Areal mellom kurver – VolumForelesning i Matematikk 1 TMA4100
Hans Jakob RivertzInstitutt for matematiske fag
27. september 2011
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Areal mellom kurver – Volum
Kapittel 5.6.Substitusjon og arealet mellom
kurver
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Areal mellom kurver – Volum
3
Areal mellom kurver
ProblemVi vil finne arealet av et områdemellom to grafer
y = f (x) og y = g(x)
på intervallet
a ≤ x ≤ b
y = g(x)
y = f (x)
x=
a
x=
by
x
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Areal mellom kurver – Volum
4
Areal mellom kurver
y = g(x)
y = f (x)
x=
a
x=
by
x
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Areal mellom kurver – Volum
4
Areal mellom kurver
y = g(x)
y = f (x)
x=
a
x=
by
x
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Areal mellom kurver – Volum
4
Areal mellom kurver
y = g(x)
y = f (x)
x=
a
x=
by
x
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Areal mellom kurver – Volum
4
Areal mellom kurver
x∗
k
y = g(x)
y = f (x)
x=
a
x=
by
x
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Areal mellom kurver – Volum
4
Areal mellom kurver
x∗
k
g(x∗
k ) − f (x∗
k )
∆xy = g(x)
y = f (x)
x=
a
x=
by
x
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Areal mellom kurver – Volum
4
Areal mellom kurver
x∗
k
g(x∗
k ) − f (x∗
k )
∆xy = g(x)
y = f (x)
x=
a
x=
by
x
Det typiske elementet har areal ∆Ak = [g(x∗
k ) − f (x∗
k )]∆x
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Areal mellom kurver – Volum
4
Areal mellom kurver
x∗
k
g(x∗
k ) − f (x∗
k )
∆xy = g(x)
y = f (x)
x=
a
x=
by
x
Det typiske elementet har areal ∆Ak = [g(x∗
k ) − f (x∗
k )]∆x
Samlet areal: A =
n∑
k=1
[g(x∗
k ) − f (x∗
k )]∆x
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Areal mellom kurver – Volum
4
Areal mellom kurver
x∗
k
g(x∗
k ) − f (x∗
k )
∆xy = g(x)
y = f (x)
x=
a
x=
by
x
Det typiske elementet har areal ∆Ak = [g(x∗
k ) − f (x∗
k )]∆x
Samlet areal: A =
n∑
k=1
[g(x∗
k ) − f (x∗
k )]∆x Areal som integral
A =
∫ b
a[g(x) − f (x)] dx
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Areal mellom kurver – Volum
5
Eksempel, Areal mellom kurver
Eksempel
Finn arealet mellom y = 1 + x/2og y = 1/x på intervallet [1, 2]. y = g(x)
y = f (x)
x=
1
x=
3
y
x
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Areal mellom kurver – Volum
5
Eksempel, Areal mellom kurver
Eksempel
Finn arealet mellom y = 1 + x/2og y = 1/x på intervallet [1, 2].Løsning:
A =
∫ 3
1
[
(1 + x/2) − 1/x]
dx
= 4 − ln 3 ≈ 2.9014.
y = g(x)
y = f (x)
x=
1
x=
3
y
x
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Areal mellom kurver – Volum
6
Integrasjon med ySetning
Arealet av et område mellom gra-fene x = f (y) og x = g(y) på in-tervallet c ≤ y ≤ d er
∫ d
c[g(y) − f (y)] dy
x = f (y) x = gx = f (y) x = gx = f (y) x = gx = f (y) x = g
g(y∗
k ) − g(y∗
k )
∆y
x = f (y) x = g(y)
y = c
y = dy
x
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Areal mellom kurver – Volum
7
Eksempel: Integrasjon med y
EksempelFinn arealet av området be-grenset av
x = y2− 4y
ogx = 2y − y2.
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Areal mellom kurver – Volum
7
Eksempel: Integrasjon med y
EksempelFinn arealet av området be-grenset av
x = y2− 4y
ogx = 2y − y2.
y = 2x − x2
y = x2 − 4x
(−3, 3) y
x
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Areal mellom kurver – Volum
7
Eksempel: Integrasjon med y
EksempelFinn arealet av området be-grenset av
x = y2− 4y
ogx = 2y − y2.
y = 2x − x2
y = x2 − 4x
(−3, 3) y
x
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Areal mellom kurver – Volum
Kapittel 5.7.Logaritmen definert som et integral
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Areal mellom kurver – Volum
9
Logaritmen definert ved integral
Definisjon (Naturlig logaritme, alternativ definisjon)Den naturlige logaritmen er definert ved hjelp avintegral-funksjonen:
ln x =
∫ x
1
1t
dt , x > 0
Setning (Den deriverte av ln x)
ddx
ln x =1x
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Areal mellom kurver – Volum
10
Substitusjonsregelen og ln ax = ln a + ln x
Problem (Vise ln ax = ln a + ln x)
ln ax
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Areal mellom kurver – Volum
10
Substitusjonsregelen og ln ax = ln a + ln x
Problem (Vise ln ax = ln a + ln x)
ln ax =
∫ ax
1
1t
dt
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Areal mellom kurver – Volum
10
Substitusjonsregelen og ln ax = ln a + ln x
Problem (Vise ln ax = ln a + ln x)
ln ax =
∫ ax
1
1t
dt =
∫ a
1
1t
dt +
∫ ax
a
1t
dt
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Areal mellom kurver – Volum
10
Substitusjonsregelen og ln ax = ln a + ln x
Problem (Vise ln ax = ln a + ln x)
ln ax =
∫ ax
1
1t
dt =
∫ a
1
1t
dt +
∫ ax
a
1t
dt = ln a +
∫ ax
a
1t
dt
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Areal mellom kurver – Volum
10
Substitusjonsregelen og ln ax = ln a + ln x
Problem (Vise ln ax = ln a + ln x)
ln ax =
∫ ax
1
1t
dt =
∫ a
1
1t
dt +
∫ ax
a
1t
dt = ln a +
∫ ax
a
1t
dt
Gjenstår å vise∫ ax
a1t dt = ln x
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Areal mellom kurver – Volum
10
Substitusjonsregelen og ln ax = ln a + ln x
Problem (Vise ln ax = ln a + ln x)
ln ax =
∫ ax
1
1t
dt =
∫ a
1
1t
dt +
∫ ax
a
1t
dt = ln a +
∫ ax
a
1t
dt
Gjenstår å vise∫ ax
a1t dt = ln x
Substituerer u = g(t) = t/a, t = a u, dt = a du
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Areal mellom kurver – Volum
10
Substitusjonsregelen og ln ax = ln a + ln x
Problem (Vise ln ax = ln a + ln x)
ln ax =
∫ ax
1
1t
dt =
∫ a
1
1t
dt +
∫ ax
a
1t
dt = ln a +
∫ ax
a
1t
dt
Gjenstår å vise∫ ax
a1t dt = ln x
Substituerer u = g(t) = t/a, t = a u, dt = a du
∫ ax
a
1t
dt
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Areal mellom kurver – Volum
10
Substitusjonsregelen og ln ax = ln a + ln x
Problem (Vise ln ax = ln a + ln x)
ln ax =
∫ ax
1
1t
dt =
∫ a
1
1t
dt +
∫ ax
a
1t
dt = ln a +
∫ ax
a
1t
dt
Gjenstår å vise∫ ax
a1t dt = ln x
Substituerer u = g(t) = t/a, t = a u, dt = a du
∫ ax
a
1t
dt =
∫ g(ax)
g(a)
1a u
a du
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Areal mellom kurver – Volum
10
Substitusjonsregelen og ln ax = ln a + ln x
Problem (Vise ln ax = ln a + ln x)
ln ax =
∫ ax
1
1t
dt =
∫ a
1
1t
dt +
∫ ax
a
1t
dt = ln a +
∫ ax
a
1t
dt
Gjenstår å vise∫ ax
a1t dt = ln x
Substituerer u = g(t) = t/a, t = a u, dt = a du
∫ ax
a
1t
dt =
∫ g(ax)
g(a)
1a u
a du =
∫ x
1
1u
du = ln x
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Areal mellom kurver – Volum
11
Eksponentialfunksjonen ex definert somden inverse til ln x
Definisjon (Eksponensialfunksjonen)Eksponensialfunksjonen er implisitt gitt ved
x =
∫ ex
1
1t
dt
Setning (Den deriverte av ex )
ddx
ex = ex
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Areal mellom kurver – Volum
Kapittel 6.1.Volum ved skivemetoden og
rotasjon om en akse
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Areal mellom kurver – Volum
13
Rotasjonslegeme
1 Tegner området
x
y
y = f (x)
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Areal mellom kurver – Volum
13
Rotasjonslegeme
1 Tegner området
x
y
y = f (x)
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Areal mellom kurver – Volum
13
Rotasjonslegeme
1 Tegner området
x
y
y = f (x)
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Areal mellom kurver – Volum
13
Rotasjonslegeme
1 Tegner området2 Tegner inn typisk
element
x
y
y = f (x)y = f (x)
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Areal mellom kurver – Volum
13
Rotasjonslegeme
1 Tegner området2 Tegner inn typisk
element3 Med målene ∆x og
radius. Finner ∆Vk
x
y
y = f (x)y = f (x)
x∗
kx∗
k
radius
radius
radius
∆x∆x∆x∆x∆x
∆Vk = π ·[
f (x∗
k )]2
· ∆x
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Areal mellom kurver – Volum
13
Rotasjonslegeme
1 Tegner området2 Tegner inn typisk
element3 Med målene ∆x og
radius. Finner ∆Vk
4 Summerer ∆Vk −→
π∫ b
a [f (x)]2 dx
x
y
y = f (x)y = f (x)y = f (x)
x∗
kx∗
k
radius
radius
radius
∆x∆x∆x∆x∆x
∆Vk = π ·[
f (x∗
k )]2
· ∆xVolumet av omdreiningslegemet
V =
∫ b
aA(x) dx =
∫ b
aπ · radius(x)2 dx =
∫ b
aπ ·
[
f (x)]2 dx
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Areal mellom kurver – Volum
14
Skivemetoden
x
y
a
b
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Areal mellom kurver – Volum
14
Skivemetoden
x
y
A(x)
A(x)
A(x)
A(x)
A(x)
a
b
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Areal mellom kurver – Volum
14
Skivemetoden
x
y
A(x)
A(x)
A(x)
A(x)
A(x)
a
b
Volumet av legemet i figuren
V =
∫ b
aA(x) dx
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Areal mellom kurver – Volum
15
Washer-metodenMed washer metoden finner vi volumet til et legeme nårsnittarealene er en skive med hull.
1
2
1 2 3
y = R(x) = 2 − x2
y = r(x) = x2+12
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Areal mellom kurver – Volum
Kapittel 6.2.Volum ved sylindriske skall
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Areal mellom kurver – Volum
17
Skall-metoden
1
2
1
2
3
−1
−2
1
2
12
3
−1
−2
z = g(x)
z = f (x)
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Areal mellom kurver – Volum
17
Skall-metoden
1
2
1
2
3
−1
−2
1
2
12
3
−1
−2
z = g(x)
z = f (x)
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Areal mellom kurver – Volum
17
Skall-metoden
1
2
1
2
3
−1
−2
1
2
12
3
−1
−2
∆xRadius = x
Høy
de
z = g(x)
z = f (x)
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Areal mellom kurver – Volum
17
Skall-metoden
Volumet av“tønnebåndet” eromkrets · høyde · bredde
∆Vk = 2π · radius ·høyde ·∆x
1
2
1
2
3
−1
−2
1
2
12
3
−1
−2
∆xRadius = x
Høy
de
z = g(x)
z = f (x)
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Areal mellom kurver – Volum
18
Formel for skallmetoden og eksempelVolumet til et legeme som dreies om linjen x = L er
V = 2π
∫ b
a(x − L) · Skallhøyde(x) dx
f (x) = x2− 6x + 9
g(x) = −x2 + 6x − 7
R(x) = x − 1www.ntnu.no H.J. Rivertz, Areal mellom kurver – Volum
18
Formel for skallmetoden og eksempelVolumet til et legeme som dreies om linjen x = L er
V = 2π
∫ b
a(x − L) · Skallhøyde(x) dx
f (x) = x2− 6x + 9
g(x) = −x2 + 6x − 7
R(x) = x − 1www.ntnu.no H.J. Rivertz, Areal mellom kurver – Volum
18
Formel for skallmetoden og eksempelVolumet til et legeme som dreies om linjen x = L er
V = 2π
∫ b
a(x − L) · Skallhøyde(x) dx
f (x) = x2− 6x + 9
g(x) = −x2 + 6x − 7
R(x) = x − 1www.ntnu.no H.J. Rivertz, Areal mellom kurver – Volum
18
Formel for skallmetoden og eksempelVolumet til et legeme som dreies om linjen x = L er
V = 2π
∫ b
a(x − L) · Skallhøyde(x) dx
f (x) = x2− 6x + 9
g(x) = −x2 + 6x − 7
R(x) = x − 1www.ntnu.no H.J. Rivertz, Areal mellom kurver – Volum
19
Volum-eksempelOmråde mellom f (x) = x2 − 6x + 9 og g(x) = −x2 + 6x − 7Rotasjon om x = 1Finn volumet
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Areal mellom kurver – Volum
19
Volum-eksempelOmråde mellom f (x) = x2 − 6x + 9 og g(x) = −x2 + 6x − 7Rotasjon om x = 1Finn volumet
1 Rotasjon om x = 12 Skall-tykkelse?3 Grenser?4 Radius?5 Høyde?6 Skall volum?
V?
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Areal mellom kurver – Volum
19
Volum-eksempelOmråde mellom f (x) = x2 − 6x + 9 og g(x) = −x2 + 6x − 7Rotasjon om x = 1Finn volumet
1 Rotasjon om x = 12 Skall-tykkelse = ∆x3 Grenser?4 Radius?5 Høyde?6 Skall volum?
V?
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Areal mellom kurver – Volum
19
Volum-eksempelOmråde mellom f (x) = x2 − 6x + 9 og g(x) = −x2 + 6x − 7Rotasjon om x = 1Finn volumet
1 Rotasjon om x = 12 Skall-tykkelse = ∆x3 Grensene er a = 2 og b = 44 Radius?5 Høyde?6 Skall volum?
V?
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Areal mellom kurver – Volum
19
Volum-eksempelOmråde mellom f (x) = x2 − 6x + 9 og g(x) = −x2 + 6x − 7Rotasjon om x = 1Finn volumet
1 Rotasjon om x = 12 Skall-tykkelse = ∆x3 Grensene er a = 2 og b = 44 Radius = x − 15 Høyde?6 Skall volum?
V?
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Areal mellom kurver – Volum
19
Volum-eksempelOmråde mellom f (x) = x2 − 6x + 9 og g(x) = −x2 + 6x − 7Rotasjon om x = 1Finn volumet
1 Rotasjon om x = 12 Skall-tykkelse = ∆x3 Grensene er a = 2 og b = 44 Radius = x − 15 Høyde = −2x2 + 12x − 166 Skall volum?
V?
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Areal mellom kurver – Volum
19
Volum-eksempelOmråde mellom f (x) = x2 − 6x + 9 og g(x) = −x2 + 6x − 7Rotasjon om x = 1Finn volumet
1 Rotasjon om x = 12 Skall-tykkelse = ∆x3 Grensene er a = 2 og b = 44 Radius = x − 15 Høyde = −2x2 + 12x − 166 Skall volumet er ∆V = 2π · (x − 1) · (−2x2 + 12x − 16) · ∆x
V?
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Areal mellom kurver – Volum
19
Volum-eksempelOmråde mellom f (x) = x2 − 6x + 9 og g(x) = −x2 + 6x − 7Rotasjon om x = 1Finn volumet
1 Rotasjon om x = 12 Skall-tykkelse = ∆x3 Grensene er a = 2 og b = 44 Radius = x − 15 Høyde = −2x2 + 12x − 166 Skall volumet er ∆V = 2π · (x − 1) · (−2x2 + 12x − 16) · ∆x
V =
∫ 4
22π · (−2x3 + 14x2
− 28x + 16) dx
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Areal mellom kurver – Volum
19
Volum-eksempelOmråde mellom f (x) = x2 − 6x + 9 og g(x) = −x2 + 6x − 7Rotasjon om x = 1Finn volumet
1 Rotasjon om x = 12 Skall-tykkelse = ∆x3 Grensene er a = 2 og b = 44 Radius = x − 15 Høyde = −2x2 + 12x − 166 Skall volumet er ∆V = 2π · (x − 1) · (−2x2 + 12x − 16) · ∆x
V =
∫ 4
22π · (−2x3 + 14x2
− 28x + 16) dx =32π
3
www.ntnu.no H.J. Rivertz, Areal mellom kurver – Volum