15
BAB III
PEMODELAN PERSAMAAN INTEGRAL PADA ALIRAN
FLUIDA
3.1 Deskripsi Masalah
Permasalahan yang dibahas di dalam Tugas Akhir ini adalah mengenai aliran fluida
yang mengalir keluar melalui sebuah celah dinding vertikal. Fluida tersebut
diasumsikan sebagai fluida ideal yaitu fluida yang tak kental dan tak termampatkan.
Aliran fluida dimodelkan ke dalam model 2-D, seperti yang terlihat pada gambar 3.1,
karena fluida tersebut memiliki aliran irrotational dan dalam keadaan steady.
Gambar 3.1 Penampang aliran fluida 2-dimensi
Bagian kiri dari gambar adalah fluida dengan ketinggian yang relatif jauh dari dasar.
Sementara di bagian kanan dari gambar merupakan sebuah dinding vertikal dengan
ketinggian tertentu dari dasar. Dengan beberapa batasan masalah seperti yang sudah
dijelaskan sebelumnya, Tugas akhir ini akan mengamati bagaimana pola aliran
permukaan bebas fluida pada daerah sekitar celah dinding vertikal.
3.2 Persamaan Laplace dan Nilai Batas
16
Pada permasalahan aliran fluida tersebut, fluida memiliki aliran irrotational. Oleh
sebab itu pada domain fluida berlaku persamaan Laplace
Persamaan Laplace hanya dapat diselesaikan jika ada nilai batas. Batas yang ada
disini memenuhi 2 kondisi batas yaitu batas kaku dan batas bebas. Batas kaku
memenuhi kondisi batas kinematik. Sedangkan batas bebas memenuhi kondisi batas
kinematik dan dinamik. Batas kinematik sendiri terkait dengan permukaan atau
dasar. Pada batas kinematik, partikel di batas akan tetap berada di batas. Sementara
batas dinamik terkait dengan pertemuan antara suatu fluida dengan fluida lainnya.
Pada kasus ini, tekanan udara diambil sebagai tekanan referensi .
Gambar 3.2 Penampang aliran fluida pada bidang
Kita gambarkan aliran fluida 2-D dalam bidang seperti yang terlihat pada gambar
3.2. Kita mengasumsikan dinding dasar sebagai sumbu axis dan dinding vertikal
sebagai sumbu ordinat. Ujung paling bawah celah dinding vertikal memiliki
koordinat atau dengan kata lain dinding vertikal memiliki celah dengan tinggi
sebesar dari dasar. Aliran fluida memiliki fluks sebesar dan aliran tersebut akan
bersifat uniform saat jauh dari celah dinding vertikal.
17
Berdasarkan gambaran aliran fluida tersebut, maka akan kita tentukan batas
kinematik dan batas dinamiknya. Batas kinematik didapat dari permukaan dasar
, dinding vertikal , dan pada permukaan fluida setelah melewati
celah dinding vertikal . Sedangkan untuk batas dinamik didapat hanya
dari permukaan fluida setelah melewati celah dinding vertikal .
Batas Kinematik
Pada , untuk .
Dalam fungsi posisi, persamaan tersebut dapat dituliskan menjadi .
Turunan total dari S adalah
Dengan asumsi awal bahwa aliran fluida adalah steady maka waktu tidak
berpengaruh terhadap aliran fluida. Hal tersebut menyebabkan turunan
terhadap waktu akan sam dengan nol. Dan dengan mengaitkan kondisi batas
ini dengan fungsi potensial maka diperoleh
Pada , untuk .
Dalam fungsi posisi, persamaan tersebut dapat dituliskan menjadi .
Dengan melihat turunan total dari S, aliran fluida fluida steady, serta
mengaitkan kondisi batas dengan fungsi potensial maka diperoleh
Pada , untuk .
Dalam fungsi posisi, persamaan tersebut dapat dituliskan menjadi
. Sama seperti sebelumnya, maka diperoleh
Batas Dinamik
Pada , untuk .
Persamaan Bernoulli (2.20) pada batas dinamik ini menjadi
18
karena . Dan karena fluida dalam keadaan steady, maka persamaan (3.6) dapat
dituliskan menjadi
disebabkan waktu tidak berpengaruh pada aliran fluida.
Setelah diperoleh kondisi batas baik itu kinematik maupun dinamik, lalu dilakukan
pengskalaan dengan tujuan untuk mengurangi parameter. Dengan D adalah unit
satuan panjang dan Q adalah unit satuan fluks, maka kita dapatkan hubungan
sehingga diperoleh
Substitusikan (3.9), (3.10), (3.11), dan (3.12) pada kondisi batas kinematik dan
dinamik sehingga didapatkan batas kinematik dan dinamik yang telah diskalakan
yaitu
Batas Kinematik
Pada dinding dasar, kita peroleh
19
Pada dinding vertikal, kita peroleh
Pada permukaan bebas fluida, kita peroleh
Batas Dinamik
Pada permukaan bebas fluida, kita dapatkan persamaan Bernoulli (3.7) menjadi
Lalu dengan membagi kedua ruas dengan , maka diperoleh persamaan
dengan .
Dengan pengskalaan tersebut, bidang aliran fluida mengalami perubahan secara
geometris. Bidang aliran fluida dapat digambarkan pada bidang seperti
yang terlihat pada gambar 3.3.
A B
C
f
y
DE 1
0
Gambar 3.3 Penampang aliran fluida pada bidang-f
20
Semua variabel memiliki satuan yang sama. Fluks fluida yang awalnya sebesar ,
kini menjadi 1 satuan. Dari gambar 3.3 terlihat bahwa garis AB merupakan dinding
dasar. Garis DE merupakan dinding vertikal dan garis DC merupakan permukaan
bebas aliran fluida setelah melewati celah dinding vertikal. Titik-titik A, B, C, dan E
menuju tak hingga.
3.3 Transformasi Pada Domain Fluida
Setelah di subbab sebelumnya kita merubah bidang aliran fluida dari bidang-z ke
bidang-f seperti yang terlihat pada gambar 3.2 dan gambar 3.3, maka di bab ini kita
akan melakukan perubahan dari bidang-f ke bidang- . Untuk itu diperlukan
transformasi Schwarz-Christoffel. Transformasi Schwarz-Christoffel akan diterapkan
pada domain fluida yang berbentuk poligon.
Transformasi Schwarz-Christoffel akan menyatukan B dan C pada satu titik. Lalu
garis AB akan ditarik dan dibuka secara berlawanan arah jarum jam. Kita juga akan
melihat titik (R,0) dan (R,1) pada bidang-f dengan nilai R yang cukup besar. Daerah
hasil transformasi tersebut adalah bidang .
A B
C
f
y
DE 1
0
g
b
(R,1)
(R,0)
Gambar 3.4 Penampang aliran fluida
Transformasi Schwarz-Christoffel diberikan dalam bentuk
21
dengan dan adalah sudut interior yang dibentuk seperti yang terlihat pada gambar
3.4. Titik (R,0) dan (R,1) akan digunakan untuk menentukan nilai konstanta K
melalui hasil pemetaannya pada bidang- .
BC
( ,0)e- ( ,0)eE D A
Gambar 3.5 Penampang aliran fluida pada bidang-
Dari gambar 3.5 terlihat bahwa titik (R,0) dan (R,1) pada bidang-f dipetakan secara
berturut-turut ke dan pada bidang- . Pada transformasi Schwarz-
Christoffel ini kita dapat memilih sebuah titik pada daerah asal dan memetakannya
ke sebarang titik pada daerah hasil. Untuk itu dapat dipilih titik D (0,1) pada daerah
asal (bidang-f) yang dipetakan ke titik D (-1,0) pada daerah hasil (bidang- ).
Sedangkan titik B dan C pada bidang-f, keduanya dipetakan ke titik nol pada bidang-
. Sudut interior dan yaitu , sehingga kita dapat tuliskan transformasi Schwarz-
Christoffel yaitu
Kita integralkan persamaan (3.20) terhadap sehingga kita dapatkan
dengan K adalah konstanta dan L adalah konstanta integrasi. Untuk mendapatkan
nilai K, kita perhatikan titik (R,0) dan (R,1) pada bidang-f yang dipetakan secara
22
berturut-turut ke dan pada bidang- . Sehingga fungsi
pemetaannya dapat kita tuliskan sebagai berikut
dan
Kita substitusi (3.22) pada (3.23) sehingga kita peroleh nilai K yaitu untuk R
menuju tak hingga. Maka persamaan (3.21) menjadi
Sedangkan untuk mendapatkan nilai L, kita perhatikan titik D (0,1) pada bidang-f
yang dipetakan ke titik D pada bidang- . Kita masukkan pada
persamaan (3.24) sehingga menjadi
dan diperoleh . Diperoleh nilai dan yang kita masukkan ke
dalam persamaan (3.21) sehingga menjadi
yang merupakan pemetaan dari bidang-f ke bidang- .
3.4 Variabel Hodograf
Kita perhatikan sebuah titik pada streamline. Vektor singgung pada titik tersebut
mempunyai besar dengan arah . Kecepatan partikel pada titik tersebut
dinyatakan sebagai
23
Gambar 3.6 Vektor singgung suatu titik pada streamline
Vektor kecepatan partikel yang terkait dengan kompleks potensial adalah
Maka berdasarkan (3.27) dan (3.28), persamaan (3.29) dapat dituliskan menjadi
dengan yang dikenal sebagai variabel hodograf. Kondisi batas kinematik
dan dinamik yang telah diperoleh pada subbab sebelumnya, dapat dinyatakan ke
dalam variabel hodograf tersebut.
Batas Kinematik
Pada dinding dasar, diperoleh . Setelah dinyatakan ke dalam
dan , didapatkan
Nilai dari tidak mungkin 0, maka haruslah yang bernilai 0. Nilai
yang memenuhi adalah .
Pada dinding vertikal, diperoleh . Setelah dinyatakan ke dalam
dan , didapatkan
Nilai dari tidak mungkin 0, maka haruslah yang bernilai 0. Nilai
yang memenuhi adalah . Tanda negatif berarti arah aliran fluida yang
mempunyai arah aliran dari atas ke bawah.
u
v
q
et
24
Pada permukaan bebas fluida, diperoleh . Setelah dinyatakan ke
dalam dan , didapatkan
yang merupakan kemiringan kurva . Maka yang tidak
diketahui tersebut yang memenuhi nilai pada permukaan bebas fluida.
Batas Dinamik
Pada kondisi batas dinamik, dipenuhi oleh persamaan (3.17) yaitu
.
Setelah dinyatakan ke dalam dan , didapatkan
dengan .
Merubah Variabel dan ke .
Pada kondisi batas dinamik (3.34) terdapat dua buah variabel yang tidak diketahui
yaitu dan . Kedua variabel tersebut akan dinyatakan ke dalam .
Pertama kita akan merubah variabel ke dalam variabel . Kita perhatikan
hubungan
dimana adalah invers dari vektor kecepatan dan dari persamaan (3.21) dengan
dan . Kita ketahui bahwa , maka (3.35) dapat dituliskan
menjadi
25
Untuk mencari hubungan antara dan , maka kita perhatikan bagian imajiner dari
persamaan (3.36) yaitu
Persamaan (3.37) tersebut kita integralkan pada selang karena kita
mengamati bagian permukaan bebas aliran fluida.
Nilai dari , maka kita peroleh persamaan
Setelah itu, kita akan merubah ke dalam . Untuk menyatakan ke dalam , fungsi
diintegralkan mengikuti lintasan setengah lingkaran bawah dan garis lurus dari
titik –M sampai titik M secara searah jarum jam. Titik M dan –M diambil menuju tak
hingga.
-1 0-M M
0x
Gambar 3.7 Penampang arah aliran fluida
Titik digeser ke titik , sehingga persamaan integral Cauchy disini menjadi
26
Titik disini merupakan titik singular. Untuk menghindari titik singular tersebut
maka dibuat lintasan integral berupa setengah lingkaran yang melompati titik
seperti yang terlihat pada gambar 3.8.
-1 0-M M0x
Gambar 3.8 Singularitas pada bidang-
Persamaan (3.40) dapat dihitung bagian per bagian dengan melihat lintasan C1 yaitu
setengah lingkaran besar, C2 yaitu setengah lingkaran kecil, dan garis lurus dari titik
–M sampai titik M.
Pada integral tersebut terdapat PV (Principal Value) yang memiliki arti pada selang
integral tersebut terdapat titik yang menyebabkan nilai integral tidak terdefinisi di
titik tersebut. Pada integral Cauchy, untuk kurva yang berbentuk setengah lingkaran,
persamaan integralnya bernilai 0 untuk . Namun pada kasus ini, syarat
tersebut tidak dipenuhi karena .
Untuk itu dibutuhkan sebuah variabel baru yaitu . Diharapkan variabel
untuk . Konstruksi dari dapat dituliskan sebagai
Dengan dan , maka persamaan (3.42) menjadi
27
Kita cek persamaan (3.43) dengan menggunakan sebuah titik pada bidang- misalkan
titik . Argumen adalah – dan yang memenuhi kondisi batas titik
adalah . Lalu dengan mensubstitusikan nilai dan ke bagian
imanjiner dari persamaan (3.43) maka kita dapatlan nilai menuju 0. Karena
untuk , maka kemudian diterapkan pada persamaan (3.41)
menjadi
Pada integral Cauchy, untuk kurva yang berbentuk setengah lingkaran, nilai
integralnya akan bernilai 0. Maka (3.44) menjadi
Telah kita ketahui sebelumnya bahwa , maka
persamaan (3.45) dapat dituliskan sebagai
Karena disini kita ingin mencari hubungan antara dan , maka kita perhatikan
bagian riil dari persamaan (3.46) yaitu
Untuk menghitung persamaan integral tersebut, akan dilakukan partisi terhadap
selang integral menjadi 3 bagian yaitu , , dan . Pada setiap
selang, kita akan melihat nilai dari dan pada titik yang berada pada selang
tersebut.
Selang pada daerah asal merupakan dinding vertikal dimana nilai
yang memenuhi adalah . Sedangkan untuk menentukan nilai ,
28
kita dapat memilih sebarang titik pada selang tersebut, misalkan titik ,
sehingga kita peroleh nilai .
Selang pada daerah asal merupakan permukaan bebas fluida dimana
nilai disini belum diketahui. Pada selang ini nilai sama dengan
selang yaitu – .
Selang pada daerah asal merupakan dinding dasar dimana nilai nilai
yang memenuhi adalah . Dan untuk menentukan nilai , kita pilih titik
, sehingga kita peroleh nilai .
Nilai-nilai dan yang telah didapat, kita substitusikan ke dalam (3.47)
sehingga diperoleh
Nilai dari . Maka persamaan (3.48) dapat
dituliskan menjadi
Kita telah mendapatkan sebuah persamaan dengan sebuah variabel yang tidak
diketahui yaitu
dengan