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水理学Ⅱ及び同演習 第6回 管路の流れ②(管路流れの計算)
目標:単線管路における流量・エネルギー線 の計算を行う ・急拡や曲がり等が連結した管路の形状損失と摩擦損失 を考慮した管路内の流速計算 ・エネルギー線と動水勾配線の計算
流量・エネルギー線の計算 A
B
AH
BH
C D
E
F G 1V 2V
H11l
12l
13l2l
111 ,, flD
222 ,, flD
異径管からなる単線管路
図中の記号説明 H:両貯水槽(A,B)の基準線からの水位や両貯水槽の水位差 l:各円管(11,12,13,2)の長さ D:各円管(1,2)の直径,V:各円管(1,2)の流速 f:各円管(1,2)の摩擦損失係数 地点記号(A,B,C,D,E,F,G):入口・出口・曲がり・断面の急変箇所
(a) 流量 両水槽(A,B)間のベルヌーイの定理
頭の和)(管路における損失水=
+−
+
gvH
gvH B
BA
A 22
22
貯水槽のため流速は0 (ゼロ) HHH BA =−
gv
Dlf
gv
DlfH ovscbe 22
222
2
22
21
1
11
+ζ+ζ+ζ+
+ζ+ζ=∴
損失水頭の和は水位差のみ
入口 曲がり (2箇所)
摩擦 急縮 バルブ 出口 摩擦
連続式
2221
21 44
vDvDQ π=
π=
2
2
1
21 v
DDv
=
+ζ+ζ+ζ+
+ζ+ζ
=
2
22
4
1
2
1
11
2
2
2
Dlf
DD
Dlf
gHv
ovscbe
3/1
25.124D
nf =fはManningの粗度係数nより求める
(a) 流量(自由放流管) A
B
AH
Bz
C D
E
F 1V
2V
H
11l
12l
13l2l
111 ,, flD
222 ,, flD B地点で 速度あり
gv
Dlf
gv
Dlf
gvH
gvzH vscbeBA 22
222
22
2
22
21
1
11
22
22
+ζ+ζ+
+ζ+ζ=
α−=
α+−
ベルヌーイの定理
この項を右辺に移すと前スライドの式と等しくなる 従って,流量も等しくなる
(a)流量(定断面管路)
Dlf
gHvovbe 1
2
+ζ+ζ+ζ+ζ=
∑
定断面管路の場合は単に,
A
B
AH
BH
C D
E
F
V
H1l
2l3l
flD ,,
vDQ 2
4π
=
流量
(b)エネルギー線,動水勾配線の計算
急縮部Fの直後F+では,
gv
gv
Dlf
wpz
gvH scbe
FA 22
22
22
21
1
11
22 ζ+
+ζ+ζ=
++−
+
F+におけるエネルギー
急縮部Fの直前F-では,
gv
wpz
gv
wpz
gv
scFF 222
22
22
22 ζ−
++=
++
−+
エネルギー
++
wpz
gv2
2動水勾配
+ z
wp
wp
圧力水頭
この考え方で, の順に計算を行う
例題4.3(自由放流管の条件)
mzzm,zzzmH BFEDCA 35 ,8 ======与えられた諸条件
mlFGmlEFmlDEmlCD 8,10,2 ,5 2131211 ======== 15 ,30 21 cmDcmD ==
各地点の高さ
各管の長さ
各管の直径
管の入口は隅切り,曲がりは2箇所で中心角90度,曲がりの曲率半径ρ=0.9m, 弁は全開放,管は新しい鋳鉄管でn=0.013
例題4.3(流量の計算)
( )m/s21.5
2
2
2
22
4
1
2
1
11
2 =
+ζ+ζ+ζ+
+ζ+ζ
=
Dlf
DD
Dlf
gHv
ovscbe
式(9.30)よりv2を求める
00396
0314.05.124
3/1
2
112
3/11
2
1
=
=
==
DDff
Dnf
摩擦損失係数f1, f2
形状係数
( )3.4)(0
25.0/2.4)(36.0
)(1.00.11.07.425.0
221
21
表全開放
に対応する値の表急縮
曲がり
の隅切り図(入口)
←=ζ
=←=ζ
=×=ζ×ζ=ζ
←=ζ
v
sc
bbb
e
DD
流量を計算
(m/s)30.12
1
221 =
=
DDvv
v1を求める
(m/s)0920.04 2
22 =
π= vDQ
例題4.3 (エネルギー線・動水勾配線・圧力水頭の計算)
(m)385.18.92
21.52
(m),086.08.92
3.12
222
221 =
×==
×=
gv
gv
36.0,1.0,25.0 =ζ=ζ=ζ scbe 00396,0314.0 21 == ff
15 ,30 21 cmDcmD ==
mlmlmlml 8,10,2 ,5 2131211 ====
086.025.0 ×
022.08−
086.0978.7 −
5892.7 −
086.03.0/50314.0 ××
045.0978.7 −
086.0933.7 −
086.0933.7 −
例題4.4(排水時間の計算)1
1H2H
Hm5.0
dH−
直径50cm,水深2mの水槽(タンク)から 直径D=2cm,長さl=3mの塩ビ管で弁を開放して排水 水深が1m下がるのに必要な時間を求める
水槽の断面積をA,管の断面積をa 管の出口を原点として, 時刻tにおける水槽水面の高さをH
AdHQdt −=×
Qdt
dHA =−
dt時間の排水量 =水槽内の水の減少量
形状係数と粗度係数 009.0),2(1.0,5.0 ==ζ=ζ nbe 箇所
流量(定断面管路の流速の式)
+ζ+ζ+
==
∑ Dlf
gHaavQbe1
2
出口
例題4.4(排水時間の計算)2
1H2H
Hm5.0
dH−
Qdt
dHA =−
KgHaavQ 2
==
形状係数及び粗度の条件
dHQAdtT
H
H∫∫ −== 2
1dH
QAdt −=
流量を代入
+ζ+ζ+≡ ∑ D
lfK be1
[ ] ( )2122
22
222
1
2
1
2
1
HHgaKAH
gaKA
HdH
gaKA
HdH
gaKAT
HH
H
H
H
H−=−=−=−= ∫∫
初期水深H1→H2に下がる時間をTとして積分
009.0),2(1.0,5.0 ==ζ=ζ nbe 箇所
0372.0/5.124 3/12 == Dnf
( ) 28.702.0/30372.01.025.01 =×+×++≡K
( ) 62502.05.0/ 2 =−=aA mHmH 5.1,5.2 21 ==
形状係数の合計,断面比,水位を代入
秒となる5.271=T
水槽と貯水池間の排水時間 時刻tにおける水槽の水位をHとして
AdHQdt −=連続式
ベルヌーイの定理
gv
DlfHHH e 2
12
2
++ζ=−=′
1H
2Hl水槽
貯水池
管の断面積 4
2Da π= 管を流れる流量
KHgDavQ′π
==2
4
2
1++ζ=DlfK e
水位差の変化 dtHKgD
Adt
AQdHHd
′π−=−==′
24
1 2( ) HdH
DgKAdt ′′π
−= − 2/122
4
H’について(H1-H2) からゼロまで積分
( )[ ] ( ) 2/1212
02/12 2
822
421
HHDgKAH
DgKAT HH −
π=′
π−= −排水時間
サイフォン1 サイフォンとは 管路の一部が動水勾配線の上にきて,その点のゲージ圧が負の値になる現象のこと
A C
B
動水勾配線 H
BH
AH
Cz
wpC−
1l
2l
基準線
高所を越える貯水槽AとBとの間で高低差を作り出すことで,動水勾配を増加させ他のエネルギーを加えること無く貯水槽Bに流体を運ぶことができる.しかし,最高点における圧力水頭が絶対圧力と相応する限界値-(8~8.5m)から下がると流れが遮断される ベルヌーイの定理を用いて最高点における圧力の限界値を求める式を導出する
サイフォン2 上下両水槽間と最高点の曲がり直後 (点C)にベルヌーイの定理を適用
++ζ+ζ+++=
+
++ζ+ζ+=
Dlf
gv
wpz
Dllf
gvHH
bec
c
beBA
12
211
2
112
12
+
++ζ+ζ=
Dllf
gHvbe
211
2管内流速
vDQ4
2π=
流量
点Cの圧力水頭
( ) H
Dllf
Dlf
zHwp
be
be
cAc
21
1
1
1
+++ζ+ζ
+ζ+ζ++−=
サイフォン作用が可能で流量Qが流れるためには, この式で求めた-pc/wの値が(8~8.5 ) mより 小さくなることを確かめることが必要となる