![Page 1: Capitole Speciale de Informatica˘ - PaginaPrincipalaweb.info.uvt.ro/~mmarin/lectures/CSI/CSI-01-Slides.pdf · Subiectul cursului:Capitole speciale din calculul simbolic. Evaluare:](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022020302/5a78ae757f8b9a273b8d2451/html5/thumbnails/1.jpg)
Capitole Speciale de InformaticaIntroductere în Calculul Simbolic
Mircea [email protected]
10 octombrie 2011
Mircea Marin [email protected] Capitole Speciale de Informatica
![Page 2: Capitole Speciale de Informatica˘ - PaginaPrincipalaweb.info.uvt.ro/~mmarin/lectures/CSI/CSI-01-Slides.pdf · Subiectul cursului:Capitole speciale din calculul simbolic. Evaluare:](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022020302/5a78ae757f8b9a273b8d2451/html5/thumbnails/2.jpg)
Aspecte organizatorice
Prezentator si TA: Mircea MarinPagina web a cursului: http://web.info.uvt.ro/ mmarin/lectures/CSI/
materiale de curs, laborator, etc.Subiectul cursului: Capitole speciale din calculul simbolic.
Evaluare: Probleme si exercitii indicate la sfârsitulfiecarui curs (50%), folosind sistemulMathematica.Examen scris final.
Mircea Marin [email protected] Capitole Speciale de Informatica
![Page 3: Capitole Speciale de Informatica˘ - PaginaPrincipalaweb.info.uvt.ro/~mmarin/lectures/CSI/CSI-01-Slides.pdf · Subiectul cursului:Capitole speciale din calculul simbolic. Evaluare:](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022020302/5a78ae757f8b9a273b8d2451/html5/thumbnails/3.jpg)
Despre acest curs
Algoritmi de manipulare a expresiilor matematice(polinoame, functii trigonometrice, integrale, etc.) siformule simbolice (ecuatii, inecuatii, însumari simbolice ,etc.)Algoritmi referitori la: aritmetica multi-precizie, calculul cupolinoame (factorizare, rezolvarea sistemelor de ecuatiipolinomiale, etc.), integrare, etc.Experimente în Mathematica cu implementari concrete alealgoritmilor prezentati în curs, folosind Mathematica.
Mircea Marin [email protected] Capitole Speciale de Informatica
![Page 4: Capitole Speciale de Informatica˘ - PaginaPrincipalaweb.info.uvt.ro/~mmarin/lectures/CSI/CSI-01-Slides.pdf · Subiectul cursului:Capitole speciale din calculul simbolic. Evaluare:](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022020302/5a78ae757f8b9a273b8d2451/html5/thumbnails/4.jpg)
Despre acest curs
Algoritmi de manipulare a expresiilor matematice(polinoame, functii trigonometrice, integrale, etc.) siformule simbolice (ecuatii, inecuatii, însumari simbolice ,etc.)
Algoritmi referitori la: aritmetica multi-precizie, calculul cupolinoame (factorizare, rezolvarea sistemelor de ecuatiipolinomiale, etc.), integrare, etc.Experimente în Mathematica cu implementari concrete alealgoritmilor prezentati în curs, folosind Mathematica.
Mircea Marin [email protected] Capitole Speciale de Informatica
![Page 5: Capitole Speciale de Informatica˘ - PaginaPrincipalaweb.info.uvt.ro/~mmarin/lectures/CSI/CSI-01-Slides.pdf · Subiectul cursului:Capitole speciale din calculul simbolic. Evaluare:](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022020302/5a78ae757f8b9a273b8d2451/html5/thumbnails/5.jpg)
Despre acest curs
Algoritmi de manipulare a expresiilor matematice(polinoame, functii trigonometrice, integrale, etc.) siformule simbolice (ecuatii, inecuatii, însumari simbolice ,etc.)Algoritmi referitori la: aritmetica multi-precizie, calculul cupolinoame (factorizare, rezolvarea sistemelor de ecuatiipolinomiale, etc.), integrare, etc.
Experimente în Mathematica cu implementari concrete alealgoritmilor prezentati în curs, folosind Mathematica.
Mircea Marin [email protected] Capitole Speciale de Informatica
![Page 6: Capitole Speciale de Informatica˘ - PaginaPrincipalaweb.info.uvt.ro/~mmarin/lectures/CSI/CSI-01-Slides.pdf · Subiectul cursului:Capitole speciale din calculul simbolic. Evaluare:](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022020302/5a78ae757f8b9a273b8d2451/html5/thumbnails/6.jpg)
Despre acest curs
Algoritmi de manipulare a expresiilor matematice(polinoame, functii trigonometrice, integrale, etc.) siformule simbolice (ecuatii, inecuatii, însumari simbolice ,etc.)Algoritmi referitori la: aritmetica multi-precizie, calculul cupolinoame (factorizare, rezolvarea sistemelor de ecuatiipolinomiale, etc.), integrare, etc.Experimente în Mathematica cu implementari concrete alealgoritmilor prezentati în curs, folosind Mathematica.
Mircea Marin [email protected] Capitole Speciale de Informatica
![Page 7: Capitole Speciale de Informatica˘ - PaginaPrincipalaweb.info.uvt.ro/~mmarin/lectures/CSI/CSI-01-Slides.pdf · Subiectul cursului:Capitole speciale din calculul simbolic. Evaluare:](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022020302/5a78ae757f8b9a273b8d2451/html5/thumbnails/7.jpg)
Surse bibliografice
1 F. Winkler. Polynomial Algorithms in Computer Algebra.Springer-Verlag 1996.
2 J. von zur Gaten, J. Gerhard. Modern Computer Algebra.Cambridge University Press 2003.
3 J. Grabmeier, E. Kaltofen, V. Weispfenning. ComputerAlgebra Handbook. Springer-Verlag 2003.
Mircea Marin [email protected] Capitole Speciale de Informatica
![Page 8: Capitole Speciale de Informatica˘ - PaginaPrincipalaweb.info.uvt.ro/~mmarin/lectures/CSI/CSI-01-Slides.pdf · Subiectul cursului:Capitole speciale din calculul simbolic. Evaluare:](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022020302/5a78ae757f8b9a273b8d2451/html5/thumbnails/8.jpg)
IntroductionCe este calculul simbolic?
Calcul cu expresii si formule simbolice, folosind de regula uncalculator.Probleme tipice:
√4 + 2
√3 +
√4− 2
√3
Simplific−−−−−→?∫ 12
0x
x2−adx Calculeaz−−−−−−→?∑n
k=11
k·(k+1)Calculeaz−−−−−−→?{
x4 + 3 x2 y = 0x2 + y2 = 1
Rezolv−−−−→ (x , y) =?
(∀x)(∃y)(x2 + y2 − 4 > 0 ∧ y2 − 2 x + 2 < 0) Decide−−−−→ adevarat sau fals?
Obiectiv:
designul si implementarea de algoritmi pentru aceste tipuride probleme.
⇒ automatizarea muncii de rutina a inginerilor,matematicienilor, etc.
Mircea Marin [email protected] Capitole Speciale de Informatica
![Page 9: Capitole Speciale de Informatica˘ - PaginaPrincipalaweb.info.uvt.ro/~mmarin/lectures/CSI/CSI-01-Slides.pdf · Subiectul cursului:Capitole speciale din calculul simbolic. Evaluare:](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022020302/5a78ae757f8b9a273b8d2451/html5/thumbnails/9.jpg)
IntroductionCe este calculul simbolic?
Calcul cu expresii si formule simbolice, folosind de regula uncalculator.Probleme tipice:
√4 + 2
√3 +
√4− 2
√3
Simplific−−−−−→?∫ 12
0x
x2−adx Calculeaz−−−−−−→?∑n
k=11
k·(k+1)Calculeaz−−−−−−→?{
x4 + 3 x2 y = 0x2 + y2 = 1
Rezolv−−−−→ (x , y) =?
(∀x)(∃y)(x2 + y2 − 4 > 0 ∧ y2 − 2 x + 2 < 0) Decide−−−−→ adevarat sau fals?
Obiectiv:designul si implementarea de algoritmi pentru aceste tipuride probleme.
⇒ automatizarea muncii de rutina a inginerilor,matematicienilor, etc.
Mircea Marin [email protected] Capitole Speciale de Informatica
![Page 10: Capitole Speciale de Informatica˘ - PaginaPrincipalaweb.info.uvt.ro/~mmarin/lectures/CSI/CSI-01-Slides.pdf · Subiectul cursului:Capitole speciale din calculul simbolic. Evaluare:](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022020302/5a78ae757f8b9a273b8d2451/html5/thumbnails/10.jpg)
IntroductionCe este calculul simbolic?
Calcul cu expresii si formule simbolice, folosind de regula uncalculator.Probleme tipice:
√4 + 2
√3 +
√4− 2
√3
Simplific−−−−−→?∫ 12
0x
x2−adx Calculeaz−−−−−−→?∑n
k=11
k·(k+1)Calculeaz−−−−−−→?{
x4 + 3 x2 y = 0x2 + y2 = 1
Rezolv−−−−→ (x , y) =?
(∀x)(∃y)(x2 + y2 − 4 > 0 ∧ y2 − 2 x + 2 < 0) Decide−−−−→ adevarat sau fals?
Obiectiv:designul si implementarea de algoritmi pentru aceste tipuride probleme.
⇒ automatizarea muncii de rutina a inginerilor,matematicienilor, etc.
Mircea Marin [email protected] Capitole Speciale de Informatica
![Page 11: Capitole Speciale de Informatica˘ - PaginaPrincipalaweb.info.uvt.ro/~mmarin/lectures/CSI/CSI-01-Slides.pdf · Subiectul cursului:Capitole speciale din calculul simbolic. Evaluare:](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022020302/5a78ae757f8b9a273b8d2451/html5/thumbnails/11.jpg)
Calculul simbolic: domenii de cercetare
Logica computatonala: demonstrarea automata ateoremelor, programarea logica, etc.Algebra computationala: calculul cu expresii matematice înformat simbolic.
Vom prezenta doar subiecte legate de legate de algebracomputationala.
Mircea Marin [email protected] Capitole Speciale de Informatica
![Page 12: Capitole Speciale de Informatica˘ - PaginaPrincipalaweb.info.uvt.ro/~mmarin/lectures/CSI/CSI-01-Slides.pdf · Subiectul cursului:Capitole speciale din calculul simbolic. Evaluare:](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022020302/5a78ae757f8b9a273b8d2451/html5/thumbnails/12.jpg)
Caracteristicile algebrei computationale (CA)
Manipuleaza expresii simbolice si calculeaza solutii generice.Difera de calculus numeric, care opereaza preponderent cunumere iar rezultatele sunt adesea aproximative.
Rezultatele sunt exacte, fara erori de aproximare.
Example (Calcul simbolic versus Calcul numeric)
1
{x4 + 2x2y2 + 3x2y + y4 − y3 = 0
x2 + y2 − 1 = 0solutie exacta: (
√3/2,−1/2);
solutie aproximativa (numerica): (0.86602 . . . ,−0.5).
2∫ x
x2−a dx = ln |x2−a|2 → rezultat parametric∫ 1
20
xx2−1 dx = 0.1438 . . . → aproximare numerica
3√
2 + 1− 1√2−1
→{≈ 4.44089E−16
Simplify−−−−−→ 0.
Mircea Marin [email protected] Capitole Speciale de Informatica
![Page 13: Capitole Speciale de Informatica˘ - PaginaPrincipalaweb.info.uvt.ro/~mmarin/lectures/CSI/CSI-01-Slides.pdf · Subiectul cursului:Capitole speciale din calculul simbolic. Evaluare:](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022020302/5a78ae757f8b9a273b8d2451/html5/thumbnails/13.jpg)
Caracteristicile algebrei computationale (CA)
Manipuleaza expresii simbolice si calculeaza solutii generice.Difera de calculus numeric, care opereaza preponderent cunumere iar rezultatele sunt adesea aproximative.Rezultatele sunt exacte, fara erori de aproximare.
Example (Calcul simbolic versus Calcul numeric)
1
{x4 + 2x2y2 + 3x2y + y4 − y3 = 0
x2 + y2 − 1 = 0solutie exacta: (
√3/2,−1/2);
solutie aproximativa (numerica): (0.86602 . . . ,−0.5).
2∫ x
x2−a dx = ln |x2−a|2 → rezultat parametric∫ 1
20
xx2−1 dx = 0.1438 . . . → aproximare numerica
3√
2 + 1− 1√2−1
→{≈ 4.44089E−16
Simplify−−−−−→ 0.
Mircea Marin [email protected] Capitole Speciale de Informatica
![Page 14: Capitole Speciale de Informatica˘ - PaginaPrincipalaweb.info.uvt.ro/~mmarin/lectures/CSI/CSI-01-Slides.pdf · Subiectul cursului:Capitole speciale din calculul simbolic. Evaluare:](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022020302/5a78ae757f8b9a273b8d2451/html5/thumbnails/14.jpg)
Caracteristicile algebrei computationale (CA)
Manipuleaza expresii simbolice si calculeaza solutii generice.Difera de calculus numeric, care opereaza preponderent cunumere iar rezultatele sunt adesea aproximative.Rezultatele sunt exacte, fara erori de aproximare.
Example (Calcul simbolic versus Calcul numeric)
1
{x4 + 2x2y2 + 3x2y + y4 − y3 = 0
x2 + y2 − 1 = 0solutie exacta: (
√3/2,−1/2);
solutie aproximativa (numerica): (0.86602 . . . ,−0.5).
2∫ x
x2−a dx = ln |x2−a|2 → rezultat parametric∫ 1
20
xx2−1 dx = 0.1438 . . . → aproximare numerica
3√
2 + 1− 1√2−1
→{≈ 4.44089E−16
Simplify−−−−−→ 0.
Mircea Marin [email protected] Capitole Speciale de Informatica
![Page 15: Capitole Speciale de Informatica˘ - PaginaPrincipalaweb.info.uvt.ro/~mmarin/lectures/CSI/CSI-01-Slides.pdf · Subiectul cursului:Capitole speciale din calculul simbolic. Evaluare:](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022020302/5a78ae757f8b9a273b8d2451/html5/thumbnails/15.jpg)
Caracteristicile algebrei computationale (CA)
Manipuleaza expresii simbolice si calculeaza solutii generice.Difera de calculus numeric, care opereaza preponderent cunumere iar rezultatele sunt adesea aproximative.Rezultatele sunt exacte, fara erori de aproximare.
Example (Calcul simbolic versus Calcul numeric)
1
{x4 + 2x2y2 + 3x2y + y4 − y3 = 0
x2 + y2 − 1 = 0solutie exacta: (
√3/2,−1/2);
solutie aproximativa (numerica): (0.86602 . . . ,−0.5).
2∫ x
x2−a dx = ln |x2−a|2 → rezultat parametric∫ 1
20
xx2−1 dx = 0.1438 . . . → aproximare numerica
3√
2 + 1− 1√2−1
→{≈ 4.44089E−16
Simplify−−−−−→ 0.
Mircea Marin [email protected] Capitole Speciale de Informatica
![Page 16: Capitole Speciale de Informatica˘ - PaginaPrincipalaweb.info.uvt.ro/~mmarin/lectures/CSI/CSI-01-Slides.pdf · Subiectul cursului:Capitole speciale din calculul simbolic. Evaluare:](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022020302/5a78ae757f8b9a273b8d2451/html5/thumbnails/16.jpg)
Caracteristicile algebrei computationale (CA)
Manipuleaza expresii simbolice si calculeaza solutii generice.Difera de calculus numeric, care opereaza preponderent cunumere iar rezultatele sunt adesea aproximative.Rezultatele sunt exacte, fara erori de aproximare.
Example (Calcul simbolic versus Calcul numeric)
1
{x4 + 2x2y2 + 3x2y + y4 − y3 = 0
x2 + y2 − 1 = 0solutie exacta: (
√3/2,−1/2);
solutie aproximativa (numerica): (0.86602 . . . ,−0.5).
2∫ x
x2−a dx = ln |x2−a|2 → rezultat parametric∫ 1
20
xx2−1 dx = 0.1438 . . . → aproximare numerica
3√
2 + 1− 1√2−1
→{≈ 4.44089E−16
Simplify−−−−−→ 0.
Mircea Marin [email protected] Capitole Speciale de Informatica
![Page 17: Capitole Speciale de Informatica˘ - PaginaPrincipalaweb.info.uvt.ro/~mmarin/lectures/CSI/CSI-01-Slides.pdf · Subiectul cursului:Capitole speciale din calculul simbolic. Evaluare:](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022020302/5a78ae757f8b9a273b8d2451/html5/thumbnails/17.jpg)
Algebra ComputationalaAlte avantaje
De multe ori este benefic sa se simplifice o expresiealgebrica înainte de a o evalua numeric⇒ calcul mai scurtsi cu mai putine erori de aproximare numerica.
algoritmii CA pot produce rezultate în forma algebrica înloc sa calculeze valori numerice pentru puncte specifice deevaluare.Example:
∫ xx2−a dx = ln |x2−a|
2
Algoritmi de decizie pentru: factorizarea of polinoamelor;echivalenta expresiilor algebrice (de ex.,√
2 + 1 = 1/(√
2− 1)); integrarea simbolica a unorexpresii, etc.
Mircea Marin [email protected] Capitole Speciale de Informatica
![Page 18: Capitole Speciale de Informatica˘ - PaginaPrincipalaweb.info.uvt.ro/~mmarin/lectures/CSI/CSI-01-Slides.pdf · Subiectul cursului:Capitole speciale din calculul simbolic. Evaluare:](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022020302/5a78ae757f8b9a273b8d2451/html5/thumbnails/18.jpg)
Algebra ComputationalaAlte avantaje
De multe ori este benefic sa se simplifice o expresiealgebrica înainte de a o evalua numeric⇒ calcul mai scurtsi cu mai putine erori de aproximare numerica.algoritmii CA pot produce rezultate în forma algebrica înloc sa calculeze valori numerice pentru puncte specifice deevaluare.Example:
∫ xx2−a dx = ln |x2−a|
2
Algoritmi de decizie pentru: factorizarea of polinoamelor;echivalenta expresiilor algebrice (de ex.,√
2 + 1 = 1/(√
2− 1)); integrarea simbolica a unorexpresii, etc.
Mircea Marin [email protected] Capitole Speciale de Informatica
![Page 19: Capitole Speciale de Informatica˘ - PaginaPrincipalaweb.info.uvt.ro/~mmarin/lectures/CSI/CSI-01-Slides.pdf · Subiectul cursului:Capitole speciale din calculul simbolic. Evaluare:](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022020302/5a78ae757f8b9a273b8d2451/html5/thumbnails/19.jpg)
Algebra ComputationalaAlte avantaje
De multe ori este benefic sa se simplifice o expresiealgebrica înainte de a o evalua numeric⇒ calcul mai scurtsi cu mai putine erori de aproximare numerica.algoritmii CA pot produce rezultate în forma algebrica înloc sa calculeze valori numerice pentru puncte specifice deevaluare.Example:
∫ xx2−a dx = ln |x2−a|
2
Algoritmi de decizie pentru: factorizarea of polinoamelor;echivalenta expresiilor algebrice (de ex.,√
2 + 1 = 1/(√
2− 1)); integrarea simbolica a unorexpresii, etc.
Mircea Marin [email protected] Capitole Speciale de Informatica
![Page 20: Capitole Speciale de Informatica˘ - PaginaPrincipalaweb.info.uvt.ro/~mmarin/lectures/CSI/CSI-01-Slides.pdf · Subiectul cursului:Capitole speciale din calculul simbolic. Evaluare:](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022020302/5a78ae757f8b9a273b8d2451/html5/thumbnails/20.jpg)
Computer AlgebraLimitari
1 Algoritmii de algebra computationala sunt de obicei multimai complecsi (comsumatori de timp si memorie) decâtalgoritmii numerici. Uneori, calculul unei solutii simboliceexacte este foarte costisitor.
2 Exista probleme pe care înca nu stim cum sa le rezolvamsimbolic.
3 Unele probleme nu pot fi rezolvate simbolic.
Exemplu
În general, doar polinoamele de grad ≤ 4 pot fi rezolvatesimbolic (prin radicali).
Mircea Marin [email protected] Capitole Speciale de Informatica
![Page 21: Capitole Speciale de Informatica˘ - PaginaPrincipalaweb.info.uvt.ro/~mmarin/lectures/CSI/CSI-01-Slides.pdf · Subiectul cursului:Capitole speciale din calculul simbolic. Evaluare:](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022020302/5a78ae757f8b9a273b8d2451/html5/thumbnails/21.jpg)
Computer AlgebraLimitari
1 Algoritmii de algebra computationala sunt de obicei multimai complecsi (comsumatori de timp si memorie) decâtalgoritmii numerici. Uneori, calculul unei solutii simboliceexacte este foarte costisitor.
2 Exista probleme pe care înca nu stim cum sa le rezolvamsimbolic.
3 Unele probleme nu pot fi rezolvate simbolic.
Exemplu
În general, doar polinoamele de grad ≤ 4 pot fi rezolvatesimbolic (prin radicali).
Mircea Marin [email protected] Capitole Speciale de Informatica
![Page 22: Capitole Speciale de Informatica˘ - PaginaPrincipalaweb.info.uvt.ro/~mmarin/lectures/CSI/CSI-01-Slides.pdf · Subiectul cursului:Capitole speciale din calculul simbolic. Evaluare:](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022020302/5a78ae757f8b9a273b8d2451/html5/thumbnails/22.jpg)
Computer AlgebraLimitari
1 Algoritmii de algebra computationala sunt de obicei multimai complecsi (comsumatori de timp si memorie) decâtalgoritmii numerici. Uneori, calculul unei solutii simboliceexacte este foarte costisitor.
2 Exista probleme pe care înca nu stim cum sa le rezolvamsimbolic.
3 Unele probleme nu pot fi rezolvate simbolic.
Exemplu
În general, doar polinoamele de grad ≤ 4 pot fi rezolvatesimbolic (prin radicali).
Mircea Marin [email protected] Capitole Speciale de Informatica
![Page 23: Capitole Speciale de Informatica˘ - PaginaPrincipalaweb.info.uvt.ro/~mmarin/lectures/CSI/CSI-01-Slides.pdf · Subiectul cursului:Capitole speciale din calculul simbolic. Evaluare:](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022020302/5a78ae757f8b9a273b8d2451/html5/thumbnails/23.jpg)
Aplicatii
"Problema mutarii pianului": sa se gaseasca o cale care vapermite mutarea unui corp B de la o pozitie initiala a opozitie destinatie dorita, în asa fel încât sa nu se loveascanici un obstacol.
J.T. Schwartz, M. Sharir. On the “Piano Movers” Problem.II. General Techniques for computing topological propertiesof real algebraic manifolds. Adv. Appl. Math. 4:298-351.1983.
Mircea Marin [email protected] Capitole Speciale de Informatica
![Page 24: Capitole Speciale de Informatica˘ - PaginaPrincipalaweb.info.uvt.ro/~mmarin/lectures/CSI/CSI-01-Slides.pdf · Subiectul cursului:Capitole speciale din calculul simbolic. Evaluare:](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022020302/5a78ae757f8b9a273b8d2451/html5/thumbnails/24.jpg)
Applicatii"Mutarea pianului"
Ideea de baza: se reprezinta pozitiile posibile aleobiectului B ca o multime semi-algebrica L în spatiul Rm –reuniune, intersectie sau diferenta de multimi{(x1, . . . , xm)|p(x1, . . . , xm) ∼ 0}, pentru care p este unpolinom cu coeficienti rationali si ∼∈ {=, <,>}.
Problema devine: “Pot fi conectate doua puncte P1, P2 aleunei semi-varietati algebrice L cu o cale, adica, fac eleparte din aceeasi componenta conexa a lui L?”Algoritmul CAD al lui Collins de eliminare a cuantificatorilorîn câmpuri reale închise poate fi folosit pentru a aflaraspunsul.
Mircea Marin [email protected] Capitole Speciale de Informatica
![Page 25: Capitole Speciale de Informatica˘ - PaginaPrincipalaweb.info.uvt.ro/~mmarin/lectures/CSI/CSI-01-Slides.pdf · Subiectul cursului:Capitole speciale din calculul simbolic. Evaluare:](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022020302/5a78ae757f8b9a273b8d2451/html5/thumbnails/25.jpg)
Applicatii"Mutarea pianului"
Ideea de baza: se reprezinta pozitiile posibile aleobiectului B ca o multime semi-algebrica L în spatiul Rm –reuniune, intersectie sau diferenta de multimi{(x1, . . . , xm)|p(x1, . . . , xm) ∼ 0}, pentru care p este unpolinom cu coeficienti rationali si ∼∈ {=, <,>}.Problema devine: “Pot fi conectate doua puncte P1, P2 aleunei semi-varietati algebrice L cu o cale, adica, fac eleparte din aceeasi componenta conexa a lui L?”
Algoritmul CAD al lui Collins de eliminare a cuantificatorilorîn câmpuri reale închise poate fi folosit pentru a aflaraspunsul.
Mircea Marin [email protected] Capitole Speciale de Informatica
![Page 26: Capitole Speciale de Informatica˘ - PaginaPrincipalaweb.info.uvt.ro/~mmarin/lectures/CSI/CSI-01-Slides.pdf · Subiectul cursului:Capitole speciale din calculul simbolic. Evaluare:](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022020302/5a78ae757f8b9a273b8d2451/html5/thumbnails/26.jpg)
Applicatii"Mutarea pianului"
Ideea de baza: se reprezinta pozitiile posibile aleobiectului B ca o multime semi-algebrica L în spatiul Rm –reuniune, intersectie sau diferenta de multimi{(x1, . . . , xm)|p(x1, . . . , xm) ∼ 0}, pentru care p este unpolinom cu coeficienti rationali si ∼∈ {=, <,>}.Problema devine: “Pot fi conectate doua puncte P1, P2 aleunei semi-varietati algebrice L cu o cale, adica, fac eleparte din aceeasi componenta conexa a lui L?”Algoritmul CAD al lui Collins de eliminare a cuantificatorilorîn câmpuri reale închise poate fi folosit pentru a aflaraspunsul.
Mircea Marin [email protected] Capitole Speciale de Informatica
![Page 27: Capitole Speciale de Informatica˘ - PaginaPrincipalaweb.info.uvt.ro/~mmarin/lectures/CSI/CSI-01-Slides.pdf · Subiectul cursului:Capitole speciale din calculul simbolic. Evaluare:](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022020302/5a78ae757f8b9a273b8d2451/html5/thumbnails/27.jpg)
Demonstrarea teoremelor geometrice
Piciorul perpendicularei pe ipotenuza unui triunghi dreptunghicsi mijloacele laturilor triunghiului sunt puncte conciclice.
Mircea Marin [email protected] Capitole Speciale de Informatica
![Page 28: Capitole Speciale de Informatica˘ - PaginaPrincipalaweb.info.uvt.ro/~mmarin/lectures/CSI/CSI-01-Slides.pdf · Subiectul cursului:Capitole speciale din calculul simbolic. Evaluare:](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022020302/5a78ae757f8b9a273b8d2451/html5/thumbnails/28.jpg)
Demonstrarea teoremelor geometrice (continuare)
The hypotheses and conclusion of this geometricstatement are polynomial equations in the coordinates ofthe points in the figure.
Hypotheses:h1 ≡ 2y3 − y1 = 0 (E is the midpoint of AC)h2 ≡ (y7 − y3)
2 + y28 − (y7 − y4)
2 − (y8 − y5)2 = 0 (EM = FM)
...hm ≡ . . .
Conclusion: EM = HMc ≡ (y7 − y3)
2 + y28 − (y7 − y9)
2 − (y8 − y10)2 = 0
We must show h1 = 0 ∧ . . . ∧ hm = 0⇒ c = 0.
This kind of questions can be answered by a Gröbnerbasis computation.
Mircea Marin [email protected] Capitole Speciale de Informatica
![Page 29: Capitole Speciale de Informatica˘ - PaginaPrincipalaweb.info.uvt.ro/~mmarin/lectures/CSI/CSI-01-Slides.pdf · Subiectul cursului:Capitole speciale din calculul simbolic. Evaluare:](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022020302/5a78ae757f8b9a273b8d2451/html5/thumbnails/29.jpg)
Demonstrarea teoremelor geometrice (continuare)
The hypotheses and conclusion of this geometricstatement are polynomial equations in the coordinates ofthe points in the figure.Hypotheses:h1 ≡ 2y3 − y1 = 0 (E is the midpoint of AC)h2 ≡ (y7 − y3)
2 + y28 − (y7 − y4)
2 − (y8 − y5)2 = 0 (EM = FM)
...hm ≡ . . .
Conclusion: EM = HMc ≡ (y7 − y3)
2 + y28 − (y7 − y9)
2 − (y8 − y10)2 = 0
We must show h1 = 0 ∧ . . . ∧ hm = 0⇒ c = 0.
This kind of questions can be answered by a Gröbnerbasis computation.
Mircea Marin [email protected] Capitole Speciale de Informatica
![Page 30: Capitole Speciale de Informatica˘ - PaginaPrincipalaweb.info.uvt.ro/~mmarin/lectures/CSI/CSI-01-Slides.pdf · Subiectul cursului:Capitole speciale din calculul simbolic. Evaluare:](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022020302/5a78ae757f8b9a273b8d2451/html5/thumbnails/30.jpg)
Demonstrarea teoremelor geometrice (continuare)
The hypotheses and conclusion of this geometricstatement are polynomial equations in the coordinates ofthe points in the figure.Hypotheses:h1 ≡ 2y3 − y1 = 0 (E is the midpoint of AC)h2 ≡ (y7 − y3)
2 + y28 − (y7 − y4)
2 − (y8 − y5)2 = 0 (EM = FM)
...hm ≡ . . .
Conclusion: EM = HMc ≡ (y7 − y3)
2 + y28 − (y7 − y9)
2 − (y8 − y10)2 = 0
We must show h1 = 0 ∧ . . . ∧ hm = 0⇒ c = 0.
This kind of questions can be answered by a Gröbnerbasis computation.
Mircea Marin [email protected] Capitole Speciale de Informatica
![Page 31: Capitole Speciale de Informatica˘ - PaginaPrincipalaweb.info.uvt.ro/~mmarin/lectures/CSI/CSI-01-Slides.pdf · Subiectul cursului:Capitole speciale din calculul simbolic. Evaluare:](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022020302/5a78ae757f8b9a273b8d2451/html5/thumbnails/31.jpg)
Demonstrarea teoremelor geometrice (continuare)
The hypotheses and conclusion of this geometricstatement are polynomial equations in the coordinates ofthe points in the figure.Hypotheses:h1 ≡ 2y3 − y1 = 0 (E is the midpoint of AC)h2 ≡ (y7 − y3)
2 + y28 − (y7 − y4)
2 − (y8 − y5)2 = 0 (EM = FM)
...hm ≡ . . .
Conclusion: EM = HMc ≡ (y7 − y3)
2 + y28 − (y7 − y9)
2 − (y8 − y10)2 = 0
We must show h1 = 0 ∧ . . . ∧ hm = 0⇒ c = 0.
This kind of questions can be answered by a Gröbnerbasis computation.
Mircea Marin [email protected] Capitole Speciale de Informatica
![Page 32: Capitole Speciale de Informatica˘ - PaginaPrincipalaweb.info.uvt.ro/~mmarin/lectures/CSI/CSI-01-Slides.pdf · Subiectul cursului:Capitole speciale din calculul simbolic. Evaluare:](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022020302/5a78ae757f8b9a273b8d2451/html5/thumbnails/32.jpg)
Demonstrarea teoremelor geometrice (continuare)
The hypotheses and conclusion of this geometricstatement are polynomial equations in the coordinates ofthe points in the figure.Hypotheses:h1 ≡ 2y3 − y1 = 0 (E is the midpoint of AC)h2 ≡ (y7 − y3)
2 + y28 − (y7 − y4)
2 − (y8 − y5)2 = 0 (EM = FM)
...hm ≡ . . .
Conclusion: EM = HMc ≡ (y7 − y3)
2 + y28 − (y7 − y9)
2 − (y8 − y10)2 = 0
We must show h1 = 0 ∧ . . . ∧ hm = 0⇒ c = 0.This kind of questions can be answered by a Gröbnerbasis computation.
Mircea Marin [email protected] Capitole Speciale de Informatica
![Page 33: Capitole Speciale de Informatica˘ - PaginaPrincipalaweb.info.uvt.ro/~mmarin/lectures/CSI/CSI-01-Slides.pdf · Subiectul cursului:Capitole speciale din calculul simbolic. Evaluare:](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022020302/5a78ae757f8b9a273b8d2451/html5/thumbnails/33.jpg)
Analysis of algebraic varieties
Algebraic variety: set of points determined by a system ofpolynomial equations.
Example (tacnode curve)
f (x , y) = 2x4 − 3x2y + y4 − 2y3 + y2 = 0.
1 How can we draw this curve? -2 -1 0 1 20.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
2 How can we compute the singular points? (Singularpoint=point where branches intersect)
Mircea Marin [email protected] Capitole Speciale de Informatica
![Page 34: Capitole Speciale de Informatica˘ - PaginaPrincipalaweb.info.uvt.ro/~mmarin/lectures/CSI/CSI-01-Slides.pdf · Subiectul cursului:Capitole speciale din calculul simbolic. Evaluare:](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022020302/5a78ae757f8b9a273b8d2451/html5/thumbnails/34.jpg)
Analysis of algebraic varieties
Algebraic variety: set of points determined by a system ofpolynomial equations.
Example (tacnode curve)
f (x , y) = 2x4 − 3x2y + y4 − 2y3 + y2 = 0.
1 How can we draw this curve? -2 -1 0 1 20.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
2 How can we compute the singular points? (Singularpoint=point where branches intersect)
Mircea Marin [email protected] Capitole Speciale de Informatica
![Page 35: Capitole Speciale de Informatica˘ - PaginaPrincipalaweb.info.uvt.ro/~mmarin/lectures/CSI/CSI-01-Slides.pdf · Subiectul cursului:Capitole speciale din calculul simbolic. Evaluare:](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022020302/5a78ae757f8b9a273b8d2451/html5/thumbnails/35.jpg)
Analysis of algebraic varieties
Algebraic variety: set of points determined by a system ofpolynomial equations.
Example (tacnode curve)
f (x , y) = 2x4 − 3x2y + y4 − 2y3 + y2 = 0.
1 How can we draw this curve? -2 -1 0 1 20.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
2 How can we compute the singular points? (Singularpoint=point where branches intersect)
Mircea Marin [email protected] Capitole Speciale de Informatica
![Page 36: Capitole Speciale de Informatica˘ - PaginaPrincipalaweb.info.uvt.ro/~mmarin/lectures/CSI/CSI-01-Slides.pdf · Subiectul cursului:Capitole speciale din calculul simbolic. Evaluare:](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022020302/5a78ae757f8b9a273b8d2451/html5/thumbnails/36.jpg)
Analysis of algebraic varieties (cont.)
Singular points are the solutions of the system of equations:
f (x , y) = 2 x4 − 3 x2y + y4 − 2 y3 + y2 = 0,∂f∂x
(x , y) = 8 x3 − 6 x y = 0,
∂f∂y
(x , y) = 4 y3 − 3 x2 − 6 y2 + 2 y = 0.
A Gröbner basis computation can transform this system into anequivalent one that is easier to solve:
3x2 + 2y2 − 2y = 0x y = 0x3 = 0
⇒ singular points (0,0) and (0,1).
Mircea Marin [email protected] Capitole Speciale de Informatica
![Page 37: Capitole Speciale de Informatica˘ - PaginaPrincipalaweb.info.uvt.ro/~mmarin/lectures/CSI/CSI-01-Slides.pdf · Subiectul cursului:Capitole speciale din calculul simbolic. Evaluare:](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022020302/5a78ae757f8b9a273b8d2451/html5/thumbnails/37.jpg)
Analysis of algebraic varieties (cont.)
Singular points are the solutions of the system of equations:
f (x , y) = 2 x4 − 3 x2y + y4 − 2 y3 + y2 = 0,∂f∂x
(x , y) = 8 x3 − 6 x y = 0,
∂f∂y
(x , y) = 4 y3 − 3 x2 − 6 y2 + 2 y = 0.
A Gröbner basis computation can transform this system into anequivalent one that is easier to solve:
3x2 + 2y2 − 2y = 0x y = 0x3 = 0
⇒ singular points (0,0) and (0,1).
Mircea Marin [email protected] Capitole Speciale de Informatica
![Page 38: Capitole Speciale de Informatica˘ - PaginaPrincipalaweb.info.uvt.ro/~mmarin/lectures/CSI/CSI-01-Slides.pdf · Subiectul cursului:Capitole speciale din calculul simbolic. Evaluare:](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022020302/5a78ae757f8b9a273b8d2451/html5/thumbnails/38.jpg)
Analysis of algebraic varieties (cont.)How to draw algebraic varieties?
Implicit representation: f (x , y) = 0⇓
Parametric representation: x = x(t), y = y(t) (t is a parameter)such that f (x(t), y(t)) = 0 for all t .
Example (tacnode curve and circle)1 tacnode
f (x , y) = 0⇒
{x(t) = t3−6t2+9t−2
2t4−16t3+40t2−32t+9y(t) = t2−4t+4
2t4−16t3+40t2−32t+9
(t ∈ R)
2 circle x2 + y2 = 1⇒{
x(t) = cos(t)y(t) = sin(t)
(t ∈ [0,2π))
It is possible to compute a rational parametrization of thetacnode:
x(t) =t3 − 6t2 + 9t − 2
2t4 − 16t3 + 40t2 − 32t + 9
y(t) =t2 − 4t + 4
2t4 − 16t3 + 40t2 − 32t + 9Mircea Marin [email protected] Capitole Speciale de Informatica
![Page 39: Capitole Speciale de Informatica˘ - PaginaPrincipalaweb.info.uvt.ro/~mmarin/lectures/CSI/CSI-01-Slides.pdf · Subiectul cursului:Capitole speciale din calculul simbolic. Evaluare:](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022020302/5a78ae757f8b9a273b8d2451/html5/thumbnails/39.jpg)
Modelling in science and technology
Very often, problems in these fields are posed as integrationproblems or systems of differential equations.
−6∂q∂x
(x) +∂2p∂x2 (x)− 6 sin(x) = 0,
6∂2q∂x2 (x) + a2 ∂p
∂x− 6 cos(x) = 0
with initial values p(0) = 0, q(0) = 1, p′(0) = 0, q′(0) = 1.CA methods can find the generic solution
p(x) = −12 sin(a x)a(a2 − 1)
− 6 cos(a x)a2 +
12 sin(x)a2 − 1
+6a2 ,
q(x) =sin(a x)
a− 2 cos(a x)
a2 − 1+
(a2 + 1) cos(x)a2 − 1
for a 6∈ {−1,0,1}.
Mircea Marin [email protected] Capitole Speciale de Informatica
![Page 40: Capitole Speciale de Informatica˘ - PaginaPrincipalaweb.info.uvt.ro/~mmarin/lectures/CSI/CSI-01-Slides.pdf · Subiectul cursului:Capitole speciale din calculul simbolic. Evaluare:](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022020302/5a78ae757f8b9a273b8d2451/html5/thumbnails/40.jpg)
Sisteme de calcul algebric
Started to appear in the 1950s.
Most CA systems are designed for specific fields ofapplications: high energy physics, celestial mechanics,general relativity, algebraic geometry, etc.Computer-algebra systems for the general user:implement most of the important computer algebraalgorithms and which are of interest to a general user.
Maple, Mathematica, Axiom, Macsyma, Reduce, Magma,Aldor
In this course you can learn about the computer algebrasystem Mathematica (version 6), and how to use it.
Mircea Marin [email protected] Capitole Speciale de Informatica
![Page 41: Capitole Speciale de Informatica˘ - PaginaPrincipalaweb.info.uvt.ro/~mmarin/lectures/CSI/CSI-01-Slides.pdf · Subiectul cursului:Capitole speciale din calculul simbolic. Evaluare:](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022020302/5a78ae757f8b9a273b8d2451/html5/thumbnails/41.jpg)
Sisteme de calcul algebric
Started to appear in the 1950s.Most CA systems are designed for specific fields ofapplications: high energy physics, celestial mechanics,general relativity, algebraic geometry, etc.
Computer-algebra systems for the general user:implement most of the important computer algebraalgorithms and which are of interest to a general user.
Maple, Mathematica, Axiom, Macsyma, Reduce, Magma,Aldor
In this course you can learn about the computer algebrasystem Mathematica (version 6), and how to use it.
Mircea Marin [email protected] Capitole Speciale de Informatica
![Page 42: Capitole Speciale de Informatica˘ - PaginaPrincipalaweb.info.uvt.ro/~mmarin/lectures/CSI/CSI-01-Slides.pdf · Subiectul cursului:Capitole speciale din calculul simbolic. Evaluare:](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022020302/5a78ae757f8b9a273b8d2451/html5/thumbnails/42.jpg)
Sisteme de calcul algebric
Started to appear in the 1950s.Most CA systems are designed for specific fields ofapplications: high energy physics, celestial mechanics,general relativity, algebraic geometry, etc.Computer-algebra systems for the general user:implement most of the important computer algebraalgorithms and which are of interest to a general user.
Maple, Mathematica, Axiom, Macsyma, Reduce, Magma,Aldor
In this course you can learn about the computer algebrasystem Mathematica (version 6), and how to use it.
Mircea Marin [email protected] Capitole Speciale de Informatica
![Page 43: Capitole Speciale de Informatica˘ - PaginaPrincipalaweb.info.uvt.ro/~mmarin/lectures/CSI/CSI-01-Slides.pdf · Subiectul cursului:Capitole speciale din calculul simbolic. Evaluare:](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022020302/5a78ae757f8b9a273b8d2451/html5/thumbnails/43.jpg)
Sisteme de calcul algebric
Started to appear in the 1950s.Most CA systems are designed for specific fields ofapplications: high energy physics, celestial mechanics,general relativity, algebraic geometry, etc.Computer-algebra systems for the general user:implement most of the important computer algebraalgorithms and which are of interest to a general user.
Maple, Mathematica, Axiom, Macsyma, Reduce, Magma,Aldor
In this course you can learn about the computer algebrasystem Mathematica (version 6), and how to use it.
Mircea Marin [email protected] Capitole Speciale de Informatica