Download - Aula Aletas
Função das Aletas • Extensão da super@cie de troca térmica ANÁLISE: • Q = U A ∆T • ∆T = Tsup – T∞ não dá para mexer em T∞
• U: dá para mexer (h)≈velocidade mas é caro • A: dá para aumentar com as aletas NOTA: K deve ser o maior possivel para maximizar a troca térmica
Aplicações
• Cilindros de motores de motocicletas • Condensadores de geladeiras • Air coolers • Chip de computadores
Desenvolvimento da Equação de Perfil de Temperatura
Balanço de Energia
Equação de Fourier
Forma alternaXva para a transferência de calor por condução
(1)
(2)
(3)
(2) em (3) (4)
qx = qx+dx + qconv
qx = −kAcdTdx
qx+dx = qx +dqxdx
dx
qx+dx = −kAcdTdx
− k ddx
AcdTdx
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ dx
Transferência de calor por convecção
Após simplificação
(5)
(6)
(7)
(4) e (5) em (1)
Desenvolvimento da Equação de Perfil de Temperatura
ddx
AcdTdx
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ −
hkdASdx
T −T∞( ) = 0
dqconv = h dAS T −T∞( )
d 2Tdx2
+ 1Ac
dAcdx
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟dTdx
− 1Ac
hkdASdx
T −T∞( ) = 0
Perfil de Temperatura -‐ Simplificações • Aletas retas de secção transversal constante
Ac cons tan te ⇒ dAcdx
= 0
AS = Px ⇒ dASdx
= P
T (0) = Tb
d 2Tdx2
− hPkAc
dASdx
T −T∞( ) = 0
Perfil de Temperatura
• Temperatura em excesso
d 2θdx
x( )−m2θ = 0
θ x( ) = T (x)−T∞
m2 = hPkAc
onde:
Perfil de Temperatura • Solução da Equação Diferencial
• Condições de Contorno
θ (x) = C1emx +C2e
−mx
θ (0) = Tb −T∞
hAc T (L)−T∞[ ] = −kAc dTdx
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ x=L
hθ (L) = −kAc dθdx
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ x=L
Perfil de Temperatura -‐ Solução
θθb
=cosh m L − x( )+ h
mksinh m L − x( )
cosh mL + hmksinh mL
qf = qb = −kAcdTdx
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ x=0
= −kAcdθdx
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ x=0
qf = hPAcθb
sinh mL + hmkcosh mL
cosh mL + hmksinh mL
Perfil de Temperatura – Solução AlternaXva
qf = h T (x)−T∞[ ]Af∫ dAS
qf = hθ (x)Af∫ dAS
Calor por condução = Calor por convecção
Perfil de Temperatura –Solução ParXcular
dθdx
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ x=L
= 0
θθb
=coshm L − x( )coshmL
qf = hPkAcθb tanhmL
Calor convecXvo insignificante na ponta da aleta
Perfil de Temperatura –Solução ParXcular
θ L( ) =θL
θθb
=
θL
θb
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟sinhmx + sinhm L − x( )
sinhmL
qf = hPkAcθb
coshmL − θL
θb
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
sinhmL
Temperatura na ponta da aleta é conhecida
EfeXvidade da Aleta – I
ε f =qf
hAc,bθb
ε f > 2
para uma aleta inf inita :ε f =kPhAc
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
12
Análise: K, h, razão P/Ac
EfeXvidade da Aleta – II Rt, f =
θb
q fDefinindo a resistência térmica da aleta como:
Rt,b =1
hAc,b
De maneira similar para a base da aleta: (para o caso de ausência de aleta)
Rt,b =θb
hAc,bθb
Portanto:
SubsXtuindo as 2 resistências na equação da eficiência: ε f =Rt,bRt, f
Eficiência da Aleta
η f =qfqmax
=qf
hAfθb
η f =M tanhmLhPLθb
= tanhmLmL
Notas: 1) qmax considera toda a aleta na temperatura de excesso θb 2) qf=M tanh (mL) que é a expressão para o caso adiabáXco
Eficiência da Aleta – Método Aproximado
Lc = L +t2
Lc = L +D4
Eficiência:
Para aletas retangulares: Para aletas circulares:
η f =tanhmLcmLc
htk
ou hD2k
< 0,0625Erros insignificantes se:
Eficiência da Aleta – Método Gráfico
P ≈ 2w
mLc =hPkAc
Lc =2hwkwt
Lc =2hktLc
mLc =2hktLcL
c
0,5
Lc
0,5 =2hktLc
Lc
1,5
mLc =2hkAp
Lc
1,5
Para aletas retangulares com w>>t:
Ap é a área do perfil da aleta
Aletas com Área Variável
d 2Tdx2
+ 1Ac
dAcdx
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟dTdx
− 1Ac
hkdASdx
T −T∞( ) = 0
Equação previamente desenvolvida:
x = rAc = 2πrt
As = 2π r2 − r12( )
Fazendo:
Aletas Anulares
d 2Tdr2
+ 1rdTdr
− 2hkt
T −T∞( ) = 0
Equação para Aleta Anular:
m2 = 2h ktθ = T −T∞
Fazendo:
d 2θdr2
+ 1rdθdr
−m2θ = 0Portanto:
Perfil de Temperatura para Aletas Anulares
θ (r) = C1I0 (mr)−C2K0 (mr)Solução:
Para condições adiabáXcas na ponta da aleta:
dθdr
⎡⎣⎢
⎤⎦⎥r2
= 0
θθ b
= I0 (mr)K1(mr2 )+ K0 (mr)I1(mr2 )I0 (mr1)K1(mr2 )+ K0 (mr1)I1(mr2 )
Equação para o Calor para Aletas Anulares
Calor:
qf = −kAc,bdTdr
⎡⎣⎢
⎤⎦⎥r1
= k 2πr1t( ) dθdr
⎡⎣⎢
⎤⎦⎥r1
qf = 2πr1ktθbmK1(mr1)I1(mr2 )− I1(mr1)K1(mr2 )K0 (mr1)I1(mr2 )+ I0 (mr1)K1(mr2 )
Eficiência de Aletas Anulares
Eficiência:
η f =qf
h2π r22 − r1
2( )θb
= 2r1m r2
2 − r12( )K1(mr1)I1(mr2 )− I1(mr1)K1(mr2 )K0 (mr1)I1(mr2 )+ I0 (mr1)K1(mr2 )
Eficiência de um Conjunto de Aletas
qf = Nη f hAfθb + hAbθb
Eficiência Global:
At = NAf + AbÁrea Total
η0 =qtqmax
= qthAtθb
Calor Total:
qf = h Nη f Af + At − NAf( )⎡⎣ ⎤⎦θb = hAt 1−NAf
At1−η f( )⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥θb
Calor Total pode ser expresso como:
qf = h Nη f Af + At − NAf( )⎡⎣ ⎤⎦θb = hAt 1−NAf
At1−η f( )⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥θb
Eficiência de um Conjunto de Aletas
SubsXtuindo este expressão em: η0 =qt
hAtθb
Temos: η0 =1−NAf
At1−η f( )