Download - B.1.2. Matematika - Materi pertemuan 1-2
MODUL E-LEARNING
E-LEARNING MATEMATIKA
Oleh : NURYADIN EKO RAHARJO, M.PD.
NIP. 19721015 200212 1 002
Penulisan Modul e Learning ini dibiayai oleh dana DIPA BLU UNY TA 2010 Sesuai dengan Surat Perjanjian Pelaksanaan e Learning
Nomor 1993a.9/H34.15/PL/2010 Tanggal 1 Juli 2010
JURUSAN PENDIDIKAN TEKNIK SIPIL DAN PERENCANAAN
FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA
TAHUN 2010
18
BAB III VEKTOR
I. KOMPETENSI YANG DICAPAI
Mahasiswa dapat :
1. Menggambar vektor dengan sistem vektor satuan.
2. Menghitung perkalian vektor.
3. Menghitung penambahan vektor dengan aturan segitiga, aturan jajaran
genjang, dan aturan poligon.
4. Menghitung pengurangan vektor.
5. Menghitung panjang vektor dalam ruang.
II. MATERI
A. PENGERTIAN
Vektor adalah suatu kuantita/besaran yang mempunyai besar dan arah. Secara
grafis suatu vektor ditunjukkan sebagai potongan garis yang mempunyai arah. Besar
atau kecilnya vektor ditentukan oleh panjang atau pendeknya potongan garis.
Sedangkan arah vektor ditunjukkan dengan tanda anak panah.
Dalam gambar vektor di samping, titik A disebut titik
awal (initial point) dan titik P disebut titik terminal
(terminal point). Pada gambar tersebut vektor dapat
ditulis dengan berbagai cara seperti, AB a
, a atau a.
Panjang vektor juga dapat ditulis dengan berbagai cara
seperti | AB |, | AB |, | a
|, | a |, atau a .
Disini kita akan memakai simbul AB atau a untuk menyatakan vektor dan
| AB | atau | a | untuk menyatakan besaran (modulus) dari vektor tersebut. Contoh
vektor misalnya lintasan, kecepatan, percepatan, dan gaya.
Skalar adalah suatu kuantita yang mempunyai besaran tetapi tidak
mempunyai arah. Suatu skalar adalah bilangan nyata dan secara simbolik dapat
ditulis dengan huruf kecil. Operasi skalar mengikuti aturan yang sama dengan aturan
operasi aljabar elementer.
A
B
AB = a
19
B. VEKTOR SATUAN
Untuk menggambarkan suatu vektor
pada sistem koordinat kartesean
diperlukan vektor satuan. Vektor
dari titik (0,0) sampai titik (1,0)
adalah vektor satuan i . Vektor dari
titik (0,0) sampai titik (0,1) adalah
vektor satuan j .
Arah vektor i positif sesuai dengan arah sumbu X positif. Arah vektor j
positif sesuai dengan arah sumbu Y positif. Pada gambar disebelah ini vektor a
dengan titik awal P dan titik akhir Q diuraikan menjadi dua vektor yaitu vektor ia1
dan ja2
. Vektor 1
a dan 2
a disebut komponen vektor a . Besaran 1
a dan 2
a
disebut komponen skalar a . Secara simbolis vektor a dan komponennya ditulis a
= ia1
+ ja2
C. ALJABAR VEKTOR
Aljabar vektor adalah operasi pada dua atau lebih dari vektor yang meliputi
penambahan, pengurangan dan perkalian. Operasi vektor dapat dilakukan melalui
komponen-komponen skalarnya.
1. Kesamaan Dua vektor
Dua vektor dikatakan sama apabila panjang serta
arahnya sama.
a = b jika a = b dan arah a = arah b
X
Y
(1,0)
(0,1)
i
j
P
Q
(0,0)
a
ia1
ja2
a b
20
2. Vektor Negatif
Vektor – a mempunyai ukuran sama dengan
vektor a tetapi arahnya berlawanan.
Jika vektor a = - b maka a = -b .
Vektor negatif sering disebut sebagai vektor
invers.
3. Perkalian Vektor dengan Skalar
Jika k bilangan real yang positif, maka k u
adalah vektor yang panjangnya k u dan
mempunyai arah yang sama dengan u .
Sedangkan –k u adalah vektor yang panjangnya
k u tetapi arah berlawanan dengan u .
4. Penjumlahan Vektor
a) Aturan Segitiga
Perhatikan gambar di samping. Jika AB dan
BC mewakili a dan b maka AC dikatakan
penjumlahan vektor a + b .
b) Aturan Jajaran Genjang
AB dan DC mewakili vektor a
BC dan AD mewakili vektor b ,
maka AC = a +b
atau AC = b + a .
a
ba
u
uk
ba
a
b
ba
a
b b
a
ab
21
c) Aturan Polygon
Penjumlahan tiga vektor atau lebih dapat dilakukan dengan menggunakan
aturan poligon.
5. Selisih Dua Vektor
Selisih dua arah vektor a dan b , dinyatakan sebagai a – b , dapat
dipandang sebagai penjumlahan vektor a dengan invers vektor b yaitu
vektor – b .
Misalkan a – b = c maka c = a +(–b )
Secara diagram selisih dua vektor tersebut seperti gambar berikut.
6. Vektor Nol
Jika vektor a = b maka a – b = 0. 0 disebut vektor nol. Vektor nol tidak
mempunyai besar dan arahnya tak tentu.
ba a
b
b
a c
c
cba
a
b
a bac
b
22
Dalam aljabar vektor, misalkan vektor a = ia1
+ ja2
dan vektor b = ib1
+ jb2
maka berlaku aturan :
a). a = b jika dan hanya jika ia1
= ib1
dan ja2
= jb2
b). m. a = m. ia1
+ m. ja2
untuk m suatu skalar
c). a + b = (1
a + 1
b ) i + (2
a + 2
b ) j
d). a - b = (1
a - 1
b ) i + (2
a - 2
b ) j
e). a . b = 0 jika a = 0 atau b = 0 atau a tegak lurus dengan b
f). i . i = j . j = 1 dan i . j = 0
g). a . b = ( ia1
+ ja2
) . ( ib1
+ jb2
) = 1
a . 1b +
2a .
2b
h). a = 2
2
2
1aa
i). = arc tan ( 2
a / 1
a )
j). a . b = a b cos γ
D. VEKTOR DALAM RUANG TIGA DIMENSI
Vektor OP disefinisikan oleh komponen-
komponenya :
a sepanjang OX
b sepanjang OY
c sepanjang OZ
Misalkan i = vektor satuan dalam arah OX
j = vektor satuan dalam arah OY
k = vektor satuan dalam arah OZ
maka :
OP = ckbjai
OL2 = a
2 + b
2 dan OP
2 = OL
2 + c
2
OP2 = a
2 + b
2 + c
2 jadi ckbjair
O
X
a
L
b
c r
P
Z
Y
23
Contoh penyelesaian soal :
1. Diketahui vektor a = 3i + 4j dan vektor b = 2i + j. Hitunglah harga-harga : a +
b ; b + a ; a – b ; b – a ; a . b ; sudut a ; sudut b ; a .b dan b . a .
Jawab :
Dari vektor a dan b tersebut dapat diketahui bahwa 1
a = 3 ; 2
a = 4 ; 1
b = 2
dan 2
b = 1 , sehingga diperoleh :
a). a + b = (1
a +1
b ) i + (2
a + 2
b ) j = ( 3 + 2 ) i + ( 4 + 1 ) j = 5i + 5j
b). b + a = (1
b + 1
a ) i + (2
b + 2
a ) j = ( 2 + 3 ) i + ( 1 + 4 ) j = 5i + 5j
c). a – b = (1
a – 1
b ) i + (2
a – 2
b ) j = ( 3 – 2 ) i + ( 4 – 1 ) j = i + 3 j
d). b – a = (1
b – 1
a ) i + (2
b – 2
a ) j = ( 2 – 3 ) i + ( 1 – 4 ) j = -i – 3j
e). a = 2
2
2
1aa =
2243 = 25169 = 5
f). b = 1412bb22
2
2
2
1 = 5
g). Sudut a adalah = arc tan (2
a /1
a ) = arc tan ( 4/3 ) = 53,1301 atau
= 53 7 48.36”
h). Sudut b adalah = arc tan (2
b /1
b ) = arc tan ( ½ ) = 26,565051 atau
= 26 33 54,18”
i). a . b = 1
a . 1
b + 2
a . 2
b = 3 . 2 + 4 . 1 = 6 + 4 = 10
j). b . a = b1 . 1a +
2b .
2a = 2 . 3 + 1 . 4 = 6 + 4 = 10
Jawaban i). dan j). dapat juga menggunakan aturan
a . b = a . b cos .
dalam hal ini adalah sudut antara a dan b .
Dengan aturan tersebut diperoleh :
a . b = a . b cos = 5 5 cos ( - ) = 5. 5 cos (53,13 – 26,56)
= 5. 5 cos 26,57 = 5. 5 . 0,894427191 = 10
b . a = b . a cos = 5 . 5 cos ( - ) 5 . 5 cos (-26,57) = 10
24
2. Diketahui vektor-vektor a , b dan c seperti di bawah ini .
Lukislah secara grafis operasi vektor : a - b +2. c dan 3 c - 0,5(2 a - b ).
Jawab :
a - b +2. c = a + (- b ) + 2 . c
3 c - 0,5(2 a -b ) = 3 c + [-0,5{2 a + (- b )}]
a
c
b b
a
c2ba
c2
a
c
b
b
a2
ba2
c3
3 c + [-0,5{2 a + (- b )}]
1/2(2 a +(- b )
25
Soal-soal vektor :
1. Gambarlah vektor-vektor dibawah ini pada koordinat kartesean.
a). a = 4i+5j b). b = -4i+5j c). c = -4i–5j d). d = 4i – 5j
2. Gambarlah dan tuliskan dalam bentuk vektor ai + bj yang memiliki ketentuan
sebagai berikut :
a. Dari titik sumbu ( 0 , 0 ) ke titik ( 2 ; -3 )
b. Dari titik ( 2 ; 3 ) ke titik ( 4 ; 2 )
c. Mempunyai besar 6 dengan arah 150
3. Diketahui vektor a = 1,5 i + j3 dan vektor b = 2 - 5j
Hitunglah : a. a + b b. a – b c. a . b
4. Vektor a = 3i + 4j ; vektor b = 2i + 5j dan vektor c = -5i + 3j.
Hitunglah : a. a + b b. a + b + c c. a . b . c
5. Hitunglah kerja yang dilakukan vektor 6i + 8j pada vektor 2i + 3j.
6. tentukan besarnya sudut pada vektor-vektor i + j ; 2i – 3j dan 5j.
7. Vektor a = 1i + 5j, vektor b = -5i – 7j dan vektor c = 3i – 7j.
Gambarlah : a. 2 . a – b + c b. b – 0.25 ( a –2. c ) c. a +b +3 c
26
PERKALIAN SKALAR ANTARA DUA VEKTOR 2D
Jika a dan b adalah dua buah vektor, maka perkalian skalar antara a dengan
b didefinisikan sebagai a . b cos
Dimana a = besar vektor a
b = besar vektor b
a = sudut yang diapit oleh vektor a dan b
b
Perkalian skalar dinyatakan dengan a . b sehingga juga disebut sebagai
perkalian titik
Jadi a . b = a . b . cos
= a . proyeksi b pada a
atau = b . proyeksi a pada b
Hasil dari perkalian skalar antara dua vektor berupa besaran skalar
PERKALIAN SKALAR ANTARA DUA VEKTOR 3D
Jika a = ia1
+ a2j + a3k
b = b1i + b2 j + b3k
maka
a . b = ( ia1
+ a2j + a3k ) (b1 i + b2 j + b3k )
a . b = a1 . b1 + a2 . b2 + a3 . b3
Rumus tersebut berasal dari perhitungan sebagaiberikut :
a . b = ( ia1
+a2j + a3k ) (b1 i + b2 j + b3k )
= (a1 . b1 .i.i ) + (a1 . b2 .i.j ) + a1 . b3. i.k )
+ (a2. b1 . j.i ) + (a2 . b2. j.j ) + (a2 . b3 . j. k )
+ (a3 . b1 k.i ) + (a3. b2 . k.j ) + (a3 . b3 k.k )
ingat : i . i = j . j = k . k = 1 . 1. cos 0 = 1
i . j = j . k = k . i = 1 . 1. cos 90 = 0
27
Sehingga
a . b = a1 . b1 + a2 . b2 + a3 . b3
Contoh soal.
Jika a = 2i +3j +5k dan b = 4i +j +6k
Maka a . b = 2.4 + 3.1 + 5.6
= 8 + 3 + 30
= 41
PERKALIAN VEKTOR ANTARA DUA VEKTOR
Perkalian vektor antara a dan b ditulis a x b sehingga juga disebut sebagai
perkalian silang.
a x b didefinisikan sebagai vektor yang mempunyai besar a . b sin
= sudut antara vektor a dengan b
Arah vektor hasil kali a x b tegak lurus dengan vektor a dan b
Catatan :
Dalam perkalian vektor ( silang ) membentuk
sistem kanan sehingga jika b x a hasilnya tegak
lurus ke bawah.
Jika = 0 maka a x b = a x b sin 0 = 0
Jika = 90 maka a x b = a x b sin 90 = a x b
Sehingga :
i x i = j x j = k x k = 1 . 1 sin 0 = 0
i x j = 1 . 1 sin 90 = 1
b
a
a x b
b x a
28
Dalam arah OZ maka i x j = k
Jadi i x j = k tetapi j x i = -k
j x k = i k x j = -i
k x i = j i x k = -j
jika : a = ia1
+ a2j + a3k
b = ia1
+ b2 j + b3k
maka :
a x b = ( ia1
+ a2j + a3k ) x (b1 i + b2 j + b3k )
= a1 . b1 i x i + a1 . b2 i x j + a1 . b3 i x k
+ a2. b1 j x i + a2 . b2 j x j + a2 . b3 j x k
+ a3 . b1 k x i + a3. b2 k x j + a3 . b3 k x k
ingat rumus perkalian vektor satuan di depan, sehingga
= 0 + a1 . b1 k + a1 . b3 ( -j )
+ a2. b1 ( -k ) + 0 + a2 . b3 i
+ a3 . b1 j + a3. b2 ( -i ) + 0
= (a2 . b3– a3. b2 ) i+ (a3 . b1– a1 . b3 ) j + (a1 . b2– a2. b1 ) k
Jika susunannya dibalik menjadi
a x b = (a2 b3– b2 a3 ) i – (a1 b3 – b1 a3) j + (a1 b2 – b1 a2) k
Rumus diatas jika disusun dalam bentuk determinan sebegai berikut
a x b = i j k
a1 a2 a3
b1 b2 b3
= i a2 a3 - j a1 a3 + k a1 a2
b2 b3 b1 b3 b1 b2
Bahan Diskusi:
Mengapa perkalian vektor antara dua vektor hanya ada dalam vektor 3
dimensi?
29
Contoh 1 :
Diketahui p = 2i + 4j + 3k
q = i + 5j – 2k
Hitung p x q
Jawab :
p x q = i j k
2 4 3
1 5 -2
= i 4 3 -j 2 3 + k 2 4
5 -2 1 -2 1 5
= i ( - 8 – 15 ) – j ( -4 – 3 ) + k ( 10 – 4 )
= -23i + 7j + 6k
Contoh 2 :
Jika m = 3i - 4 j + 2k
n = 2i + 5j – k
Hitunglah m x n
30
SUDUT ANTARA DUA VEKTOR
( Dengan cosinus arah )
Misal OP = a = ia1
+ a2j + a3k maka a = 2
3
2
2
2
1aaa
Maka : a
a1 = cos = l
a
a2 = cos = m
a
a3 = cos = n
l ,m, n disebut cosinus arah vektor OP
Contoh 1 :
Tentukan cosinus arah vektor a = 3i – 2j + 6k
Jawab : a1 = 3, a2= -2, a3= 6
a = 2226)2(3 = 49 = 7
l= a
a1 =3/7 ; m =
a
a2 = -2/7 ; n =
a
a3 = 6/7
α β
γ
Y
X
Z P
a1
a2
a3 a
31
Jika :
Cosinus arah p adalah l,m,n
Cosinus arah 1p adalah 1′,m′,n′
Maka :
Cos = l.l1 + m.m
1 + n.n
1
Contoh 2 :
Jika cosinus arah vektor a adalah l, m, n = ½ , 0,3, -0,4
Cosinus arah vektor b adalah l1,m1,n1 = 0,25, 0,6, 0,2
Maka sudut antara vektor a dengan b adalah
Cos = l.l1 + m.m
1 + n.n
1
= (1/2)(0,25) + (0,3)(0,6) +(-0,4)(0,2)
=0,125 + 0,18 – 0,08
= 0,225
Sehingga
= arc cos 0,225
= 77
θ
Y
X
Z P
P1
32
Soal latihan : Diketahui vektor a = 5i + 4j + 2k
b = 4i – 5j + 3k
c = 2i – j -2k
Hitunglah :
a) sudut antara vektor a dengan vektor b
b) sudut antara vektor b dengan vektor c
c) sudut antara vektor a dengan vektor c