Download - Aula Matemáticas ''El Mundo'' Láminas33
7/25/2019 Aula Matemáticas ''El Mundo'' Láminas33
http://slidepdf.com/reader/full/aula-matematicas-el-mundo-laminas33 1/3
AULADE E L MU NDO
8
Lo que aparentemente es sólo un juego puede convertirse en un valioso modelodonde estudiar dificIles temas matemáticos. Un caso estrella es el del juego de lasTorres de Hanoi inventado en 1883 por el matemático francés Edouard Lucas. Alabrigo de una preciosa leyenda inventada por Lucas, se hizo muy famoso a finalesdel siglo XIX. Con el tiempo la computabilidad hizo uso del juego para estudiar nadamenos que la eficiencia de algoritmos.
por Lolita Brain
¿CUÁNTO DURARÁ
EL MUNDO?
www.lolitabrain.com
En Benarés, en la India,cuenta la leyenda queel Dios creador Brah-
ma entregó a los monjestres vástagos diamanti-nos sobre una base debronce. Ensartó enton-ces 64 discos de oro,todos de dimensionesdistintas, en uno de lasvarillas, dispuestas demodo que el mayor estu-viera en la base y los dis-cos fueran decreciendo en tamaño. Y ordenó entonces a losmonjes que moviesen toda la Torre de Brahma a otro de los vás-tagos de modo que en cada traslado sólo un disco dorado fuesemovido, y de modo tal que nunca un disco tuviera bajo sí otro demenor tamaño. Al final sentenció: “Cuando hallais acabado latarea el mundo se vendrá abajo como montaña de polvo”.
Pn ara que comprendamos por qué este juego puederesolverse recursivamente, vamos a fijarnos en unaTorre de Hanoi con cuatro discos y vamos a solucionarlo
utilizando el procedimiento que conocemos para el de 3discos. De este modo, para resolver una torre de 4, senecesita solucionar la de 3 discos. A su vez la solución de latorre de 3 discos, se reduce a la de 2. Esta es la recursión.
Según la leyenda, el mundo duraría el tiempo inverti-do por los monjes en resolver una Torre de Hanoide 64 discos. Si bien, solucionar el juego no es muy
difícil, el número de movimientos necesarios parahacerlo crece exponencialmente conforme aumentael número de discos. Contemos utilizando la recursi-vidad de la solución.
Un procedimiento se llama ALGORÍTMICO si puede mecanizarse através de un conjunto finito de instrucciones elementales y fijados deantemano. Por ejemplo, la forma que inventó Euclides para calcularel máximo común divisor o cómo preparar un plato culinario.
El proceso algorítmico se denomina RECURSIVO cuando su ejecuciónrequiere de la repetición similar de pasos, en cada uno de los cualesel procedimiento se llamaa sí mismo para ejecutarse pero sobre valo-res menores de algún parámetro. Es similar a los fenómenos autorre-ferentes.
Este es el estado inicialdel juego con 4 discos.
Tras siete movimientosconseguimos movertres discos a otro vásta-go. La pieza mayor nose ha movido todavía.
En un movimiento lle-vamos el disco mayoral vástago vacío.
Con siete movimientosmás llevamos la pila detres discos sobre eldisco mayor. El juegoha terminado.
¿TENÍA RAZÓN BRAHMA?
K URT GÖDEL
(1906 -1978)
¿POR QUÉ ES RECURSIVO ESTE JUEGO?
An continuación pue-des ver una soluciónde las Torres de
Hanoi, para el caso detres discos. Son
necesarios sietem o v i m i e n t o scomo mínimopara resolvereste sencillo
caso.
ASÍ SE JUEGA
Nº DE DISCOS Nº MÍNIMO DE MOVIMIENTOS
1=20
Estado inicial. Llevar la torre a unvástago vacío.
El primer movimiento es obvio.
El segundo también esta decidido.
Hacemos sitio para mover el mayor
Movemos el disco mayor. ¡Por fin!
Ahora volvemos al paso uno.
Repetimos el paso dos y ¡ya está!
2 TORRES DE 2 + 1 MOVIMIENTO
DEL DISCO MAYOR
2 TORRES DE 3 + 1 MOVIMIENTO
DEL DISCO MAYOR
2 TORRES DE 4 + 1 MOVIMIENTO
DEL DISCO MAYOR
3+1+3=7=23-1
7+1+7=15=24-1
15+1+15=31=25-1
7 mvtos.
7 mvtos.
1 mvto.
LA RECURSIVIDAD Y LA LÓGICACuando desde el primer ter-cio del siglo XX, losmatemáticos se adentraronen la computabilidad y en laautomatización del razona-miento, encontraron un tipoespecial de funciones, lasllamadas FUNCIONES RECUR-SIVASPRIMITIVASa partir de lascuales es posible construirtodo el acervo matemáticocomputable. Por supuestoestas funciones son recursi-vas no sólo por su nombre.
LA LEYENDA
1+1+1=3=22-1
2 TORRES DE 1 + 1 MOVIMIENTO DEL
DISCO MAYOR
Si los discos son 64, como en la leyenda, se necesitan264-1=18.446.744.073.709.551.615 movimientos.Invirtiendo 1 segundo por movimiento y dedicando 24horas al día se necesitarían casi 6.000 millones desiglos.
7/25/2019 Aula Matemáticas ''El Mundo'' Láminas33
http://slidepdf.com/reader/full/aula-matematicas-el-mundo-laminas33 2/3
7/25/2019 Aula Matemáticas ''El Mundo'' Láminas33
http://slidepdf.com/reader/full/aula-matematicas-el-mundo-laminas33 3/3
AULA .730 .05 .02EL MUNDO
Jueves cientí fico
Incluso el corazón de los matemáticos se siente tocado por el influ- jo primaveral , y antes de que se escape mayo no hemos queridodejar pasar la ocasión de relatarte algunas historias relacionadas conlos matemáticos y el amor. Si bien es verdad que a lo largo de lahistoria los matemáticos no han sido personajes especialmente es-candalosos, sino más bien personas tímidas y aisladas, tras rebuscaren las biografías de muchos de ellos hemos localizado algunos casosde soltería empedernida junto a otros esposos prolíficos. También hayhistorias de engaños y amantes, de homofobia y de apasionadosromances. Disfruta de esta crónica rosa de las matemáticas.
L A P R I M A V E R A L A S
M A T E M A T I C A S A L T E R A
por Lol ita Bra in
El que es considerado pad re de la computa bili-dad teór ica, el que descifró los códigos de los
nazis en la II Guerra Mund ial descodificando
la máquina Enigma, el que trabajó en el primer
centro de cálculo automá tico de Inglaterra con
el Mark I , e l mismo que fue conde -
co r ado nada m ás y nada m e-
nos que con la Orden del Im-
perio Británico en 1946,
fue víctima de un arcaico
sistema judicial que le
llevó al suicidio en
1954, cuando con taba
42 años. Nos referimos
a Alan M. Turing.
Perteneciente a una fa-
milia colonial británica,
Alan fue fruto del en cor-
setado sistema social
británico de la época vic-
toriana. Un mundo en el
que la doble moral estaba
al orden del d ía . De este
modo, las relaciones íntimas
eran repr imidas en pú bl ico y
consentidas en privado.
De igual modo suce día en las insti-
tuciones públicas de ens eñanza, dond e Alan se
educó. Primero en el Sherborn e College y después
en el Kings College de Ca mbridge, las relacio-
nes entre a lumnos se practicaban, disimulaban
y consentían mientras no salieran del campus.
Alan d escubrió su condición alrededor de 1928 al
conocer a Christopher Morcom, con quien man-
tuvo un amor platónico que le señalaría para siem-
pre. La desgracia llegó cuando Chris falleció con
18 años en 1930. Su muer te marcar ía aún m ás
la vida ya de por sí solitaria e introvertida de Alan,
quien, no obstante, man tuvo siempre su sexuali-
dad a ctiva. Hacia 1945, cuando traba jaba en el or-
denador Colossus , le ofreció matrimonio a una desus colegas en Bletchley Park, llamada Joan Clark,
la cual aceptó gustosamente. Turing hubo de re-
tractarse despu és del ofrecimiento, hablándole a
su prom etida acerca de su realidad. Aunque lo
peor estaba por llegar.
En la Na vidad de 1951, Turing
entabló una relación con un
jo ve n dese m ple ado de
Manchester . A pr inci -
pios de 1952, su casa
fue asal tada por un
amigo de su amante, y
Turing acudió a la po-
licía, sin revelar su re-
lación. Cuando se de s-
cubrió la historia com-
pleta , ar restaron a
Tur ing por indecencia ,
y le llevaron a juicio el 31
de ma rzo de 1952. En la
cor te , Tur ing no negó su
condición, y expuso una d e-
fensa de sus preferencias, que
manifestó haber mantenido du-
rante toda su carrera, incluso cuando
trabajaba para el gobierno en Mánchester.
Eso le valió ser conden ado a pr isión, pena q ue con-
mutó por un año de tratamiento con
estrógenos (hormonas femeni-
nas) que le causaron impo-
tencia, y le hicieron br otar se-
nos. Para él, que h abía sido
atleta toda su vida, corredor
de fondo -como buen solita-
rio, y casi participante en unos
JJOO-, la hum illación recibida
le llevó al suicidio con man zana s
envenadas con
cianuro.
Erwin R. J.A. Schrö-
dinger (1887-1961),
padre de la Química
del s ig lo XX, se casó
con 37 años con Anny
Bertel.
Hacia 1933, y a pesa r
de se r católico, decidió
abandona r A l em an i a
avergon zado de vivir la per-
secución de los judíos.
Schrödinger recibió una so-
l ic i tud para t rabajar
en Oxford y pidió ,
de modo inexplica-
ble , la asisten-
cia de un colega,
Ar t hu r Mar ch . Y
es que Schrödin-
ger sent ía tanta
atracción por las
mujeres como por
los átomos y a la sazón
la esposa de Ar thur era su
amante , de la que se habr ía se-
parado si no hu biera ofrecido un
puesto a su marido.
P e r o l a r e l ac i ón m a t r i m on i a l de
Schrödinger con Anny no era muy
dulce: ella estaba acostum brada
a las amantes de é l , de las que
estaba a l cor r iente . . . pero es
que e l la f ue am an t e du r a n t e
años de uno de los colabora-
dores más cercanos de su ma-
r ido: Herm ann Weyl (1885-
1955). ¡Así, todo queda ba en el la-
boratorio!
E
variste Galois (1811- 1832) es el protagonista de
una de las historias más apasionadas de la His-toria de las matemáticas. Hijo de la Revolución
F r ancesa y de f enso r de l o s de r echos c i v il e s , e s
recordado por haber zanjado por completo uno
de los problemas más persistentes a lo largo de la
historia: la res olución d e las
ecuaciones. Su revolucio-
na r i a t eo r í a , denom i nada
Teoría de Galois, opera so-
b r e e l á l geb r a abs t r ac t a y
fue descubierta por él cuan-
do contaba apenas 20 años.
A l a e d a d d e 2 1 , e s t a n d o
preso y para evitar una epi-
dem i a de có l e r a , fue con -
ducido a un centro h ospitalario, donde con oció y se
quedó prend adó de Steph anie, hija del doctor Po-terin, quien le trataba. En seguida se e namora ron
(el pr imer am or de am bos sin duda ) , ta l y como
refleja Galois en algunas de s us cartas. Su situación
persona l era temible: preso, enfermo, luchand o por
ser aceptado por la Academia,
ayudado só l o po r e l am or de
S t ephan i e . P e r o , m eses des -
pués, ella le dejó para ca sarse
con un profesor de Lengua. Ga-
lois, descon solado, escribe a su
amigo Chevalier
¿Cómo pu edo con sol ar me
cuando, en un m es, he
agota do la m ás rica fuent e de
fel icidad que puede tener el hom bre, cuando la h e
agotado sin fel icidad, sin esperanza, cuando estoy cierto de haberla secado de por vida?
No sabemos si la causa fue la ruptura desespera-
da de Steph anie, pero el caso es que el 29 de abril
de 1832 Galois salió de la cárce l . El 30 de Mayo es -
cribió tres cartas: a todos los republicanos, a sus
buen os am igos N.L. y V.D y a A. Chevalier. En ellas
anun cia su muerte al día siguiente en un du elo al
que ha sido “impos ible negarme ” y aña de, “víctima
de una infame coqueta”.
Así fue: la mañ ana del 30 de ma yo Galois mor ía
en un duelo , por las her idas por p isto la empuña-
da por alguien que, aún hoy, se desconoce. Como
dejó escrito “...faltan cosas por comp letar en e sta
demostración. No tengo tiempo”. Tenía 21 años.
SRINIVASA RAMANUJAN
ERWIN SCHRÖDINGER
HERMANN W EYL
Casos bien distintos son los d e Nikolai I. Lobache vsky (1782-1856), ca-sado en 1832 con Lady Varvara Alexivna Moisieva, cuando ella era un a ado-lescente y él tenía 40 años . De es te matr imon io nacieron nada m enosque siete h ijos. Pierre Sim on Lapla ce (1749-1827) se casó en 1788 conMarie-Charlotte de Courty de Romanges, que era 20 años m ás joven queél. Laplace ten ía 39 años.Por el contrario, Srinivasa Ramanu jan (1887-1920) se casó con S. Jan a-ki Ammal cuan do él contaba 12 años y ella tan sólo nueve. La boda, porsupues to, fue un arreglo de su madre según la cos tumbre india. Rama-nujan n o vivió con su esposa hasta que ésta tuvo 12 años.
N IKOLAI I. LOBACHEVSKY PIERRE S IMON LAPLACE