anume:
pentru 0x x= , soluia s ia valoarea 0y . Din punct de vedere geometric, aceasta revine la
gsirea curbei integrale care trece prin punctul 0 0 0( , )M x y D .
Definiia 1.1.1. Se numete problema Cauchy pentru ecuaia diferenial (19) i punctul ( )0 0 0,M x y D , problema care const n determinarea unei soluii ( )y x= , x I , a ecuaiei difereniale (19), care verific condiia iniial:
( )0 0x y = . (20)
Lema 1.1.1. Rezolvarea problemei Cauchy (19) - (20) este echivalent cu rezolvarea
ecuaiei integrale:
[ ]0
0( ) , ( ) dx
xy x y f t y t t= + , x I . (21)
Demonstraie. ntr-adevr, dac ( )y x= , x I , este soluie pentru problema Cauchy
(19) - (20), atunci
[ ]( ) , ( )t f t t = , t i I ( )0 0x y = . Integrnd prima identitate, obinem:
( ) [ ]0 0
0( ) ( )d , ( ) dx x
x xx x t t f t t t = = , x I
0
.
Cum ( )0x y = , rezult c [ ]0
0( ) , ( ) dx
xx y f t t = + t , x I , deci ( )y x= , x I , este
soluie pentru ecuaia integral (21).
Reciproc, dac ( )y x= , x I , este soluie pentru ecuaia integral (21), atunci
[ ]0
0( ) , ( ) dx
xx y f t t = + t , x I .
Evident ( )0 0x y = . Pe de alt parte, prin derivare obinem: [ ]( ) , ( )x f x x = , x I ,
deci ( )y x= , x I , este soluie pentru problema Cauchy (19) - (20).
-
14 ECUAII DIFERENIALE I ECUAII CU DERIVATE PARIALE CU APLICAII
Definiia 1.1.2. O funcie se numete lipschitzian n raport cu y, n domeniul D, dac exist o constant astfel nct
2:f D \ \
0L ( ) ( )1 2, ,f x y f x y 1 2L y y , oricare ar fi punctele ( )1,x y i ( )2,x y din D.
Observaia 1.1.2. Dac mulimea este deschis i convex, 2D \ (1)( )f DC i fy
este mrginit pe D, atunci f este lipschitzian n raport cu y pe D.
ntr-adevr, fie M > 0 astfel nct
( ),f x y My
0b > D , atunci exist o soluie unic
( )y x= , ( 0 0, )x I x a x a + , pentru problema Cauchy ( ),y f x y = , ( ),x y D ,
( )0 0y x y= .
Demonstraie. Pentru nceput, vom arta c exist o soluie a problemei Cauchy. Con-
form Lemei 1.1.1, aceasta revine la a arta c exist o soluie a ecuaiei integrale (21). De-
monstraia se bazeaz pe metoda aproximaiilor succesive a lui Picard, care nu numai c
stabilete existena soluiei, dar ne d i un procedeu de construcie (aproximativ) a acestei
soluii. Cum f este continu pe mulimea compact D , rezult c f este mrginit pe D . Fie
-
1. Ecuaii difereniale 15
0M > astfel nct ( ),f x y M< , ( , )x y D . Dac notm cu L constanta lui Lipschitz pe D , atunci, pentru orice dou puncte ( )1,x y i ( )2,x y din D , avem:
( ) ( )1 2 1, , 2f x y f x y M y y . (22) Fixm un numr , notm cu ( )0,1
Fig. 3
min , ,b
h aM L
= i cu I intervalul [ ]0 0,x h x h + .
Evident, 0 0 )I ( ,x a x a+ .
xDefinim prima aproximaie 1 1( )y y= x , I
( )
,
astfel:
0
1 0 0( , )x
x
y x y f t y dt= + , x I1
.
Deoarece f este continu, rezult c y este
continu pe I. Pe de alt parte, pentru orice x I , avem
( )0 0
1 0 0( ) , )x x
x xy x y f t y dt M dt = 0 bM x x Mh M bM = .
Aadar, 1 0 0: [ , ]y I y b y b + , deci 1( , ( ))t y t D , . t I
Construim aproximaia a doua 2 2 ( )y y x= astfel:
0
2 0 1( ) ( , ( ))x
x
y x y f t y t dt= + , x I . Din continuitatea funciilor f i 1y , rezult continuitatea lui 2y . Observm c
( )0
2 0 1 0( ) , ( ))x
xy x y f t y t dt M x x Mh b ,
deci
2 0 0( ) [ , ]y x y b y b + , x I
sau 2( , ( ))t y t D , x I .
n general, definim aproximaia de ordinul n, astfel:
0
0 1( ) ( , ( ))x
n nx
y x y f t y t dt
= + , x I (23)
-
16 ECUAII DIFERENIALE I ECUAII CU DERIVATE PARIALE CU APLICAII
i constatm c ny este o funcie continu pe I cu valori n intervalul 0 0[ , ]y b y b + , deci
2( , ( ))t y t D , x I .
Procedeul continu nedefinit.
irul de funcii 0 0: [ , ]yn I y b y b +*n `, , definit prin formula (23), poart
numele de irul aproximaiilor succesive.
Considerm urmtoarea serie de funcii pe I:
0 1 0 1( ) ... ( ) ...n ny y y y y + + + + (24)
i observm c irul sumelor sale pariale este chiar ( )n ns ( )n ny ,
, ( ) ( )n ns x y x= x I .
Dac vom arta c seria (24) este uniform convergent pe I, va rezulta c irul ( )n ny
este uniform convergent pe I. Folosind ipoteza c funcia f este lipschitzian pe D n raport
cu y, avem:
( ) ( )0 0
2 1 1 0 1 0( ) ( ) , ( ) , ( ) ( )x x
x xy x y x f t y t f t y t dt L y t y dt =
0
20 2
0 2 2!
x
x
x x LMLM t x dt LM h
= . Aadar, avem:
22 1 0( ) ( ) 2!
LMy x y x x x , x I . (25)
Folosind din nou faptul c f este lipschitzian i innd seama de (25), rezult:
( ) ( )0 0
3 2 2 1 2 1( ) ( ) , ( ) , ( ) ( ) ( )x x
x xy x y x f t y t f t y t dt L y t y t dt =
0
2 22 3
0 02! 3.2!
x
x
L M L Mt x dt x x = ,
deci: 2
33 2 0( ) ( ) 3!
L M xy x y x x x , I . (26)
n general, avem: 1 1
1 0( ) ( ) ! !
n nn n
n nL M L My x y x x x h
n n
, x I . (27)
-
1. Ecuaii difereniale 17
Observm c seria numeric 1
1 !
nn
n
M L hn
=
este convergent, aa cum rezult din criteriul raportului:
11 1!lim lim lim 0 1
( 1)! 1
nnn
n nn n nn
u M L n Lhhu n M L h n
++
= =
+ += < .
Conform (27), seria de funcii (24) este majorat pe intervalul I de o serie numeric
convergent, deci seria (24) este uniform convergent pe I, conform criteriului lui
Weierstrass.
Aadar, am demonstrat c irul aproximaiilor succesive (23) este uniform convergent
pe intervalul I. Notm cu limita acestui ir. Cum un Iy i ny sunt funcii continue pe
I, rezult c este, de asemenea, continu pe I.
Pe de alt parte, avem:
( ) ( )0 0
1 1, ( ) , ( ) ( ) ( )x x
n nx x
f t y t f t t dt L y t t dt
0n nL y x x Lh y , (28)
unde am notat cu
1sup{ ( ) ( ) ; }n ny y x x = x I .
Faptul c un Iy revine la a spune c
lim 0nn y = .
Din aceast observaie i din (28) deducem c
0 0
1lim ( , ( )) ( , ( ))x x
nnx x
f t y t dt f t t dt
= , x I .
n sfrit, trecnd la limit n (23), obinem:
0
0( ) ( , ( ))x
x
x y f t t dt = + , x I , deci este soluie pentru ecuaia integral (21) i cu aceasta am dovedit existena soluiei
problemei Cauchy.
Pentru a demonstra unicitatea acestei soluii, s presupunem ar mai exista o soluie
astfel inct
-
18 ECUAII DIFERENIALE I ECUAII CU DERIVATE PARIALE CU APLICAII
0
0( ) ( , ( ))x
x
x y f t t dt = + , x I . n continuare, pentru orice x I , avem:
( ) ( )0
( ) ( ) , ( ) , ( )x
xx x f t t f t t dt
0
( ) ( )x
x
L t t dt L
h . innd seama de definiia lui h, deducem
sup{ ( ) ( ) ; }x x x I LL
= =
.
Cum (0 , aceast inegalitate nu este posibil dect dac ,1) 0
= , deci dac
i cu aceasta unicitatea este dovedit.
Exemplul 1.1.6. S se rezolve problema Cauchy
y y = , ( ) 1 1 1 3, ,2 2 2 2x y D
= , ,
(0) 1y = .
Avem ( ),f x y y= , ( ),x y D , , , 0 0x = 0 1y = 12a b= = , 32
M = i L = 1.
Dac alegem 12
= , atunci 1 1 1 1min , ,2 3 2 3
h = = , deci 1 1
,3 3
I = .
irul aproximaiilor succesive arat astfel:
1 0( ) 1 1d 1x
y x t= + = + x , ( )
2
2 0( ) 1 1 d 1
2x x
y x t t x= + + = + + ,
2 2
3 0( ) 1 1 d 1
2 2!x t x
y x t t x
= + + + = + + + 3
3!x ,
............................................
2
( ) 12! !
n
nx x
y x xn
= + + + + , x I ,
............................................
-
1. Ecuaii difereniale 19
Cum 0 !
nx
n
xe
n
=
= , , convergena seriei este uniform i x \ ( )n ny este irul sumelor pariale ale seriei, rezult c un Iy , unde ( )
xx e = , . x\Observaia 1.1.2. n exemplul precedent am putut afla limita irului aproximaiilor
succesive. De regul, acest lucru nu este posibil i de aceea se aproximeaz limita acestui ir
cu aproximaia de ordinul n, adic cu funcia ny definit n (23).
Exemplul 1.1.7. S se rezolve problema Cauchy 2 2y x y = + , , ( ), ( 1,1) (x y D = 1,1)
(0) 0y = .
Avem , , 1a b= = 0 0 0x y= = 2M = . Dac alegem 12
= , atunci 1 1 1min 1, ,2 2 2
h = = , deci
1 1,
2 2I =
. irul aproximaiilor succesive arat astfel:
3
21 0( ) d
3x x
y x t t= = ,
6 32
2 0( ) d
9 3x t x
y x t t
= + = + 7
63x ,
23 7 3 7 11 15
23 0
2( ) 1 d
3 63 3 63 2079 59535x t t x x x x
y x t t = + + + = + + +
, x I ,... Putem aproxima soluia problemei Cauchy cu 3y , deci
3 7 11 152
( )3 63 2079 59535x x x x
x + + + , 1 1,2 2
x .
n continuare, vom evalua eroarea care se face n metoda aproximaiilor succesive.
Teorema 1.1.2. n condiiile i cu notaiile Teoremei 1.1.1, avem: 1
( ) ( )( 1)!
n nLh
nM L hx y x e
n
+
+
, x I ,
unde este soluia exact a problemei Cauchy, iar ny este aproximanta de ordinul n.
-
20 ECUAII DIFERENIALE I ECUAII CU DERIVATE PARIALE CU APLICAII
Demonstraie. Din (27) deducem:
( ) ( ) ( )1 1 2 1( ) ( ) ...n p n n n n n n p n py x y x y y y y y y+ + + + + = + + + +
1 1 2 1
...( 1)! ( 2)! ( )!
n n n n n p n pML h ML h ML hn n n p
+ + + + +
+ + ++ + +
=
1 2( ) ( )1 ...
( 1)! 2 ( 2)( 3) ( 2)...( )
n n pML h Lh Lh Lhn n n n n n p
+ = + + + +
+ + + + + + 1
<
1 2 1( ) ( ) ( )1 ...
( 1)! 1! 2! ( 1)! !
n n p pML h Lh Lh Lh Lhn p
+ = + + + + +
+ p.
Aadar, avem:
1 2 1( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 ...
( 1)! 1! 2! ( 1)! !
n n p p
n p nML h Lh Lh Lh Lhy x y x
n p
+
+
< + + + + +
+ p, x I .
Trecnd la limit dup p ( ) n ultima inegalitate, obinem: p 1
( ) ( )( 1)!
n nLh
nM L hx y x e
n
+
+
, x I .
Definiia 1.1.3. Fie ecuaia diferenial ' ( , )y f x y= 2( , )x y \, . (29)
Presupunem, n plus, c n domeniul sunt ndeplinite condiiile teoremei de existen
i unicitate. Prin soluie general a ecuaiei difereniale (29) n domeniul , se nelege o
familie de soluii
( , )y x C= , x I , unde este o constant arbitrar, cu proprietile: C
a) ( , ( , ))x x C , x I , ; C
b) [ , ( , )]f x x Cx =
, x I , ; C
c) Pentru orice punct , exist o constant unic astfel nct 0 0( , )x y 0C
0 0 0( , )x C y = .
Exemplul 1.1.8. Soluia general a ecuaiei difereniale , , este
, , unde C este o constant real oarecare. ntr-adevr, n acest caz,
, i este evident c sunt ndeplinite condiiile de existen i unicitate
' 1y = 2( , )x y \y x C= + x\
( , ) 1f x y = 2( , )x y \
-
1. Ecuaii difereniale 21
din Teorema 1.1.1. Pe de alt parte, avem i exist o constant
unic astfel nct
( ) 'x C+ = 1
0 0
20 0( , )x y \
0 0C y x= 0 0y x C= + .
Definiia 1.1.4. Prin soluie particular a ecuaiei difereniale (29) se nelege o soluie a sa obinut din soluia general a ecuaiei (29), prin particularizarea constantei C.
n exemplul 1.1.8, pentru , , etc, obinem soluiile particulare 1 0C = 2 1C = 3 1C =
1y x= , 2 1y x= + , 3 1y x= etc.
Observaia 1.1.3. Teorema 1.1.1 are un caracter local, n sensul c, dac ntr-o vecintate a punctului 0 0( , )M x y , funcia f este continu i lipschitzian n raport cu y (n
particular, are derivata parial n raport cu y mrginit), atunci problema Cauchy admite o
singur soluie a crei curb integral trece prin punctul M.
Observaia 1.1.4. De regul, soluia general nu se obine sub form explicit din Definiia 1.1.3, ci trebuie gndit ca soluia implicit ( , )y x C= , definit de ecuaia
obinut prin integrarea ecuaiei difereniale (29). Ecuaia se
mai numete i integrala general (sau complet) a ecuaiei difereniale (29). Ecuaia
, obinut prin particularizarea constantei C, se mai numete i integral
particular.
( , , ) 0x y C =
=
( , , ) 0x y C =
0( , , ) 0x y C
Definiia 1.1.5. Se numete soluie singular a unei ecuaii difereniale, o soluie a acestei ecuaii care are proprietatea c, n orice punct al curbei sale integrale, nu sunt
satisfcute condiiile de unicitate.
Aceasta revine la a spune c pentru orice punct 0 0( , )x y al curbei integrale a acestei
soluii, exist o alt soluie a ecuaiei difereniale, a crei curb integral trece prin acest punct
i este diferit de aceasta. Din Definiia 1.1.5 deducem c soluiile singulare se caut n
punctele unde nu sunt satisfcute condiiile Teoremei 1.1.1. Dac f este continu, atunci
-
22 ECUAII DIFERENIALE I ECUAII CU DERIVATE PARIALE CU APLICAII
soluiile singulare trebuie cutate n punctele unde f nu este lipschitzian, de exemplu, n
punctele unde fy
nu este mrginit.
Exemplul 1.1.9. Fie ecuaia diferenial 233y y = , . (30) 2( , )x y \
Avem 23( , ) 3f x y y= , . Evident, f este continu pe . Cum 2( , )x y \ 2\
132f y
y
=
,
rezult c fy
nu este mrginit pe axa Ox ( ). Pe de alt parte, este evident c este
o soluie a ecuaiei (30). Aadar, este o soluie singular a ecuaiei (30).
0y = 0y =
0y =
Fie . Soluia general a ecuaiei (30) n este 2 \{( ,0); }x x = \ \ ) 3(y x C= + , cum se verific imediat. Fie un punct oarecare de pe axa Ox. ( ,0)a
O x
y
Fig. 4
Prin acest punct trece soluia singular i soluia particular 0y = 3( )y x a= , . x\Din punct de vedere geometric, curba integral a soluiei singulare este nfurtoarea
familiei de curbe integrale ale soluiei generale.
1.2. Ecuaii difereniale de ordinul nti de forme particulare
-
1. Ecuaii difereniale 23
1.2.1. Ecuaii difereniale cu variabile separabile
O ecuaie diferenial cu variabile separabile este o ecuaie de forma:
1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) 0f x g y y f x g y + = , (1)
-
1. Ecuaii difereniale 23
unde sunt funcii continue, 1 2, :f f I \ \ 1f 0 pe I, iar sunt funcii
continue,
1 2, :g g J \ \
2g 0 pe J, I i J fiind intervale. mprind cu 1 2( ) ( )f x g y , se separ variabilele i
ecuaia devine:
1 2
2 1
( ) ( )
( ) ( )g y f x
dy dxg y f x
= . (2)
Integrnd n ambii membri, obinem:
1 2
2 1
( ) ( )( ) ( )
g y f xdy dx C
g y f x= + , C . \
Se obine astfel soluia general sub form implicit a ecuaiei difereniale. Explicitnd
n raport cu y (dac este posibil), se obine o expresie de forma , , care este
soluia general sub form explicit a ecuaiei difereniale (1).
( , )y h x C= C \
Exemplul 1.2.1. S se gseasc soluia ecuaiei difereniale
( ) ( )2 21 1x yy x y+ + + = 0 , care ndeplinete condiia iniial . (1) 2y =
Ecuaia se pune sub forma echivalent 21 1y x
dy dxy x
=
+ + 2. Integrnd, obinem:
2 21 1y x
dy dxy x
=
+ + , deci
( ) ( )2 21 1 12 Cln 1 ln 1 ln2 2y x+ = + + 0C >, , sau
2 21 1C
yx
+ =+
, . 0C >
Din condiia iniial , obinem i mai departe (1) 2y = 10C =2
291
xy
x
= +
. Evident,
soluia cutat este
2
291
xy
x
=
+, x (3,3).
-
24 ECUAII DIFERENIALE I ECUAII CU DERIVATE PARIALE CU APLICAII
Exemplul 1.2.2. S se gseasc soluia general a ecuaiei difereniale 'xy y= , ,
.
0x >
0y >
Se observ c ecuaia diferenial dat se poate scrie sub forma echivalent:
dy dxy x
= .
Integrnd n ambii membri, se obine:
, ln ln lny x C= + *C +\sau , . y Cx= *C +\ Observm c, dei calculele sunt fcute n domeniul , funcia
, , verific ecuaia diferenial pe . Aadar, soluia general a ecuaiei
difereniale date, este , C .
(0, ) (0, )D =
y Cx= C \ 2\y Cx= \
1.2.2. Ecuaii difereniale omogene
Sunt ecuaii difereniale de forma
yy f
x
= , (3)
unde f este o funcie continu pe un interval I, . 0 I
Dac notm cu yux
= i considerm u = u(x) noua funcie necunoscut, rezult
i . n urma acestei schimbri de funcie necunoscut, ecuaia (3)
devine o ecuaie cu variabile separabile, anume:
( ) ( )y x xu x= y u x u = +
( )u x u f u+ = .
Cazul ( )f u u= se reduce la o ecuaie cu variabile separabile i se rezolv ca mai sus.
Putem deci presupune c ( )f u u . Separnd variabilele obinem:
( )du dx
f u u x=
i mai departe
ln ln( )du
x Cf u u
= +
, . *C \
-
1. Ecuaii difereniale 25
Exemplul 1.2.3. S se gseasc soluia ecuaiei difereniale 2y y
yx x
= + , x 0,
care ndeplinete condiia iniial . (2) 1y =
Notnd cu yux
= , obinem sau 2u xu u u+ = + 2'xu u= . Presupunem, n continuare,
. Ecuaia diferenial 0y 2'xu u= se scrie sub forma 2du dx
xu= . Integrnd, rezult
1ln lnx C
u = + , . *C \
i mai departe lnx C xy
= , . Din aceast relaie se obin soluiile corespunztoare
diferitelor condiii iniiale. Impunnd condiia , se obine
0x
(2) 1y = 21
2C
e= , care conduce la
2 ln 2 lnx xy
= + , . Deoarece ne intereseaz cazul , rezult c soluia care
ndeplinete condiia iniial y(2) = 1 este
0x (0, )x
2 ln2 lnx
yx
=
+ , ( )20,2x e .
1.2.3. Ecuaii difereniale liniare de ordinul nti
Ecuaiile difereniale liniare neomogene, de ordinul nti, sunt ecuaii de forma:
( ) ( )y P x y Q x+ = , (4)
unde P i Q sunt funcii continue pe un interval I.
Ecuaia liniar omogen asociat este
( ) 0y P x y+ = . (5)
Observm c ecuaia omogen (5) este o ecuaie cu variabile separabile. Separnd varia-
bilele i integrnd, obinem:
( )dy
P x dxy
= , , 0y
ln ( ) lny P x dx C= + *\, C i mai departe
-
26 ECUAII DIFERENIALE I ECUAII CU DERIVATE PARIALE CU APLICAII
( )P x dxy C e= , , *C \care este echivalent cu
( )P x dxy C e= , . *C \Dei aceast soluie s-a obinut n ipoteza , care presupune C 0, observm c
ecuaia (5) admite i soluia y = 0 care s-a pierdut la mprirea cu y. Aadar
0y
( )P x dxy C e= , , (6) C \reprezint soluia general a ecuaiei omogene (5).
Pentru a obine soluia general a ecuaiei neomogene (4) folosim metoda variaiei
constantei a lui Lagrange i anume: cutm soluia ecuaiei neomogene (4) de forma
( )( ) P x dxy x e = , (7) unde este o funcie de clas (1)C pe intervalul I. Pentru determinarea funciei punem condiia ca (7) s fie soluie pentru ecuaia (4) i obinem:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P x dx P x dx P x dxx e x P x e P x x e + Q x= . Efectund calculele, rezult
( )( ) ( ) P x dxx Q x e = i mai departe
( )( ) ( ) P x dxx Q x e dx C = + . nlocuind n (7) obinem soluia general a ecuaiei neomogene (4) i anume:
( ) ( )( )P x dx P x dxy e C Q x e dx = + (8)
Exemplul 1.2.4. S se gseasc soluia general a ecuaiei difereniale
sin sin cosy y x x x+ = .
Folosim formula (8) cu i . nlocuind n (8), obinem: ( ) sinP x x= ( ) sin cosQ x x x=
( ) (cos cos cos cos cossin cos cos )x x x xy e C x xe dx e C e x e = = x
,
deci . cos cos 1xy C e x=
-
1. Ecuaii difereniale 27
1.2.4. Ecuaii difereniale de tip Bernoulli
Sunt ecuaii difereniale de forma:
( ) ( )y P x y Q x y+ = , { }\ 0,1 \ . (9) Presupunem c P i Q sunt funcii continue pe un interval I. mprind cu , pentru
, obinem:
y
0y
1( ) ( )y y P x y Q x + = .
Dac facem schimbarea de funcie , unde este noua funcie necunoscu-
t, rezult ( )
1y = z ( )z z x=
1 y y z = i mai departe
( ) ( )1
zP x z Q x
+ =
. (10)
Ecuaia diferenial (10) este o ecuaie diferenial liniar de ordinul nti i se rezolv
ca n seciunea 1.2.3.
Exemplul 1.2.5. S se gseasc soluia general a ecuaiei difereniale
41 ln3 3y
y yx
= x , x (0,).
mprind cu , pentru y 0, rezult 4y 4 31 1 ln3 3
y y yx
= x
y
. Dac notm cu ,
atunci i ecuaia devine:
3z y=
43z y =
1lnz z
x+ = x .
Aceasta este o ecuaie diferenial liniar de ordinul nti, cu 1( )P xx
= i . ( ) lnQ x x=
Folosind formula (8) obinem:
( ) ( )ln ln 1ln lnx xz e C xe dx C x xdxx= = i mai departe ln
4 2C x x
zx
= + x . Aadar avem: 3 ln4 2
C x xy x
x
= + , x > 0, y 0.
Diferite soluii particulare se obin preciznd condiiile iniiale.
-
28 ECUAII DIFERENIALE I ECUAII CU DERIVATE PARIALE CU APLICAII
1.2.5. Ecuaii difereniale de tip Riccati
Sunt ecuaii difereniale de forma
2( ) ( ) ( )y P x y Q x y R x = + + (11)
unde P, Q i R sunt funcii continue pe un interval I.
n general, o ecuaie de acest tip nu se poate integra prin cuadraturi. Astfel, nc din
1841, J. Liouville a demonstrat c exist ecuaii difereniale de tip Riccati care nu sunt inte-
grabile prin cuadraturi, adic soluiile lor nu pot fi exprimate ca primitive ale unor funcii
continue. De exemplu, ecuaia Riccati foarte simpl:
2 2'y x y= + ,
nu este integrabil prin cuadraturi.
Cel mai simplu i mai cunoscut caz de integrabilitate a ecuaiei Riccati este acela cnd
se cunoate o soluie particular a acestei ecuaii. Dac se cunoate o soluie particular a
ecuaiei difereniale (11), anume , atunci efectund schimbarea de funcie :py J I \1
py y z= + , ecuaia diferenial se reduce la o ecuaie diferenial liniar de ordinul nti.
ntr-adevr, derivnd i nlocuind n ecuaia (11) obinem:
22 2
1 1( ) 2 ( ) ( )pp p p
yzy P x y Q x y R
z zz z
= + + + + + x .
innd seama c py verific ecuaia (11), deci c
2( ) ( ) ( )p p py P x y Q x y R x = + + ,
rezult
2 ( ) ( ) (pz )y P x Q x z P x+ + = . (12) Se observ c ecuaia diferenial (12) este o ecuaie diferenial liniar de ordinul nti.
Observaia 1.2.2. Se poate arta c, orice ecuaie diferenial de tip Riccati de forma
2 2'B Cy Ay yx x
= + + ,
unde satisfac condiia , admite o soluie particular de forma , ,A B C \ 2( 1) 4B AC+ 0
( )pcy xx
= , . c\
-
1. Ecuaii difereniale 29
Exemplul 1.2.6. S se integreze urmtoarea ecuaie diferenial de tip Riccati:
22
1 23 3
y yx
= , x (0,).
innd seama de observaia 1.2.2, se constat c 1yx
= este o relaie particular a ecua-
iei date. Facem schimbarea de funcie 1 1yx z
= + i obinem:
2 2 2 2 21 1 1 2 1
3 3z
xz2
x z x z
= + + x .
Rezult urmtoarea ecuaie diferenial liniar de ordinul nti:
2 13 3
z zx
= ,
a crei soluie general este 23z Cx x= + .
Soluia general a ecuaiei Riccati este:
2 31 1
yx C x x
= ++
, x (0,).
1.2.6. Ecuaii difereniale de tip Clairaut
Sunt ecuaii difereniale de forma:
( )y xy y= + , (13)
unde este o funcie de clas (1)C pe un interval J. Notnd ecuaia devine y p = ( )y x p p= + .
Derivnd n raport cu x obinem: ( )dp dpp p x pdx dx
= + + , deci
[ ]( ) 0dpx p dx+ = .
Dac 0dpdx
= , rezult p = C i mai departe
( )y C x C= + . (14) Familia de soluii (14) reprezint soluia general a ecuaiei (13). Din punct de vedere
geometric, curbele integrale corespunztoare acestei soluii sunt drepte.
Pe de alt parte, din ( ) 0x p+ = , obinem soluia singular (sub form parametric):
-
30 ECUAII DIFERENIALE I ECUAII CU DERIVATE PARIALE CU APLICAII
( )( ) ( )
x py p p p
=
= + . (15)
Curba integral corespunztoare soluiei singulare (15) este nfurtoarea familiei de
drepte (14).
Exemplul 1.2.7. S se integreze ecuaia diferenial de tip Clairaut 2
2y
y xy
= .
Soluia general este 2
2C
y C x= , C R.
Soluia singular sub form parametric este:
2
2
x p
py
==
.
Eliminnd pe p ntre cele dou ecuaii parametrice, obinem 2
2x
y = , adic o parabol,
care este nfurtoarea familiei de drepte 2
2C
y C x= , C R (fig. 1).
Fig. 1
2
2xy =
0=C
1=C 1=C
1.2.7. Ecuaii cu difereniale exacte. Factor integrant
Sunt ecuaii difereniale de forma:
( ) ( ), ,P x y Q x y y+ 0= , (16)
-
1. Ecuaii difereniale 31
unde P i Q sunt funcii de clas (1)C pe dreptunghiul ( ) ( ), ,D a b c d= , Q 0 pe D i P Qy x
= pe D.
Fie ( )0 0,x y Dx y
x y
un punct oarecare fixat i fie F : D R, definit astfel:
( ) ( ) ( )0 0
0, , d , dx y P t y t Q x t t= + ( ),, y D . (17) F x
Propoziia 1.2.7. n condiiile de mai sus, orice funcie implicit ( )y x= , definit de
ecuaia ( ),F x y C= , C R, este soluie pentru ecuaia diferenial (16) i orice soluie a
ecuaiei (16) este de aceast form.
Demonstraie. Pentru nceput vom arta c F Px
= i
FQ
y
= . ntr-adevr, innd
seama de formula de derivare a integralei cu parametru i de ipoteza Px
=
Qy
, rezult
( ) ( ) ( ) ( )0 0
0 0, , d , ,y y
y y
F Q PP x y x t t P x y x t t
x x t
= + = + d =,
( ) ( ) ( ) ( )0 0, , ,P x y P x y P x y P x y= + = .
De asemenea, avem ( ,F Q x yy
= ) . Aadar, funcia F definit n (17) are proprietatea c F
Px
= i
FQ
y
= . Cu alte cuvinte, forma diferenial este exact. ( ) ( ), ,P x y dx Q x y dy = +Fie ecuaia
( ),F x y C= , ( , )x y D. (18)
Deoarece F Qy
= 0 pe D, rezult c n vecintatea oricrui punct din D ecuaia (18)
definete o funcie implicit ( )y x= , x I. Deoarece [ ], ( ) 0F x x = , x I, derivnd obi-
nem [ ] [ ], ( ) , ( ) ( ) 0F Fx x x x xx y
+ = , x I.
innd seama c F Px
= i
FQ
y
= , deducem c
[ ] [ ], ( ) , ( ) ( ) 0P x x Q x x x + = , x I,
-
32 ECUAII DIFERENIALE I ECUAII CU DERIVATE PARIALE CU APLICAII
deci ( )y x= , x I este soluie pentru ecuaia (16).
Reciproc, fie ( )y x= , x I, o soluie a ecuaiei (16). Atunci, x I, avem
( ), ( )x x D i [ ] [ ], ( ) , ( ) ( ) 0P x x Q x x x + = .
Deoarece F Px
= i
FQ
y
= , rezult
[ ] [ ], ( ) , ( ) ( ) 0F Fx x x x xx y
+ = , x I,
ceea ce este echivalent cu
( )( ), ( ) 0d F x xdx = , x I. Din ultima relaie deducem c [ ], ( )F x x C = , x I, deci ( )y x= , x I, este o funcie
implicit definit de ecuaia (18).
Exemplul 1.2.8. S se afle soluiile ecuaiei difereniale
( ) ( )2 23 3 0x y y x y + = ( ) ( ), { }2 2, \ ;3 ,x y aa a \ \ . Avem , , ( ) 2, 3P x y x y= ( ) 2, 3Q x y y x= 1Q Px y
= = .
( ) ( ) ( )0 0
2 2 3 30 0, 3 d 3 d
x y
x y3 3
0 0 0F x y t y t t x t x y xy x y x y= + = + + . Aadar, orice soluie a ecuaiei date este de forma ( ),y x x I= , unde este o funcie
implicit definit de ecuaia 3 3x y xy K+ = .
Observaia 1.2.3. Dac P Qy x
, atunci se caut un factor integrant. Prin factor
integrant se nelege o funcie ( ),x y = , , (1)( )D C 0 pe D, cu proprietatea
( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , , ,x y Q x y x y P x y x y Dx y
=
P x y Q x y y+ 0Q
. (19)
Aadar, s considerm ecuaia diferenial
( ) ( ), , 0= , pe D i Q Px y
. (20)
-
1. Ecuaii difereniale 33
Dac reuim s gsim un factor ( , )x y = i nmulim ecuaia (20) cu acest factor integrant, obinem ecuaia echivalent , care este de tipul
(16) i a crei soluie se afl n conformitate cu Propoziia 1.2.7.
( ) ( ) ( ) ( ), , , ,x y P x y x y Q x y y + 0=
Determinarea factorului integrant se face prin ncercri. S cutm pentru nceput un
factor integrant de forma ( )x = (care depinde numai de x). Din (19) rezult
( )( ) , ( ) ( )Q Px Q x y x xx y
+ =
i mai departe
( )( )
P Qx y xx Q
= . (21)
Pentru ca egalitatea (21) s fie posibil trebuie ca expresia
P Qy x
Q
s depind numai
de x.
Aadar, ecuaia (20) admite factor integrant ( )x = , dac P Qy x
Q
depinde numai de
x. S notm cu
( )
P Qy xx
Q
= .
Atunci ( ) ( )( )x
xx
= i integrnd obinem ln ( ) ( )x x dx C = + . Putem alege factorul integrant ( )( ) x dxx e = .
Exemplul 1.2.9. Determinnd un factor integrant, s se gseasc soluia ecuaiei dife-
reniale
( ) ( )2 21 0x y x y x y + = , x 0, x y.
Avem , , 21P x y= ( )2Q x y x= 2 22 3Q Pxy x xx y
= = , P Qy x
Q
2
x= . Rezult c
2
21
( )dx
xx ex
= = . Amplificnd ecuaia dat cu acest factor integrant, obinem
-
34 ECUAII DIFERENIALE I ECUAII CU DERIVATE PARIALE CU APLICAII
( )21 0y y x yx
+ = .
Fie 1 21
Px y
=
i . Observm c 1Q y x= 1 1 1P Qy x
= = . Atunci
( ) ( )0 0
2
021 1
, d d2
x y
x y
yF x y y t t x t xy K
xt
= + = + . Soluia ecuaiei va fi orice funcie implicit ( )y x= , x I , definit de ecuaia
2 1
2y
xy Cx
= .
n mod analog, se arat c ecuaia (20) cu P 0, admite un factor integrant depinznd
numai de y ( ( )y = ), dac expresia Q Px y
P
depinde numai de y.
Exemplul 1.2.10. Determinnd un factor integrant, s se gseasc soluia ecuaiei dife-
reniale
( ) ( )2 22 3 7 3 0y x y xy y + = , , 0y 2 3x y , 27 3xy . Avem succesiv
( )2 2 3P y x y= , , 27 3Q xy= 24 9P xy yy
= , 23
Qy
x
= ;
( ) 2( )
Q Py x yy P y
= = ; 2
1( )y
y = .
nmulind ecuaia dat cu 21y
, obinem ecuaia echivalent 27
2 3 3 0x y x yy
+ =
.
Fie , 1( , ) 2 3P x y x y= 1 27( , ) 3Q x y xy
= . Evident 1 1 3Q Px y
= = . Atunci
( ) ( )0 0
20 2
7 7, 2 3 d 3 d 3
x y
x yF x y t y t x t x xy C
yt
= + = + . Orice funcie implicit ( ),y x x I= , definit de ecuaia 2 73x xy K
y = este soluie
pentru ecuaia dat.
-
1. Ecuaii difereniale 35
Dac ecuaia nu admite factori integrani de forma ( )x = sau ( )y = se caut
factori integrani de forme mai complicate ( )xy = , , ( )ax by = + xy
= etc.
1.3. Ecuaii difereniale liniare de ordinul n
O ecuaie diferenial liniar neomogen de ordinul n este o ecuaie de forma:
( ) ( 1)0 1 1( ) ( ) ... ( ) ' ( ) ( ),
n nn na x y a x y a x y a x y f x x I
+ + + + = , (1)
unde sunt funcii continue pe intervalul 0 1, ,..., ,na a a f I R i . 0( ) 0,a x x I Ecuaia diferenial omogen asociat ecuaiei (1) este:
( ) ( 1)0 1( ) ( ) ... ( ) 0,
n nna x y a x y a x y x I
+ + + = , (2)
Definiia 1.3.1. Spunem c o funcie : I R este de clas ( )pC pe intervalul I, dac admite derivate pn la ordinul p inclusiv i acestea sunt continue pe I.
Vom folosi notaia ( )( )p IC . De exemplu, (0)( )IC , dac este continu pe I,
(1)( )IC dac exist ' i este continu pe I etc.
Este evident c ( )( )p IC este un subspaiu vectorial al spaiului vectorial al funciilor
reale definite pe I, pe care l vom nota . ( , )I \F
Definiia 1.3.2. Se numete soluie a ecuaiei difereniale (1) orice funcie ( )( )n IC care verific ecuaia, adic:
( ) ( 1)0 1 1( ) ( ) ... ( ) ' ( ) ( ),
n nn na x a x a x a x f x x I
+ + + + = .
Dac notm cu D operatorul de derivare dD dx
= , cu operatorul de
derivare de ordinul p,
*,pD p N
...p
pp
p ori
dD D D Ddx
= =D D D ,
-
36 ECUAII DIFERENIALE I ECUAII CU DERIVATE PARIALE CU APLICAII
cu operatorul identitate ( )0D 0 (( ) , ( )n)D I = C i cu 1 0
0 1 10
( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ,n
k n nk n
knL D a x D a x D a x D a x D a x D x I
=
= = + + + + , atunci ecuaiile (1) i (2) se scriu pe scurt astfel:
( )( ) ( ),L D y f x x I= , (1)
respectiv
( )( ) 0,L D y x I= . (2)
Propoziia 1.3.1. Mulimea S a soluiilor ecuaiei omogene (2) este un subspaiu vecto-rial al spaiului de funcii ( , )I RF .
Demonstraie. Vom arta c i , rezult c . ,y z S , R y z S + Pentru nceput reamintim c operatorul de derivare D este liniar, adic are proprietatea:
( )( ) ( ) ( ), , ( ), ,nD y z D y D z y z I + = + RC . ntr-adevr,
( )( ) ( ) ' 'd 'D y z y z y z y zdx + = + = + = + =
( ) ( )dy dz D y D zdx dx= + = + .
Observm c operatorul de derivare de ordinul p este, de asemenea, liniar. ntr-adevr,
de exemplu:
[ ] ( ]2( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )D x y D D x y D D x y D D x D y + = + = + = + =D
[ ] [ ] 2 2( ) ( ) ( ) ( )D D x D D y D x D y= + = + etc. n sfrit, observm c operatorul ( )L D este liniar,
( ) ( )0 0
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n
k kk k
k kL D y z a x D y z a x D y D z
= =
+ k = + = + =
0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )
n nk k
k kk k
a x D y a x D z L D y L D z= =
= + = + Dac , atunci i . n continuare, avem: ,y z S ( )( ) 0L D y = ( )( ) 0L D z =
( )( ) ( )( ) ( )( ) 0, ,L D y z L D y L D z + = + = R ,
-
1. Ecuaii difereniale 37
deci . y z S +
n spaii de funcii exist un aparat specific pentru studiul liniar dependenei
(independenei). Acest aparat se bazeaz pe noiunea de wronskian.
Definiia 1.3.3. Fie , n funcii de clas 1 2, ,..., :nf f f I R ( 1)nC pe intervalul I. Se numete wronskian al acestor funcii, urmtoarea funcie:
[ ]1' '
11( 1) ( 1)
1
( ) ... ( )( ) ... ( )( ) ,..., ( ) ... ... ...
( ) ... ( )
nnn
n nn
f x f xf x f xW x W f f x
f x f x = = .
Propoziia 1.3.2. Fie ( 1)( ), 1,nif I i n =C . Dac 1,..., nf f sunt liniar dependente pe I, atunci [ ]1,..., ( ) 0,nW f f x x I= .
Demonstraie. Prin ipotez exist n numere , nu toate nule, astfel nct 1 2, ,..., n
1 1( ) ... ( ) 0,n nf x f x x + + = I . (3)
Derivnd succesiv relaia (3) de ( ori obinem: 1)n
1 1' '
1 1 1
( 1) ( 1)1 11 1
( ) ... ( ) 0( ) ... ( ) 0
............ ... ... ... ............. ... ...( ) ... ( ) 0, .
n nn
n n
f x f xf x f x
f x f x
+ + = + + = + + = x I (4)
Am obinut astfel sistemul (4), care este un sistem (algebric) liniar i omogen n
necunoscutele . Deoarece sistemul admite soluie nebanal, rezult c determinantul
coeficienilor este 0. Aadar avem:
1,..., n
1' '
1
( 1) ( 1)1
( ) ... ( )( ) ... ( )( ) 0,... ... ...
( ) ... ( )
nn
n nn
f x f xf x f xW x x I
f x f x = = .
Propoziia 1.3.3. Fie . Dac ( )1, ,..., ( )nng f f IC(i) [ ]1,..., ( ) 0,nW f f x x I ;
-
38 ECUAII DIFERENIALE I ECUAII CU DERIVATE PARIALE CU APLICAII
(ii) [ ]1, ,..., ( ) 0,nW g f f x x I= , atunci g este o combinaie liniar de 1,..., nf f , deci exist , astfel nct 1,..., nC C R
1 1( ) ( ) ... ( ),n ng x C f x C f x x I= + + .
Demonstraie. Prezentm demonstraia n cazul particular . Prin ipotez, avem: 2n =
1 2' '
1 2'' ''
1 2
( ) ( ) ( )'( ) ( ) ( ) 0,''( ) ( ) ( )
g x f x f xg x f x f x x Ig x f x f x
= . (5)
Cum coloanele 2 i 3 ale acestui determinant sunt liniar independente (deoarece, prin
ipotez, [ ]1 2, ( ) 0,W f f x x I ), rezult c prima coloan este o combinaie liniar de acestea. Aadar, x I , exist , astfel nct 1 2( ), ( )x x R
1 1 2 2'
1 1 2 2'' ''
1 1 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )'( ) ( ) ( ) ( ) ( )''( ) ( ) ( ) ( ) ( )
g x x f x x f xg x x f x x f xg x x f x x f x
= + = + = +
' . (6)
innd seama c (2)1 2, , ( )f f g IC i c [ ]1 2,W f f 0
' )x
=
=
pe I, din (6) deducem c i
sunt funcii derivabile pe I.
1
2
Derivnd prima relaie din (6) obinem:
' ' '1 1 2 2 1 1 2 2'( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (g x x f x x f x x f x x f= + + + .
Pe de alt parte, innd seama de a doua relaie din (6), deducem:
' '1 1 2 2( ) ( ) ( ) 0x f x f x + . (7)
n mod analog, derivnd a doua relaie din (6) i innd seama de a treia relaie,
deducem:
' ' ' '1 1 2 2( ) ( ) ( ) 0x f x f x + . (8)
Am obinut un sistem liniar i omogen de dou ecuaii (ecuaiile (7) i (8)) n
necunoscutele '1( )x i '2( )x . Cum, prin ipotez, determinantul coeficienilor
[ ]1 2' ' 1 21 2
( ) ( ), (
( ) ( )f x f x
W f f xf x f x
= )
-
1. Ecuaii difereniale 39
este nenul, rezult c sistemul admite numai soluia banal. Aadar, '1( ) 0,x = '2( ) 0,x =
x I , de unde rezult c 1 1 2 2( ) , ( ) ,x C x C x = = I
. Conform primei relaii din (6)
avem:
1 1 2 2( ) ( ) ( ),g x C f x C f x x I= + .
Teorema 1.3.1. (Liouville) Fie 1 2, ,..., ny y y S n soluii particulare ale ecuaiei
omogene (2), fie 0x I fixat i fie . Atunci 1[ ] [ ,..., ]( )nW x W y y x=
100
( )( )
0( ) ( )
x
x
a t dta tW x W x e
= .
Demonstraie. Prezentm demonstraia n cazul particular . Fie 2n = 1y , 2y dou
soluii particulare ale ecuaiei omogene . Atunci avem: 0 1 2( ) '' ( ) ' ( ) 0a x y a x y a x y+ + =
'' '1 20 0
( ) ( ) , 1,2,( ) ( )i i ia x a xy y y ia x a x= = x I . (9)
Pe de alt parte, derivnd wronskianul 1 2' '1 2
( )y yW xy y
= , obinem:
' '1 2 1 21 2 '' '' '' ''' '1 2 1 21 2
y y y ydW y ydx y y y yy y
= + = .
innd seama de (9) i de proprietile determinanilor, rezult:
1 2 1 21' '1 2 1 2 ' '1 1 2 2 0 1 20 0 0 0
( )( )
y y y ydW a xa a a ay y y ydx a x y ya a a a= =
sau
10
( ) ( )( )dW a x W xdx a x= . (10)
Se verific imediat, prin derivare, c ecuaia diferenial (10) admite soluia
100
( )( )
( )
x
x
a t dta tW x Ce
= ,
unde C este o constant oarecare. n particular, pentru 0x x= , rezult c , deci 0( )C W x=
-
40 ECUAII DIFERENIALE I ECUAII CU DERIVATE PARIALE CU APLICAII
100
( )( )
0( ) ( )
x
x
a t dta tW x W x e
= .
Definiia 1.3.4. Se numete sistem fundamental de soluii pentru ecuaia omogen (2), orice set de n soluii particulare 1,..., ny y S , cu proprietatea c exist 0x I , astfel nct
1 0[ ,..., ]( ) 0nW y y x .
Corolarul 1.3.1. Dac 1,..., ny y S este un sistem fundamental de soluii, atunci
1,..., ny y sunt liniar independente pe I.
Demonstraie. Fie 0x I , astfel nct . Din Teorema Liouville rezult c
,
0( ) 0W x
( ) 0W x x I , iar din Propoziia 1.3.2, rezult c 1,..., ny y sunt liniar independente pe I.
Teorema 1.3.2. Orice sistem fundamental de soluii din S este o baz n spaiul
vectorial S.
Demonstraie. Fie 1,..., ny y S un sistem fundamental de soluii. Conform Corolarului
1.3.1, sunt liniar independente. Rmne s artm c 1,..., ny y este un sistem de generatori
pentru S. Deoarece 1,..., ny y sunt soluii pentru (2), rezult:
( ) ( 1) '0 1 1 1 11 1
( ) ( 1) '0 1 1
( ) ( ) ... ( ) ( ) 0............... ... .................. ........ ................ ... ............ ... ...
( ) ( ) ... ( ) ( ) 0
n nn n
n nn n n n n n
a x y a x y a x y a x y
a x y a x y a x y a x y
+ + + + + + + +
=
=
=
)
. (11)
Fie oarecare. Atunci y verific ecuaia (2), deci y S
( ) ( 1)0 1 1( ) ( ) ... ( ) ' ( ) 0
n nn na x y a x y a x y a x y
+ + + + . (12)
Am obinut un sistem liniar i omogen de ecuaii (ecuaiile (11) i (12)), n
necunoscutele Cum sistemul admite soluie nebanal ,
rezult c determinantul coeficienilor este 0. Aadar, avem:
( 1n +
0( ),..., ( ).na x a x 0( ( ) 0, )a x x I
-
1. Ecuaii difereniale 41
( ) ( 1)( ) ( 1) '
1 11 1
( ) ( 1) '
... '
... 0,...... .......... ... ... ...
...
n nn n
n nn n n n
y y y yy y y y x I
y y y y
= . (13)
Egalitatea (13) este echivalent cu . Pe de alt parte, din
Propoziia 1.3.2, rezult c ,
1[ , ,..., ]( ) 0,nW y y y x x I=
1[ ,..., ]( ) 0nW y y x x I . Constatm c sunt ndeplinite
condiiile Propoziiei 1.3.3, deci exist , astfel nct 1,..., nC C R 1 1 ... n ny C y C y= + + . Mai mult, rezult . dim S n=R
Observaia 1.3.1. Din Teorema 1.3.2, rezult c dac 1,..., ny y este un sistem fundamental de soluii pentru ecuaia omogen (2), atunci orice alt soluie a ecuaiei (2) este
de forma
1 1 2 2 ... n ny C y C y C y= + + + , (14)
unde , 1,iC i n= sunt constante arbitrare.
Formula (14) reprezint soluia general a ecuaiei (2). Aadar, pentru a gsi soluia
general a ecuaiei omogene (2) este suficient s gsim un sistem fundamental de soluii
particulare ale acesteia. n general, determinarea unui sistem fundamental de soluii pentru
ecuaia omogen este dificil pentru ecuaii cu coeficieni variabili. Acest lucru este posibil
ns n cazul ecuaiilor cu coeficieni constani, de care ne vom ocupa n continuare.
Fie ecuaia
( ) ( 1)0 1 1... ' 0
n nn na y a y a y a y
+ + + + = , (15)
unde , 1,ia i n= sunt constante reale, . 0 0a
Cutm soluii ale ecuaiei (15) de forma
rxy e= , (16)
unde r este o constant real ce urmeaz s fie determinat.
Punnd condiia ca funcia dat de (16) s verifice ecuaia (15), rezult:
( )10 1 1... 0rx n n n ne a r a r a r a + + + + = . Se obine astfel ecuaia algebric (17), care se numete ecuaia caracteristic ataat
ecuaiei difereniale (2),
-
42 ECUAII DIFERENIALE I ECUAII CU DERIVATE PARIALE CU APLICAII
10 1 1... 0
n nn na r a r a r a
+ + + + =
j
. (17)
Aadar, am redus problema rezolvrii ecuaiei difereniale (15) la problema rezolvrii
ecuaiei algebrice (17). Distingem urmtoarele cazuri:
Cazul 1. Ecuaia caracteristic (17) are rdcini reale i distincte. Fie
rdcinile ecuaiei (17), , dac . Atunci vor fi
soluii particulare ale ecuaiei omogene (15). Calculnd wronskianul lor, obinem:
1 2, ,..., ,nr r r R
ir r i j 1 21 2, ,..., nr xr x r x
ny e y e y e= = =
( )1
1 1 2
1
... 111 11 1 11
... 1 ... 1......( ) ... ... ........... ... ...............
n
n n
n
r xr xr xr x r r r x nn
n nr xr xn n nn
e er rr e r eW x e
r rr e r e
+ + +
= = =
0r
0
( )1 ...1
( )nr r x i jj i n
e r+ <
= .
Rezult c aceste soluii formeaz un sistem fundamental de soluii, deci soluia
general a ecuaiei difereniale (2) este
1 21 2 ... nr xr x r x
ny C e C e C e= + + + .
Exemplul 1.3.1. S se afle soluia general a ecuaiei difereniale
''' 2 '' 5 ' 6 0y y y y + = .
Ecuaia caracteristic este i are rdcinile . 3 22 5 6r r r + = 1 2,r = 2 1,r = 3 3r =
Soluia general a ecuaiei difereniale este
2 31 2 3
x x xy C e C e C e= + + .
Cazul 2. Ecuaia caracteristic admite o rdcin multipl de ordin . Fie, de
exemplu aceast rdcin. Vom arta c n acest caz ecuaia diferenial (15) va admite
urmtoarele soluii particulare:
m n
0r
0 0 11 2, ,...,r x r x r xm
my e y xe y x e
= = =0 .
Pentru nceput, demonstrm urmtoarea lem:
-
1. Ecuaii difereniale 43
Lema 1.3.1. Pentru orice avem , unde ( )( )kg C I )( ) ( )0 (( ) ( )k rx rx kD rD e g x e g x =dD dx= este operatorul de derivare i este operatorul identitate.
0D
Demonstraie. Demonstraia se face prin inducie matematic. Pentru avem: 1k =
( )( )0 ( ) ( ) '( ) ( ) '( )rx rx rx rx rxD rD e g x re g x e g x re g x e g x = + = . Presupunem afirmaia adevrat pentru orice i o demonstrm pentru . p k< 1p +
( ) ( ) ( ) ( ) (10 0 0( ) ( )p prx rxD rD e g x D rD D rD e g x+ = ) = ( )( )0 ( ) ( ) ( 1) )( ) ( ) ( ) ( )rx p rx p rx p rx pD rD e g x re g x e g x re g x+ (= = + =
n
( 1)( )rx pe g x+= .
Cu aceasta lema este demonstrat.
Fie acum o rdcin multipl de ordinul m pentru ecuaia caracteristic (17) i fie
, membrul stng al ecuaiei (17). Atunci ,
unde este o funcie polinomial de gradul . Acestei descompuneri a polinomului
caracteristic i corespunde urmtoarea descompunere a operatorului diferenial
0r
0 1( ) ...n
nF r a r a r a= + + + 1 0( ) ( ) ( )mF r F r r r=
1F n m
( )F r ( )L D :
( )01 0( ) ( ) mL D L D D r D= D . Din Lema 1.3.1., pentru avem: k m