Download - Caderno de Exercícios de IO
INSTITUTO POLITÉCNICO DE SETÚBAL
ESCOLA SUPERIOR DE CIÊNCIAS EMPRESARIAIS
DEPARTAMENTO DE ECONOMIA E GESTÃO
INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL
CADERNO DE EXERCÍCIOS
JORGE CAIADO
Setúbal, 2004
ESCE/Intituto Politécico de Setúbal
Jorge Caiado Caderno de Exercícios de Investigação Operacional 2
NOTA INTRODUTÓRIA
O Caderno de Exercícios de Investigação Operacional constitui um documento
pedagógico de apoio às aulas práticas e dirige-se aos alunos dos cursos de licenciatura
em Gestão de Sistemas de Informação e Gestão de Distribuição e Logística da Escola
Superior de Ciências Empresariais do Instituto Politécnico de Setúbal.
O Caderno de Exercícios encontra-se estruturado da seguinte forma:
1. Introdução à Programação Linear
2. Método do Simplex
3. Dualidade
4. Análise de Sensibilidade e Pós-optimização
5. Problemas de Transportes e de Afectação
Espera-se assim que este Caderno de Exercícios lhe possa ser útil como material
didáctico de exercitação e clarificação da matéria estudada.
Agradece-se a todos os alunos e leitores que verifiquem em todos os exercícios
resolvidos as soluções que se encontram no final do presente texto, sendo obviamente
da exclusiva responsabilidade do autor os erros detectados.
Bom trabalho!
O autor
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I. INTRODUÇÃO À PROGRAMAÇÃO LINEAR
1. Resolva graficamente cada um dos seguintes problemas e comente a solução obtida:
(Ramalhete, Guerreiro e Magalhães, 1984)
a) Maximizar z = x1 + 2x2 b) Minimizar z = x1 + x2
sujeito a x1 − 2x2 ≤ 3 sujeito a x1 − x2 ≤ 2x1 + x2 ≤ 3 x1 − x2 ≥ −2
x1, x2 ≥ 0 x1, x2 ≥ 0
c) Maximizar z = 3x1 + 4x2 d) Maximizar z = 2x1 + 3x2
sujeito a x1 − 2x2 ≥ 4 sujeito a x1 + x2 ≤ 7x1 + x2 ≤ 3 2x1 + 3x2 ≥ 12
x1 ≤ 5
x1, x2 ≥ 0 x1, x2 ≥ 0
e) Minimizar z = 3x1 + 2x2 f) Maximizar z = 6x1 + 3x2
sujeito a 2x1 + 2x2 ≤ 8 sujeito a 2x1 + 3x2 ≤ 28x1 + 5x2 ≥ 10 2x1 + 5x2 ≤ 42
−x1 + 3x2 = 6 x1 − x2 ≤ 0
x1, x2 ≥ 0 x1, x2 ≥ 0
g) Para o sistema de restrições
−x1 + x2 ≤ 1 6x1 + 4x2 ≥ 24
x2 ≥ 2
x1, x2 ≥ 0
considere separadamente os objectivos
(i) Maximizar z = x1 (v) Minimizar z = x1 − x2
(ii) Minimizar z = x1 + x2 (vi) Minimizar z = x1
(iii) Minimizar z = x2 (vii) Minimizar z = −x1 + x2
(iv) Maximizar z = x2 (viii) Minimizar z = 3x1 + 2x2
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2. Uma empresa produz dois produtos, A e B, em quantidades x1 e x2,
respectivamente, e espera minimizar o custo z = 2x1 + 10x2, sujeito às restrições
funcionais 2x1 + x2 ≤ 6 e 5x1 + 4x2 ≥ 20, e à restrição de sinal x1, x2 ≥ 0. Determine as
quantidades óptimas de cada produto a ser produzido e o custo associado.
3. “Uma empresa produz dois bens: I e II. O lucro unitário que obtém com o produto I
é de 40$00/ton. e com o produto II é de 30$00/ton. A unidade de produção
compõe-se de três secções; corte, mistura e embalagem cujo equipamento pode
ser utilizado 8 horas por dia. O processo da produção caracteriza-se do seguinte
modo: (1) O produto I é primeiro cortado e a seguir embalado; cada tonelada deste
produto utiliza utiliza 1/2 hora da secção de corte e 1/3 hora da secção de
embalagem; (2) O produto B é primeiro misturado e depois embalado; cada
tonelada deste produto B utiliza 1 hora da secção de mistura e 2/3 hora da secção
de embalagem. Qual a combinação de produtos que a empresa deve realizar
diariamente a fim maximizar o lucro total?” (Ferreira, 1976)
4. Uma empresa produz dois modelos de barcos de corrida. O modelo I gera um lucro
de 10400 euros enquanto que o modelo II gera um lucro de 9500 euros. O modelo I
requer 40 horas para as operações de Corte e Montagem, e 24 horas para o
Acabamento. Por sua vez, o modelo II requer 25 horas para Corte e Montagem, e
30 horas para o Acabamento. O tempo disponível para Corte e Montagem é de 400
horas, e de 360 horas para o Acabamento. Face ao exposto, determine o número
óptimo de barcos de cada modelo a ser produzido e o lucro global resultante.
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5. “Uma empresa predente realizar um show televisivo para publicitar os seus
produtos. O show durará meia hora e nele actuará um actor cómico e um conjunto
musical. A empresa deseja que sejam consagrados pelo menos 3 minutos a
anúncios. A estação televisiva exige que o tempo dedicado a anúncios não exceda
12 minutos, não podendo, além disso, em caso algum, ser superior ao tempo
atribuído ao actor cómico. Este não está disposto a intervir mais de 20 minutos. Ao
conjunto cabe preencher o tempo restante. O custo de actuação do actor é de
150$00/minuto; o do conjunto, de 1000$00/minuto.
A experiência mostra que, por cada minuto que o actor se exibe, 40 mil
espectadores ligam o televisor; por cada minuto de actuação do conjunto esperam-
se 20 mil novos telespectadores; e por cada minuto de anúncios, 10 mil pessoas
desligam o aparelho. Formalize o problema admitindo que a empresa tem por
objectivo:
(1) Maximizar o número de espectadores;
(2) Minimizar o custo do programa.”
(Ferreira, 1976)
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II. MÉTODO DO SIMPLEX
1. Considere o seguinte problema de PL:
Maximizar z = 3x1 + 5x2
sujeito a x1 ≤ 4 2x2 ≤ 12 3x1 + 2x2 ≤ 18
x1, x2 ≥ 0
a) Resolva o problema graficamente.
b) Resolva o problema pelo método do Simplex na forma algébrica.
2. Use o método do Simplex na forma algébrica para resolver o seguinte problema:
Maximizar z = 4x1 + 3x2 + 6x3
sujeito a 3x1 + x2 + 3x3 ≤ 30 2x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 40
x1, x2, x3 ≥ 0
3. Considere o seguinte problema de PL:
Maximizar z = 6x1 − 3x2
sujeito a 7x1 + 5x2 ≤ 35 2x1 − x2 ≤ 2
x1, x2 ≥ 0
a) Resolva o problema utilizando o método do Simplex. A solução óptima é única?
b) Resolva o problema graficamente e indique o percurso correspondente às várias
iterações do método do Simplex.
(Ramalhete, Guerreiro e Magalhães, 1984)
4. Resolva os seguintes problemas utilizando o método do Simplex:
a) Maximizar z = x1 + 9x2 + x3 b) Minimizar z = 80x1 + 60x2
sujeito a x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 9 sujeito a 0,2x1 + 0,32x2 ≤ 0,25 3x1 + 2x2 + 2x3 ≤ 15 x1 + x2 = 1
x1, x2, x3 ≥ 0 x1, x2 ≥ 0
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5. O quadro seguinte refere-se a um problema de maximização: (Ramalhete, Guerreiro
e Magalhães, 1984)
VB z x1 x2 x3 x4 x5 VSMz 1 2 e 0 0 0 10x4 0 −4 c 0 1 0 1x3 0 b −1 1 0 0 4x5 0 3 d 0 0 1 a
Diga a que condições devem obedecer a, b, c, d e e para que sejam verdadeiras as
seguintes afirmações:
a) A solução é óptima.
b) Existem soluções óptimas alternativas.
c) A solução é não limitada.
d) A solução é degenerada.
6. Considere o seguinte problema de PL:
Min z = 3x1 + 2x2 + 4x3
sujeito a 2x1 + x2 + 3x3 = 60 3x1 + 3x2 + 5x3 ≥ 120 e x1, x2, x3 ≥ 0
Resolva o problema usando o método do Grande M e o método das duas fases.
7. Use o método do Grande M e o método das duas fases para resolver o seguinte
problema de PL:
Min Z = 4x1 + 4x2 + x3
sujeito a x1 + x2 + x3 ≤ 2 2x1 + x2 ≤ 3 2x1 + x2 + 3x3 ≥ 3 e x1, x2, x3 ≥ 0
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III. DUALIDADE
1. Escreva o dual de cada um dos seguintes problemas de PL:
a) Minimizar z = 5x1 + 9x2 b) Maximizar z = x1 + 9x2 + 15x3
sujeito a 3x1 + 2x2 ≤ 6 sujeito a 3x1 + 2x2 ≥ 11 5x1 + x2 ≥ 10 x1 + x2 + x3 = 15
x1 + 10x2 ≥ 9 8x2 + 7x3 ≤ 25x1, x2 ≥ 0 x1, x2, x3 ≥ 0
c) Minimizar z = 3x1 + 5x2 + x3 d) Maximizar z = 5x1 + 3x2 + 14x3
sujeito a x1 + x2 + x3 ≥ 6 sujeito a 2x1 + x2 + 3x3 ≤ 14 3x1 + 8x2 + 9x3 ≤ 50 x1 + 3x2 +2x3 ≤ 15 6x1 + 7x3 ≥ 12 x1 + x2 + x3 ≥ 8 12x2 + 4x3 = 15 x1, x2, x3 ≥ 0
x1, x2, x3 ≥ 0
2. Seja o quadro óptimo do Simplex dum problema de PL: (Guerreiro, Magalhães e
Ramalhete, 1985)
4 5 0 0 0VB z x1 x2 S1 S2 S3 VSMz 1 0 0 14 9 0 108x2 0 0 1 2 1 0 12x1 0 1 0 1 1 0 12S3 0 0 0 −2 −2 1 0
a) Indique as soluções óptimas dos problemas primal e dual.
b) Que conclusão se pode retirar em relação à solução do dual, sabendo que a
solução óptima do primal é degenerada?
3. Considere o seguinte problema de PL:
Max Z = 24x1 + 25 x2
sujeito a x1 + 5 x2 ≤ 10 4x1 + x2 ≤ 30 e x1, x2 ≥ 0
a) Resolva-o pelo método do simplex.
b) Obtenha o problema dual e resolva-o pelo método do Grande M.
4. Considere o seguinte problema de PL:
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Min Z = 2x1 + x2 + 3x3
sujeito a 5x1 + 2x2 + 7x3 = 420 3x1 + 2x2 + 5x3 ≥ 280 e x1, x2, x3 ≥ 0
a) Resolva-o pelo método das Duas Fases.
b) Obtenha o problema dual e resolva-o pelo método do Simplex.
5. Num restaurante do litoral algarvio os clientes tem preferência por pratos que têm
várias qualidades de marisco. Usualmente, os pratos são confeccionados de dois
modos: na modalidade I, o prato é composto de 5 lagostins, 2 santolas e 1 ostra; na
modalidade II, o prato é composto de 3 lagostins, 3 santolas e 3 ostras. O preço do
prato da modalidade I é de 80 euros e o da modalidade II de 60 euros. As
disponibilidades diárias totais de marisco são as seguintes: 30 lagostins, 24 santolas
e 18 ostras.
a) Determine o número de pratos que se devem confeccionar diariamente de modo
a maximizar a receita.
b) Indique, caso exista, a solução óptima do problema dual e interprete-a
economicamente.
6. A empresa Motolusa produz três tipos de motos, A, B e C. As contribuições unitárias
para o lucro são 270 u.m., 300 u.m e 450 u.m., respectivamente. As necessidades de
baterias e geradores de carga para cada moto são as seguintes:
A B CBaterias 1 3 4
Geradores 2 3 4
No início de cada dia de produção, a empresa dispõe de um stock de apenas 100
bacterias e 127 geradores de carga, não se prevendo a curto prazo alterações no
aprovisionamento. Actualmente, a empresa tem uma capacidade de produção diária
que não ultrapassa as 75 unidades.
a) Formalize o problema em termos de Programação Linear. Qual deverá ser a
produção a realizar de modo a maximizar o lucro?
b) Indique a solução óptima do problema dual e interprete-a economicamente.
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IV. ANÁLISE DE SENSIBILIDADE E PÓS-OPTIMIZAÇÃO
1. Considere o seguinte problema de PL:
Max Z = 3x1 + x2 + 4x3
sujeito a 6x1 + 3x2 + 5x3 ≤ 25 3x1 + 4x2 + 5x3 ≤ 20 e x1, x2, x3 ≥ 0
O último quadro do Simplex deste problema é o seguinte:
VB z x1 x2 x3 S1 S2 VSMz 1 0 2 0 1/5 3/5 17x1 0 1 −1/3 0 1/3 −1/3 5/3x3 0 0 1 1 −1/5 2/5 3
a) Indique a solução óptima do problema primal.
b) Construa o problema dual e resolva-o graficamente.
c) Indique a solução óptima do poblema dual.
d) Considere as seguintes alterações no modelo original: c2` = 3, a12` = 2, a22` = 3.
Usando a teoria de dualidade, averigúe se a solução do problema original ainda
permanece óptima com estas alterações.
e) Obtenha os novos valores dos coeficientes de x2 resultantes das alterações
referidas na alínea anterior.
f) Considere agora que foi introduzida uma nova variável no modelo:
Max Z = 3x1 + x2 + 4x3 + 2xN
sujeito a 6x1 + 3x2 + 5x3 + 3xN ≤ 25 3x1 + 4x2 + 5x3 + 2xN ≤ 20 e x1, x2, x3 ≥ 0
Que implicações terá na optimalidade e admissibilidade da solução? Determine
os coeficientes desta nova variável no último quadro do Simplex e resolva o
problema.
g) Considere que foi introduzida no modelo a restrição 9x1 + 2x2 + 6x3 ≤ 30. Teste a
admissibilidade e a optimalidade da solução do problema com a introdução da
nova restrição. Caso se justifique, reoptimize o problema.
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2. Considere o seguinte problema de PL:
Max Z = 2x1 − x2 + x3
sujeito a 3x1 + x2 + x3 ≤ 60x1 − x2 + 2x3 ≤ 10x1 + x2 − x3 ≤ 20
e x1, x2, x3 ≥ 0
O último quadro do Simplex deste problema é dado por:
VB Z x1 x2 x3 S1 S2 S3 VSMZ 1 0 0 3/2 0 3/2 1/2 25S1 0 0 0 1 1 −1 −2 10x1 0 1 0 1/2 0 1/2 1/2 15x2 0 0 1 −3/2 0 −1/2 1/2 5
Teste a admissibilidade e a optimalidade da solução do problema após as seguintes
alterações (caso se justifique, reoptimize o problema com vista a obtenção da nova
solução óptima):
a) Variações nos termos independentes; de b1 = 60, b2 = 10 e b3 = 20 para b1’ = 70,
b2’ = 20 e b3’ = 10.
b) Variações nos coeficientes de x1; de c1 = 2, a11 = 3, a21 = 1 e a31 = 1 para c1’ = 1,
a11’ = 2, a21’ = 2 e a31’ = 0.
c) Variações nos coeficientes de x3; de c3 = 1, a13 = 1, a23 = 2 e a33 = −1 para
c3’ = 2, a13’ = 3, a23’ = 1 e a33’ = −2.
d) Variações nos coeficientes da função objectivo para Z’ = 3x1 − 2x2 + 3x3.
e) Introdução de uma nova restrição, 3x1 − 2x2 + x3 ≤ 30.
f) Introdução de uma nova variável, xN, com coeficientes cN = −1, a1N = −2, a2N = 1
e a3N = 2.
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3. Uma empresa produz três tipos de produtos, P1, P2 e P3. O número de
horas/máquina necessário à produção de cada unidade dos respectivos produtos é
dado por:
Produto/ Máquina M1 M2 M3P1 8 4 2P2 4 3 P3 3 1
A capacidade disponível das máquinas é de 200, 160 e 50 horas semanais,
respectivamente, para M1, M2 e M3. Segundo a Direcção Comercial as vendas
potenciais de P1 e P2 devem exceder a capacidade máxima de produção enquanto
que as vendas previsionais de P3 são de 20 unidades por semana. As margens brutas
unitárias dos produtos P1, P2 e P3 são de 20, 6 e 8 euros, respectivamente.
a) Formalize o problema em termos de programação linear.
b) Resolva o problema através do método do Simplex.
c) Indique, caso existam, as soluções óptimas do par de problemas duais e
interprete-as economicamente.
d) O Director de Produção considera que depois de feita uma revisão à máquina
M3 é possível aumentar a sua capacidade disponível para 80 horas/semana.
Analise as implicações desta situação.
4. Considere o problema de PL e o respectivo quadro óptimo do Simplex:
Max Z = 3x1 + x2 + px3
sujeito a 6x1 + 3x2 + 5x3 ≤ q 3x1 + 4x2 + 5x3 ≤ 20 e x1, x2, x3 ≥ 0
VB z x1 x2 x3 S1 S2 VSM
z 1 0 r 0 1/5 3/5 17x1 0 1 s 0 1/3 −1/3 5/3x3 0 0 t 1 −1/5 2/5 3
a) Determine os valores reais p, q, r, s e t, e indique a solução óptima do par de
problemas duais. Construa o problema dual e resolva-o graficamente.
b) Considere as seguintes alterações no modelo original: c2` = 3, a12` = 2, a22` = 3.
Com base na teoria de dualidade, teste a optimalidade da solução do problema.
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5. Uma empresa electrónica produz actualmente dois modelos de rádios para
automóveis, A e B, cujas margens brutas unitárias são, respectivamente, 30 euros e
50 euros. Por razões de mercado, a produção diária destes modelos de rádios deve
ser de pelo menos 100 unidades. Por motivos de produção, por cada 10 unidades
do modelo B produzidos não poderão produzir-se mais do que 15 unidades do
modelo A.
O processo de produção de cada um dos modelos evolve duas secções: Fabricação
de Peças e Montagem (S1) e Acabamento (S2). A produção de uma unidade do
modelo A necessita de 8 minutos em S1 e 4 minutos em S2. A produção de uma
unidade do modelo B requer 6 e 3 minutos em S1 e S2, respectivamente.
Diariamente a empresa pode utilizar cada uma das secções durante o tempo
seguinte: S1 12 horas, S2 10 horas.
a) Formalize o problema em termos de PL.
b) Resolva-o pelo método do Simplex e indique as soluções óptimas, caso existam,
do par de problemas duais. Interprete-as economicamente.
c) Suponha que a secção de Acabamento tem capacidade para funcionar, num turno
extradionário, mais 2 horas diárias, o que, todavia, implicará nesta secção um
aumento de 2 minutos e 1 minuto, respectivamente, na produção de cada um dos
modelos de rádios. Analise economicamente as implicações desta situação.
d) Suponha que as Direcções de Produção e Comercial, face à capacidade de
produção e às potencialidades de expansão do mercado, propõem uma produção
de rádios destes modelos de pelo menos 130 unidades diárias. Analise as
implicações desta proposta.
6. A empresa LUSOPINHO fabrica três modelos de camas de casal, A, B e C. O processo
de produção envolve duas Secções: Secção de Corte e Secção de Montagem e
Acabamento. Cada cama de casal do modelo A requer 1 hora na Secção de Corte e 2
horas na Secção de Montagem e Acabamento. Cada unidade do modelo B exige 1 hora
em cada uma das duas Secções. Cada unidade do modelo C necessita de 2 horas na
Secção de Corte e 5 horas na Secção de Montagem e Acabamento. As Secções de Corte
e Montagem e Acabamento têm uma capacidade de utilização de 120 horas e 200 horas
quinzenais, respectivamente. A produção de camas de casal dos modelos A e B é tripla
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de C. Um estudo de mercado levado a cabo pela Direcção Comercial aponta para uma
procura dos modelos A, B e C não inferior a 80 unidades. As margens brutas unitárias
estimadas das vendas de A, B e C são de 10, 20 e 15 euros, respectivamente.
a) Formalize o problema em termos de PL.
b) Resolva-o pelo método do Simplex e indique as soluções óptimas, caso existam, do
par de problemas duais. Interprete-as economicamente.
c) Admita que, com o aperfeiçoamento do processo de fabrico, a Secção de Corte tem
capacidade para funcionar mais 20 horas, o que todavia, implicará nesta secção mais
30 min. de laboração por cada unidade fabricada de A e C. Analise o comportamento
da optimalidade e admissibilidade da solução perante estas alterações?
d) Se a procura destes modelos aumentasse 20 unidades e as respectivas margens brutas
unitárias aumentassem 5 euros em cada modelo, que implicações económicas teria?
7. A empresa INFOREX S.A. produz três modelos de computadores, C1, C2 e C3,
que geram margens brutas unitárias de 120, 200 e 160 euros, respectivamente. Para
desenvolver a actividade produtiva a empresa dispõe de 5 homens, cada um
podendo trabalhar 40 horas/semana, e duas máquinas, M1 e M2, cuja capacidade de
laboração é de 30 e 35 horas semanais, respectivamente. A produção de cada
computador do modelo C1 requer 5 horas-homem (hh), 1 hora na máquina M1 e 2
horas na máquina M2. O modelo C2 exige 8 hh, 2 horas em M1 e 1 hora em M2. O
modelo C3 necessita de 7 hh e 1 hora na máquina M2. As previsões de vendas
semanais de C1 e C2 são de pelo menos 20 unidades.
a) Formalize o problema em termos de programação linear.
b) Resolva o problema pelo método do Simplex e indique as soluções óptimas,
caso existam, dos problemas primal e dual. Interprete-as economicamente.
c) Analise as implicações económicas do despedimento de 1 operário.
d) Num estudo de mercado levado a cabo pelo Departamento de Marketing,
conclui-se que a empresa tem potencialidades para vender mais 5
unidades/semana dos modelos C1 e C2, desde que se comprometa a baixar a
margem bruta destes produtos em 20 e 40 euros, respectivamente. Será que esta
situação é vantajosa para a empresa? Justifique a sua resposta.
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8. A empresa IDANHAR S.A. fabrica três tipos de queijos, A, B e C, cujas margens
brutas unitárias são 4,2 e 3 euros, respectivamente. O processo produtivo utilizado
na fabricação dos queijos é artesanal e envolve matérias primas, em grande parte,
derivadas do leite. A quantidade de leite necessário para produzir cada um dos três
tipos de queijos é de 1, 3 e 4 litros, respectivamente. A disponibilidade diária de
leite é de 6000 litros. Os meios humanos e materiais existentes na fábrica impõem
uma produção de queijos do tipo C igual a metade da diferença entre A e B. De
acordo com a experiência passada, a procura de queijos dos tipos A e B no mercado
não deve ser inferior a 2000 unidades.
a) Formalize o problema em termos de programação linear.
b) Resolva-o pelo método do Simplex e indique as soluções óptimas, caso existam,
do par de problemas duais. Interprete-as economicamente.
c) Suponha que com o aperfeiçoamento do processo de fabricação é possível
reduzir a quantidade de leite utilizada na fabricação de A e B em 0,5 e 1,5 litros,
respectivamente, o que todavia, vai levar a que estes produtos percam alguma
qualidade e, consequentemente, o mercado deixe de adquirir 500 unidades
diárias destes tipos de queijos. Que implicações terá esta alteração no plano de
produção óptimo? E na admissibilidade da solução? Justifique a sua resposta.
d) Considere que o Director Geral da empresa pretende aumentar as margens
brutas unitárias dos queijos A e B para 4.5 e 3.5 euros, respectivamente. Analise
as suas implicações económicas.
e) O Director de Produção afirma que é possível aumentar o lucro global da
fábrica produzindo um novo tipo de queijo, D, com uma margem bruta unitária
de 5 euros, sem alterar a relação de produção de A, B e C imposta pelos
recursos humanos e materiais existentes e que o mercado o vai incluir nas suas
preferências habituais. Para produzir este novo produto apenas vai ser
necessário dispor de 2.5 litros de leite por unidade. Comente a sua afirmação.
9. A empresa Infornet_PT Lda. produz três produtos P1, P2 e P3, cujas margens
brutas unitárias são 50, 75 e 100 euros, respectivamente. Segundo o Director de
Produção, por cada unidade produzida de P2 são fabricadas respectivamente 2 e 3
unidades de P1 e P3, sendo o limite da capacidade de produção igual a 40
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unidades semanais. O Director de Marketing da empresa afirma que as vendas do
produto P1 devem ser pelo menos iguais às de P2. A empresa dispõe de 20
trabalhadores que são afectos às tarefas de produção e comercialização de P1, P2
e P3 na proporção de 1:1:2. Qual o plano óptimo de produção que conduza ao
lucro máximo?
a) Formalize o problema em termos de programação linear.
b) Resolva-o pelo método do Simplex e indique as soluções óptimas, caso
existam, dos problemas primal e dual. Interprete-as economicamente.
c) Analise as implicações económicas de um aumento da margem bruta de P1 e
P3 em 30 e 20 euros, respectivamente.
d) Será vantajoso para a empresa a contratação de 5 novos trabalhadores?
Justifique convenientemente a resposta.
10. Considere o seguinte problema de programação linear:
Max Z = 3x1 + x2 − x3
sujeito a 2x1 + x2 + x3 ≤ 8 4x1 + x2 − x3 ≤ 10 e x1, x2, x3 ≥ 0
O quadro óptimo do Simplex é dado por:
VB z x1 x2 x3 S1 S2 VSM
z 1 0 0 α 1/2 1/2 9x2 0 0 1 β 2 −1 6x1 0 1 0 θ −1/2 1/2 1
a) Calcule os parâmetros reais α, β e θ sem resolver o problema desde a sua
formulação inicial. Indique o par de problemas duais.
b) Analise as implicações da alteração de c2 para 2 unidades monetárias.
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11. Considere o problema de PL e o respectivo quadro óptimo do Simplex
Max Z = x1 + x2
sujeito a 3x1 + 2x2 ≤ 20 2x1 + 3x2 ≤ 20
x1 + 2x2 ≥ 2 e x1, x2 ≥ 0
VB Z x1 x2 S1 S2 E1 A1 VSMZ 1 0 0 1/5 1/5 0 M 8E1 0 0 0 −1/5 4/5 1 −1 10x2 0 0 1 −2/5 3/5 0 0 4x1 0 1 0 3/5 -2/5 0 0 4
a) Represente graficamente a região admissível ao problema.
b) Indique e interprete as soluções do problema primal e dual.
c) Determine os intervalos de sensibilidade para os termos independentes.
d) Analise as implicações na SBA dada perante as seguintes alterações:
(i) 4'11 =a e 2'
22 =a ;
(ii) 10'1 =b ;
(iii) 2e5.1 '2
'1 == cc ;
(iv) introdução de uma nova restrição, 1522 21 ≤+ xx .
12. Uma fábrica produz 3 produtos (A, B e C) cujas margens brutas unitárias são de
4, 1 e 2 euros, respectivamente. Os recursos utilizados por unidade produzida são
os seguintes:
Recurso I Recurso IIA 2 1B 1 4C 0 2
A disponibilidade dos recursos I e II é de 16 e 12 unidades, respectivamente.
Segundo o Director de Produção, a produção de A e B não deve ser inferior ao
dobro da produção de C em 6 unidades. A produção óptima é de 8 unidades do
produto A e 1 unidade do produto C.
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a) Formalize o problema em termos de programação linear e resolva-o pelo
método do Simplex. Indique a interprete economicamente a solução óptima do
problema dual.
b) O Director de Marketing propõe baixar a margem bruta unitária do produto A
em 2 euros. Que implicações terá esta alteração no plano de produção óptimo?
Justifique, convenientemente, a sua resposta.
c) Segundo a Direcção de Produção a empresa poderá ver-se forçada a reduzir a
quantidade disponível do recurso II para 6 unidades. Que implicações
produzirá esta alteração na solução óptima do problema? E se reduzir este
recurso para 10 unidades?
13. Considere o problema de programação linear
Min Z = −2x1 + x2 + −x3
sujeito a x1 + x2 + x3 ≤ 6−x1 + 2x2 ≤ 4
e x1, x2, x3 ≥ 0
e o respectivo quadro óptimo do Simplex:
VB Z x1 x2 x3 S1 S2 VSMZ −1 0 3 1 2 0 12x1 0 1 1 1 1 0 6S2 0 0 3 1 1 1 10
a) Indique a solução óptima do par de problemas duais.
b) Construa o problema dual e resolva-o graficamente.
c) Determine os intervalos de sensibilidade para os coeficientes da FO.
d) Analise as implicações na optimalidade e admissibilidade da solução resultantes
das seguintes alterações:
(i) 5e2 '22
'12 == aa ;
(ii) 3e10 '2
'1 == bb ;
(iii) 3e0 '3
'11 −== ca ;
(iv) introdução de uma nova actividade 2e1,1com 21 =−== NNNN aacx .
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V. PROBLEMAS DE TRANSPORTES E AFECTAÇÃO
1. Considere o seguinte problema de transporte:
Destino
1 2 3 Oferta
1 8 12 3 25Origem 2 9 6 4 40
3 10 7 5 35Procura 20 50 30
a) Obtenha uma solução básica admissível inicial pelo método do Canto do
Noroeste.
b) Obtenha uma solução básica admissível inicial pelo método de Vogel.
c) Determine a solução óptima do problema pelo método de Stepping-Stone.
d) Determine a solução óptima do problema pelo método de Dantzig.
e) Escreva o problema dual e obtenha a respectiva solução óptima.
2. Um Director de uma grande empresa é responsável pela Secção de Produção de
três fábricas distintas, F1, F2 e F3, que produzem pneus de automóveis. As
unidades fabris produzem a mesma qualidade de pneus, mas têm diferentes
capacidades de produção. As fábricas F1, F2 e F3 produzem 1500, 2500 e 2000
pneus, respectivamente. Existem 4 mercados abastecedores deste produto, embora,
por razões de natureza comercial e fiscal, nem todas as fábricas podem servir todos
os mercados. A fábrica F1 pode abastecer os 4 mercados, M1, M2, M3 e M4, a
custos unitários de transporte de 4, 3, 2 e 5 euros, respectivamente. A fábrica F2
apenas pode fornecer os mercados M1, M2 e M3 com custos unitários de
transporte de 2, 1 e 4 euros, respectivamente. A fábrica F3 apenas pode abastecer
os mercados M2, M3 e M4 com custos unitários de transporte de 4, 2 e 7 euros,
respectivamente. Os mercados M1, M2 e M3 necessitam de 1500, 1200 e 1800
pneus, respectivamente. O mercado M4 necessita de pelo menos 500 pneus.
a) Formalize o problema em termos de programação linear.
b) Formalize o problema em temos de um problema de transporte e determine o
plano óptimo de transporte. Comente a solução obtida.
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3. Mostre que qualquer problema de afectação é caso particular de um problema de
transporte.
4. Uma empresa tem três unidades fabris, A, B e C, localizadas em pontos distintos,
que fornecem quatro mercados consumidores, M1, M2, M3 e M4. Por razões de
mercado, a fábrica C não abastece os mercados M1 e M4. Sabendo que os custos
de transporte, as disponibilidades e as necessidades são:
M1 M2 M3 M4 Oferta
A 5 3 7 9 5
B 1 2 5 6 10
C 4 2 15
Procura 20 10 15 15
a) Determine o plano óptimo de transporte.
b) Escreva o problema em termos de PL.
5. No problema de transportes a seguir apresentado a procura total excede a oferta
total. Suponha que os custos de penalização por unidade não satisfeita da procura
são 5, 3 e 2 euros respectivamente para os destinos 1, 2 e 3.
1 2 3 Oferta
1 5 1 7 10
2 6 4 6 80
3 3 2 5 15
Procura 75 20 50
Determine a solução óptima deste problema.
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6. A equipa docente do departamento de Métodos Quantitativos de uma escola do
ensino superior, formada por 4 Assistentes (A1, A2, A3 e A4) e 2 Professores (P1
e P2), face às dificuldades manifestadas por alguns alunos em presenciar as aulas,
decidiu escrever uma sebenta de Investigação Operacional com 6 capítulos. Após
várias reuniões, cada um dos docentes apresentou o tempo necessário (em dias)
para escrever cada capítulo da sebenta:
1 2 3 4 5 6
A1 3 5 2 4 7 3
A2 6 4 1 6 5 9
A3 4 7 8 12 9 4
A4 3 8 2 10 7 11
P1 2 3 1 7 12 4
P2 1 10 9 7 6 5
Qual o tempo total mínimo para a conclusão da sebenta?
7. Uma empresa multinacional de auditoria e consultoria pretende formar uma
equipa de 5 consultores para efectuar uma auditoria técnico-financeira a uma
empresa de utilidade pública. Um dos administradores da empresa pediu ao
coordenador da equipa que elaborasse um plano de afectação dos 5 consultores às
diversas tarefas de modo a minimizar o tempo total de realização do trabalho.
Após uma análise do sistema e das potencialiddaes dos consultores envolvidos, o
coordenador estimou os seguintes tempos de execução das diversas tarefas:
Rui José Ana Rita João
Controlo de pagamentos 8 2 8 3 2Controlo de recebimentos 3 9 2 1 1
Controlo orçamental 7 9 7 7 3Controlo contabilístico 5 3 4 5 1
Inspecção física 1 1 4 4 9
Qual a melhor decisão de gestão que deverá ser tomada?
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8. Considere um problema de afectação de 6 operadores a 6 máquinas, em que o
operador C não pode ser afectado à máquina M2 e o operador E não pode ser
afectado à máquina M3, dada pela seguinte matriz de custos, em euros, por hora
de laboração:
Máquina
M1 M2 M3 M4 M5 M6
A 3 8 2 10 3 4
B 8 7 2 9 7 10
Operador C 6 2 7 5 8
D 8 4 2 3 5 2
E 9 10 9 10 6
F 5 7 2 7 3 9
Determine o plano óptimo de afectação e o respectivo custo total.
9. Uma empresa do sector de alimentação e bebidas tem 3 unidades fabris, U1, U2 e U3
que fornecem 4 mercados consumidores, A, B, C e D. Por motivos logísticos, a fábrica
U1 não abastece o mercado B e a fábrica U3 não fornece os mercados B e C. Os custos
de transporte (em euros), as disponibilidades e as necessidades são as que constam do
quadro seguinte:
A B C D Oferta
U1 20 16 18 90
U2 25 15 17 22 110
U3 18 20 60
Procura 50 80 70 100
a) Formalize o problema em termos de programação linear.
b) Determine o plano óptimo de transporte. Comente a solução obtida.
10. Uma fábrica de electrodomésticos tem 6 empregados (A, B, C, D, E e F) e 5 máquinas
(M1, M2, M3, M4 e M5). A insuficiente qualificação dos empregados E, A e C não
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lhes permite trabalhar com as máquinas M2, M3 e M4, respectivamente. O Director de
Produção pretende definir um plano de afectação homem/máquina que minimize o
custo total de produção. Os custos de afectação (em euros) são os seguintes:
Máquina
M1 M2 M3 M4 M5
A 8 7 10 6
B 7 12 9 6 8
Empregado C 5 7 7 7
D 10 10 8 5 4
E 13 8 8 9
F 6 9 10 9 6
a) Formalize o problema em termos de programação linear.
b) Determine o plano óptimo de afectação. Comente a solução obtida.
11. Um fabricante nacional de barcos de pesca da marca LUSOMAR vende a sua
produção através de 3 centros de distribuição, Lisboa, Porto e Faro, cuja
capacidade mensal é de 40, 35 e 30 barcos, respectivamente. As encomendas
mensais dos retalhistas R1, R2, R3 e R4, servidas pelos centros de distribuição,
previstas para o próximo mês são 20, 25, 35 e 45 unidades, respectivamente. Os
custos de transporte entre os centros de distribuição e os retalhistas são os
seguintes (em euros por unidade)
R1 R2 R3 R4Lisboa 45 50 35Porto 25 40 45 60Faro 40 30 50 45
Actualmente, por motivos de natureza logística, não se efectua o transporte entre
o centro de distribuição de Lisboa e o retalhista R1. Face ao exposto, determine o
plano óptimo de transporte entre os centros de distribuição e os retalhistas.
12. O Director Geral do Banco Luso pretende lançar no mercado 5 novos produtos
financeiros, P1, P2, P3, P4 e P5. Para o efeito, pediu ao Departamento Comercial
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Jorge Caiado Caderno de Exercícios de Investigação Operacional 24
que elaborasse uma campanha publicitária para estes produtos. O Director de
Marketing consultou as 7 principais empresas de comunicação a operar no
mercado português e solicitou-lhes orçamentos para a publicitação dos diferentes
produtos em anúncios audo-visuais. Os valores apresentados nas diversas
propostas, em contos por segundo de publicitação, foram os seguintes:
Empresa E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 P1 35 29 36 28 27 34 36 P2 28 30 32 29 38 33 40
Produto P3 30 24 25 21 34 33 24 P4 40 28 20 21 38 27 30 P5 32 34 32 30 27 29 30
Considerando que o Director de Marketing do Banco Luso quer publicitar cada
produto financeiro em uma e uma só empresa de comunicação, qual a melhor
escolha a fazer de modo a minimizar o custo total da campanha publicitária?
13. Uma empresa do sector de indústria química tem 4 fábricas situadas em locais
distintos do País, Loures (L), Palmela (P), Cartaxo (C) e Torres Vedras (T), que
produzem o medicamento MILAGREX. As capacidades de produção das fábricas
em L, P, C e T são de 1100, 1200, 1300 e 1000 unidades diárias, respectivamente.
Existem 3 armazéns abastecedores deste produto, A1, A2 e A3, embora, por
motivos de natureza comercial e logística, a fábrica em L não fornece A1,
acontecendo o mesmo com as fábricas de P e C em relação a A3 e A2,
respectivamente. Os armazéns A1, A2 e A3 necessitam de 2000, 1400 e 1700
unidades diárias do medicamento MILAGREX. Os custos unitários de transporte
do produto MILAGREX da fábrica de L para A2 e A3 são 15 e 18 euros,
respectivamente, de P para A1 e A2 são 12 e 22 euros, de C para A1 e A3 são 16
e 13 e de T para A1, A2 e A3 são 20, 17 e 11 euros.
a) Formalize o problema em termos de programação linear.
b) Formalize o problema em temos de um problema de transporte e determine o
plano óptimo de transporte. Comente a solução obtida.
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14. Considere um problema de afectação de operários a tarefas, em que o operário B
não pode ser afecto à tarefa T1 e a tarefa T4 não pode ser executada pelo operário
D, dada pela seguinte matriz de custos (em euros, por hora de laboração):
Tarefa
T1 T2 T3 T4 T5
A 20 25 20 26 19
B 21 17 23 21
Operário C 18 23 20 18 18
D 14 19 26 20
E 23 21 25 18 24
F 19 19 17 17 18
a) Formalize o problema em termos de programação linear.
b) Determine o plano óptimo de afectação e o respectivo custo total
15. Suponha que três empresas químicas, A, B e C, vendem o medicamento Memo+
aos hospitais H1, H2, H3 e H4, cujas necessidades diárias são 100, 125, 190 e 70
unidades, respectivamente. A capacidade de produção das empresas A, B e C é de
220, 250 e 180 unidades, respectivamente. Os custos unitários de transporte
diários deste medicamento da empresa A para H1, H2, H3 e H4 são de 2, 3, 1 e 6
euros, respectivamente. Da empresa B para H1, H3 e H4 são de 7, 3 e 4 euros,
respectivamente. E da empresa C para H2, H3 e H4 são de 8, 2 e 5 euros,
respectivamente. Por motivos de natureza comercial, as empresas B e C não
fornecem os hospitais H2 e H1, respectivamente. Os custos de armazenagem para
as empresas A, B e C por cada unidade não transportada do produto Memo+ são
de 1, 1.5 e 2 euros, respectivamente.
Formalize o problema em termos de um problema de transporte e determine o
plano óptimo de transporte. Interprete a solução obtida.
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16. O Director Geral da empresa Finança da Beira S.A. pretende elaborar um plano de
afectação de cada um dos seus 6 consultores financeiros a um dos 5 projectos de
investimento em curso com vista à elaboração dos respectivos relatórios de
progresso. Depois de feita uma análise do sistema, o Director Geral chegou à
seguinte matriz de tempos de execução (em horas) dos referidos relatórios:
Projecto
P1 P2 P3 P4 P5
A 10 12 20 14 10
B 7 11 10 15 13
Consultor C 15 12 9 17 20
D 12 17 18 14 10
E 11 14 14 10 12
F 13 11 17 11 15
a) Formalize o problema em termos de programação linear.
b) Determine o plano óptimo de afectação e o respectivo custo total.
17. Uma empresa formada por 3 fábricas, F1, F2 e F3, produz actualmente quatro
produtos, A, B, C e D. A capacidade de produção das fábricas F1, F2 e F3 é de
125, 250 e 300 toneladas diárias, respectivamente. Segundo o Director Comercial,
a procura dos produtos A, B, C e D é de 100, 150, 200 e 350 toneladas diárias,
respectivamente. A empresa não tem capacidade para produzir o produto B na
fábrica F2 nem para produzir os produtos C e D na fábrica F1. Os custos unitários
de produção são os seguintes (em euros/ton.):
ProdutoA B C D
F1 550 375
Fábrica F2 400 525 500F3 450 575 425 475
a) Formalize o problema em termos de programação linear.
b) Formalize o problema em termos de programação de transporte e determine o
plano óptimo de produção. Interprete economicamente a solução obtida.
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18. Num pequeno País produtor de petróleo, existem 4 refinarias de petróleo (R1, R2,
R3 e R4) com capacidade de produção de 15, 20, 35 e 30 milhões de galões de
gasolina. Estas fornecem 3 áreas de abastecimento (A1, A2 e A3) com
necessidades de 20, 25 e 15 milhões de galões de gasolina. Por razões comerciais
e de logística, a área A1 não é abastecida pelas refinarias R1 e R3, enquanto que a
refinaria R2 não fornece a área A3. Os custo unitários de transporte são os
seguintes:
A1 A2 A3
R1 80 100
R2 120 110
R3 150 95
R4 140 90 105
Determine o plano óptimo de transporte e o respectivo custo total.
19. Num fábrica de componentes metálicas existem 4 categorias de máquinas (M1,
M2 e M3) e 4 tarefas específicas (A, B, C e D). O número de máquinas
disponíveis dos 3 tipos é de 20, 35 e 25, respectivamente. O número de operários
necessários em cada tarefa é de 15, 20, 30 e 35, respectivamente. As máquinas do
tipo M3 não podem ser afectas à tarefa C. Os custos de afectação (em euros) são
os seguintes:
Tarefa
A B C D
M1 20 10 15 20Máquina M2 15 16 14 17
M3 15 20 13
Determine o plano óptimo de afectação. Comente a solução obtida.
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20. Considere o seguinte problema de afectação em que os elementos da matriz sãolucros unitários:
1 2 3 4
A 20 25 20 26 1
B 15 21 17 23 1
C 18 23 20 18 1
1 1 1 1
Resolva-o pelo método Húngaro.
21. Considere o seguinte problema de afectação:
A B C D E1 10 12 12 14 12 12 9 11 17 8 13 13 13 10 9 9 14 11 16 11 12 10 1
1 1 1 1 1
Determine o plano óptimo de afectação se:
a) o objectivo for minimizar o custo total;
b) o objectivo for maximizar o lucro total.
22. Uma empresa de confecção produz fatos de homem em 3 fábricas distintas, F1, F2
e F3, que fornecem 4 lojas de venda ao público, A, B, C e D, situadas em
diferentes centros comerciais. A capacidade de produção mensal das fabricas F1,
F2 e F3 é de 1000, 2000 e 1400 fatos, respectivamente. A procura mensal deste
tipo de fatos nas lojas A, B, C e D é de 600, 900, 850 e 1100, respectivamente.
Por motivos logísticos, a fábrica F1 não fornece a loja A nem F3 fornece D. Os
custos unitários de transporte (em euros) das fábricas para as lojas são os
seguintes:
Loja A B C D
F1 3 5 12Fábrica F2 7 6 9 11
F3 6 10 8
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a) Determine o plano óptimo que minimiza o custo total de transporte.
b) Supondo que o lucro bruto unitário de venda de cada fato é de 50 euros,
formalize o problema de modo a maximizar o lucro total.
23. A empresa NovaBeira S.A. produz aparelhos de ar condicionado em 3 fábricas
(F1, F2 e F3) que fornecem 3 mercados abastecedores (M1, M2 e M3). As
capacidades de produção semanal de F1, F2 e F3 são 25, 20 e 40 unidades,
respectivamente. As necessidades semanais de M1, M2 e M3 são 50, 20 e 30
unidades, respectivamente. Por motivos logísticos, F1 não fornece M1. Os custos
unitários de transporte das fábricas para os mercados são os seguintes:
M1 M2 M3F1 8 7
F2 10 9 11
F3 13 14 12
Resolva o problema pelo algoritmo de transportes. Interprete a solução obtida.
24. Considere o seguinte problema de transportes (minimização):
Destino
1 2 3 4 5 Oferta
A 3 2 4 2 5 1
Origem B 1 2 2 3 3 1
C 5 6 6 4 7 1
D 3 5 4 6 4 1
Procura 1 1 1 1 1
a) Obtenha uma SBA inicial pelo método do “Canto do Noroeste”. Quantas
variáveis básicas há nessa solução básica admissível inicial? E destas quantas
são degeneradas?
b) Resolva o problema pelo método Húngaro.
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25. Uma empresa tem cinco fábricas (F1, F2, F3, F4 e F5), que fornecem 3 mercados
abastecedores (A, B e C). Por motivos logísticos, a fábrica F2 não fornece o
mercado B e o mercado A não é abastecido pela fábrica F5. Os custos de
transporte, as disponibilidades e as necessidades são os seguintes:
A B C Oferta
F1 10 16 20 100
F2 12 15 80
F3 20 13 16 280
F4 13 16 14 300
F5 12 11 140
Procura 180 200 220
a) Determine o plano óptimo de transporte e interprete a solução obtida.
b) Escreva o problema em termos de PL e construa o 1.º quadro do Simplex.
26. Na competição “24 horas de Karting das Universidades e Politécnicos”, um dos
patrocinadores da prova pretende comparticipar a inscrição das 5 equipas que se
revelarem mais competitivas nos testes cronometrados com os 5 karts disponíveis.
No dia da prova de selecção compareceram 6 grupos e fizeram-se testes
cronometrados com os elementos de cada um dos grupos, tendo estes utilizado
cada um dos 5 karts. Os melhores tempos registados pelos elementos dos grupos
com cada um dos respectivos karts, foram os seguintes (em minutos):
Kart
1 2 3 4 5
1 12 13 10 13 12
2 10 11 9 13
Grupo 3 16 12 14 12 12
4 16 15 10 15 11
5 15 11 11 18 17
6 13 14 13 12 16
Determine o plano óptimo de afectação das equipas em termos de performance
competitiva.
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Jorge Caiado Caderno de Exercícios de Investigação Operacional 31
27. A empresa Lusotécnica Lda. produz um determinado modelo de televisores em 3
fábricas distintas (F1, F2 e F3), que fornecem 4 hipermercados da zona Norte (H1,
H2, H3 e H4). O número de unidades produzidas pelas três fábricas é de 1000,
2000 e 1400, respectivamente. A procura deste modelo de televisores nos
hipermercados H1, H2, H3 e H4 é de 600, 900, 850 e 1100 unidades,
respectivamente. Por motivos comerciais, a fábrica F1 não fornece H1. Os custos
unitários de transporte (em euros) são os seguintes:
H1 H2 H3 H4F1 9 10 12F2 14 8 11 9F3 10 15 12 13
Determine o plano óptimo de transporte e interprete a solução obtida.
28. Considere um problema de afectação dado pela seguinte matriz de custos ou
lucros unitários (em euros):
A B C D1 7 12 8 102 9 10 11 3 13 7 12 74 8 12 10 95 7 13 6 14
Qual o plano óptimo de afectação se o objectivo for:
a) minimizar o custo total;
b) maximizar o lucro total.
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29. Uma empresa tem 2 armazéns (A1 e A2) que fornecem um determinado produto a
3 lojas (L1, L2 e L3). As capacidades de A1 e A2 são de 100 e 120 unidades,
respectivamente. As necessidades de L1, L2 e L3 são de 60, 40 e 80 unidades,
respectivamente. Os custos unitários de transporte (em euros) da origem Ai para o
destino Lj são os seguintes:
L1 L2 L3A1 10 12
A2 7 11 8
Por motivos comercias, o armazém A1 não fornece a loja L1.a)Escreva o problema em termos de um problema de programação linear.b)Resolva o problema pelo algoritmo de transportes. Interprete a solução obtida.
30. Considere o seguinte problema de transportes (minimização)
Destino
1 2 3 4 5 Oferta
A 5 7 8 6 7 1
Origem B 11 12 15 14 12 1
C 3 3 4 5 6 1
D 10 12 9 8 9 1
E 9 14 12 13 11 1
Procura 1 1 1 1 1
a) Obtenha uma SBA inicial pelo método do “Canto do Noroeste”. Quantas
variáveis básicas há em cada SBA inicial? E destas quantas são degeneradas?
b) Resolva o problema pelo método Húngaro.
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SOLUÇÕES
I. Introdução à Programação Linear
1. a) x1 = 0; x2 = 3; z = 6. b) x1 = 0; x2 = 0; z = 0. c) Solução não admissível.d) x1 = 0; x2 = 7; z = 21. e) x1 = 0; x2 = 2; z = 4. f) x1 = 5,6; x2 = 5,6; z = 50,4.g) (i) Solução não limitada (ii) x1 = 2,(6); x2 = 2; z = 4,(6) (iii) Soluções óptimasalternativas; z = 2 (iv) Solução não limitada (v) Soluções óptimas alternativas,z = −1 (vi) x1 = 2; x2 = 3; z = 2 (vii) Solução não limitada (viii) Soluções óptimasalternativas, z = 12.
2. x1 = 4/3; x2 = 10/3; z = 36.
3. x1 = 16; x2 = 4; z = 760.
4. x1 = 5; x2 = 8; z = 128000.
5. (1) Max Z = 40x1 + 20x2 − 10x3. (2) Min W = 150x1 + 1000x2
II. Método do Simplex
1. b) x1 = 2, x2 = 6; z = 36.
2. x1 = 0, x2 = 10, x3 = 20/3; z = 70.
3. x1 = 1, x2 = 0; z = 6.
4. a) x2 = 9/2, x5 = 6, x1 = x3 = x4 = 0; z = 81/2. b) x1 = 0,583, x2 = 0,417, x3 = 0, x4 = 0;z = 71,67.
5. a) e>0, a>0. b) e=0, a>0. c) a>0, c≤0, d≤0, e<0. d) a=0.
6. x1 = 0, x2 = 15, x3 = 15; z = 90.
7. x1 = 0, x2 = 0, x3 = 1, x4 = 1, x5 = 3, x6 = 0; z = 1.
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III. Dualidade
2. a) Primal: X*=(12,12,0,0,0); Z*=108; Dual: Y*=(14,9,0,0,0); W*=108.b) Soluções óptimas alternativas.
3. a) x1 = 140/19, x2 = 50/95; Z = 190. b) y1 = 4, y2 = 5; W = 190.
4. a) x1 = 35, x2 = 0, x3 = 35; Z = 175.
5. a) x1 = 3, x2 = 5; Z = 540. b) y1 = 1.5, y2 = 0, y3 = 0.5; W = 540.
6. a) x1 = 63.5, x2 = 0, x3 = 0, x4 = 36,5, x5 = 0, x6 = 11.5; Z = 17145.b) y1 = 0, y2 = 135, y3 = 0, y4 = 0, y5 = 105, y6 = 90; W = 17145.
IV. Análise de Sensibilidade
1. a) X*=(5/3,0,3,0,0), Z*=17 c) Y*=(1/5,3/5,0,2,0), W*=17 d) A solução primal deixa de ser óptima e) X*=(35/12,15/4,0,0,0), Z*=20 f) A solução primal deixa de ser óptima. Nova SBA: X*=[(0,0,2,5)(0,0)] Z*=18 g) X*=[(10/9,0,10/3)(5/3,0,0)] Z*=50/3
3. c) X*=[(15,5,20),(0,85,0) Z*=490 e Y*=[(1.5,0,4,−0.5)(0,0,0)], W*=490 d) A solução deixa de ser admissível
4. a) p=4, q=25, r=2, s=−1/3, t=1. Primal: X*=[(5/3,0,3),(0,0) Z*=17 Dual: Y*=[(1/5,3/5)(0,2,0)], W*=17 b) X*=[(2.91(6),3.75,0)(0,0)] Z*=20
5. b) X*=[(0,120)(20,180,0,240)], Z*=6000 e Y*=[(0,0,8.(3),0)(36.(6),0)], W*=6000c) Não altera a optimalidade da solução
d) A solução deixa de ser admissível
6. b) X*=[(0,72,24)(0,8,16)], Z*=1800 e Y*=[(15,0,0,5)(10,0,0)], W*=1800c) O lucro óptimo passa a ser 1762 euros
d) A solução deixa de ser admissível
7. b) X*=[(10,10,5)(35,0,0)], Z*=4000 e Y*=[(0,240,160,-440)(0,0,0)], W*=4000c) A solução dada deixa de ser admissível
d) Não é vantajosa
8. b) X*=[(2000,0,1000)(0,0)],Z*=11000 e Y*=[(1.8(3),2.1(6),0)(0,1.(3),0)],W*=11000c) Não afecta a admissibilidade mas vai alterar a optimalidade.
Nova SBA: x1* = 3000; x2* = 3000; x6* = 4500; Z*=18000 d) Vai alterar a optimalidade da solução. Nova SBA: x1* = 2000; x3* = 1000; x4* = 0; Z*=12000 e) A afirmação é correcta (Z*’=12000).
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9. b) X*=[(10,10,0)(10,0,0)],Z*=1250 Y*=[(0,−12.5,62.5)(0,0,25)],W*=1250c) O lucro passa a ser de 1600 euros, com X*=[(20,0,0)(0,20,0)]d)Sim (Z* = 1562.5)
10. a) 1, 3 e –1; X*=[(1,6,0)(0,0)], Z*=9 ; Y*=[(0.5,0.5)( 0,0,1)], W*=9.b) Vai afectar a optimalidade da solução. Nova SBA: X*=[(0,8,0)(0,2)], Z*=16.
11. b) X*=[(4,4),(0,0,10)], Z*=8 ; Y*=[(0.2,0.2,0),(0,0)], W*=8.c) b1∈[13.(3) , 30] , b2∈[13.(3) , 30] e c3∈]−∞ , 12].d) (i) A solução deixa de ser óptima. Nova SBA: X*=[(0,10,18),(0,0)], Z*=10.
(ii) A solução deixa de ser admissível(iii) A solução deixa de ser óptima. Nova SBA: X*=[(4,4,10),(0,0)], Z*=14.(iv) Vai afectar a admissibilidade da solução. Nova SBA:
X*=[(5,2.5),(0,2.5,8)], Z*=7.5.
12. a) Y*=[(2.5,0,−1),(0,0.5,0)], W*=34.b) Vai alterar o plano óptimo de produção.
Nova SBA: X*=[(7.75,0.5,1.125),(0,0,0)], Z*=18.25.c) Com b2’=6 a solução deixa de ser admissível. Com b2’=10 não altera a SBA
dada.
13. a) X*=[(6,0,0),(0,10)], Z*=−12 ; Y*=[(−2,0),( 0,−3, −1)], W*=−12.c) c1∈]−∞ , −1] , c2∈[−2 , +∞[ e c3∈[−2 , +∞[.d) (i) Não afecta a optimalidade da solução.
(ii) O valor de Z* pasas a ser −20 com X*=[(10,0,0),(0,13)](iii) Vai afectar a optimalidade da solução dada (solução não limitada).(iv) Vai afectar a optimalidade da solução. Nova SBA:
X*=[(16,0,0,10),(0,0)], Z*=−22.
V. Problemas de Transportes e Afectação
2. b) F1-M4 (1500), F2-M1 (1500), F2-M2 (1000), F3-M2 (200), F3-M3 (1800).Custo = 15900
4. a) A-M2 (5), B-M1 (10), C-M3 (15), Fict.-M1 (10), Fict.-M2 (5), Fict.-M3 (0),Fict.-M4 (15). Custo = 55
5. 1-2 (10), 2-1 (60), 2-2 (10), 2-3 (10), 3-1 (15), Fict.-3 (40). Custo = 595 euros
6. A1-4, A2-5, A3-6, A4-3, P1-2, P2-1. Duração = 19 dias
7. CP-José, CR-Rita, CO-João, CC-Ana, IF-Rui. Duração = 11 dias
8. A-M2, B-M2, C-M3, D-M4, E-M6, F-M5. Custo = 24 euros
9. U1-C (40), U1-D (50), U2-B (80), U2-C (30), U3-A (50), U3-D (10), Fict.-D(40). Custo = 4350
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10. A-M2, B-M4, C-M1, D-M5, E-M3, F-Fict. Custo = 30
11. L-R4 (40), P-R1 (20), P-R3 (45), F-R2 (25), F-R3 (0), F-RA (5), Fict.-R3 (20)Custo = 3550
12. P1-E2, P2-E1, P3-E4, P4-E5, P6-E6, P7-E7. Custo = 125 contos
13. L-A2 (1100), P-A1 (1200), C-A1 (600), C-A3 (700), T-A3 (1000), Fict.-A1(200), Fict.-A2 (300). Custo = 60600 euros.
14. A-Fict., B-T3, C-T5, D-T1, E-T4, F-T2. Custo = 86 euros
15. A-H1 (95), A-H2 (125), B-H1 (5), B-H3 (10), B-H4 (70), B-Fict. (165), C-H3(180). Custo = 1517,5 euros
16. b) A-P1, B-P3, C-P2, D-P5, E-Fict., F-P4. Custo = 53 horas
17. b) F1-B (125), F2-A (100), F2-D (150), F3-C (200), F3-D (100), Fict.-B (200),Fict.-D (100). Custo = 294375 euros
18. R1-A2 (15), R2-A1 (20), R3-A3 (15), R3-Fict. (20), R4-A2 (10), R4-Fict.(20). Custo = 5925
19. M1-B (20) , M1-C (10), M2 – A (15) , M2 – C (20), M3 – D (25) , Fict. –D(10).Custo = 1180 euros.
20. A-2 , B-A, C-3 , D-1. Lucro = 68.
21. a) 1-A, 2-D, 3-C, 4-E, Fict.- B. Custo = 37. b) 1-D, 2-C, 3-A, 4-B, Fict.- E. Lucro = 60.
22. a) F1-B (900), F1-C (100), F2-D (1100), F2-Fict. (900), F3-A (600), F3-C (750),F3-Fict. (50). Custo = 24900 euros.
23. F1-M3 (25), F2-M1 (0), F2-M2 (20), F3-M1 (35), F3-M3 (5), FF-M1 (15).Custo = 870.
24. a) A1-1 (1), A-2 (0), B-2 (1), B-3 (0), C-3 (1), C-4 (0), D-4 (1), D-5 (0), Fict.-5 (1).Custo = 17; 9 variáveis básicas (4 variáveis degeneradas).
b) A-2, B-1, C-4 , D-5 (ou D-3), F-3 (OU F-5). Custo = 11.
25. F1-A (100), F2-A (80), F3-B (200), F3-Fict. (80), F4-C (80), F4-Fict. (220),F5-C (140). Custo = 7220.
26. 1-G1, 2-G4, 3-G5, 4-G3, 5-G2, 6-G6. Custo=54.
ESCE/Intituto Politécico de Setúbal
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27. F1-H2 (0), F1-H3 (850), F1-HF (150), F2-H2 (900), F2-H4 (1100), F3-H1(600), F3-HF (800).Custo = 31600.
28. 1-A, 1-Fict., 3-B, 4-D, 5-C. Custo=29. 1-B, 2-C, 3-A, 4-Fict., 5-D. Lucro=50.
29. A1-L2 (40), A1-L3 (20), A1-LF (40), A2-L1 (60), A2-L3 (60).Custo = 1540.
30. a) A1-1 (1), A-2 (0), B-2 (1), B-3 (0), C-3 (1), C-4 (0), D-4 (1), D-5 (0), E-5 (1).Custo = 40; 9 variáveis básicas (4 variáveis degeneradas).
b) A-4, B-5, C-2 , D-3 ,E-1. Custo = 39.