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Faremos a combinação dos métodos da estatística descritiva apresentada nas primeiras aulas com os métodos de probabilidade. Através de uma distribuição de probabilidades será possível prever qual é a probabilidade de obter um dado evento após um particular número de ocorrências. Exemplo: Determinar a probabilidade de que não haja chuva ou chova em um, dois ou nos três dias.
0 1 2 3 4 50.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
0.45
0.50
x
Prob
abilid
ade
Dias de chuva
P(x)
Números de dias com chuva
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O resultado do lançamento de uma moeda pode ser utilizado para tomar decisões, por exemplo:
O árbitro de uma partida de futebol sorteia quem inicia o primeiro tempo do jogo e ainda o ganhador do sorteio escolhe a metade do campo onde sua equipe iniciará o jogo.
Outras vezes, o resultado da moeda é para realizar uma tarefa agradável ou não etc.
Embora o resultado do sorteio possa ser utilizado com diferentes finalidades, o experimento aleatório lançamento de uma moeda permanece o mesmo, mantendo os mesmos resultados.
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Cada vez que o experimento for repetido, seu resultado pertencerá a esse espaço amostral, sendo cada resultado denominando ponto amostral
Em vez de operar com o espaço amostral, agora utilizaremos um conceito mais amplo denominado variável aleatória, que adota valores de acordo com os resultados de um experimento aleatório.
Um experimento é aleatório se não for possível antecipar seu resultado, apesar de conhecer todos os resultados possíveis que definem o espaço amostral do experimento.
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Uma variável aleatória, x, é o resultado numérico de um experimento probabilístico.
x = o número de pessoas num carro.
x = quantos metros cúbicos de gás são comprados numa semana.
x = o tempo que leva para ir de carro de casa até a escola.
x = o número de vezes que você vai à escola por semana.
Variáveis aleatórias
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Uma variável aleatória é discreta se o número de resultados possíveis é finito ou pode ser contado. Variáveis aleatórias discretas são determinadas por uma contagem. Por exemplo, o número de peças rejeitadas por lote numa linha de produção é uma VA discreta.
Uma variável aleatória é contínua se pode assumir qualquer valor dentro de determinado intervalo. O número de resultados possíveis não pode ser listado. Variáveis aleatórias contínuas são determinadas por uma medição. Por exemplo, o lucro líquido mensal de uma empresa é uma VA contínua.
Tipos de variáveis aleatórias
0 1 2-1-2
Número de resultados infinitos
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x = o número de pessoas em um carro.
x = quantos metros cúbicos de gás são comprados numa semana.
x = o tempo que leva para ir de carro de casa até a escola.
x = o número de vezes que você vai à escola por semana.
Identifique cada variável aleatória como discreta ou contínua.
Discreta – você conta o número de pessoas: 0, 1, 2, 3… Os valores possíveis podem ser enumerados.
Contínua – você mede os metros cúbicos de gás. Você não pode enumerar todos os valores possíveis.
Contínua – você mede a quantidade de tempo. Os valores possíveis não podem ser enumerados.
Discreta – você conta o número de vezes que vai. Os valores possíveis podem ser enumerados.
Tipos de variável aleatória
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Uma distribuição discreta de probabilidade enumera cada valor possível da variável aleatória, bem como sua probabilidade.
Em um levantamento, perguntou-se a uma amostra de famílias quantos veículos elas possuíam.
x P (x )0 0,0041 0,4352 0,3553 0,206
número de veículos
Propriedades de uma distribuição de probabilidade• Cada probabilidade precisa estar entre 0 e 1, inclusive.
• A soma de todas as probabilidades é 1.
Distribuições discretas de probabilidade
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• A altura de cada barra corresponde à probabilidade de x.
• Se a largura da barra é 1, sua área corresponde à probabilidade de que o valor de x ocorra.
0 1 2 3
0
0,10
0,20
0,30
0,40
P(x
)
0,004
0,435
0,355
0,206
Número de veículos
x0 1 2 3
Histograma de probabilidade(similar ao histrograma de frequência relativa)
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A variância de uma distribuição discreta de probabilidade é:
O desvio padrão de uma distribuição discreta de probabilidade é:
A média de uma distribuição discreta de probabilidade é:
Valor esperado pela distribuição de probabilidade – similar aos determinados pelas tabelas de frequências
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Média (valor esperado)
Multiplique cada valor por sua probabilidade. Some os produtos.
O valor esperado (a média) é de 1,763 veículo.
x P (x ) xP (x )0 0,004 01 0,435 0,4352 0,355 0,713 0,206 0,618
1,763Soma dos Produtos =
Procedimento para o cálculo da média:
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Cálculo da variância e o desvio padrão
O desvio padrão é de 0,775 veículo.
A média é de 1,763 veículo.
x P (x ) x- (x - ) P(x)(x - )0 0,004 -1,763 3,108 0,0121 0,435 -0,763 0,582 0,2532 0,355 0,237 0,056 0,0203 0,206 1,237 1,530 0,315
0,601
μ μ P(x)
0,661 0,775
Tabela de Determinação da Variância
variância=
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Construindo uma distribuição de probabilidades
Número de computadores por família em uma pequena cidade
Computadores 0 1 2 3
Famílias 300 280 95 20
Gerando a distribuição de probabilidades
N. Computadores = x Fi P
0 300 300/695 = 0.43165
1 280 280/695 = 0.40288
2 95 95/695 = 0.13670
3 20 20/695 = 0.02878
Total 695 1
Da tabela abaixo, construir uma distribuição de probabilidade e, a partir desta, determinar a média, variância e desvio padrão.
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Cálculo da variância e o desvio padrão
Tabela de Determinação da Variância
x P(x) x . P(x) x - μ (x- μ)2 P(x)
0 0.43165 0 -0.76262 0.251043
1 0.40288 0.40288 0.23738 0.022702
2 0.13670 0.27340 1.23738 0.209303
3 0.02878 0.08634 1.23738 0.044065
Total 1 0.76262 ----- 0.527113
MédiaVariância
7260.0527113.02 Desvio Padrão
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Distribuições Binomiais
n = número de vezes que uma tentativa é repetida.p = prob. de sucesso de uma única tentativa.q = prob. de fracasso de uma única tentativa.x = contagem do número de sucessos em n tentativas.
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• O número de tentativas é fixo (n).
• As n tentativas são independentes e repetidas em condições idênticas.
• Para cada tentativa há dois resultados possíveis,S = sucesso ou F = fracasso.
• A probabilidade de sucesso numa tentativa única é p. P(S) = p
A probabilidade de fracasso é q. P(F) =q, onde p + q = 1
• O problema central está em determinar a probabilidade de x sucessos em n tentativas, sendo x = 0 ou 1 ou 2 … n.
Experimentos binomiaisCaracterísticas de um experimento binomial
A variável aleatória x é uma CONTAGEM (ñ probabilidade)do número de sucessos em n tentativas.
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1. Qual é o 11o dígito depois do ponto decimal de um número irracional e?(a) 2 (b) 7 (c) 4 (d) 5
2. Qual foi o Índice Dow Jones em 27 de fevereiro de 1993?(a) 3.265 (b) 3.174 (c) 3.285 (d) 3.327
3. Quantos jovens do Sri Lanka estudaram em universidades norte-americanas entre 1990 e 1991?(a) 2.320 (b) 2.350 (c) 2.360 (d) 2.240
4. Quantos transplantes de rins foram feitos em 1991?(a) 2.946 (b) 8.972 (c) 9.943 (d) 7.341
Tente adivinhar as respostas
e = 2.718281828459045
5. Quantos verbetes há no dicionário Aurélio?(a) 60.000 (b) 80.000 (c) 75.000 (d) 83.000
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Resultados do teste
Conte o número de questões a que você respondeu corretamente. Chamemos esse número de x.
Por que esse foi um experimento binomial?
Quais são os valores de n, p e q?
Quais são os valores possíveis de x?
As respostas corretas são:1. d 2. a 3. b 4. c 5. b
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Um teste de múltipla escolha tem oito questões, cada qual com três alternativas, uma delas correta. Você quer saber qual a probabilidade de ‘chutar’ certo em exatamente cinco questões.Determine n, p, q e x.
Um médico lhe diz que certa cirurgia é bem-sucedida em 80% das vezes. Se a cirurgia for realizada sete vezes, determine a probabilidade de ser bem-sucedida em exatamente seis. Determine n, p, q e x.
n = 8 p = 1/3 q = 2/3 x = 5
n = 7 p = 0,80 q = 0,20 x = 6
Experimentos binomiais
Prob. de acerto Prob. de errar
Prob. de ser bem-sucedida
Prob. de ser mal-sucedida
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Determine a probabilidade de acertar exatamente 3 questões num teste de 5 questões de múltipla escolha, sendo cada questão composta de 4 alternativas
Escreva as primeiras três corretas e as últimas duas erradas como AAAEE
Como são eventos independentes temos a prob. de um possível resultado:
P(A ∩ A ∩ A ∩ E ∩E) = P(A).P(A).P(A).P(E).P(E) P(A ∩ A ∩ A ∩ E ∩ E) =(0,25)(0,25)(0,25)(0,75)(0,75) = (0,25)3(0,75)2 = 0,00879
Uma vez que a ordem não importa, qualquer combinação de três questões corretas entre cinco servirá. Enumere essas combinações.
AAAEE AAEAE AAEEA AEEAA AEAEAEEAAA EAEAA EAAEA AEAAE EEAAE
Probabilidades binomiais
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AAAEE AAEAE AAEEA AEEAA AEAEAEEAAA EAEAA EAAEA AEAAE EEAAE
Cada uma dessas dez maneiras tem uma probabilidade de 0,00879.
P(x = 3) = 10 (0,25)3(0,75)2 = 10(0,00879) = 0,0879
n. de combinaçõesProb. de acertar uma questão
Prob. de errar uma questão
num. De questões certas num. De questões erradas
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Determine a probabilidade de alguém acertar exatamente três questões naquele teste.
Cada uma dessas dez maneiras tem uma probabilidade de 0,00879.
P(x = 3) = 10(0,25)3(0,75)2= 10(0,00879)= 0,0879
Combinação de n valores, escolhendo-se x
Há maneiras.
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Probabilidades binomiaisEm um experimento binomial, a probabilidade de ocorrerem exatamente x sucessos em n tentativas é de
Use a fórmula para calcular a probabilidade de alguém não acertar nenhuma questão, exatamente uma, duas, três, quatro ou todas as cinco questões do teste.
P(3) = 0,088 P(4) = 0,015 P(5) = 0,001
(0,25)0 (0,75)5 = 0,237
(0,25)1 (0,75)4 = 0,396
(0,25)2 (0,75)3 = 0,264
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Distribuição binomial
0 1 2 3 4 5
0
0,10
0,20
0,30
0,40
0,237
0,396
0,294
0,088
0,015 0,001
x P(x)0 0,2371 0,3962 0,2643 0,0884 0,0155 0,001
Histograma binomial
x
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1. Qual é a probabilidade de se responder a duas ou quatro questões corretamente?
2. Qual é a probabilidade de se responder corretamente a pelo menos três questões?
3. Qual é a probabilidade de se responder corretamente a pelo menos uma questão?
P(x = 2 ou x = 4) = 0,264 + 0,015 = 0,279
P(x 3) = P(x = 3 ou x = 4 ou x = 5) = 0,088 + 0,015 + 0,001 = 0,104
P(x 1) = 1 – P(x = 0) = 1 – 0,237 = 0,763
x P(x)0 0,2371 0,3962 0,2643 0,0884 0,0155 0,001
Probabilidades binomiais
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Parâmetros para um experimento binomial
Use as fórmulas binomiais para determinar a média, a variância e o desvio padrão da distribuição de respostas corretas no teste.
Média:
Variância:
Desvio padrão:
5(0,25) 1,25
5(0,25)(0,75) 0,9375
0,9375 0,968
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A distribuição geométricaSegundo uma pesquisa de mercado, a probabilidade de que cada pessoa que entra em determinada loja faça uma compra é de 0,30.
• A probabilidade de que a primeira compra seja feita pela primeira pessoa que entrar na loja é de 0,30. Ou seja: P(1) = 0,30.
• A probabilidade de que a primeira compra seja feita pela segunda pessoa que entrar na loja é de (0,70) (0,30).Logo, P(2) = (0,70) (0,30) = 0,21.
• A probabilidade de que a primeira compra seja feita pela terceira pessoa que entrar na loja é de (0,70)(0,70)(0,30).Logo, P(3) = (0,70) (0,70) (0,30) = 0,147.
A probabilidade de que a primeira compra seja feita pela pessoa número x é de P(x) = (0,70)x – 1(0,30)
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A distribuição geométrica
Uma distribuição geométrica é uma distribuição discreta de probabilidade da variável aleatória x que satisfaz as seguintes condições.
1. A tentativa é repetida até que o sucesso ocorra.2. As sucessivas tentativas são independentes entre si.3. A probabilidade de sucesso, p, é a mesma a cada tentativa.
A probabilidade de que o primeiro sucesso ocorra na tentativa número x é: P(x) = (q)x – 1p , onde q = 1 – p.
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Aplicação da distribuição Geométrica Um fabricante de cereais colocou uma peça premiada nas embalagens de seu produto. A probabilidade de ganhar um prêmio é de um para quatro. Determine a probabilidade de que você:
a) ganhe seu primeiro prêmio na quarta compra;
b) ganhe seu primeiro prêmio na segunda ou terceira compra;
c) não ganhe nenhum prêmio nas quatro primeiras compras.
P(4) = (0,75)3 . (0,25) = 0,1055
P(2) = (0,75)1(0,25) = 0,1875 e P(3) = (0,75)2(0,25) = 0,1406Logo, P(2 ou 3) = 0,1875 + 0,1406 = 0,3281
1 – (P(1) + P(2) + P(3) + P(4))1 – ( 0,25 + 0,1875 + 0,1406 + 0,1055) = 1 – 0,6836 = 0,3164
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A distribuição de PoissonA distribuição de Poisson é uma distribuição discreta de probabilidade de uma variável aleatória x que satisfaz as seguintes condições:
1. O experimento consiste em contar o número de vezes, x, que um evento ocorre num intervalo de tempo, área ou espaço.
2. A probabilidade de que o evento ocorra é a mesma em cada intervalo.
3. O número de ocorrências em um intervalo independe do número de ocorrências em outro.
A probabilidade de exatamente x ocorrências em um intervalo é
e é um número irracional aproximadamente igual a 2,71828. é o número médio de ocorrências por intervalo.
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Aplicação
a) de que três pessoas sejam mortas por tubarões este ano
b) de que duas ou três pessoas sejam mortas por tubarões este ano
P(3) = 0,0076
P(2 ou 3) = 0,0023 + 0,0076 = 0,0099
Estima-se que, em todo o mundo, os tubarões matem dez pessoas por ano. Determine a probabilidade:
(2,71828)–10
0,0076
(2,71828)–10
0,0023
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AplicaçãoO número médio de acidentes mensais em um determinado cruzamento é três. Qual é a probabilidade de que em um determinado mês ocorram quatro acidentes no cruzamento:
168,0!4
)71828,2(3)4(
34
P
X=4 e =3
Qual é a probabilidade de que ocorram mais do que quatro acidentes em um determinado mês no cruzamento?
a. Use a distribuição de Poisson para obter P(0), P(1), P(2), P(3) e P(4).
b. Obtenha a soma de P(0), P(1), P(2), P(3) e P(4).c. Subtraia a soma de 1d. Interprete os resultados
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05,0!0
05.03)0(
0
P
05.0)71828,2( 3
15,0!1
05.03)1(
1
P
112,0!2
05.03)2(
2
P
225,0!3
05.03)3(
3
P
169,0!4
05.03)4(
4
P
0 1 2 3 40.00
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