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Capítulo 4
Cinemática da Turbulência Homogênea e Isotrópica
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Introdução
A maioria dos escoamentos são cizalhantes, os quais são anisotrópicos e não homogêneos, como pode ser visualizado na figura
Estruturas Coerentes:anisotrópicas
Pequenas Estruturas:tendência à isotropia e
homogeneidade
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Introdução
•O cizalhamento é necessário para gerar instabilidades, as quais são anisotrópicas
•Logo, a nível das chamadas estruturas coerentes não existe isotropia, porém existe para as pequenas estruturas da turbulência;
Perturbações+ Instabilidades
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Introdução
Anisotropia Isotropia
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Introdução
Turbulência isotrópica na superfície do mar
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Introdução
Turbulência de grelha
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Introdução
• Homogeneidade: é a invariância estatística das propriedades dos escoamentos quando se promove uma translação do sistema de eixo
y
z
Translação de eixos
y
z
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Introdução
•Caso não se observa variações em qualquer propriedade estatística, ou seja
f x r f x
•A homogeneidade é uma propriedade direcional
x
y
LDEscoamentodesenvolvido
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Introdução
•Isotropia: é a invariância estatística das propriedades de um escoamento em relação a uma rotação no sistema de eixo. Compreende-se, então, que isotropia implica em homogeneidade. A recíproca não é verdadeira.
x
y
z
x'
y'
z'
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Cinemática da Turbulência Isotrópica
Formalismo Estatístico
Supor um experimento no qual se interessa por uma propriedade genérica , onde , sendo uma amostra no espaço . A propriedade se refere a um escoamento. A figura ilustra um conjunto n de amostras.
f x ,t ,
f x ,t ,
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Formalismo Estatístico
t
1,t,xf
w 1
1,xf
2,t,xf
t
w2
t
n,t,xf
nw
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Formalismo Estatístico
•Dadas as n amostras, pode-se proceder a definições estatísticas, como segue:
•Média de conjunto
N1
f x,t f x ,t ,wiN i 1
Média temporal
M1
f x,w f x ,t ti j ,w jiT j 1
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Formalismo Estatístico
Hipótese de Ergodicidade
f x f x
Momentos estatísticos de ordem n:
Seja o conjunto de variáveis abaixo:
a1f x ,t ,w velocidade
a2f x ,t ,w pressão
a3f x ,t ,w temperatura
anf x ,t ,w . . .
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Formalismo Estatístico
Define-se um momento estatístico de ordem n como sendo:
aa a n1 2f f ... f x ,t
N1 aa a n1 2lim f x,t ,w f x ,t ,w ... f x ,t ,wi i iNN i 1
•Exemplo: a a1 2f f u Tem-se, a intensidade turbulenta:
2u u u Momento de segunda ordem
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Formalismo Estatístico
•Ilustração:
t
xu
t,xu
t
t,xut,xut,xu
t
2u 2u
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Formalismo Estatístico
•Estendendo este exemplo às três componentes de velocidade, pode-se obter o tensor de Reynolds, composto de seis momentos de segunda ordem:
2u u u w
2x u w
2w u w w
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Formalismo Estatístico
•Observa-se que este tensor é simétrico e pode ser rescrito em notação tensorial como segue:
u uij i j
•O seu traço fornece a energia cinética turbulenta:
1 1 2 2 2k u u u wi i2 2
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Classificação da turbulência
Turbulência não homogênea e não isotrópica.Turbulência homogênea e não isotrópica.Turbulência homogênea e isotrópica.
Neste último caso, tem-se:
a aa a a an n1 2 1 2f f ... f x ,t f f ... f x r ,t
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Transformação das Equações de Navier-Stokes do espaço físico para o espaço de Fourier
Transformada de Fourier
•Seja uma função periódica qualquer. Define-se a sua transformada de Fourier como segue:
31 ik .xf k ,t e f x ,t dx
2V
1 1 1k 2 , ,
1 2 3
k k ,k ,k1 2 3
2
k1
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Transformação das Equações de Navier-Stokes do espaço físico para o espaço de Fourier
Transformada Inversa de Fourier
ik .x ˆf x ,t e f k ,t dk
V
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Operadores de interesse para transformação de Navier-Stokes
Transformada da derivada de uma função
f x ,t ik .x ˆg x ,t e f k ,t dkx x
V
ik .x ˆe ik f k ,t dk ik f x ,t
V
Seja
3f 1 fik .xg k ,t TF e dxx 2 x
V31 ik .x ˆik e f x ,t dx ik f k ,t
2V
Logo
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Operadores de interesse para transformação de Navier-Stokes
Transformada do gradiente de uma função
f f f ˆ ˆTF f TF , , i k ,k ,k f k ,t ikf k ,tx y zx y z
Transformada do divergente de um vetor
TF .V ik .V
![Page 23: Capítulo 4 Cinemática da Turbulência Homogênea e Isotrópica](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062404/552fc10b497959413d8c30b7/html5/thumbnails/23.jpg)
Operadores de interesse para transformação de Navier-Stokes
Transformada do laplaciano de um vetor
2 2TF V k V
Transformada do produto de duas funções
ˆ ˆˆ ˆTF f x ,t g x ,t f * g k ,t f p,t g k p,t dp
p
Integral de convolução: interações triádicas não lineares.
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Operadores de interesse para transformação de Navier-Stokes
Os parâmetros de transformação de f e g são:
p
e q
onde k p q
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Operadores de interesse para transformação de Navier-Stokes
2u upi iu ui jt x x x xj i j j
ui 0xi
•Consideremos as equações de NS no espaço físico
•Transformada da conservação da massa
uˆTF ik u TF .u ik .u
x
![Page 26: Capítulo 4 Cinemática da Turbulência Homogênea e Isotrópica](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062404/552fc10b497959413d8c30b7/html5/thumbnails/26.jpg)
Operadores de interesse para transformação de Navier-Stokes
^2uk
^u
k
Plano
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Operadores de interesse para transformação de Navier-Stokes
Transformada de Fourier das Equações de Navier-Stokes
u uTF
t t
k .u 0
Sendo
^ ^^ u u
k .u k . 0 ao planot t t
Então,
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Transformada de Fourier das Equações de Navier-Stokes
2 2TF u k u Este Termo transformado
também pertence ao plano .
ˆTF p ikp Nota-se, então, que a
transformada da pressão é colinear com o vetor número de onda, sendo portanto, perpendicular ao plano .
![Page 29: Capítulo 4 Cinemática da Turbulência Homogênea e Isotrópica](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062404/552fc10b497959413d8c30b7/html5/thumbnails/29.jpg)
Transformada de Fourier das Equações de Navier-Stokes
Transformada do Termo Não Linear
u 2TF u TF uu p 0t
Pertence ao plano
Também pertence ao
plano •A transformada do primeiro termo já é conhecida. Basta agora determinar a projeção do segundo termo sobre o plano .
![Page 30: Capítulo 4 Cinemática da Turbulência Homogênea e Isotrópica](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062404/552fc10b497959413d8c30b7/html5/thumbnails/30.jpg)
Transformada de Fourier das Equações de Navier-Stokes
Transformada do Termo Não Linear
k ki jkij ij 2k
•Seja o tensor projeção no plano defino abaixo
k k ki j i.a a a a a a k aij j j ij j i j j pi2 2k k
•Projetando-se um vetor qualquer com este tensor
![Page 31: Capítulo 4 Cinemática da Turbulência Homogênea e Isotrópica](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062404/552fc10b497959413d8c30b7/html5/thumbnails/31.jpg)
Transformada de Fourier das Equações de Navier-Stokes
Transformada do Termo Não Linear
k ki ia k a k a k 0pi i i i j j 2k
•Fazendo-se o produto escalar da projeção do vetor com o o vetor número de onda
•Isto demonstra que o tensor definido assim, projeta qualquer vetor no plano .
![Page 32: Capítulo 4 Cinemática da Turbulência Homogênea e Isotrópica](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062404/552fc10b497959413d8c30b7/html5/thumbnails/32.jpg)
k
pik
kqpjj pduuik
Projeção de kqp
jj pduuik
sobre o plano ^R
![Page 33: Capítulo 4 Cinemática da Turbulência Homogênea e Isotrópica](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062404/552fc10b497959413d8c30b7/html5/thumbnails/33.jpg)
Logo,
u 2 ˆ ˆ ˆk u ik k u p u q dpm jm jtp q k
•Observa-se que Navier-Stokes no espaço de Fourier não depende do conceito de pressão.
![Page 34: Capítulo 4 Cinemática da Turbulência Homogênea e Isotrópica](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062404/552fc10b497959413d8c30b7/html5/thumbnails/34.jpg)
•Cada termo desta equação pode ser interpretado fisicamente, sendo esta interpretação mais rica no espaço de Fourier, como está ilustrado abaixo.
u
t
Taxa de variação da quantidade de
movimento
2 ˆk u Fluxo líquido difusivo de quantidade de movimento.
![Page 35: Capítulo 4 Cinemática da Turbulência Homogênea e Isotrópica](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062404/552fc10b497959413d8c30b7/html5/thumbnails/35.jpg)
ˆ ˆik k u p u q dpm jm jp q k
Transferência líquida não linear de quantidade de movimento. Observa-se que este processo é o resultado das interações físicas entre as estruturas turbilhonares que compõem o escoamento. Aqui elas são modeladas pelas interações não lineares triádicas que compõem a integral de convolução
•Comentários sobre a solução desta equação.
![Page 36: Capítulo 4 Cinemática da Turbulência Homogênea e Isotrópica](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062404/552fc10b497959413d8c30b7/html5/thumbnails/36.jpg)
Tensor Espectral e Espectro de Energia Cinética Turbulenta
•Ele é definido como sendo a TF da correlação de segunda ordem das flutuações de velocidade relativas a duas direções
31 ik .rU k ,t e U r ,t drij ij2
V
U r ,t u r ,t u r x ,tij i j
onde
é um momento de Segunda ordem.
![Page 37: Capítulo 4 Cinemática da Turbulência Homogênea e Isotrópica](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062404/552fc10b497959413d8c30b7/html5/thumbnails/37.jpg)
•Observa-se que foi feita a hipótese de homogeneidade e isotropia.
•Fazendo-se i=j obtém-se o traço do tensor:
31 ik .rU k ,t e U r ,t drij ii2
V
•Define-se, a partir do traço do tensor espectral o espectro de energia cinética turbulenta
1U r 0,t E k ,t dkii2
0
![Page 38: Capítulo 4 Cinemática da Turbulência Homogênea e Isotrópica](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062404/552fc10b497959413d8c30b7/html5/thumbnails/38.jpg)
Na figura abaixo visualiza-se a distribuição espectral de energia cinética turbulenta, o que é uma forma poderosa de se entender como a atividade turbulenta de um escoamento se dá, em função dos tamanhos das diferentes estruturas turbilhonares que o caracterizam.
Log [E(k)]
Log(k)kI
Efeitos viscosospredominantes
Zona inercial doespectro
![Page 39: Capítulo 4 Cinemática da Turbulência Homogênea e Isotrópica](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062404/552fc10b497959413d8c30b7/html5/thumbnails/39.jpg)
I
Escoamento sobre um degrau, ilustrando o processo de transmissão de injeção de energia do escoamento médio para os turbilhões da camada cizalhante e para o interior da cavidade.
![Page 40: Capítulo 4 Cinemática da Turbulência Homogênea e Isotrópica](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062404/552fc10b497959413d8c30b7/html5/thumbnails/40.jpg)
I
Redistribuição deenergia
•Turbilhões maiores são formados de turbilhões menores.
• A energia de formação e manutenção destes turbilhões menores deve ser fornecida pelos turbilhões receptores de energia, pelo processo já explicado. Desta feita explica-se o processo físico da chamada cascata direta de energia, ou seja, o transporte não linear das grandes para as menores estruturas.
![Page 41: Capítulo 4 Cinemática da Turbulência Homogênea e Isotrópica](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062404/552fc10b497959413d8c30b7/html5/thumbnails/41.jpg)
Equação de Conservação da Energia Cinética Turbulenta
•Partindo-se das equações de Navier-Stokes, a qual é também válida para as flutuações de velocidade, multiplicando-as por u k ,ti
•Fazendo-se a média < >, manipulando-se algebricamente, obtém-se a equação de transporte para o tensor espectral e consequentemente para o seu traço:
^
^ ^ ^ ^U k ,tij 22 k U k ,t I u k ,t u p,t u q ,t dpdqij ijm i j mt
A função I depende de momentos de terceira ordem. Ela está bem definida em Lesieur (1995).
P k k ,t k k ,tijm m ij j im
O tensor
![Page 42: Capítulo 4 Cinemática da Turbulência Homogênea e Isotrópica](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062404/552fc10b497959413d8c30b7/html5/thumbnails/42.jpg)
Fazendo-se a soma sobre as três componentes do traço do tensor espectral (U11, U22 e U33) e utilizando-se a definição de energia cinética turbulenta, obtém-se a sua equação de transporte:
E k ,t 22 k E k ,t T k ,tt
• O primeiro termo desta equação representa a taxa de variação da energia cinética turbulenta;
• O segundo representa a transferência de energia ou a sua dissipação, por efeitos moleculares, dependendo do número de onda em questão;
• O termo do lado direito representa a transferência não linear entre os turbilhões de diferentes números de onda;
![Page 43: Capítulo 4 Cinemática da Turbulência Homogênea e Isotrópica](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062404/552fc10b497959413d8c30b7/html5/thumbnails/43.jpg)
kI k
E(k) Transferência não linearde energia: T(k,t)
Dissipaçãoviscosa
kI k
E(k,t)
t
Transiente de umespectro de energia
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Teoria de Kolmogorov (Kolmogorov, 1941)
•Esta é a teoria mais famosa sobre a turbulência isotrópica. Sua base é a análise dimensional.
•Hipótese de equilíbrio: toda energia injetada no espectro deve ser dissipada pelos efeitos viscosos.
•Na teoria de Kolmogorov, assume-se que o espectro de energia, para números de onda maiores que kI , depende apenas de e de k.
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•Fazendo-se uma análise dimensional baseada no teorema dos de Vaschy-Buckingham, Kolmogorov chegou à seguinte expressão:
E k k
•Determinando-se os valores de e de tem-se que:
2 / 3 5 / 3E k C kK
onde CK=1,4 é a constante universal de Kolmogorov, determinada analiticamente.
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•Uma variedade de experimentos em laboratório e de experimentos numéricos têm sido realizados objetivando-se a comprovação desta lei, para uma variedade de valores do número de Reynolds. Todos eles têm resultado na lei de Kolmogorov
Zona inercial
Zona dedissipação
viscosa
log [E(k)]
log (k)kI
k-5/3
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Escalas da turbulência
Antes de aprofundar qualquer tipo de estudo sobre os escoamentos turbulentos é interessante fazer uma análise das escalas características da turbulência:
•Tempo
•Comprimento
•Energia
•VorticidadeGrandes escalas Pequenas escalas
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Escalas da turbulência
•Escalas dissipativas de Kolmogorov: toma-se um turbilhão de tamanho característico r com uma velocidade característica vr originário em um fluido de viscosidade . Define-se então um número de Reynolds local:
v rrRer
•O quadrado deste parâmetro representa a importância relativa das forças de inércia e das forças viscosas.
•Pela lteoria de Kolmogorov, , ver Lesieur (1994)
1 / 3v rr
Escalas de Kolmogorov
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Escalas da turbulência
•Substituindo-se esta última equação na precedente, tem-se que:
1 / 34Re r /r
•Situando-se a escala r tal que os efeitos viscosos sejam pequenos pode-se afirmar que Rer é maior que 1. Se r diminui Rer diminui também e se r<ld , onde ld é definido abaixo,
1 / 43l /d
então Rer torna-se menor que 1 e os efeitos viscosos passam a dominar os efeitos de inércia. Esta escala é a escala dissipativa de Kolmogorov.
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•Logo os turbilhões de tamanhos menores que ld são dissipados por efeitos viscosos e não podem se desenvolver.
•Esta análise permite entender porque o espectro de energia cinética cai tão rapidamente quando se aproxima do número de onda dissipativo de Kolmogorov,
Zona inercial
Zona dedissipação
viscosa
log [E(k)]
log (k)kI
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•A título de exemplo, a escala de Kolmogorov no interior da camada limite atmosférica é da ordem de 1 mm, enquanto que no caso de uma turbulência de grelha é da ordem de 0,1 mm.
•Fazendo-se uma análise dimensional e expressando-se o tempo característico em função de e , chega-se à seguinte expressão para este parâmetro, relativo às estruturas dissipativas de Kolmogorov.
1 / 2
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•De forma semelhante deduz-se as escalas de velocidade, de vorticidade e de energia cinética turbulenta de Kolmogorov:
1 / 4v
1 / 2
1 / 2e
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Escalas da turbulência
Grandes Escalas da Turbulência
•As maiores estruturas de um escoamento são determinadas pela geometria que lhes dão origem.
•Sejam as escalas típicas do escoamento: L a escala de comprimento (por exemplo, o diâmetro de um cilindro) e U a escala de velocidade (a velocidade de transporte das grandes estruturas).
•Estabelece-se as seguintes relações:
Lt
U U
WL
2E U
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Escalas da turbulência
Taxa de dissipação viscosa
•Para os escoamentos turbulentos completamente desenvolvidos pode-se fazer a hipótese do equilíbrio: a dissipação viscosa é igual à taxa de injeção de energia cinética nas grandes escalas. • Desta forma, pode-se expressar a dissipação viscosa como uma função de grandezas independentes da viscosidade.
Zona inercial
Zona dedissipação
viscosa
log [E(k)]
log (k)kI
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Escalas da turbulência
Taxa de dissipação viscosa
•Desta forma pode-se expressar a taxa de dissipação como segue:
2 3U U
t L
•Com esta equação diz-se que a taxa de dissipação pode ser estimada a partir de parâmetros relativos às grandes escalas, sem a participação da viscosidade.
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Escalas da turbulência
Relações Entre as Escalas da turbulência
•Dividindo-se as escalas de Kolmogorov pelas escalas das grandes estruturas da turbulência tem-se as relações procuradas:
L 3 / 4ReLld
URe 1 / 4Lvr
1 / 2ReLW
E 1 / 2ReLe
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Escalas Moleculares Versus Escalas de Kolmogorov
•Pela teoria cinética dos gases
c
c
3 / 4U 1 / 4l Ld
•Já tinha sido visto que:
•Dividindo-se uma equação pela outra, tem-se que
M1 / 4ld ReL
•Com este resultado, chega-se à conclusão que as escalas de Kolmogorov são sempre maiores que as escalas moleculares, pelo menos para M<15.