1
BAB 1
HIMPUNAN DAN SISTEM BILANGAN
A. HIMPUNAN
1. Penulisan Himpunan
Himpunan (set) adalah kumpulan atau kelompok daripada
obyek yang dapat dibedakan secara tegas. Obyek-obyek yang
dimiliki oleh suatu himpunan dapat berupa bilangan, nama kota,
nama orang huruf, nama komoditas dan sebagainya. Obyek-
obyek yang terdapat dalam suatu himpunan disebut sebagai
unsur, elemen, atau anggota. Untuk selanjutnya dalam buku ini
akan dipakai istilah anggota untuk menyebut obyek-obyek yang
ada dalam suatu himpunan.
Notasi himpunan biasanya ditulis dengan huruf besar
seperti A, B, C, D, E, dan seterusnya. Sedangkan obyek-obyek
yang menjadi anggota suatu himpunan biasanya ditulis dengan
huruf kecil seperti a, b, c, d, e, dan seterusnya.
Untuk menuliskan suatu himpunan dapat dilakukan dengan
2 (dua) cara yaitu dengan cara daftar (disebut satu persatu ) dan
dengan cara kaidah atau gambaran, yang masing masing ditulis
di antara tanda kurung kurawal.
Contoh 1: Suatu himpunan a terdiri dari 4 anggota bilangan 1, 2,
3, dan 4. Maka kita dapat menulis himpunan yaitu
A={1,2,3,4 }−−¿ bila ditulis satu persatu atau bila
ditulis secara kaidah: A={x∨1≤x≤ 4 }
Suatu himpunan B terdiri dari himpunan bilangan ganjil
positif, maka dapat ditulis B={1, 3,5,…. } bila ditulis satu per
satu. Sedangkan bila ditulis secara kaidah:
B={x∨x bilanganganjil positif }
Untuk himpunan C = {2, 4, 6, 8}, maka dapat ditulis
C={x∨2≤x ≤8 }
2
Untuk menuliskan anggota dalam suatu himpunan dinyatakan
dengan simbol ϵ (epsilon) yang dibaca “suatu anggota ”, sedangkan
simbol ϶ dibaca “bukan anggota”.
Misalnya untuk contoh diatas:
1 ϵ A,dibaca 1 adalah anggota himpunan A
2 ϵ A,dibaca 2 adalah anggota himpunan A
5 ϶ A,dibaca 5 bukan anggota himpunan A
1 ϵ B,dibaca 1 adalah anggota himpunan B
2 ϶ B,dibaca 2 bukan anggota himpunan B
2. Hubungan Antar Himpunan
Jika setiap anggota dari suatu himpunan juga menjadi anggota himpunan
lain, maka dapat dikatakan bahwa hubungan antara himpunan yang
pertama dan yang kedua adalah himpunan yang pertama dan yang kedua
adalah himpunan yang pertama merupakan himpunan bagian (sub set)
dari himpunan yang kedua. Himpunan bagian diberi simbol ʗ, dibaca
“himpunan bagian”
Contoh : lihat contoh diatas
Misalkan :himpunan D={1,3, }
maka D ʗ A dan juga D ʗ B,dibaca D adalah himpunan bagian
dari A dan juga D himpunan bagian dari B.
Tetapi D₵C ,dibaca D bukan himpunan dari C.
Apabila ada himpunan G={3,2,1,4 } , maka dapat dikatakan
bahwa himpunan A=himpunanG ,artinya setiap anggota yang
dimiliki himpunan A juga merupakan anggota himpunan
G .
Tetapi A ≠C ,artinya himpunan A ,tidak sama dengan
himpunan C
Suatu himpunan sama sekali tidak mempunyai satupun anggota
disebut sebagai himpunan kosong atau himpunan nol dan diberi notasi
{ }.Himpunan kosong ini merupakan suatu himpunan bagian dari setiap
himpunan yang lain
3
3. Operasi Himpunan
Gabungan (union) dari dua himpunan A dan C adalah himpunan
yang mengandung anggota-anggota himpunan A dan anggota-anggota
himpunan C.Gaungan himpuna A dan C dinyatakan dengan A U C,yang
berarti A UC={x∨xϵ A dan/atau x ϵ ʗ }
Contoh : Untuk contoh sebelumnya ,maka A UC={1,2,3,4,6,8}
Irisan (interception) dari dua himpunan A dan C adalah himpunan
yang mengandung anggota-anggota yang ada di dalam himpunan A dan
C.Irisan himpunan A dan C ditulis dengan A ∩ C ,yang berarti A ∩ C
¿{x∨x ϵ A dan xϵ ʗ }
Contoh : untuk contoh sebelumnya,maka
A ∩C={}; A∩B={1,3 }
Apabila antara himpunan A dan C tidak memiliki salah satupun anggota
yang dimiliki bersama, maka antara himpunan a dan C disebut disjoin
(mempunyai hubungan yang terputus).
Selisih (difference) dari dua himpunan A dan C adalah himpunan yang
mengandung anggota himpunan A dan bukan anggota pada himpunan
C.selisih himpunan A dan C diberi .Selisih himpunan A dan C diberi notasi
A – C ,yang berarti A –C={x∨xϵ A danx Cɇ } .
Contoh : Untuk contoh sebelumnya ,maka :
A –C={1,3 }; A−B={2,4 }
Komplemen (complement) dari suatu himpunan A adalah himpunan yang
beranggotakan obyek-obyek yang tidak dimiliki oleh himpunan A.
Komplemen A diberi notasi Ȧ.Untuk menjelaskan komplemen ini kita lihat
dulu tentang konsep himpunan universal (himpunan semesta) yaitu
himpunan yang berisi semua anggota yang dimaksud untuk
dibahas.Himpunan universal diberi notasi U.,sebagai contoh, kita memiliki
himpunan universal U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} . Maka denga himpunan A =
{1,2,3,4}, kita dapat menentukan anggota Ȧ (himpunan A),yaitu
himpunan yang berisi seluruh bilangan dalam himpunan Universal yang
4
tidak ada dalam himpunan A,sehingga himpunan A ={5,6,7,,8,9} yang
dapat diartikan Ȧ={x∨x Uϵ dan x Aɇ }={5,6,7,8,9 }.
Himpunan – himpunan yang dibentuk dengan gabungan irisan selisih dan
komplemen akan lebih mudah dijelaskan dengan bantuan diagran venn
(venn diagram) sebagai berikut.
(peryataan adalah bagian yang diarsir).
a. Gabungan (union)
b. Irisan (intersection)
c. Selisih (difference)
d. Komplemen (complement)
5
4. HUKUM – HUKUM OPERASI HIMPUNAN
a. Hukum Komutatif
Hukum komutatif berlaku untuk operasi gabungan dan irisan sehingga
untuk
A U B = B U A ; A ∩ B = B ∩ A
Contoh : a = {1,2,3,4} ; b = {1,3,5,7,9} maka
A U B = B U A = {1,2,3,4,5,7,9}
A ∩ B = B ∩ A = {1,3}
B. Hukum asosiatif
Untuk memperoleh gabungan dari 3 himpunan A,B,C terlebih
dahulu diperoleh gabungan dari 2 himpunan kemudian hasil
gabungan tersebut digabungkan lagi dengan operasi irian . dari
penggabungan tersebut dapat berlaku hukum asosiatif. Berikut ini
akan diberikan contoh sehingga akan memberikan gambaran yang
lebih jelas sebagai berikut .
A U ( B U C ) = (A U B) U C
A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B) ∩ B
6
Disini himpunan urutan himpunan yang dipilih dalam
operasinya tidaklah penting sehingga urutan himpunan A dapat
diganti kedudukan himpunan B atau C
Apabila dilihan dalam diagram venn adalah sebagai berikut.
Contoh 2 : a = {1,2,3,4} ; b = {1,3,5,7,9}
C = {2,4,6,8}
A. A U (B U C) = ( A U B) U C
A U (B U C) = {1,2,3,4} U {1,2,3,4,5,6,7,8,9}
= {1,2,3,4,5,6,7,8,9}
(A U B ) U C = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} U {2,4,6,8}
= {1,2,3,4,5,6,7,8,9}
B. A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
A ∩ (B ∩ C) = {1,2,3,4} ∩ { } = { }
(A ∩ B) ∩ C = {1,3} ∩ {2,4,6,8} = { }
C. Hukum distributif
Hukum distribusi digunakan apabila kita akan membuat kombinasi
operasi gabungan dan irisan misalnya :
A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U B)
A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C)
Contoh : A {1,2,3,4} : B= {,3,5,7,9} ; C = {2,4,6,8}
a. A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A ∩ C)
A U (B ∩ C) = {1,2,3,4,} U { }
= {1,2,3,4}
(A U B) ∩ (A U C) = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} ∩ {1,2,3,4,5,6,8}
= {1,2,3,4}
b. A ∩ ( B U C ) = ( A ∩ B ) U ( A ∩ C )
A ∩ ( B U C ) = { 1,2,3,4 } ∩ { 1,2,3,4,5,6,7,8,9, }
7
= { 1,2,3,4 }
( A ∩ B ) U ( A ∩ C ) = { 1,3 } U { 2,4 }
= { 1,2,3,4 }
5. Hasilkali cartesius
Himpunan yang urutannya tertentu yaitu yang mempunyai nomer
urut 1,2,3,4, . . . dan seterusnya . daftar anggota himpunan urut tidak
ditempatkan di antara tanda kurung karawal tetapi diantara kurung biasa .
dengan demikian maka { a,b,c } ialah himpunan tiga angota yang urutan
angotanya bolehditulis sembarang misalnya di tulis { a,b,c } atau {c,b,a}.
Himpunan tersebut disebut sebagai “ pasangan tidak urut “, sedangkan
{ a,b ,c } adalah merupakan himpunan urutan angota tiga yang
urutannya seperti tertulis. Tidak boleh dirubah dan ini disebut sebagai
“himpunan urut” . apabila himpunan urut tersebut anggitanya dua seperti
{ a,b } maka disebut pasangan urut .
Contoh 3 : untuk menunjukan umur dan tinggi badan setiap mahasiswa
yang mengambil mata kuliah matematika kita dapat
membentuk pasangan urut { u,t } dimana angota pertama
menunjukan umur ( dalam tahun ) dan anggota kedua
menunjukan tinggi dala ( dalam cm ) , maka suatu pasangan
urut ( 20,155 ) menunjukan bahwa mahasiswa yang
bersangkutan memiliki umur 20 tahun dan tinggi badan nya 155
cm . pasanganurut ini tidak daat diubah ( 155,20 ) karena akan
mempunyai arti yang berbeda.
Pasangan urut dapat merupakan anggota – anggota dari suatu
himpunan. Misalkan himpunan A = { 1,2 } dan himpuan B = { 3,4 } , kita
akan membentuk seluruh pasangan urut yang mumkn dengan anggota
pertama diambil dari himpuan A dan elemen kedua diambil dari himpuan
B. Maka hasilnya merupakan himpunan empat pasangan berurutan , yaitu
( 1,2, ( 1,4 ) , ( 2,3 ) , ( 2,4 ). Himpunan – himpunan ini disebut hasil kali
Cartesius dari himpunan A dan B dan ditunjukan oleh A x B yang
dibaca A kali B .
8
B. SISTEM BILANGAN
Bilangan yang kita kenal dan kita gunakan sehari – hari merupakan
sistem bilangan dengan basis 10 ( sepuluh ) angka yang digunakan ada
sepuluh yaitu 0,1,2,3,4,5,6,7,8 dan 9 . Pada penulisan bilangan dimaksud
di atas digunakan harga tempat maksutnya tempat dicacah dari tanda
koma desimalke kiri dan tempat pertama menpunyai harga satuan 100
= 1 tempat kedua 101 = 10 tempat ketiga 102 = 100 dan tempat ke –
n harga satuanya adalah 10n−1 dan seterusnya. Disamping itu tempat
juga dicacah dari tanda koma desimal kekanan, maka tempat pertama
mempunyai harga satuan 10−1=1/10 tempat kedua 10−2 = 1/100
tempat ketiga 10−3 = 1/1000 dan tempat ke-n harga satuanya adalah
10−n dan seterusnya .
Contoh 4 : angka 4.586,35 berarti
= 4 x 103 + 5 x 102 + 8 x 101 + 6 x 100
3 x 10−1 + 5 x 10−2
= 4.000 + 500 +80 + 6 +3/10 +5/100
Selain sistem bilangan dengan basis 10, kita masih dikenal banyak
sistem bilangan dengan basis yang dapat digunakan. Misalnya sistem
bilangan yang digunakan sistem bilangan dengan basis dua (sistem
bilangan biner). Dalam sistem bilangan biner hanya digunakan 2 angka
yaitu angka 0 dan 1 penulisan dalam sistem bilangan biner juga berlaku
harga tempat
Contoh 5 : bilangan 1011010 mempunyi harga:
= 1x 26 + 0x 25 + 1x 24 + 1x 23 + 0x 22 + 1x 21 + 0
20
= 64 + 0 +16 + 8 + 0 + 2 + 0 = 90
Sistem bilangan yang kita kenal sehari- hari sebagaimana
diterangkan dimuka dapat digolongkan seperti terlihat pada gambar
berikut ini :
9
Keterangan :
1. Bilangan bulat : pada mulanya manusia hanya mengenal bilangan
alam atau bilangan bulat positif yaitu 1,2,3,....yang
digunakan untuk mencegah dan menghitung yakni
menambah , mengurangi , mengalikan dan membagi
.sedangkan bilangan nol dan bilangan negatif baru
diciptakan kemudian agar dalam menghitung persamaan
a + x = b dapat dilakukan . bilangan bulat positif,
bilangan nol dan bilangan bulat negatif baru membentuk
himpunan bilangan bulat.
2. Bilangan pecahan : bilangan pecahan diciptakan agar dalam
menghitung x dalam menghitung x dalam dalam
persamaan ax – b = 0 untuk a ≠ 0 dan a serta b
merupakan sembarang bilangan bulat. Misalnya
persamaan 4x – 8 = 0 maka x = 2
3. Bilangan rasional : bilangan rasional adalah hasil bagi antara dua
bilangan yang berupa bilangan pecahan dengan
desimal terbatas atau desimal berulang
10
Contoh 6 : 1/8 = 0,125 ( merupakan bilangan pecahan dengan desimal
terbatas )
2/3 = 0,666 ( merupakan bilangan dengan desimal tidak
terbatas atau angka berulang)
40/7 = 5,714285714...(merupakan bilangan dengan
desimal tidak terbatas enam angka berulang )
4. Bilangan irasional : bilanga n irasional adalah hasil bagi antara dua
bilangan yang berupa pecahan dengan desimal tak
terbatas dan tak berulang
Contoh bilangan irasional adalah π (phi) = 3,1415926536...dan
bilangan c ( bilangan pokok logaritma alam) yaitu e = 2,
718281828459 kedua bilangan tersebut merupaka bilangan pecahan
dengan desimal tak terbatas dan tak berulang.
Bilangan irasional diciptakan agar kita selalu dapat menyelesaikan
selalu dapat menyelesaikan suatu persamaan kuadrat yakni
persamaan a x2 + bx + c = 0 dimana a ≠ 0 untukdiskriman d =
b2 = 4ac ≥ 0.
Persamaan kuadrat tersebut dapat dipenuhkan dengan rumus abc
yaitu x1.2 = −b±√b2−4ac
2a.
Namun apabila diskrimian persamaan diatas d = b2 4ac kurang dari
no ( d = d2 – 4 ac < 0 ) maka agar persamaan dapat diselesaikan ,
kemudian diciptakanbilangan imajiner.
Bilangan imajiner : bilangan imajiner adalah bilangan yang berupa
akar pangat genap dari suatu bilangan negatif . bersifat positif
sekaligus bersifat negatif.
Bilangan imajiner diberi lambang i yang dinamakan sebagai satuan
imajiner.
Contoh bilangan imajiner : √−1 , √−4.
Misalnya persamaan x2 – 8x + 17= 0 akar akar persamaan
11
Adalah : x1.2 = −b±√b2−4ac
2a
x1.2 = −8±√82−4.1.17
2.1
1.2=¿
−8±√64−682
x¿
x1.2 = 4 ±√−1
Bilangan rasional dan irasional membentuk humpunan bilangan rill
serta bilangan imajiner membentuk himpunan bilangan komplek .
Berdasarkan keterangan keterangan sebelumnya maka yang
menbedakan suatu bilangan termasuk bilangan rasional ataukah bilangan
irasional ialah faktor keterbatasan dan keberulang desimalnya .
sedangkan perbedaan antara bilangan bulat dan bilangan pecahan adalah
sudah jelas yakni bilangan pecahan adalah hasil bagi dua antara dua
bilangan bulat yang hasilnya pecahan dengan desimal terbatas atau
desimal berulang. Maka bilangan bulat dan bilanganpecahan membentuk
himpunan bilangan rasional . apabila digunakan pendekatan teori
himpunan maka ada beberapa hubungan antara sistem bilangan tersebut
diatas yaitu.
- Bahwa semua bilangan bulat adalah bilangan rasional tetapi tidak
semua bilangan rasional adalah bilangan bulat karena disamping
bilangan bulat . bilangan rasional juga mengandung bilangan
pecahan
- Bahwa semua bilangan irasional adalah bilangan berdesimal tetapi
tidak semua bilangan berdesimal adalah bilangan irasional karena
bilangan berdesimal terbatas dan bilangan berdesimal berulang
merupakan bilangan rasional.
Didalam bilangan bulat positif masih dikelompokan menjadi
beberapa istilah bilangan , antara lain adalah bilangan asli ,bilangan
cacah, dan bilangan prima . bilangan asli merupakan semua
bilangan bulat positif kecuali nol, maka bilangan A = (1,2,3,4,5......)
12
bilangan cacah C merupakan bilangan bulat positif maka C =
{0,1,2,3,4,5....} . Bilangan prima (P) merupakan bilangan asli (A)
yang besarnya hanya habis dibagi oleh bilangan itu sendiri kecuali
1(satu) maka P = {2,3,5,7,11...}
C. CONTOH SOAL DAN PENYELESAIANYA
1. Apabila A, B, dan D adalah himpunan – himpunan yang
manyatakn bahwa A C B B D ,bagaimana hubungan antara D –
B dan D.. A ?
Jawab : misalkan A = {1,2,3} ; B = {1,2,3,4}M
D = {1,2,3,4,5}
D – B = {5} : D – A = {4,5}
Maka : D – D C D - A
2. Apabila diketahui himpunan universal U = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0 } A = {
1,3,7,9 } dan
B = { 2,6,8 } serta M = { 0,4,8}, maka carilah :
a. A, B , MB. A n B, A U B , A n M, B n M, B U Mc. A – B, B – A, A – A – M ; B – M; A – ( B – M ) A n B ; A n Md. A U ( B n M ) , ( A U B ) n (A U M ) , ( A n B ) U ( A n M )e. ( A U B ) , ( A n B ) , ( A n B ) , A U B , ( B U M ), B U MJawab
a. A = { 0,2,4,6,8 } B + { 0,1,3,4,5,7,9 }
M = { 1,2,3,5,6,7,9 }
b. A n B = { } = ∅ ; A U B = { 1,2,3,5,6,7,8,9 }
A n M = { } = ∅ ; B n M = { 8 }B U M = { 0,2,4,6,7 }
c. A – B = { 1,3,5,7,9 } – { 2, 6, 8 } = { 1,3,5,7,9 }
B – A = { 2,6,8 } – { 1,3,5,7,9 } = { 2,6,8 }A – M = { 1,3,5,7,9 } – { 0,4,8 } = { 1,3,5,7,9 }
13
B – M = { 2,6,8 } – { 0,4,8 } = { 2,6 } A – ( B – M ) = { 1,3,5,7,9 } A n B = { 0,2,4,6,8 } n { 0,1,3,4,5,7,9 } = { 0,4 }A n M = { 0,2,4,6,8 } n { 1,2,3,5,6,7,9 } = { 2,6 }
d. A U ( B n M ) = { 1,3,5,7,9 } n { 8 } = { }
( A U B ) n ( A U M ) = { 1,2,3,5,6,7,8,9 } n { 0,1,3,4,7,8,9 } = { 1,3,5,7,9 } ( A n B ) U (A n M ) = { } U { }
e. ( A U B ) = { 0,4 }
( A n B ) = { 0,2,4,6,7,8,9 ) n { 0,1,3,4,5,7,9 } = { 0,4 }( A n B ) = { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 }A n B = { 0,2,4,6,8 } U { 0,1,3,4,5,7,9 }
= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
( B U M) = {1,3,5,7,9}
B U M = {0,1,2,3,4,5,7,9} U {1,2,3,5,6,7,9}
= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
3. Seandainya U adalah himpunan universal , tentukanlah apakah
pertanyaan berikut ini benar atau salah.
a. B U P = B g. B n B = O
b. C n U = C h. C U C = C
c. A U A = U i. (A – C) U C = A – C
d. B U U = U j. B n (B –D ) =B U D
e. D n O = O k. Apabila A = B , maka B = A
f. A n A = A l. (C – D) = C - D
Jawab :
a. Benar c.benar e.benar g.salah i.salah
k.benar
b.benar d.benar f.salah h.benar j.salah
l.salah
4. Soal untuk latihan
Apabila diketahui himpunan universal U yang beranggotakan
14
{u,v,w,x,y,z} dan R = {w,x,y} S={u,v,w} serta T = { u,v,w,x},
maka tentukanlah :
a. R n T n S e.( S U T) – T
b. ( R – S) n T f. (R – T) – (S – R)
c. ( R – T) U S g. (S – R ) – { (T – R) U ( T – S ) }
d.(R U S) h. ( T – R) U S
5. Dari 200 mahasiswa ,sebanyak 80 orang mengambil mata kuliah
matematika , 90 orang mengambil mata kuliah pengantar ekonomi
dan sebanyak 50 orang tidak mengambil kedua mata kuliah
tersebut. Tentukanlah banyaknya mahasiswa yang mengambil
kedua mata kuliah tersebut !
6. Suatu perusahaan susu “segar ‘’ telah memproduksi susu dalam
beberapa kemasan yaitu kemasan kaleng, kotak dan kemasan
plastik tahun 1990 perusahaan akan memperkirakan jumlah
produksi masing-masing kemasan. Untuk itu dilakukanlah penelitian
pasar dengan mengambil 500 sampelDari sampel tersebut diketahui bahwa sebanyak 200 orang membeli
kemasan kaleng dan sebanyak 150 orang membeli kemasan kotak
dan sebanyak 260 orang membeli kemasan plastik. Sedangkan yang
membeli kemasan kaleng dan kotak sebanyak 40 orang, membeli
kemasan kaleng dan plastik 30 orang, membeli ketiga kemasan 20
orang dan yang hanya membeli kemasan kotak saja 100 orang.
Dari data diatas, hitunglah konsumen yang membeli susu dalam
kemasan kotak dan plastik serta berapa konsumen yang hanya
membeli kemasan plastik saja ?
15
BAB ll
PERMUTASI DAN KOMBINASI
A. PERMUTASIPermutasi (permutation = perubahan urutan) sejumlah obyek adalah
penyusunan obyek tersebut dalam suatu urutan tertentu. Permutasi –
permutasi yang dapat dibuat dari tiga buah buku A, B,C yang
diletakkan secara berjejer di rak buku dapat kita tuliskan sebagai
berikut : ABC, ACB, BCA, BAC ,CAB DAN CBA, yang jumlahnya ada 6 cara dan
dapat dijelaskan sebagai berikut. Misalkan dalam rak buku tersebut diatas terdiri dari 3 ruang yang
masing-masing akan diisi oleh buku A, B, dan C. Ruang pertama dapat
diisi dengan 3 cara yaitu dapat diisi dengan buku A atau B atau C
.setelah ruang pertama terisi dengan salah satu dari ketiga cara
diatas, maka kita hanya dapat mengisi ruang kedua dengan cara 2
cara saja karena hanya tinggal 2 buah buku saja yang dapat
digunakan untuk mengisi ruang kedua. Sesudah 2 ruang secara
berturut-turut diisi dan 2 buah buku saja yang dapat, maka hanya
tinggal satu buah baka saja yang tersisa untuk diisikan pada ruang
ketiga, sehingga hanya ada 1(satu) cara saja yang dapat digunakan
untuk mengisi ruang ketiga. Dari penjelasan tersebut maka cara untuk
mengisi ketiga ruang rak buku diatas adalah:
3 x 2 x 1 = 6 cara atau dalam permutasi dilambangkan dengan 3P3
(permutasi dari 3 benda yang diambil dari 3 benda) adalah : 3P3 = 3 X
2 X1 = 6 Cara.
Apabila pada rak diatas hanya terdapat 2 ruang kosong yang hanya
cukup untuk menampung 2 buah buku,maka ruang pertama dapat diisi
dalam 3cara yang berbeda yaitu dapat diisi dengan buku A atau B
atau C. Setelah ruang pertama terisi dengan salah satu buku,maka
ruang kedua hanya dapat diisi dengan 2 macam cara saja karena buku
yang tersisa tinggal 2 buah buku ,sehingga secara keseluruhan jumlah
cara untuk mengisi 2 ruang rak buku dari 3 buah buku menjadi 3 X 2 =
16
6 cara, yaitu AB, AC, BA, BC, CA dan CB. Atau dilambangkan dengan
3P2 (permutasi dari 2 benda yang diambil dari 3 benda) adalah 3P2 = 3
x 2 = 6 cara1. Kaidah - kaidah Permutasi
a. Kaidah penggandaan (perkalian)Apabila suatu pemilihan dapat dilaksanakan dalam n1 macam
cara dan sesudah dilaksanakan dengan salah satu macam cara
tersebut pemilihan kedua dapat dilaksanakan dengan n2 macam
cara dan pemilihan ke-k dengan nk macam cara maka pemilihan
secara keseluruhan dapat dilaksanakan dengan n1xn2x...x nk
macam cara yang berbeda.Contoh 1 : dalam suatu turnamen sepak bola terdapat 5 group
kesebelasan yang menjadi juara pool . Apabila akan
dicari juara 1, 2 dan juara 3, berapa macam cara
pemilihan yang dapat dilakukan ?jawab : Pemilihan juara pertama akan menghasilkan 5 macam
cara (n1=5), sedangkan pemilihan juara kedua
akan menghasilkan 4 macam cara (n2 = 4)serta
pemilihan juara ketiga akan menghasilkan 4 macam
cara (n2 = 4)serta pemilihan juara ketiga akan
menghasilkan 3 macam cara (n =3). Sehingga jumlah
cara secara keseluruhan adalah sebanyak = 5 x 4 x 3
= 60 macam cara yang berbedaContoh 2 : misalkan kantor polisi saat ini akan membuat plat
nomer kendaraan roda dua yang susunannya
menggunakan 4 bilangan angka dan diikuti dengan 1
huruf abjad (kecuali huruf i dan o). Berapa jumlah plat
nomer kendaraan tersebut dapat dibuat ?Jawab : pemilihan cara pembuatan plat nomer kendaraan
dimaksud dapat diterangkan sebagai berikut sehingga
memberikan gambaran yang jelas dalam persoalan ini
berarti ada 5 kolom (ruang) yang harus diisi, yaitu 4
kolom pertama diisi dengan angka dan kolom ke 5 diisi
dengan salah satu huruf abjad dari A sampai z kecuali i
dan o kolom pertama dapat diisi dengan angka 1 s/d
17
9 (angka nol tidak dapat untuk mengisi kolom
pertama, karena tidak bermakna), sehingga ada 9 cara
untuk mengisi kolom pertama (n1 =9). Kolom kedua
dapat diisi dengan angka 0 s/d 9 (angka nol dapat
digunakan untuk mengisi kolom kedua, ketiga dan
keempat), sehingga ada 10 cara untuk mengisi kolom
kedua kolom ketiga dengan keterangan yang sama
dengan pengisian kolom kedua, sehingga kolom
ketiga dapat diisi dengan 10 cara (n3 =10) kolom
keempat sama dengan cara untuk mengisi kolom
kedua, sehingga kolom keempat dapat diisi dengan 10
cara ( n4 = 10).Kolom kelima dapat diisi dengan huruf A s/d Z (kecuali
I dan O), sehingga ada 24 cara untuk mengisi kolom
kelima (n5 = 24).dari penjelasan tersebut di atas maka
plat nomer kendaraan yang dapat dibuat adalah
sebanyak 9 X 10 X 10 X 10 X 24 = 216 .000 macam
cara atau sebanyak 216.000 buah plat nomer.
Contoh 3 : Apabila kita memiliki 4 buah kartu masing-masing As
(A), king(K), Quenn(Q), dan joker(K). Berapa macam
cara pemilihan yang dapat dilakukan .apabila kita
memilih secara random dan berturut-turut 2 kartu dari
4 buah kartu tersebut diatas ?a. Kartu pertama yang terpilih tidak dikembalikan
sebelum kartu kedua dipilihb. Kartu pertama yang terpilih dikembalikan lagi
sebelum kartu kedua dipilihJawab : Penyelesaian masalah diatas dapat dijelaskan
sebagai berikut :a. kartu pertama yang terpilih tidak dikembalikan
sebelum kartu kedua dipilih.Pemilihan kartu pertama dapat dilakukan dengan 4
macam cara yang berbeda(n1=4), yaitu terpilih A,
K, Q, A atau J. Setelah kartu pertama dipilih, maka
18
kartu kedua dapat dipilih dengan 3macam cara
yang berbeda (n2 =3), sehingga jumlah
keseluruhan adalah = 4 x 3 = 12 macam cara.
Pemilihan yang terjadi adalah : AK ,AQ, AJ, KA,
KQ, KJ, QA,QK,QJ, JA,JK dan JK.b. kartu pertama yang terpilih dikembalikan
sebelum kartu kedua dipilih kartu pertama dapat
dipilih dengan 4 macam cara yang berbeda
(n1=4). Setelah dipilih dan dikembalikan lagi,
maka kartu dapat dipilih dengan 4 macam cara lagi
sehingga jumlah keseluruhannya adalah 4 macam
cara ,yaitu selain hasil pemilihan jadi dengan cara
(a) diatas (12 macam cara) ditambah dengan
pilihan : AA KK QQ dan JJ
B. Kaidah penjumlahan
Apabila suatu pemilihan dari sejumlah obyek dilaksanakan
dalam n1 macam cara dan sesudah di dengan salah satu macam
cara tersebut pemilihan kedua dilaksanakan dengan n2 macam cara
dan pemilihan kedua nk macam cara,maka pemiihan pertama atau
pemilihsn atau pemilihan ke-k dan bukan semuanya secara bersama
dapat dilaksanakan dengan n1+n2+... nk macam cara yang
berbeda .
Contoh 4 : Sebuah restoran ‘’mirasa’’ dapat menghitung
macam makanan dan 5 macam minuman dan kue
pesta ulang tahun. Berapa macam cara makanan dan
minuman yang dapat disajikan?
Jawab : jumlah hidangan makanan dan minuman yang dapat
disajikan sesuai kaidah 5 x 5 = 25 cara hidangan yang
dapat disajikan
19
Apabila hidangan yang di sajikan terseut hanya semacam
makanan atau minuman saja untuk setiap orang, maka jumlah
hidangan atau minuman yang dapat di sajikan adalah sesuai
dengan kaidah penjumlahan yaitu 5 + 5 = 10 macam hidangan
yang berbeda .
Contoh 5 : Sebuah perusahaan yang menghasilkan produk makanan bayi
akan memasarkan
hasil produknya ke suatu daerah melalui promosi . kegiatan
promosi yang dapat
di lakukan adalah melalui personal salling , periklanan dan
promosi penjualan
dalam berapa carakah perusahaan tersebut dapat
melaksanakan kegiatan
promosi dengan menggunakan paling sedikit 2 macam kegiatan
promosi
tersebut ? (dengan menganggap bahwa urutan kegiatan promosi
tsb sangat
penting )
Jawab : Pemilihan 2 macam kegiatan promosi dari 3 macam kegiatan
promosi akan
menghasilkan 3 x 2 = 6 macam cara promosi . sedangkan
pemilihan 3 macam
kegiatan promosi dari 3 macam kegiatan promosi akan
menghasilkan 3 x 2 x 1 =
6 macam cara promosi yang berbeda . oleh karena itu
secara keseluruhan
perusahaan tersebut di atas dapat memilih kegiatan promosi
sebanyak 6 + 6 = 12
macam cara yang berbeda dari 3 macam kegiatan promosi
seandainya paling
sedikit di pilih 2 macam kegiatan promosi .
2. Permutasi dari n obyek yang berbeda tanpa pemulihan obyek yang
telah terpilih
20
a. Permutasi dari seluruh obyek (permutasi dari n obyek
seluruhnya)
Jumlah permutasi dari suatu kelompok yang terdiri dari n
obyek yang berbeda ,secara keseluruhan adalah menjadi n!
(baca :n faktorial ) dan dinyatakan sebagai nPn = n!---> dibaca
:permutasi dari n onyek yang diambil sejumlah n obyek. Untuk lebih
jelasnya dapat diberikan gambaran sebagai berikut apabila kita
mempunyai sejumlah n kolom (ruang) untuk diisi dengan sejumlah
n obyek. Seperti keterangan terdahulu maka ruang pertama dapat
diisi dengan salah satu anggota n obyek di atas, sehingga ruang
pertama dapat diisi dalam n macam cara yang berbeda. Setelah
ruang pertama diisi dengan salah satu dari n macam cara di atas,
maka kolom kedua dapat diisi dengan (n-1) macam cara yang
berbeda. Untuk ruang ketiga dapat diisi dengan (n-2) macam cara
yang berbeda. Demikian seterusnya untuk ruang keempat dan
berikutnya. Dari penjelasan tersebut dan berdasarkan kaidah
penggandaan, maka jumlah cara untuk mengisi n ruang di atas
adalah
n ! =n (n-1) (n2) (n-3) . . . 2.1
=n (n-1) !
Contoh 6 : Jika kita akan memasang 5 tiang bendera yang berbeda
warnanya berjejer di tempat yang telah disediakan, maka
berapa macam cara yang mungkin terjadi dari urutan
pemasangan kelima tiang bendera tersebut di atas ?
Jawab : Permutasi di atas merupakan permutasi dari seluruh obyek
yang ada, sehingga dengan demikian dapat diperoleh
permutasinya yaitu :
5P5 = 5 ! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 =120
Jadi terdapat 120 macam cara yang berbeda untuk
memasang 5 macam tiang bendera di atas .
21
b. Permutasi sebagian dari seluruh obyek (permutasi sebanyak r
dari n obyek )
Jumlah permutasi dari suatu kelopmpok sebanyak n obyek
yang berbeda yang diambil sekaligus sebanyak r adalah sebanyak
permutasi dari seluruh obyek (yaitu = n-r factorial ),dan
dinyatakan
sebagai : nPr = n !
(n−r )→ nPr dibaca permutasi dari r obyek yang
diambil dari n obyek
Contoh 7 : pada suatu lomba cerdas cermat anggota koperasi
terdapat 6 group yang berhasil lulus seleksi. Lomba
tersebut akan memilih 3 juara masing-masing juara I, juara
II dan Juara III.
Berapa cara ata alternatipkah dari keenam group tersebut
yang dapat menjadi juara yang diperebutkan?
Jawab : dari contoh di atas kita akan mengetahui permutasi atas
sebagian obyek yaitu sebanyak 3 group dari seluruh obyek
sebanyak 6 group. Oleh karena itu permutasi untuk
mengetahui susunan juara-juara yang dapat dipilih adalah
sebanyak
nPr = 6P3 = 6 !
(6−3 )!=
6 !3 !
=6 x5 x 4 x 3x 2x 1
3 x2 x1
= 7206
=120 macam cara
Contoh 8 : dalam suatu keluarga terdapat 5 orang anggota yaitu
bapak,ibu dan 3 orang anak. Apabila meja makan keluarga
terseburt hanya memiliki 3 buah kursi yang berbeda untuk
3 orang saja, maka berapa macam cara atau alternatipkah
yang dapat diperoleh apabila keluarga tersebut
menginginkan yang makan sekaligus sebanyak 3 orang
dengan tempat duduk yang berbeda?
Jawab : untuk contoh 8 ini kita akan mencari permutasi yang
terjadi di atas 3 orang dengan menempati tempat duduk
22
yang berbeda dari 5 orang yang ada, sehingga
permutasinya adalah sebanyak :
nPr = 5P3 = 5 !
(5−3 ) !=
5 !3 !
=5x 4 x 3 x2 x1
2 x1
= 1206
=60 macam cara
3. Permutasi dari n obyek yang berbeda dengan pemulihan obyek
yang terpilih
Pada bagian (2) di atas, permutasi yang dilakukan adalah dari
obyek dengan tidak dilakukan adalah dari obyek dengan tidak
dilakukan pemulihan obyek yang telah terpilih. Sedangkan di bagian
ini akan dijelaskan untuk permutasi dari sejumlah obyek yang
dilakukan dengan pemulihan (pengembalian)l lagi obyek yang telah
terpilih .
Jumlah permutasi dari suatu kelompok yang terdiri dari n
obyek dan yang diambil sekaligus sebanyak r obyek dengan
pemulihan obyek yang telah terpilih adalah : nR r = nr , dimana r
<n dan merupakan bilangan bulat positip.
nR r dibaca : permutasi r obyek yang di ambil dari n obyek dengan
pemulihan obyek yang telah terpilih.
Contoh 9 : Berapa macam cara atau alternatipkah urutan mata
dadu apabila sebuah dadu dilempar 3 kali ?
Jawab : untuk menjawab pertanyaan diatas dapat diterangkan
sebagai berikut sehingga memberikan gambaran yang
jelas :
Apabila sebuah dadu dilempar 3 kali ,maka lemparan
yang pertama akan muncul salah satu mata dadu di atas
dapat terjadi 6 macam cara yaitu salah satu dari 6 mata
dadu yang ada. Untuk lemparan yang kedua juga
mempunyai alternatip sebanyak 6 macam cara, demikian
pula untuk lemparan yang ketiga juga menghasilkan
sebanyak 6 cara, sehingga jumlah permutasi dari sebuah
dadu yang dilempar sebanyak 3 kali adalah:
23
nR r = 6R3 = 63 = 6 X 6 X 6= 216 macam cara yang
berbeda .
Contoh 10 : apabila kita ingin membuat tulisan untuk 3 buah papan
reklame dengan menggunakan 4 macam warna yang
menarik yaitu hitam, biru, hijau, dan merah berapakah
permutasi yang terjadi apabila warna yang telah dipilih
untuk menulis salah satu papan dapat dipilih untuk
menulis papan yang lain?
Jawab : untuk memberikan gambaran yang jelas, dapat
dijelaskan sebagai berikut
untuk masing-masing papan dapat di tulis dengan warna
hitam, biru, hijau, atau merah, sehingga papan yang
pertama dapat ditulis dengan 4 macam cara yaitu dengan
warna, hitam, biru, hijau atau merah. Demikian juga
dengan papan kedua dan ketiga masing-masing dapat
ditulis dengan 4 macam cara
maka jumlah permutasinya adalah :
Jawab : Kata manajemen terdiri dari 9 huruf yaitu huruf m = 2
; a = 2 ; n = 2 ; j = 1 dan e = 2 sehingga n1 = 2 , n2 = 2
, n3 = 2 ; n4 = 1 dan n5 = 2 . maka permutasi
kesembilan huruf di atas adalah
¿9 ¿2, 2,2,
2,
(¿ )
= 9!
2 ! .2 ! .2! .1 ! .2! =
362 .88016
= 22.680 macam cara
Contoh 12 : Dalam sebuah kaleng terdapat 7 buah kelereng yang
terdiri dari 3 buah kelereng berwana merah, 2 buah kelereng
bewarna biru dan 2 buah kelereng berwarna kuning . Berapakah
permutasi dari kumpulan kelereng tersebut ?
24
Jawab :
¿7 ¿3 ! 2 !
!
(¿ )
= 7 !
3 ! .2 ! .2! =
5 .04024
= 210 cara.
B . KOMBINASI
Kombinasi dari sejumlah obyek merupakan cara pemilihan
obyek yang bersangkutan tanpa memperhatikan susunan atau
urutan dari obyek – obyek tersebut. Jadi dalam kombinasi yang
di pentingkan adalah unsure dari obyek yang ada. Sehingga
perbedaan antara permutasi dengan kombinasi terletak pada
soal susunan atau urutan memilih dari serangkaian obyek yang
ada. Permutasi menekankan pada susunan atau urutan memilih,
sedangkan kombinasi tidak memperhatikan urutan memilih.
Sehingga apabila kita memiliki 3 buah buku A, B, C seperti
contoh sebelumnya, maka dapat di permutasikan dalam cara
yang berbeda yaitu ABC, ACB, BCA, BAC, CAB dan CBA
. Tetapi susunan 3 buah buku di atas hanya memiliki 1 ( satu)
kombinasi saja yaitu ABC. Dalam kombinasi, urutan ABC tidak di
bedakan dengan urutan ACB , BAC , BCA, CAB , maupun
dengan CBA karena unsur – unsurnya sama yaitu terdiri dari
ABC. Menurut kombinasi, susunan urutan keenam permutasi di
atas di anggap sama oleh karena itu kombinsi dari seluruh obyek
yang ada dalam suatu kelompok ( himpunan ) di nyatakan
sebagai :
n¿Cn
¿ = (nn) = 1
Namun apabila dari seluruh obyek yang ada di kombinasikan
sebagian ( sebanyak 1 ) sekaligus , maka jumlah kombinasi di
nyatakan sebagi berikut :
n¿Cr
¿ = (nr ) =
n1r1 (n−r )1
, di mana 0 < r < n
25
n¿Cr
¿ , di baca kombinasi dari n obyek yang di kombinasikan
sebanyak r obyek .
Contoh13 : Apabila kita ingin mengecet tembok rumah dengan
4 macam pilihan warna yaitu merah , biru , hijau, kuning ,
Berapakah kombinasi warna yang di pilih jika kita akan
menggunakan 2 macam warna untuk mengecet tembok
tersebut ?
Jawab : Kombinasi yang dapat di lakukan adalah :
4¿C2
¿ = (42) =
4 !2 ! ( 4−2 )!
= 4 x3 x 2x 12 x1 x2 x1
= 244
¿6 macam cara ( kombinasi )
Yaitu : merah- biru , merah- hijau , merah- kuning
Biru-hijau , biru-kuning dan hijau-kuning .
Contoh14 : Suatu perusahaan akan mengadakan wawancara
terhadap 4 calon karyawan yang melamar pekerjaan sebagai
kepala bagian produksi di perusahaan tersebut. Keempat calon
tersebut adalah Abu (A) , Badu (B) , Carli (C) dan dodi (D).
Apabila manajer perusahaan memilih 3 calon secara random
untuk di wawancarai secara bersama-sama ,maka dalam
berapa carakah pemilihan terhadap calon karyawan yang akan
di wawancarai dapat di lakukan ?
4¿C3
¿ = (43 ) =
4 131 (4−3 )1
= 4 x3 x 2x 13 x2 x1
= 246
= 4
macam cara
Yaitu : ABC , ABD , ACD , dan BCD .
26
Dari rumus di atas yaitu apabila kita memilih r obyek dari n
obyek ,berarti bahwa obyek yang belum di ambil adalah (n-r )
obyek karena n-r+r= n . sehingga jumlah kombinasi dari n obyek
yang diambil sekaligus sebanyak (n-r) obyek adalah sama seperti
apabila diambil sekaligus sebanyak (n-r) obyek adalah sama seperti
di ambil sekaligus sebanyak r obyek . jadi
( nn−r )=¿
n1r1 (n−r )1
= (nr )
Contoh15: jika n = 5 dan r = 3 , maka
(nr ) = n1
r1 (n−r )1 =
5131 (5−3 )1
= 5 x 4 x 3x 2x 13 x2 x1 x2 x1
= 12012
= 10 macam cara , atau
( nn−r ) =
n1r1 (n−r )1
=51
31 (5−3 )1 = 10 cara ..
Contoh 16: Dalam suatu pemilihan pengurus kelompok belajar
matematika ekonomi terdapat 6 calon pria dan 4 calon
wanita yang dapat di pilih. Apabila dari pengurus yang
paling sedikit beranggotakan 3 orang pria , berapa
carakah anggota pengurus tersebut dapat di pilih ?
Jawab : Untuk menyelesaikan persoalan di atas dapat di jelaskan
sebagai berikut sehingga akan memberikan gambaran
yang jelas :
Karena anggota pengurus yang di pilih paling sedikit
terdiri dari 3 orang pria, maka kemungkinan yang terjadi
anggota pengurus tersebut adalah 3 pria dan 2 wanita 4
pria dan 2 wanita , 4 pria dan 1 wanita atau 5 orang pria
semuanya .
a. Apabila pengurus terdiri dari 3 pria dan 2 wanita
- Pemilihan 3 orang pria dari 6 calon pria adalah :
27
(63) = 6 !
3 ! (6−3 ) ! =
6 !3 ! .3 !
= 72036
= 20
macam cara
- Pemilihan 2 orang wanita dari 4 calon wanita .
(42) = 4 !
2 ! ( 4−2 )!=
4 !2 ! .2!
= 244
= 6
macam cara .
Secara keseluruhan maka pembentukan pengurus
sebanyak 5 orang dengan anggota pria Sebanyak ( dari
6 orang ) dan 2 orang wanita (dari 4 orang ) dapat di
lakukan dalam :
(63) (42) = 20 x 6 = 120 macam cara .
b. Apabila pengurus terdiri dari 4 pria dan 1 wanita
- Pemilihan 4 pria dari 6 calon pria adalah :
(64 ) = 6!
4 ! (6−4 ) ! =
6 !4 ! .2!
= 72048
= 15 macam
cara .
- Pemilihan 1 wanita dari 4 calon wanita adalah :
(41 ) = 4 !
1 ! (4−1 )! =
4 !1 ! .3 !
= 246
= 4 macam
cara
Sehingga secara keseluruhan maka pembentukan
pengurus sebanyak 5 orang yang terdiri dari 4 orang
pria dan 1 orang wanita bisa di lakukan dalam
(64 ) (41 ) = 15 x 4 = 60 macam cara .
c. Apabila pengurus terdiri dari 5 pria semuanya maka pemilihan 5 pria
dari 6 calon pria adalah :
(65) = 6 !
5 ! (6−5 ) ! =
6!5 ! .1!
= 720120
= 6 macam cara dari
perhitungan tersebut diatas maka pemilihan pengurusan kelompok belajar
matematika yang berjumlah 5 orang dengan anggota paling sedikit terdiri
dari 3 orang pria yang dipilih dari 6 calon pria
28
Dan empat calon Wanita sebanyak :
(63) (42) + (64)(41) + (65)=120+160+6
¿186macamcara
Contoh 17 :Dalam suatu keranjang terdapat sekumpuulan kubus yang
berukuran sama,yang terdiri dari 5 buah kubus berwarna biru
dan 5 buah kubus berwarna kuning.Ada berapa carakah untuk
memilih:
a. 5 kubus dari 10 kubus yang ada .
b. 3 kubus berwarna biru .
c. 2 kubus berwarna kuning .
d. 3 kubus berwarna biru dan 2 kubus berwarna kuning.
e. 3 kubus berwarna biru dan 3 kubus berwarna kuning.
Jawab : Penyelesaian soal diatas dapat dijelaskan sebagai
berikut :
a. Untuk memilih 5 kubus dari 10 kubus adalah :
(105 ) =10!
5 ! (10−5 ) !=
10 !5! .5 !
=3.628 .80014.400
¿252macamcara
b. Untuk memilih 3 kubus berwarna biru adalah :
(53) =5!
3 ! (5−3 ) !=
5 !3! .2 !
=12012
=10macamcara
c. Untuk Memilih 2 kubus berwarna kuning adalah :
(52) =5 !
2 ! (5−2 )!=
5 !2 ! .3 !
=12010
=10macamcara
d. Untuk memilih 3 kubus berwarna biru dan 2 kubus
berwarna kuning adalah:
(53)(52)=10 x10=100macamcara
e. Untuk memilih 3 kubus berwarna biru dan 3 kubus
berwarna kuning adalah:
(53)(53)=10+10=20macamcara
29
BAB III
BANJAR DAN DERET
A. BANJAR
Banjar adalah suatu fungsi yang wilayahnya merupakan himpunan
bilangan alam.Secara sederhana banjar didifinisikan sebagai suatu
himpunan bilangan bernomor satu, dua, tiga dan seterusnya. Setiap
bilangan yang merupakan anggota suatu banjar dinamakan
suku.Banjar juga sering disebut sebagai barisan. Suku-suku dalam
suatu banjar dapat disusun sebagai berikut : a1, a2 , a3, . . .
an
an dinamakan suku umum banjar yang diberi lambang an ,
sehingga jika ditulis lengkap, maka banjar adalah :
(an )=a1, a2 , a3, . . . an
Suku-suku didalam banjar ada yang mempuyai batas suku tertentu
yang disebut sebagai banjar berhingga, disamping ada banjar yang
suku-sukunya tidak mempuyai batas akhir atau banyaknya tidak
terbatas yang disebut sebagai banjar tidak berhingga.
Bilangan alam yang terdapat dalam suatu banjar pada umumnya
tersusun secara teratur dengan suatu pola tertentu. Dari pola-pola
yang ada, banjar dapat dibedakan menjadi banjar hitung, banjar
ukur dan banjar harmoni.
Banjar hitung adalah banjar yang selisih antara dua suku yang
berurutan besarnya sama.
Contoh : (an )=a1, a2 , a3 , . . . an
(n )=1,2,3,4,…,n−→ merupakan banjar hitung
(selisih antara dua suku yang berurutan sana yaitu1 )
30
Banjar ukur adalah banjar yang besarnya hasil bagi antara dua suku
yang berurutan sama.
Contoh : 5,10,20,40,80,….. 5.2n−1
Banjar diatas disebut sebagai banjar ukur karena hasil bagi antara
dua suku yang berurutan sama yaitu ¿105
=2010
=4020
=8040
dan
seterusnya…
Banjar harmoni adalah banjar yang suku-sukunya merupakan
kebalikan dari suku banjar hitung.
Contoh : 1n
, 12
, 13
, 14
, 15
, . . . . 16
(banjar inimerupakan kebalikandari banjar hitung ,lihat lagi contohbanjar hitungdiatas )
B. DERET
Deret merupakan jumlah suku suatu banjar. Sesuai dengan
pembedaan banjar, maka deret juga dibedakan menjadi deret
hitung, deret ukur dan deret harmoni. Namun dalam pembahasan
buku ini hanya membahas deret hitung dan deret ukur saja, karena
deret harmoni sampai sekarang belum ditemukan rumusnya dan
masih jarang digunakan dalam penerapan ilmu ekonomi.
Deret hitung merupakan jumlah suku-suku dari banjar hitung,
sedangkan deret ukur merupakan julah suku-suku dari banjar ukur.
Dari contoh banjar dimuka, maka contoh deret berikut bersesuaian
dengan banjar yang dimaksud diatas :
−deret hitung=1+2+3+4+…+n
−deret ukur=5+10+20+40+80+…+5 (2n−1 )
31
Namun dalam pembahasan buku ini, selanjutnya susunan suku-suku
dalam banjar langsung disebut sebagai deret.
Seperti halnya dalam banjar, suatu deret yang berakhir yaitu deret
yang mempunyai batas suku tertentu disebut sebagai deret
berhingga, sedangkan deret yang tidak mempunyai batas akhir atau
banyaknya suku tidak terbatas dinamakan sebagai deret tak
berhingga. Untuk menghitung nilai-nilai deret tersebut berikut ini
akan dijelaskan satu per satu dari deret dimaksud.
1. DERET HITUNG
Misalkan suatu deret :1,2, 3,….n
Suku-sukunya :S1=a s2 s3 sn
Apabila contoh deret diatas dianalisa, ternyata selisih antara dua
suku yang berurutan (disebut b ) besarnya adalah 1 (satu ) . Suku
pertama atau disebut s1 sama dengan a adalah 1, selanjutnya
suku-suku berikut ( s2 , s3, danseterusnya ) dapat dihitung sebagai
berikut :
s1=a=1
s2=a+b=1+1=2
s3=a+2b=1+2.1=3
s4=a+3b=1+3.1=4
sn=a+(n−1)b besarnya suku ke-n dari suatu deret hitung
Sedangkan jumlah nilai suatu deret hitung sampai dengan suku ke-n
(diberi simbolDn ) adalah :
Dn=a+(a+b )+(a+2b )+(a+3b )+.. ... . .+a+ (n−1 )b
Dn=n2
{a+a+ (n−1 )b }
Dn=n2
{2a+(n−1 )b }
Atau Dn=n2
{a+Sn }
Dimana :
32
a=S1=besarnya suku pertama
b=selisih antara dua suku yangberurutan
n=banyaknyasuku sampai sukuke−n
Sn=besarnya atau nilai suku ke−n
Dn= jumlahnilai sampaidengansuku ke−n
Contoh 1 : Suatu deret hitung : 5,10,15,20,25, . .. . .
Berapa besarnya suku ke 10 dan berapa nilai deretnya sampai
suku ke 10 ??
Jawab : a=5 ;b=5 ;n=10
Maka besarnya suku ke 10 ¿S10=a+ (n−1 )b
¿S10=5+(10−1 )5
¿S10=5+45=50
Nilai deret sampai suku ke 10 (D10 ) adalah :
¿D10=n2
{2a+ (n−1 )b }
¿D10=102
{2.5+(10+1 ) 5 }
¿D10=5 (10+45 )=275
Contoh 2 : Apabila suatu deret hitung besarnya suku ke-3
(S3 )=50dansukuke−7 (S7 )=70 . Berapakah besarnya suku ke 2,
suku ke 15 dan jumlah nilai deret tersebut sampai suku ke 11 ??
Jawab :
Sn=a+(n−1 )b
S3=50
S7=70−−−−−→b=70−507−3
=204
=5
S3=a+(3−1 ) 5
50=a+10−−−−→a=40
Maka : Besarnya suku ke 2
(S2 )=40+ (2−1 )5
¿40+5=45
33
Besarnya suku ke 15
S15=40+ (15−1 ) 5
¿40+70=110
Nilai deret sampai suku ke 11 (D11) :
D11=112
{2.40+(11−1 ) }5
D11=5,5 (80+50 )=715
Contoh 3 : Diketahui dari suatu deret hitung bahwa suku pertama adalah
4, suku ke n=200 dan D(n−1 )=4.900 . Hitunglah berapa
besarnya n, b dan S25 !!
Jawab :
Dn=D(n−1)+Sn
Dn=4.900+200
Dn=5.100
Dn=n2
(S1+Sn )
5.100=n2
(4+200 )−−→5.100=102−−→n=50
Sn=a+(n−1 )b
S50=a+49b=200−−→4+49b=200
49b=200−4=196−−→196=49b−−→b=4
Maka :
S25=4+(25−1 ) 4
S25=4+96−−−−−−→S25=100.
Contoh 4 : Apabila dari suatu deret dihitung diketahui bahwa
a=10,S( n−1)=70 ; D ( n−1 )=200dan Dn=285 Bagaimana deret hitung
tersebut ??
Jawab :
Sn=Dn−D(n−1 )
Sn=285−200−−−→Sn=85
b=Sn−S(n−1)
34
b=85−70−−−−→b=15
Sn=a+(n−1 )b
85=10+ (n−1 )15
85=10+15n−15
90=15n−−−−−−→n=6
Maka deret dimaksud adalah : 10,25, 40,55,70,85
Contoh 5 : Ada 5 bilangan yang membentuk deret hitung. Jumlah nilai
kelima bilangan tersebut adaah 60, sedangkan besarnya suku
ke 4 adalah 18. Carilah deret bilangan tersebut !!
Jawab : Deret bilangan tersebut adalah :
Dn=a+(a+b )+(a+2b )+(a+3b )+(a+4b )=60
atau Dn=n2
{2.a+(n−1 )b }
D5=52
(2a+4b )
5a+10b=60
a+2b=12−→a=12−2b
S4=a+(n−1 )b
18=12−2b+(4−1 )b
a=12−2b+3b
18=12+2b−−→b=6
a=12−2b
a=12−2 (6 )−−→a=0
Sehingga deret hitungnya : 0, 6, 12, 18, 24
2. Deret ukur
Sudah dijelaskan dimuka bahwa deret ukur merupakan jumlah dari
suku-suku banjar ukur.
Contoh : 1,2, 4, 8, 16, .. . .. . n
S1=a S2S3S4S5Sn
Apabila contoh diatas diperhatikan, terlihat bahwa besarnya hasil bagi
antara 2 suku yang berurutan (disebut P ) adalah sama yaitu 2 (dua ) :
35
21
42
84
168
. Suku pertama deret tersebut adalah S1 atau sama dengan
a=1. Sedangkan besarnya suku-suku kedua, ketiga, keempat dan
seterusnya dapat dihitung sebagai berikut :
S1=a=1
S1=a . p=1.2=2
S4=a+3b=1+3.1=4
Sn=a+(n−1 )b−−→besarnya suku ke−ndari suatu deret hitung
Sedangkan besarnya jumlah nilai suatu deret ukur sampai dengan suku ke
–n ( di sebut Dn ) adalah :
Dn = a + a.p + a.p2 + a.p3 + . . . . . + a.p(n-1)
pDn = a.p + a.p3 + a.p3 + . . . . . . + a.p (n-1) + a.pn
Dn - pDn = a – a.pn
Dn ( 1 – p ) = a ( 1- pn )
Dn = a(1−Pn)
1−P
Di mana :
a = besarnya suku pertama
p = hasil bagi antara dua suku yang berurutan
n = banyaknya suku
Sn = besarnya suku ke –n
Dn = jumlah nilai deret ukur sampai suku ke –n
Contoh 6 : Apabila di ketahui suatu deret ukur 3, 6, 12, . . . . . . .
S8 . Hitunglah besarnya suku ke 8 dan jumlah nilai
deret ukur tersebut sampai dengan suku ke 8 ?
Jawab : a = 3 , p = Sn
S (n−1) =
63
= 2
Maka : Sn = a.p(n – 1 )
S8 = 3. 28 – 1 ------- S8 = 3 . 27 ------ S8 = 384
Jumlah nilai deret ukur di atas sampai suku ke 8 :
D8 = 3 (1−Pn)
1−p = 3 (1−2❑
8)
1−2
36
D8 = 3 (1−256)
−1 =
−765−1
= 765
Contoh 7 : dari sebuah deret ukur yang suku- sukunya 10,30, 90,
270, . . . . . . . ..
Hitunglah
a) S6 dan D6
b) S10 dan D10
Jawab : A ) a) = 10 , p = Sn
S (n−1) =
3010
= 3
S6 = 10 . 36 – 1 = 10 . 35 = 10 . 243 = 2. 430
D6 = 10 (1−3❑6)
dx =
10 (1−729)
−2
D6 = 10 (1−728 )
−2 = 3.640
B) a ) 10 ; p = 3.640
S10 = 10 . 310 – 1 = 10 . 39 = 196.830
D10 = 1−3❑
10
¿10¿¿
= 10 (1−59.049)
−2 = 295.240.
Contoh 8 : suku ketiga suatu deret ukur adalah 204.800 . carilah :
A ) Besarnya a dan p
B ) Besarnya S5 dan D5
Jawab : a) S3 = 800 ; S7 = 204 . 800
S3 = a . p3 – 1 = 800 ---- ap2 = 800
a = 800/p2
S7 = a . p7 – 1 = 204 . 800 --- ap6 = 204 . 800
a = 204 .800
p6
======= 800p2
= 204.800
p6
800 p6 = 204.800 p2
37
P6/ p2 = 256 p2
P6 – 2 = 256 --- p4 = 256 --- p4 = 44 == p = 4
Ap2 = 800
a.42 = 800 -- a = 80016
== a = 50
b) Sn = a.pn – 1
S5 = 50 . 45 – 1 = 50 . 44 = 12. 800
D5 = a (1−p❑n )1−p
=
51−4❑
¿
¿50¿¿
D5 = 50 (1−1.024)
−3 = 17.050
Contoh 9 : Suatu deret ukur x mempunyai nilai a = 2.048 dan p = 2 ,
sedangkan deret ukur Y mempunyai nilai a = 4 dan p = 16 .
pada suku keberapa kedua deret ukur tersebut mempunyai
nilai yang sama dan bagaimana susunan kedua deret
tersebut ?
Jawab : Deret ukur x --- Sn = a.pn-1 = 2.048 . 2n – 1
Deret ukur Y ---- Sn = a.pn -1 = 4. 16n- 1
Kedua deret x dan Y akan mempunyai nilai suku yang sama
pada saat Sn X = Sn Y
2.048 . 2n -1 = 4. 16n - 1
2.048
4 =
16 n−12n−1
512 = 8n – 1
83 = 8n – 1
3 = n – 1 ----------------------------------------- n = 4
Jadi deret ukur X dan Y akan bernilai sama pada suku ke 4 , yaitu :
Untuk deret ukur X --- S4 = 2.048 . 24 – 1
= 2.048 . 23
= 16. 384
Untuk deret ukur Y --- S4 = 4 . 164 – 1
= 4 . 16 3
38
= 4. 4.096
= 16. 384
Sehingga deret ukur tersebut sampai suku keempat adalah :
Deret ukur X = 2.048 , 4.098 , 8.192 , 16.384
Deret ukur Y = 4, 64 , 1.024 , 16.384
C. PENERAPAN DERET DALAM EKONOMI
Dalam kehidupan sehari-hari , kita sering mengetahui adanya
kasus-kasus yang terjadi di masyarakat berubah sealur dengan teori deret
. misalnya yang menyangkut masalah produksi, usaha, nilai uang dan
sebagainya . perkembangan-perkembangan tersebut akan dapat di
perkirakan nilainya di masa yang akan datang Pada suatu saat tertentu dengan menggunakan teori deret
hitung maupun deret ukur . Penerapan teori deret hitung akan di
berikan contohnya berikut ini sehingga memberikan gambaran yang
jelas
Contoh 10 : apabila anda mempunyai hutang Rp 1.000.000 pada bank
BNI . untuk pelunassanya di sepakati bahwa setiap 3 bulan
sekali “ anda” harus mengangsur sebesar Rp 100.000, di
tambah dengan bunga 3 % dari sisa hutang . berapakah
bunga yang harus di bayarkan sampai hutangnya lunas ?
Jawab : frekuensi ansuran = RP 1.000.000 :Rp 100.000=10x
Ansuran pertama = Rp 100.000+ (3%x Rp1.000.000)
= Rp100.000+Rp30.000
=Rp130.000,-
Ansuran kedua = Rp 100.000+(3%xRp900.000)
= Rp100.000+Rp 27.000
= Rp127.000,-
Angsuran ketiga = Rp100.000+(3%xRp 800.000)
= Rp 100.000+Rp24.000
= Rp 124.000,-
Angsuran keempat = Rp 100.000 + ( 3 % x Rp 700.000 )
= Rp 100.000 + Rp 21.000
39
= Rp 121.000,-
Dan seterusnya , sampai hutangnya lunas . sehingga total bunga yang
dibanyarkan selama 10 tahun
a = Rp 30.000 + Rp 27.000 + Rp 24.000 + . . . + Rp 3.000
Dn = n/2 { 2.a + ( n – 1 ) b }
D10 = 10/2 { 2.30.000 + ( 10 – 1 ) } ( - 3.000 )
D10 = 5 ( 60.000 – 27.000 )
D10 = Rp 165.000,-
Contoh 11 : sebuah perusahaan mainan anak – anak dapat memproduksi
1.200 buah mainan pada tahun pertama dan menaikan
produksinya tiap tahun dengan 800 buah . berapakah produksi
perusahaan tersebut pada akhir tahun ke 10 dan total
produksi selama 10 tahun ?
Jawab : sn = a + ( n – 1 ) b
a = 1.200 buah ; b = 800 buah
s10 = 1.200 + ( 10 – 1 ) 800
s10 = 1.200 + 7.200
s10 = 8.400 buah
dn = n/2 ( a + sn )
d10 = 10/2 (1.200 + 8.400 )
d10 = 5.9600
d10 = 48.000 buah
Jadi produksi tahun ke 10 adalah 8.400 buah , sedang kan
total produksi sampai tahun ke 10 sebesar 48.000 buah
Contoh 12 : Sebuah penerbitan majalah berita pada tahun ke lima
mempruduksi 30.000 eksemplar. Namun produksinya terus
menurun sebagai akibat persaingan yang ketat diantara
penerbit majalh . penuruanan berlangsung secara konstan ,
sehingga pada tahun ke 15 penerbitan majalah “ berita “ hanya
berproduksi 10.000 aksempler.
40
a. Berapakah penurunan produksi majalah tersebur pertahun
b. Apabila keadaan tetap menurun , pada tahun keberapakah
perusahaan tersebut tutup ( tidak beerproduksi )
c. Berapa eksempler majalah yang dapat diterbitkan selama
oprasinya ?
Jawab : menggunakan deret hitung .
a. Produksi tahun ke 5 ( s5 ) = a + 4b = 30.000
Produksi tahun ke 15( s15 ) = a + 14b = 10.000
- 10b = 20.000
B = - 2.000
Maka penurunan produksi per tahun = 2.000 eksemplar.
b. A + 4b = 30.000
A + 4(-2.000) = 30.000 ---> a = 30.000 + 8.000
a = 38.000
sn = a + ( n – 1 ) b
0 = 38.000 + ( n – 1 ) ( -2.000 )
0 = 38.000 + 2.000 – 2.000 n
2.000 n = 40.000 ========== > n = 20
Jadi perusahaan menerbitkan majalah “berita” akan tutup ( tak
berproduksi ) pada tutup ( tak berproduksi ) pada tahun ke 20 atau
setelah berproduksi selama 19 tahun.
c. Jumlah majalah yang bias diterbitkan selama oprasinya ( 19 tahun )
adalah :
dn = n/2 { 2a + (n -1) b }
d19 = 19/2 { 2 38.000 + (19 – 1) – 2.000 }
d19 = 9,5 ( 76.000 – 36.000 )
d19 = 9,5 x 40.000 ==> d19 = 380.000 eksempler
Selain deret hitung , teori deret ukur juga sering diterapkan dalam
ekonomi seperti dalam kasus pinjam meminjan yakni dalam menghitung
besarnya kredit yang harus dilunasi berdasarkan tingkat bunganya , atau
menghitung tingkat bunga dari suatu pinjaman berjangka waktu tertentu .
disampuing kita kenal system pembayaran bunga sebagaimana
41
dicontohkan pada penerapan deret hitung dimuka , dikenal pula istilah
bunga majemuk. Dengan bunga majemuk ini, bunga selain dikenakan
pada pokok pinjaman juga dikenakan pada bunga yang dihasilkan pada
periode yang bersangkutan.
Jadi misalnya seseorang memiliki modal sebesar RpP , dibungakan
sebesar i per tahun, maka setelah satu tahun ia mendapatkan bunga
¿P .i=Rp Pi , dan modalnya menjadi (F1)=p+ pi=P (1+i ) .
Setelah 2 tahun, bunganya ¿ P (1+i ) ( i )
Sedangkan modalnya menjadi (F2)=P (1+i )+P (1+i )
¿P (1+i ) (1+ i )
¿P (1+i ) 2
Setelah 3 tahun, bunganya ¿P (1+i ) 2 (i )
Sedangkan modalnya menjadi (F3)=P (1+ i) 2+P (1+ i) 2 (i)
F3=P (1+i ) 2 (1+i )
F3=P (1+i ) 3
Dengan cara yang sama, maka tahun keempat modalnya akan menjadi
F3=P (1+i ) 4 , dan dalam n tahun, maka seluruh modalnya akan
menjadi Fn=P (1+i )n , dimana :
Fn=nilaiuangdimasa yang akandatang padatahun ke−n
P=nilai uang sekarang
i=tingkat bunga per tahun
n= jumlahtahun yang diperhitungkan
(1+i )=faktorbungamajemuk
Apabila bunga dibayarkan lebih dari satu kali dalam setahun
(misalnyamkali ) , maka tingkat bunga setiap periode adalah im
.
Seandainya bunga yang diperoleh dibungakan lagi selama n tahun
(bungamajemuk ) , maka seluruh uang tersebut diatas selama n tahun
tersebut menjadi
42
Fn=P(1+im )mn , dimana m adalah frekuensi pembayaran bunga dalam
setahun dan (1+im ) merupakan faktor bunga majemuk.
Contoh 13 : Apabila uang saudara sebanyak Rp1.000 .000,−¿ sebesasr
10 per tahun. Berapa uang saudara setelah 5 tahun apabila
bunga dibayarkan setahun sekali dan berapa uang saudara
setelah 5 tahun apabila bunga dibayarkan setiap semester
(6bulan ) .
Jawab : a. Apabila bunga dibayarkan 1kali setahun.
P=Rp1.000.000,−; i=10 ;n=5 tahun;m=1 x
Fn=P (1+i )n
F5=1.000.000 (1+0,1 ) 5
F5=1.000.000 (1,61051 )=¿=¿F5=1.610 .510
Jadi setelah 5 tahun uang saudara menjadi Rp1.610 .510,−¿
b. Apabila bunga dibayarkan 2 kali setahun (m=2 )
m=12 :6=2
Fn=P(1+im )mn
F5=1.000.000 (1+0,12 )5.2
F5=1.000.000 (1,05 ) 10
F5=1.000.000 (1,628895 )
F5=1.628.895
Jadi setelah 5 tahun dengan pembayaran bunga 2 kali
setahun, uang saudara menjadi Rp1.628 .895,−¿
Contoh 14 : Tuan Joni membeli sebuah TV berwarna mark National
seharga Rp800.000 , secara kredit selama 36 bulan. Bunga
yang harus dibayarkan sebesar 12 per tahun. Apabila ada 2
43
alternatif pembayaran bunga yaitu dilakukan setiap 4 bulan
sekali atau 6 bulan sekali. Mana yang lebih menguntungkan
bagi Tuan Joni antara pembayaran setiap 4 bulan sekali atau
setiap 6 bulan sekali?
Jawab : a. Apabilla bunga dibayar 4 bulan sekali.
P=Rp800.000,−¿
n=3tahun (36bulan)
i=12 danm=3kali (12bulan : 4 )
Fn=P(1+im )m .n
F3=800.000(1+0,123 )3.3
F3=800.000 (1,04 ) 9
F3=800.000 (1,423312)
F3=Rp1.138 .649,6,−¿
b. Apabila bunga dibayarkan setiap 6 bulan sekali, maka
m=2 kali (12bulan :6 ) .
F3=800.000(1+0,122 )3.2
F3=800.000 (1,06 )6
F3=800.000 (1,418519 )
F3=Rp1.134 .815,2,−¿
Dari perhitungan tersebut diatas, maka yang lebih baik bagi Tuan Joni
adalah pembayaran bunga setiap 6 bulan sekali, karena akan
menghasilkan pembayaran secara total yang lebih kecil
(Rp1.134 .815,2<Rp1.138.649,6 )
Contoh 15 : Apabila anda menginginkan uang anda menjadi
Rp2.415 .765,−¿ pada 5 tahun yang akan datang. Berapa anda
harus menabung saat ini seandainya tingkat bunga yang
berlaku sebesar 10 setahun.
Jawab :
Fn=P (1+i )n
P=Fn
(1+i )n
44
P=2.415 .7651,61051
=¿=¿ P=Rp1.500 .000,−¿
Jadi saat ini anda harus menabung sebesar Rp1.500 .000,−¿ agar 5 tahun
yang akan datang menjadi Rp2.415 .765,−¿
Deret ukur juga dapat diterapkan untuk menghitung pertumbuhan
penduduk sebagaimana dinyatakan oleh Malthus, bahwa pertumbuhan
penduduk dunia mengikuti pola deret ukur.
Contoh 16 : Misalkan penduduk koya YG tahun 1998 berjumlah
2.000.000 jiwa, dengan tingkat pertumbuhannya 2,5% per
tahun.
a. Berapakah jumlah penduduk kota YG pada tahun 2.000
nanti?
b. Seandainya pada tahun 2.000 nanti jumlah penduduk kota
YG mencapai 3.000.000 jiwa, berapakah tingkat
pertumbuhannya (r ) ?
Jawab : a. Penduduk kota YG tahun 2.000.
P0=2.000 .000, r=2,5 ,n=12 tahun
P12=P0 (1+r )n
P12=2.000 .000 (1+0,025 )12
P12=2.000 .000 (1,344889 )
P12=2.689 .778 Jiwa
Atau dengan menggunakan pendekatan logaritma
(teori tentang logaritmaakandibahas di Bab IV dalambuku ini ) yaitu :
P12=2.000 .000 (1,025 )12
log P12=log 2.000 .000 (1,025 )12
log P12=2.000 .000+log (1,025 )12
log P12=log 2.000 .000+12log1,025
log P12=6,301029+12.0,010724
log P12=6,429717=¿=¿ P12=2.689 .778
45
Jadi penduduk kota YG tahun 2000 nanti adalah sebanyak
2.689.778 jiwa.
b. Tingkat pertumbuhan penduduk apabila tahun 2000 nanti
penduduk kota YG mencapai 3.000.000 jiwa adalah :
1+r ¿n
Pn=P0 ¿
3.000 .000=2.000 .000(1+r )12
(1+r )12=3.000 .0002.000 .000
(1+r )12=1,5−−−−−¿ (1+r )=12√1,5
1+r=1,03437
r=0,03437
r=3,437
Sehingga apabila penduduk kota “YG” pada tahun 2.000
nanti sebanyak 3.000.000 jiwa,maka tingkat pertumbuhan
penduduknya adalah 3,437%
BAB IV
PANGKAT, AKAR DAN LOGARITMA
A. PANGKAT
Suatu bilangan Xn (dibaca x pangkat n),dimana x disebut sebagai
pokok atau basis dan n disebut pangkat atau eksponen .apabila n
merupakan bilangan bulat positif,maka Xn = X . X . X. . .X, yang
46
menghasilkan suatu perkalian dari x sebanyak n kali .bilangan Xn di mana
x adalah bilangan riil dan n sebagai eksponen yang berupa bilangan bulat
positif sering disebut sebagai bilangan berpangkat yang sebenaranya
,sedangkan apabila pangkatnya (n) berupa bilangan bulat tidak positif
,maka bilangan itu disebut sebagai blangan berpangkat tidak
sebenarnya . dari keterangan diatas ,jika n =U dan x = O , maka Xn =XO
=1 .sedangkan apabila n merupakan bilangan bulat negatif dan x ≠ O
,maka x-n = 1
xn
Contoh : 33 = 3 X 3 X 3 = 27
( 1/4 )3 =1/4 x 1/4 x 1/4 x 1/4 = 1/64
( -2)3 = -2 x -2 x -2 = -8
(2)-3 = 1
23=
18
Kaidah-kaidah perpangkatan
1. XO =1
contoh : 5O = 1 ; 80 = 1
2.X1 = X
contoh : 51 =5 ; 81 =8
3. Xm . xn = xm + n
Contoh : 53 . 52 = 53 + 2 = 55 = 3. 125
1/23 . ( 1/2 )2 = ( 1/2 ) 3 + 2 = ( /12 )5 = 1/32
4. ( x . y )m = xm . ym
Contoh : ( 5 . 8 )2 = 52 . 82
( 40 )2 = 25 . 64
1.600 = 1,600
5. ( xm )n = x m.n
Contoh : ( 53 )2 = 53.2
( 125 )2 = 56
15. 625 = 15. 625
47
6. xm
yn= xm-n
Contoh : 55
52 = 55 – 2
3.12525
= 53
125 = 125
7. ( xy ) m = xm
ym
Contoh : ( xy ) 3 = 63
33
23 = 21627
8 = 8
8. 1
xm= x - m
Contoh : 1
23=2−3
18=
18
Perbedaan antara pangkat dengan ekspone dapat dilihat apabila kita
membahas masalah fungsi . fungsi pangkat adalah suatu fungsi
dengan variabel yang berpangkat suatu konstanta . misalnya Y = x2,
(merupakan fungsi pangkat dua) .sedangkan fungsi eksponen adalah
suatu fungsi dengan berpangkat suatu variabel , misalnya Y = 2 x
adalah merupakan fungsi ekponesial.
B. AKAR
Pada bagian berpangkatan terdahulu telah di jelaskan tentang
bentuk pangkat xn di mana dinyatakan untuk x ≠ 0 dan pangkat n
merupakan bilangan bulat positif atau negatif . di samping itu ,
sebenarnya bentuk pangkat xn, nilai n dapat terdiri dari setiap
bilangan rasional (ingat bilangan rasional merupakan hasil bagi
antara dua bilangan bulat atau bilangan pecah dengan dimensi
48
terbatas atau dimensi berulang ). Oleh karena itu kaidah kaidah
perpangkatan untuk pangkat suatu bilangan rasional ( dengan
bilanga pecah ) menghendaki agar bentuk xm/n difinisikan sesuai
dengan kaidah –kaidah perpangkatan yang berlaku seperti telah di
jelaskan di muka . untuk lebih jelasnya , berikut ini akan di berikan
contoh sebagai berikut :
Contoh 1 : x ½ = merupakan akar pangkat dua ( akar kuadrat ) dari x
dan di tulis 2 √x atau cukup di tulis √x saja atau di baca x
pangkat ½
Contoh 2 : x2/3 = merupakan akar pangkat tiga dari bentuk x dan di
tulis 3√ x2 ( di baca : x pangkat 2/3
Dari contoh di atas maka bentuk umum dari bentuk x berpangkat
bilangan rasional ( dalam hal ini berpangkat bilangan pecahan ) adalah
Xm /n = n√ xm dan di baca pangkat m/n sama dengan akar pangkat n
dari x pangkat m .
Kaidah – kaidah Pengakaran
1. Xm/n = n√ xm atau n√ xm = Xm/n
Contoh : 32/3 = 3√3❑2 = 3√9
2. m√x . y = m m√x . m√ y
Contoh : 3√8 .27 = 3√8 . 3√27
3√216 = 2 . 3
6 = 6
3. m√x = X1/m
Contoh 3√25 = 1251/3 = 53. 1/3 = 51 = 5
4. m√n√x = m . n√x
Contoh : 2√3√729 = 2 . 3√729 = 6√729
= 7291/6 = 36 . 1/6 = 3
5.m√❑
xy
= m√x
m√ y
Contoh : 3√❑
1256
= 3√125 = 5
3√6 3√6
49
C. LOGARITMA
Logaritma suatu bilangan merupakan pangkat yang harus dikenakan
pada bilangan pokok (basis) logaritma untuk memperoleh bilangan
tersebut . oleh karena itu logaritma juga merupakan bentuk perpangkatan
. untuk lebih jelasnya kita mulai dari contoh bentuk perpangkatan ab =
c , dimana a disebut basis atau pkok (bilangan pokok), b disebut sebagai
pangkat atau eksponen dan c merupakan hasil perpangkatan .
Misalnya : 25 = 32 ; (-2)6 = 64 ; 42/3 = 8 ; 52 /3 = 3√5 2
Bilangan pokok adalah : 2; (-2) ; 4 dan 5
Pangkatnya adalah 5 ; 6 ; 3/2 dan 2/3
Hasil pangkatanya : 32 ; 64 ; 8 ; 3√5 2
Untuk contoh di atas bilangan pangkatnya mudah di temukan karena
memang sudah jelas tertulis . tetapi apabila di nyatakan 32 sama dengan
2 berpangkat berapa ? , 8 sama dengan 4 berpangkat berapa ?, 8 sama
dengan 4 berpangkat berapa? Maka jawabanya adalah :
32 adalah sama dengan 2 berpangkat 5
8 adalah sama dengan 4 berpangkat 3/2
Di dalam bentuk logaritma kita dapat menulis 2 log 32 = 5 ,yang
artinya logaritma dari 32 dengan bilangan pokok 2 sama dengan 5 . Dan 4
Log 8 = 3/2 dapat logaritma dari 8 dengan bilangan pokok 4 sama dengan
3/2 atau 1.5 .
Dari contoh di atas jelaslah bahwa logaritma adalah pangkat dari
bilangan pokok (misal 2) yang harus di pangkatkan dengan suatu bilangan
tertentu untuk menghasilkan suatu bilangan tertentu (misal 32 ).
Secara umum, logaritma dapat di nyatakan bahwa :a log b = c , berarti ac = b
50
dalam hal a log b = c , maka a harus positif dan tidak sama dengan 1 , serta
b lebih besar dari 0
( b > 0 ). Hal ini di sebabkan karena seperti pada perpangkatan yang
telah di jelaskan terlebih dahulu bahwa kita mungkin akan mendapatkan
keragu-raguan atau ketidak pastian apabila tidak ada batasan , sehingga
ada hasil yang khayal.
Misalnya
Misalnya : 2log 64 = 6 ; 2log 1
1.024 = -10
2 log 2 -100 = -100 ; 2log (-64) = tidak ada
-2log (-64) = tidak ada
-2 log 64 = tidak ada
1. Logaritma Biasa dan Logaritma asli
Bilangan pokok logaritma yaitu a > 0 dan a ≠ 1 berarti tidak harus
terbatas untuk suatu bilangan tertentu . tetapi dalam penggunaan
logaritma yang sebenarnya biasanya yang di gunakan dalam logaritma
adalah bilangan 10 dan bilangan e ( e = 2,718287 ). Apabila di gunakan
10 sebagai bilangan pokok , maka logaritma tersebut di sebut sebagai
logaritma persepuluhan atau atau logaritma brigg yang di tulis dengan 10
log b atau hanya di tulis dengan log b tanpa mencatantumkan bilangan
pokoknya . sebaliknya jika (e = 2, 718287 ) di gunakan sebagai bilangan
pokok , maka logaritma tersebut dinamakan logaritma asli atau sering
disebut sebagai logaritma alam atau logaritma mapier yang di nyatakan
dengan simbol elog b atau dengan 1n b ( logaritma natural dari b ).
2. Kaidah – kaidah Perhitungan logaritma adalah
1. a log ab = b
Contoh : a) 10 log 100.000 = 10 log 105 = 5
b) 2 log 64 = 2 log 26 = 8
2. aa log b = b
Contoh : a ) 10 10 log 1.000 = 10 10 log 10 3 = 103 = 1.000
b) 55 log 625 = 5 5 l0g 54 = 54 = 625
51
3. a log x . y = a log x + a log y
Contoh : a) 10 log 100.000 x 1.000
=10 log 100.000 + 10 log 1.000
= 10 log 105 + 10 log 10 3
= 5 + 3 = 8
b) 2 log 32 . 16 = 2 log 32 + 2 log 24
= 5 + 4 = 9
4. a log xy
= a log x – a log y
Contoh : a ) 10 log 1.000 .00010.000
= 10 log 1.000.000 – 10 log 10 . 000
= 10 log 10 6 - 10 log 10 4
= 6 – 4 = 2
b) 3 log 243
2.187 = 3 log 243 – 3 log 2.187
= 3 log 35 – 3 log 37 = 5 – 7 = 2
5. a log x n = n a log x
Contoh : a ) 5 log 1253 = 3 5 log 125
= 3 5 log 53 = 3 . 3 = 9
b ) 10 log 1.0002 = 2 10 log 1.000
= 2 10 log 103 = 2 . 36
6. a log a = 1
Contoh : a) 10 log 10 = 1 , sebab 101 = 10
b) 5 log 5 = 1 , sebab 51 = 5
7. a log 1 = 0
Contoh : a) 10 log 1 = 0 , sebab 100 = 1
b) 2 log 1 = 0 , sebab 20 = 1
8. a log b = log blog a
atau a log b = 1
b log a
Atau a log b . b log a = 1
Contoh : a) 10 log 100 = log100log10
52
= log102
log101 = 2 : 1 = 2
b) 10 log 1.000 = 3 , karena 103 = 1.000
1.000log 10 = 1 / 3 , karena 1.000 1/3 = 10
Sehingga :
10 log 1.000 = 1
1000 log10
3 = 1
1 /3
3 = 3 , atau :
10 log 1.000 x 1.000 log 10 = 3 . 1/3 = 1
c) 5 log 25 = 2 , karena 52 = 25
25 log 5 = ½ , karena 25 1/2 = √25 = 5
Sehingga :
5 log 25 = 1
25 log5
2 = 1
1 /2
2 = 2 , atau
Kaidah logaritma seperti di atas ( kaidah ) sering di sebut sebagai
kaidah inversi
9 . a log b . b log c . c log a = 1
Contoh : a) 2 log 8 . 8 log 512 . 512 log 2 = 1
2 log 8 = 3 , karena 23 = 8
8 log 512 = 3 , karena 83 = 512
512 log 2 = 1/9 , karena 512 1/9 = 9√512 = 2
Sehingga : 2 log 8 . 8 log 512 . 512 log 2 =
3 . 3 . 1/9 = 1
b) 3 log 9 . 9 log 729 . 729 log 3 = 1
3 log 9 = 2 , karena 32 = 9
9 log 729 = 3 , karena 93 = 729
729 log 3 = 1/6 , karena 729 1/6 = 6 √729=¿ 3
Maka : 3 log 9 . 9 log 729 . 729 log 3 = 1
2 . 3 . 1/6 = 1
53
Kaidah logaritma seperti contoh di atas (kaidah 9 ) sering di sebut
sebagai kaidah rantai.
D. PENERAPAN AKAR , PANGKAT DAN LOGARITMA DALAM
EKONOMI
Dalam suatu kehidupan sehari hari teori logaritmasering di gunakan
bersama sama dengan teori pangkat dan deret ukur . teori logaritma ini
di gunakan untuk menyederhanakan pemecahan suatu kasus yang
memiliki pangkat terlalu besar , misalnya nengenai masalah pertumbuhan
penduduk , perhitungan nilai uang ,perhitungan bunga dan sebagainya .
pemecahan masalah tersebut dapat di selesaikan dengan teori deret atau
teori logaritma.
Contoh 3 : misalnya penduduk Indonesia pada tahun 1988 sejumlah
170.000.000 jiwa dengan tingkat pertumbuhan 3 % per tahun .
setiap penduduk rata rata memerlukan 120 kg beras pertahun .
jumlah produksi beras tahun 1988 sebanyak 25 juta ton dengan
pertambahan sebanyak 1 juta ton beras pertahun. berapa ton
beras yang di produksi tahun 2000 nanti dan berapa ton beras
yang dapat di ekspor?
Jawab : jumlah penduduk tahun 1988 ( n = 0 ) = 170 juta jiwa tingkat
pertumbuhan penduduk (r) = 3% per tahun . jumlah penduduk
tahun 2.000 (n = 12) adalah :
pn = p0 ( 1 + r )n
P12 = 170.000.000 ( 1 + 0,3 )12
P12= 170.000.000 (1 , 42576)
P12= = 242.379 .350 jiwa
Atau di selesaikan dengan logaritma adalah :
P12 = 170.000.000 ( 1,030)12
Log p12 = log 170.000.000 ( 1,03)12
Log p12 = log 170.000.000 + log (1.03)12
Log p12 = log 170.000.000 + 12 log (1 ,03)
Log p12 = 8, 230448921 + 0, 154046696
54
Log p12 = 8, 3844495617
P12 = 242.378.350 jiwa ( di cari dengan antilog dari 8, 384495619
= 242.379.350)
Produksi beras tahun 1988, (a) = 25 juta ton ,
Tingkat pertumbuhan pertahun (b) = 1.000.000 ton
Produksi beras tahun 2.000 ( n = 12) adalah :
Sn = a + (n-1) b
S12 = 25.000.000 + ( 12 -1 ) 1.000.000
S12 = 25.000.000 + 11.000.000
S12 = 36.000.000 ton beras
Jadi produksi beras tahun 2.000 nanti adalah sebesar
36.000.000 ton beras . sedangkan kebutuhan beras tahun
2.000 adalah :
Kebutuhan total pertahun :
= 242.379. 350 x 120 kg = 29.085.522.000 kg
= 29 .085 . 522 ton beras
Sehingga beras yang dapat di ekspor adalah
sejumlah = 36.000.000 ton – 29.085.522 ton
=6.914.478 ton
Contoh 4 : apabila anda memiliki modal sebesar Rp . 10 Juta , di bungakan
majemuk dengan suku bunga 3 % pertahun . berapakah modal
anda setelah 40 tahun seandainya :
a . bunga di bayar / di tambahkan setiap tahun
b . bunga di bayar / di tambahkan tiap 4 bulan
jawab : p = Rp .10.000.000 , - I = 3% , n = 40
a . bunga di bayarkan setiap tahun
Fn =10.000.000 (1 + 0, 03)n
F40 = 10.000.000 (1 + 0,03)n
F40 = 10.000.000 ( 3, 2620378 )
F40 = Rp . 32.620.378
Atau di selesaikan dengan logaritma adalah :
F40 = 10.000.000 ( 1.03)40
55
Log F40 = log 10.000.000 (1,03)40
Log F40 = log 10.000.000 + log (1,03)40
Log F40 = log 10.000.000 + 40 log (1,03)
Log F40 = 7 + 40 (0,012837224 )
Log F 40 = 7 + 0, 513488988
Log F40 = 7, 513488988
F 40 = 32.620.378.
Sehingga setelah 40 tahun uang anda akan
Menjadi Rp. 32.620.378 ,-
b . bunga di bayarkan setiap 4 bulan sekali (n = 3)
Fn = p ( 1 = i /m)nm
F40 = 10.000.000 ( 1 + 0,03 /3 ) 40.3
F40 = 10.000.000 (1,01) 40.3
F 40 = 10.000.000 (1,01)120
Log F40 = log 10.000.000 (1.01)120
Log F40 = log 10.000.000 + log (1,01)120
Log F 40 = log 10.000.000 + 120 log (1,01)
Log F40 = 7 + 120 ( 0, 00432137 )
Log F 40 = 7, 54856485
F40 = 33.003.868,94
Sehingga setelah 40 tahun dengan bunga 3% pertahun di
bayarkan
Setiap 4 bulan sekali , uang anda menjadi Rp . 33.003.868,94
DISTRIBUSI PENGHASILAN PARETO
Untuk mendistribusikan penghasilan sekelompok orang maka
seorang ekonom vilfredo pareto mengemukakan teri tentang distribusi
penghasilan fareto . hukum distribusi tersebut mengatakan bahwa
sejumlah orang (N) dari sejumlah penduduk tertentu (a) yang
penghasilanya lebih besar dari jumlah tertentu (x) adalah : N = a
xb ,
dimana b
56
Merupakan parameter penduduk yang besarnya ( biasanya 3/2 = 1,5)
serta hanya dapat di terapkan dengan range 0<N ≤ a dan 0 < x <
penghasilan maksimum penduduk .)
Contoh 5 : distribusi penghasilan pareto dari sekelomok penduduk
dinyatakan : N = 216 x 108
x3/2
a. Berapakah jumlah penduduk yang berpenghasilan di atas Rp.
10.000
b. Berapakah jumlah penduduk yang berpenghasilan antara Rp
3.600 dan Rp 10.000,-
c. Berapakah penghasilan terendah dari 100 orang dari
kelompok penduduk terkaya?
Jawab : a . penduduk yang berpenghasilan di ata Rp 10.000 adalah :
N = a
xb ; 216 x 108 ; x = 10.000
Dan b = 3/2 = 1,5
N = 216 x 108
(10.000)3/2 = N =
216 x 108
(10)3/2
N = 216 X108
106 = 21.600 orang ( penduduk)
Atau di selesaikan dengan teori logaritma
Log N =
104
log (¿)3/2log216 x 108
¿
Log N = log 216 x 108 – log 106
Log N = log 216 + log 10 8 –log 106
Log N = log 216 + log 108 + log 10 6
Log N = 2,33445 + 8 – 6
Log N = 4 , 33445
N = 21.600 orang ( penduduk )
Jadi penduduk yang berpenghasilan di atas Rp. 10.000
sebanyak 21.600 orang .
57
b. jumlah penduduk yng berpenghasilan anatara Rp . 3.600 ,-
dan Rp . 10.000 ,- adalah .
- jumlah penduduk yang berpenghasilan di atas Rp . 3600 ,-
adalah :
a = 216 x 103 ; x 3.600 ; b 3/2 ( 1,5)
N = 216 x108
(3.600 )3 /2 = 216 x 108
216.000
N = 216 x 108
216 x 103 = 105
-jumlah penduduk yang berpenghasilan di atas Rp.
10.000 adalah :
N = 216 x108
(10.000 )3 /2 = 21.600 = 216 x 102
Sehingga jumlah penduduk yang berpenghasilan anatara Rp.
3.600,- dan Rp.10. adalah = jumlah penduduk yang
berpenghasilan di atas Rp. 3.600 di kurangi dengan
Jumlah penduduk yang berpenghasilan di atas Rp. 10.000,-
= 105 - (216 x 102) = ( 103 – 216 ) 102
= (1.000 – 216 ) 102 = 784 x 102
= 78.400 orang
c . Penghasilan terendah dari 100 orang dari
Kelompok penduduk terkaya adalah :
N =100 ; a 216 x 108 ; b = 3 /2 ( 1,5)
100 = 216 x 108
x3/ 2
X3/2 = 216 x 108
102
X =(216 x 106 ) 2/3
X = ( 63 x 10 8 ) 2/3 = 62 x 104
X = 36 x 104 = 360.000
Atau dapat di hitung dengan dengan kaidah logaritma :
100 = 216 x 108
x3/ 2
58
X2/3 = 216 x 108
102 = 216 x 106
X = ( 216 x 106) 2/3
Log x = log ( 216 x 106) 2/3
Log x = 2/3 log ( 216 x 106)
Log x = 2/3 log ( 216 x 6 log 10 )
Log x = 2/3 (2,33445 + 6 )
Log x = 2/3 (8,33445) = 5 , 5563
X = 359.997,9 = 360.000 (di bulatkan )
Dari perhitungan tersebut di muka , maka besarnya
penghasilan terendah dari 100 orang dari kelompok
penduduk terkaya adalah sebesar Rp. 360.000,-
Contoh 6 : distribusi penghasilan pareto dari sekelompok penduduk di
formulasikan dengan hukum pareto yaitu N = 64 x1012
x2 , maka
hitunglah :
a. Berapa orang yang berpenghasilan di bawah Rp. 16.000,-
b. Berapa orang yang berpenghasilan antara Rp. 400.000 sampai
dengan Rp. 1.000.000
c. Berapa penghasilan terendah dari 400 orang yang
berpenghasilan tertinggi ?
Jawab : a . jumlah orang yang berpenghasilan di bawah Rp. 16.000,-
a=64 x1012 ; x=16.000 ;b=2
N=64 x1012
(16.000)2=
64 x 1012
256 x 106
N=0,25 x 106
Sehingga orang yang berpengasilan di atas Rp .16 .000,−¿
sebanyak 0,25 x106 .Oleh karena itu penduduk yang berpengasilan
di bawah Rp.16.000 adalah :
¿(64 x1012) – (0,25 x106
)
¿(64 x106−0,25)106
59
¿63,99999976 x1012
b. Jumlah orang yang berpengasilan antara Rp .400 .000 sampai
dengan Rp .1 .000 .000
- Jumlah orang yang berpegasilan diatas Rp .400 .000,−¿
4¿
¿2x 10¿¿¿
N=64 x 1012
(400.000)2=
64 x 1012
¿
N=64 x1012
42 x1010 =64 x1012
16
N=4 x102=400orang
- Jumlah orang yang berpegasilan diatas Rp .400 .000,−¿
1.000 .000 ¿2
¿
N=64 x1012
x2 =64 x1012
¿
N=64 x1012
(106 )2 =
64 x1012
1012
N=64 orang
Dari perhitungan tersebut diatas, maka penduduk yang berpenghasilan
antara Rp. 400.000 sampai dengan Rp. 1.000.000,- adalah sebanyak 400
orang – 64 orang ¿336 orang.
Penghasilan terendah dari 400 orang yang berpenghasilan tertinggi
adalah
N=64 x1012
x2
400=64 x1012
x2
x2=
64 x1012
400=
64 x 1012
4 x102
x2=16 x1010
60
x=(16 x1010) 12
x=(42 x1010 ) 12
x=4 x105=400.000
Jadi penghasilan terendah dari kelompok 400 orang yang berpenghasilan
tertinggi adalah sebesar Rp. 400.000,-
61
BAB V
FUNGSI
Pemecahan persoalan ekonomi yang dijumpai sehari-hari sering
sekali harus digunakan matematika ekonomi yang berintikan pada
masalah fungsi, baik yang dipecahkan dengan fungsi aljabar maupun
dengan fungsi non aljabar.
Namun sebelum dijelaskan lebih jauh tentang fungsi aljabar dan non
aljabar, baiklah terlebih dahulu dijelaskan mengenai fungsi itu sendiri.
A. PENGERTIAN FUNGSI, PEUBAH, KONSTANTA DAN KOEFISIEN
Yang dimaksudkan dengan fungsi adalah hubungan antara satu
peubah (variable ) dengan peubah lain yang masing-masing peubah
tersebut saling pengaruh mempengaruhi. Hubungan antara peubah
dalam suatu fungsi merupakan himpunan pasangan urut dengan
anggota kedua disebut range ( jangkauan ) . Apabila suatu hubungan
yang menyatakan bahwa setiap anggota (unsur ) domain
berhubungan dengan satu dan hanya satu anggota range, maka
hubungan tersebut disebut fungsi.
Suatu fungsi biasanya terdiri dari peubah, konstanta dan koefisien.
Peubah (variable ) merupakan suatu besaran jumlah yang didalam
suatu permasalahan nilainya dapat berubah-ubah. Peubah ini
merupakan unsure pembentuk suatu fungsi yang melambangkan
faktor tertentu. Peubah dapat dibedakan menjadi peubah bebas
(independent variable ) . Peubah bebas adalah peubah yang nilainya tidak
tergantung pada peubah lain dan nilai peubah ini akan menentukan
nilai fungsi. Dalam pasangan urut, peubah bebas merupakan anggota
yang pertama atau yang berperan sebagai domain. Sedangkan peubah
gayut atau peubah tergantung merupakan peubah yang nilainya
tergantung pada peubah lain. Nilai peubah gayut ini sama dengan nilai
fungsi setelah nilai peubah bebas diketahui. Dalam pasangan urut,
62
peubah gayut merupakan anggota yang kedua dan dalam fungsi
berperan sebagai range.
Dalam suatu himpunan pasangan urut {x , y } , maka x dan y
dinamakan peubah, dimana nlai x merupakan peubah bebas yang
berperan sebagai domain, sedangkan nilai y merupakanpeubah gayut
yang berperan sebagai range.
Untuk memberikan gambaran yang jelas, berikut ini diberikan contoh
mengenai fungsi, sebagai berikut :
Contoh : Y=a+b X −→ (sebagai persamaanlinier atau garislurus )
Y=a+b X adalah sebuah fungsi yang menyatakan bahwa Y
merupakan fungsi dari X, artinya bahwa besar kecilnya nilai X akan
mempengaruhi besar kecilnya nilai Y. Huruf X dan Y masing-masing
dinamakan sebagai peubah. Huruf X dinamakan peubah bebas
(independent variable )
dan huruf Y dinamakan peubah gayut atau peubah tergantung
(dependent variable ) karena nilainya tergantung pada besar kecilnya
nilai X. Sedangkan huruf a disebut sebagai konstanta dan huruf b
dinamakan koefisien. Konstanta merupakan bilangan atau angka yang
turut membentuk suatu fungsi dan tidak terkait pada suatu peubah,
sedangkan koefisien merupakan bilangan atau yang turut membentuk
sebuah fungsi dan terkait pada suatu peubah dalanm fungsi yang
bersangkutan.
Apabila antara nilai X diketahui dan kemudian disubstitusikan dalam
rumusan fungsi maka hasilnya dikatakan sebagai nilai fungsi dari X
tersebut (sebagai nilaiY )
Contoh 1 : Suatu persamaan garis lurus Y=10+2 X , apabila nilai X
diketahui (misalnya=5 ) kemudian disubstitusikan kefungsi tersebut,
maka nilai fungsi tersebut (Y ) dapat dicari yaitu :
63
Y=10+2 (5 )=20 −→ yang artinya nilai fungsinya adalah ¿20 .
B. PENYAJIAN FUNGSI DENGAN KURVA (GRAFIK )
Dalam penyajian fungsi dengan grafik, digunakan analisa system
koordinat yang berguna untuk menempatkan titik-titik dalam suatu
bidang atau ruang. Sistem koordinat yang akan digunakan disini
adalah sistem koordinat bujur sangkar.
Dalam system koordinat bujur sangkar ini digunakan dua macam garis
lurus yang berpotongan tegak lurus antara satu dengan lainnya yang
akan digunakan untuk menempatkan titik-titik dalam suatu bidang
yang dibentul oleh dua garis tersebut. Jarak antara titik-titik dengan
kedua garis diatas disebut koordinat, sedangkan garis darimana titik
tersebut diukur disebut sumbu koordinat.
Sumbu koordinat yang tegak (vertikal ) disebut sumbu Y, sedangkan
yang horisontal (datar ) disebut sumbu X. Titik potong antara kedua
sumbu tersebut disebut sebagai titik pusat (origin ) .
Kedua sumbu yang berpotongan tegak lurus tersebut membagi suatu
bidang datar menjadi empat bagian yang disebut sebagai kuadran.
Masing-masing kuadran diberi nomer secara berurutan menurut arah
yang berlawanan dengan arah jarum jam, mulai dari bidang kanan atas
disebut kuadran pertama, kemudian berturut-turut kuadran kedua,
ketiga dan keempat, seperti terlihat pada gambar berikut :
Y
(−3,3 )(1,3 )−,+¿
¿+,+¿
¿¿ kuadran II ¿¿ ¿
64
X
−,−¿¿
+ ,−¿¿
¿ (−2,−2 )¿
kuadran III ¿
Titik yang terletak pada bidang yang dibentuk oleh sumbu koordinat X
dan Y merupakan pasangan urut ( x , y ) , yaitu anggota pertama disebut
koordinat X atau absis dan anggota kedua disebut koordinat Y atau
ordinat. Koordinat X atau absis dari suatau titik menyatakan korrdinat
yang menyatakan.
Arah dan jarak antara titik tersebut kekana atau kekiri dengan sumbu y
.sedangkan koordinat y atau ordinat suatu titik y . sedangkan koordinat
yang menyatakan arah dan jarak titik tersebut ke atas atau ke bawah
sumbu x.
Setelah kita mengetahui letak-letak titikpada suatu bidang dalam
system sumbu koordinat , maka sekarang kita dapat mengambarkan
suatu fungsi dalam bentuk grafik . grafik di sini merupakan tempat
kedudukan suatu garis yang melewati semua titik-titik yang koordinatnya
memenuhi persamaan fungsi yang dimaksud
Agar lebih mudah memahami keterangan di atas , berikut ini
contonya sehingga akan memberikan gambaran yang jelas .
Contoh 2: suatu persamaan y = 2x + 10
Gambarlah kurvanya
Jawab : persamaan y + 2x +10
Titik potong dengan sumbu y apabila x =0
Maka y =2 .0 + 10
Y = 10 ------ titik potong (0, 10)
Titik potong sumbu y apabila y=0
Maka 0 = 2x + 10
Y = - 5 ------ titik potong (-5, 0)
65
Dari titk potong –titik potong dengan sumbu –sumbunya ,maka garisnya
dapat digambarkan sebagai berikut:
Contoh 3 : Persamaan y = x2 – 2x – 8. Gambarkan grafiknya
Jawab:
X -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6Y 7 0 -5 -8 -9 -8 -5 0 7 16
C. FUNGSI LINEAR
66
Fungsi linier merupakan fungsi yang pangkat tertinggi dari peubah
(variable) bebasnya adalah satu. Oleh karena itu fungsi liner juga sering
disebut sebagai fungsi berderajat satu. Bentuk umum fungsi linier adalah
y = ax + b , di mana a disebut sebagai koefisien arah atau lereng atau
slopa garis y besarnya a ≠ 0. Sedangkan b sebagai konstanta yang
merupakan penggal garis y pada sumbu y (sumbu vertical )
Pengambaran fungsi linier dalam bentuk kurva dapat dibuat degan
menghitung koordinat titik yang memenuhi persamaan fungsi linier
dimaksud ,kemudian digambarkan ke bidang sumbu silang yaitu absis
sebagai sumbu peubah bebas (x) yang digambar secara horizontal dan
ordinat sebagai sumbu peubah terikat (y) yang di gambar secara vertical
(tagak) .apabila fungsi linier digambar ,maka bentuk kurvanya adalah
berupa garis lurus
1. Kemiringan suatu garis
Kemiringan suatu garis atau disebut sebagai gradien dapat dicari
dengan menghitung nilai tangen sudut antara garis yang dibentuk
oleh persamaan disebut dengan sumbu x. kemiringan tersebut
besarnya merupakan sudut α (alfa) yan diukur dari sumbu x
bergerak belawanan arah dengan arah jarum jam ke garis yang
dimaksud .sehingga besarnya sudut α (sudut kemiringan ) adalah
00 sampai dengan 1800 Kemiringan suatu garis (gradien)
biasanya dinyataka dengan symbol m.
Apabila diketahui dua buah titik (x1, y1 ) dan (x2, y2 )yang terletak
pada satu garis lurus, maka kemiringan garis tersebut adalah :
M = tg α = --y 2x2
--y 1x1
= ∆∆
---yx
Dibaca : kemiringan suatu garis (gradien =m) adalah sama dengan
besarnya tangen sudut alfa -(α)
Atau sama dengan delta y (∆ y ) dibagi dengan delta x ( ∆ x).
Kemiringan kurva fungsi linier akan tergantung pada nilai a
(koefisien arah). Apabila koefisien arah a bernilai positip, maka garis
67
dari persamaan linier tersebut akan bergerak dari kirik ke kanan
atas. Sebaliknya apabila koefisien arah a bernilai negatip, maka
garis pesamaan linier tersebut akan begerak dari kiri ke kanan
bawah sedangka apabila koefisien arah a = 0 ,maka garis pesamaan
linier tersebut akan bergwrak dari besarnya konstanta b (sebagai
titik potong sumbu y) sejajar dengan sumbu x kekiri maupun
kekanan
Apabila nilai b sebagai titik potong sumbu y adalah positip , maka
kurva persamaan linier akan memotong sumbu y yang bernilai
positip . sebaliknya apabila nilai b negatip ,maka kurva pesamaan
linier tersebut akan memotong sumbu yyang benilai negatip
.sedangkan apabila nilai b =0 , maka kurva pesamaan linier
dimaksud tidak mempuyai titik potong dengan sumbu y (sumbu
vertical), sehingga kurva tersebut akan bergerak dari titik pangkal
(titik origin) atau titik 0. untuk selanjutnya berikut ini di berikan
contoh sehingga memberikan gambaran yang lebih jelas
Contoh 4 : gambarlah kurva dari pesamaan linier berikut :
a. Y = 3x + 2 d. y = 3x - 2
b. Y = - 3x + 2 e. y = 3x
c. Y = 2
Jawab : a .y =3x + 2
x 0 1y 2 5
2 38 11
A = positip
B = positip
b. y = - 3x + 2
x 0 1y 2 −1
2 3−4 −7
A = negatip
B = positip
68
c. y = 2
a = 0; b = positip
d. Y = 3x - 2
¿1036 9∨¿
¿10123∨¿¿
¿¿
|
e. Y = 3x
|¿103691∨¿
¿10123∨¿¿
¿|
2. Pembentukan persamaan garis lurus
Untuk membentuk persamaan garis lurus (linier) dapat
digunakan 4 macam metode yakni
a. Metode dua titik (dwi kordinat)
b. Metode titik potong sumbu
c. Metode kemiringan garis dan titik
d. Metode kemiringan garis dan titikpotong sumbu
a. Metode dua titik (dwi koordinat)Metode dua titik (dwi koordinat) merupakan metode pembentukan
pesamaan linier (garis lurus ) dari dua buah titik yang diketahui.
misalnya kita memiliki dua buah titik A (x1, y1) dan titik B (x2, y2),
69
maka dengan metode dua titik dapat dibentuk persamaan
liniernya ,yakni dengan rumus :
y− y1y 2− y1
=x−x1x2−x 1
atau y− y1x−x1
=y 2− y1x2− y1
y−¿ y 1 =y 2− y1x2−x 1
(x –x1)
Untuk lebih jelasnya , diberikan contoh sebagai berikut :
Contoh 5 : buatlah persamaan garis lurus yang melalui titik A
(4, 2) dan titik B (2, 6) kemudian gambarlah kurvanya !
Jawab : Titik A (4, 2) ==> x1 = 4 ; y1 = 2
Titik B (2, 6) ==> x2 = 2 ; y2 = 6
y− y2y 2− y1
=x−x1x2−x 1
y−22−6
=x−42−4
y−24
=x−4−2
-2y + 4 = 4x – 16
-2y = 4x – 20
Y = - 2x + 10
||y|108662∨¿
¿ x∨01234∨¿¿
¿
|
b. Metode Titik Potong Sumbu
Pembentukan persamaan garis lurus dengan metode titik potong
sumbu digunakan untuk kasus-kasus tertentu (kasus khusus ) , yaitu
apabila suatu titik ( x1, y1 ) merupakan titik potong sumbu y,
misalnya pada titik (0,b ) dan titik ( x2, y 2 ) merupakan titik
potong sumbu x, misalnya (a ,0 ) , maka persamaan garisnya dapat
dibentuk sebagai berikut :
x1=o ; y1=b x2=a; y2=0
70
y− y1x−x1
=y 2− y 1x 2−x1
atau y− y 1=y 2− y 1x 2−x1
(x−x1 )
y−b=0−ba−0
( x−0 )
y−b=−ba
( x )−→ y−b=−bxa
y−bb
=−xa
yb−1=
−xa
−→yb+xa=1
( y−b )a=−bx
( y−b )ab
=−x
y−bb
=−xa
Untuk lebih jelasnya diberikan contoh sebagai berikut :
Contoh 6: Apabila diketahui suatu garis dengan titik potong sumbu y
adalah (0,6 ) dan titik potong sumbu x adalah (4,0 ) . Carilah persamaan
garisnya?
Jawab :
yb
+xa=1
Y6
+x4=1
----------- x12
4y + 6x = 24
2y +3x =12 ---------------------- > y =−32
x+6
71
Sehingga persamaan garis yang melalui titik potong sumbu x (4,0) dan
sumbu y (0,6) adalah
y =−32
x+6
c. Metode Kemiringan Garis Dan Titik
Apabila diketahui suatu titik (x1 ,y2) dan dilalui oleh suatu garis lurus yang
memiliki kemiringan m ,maka persamaan garis tersebut adalah :
M =y 2− y1x2−x 1
,sedangkan y-y1= y 2− y1x2−x 1
(x-x1)
Maka : y-y1 =m (x-x1) ------> persamaan garis yang melalui sebuah titik
(x1,yi1)dengan kemiringan m.
Contoh 7 : Carilah persamaan garis yang melalui suatu titik (4,2) dan
memiliki kemiringan -3
Jawab : y− y 1=m ( x−x1 )
y−2=−3 ( x−4 )
y−2=−3 x+12 ----- > y=−3 x+14
d. Metode kemiringan garis dan titik potong sumbu
Apabila diketahui suatu titik (0,b) merupakan titik potong sumbu y
sebuah garis lurus yang memiliki kemiringan garis m,maka persamaan
garis tersebut adalah :
y− y 1=m(x−x 1)
y−b=m(x−0)
y−b=m x ----- > y=m x+b ----- > persamaan garis yang melalui titik
potong sumbu y dengan kemiringan m.
Contoh 8: Apabila suatu garis memiliki titik potong dengan sumbu y
pada (0,-4) dan kemiringannya 5, maka bagai manakah
persamaan garisnya ?
Jawab: y=mx+b
y=5 x−4
72
3. Hubungan antara dua garis lurus
Hubungan antara dua garis lurus yang terletak pada suatu
bidang datar dalam sistem sumbu silang mempunyai empat
kemungkinan yakni berimpit, sejajar, berpotongan dan saling tegak
lurus satu sama lain.
a. Kemunngkinan pertama: Dua garis saling berimpit.
Dua garis lurus saling berimpit apabila persamaan garis yang
satu merupakan kelipatan dari persamaan garis yang lain.
Contoh 9 :Persamaan garis pertama y=2 x+4
Persamaan garis kedua 2 y=4 x+8
Maka garis pertama akan berimpit dengan garis kedua,
karena garis kedua merupakan kelipatan darigaris pertama.
Buktinya : garis pertama : y=2 x+4
Titik potong dengan sumbu y bila x = 0,maka y=2 .0+4 -- >
y = 4 --- > titik potong (0,4)
Titik potong dengan sumbu x bila y = 0, maka 0=2x+4 -- >
x=−2 --- > titik potong (-2,0)
Garis kedua : 2 y=4 x+8
Titik potong dengan sumbu y bila x =0, maka 2 y=4.0+8 ---
> y=4 --- > titik potong (0,4)
Titik potong dengan sumbu x bila y =0, maka 2.0=4 x+8
---> x=−2 --- > titik potong (-2,0)
Grafiknya adalah sebagai berikut :
73
b. Kemungkinan kedua: dua garis saling sejajar
Dua garis lurus akan sejajar satu sama lain apabila kemiringan
(gradien) kedua garis tersebut besarnya sama.
Contoh 10 : persamaan garis pertama y=2 x+4
Persamaan garis kedua y=2 x−2
Maka garis pertama akan sejajar dengan garis kedua karena garis
tersebut memiliki kemiringan yang sama yaitu m.
Buktinya :garis pertama y=2 x+4
Titik potong dengan sumbu y pada (0,4)
Titik potong dengan sumbu x pada (-2,0)
Garis kedua y=2 x−2
Titik potong dengan sumbu y pada (0, -2)
Titik potong dengan sumbu x pada (1,0)
Grafiknya adalah sebagai berikut:
c. Kemungkinan ketiga: dua garis saling berpotongan
74
Dua garis akan saling berpotongan apabila kemiringan kedua garis
tersebut tidak sama besarnya .
Contoh 11: Persamaan garis pertama y=2 x+4
Persamaan garis kedua y=x+5
Maka kedua garis tersebut akan saling berpotongan karena
kemiringan kedua garis tersebut tidak sama besarnya,yaitu garis
pertama kemiringannya =2 dan kemiringan garis kedua =1
Buktinya :garis pertama y1=2x+4
Titik potong dengan sumbu y pada (0,4)
Titik potong dengan sumbu x pada (-2,0)
Garis kedua y2=x+5
Titik potong dengan sumbu y pada (0, 5)
Titik potong dengan sumbu x pada (-5,0)
Garis pertama akan berpotongan dengan garis kedua pada saat
y1= y2
Maka : 2x+4=x+5
x=1
y=2 x+4 --> y=2 .1+4 --> y=6
Jadi titik perpotongan garis pertama dengan garis kedua adalah
pada titik (1,6).
Grafiknya adalah sebagai berikut :
75
d. Kemungkinan keempat:dua garis saling berpotongan saling tegak
lurus
Dua garis lurus akan berpotongan saling tegak lurus apabila
kemiringan kedua garis tersebut saling terkebalikan dengan tanda
yang berlawanan atau kedua kemiringan garis yang dimaksud
besarnya ¿−1
Sehingga m1 .m2=−1 ===> m1=−1/m2
Contoh 12: Persamaan garis pertama y1=2 x+4
Persamaan garis kedua y2=−12 x
+9
Maka kedua garis tersebut di atas akan saling berpotongan
tegak lurus , karena kemiringan garis pertama (m=2)
merupakan kebalikan dan tandanya berlawanan dengan
kemiringan garis kedua (m=−1/2) .
Buktinya :garis pertama y1=2x+4
Titik potong dengan sumbu y pada (0,4)
Titik potong dengan sumbu x pada (-2,0)
Garis kedua y2=−1/2 x+9
Titik potong dengan sumbu y pada (0, 9)
Titik potong dengan sumbu x pada (18,0)
Titik perpotongan kedua garis jika y1= y2
2x+4=−12x
+9
76
2,5 x=5 -------> x=2
y=2 x+4 -----> y=2 .2+4 --> y=8
Jadi perpotongan garis y1 dengan garis y2 pada titik (2,8) dan
membentuk sudut 90o,karena m1.m2=1 (ingat tangen 90o=1)
Gambar grafiknya adalah sebagai berikut:
D. PENERAPAN FUNGSI LINIER DALAM EKONOMI
Penerapan fungsi linier dalam ekonomi meliputi fungsi permintaan dan
fungsi penawaran dalam kaitannya dengan analisa pulang pokok
(break even point) dan fungsi konsumsi .Untuk lebih jelasnya berikut ini
dibahas satu per satu.
1. Fungsi permintaan
Dalam kehidupan sehari hari biasanya jumlah barang yang
diminta oleh konsumen dipengaruhi oleh beberapa variabel
(peubah), seperti harga barang tersebut,harga barang dan
sebagainya .Namun dalam analisi ekonomi ,suatu permintaan
akan suatu barang biasanya hanya diperhitungkan adanya
pengaruh harga barang yang bersangkutan.Hal ini disebabkan
karena peubah-ubah yang lain selain harga dianggap tetap
(ceteris paribus) dan tidak terlalu berpengaruh terhadap suatu
barang.
Dalam penerapan ekonomi ,fungsi permintaan akan
bersifat linier pada range tertebntu yang relevan, sedangkan
77
pada range yang lain kemungkinan fungsi permintaannya
tidaklah bersifat linier.
Didalam praktek ,penggambaran fungsi permintaan yang
linier identik dengan penggambaran pada fungsi linier.Hanya saja
biasanya dalam sistem sumbu silang, sumbu XY diganti dengan P
sebagai sumbu harga dan sumbu X diganti dengan sumbu Q
sebagai sumbu jumlah (Quantitas).Sedangkan bentuk umum dari
pada fungsi permintaan adalah :
Q=−aP+b atau
aP=−Q+b ---> P=−Qa
+b /a
Dimana :Q = Jumlah barang yang diminta
P = Harga barang
a = koefisien fungsi permintaan
b =konstanta
Biasanya grafik fungsi permintaan mempunyai kemiringan
(slope) yang negatip, sehingga grafiknya akan bergerak dari kiri
atas kekanan bawah .Kemiringan grafik fungsi permintaan
negatip ini berarti sesuai dengan hukum permintaan yaitu bahwa
apabila harga suatu barang dinaikan,maka jumlah barag yang
diminta akan menurun dan sebaliknya,apa bila naik.Namun pada
kasus tertentu seperti halnya pada kasus pasar persaingan
sempurna di mana produsen dan konsumen tidak kuasa
mempengaruhi harga, maka jumlah barang yang diminta akan
berubah-ubah walaupun harganya tetap .Disini terlihat bahwa
kemiringan grafik fungsi permintaanya adalah nol.Juga kasus
pada pasar monopoli.Dalam kasus ini permintaan suatu barang
akan cenderung tetap walaupun harga barang tersebut berubah
ubah .Dalam hal ini fungsi permintaanya mempunyai kemiringan
yang tidak tentu.
Untuk memberikan gambaran yang jelas ,berikut ini
diberikan ilustrasi mengenai berbagai kemiringan dari
permintaan yang dimaksud :
78
Q = jumlah barang yang diminta
Untuk lebih jelasnya berikut ini diberikan contoh pembentukan
fungsi permintaan linier.
Contoh 13 : Diketahui bahwa permintaan suatu barang apabila harga
jualnya Rp.160,- jumlah barang yang diminta 20
buah,sedangkan apabila harga jualnya Rp.120,- maka jumlah
barang yang diminta sebanyak 40 buah.
a. Bagaimanakah persamaannya serta gambarlah grafiknya.
b. Apabila barang tersebut dibagi secara gratis kepada
konsumen,berapakah jumlah barang tersebut yang diminta
?
c. Berapa harga maksimum barang tersebut sehinggga tidak
ada yang membelinya?
Jawab : a. Persamaan fungsi permintaannya.
Kita menggunakan persamaan garis yang melalui dua titik
yaitu :
y− y1y 2− y1
=x−x 1x 2−x 1
atau
P−P1P2−p1
=Q−Q1Q2−Q1
P1=Rp.160,- P2=Rp.120,-
Q1=20 buah Q2=40 buah
79
Maka :
P−160120−160
=Q−2040−20
P−160−40
=Q−20
20
20 P – 3.200 =-40 Q +800
20 P = -40Q +800+3.200
20P =-40 Q +4000
P =-2 Q + 200 atau
Q=-1/2P + 100
Gambar grafiknya:
b. Apabila barang tersebut dibagi secara gratis berarti harganya (P)=nol
P =-2Q +200
0 =-2Q+200 ------->Q=100
Jadi apabila harganya nol, maka jumlah barang yang diminta sebanyak
100 buah.
c. Apabila barang tersebut tak ada yang membeli (Q = 0),maka harga
maksimumnya adalah:
P =-2Q +200
P =-2.0+200 ------->P=200
Jadi harga barang tersebut adalah Rp.200,-
Contoh 14: Keadaan permintaan suatu barang diketahui nahwa ketika
harga jualnya Rp.400,- tidak ada barang yang
80
terjual.Sedangkan apa bila barang tersebut dibagikan secara
Cuma-Cuma,jumlah barang yang diminta hanya 100 unit.
Bagaimanakah persamaan fungsi permintaanya dan grafiknya ?
Jawab : Kita menggunakan persamaan garis lurus yang melalui dua
titik potong
sumbu yaitu :
y /b+x /a=1makadalamhal ini:P /b+Q /a=1
Jika P=Rp4000 ,makaQ=0−−−→(0,400)
P=Rp0 ,makaQ=100−−→(100,0)
P400
+0
100=1
x 400
P+4Q=400−−−−−−→P=−4Q+400atau
Q=−1/4 P+100
Gambar grafiknya adalah
2. Fungsi Pernawaran
Seperti halnya pada permintaan, maka banyaknya barang yang
ditawarkan oleh produsen juga dipengaruhi oleh berbagai variabel.
Variabel yang paling berpengaruh dan sering digunakan dalam analisis
ekonomi adalah variabel harga.
Sesuai dengan hukum penawaran bahwa apabila harga suatu
barang naik , maka jumlah barang yang ditawarkan pada produsen akan
naik dan sebaliknya apabila harga barang tersebut turun ,maka jumlah
barang yang ditawarkan akan naik.Hal ini menunjukn bahwa pada grafik
81
fungsi penawaran,kemiringan garis adalah positip,sehingga grafiknya
akan bergerak dari kiri bawah kekanan atas .Sedangkan rumus umum
fungsi penawaran adalah :
Q=aP+b atau
−aP=−Q+b−−−−→P=Q /a+b /a
Pada kasus-kasus tertentu seperti halnya pada fungsi perminaan,
kemiringan grafik fungsi penawaran adalah nol yaitu apabila terjadi pada
pasar persaingan sempurna dimana produsen dan konsumen tidak dapat
mempengaruhi harga . Di sini jumlah barang yang ditawarkan berubah-
ubah walaupu harganya tetap.Demikian pula pada kemiringan grafik
penawaran yang tidak tentu di mana jumlah barang yang ditawarkan
adalah sama walaupun harga barang yang bersangkutan berubah-ubah.
Untuk lebih jelasnya berikut ini diberikan contoh grafik dengan
berbagai kemiringan dari fungsi penawaran dimaksud yaitu :
a. kemiringan
penawaran positip
b. kemiringan
penawaran = nol
c. kemiringan
penawaran tak tidak
tentu
P = harga ; Q = jumlah barang yang ditawarkan
Untuk memberikan gambaran yang jelas , berikut ini diberikan
contoh pembentukan fugsi penawaran .
Contoh 15 : Sebuah perusahaan konveksi menjual salah satu produknya
sebanyak 500 unit dengan harga Rp 1000,- per unit, maka
jumlah barang yang ditawarkan naik menjadi 900
82
unit.Bagaimanakah fungsi penawarannya dan gambarlah
grafiknya !
Jawab :Kita membuat fungsi penawaran dengan menggunakan
persamaan garis yang melalui dua titik.
y− y1y 2− y1
=x−x1x2−x 1
,makaP−P1P2−P1
=Q−Q 1Q 2−Q 1
P1=Rp1.000,−¿ P2=Rp2.200,−¿
Q1=500unit Q2=900unit
p−1.0001.200−1.000 =
900−500¿
q−500¿
p−1.000200 = q−500
400
400 p – 400.000 = 200 Q – 100.000
400 P = 200 Q + 300.000
P = ½ Q + 750 atau
Q = 2 P – 1.500
Gambar grafiknya adalah :
Contoh 16 : perusahaan rokok “ nikmat “ menjual produknya dengan
harga Rp. 200,- per bungkus dengan volume penjualan
sebanyak 2.500 dos . setelah keadaan membaik perusahaan
menaikan harganya menjadi Rp.250,- per bungkus dengan
83
jumlah penawaranya sebanyak 3.000 dos. Bagaimana fungsi
penawaranya, kemudian buatlah grafik fungsinya !
Jawab : P 1 = Rp. 200,- P2 = Rp. 250,-
Q1 = 2.500 dos Q2 = 3.000 dos
P−P1P2−P1
= Q−Q1Q 2−Q 1
P−200
250−200 =
Q−2.5003.000−2.500
P−200
50 =
Q−2.500500
500 P – 100.000 = 50 Q – 125.000
500 P = 50 Q – 25.000
P = 0.1 Q – 50 atau
P = 10 P + 500
Gambar grafiknya adalah :
Pada kasus di atas menunujukan bahwa jumlah rokok yang di tawarkan
sampai dengan 500 dos di bagikan secara Cuma –Cuma ( harganya = 0 )
Pada kasus penawaran yang lain , di samping memotong pada sumbu
harga yang positip dan negatip , grafik fungsi penawaran juga dapat
memotong sumbu harga pada titik nol (origin).
Contoh 17 : suatu barang tidak akan di jual apabila harganya hanya Rp.
100 ,- barang tersebut akan dinaikan penjualanya sebanyak
100 unit apabila harganya naik sebesar Rp. 25,- bagaimana
persamaan fungsi penawaranya dan gambarlah grafiknya !
84
jawab : untuk menyelesaikan kasus di atas , kita menggunakan
rumus persamaan linier yang melalui titik potong sumbu
dengan sebuah kemiringanya .
kemiringan garis (m) = ∆ y∆ x
= ∆ P∆Q
P1 = Rp 100 , Q1 = 0
P2 = Rp 125 , Q2 = 100 unit
Maka : P = Rp 125 – Rp 100 = Rp 25,-
Q = 100 unit – 0 = 100 unit
Kemiringan (m) = ∆ p∆ p
= 25100
= 14
Titik potong sumbu harga pada ( 0, 100 ) --> b = 100
Y = mx + b atau
P = mQ + b
P = 1/4 Q + 100 atau Q = 4 p – 400
Gambar grafiknya adalah :
3. Keseimbangan Pasar ( Market Equilibrium )
Keseimbangan pasar ( market equilibrium ) merupakan suatu
keadaan pada suatu tingkat harga tertentu di mana jumlah barang yang
di minta ( Q 1) sama dengan jumlah barang yag di tawarkan ( Q s) . pada
cadaan ini tercipta suatu keseimbangan harga ( price equilibrium ) dan
keseimbangan jumlah ( quantity aquilibrium ) sehingga pada
keseimbangan pasar ini akan di peroleh harga dan jumlah yang sama baik
pada fungsi permintaan maupun pada fungsi penawaranya . oleh karena
itu keseimbangan pasar tercapai pada titik potong antara fungsi
permintaan dan fungsi penawaran atau pada saat permintaan sama
85
dengan penawaranya . hal ini di peroleh bila kedua persamaan tersebut di
selesaikan secara serenta ( simultan ) .
Keadaan keseimbangan pasar ini akan bermakna apabila harga dan
jumlah keseimbangan yang terjadi kedua positif atau nol . hal ini berarti
perpotongan kedua fungsi tersebut terletak pada kuadran pertama di
mana harga dan jumlah bernilai positif atau nol. sedangkan apabila salah
satu atau keduanya dari harga dan jumlah bersifat negative , maka
keseimbangan yang terjadi tidak mempunyai arti ( makna) .
Suatu keseimbangan pasar akan akan mempunyai makna arti
apabila titik potong fungsi permintaan dengan sumbu har ( bD)lebih
besar dari pada titik potong fungsi penawaran dengan sumbu harga ( bs) .
jadi keseimbangan pasar bermakna apabila bD > bs .
Untuk memperjelas keterangan di atas , berikut ini di berikan contoh
mengenai keseimbangan pasar di maksut ,yaitu :
Contoh 18 : fungsi permintaan suatu barang di formulasikan oleh
persamaan p = - 2Q + 28 , sedangkan fungsi penawaranya
adalah p = 1/2 Q + 8. bagaimanakah keseimbangan pasar yang
terjadi dan gambarkanlah grafik keseimbangan !
Jawab : fungsi permintaan ( Qd)
P = - 2Q + 28 --- > Q = -1/2 Q + 14
Fungsi penawaran( Qs)
P = 1/2 Q + 8 ---- > Q = 2P – 16
Keseimbangan pasar tercapai pada saat Qd = Qs
- 1/2 p + 14 = 2p – 16
- 2,5 p = - 30 --- > p = 12
Q = - 1/2 P + 14 -- > Q = - 1/2 . 12 + 14 -- > Q = 8
Sehingga keseimbangan pasar tercapai pada saat keseimbangan
harga ( pe = 12) dan keseimbangan jumlah ( Qe = 8 ) .
Gambar grafiknya adalah :
86
Contoh 19 : fungsi permintaan suatu barang ditunjukan oleh persamaan p
= -Q -7 , sedangkan penawaranya P = 2Q -10 . berapakah
harga dan jumlah keseimbanganya dan gambar grafiknya. !
Jawaab : F. permintaan (Qd) : P = -Q -7 --> Q = -P – 7
F. penawaran (Qs) : P = 2Q -10 --> Q = 1/2 P+5
Keseimbanganya pasar terjadi pada saat Qd = Qs
-P – 7 = 1/2 P + 5 --> - 1,5 P = 12 --> P = -8
P = -Q -7 --- > - 8 = -Q – 7 --- > Q = 1
Jadi keseimbngan harga = -8 dan keseimbangan jumlahnya =
1
Gambar grafiknya adalah :
Keseimbangan pasar yang tercapai pada contoh 16 di atas merupakan
keseimbangan pasar yang tidak bermakna , larena keseimbangan
harganya negatip ( = - 8)
87
4. Pajak dan Subsidi
a. Pajak
Pajak merupakan iuran wajib yng harus di bayar oleh wjib
pajar kepada pemerintah tanpa adanya balas jasa
( kontraprestasi ) secara langsung. Pajak yang di tarik oleh
pemerintah tersebut dapat bersifat pajak langsung yaitu pajak yang
di tarik secara langsung dari wajib pajak , maupun pajak tidak
langsung yang di tarik dari wajib pajak secara tidak langsung. Pajak
langsung antara lain adalah pajak penghasilan, pajak pesneoran ,
pajak kekayaan dan sebagainya .
Sedangkan pajak ti dak langsung antara lain adalah pajak
penjualan , pajak tontonan , pajak pertambahan nilai .
Pengenaan pajak tidak langsung atas sesuatu barang seperti
pajak penjualaan akan di kenakan pada wajib pajak , dalam hal ini di
kenakan pada wajib pajak , dalam hal ini di kenakan pada produsen
( penjual) . tetapi oleh penjual , beban pembayaran pajak ini akan di
alihkan sebagian pada konsumen yang membelinya dengan cara
menaikan harga barang yang di jual . oleh karena itu adanyaa pajak
penjualan ini maka keseimbangan harga barang yang bersangkutan
akan terpengaruh baik keseimbangan harga maupun keseimbangan
jumlahnya .
Dengan naiknya harga jual akibat adanya pajak penjualan ,
maka jumlah barang yang di minta akan berkurang ( menurun) dan
keseimbangan harganya akan naik .
Pajak penjualan tersebut di atas dapat di kenakan pada
produk atas dasar per unit dari jumlah barang yang terjual maupun
atas dasar persentase dari seluruh penerimaan penjualanya.untuk
lebih jelasnya , berikut ini akan di jelaskan satu persatu tentang
pengenaan pajak penjualan :
1). Pajak per unit
88
Pajak penjualan per unit ini di kenakan terhadap suatu barang
tertentu dalam jumlah uang yang tetap untuk setiap unit barang
tersebut yang di jual. Pajak ini kan langsungdi bebankan pada harga
jualnya dengan cara menambahkan pajak penjulan per unit pada
harga jualnya, sehingga harga jual barang tersebut akan naik .
misalkan pajak per unit yang di kenakan pada suatu barang adalah
t,maka harga barang tersebut akan naik sebesar t untuk setiap
unitnya .pajak ini akan di terima oleh pemerintah sebesar pajak per
unit di kalikan dengan jumlah barang yang di jual .apabila pengaruh
pajak ini kita perhitungkan dalam fungsi penawaran , maka akan
terlihat sebagai berikut :
Fungsi penawaran sebelum pajak : p = £ (Q) , maka fungsi
Penawaran setelah pajak menjadi : p = £ (Q) + atau
P – t = £ (Q)
Q = £ (P – t)
Di mana : p = variabel harga per unit
Q = variabel jumlah ( kuantitas )
t = tingkat pajak per unit
Dengan adanya pajak per unit ini , maka fungsi penawaran
akan begeser ke atas sejauh pajak per unit tersebut. Untuk
memperjelas keterangan di atas dapat di lihat pada grafik
perubahan fungsi penawaran karena adanya pajak per unit sebagai
berikut .
89
Pada grafik di atas terlihat pada bahwa harga penawaran
sebelum pada pajak pada tingkt kuantitas Q2 adalah sebesar P2 ,
sedangkan setelah adanya pajak per unit sebear t , maka pada
tingkat kuantitas Q2 tersebut harganya menjadi p3 ( = p2 + t) .
dengan adanya pajak per unit juga akan menggeser keseimbangan
pasar , yakni dari titik E (sebelum pajak ) menjadi E1 ( setelah
pajak )
Sudah di jelaskan di muka bahwa pengenaan pajak terhadap
produsen ( pajak penjualan ) pembebanya sebagian akan di alihkan
kepada konsumen dengan cara menaikan harga jual barang yang di
maksut, sehingga pajak tersebut akan di tanggung sebagian oleh
konsumen dan sebagian oleh produsen. ( penjual ) . besarnya beban
pajak yang di tanggung oleh konsumen (tk) untuk setiap barang
yang di beli adalah sebesar selisih antara keseimbangan harga
setelah pajak ( P1) dengan keseimbangan harga sebelum pajak ( PO).
Sedangkan besarnya pajak yang di tanggung oleh penjual ( tp) untuk
setiap unitny adalah sebesar selisih antara besar pajak yang di
kenakan per unit (t ) dengan bagian pajak yang di tanggung oleh
konsumen ( tk) .adapun pajak yang di terima pemerintah ( tg) adalah
Di mana :
t k=pajak yangditanggungoleh konsumen
t p=pajak yangditanggungoleh produsen
t=besarnya pajak per unit
P1=keseimbangan harga setelah pajak
P0=keseimbanganharga sebelum pajak
Sedangkan jumlah pajak yang ditanggung oleh produsen
ataupun konsumen adalah dikalikan dengan jumlah unit keseimbangan
setelah pajak.
Contoh 20 : Fungsi permintaan akan suatu barang diformulasikan
oleh persamaan
90
P=−Q+10, sedangkan penawarannya P=12Q+4. pajak
penjualan atau barang tersebut adalah Rp 3 per unitnya .
Ditanyakan :
a. Titik keseimbangan pasar sebelum pajak,
b. Titik keseimbangan pajak setelah pajak ,
c. Besarnya pajak yang ditanggung konsumen maupun
produsen ( penjual),
d. Besarnya pajak yang diterima oleh permintaan
e. Gambarlah grafiknya !
jawab : a. Titik keseimbangan pasar sebelum pajak .
F. permintaan (Qd ) :P=−Q+10−→Q=−P+10
F.permintaan: (Qs ):P=12Q+4−→Q=2P−¿
Keseimbangan pasar : Qd=Qs
−P+10=2P−8
−3 P=−18−−→P=6
Untuk P=6−−→Q=−P+10−−→Q=−b+10
Q =
4
Jadi titik keseimbangan pasar sebelum pajak adalah pada titik E
( 4 , 6 ).
b.Titik keseimbangan pasar setelah pajak
F. permintaan (Qd) : Q1 = - P1 + 10
F. penawaran (Qs) : P1 = 1/2 Q1 + 4 + 3
P1 = 1/2 Q1 + 7
Q1 = 2 P1 – 14
keseimbangan pasar padaQd=¿ Qs
- P1 +10 = 2 P1 - 14
-3 P1 = -24 P1 = 8
Q1 = - P1 + 10 Q1 = -8
jadi titik keseimbangan pasar setelah pajak adalah pada titik
91
E1 (2, 8)
c. Besarnya pajak yang ditanggung konsumen ( t k )
t k = ( P1 - P0 ). Q1 = ( 8 – 6 ) 2 = 4
Besarnya pajak yang ditanggung produsen ( tp ) adalah
t p = (t - t k ) Q1 = (t – ( p1 - po ) Q1
t p = (3 – (8 – 6 ) . 2 = 2
Besarnya pajak yang diterima pemerintah t g
t g = t . Q1 = 3 x 2 = 6
Gambar grafik adalah
3. Pajak persentase :
Disamping dikenakan terhadap setiap barang yang dihasilkan ( dijual )
pengenaan pajak juga dapat dikenakan dengan cara menentukan
sebesar persentase tertentu dari barang yang dijual . misalnya
besarnya pajak yang dikenakan pada suatu barang adalah sebesar r
persen ( r %) dari barang yang terjual maka harga barang yang dijual
akan naik sebesar r % maka harga barang jual akan naik sebesar
untuk setiap unit barang yang ditawarkan dijual apabila harga jual
sebelum pajak adalah sebesar P0
Sedangkan pajaknya adalah sebesar r% maka harga jual setelah pajak
P1 = Po (1 + r)
Pengaruh pajak persentase ini dapat dilihat pada perubahan
fungsi penawaran yang akan bergesert keatas sejauh r% untuk setiap
92
kuantitas yang ditawarkan dijual dalam bentuk fungsi penawaran
perubahan tersebut adalah
Fungsi penawaran sebelum pajak( Qs ) : P = F ( Q) sedangkan fungsi
penawaran setelah pajak adalah( Qs ¿
P1 = f(Q) ( r + 1 ) maka P1 = P (1 + r) sedangkan dalam bentuk
umum fungsi penawaran yang lain dimana harga sebagai peubah
bebasnya yaitu Q = F( P ) , maka funsi penawaran setelah pajak dapat
diperoleh sebagai berikut.
Fungsi penawaran sebelum pajak ( Qs ) : P F(Q)
Fungsi penawaran setelah pajak ( Qs ) : P1 = F(Q) (1 + r)
P1 = P ( 1 + r ) maka
P = P1
(1+r )
Bila dimasukkan dalam bentuk umum fungsi penawaran Q = F(P)
maka fungsi penawaran setelah pajak ( Qs ) adalah
Q = F (P) Q = F ( P1
1+r ) fungsi penawaran
Setelah pajak denganpajak sebesar r %
Sehingga jumlah penawaran setelah pajak per unit adalah
t = r . P = r . f(Q) = r . P1
1+r
dimana
P = variable harga per unit
Q = variabel kuantitas
R =jarak dalam paersentase
Pengaruh pajak persentase secara secara grafik dapat dilihat
pada grafik berikut ini
93
Dari grafik diatas terlihat bahwa harga penawaran sebelum pajak pada
kuantitas Q0 adalah sebesar p0
Sedangkan harga penawaran setelah pajak pada kuantitas Q0
tersebut adalah sebesar pr dimana : Pr = P0 + r P0 Pr
= P0 (1+r) keseimbangan pasar yang terjadi sebagai akibat adanya
pajak persentase ini juga bergeser dari E Q¿¿¿
, P0 ) menjadi titik
E1 ( Q1 , P1 ) untuk lebih jelasnya berikut ini diberikan contoh
sebagai berikut .
Contoh 21 : fungsi permintaan suatu barang ditunjukkan oleh
persamaan P = - Q + 14 sedangkan fungsi penawaran adalah P = 2Q
+ 5 apabila terhadap barang tersebut dikenakan pajak sebesar 20
ditanyakan
a. Titik keseimbangan pasar sebelum pajak
b. Titik keseimbangan pasar setelah pajak
c. Gambarlah grafik yang menunjukkan perubahan keseimbangan
pasar sebelum dan sesudah pajak
a. Titik keseimbangan pasar sebelum pajak : Qd = Qs
-Q + 14 = 2 Q + 5
3Q = - 9 Q =3
P = 2 Q + 5 P = 2. 3 + 5 P = 11
94
Jadi keseimbangan pasar sebelum pajak pada titik E ( 3, 11 ) , yakni
Qe = 3 dan Pe = 11
b. Titik keseimbangan pasar setelah pajak : Qd = Qs
Fungsi permintaan setelah pajak : P1 = -Q + 14
Fungsi penawaran sebelum pajak : P = 2Q + 5
Fungsi penawaran setelah pajak P1 = (2Q + 5 ) ( 1 + 0,2 )
P1 = ( 2Q + 5 ) (1,2)
P1 = 2,4 Q + 6
Keseimbangan pasar setelah pajak : Qd = Qs
- Q + 14 = 2,4 Q + ³
- 3,4 Q = - 8
Untuk Q1 = 2,35 P1 = 2,4 Q + 6
1=¿P ¿
2,4 x 2 ,35 + ³
P1 = 11,64
Jadi titik keseimbangan pasar setelah pajak adalah pada titik E1 (2,35 ,
11,64 ) atau Qe = 2,35 dan Pe = 11,64
Gambar grafiknya adalah sebagai berikut
B. Subsidi
Berbeda dengan pajak yang merupakan iuran wajib masyarakat
( produsen) terhadap pemerintah maka subsidi merupakanbantuan yang
diberikan oleh pemerintah kepada masyarakat dalam hal ini produsen
terhadap produk yang dihasilkan atau ditawarkan denagn adanya subsidi
95
(s) dari pemerintah hal ini maka harga jual barang yang bersangkutan
akan turun seingga jumlah barang yang diminta dibeli masyarakat akan
naik . subsidi ini biasanya diberikan untuk setiap unit barang yang dijual
sehingga dengan adanya subsidi harga jual per unitnya akan turun
sebesar subsidi tersebut . penurunan harga ini disebabkan karena
sebagian biaya produksi barang yang bersangkutan ditanggung oleh
pemerintah sebesar subsidi tersebut .
Dengan turunya harga jual tersebut mengakibatkan grafik fungsi
penawaran barang yang bersangkutan bergeser ke bawah sejauh
besarnya subsidi yang diberikan oleh pemerintah .
Sedangkan grafik fungsi pemerintahan tidak terpengaruh sedangkan
grafik fungsi pemerintahan tidak terpengaruh adanya subsidi ini apabila
fungsi penawaran ditanyakan dengan P = f(Q) maka fungsi penawaran
setelah subsidi sebesar (s) adalah P1 = f(Q) – s . namun apabila fungsi
penawaranya ditanyakan dengan bentuk Q = f(P), maka fungsi penawaran
setelah subsidi adalah :
P : f(Q) Funsi penawaran sebelum subsidi
P1 = f(Q) – s fungsi penawaran setelah subsidi atau
F(Q) = P1 + s , sehingga Q = f (P + S) fungsi penawaran subsidi
Dengan demikian keseimbangan pasar setelah subsidipun akan
Yang diberikan pemerintah dengan bagian subsidi yang dinikmati oleh konsumen ( sk )
Sehinga : sk = p0 - p1
96
s p = s - sk atau s p = s – ( p0 - p1 )
Dimana : sk = subsidi yang dinikmati konsumen
s p = subsidi yang dimiliki oleh konsumen
p0 = keseimbangan harga sebelum subsidi
p1 = keseimbangan harga setelah subsidi
S = subsidi per unit yang diberikan pemerintah .
Sedangkan total subsidi yang dimiliki oleh konsumen atau produsen
adalah sebesar kuantitas keseimbangan setelah subsidi ( Q1 ) dikalikan
oleh subsidi per unit yang dinikmati konsumen ( sk )
Atau produsen ( s p ) .
Untuk memberikan gambaran jelas , berikut ini di berikan
contoh pengaruh subsidi terhadap keseimbangan pasar contoh 22 :
diketahui fungsi permintaan suatu barang adalah
P = -1/2 Q + 24 sedangkan fungsi penawarannya adalah P = 2
Q + 9 . Apabila terhadap barang ini diberi subsidi sebesar Rp 5 per
unit , maka tanyakan :
a. Titik keseimbangan pasar sebelum dan setelah subsidi.
b. Besarnya subsidi yang diberikan pemerintah.
c. Besarnya subsidi yang dinikmati oleh konsumen dan produsen.
d. Gambarlah grafik fungsi permintaan dan penawaran sebelum dan
sesudah subsidi
jawab : a. titik keseimbangan pasar sebelum subsidi.
Fungsi permintaan Qd : P = -1/2 Q + 24
Fungsi penawaran Qs : P = 2 Q + 9
Keseimbangan pasar : Qd = Qs
-1/2 Q + 24 = 2 Q + 9
-2,5 = -15
Q = 6
Untuk Q = 6 ---> P = -1/2 Q + 24
P = -1/2 . 6 + 24
P = 21
Jadi titik keseimbangan sebelum subsidi ( 6 , 21 )
97
b. titik keseimbangan pasar setelah subsidi :
Fungsi permintaan : Qd ‘ : P1 = -1/2 Q1 + 24
Fungsi penawaran : Qs ’ : P1 = 2 Q1 + 9 - 5
P1 = 2 Q1 + 4
Keseimbangan pasar : Qd ’ = Qs ’
-1/2 Q1 + 24 = 2 Q1 + 4
-2,5 Q = - 20
Q = 8
Untuk Q = 8 ---> P = -1/2 Q + 24
P = - 1/2 . 8 + 24 --> P = 20
Jadi titik keseimbangan setelah subsidi adalah E1 ( 8 , 20 ) .
c. Besarnya subsidi yang diberikan pemerintah ( sg ) adalah = 8
unit x Rp 5 = Rp 40 ,-
d. Besarnya subsidi per unit yang dinikmati konsumen ( sk ) = ( Rp
21 – Rp 20 ) = Rp 1 .
sehingga totalnya = 20 unit x Rp 1 = Rp 20 ,-
Besarnya subsidi per unit yang dinikmati produsen ( s p ) = ( Rp
5 – Rp 1 ) = Rp 32,-
98
e. Grafik fungsi permintaan sebelum dan sesudah subsidi adalah
sebagai :
5. Keseimbangan Pasar untuk dua barang
Dalam kenyataan sehari – hari banyak sekali permintaan barang
yang tidak hanya dipengruhi oleh tingkat harga barang tersebut aja ,
melainkan juga dipengaruhi oleh faktor – faktor yang lain . hubungan
pengaruh tersebut terjadi apabila kedua barang tersebut mempunyai
hubungan penggunaan tersebut maka harga suatu barang tidak hanya
dipengaruhi oleh harga barang yang lain , misalnya harga Barang
pengganti ( yang memiliki hubungan substitusi ) atau harga barang yang
saling melengkapi ( sebagai hubungan komplementer ) .
Seandainya kita mempunyai dua macam barang X dan Y yang saling
memiliki hubungan penggunaan yakni permintaan masing – masing
barang dipengaruhi oleh harga barang lainnya,maka fungsi permintaan
dari masing – masing barang tersebut adalah :
Qdx = f ( Px , py ) ---> fungsi permintaan X merupakan fungsi dari
harga barang X dan harga barang Y ( jumlah permintaan barang X
dipengaruhi oleh harga barang X dan harga barang Y)
99
Qdy = f ( Px , P y ) ---> fungsi permintaan barang Y dipengaruhi oleh
harga barang X dan harga barang Y .
Di mana :
Qdx = fungsi permintaan barang X
Qdy = fungsi permintaan barang Y
Px = harga barang X
P y = harga barang Y
Keseimbangan pasar yang tercapai dari dua persamaan
permintaan barang X dan barang Y di atas yaitu dengan menyelesaikan
kedua persamaan tersebut secara serentak (simulta ) dengan masing –
masing fungsi penawaran dari kedua barang tersebut . sehingga
keseimbangan pasar akan terjadi pada saat Qdx = Qsx dan Qdy =
Qsy .
Untuk memberikan gambaran jelas , berikut ini diberikan
contoh keseimbangan pasar untuk dua macam barang :
Contoh 23 : Apabila diketahui fungsi permintaan barang X adalah Qdx =
- 2 Px + 3 P y + 4 dan fungsi penawaran Qsx = 4 Px - 8 .
Sedangkan fungsi permintaan barang Y adalah Qdy = 5 Px - 3 Py +
16dan fungsi penawarannya Qsy + 5 Py + 4 . berapakah
keseimbangan pasar yang terjadi untuk masing – masing barang
tersebut ?
Jawab : Keseimbangan pasar barang X tercapai pada saat fungsi
permintaan barang X = fungsi penawaran barang X atau Qdx = Qsx
-2 Px + 3 Py + = 4 Px – 8
-6 Px + 3 Py = - 12 ………… ( 1 )
Keseimbangan pasar barang Y tercapai pada saat fungsi permintaan
barang Y = fungsi penawaran barang Y atau Qdy = Qsy .
5 Px - 3 Py + 4 = 4 Py + 4
5 Px - 8 Py = -12 …………. ( 2 )
Mencari : Px ; Py ; Qx ; Q y .
Dari ( 1 ) dan ( 2 ) :
-6 Px + 3 Py = -12 l x5 l -30 Px + 15 P y = - 60
100
5 Px - 8 P y = -12 l x6 l 30 P x−48P y=−72
−33 Py=−132P y=4
Dari ( 1 ) : - 6 Px + 3 Py = -12
-6 Px + 3 ( 4 ) = -12
-6 Px = -24 ---------> Px = 4
Dengan perhitungan di atas , maka dapat diperoleh jumlah kesimbangan
barang X dan barang Y dengan memasukan harga keseimbangan barang
X ( Px ) dan Y ( P y ) ke dalam persamaan – persamaan yang
bersesuaian yaitu untuk jumlah barang X :
Qdx = -2 Py + 3 P y + 4
= -2 ( 4 ) + 3 ( 4 ) + 4
Qdx = 8 ------------------------> Qx = 8
Untuk jumlah keseimbangan barang Y :
Qdy = 5 P y - 3 Py + 16
= 5 (4) – 3 ( 4 )
Qdy = 24 ---------------------> Q y = 24
Dari perhitungan di atas diperoleh :
Harga keseimbangan barang X ( Px ) = 4
Harga keseimbangan barang Y ( Py ) = 4
Jumlah keseimbangan barang X ( Qx ) = 8
Jumlah keseimbangan barang Y ( Q y ) = 24
6. Analisis biaya , volume dan laba
Dalam operasi perusahaan , biaya yang dikelurkan
dikelompokkan dalam dua kategori yaitu biaya tetap ( fixed cost = FC )
dan biaya variabel ( variabel cost = VC ) . Biaya tetap selalu tetap
jumlahnya untuk seluruh jumlsh barang yang dihasilkan . Biaya tetap ini
tidak tergantung pada perubahan volume penjualan ( jumlah barang yang
dihasilkan ) . termasuk biaya tetap misalnya biaya sewa , biaya
penyusuan , biaya bunga , gaji pimpinan dan sebagainya . Apabila di
gambar dala suatu grafik , biaya tetap berbentuk garis lurusyang sejajar
dengan sumbu jumlah . biaya tetap ini akan tetap dikeluarkan walaupun
101
tidak ada barang yang di produksi . notasi biaya tetap diberi simbol k.
Sedangkan biaya variabel adalah biaya yang berubah ubah sesuai dengan
perubahan volume ( jumlah ) barang yang dihasikan akan di produksi .
oleh karna itu biya variabel merupakan fungsi dari kuantitas yang
diproduksi f(Q).yang termasuk biaya variabel misalnya biaya bahan baku ,
biaya tenaga kerja langsug dan biaya overead pabrik variabel . apabila
biaya variabel ini di gambar dalam suatu grafik , maka berupa garis lurus
yang memiiki kemiringan positif , berferak dari titik nol ( origin ) kekanan
atas . karana dimulai dari titik nol berate bahwa perusahaan tidak
berproduksi mak tidak dikeluarkan biaya variabel dan semakin banyak
brang yang diproduksi , maka biaya variabel semakin besar. Adapun biaya
total ( total cost = TC ) adalalah jumlah dari biaya tetap dan biaya
variabel atas jumlah barang yang di produksi atau di hasilkan . dengan
demikian biaya total ( TC ) = FC + VC = k + f ( Q )
Penghasilan total (total revenue = TR ) dari suatu perusahaan
merupak hasil kali antara jumlah barang yang di hasilkan atau di jual
dengan harga jual perunit tersebut ( TR = P x Q ) . oleh karna itu semakin
banyak barang yang di jual , maka semakin besar penghasilan yang
diperolehnya .
Laba atau rugi merupan selisih antara total penghasilan yang
diperoleh dengan toral biaya yang dikeluarkan oleh perusahan .
perusahan akan memperoleh laba apabila penghasilan total lebih kecil
dari pada biaya totalnya . namun apabila penghasilan total yang di
peroleh ( TR ) sama dengan biaya total ( TC ) yang dikeluarkan , maka
perusahaan tidak akan mendapat kan laba dan tidak menderita kerugian ,
perusaan dalam keadaan titik pulang pokok ( break even point ) . dengan
demikian break even point ( BEP ) tercapai pada saat TR = TC . dari uraian
tersebut di atas , kita kenal suatu teknik analisis break even yaitu suatu
teknik analisis untuk mempelajari hubungan antara biaya tetap biayar
variabel volume kegiatan untuk keuntungan analisis break even ini juga
sering di sebut sebagai cost provit volume analisis untuk memberikan
gambaran yang jelas mengenai konsep biaya tetap biaya variabel total
102
biaya total penghasilan labaseta rugi maka dapat di lihat dalam bentuk
grafik berikut ini :
Biaya penghasilan
( TR , TC )
Dimana :
TR = total revenue = total penghasilan
TC = total cost = total biaya
VC = variable cost = biaya variabel
FC = fixwd cost = biaya tetap
BEP = break even point = titik pulang pokok
Asumsi – asumsi analisis break even antara lain adalah :
- Biaya di dalam perusahaan dapat digolongkan dalam biaya tetap
dan biaya variabel .
- Biaya variabel secara total berubah sebanding dengan volume
penjualan /produksi atau biaya variabel perunit tetap .
- Biaya tetap secara total adalah tetap meskipun ada perubahan
volume penjualan /produksi . hal ini berarti biaya tetap per unit
berubah ubah karena adanya perubahan volume penjualan
/produksi .
- Harga jual per unit tidak berubah selama periode yang di analisa .
103
- Perusahaan hanya memproduksi satu jenis barang .
- Apabila perusahaan memproduksi lebih dari satu jenis barang ,
maka perimbangan penghasilan penjualan antara masing – masing
barang harus selalu tetap .
Dari asumsi – asumsi tersebut di atasmaka break even point
akan berubah apabila variabel -variabelnya mengalami perubahan ,
misalnya :
- Adanya perubahan harga jual
- Adanya perubahan biaya , baik biaya tetap dan atau biaya
variabelnya
Berikut ini akan diberikan contoh penghitungannya , sehingga
memberikan gambaran yang jelas :
Contoh 24 : suatu perusahaan bekerja dengan biaya tetap ( fixed cost )
sebesar Rp 400.000,- per tahun . biaya variabel per unit
adalah Rp 60 ,-, sedangkan harga jual per unit Rp 100,- .
kapasitas normal perusahaan sebesar 15.000 unit .
Di tanyakan :
a. Berapakah total produksinya pada saat posisi titik pulang pokok
( BEP ) ?
b. Apabila harga naik menjadi Rp 160 per unit , berapakah BEP nya ?
c. Apabila biaya tetap naik sebesar Rp 200.000,- dan biaya variabel
per unit turun menjadi Rp 50 ,-, berapakah BEP nya ?
d. Apabila biaya tetap naik sebesar 5000 unit , berapakah laba atau
rugi perusahaan ?
e. Gambarlah grafiknya untuk perubahan (b) dan (c) dalam satu
grafik .
jawab :
a. Biaya variabel ( VC ) = 60 Q total biaya ( TC ) = FC + VC = 400.000
+ 60 Q total penghasilan ( TR ) = P x Q = 100 Q BEP pada saat TR =
TC 100 Q 400.000 + 60 Q 40 Q = 400.000 --------> Q = 10.000 Unit .
atau = 10.000 x Rp 100 = Rp 1.000.000,-
104
b. Harga naik menjadi Rp 160 , - per unit , maka total penghasilan
menjadi TR’ = 160 Q1 . BEP : TR’ = TC’ 160 Q1 = 400.000 + 60
Q1 100 Q1 = 400.000 --------> Q = 4.000 unit . atau = 4.00 x Rp
160 ,- = Rp 640.000,-
c. Biaya tetap menjadi = Rp 400.000 + Rp 200.000 = Rp 600.000,-
biaya variabel menjadi Rp 50 ,- ----> TR mula – mula BEP -----> bila
TR = TC 100 Q = 600.000 + 50 Q 50 Q = 600.000 ------> Q = 12.000
Unit . atau = 12.000 x Rp 100 = Rp 1.200.000 ,-
d. Apabila di produksi 5.000 unit . Q = 5.000 x Rp 100 ,- = Rp
500.000,-‘ TC = 400.000 + (5000 x 60 ) = Rp 700.000,- rugi = Rp
200.000,-
e. Gambar grafik untuk perubahan ( b ) dan ( c ) adalah sebagai
berikut :
7. Optimalisasi
Apabila suatu perusahaan menghasilkan lebih dari satu
jenis produk , maka akan timbul masalah tentang berapa jumlah
105
dari masing – masing jenis produk tersebut yang harus diprokdusi
/dihasilkan agar memperoleh laba yang optimal . dengan kata lin
timbul masalah berapa kombinasi produk yang harus diproduksi
Agar mendapatkan hasil yang maksimal . kombinasi produksi
tersebut dimaksudkan sebagai jumlah masing – masing jenis produk
yang diproduksi oleh perusahaan apabila perusahaan memproduksi
lebih dari satu jenis produksi.
Untuk memecahkan permasalahan di atas , maka perlu di
cari berapa perbandingan ( kombinasi ) jumlah antara produk yang
satu dengan produk yang lain agar mencapai keuntungan
maksimal . untuk menentukan kombinasi yang optimal dapat
digunakan metode linear programming . linear programming
merupakan salah satu cara atau metode untuk menentukan
kombinasi produksi yang paling optimal . optimal disini meliputi
maksimisasi laba ( profit ) dan minisasi biaya .
Dalam metode linier programming dikenal 2 ( dua ) macam
fungsi , yaitu fungsi tujuan ( objective function ) sebagai fungsi yang
digunakan unutuk memperoleh titik maksimum atau minimum dan
fungsi batasan ( constraint function) sebagai fungsi yang membatasi
tercapainya tujuan yang dimaksud .
Fungsi tujuan merupakaN fungsi yang menggambarkan
tujuan dan sasaran dari permasalahan linier programming yang
berkaitan dengan pengaturan secxara optimal dari pada sumber
daya yang ada untuk memperoleh keuntungan maksimal atau biaya
minimal . fungsi tujuan ini biasah nya ditanyakan dengan simbol z
.sedangkan fungsi batasan adalah merupakan bentuk penyajian
secara matematis dari batasan – batasan faktor – faktor produksi
yang tersedia yang akan dialokasikan secara opitimal dalam
kegiatan produksi yang dimaksud antara lain adalah :
- Faktor kapasitas mesin
- Faktor bahan baku
- Faktor modal ( uang yang tersedia )
Disamping itu juga adanya batasan faktor permintaan faktor.
106
Untuk menentukan jumlah produksi yang akan memberikan
laba optimal , dalam linier programming dikenal dua metode , yaitu
metode grafik dan metode simplek . namun dalam buku ini hanya
akan dibahas metode grafik saja . sedangkan metode simplek dapat
dibaca dan dipelajari pada buku – buku yang membahas linier
programming lebih luas dan mendalam .
Langkah – langkah untuk menyelesaikan masalah linier
programming dengan menggunakan metode grafik adalah sebagai
berikut :
- Susunlah permasalahan yang ada , baik mengenain tujuan maupun
batasan – batansan nya ke dalam suatu bentuk persamaan linier .
- Gambarelah masing – masing fungsi batasan yang ada kedalam
satu sistem sumbu silang , kemudian tentukanlah daearah yang
memenuhi semua batasan – batasan tersebut yang disebut sebagai
daerah fisibel ( feasible area ) .
- Carilah titik yang paling menguntungkan ( optimal ) yang terletak
pada daerah fisibel.
Untuk mencari titik yang paling menguntungkan ( optimal )
dapat dilakukan dengan dua cara yaitu dengan menggambarkan
fungsi tujuan ( disebut dengan cara coba – coba ) dan dengan cara
membandingkan nilai – nilai dari fungsi tujuan ( z ) pada berbagai
titik – titik alternatip yang terdapat dalam daerah fisibel .
Untuk memberikan gambaran yang jelas , berikut ini
diberikan contoh penyelesaian , sebagai berikut :
Contoh 25 : suatu perusahaan memproduksi dua macam barang X
dan Y dengan dua batasan permintaan . batasan faktor
produksinya adalah : batasan bahan bakuy : 5x + 4y =
1.000 batasan kapasitas mesin : 8x + 20 y = 4.000
sedangkan permintaan barang X adalah = 180 dan
permintaan barang Y = 200 . diketahui harga per unit
107
barang x sebesar Rp 20.000 dan harga barang Y =
sebesar Rp10.000,- . dari data di atas diminta :
a. Gambarlah grafik yang menentukan daerah fisibelnya.
b. Hitunglah kombinasi produk yang memberikan laba
maksimal dan berapakah laba maksimal tersebut.
Jawab : fungsi tujuan ( z ) : sumbangan laba barang x = = Rp
20.000 – Rp 8.000 = Rp 12.000,- . dan sumbangan
laba barang Y = Rp 30.000 – Rp 10.000,- = Rp 20.000,- .
sehingga fungsi tujuan : maksimumkan : z = 12.000 x
20.000 y. batasan batasannya :
1) 5x + 4y = 1.000
2) 8x + 20y = 4.000
3) X = 180
4) Y = 200
Batasan – batasan dari faktor – faktor produksi dianggap
digunakan semua ( full capacity ) dalam proses produksi ,
sehingga batasan – batasan tersebut diubah menjadi
bentuk persamaan , yaitu :
1) 5x + 4y = 1.000
2) 8x + 20y = 4.000
3) X = 180
4) Y = 200
a. Gambar grafik adalah :
108
b. Kombinasi produk yang menghasilkan laba maksimal
adalah :
Altenatip 1 : titik A : x = 0 dan y = 200
Laba ( z ) = 12.000 x + 20.000 y
z = 12.000 ( 0 ) + 20.000 ( 200 )
z = 4.000.000
alternative 2 : titik B : 5x + 4y = 1.000
8x + 20y = 4.000
-----------------------
25x + 20y = 5.000
8x + 20y = 4.000
-----------------------
17x = 1.000
X = 58,82
X = 58 ( dibulatkan )
Untuk x = 58
5x + 4y = 1.000 ----> 5 ( 58 ) + 4 y = 1.000
290 + 4 y = 1.000
4y = 710 ----> y = 180
Laba ( z ) = 12.000 x + 20.000 y
Z = 12.000 ( 58 ) + 20.000 ( 180 )
109
Z = 696 .000 + 360.000
Z = 4.296.000
Alternatip 3 : tittik c : 5x + 4 y = 1.000
X = 180
5x + 4y = 1.000 ----> 5 ( 180 ) + 4y = 1.000
4y = 1.000 – 900 ----> 4y = 100 ----> yy = 25
Laba ( z ) = 12.000 x + 20.000y
Z = 12.000 ( 180 ) + 20.000 ( 0 )
Z = 2.160.000,-.
Dari perhitungan di atasternyhata kombinasi produk
yang memberikan sumbangan laba maksial adalah
apabila perusahaan memproduksi barang x sebanyak 58
unit dan barang y sebanyak 180 unit dengan laba yang
diperoleh sebesar Rp 4.296.000,.
Untuk memperdalam masala optimasi ini , para pembaca dianjurkan
membaca buku-buku mengenai linear programming dan atau manajemen
produksi .
8. Fungsi komsumsi , tabungan dan pendapatan nasional
Menurut jonh maynard keynes seorang ahli ekonomi dari inggir
bahwa dalam ekonomi makro pengeluaran seseorang yang digunkan
untuk komsumsi dipengaruhi oleh tingkat pendapatannya . konsumsi akan
semakim tinggi apabuila tingkat pendapatannya semakin besar . demikian
pula pengeluaran untuk tabungan . tabungan akan semakin tinggi apabila
pendapatan nya semakin besar . tabungan disini merupakan pendapatan
yang tidak dikomsumsikan . oleh karena itu pendapatan akan dikeluarkan
dalam dua kategori yaitu pengeluaran untuk komsumsi dan pengeluaran
untuk tabungan .
Dalam ekonomi makro juga berlaku bahwa pengeluaran dalam
suatu perekonomian negara dapat dibagi atas pengeluaran untuk
tabungan . secara matematis , hubungan fungsional antara komsumsi ,
tabungan dan pendapatan adakah : Y = C + S dimana Y sebagai
110
pendapatn / pendapatan nasional , C sebagai pengeluaran untuk
komsumsi dan S adalah pengeluaran untuk tabungan .
Besar kecil konsumsi dan tabungan tergantung dari hasrat untuk
komsumsi (propesity to consume = PTC )dan hasrat untuk menabung
(propensity to save = PTS). Selain itu juga tergantung pada besar kecilnya
pendapat . apabila pendapatan bertambah besar ∆ Y , maka konsumsi
akan bertambah besar ∆ C dan juga tabungan akan bertambah besar
∆ S . rasio pertambahan konsumsi ( ∆ C) dibanding dengan
pertambahan pendapatan ( ∆ Y) disebut hasrat konsumsi marjinal
(marginal propensity to consume = MFC ) . sedangkan rasio pertambahan
tabungan ( ∆ S ) dibanding dengan pertambahan pendapat( ∆ Y )
disebut hasrat menabung marjinal (marginal propensity to save = MPS).
Sehingga dari keterangan diatas diperoleh :
MPC = ∆C∆Y
dan MPS = ∆S∆Y
Apabila pendapat bertambah sebesar ∆Y , maka konsumsi
bertambah sebesar ∆C dan tabungan bertambah sebesar ∆ S
sehingga ∆Y=∆C+∆S . apabila ruas kiri dan kanan dibagi dengan ∆Y
,maka diperoleh :
∆Y∆Y
= ∆C∆Y
+ ∆S∆Y
1 = ∆C∆Y
+ ∆C∆Y
+ ∆S∆Y
--- ∆C∆Y
= MPC : dan ∆S∆Y
= MPS
Sehingga : 1 = MPC + MPS atau
MPC = 1 – MPS dan MPS = 1 – MPC
Pada kenyataanya , saat pendapatan sama dengan nol masyarakat tetap
mengeluarkan konsumsi yaitu sebesar ( a ) . sedangkan tabungannya
sebesar ( -a) karena tabungan sama dengan pendapatan dikurangi
konsumsi . jadi apabila pendapatanya = 0 , konsumsi sebesar ( a ) , maka
tabungan = (-a) . di dalam penggambaran grafik , besarnya ( a ) dan (-a)
ini merupakan titik potong sumbu tegak (sumbu konsumsi dan
tabungan ). Dari penjelasan di atas , maka fungsi konsumsi dan tabungan
dapat ditulis sebagai berikut:
Y = C + S
111
C = a + b Y
S = Y – C --> S = Y – a – b Y
S = - a + ( 1 – b ) Y
Dimana :
Y = pendapatan
C = pengeluaran untuk konsumsi
S = pengeluaran untuk tabungan
a = besarnya konsumsi pada saat pendapatan = nol
b = MPC = besarnya tabungan pada saat pendapatannya nol
adanya tambahan pendapatan.
-a = besarnya tabungan pada saat pendapatannya nol 1 – b = MPS
Secara grafis, fungsi konsumsi , tabungan dan pendapatan dapat
dilihat pada grafik berikut ini :
Keterangan :
Garis bantu Y = C + S , merupakan garis impas yang membentuk sudut
45 ° dimana pada garis ini menunjukan bahwa pendapatan tempat
sama dengan konsumsi + tabungan .
E Merupakan titik equilibrium ( keseimbangan ) yaitu titik perpotongan
antara garis impas dengan garis konsumsi. Pada titik E ini semua
pendapatan habis dikonsumsikan yang berarti tabungannya sama dengan
nol ( ditunjukkan oleh titik Y E pada sumbu pendapatan dimana S = 0 )
E dan (-a) = titik potong garis konsumsi / tabungan dengan sumbu
konsumsi /tabungan dimana pendapatan = nol .
112
Untuk memberikan gambaran yang jelas berikut diberikan contoh
perhitungannya:
Contoh 26 : Pola konsumsi dari suatu masyarakat adalah pada
pendapatan Rp. 280 juta , konsumsi yang dikeluarkan sebesar
Rp. 220 juta . sedangkan pada pendapatan Rp. 200 juta
konsumsinya menurun menjadi Rp. 180 juta . Ditanyakan :
a. Bagaimana fungsi konsumsi dan tabunganya
b. Berapakah pendapatan pada keadaan equilibrium ?
c. Gambarkan grafiknya !
Jawab : a. Diketahui Y 1=280 juta ,makaC1=220 juta
Y 2=200 juta ,makaC1=180 juta
Y−Y 1
Y 2−Y 1
=C−C1
C2−C1
Y−280
200−280=
C−220180−220
=Y−280−80
=C−220−40
−40Y +11.200=−80C+17.600
−40Y=−80C+6.400
Y=2C−160
C=12Y+80 (F .konsumsi )
Fungsi tabungannya :
S=Y−C
S=Y−12Y−80
S=12Y−80(F . tabungan)
b. Pendapatan dalam keadaan equilibrium adalah
pada saat Y=C
Y=12Y +80
12Y=80
Y=160
113
Sehingga pendapatan pada saat equilibrium adalah 160 juta
c. Gambar grafiknya adalah sebagai berikut :
Contoh 26 : Pada saat pendapatann seseorang = nol , biaya yang
dikeluarkan untuk konsumsi per bulan sebesar Rp. 60.000,-
Sedangkan pada saat pendapatanya Rp. 150.000,- per bulan
tabungannya mencapai Rp. 30.000,-. Berapakah
pendapatannya ketika tabungan per bulannya mencapai Rp.
40.000,-?
Jawab : Fungsi konsumsi : C = By
Pada saat Y = 0 ----> C = Rp. 60.000,-
Maka a = 60.000
Pada saat Y = 150.000 ----> S = 30.000
S = Y – C Berarti C = 150.000 – 30.000 = 120.000
Padahal C = a + b Y
120.000 = 60.000 + 150.000 b
b = 0,4
Sehingga persamaan fungsi konsumsinya adalah
C + a + by
C = 60.000 + 0,4 Y
Dan fungsi tabungannya :
S = Y – C
S = Y – 60.000 – 0,4 Y
S = 0,6 Y – 60.000
Pada saat tabungannya mencapai Rp. 40.000/bulan
114
S = 0,6 Y – 60.000
40.000 = 0,6 Y – 60.000
0,6 Y = 100.000
Y = 166.666,67
Jadi tabungan per bulan sebesar Rp. 40.000,- apabila pendapatannya
Rp. 166.666,67
115
BAB VI
FUNGSI NON LINIER
Untuk menggambar grafik fungsi non linierm dilakukan dengan
menentukan titik-titik yang memenuhi persamaan atau ditentukan dulu
kaidah-kaidah untuk membuat garafik fungsi non linier . kaidah- kaidah
tersebut antara lain adalah :
a. Titik potong
Titik potong grafik yang dimaksud adalah titik perpotongan antara
grafik fungsi non linier dan garis sumbu. Titik potong dengan x
diperolah dengan memberi nilai y sama dengan nol dalam persamaan
untuk kemudian mencari nilai x yang dimaksud. Sedangkan titik
potong dengan sumbu y diperoleh deengan memberi nilai x sama
dengan nol ke dalam persamaan , kemudian mencari nilai y yang
dimaksud .
Dengan membuat titik-titik potong sumbu ini maka grafik fungsi yang
dimaksud dapat digambar
b. Simetris
Fungsi yang simetris terhadap sumbu x dan sumbu y tentu akan
simetris dengan titik original (nol). Tetapi grafik yang simetris terhadap
titik origin belum tentu simetris terhadap sumbu x dan y.
c. Batas nilai
Untuk menggambar grafik suatu fungsi harus dilihat tentang batas-
batas nilai dari variabel-variabel yang ada pada persamaannya. Grafik
yang akan digambar harus mempunyai batas bilangan rill. Sehingga
apabila dalam suatu titik ( x,y ), maka nilai-nilai dari x dan y harus
bilangan rill. Sedangkan bila salah satu titik nilainya adalah tidak rill
116
(imajiner) , maka titik ini tidak digunakan dalam penggambaran grafik
yang dimaksud.
d. Asimtot
Asimtot adalah suatu garis lurus yang didekati oleh grafik dengan
jarak yang semakin dekat dengan nol, tetapi tidak sampai saling
berpotongan di antara mereka. Garis asimtot yang biasanya digunakan
adalah asimtot yang sejajar dengan sumbu x yang disebut asimtot
datar (asimtot horisontal) dan asimtot sejajar dengan sumbu y,
disebut asimtot tegak (asimtot vertikal). Untuk asimtot datar sejajar
dengan sumbu x, diberi notasi y = k, untuk grafik y = f(x) dimana y
mendekati bilangan tak berhingga ( y−→ ) . Asimtot ini sering
digunakan apabila grafiknya berbentuk hiperbola.
e. Faktorisasi
Faktorisasi ini dimaksudkan untuk mencari akar-akar persamaan yang
terdiri dari dua faktor atau lebih. Sehingga dengan mengadakan
faktorisasi , maka persamaan yang terdiri dari dua faktor atau lebih
dapat lebih mudah digambar grafiknya. Misalnya suatu persamaan
x2+2 xy−3 y2
=0
Maka apabila akan dibuat grafiknya kita harus memfaktorkan
persamaan tersebut,yaitu:
x2+2 xy−3 y2
=0
x2+3 xy−xy−3 y2
=0
x ( x+3 y )− y ( x+ y )=0
maka : (x− y ) ( x+3 y )=0
Sehingga grafik dari persamaan x2+2 xy−3 y2
=0 adalah terdiri dari
dua buah garis lurus dengan persamaan garis x – y = 0 dan x + 3y = 0
Dengan membuat kaidah-kaidah yang telah dijelaskan di atas , maka
grafik dari persamaan yang dimaksud dapat dibuat dengan mudah.
117
Di dalam buku ini hanya akan dibahas mengenai fungsi non linier yang
sering digunakan dalam analisa bidang ekonomi yaitu meliputi fungsi
kuadrat, fungsi pecah dan fungsi kubik atau fungsi pangkat tiga
beserta penerapannya di dalam kasus ekonomi.
A. FUNGSI KUADRAT
Fungsi kuadrat adalah suatu fungsi non linier yang peubah
(variabel) bebasnya paling tinggi berpangkat 2 (dua). Bentuk grafik
fungsi kuadrat dapat berbentuk parabola, hiperbola, lingkaran, elips
atau bentuk yang lain. Berikut ini hanya akan dibahas fungsi kuadrat
yang berbentuk parabola.
Parabola merupakan tempat kedudukan titik-titik pada suatu
bidang datar yang jaraknya ke suatu titik dan garis tertentu adalah
sama . Titik-titik tersebut disebut sebagai fokus dan garisnya disebut
sbagai directrix. Suatu parabola memiliki sumbu simetri yang
membagi parabola tersebut sama besar. Titik perpotongan antara
sumbu simetris dan parabola yang bersangkutan disebut vartex.
1. Bentuk y=f ( x )=ax2+bx+c
Atau
2. Bentuk x=f ( y )=ay2+by+c
Dimana : y = variabel terikat pada persamaan bentuk pertama dan
sebagai variabel bebas pada persamaan kedua.
X = variabel bebas pada persamaan bentuk pertama dan
sebagai variabel terikat pada bentuk persamaan kedua.
a,b dan c sebagai konstanta
Untuk menggambar grafik persamaan parabola dapat dilakukan dengan
dua cara, yakni :
1. Dengan cara tabel
2. Dengannya cara menyelesaikan ciri-ciri (kaidah) matematis.
Contoh 1 : Gambarlah persamaan parabola y=x2−7 x+12
Jawab : a. Dengan cara tabel
118
y=x2−7 x+12
x 0 1 2 3 3 ½ 4 5 6y 12 6 2 0 -¼ 0 2 6
Setelah dicari nilai-nilai dari variabel x dan y, maka grafik parabola
tersebut dapat digambar yaitu :
b. Dengan cara mencari ciri-ciri matematisnya.
1) Titik potong dengan sumbu y, bila x=0 y=ax2+bx+c —untuk x=0
Maka y = 0 --- titik potongnya pada (0,c)
2) Titik potong dengan sumbu x, bila y=00=ax2+bx+c
Disini ada tiga kemungkinan, yaitu :
a) Bila determinan (D) atau b2−4ac>0
Maka ada 2 (dua) titik potong
b) Bila D = 0, maka parabola menyinggung garis sumbu x.
c) Bila D < 0, maka tidak ada titik potong dengan sumbu x.
a) Kemungkinan pertama, bila D > 0
x1;2=−b±√b2
−4 ac2a
Sehingga titik potongnya :
x1=−b±√b2
−4ac2a
119
Dan
x2=−b±√b2
−4ac2a
b) Kemungkinan kedua, bila D = 0 maka grafik parabola menyinggung
sumbu x, yaitu pada
x=−b2a
c) Kemungkinan ketiga,bila D < 0 titik puncak parabola pada x=−b2a
dan pada
y=−D4 a
=−(b2
−4ac)4 a
3) Sumbu simetri
Sumbu simetri parabola pada x=−b2a
Untuk lebih jelasnya kita lihat contoh 1 di atas yaitu y=x2−7 x+12
Titik potong dengan sumbu y bila x = 0
Y = 0 – 0 + 12 ---- y = 12
Jadi titik potong dengan sumbu y pada ( 0,12 )
Titik potong dengan sumbu x bila y = 0
0=x2−7 x+12
Determinan (D) =
−7¿¿
b2−4ac=¿
maka ada dua titik potong.
−7¿¿
¿2−4.1.12−7±√ ¿x1 ;2=¿
x1=7+12
=4 danx2=7−12
=3
Jadi titik potong dengan sumbu x pada (4,0) dan titik (3,0).
Titik puncak parabola : x=−(−7)
2.1=3,5
120
Dan
−7¿
(¿¿2−4.1.12)¿
−¿y=¿
Sehingga titik puncaknya pada (3,5; 4
−1 /¿¿
Sumbu simetrinya adalah x=−(−7)
2=3,5
Jadi sumbu simetrinya adalah garis yang sejajar sumbu y pada x =
3,5.
Dengan diketahui ciri-ciri matematisnya, maka grafiknya dapat
digambar sebagai berikut :
Untuk menyidik mengenai posisi parabola apakah terbuka ke atas atau
kebawah ; memotong sumbu x atau tidak, dapat dilihat pada ketentuan
berikut ini :
- Apabila D > 0 dan a > 0
Maka parabola menghadap ke atas dan mempunyai 2 titik potong
dengan sumbu x
- Apabila D = 0 dan a > 0 maka parabola menghadap ke atas dan
menyinggung sumbu x.
- Apabila D < 0 dan a > 0, maka parabola menghadap ke atas dan
tidak berpotongan dengan sumbu x.
- Apabila D > 0 dan a > 0, maka parabola menghadap ke bawah dan
mempunyai 2 titik potong dengan sumbu x.
121
- Apabila D = 0 da a < 0, maka parabola menghadap ke bawah dan
mempunyai titik singgung dengan sumbu x.
- Apabila D > 0 dan a < 0 , maka parabola menghadap ke bawah dan
tidak memotong sumbu x.
Untuk menggambar grafik fungsi parabola bentuk yang kedua
yaitu
x= f ( y )=ay2+by+c juga berlaku cara-cara dalam menggambar parabola
bentuk pertama.
Contoh 2 : Gambarlah fungsi parabola dengan persamaan x= y2+5y−6
Jawab : - Titik potong dengan sumbu x bila y = 0
x=0+0−6−−−x=−6
Jadi titik potongnya pada (-6,0 )
-Titik potong dengan sumbu y bila x = 0
0= y2+5 y−6
D=b2−4 ac=52
−4.1 . (−6 )=49
D > 0 --- terhadap 2 titik potong dengan sumbu y
y2+5 y−6=( y+6 )( y−1)
y1=−6dan y2=1
Jadi titik potongnya adalah (0,-6) dan (0,1).
-Titik puncak parabola y=−b2a
=−52
−212
Untuk x=−D4a
=−494.1
=−121 /4
Jadi titik puncaknya adalah (−121/4 ;−212)
-Sumbu simetri pada ; y=−b2a
=−52
=−212
- Gambar grafiknya adalah sebagai berikut :
122
Untuk menyidik posisi parabola apakah terbuka ke kanan atau
terbuka ke kiri, memotong sumbu y atau tidak,dapat dijelaskan
sebagaib berikut :
- Apabila D > 0 dan a > 0, maka parabola terbuka ke kanan dan
mempunyai 2 titik potong dengan sumbu y.
- Apabila D = 0 dan a > 0 maka parabola menghadap ke kanan dan
menyinggung sumbu y.
- Apabila D < 0 dan a > 0, maka parabola menghadap ke kanan dan
tidak memotong /menyinggung dengan sumbu y.
- Apabila D > 0 dan a < 0 , maka parabola terbuka ke kiri dan
memotong sumbu y di dua tempat.
- Apabila D = 0 dan a < 0 , maka parabola terbuka ke kiri dan
menyinggung sumbu y.
- Apabila D < 0 dan a < 0 , maka parabola terbuka ke kiri dan tidak
menyinggung/memotong sumbu y.
Soal-soal untuk latihan :
Gambarlah persamaan garis berikut :
1. y=−x2+9x−14
2. y=2 x2−2x−12
3. y=−x2−2x−15
4. x= y2−3 y+2
5. x= y2 y+6
123
B. FUNGSI PECAH
Bentuk umum fungsi pecah adalah y=ax+bcx−d
Dimana : y sebagai variabel terikat
X sebagai variabel bebas
a,b,c dan d sebagai konstanta
Gambar grafik fungsi pecah adalah berbentuk hiperbola. Untuk
menggambar grafik fungsi pecah
Dapat dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut :
1. Titik potong dengan sumbu y , bila x = 0 , sehingga
d0,b/¿
y=a .0+bc .0+d
=bd−→ titik potongnya¿
2. Titik potong dengan sumbu x , bila y = 0, sehingga
0=ax+bcx+d
−−→0=ax+b−→ax=−b
a ,0−b/¿
x=−ba
,makatitik potongnya pada¿
3. Asimtot
- Asimtot tegak tercapai apabila nilai y tidak terhingga ( ),
sehingga persamaan menjadi:
=ax+bcx+d
−−−cx+d=ax+b
Suatu bilangan apabila dibagi dengan bilangan tidak terhingga
hasilnya = nol .
Maka : cx+d=0−−−x=−d /c s
Jadi asimtot tegak terletak pada garis x=−dc
- Asimtot datar tercapai apabila nilai x tidak terhingga ( ),
sehingga persamaan menjadi
y=a+b/ xc+d / x
−−− y=a+b/c+d /
y=a+0c+0
−−− y=ac
124
Jadi asimtot datar terletak pada garis y=a/c
4. Menggunakan tabel nilai x dan y yang bersesuaian dengan
persamaan fungsi pecah yang dimaksud. Setelah langkah-langkah
tersebut di atas dihitung maka fungsi pecah dapat digambar.
Contoh 3 : gambarlah grafik fungsi pecah y = 2 x+6x+2
Jumlah : - titik potong sumbu y bila x = 0 maka
y= 0+60+2
= 3 - titik potong ( 0, 3)
- Titik potong dengan sumbu x bila y = 0, maka X= -6/2= -3
-- titik potongnya ( -3,0)
- asimtot tegak =x = -d/c = - 2/1 = -
Jadi asimtot tegak adalah pada x = -2
- Asimtot datar = y = a /c = 2/1 =2
Jadi asimtot datar adalah pada y= 2
- Membuat tabel untuk nilai nilai x dan y yang bersesuaian
yaitu
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 ~y 1 0 ~ 4 3 8/3 2 ½ 12/5 2
- Gambar grafiknya adalah sebagai berikut:
125
SOAL SOAL UNTUK LATIHAN
Gambarlah persamaan fungsi pecah berikut ini :
1. y =3−2 x1−x
2. y =3 x−12x+2
3. y =2 x−7−x+3
C. Fungsi Kubik
Fungsi kubik atau fungsi pangkat tiga adalah suatu fungsi non
linear yang variabel bebasnya paling tinggi berpangkat tiga . bentuk
umum fungsi pangkat tiga adalah :
y = ax3+cx+d
Dimana : y sebagai variabel terikat
126
X sebagai variabel bebas
A,b.c dan d sebagai kostanta
Untuk mengambar fungsi kubik pada dasarnya sama dengan
mengambar fungsi kuadrat sebagaimana telah di jelaskan di muka .
gambar grafik fungsi kubik memiliki 2 titik puncak ( titik ektrim )
yaitun titik maksimum dan titik belok ini tergantung pada nilai a,b
dan c yang ikut membentuk persamaan yang di maksud,
Contoh 3 : gambarlah grafik dari fungsi
Y = x3-2x2+ x+3
Jawab: - dibuat tabel nilai-nilai x dan y yang bersesuaikan
X -3 -2 -1 0 1 2 3y -44 -14 0 4 4 6 16
- Gambar grafiknya adalah;
Contoh 4 : Gambarlah grafik dari fungsi
y = x3 – 3x2 – 2x
jawab: Tabel nilai x dan y adalah:
127
X -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5y -48 -16 -2 0 -4 -8 -6 8 40
g - Gambar grafiknya adalah
Untuk mencari titik – titik maksimum dan minimum maupun titik belok
secara lebih jelas dapat dicari dengan cara differensial
Soal-soal untuk latihan :
1. y = 2x3 – 4x2 + 7x – 5
2. x = x3 – 9x2 +15x + 40
3. y = - 2x3 + 16 x2
D. PENERAPAN FUNGSI NON LINIER DALAM EKONOMI
1. Fungsi Permintaan , Penawaran Dan Keseimbangan Pasar
Untuk memperoleh garis fungsi permintaan dan penawaran
kita ambil fungsi permintaan dan penawaran yang berbentuk fungsi non
linier yang memiliki nilai positif yaitu yang berada di kuadrat pertama.
Sehingga fungsi permintaan dan penawaran ini dapat berbentuk
potongan parabola , hiperbola atau potongan fungsi non linier yang lain .
biasanya dalam penerapan ekonomi , sumbu fertikal dalam sistem
sumbu kordinat di ganti dengan notasi harga ( p= price ), sedangkan
sumbu horisontal ( x ) di ganti dengan notasi kuantitas ( Q = quantity).
128
Selain berbentuk linier , keseimbangan pasar juga berlau untuk
keseimbangan pasar ini juga akan terjadi apabila jumlah barang yang di
minta (Qd =demand quantity ) sama dengan jumlah barang yang di
tawarkan (Qs = supply quantity). Sehingga secara mudah di pahami
bahwa keseimbangan pasar akan trercapai pada saat Qd= Qs.
Keadaan ini tercapai pada perpotongan fungsi permintaan dan
penawaran yang di gambar dalam satu sistem sumbuh koordinat .
Untuk memberikan gambaran yang jelas , dapat di ikuti
contoh contoh berikut ini:
CONTOH 5 : permintaan suatu barang di formulasikan oleh persamaan
p = 2Q2 – 11Q + 15, sedangkan fungsi penawaran di
formulasikan oleh persamaan P= Q2+ 1. Carilah titik
keseimbangan pasar dari barang tersebut dan gambaran
grafiknya
Jawab : - fungsi permintaan ( Qd) :p = 2Q2-11Q-15 titik potong
dengan sumbu p = bila Q = 0
P=2.0-11.0+15 = 15 — titik potong ( 0,15)
Titik potong dengan sumbu Q bila p = 0
0 = 2Q2 – 11Q + 15
Q1 ;2=−b±√b2
−4ac2a
Q1 ;2=−(−11)±√(−11)2−4.2 .15
2.2
Q1 ;2=11±√121−120
4=
11±14
Q1=11+1
4=3 ;Q2=
11−14
=2,5 ;
Jadi titik potong sumbu Q pada (3,0) ; (2,5 ; 0)
Titik puncak pada Q = −b2a
=−(−11)
2.2 .=2
34
Dan pada P = −D4a
=−14.2
=−1/8
Jadi titik puncak pada (2 ¾ ; - 1/8)
- fungsi penawaran (Qs) : P = Q2 + 2Q
titik potong sumbu P, bila Q = 0
129
maka titik potongnya pada (0,1)
titik potong sumbu Q, bila P = 0
Q = Q2 + 2Q + 1
Q1 ;2=−2±√22
−4.1 .12.1
=−2±0
2
Q1 = -1 dan Q2 = -1 jadi merupakan titik singgung (ingat D =
0, grafik menyinggung sumbu Q) pada titik (-1,0)
Titik puncaknya pasar tercapai pada Qd = Qs
Jadi : 2Q2 – 11Q + 15 = Q2 + 2Q 1
Q2 – 13Q + 14 = 0
Q1 ;2=−(−13)±√(−13)
2−4.1.14
2.1
Q1 ;2=13±√169−156
2=
13±√11132
Q1=13+10.63
2=11,615 ;Q2=
11−10.632
=1,185
Untuk Q2 = 1,185
P = Q2 + 2Q + 1 = (1,185)2 + 2(1,185) + 1
P = 4,77
Jadi keseimbangan pasar tercapai pada titik (1,185 : 4,77)
sedangkan untuk
Q1 = 11,815
P = (11,815)2 + 2 (11,185) + 1
P = 164,22
Maka keseimbangan pasar yang kedua tercapai pada titik
(11,815 ; 164,22)
Gambar grafiknya adalah sebagai berikut :
130
2. Pengaruh Pajak
Seperti hal nya keseimbangan pasar fungsi linier
keseimbangan pada fungsi non linier akan berubah apabila ada
barang yang bersangkutan di kenakan pajak . pajak yang di
kenakan tersebut akan menaikan harga jual barang yang di
tawarkan . hal ini terlihat pada berubahnya fungsi penawaran
barang yang di maksut . dengan adanyan pajak ini maka barang
yang di minta akan berkkurang dari sebelum di kenakan pajak .
Besarnya pajak yang di kenakan pemerintah tersebut tidak
seluruhnya di tanggung oleh produsen , tetapi beban pajak tersebut
oleh produsen di alihkan sebagian pada konsumen yaitu dengan
naiknya harga barang yang di kenakan pajak tersebut besarnya
beban pajak yang di tanggung oleh konsumen (tk) adalah selisih
antara hargab keseimbangan setelah pajak (P1) dengan harga
keseimbangan sebelum pajak (P0). Sedangakan besarnya pajak
yang di tanggung produsen ( tp) adalah selisih antara pajak yangt
di kenakan terhadap barang tersebut (t) dengan pajak yang
menjadi tanggung jawab konsumen (tk). Perhitungan –perhitungan
tersebut adalah untuk setiap unit barang. sedangkan apabila ingin
131
mengetahui jumlah pajak yang dikenakan maupun pajak yang di
tanggung oleh konsumen dan produsen, kita tinggal menggalikan
jumlah barang yang di produksi / di jual . dari penjelasan
tersebut , apabila fungsi penawaran sebelum pajak (QS) adalah p=
f(Q) sedangkan pajak yg di kenaka perunit sebesar t, maka fungsi
penawaran setelah pajak (QS) adalah p= f (Q) + t .sedangkan
fungsi permintaannya sebelum dan sesudah pajak tetap sama
yaitu Qd : p =f(Q) .
Untuk lebih jelasnya, diberikan contoh berikut :
Contoh 6: diketahui fungsi permintaan suatu barang (Qd) adalah P = Q2
- 11Q +30 , sedangkan fungsi penawaran (QS) : P = Q2 + 1.
apabila terhadap barang tersebut di kenakan pajak per unit
sebesar Rp . 3,-, di tanyakan .
1) Keseimbangan pasar sebelum dan sesudah pajak
2) Pajak yag di tanggung konsumen ( tk)
3) Pajak yang di tanggung produsen (tp)
4) Pajak yang di terima oleh pemerintah ( tg)
5) Gambarlah grafik keseimbangan pasar sebelum
Jawab :
1) Keseimbangan pasar sebelum dan sesudah pajak.
- Keseimbangan pasar sebelum pajak :
Qd=Qs−−→Q2−11Q+30=Q2
+1
−11Q=−28−−→Q=2,64
Untuk Q=2.64
P=Q2+1= (2,64 ) 2+1=7,87
Jadi keseimbangan sebelum pajak
E= (2,64 ;7,97 )
- Keseimbangan pasar sesudah pajak
Qd=Qs−−→Q2−11Q+30=Q2
+1−3−11Q=−26−−→Q=2,36
Untuk Q=2,36
P=Q2+1= (2,36 )2+4=9,57
132
Jadi keseimbangan pasar sesudah dikenakan pajak sebesar
Rp3
unit adalah E (2,36 ;9,57 )
2) Pajak yang ditanggung konsumen per unitnya
¿harga sesudah pajak−harga sebelum pajak=9,57−7,79=1,6
Jumlah pajak yang ditanggung konsumen adalah
¿ pajak yangditanggung konsumen per unit x . Keseimbangan jumlahsesudah pajak=1,6 x2,36=3,776
3) Pajak yang ditanggung produsen per unitnya
¿ tingkat pajak−pajak yang ditanggung konsumen=3−1,6=1,4
Jumlah pajak yang ditanggung produsen adalah
¿ pajak yagditanggung konsumen per unit xkeseimbangan jumlahsesudah pajak=1,4 x 2,36=3,304
4) Pajak yang diterima pemerintah
¿ tingkat pajak xkeseimbangan jumlah sesudah pajak=3 x 2,36=7,08.
5) Gambar keseimbangan pasar sebelum dan sesudah pajak adalah
sebagai berikut :
Keterangan :
A=Pajak yang ditanggung konsumen
133
B=Pajak yangditanggung produsen
A+B=Pajak yangditerima oleh pemerintah
E=Keseimbangan pasar sebelum pajak
E'=Keseimbangan pasar sesudah pajak
4. Pengaruh Subsidi
Selain mengenakan pajak terhadap barang yang di jual,
pemerintah juga memberikan subsidi terhadap suatu
barang. Pemberian subsidi akan mengakibatkan biaya
produksi barang yang bersangkutan sebagai dibiayai
dengan subsidi tersebut , sehingga harga jualnya akan
lewbih rendah di bandingkan apabila tidak di beri subsidi .
besarnya subsidi yang di berikan pemerinyah tertsebut
yaitu sebagai akan dinikmati baik oleh produsen maupun
oleh konsumen. Bagian subsidi yang dinikmati oleh
konsumen (sk) adalah sebesar selisih antara harga
keseimbanggan sebelum subsidi (P 1). Sedangkan bagian
subsidi yang dinikmati oleh produsen (sp ) adalah sebesar
selisih antara besaran subsidi yang di miliki oleh
konsumen .
Jumlah subsidi secara keseluruhan yang di miliki mati
oleh konsuimen maupun produsen adalah sebesar bagian
subsidi yang dinikmati nya seperti tersebut di atas
dikalikan dengan jumlah barang yang terjual . sedangkan
jumlah subsidi yang di berikan oleh pemerintah adalah
sebesar subsidi per unit dikalikan dengan jumlah barang
yang terjual (sg=sxQ).
Dari penjelasan di atas , apabila fungsi penawaran sebelum
subsidi (Qs) adalah p =f (Q) sedangkan subsidi yang di
berikan pemerintah sebesar s setiap unitnya , maka fungsi
penawaran sesudah subsidi (Qs) menjadi p = f ( Q) – s .
Sedangkan fungsi pemerintah sebelum dan sesudah subsidi
adalah tetapan sama yaitu Qd =Qd : p = f (Q).
134
Untuk lebih jelasnya , di berikan contoh berikut
Contoh 6 : seperti pada contoh 5 di muka diketahui
Fungsi penawaran (Qs):
P = Q2 +1
Apabila pemerintah memberikan subsidi terhadap barang
tersebut sebesar Rp 4 per unit carilah :
1) Keseimbangan pasar sebelum dan sesudah subsidi
2) Subsidi yang dtanggung konsumen ( sk )
3) Subsidi yang di tanggung produsen ( sp)
4) Jumlah subsidi yang di berikan oleh pemerintah (sg)
5) Gambarlah grafiss keseimbangan pasar sebelum dan
sesudah subsidi
Jawab : 1) keseimbangan pasar sebelumya dan sesudah subsidi
- keseimbangan pasar sebelum subsidi :
Qd = Qs Q2 – 11Q + 30 = Q2 + 1
-11Q = -29 Q = 2, 64
Untuk Q = 64
P= Q2 + 1 = ( 2, 64 ) 2+1 = 7 , 97 jadi
keseimbangan sebelum subsidi adalah pada titik e
( 2, 64 ,7 97 )
- Keseimbangan pasar sesudah subsidi :
Qd ‘ = Qs ‘ Q2 – 11Q = 30 = Q2 + 1 – 4
- 11Q = -33 Q1 = 3
Untuk Q =
Jadi kesimbangang pasar sesudah subsidi adalah
pada titik E (3,6)
2) Subsidi yang dinikmati konsumen per unit x
keseimbangan jumlah sesudah subsidi = 7,97 - 6 = 1,97
Qd=Qs−−−−¿Q2−11Q+30=Q2
+1
−11Q=−28−−−→Q=2,64
UntukQ=64
P=Q2+1= (2,64 )2+1=7,97
135
Jadi keseimbangan sebelum subsidi adalah pada titik E (2,64 ;7,97 )
-Keseimbangan pasar sesudah subsidi
Qd=Qs−−−−¿Q2−11Q+30=Q2
+1−4
−11Q=−33−−−→Q1=3
UntukQ=¿
P=Q2−3=(3 )2−3=6−−→P1=6
Jadi keseimbangan pasar sesudah subsidi adalah pada titik E(3,6)
2) Subsidi yang dinikmati konsumen per unit = Harga keseimbangan
sebelum subsidi – harga keseimbangan sesudah subsidi
¿7,97−6=1,97
Jumlah subsidi yang dinikmati konsumen = subsidi yang dinikati
konsumen perunit x keseimbangan jumlah sesudah subsidi
¿1,97 x3=5,91
3) Subsidi yang dinikmati produsen perunit = besarnya subsidi perunit
- bagian subsidi yang dinikmati oleh konsumen ¿4−1,97=2,03
Jumlah subsidi yang dinikmati produsen adalah = subsidi yang
dinikmati produsen per-unit x keseimbangan jumlah sesudah
4) Subsidi yang diberikan Pemerintah
=subsidi per unit x keseimbanga jumlah
sesudah subsidi ¿4 x 3=12
5) Gambar keseimbangan pasar sebelum dan sesudah subsidi adalah
sebagai berikut:
136
Keterangan :
A=Subsidi yangdinikmati konsumen
B=Subsidi yangdinikmati produsen
A+B=subsidi yangdierikan pemerintah
E=Kesimbangan pasar sebelum subsidi
E=Keseimbangan pasar sesudah subsidi
P0danQ 0=Keseimbanganhargadan jumlah sebelum pajak
P1danQ 1=Keseimbanganhargadan jumlahsetelah pajak
5. Analisis Biaya , Volume Dan Laba Non Linier
Seperti halnya pada fungsi linier analisa biaya volume dan
laba juga di analisis dengan fungsi b non linier . sudah kita
ketahui bahwa biaya produksi terdiri dari biaya tetap (fixied coist
= FC ), biaya variabeol ( variabewl cost = VC sedangkan biaya
tetap di tambah biaya variable diisebut biaya total ( total cost =
TC). Selain pengertian biaya tetap , biaya variable ,biaya total
137
tersebut di atas , di kenal pula konsep biaya rata rata (average cost
=MC).biaya rata rata ini merupakan hasil bagi antara total biaya
dengan jumlah barang yang di hasilkan ,sedangkan biaya di
keluarkan untuk mengasilkan satu unit tambahan barang yang di
hasilkan.
Jumlah barang yang di hasilkan sering disebut sebagai volume
produksi dalam satuan periode tertentu apabila di hubungkan
dengan biaya produksi, volume produksi ini akan nmenentukan
besarnya biaya marjanin volume produksi ini akasn menentukan
besarnya volume secara matematis dapat di jelaskan sebagai
berikut :
Total cost = TC =VC+ FC
Variabel cost = VC =F(Q)
Fixed cost = fc = k
Sehingga TC = F (Q) + k
Average Cost = AC = TCQ
Margini Cost = MC = TAMBAHAN BIAYA
TAMBAHAN PRODUKSI =
ΔTCΔQ
Average Fixed Cost = AFC = FCQ
Average Variable Cost = AVC = VCQ
Karena TC + FC , maka AC = AVC + AFC
Laba perusahaan yang di peroleh merupakan selisih antara
penerimaan total dengan biaya total nya. Penerimaan total ( total
revenue = TR ) merupalan hasil kali volume penjualan ( Q) dengan
harga jual barang yang bersangkutan ( P ) . yang berarti bahwa
penerimaan ini juga di kenal pendapatan rata –rata ( Average
Reveman ) total dengan jumlah barang yang jual secara matematis
konsep penerimaan dapat
Di jelaskan sebagai berikut TR :
TR = total Revenue = f (Q) = P X Q
AR=¿ Average Revenue = TRQ
138
MR = marginal Revenue= tambahanTRtambahanQ
=ΔTRΔQ
Penerimaan rata rata adalah total penerimaan di bagi dengan
jumlah unit barang yang di jual . padahal total dengan jumlah unit
baranng yang di jual . padahal total penerimaan juga sama
dengan harga (P) kali jumlah unit barang yang di jual . hal ini
berarti penerimaan ratA rata sama dengan harga jual . hal ini
berarti penerimaan rata rata sama dengan harga jual per unit .
TR =AR X Q atau TR = PxQ
Maka : AR = P
Apabila di gambarkan dalam grafis , ternyata bahwa grafis fungsi
penerimaan rata rata akan sama dengan fungsi penerimaan
barang yang di maksut
Sudah di jelaskan di muka bahwa laba merupakan selisih antara
penerimaan total dengan biaya total apabila penerimaan total
lebih besar dari pada biaya totalnya akan terjadi laba. Sebaliknya
apabila penerimaan total lebih kecil dari biaya totalnya maka
akan terjadi rugi . sedangkan apabila penerimaan total sama
dengan biaya totalnya maka perusahaan dalam keadaan pulang
pokok ( titik pulang pokok) atau di sebut sebagai brek even point ,
yakni di mana labanya sama dengan nol (tidak memperoleh laba
atau menderita kerugiaan ).
Penerimaan maksimal akan tercapai pada titik puncak fungsui
penerimaan sedangkan laba maksimal akan tercapai pada titik
puncak fungsi laba untuk memberikan gambaran yang lebih jelas
berikut ini di berikan contoh masalah di atas
Contoh 7 : fungsi permintaan suatu barang di formula sikan oleh
persamaan p = - 4Q + 520 . di formulkan biaya nya
adalah TC = Q2+ 20Q + 3500.
Di tanyakan :
1) Break even points (BEP)
2) Penerimaan maksimal
139
3) Keuntungan maksimal
4) Gambar grafikaan nya
Jawab : 1) Break even point (BEP) tercapai pada saat
TR = TC, TR = P x Q =(-4Q+520) Q
TR = -4Q + 520 Q
TC = Q2+ 20Q + 3.500
BEP - 4Q 2+ 520Q=Q2 + 20Q +3.500
= 5 Q2+ 500Q - 3500 =0
= -Q2 + 100Q – 700=0
Q1.2=−b±√b2
−4 ac2a
−700¿
¿10002−4(−1)¿
−100±√¿Q1.2=¿
−100± √10.000❑−2.800¿
−2Q1.2=¿
−100± √7200¿
−2=
−100±84,85−2
Q 1.2=¿
Q1=−100+84,85
−2=7,58
Q2=−100−84,85
−2=92,43
Untuk Q1 = 7,58
TR = 520 Q - 4Q 2 = 520 (7, 58
¿¿2
TR = 3. 941, 6 – 229, 83
TR = 3. 711,77 = 3.712
TC = TR = 3. 712
P = 520 – 4Q
p1 = 520 – 4(7,58) = 489, 63
Untuk Q2 = 92, 43
140
TR = 520 Q - 402 = 520 (92, 43) – 4 (92, 43 ¿2
TR = 48 . 063, 6 – 34. 173 ,22
TR = 13.890, 38 = 13.890
TC = TR = 13.890
P =520 – 4Q = 520 – 4 (92., 43)
p2 = 520 – 369 , 72 = 150, 28
Jadi BEP tercapai pada saat :
BEP1 = Q1 = 7, 28 dan p1 = 489, 68
BEP2 = --> Q2 = 92, 43 dan p2 = 150 ,28
2) penerimaan maksimal tercapai pada Q = -b /2a
Fungsi penerimaan (TR)
TR = 520Q - 4Q2
Q = −b2a
=−5202(−4 )
65=¿
P = 520 – 4 Q =520 - 4 (65) = 520 – 260 = 260
TR = 520Q – 4 (Q ¿2 = 520 (65 ¿
2
TR = 33. 800 – 16 . 900 = 16 .900
Jadi penerimaan maksimal tercapai pada saat Q = 65 unit dan harganya p
= 260 , dengan jumlah penerima 16. 900
Keuntungan maksimal tercapai pada titik puncak fungsi keuntungan
(fungsi laba)
Laba (π) = TR –TC
π = 520Q - 4Q2 - Q2 - 2Q - 3. 500
π = 5Q2 + 500Q – 3. 500
π maksimal terjadi pada Q = - b/ 2a
π maksimal = -500 /2 (-5) = 50 unit
Q = 50 , maka laba = - 5 (50 ¿2 + 500 (50) – 3. 500
= - 12. 500 + 25. 000 – 3.500
= 9.000
Jadi laba maksimal tercapai pada saat jumlah barang 50 unit dengan
laba yang diperoleh 9.000.
4) gambar grafiknya adalah sebagai berikut :
141
Keterngan :
Q1 dan Q2 = jumlah produksi pada BEP
B – C = laba maksimal
E1 = BEP pertama pada (7,56; 3. 712)
E2 = BEP kedua pada (92, 43; 13. 890)
A = titik puncak perimaan maksimal
Q4 = jumlah produksi pada pemerimaan maksimal
Q3 = jumlah produksi pada laba maksimal
Contoh 8 : Hasil produksi suatu persahaan mempunyai fungsi permintaan
P=−0,25Q+25, sedangkan fungsi biaya totalnya adalah
TC=0,75Q2−75Q+1875. Dari data tersebut, dinyatakan:
1) BEP dalam unit ( jumlah ) produksi
2) Jumlah produksi yang menghasilkan pererimaan maksimal
3) Jumlah produksi yang menghasilkan laba maksimal
4) Laba yang diperoleh apabila perusahaan menjual 60unit
5) Gambar grafiknya
Jawab :
1) BEP dalam unit ( jumlah ) produksi
TR=P xQ=(−0,25Q+25 )Q=−0,25Q2+25Q
TC=0,75Q2−75Q+1.875
BEP terjadi pada saat TR=TC
−0,25Q2+25Q=0,75Q2
−75Q+1.875
−Q2+100Q−1.875=0
Q2−100Q+1.875=0
Q1 ;2=−b±√b2
−4ac2a
Q1 ;2=−(−100 )±√(−100 )
2−4.1.1875
2.1
Q1 ;2=100±√2.500
2=
100±502
142
75¿2+25 (75 )
Q1=100+50
2=75−−→TR=−0,25 ¿
¿−1.406,25+1.875=468,75
25¿2+25 (25 )
Q2=100−50
2=25−−→TR=−0,25¿
¿−156,25+625=468,75
Jadi BEP dalam unit terjadi pada saat perusahaan menjual sebanyak 75
unit dan 25 unit.
2) Jumlah produksi yang menghasilkan penerimaan maksimal adalah
sebagai berikut :
TR=−0,25Q2+25Q
TR maksimal terjadi pada Q=−b2a
Q=−b2a
=−25
2 (−0,25 )=50
Jadi untuk menghasilkan penerimaan yang maksimal, maka harus
diproduksi/dijual sebanyak 50 unit.
3) Jumlah produksi yang menhasilkan laba maksimal adalah :
Laba (π )=TR−TC
π=−0,25Q2+25Q−0,75Q2
+75Q−1.875
π=−Q2+100Q−1.875
Laba maksimum terjadi pada Q=−b2a
=50
Jadi untuk menghasilkan laba yang maksimal, maka perusahaan harus
menjual 50 unit.
4) Laba yang diperoleh apabila dijual 60 unit
TR=−0,25 (60 )+25 (60 )=−900+1.500
TR=600
60¿2−75 (60 )+1.875TC=0,75¿
TC=2.700−4.500+1.875
TC=75
Laba=TR−TC
143
60¿2+100 (60 )−1.875Atau laba=−¿
laba=−3.600+6.000−1.875
laba=525
5) Gambar grafiknya adalah sebagai berikut TR, TC
Keterangan :
Q1danQ3= jumlah produksi padaBEP
Q2= jumlah produksi pada penerimaanmaksimaldan labamaksimal
A−B=penerimaan danlabamaksimal
BE P1=BEP pertama pada (25 ; 468,75 )
BE P2=BEP kedua pada (75 ;468,75 )
Dalam contoh 8 di atas terlihat bahwa laba maksimal tercapai pada
saat penerimaan juga maksimal yaitu jarak A dan B dengan jumlah
produksi atau jumlah yang terjual sebanyak 50 unit . Hal ini juga
merupakan jarak terlebar antara fungsi TR dan TC . namun demikian ,
tidak setiap jarak yang terlebar dari pada grafik penerimaan akan
menghasilkan laba yang maksimal . jadi tidak setiap penerimaan yang
maksimal akan menghasilkan laba yang maksimal . seperti hal nya pada
contoh ke tujuh ( contoh 7 ) di muka di sana terlihat bahwa pada
penerimaan maksimal . ( titik A ) tidak memberikan laba yang maksimal
terdapat pada saat jumlah barang yang di produksi / di jual sebanyak
yaitu jarak antaran titik B dan C
Untuk menentukan hasil maksimal secara grafis di tentukan oleh jarak
antara TR dan TC semakin lebar ( selisih ) antara TR dan TC yang
144
positif , semakin lebar pula yang di peroleh . namun sekali lagi bahwa
tidak selalu bahwa laba maksimal terjadi pada saat gravik total
penerimaan mencapai titik yang maksimal dan juga tidak pasti mesti
terjadi pada saat biaya produksi minimal . untuk memperdalam
konsep biaya , volume dan laba ini , para pembaca dapat membaca buku
buku yang membahasnya
145
BAB VII
Matrik s dan V ector
Matriks adalah kumpulan bilangan yang disajikan secara teratur
dalam baris dan kolom serta termuat dalam sepanjang tanda kurung
.
A3x4= (a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
a14
a24
a34)
Unsur - unsur matriks dilambangkan dua notasi aij ,dimana i
menunjukkan baris sedangkan j kolom .
Pada contoh di atas matriks A adalah matriks berorde 3 x4
Vector adalah bentuk matriks khusus yang hanya mempunyai satu
baris atau satu kolom :
Vector baris : vector kolom :
a. [24−5 ]
b. [637 ] a= [362]
b= [5
−79 ]
Pengop e rasian Matriks
1. Penjumlahan dan pengurangan matriks
A = [2 −3 58 2 4] B = [1 6 2
0 4 5]C= [3 3 7
8 6 9]A± B = C
Kaidah komutatif = A + B =B+A
Kaidah Asosiatif = A + (B+C)=(A+B)+ C=A+B+C
146
2. Perkalian matriks d en gan s k alar
λ = 3 A = [2 −3 58 2 4]
λA = B =3 [2 −3 58 2 4] = [ 6 −9 15
18 6 12 ]
λA = B
Kaidah komutatif : λA = Aλ
Kaidah distributif : λ(A±B) = λA ± λB
3. perkalian antar matriks
A2x3= [2 −3 58 2 4] B3x2 = [
3 56 −72 9 ]
C2x2= [2 (3 )+(−3 ) 6+5 (2 ) 2 (5 )+ (−3 ) (−7 )+5(9)8 (3 )+2 (6 )+4 (2 ) 8 (5 )+2 (−7 )+4 (9) ]
= [−2 7644 62]
AmxnBnxp =Cmxp
Kaidah asosiatif = A(BC) = (AB)C=ABC
Kaidah distributif = A(B+C) = AB+AC
(A+B)C = AC +BC
4. Perkalian matriks dengan vector
Amxn xbnx1=Cmx 1
n˃1
[2 −3 58 2 4] [
362]=[2 (3 )+(−3 )6+5(2)
8 (3 )+2 (6 )+4 (2) ]=[−244 ]
A2x3 b3x1 c2x1
Bentuk –bentuk K has matriks
1. Matriks satuan ialah matriks bujur sangkar yang unsur diagonalnya
utamanya adalah angka-angka 1 dengan unsur lainya nol
147
I2=[1 00 1] I3=[
1 0 00 1 00 0 1]
2. Matriks dioagonal ialah matriks bujur sangkar yang semua unsurnya
nol kecuali unsur utama diogonalnya
[3 00 5 ] I3=[
3 0 00 −2 00 0 7]
3. Matriks Nol ialah matriks yang semua unsurnya nol
02 xx=[0 00 0] 02 x3=[0 0 0
0 0 0 ]4. Matriks ubahan (transpose matriks) ialah pengubahan unsur-unsur
baris menjadi unsur-unsur kolom dan unsur-unsur kolom menjadi
unsur-unsur baris.
A=[1 2 34 5 6] A1
=[1 23 45 6]
( A1 )1=A
5. Matriks simetrik ialah matriks bujur sangkar yang sama dengan
ubahannya( A=A1 )
A=[2 −5 8
−5 4 78 7 9 ] A1
=[2 −5 8
−5 4 78 7 9]
A A1=AA=A2
6. Matriks simetrik miring ialah matriks bujur sangkar yang sama
dengan negative ubahannya ( A=−A1)atau (−A1=A )
a. A=[0 5 −4
−5 0 −24 2 0 ] A1
=[0 −5 45 0 2
−4 −2 0]−A1=[
0 5 −4−5 0 −24 2 0 ]
b. B=(0 2
−2 0−9 15 −4
9 −5−1 4
0 −33 0
) B1=(
0 −22 0
9 −1−5 4
−9 51 −4
0 3−3 0
)=−B
148
Determinan matriks
A=[a11 a12
a21 a22] |A|=|a11 a12
a21 a22|
Mencari Nilai numeric determinan :
(i) Determinan berdimensi dua
[a11 a12
a21 a22]=a11a22−a12a21
(ii) Dertiminan berdimensi tiga
Metode sarrus : |A|=|a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a31|a11 a12
a21 a22
a31 a32
¿(a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32)
= ( +a31 a22 a13❑+a32a23a11+a33 a21a12¿
MINOR DAN KOFAKTOR
|A|=|1 2 34 5 67 8 9|
Minor Kofaktor : Aₐₓₑ = (-1)ᵃ⁺ᵉMₐₓₑ
M11 = |5 64 9|=5 (9) -6(8)=-3 A11=(-1)2(-3)=-3
M12 = |4 67 9| =(4) 9- 7 (6) =-6 A12=(-1)3(-3)=-3
M13 = |4 57 8| =4(8)- 7 (5) =-3 A13=(-1)4(-3)=-3
M21 = |2 38 9| =2(9)- 8 (3) =-6 A21=(-1)3(-6)=6
M22 = |1 37 9| =1(9)- 7(3) =-12 A22=(-1)4(-12)=-12
M23 = |1 27 8| =2(9)- 8 (3) =-6 A21=(-1)3(-6)=6
149
M31 = |2 35 6| =2(9)- 8 (3) =-6 A21=(-1)3(-6)=³
M32 = |1 34 6| =2(9)- 8 (3) =-6 A21=(-1)3(-
6)=6
M33 = |1 24 5| =2(9)- 8 (3) =-6 A21=(-1)3(-6)=³
Matrik konfaktor2 nya;
[A ij ] = [−3 6 −36 −12 6
−3 6 −3 ]Adjoin Matriks
Adalah ubahan dari matriks-matriks kofaktornya
[Adj . A ] = [−3 6 −36 −12 6
−3 6 −3 ]Tambahan bentuk bentuk khas matriks
7. Matrik balikan (inverse matriks) ialah matriks yg apabila dikalikan dg
suatu matriks bujur sangkar menghasilkan sebuah matriks satuaan
(AA-1=1)
A = [−1 64 3] |A| = [−1 6
4 3] =(-1)(3)-(4)(6)=-27
MINOR KOFAKTOR
M11=3 A11=(-1)2(3)=3
M12=4 A12=(-1)3(4)=-4
M21=6 A21=(-1)3(6)=-6
M22=-1 A22=(-1)4(-1)=-1
Matrik konhfaktor = [AIJ ] [ 3 −4−6 −1 ] = ADJ. A= [ 3 −6
−4 −1 ]
150
A-I= ADJ . AlAl
= [ 3 −6−4 −1 ] [−1/9 2/9
4 /27 1/27]
- 27
AA-1= [−1 64 3] [−1/9 2/9
4 /27 1/27]
=
−1 /9+(6)(4 /27)¿
−2/9+(6)(1/27)¿
−1 /9+(3)(4/27)¿
−2/9+(3)(1/27)¿
(−1 ) ¿¿
= [1 00 1 ]
8. Matriks skalar ialah matriks diagonal yang unsur-unsurnya sama
Matriks ortogonal ialah matriks yg apabila dikalikan dengan matriks
ubahannya menghasilkan matriks satuan
Matrik singular ialah matrik bujur sangkar yg determinannya sama
dengan nol sehingga tidak mempunyai balikan.
Matriks non singular ialah matriks bujur sangkar yang determinannya
tidak sama dengan nol sehingga mempunyai balikan
151
Penerapan m a trik s dalam ekonomi
Matrik s transaksi
Keluara
n
masukan
pertanian industri jasa Permintaa
n
akhir
Keluaran
total
Pertanian 20 35 5 40 100Industri 15 80 60 135 290Jasa 10 50 55 120 235Nilai
tambah
55 125 115 70 365
Keluaran
total
100 290 235 365 990
Pembacaan tabel ke samping
Dari seluruh keluaran sektor pertanian senilai 100 sebesar 20 di gunakan
sebagaI input sektor pertanian, sebesar 35 digunakan sebagai input
sektor industry, sebesar 5 digunakan sebagai input sektor jasa dan
sebesar 40 di beli oleh konsumen akhir. Dan seterusnya.
Pembacaan tabel ke bawah
Dari seluruh keluarga sektor pertanian senilai 100, sebesar 20 berupa
input
dari sektor pertanian, sebesar 15 berupa input dari sektor industri
,sebesar 10 berupa input dari sektor jasa ,dan sebesar 55 merupakan
nilai tambah dari sektor pertanian itu sendiri. Dan seterusnya.
Matriks teknologi
Matriks teknologi di bentuk hanya oleh sektor utama
Pertanian industri jasa Permintaa
n
akhir
Keluaran
total
Pertanian X1 X12 X13 U1 X1
Industri X21 X22 X23 U2 X2
Jasa X31 X32 X33 U3 X3
Nilai
tambah
Y1 Y2 Y3 Um+1 Xm+1
152
Keluaran
total
X1 X2 X3 Xm+1 x
Koefisien teknologi: aij = XijXj
Kasus 1 : untuk matriks transaksi di atas hitunglah keluaran total masing-
masing sektor dan nilai tambahnya jika di targetkan permintaan akhir
terhadap sektor pertanian ,indurtri ,dan jasa masing-masing 100,300,dan
200. susunlah matriks transaksi yang baru !
Matriks teknologi :
P I J
[0,20 0,12 0,020,15 0,28 0,260,10 0,17 0,23] = A
Nilai tambah 0,55
X = (I- A ) -1.U
[1 0 00 1 00 0 1] - [
0,20 0,12 0,020,15 0,28 0,260,10 0,17 0,23] = [
0,80 −0,12 −0,02−0,15 0,72 −0,26−0,10 −0,17 0,77 ]
I A
|I−A| = [0,80 −0,12 −0,02
−0,15 0,72 −0,26−0,10 −0,17 0,77 ]
0,80 −0,12−0,15 0,72−0,10 −0,17
=[(0,80)(0,72)(0,77)+(-0,02)(-0,26)(-0,10)+(-0,02)(-0,15)
(-0,77)]- [(-0,10)(0,72)(0,02)+(-0,17)(-0,26)(0,80)+(0,77)(-0,15)(-0,12)
= 0,38923
|I−A| = [0,80 −0,12 −0,02
−0,15 0,72 −0,26−0,10 −0,17 0,77 ]
153
Minor
M11 = [ 0,72 −0,26−0,17 0,77 ] = 0,5102 - A11 = ( -1)2 (0,5102)=0,51
M12 = [−0,15 −0,26−0,10 0,77 ] = -0,1415 A12 = (-1)3 (0,1415) =0,14
M13 = [−0,15 0,72−0,77 −0,72] = 0,0975 A13 = (-1)4(0,0975) = 0,097
M21 = [−0,12 −0,02−0,17 0,77 ] = -0,0985 A21 = ( -1)3(-0,0985) = 0,095
M22 = [ 0,80 −0,02−0,10 0,77 ] = 0,6140 A22 = (-1)4 (0,6140) = 0,614
M23 = [ 0,80 −0,12−0,10 −0,17] = 0,1480 A23 = (-1)5(-0,1480) = 0,14
M31 = [−0,12 −0,020,72 −0,26 ] = 0,0456 A31 =(-1)4(0,0456) = 0,0456
M32 = [ 0,80 −0,02−0,15 −0,26] = -0,2110 A32 = (-1)5(-0,2110) = 0,2110
M32 = [ 0,80 −0,12−0,15 0,72 ] = 0,5580 A33 =(-1)³(0,5580) = 0,5580
Maktriks kofaktornya :
|I−A| [0,5102 0,1415 0,09750,0958 0,6140 0,14800,0456 0,2110 0,5580]
Adj.(I-A) [0,5101 0,0985 0,04560,1415 0,6140 0,21100,0975 0.1480 0,5580]
( I-A)-1 = Adj (I−A )
I−A
[0,5102 0,0958 0,0450,1415 0,6140 0,21100,0975 0,1480 0,558 ]
0,38923
154
[1,3108 0,2461 0,11710,3635 1,5775 0,54210,2505 0,3802 1,4336 ]
Dengan Demikian =
[x1x 2x 3] = [
1,3108 0,2461 0,11710,3635 1,5775 0,54210,2505 0,3802 1,4336 ] [
100300200 ]
= [131,08+¿73,83+¿23,4236,35+¿473,25+¿108,4225,05+¿114,06+¿286,72]
Sedangkan nilai tambah sector =
Pertanian = 0,55 x 228,33 = 125,58
Industri = 0,43 x 618,02 = 265,75
Jasa = 0,49 x 425,83 = 208,66
Matriks Transaksi yang baru ,
permintaa
n
keluaran
Pertanian industri jasa akhir totalpertanian 45,67 74,16 8,51 100 228,33industri 34,67 173,05 110,72 300 618,02jasa 22,83 105,06 97,94 200 425,83Nilai
tambah
125,58 265,75 208,66
Keluaran
total
228,33 618,02 425,83
0,20 x 228,33 = 45,67 0,12 x 618,02 = 74,16
0,02 x 425,83 = 8,5
0,115 x 228,33 = 34,25 0,28 x 618,02 = 173,05
0,26 x 425,83 = 11,02
0,10 x 228,33 = 22,83 0,17 x 618,02 = 105,06
0,23 x 425,83 = 97,9
155
BAB VII
Matrik s dan V ector
Matriks adalah kumpulan bilangan yang disajikan secara teratur
dalam baris dan kolom serta termuat dalam sepanjang tanda kurung
.
A3x4= (a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
a14
a24
a34)
Unsur - unsur matriks dilambangkan dua notasi aij ,dimana i
menunjukkan baris sedangkan j kolom .
Pada contoh di atas matriks A adalah matriks berorde 3 x4
Vector adalah bentuk matriks khusus yang hanya mempunyai satu
baris atau satu kolom :
Vector baris : vector kolom :
a. [24−5 ]
b. [637 ] a= [362]
b= [5
−79 ]
Pengop e rasian Matriks
3. Penjumlahan dan pengurangan matriks
156
A = [2 −3 58 2 4] B = [1 6 2
0 4 5]C= [3 3 7
8 6 9]A± B = C
Kaidah komutatif = A + B =B+A
Kaidah Asosiatif = A + (B+C)=(A+B)+ C=A+B+C
4. Perkalian matriks d en gan s k alar
λ = 3 A = [2 −3 58 2 4]
λA = B =3 [2 −3 58 2 4] = [ 6 −9 15
18 6 12 ]
λA = B
Kaidah komutatif : λA = Aλ
Kaidah distributif : λ(A±B) = λA ± λB
3. perkalian antar matriks
A2x3= [2 −3 58 2 4] B3x2 = [
3 56 −72 9 ]
C2x2= [2 (3 )+(−3 ) 6+5 (2 ) 2 (5 )+ (−3 ) (−7 )+5(9)8 (3 )+2 (6 )+4 (2 ) 8 (5 )+2 (−7 )+4 (9) ]
= [−2 7644 62]
AmxnBnxp =Cmxp
Kaidah asosiatif = A(BC) = (AB)C=ABC
Kaidah distributif = A(B+C) = AB+AC
(A+B)C = AC +BC
4. Perkalian matriks dengan vector
Amxn xbnx1=Cmx 1
n˃1
157
[2 −3 58 2 4] [
362]=[2 (3 )+(−3 )6+5(2)
8 (3 )+2 (6 )+4 (2) ]=[−244 ]
A2x3 b3x1 c2x1
Bentuk –bentuk K has matriks
7. Matriks satuan ialah matriks bujur sangkar yang unsur diagonalnya
utamanya adalah angka-angka 1 dengan unsur lainya nol
I2=[1 00 1] I3=[
1 0 00 1 00 0 1]
8. Matriks dioagonal ialah matriks bujur sangkar yang semua unsurnya
nol kecuali unsur utama diogonalnya
[3 00 5 ] I3=[
3 0 00 −2 00 0 7]
9. Matriks Nol ialah matriks yang semua unsurnya nol
02 xx=[0 00 0] 02 x3=[0 0 0
0 0 0 ]10. Matriks ubahan (transpose matriks) ialah pengubahan unsur-
unsur baris menjadi unsur-unsur kolom dan unsur-unsur kolom
menjadi unsur-unsur baris.
A=[1 2 34 5 6] A1
=[1 23 45 6]
( A1 )1=A
11. Matriks simetrik ialah matriks bujur sangkar yang sama
dengan ubahannya( A=A1 )
A=[2 −5 8
−5 4 78 7 9 ] A1
=[2 −5 8
−5 4 78 7 9]
A A1=AA=A2
12. Matriks simetrik miring ialah matriks bujur sangkar yang sama
dengan negative ubahannya ( A=−A1)atau (−A1=A )
158
a. A=[0 5 −4
−5 0 −24 2 0 ] A1
=[0 −5 45 0 2
−4 −2 0]−A1=[
0 5 −4−5 0 −24 2 0 ]
b. B=(0 2
−2 0−9 15 −4
9 −5−1 4
0 −33 0
) B1=(
0 −22 0
9 −1−5 4
−9 51 −4
0 3−3 0
)=−B
Determinan matriks
A=[a11 a12
a21 a22] |A|=|a11 a12
a21 a22|
Mencari Nilai numeric determinan :
(iii) Dertiminan berdimensi dua
[a11 a12
a21 a22]=a11a22−a12a21
(iv) Dertiminan berdimensi tiga
Metode sarrus : |A|=|a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a31|a11 a12
a21 a22
a31 a32
¿(a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32)
= ( +a31 a22 a13❑+a32a23a11+a33 a21a12¿
MINOR DAN KOFAKTOR
|A|=|1 2 34 5 67 8 9|
Minor Kofaktor : Aₐₓₑ = (-1)ᵃ⁺ᵉMₐₓₑ
M11 = |5 64 9|=5 (9) -6(8)=-3 A11=(-1)2(-3)=-3
M12 = |4 67 9| =(4) 9- 7 (6) =-6 A12=(-1)3(-3)=-3
159
M13 = |4 57 8| =4(8)- 7 (5) =-3 A13=(-1)4(-3)=-3
M21 = |2 38 9| =2(9)- 8 (3) =-6 A21=(-1)3(-6)=6
M22 = |1 37 9| =1(9)- 7(3) =-12 A22=(-1)4(-12)=-12
M23 = |1 27 8| =2(9)- 8 (3) =-6 A21=(-1)3(-6)=6
M31 = |2 35 6| =2(9)- 8 (3) =-6 A21=(-1)3(-6)=³
M32 = |1 34 6| =2(9)- 8 (3) =-6 A21=(-1)3(-
6)=6
M33 = |1 24 5| =2(9)- 8 (3) =-6 A21=(-1)3(-6)=³
Matrik konfaktor2 nya;
[A ij ] = [−3 6 −36 −12 6
−3 6 −3 ]Adjoin Matriks
Adalah ubahan dari matriks-matriks kofaktornya
[Adj . A ] = [−3 6 −36 −12 6
−3 6 −3 ]Tambahan bentuk bentuk khas matriks
7. Matrik balikan (inverse matriks) ialah matriks yg apabila dikalikan dg
suatu matriks bujur sangkar menghasilkan sebuah matriks satuaan
(AA-1=1)
A = [−1 64 3] |A| = [−1 6
4 3] =(-1)(3)-(4)(6)=-27
160
MINOR KOFAKTOR
M11=3 A11=(-1)2(3)=3
M12=4 A12=(-1)3(4)=-4
M21=6 A21=(-1)3(6)=-6
M22=-1 A22=(-1)4(-1)=-1
Matrik konhfaktor = [AIJ ] [ 3 −4−6 −1 ] = ADJ. A= [ 3 −6
−4 −1 ]A-I=
ADJ . AlAl
= [ 3 −6−4 −1 ] [−1/9 2/9
4 /27 1/27]
- 27
AA-1= [−1 64 3] [−1/9 2/9
4 /27 1/27]
=
−1 /9+(6)(4 /27)¿
−2/9+(6)(1/27)¿
−1 /9+(3)(4/27)¿
−2/9+(3)(1/27)¿
(−1 ) ¿¿
= [1 00 1 ]
8. Matriks skalar ialah matriks diagonal yang unsur-unsurnya sama
Matriks ortogonal ialah matriks yg apabila dikalikan dengan matriks
ubahannya menghasilkan matriks satuan
Matrik singular ialah matrik bujur sangkar yg determinannya sama
dengan nol sehingga tidak mempunyai balikan.
Matriks non singular ialah matriks bujur sangkar yang determinannya
tidak sama dengan nol sehingga mempunyai balikan
161
Penerapan m a trik s dalam ekonomi
Matrik s transaksi
Keluara
n
masukan
pertanian industri jasa Permintaa
n
akhir
Keluaran
total
Pertanian 20 35 5 40 100Industri 15 80 60 135 290Jasa 10 50 55 120 235Nilai
tambah
55 125 115 70 365
Keluaran
total
100 290 235 365 990
Pembacaan tabel ke samping
Dari seluruh keluaran sektor pertanian senilai 100 sebesar 20 di gunakan
sebagaI input sektor pertanian, sebesar 35 digunakan sebagai input
sektor industry, sebesar 5 digunakan sebagai input sektor jasa dan
sebesar 40 di beli oleh konsumen akhir. Dan seterusnya.
Pembacaan tabel ke bawah
Dari seluruh keluarga sektor pertanian senilai 100, sebesar 20 berupa
input
dari sektor pertanian, sebesar 15 berupa input dari sektor industri
,sebesar 10 berupa input dari sektor jasa ,dan sebesar 55 merupakan
nilai tambah dari sektor pertanian itu sendiri. Dan seterusnya.
Matriks teknologi
Matriks teknologi di bentuk hanya oleh sektor utama
Pertanian industri jasa Permintaa
n
akhir
Keluaran
total
Pertanian X1 X12 X13 U1 X1
Industri X21 X22 X23 U2 X2
Jasa X31 X32 X33 U3 X3
Nilai
tambah
Y1 Y2 Y3 Um+1 Xm+1
162
Keluaran
total
X1 X2 X3 Xm+1 x
Koefisien teknologi: aij = XijXj
Kasus 1 : untuk matriks transaksi di atas hitunglah keluaran total masing-
masing sektor dan nilai tambahnya jika di targetkan permintaan akhir
terhadap sektor pertanian ,indurtri ,dan jasa masing-masing 100,300,dan
200. susunlah matriks transaksi yang baru !
Matriks teknologi :
P I J
[0,20 0,12 0,020,15 0,28 0,260,10 0,17 0,23] = A
Nilai tambah 0,55
X = (I- A ) -1.U
[1 0 00 1 00 0 1] - [
0,20 0,12 0,020,15 0,28 0,260,10 0,17 0,23] = [
0,80 −0,12 −0,02−0,15 0,72 −0,26−0,10 −0,17 0,77 ]
I A
|I−A| = [0,80 −0,12 −0,02
−0,15 0,72 −0,26−0,10 −0,17 0,77 ]
0,80 −0,12−0,15 0,72−0,10 −0,17
=[(0,80)(0,72)(0,77)+(-0,02)(-0,26)(-0,10)+(-0,02)(-0,15)
(-0,77)]- [(-0,10)(0,72)(0,02)+(-0,17)(-0,26)(0,80)+(0,77)(-0,15)(-0,12)
= 0,38923
|I−A| = [0,80 −0,12 −0,02
−0,15 0,72 −0,26−0,10 −0,17 0,77 ]
163
Minor
M11 = [ 0,72 −0,26−0,17 0,77 ] = 0,5102 - A11 = ( -1)2 (0,5102)=0,51
M12 = [−0,15 −0,26−0,10 0,77 ] = -0,1415 A12 = (-1)3 (0,1415) =0,14
M13 = [−0,15 0,72−0,77 −0,72] = 0,0975 A13 = (-1)4(0,0975) = 0,097
M21 = [−0,12 −0,02−0,17 0,77 ] = -0,0985 A21 = ( -1)3(-0,0985) = 0,095
M22 = [ 0,80 −0,02−0,10 0,77 ] = 0,6140 A22 = (-1)4 (0,6140) = 0,614
M23 = [ 0,80 −0,12−0,10 −0,17] = 0,1480 A23 = (-1)5(-0,1480) = 0,14
M31 = [−0,12 −0,020,72 −0,26 ] = 0,0456 A31 =(-1)4(0,0456) = 0,0456
M32 = [ 0,80 −0,02−0,15 −0,26] = -0,2110 A32 = (-1)5(-0,2110) = 0,2110
M32 = [ 0,80 −0,12−0,15 0,72 ] = 0,5580 A33 =(-1)³(0,5580) = 0,5580
Maktriks kofaktornya :
|I−A| [0,5102 0,1415 0,09750,0958 0,6140 0,14800,0456 0,2110 0,5580]
Adj.(I-A) [0,5101 0,0985 0,04560,1415 0,6140 0,21100,0975 0.1480 0,5580]
( I-A)-1 = Adj (I−A )
I−A
[0,5102 0,0958 0,0450,1415 0,6140 0,21100,0975 0,1480 0,558 ]
0,38923
164
[1,3108 0,2461 0,11710,3635 1,5775 0,54210,2505 0,3802 1,4336 ]
Dengan Demikian =
[x1x 2x 3] = [
1,3108 0,2461 0,11710,3635 1,5775 0,54210,2505 0,3802 1,4336 ] [
100300200 ]
= [131,08+¿73,83+¿23,4236,35+¿473,25+¿108,4225,05+¿114,06+¿286,72]
Sedangkan nilai tambah sector =
Pertanian = 0,55 x 228,33 = 125,58
Industri = 0,43 x 618,02 = 265,75
Jasa = 0,49 x 425,83 = 208,66
Matriks Transaksi yang baru ,
permintaa
n
keluaran
Pertanian industri jasa akhir totalpertanian 45,67 74,16 8,51 100 228,33industri 34,67 173,05 110,72 300 618,02jasa 22,83 105,06 97,94 200 425,83Nilai
tambah
125,58 265,75 208,66
Keluaran
total
228,33 618,02 425,83
0,20 x 228,33 = 45,67 0,12 x 618,02 = 74,16
0,02 x 425,83 = 8,5
0,115 x 228,33 = 34,25 0,28 x 618,02 = 173,05
0,26 x 425,83 = 11,02
0,10 x 228,33 = 22,83 0,17 x 618,02 = 105,06
0,23 x 425,83 = 97,9
165
166