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CAPÍTULO13

Gravitação

13-1ALEIDAGRAVITAÇÃODENEWTON

ObjetivosdoAprendizadoDepoisdelerestemódulo,vocêserácapazde...

13.01UsaraleidagravitaçãodeNewtonpararelacionaraforçagravitacionalentreduaspartículasàmassadaspartículaseàdistânciaentreelas.

13.02Saberqueumacascaesféricahomogêneaatraiumapartículasituadadoladodeforacomosetodaamassaestivesseconcentradanocentro.

13.03Desenharumdiagramadecorpolivreparaindicaraforçagravitacionalexercidasobreumapartículaporoutrapartículaouporumacascaesféricahomogênea.

Ideias-Chave• Todapartículadouniversoatraioutraspartículascomumaforçagravitacionalcujomóduloédadopor

emquem1 em2 são asmassas das partículas, r é a distância entre as partículas, eG (= 6,67 × 10–11N ·m2/kg2) é a

constantegravitacional.

• Aforçagravitacionalexercidaporobjetosmacroscópicospodesercalculadasomando(integrando)asforçasexercidaspelaspartículasquecompõemocorpo.Nocasoespecialdeumacascaesféricahomogênea,aforçagravitacionalexercidasobreumobjetosituadodoladodeforapodesercalculadacomosetodaamassaestivesseconcentradanocentrodoobjeto.

OqueÉFísica?Umdosmaisantigosobjetivosdafísicaécompreenderaforçagravitacional,aforçaquenosmantémnasuperfíciedaTerra,quemantémaLuaemórbitaemtornodaTerraequemantémaTerraemórbitaemtornodoSol.Afísica tambémseestendea todaaViaLáctea,evitandoquesedispersemosbilhõesebilhõesdeestrelaseincontáveismoléculasepartículasisoladasqueexistememnossagaláxia.Estamossituadospertodabordadesseaglomeradodeestrelasemformadedisco,a2,6×104anos-luz(2,5×1020

m)docentrodagaláxia,emtornodoqualgiramoslentamente.

A forçagravitacional tambémse estendeao espaço intergaláctico,mantendounidas asgaláxiasdoGrupoLocal,queinclui,alémdaViaLáctea,agaláxiadeAndrômeda(Fig.13-1),aumadistânciade2,3×106anos-luzdaTerra,eváriasgaláxiasanãsmaispróximas,comoaGrandeNuvemdeMagalhães.OGrupo Local faz parte do Superaglomerado Local de galáxias, que está sendo atraído pela forçagravitacionalparaumaregiãodoespaçoexcepcionalmentedensa,conhecidacomoGrandeAtrator.Essaregião parece estar a cerca de 3,0 × 108 anos-luz da Terra, do lado oposto da Via Láctea. A força

CortesiadoNationalRadioAstronomyObservatory

Figura13-20 (a)Atrajetóriadaluzdeumquasardistanteseencurvaaopassarporumagaláxiaouumburaconegroporqueamassadagaláxiaoudoburaconegroencurvaoespaçopróximo.Quandoaluzédetectada,parecetersidoproduzidaemumponto situado no prolongamento da trajetória final (retas tracejadas). (b) Imagem do anel de Einstein conhecido comoMG1131+0456nateladocomputadordeumtelescópio.Afontedeluz(naverdade,ondasderádio,quesãoumaformainvisíveldeluz)estámuitoatrásdagrandegaláxiainvisívelresponsávelpelaformaçãodoanel;umapartedafonteaparececomodoispontosluminososdoanel.

QuandoaluzpassanasvizinhançasdaTerra,atrajetóriadaluzseencurvaligeiramenteporcausadacurvatura do espaço, um efeito conhecido como lente gravitacional. Quando a luz passa nasproximidades de uma estrutura maior, como uma galáxia ou um buraco negro de massa elevada, atrajetóriapode seencurvaraindamais.Seexisteumaestruturadesse tipoentrenóseumquasar (umafontedeluzextremamentebrilhanteeextremamentedistante),aluzdoquasarpodeseencurvaremtornodaestruturaeconvergirparaaTerra(Fig.13-20a).Assim,comoaluzparecevirdedireçõesdiferentesno céu, vemos omesmo quasar em várias posições. Em algumas situações, as imagens do quasar sejuntamparaformarumgigantescoarcoluminoso,querecebeonomedeaneldeEinstein(Fig.13-20b).

Devemosatribuiragravitaçãoàcurvaturadoespaço-tempocausadapelapresençademassas,aumaforça entre as massas, ou será que ela se deve à ação de um tipo de partícula elementar chamadográviton, comopropõemalgumas teoriasda físicamoderna?Embora as teoriasdeNewtoneEinsteintenhamsidocapazesdedescrevercomgrandeprecisãoaatraçãodecorposdetodosostamanhos,desdemaçãs até planetas e estrelas, ainda não compreendemos perfeitamente a gravidade nem na escalacosmológicanemnaescaladafísicaquântica.

RevisãoeResumo

A Lei da Gravitação Toda partícula do universo atrai as outras partículas com uma forçagravitacionalcujomóduloédadopor

emquem1em2sãoasmassasdaspartículas,réadistânciaentreaspartículaseG(=6,67×10–11N·m2/kg2)éaconstantegravitacional.

ComportamentoGravitacionaldeCascasEsféricasHomogêneas Aforçagravitacionalentrecorposdedimensõesfinitaspodesercalculadasomando(integrando)asforçasaqueestãosubmetidasaspartículasquecompõemoscorpos.Entretanto,seumdoscorposéumacascaesféricahomogêneaouumcorpo maciço homogêneo com simetria esférica, a força gravitacional resultante que o corpo exercesobre um objeto externo pode ser calculada como se toda a massa da casca ou do corpo estivesselocalizadanocentro.

Superposição As forças gravitacionais obedecem ao princípio da superposição: se n partículasinteragem, a força resultante 1,res que age sobre a partícula 1 é a soma das forças exercidasindividualmentesobreelapelasoutraspartículas:

emqueosomatórioéumasomavetorialdasforças 1iexercidassobreapartícula1pelaspartículas2,3,... , n. A força gravitacional 1 exercida por um corpo de dimensões finitas sobre uma partícula écalculadadividindoocorpoempartículasdemassa infinitesimaldm, cadaumadasquaisproduzumaforçainfinitesimald sobreapartícula,eintegrandoparaobterasomadasforças:

AceleraçãoGravitacional Aaceleraçãogravitacional ag de uma partícula (demassam) se deveunicamenteàforçagravitacionalqueagesobreapartícula.QuandoumapartículaestáaumadistânciardocentrodeumcorpoesféricohomogêneodemassaM,omóduloFdaforçagravitacionalqueagesobreapartículaédadopelaEq.13-1.Assim,deacordocomasegundaleideNewton,

oquenosdá

AceleraçãodeQuedaLivreePeso ComoamassadaTerranãoestádistribuídademodouniformeeaTerranãoéperfeitamenteesférica,aaceleraçãodagravidadeagvaria ligeiramentedeumpontoaoutrodasuperfície terrestre.ComoaTerrapossuiummovimentoderotação,opesodeumapartícula,mg,emquegéaaceleraçãodequedalivre,éligeiramentemenorqueomódulodaforçagravitacional,dadopelaEq.13-11.

Gravitação no Interior de umaCascaEsférica Uma casca homogênea dematéria não exerce força

1.2.

3.

gravitacional sobre uma partícula localizada no interior. Isso significa que, se uma partícula estiverlocalizadanointeriordeumaesferamaciçahomogêneaaumadistânciardocentro,aforçagravitacionalexercidasobreapartículasedeveapenasàmassaMintqueseencontranointeriordeumaesferaderaior.Essamassaédadapor

emqueρéamassaespecíficadaesfera,MéamassadaesferaeRéoraiodaesfera.Aforçaédadapor

Energia Potencial Gravitacional A energia potencial gravitacionalU(r) de um sistema de duaspartículas,demassasMem,separadasporumadistânciar,éonegativodotrabalhoqueseriarealizadopela força gravitacional de uma das partículas para reduzir a distância entre as partículas de umadistânciainfinita(umvalormuitogrande)paraumadistânciar.Essaenergiaédadapor

Energia Potencial de um Sistema Se um sistema contém mais de duas partículas, a energiapotencialgravitacionalUéasomadostermosquerepresentamasenergiaspotenciaisdetodososparesdepartículas.Porexemplo,paratrêspartículasdemassasm1,m2em3,

VelocidadedeEscape UmobjetoescaparádaatraçãogravitacionaldeumcorpocelestedemassaMeraioR(istoé,atingiráumadistânciainfinita)seavelocidadedoobjetonasvizinhançasdasuperfíciedocorpocelesteforigualoumaiorqueavelocidadedeescape,dadapor

Leis de Kepler Omovimento dos satélites, tanto naturais como artificiais, obedece às três leis deKepler,que,nocasoparticulardosplanetasdosistemasolar,podemserenunciadasdaseguinteforma:

Leidasórbitas.Todososplanetasdescrevemórbitaselípticas,comoSolemumdosfocos.Leidasáreas.A retaque ligaqualquerplanetaaoSolvarreáreas iguaisem intervalosde tempoiguais.(Essaleiéequivalenteàleideconservaçãodomomentoangular.)Leidosperíodos.OquadradodoperíodoTdequalquerplanetaéproporcionalaocubodosemieixomaioradaórbita:

emqueMéamassadoSol.

EnergiadoMovimentoPlanetário Quandoumplanetaou satélite,demassam, semove emumaórbitacircularderaior,aenergiapotencialUeaenergiacinéticaKsãodadaspor

AenergiamecânicaE=K+Ué,portanto,

Nocasodeumaórbitaelípticadesemieixomaiora,

TeoriadaGravitaçãodeEinstein Einsteinmostrouquegravitaçãoeaceleraçãosãoequivalentes.Esseprincípiodeequivalênciaéabasedeumateoriadagravitação(ateoriadarelatividadegeral)queexplicaosefeitosgravitacionaisemtermosdeumacurvaturadoespaço.

Perguntas

1NaFig.13-21,umapartícula,demassaM,estánocentrodeumarranjodeoutraspartículas,separadasporumadistânciadouumadistânciad/2aolongodoperímetrodeumquadrado.Quaissãoomóduloeaorientaçãodaforçagravitacionalresultanteaqueestásujeitaapartículacentral?

Figura13-21 Pergunta1.

2AFig.13-22mostratrêsarranjosdequatropartículasiguais,trêsemumacircunferênciacom0,20mderaioe aquartanocentrodacircunferência. (a)Ordeneos arranjosdeacordocomomóduloda forçagravitacionalresultanteaqueapartículacentralestásubmetida,começandopelomaior. (b)Ordeneosarranjos de acordo com a energia potencial gravitacional do sistema de quatro partículas, começandopelamenosnegativa.


3NaFig.13-23,umapartículacentralestácercadapordoisanéiscircularesdepartículas,deraiosreR,comR>r.Todasaspartículas têmamesmamassam.Quaissãoomóduloeaorientaçãodaforçagravitacionalresultanteaqueestásubmetidaapartículacentral?


4NaFig.13-24,duaspartículas,demassasme2m,estãofixasemumeixo.(a)Emquelugardoeixouma terceira partícula, de massa 3m, pode ser colocada (excluindo o infinito) para que a forçagravitacional resultante exercida sobre ela pelas outras duas partículas seja nula: à esquerda daspartículas,àdireitadaspartículas,entreaspartículas,maispertodapartículademassamaior,ouentreas partículas, mais perto da partícula de massa menor? (b) A resposta será diferente se a massa daterceirapartícula for16m? (c)Existe algumponto fora do eixo (excluindo o infinito) no qual a forçaresultanteexercidasobreaterceirapartículaénula?


5 A Fig. 13-25 mostra três situações que envolvem uma partícula pontual P de massa m e cascasesféricashomogêneasdemassaMe raiosdiferentes.OrdeneassituaçõesdeacordocomomódulodaforçagravitacionalexercidapelacascasobreapartículaP,emordemdecrescente.


6NaFig.13-26,trêspartículassãomantidasfixas.AmassadeBémaiorqueamassadeC.Umaquartapartícula(partículaD)podesercolocadaemumlugartalqueaforçagravitacionalresultanteexercidasobre a partícula A pelas partículas B,C e D seja nula? Caso a resposta seja afirmativa, em quequadranteapartículadevesercolocadaenasproximidadesdequeeixo?


7OrdeneosquatrosistemasdepartículasdemesmamassadoTeste2deacordocomovalorabsolutodaenergiapotencialgravitacionaldosistema,começandopelomaior.

8AFig.13-27mostraaaceleraçãogravitacionalagdequatroplanetasemfunçãodadistânciardocentrodoplaneta,apartirdasuperfíciedoplaneta(ouseja,apartirdadistânciaR1,R2,R3ouR4).Osgráficos1e2coincidemparar≥R2;osgráficos3e4coincidemparar≥R4.Ordeneosquatroplanetasdeacordo(a)comamassae(b)comamassaespecífica,emordemdecrescente.


9 A Fig. 13-28 mostra três partículas inicialmente mantidas fixas, comB eC iguais e posicionadassimetricamente em relação ao eixo y, a uma distância d de A. (a) Qual é a orientação da forçagravitacionalresultante resqueagesobreA?(b)SeapartículaCédeslocadaradialmenteparalongedaorigem, a orientação de res varia? Caso a resposta seja afirmativa, como varia e qual é o limite davariação?


10AFig.13-29mostraseistrajetóriaspossíveisparaumfogueteemórbitaemtornodeumastroquesedesloca do ponto a para o ponto b. Ordene as trajetórias de acordo (a) com a variação da energiapotencialgravitacionaldosistemafoguete-astroe(b)comotrabalhototalrealizadosobreofoguetepela

forçagravitacionaldoastro,emordemdecrescente.


11AFig.13-30mostratrêsplanetasesféricoshomogêneosquetêmamesmamassaeomesmovolume.OsperíodosderotaçãoTdosplanetassãodadosedoispontosdasuperfíciesãoidentificadosporletrasemcadaplaneta,umnoequadoreoutronopolonorte.Ordeneospontosdeacordocomovalorlocaldaaceleraçãodequedalivreg,emordemdecrescente.


12NaFig.13-31,umapartículademassam (nãomostrada) pode ser deslocada desde umadistânciainfinita até uma de três posições possíveis,a,b e c. Duas outras partículas, demassasm e 2m, sãomantidas fixas. Ordene as três posições possíveis de acordo com o trabalho realizado pela forçagravitacionalresultantesobreapartículamóvelduranteodeslocamento,emordemdecrescente.


Problemas

.-...Onúmerodepontosindicaograudedificuldadedoproblema.

InformaçõesadicionaisdisponíveisemOCircoVoadordaFísicadeJearlWalker,LTC,RiodeJaneiro,2008.

Módulo13-1 ALeidaGravitaçãodeNewton

·1 Uma massaM é dividida em duas partes,m eM –m, que são em seguida separadas por certadistância.Qualéarazãom/Mquemaximizaomódulodaforçagravitacionalentreaspartes?

·2 InfluênciadaLua.AlgumaspessoasacreditamquesuasatividadessãocontroladaspelaLua.SeaLuaestádooutroladodaTerra,verticalmenteabaixodevocê,epassaparaumaposiçãoverticalmenteacimadasuacabeça,qualéavariaçãopercentual(a)daatraçãogravitacionalqueaLuaexercesobrevocêe(b)doseupeso(medidoemumabalançademola)?SuponhaqueadistânciaTerra-Lua(decentroacentro)é3,82×108mequeoraiodaTerraé6,37×106m.

·3Qual deve ser a distância entre uma partícula com 5,2 kg e uma partícula com 2,4 kg, para que aatraçãogravitacionalentreaspartículastenhaummódulode2,3×10–12N?

·4TantooSolquantoaTerraexercemumaforçagravitacionalsobreaLua.QualéarazãoFSol/FTerraentreasduasforças?(AdistânciamédiaentreoSoleaLuaéigualàdistânciamédiaentreoSoleaTerra.)

·5Miniburacos negros. Talvez existamminiburacos negros no universo, produzidos logo após o bigbang.Seumdessesobjetos,commassade1×1011kg(eraiodeapenas1×10−16m),seaproximassedaTerra, a quedistância da sua cabeça a força gravitacional exercida sobre vocêpelominiburaco seriaigualàforçagravitacionalexercidapelaTerra?

Módulo13-2 GravitaçãoeoPrincípiodaSuperposição

·6NaFig.13-32,umquadradocom20,0cmdeladoéformadoporquatroesferasdemassasm1=5,00g,m2=3,00g,m3=1,00gem4=5,00g.Nanotaçãodosvetoresunitários,qualéaforçagravitacionalexercidapelasesferassobreumaesferacentraldemassam5=2,50g?

Figura13-32 Problema6.

·7Umadimensão.NaFig.13-33,duaspartículaspontuaissãomantidasfixasemumeixox, separadasporumadistânciad.ApartículaAtemmassamAeapartículaBtemmassa3,00mA.UmaterceirapartículaC,demassa75,0mA, serácolocadanoeixox,nasproximidadesdaspartículasAeB.QualdeveseracoordenadaxdapartículaC,emtermosdadistânciad,paraqueaforçagravitacionaltotalexercidapelaspartículasBeCsobreapartículaAsejanula?


·8NaFig.13-34,trêsesferasde5,00kgestãolocalizadasadistânciasd1=0,300med2=0,400m.(a)

Qualéomóduloe(b)qualaorientação(emrelaçãoaosemieixoxpositivo)daforçagravitacionaltotalqueasesferasAeCexercemsobreaesferaB?


·9EstamosinteressadosemposicionarumasondaespacialentreaTerraeoSolparaobservarerupçõessolares.AquedistânciadocentrodaTerradeveestarasondaparaqueaatraçãogravitacionalexercidapeloSolsejaigualàatraçãogravitacionalexercidapelaTerra?ATerra,asondaeoSolestarãoemumamesmalinhareta.

··10Duas dimensões. Na Fig. 13-35, três partículas pontuais sãomantidas fixas em um plano xy. ApartículaAtemmassamA,apartículaBtemmassa2,00mAeapartículaCtemmassa3,00mA.Umaquartapartícula,demassa4,00mA,podesercolocadanasproximidadesdasoutrastrêspartículas.Emtermosdadistânciad,emquevalordacoordenada(a)xe(b)yapartículaDdevesercolocadaparaqueaforçagravitacionalexercidapelaspartículasB,CeDsobreapartículaAsejanula?


··11ComomostraaFig.13-36,duasesferasdemassameumaterceiraesferademassaMformamumtriânguloequilátero,eumaquartaesferademassam4ocupaocentrodotriângulo.Aforçagravitacionaltotalexercidapelasoutrastrêsesferassobreaesferacentralézero.(a)QualéovalordeMemtermosdem?(b)Seovalordem4formultiplicadopordois,qualserávalordaforçagravitacionalaqueestarásubmetidaaesferacentral?


··12NaFig.13-37a,apartículaAémantidafixaemx=–0,20mnoeixoxeapartículaB,commassade1,0kg,émantidafixanaorigem.UmapartículaC(nãomostrada)podeserdeslocadaaolongodoeixox,entreapartículaBex=∞.AFig.13-37bmostraacomponentex,Fres,x,daforçagravitacionalexercidapelaspartículasAeCsobreapartículaBemfunçãodaposiçãoxdapartículaC.Ográfico,naverdade,seestendeindefinidamenteparaadireitaetendeassintoticamentea–4,17×10–10Nparax→∞.Qualéamassa(a)dapartículaAe(b)dapartículaC?


··13AFig.13-38mostraumacavidadeesféricanointeriordeumaesferadechumboderaioR=4,00cm;asuperfíciedacavidadepassapelocentrodaesferae“toca”oladodireitodaesfera.AmassadaesferaantesdesercriadaacavidadeeraM=2,95kg.Comqueforçagravitacionalaesferadechumbocomacavidadeatraiumapequenaesferademassam=0,431kgqueestáaumadistânciad=9,00cmdocentrodaesferadechumbo,naretaquepassapelocentrodasduasesferasepelocentrodacavidade?


··14Trêspartículaspontuaissãomantidasfixasemumplanoxy.Duasdelas,apartículaAdemassa6,00geapartículaBdemassa12,0g,sãomostradasnaFig.13-39,separadasporumadistânciadAB=0,500m;θ=30°.ApartículaC,cujamassaé8,00g,nãoémostrada.AforçagravitacionalqueaspartículasBeCexercemsobreapartículaA temummódulode2,77×10−14Ne fazumângulode–163,8°comosemieixoxpositivo.(a)Qualéacoordenadaxe(b)qualéacoordenadaydapartículaC?


···15Trêsdimensões.Trêspartículaspontuaissãomantidasfixasemumsistemadecoordenadasxyz.ApartículaA,naorigem,temmassamA.ApartículaB,nascoordenadas(2,00d;1,00d;2,00d), temmassa2,00mAeapartículaC,nascoordenadas(–1,00d;2,00d;–3,00d)temmassa3,00mA.UmaquartapartículaD,demassa4,00mA,podesercolocadanasproximidadesdasoutraspartículas.Emtermosdadistânciad,emquecoordenada(a)x,(b)ye(c)zapartículaDdevesercolocadaparaqueaforçagravitacionalexercidapelaspartículasB,CeDsobreapartículaAsejanula?

···16NaFig.13-40,umapartículademassam1=0,67kgestáaumadistânciad=23cmdeumadasextremidadesdeumabarrahomogêneadecomprimentoL=3,0memassaM=5,0kg.Qualéomódulodaforçagravitacional queabarraexercesobreapartícula?


Módulo13-3 AGravitaçãoPertodaSuperfíciedaTerra

·17 (a)Quantopesariana superfíciedaLuaumobjetoquepesa100Nna superfíciedaTerra? (b)AquantosraiosterrestresomesmoobjetodeveriaestardocentrodaTerraparateromesmopesoquenasuperfíciedaLua?

·18 Atraçãodeumamontanha.Umagrandemontanhapraticamentenãoafetaadireção“vertical”indicadaporumalinhadeprumo.SuponhaqueumamontanhapossasermodeladaporumaesferaderaioR=2,00kmemassaespecífica2,6×103kg/m3.Suponhatambémqueumalinhadeprumode0,50mdecomprimentosejapenduradaaumadistância3Rdocentrodaesferaequeaesferaatraiahorizontalmenteopesodalinhadeprumo.Qualseráodeslocamentodopesodalinhadeprumoemdireçãoàesfera?

·19AquealtitudeacimadasuperfíciedaTerraaaceleraçãogravitacionaléde4,9m/s2?

·20Edifíciodeumamilha.Em1956,FrankLloydWrightpropôsaconstruçãodeumedifíciocomumamilhadealturaemChicago.Suponhaqueoedifíciotivessesidoconstruído.DesprezandoarotaçãodaTerra,determineavariaçãodoseupesosevocêsubissedeelevadordoandar térreo,ondevocêpesa600N,atéoaltodoedifício.

··21Acredita-sequealgumasestrelasdenêutrons(estrelasextremamentedensas)estãogirandoacercade1rev/s.Seumadessasestrelastemumraiode20km,qualdeveser,nomínimo,amassadaestrelaparaqueumapartículanasuperfíciedaestrelapermaneçanolugarapesardarotação?

··22OraioRbeamassaMbdeumburaconegroestãorelacionadospelaequaçãoRb=2GMb/c2,emquecéavelocidadeda luz.Suponhaqueaaceleraçãogravitacionalagdeumobjetoaumadistânciaro =1,001Rb do centro do buraco negro seja dada pela Eq. 13-11 (o que é verdade para buracos negros

grandes).(a)DetermineovalordeagaumadistânciaroemtermosdeMb.(b)OvalordeagàdistânciaroaumentaoudiminuiquandoMbaumenta?(c)Quantovaleagàdistânciaroparaumburaconegromuitograndecujamassaé1,55×1012vezesamassasolarde1,99×1030kg?(d)Seumaastronautacom1,70mde altura está à distância ro com os pés voltados para o buraco negro, qual é a diferença entre aaceleraçãogravitacionaldacabeçaedospés?(e)Aastronautasentealgumdesconforto?

··23UmplanetaémodeladoporumnúcleoderaioRemassaMcercadoporumacascaderaiointernoR,raioexterno2Remassa4M.SeM=4,1×1024kgeR=6,0×106m,qualéaaceleraçãogravitacionaldeumapartículaempontossituadosaumadistância(a)Re(b)3Rdocentrodoplaneta?

Módulo13-4 AGravitaçãonoInteriordaTerra

·24AFig.13-41mostraduascascasesféricasconcêntricashomogêneasdemassasM1eM2.Determineomódulodaforçagravitacionalaqueestásujeitaumapartículademassamsituadaaumadistância(a)a,(b)be(c)cdocentrocomumdascascas.


··25Umaesferamaciçahomogêneatemumamassade1,0×104kgeumraiode1,0m.Qualéomódulodaforçagravitacionalexercidapelaesferasobreumapartículademassamlocalizadaaumadistânciade(a)1,5me (b)0,50mdocentrodaesfera? (c)Escrevaumaexpressãogeralparaomóduloda forçagravitacionalqueaesferaexercesobreapartículaaumadistânciar≤1,0mdocentrodaesfera.

··26UmaesferamaciçahomogêneaderaioRproduzumaaceleraçãogravitacionalagnasuperfície.Aquedistânciadocentrodaesferaexistempontos (a)dentrodaesferae (b) foradaesferanosquais aaceleraçãogravitacionaléag/3?

··27AFig.13-42mostra, foradeescala,umcorte transversaldaTerra.O interiordaTerrapode serdivididoemtrêsregiões:acrosta,omantoeonúcleo.Afiguramostraasdimensõesdastrêsregiõeseasrespectivasmassas.ATerratemmassatotalde5,98×1024kgeraiode6370km.DesprezearotaçãodaTerraesuponhaqueelatemformaesférica.(a)Calculeagnasuperfície.(b)Suponhaquesejafeitaumaperfuraçãoatéainterfacedacrostacomomanto,aumaprofundidadede25,0km;qualéovalordeagno fundodaperfuração? (c)SuponhaqueaTerra fosseumaesferahomogêneacomamesmamassatotaleomesmovolume.Qualseriaovalordeagaumaprofundidadede25,0km?(Medidasprecisasdeag ajudam a revelar a estrutura interna da Terra, embora os resultados possam ser mascarados por

variaçõeslocaisdadistribuiçãodemassa.)


··28SuponhaqueumplanetaéumaesferahomogêneaderaioReque(dealgumaforma)oplanetapossuiumtúnelradialestreitoquepassapelocentrodoplaneta(Fig.13-7).Suponhatambémquesejapossívelposicionarumamaçãemqualquer lugardo túneloudo ladode foradoplaneta.SejaFR omódulo daforçagravitacional experimentadapelamaçãquandoestána superfíciedoplaneta.AquedistânciadasuperfícieestáopontonoqualomódulodaforçagravitacionalqueoplanetaexercesobreamaçãéFR/2seamaçãfordeslocada(a)paralongedoplanetae(b)paradentrodotúnel?

Módulo13-5 EnergiaPotencialGravitacional

·29 A Fig. 13-43 mostra a função energia potencialU(r) de um projétil em função da distância dasuperfície de umplaneta de raioRs.Qual é amenor energia cinética necessária para que um projétillançadodasuperfície“escape”doplaneta?

Figura13-43 Problemas29e34.

·30Paraquerazãom/MaenergiapotencialgravitacionaldosistemadoProblema1éamenorpossível?

·31MarteeaTerratêmdiâmetrosmédiosde6,9×103kme1,3×104km,respectivamente.AmassadeMarteé0,11vezamassadaTerra.(a)QualéarazãoentreasmassasespecíficasmédiasdeMarteeadaTerra?(b)QualéovalordaaceleraçãogravitacionalemMarte?(c)QualéavelocidadedeescapeemMarte?

·32(a)QualéaenergiapotencialgravitacionaldosistemadeduaspartículasdoProblema3?Sevocêafastaraspartículasatéqueadistânciaentreelassejatrêsvezesmaior,qualseráotrabalhorealizado(b)pelaforçagravitacionalentreaspartículase(c)porvocê?

·33 Por qual fator deve sermultiplicada a energia necessária para escapar daTerra a fimdeobter aenergianecessáriaparaescapar(a)daLuae(b)deJúpiter?

·34AFig.13-43mostraaenergiapotencialU(r)deumprojétilemfunçãodadistânciadasuperfíciedeumplanetaderaioRs.Seoprojétilforlançadoverticalmenteparacimacomumaenergiamecânicade–2,0×109 J, determine (a) a energia cinética do projétil a uma distância r = 1,25Rs e (b) oponto deretorno(vejaoMódulo8-3)emfunçãodeRs.

··35AFig.13-44mostraquatropartículas,todasdemassa20,0g,queformamumquadradodeladod=0,600m. Sed for reduzido para 0,200m, qual será a variação da energia potencial gravitacional dosistema?


··36Zero,umplanetahipotético, temumamassade5,0×1023kg,umraiode3,0×106menenhumaatmosfera.Umasondaespacialde10kgdeveserlançadaverticalmenteapartirdasuperfície.(a)Seasondaforlançadacomumaenergiainicialde5,0×107J,qualseráaenergiacinéticadasondaquandoelaestivera4,0×106mdocentrodeZero?(b)Comqueenergiacinéticaasondadeveráser lançadaparaatingirumadistânciamáximade8,0×106memrelaçãoaocentrodeZero?

··37AstrêsesferasdaFig.13-45,demassasmA=80g,mB=10gemC=20g,têmoscentrosemumamesmareta,comL=12cmed=4,0cm.VocêdeslocaaesferaBaolongodaretaatéqueadistânciaentreoscentrosdaesferaBedaesferaCsejad=4,0cm.QualéotrabalhorealizadosobreaesferaB(a)porvocêe(b)pelaforçagravitacionaldasesferasAeC?


··38Noespaçosideral,aesferaA,com20kgdemassa,estánaorigemdeumeixoxeaesferaB,com10kgdemassa,estánomesmoeixoemx=0,80m.AesferaBé liberadaapartirdorepousoenquantoaesferaA é mantida fixa na origem. (a) Qual é a energia potencial gravitacional do sistema das duas

esferasnomomentoemqueaesferaBéliberada?(b)QualéaenergiacinéticadaesferaBapóstersedeslocado0,20memdireçãoàesferaA?

··39 (a)Qualéavelocidadedeescapedeumasteroideesféricocom500kmderaioseaaceleraçãogravitacionalna superfície é3,0m/s2? (b)Aque distância da superfície chegará umapartícula se forlançadadasuperfíciedoasteroidecomumavelocidadeverticalde1000m/s?(c)Comquevelocidadeum objeto se chocará com o asteroide se for liberado sem velocidade inicial 1000 km acima dasuperfície?

··40UmprojétilélançadoverticalmenteparacimaapartirdasuperfíciedaTerra.DesprezearotaçãodaTerra.EmmúltiplosdoraiodaTerraRT,quedistânciaoprojétilatingirá(a)seavelocidadeinicialfor 0,500 da velocidade de escape da Terra e (b) se a energia cinética inicial for 0,500 da energiacinéticanecessáriaparaescapardaTerra?(c)QualéamenorenergiamecânicainicialnecessáriaparaqueoprojétilescapedaTerra?

··41Duasestrelasdenêutronsestãoseparadasporumadistânciade1,0×1010m.Ambastêmmassade1,0×1030kgeraiode1,0×105m.Asestrelasseencontraminicialmenteemrepousorelativo.Comquevelocidade estarão semovendo, em relação a esse referencial de repouso, (a) quando a distância formetadedovaloriniciale(b)quandoestiveremnaiminênciadecolidir?

··42AFig.13-46amostraumapartículaAquepodeserdeslocadaao longodeumeixoy desdeumadistânciainfinitaatéaorigem.AorigemestálocalizadanopontomédioentreaspartículasBeC,quetêmmassasiguais,eoeixoyéperpendicularàretaqueligaasduaspartículas.AdistânciaDé0,3057m.AFig.13-46bmostraaenergiapotencialUdosistemadetrêspartículasemfunçãodaposiçãodapartículaAnoeixoy.Acurvanaverdadeseestendeindefinidamenteparaadireitaetendeassintoticamenteaumvalorde–2,7×10–11Jparay→∞.Qualéamassa(a)daspartículasBeCe(b)dapartículaA?


Módulo13-6 PlanetaseSatélites:AsLeisdeKepler

·43 (a)Quevelocidade tangencialumsatélitedaTerradeve terpara estar emórbita circular160kmacimadasuperfíciedaTerra?(b)Qualéoperíododerevolução?

·44UmsatéliteécolocadoemórbitacircularemtornodaTerracomumraioigualàmetadedoraiodaórbitadaLua.Qualéoperíododerevoluçãodosatéliteemmeseslunares?(UmmêslunaréoperíododerevoluçãodaLua.)

·45Fobos,umsatélitedeMarte,semoveemumaórbitaaproximadamentecircularcom9,4×106mderaioeumperíodode7h39min.CalculeamassadeMarteapartirdessasinformações.

·46 A primeira colisão conhecida entre um fragmento espacial e um satélite artificial em operaçãoocorreuem1996:aumaaltitudede700km,umsatéliteespiãofrancêscomumanodeusofoiatingidoporumpedaçodeumfogueteAriane.Umestabilizadordosatélite foidanificadoeosatélitepassouagirarsemcontrole.Imediatamenteantesdacolisãoeemquilômetrosporhora,qualeraavelocidadedopedaçodefogueteemrelaçãoaosatéliteseambosestavamemórbitacircular(a)seacolisãofoifrontale(b)seastrajetóriaserammutuamenteperpendiculares?

·47OSol,queestáa2,2×1020mdedistânciadocentrodaViaLáctea,completauma revoluçãoemtornodocentroacada2,5×108anos.SupondoquetodasasestrelasdagaláxiapossuemmassaigualàmassadoSol,2,0×1030kg,queasestrelasestãodistribuídasuniformementeemumaesferaemtornodocentrodagaláxiaequeoSolseencontranabordadessaesfera,estimeonúmerodeestrelasdagaláxia.

·48AdistânciamédiadeMarteaoSolé1,52vezmaiorqueadistânciadaTerraaoSol.UsealeidosperíodosdeKeplerparacalcularonúmerodeanosnecessáriosparaqueMartecompleteumarevoluçãoemtornodoSol;comparearespostacomovalorqueaparecenoApêndiceC.

·49Umcometaquefoivistoemabrilde574porastrônomoschineses,emumdiaconhecidocomoWooWoo,foiavistadonovamenteemmaiode1994.Suponhaqueointervalodetempoentreasobservaçõessejaoperíododocometa e tomea excentricidadedaórbitadocometa comode0,9932. (a)Qual éosemieixomaiordaórbitadocometae(b)qualamaiordistânciaentreocometaeoSolemtermosdoraiomédiodaórbitadePlutão,RP?

·50 UmsatéliteemórbitacircularpermaneceacimadomesmopontodoequadordaTerraaolongodetodaaórbita.Qualéaaltitudedaórbita(querecebeonomedeórbitageoestacionária)?

·51Umsatéliteécolocadoemumaórbitaelípticacujopontomaisdistanteestáa360kmdasuperfíciedaTerraecujopontomaispróximoestáa180kmdasuperfície.Calcule(a)osemieixomaiore(b)aexcentricidadedaórbita.

·52OcentrodoSolestáemumdosfocosdaórbitadaTerra.Aquedistânciadessefocoseencontraooutro foco (a) emmetrose (b) em termosdo raio solar,6,96×108m?Aexcentricidadedaórbita daTerraé0,0167eosemieixomaioré1,50×1011m.

··53Umsatélitede20kgestáemumaórbitacircularcomumperíodode2,4heumraiode8,0×106memtornodeumplanetademassadesconhecida.Seomódulodaaceleraçãogravitacionalnasuperfíciedoplanetaé8,0m/s2,qualéoraiodoplaneta?

··54Embuscadeumburaconegro.Asobservaçõesdaluzdeumaestrelaindicamqueelafazpartedeumsistemabinário(sistemadeduasestrelas).Aestrelavisíveldopartemumavelocidadeorbitalv=270km/s,umperíodoorbitalT=1,70diaeumamassaaproximadam1=6MS,emqueMSéamassadoSol,1,99×1030kg.Suponhaqueasórbitasdaestrelaedacompanheira,queéescuraeinvisível,sejamcirculares(Fig.13-47).Qualéamassam2daestrelaescura,emunidadesdeMS?


··55 Em 1610, Galileu usou um telescópio que ele próprio havia construído para descobrir quatrosatélitesdeJúpiter,cujosraiosorbitaismédiosaeperíodosTaparecemnatabelaaseguir.

Nome a(108m) T(dias)

Io 4,22 1,77

Europa 6,71 3,55

Ganimedes 10,7 7,16

Calisto 18,8 16,7

(a)Ploteloga(eixoy)emfunçãodeT(eixox)emostrequeoresultadoéumalinhareta.(b)Meçaainclinaçãodaretaecompare-acomovalorprevistopelaterceiraleideKepler.(c)DetermineamassadeJúpiterapartirdainterseçãodaretacomoeixoy.

··56 Em 1993, a sondaGalileu enviou à Terra uma imagem (Fig. 13-48) do asteroide 243 Ida e umminúsculosatélitenatural(hojeconhecidocomoDactyl),oprimeiroexemploconfirmadodeumsistemaasteroide-satélite. Na imagem, o satélite, que tem 1,5 km de largura, está a 100 km do centro doasteroide,quetem55kmdecomprimento.Aformadaórbitadosatélitenãoéconhecidacomprecisão;suponhaquesejacircular,comumperíodode27h.(a)Qualéamassadoasteroide?(b)Ovolumedoasteroide,medidoapartirdas imagensdasondaGalileu,é14.100km3.Qual é amassaespecíficadoasteroide?

CortesiadaNASA

Figura13-48 Problema56.Oasteroide243Idaeseupequenosatélite(àdireitanafoto).

··57Emumsistemaestelarbinário,asduasestrelastêmmassaigualàdoSolegiramemtornodocentrodemassa.A distância entre as estrelas é igual à distância entre a Terra e o Sol.Qual é, em anos, operíododerevoluçãodasestrelas?

···58Àsvezes,aexistênciadeumplanetanasvizinhançasdeumaestrelapodeserdeduzidaapartirdaobservaçãodomovimentodaestrela.Enquantoaestrelaeoplanetagiramemtornodocentrodemassadosistemaestrela-planeta,aestrelaseaproximaeseafastadenóscomachamadavelocidadeaolongodalinhadevisada,ummovimentoquepodeserdetectado.AFig.13-49mostraumgráficodavelocidadeaolongodalinhadevisadaemfunçãodotempoparaaestrela14Herculis.Estima-sequeamassadaestrelaseja0,90damassadoSol.SupondoqueapenasumplanetagiraemtornodaestrelaequeaTerraestá no plano da órbita do planeta, determine (a) amassa do planeta emunidades demJ, amassa deJúpiter,e(b)oraiodaórbitadoplanetaemunidadesderT,oraiodaórbitadaTerra.


···59Trêsestrelasiguais,demassaM,formamumtriânguloequiláterodeladoLquegiraemtornodocentrodo triânguloenquantoasestrelassemovememumamesmacircunferência.Qualéavelocidadetangencialdasestrelas?

Módulo13-7 Satélites:ÓrbitaseEnergias

·60NaFig.13-50,doissatélites,AeB,ambosdemassam=125kg,ocupamamesmaórbitacircularde

raior=7,87×106memtornodaTerraesemovememsentidosopostos,estando,portanto,emrotadecolisão.(a)DetermineaenergiamecânicatotalEA+EBdosistemadosdoissatéliteseaTerraantesdacolisão. (b) Se a colisão é perfeitamente inelástica, demodo que os destroços aglomeram em um sóbloco (de massa = 2m), determine a energia mecânica total imediatamente após a colisão. (c) Logodepoisdacolisão,osdestroçoscaememdireçãoaocentrodaTerraoucontinuamemórbita?


·61(a)AquedistânciadasuperfíciedaTerraaenergianecessáriaparafazerumsatélitesubiratéessaaltitudeéigualàenergiacinéticanecessáriaparaqueosatélitesemantenhaemórbitacircularnamesmaaltitude?(b)Emaltitudesmaiores,qualémaior:aenergiaparafazerosatélitesubirouaenergiacinéticaparaqueelesemantenhaemórbitacircular?

·62Doissatélites,AeB,ambosdemassam,estãoemórbitacircularemtornodaTerra.OsatéliteAorbitaaumaaltitudede6370kmeosatéliteBaumaaltitudede19.110km.OraiodaTerraéde6370km.(a)QualéarazãoentreaenergiapotencialdosatéliteBeadosatéliteA?(b)QualéarazãoentreaenergiacinéticadosatéliteBeadosatéliteA?(c)Qualdosdoissatélitespossuimaiorenergiatotal,seambostêmumamassade14,6kg?(d)Qualéadiferençaentreasenergiastotaisdosdoissatélites?

·63Umasteroide,cujamassaé2,0×1024vezesamassadaTerra,giraemumaórbitacircularemtornodoSolaumadistânciaqueéodobrodadistânciadaTerraaoSol.(a)Calculeoperíododerevoluçãodoasteroideemanos.(b)QualéarazãoentreaenergiacinéticadoasteroideeaenergiacinéticadaTerra?

·64Umsatélitegiraemtornodeumplanetademassadesconhecidaemumacircunferênciacom2,0×107

mderaio.OmódulodaforçagravitacionalexercidapeloplanetasobreosatéliteéF=80N.(a)Qualéaenergiacinéticadosatélite?(b)QualseriaomóduloFseoraiodaórbitaaumentassepara3,0×107m?

··65UmsatéliteestáemumaórbitacircularderaioremtornodaTerra.AáreaAdelimitadapelaórbitaéproporcionalar2,jáqueA=πr2.Determineaformadevariaçãocomrdasseguintespropriedadesdosatélite:(a)operíodo,(b)aenergiacinética,(c)omomentoangulare(d)avelocidadeescalar.

··66UmaformadeatacarumsatéliteemórbitadaTerraédispararumasaraivadadeprojéteisnamesmaórbita do satélite, no sentido oposto. Suponha que um satélite em órbita circular, 500 km acima dasuperfíciedaTerra,colidacomumprojétildemassa4,0g.(a)Qualéaenergiacinéticadoprojétilnoreferencial do satélite imediatamente antes da colisão? (b) Qual é a razão entre a energia cinéticacalculadanoitem(a)eaenergiacinéticadeumabalade4,0gdisparadaporumriflemodernodasforçasarmadas,aodeixarocanocomumavelocidadede950m/s?

···67 Qual é (a) a velocidade e (b) qual é o período de um satélite de 220 kg em uma órbitaaproximadamentecircular640kmacimada superfíciedaTerra?Suponhaqueo satéliteperdeenergiamecânicaaumataxamédiade1,4×105Jporrevoluçãoorbital.Usandoaaproximaçãorazoáveldequeaórbitadosatélitesetornauma“circunferênciacujoraiodiminuilentamente”,determine(c)aaltitude,(d)avelocidadee(e)operíododosatéliteaofinaldarevoluçãonúmero1500.(f)Qualéomódulodaforçaretardadoramédiaqueatuasobreosatélite?OmomentoangularemrelaçãoàTerraéconservado(g)paraosatélitee(h)paraosistemasatélite-Terra(supondoqueosistemaéisolado)?

···68Duaspequenasespaçonaves,ambasdemassam=2000kg,estãonaórbitacircularemtornodaTerradaFig.13-51,aumaaltitudehde400km.Kirk,ocomandantedeumadasnaves,chegaaqualquerpontofixodaórbita90santesdePicard,ocomandantedasegundanave.Determine(a)operíodoT0e(b)avelocidadev0dasnaves.NopontoPdaFig.13-51,Picarddisparaumretrofogueteinstantâneonadireção tangencial à órbita, reduzindo a velocidade da nave em 1,00%. Depois do disparo, a naveassumeaórbitaelípticarepresentadanafiguraporumalinhatracejada.Determine(c)aenergiacinéticae (d) a energia potencial da nave imediatamente após o disparo. Na nova órbita elíptica de Picard,determine(e)aenergiatotalE,(f)osemieixomaiorae(g)operíodoorbitalT.(h)QuantotempoPicardchegaaopontoPantesdeKirk?


Módulo13-8 EinsteineaGravitação

·69NaFig.13-18b, a leitura da balançausadapelo físicode60kg é 220N.Quanto tempoomelãolevaráparachegaraochãoseofísicoodeixarcair(semvelocidadeinicialemrelaçãoaofísico)deumponto2,1macimadopiso?

ProblemasAdicionais

70O raioRb de um buraco negro é o raio de uma superfície esférica chamada horizonte de eventos.Nenhuma informação a respeito da região situada no interior do horizonte de eventos pode chegar aomundoexterior.DeacordocomateoriadarelatividadegeraldeEinstein,Rb=2GM/c2,emqueMéamassadoburaconegroecéavelocidadedaluz.

Suponha que você deseje estudar um buraco negro a uma distância de 50Rb. Para evitar efeitosdesagradáveis,vocênãoquerqueadiferençaentreaaceleraçãogravitacionaldosseuspéseadasua

cabeçaexceda10m/s2quandovocêestácomospés(ouacabeça)nadireçãodoburaconegro.(a)Qualéolimitetoleráveldamassadoburaconegro,emunidadesdamassaMSdoSol?(Vocêprecisaconhecersuaaltura.)(b)Olimitecalculadonoitem(a)éumlimitesuperior(vocêpodetolerarmassasmenores)ouumlimiteinferior(vocêpodetolerarmassasmaiores)?

71 Vários planetas (Júpiter, Saturno, Urano) possuem anéis, talvez formados por fragmentos que nãochegaramaformarumsatélite.Muitasgaláxiastambémcontêmestruturasemformadeanel.Considereumanelfino,homogêneo,demassaMeraioexternoR(Fig.13-52).(a)Qualéaatraçãogravitacionalque o anel exerce sobre uma partícula demassam localizada no eixo central, a uma distância x docentro?(b)Suponhaqueapartículadoitem(a)sejaliberadaapartirdorepouso.Comquevelocidadeapartículapassapelocentrodoanel?


72UmaestreladenêutronstípicatemmassaigualàdoSoleraiode10km.(a)Qualéaaceleraçãodagravidadenasuperfíciedaestrela?(b)Comquevelocidadeumobjetoestariasemovendosecaísseapartirdorepousoporumadistância1,0memdireçãoàestrela?(Suponhaqueomovimentoderotaçãodaestrelasejadesprezível.)

73AFig.13-53éumgráficodaenergiacinéticaKdeumasteroidequecaiemlinharetaemdireçãoaocentro da Terra, em função da distância r entre o asteroide e o centro da Terra. (a) Qual é amassa(aproximada)doasteroide?(b)Qualéavelocidadedoasteroideparar=1,945×107m?


74 OvisitantemisteriosoqueaparecenaencantadorahistóriaOPequenoPríncipe teriavindodeumplaneta que “era poucomaior doqueuma casa!”Suponhaque amassa específica doplaneta sejaaproximadamenteigualàdaTerraequearotaçãosejadesprezível.Determineosvaloresaproximados

(a)daaceleraçãodequedalivrenasuperfíciedoplanetae(b)davelocidadedeescapedoplaneta.

75Asmassasecoordenadasdetrêsesferassãoasseguintes:20kg,x=0,50m,y=1,0m;40kg,x=–1,0m,y=–1,0m;60kg,x=0m,y=–0,50m.Qualéomódulodaforçagravitacionalqueastrêsesferasexercemsobreumaesferade20kglocalizadanaorigem?

76Umdosprimeirossatélitesartificiaiseraapenasumbalãoesféricodefolhadealumíniocom30mdediâmetroemassade20kg.Suponhaqueummeteorocommassade7,0kgpassea3,0mdasuperfíciedosatélite.Qualéomódulodaforçagravitacionalqueosatéliteexercesobreometeoronopontodemaioraproximação?

77Quatro esferas homogêneas, demassasmA = 40 kg,mB = 35 kg,mC = 200 kg emD = 50 kg, têmcoordenadas (0, 50 cm), (0, 0), (–80 cm, 0) e (40 cm, 0), respectivamente. Na notação dos vetoresunitários,qualéaforçagravitacionaltotalqueasoutrasesferasexercemsobreaesferaB?

78 (a) No Problema 77, remova a esfera A e calcule a energia potencial gravitacional do sistemaformadopelasoutrastrêspartículas.(b)SeaesferaA for introduzidanovamentenosistema,aenergiapotencialdosistemadequatropartículasserámaioroumenorqueacalculadanoitem(a)?(c)OtrabalhopararemoverapartículaA do sistema, comono item (a), épositivoounegativo? (d)O trabalhopararecolocarapartículaAnosistema,comonoitem(b),épositivoounegativo?

79Umsistemadetrêsestrelaséformadoporduasestrelasdemassamgirandonamesmaórbitacircularde raio r em tornode uma estrela central demassaM (Fig.13-54).As duas estrelas em órbita estãosempreemextremidadesopostasdeumdiâmetrodaórbita.Escrevaumaexpressãoparaoperíododerevoluçãodasestrelas.


80Amaiorvelocidadederotaçãopossíveldeumplanetaéaquelaparaaqualaforçagravitacionalnoequadoréigualàforçacentrípeta.(Porquê?)(a)Mostrequeoperíododerotaçãocorrespondenteédadopor

em que ρ é a massa específica do planeta esférico e homogêneo. (b) Calcule o período de rotaçãosupondoumamassaespecíficade3,0g/cm3,típicademuitosplanetas,satéliteseasteroides.Nuncafoiobservadoumastrocomumperíododerotaçãomenorqueodeterminadoporessaanálise.

81Emum sistema estelar binário, duas estrelas demassa3,0×1030 kg giram em torno do centro demassa do sistema a uma distância de 1,0 × 1011 m. (a) Qual é a velocidade angular das estrelas emrelação ao centro de massa? (b) Se um meteorito passa pelo centro de massa do sistemaperpendicularmenteaoplanodaórbita,qualamenorvelocidadequeometeoritodeveteraopassarpelocentrodemassaparapoderescaparparao“infinito”depoisdepassarpelosistemabinário?

82Umsatéliteestáemumaórbitaelípticacomumperíodode8,0×104 sem tornodeumplanetademassa 7,00× 1024 kg.No afélio, a uma distância de 4,5 × 107m do centro do planeta, a velocidadeangulardosatéliteé7,158×10–5rad/s.Qualéavelocidadeangulardosatélitenoperiélio?

83 A capitão Janeway está em um ônibus espacial de massam = 3000 kg que descreve uma órbitacircularderaior=4,20×107mem tornodeumplanetademassaM=9,50×1025 kg. (a)Qual éoperíododaórbitae(b)qualéavelocidadedoônibusespacial?Janewayacionaporalgunsinstantesumretrofoguete, reduzindo em 2,00% a velocidade do ônibus espacial. Nesse momento, qual é (c) avelocidade,(d)qualaenergiacinética,(e)qualéaenergiapotencialgravitacionale(f)qualéaenergiamecânicadoônibusespacial?(g)Qualéosemieixomaiordaórbitaelípticaagoraseguidapeloônibusespacial?(h)Qualéadiferençaentreoperíododaórbitacircularoriginaleodaórbitaelíptica?(i)Qualdasduasórbitastemomenorperíodo?

84Considereumpulsar,umaestreladedensidadeextremamenteelevada,comumamassaMigualàdoSol(1,98×1030kg),umraioRdeapenas12kmeumperíododerotaçãoTde0,041s.Qualéadiferençapercentualentreaaceleraçãodequedalivregeaaceleraçãogravitacionalagnoequadordessaestrelaesférica?

85Umprojétilédisparadoverticalmenteparacima,apartirdasuperfíciedaTerra,comumavelocidadeinicialde10km/s.Desprezandoa resistênciadoar,qualéadistânciamáximaacimadasuperfíciedaTerraatingidapeloprojétil?

86UmobjetonoequadordaTerraéacelerado(a)emdireçãoaocentrodaTerraporqueaTerragiraemtorno de simesma, (b) emdireção aoSol porque aTerra gira em torno doSol emuma órbita quasecirculare(c)emdireçãoaocentrodagaláxiaporqueoSolgiraemtornodocentrodagaláxia.Noúltimocaso,operíodoé2,5×108anoseoraioé2,2×1020m.Calculeastrêsaceleraçõesemunidadesdeg=9,8m/s2.

87(a)SealendáriamaçãdeNewtonfosseliberada,apartirdorepouso,2macimadasuperfíciedeumaestrela de nêutrons comumamassa igual a 1,5 vez amassa doSol e um raio de 20 km, qual seria avelocidadedamaçãaoatingirasuperfíciedaestrela?(b)Seamaçãficasseemrepousonasuperfíciedaestrela,qualseriaadiferençaaproximadaentreaaceleraçãogravitacionalnoaltoenabasedamaçã?(Suponhaumtamanhorazoávelparaamaçã;aresposta indicaqueumamaçãnãopermaneceria intactanasvizinhançasdeumaestreladenêutrons.)

88Seumacartacaísseemumtúnelqueatravessasse todaaTerra,passandopelocentro,qual seriaa

velocidadedacartaaopassarpelocentro?

89AórbitadaTerra em tornodoSol équase circular:Asdistâncias demaior aproximação emaiorafastamentosão1,47×108kme1,52×108km,respectivamente.Determineavariaçãocorrespondente(a)daenergia total, (b)daenergiapotencialgravitacional, (c)daenergiacinéticae(d)davelocidadeorbital.(Sugestão:Useasleisdeconservaçãodaenergiaedomomentoangular.)

90Umsatélitede50kgcompletaumavoltaemtornodoplanetaCrutonacada6,0h.OmódulodaforçagravitacionalqueCrutonexercesobreosatéliteé80N.(a)Qualéoraiodaórbita?(b)Qualéaenergiacinéticadosatélite?(c)QualéamassadoplanetaCruton?

91Doisastrosiguais,demassam,AeB,sãoaceleradosumemdireçãoaooutro,apartirdorepouso,pelaforçagravitacionalmútua.AdistânciainicialentreoscentrosdosdoisastroséRi.Suponhaqueumobservador se encontra em um referencial inercial estacionário em relação ao centro demassa destesistemadedoiscorpos.Usealeideconservaçãodaenergiamecânica(Kf+Uf=Ki+Ui)paradeterminarasseguintesgrandezasquandoadistânciaentreoscentrosé0,5Ri:(a)aenergiacinéticatotaldosistema,(b)aenergiacinéticadecadaastro,(c)avelocidadeescalardecadaastroemrelaçãoaoobservadore(d)avelocidadeescalardoastroBemrelaçãoaoastroA.

Emseguida,suponhaqueoreferencialdoobservadorestáligadoaoastroA(ouseja,oobservadorseencontranoastroA).Nessecaso,oobservadorvêocorpoBaceleraremsuadireçãoapartirdorepouso.Nesse referencial, use novamente a relaçãoKf +Uf =Ki +Ui para determinar as seguintes grandezasquandoadistânciaentreoscentrosé0,5Ri:(e)aenergiacinéticadoastroBe(f)avelocidadeescalardoastroBemrelaçãoaoastroA.(g)Porqueasrespostasdositens(d)e(f)sãodiferentes?Qualdasduasrespostasestácorreta?

92Um foguete de 150,0 kg que se afasta daTerra em linha reta está a umavelocidade de 3,70 km/squandoomotorédesligado,200kmacimadasuperfíciedaTerra.(a)Desprezandoaresistênciadoar,determineaenergiacinéticadofoguetequandoestá1000kmacimadasuperfíciedaTerra.(b)QualéaalturamáximaacimadasuperfíciedaTerraatingidapelofoguete?

93OplanetaRoton,comumamassade7,0×1024kgeumraiode1600km,atraigravitacionalmenteummeteorito que está inicialmente em repouso em relação ao planeta, a uma distância suficientementegrandeparaserconsideradainfinita.Ometeoritocaiemdireçãoaoplaneta.Supondoqueoplanetanãopossuiatmosfera,determineavelocidadedometeoritoaoatingirasuperfíciedoplaneta.

94Duasesferasde20kgsãomantidasfixasemumeixoy,umaemy=0,40meaoutraemy=–0,40m.Umabolade10kgéliberadaapartirdorepousoemumpontodoeixoxqueestáaumagrandedistância(praticamente infinita) das esferas. Se as únicas forças que agem sobre a bola são as forçasgravitacionais exercidas pelas esferas, então, quando a bola chega ao ponto (0,30m, 0), qual é (a) aenergiacinéticadabolae(b)qualéaforçaresultanteexercidapelasesferassobreabola,nanotaçãodosvetoresunitários?

95AesferaA,commassade80kg,estásituadanaorigemdeumsistemadecoordenadasxy;aesferaB,commassade60kg,estásituadanascoordenadas(0,25m,0);aesferaC,commassade0,20kg,estásituadanoprimeiroquadrante,a0,20mdeAe0,15mdeB.Nanotaçãodosvetoresunitários,qualéaforçagravitacionaltotalqueAeBexercemsobreC?

96 NoromancedeficçãocientíficaDaTerraàLua,escritoem1865,JúlioVernecontaahistóriade três astronautas que são lançados em direção à Lua por um gigantesco canhão. Segundo Verne, acápsula de alumínio com os astronautas é acelerada por uma carga de algodão-pólvora até umavelocidadede11km/sao longodos220mdocanodocanhão. (a)Qual seria a aceleraçãomédiadacápsula e dos astronautas dentro do cano do canhão em unidades deg? (b) Os astronautas poderiamresistiraessaaceleração?

Umaversãomodernadolançamentodeumaespaçonaveporumcanhão(emborasempassageiros)foipropostanadécadade1990.Nessaversãomoderna,chamadadecanhãoSHARP(doinglêsSuperHighAltitude Research Project), a combustão de metano empurra um pistão ao longo do tubo do canhão,comprimindoogáshidrogênio,que,porsuavez,impulsionaofoguete.Ofoguetepercorreumadistânciade 3,5 km dentro do tubo de lançamento, atingindo uma velocidade de 7,0 km/s.Uma vez lançado, ofoguetepodeusarmotoresparaganharmaisvelocidade.(c)Qualéaaceleraçãomédiadofoguetedentrodo tubo de lançamento em unidades de g? (d) Que velocidade adicional seria necessária (usandomotores)paraqueofogueteentrasseemórbitadaTerraaumaaltitudede700km?

97Umobjetodemassamémantidoinicialmentenolugaraumadistânciar=3RTdocentrodaTerra,emqueRTéoraiodaTerra.SejaMTamassadaTerra.Umaforçaéaplicadaaoobjetoparadeslocá-loatéumadistânciar=4RT,naqualénovamentemantidonolugar.Calcule,integrandoomódulodaforça,otrabalhorealizadopelaforçaduranteodeslocamento.

98 Para reduzir o congestionamento das estradas entre duas cidades como Boston e Washington, osengenheirospropuseramaconstruçãodeumtúneldeestradadeferroligandodiretamenteasduascidades(Fig.13-55).Um tremsemmotor,partindodo repouso,desceriaduranteaprimeirapartedaviagemesubiriaduranteasegundaparte,atéchegaraodestino.SupondoqueaTerraéumaesferahomogêneaeignorandoasforçasdeatrito,calculeotempodeduraçãodaviagem.


99Umabarrafina,demassaM=5,00g,temaformadeumasemicircunferênciaderaioR=0,650m

(Fig.13-56).(a)Qualéaforçagravitacionalqueabarraexercesobreumapartículademassam=3,0×10–3kgsituadanopontoP,ocentrodoarco?(b)Qualseriaaforçaseabarrativesseaformadeumacircunferênciacompleta?


100 Na Fig. 13-57, dois blocos de mesma massa m = 2,00 kg estão pendurados em cordas decomprimentosdiferentesnasextremidadesdeumabalançasituadanasuperfíciedaTerra.Ascordastêmmassadesprezível,eadiferençadecomprimentoentreascordaséh=5,00cm.SuponhaqueaTerraéesféricaehomogênea,commassaespecíficaρ=5,50g/cm3.QualéadiferençadepesoentreosblocosdevidoaofatodeumdosblocosestarmaispróximodocentrodaTerradoqueooutro?


101UmaespaçonaveestáviajandoaolongodaretaqueligaocentrodaTerraaocentrodaLua.AquedistânciadaTerraaforçagravitacionaltotalqueaTerraeaLuaexercemsobreanaveézero?

Download - CAPÍTULO 13 Gravitaçãoaprendafisica.com/gallery/prb cap 13 - gravitação.pdf · • Toda partícula do universo atrai outras partículas com uma força gravitacional cujo módulo

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