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7/26/2019 Capitulo II Teoria de Conjuntos
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TEORIA DE CONJUNTOS
Objetivo General.-
Incentivar el uso adecuado de la teora de
conjuntos aplicados en los diferentes esqueas
de aprendi!aje"
Objetivos Especfcos.-
Deterinar los conceptos #$sicos necesarios
para la coprensi%n de la Teora de Conjuntos"
Capacitar al estudiante en la identi&caci%n de
las diferentes clases ' operaciones de conjuntos
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CONJUNTOS
Concepto.-
Un conjunto constitu'e la a(rupaci%n) clase) o
colecci%n de o#jetos o en su defecto de eleentos
que pertenecen ' responden a la isa cate(ora o(rupo de cosas) sean estos ateriales o a#stractos.
Es usual denotar a los conjuntos por letras
a'*sculas"
En el caso de enuerar eleentos de los conjuntos
con letras) se los representa con letras in*sculas
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CONJUNTOS
Determinacin de Conjuntos:E+isten dos aneras de deterinar a los conjuntoslos cuales pueden ser por e+tensi%n ' coprensi%n"
Por extensin enumeracin:Se descri#e unoa uno los coponentes de un deterinadoconjunto) por ejeplo,
A - . /)0)1)2)3)4)56"
Por comprensin o tabulacin: Se e+presa alos eleentos del conjunto a trav7s depropiedades que posean los eleentos
inte(rantes de ese deterinado conjunto) por-
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CONJUNTOS
En el ejeplo anterior se dice que est$deterinado por coprensi%n porque se enuerauna caracterstica co*n que re*nen todos loseleentos que lo coponen"
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C9ASI:ICACION DECONJUNTOS
/"; :inito
0"; In&nito
1"; Unitario
2";
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C9ASI:ICACION DE 9OS CONJUNTOS
.- Conjunto fnito
Cuando los ie#ros o eleentos del conjuntose pueden contar o enuerar"
or ejeplo el conjunto de las letras delalfa#eto es un conjunto &nito que e+presadopor coprensi%n es,
A - .+ I + son las letras del alfa#eto castellano6
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C9ASI:ICACION DE 9OS CONJUNTOS
!.- Conjunto "nfnito:
Cuando los eleentos o ie#ros no se puedenenuerar o contar) se considera coo conjunto
in&nito"
Un ejeplo de conjunto in&nito son las estrellasdel cielo" 9os conjuntos in&nitos siepre de#er$n
deterinarse por coprensi%nB para el ejeplo,
8 - .+ I + son las estrellas del universo6
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C9ASI:ICACION DE 9OS CONJUNTOS
#.- Conjunto $nitario:
Es el conjunto que tiene un solo ie#ro o eleento" Un
ejeplo, C - .luna6
%.- Conjunto &aco:
Se trata del conjunto que no tiene eleentos) o que estosson ine+istentes) ejeplos,
D - .+ I + son perros con alas6
E - . 6Se considera el conjunto vaco coo su#conjunto decualquier conjunto"
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C9ASI:ICACION DE 9OS CONJUNTOS
'.- Conjunto $niversal o (e)erencial:
Se llaa as al conjunto conforado por losie#ros o eleentos de todos los eleentos
que acen parte de la caracteri!aci%n"or ejeplo) dados,
A - ./) 1) 3) 56 8 - .0) 1) 26 C - . 4) 5) =) >6
El conjunto universal o referencial es,
U -./) 0) 1) 2) 3) 4) 5) =) >6
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C9ASI:ICACION DECONJUNTOS
*.- Conjuntos dis+untos o disjuntos
Son aquellos conjuntos que no tienen nin(*nie#ro o eleento en co*n" Otra fora de
e+presarlos es decir que la intersecci%n de dos o$s conjuntos dis'untos o disjuntos es elconjunto vaco"
or ejeplo los conjuntos 8 ' C encionadoscoo ejeplos del conjunto universal sonconjuntos dis'untos pues no tienen nin(*nie#ro en co*n
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C9ASI:ICACION DECONJUNTOS
,.- Conjuntos euivalentes
Corresponde a los conjuntos con el ison*ero cardinal) es decir cuando tienen la
isa cantidad de eleentos"
or ejeplo,
A - .a) #) c) d6
8 - ./) a) I) alpa6
or lo tanto A ' 8 son conjuntos equivalentes
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C9ASI:ICACION DE 9OS CONJUNTOS
.- Conjuntos i/uales
Cuando los conjuntos contienen los isoseleentos) estos conjuntos son i(uales) por ejeplo,
A - . 0) 2) 4) =) /@6
8 - . 2) /@) 0) =) 46
A ' 8 son i(uales porque contienen los isoseleentos" Es #ueno anotar que en un conjunto noiporta el orden en que se u#iquen) por eso elconjunto 8 es i(ual que el A
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C9ASI:ICACION DE 9OS CONJUNTOS
0.- Conjuntos 1omo/2neos
Cuando sus ie#ros o eleentos que locoponen) pertenecen al iso tipo o (7nero"
or ejeplo un conjunto copuesto por letras*nicaente) o por n*eros) etc"
A - . a) l) ) p) r 6
El conjunto es oo(7neo pues todos susie#ros son letras"
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C9ASI:ICACION DE 9OS CONJUNTOS
3.- Conjuntos 1etero/2neos
Son aquellos conjuntos copuestos porie#ros de diferentes tipos) clases) (7neros)
etc"
or ejeplo , 8 - . /) a) prado) rojo6
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C9ASI:ICACION DECONJUNTOS
.- Conjuntos con/ruentes
Dos conjuntos nu7ricos son con(ruentescuando sus respectivos ie#ros se pueden
poner en correspondencia uno a uno) deanera que la distancia entre ellos seanten(a,
A - .0) 2) 4) =) /@6 8 - .5) >) //) /1) /36
As, 0 ' 5B 2 ' >B 4 ' //B = ' /1B /@ ' /3tienen todos ellos coo distancia entre ellos '
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C9ASI:ICACION DE 9OS CONJUNTOS
!.- Conjuntos no con/ruentes
Cuando entre dos conjuntos no se puede daruna correspondencia entre los ie#ros de los
conjuntos) de anera que la distancia entreellos no sea constante) los conjuntos seconsideran no con(ruentes"
Ejemplo:
4 5 6!7 %7 *7 7 3 8 C 5 6'7 *7 ,7 708
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CONJUNTOS
ertenencia
Si a es un eleento del conjunto A se denotacon la relaci%n de pertenencia a A"
En caso contrario) si a no es un eleento deA se denota a A"
Cuando en deterinado conte+to seconsideran siepre conjuntos que son partes
de uno dado U) se suele considerar a dico Ucoo conjunto universal o de referencia"
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OERACIONES DECONJUNTOS
Conocida ta#i7n coo Al(e#ra deconjuntos) siendo las operaciones entreconjuntos, uni%n) intersecci%n) diferencia)
diferencia si7trica ' copleento" /"; UNION DE CONJUNTOS
9a uni%n de conjuntos A ' 8 constitu'e elconjunto soluci%n que se encuentraforado por todos los eleentos de losconjuntos A ' 8) sin que nin(uno de susie#ros se repita"
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UNION DE CONJUNTOS
Ejeplo /,
A - . a ) # ) c 6
8 - . c ) d ) e ) f 6
A U 8 - a ) # ) c ) d ) e ) f 6Se lee, F A uni%n 8 G
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UNION DE CONJUNTOS
Ejeplo 0,
A - .;/) /) 0) 16
8 - .0) 2) 46
C- .2) 3) 5) =6A U 8 - . ;/) /) 0) 1) 2) 46
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ROIEDADES DE 9A UNION DECONJUNTOS
Conutativa, A uni%n 8 - 8 uni%n A
Asociativa, HA U 8 U C - A U H8 U C"
Distri#utiva, A U H8 C - HA U 8 HA U C
A#sorci%n, A uni%n HA intersecci%n 8 - A Idepotencia, A uni%n A - A
Eleento neutro, A uni%n conjunto vaco - A
Doinaci%n, U uni%n A - U
Inversa, A uni%n A - U
Inversa de Kor(an, HA uni%n 8 - A intersecci%n 8
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INTERSECCION DECONJUNTOS
9a intersecci%n de los conjuntos A ' 8) es elconjunto que contiene eleentos a losconjuntos A ' 8"
Ejeplo /,
A - . / ) 0 ) 1 ) 2 ) 3 6 8 - . / ) 1 ) 3 ) 5 6
A L 8 - . / ) 1 ) 3 6
Se lee, F A intersecci%n 8 G
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INTERSECCION DECONJUNTOS
Ejeplo 0, A - . / ) 0 ) 1 ) 2 ) 3 6
8 - . / ) 0 ) 2 ) 5 6
C - . 2 ) 3 ) > ) /@ 6
A L 8 L C - . 2 6
Se lee, F A intersecci%n 8 intersecci%n C G
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ROIEDADES DE 9A INTERSECCION
Conutativa, A 8 - 8 A Asociativa, HA 8 C - A H8 C"
Distri#utiva, A H8 U C - HA 8 U HA C
A#sorci%n, A HA U 8 - A Idepotencia, A A - A
Eleento neutro, A conjunto vaco - M
Doinaci%n, conjunto vaco A - M
Inversa, A A - M
Inversa de De Kor(an, HA 8 - A U 8
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DI:ERENCIA DE CONJUNTOS
9a diferencia de dos conjuntos) A enos 8) esel conjunto forado por eleentos de A queno pertene!can a 8"
Ejeplo 0,
A - . a ) # ) c ) d ) e 68 - . d ) e ) f ) ( ) 6
A 8 - . a ) # ) c 6
Se lee, FEl conjunto A enos el conjunto 8) esel conjunto a) #) cG"
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DI:ERENCIA DE CONJUNTOS
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COK9EKENTO DE UNCONJUNTO
Sean los conjuntos A ' universal U" Elcopleento del conjunto A es la partedel conjunto universal que no pertenece
a A" Ejeplo ,
A - . vocales 6
8 - . el alfa#eto 6A - U A - . las consonantes 6
Se lee, FA es el copleento de AG"
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COK9EKENTO DE UNCONJUNTO
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DI:ERENCIA SIKETRICA
Es el conjunto forado por la parteno co*n de dos conjuntos"
Ejeplo ,
A - . 0 )2 ) 4 ) = ) /@ 6 8- . 0 ) 2 )3 ) 5 ) > 6
A P 8 - H A U 8 H A L 8
A P 8 - H 3 ) 4) 5 ) = )> ) /@
Se lee, FA diferencia si7trica 8G"
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DI:ERENCIA SIKETRICA
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P(OP"ED4DE9 DE 49 OPE(4C"O;E9CO; CO;$=4="&"D4D: 4 $ @ 5 @ $ 4
4 ? @ 5 @ ? 4
#.- 49OC"4="&"D4D: 4 $ A@ $ CB 5 A4 $ @B $ C
4 ? A@ ? CB 5 A4 ? @B ? C
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P(OP"ED4DE9 DE 49OPE(4C"O;E9 CO; CO;
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P(OP"ED4DE9 DE 49OPE(4C"O;E9 CO; CO;PE>E;=O:
4 $ 4C 5 $
4 ? 4C 5
A4C
BC
5 4
$C5
C5 $
,.- DE >O(G4;: A4 $ @BC5 4C? @C
A4 ? @BC5 4C$ @C
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P(OP"ED4DE9 DE 49OPE(4C"O;E9 CO; CO;
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P(OP"ED4DE9 DE 49OPE(4C"O;E9 CO; CO;
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P(OP"ED4DE9 DE 49OPE(4C"O;E9 CO; CO;or/an
A4 $ @ $ CB ? A4C$ @CB distribut conmutat
FA4 $ @ $ CB ? 4C $ FA4 $ C $ @B ? @C conmutatividad
F4C ? A4 $ @ $ CB $ F @C ? A4 $ C $ @B asociatividad
64C ? F4 $ A@ $ CB 8 $ 6@C ? FA4 $ CB $ @8distribuitividad
6A4C ? 4B $ F4C? A@ $ CB8 $ 6FA@C? A4 $ CB $ A@C? @B8complem
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P(OP"ED4DE9 DE 49OPE(4C"O;E9 CO; CO;
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OERACIONES DECONJUNTOS
Ejercicio,Una persona toa lece o ju(o cada aQana eles de julio" Si toa lece 03 aQanas ' toa ju(o/= aQanas Cu$ntas aQanas toa los dos
alientosA - . la aQana toa lece6 nHA - 03
8 - . la aQana toa ju(o6 nH8 - /=
/= 03 - 1/ /= 03 1/ -
- /0
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OERACIONES DE CONJUNTOS
E
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OERACIONES DECONJUNTOS
a A U 8 f Cc
# 8 L A ( 8 U A
c A P 8 A L 8
d 8 U i H A U 8 c
e U 8
OERACIONES DE
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OERACIONES DECONJUNTOS
OERACIONES DE
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OERACIONES DECONJUNTOS
OERACIONES CON
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OERACIONES CON
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OERACIONES CON
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OERACIONES CON
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OERACIONES CON
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OERACIONES CON
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OERACIONES CON
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OERACIONES CON
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OERACIONES CON
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En los si(uientes ejeplos utili!ar eldia(raa de
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OERACIONES CON CONJUNTOS
H A U 8 U C H
A L 8 HL C
H A L 8 HL H C U A
H 8 HL C H L H A L C
H H A L C U C H A P 8 H
. 8 H A U 8 HV P H A L 8 6 C H 8 P C U A V L H AHL 8H P A V
H A L CH U H 8HL C H
OERACIONES CON
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OERACIONES CON
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OERACIONES CON
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OERACIONES CON
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OERACIONES CON
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OERACIONES CON
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