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Biostatistik, WS 2017/18
Wilcoxons Rangsummen-Test
Matthias Birkner
http://www.staff.uni-mainz.de/birkner/Biostatistik1718/
22.12.2017
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Wilcoxons Rangsummentest
Inhalt
1 Wilcoxons RangsummentestMotivationWilcoxon-Test fur unabhangige Stichproben
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Wilcoxons Rangsummentest Motivation
Inhalt
1 Wilcoxons RangsummentestMotivationWilcoxon-Test fur unabhangige Stichproben
3/30
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Wilcoxons Rangsummentest Motivation
Bei (ungefahr) glockenformigen undsymmetrisch verteilten Beobachtungen
oder wenn die Stichprobenumfange genugend groß sindkonnen wir den t-Test benutzen,
um die Nullhypothese µ1 = µ2 zu testen:Die t-Statistik ist (annahrend) Student-verteilt.
Besonders bei sehr asymmetrischen undlangschwanzigen Verteilungen
kann das anders sein
4/30
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Wilcoxons Rangsummentest Motivation
Bei (ungefahr) glockenformigen undsymmetrisch verteilten Beobachtungen
oder wenn die Stichprobenumfange genugend groß sindkonnen wir den t-Test benutzen,
um die Nullhypothese µ1 = µ2 zu testen:Die t-Statistik ist (annahrend) Student-verteilt.
Besonders bei sehr asymmetrischen undlangschwanzigen Verteilungen
kann das anders sein
4/30
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Wilcoxons Rangsummentest Motivation
Nehmen wir an, wir sollten folgende Verteilungen vergleichen:
x
Häu
figke
it
0 20 40 60 80
05
1015
5/30
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Wilcoxons Rangsummentest Motivation
Nehmen wir an, wir sollten folgende Verteilungen vergleichen:
y
Häu
figke
it
0 20 40 60 80
02
46
810
12
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Wilcoxons Rangsummentest Motivation
Beispiele
WartezeitenAusbreitungsentfernungenZelltypenhaufigkeiten
Gesucht:
ein ”verteilungsfreier“ Test,mit dem man die Lage zweier Verteilungen
zueinander testen kann
(Eine Aufgabe der nicht-parametrischen Statistik.)
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Wilcoxons Rangsummentest Motivation
BeispieleWartezeiten
AusbreitungsentfernungenZelltypenhaufigkeiten
Gesucht:
ein ”verteilungsfreier“ Test,mit dem man die Lage zweier Verteilungen
zueinander testen kann
(Eine Aufgabe der nicht-parametrischen Statistik.)
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Wilcoxons Rangsummentest Motivation
BeispieleWartezeitenAusbreitungsentfernungen
Zelltypenhaufigkeiten
Gesucht:
ein ”verteilungsfreier“ Test,mit dem man die Lage zweier Verteilungen
zueinander testen kann
(Eine Aufgabe der nicht-parametrischen Statistik.)
6/30
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Wilcoxons Rangsummentest Motivation
BeispieleWartezeitenAusbreitungsentfernungenZelltypenhaufigkeiten
Gesucht:
ein ”verteilungsfreier“ Test,mit dem man die Lage zweier Verteilungen
zueinander testen kann
(Eine Aufgabe der nicht-parametrischen Statistik.)
6/30
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Wilcoxons Rangsummentest Motivation
BeispieleWartezeitenAusbreitungsentfernungenZelltypenhaufigkeiten
Gesucht:
ein ”verteilungsfreier“ Test,mit dem man die Lage zweier Verteilungen
zueinander testen kann
(Eine Aufgabe der nicht-parametrischen Statistik.)
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Wilcoxons Rangsummentest Motivation
BeispieleWartezeitenAusbreitungsentfernungenZelltypenhaufigkeiten
Gesucht:
ein ”verteilungsfreier“ Test,mit dem man die Lage zweier Verteilungen
zueinander testen kann
(Eine Aufgabe der nicht-parametrischen Statistik.)
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Wilcoxons Rangsummentest Wilcoxon-Test fur unabhangige Stichproben
Inhalt
1 Wilcoxons RangsummentestMotivationWilcoxon-Test fur unabhangige Stichproben
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Wilcoxons Rangsummentest Wilcoxon-Test fur unabhangige Stichproben
Beobachtungen: Zwei StichprobenX : x1, x2, . . . , xm
Y : y1, y2, . . . , yn
Wir mochten die Nullhypothese:X und Y aus derselben Population
(X und Y haben diesselbe Verteilung)testen
gegen die Alternative:Die beiden Verteilungen sind gegeneinander verschoben.
Wir sind also in einer Situation, die wir schon beim t-Testgetroffen haben: Die zwei Verteilungen sind moglicherweise
gegeneinander verschoben (haben insbesonderemoglicherweise unterschiedliche Mittelwerte), aber wir mochten
nicht die implizite Annahme treffen, dass es sich dabei(wenigstens ungefahr) um Normalverteilungen handelt.
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Wilcoxons Rangsummentest Wilcoxon-Test fur unabhangige Stichproben
Beobachtungen: Zwei StichprobenX : x1, x2, . . . , xm
Y : y1, y2, . . . , yn
Wir mochten die Nullhypothese:X und Y aus derselben Population
(X und Y haben diesselbe Verteilung)testen
gegen die Alternative:Die beiden Verteilungen sind gegeneinander verschoben.
Wir sind also in einer Situation, die wir schon beim t-Testgetroffen haben: Die zwei Verteilungen sind moglicherweise
gegeneinander verschoben (haben insbesonderemoglicherweise unterschiedliche Mittelwerte), aber wir mochten
nicht die implizite Annahme treffen, dass es sich dabei(wenigstens ungefahr) um Normalverteilungen handelt.
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Wilcoxons Rangsummentest Wilcoxon-Test fur unabhangige Stichproben
Beobachtungen: Zwei StichprobenX : x1, x2, . . . , xm
Y : y1, y2, . . . , yn
Wir mochten die Nullhypothese:X und Y aus derselben Population
(X und Y haben diesselbe Verteilung)testen
gegen die Alternative:Die beiden Verteilungen sind gegeneinander verschoben.
Wir sind also in einer Situation, die wir schon beim t-Testgetroffen haben: Die zwei Verteilungen sind moglicherweise
gegeneinander verschoben (haben insbesonderemoglicherweise unterschiedliche Mittelwerte), aber wir mochten
nicht die implizite Annahme treffen, dass es sich dabei(wenigstens ungefahr) um Normalverteilungen handelt.
8/30
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Wilcoxons Rangsummentest Wilcoxon-Test fur unabhangige Stichproben
Beobachtungen: Zwei StichprobenX : x1, x2, . . . , xm
Y : y1, y2, . . . , yn
Wir mochten die Nullhypothese:X und Y aus derselben Population
(X und Y haben diesselbe Verteilung)testen
gegen die Alternative:Die beiden Verteilungen sind gegeneinander verschoben.
Wir sind also in einer Situation, die wir schon beim t-Testgetroffen haben: Die zwei Verteilungen sind moglicherweise
gegeneinander verschoben (haben insbesonderemoglicherweise unterschiedliche Mittelwerte), aber wir mochten
nicht die implizite Annahme treffen, dass es sich dabei(wenigstens ungefahr) um Normalverteilungen handelt.
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Wilcoxons Rangsummentest Wilcoxon-Test fur unabhangige Stichproben
Idee
Beobachtungen:X : x1, x2, . . . , xm
Y : y1, y2, . . . , yn
Sortiere alle Beobachtungen der Große nach.Bestimme die Range der m X -Werte unter allen m + nBeobachtungen.Wenn die Nullhypothese zutrifft, sind die m X -Range einerein zufallige Wahl aus {1,2, . . . ,m + n}.Berechne die Summe der X -Range, prufe, ob dieser Wertuntypisch groß oder klein.
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Wilcoxons Rangsummentest Wilcoxon-Test fur unabhangige Stichproben
Idee
Beobachtungen:X : x1, x2, . . . , xm
Y : y1, y2, . . . , yn
Sortiere alle Beobachtungen der Große nach.
Bestimme die Range der m X -Werte unter allen m + nBeobachtungen.Wenn die Nullhypothese zutrifft, sind die m X -Range einerein zufallige Wahl aus {1,2, . . . ,m + n}.Berechne die Summe der X -Range, prufe, ob dieser Wertuntypisch groß oder klein.
9/30
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Wilcoxons Rangsummentest Wilcoxon-Test fur unabhangige Stichproben
Idee
Beobachtungen:X : x1, x2, . . . , xm
Y : y1, y2, . . . , yn
Sortiere alle Beobachtungen der Große nach.Bestimme die Range der m X -Werte unter allen m + nBeobachtungen.
Wenn die Nullhypothese zutrifft, sind die m X -Range einerein zufallige Wahl aus {1,2, . . . ,m + n}.Berechne die Summe der X -Range, prufe, ob dieser Wertuntypisch groß oder klein.
9/30
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Wilcoxons Rangsummentest Wilcoxon-Test fur unabhangige Stichproben
Idee
Beobachtungen:X : x1, x2, . . . , xm
Y : y1, y2, . . . , yn
Sortiere alle Beobachtungen der Große nach.Bestimme die Range der m X -Werte unter allen m + nBeobachtungen.Wenn die Nullhypothese zutrifft, sind die m X -Range einerein zufallige Wahl aus {1,2, . . . ,m + n}.
Berechne die Summe der X -Range, prufe, ob dieser Wertuntypisch groß oder klein.
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Wilcoxons Rangsummentest Wilcoxon-Test fur unabhangige Stichproben
Idee
Beobachtungen:X : x1, x2, . . . , xm
Y : y1, y2, . . . , yn
Sortiere alle Beobachtungen der Große nach.Bestimme die Range der m X -Werte unter allen m + nBeobachtungen.Wenn die Nullhypothese zutrifft, sind die m X -Range einerein zufallige Wahl aus {1,2, . . . ,m + n}.Berechne die Summe der X -Range, prufe, ob dieser Wertuntypisch groß oder klein.
9/30
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Wilcoxons Rangsummentest Wilcoxon-Test fur unabhangige Stichproben
Wilcoxons Rangsummenstatistik
Beobachtungen:X : x1, x2, . . . , xm
Y : y1, y2, . . . , yn
Frank Wilcoxon,1892–1965
U = Summe der X -Range− (1 + 2 + · · ·+ m)heißt
Wilcoxons Rangsummenstatistik
(Der minimal mogliche Wert ist 0, der maximal mogliche Wert ist m ·n.)
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Wilcoxons Rangsummentest Wilcoxon-Test fur unabhangige Stichproben
Wilcoxons Rangsummenstatistik
Beobachtungen:X : x1, x2, . . . , xm
Y : y1, y2, . . . , yn
Frank Wilcoxon,1892–1965
U = Summe der X -Range− (1 + 2 + · · ·+ m)heißt
Wilcoxons Rangsummenstatistik
(Der minimal mogliche Wert ist 0, der maximal mogliche Wert ist m ·n.)10/30
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Wilcoxons Rangsummentest Wilcoxon-Test fur unabhangige Stichproben
Wilcoxons RangsummenstatistikBemerkung:
U = Summe der X -Range− (1 + 2 + · · ·+ m)
Wir konnten auch die Summe der Y -Range benutzen,
denn
Summe der X -Range + Summe der Y -Range= Summe aller Range
= 1 + 2 + · · ·+ (m + n) =(m + n)(m + n + 1)
2Bemerkung
Der Wilcoxon-Test heißt auch Mann-Whitney-Test.
In der Literatur sind verschiedene Zentrierungen der Rangsummegebrauchlich, ggfs. prufen, bevor Sie eine Formel aus einem Buch
verwenden.
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Wilcoxons Rangsummentest Wilcoxon-Test fur unabhangige Stichproben
Wilcoxons RangsummenstatistikBemerkung:
U = Summe der X -Range− (1 + 2 + · · ·+ m)
Wir konnten auch die Summe der Y -Range benutzen, denn
Summe der X -Range + Summe der Y -Range= Summe aller Range
= 1 + 2 + · · ·+ (m + n) =(m + n)(m + n + 1)
2
Bemerkung
Der Wilcoxon-Test heißt auch Mann-Whitney-Test.
In der Literatur sind verschiedene Zentrierungen der Rangsummegebrauchlich, ggfs. prufen, bevor Sie eine Formel aus einem Buch
verwenden.
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Wilcoxons Rangsummentest Wilcoxon-Test fur unabhangige Stichproben
Wilcoxons RangsummenstatistikBemerkung:
U = Summe der X -Range− (1 + 2 + · · ·+ m)
Wir konnten auch die Summe der Y -Range benutzen, denn
Summe der X -Range + Summe der Y -Range= Summe aller Range
= 1 + 2 + · · ·+ (m + n) =(m + n)(m + n + 1)
2Bemerkung
Der Wilcoxon-Test heißt auch Mann-Whitney-Test.
In der Literatur sind verschiedene Zentrierungen der Rangsummegebrauchlich, ggfs. prufen, bevor Sie eine Formel aus einem Buch
verwenden.
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Wilcoxons Rangsummentest Wilcoxon-Test fur unabhangige Stichproben
Ein kleines Beispiel
Beobachtungen:
X : 1,5; 5,6; 35,2Y : 7,9; 38,1; 41,0; 56,7; 112,1; 197,4; 381,8
Lege Beobachtungen zusammen und sortiere:1,5; 5,6; 7,9; 35,2; 38,1; 41,0; 56,7; 112,1; 197,4; 381,8
Bestimme Range:1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
Rangsumme: U = 1 + 2 + 4− (1 + 2 + 3) = 1
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Wilcoxons Rangsummentest Wilcoxon-Test fur unabhangige Stichproben
Ein kleines Beispiel
Beobachtungen:
X : 1,5; 5,6; 35,2Y : 7,9; 38,1; 41,0; 56,7; 112,1; 197,4; 381,8
Lege Beobachtungen zusammen und sortiere:1,5; 5,6; 7,9; 35,2; 38,1; 41,0; 56,7; 112,1; 197,4; 381,8
Bestimme Range:1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
Rangsumme: U = 1 + 2 + 4− (1 + 2 + 3) = 1
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Wilcoxons Rangsummentest Wilcoxon-Test fur unabhangige Stichproben
Ein kleines Beispiel
Beobachtungen:
X : 1,5; 5,6; 35,2Y : 7,9; 38,1; 41,0; 56,7; 112,1; 197,4; 381,8
Lege Beobachtungen zusammen und sortiere:1,5; 5,6; 7,9; 35,2; 38,1; 41,0; 56,7; 112,1; 197,4; 381,8
Bestimme Range:1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
Rangsumme: U = 1 + 2 + 4− (1 + 2 + 3) = 1
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Wilcoxons Rangsummentest Wilcoxon-Test fur unabhangige Stichproben
Ein kleines Beispiel
Beobachtungen:
X : 1,5; 5,6; 35,2Y : 7,9; 38,1; 41,0; 56,7; 112,1; 197,4; 381,8
Lege Beobachtungen zusammen und sortiere:1,5; 5,6; 7,9; 35,2; 38,1; 41,0; 56,7; 112,1; 197,4; 381,8
Bestimme Range:1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
Rangsumme: U = 1 + 2 + 4− (1 + 2 + 3) = 1
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Wilcoxons Rangsummentest Wilcoxon-Test fur unabhangige Stichproben
Interpretation von U
X -Population kleiner =⇒ U klein:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U = 01, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U = 11, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U = 21, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U = 2
X -Population großer =⇒ U groß:1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U = 211, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U = 201, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U = 201, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U = 19
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Wilcoxons Rangsummentest Wilcoxon-Test fur unabhangige Stichproben
Interpretation von U
X -Population kleiner =⇒ U klein:1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U = 0
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U = 11, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U = 21, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U = 2
X -Population großer =⇒ U groß:1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U = 211, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U = 201, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U = 201, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U = 19
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Wilcoxons Rangsummentest Wilcoxon-Test fur unabhangige Stichproben
Interpretation von U
X -Population kleiner =⇒ U klein:1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U = 01, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U = 1
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U = 21, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U = 2
X -Population großer =⇒ U groß:1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U = 211, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U = 201, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U = 201, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U = 19
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Wilcoxons Rangsummentest Wilcoxon-Test fur unabhangige Stichproben
Interpretation von U
X -Population kleiner =⇒ U klein:1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U = 01, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U = 11, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U = 2
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U = 2
X -Population großer =⇒ U groß:1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U = 211, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U = 201, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U = 201, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U = 19
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Wilcoxons Rangsummentest Wilcoxon-Test fur unabhangige Stichproben
Interpretation von U
X -Population kleiner =⇒ U klein:1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U = 01, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U = 11, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U = 21, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U = 2
X -Population großer =⇒ U groß:1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U = 211, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U = 201, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U = 201, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U = 19
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Wilcoxons Rangsummentest Wilcoxon-Test fur unabhangige Stichproben
Interpretation von U
X -Population kleiner =⇒ U klein:1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U = 01, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U = 11, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U = 21, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U = 2
X -Population großer =⇒ U groß:1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U =
211, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U = 201, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U = 201, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U = 19
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Wilcoxons Rangsummentest Wilcoxon-Test fur unabhangige Stichproben
Interpretation von U
X -Population kleiner =⇒ U klein:1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U = 01, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U = 11, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U = 21, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U = 2
X -Population großer =⇒ U groß:1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U = 21
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U = 201, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U = 201, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U = 19
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Wilcoxons Rangsummentest Wilcoxon-Test fur unabhangige Stichproben
Interpretation von U
X -Population kleiner =⇒ U klein:1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U = 01, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U = 11, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U = 21, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U = 2
X -Population großer =⇒ U groß:1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U = 211, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U =
201, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U = 201, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U = 19
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Wilcoxons Rangsummentest Wilcoxon-Test fur unabhangige Stichproben
Interpretation von U
X -Population kleiner =⇒ U klein:1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U = 01, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U = 11, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U = 21, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U = 2
X -Population großer =⇒ U groß:1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U = 211, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U = 20
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U = 201, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U = 19
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Wilcoxons Rangsummentest Wilcoxon-Test fur unabhangige Stichproben
Interpretation von U
X -Population kleiner =⇒ U klein:1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U = 01, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U = 11, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U = 21, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U = 2
X -Population großer =⇒ U groß:1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U = 211, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U = 201, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U =
201, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U = 19
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Wilcoxons Rangsummentest Wilcoxon-Test fur unabhangige Stichproben
Interpretation von U
X -Population kleiner =⇒ U klein:1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U = 01, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U = 11, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U = 21, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U = 2
X -Population großer =⇒ U groß:1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U = 211, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U = 201, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U = 20
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U = 19
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Wilcoxons Rangsummentest Wilcoxon-Test fur unabhangige Stichproben
Interpretation von U
X -Population kleiner =⇒ U klein:1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U = 01, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U = 11, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U = 21, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U = 2
X -Population großer =⇒ U groß:1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U = 211, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U = 201, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U = 201, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U =
19
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Wilcoxons Rangsummentest Wilcoxon-Test fur unabhangige Stichproben
Interpretation von U
X -Population kleiner =⇒ U klein:1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U = 01, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U = 11, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U = 21, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U = 2
X -Population großer =⇒ U groß:1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U = 211, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U = 201, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U = 201, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 U = 19
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Wilcoxons Rangsummentest Wilcoxon-Test fur unabhangige Stichproben
Signifikanz
Nullhypothese:X -Stichprobe und Y -Stichprobe
stammen ausderselben Verteilung
Die 3 Range der X -Stichprobe1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
hatten genausogut irgendwelche 3 Range1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
sein konnen.
Es gibt 10·9·83·2·1 = 120 Moglichkeiten.
(Allgemein: (m+n)(m+n−1)···(n+1)m(m−1)···1 ) = (m+n)!
n!m! =(m+n
m
)Moglichkeiten)
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Wilcoxons Rangsummentest Wilcoxon-Test fur unabhangige Stichproben
Signifikanz
Nullhypothese:X -Stichprobe und Y -Stichprobe
stammen ausderselben Verteilung
Die 3 Range der X -Stichprobe1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
hatten genausogut irgendwelche 3 Range1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
sein konnen.
Es gibt 10·9·83·2·1 = 120 Moglichkeiten.
(Allgemein: (m+n)(m+n−1)···(n+1)m(m−1)···1 ) = (m+n)!
n!m! =(m+n
m
)Moglichkeiten)
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Wilcoxons Rangsummentest Wilcoxon-Test fur unabhangige Stichproben
Signifikanz
Nullhypothese:X -Stichprobe und Y -Stichprobe
stammen ausderselben Verteilung
Die 3 Range der X -Stichprobe1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
hatten genausogut irgendwelche 3 Range
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10sein konnen.
Es gibt 10·9·83·2·1 = 120 Moglichkeiten.
(Allgemein: (m+n)(m+n−1)···(n+1)m(m−1)···1 ) = (m+n)!
n!m! =(m+n
m
)Moglichkeiten)
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Wilcoxons Rangsummentest Wilcoxon-Test fur unabhangige Stichproben
Signifikanz
Nullhypothese:X -Stichprobe und Y -Stichprobe
stammen ausderselben Verteilung
Die 3 Range der X -Stichprobe1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
hatten genausogut irgendwelche 3 Range1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
sein konnen.
Es gibt 10·9·83·2·1 = 120 Moglichkeiten.
(Allgemein: (m+n)(m+n−1)···(n+1)m(m−1)···1 ) = (m+n)!
n!m! =(m+n
m
)Moglichkeiten)
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Wilcoxons Rangsummentest Wilcoxon-Test fur unabhangige Stichproben
Signifikanz
Nullhypothese:X -Stichprobe und Y -Stichprobe
stammen ausderselben Verteilung
Die 3 Range der X -Stichprobe1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
hatten genausogut irgendwelche 3 Range1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
sein konnen.
Es gibt 10·9·83·2·1 = 120 Moglichkeiten.
(Allgemein: (m+n)(m+n−1)···(n+1)m(m−1)···1 ) = (m+n)!
n!m! =(m+n
m
)Moglichkeiten)
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Wilcoxons Rangsummentest Wilcoxon-Test fur unabhangige Stichproben
Signifikanz
Nullhypothese:X -Stichprobe und Y -Stichprobe
stammen ausderselben Verteilung
Die 3 Range der X -Stichprobe1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
hatten genausogut irgendwelche 3 Range1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
sein konnen.
Es gibt 10·9·83·2·1 = 120 Moglichkeiten.
(Allgemein: (m+n)(m+n−1)···(n+1)m(m−1)···1 ) = (m+n)!
n!m! =(m+n
m
)Moglichkeiten)
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Wilcoxons Rangsummentest Wilcoxon-Test fur unabhangige Stichproben
Verteilung der Wilcoxon-Statistik (m = 3,n = 7)
0 2 4 6 8 10 13 16 19
u
Mög
lichk
eite
n
02
46
810
15/30
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Wilcoxons Rangsummentest Wilcoxon-Test fur unabhangige Stichproben
Unter der Nullhypothese sind alle Rangbelegungen gleichwahrscheinlich, also
P(U = u) =Anz. Moglichkeiten mit Rangsummenstatistik u
120
Wir beobachten in unserem Beispiel:1,5, 5,6; 7,9; 35,2; 38,1; 41,0; 56,7; 112,1; 197,4; 381,8
somit U = 1
P(U ≤ 1) + P(U ≥ 20)
= P(U = 0) + P(U = 1) + P(U = 20) + P(U = 21)
= 1+1+1+1120
·= 0,033
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Wilcoxons Rangsummentest Wilcoxon-Test fur unabhangige Stichproben
Unter der Nullhypothese sind alle Rangbelegungen gleichwahrscheinlich, also
P(U = u) =Anz. Moglichkeiten mit Rangsummenstatistik u
120
Wir beobachten in unserem Beispiel:1,5, 5,6; 7,9; 35,2; 38,1; 41,0; 56,7; 112,1; 197,4; 381,8
somit U = 1
P(U ≤ 1) + P(U ≥ 20)
= P(U = 0) + P(U = 1) + P(U = 20) + P(U = 21)
= 1+1+1+1120
·= 0,033
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Wilcoxons Rangsummentest Wilcoxon-Test fur unabhangige Stichproben
Unter der Nullhypothese sind alle Rangbelegungen gleichwahrscheinlich, also
P(U = u) =Anz. Moglichkeiten mit Rangsummenstatistik u
120
Wir beobachten in unserem Beispiel:1,5, 5,6; 7,9; 35,2; 38,1; 41,0; 56,7; 112,1; 197,4; 381,8
somit U = 1
P(U ≤ 1) + P(U ≥ 20)
= P(U = 0) + P(U = 1) + P(U = 20) + P(U = 21)
= 1+1+1+1120
·= 0,033
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Wilcoxons Rangsummentest Wilcoxon-Test fur unabhangige Stichproben
Verteilung der Wilcoxon-Statistik (m = 3,n = 7)
0 2 4 6 8 10 13 16 19
u
Wah
rsch
einl
ichk
eit
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
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Wilcoxons Rangsummentest Wilcoxon-Test fur unabhangige Stichproben
Fur unser Beispiel (U = 1) also:
p-Wert = P(ein so extremes U) = 4/120 = 0,033
Wir lehnen die Nullhypothese,dass die Verteilungen
von X und Yidentisch sind,
auf dem 5%-Niveau ab.
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Wilcoxons Rangsummentest Wilcoxon-Test fur unabhangige Stichproben
Fur unser Beispiel (U = 1) also:
p-Wert = P(ein so extremes U) = 4/120 = 0,033
Wir lehnen die Nullhypothese,dass die Verteilungen
von X und Yidentisch sind,
auf dem 5%-Niveau ab.
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Wilcoxons Rangsummentest Wilcoxon-Test fur unabhangige Stichproben
R kennt den Wilcoxon-Test mittels wilcox.test:
> x <- c(1.5, 5.6, 35.2)
> y <- c(7.9, 38.1, 41.0, 56.7, 112.1, 197.4, 381.8)
> wilcox.test(x,y)
Wilcoxon rank sum test
data: x and y
W = 1, p-value = 0.03333
alternative hypothesis: true location shift is
not equal to 0
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Wilcoxons Rangsummentest Wilcoxon-Test fur unabhangige Stichproben
Wilcoxon-Test: allgemeine TheorieGegeben zwei Stichproben x1, x2, . . . , xm (m x-Werte) undy1, . . . , yn (n y -Werte)
bilde (normierte) Rangsumme
U = Summe aller x-Range− (1 + 2 + · · ·+ m)
=m∑
i=1
#{j ≤ n : xi > yj} =:m∑
i=1
Ui
(mit moglichen Werten in 0,1, . . . ,m · n).
Unter H0 : die x-Werte und die y -Werte sind unabhangigeStichproben aus derselben Verteilung
hangt die Verteilung von U nicht von der tatsachlichenVerteilung ab.
(Strenggenommen: Sofern die Verteilung ”stetig“ ist, also kein Wert mehrmals vorkommen kann)
20/30
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Wilcoxons Rangsummentest Wilcoxon-Test fur unabhangige Stichproben
Wilcoxon-Test: allgemeine TheorieGegeben zwei Stichproben x1, x2, . . . , xm (m x-Werte) undy1, . . . , yn (n y -Werte)
bilde (normierte) Rangsumme
U = Summe aller x-Range− (1 + 2 + · · ·+ m)
=m∑
i=1
#{j ≤ n : xi > yj} =:m∑
i=1
Ui
(mit moglichen Werten in 0,1, . . . ,m · n).
Unter H0 : die x-Werte und die y -Werte sind unabhangigeStichproben aus derselben Verteilung
hangt die Verteilung von U nicht von der tatsachlichenVerteilung ab.
(Strenggenommen: Sofern die Verteilung ”stetig“ ist, also kein Wert mehrmals vorkommen kann)
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Wilcoxons Rangsummentest Wilcoxon-Test fur unabhangige Stichproben
Wilcoxon-Test: allgemeine Theorie, 2
normierte Rangsumme U = Um,n =∑m
i=1 #{j ≤ n : xi > yj}
H0 : x-Werte und y -Werte stammen aus derselben Verteilung
Die Verteilung von Um,n unter H0 ist (prinzipiell) ein reinkombinatorisches Problem:
PH0(Um,n = u) =#(Zuordnungen von m Rangen an x-Werte,
die Rangsumme u ergeben
)(m+n
m
)
Fur sehr kleine Stichproben kann man dies durch Auszahlenbestimmen (wie vorhin), fur großere Stichproben verwendet maneine Rekursionsformel (in R implementiert) oder eineNormalapproximation.
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Wilcoxons Rangsummentest Wilcoxon-Test fur unabhangige Stichproben
Wilcoxon-Test: allgemeine Theorie, 2
normierte Rangsumme U = Um,n =∑m
i=1 #{j ≤ n : xi > yj}
H0 : x-Werte und y -Werte stammen aus derselben Verteilung
Die Verteilung von Um,n unter H0 ist (prinzipiell) ein reinkombinatorisches Problem:
PH0(Um,n = u) =#(Zuordnungen von m Rangen an x-Werte,
die Rangsumme u ergeben
)(m+n
m
)Fur sehr kleine Stichproben kann man dies durch Auszahlenbestimmen (wie vorhin), fur großere Stichproben verwendet maneine Rekursionsformel (in R implementiert) oder eineNormalapproximation.
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Wilcoxons Rangsummentest Wilcoxon-Test fur unabhangige Stichproben
Wilcoxon-Test: allgemeine Theorie, 3
PH0(Um,n = u) =#(Zuordnungen von m Rangen an x-Werte,
die Rangsumme u ergeben
)(m+n
m
)(in R: dwilcox(u,m,n), z.B. dwilcox(1,3,7)=0.00833, R kenntauch die Verteilungsfunktion pwilcox und die Quantilfunktionqwilcox.)
Quantile um,n,α mit
PH0(Um,n ≤ um,n,α) = α
fur α ∈ (0,1) findet man in Tabellen(oder mit R: qwilcox(α,m,n))
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Wilcoxons Rangsummentest Wilcoxon-Test fur unabhangige Stichproben
Zweiseitiger Wilcoxon-Rangsummen-Test
Gegeben m x-Werte x1, . . . , xm, n y -Werte y1, . . . , ym,Signifikanzniveau α ∈ (0,1).Bestimme (normierte) Rangsumme U =
∑mi=1 #{j ≤ n : xi > yj},
um,n,1−α/2 mit PH0(Um,n ≤ um,n,1−α/2) = 1− α/2 (aus Tabelle odermit R)
Lehne H0: die x-Werte und die y -Werte sind unabhangigeStichproben aus derselben Verteilung
ab zugunsten von
H1: die Verteilung der x-Werte ist verschobenim Vergleich zu der der y -Werte
ab, falls
U > um,n,1−α/2 oder U < m · n − um,n,1−α/2
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Wilcoxons Rangsummentest Wilcoxon-Test fur unabhangige Stichproben
Zweiseitiger Wilcoxon-Rangsummen-Test
Gegeben m x-Werte x1, . . . , xm, n y -Werte y1, . . . , ym,Signifikanzniveau α ∈ (0,1).Bestimme (normierte) Rangsumme U =
∑mi=1 #{j ≤ n : xi > yj},
um,n,1−α/2 mit PH0(Um,n ≤ um,n,1−α/2) = 1− α/2 (aus Tabelle odermit R)
Lehne H0: die x-Werte und die y -Werte sind unabhangigeStichproben aus derselben Verteilung
ab zugunsten von
H1: die Verteilung der x-Werte ist verschobenim Vergleich zu der der y -Werte
ab, falls
U > um,n,1−α/2 oder U < m · n − um,n,1−α/2
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Wilcoxons Rangsummentest Wilcoxon-Test fur unabhangige Stichproben
Einseitiger Wilcoxon-Rangsummen-Test
Gegeben m x-Werte x1, . . . , xm, n y -Werte y1, . . . , ym,Signifikanzniveau α ∈ (0,1).
Bestimme (normierte) Rangsumme U =∑m
i=1 #{j ≤ n : xi > yj},
um,n,1−α mit PH0(Um,n ≤ um,n,1−α) = 1− α (aus Tabelle oder mit R)
Lehne H0 ab zugunsten von
H1: die Verteilung der x-Werte hat mehr Gewicht aufgroßen Werten im Vergleich zu der der y -Werte
ab, fallsU > um,n,1−α
(analog fur H1 : ”Verteilung der x-Werte nach links verschobenim Vgl. zu y -Werten“, falls U < m · n − um,n,1−α,oder vertausche Rollen von x und y .)
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Wilcoxons Rangsummentest Wilcoxon-Test fur unabhangige Stichproben
Einseitiger Wilcoxon-Rangsummen-Test
Gegeben m x-Werte x1, . . . , xm, n y -Werte y1, . . . , ym,Signifikanzniveau α ∈ (0,1).
Bestimme (normierte) Rangsumme U =∑m
i=1 #{j ≤ n : xi > yj},
um,n,1−α mit PH0(Um,n ≤ um,n,1−α) = 1− α (aus Tabelle oder mit R)
Lehne H0 ab zugunsten von
H1: die Verteilung der x-Werte hat mehr Gewicht aufgroßen Werten im Vergleich zu der der y -Werte
ab, fallsU > um,n,1−α
(analog fur H1 : ”Verteilung der x-Werte nach links verschobenim Vgl. zu y -Werten“, falls U < m · n − um,n,1−α,oder vertausche Rollen von x und y .)
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Wilcoxons Rangsummentest Wilcoxon-Test fur unabhangige Stichproben
Einseitiger Wilcoxon-Rangsummen-Test
Gegeben m x-Werte x1, . . . , xm, n y -Werte y1, . . . , ym,Signifikanzniveau α ∈ (0,1).
Bestimme (normierte) Rangsumme U =∑m
i=1 #{j ≤ n : xi > yj},
um,n,1−α mit PH0(Um,n ≤ um,n,1−α) = 1− α (aus Tabelle oder mit R)
Lehne H0 ab zugunsten von
H1: die Verteilung der x-Werte hat mehr Gewicht aufgroßen Werten im Vergleich zu der der y -Werte
ab, fallsU > um,n,1−α
(analog fur H1 : ”Verteilung der x-Werte nach links verschobenim Vgl. zu y -Werten“, falls U < m · n − um,n,1−α,oder vertausche Rollen von x und y .)
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Wilcoxons Rangsummentest Wilcoxon-Test fur unabhangige Stichproben
Wilcoxon-Test: NormalapproximationUnter H0 : x-Werte und y -Werte stammen aus derselben
Verteilungist Um,n − m·n
2√mn(m+n+1)
12
≈ Standard-normalverteilt
Damit lautet der (approximative) zweiseitige Test zumSignifikanzniveau α bei beobachter Rangsumme U:
lehne H0 ab, wenn∣∣U − m·n
2
∣∣ > z1−α/2
√mn(m+n+1)
12
wobei z1−α/2 = (1−α/2)-Quantil der Standard-Normalverteilung
Analog einseitig (H1 = ”Verteilung der x-Werte nach rechtsverschoben im Vgl. zu y -Werten“):
Lehne H0 ab, falls U > m·n2 + z1−α
√mn(m+n+1)
12 .
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Wilcoxons Rangsummentest Wilcoxon-Test fur unabhangige Stichproben
Wilcoxon-Test: NormalapproximationUnter H0 : x-Werte und y -Werte stammen aus derselben
Verteilungist Um,n − m·n
2√mn(m+n+1)
12
≈ Standard-normalverteilt
Damit lautet der (approximative) zweiseitige Test zumSignifikanzniveau α bei beobachter Rangsumme U:
lehne H0 ab, wenn∣∣U − m·n
2
∣∣ > z1−α/2
√mn(m+n+1)
12
wobei z1−α/2 = (1−α/2)-Quantil der Standard-Normalverteilung
Analog einseitig (H1 = ”Verteilung der x-Werte nach rechtsverschoben im Vgl. zu y -Werten“):
Lehne H0 ab, falls U > m·n2 + z1−α
√mn(m+n+1)
12 .
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Wilcoxons Rangsummentest Wilcoxon-Test fur unabhangige Stichproben
Wilcoxon-Test: NormalapproximationUnter H0 : x-Werte und y -Werte stammen aus derselben
Verteilungist Um,n − m·n
2√mn(m+n+1)
12
≈ Standard-normalverteilt
Damit lautet der (approximative) zweiseitige Test zumSignifikanzniveau α bei beobachter Rangsumme U:
lehne H0 ab, wenn∣∣U − m·n
2
∣∣ > z1−α/2
√mn(m+n+1)
12
wobei z1−α/2 = (1−α/2)-Quantil der Standard-Normalverteilung
Analog einseitig (H1 = ”Verteilung der x-Werte nach rechtsverschoben im Vgl. zu y -Werten“):
Lehne H0 ab, falls U > m·n2 + z1−α
√mn(m+n+1)
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Wilcoxons Rangsummentest Wilcoxon-Test fur unabhangige Stichproben
Wilcoxon-Test, Fall mit BindungenBei diskreten Verteilungen (und in der Praxis!) kann esvorkommen, dass einzelne Werte in den Daten xi und yj
mehrfach vorkommen. Dies nennt man Bindungen. In diesemFall wird der Rang von xi in den y1, . . . , yn berechnet als
Ui =Anzahl der j mit yj < xi +12
Anzahl der j mit yj = xi
und die Rangsumme als
U =m∑
i=1
Ui .
In diesem Fall halt der Wilcoxon-Test das geforderte Niveaunicht exakt ein, meistens aber doch recht gut. R gibt dann eineWarnmeldung.
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Wilcoxons Rangsummentest Wilcoxon-Test fur unabhangige Stichproben
Beachte:
Wenn der Wilcoxon-Test Signifikanz anzeigt,so kann das daran liegen, dass die zugrunde
liegenden Verteilungen verschiedene Formen haben.
Der Wilcoxon-Test kann beispielsweise Signifikanz anzeigen,selbst wenn die Stichproben-Mittelwerte ubereinstimmen!
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Wilcoxons Rangsummentest Wilcoxon-Test fur unabhangige Stichproben
Beachte:
Wenn der Wilcoxon-Test Signifikanz anzeigt,so kann das daran liegen, dass die zugrunde
liegenden Verteilungen verschiedene Formen haben.
Der Wilcoxon-Test kann beispielsweise Signifikanz anzeigen,selbst wenn die Stichproben-Mittelwerte ubereinstimmen!
27/30
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Wilcoxons Rangsummentest Wilcoxon-Test fur unabhangige Stichproben
Vergleich von t-Test und Wilcoxon-TestBeachte:
Sowohl der t-Test als auchder Wilcoxon-Test konnen verwendet werden,
um eine vermutete Verschiebung der Verteilung zu stutzen.
Der t-Test testet ”nur“ auf Gleichheit der Erwartungswerte.Der Wilcoxon-Test dagegen testet auf Gleichheit
der gesamten Verteilungen.
In den meisten Fallen liefern beide Tests dasselbe Ergebnis.Im Allgemeinen empfehlen wir den t-Test, da er robuster ist.
In besonderen FallenVerteilungen sind asymmetrischStichprobenlange ist klein
hat der Wilcoxon-Test eine hohere Testpower.
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Wilcoxons Rangsummentest Wilcoxon-Test fur unabhangige Stichproben
Vergleich von t-Test und Wilcoxon-TestBeachte:
Sowohl der t-Test als auchder Wilcoxon-Test konnen verwendet werden,
um eine vermutete Verschiebung der Verteilung zu stutzen.
Der t-Test testet ”nur“ auf Gleichheit der Erwartungswerte.
Der Wilcoxon-Test dagegen testet auf Gleichheitder gesamten Verteilungen.
In den meisten Fallen liefern beide Tests dasselbe Ergebnis.Im Allgemeinen empfehlen wir den t-Test, da er robuster ist.
In besonderen FallenVerteilungen sind asymmetrischStichprobenlange ist klein
hat der Wilcoxon-Test eine hohere Testpower.
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Wilcoxons Rangsummentest Wilcoxon-Test fur unabhangige Stichproben
Vergleich von t-Test und Wilcoxon-TestBeachte:
Sowohl der t-Test als auchder Wilcoxon-Test konnen verwendet werden,
um eine vermutete Verschiebung der Verteilung zu stutzen.
Der t-Test testet ”nur“ auf Gleichheit der Erwartungswerte.Der Wilcoxon-Test dagegen testet auf Gleichheit
der gesamten Verteilungen.
In den meisten Fallen liefern beide Tests dasselbe Ergebnis.Im Allgemeinen empfehlen wir den t-Test, da er robuster ist.
In besonderen FallenVerteilungen sind asymmetrischStichprobenlange ist klein
hat der Wilcoxon-Test eine hohere Testpower.
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Wilcoxons Rangsummentest Wilcoxon-Test fur unabhangige Stichproben
Vergleich von t-Test und Wilcoxon-TestBeachte:
Sowohl der t-Test als auchder Wilcoxon-Test konnen verwendet werden,
um eine vermutete Verschiebung der Verteilung zu stutzen.
Der t-Test testet ”nur“ auf Gleichheit der Erwartungswerte.Der Wilcoxon-Test dagegen testet auf Gleichheit
der gesamten Verteilungen.
In den meisten Fallen liefern beide Tests dasselbe Ergebnis.Im Allgemeinen empfehlen wir den t-Test, da er robuster ist.
In besonderen FallenVerteilungen sind asymmetrischStichprobenlange ist klein
hat der Wilcoxon-Test eine hohere Testpower.
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Wilcoxons Rangsummentest Wilcoxon-Test fur unabhangige Stichproben
Vergleich von t-Test und Wilcoxon-TestBeachte:
Sowohl der t-Test als auchder Wilcoxon-Test konnen verwendet werden,
um eine vermutete Verschiebung der Verteilung zu stutzen.
Der t-Test testet ”nur“ auf Gleichheit der Erwartungswerte.Der Wilcoxon-Test dagegen testet auf Gleichheit
der gesamten Verteilungen.
In den meisten Fallen liefern beide Tests dasselbe Ergebnis.Im Allgemeinen empfehlen wir den t-Test, da er robuster ist.
In besonderen FallenVerteilungen sind asymmetrischStichprobenlange ist klein
hat der Wilcoxon-Test eine hohere Testpower.28/30
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Wilcoxons Rangsummentest Wilcoxon-Test fur unabhangige Stichproben
Vergleichen wir (spaßeshalber) mit dem t-Test:
> x
[1] 1.5 5.6 35.2
> y
[1] 7.9 38.1 41.0 56.7 112.1 197.4 381.8
> t.test(x,y)
Welch Two Sample t-test
data: x and y
t = -2.0662, df = 6.518, p-value = 0.08061
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
95 percent confidence interval:
-227.39182 17.02039
sample estimates:
mean of x mean of y
14.1000 119.2857
> x <- c(1.5, 5.6, 35.2)
> y <- c(7.9, 38.1, 41.0, 56.7, 112.1, 197.4, 381.8)
> t.test(x,y)
Welch Two Sample t-test
data: x and y
t = -2.0662, df = 6.518, p-value = 0.08061
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
95 percent confidence interval:
-227.39182 17.02039
sample estimates:
mean of x mean of y
14.1000 119.2857
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Wilcoxons Rangsummentest Wilcoxon-Test fur unabhangige Stichproben
0 100 200 300
XY
30/30