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EQUAÇÕES DE FRIEDMANN
Equações de Einstein da TRG + MRW:
ijij Tc
GG 4
8
22222
22222 sin(
1)(
ddk
dtRdtcds
3)(
)(
)()(
8
)(
)(2
)(
)(
)()(
8
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
tR
tR
tR
kct
c
G
tR
tR
tR
tR
tR
kctp
c
G
MODELO DE UNIVERSO DE EINSTEIN (1917)
Suposição: universo homogêneo e isotrópico e um E-T estático
Solução para t = hoje
Simplificação: p=0assim como: = matéria+ energia
p = pmatéria + penergia
como no t atual: matéria >> energia
p ≈ matéria v2 equação de estado do fluídov = velocidade típica de uma galáxiav << c
)(3
1)(
)(3)(
3
42 tRtRc
tpt
GR
p = v2 << c2
Então: supondo p ~ 0 e universo estático (R= constante):
3)(
)(
)()(
3
8
)(
)(2
)(
)(
)()(
8
2
2
2
2
2
2
2
2
2
tR
tR
tR
kct
G
tR
tR
tR
tR
tR
kctp
c
G
3
82
2
2
2
2
R
kc
c
G
R
kc
juntando
2
2
3
2
3
8
R
kcG Como > 0 k=+1 !!!
espaço de geometria esféricae R=raio do universo
O raio do universo vale: G
cR
4
Importante!! medindo-se têm-se R
ex: se a densidade hoje associada às regiões brilhantes: = 8 10-32h g/cm3 , para k= +1 e h=1 R=37000 Mpc
~ 710-38
Algumas consequências deste modelo:
Gc
R4
raio de uma esfera3-D
distância de circunavegação da luz = 2R
antípoda
algo que se distancia sobre a esfera parece estar ficando menor em tamanho até chegar na posição antípoda (R)
antípoda
pessoas na posição antípoda nosvê como se estivessemos + pertoe vice-versa
A luz dá volta no globo cósmico nos vemos “por trás”
Por ex: o tempo que a luz leva para atravessar uma vez o universo de Einstein vale: ct = 2R
Subst. G
cR
4
G
t
Algumas continhas: num universo preenchido por água (=1g/cm3) luz leva 2 horas para dar a volta raio = 20 minutos-luz
•objetos antípodas são vistos 1 hora + tarde•obsevadores vêem eles mesmos 2 horas + tarde
observadores continuamente lembrados do queeles estavem fazendo em 2, 4, 6, ... horas
passado em detalhes gráficos....
Se o gás tiver = nossa atmosfera: t ~ 60, 120, 180,... horas
Se for menor ainda: observadores vêem os “fantasmas” de seus ancestrais...
DEFINIÇÃO DOS PARÂMETROS COSMOLÓGICOS
Quantidades mensuráveis
• Parâmetro de Hubble (taxa de expansão do universo)
)(
)()(
tR
tRtH
• Densidade crítica (universo em equilíbrio)
G
Htc
8
3)(
2
•Parâmetro de densidade
)(
)(
t
t
c
• parâmetro de desaceleração (mede a aceleração q(t)<0 ou desaceleração da expansão do universo q(t)>0)
2)(RH
Rtq
Ex de valores para o parâmetro de desaceleração:
00
qcteRR
0
R
1)
2) = expansão
quando 00
qR
R
tR
t
+ rápida a expansão
quando 00
qR expansão desacelera
R
t
Modo de medir q
Usa-se SNIa: suas distâncias são medidas sem necessidade da lei de Hubble (M absolutas de quaiquer SNIa são ~ iguais
Acima de z= 0.2 deve-seconsiderar o look-back timetempo em que a radiaçãofoi emitida a taxa de expansãoera diferente ( e R também)
acelera!!!
UNIVERSOS DE FRIEDMANN
Soluções da equação supondo =0
)(3
1)(
)(3)(
3
42 tRtRc
tpt
GR
Usando a equação de movimento do fluído, com p~0 e
2)(RH
Rtq
4G=3qH2
G
Htc
8
3)(
2
)(
)(
t
t
c
subs.
q = /2
Usando uma das equações de Friedmann
3)(
)(
)()(
3
82
2
2
2
tR
tR
tR
kct
G
qH2
H2
)12(2
22
qc
RHk
)1(2
22
c
RHk
ou
Então se
)(112/1
)(012/1
)(112/1
c
c
c
kouq
kouq
kouq
Nos modelos de Friedmanndeterminando-se observac.qo e o, obtêm-se a geometria do universo
Como fica a dinâmica dos universos de Friedmann??
)(3
1)(
)(3)(
3
42 tRtRc
tpt
GR
0
R
q>0 expansão desacelera sempre para qualquer k
Calculando R(t) t
R
R
R
kcG
2
2
2
3
8
partindo de:substituindo:
3
00
R
R
23002
3
8kc
R
RGR
22 kcR
R
R
ct
dRkR
Rcdt
0
0
2
c.i. R(0)=0
R
c
dRkR
Rct
0 2
variação do fator de escala com o tempo
a) ESPAÇO COM k=0 (plano=euclidiano)
R
c
dRR
ct0 2
3/2
3/1
4
9)( ttR
expansão perpétua que desacelera
R
t
Usando 3
00
R
R 26
1)(
Gtt
t→∞: →0
expansãoperpétua
tR
RtH
3
2)(
q=1/2 e =1
MODELO DE EINSTEIN-DE-SITTER
b) ESPAÇO COM k < 0 e constante
R
c
dRR
Rct
0 2
2
2 ln2
2)(2ln2
/(
ccom
RRRcRRct
R
t
k = -1
k = 0 Perpétua e desacelera
c) ESPAÇO COM k > 0 e constante
R
c
dRR
Rct
0 2
2
)(arcsin
ccom
RRR
ct
Expansão atinge um máximo com Rmax = ctmax= /2 tmax= /2c é o instante em a expansão é máximaR
t
k = -1
k = 0
k = +1
tmax
universo pulsantecom período = /c