INTEGRACIÓN Y DIFERENCIACIÓN NUMÉRICAINTEGRACIÓN Y DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA
5.1 INTRODUCCIÓN
La integración numérica consiste en encontrar el área bajo la curva de
una función analítica o tabular usando diversas técnicas de aproximación al valor
“verdadero” o valor real de la función.
La diferenciación numérica es una técnica que permite encontrar la
derivada de una función tabular en algún punto base o en un punto intermedio
cualquiera.
Objetivos:
Al finalizar esta unidad, a partir de la interpretación de los fenómenos físicos y
químicos o un conjunto de datos experimentales de laboratorio, el estudiante
estará en la capacidad de determinar un polinomio de ajuste y realizar la
diferenciación e integración numérica, así como elaborar la programación del
algoritmo en Excel y en MatLab.
Contenidos Conceptuales
Contenidos Procedimentales
Contenidos Actitudinales
Métodos de Newton Cotes
Método de Simpson. Método trapezoidal.-
Simples y compuestos Integrales Múltiples Diferenciación numérica
Identifica los métodos de integración.
Resuelve ecuaciones específicas utilizando los métodos de Integración y diferenciación numérica
Trabaja en equipo. Respeta las
opiniones de sus compañeros
Comparte sus resultados y experiencias.
5.2 INTEGRACIÓN NUMÉRICA
Los métodos de integración se pueden clasificar en dos grupos: los que emplean
valores dados de la función en abscisas equidistantes (fórmulas de Newton
Cotes) y aquellos que utilizan valores de en abscisas desigualmente
espaciadas (fórmulas de Cuadratura Gaussiana).
5.3 MÉTODOS DE NEWTON COTES
1
Las fórmulas de integración de Newton-Cotes son los esquemas de integración
numérica más comunes. Se basan en la estrategia de reemplazar una función
complicada con datos aproximados que sean fáciles de integrar.
…(5.1)
Donde: pn (x) =
“n” es el grado del polinomio
Si “n” es el número de subintervalos iguales en los que se divide el intervalo
Entonces la integración va desde:
Los valores de la integral variarán dependiendo del número de subintervalos, es
decir de los valores que tome “n”.
A. MÉTODO TRAPEZOIDAL COMPUESTO
En la integral definida , al intervalo [a,b] se divide en n -
subintervalos cada uno de longitud , dando n+1 puntos ( , ,
,…, ,…, , ).
Luego a la integral expresamos como la suma de n integrales
definidas:
…(5.2)
Figura 45: Integración por el método trapezoidal compuesto
El resultado de la integral (5.2) es la medida del área de la región acotada por el
eje X,
las rectas , y la porción de la curva . Luego a la integral definida
2
se puede aproximar por la medida del trapecio formado por las
rectas , , y el eje X, donde la medida de este trapecio es
,
en forma similar para las otras integrales, pueden aproximarse por la medida del
área de un trapecio:
…(5.3)
Por lo que al extender la ecuación (5.3) para cada uno de los trapecios formados
en el intervalo [a,b] se obtiene una nueva expresión:
La misma que en forma sintética puede expresarse como la ecuación (5.4) que
considera la sumatoria de todos los (n-1) trapecios formados entre los límites de
la integral definida:
…(5.4)
Ejemplo de Aplicación 5.1
Evalúe la siguiente integral:
Solución :
Resolveremos este ejemplo con distintos números de intervalos para n:
a) Con , ; entonces:
b) Con , ; entonces:
c) Con , ; entonces:
3
Se tiene el siguiente resumen:
Tabla 13: Método Trapezoidal a diferentes intervalos de “n”
n 1 2 4 10 20 50
I 0 0,785398 0,948059 0,991762 0,997943 0,999671
Del cuadro se puede observar que a medida que el número de sub-intervalos “n”
aumenta la integral converge a 1, que es el valor analítico respectivo.
Figura 46: Interfaz Gráfica del método trapezoidal compuesto para n= 4
B. MÉTODO DE SIMPSON 1/3 COMPUESTO
También conocida con el nombre de la regla parabólica, al calcular la integral
definida , los puntos sucesivos son conectados por segmentos
parabólicos. Consideremos una función continua en el intervalo cerrado
de n sub-intervalos (n es un número par, cada intervalo usa 3 puntos sucesivos)
donde la longitud de cada sub-intervalo está dado por: .
Figura 47: Integración por el método de Simpson 1/3 compuesto
4
Aproximemos el segmento de la curva por el segmento parabólico con su
eje a través de y ; la medida del área de la región acotada por esta
parábola, es: ó y en forma análoga para
cada una de estas regiones aproxima el área de la región acotada a la integral
utilizando 3 puntos sucesivos:
…(5.6)
Ejemplo de Aplicación 5.2
Evalúe la siguiente integral:
Solución :
a) Con , ; entonces:
b) Con , ; entonces:
c) Con , ; entonces
Se tiene el siguiente resumen:
Tabla 14: Método de Simpson 1/3 a diferentes intervalos de “n”
n 2 4 8 20 30 40
I 2,29575 2,40136 2,43762 2,45198 2,45416 2,45554
5
Del cuadro se puede observa que a medida que el número de sub-intervalos “n”
aumenta la integral converge a 2,45674; que es el valor analítico respectivo.
Figura 48: Interfaz Gráfica del método de Simpson 1/3 compuesto para n= 2
C. MÉTODO DE SIMPSON 3/8 COMPUESTO
Se obtiene al integrar una fórmula de interpolación de un polinomio de
tercer grado, tiene el mismo orden de precisión que la regla de 1/3 con la única
condición de que “n” sea múltiplo de tres.
…(5.7)
Ejemplo de Aplicación 5.3
Evalúe la siguiente integral:
Solución :
a) Con , ; entonces:
b) Con , ; entonces:
6
c) Con , ; entonces
Se tiene el siguiente resumen:
Tabla 15: Método de Simpson 3/8 a diferentes intervalos de “n”
n 3 6 9 12 15 30
I 0,68706 0,682852 0,68272 0,682699 0,682693 0,682690
Del cuadro se puede observa que a medida que el número de sub-intervalos “n”
aumenta la integral converge a 0,682689; que es el valor analítico respectivo. El
número de intervalos que se escogerá dependerá de la precisión que se quiere
en el resultado.
Figura 49: Interfaz Gráfica del método de Simpson 3/8 compuesto para n= 2
5.4 DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA
En el capítulo IV a partir de una función tabulada, se aproximaba esta
función a un polinomio de ajuste. Entonces en la diferenciación numérica se
procederá de la misma forma ya que sólo se tiene que derivar el polinomio
encontrado por uno de lo métodos de aproximación funcional.
Ejemplo de Aplicación 5.4
7
Obtenga la segunda derivada evaluada en para la función que se
da enseguida:
Puntos 0 1 2 3 4 5
x 1 1,8 3 4,2 5 6,5
f(x) 3 4,34536 6,57735 8,88725 10,44721 13,39223
Utilice un polinomio de Newton en diferencias divididas para aproximar f(x):
Solución :
Para una primera aproximación se utilizará un polinomio de grado 2; entonces
los puntos 2, 3 y 4 son los más aconsejables porque se encuentran rodeando al
valor . La tabla de diferencias divididas es la siguiente:
i x f(x)Diferencias Divididas
Primera Segunda
0,012517
Y prosiguiendo con el método se obtiene:
A este polinomio derivamos dos veces:
Este resultado nos indica que la segunda derivada de la función tabular es una
constante, entonces:
La dificultad en la diferenciación será en elegir el método y el grado del polinomio
de ajuste, aunque la bibliografía recomienda el uso del método de Newton en
diferencias divididas y el de Lagrange por su estrecha relación con las derivadas,
el error de truncamiento suele ser alto en algunas aplicaciones.
8
Figura 49: Interfaz Gráfica del método de Newton en diferencias divididas para la
segunda derivada
5.5 Integración y Diferenciación Numérica en Ingeniería Química
Problema de Aplicación 5.5.1
Cátedras: Cálculo, Análisis Matemático
Calcular el volumen del sólido generado haciendo girar alrededor del eje X, la
superficie limitada por la curva , y las rectas
Solución :
Las respectivas gráficas en el plano xy para la curva y las rectas son:
Entonces el radio de giro está dado por:
Entonces el volumen generado:
Empleamos el método trapezoidal con n = 10, 20, 30, 50 y 100 para la resolución
de esta integral, obteniéndose el siguiente resumen:
9
n I
10 142,006
20 120,068
30 114,513
50 110,704
100 108,492
200 107,686
Resolviendo analíticamente el resultado para esta integral es 107,233; el error
cometido por el método es de:
El algoritmo del problema anterior es presentado en un archivo m. en el Matlab:
clc,clear,syms x disp(' Problema de Aplicación 5.1 ') disp(' -------------------------- ') f='pi*(sqrt(8)-sqrt(x))^4'; a=0;b=8;n=200;x=a;s=0; h=(b-a)/n; if n~=1 I=1; while I<=n-1; x=x+h; s=s+eval(f); I=I+1; end A=(pi*(sqrt(8)-sqrt(a))^4); B=(pi*(sqrt(8)-sqrt(b))^4); area=(h/2)*(A+2*s+B); else A=(pi*(sqrt(8)-sqrt(a))^4); B=(pi*(sqrt(8)-sqrt(b))^4); area=(h/2)*(A+2*s+B); end disp(' ') disp(' Solución: ') fprintf(' La integral aproximada es: %f \n',single(area))
Problema de Aplicación 5.5.2
Cátedras: Termodinámica de los Procesos Químicos, Fisicoquímica
Fugacidad es un término usado por los ingenieros para describir el trabajo
disponible en un proceso isotérmico. Para un gas ideal, la fugacidad f es igual a
su presión p, pero para gases reales:
Donde z es el factor de compresibilidad determinado
experimentalmente. Para el metano, algunos valores de z son:
P (atm) z P (atm) z
10
1 0,9940 80 0,3420
10 0,9370 120 0,4250
20 0,8683 160 0,5252
40 0,7043 250 0,7468
60 0,4515 400 1,0980
Calcule la fugacidad correspondiente a cada presión. El valor de z tiende a 1
cuando p tiende a 0.
Solución :
Haciendo un ajuste a partir de los datos de la tabla con el método de mínimos
cuadrados, pero se observa que a partir de 80 atm, z empieza a crecer entonces
se obtendrá dos ajustes:
Reemplazando estos polinomios en la integral:
Resolviendo estas 2 integrales con el método de Simpson 1/3 compuesto con n
= 20 para cada presión tenemos los siguientes resultados:
p f p f
1 0 1 80 -0,604465 43,7093
10 -0,057025 9,44570 120 -0,250680 93,3926
20 -0,112749 17,8675 160 -0,402277 107,007
40 -0,256647 30,9457 250 -0,569222 141,491
60 -0,429115 39,0651 400 -0,60908 217,540
El algoritmo del problema anterior es presentado en un archivo m. en el Matlab:
11
clc,clear,syms x disp(' Problema de Aplicación 5.2 ') disp(' -------------------------- ') f=(0.199266+0.001463*x+4.51481*10^(-6)*x^2-6.3889*10^(-9)*x^3-1)/x; a=80;b=400;n=20;s1=0;s2=0;x=a;h=(b-a)/n; if n~=2 I=1; while I<=n/2-1; x=x+h;s1=s1+subs(f,x);x=x+h;s2=s2+subs(f,x); I=I+1; end x=x+h;s1=s1+subs(f,x); A=subs(f,a);B=subs(f,b); area=(h/3)*(A+4*s1+2*s2+B); else x=x+h;s1=s1+subs(f,x); A=subs(f,a);B=subs(f,b); area=(h/3)*(A+4*s1+2*s2+B); end disp(' ') disp(' Solución: ') fprintf(' La integral aproximada es: %f \n',single(area))
Problema de Aplicación 5.5.3
Cátedras: Física
(Problema Propuesto 6.26 – Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería - A.
Nieves)
Una partícula de masa m se mueve a través de un fluido sujeta a una resistencia
R que es función de la velocidad v y de m. La relación entre la resistencia R, la
velocidad v y el tiempo t está dada por la ecuación:
Supóngase que para un fluido particular. Si kg y
m/s, aproxime el tiempo requerido para que la partícula reduzca su
velocidad a m/s.
Solución :
Reemplazando los datos en la ecuación:
Esta integral se resolverá con el método de Simpson 3/8 a
diferentes intervalos:
n I = t
3 2,62537
6 2,62020
9 2,61983
15 2,61975
21 2,61974
12
Entonces el tiempo requerido es:
El algoritmo del problema anterior es presentado en un archivo m. en el Matlab:
clc,clear,syms x disp(' Problema de Aplicación 5.3 ') disp(' -------------------------- ') f=10/(-x*sqrt(x)+0.0001); a=10;b=5;n=21;h=(b-a)/n;x=a:h:b;fx=subs(f,x); suma1=fx(1)+fx(n+1); suma2=3*sum(fx(2:3:n-1)); suma3=3*sum(fx(3:3:n)); suma4=2*sum(fx(4:3:n-2)); suma=suma1+suma2+suma3+suma4; area=(3/8)*h*suma; disp(' ') disp(' Solución: ') fprintf(' La integral aproximada es: %f \n',area)
Problema de Aplicación 5.5.4
Cátedras: Fundamentos de Ingeniería Química
(Problema Propuesto 6.5 – Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería - A.
Nieves)
En el gaseoducto Cactus, Tab. a Reynosa, Tamps. se determina el gasto W
(kg/min) y su contenido de azufre S (%) periódicamente durante el día.
Los resultados se presentan en la tabla:
t (h) 0 4 8 12 15 20 22 24
W
(kg/min)20 22 19,5 23 21 20 20,5 20,8
S (%) 0,30 0,45 0,38 0,35 0,30 0,43 0,41 0,40
a) ¿Cuál es el gasto promedio?
b) ¿Qué cantidad de gas se bombean en 24 horas?
c) ¿Cuál es el contenido de azufre (%) promedio diario?
d) ¿Qué cantidad de azufre se bombea en 24 horas?
Solución :
a) Cálculo del gasto promedio:
...(1)
Los datos tabulados de 0 a 12 y de 20 y 24 se pueden resolver con los métodos
de Simpson 3/8 y Simpson 1/3 respectivamente, ya que son equidistantes, para
el intervalo de 12 a 20 se realizará un ajuste de segundo grado con el método de
Lagrange luego se integrará en sus respectivos límites.
13
…(2)
Integración en el intervalo 0 -12:
Integración en el intervalo 12 – 20: (Ajuste de curva con el método de Lagrange)
Integración en el intervalo 20 – 24:
Reemplazando estos valores en (2):
b) Cálculo de gas que se bombean en 24 horas
c) Cálculo del contenido de azufre (%) promedio diario
…(3)
Se procede de forma similar que en el inciso a):
…(4)
Integración en el intervalo 0 -12:
14
Integración en el intervalo 12 – 20: (Ajuste de curva con el método de Lagrange)
Integración en el intervalo 20 – 24:
Reemplazando estos valores en (4):
d) Cálculo de la cantidad de azufre que se bombea en 24 horas
Problema de Aplicación 5.5.5
Cátedras: Termodinámica de los procesos Químicos, Fisicoquímica
(Problema Propuesto 6.38 – Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería - A.
Nieves)
La ecuación de Redlich Kwong es:
Donde a = 17,19344 y b = 0,02211413 para el oxígeno molecular, si T =
373,15K; se obtiene la siguiente tabla de valores:
Puntos 0 1 2 3
P (atm) 30,43853 27,68355 25,38623 23,44122
V (L
/molg)1,0 1,1 1,2 1,3
15
a) Calcule cuando V = 1,05 L / molg utilizando la ecuaciones 6.40 y
6.41 y compárelo con el valor de la derivada analítica.
b) Proceda como en el inciso anterior, pero ahora aplique la ecuación 6.51
con n = 1 y n = 2.
Solución :
a) La expresión 6.40 (del texto referido) exige de un punto inicial
y un punto final y se reemplaza en la
expresión 6.40:
Resolviendo la derivada aproximadamente toma un valor de -27,5498.
Para la expresión 6.41 utilizaremos los puntos 0 ,1 y 2:
Obteniendo la derivada aproximadamente igual a -27,5498.
Sacando la derivada respectiva analíticamente:
La derivada analítica cuando V = 1,05L es aproximadamente -27,5054.
b) La expresión 6.51 (del texto referido) se refiere a los polinomios de
Lagrange y se tiene para n = 1:
Evaluando los puntos 0 y 1 se tiene como valor aproximado -27,5498.
Para n = 2 se tiene:
Evaluando los punto 0, 1, 2 y x = 1,05 se obtiene - 24,5498.
El algoritmo del problema anterior es presentado en un archivo m. en el Matlab:
16
clc,clear,syms x disp(' Problema de Aplicación 5.5 ') disp(' -------------------------- ') X=[1.0 1.1];F=[30.43853 27.68355];FX=0;I=1; while I<=2; L=1;J=1; while J<=3; if I~=J L=L*(x-X(1,J))/(X(1,I)-X(1,J)); end J=J+1; end FX=FX+L*F(1,I);I=I+1; end n=1;in=1.05; dp=subs(diff(FX,n),in); disp(' ') disp(' Solución: ') fprintf(' El valor aproximado de la derivada es: %f \n',dp)
Problema de Aplicación 5.5.6
Cátedras: Termodinámica de los procesos Químicos, Fisicoquímica
La descomposición de una sustancia se lleva a cabo de acuerdo a la reacción:
; en un reactor batch, cuyos datos de la presión
total del sistema en función del tiempo, ha sido reportado a 200
ºC:
t (s) 0 5 10 15 20
PT (mmHg) 7,5 12,5 15,8 17,9 19,4
a) Encuentre la expresión que permita la obtención de la ley de
velocidad en función de la presión total, PT:
b) Encuentre el valor del orden de reacción y la constante de velocidad
específica de reacción:
Solución :
a) La ley de velocidad estará dada por:
…(1)
Hacemos un balance de materia, denotando a x como la conversión:
…(2)
Del problema cuando t = 0 ; :
17
…(3)
Reemplazando (3) en la primera ecuación de (2):
…(4)
Derivando (4) con respecto al tiempo t, obtenemos:
…(5)
Reemplazando (4) y (5) en (1):
…(6)
Tomando logaritmos a (6):
…(7)
b) A partir de (7) y los datos tabulados (valores equidistantes en t) del
problema se hace una regresión lineal con el método de mínimos cuadrados,
pero previamente se necesita los valores de las derivadas en cada punto.
Estos se consiguen utilizando método de Newton en diferencias finitas hacia
adelante en diferenciación con una aproximación polinomial de 4º grado y pivote
:
18
Figura 50: Interfaz Gráfica como ejemplo de cálculo para la derivada en t = 10 s.
En resumen se tiene:
t
(s)
PT
(mmHg)
0 7,5 1,1983 0,1809 2,0149
5 12,5 0,8150 -0,2046 1,6094
10 15,8 0,5217 -0,6507 1,2090
15 17,9 0,3383 -1,0838 0,8329
20 19,4 0,2850 -1,2553 0,4383
Aproximando a una línea recta la ecuación (7) con
:
El algoritmo del problema anterior es presentado en un archivo m. en el Matlab:
19
clc,clear,syms x disp(' Problema de Aplicación 5.6 ') disp(' -------------------------- ') X=[0 5 10 15 20];F=[7.5 12.5 15.8 17.9 19.4];FX=0;I=1;in=10; for l=0:length(X)-2;F=diff(F);T(1:length(X)-(l+1),l+1)=F; end disp([T]);h=X(2)-X(1);xo=0;s=(x-xo)/h;so=s; for I=1:length(X); if X(I)==xo; break end end p=FX(I)+s*T(I,1); for l=1:3;s=s*(so-l);p=p+s*T(I,1+l)/prod(1:l+1); end dp=single(subs(diff(p,1),in)); disp(' ') disp(' Solución: ') fprintf(' El valor aproximado de la derivada es: %f \n',dp)
Figura 50: Interfaz Gráfica para el ajuste lineal del problema 5.6.
5.6 EJERCICIOS PROPUESTOS
5.6.1 La probabilidad de encontrar un porcentaje de hierro comprendido entre a
y b, en una muestra de mineral en cierta región geográfica, viene dada por:
20
Como se muestra en la figura. ¿Cuál es la
probabilidad de que una muestra contenga entre
a) 0% y 25%
b) 50% Y 100%
5.6.2 Obtenga la primera y segunda derivadas evaluadas en x = 1 para la
siguiente función tabulada
Puntos 0 1 2 3 4
x -1 0 2 5 10
f(x) 11 3 23 143 583
5.6.3 Utilizando el método de trapecios integre la función:
5.7 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
CARRASCO, Luis – “METODOS NUMERICOS, Aplicados a la
Ingeniería”. Segunda Edición, Ediciones RFG, pag. 173 - 280, Perú
2007.
DELORES, Etter - “SOLUCION DE PROBLEMAS DE INGENIERIA
CON MATLAB”. Segunda Edición, Editorial Prentice Hall, pag. 185 - 201,
México 1997.
ESPINOZA RAMOS, Eduardo – “ANÁLISIS MATEMÁTICO II”. Cuarta
Edición, Editorial Servicios Gráficos J. J., pag. 269 - 460, Lima - Perú
2004
FELDER, Richard - ROUSSEAU Ronald – “PRINCIPIOS BÁSICOS DE
LOS PROCESOS QUÍMICOS”. Primera Edición, Editorial El Manual
Moderno, pag. 536 - 542, México 1981.
MORALES, Herón - ”MATLAB 7, Métodos numéricos”. Primera
Edición, Editorial Megabyte, pag. 273 - 305, Lima – Perú 2005.
NIEVES, Antonio - “METODOS NUMERICOS, Aplicados a la
Ingeniería”. Primera Edición, Editorial CECSA, pag. 393 - 465, México
1996.
21