Intégration et suites – Calcul intégral et suite numérique – Exercices corrigés
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Objectifs abordés dans cette fiche : (cliquez sur l’exercice pour un accès direct)
Exercice 1 : étudier le sens de variation d’une suite définie par une intégrale
Exercice 2 : montrer qu’une suite définie par une intégrale est majorée ou minorée
Exercice 3 : déterminer la limite d’une suite définie par une intégrale (avec le théorème des gendarmes)
Exercice 4 : justifier la convergence d’une suite définie par une intégrale
Exercice 5 : démontrer qu’une suite définie par une intégrale est convergente et en préciser la limite
Exercice 6 : déterminer la limite d’une suite définie par une intégrale (après calcul du terme général)
Exercice 7 : donner la limite d’une suite définie par une intégrale (avec un changement de variable)
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Calcul intégral et suite numérique – Intégration
Exercices corrigés
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2
Soit ( ) la suite numérique définie par :
∫
Montrer que la suite ( ) est croissante.
Rappel : Linéarité de l’intégrale (linéarité additive et linéarité multiplicative)
Soient deux réels et . Si et sont deux fonctions continues sur un intervalle [ ] avec , alors :
∫ ( ( ) ( ))
∫ ( )
∫ ( )
∫ ( )
∫ ( )
Pour tout entier naturel ,
∫ ( )
∫
∫
∫
D’après la linéarité de l’intégrale, il vient que :
∫ (
)
∫
∫ ( )
Or, pour tout réel [ ], d’après la croissance de la fonction exponentielle, il vient que ,
c’est-à-dire . Par conséquent, pour tout réel [ ], . Par ailleurs, pour tout réel
[ ], , d’où . Enfin, pour tout réel [ ] et pour tout entier naturel , .
L’intégrande est donc une fonction positive ou nulle sur [ ], c’est-à-dire ( )
.
Rappel de la notion d’intégrande : Dans une intégrale, la fonction qui est intégrée est appelée intégrande.
Rappel : Positivité de l’intégrale
Soit une fonction continue sur un intervalle [ ] avec . Alors, pour tout réel [ ] :
( ) ∫ ( )
( ) ∫ ( )
Exercice corrigé 1 (1 question) Niveau : facile
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D’après la positivité de l’intégrale, en intégrant sur [ ], il vient finalement que :
( )
∫
( )
Pour tout entier naturel , donc la suite ( ) est croissante.
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Soit ( ) la suite numérique définie par :
∫
Montrer que la suite ( ) est minorée.
Pour tout réel [ ] et pour tout , et . D’où pour tout [ ].
Par conséquent, d’après la positivité de l’intégrale, en intégrant sur [ ] (avec ), on a :
∫
pour tout entier naturel donc la suite ( ) est minorée par 0.
Exercice corrigé 2 (1 question) Niveau : facile
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Soit ( ) la suite numérique définie par :
∫ ( )
Déterminer la limite de la suite ( ) .
Rappel : Conservation de l’ordre par intégration (ordre et intégrale / intégration d’une inégalité)
Soient et deux fonctions continues sur un intervalle [ ] avec . Alors, pour tout réel [ ] :
( ) ( ) ∫ ( )
∫ ( )
Remarques :
On dit que l’intégrale conserve l’ordre. La réciproque n’est pas vraie.
Pour tout réel [ ], . Or, la fonction logarithme népérien est continue et croissante sur
l’ensemble des réels strictement positifs, d’où ( ) , c’est-à-dire ( ) .
De plus, pour tout réel [ ], donc, en multipliant l’inégalité ( ) par , il
résulte que ( ) .
Ainsi, comme l’intégrale conserve l’ordre, en intégrant sur [ ], il vient que :
( ) ∫ ( )
∫
∫
[
]
[ ]
( )
Rappel : Théorème des gendarmes (aussi appelé théorème d’encadrement)
Soient ( ), ( ) et ( ) trois suites de nombres réels et soit un réel.
Si, pour tout entier supérieur à un certain entier ,
Alors,
Exercice corrigé 3 (1 question) Niveau : moyen
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Or,
donc la suite ( ) est encadrée par deux suites de limite nulle.
Finalement, d’après le théorème des gendarmes,
. Autrement dit, la suite ( ) tend vers 0.
Fonction définie par ( ) Primitives définies par ( ) Conditions sur et
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Soit ( ) la suite numérique définie par :
∫
1) Démontrer que, pour tout entier naturel , .
2) Etudier la monotonie de la suite ( ) .
3) En déduire la convergence de la suite ( ) .
1) Démontrons que, pour tout entier naturel , .
La fonction sinus est continue et positive ou nulle sur [ ], si bien que pour tout entier naturel , .
De surcroît, l’intégrale d’une fonction continue et positive étant positive, pour tout , .
2) Etudions la monotonie de la suite ( ) .
Pour tout entier naturel ,
∫
∫
∫ ( )
∫ ( )
Or, pour tout réel [ ], d’une part , c’est-à-dire et, d’autre part,
. Donc, pour tout , ( ) . En vertu de la conservation de l’ordre par
intégration, il vient que , c’est-à-dire . La suite ( ) est décroissante.
3) Concluons.
Rappel : Convergence d’une suite monotone
Toute suite croissante et majorée est convergente.
Toute suite décroissante et minorée est convergente.
D’après la première question, la suite ( ) est minorée par 0. En outre, d’après la question précédente, elle
est décroissante. Il résulte que la suite ( ) est convergente.
Exercice corrigé 4 (3 questions) Niveau : facile
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Soit ( ) la suite numérique définie par :
∫
1) Calculer les deux premiers termes de la suite ( ) .
2) Montrer que la suite ( ) est croissante.
3) Montrer que la suite ( ) est majorée.
4) En déduire la convergence de la suite ( ) .
5) Montrer que
.
6) En déduire la limite de la suite ( ) .
1) Calculons les deux premiers termes de la suite ( ) .
∫
∫
∫
[
]
∫
∫
Soit la fonction définie sur [ ] par ( ) . Cette fonction est dérivable sur [ ] et, pour tout réel
[ ], ( ) . De plus, cette fonction est positive sur [ ] d’où le résultat suivant :
∫ ( )
( )
[ ( ( )
)]
[ ( )]
Fonction définie par ( ) Primitives définies par ( ) Conditions sur
( )
( ) ( ( )) dérivable et
Remarque :
, c’est-à-dire . On peut conjecturer que la suite ( ) est croissante.
2) Etudions la monotonie de la suite ( ) .
Pour tout réel [ ], ( ). Or, pour tout réel [ ], et
donc , c’est-à-dire . Il vient l’inégalité puis, en
vertu de la décroissance de la fonction inverse sur ,
.
Exercice corrigé 5 (6 questions) Niveau : moyen
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Ainsi, en intégrant sur [ ], il résulte de la conservation de l’ordre par intégration que :
∫
∫
Finalement, pour tout entier naturel . La conjecture émise à la question précédente est vérifiée : la
suite ( ) est croissante.
3) Montrons que la suite ( ) est majorée.
Pour tout réel [ ], , d’où . Et, par passage à l’inverse, il s’ensuit que
.
Ainsi, en intégrant sur [ ], il résulte de la conservation de l’ordre par intégration que :
∫
∫
∫
[
]
[ ]
Finalement, . La suite ( ) est donc majorée par le réel 1.
4) Montrons que la suite ( ) est convergente.
D’après la 2ème
question, la suite ( ) est croissante et, d’après la 3ème
question, la suite ( ) est majorée.
Par conséquent, la suite ( ) est convergente ; elle converge vers un réel que la dernière question
permettra de préciser.
5) Etudions la limite de la suite ( ) .
Pour tout réel [ ], on a :
Or, . Ainsi, comme la fonction inverse est décroissante sur , on a :
De plus, . Ainsi, comme la fonction opposé est décroissante sur , , on a :
En définitive, on a :
Par conséquent, comme l’intégrale conserve l’ordre, en intégrant sur [ ], il vient que :
∫ ( )
∫
[
]
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En définitive, en utilisant cette minoration et la majoration obtenue à la 3ème
question, on a un encadrement de
la suite ( ) , à savoir
pour tout . Comme
, d’après le
théorème des gendarmes,
. La suite converge donc vers 1.
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Pour tout entier naturel non nul, on pose :
∫
1) Calculer .
2) En déduire la limite de la suite ( ) .
1) Exprimons en fonction de .
Soit la fonction définie sur [ ] (avec ) par ( )
. Cette fonction est une fonction linéaire
donc elle est dérivable sur et, pour tout réel [ ], ( )
.
Pour tout entier naturel non nul, on en déduit que :
∫
∫
∫ ( ) ( )
[ ( )]
[
]
(
) (
) (
) (
)
Fonction définie par ( ) Primitives définies par ( ) Conditions sur
( ) ( ) ( ) dérivable
2) Déterminons désormais la limite de la suite ( ) .
( ( ))
( (
))
(
)
Rappel : Dérivabilité en un point et nombre dérivé
Soit une fonction définie sur . Soit un réel de .
est dérivable en si et seulement si
( ) ( )
( ). Ce nombre réel est alors appelé
nombre dérivé de en et est noté ( ).
Ainsi,
( ) ( )
( ) .
Exercice corrigé 6 (2 questions) Niveau : moyen
Correction de l’exercice 6 Retour au menu
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Or,
et
( ) ( ) donc, d’après le théorème sur la limite de la
composée de deux fonctions, il résulte que
(
) . Finalement, il vient par produit des limites que
. La suite ( ) tend vers e.
Rappel : Limite de la composée de deux fonctions
Soit une fonction définie sur un intervalle et soit une fonction définie sur un intervalle , telle que
( ) . , et désignent des réels, ou .
Si
( ) et si
( ) , alors
( )( ) .
( )
( )
( ( ))
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Soit ( ) la suite numérique définie par :
∫
( )
1) Calculer les 3 premiers termes de la suite ( ) .
2) Calculer l’intégrale pour tout entier naturel .
3) En déduire la limite de la suite ( ) .
1) Calculons les 3 premiers termes de la suite ( ) .
∫
( )
∫
[
]
∫
∫
∫ (
)
[ ( )⏟
[ ]
]
En effectuant le changement de variable affine défini par , on a :
∫
( )
∫
∫ (
)
[ ⏟
[ ]
]
2) Exprimons l’intégrale en fonction de pour tout entier naturel .
En effectuant le changement de variable affine défini par , on a :
∫
( )
∫
∫ (
)
∫ ( )
[
]
[
]
(
)
( )( ) ( )( )
( )( )
( )
( )( )
( )( )
Exercice corrigé 7 (3 questions) Niveau : difficile
Correction de l’exercice 7 Retour au menu
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( )( )
( )( )
( )
( )( )
( )( )
( )( )
3) Précisons la limite de la suite ( ) .
Pour tout entier naturel ,
( )( )
(
)
( ( )) ( (
))
( ) (
)
Or, d’une part, on a
d’où
(
) et
(
) . Ainsi, par produit des
limites, il vient que
((
) (
)) .
Et, d’autre part, on a
. Reste donc à calculer
.
Rappel : Fonction exponentielle de base a (a>0) / Fonction puissance d’un réel positif
Soit un réel strictement positif.
On appelle fonction exponentielle de base la fonction définie sur par ( ) .
Pour tout entier naturel , ( ) . Or,
( ) d’où
(( ) )
(car ). De plus,
. Ainsi, par composition des limites,
( ) , c’est-à-dire
. Et comme
, par produit des limites, il vient que
.
Par conséquent, par quotient des limites, on a
⏞
( )(
)
⏟
. La suite ( ) tend vers 0.