Download - Bab 6 Atom Hidrogen
Bab VI Atom Hidrogen/
BAB VI
ATOM HIDROGEN
6.1 Persamaan Schrodinger Untuk Kasus Gaya Pusat
Kasus elektron dalam atom hidrogen adalah kasus gaya pusat yang bersifat
sphericcaly symetric. Oleh karena itu sebelum membahas Hidrogen, kita akan membahas
kasus gaya pusat ini secara lebih umum. Yang dimaksud dengan kasus gaya pusat adalah
kasus-kasus yang melibatkan partikel yang energi potensialnya hanya merupakan fungsi
jarak, artinya energi potensial hanya ditentukan oleh jarak partikel itu dari titik pusat
peredaran, atau V = V( r) .Kita tahu bahwa persamaan Schrodinger bebas waktu adalah:
= E (6-1)
dengan adalah:
= + = ( ) + V( r) (6-2)
Karena sifatnya yang spherically symetric, maka kita gunakan dalam koordinat
spherik, yaitu:
= (6-3)
atau :
= (6-4)
Dari Bab 5 kita tahu bahwa :
=
Sehingga:
= /
Jadi (6-3) boleh ditulis:
= = (6-5)
Substitusi (6-5) ke dalam operator Hamilton diperoleh:
86
Bab VI Atom Hidrogen/
= + V( r) (6-6)
= + V( r) (6-7)
Persamaan Schrodinger untuk kasus gaya pusat diperoleh, yaitu dengan
mensubstitusi (6-7) ke dalam (6-1), jadi :
+ + V( r) = E (6-8)
Telah kita ketahui dari Bab 5, bahwa nilai eigen terhadap operator adalah ( +1)
sehingga persamaan eigennya dapat ditulis:
( + 1) (6-9)
dan (6-8) dapat ditulis:
+ + V( r) = E (6-10)
Sekilas, tampaknya persamaan (6-9) hanya melibatkan satu variabel yaitu r, tetapi harus
diingat bahwa ( + 1) adalah nilai eigen dari operator padahal seperti kita tahu,
operator melibatkan variabel dan . Jadi sebenarnya persamaan (6-9) melibatkan
tiga macam variabel, yaitu r, dan , sehingga yang merupakan penyelesaian (6-9)
harus (r,,) yang merupakan gabungan dari ( r) , () dan (). Selanjutnya ( r)
kita tulis R sedang menurut bab 5, () ditulis T dan () ditulis sehingga:
= R T (6-11)
Subtitusi (6-10) ke dalam (6-9) menghasilkan:
+ R T + V( r) R T = E R T (6-12)
atau:
+ R T + V( r) R T = E R T
Jika dibagi dengan R T , hasilnya:
+ + V( r) = E (6-13)
87
Bab VI Atom Hidrogen/
atau:
+ R + V( r) R = E R (6-14)
Perlu diketahui bahwa = sehingga (6-14) boleh ditulis:
+ R + V( r) R = E R atau
+ R + V( r) R = E R atau:
+ R + V(( r) R = E R (6-15)
Perlu ditegaskan bahwa bagi sembarang problem dengan fungsi energi potensial
yang spherically symetric V( r) , maka fungsi gelombangnya adalah = R T yang
memenuhi persamaan (6-15), dengan R = fungsi radial, T fungsi dan adalah fungsi
. Fungsi T dan fungsi sudah kita turunkan di bab 5.
Persamaan (6-15) adalah persamaan Schrodinger sebagai fungsi radial, untuk
sembarang problem yang melibatkan fungsi energi potensial yang spherically symetric
V(r) .
6.2 Gerak Rotasi ( Rigid Rotor Dua Partikel )
Meskipun sebenarnya kita sudah dapat melanjutkan pembahasan dalam rangka
menyelesaikan persamaan Schrodinger untuk atom Hidrogen namun lebih dulu kita akan
menyelesaikan problema yang lebih sederhana yaitu rigid rotor dua partikel yaitu
problema tentang sistem dua partikel yang berada pada jarak yang tetap, dan
dihubungkan oleh sebuah batang kaku tanpa massa yang panjangnya d. Dalam kasus ini,
karena jarak kedua partikel tetap, maka gerak internal dalam bentuk vibrasi pasti tidak
88
Bab VI Atom Hidrogen/
mungkin, sehingga satu-satunya gerak internal adalah gerak rotasi. Seluruh energi dalam
rotor adalah energi kinetik, jadi:
V = 0 (6-16)
sehingga operator Hamilton untuk gerak rotasinya adalah:
= (6-17)
Dalam persamaan (6-17) di atas kita gunakan sebagai pengganti m, karena sistemnya
terdiri atas dua partikel, sehingga massa yang digunakan adalah massa tereduksi yang
didefinisikan:
= (6-18)
dengan m1 dan m2 adalah massa masing-masing partikel. Operator adalah operator
koordinat spherik seperti pada persamaan (6-5) yaitu:
=
tetapi karena dalam rigid rotor, jari-jarinya konstan, maka turunan terhadap jari-jari = 0
= (6-19)
karena jarak antar partikel adalah d, maka: = sehingga operator Hamiltonnya
menjadi:
= (6-20)
adalah operator momentum angular untuk gerak translasi yang melengkung, sedang
yang kita bicarakan adalah gerak translasi. Untuk membedakannya, maka diganti
yaitu operator momentum angular rotasi. Sehingga (6-20) ditulis:
=
Demikian persamaan Schrodinger untuk rigid rotor dua partikel:
89
Bab VI Atom Hidrogen/
= E (6-21)
Telah kita ketahui bahwa nilai eigen untuk terhadap adalah ( + 1) , jadi
seharusnya nilai eigen adalah j ( j + 1) , sehingga = j (j + 1) dan (6-21)
ditulis:
j (j + 1) = E (6-22)
sehingga:
E = (6-23)
Selanjutnya d2 ditulis I sehingga (6-23) ditulis:
E = J = 0, 1, 2, . . . . . . . (6-24)
dengan I = momen Inertia, yang didefinisikan:
I = d2 (6-25)
Perbandingan antara L dan J
L adalah momentum angular translasi, harganya dengan adalah bilangan
kuantum momentum angular translasi. J adalah momentum angular rotasi, harganya
dengan j adalah bilangan kuantum momentum angular rotasi. L mempunyai
komponen Lz = m , maka J juga mempunyai komponen yang disebut Jz = m . Jika
pada gerak translasi m harganya mulai , ( +1) . . . . . . + , maka m pada gerak
rotasi mempunyai harga mulai dari j , j+1, . . . . sampai dengan +j.
Apakah Energi rotasi mengalami degenerate ?
90
Bab VI Atom Hidrogen/
Kita tahu bahwa energi level rotasi hanya ditentukan oleh j. Jadi jika j = 2
misalnya maka energinya . Untuk j = 2, maka ada 5 harga m, yaitu 2 , 1, 0,
1, 2. Kita telah tahu dari bab 5 bahwa fungsi eigen untuk operator momentum angular
ditentukan oleh dan m. Sudah barang tentu untuk gerak rotasi, fungsi eigennya
ditentukan oleh j dan m. Karena untuk j = 2 ada 5 harga m, itu artinya untuk j = 2, ada
lima macam fungsi gelombang yaitu: ; ; ; dan , yang kelima-limanya
mempunyai energi yang sama yaitu . Karena ada 5 fungsi gelombang
berbeda yang energinya sama, maka dikatakan bahwa untuk j = 2, energi level rotasi
mengalami 5th fold degenerate.
6. 3 Gerak Rotasi Molekul Diatomik
Energi level rotasi molekul diatomik dapat diaproksimasi dengan menggunakan
energi level rigid rotor dua partikel (6-24). Telah diketahui bahwa ketika molekul
diatomik mengabsorpsi atau mengemisi energi, ternyata transisi rotasi murni yang
mungkin adalah:
j = + 1 (6-26)
Perlu ditambahkan bahwa momen dipole molekul harus tidak nol untuk dapat
menghasilkan spektrum rotasi murni. Transisi rotasi disebut transisi murni jika hanya
bilangan kuantum rotasi saja yang berubah. Jika terjadi transisi rotasi dari E2 ke E1 maka
E nya yaitu E2 E1 berubah menjadi foton atau h, Jadi:
h =
= (6-27)
Jadi:
= (6-28)
Jika dianggap j = 1, maka j2 = j1 + 1 sehingga. Jika j1 ditulis j saja, maka j2 = j + 1, jadi:
91
Bab VI Atom Hidrogen/
= = 2 ( j + 1) B (6-29)
B = h / (82I) dan j = level yang rendah = 0, 1, 2, 3, . . . . . .
B disebut tetapan rotasi molekul.
Pengukuran terhadap frekuensi absorpsi rotasi, memungkinkan kita menghitung B. Dari
B, kita dapat menghitung momen inertia I, untuk selanjutnya jarak ikatan molekul d,
dapat ditentukan.
Contoh:
Garis spektrum frekuensi terendah pad absorpsi rotasi murni molekul 12C32S terjadi pada
48991 MHz. Tentukan jarak ikatan.
Jawab:
Frekuensi terendah, berarti transisi dari j = 0 1, sehingga:
= 2 B jadi B = / 2
B = h / (82I) I = h / ( 8 2 B) = h / (4 2 )
I = d2 d2 = I / = h / (42 )
d =
= = x 1,661 . 1024 gram = 1,44885 . 1023 gram
= 1,44885 . 1026kg
d = = 1,5377 x 1010 m = 1,5377 A
6.4 Atom Hidrogen
Atom hidrogen terdiri atas sebuah proton dan sebuah elektron. Jika e menyatakan
muatan sebuah proton ( e = + 1,6 x 1019 C ) maka muatan elektron adalah e. Kita akan
berasumsi bahwa elektron dan proton adalah titik massa yang interaksinya mengikuti
hukum Coulomb. Dalam membahas tentang atom atau molekul , kita biasanya akan
92
Bab VI Atom Hidrogen/
memandangnya sebagai sistem terisolasi, dengan mengabaikan interaksi antar atom dan
antar molekul. Pembahasan kita tentang Hidrogen ini akan kita buat lebih umum, yaitu
tidak saja untuk atom hidrogen, tetapi juga untuk atom yang mirip Hidrogen (Hidrogen
liked atom) yaitu misal ion He+ ; ion Li2+ dan lain-lain.
Pertama kita akan membicarakan gaya yang bekerja dalam sistem ini, yaitu gaya
Coulomb:
F = (6-30)
yang merupakan gaya pusat. Hubungan antara energi potensial V dengan F yang bekerja
adalah:
F = dV/dr (6-31)
dengan demikian maka:
dV/dr = , jadi:
V = (6-32)
Supaya penulisannya ringkas (¼o)1/2e diganti e', sehingga (6-32) menjadi:
V = (6-33)
Jika kita misalkan gerak internal dalam sistem itu diwakili oleh fungsi dengan
adalah:
= R (6-34)
maka sebagai representasi dari kasus gaya pusat, harus mengikuti persamaan:
+ R + V(( r) R = E R (6-15)
Dengan memasukkan harga V = , dan m diganti (mengapa ?) maka (6-15)
menjadi:
+ R R = E R
93
Bab VI Atom Hidrogen/
+ R R E R = 0
R R E R = 0
R R E R = 0
atau:
Jika diganti a maka:
R R R = 0
atau
R = 0 (6-35)
Persamaan (6-35) adalah persamaan Schrodinger untuk atom hidrogen dinyatakan dalam
satu variabel yaitu radial. Jika (6-35) diselesaikan, maka R diperoleh. Padahal T dan
sudah kita ketahui dari bab 5. Jadi Jika R diperoleh maka untuk atom mirip hidrogen
yang merupakan penggabungan (hasil kali) R T juga diperoleh.
Solusi Persamaan Radial
Untuk memperoleh R, sebenarnya kita dapat langsung menyelesaikan (6-35)
dengan menggunakan metode deret. Tetapi relasi recursi yang diperoleh akan terlalu
rumit. Agar relasi recursi yang diperoleh bentuknya sederhana maka kita akan melakukan
beberapa langkah awal yaitu dengan memasukkan r yang sangat besar. Jika r = , maka
(6-35) menjadi:
R '' R = 0 (6-36)
dan penyelesaian-penyelesaiannya adalah:
(6-37).
94
Bab VI Atom Hidrogen/
Sekarang pembahasan akan kita fokuskan jika E positif. Untuk E positif, maka bilangan
dalam akar akan negatif, sehingga muncullah i sebagai faktornya r :
R E > 0 (6-38)
atau, jika harga a dikembalikan ke asalnya maka:
R E > 0 (6-39)
Simbol pada (4-9) menunjukkan bahwa R tersebut adalah R yang hanya berlaku untuk r
yang sangat besar, dan merupakan fungsi asymtotik terhadap R yang sesungguhnya.
Bentuk persamaan (6-39) tersebut mengingatkan kita kepada persamaan (6-26) pada bab
III mengenai partikel bebas. Ini berarti untuk r sangat besar dan E > 0 maka elektron
atom hidrogen berada dalam keadaan partikel bebas, atau dengan perkataan lain hidrogen
dalam keadaan ion positif.
Persamaan (4-9) belum memberikan faktor radial yang lengkap bagi fungsi radial
dengan E positif. Studi lebih lanjut mengenai hal ini (baca literatur Quantum Mechanics
of One and Two Electron Atoms , 1957 karangan Bethe dan Salpeter halaman 21-24)
menunjukkan bahwa fungsi radial dengan E positif harganya tertentu (terhingga) untuk
sembarang harga r berapapun harga E positifnya. Ini berarti, bahwa sebagai partikel
bebas sembarang harga E nonnegatif diijinkan atau untuk partikel bebas, energinya
kontinum nonnegatif atau tidak energi level bagi partikel bebas.
Karena kita mendapat energi positif yang kontinum, maka eigen fungsi yang
bersangkutan disebut continuum eigenfunctions. Sebagaimana lazimnya fungsi partikel
bebas, maka fungsi eigen kontinuumpun tak ternormalisasi.
Sekarang kita akan membahas bound state atom Hidrogen yaitu jika E < 0. Jika E
negatif maka bilangan di bawah tanda akar dalam (6-37) adalah positif. Karena
berapapun harga r, fungsi harus bernilai terhingga, maka kita pilih tanda minus untuk
persamaan (6-37) tersebut sehingga:
R E < 0 (6-40)
95
Bab VI Atom Hidrogen/
Persamaan (6-40) menunjukkan bahwa R disitu adalah fungsi asymtotik bagi R yang
sesungguhnya. Karena (6-40) adalah asymtotik terhadap R sesungguhnya maka R
sesungguhnya pasti mengandung (6-40). Kita boleh memisalkan R dalam bentuk apapun
asal mengandung (6-40). Misal R sesungguhnya adalah:
R = K (6-41)
dengan K adalah fungsi r atau K(r). [ Hati-hati dengan e dan e' pada (6-30). Ingat bahwa
e disitu adalah bilangan basis logaritma natural, tidak ada hubungannya dengan muatan
proton sedang e' ada hubungannya dengan muatan proton ].
Jika dengan C, maka (6-41) menjadi:
R = K (6-42)
dengan
C = (6-43)
Penggunaan R dalam (6-43) dijamin tidak hanya berlaku untuk r sangat besar, tetapi
untuk sembarang harga r asal E negatif.
Proses selanjutnya, R pada (6-42), turunan pertamanya ( R') dan turunan keduanya (R'')
dimasukkan pada (6-35), maka (6-35) akan menjadi:
` r2 K '' + ( 2r Cr2 ) K ' + [ ( 2 Z a1 2 Cr ) ( +1) ] R = 0 (6-44)
Sekarang, kita dapat memasukkan deret pangkat berbentuk:
K = (6-45)
ke dalam (6-44). Jika kita benar-benar melakukannya, maka akan kita lihat bahwa
beberapa koefisien pada suku-suku yang awal dari deret penyelesaian itu adalah nol. Jika
kita misalkan koefisien pertama yang tidak nol adalah koefisien suku ke s atau cs , maka
(6-45) boleh ditulis:
K = ck 0 (6-46)
Jika k s diganti j maka: k = s diganti j = 0 dan k diganti j + s, sehingga (6-46) menjadi:
K = = cj+s 0 (6-47)
96
Bab VI Atom Hidrogen/
Selanjutnya cj+s diganti bj sehingga:
K = bi 0 (6-48)
(Meskipun kita telah melakukan berkali-kali substitusi, tetapi substituennya adalah
substituen sembarang, jadi tidak mengubah prosedur standar penyelesaian persamaan
diferensial dengan metode deret). Dalam (6-47) s adalah bilangan bulat, yang nilai
ditentukan pada saat menyelesaikan persamaan diferensial. Selanjutnya kita buat fungsi
radial baru yaitu M yang harganya adalah K / rs Jadi:
K = M bi 0 (6-49)
M = bi 0 (6-50)
Kita cari K' dan K'' dari (6-49) dan bersama (6-49) kita masukkan ke dalam (6-44), kita
peroleh:
r2M'' + [(2s + 2 ) r 2C r2 ] M' + [ s2 + s + ( 2 Z a1 2 C 2 C s ) r ( +1)] M = 0
(6-51)
Untuk mendapatkan harga s kita tempuh langkah-langkah sebagai berikut:
Masukkan r = 0 ke dalam (6-50) sehingga :
[ s2 + s ( +1)] = 0 (6-52)
dan diperoleh:
s = dan s = 1 (6-53)
Dari dua harga s ini, mana yang akan dipergunakan ? Untuk itu ikuti uraian berikut:
Dari (6-42) , (6-49) dan (6-50) kita peroleh:
R = rs atau: (6-54)
R = rs M (6-55)
Ingat bahwa = 1 Cr + (Cr)2/ 2 ! . . . . . maka untuk r yang kecil, = 1,
sementara itu = b0 + b1 r + b2 r2 . . . . sehingga untuk r yang kecil, = b0,
akibatnya untuk r yang kecil, (4-24) menjadi:
97
Bab VI Atom Hidrogen/
R = b0 rs (6-56)
Untuk s = maka R = b0 r sedang untuk s = 1 , maka R = yang akan menjadi
tak terhingga untuk r = 0. Padahal yang begitu tidak boleh. Jadi s = 1 dibuang, dan s
= dipergunakan. Dengan s = , persamaan (6-51) akan menjadi:
r2M'' + [(2 + 2 ) r 2C r2 ] M' + [ 2 + + ( 2 Z a1 2 C 2 C ) r ( +1)] M = 0
r2M'' + [(2 + 2 ) r 2C r2 ] M' + ( 2 Z a1 2 C 2 C ) r M = 0
r2M'' + [(2 + 2 ) 2C r ] r M' + ( 2 Z 1 2 C 2 C ) r M = 0
jadi:
rM'' + [(2 + 2 ) 2C r ] M' + ( 2 Z a1 2 C 2 C ) M = 0 (6-57)
Sementara itu dengan s = Persamaan (6-55) menjadi:
R = r M (6-58)
dengan M adalah dinyatakan pada (6-50) yaitu:
M = (6-59)
M' = = = =
M'' = = = =
=
Jika M, M' dan M'' disubstitusikan ke dalam (6-57), kita peroleh:
= 0
Jadi:
= 0
dan diperoleh relasi recursi:
bj + 1 = (6-60)
98
Bab VI Atom Hidrogen/
Sekarang kita harus menguji sifat deret tak terhingga (6-50) untuk r yang besar. Karena
untuk r yang besar sifat deret ditentukan oleh suku-suku yang besar, maka kita akan
menguji rasio antara
bj + 1/ bj untuk j yang besar. Untuk j yang besar:
bj + 1/ bj = untuk j besar (6-60)
Marilah sekarang kita perhatikan seandainya kita mempunyai bentuk . Jika bentuk
ini kita nyatakan dalam bentuk deret pangkat, maka:
= 1 + (2Cr) + . . . . . + + . . . (6-61)
Rasio koefisien r dari sebuah suku dengan suku sebelumnya dari (6-61) tersebut adalah:
/ = . = = untuk j besar
yang ternyata sama dengan (6-60) untuk j besar. Hal ini mendorong kita untuk
menyimpulkan bahwa untuk j yang besar (6-50) sifatnya mirip , sehingga kita boleh
menuliskan:
M ~ (6-62)
atau:
~ (6-63)
dan selanjutnya maka (4-24) dapat ditulis:
R ~ rs atau
R ~ rs
Karena uraian kita ini tadi berangkat dari s = , maka:
R ~ r (6-64)
Namun perlu diperhatikan bahwa (6-64) akan menjadi tak terhingga jika r tak terhingga
dan ini tidak boleh karena tidak quadratically integrable. Satu-satunya cara untuk
mengatasi hal ini adalah (seperti yang sudah kita kenal pada osilator harmonis)
99
Bab VI Atom Hidrogen/
menghentikan deret (6-50) pada suku tertentu, misal suku ke k. Ini berarti relasi recursi
( 4- 27) harus menjadi nol jika j = k, jadi:
= 0 atau:
2C + 2C + 2 C k 2 Z a-1 = 0 atau
2C (1 + + k ) 2 Z a-1 k = 0 , 1 , 2 , . . . . (6-65)
karena dan k adalah bilangan bulat maka ( 1 + + k ) pasti adalah bilangan bulat yang
baru yang untuk selanjutnya disebut bilangan kuantum utama = n, jadi:
n = ( 1 + + k) (6-66)
Dari (6-65) maka hubungan antara (bilangan kuantum momentum angular ) dengan n
(bilangan kuantum utama adalah:
= n 1 k atau:
< n 1 (6-67)
Catatan:
Dalam pembahasan mengenai hidrogen ini mucul bilangan kuantum utama n. Pada
pembahasan mengenai momentum angular, kita telah mengenal dua bilangan kuantum
yaitu dan m. Karena momentum angular berlaku untuk semua gerak melengkung, dan
gerak elektron dalam atom adalah gerak melengkung maka dam m juga berlaku pada
gerak elektron dalam atom. Jadi sampai sejauh ini kita mengenal 3 macam bilangan
kuantum adalah atom yaitu n, dan m.
Energi Level
Jika kita masukkan (6-66) ke dalam (6-65) maka diperoleh:
C n = Z a1 (6-68)
Jika harga a = dan C = dimasukkan kembali, maka diperoleh:
E = atau: (6-69)
E = atau: (6-70)
jika harga e' = (4o)-1/2 e dimasukkan kembali maka:
100
Bab VI Atom Hidrogen/
E = (6-71)
Untuk atom hidrogen:
E = (6-72)
dengan = = 0,9994557 melektron =9,1044318 . 10kg;
e =muatan proton=1,602177x1019 C ; Z = nomor atom dan 0 = permitivitas dalam
vakum = 8,8541878 x 1012 C / N.m2
6.5 Fungsi Gelombang Atom Hidrogen
Fungsi Radial R
Dengan memanfaatkan (4-35) maka relasi recursi (6-60) menjadi:
bj + 1 = (6-73)
Pada pembahasan penurunan (6-66) dinyatakan bahwa polinomial M = akan
dihentikan pada saat j = k, sehingga polinomialnya (dikenal dengan Polinomial Laguerre)
menjadi:
M = (6-66+)
Karena menurut (6-66), n = ( 1 + + k) maka k = n 1, sehingga (6-66+) menjadi:
M = (6-74)
Fungsi radialnya dinyatakan oleh (4-24 c) yaitu: R = r M. jadi
R = r atau: (6-75)
jika harga C dimasukkan maka diperoleh :
R = r atau: (6-76)
101
Bab VI Atom Hidrogen/
R adalah salah bagian saja dari fungsi gelombanh Hidrogen. Perlu diketahui bahwa
elektron dalam atom hidrogen bergerak spherik, artinya pasti terjadi momentum angular.
Oleh karena itu selain fungsi radial, fungsi gelombang hidrogen pasti juga terdiri atas
fungsi eigen momentum angular yang sudah diturunkan pada bab V. Secara keseluruhan
fungsi gelombang atom mirip hidrogen adalah::
= R . T . (6-77)
dengan T dan dapat dilihat pada bab V tentang momentum angular.
Jika kita perhatikan persamaan (5-30) bab V, tampak bahwa ditentukan oleh
bilangan kuantum m. Dari (5-64) bab V, tampak bahwa T ditentukan oleh dan m, dan
jika kita amati persamaan (5-4) bab ini, maka tampak bahwa R ditentukan oleh n dan
maka dapat disimpulkan bahwa ditentukan oleh tiga macam bilangan kuantum yaitu n ,
dan m, sehingga (6-77) biasa ditulis:
(n , , m ) = R( n, ) . T( , m) . (m) (6-78)
Contoh
Tentukan fungsi gelombang atom hidrogen dengan n = 3, = 1 dan m = 1.
Jawab:
Menentukan fungsi
Dengan menggunakan persamaan (5-30) bab V:
= ei m ei (6-79)
Menentukan T
Dengan menggunakan (5-64) bab V:
Kita hitung dulu :dengan menggunakan (5-63) bab V:
= (1 - cos ) (cos - 1)
= (1 - cos ) (cos - 1)1
102
Bab VI Atom Hidrogen/
= (1 - cos ) (cos - 1)1
Kita selesaikan dulu (cos - 1) dan supaya tampak sederhana cos kita ganti x
sehingga:
(cos - 1) = (x 1)
= 2x = 2
Jadi:
= (1 - cos ) . 2 = sin
Setelah itu, T dapat ditentukan:
= sin sin (6-80)
Menentukan Fungsi Radial:
Dengan menggunakan (6-76) bab ini:
R = r
= r .
= r . ( bo + b1 r ) (6-81)
Koefisien b1 ditentukan dengan relasi recursi (6-73) bab ini:
bj + 1 =
jadi:
b1 = =
103
Bab VI Atom Hidrogen/
Harga b1 dimasukkan ke dalam (6-81):
R = r . ( bo r ) = bo { r . (1 r ) }
bo dicari dengan normalisasi:
= 1
= = r2 dr = 1
= 1/
= 1/
= 1/
= 1/
4 !. ( 5 ! ) + ( 6 ! ) = 1/
4. 3. 2. 35 . 25 a5 5. 4. 2. 36 26 a5 + 5 .4. 37 27 a5 = 1/
36. 22 a5 5. 36 23 a5 + 5. 37 25 a5 = 1/
a5 a5 + a5 = 1/
a5 a5 + a5 = 1/
( 8 4 . 5 + 5 . 3) a5 = 1/
3 a5 = 1/ = bo = =
104
Bab VI Atom Hidrogen/
bo = = .
Jadi:
R = bo { r . (1 r ) }
R = . { r . (1 r ) }
Akhirnya diperoleh yaitu:
(3, 1, 1) = R T = . . . . . . . . . . (masukkan)
Degenerasi
Apakah energi level atom hidrogen mengalami degenerate ? Untuk menjawab ini marilah
kita lihat persamaan (6-72). Dari persamaan tersebut tampak bahwa energi level atom
hidrogen hanya ditentukan oleh n, padahal fungsi gelombangnya ditentukan oleh 3
macam bilangan kuantum, ini berarti dapat saja terjadi bahwa fungsi gelombang yang n
sama mempunyai dan m berbeda kecuali untuk n = 1. Sebab untuk n = 1, hanya ada
satu kemungkinan harga dan m yaitu = 0 dan m = 0, sehingga untuk n = 1 hanya
adalah satu macam fungsi gelombang yaitu (1, 0, 0 ) . Tetapi bagaimana untuk n = 2
Untuk lebih jelasnya kita buat tabel n, dan m serta fungsi gelombangnya.
Bil. Kuantum Utama n
Bil Kuant. Angular Bil. Kuan. Magnetik m
Fungsi Gelombang
1 0 0 ( 1, 0, 0 )
2 0 0 ( 2, 0, 0 )
1 1 ( 2, 1, )
( 2, 1, 0 )
( 2, 1, 1 )
3 0 ( 3, 0, 0 )
1 ( 3, 1, )
105
Bab VI Atom Hidrogen/
( 3, 1, 0 )
( 3, 1, 1 )
2 ( 3, 2, )
( 3, 2, )
( 3, 2, 0 )
( 3, 2, 1 )
( 3, 2, 2 )
Dst
Dari tabel di atas tampak bahwa untuk n > 2, maka diperoleh n2 fungsi gelombang
berbeda. Jadi untuk n – 2 ada 4 fungsi gelombang yang berbeda yaitu ( 3, 1, ) , ( 3, 1, 0 ) ,
( 3, 1, 1 ) dan ( 3, 2, ) . Karena n nya sama, maka ke empat fungsi gelombang tersebut
mempunyai energi level yang sama. Dengan demikian maka untuk n = 2 energi level
atom hidrogen mengalami degenerasi dengan derajat degenerate = 4.
Dengan penjelasan yang sama maka dapat kita ketahui bahwa ada 9 fungsi
gelombang yang energinya sama untuk n = 3 yaitu: ( 3, 0, 0 ) , ( 3, 1, )
, ( 3, 1, 0 ) , ( 3, 1, 1 ) ,
( 3, 2, ) , ( 3, 2, ) ,
( 3, 2, 0 ) , ( 3, 2, 1 ) , dan ( 3, 2, 2 ).
6.6 Bilangan Kuantum Magnetik Spin
Sejauh ini, kita telah menurunkan 3 macam bilangan kuantum, yaitu bilangan
kuantum utama n, Bilangan kuantum momentum angular translasi dan bilangan
kuantum orbital momentum angular m. Bilangan kuantum utama menentukan energi
dengan relasi:
E =
Bilangan kuantum utama juga berkorelasi dengan kulit lintas, yang hubungannya dapat dilihat dari tabel
berikut:
n 1 2 3 4 5 6 7Kulit K L M N O P Q
106
Bab VI Atom Hidrogen/
Bilangan kuantum utama ini muncul ketika menentukan fungsi Radial
Bilangan kuantum momentum angular, menentukan momentum angular dengan
relasi:
L =
Bilangan kuantum ini juga menentukan bentuk lintasan. Bilangan muncul ketika kita
hendak menentukan fungsi . Dalam bahasa spektrum, bilangan berhubungan dengan
nama-nama orbital.
0 1 2 3 4 dstOrbital s p d f g h
Bilangan kuantum yang ketiga adalah bilangan kuantum orbital momentum angular yang
juga disebut bilangan kuantum magnetik translasi m. Bilangan ini merupakan penentu Lz
yaitu proyeksi momentum angular L pada sumbu z. Hubungan antara Lz dan m adalah:
Lz = m
Bilangan m ini juga dipandang sebagai penentu orientasi (arah) translasi elektron, karena
jika kita mengetahui m kita dapat mengetahui Lz. Jika kita mengetahui Lz, maka arah
momentum angular dapat diketahui, karena:
Lz = L cos
dengan adalah sudut arah L terhadap sumbu z. Jika arah L diketahui, maka dengan
kaidah tangan kanan, arah translasi elektron dapat diketahui.
Apakah dengan 3 macam bilangan kuantum sudah cukup ? Jika mengacu kepada
fenomena makroskopis, maka dapat diketahui bahwa kedudukan planet dalam tata surya
ditentukan oleh 4 macam tetapan, yaitu tetapan energi, tetapan momentum angular,
tetapan komponen momentum angular dan tetapan rotasi. Dua buah planet tidak pernah
bertabrakan karena tidak ada dua planet yang keempat tetapannya sama. Jika fenomena
mikroskopik dipandang sebagai miniatur dari fenomena makroskopik maka atom masih
membutuhkan satu tetapan lagi yang berasal dari gerak rotasi elektron. Kita tahu translasi
elektron dalam atom adalah lintasan sperik, oleh karena itu mempunyai momentum
angular L. Karena gerak rotasi juga bersifat spherik maka gerak rotasi juga harus
107
Bab VI Atom Hidrogen/
mempunyai momentum angular yang disebut momentum angular rotasi, notasinya S. Jika
L ditentukan oleh dalam relasi L = Maka S ditentukan oleh s (bilangan
kuantum angular spin) dalam relasi S = . Kita tahu bahwa L mempunyai
komponen yang disebut Lz, maka S harus mempunyai komponen yang disebut Sz. Jika
Lz ditentukan m dalam relasi Lz = m maka penentu Sz adalah ms dalam relasi:
Sz = ms
Kita tahu banyaknya harga m adalah 2 +1 mulai dari , ( +1) . . . . . .+ . Jika begitu
banyaknya harga ms harus 2s + 1 yaitu dari s sampai + s. Kita juga tahu bahwa m adalah
penentu arah translasi, maka ms pasti penentu arah rotasi. Karena hanya ada 2 macam
arah rotasi, maka tentu hanya ada dua macam harga ms. Padahal banyaknya harga ms = 2s
+ 1, jadi{
2s + 1 = 2 s = ½
Karena harga ms adalah s dan + s maka harga ms = + ½
Dan harga momentum angular rotasi S adalah:
S = = =
Selanjutnya ms = + ½ itulah yang dijadikan sebagai bilangan kuantum ke empat.
6.7 Pengaruh Momentum Angular Translasi Terhadap Energi (Efek Zeeman)
Telah kita ketahui bahwa energi hanya ditentukan oleh bilangan kuantum utama
n. Hal itu benar, manakala atom tidak berada di bawah pengaruh medan magnet
eksternal. Tetapi jika ada medan magnet eksternal maka momentum angular akan
mengubah besarnya energi. Berapa besar perubahan energi yang ditimbulkan oleh
momentum angular jika atom berada dalam medan magnet eksternal yang kuat medannya
B, itulah yang akan kita bahas sekarang.
Jika elektron dalam atom bermassa m dan bermuatan e, membentuk lintasan spherik,
maka selain momentum angular L, juga terjadi momen magnet yang arahnya
berlawanan dengan arah L. Sedang arah L adalah arah ibu jari tangan kanan jika arah
lintasan partikel (elektron) ditunjukkan oleh keempat jari yang digenggamkan. Hubungan
antara dan L adalah:
108
Bab VI Atom Hidrogen/
= L (6-82)
tanda negatif tersebut menunjukkan bahwa arah L dab berlawanan. Menurut tinjauan
mekanika kuantum besarnya L = , jadi :
= (6-83)
Jika sebuah atom dengan momen magnet berada dalam medan magnet eksternal yang
kuat medannya B, maka perubahan energi yang dialami atom itu adalah:
Em = . B = . B cos (6-84)
dengan adalah sudut antara dan B.
Substitusi (6-82) ke dalam (6-84) menghasilkan:
Em = B . L cos (6-85)
L cos adalah Lz jadi:
Em = B . Lz (6-86)
Kita juga tahu bahwa Lz = m jadi:
Em = m B (6-87)
( m yang cetak miring adalah bilangan kuantum magnetik sedang m yang cetak tegak
adalah massa partikel/elektron).
Kuantitas biasa ditulis , sehingga (6-87) juga boleh ditulis:
Em = m B (6-88)
= Bohr Magneton = 9,27402 . 1024 J/T
Dari Persamaan (6-88) itu tampak bahwa bilangan kuantum magnetik akan menentukan
perubahan energi orbital, manakala atom (hidrogen) berada di bawah pengaruh medan
magnet kecuali orbital-orbital yang m-nya nol.
Perubahan energi orbital itu dapat digambarkan sebagai berikut:
m B m B 3
mB 2 2
109
Bab VI Atom Hidrogen/
1 1 1Em 0 0 0 0
1 1 1
Orbital s Orbital p Orbital d Orbital f
Gambar 6.1 : Splitting Energi orbital s, p , d dan f
Dari gambar (6-82) tersebut tampak bahwa selain orbital s, semua orbital mengalami
perubahan energi. Orbital p pecah menjadi 3 sub level magnetik, orbital d menjadi 5 dan
orbital f menjadi 7 sub level magnetik. Banyaknya sub level dalam sebuah orbital disebut
komponen Zeeman. Jadi komponen Zeeman orbital s, p, d dan f adalah 1, 3, 5 dan 7.
Secara umum dapat dinyatakan bahwa banyaknya komponen Zeeman adalah 2 +1.
===000===
Soal-soal Bab 6
1. Frekuensi absorpsi terkecil untuk molekul 12C16O adalah 115271 MHz. Hitunglah:
a) Jarak ikatan 12C16O
b) Prediksilah dua frekuensi serapan terkecil berikutnya
c) prediksilah frekuensi serapan terendah bagi 13C16O
2. Hitunglah panjang gelombang garis spektra yang muncul dari transisi n = 6 3 pada
atom hidrogen. Ulangi hal yang sama untuk He.
3. Hitunglah Tingkat energi dasar hidrogen dalam satuan eV.
4. Positron adalah partikel dengan massa sama dengan massa elektron tetapi bermuatan
+e. Tentukan berapa eV tingkat energi dasar atom positronium (atom ini terdiri atas 1
positron dan 1 elektron.
5. Untuk atom mirip hidrogen dalam keadaan dasar, tentukan < r >
6. Tentukan < r > untuk 2p0 dari atom mirip hidrogen .
7. Tentukan < r2 > untuk 2p1 dari atom mirip hidrogen .
110
Bab VI Atom Hidrogen/
8. Tulislah fungsi radial 2s dan 2p untuk atom mirip hidrogen. Tulis pula fungsi
gelombangnya.
9. Harga untuk orbital d = 2. Berapakah harga untuk orbital t ?
Catatan :Nama orbital adalah s, p, d, f. Setelah itu alphabetik, dengan j tidak
dipergunakan.
10. Untuk atom hidrogen dalam keadaan ground state, tentukan probabilitas
mendapatkan elektron pada jarak lebih dari 2a ?
11. Tentukan, berapakah jari-jari ruang 1s atom hidrogen menggunakan batas
probabilitas 90 % ?
12. (a) Tentukan < T > untuk atom hidrogen keadaan dasar. (b) Dengan < T > itu,
tentukan kecepatan elektron.
13. Tentukan populasi ratio gas atom hidrogen antara n = 2 dan n = 1 pada suhu:
(a) 25o C (b) 1000 K (c) 10 000 K
14. Tentukan fungsi gelombang atom hidrogen 3,2,1
15. Fungsi gelombang atom hidrogen didefinisikan sebagai:
= A r2 er / 3a sin2 e2 i
a) tentukan A
b) Tentukan n
c) Tentukan
d) Tentukan L
e) Tentukan Lz
===000===
111