Aproximando ondas viajantes por
equilíbrios de uma equação não local
Glauce Barbosa Verão
Tese apresentadaao
Instituto de Matemática e Estatísticada
Universidade de São Paulopara
obtenção do títulode
Doutora em Ciências
Programa: Matemática
Orientador: Prof. Dr. Luiz Augusto Fernandes de Oliveira
São Paulo, dezembro de 2016
Aproximando ondas viajantes por
equilíbrios de uma equação não local
Esta versão da tese contém as correções e alterações sugeridas
pela Comissão Julgadora durante a defesa da versão original do trabalho,
realizada em 02/12/2016. Uma cópia da versão original está disponível no
Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo.
Comissão Julgadora:
• Prof. Dr. Luiz Augusto Fernades de Oliveira (orientador) - IME-USP
• Prof. Dr. Antônio Luiz Pereira - IME-USP
• Profa. Dra. Gleiciane da Silva Aragão - UNIFESP
• Prof. Dr. Ma To Fu - ICMC - USP
• Profa. Dra. Rita de Cássia Dornelas Sodré Broche - UFLA
Agradecimentos
Ao concluir este trabalho, agradeço:
A Nossa Senhora de Aparecida, por me proteger e me ajudar a passar por todos os momentos
difíceis.
Ao meu orientador Luiz Augusto F. de Oliveira pela orientação e dedicação para tornar possível
este trabalho.
Aos membros da banca examinadora, Rita, Gleiciane, Anôonio e Ma To Fu, que me ajudaram
a enriquecer e melhorar este trabalho.
Aos meus pais Valdete e Erico, minha irmã Jaqueline que acreditaram no meu sonho e não
mediram esforços para me ajudar a realizá-lo. Mãe, você que dividiu seu salário comigo para que
eu pudesse permanecer em São Paulo estudando, dedico e devo tudo a você.
Ao Evandro que suportou todas as crises de choro e com muito carinho e paciência me ajudou
a superar cada etapa.
Aos amigos que z durante o doutorado, Maikel, Vinícius, Ariadne, Itailma, Ânderson, Eliane,
Oscar, Rosilene, Joelson, Hector e Adilson, vocês me ajudaram de diversas formas e tornaram essa
caminhada mais leve e prazerosa.
Ao professor Cosme E. R. Mercedes da UEMS que me ajudou com a simulação numérica do
Matlab e pela sua importância em toda minha trajetória acadêmica.
A Universidade São Judas Tadeu pela oportunidade de atuar como docente e me sentir realizada,
a cada dia, com a prossão que sempre sonhei.
As professoras Delma Freo Faccin e Maristela Missio pelo incentivo e ajuda no início desta
caminhada acadêmica
i
ii
Resumo
VERÃO, G. B. Aproximando ondas viajantes por equilíbrios de uma equação não local.
2016. 87 f. Tese (Doutorado) - Instituto de Matemática e Estatística, Universidade de São Paulo,
São Paulo, 2016.
O sistema de FitzHugh-Nagumo possui um tipo especial de solução chamadas ondas viajantes,
que são da forma u(x, t) = φ(x + ct) e w(x, t) = ψ(x + ct) e além disso sabe-se que ela é estável.
Tem-se o interesse de obter uma caracterização de seu perl (φ, ψ) e sua velocidade de propagação
c. Fazendo uma mudança de variáveis, transformamos tal problema em encontrar equilíbrios de
uma equação não local. Esta equação não local possui uma onda viajante de velocidade zero cujo
perl é o mesmo da equação original e, com esta equação, é possível aproximar, ao mesmo tempo, o
perl e a velocidade da onda viajante. Como a intenção é usar métodos numéricos para aproximar
tais soluções, o problema não local foi analisado em um intervalo limitado vericando a existência
e algumas propriedades espectrais em domínios limitados.
Palavras-chave: FiztHugh-Nagumo, soluções ondas viajantes, equação não local.
iii
iv
Abstract
VERÂO, G. B. Approximating traveling waves by equilibria of nonlocal equations . 2016.
87 f. Tese (Doutorado) - Instituto de Matemática e Estatística, Universidade de São Paulo, São
Paulo, 2016.
The FitzHugh-Nagumo systems have a special kind of solution named traveling wave, which
has a form u(x, t) = φ(x+ ct) and w(x, t) = ψ(x+ ct) and furthermore it is a stable solution. It is
our interest to obtain a characterization of its prole (φ, ψ) and speed of propagation c. Changing
variables, we transform the problem of nding these solutions in the problem of nding an equilibria
in a nonlocal equation. This nonlocal equation has a traveling wave with zero speed whose prole
is the same of the original equation, and the nonlocal equation is used to approximate the prole
and speed of the traveling wave at the same time. To use numerical methods for approximating
such solutions, the nonlocal problem was analyzed in a nite interval to check that the existence
and some spectral properties on bounded domains.
Palavras-chave: FiztHugh-Nagumo, traveling wave solutions, nonlocal equations.
v
vi
Sumário
Lista de Figuras ix
1 Teoria Básica 5
1.1 Existência de ondas viajantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Dois sistemas reduzidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Demonstração da existência da onda viajante . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.3 Teoria geométrica da perturbação singular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Estabilidade de ondas viajantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.1 Existência de Soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.2 Função de Evans para sistema reduzido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3 Função de Evans para sistema FitzHugh-Nagumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4 Outros resultados - estimativas uniformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2 Aproximando ondas viajantes 37
2.1 Denição do problema não local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2 Propriedades das soluções do problema local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3 Propriedades das soluções do problema não local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3 Problema local em um intervalo limitado 47
3.1 Existência e unicidade de soluções estacionárias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2 Análise espectral do problema em intervalo nito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2.1 Hipóteses e principais resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2.2 Aplicação no sistema de FitzHugh-Nagumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4 Problema não local em um intervalo limitado 55
4.1 Soluções estacionárias do problema não local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.1.1 Convergência das soluções estacionárias para a onda viajante quando |J | → ∞ 56
4.2 Propriedades espectrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.2.1 Propriedades espectrais de Lr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.2.2 Propriedades espectrais de L∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5 Convergência espectral 65
5.1 Denições e resultados básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.2 Convergência espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
vii
viii SUMÁRIO
6 Resultados Numéricos 73
6.1 Denição da equação não local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.2 Resultados numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Referências Bibliográcas 77
Lista de Figuras
1 Função f(u) satisfazendo as condições (H1)-(H3). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Três pontos de equilíbrios de (1) para γ > 0 sucientemente grande. . . . . . . . . . 2
1.1 Plano de fase de (1.1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Curvas SL e SR para c xo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 Intersecção das variedades W u(0, 0, 0, c) e W s(1, 0, 0, c). . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 Γ1 e Γ2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5 Comportamento de x+(y) e x−(y). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.6 Trajetória de Γε. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6.1 Velocidade de propagação λ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6.2 Solução u(x, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.3 Solução w(x, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
ix
x LISTA DE FIGURAS
Introdução
O tema central de estudo deste trabalho está relacionado com a existência, estabilidade e aproxi-mação de ondas viajantes do sistema de FitzHugh-Nagumo
ut = uxx + f(u)− w,
wt = ε(u− γw),−∞ < x <∞, t > 0. (1)
Em todo esse trabalho, ε > 0 e γ > 0 são constantes reais e f : R→ R é uma função de classe C2
satisfazendo as seguintes condições:
(H1) Existe 0 < a < 1 tal que f(0) = f(a) = f(1) = 0, f ′(0) < 0, f ′(1) < 0 e f ′(a) > 0;
(H2) f(u) > 0 quando u < 0 ou a < u < 1 e f(u) < 0 quando 0 < u < a ou u > 1;
(H3)∫ 1
0 f(s)ds > 0.
Uma representação de f pode ser ilustrada na Figura 1.
Figura 1: Função f(u) satisfazendo as condições (H1)-(H3).
Um exemplo típico de uma função que satisfaz as hipóteses (H1)-(H3) é
f(u) = u(u− a)(1− u), (2)
onde 0 < a < 12 .
Sistemas de reação difusão surgem em diversos processos biológicos como, por exemplo, a pro-pagação dos estímulos do nervo axônio. Um dos trabalhos pioneiros nesta direção foi o artigo deHodgkin e Huxley (1952). Mais tarde, FitzHugh (1961) e Nagumo et al. (1962) apresentaram umaversão simplicada do modelo de Hodgkin-Huxley e, desde então, é o objeto de estudo de diversospesquisadores. Neste trabalho, vamos nos concentrar em um tipo especial de soluções chamadasondas viajantes.
Ondas viajantes são soluções de (1) da forma
u(x, t) = φ(ξ), w(x, t) = ψ(ξ) ξ = x+ ct (3)
onde c > 0 é uma constante. Soluções de (1) da forma (3) são chamadas ondas viajantes de velocidade
1
2 LISTA DE FIGURAS 0.0
c e perl (φ, ψ), ou simplesmente ondas viajantes de velocidade c. Naturalmente, se φ, ψ : R → Rsão funções de classe C2, então a terna (φ, ψ, c) é solução do sistema
φ′′ − cφ′ + f(φ)− ψ = 0−cψ′ + ε(φ− γψ) = 0.
(4)
Observemos que (4) é uma família de sistemas de equações diferenciais ordinárias dependendodo parâmetro c, que também é uma incógnita a ser determinada.
Vários autores estudaram existência de soluções de (4) para diversos valores de c e demons-traram a existência de ondas viajantes de diversos pers, tais como ondas periódicas e pulsos. Parauma exposição extensiva do assunto, recomendamos as referências: Jones (1984), Oliveira (1992)Szmolyan (1991) e Yanagida (1985).
Para descrevermos os pers de ondas viajantes que consideraremos nessas notas, vamos examinaro sistema (4) mais detalhadamente. Primeiro, escrevemos (4) como o sistema de primeira ordemdependendo do parâmetro c dado por
u′(ξ) = v(ξ)v′(ξ) = cv(ξ)− f(u(ξ)) + w(ξ)
w′(ξ) =ε
c(u(ξ)− γw(ξ)).
(5)
O número de pontos de equilíbrios de (5) depende apenas de γ. Durante todo este trabalho, talparâmetro irá satisfazer a seguinte hipótese:
(H4) γ > 0 é sucientemente grande para que f(u) = 1γu tenha três raízes reais 0 < a < u1 < u2 < 1
e ∫ u2
0
(f(u)− 1
γu
)du > 0,
como mostra a Figura 2.
Figura 2: Três pontos de equilíbrios de (1) para γ > 0 sucientemente grande.
Quando f é a cúbica f(u) = u(u− a)(1− u), a condição (H4) é satisfeita quando 0 < a <1
2e
γ > 9(2−a)(1−2a) .
Sob as hipóteses (H1)-(H4), o sistema (5) tem três equilíbrios p0 = (0, 0, 0), p1 = (u1, 0,1γu1) e
p2 = (u2, 0,1γu2).
Nesse trabalho vamos estudar a existência, estabilidade e aproximação de ondas viajantes (φ, ψ) :R→ R2 do sistema de FitzHugh-Nagumo (1) que satisfazem
(φ(−∞), φ′(−∞), ψ(−∞)) = (0, 0, 0) e (φ(+∞), φ′(+∞), ψ(+∞)) = (u2, 0,1
γu2). (6)
Mostraremos que existe um valor c > 0 tal que (1) tem uma onda viajante estável; além disso,
0.0 LISTA DE FIGURAS 3
essa onda é única, a menos de translação na variável de fase ξ. Em seguida, descreveremos ummétodo para aproximação dessa onda como equilíbrio de um sistema não local.
Geometricamente, procurar ondas viajantes (φ, ψ, c) de (1) satisfazendo (6) é equivalente adeterminar valores do parâmetro real c para os quais o sistema (5) admite uma órbita heteroclínica
conectando os equilíbrios p0 e p2.Observe ainda que ondas viajantes (φ, ψ, c) de (1) podem ser olhadas como equilíbrios de um
sistema parabólico num sistema de coordenadas móvel: se (u,w) é uma solução de (1) e ξ = x+ ct,então
u(ξ, t) = u(x, t) e w(ξ, t) = w(x, t) (7)
satisfazem ut = uξξ − cuξ + f(u)− wwt = −cwξ + ε(u− γw).
(8)
Nessas variáveis, (φ, ψ) é um ponto de equilíbrio de (8). Obviamente, como solução de umsistema autônomo
(φ(·+ k), ψ(·+ k)) : k ∈ R
é uma família uniparamétrica de pontos de equilíbrios de (8).Desta forma, o conceito de estabilidade da onda viajante é o conceito de estabilidade orbital, que
discutiremos nos próximos capítulos. Nesse contexto, o estudo de estabilidade orbital de famíliasde equilíbrios é de fundamental importância e resultados positivos nessa direção, que serão aquiutilizados, podem ser encontrados em Henry (1981), para sistemas parabólicos, e em Evans (1975),Yanagida (1989) e Jones (1984), para sistemas de FitzHugh-Nagumo.
Esta tese está organizada da seguinte maneira: o Capítulo 1 é dedicado a mostrar a existênciae estabilidade da solução onda viajante mencionada acima e, além disso mostraremos algumasestimativas que serão usadas mais adiante. No Capítulo 2 denimos a equação não local
pt = pxx − η′(t)px + f(p)− q−∞ < x <∞, t > 0
qt = −η′(t)qx + ε(p− γq)(9)
e mostramos que este problema possui uma família de ondas viajantes com velocidade c = 0 cujoperl converge exponencialmente para o perl da onda viajante encontrada no Capítulo 1. Alémdisso, o termo não local n′(t), converge exponencialmente para a velocidade da onda viajante doproblema original.
A premissa deste estudo é poder aproximar numericamente o perl e a velocidade da ondaviajante através dos equilíbrios do problema não local (9). Para usar métodos numéricos é necessáriotruncar o domínio e por isso, no Capítulo 4 analisamos o problema não local em um intervalolimitado com certas condições de contorno, isto é,
pt = pxx −A− 〈q, px〉L2(J)
‖px‖2L2(J)
px + f(p)− q,
x ∈ J =: [x−, x+], t > 0,
qt = −A− 〈q, px〉L2(J)
‖px‖2L2(J)
qx + ε(p− γq),
p(x, 0) = u0(x) q(x, 0) = w0(x)
p(x−, t) = 0, p(x+, t) = u2 e q(x−, t) = 0.
(10)
As condições de contorno acima foram escolhidas de forma a imitar o comportamento da ondaviajante do problema original.
4 LISTA DE FIGURAS 0.0
Assim como o problema local e o não local, denidos em R, estão intimamente ligados, o pro-blema não local (10) herda algumas propriedades do problema local denido no mesmo domínio e,por isso, o Capítulo 3 é dedicado ao estudo da existência e estabilidade dos equilíbrios do problema
ut = uxx − cux + f(u)− w, x ∈, t > 0wt = −cwx + ε(u− γw),
u(x, 0) = u0(x) e w(x, 0) = w0(x)
u(x−, t) = 0, u(x+, t) = u2 e w(x−, t) = 0,
onde A =∫ u2
0 f(s) ds. A análise espectral do problema (10) é feita em duas etapas: no Capítulo4 consideramos a linearização de (10) ao redor da solução estacionária encontrada no Capítulo 3e estudamos as propriedades espectrais deste operador denido tanto em R quanto no intervalo Jnito; no Capítulo 5 estudamos a convergência espectral para um determinado conjunto e para umintervalo sucientemente grande.
Capítulo 1
Teoria Básica
1.1 Existência de ondas viajantes
Nesta seção vamos mostrar existência de uma onda viajante de (1) satisfazendo (6). Como vimos,isso é equivalente a demonstrar a existência de um número real c > 0 tal que (5) tem uma órbitaheteroclínica conectando os equilíbrios p0 e p2. A estratégia que adotaremos será a de mostrar queexiste um valor de c tal que a variedade instável de p0 intercepta a variedade estável de p2. Para isso,na próxima subseção, vamos estudar inicialmente dois sistemas obtidos de (5), doravante chamadossistemas reduzidos.
1.1.1 Dois sistemas reduzidos
Lema 1.1.1 Suponha que f satisfaz as hipóteses (H1)-(H3). Então, existe c = c > 0 tal que o
sistema u′ = v
v′ = cv − f(u) ′ = ddξ
(1.1)
tem uma solução heteroclínica (φ(ξ), φ′(ξ)) tal que φ
′(ξ) > 0 para todo ξ ∈ R e
limξ→−∞
(φ(ξ), φ′(ξ)) = (0, 0) e lim
ξ→+∞(φ(ξ), φ
′(ξ)) = (1, 0). (1.2)
Lema 1.1.2 Suponha que f e γ satisfazem as hipóteses (H1)-(H4). Então, existe c = c > 0 tal que
o sistema u′ = vv′ = cv − f(u) + 1
γu(1.3)
tem uma solução heteroclínica (φ(ξ), φ′(ξ)) tal que φ′(ξ) > 0 para todo ξ ∈ R e
limξ→−∞
(φ(ξ), φ′(ξ)) = (0, 0) e limξ→+∞
(φ(ξ), φ′(ξ)) = (u2, 0).
A demonstração dos lemas acima é um estudo de plano de fase dos sistemas (1.1) e (1.3) quepodem ser encontrados em Henry (1981) e Fife e McLeod (1977).
Observação. Como observado em Henry (1981), p. 130, quando f(u) = u(u−a)(1−u) e 0 < a < 12 ,
temos a solução explícita de (1.1) φ e sua velocidade c, dadas por:
c =√
2
(1
2− a)
e φ(ξ) =1
1 + exp(−ξ/√
2).
5
6 TEORIA BÁSICA 1.1
Com pequenas modicações, podemos obter também expressões explícitas para c e φ:
c =√
2(u2
2− u1
)e φ(ξ) =
u2
1 + exp(−ξu2/√
2).
A Figura 1.1 ilustra como as soluções de (1.1) se comportam de acordo com o parâmetro c. Apartir dela podemos concluir que c < c.
Figura 1.1: Plano de fase de (1.1).
1.1.2 Demonstração da existência da onda viajante
Voltemos agora nossa atenção ao sistema (5), para o qual queremos encontrar uma solução queconecta p0 = (0, 0, 0) com p2 = (u2, 0, w2), onde w2 = 1
γu2.
A linearização de (5) em torno de p0 = (0, 0, 0) é a equação Z ′ = M0Z, onde Z = (u, v, w)T e
M0 =
0 1 0−f ′(0) c 1ε
c0 −εγ
c
.
Os autovalores de M0 são as raízes do polinômio característico
p(r) = −r3 + r2(c− εγ
c
)+ r(εγ − f ′(0)) +
ε
c− εγ
cf ′(0). (1.4)
Para cada t ∈ R, temos
p(it) =1
c
[t2(εγ − c2) + ε(1− γf ′(0))
]+ it
[t2 + εγ − f ′(0)
].
Como f ′(0) < 0, a equação p(it) = 0 não tem solução e, portanto, p não tem raiz no eixoimaginário. Também, escrevendo p como
p(r) =(−εγc− r)
[r2 − cr + f ′(0)] +ε
c,
vericamos que se ε > 0 é sucientemente pequeno, então p(r) = 0 tem três raízes reais quesatisfazem r3 < r2 < 0 < r1. Portanto, para todos c > 0 e ε > 0, M0 tem 3 autovalores quesatisfazem:
r3 < r2 < 0 < r1.
1.1 EXISTÊNCIA DE ONDAS VIAJANTES 7
Se ~v = (v1, v2, v3) é um autovetor de M0 associado a r1, suas componentes satisfazemv2 = r1v1
−f ′(0)v1 + (c− r1)v2 + v3 = 0ε
εγ + r1cv1 = v3.
Escolhendo v1 = 1, concluímos que o espaço tangente à variedade instável em (0, 0, 0) é geradopelo vetor
~v =
(1, r1,
ε
εγ + cr1
). (1.5)
Para cada c > 0, seja (u(ξ), v(ξ), w(ξ)) uma solução de (5) contida no primeiro octante quesatisfaz
limξ→−∞
(u(ξ), v(ξ), w(ξ)) = (0, 0, 0) (1.6)
e denote por Γc a curva integral de (5) que entra na região u > 0, v > 0 e w > 0 saindo de (0, 0, 0):
Γc = (u(ξ), v(ξ), w(ξ)) : limξ→−∞
(u(ξ), v(ξ), w(ξ)) = (0, 0, 0).
Da expressão (1.5) do autovetor ~v podemos selecionar (u(0), v(0), w(0)) em Γc tão próximo de(0, 0, 0) de modo que
0 < u(0) < a, v(0) > 0 e 0 < w(0) <1
γu(0). (1.7)
Vamos procurar soluções de (5) que satisfaz (1.6) e também
limξ→+∞
(u(ξ), v(ξ), w(ξ)) = (u2, 0, w2). (1.8)
Lema 1.1.3 Para cada c > 0, seja Γc a curva integral de (5) saindo de (0, 0, 0) e satisfazendo
(1.7). Temos os seguintes resultados:
(i) Γc não pode encontrar o plano u = γw em um ponto (u(ξ0), v(ξ0), w(ξ0)) com u(ξ0) > 0 se existe
δ > 0 tal que u(ξ) > 0, 0 < w(ξ) < u(ξ)γ e v(ξ) > 0 para ξ ∈ (ξ0 − δ, ξ0);
(ii) Γc não pode interceptar o plano w = 0 em um ponto (u(ξ0), v(ξ0), w(ξ0)) com u(ξ0) > 0 se
existe δ > 0 tal que u(ξ) > 0 e v(ξ) > 0 para ξ ∈ (ξ0 − δ, ξ0);
(iii) Se Γc entra na região
Ω+ =
(u, v, w) : u > u2, v > 0, 0 < w <
1
γu
,
então Γc permanece nesta região.
Demonstração. A demonstração é imediata e consiste em examinar a restrição do campo devetores denido por (5) em cada um dos planos w = 0, w = 1
γu e u = u2.
Um resultado que será muito usado nos próximos lemas é a comparação entre soluções de EDOcuja demonstração pode ser encontrada em Budincevic (2010).
Teorema 1.1.1 Considere os problemasy′(x) = f(x, y)y(x0) = y0
(1.9)
8 TEORIA BÁSICA 1.1
e z′(x) = g(x, z)z(x0) = y0.
(1.10)
Suponha que (1.9) tem uma única solução em
D = (x, y) : |x− x0| < δ1, |y − y0| < δ2.
Se f(x, y) ≥ g(x, y) então y0(x) ≥ z0(x) para x ≥ x0 onde y0(x) é a única solução do problema
(1.9) enquanto que z0(x) é a única solução do problema (1.10).
Sejam c e c os números obtidos nos Lemas 1.1.1 e 1.1.2.
Lema 1.1.4 Suponha que f satisfaz as hipóteses (H1)−(H4). Se c ≥ c, então Γc é tal que v(ξ) > 0para todo ξ ≥ 0.
Demonstração. Podemos escrever (1.4) na forma
p(r) =(εγc
+ r) (−r2 + cr − f ′(0)
)+ε
c.
Encontrar as raízes de p é equivalente a encontrar r que satisfaz
−r2 + cr − f ′(0) +ε
εγ + cr= 0.
Portanto, o único autovalor positivo r1 de M0 satisfaz
r1 =1
2
c+
√c2 + 4
(ε
εγ + cr1− f ′(0)
). (1.11)
Por outro lado, considerando a linearização do sistemau′ = vv′ = cv − f(u)
(1.12)
ao redor do equilíbrio (0, 0), obtemos o autovalor positivo
r+ =1
2
c+
√c2 − 4f ′(0)
e o seu correspondente autovetor v1 = (1, r+). Como c ≥ c, então r1 > r+.
Pelo Lema 1.1.1, (1.12) tem uma orbita heteroclínica (φ(ξ), φ′(ξ)) tal que φ
′(ξ) > 0 e satisfaz
(1.2). Podemos selecionar (φ(0), φ′(0)) na curva integral de (1.12) com valor inicial bem próximo
de (0, 0).Como u′(0) > 0 e φ
′(0) > 0 podemos reescrever os problemas (5) e (1.12) nos respectivos
problemas de valor inicial:
dv
du=cv − f(u)
v+w
v
dw
du=ε(u− γw)
cv
v(0) = 0 e w(0) = 0
(1.13)
1.1 EXISTÊNCIA DE ONDAS VIAJANTES 9
e dv
du=cv − f(u)
v
v(0) = 0
(1.14)
Comparando as soluções dos problemas (1.13) e (1.14) concluímos que
v(ξ) ≥ φ′(ξ) > 0 para todo ξ > 0.
Lema 1.1.5 Se c ≤ c então Γc intersecta o plano v = 0 em algum ponto (up, 0, wp) onde u1 ≤up ≤ u2 e 0 ≤ wp ≤
upγ.
Demonstração. Pelo Lema 1.1.2 se c = c então existe uma órbita heteroclínica (φ(ξ), φ′(ξ)) ligando(0, 0) e (u2, 0).
Portanto o problema
u′ = v,
v′ = cv − f(u) +1
γu, ′ = d
dξ
w′ =ε
c(u− γw).
(1.15)
tem solução (φ(ξ), φ′(ξ), ψ(ξ)) tal que
limξ→−∞
(φ(ξ), φ′(ξ), ψ(ξ)) = (0, 0, 0)
limξ→+∞
(φ(ξ), φ′(ξ), ψ(ξ)) = (u2, 0, w2)
e φ′ > 0 em (−∞,∞).Como feito no Lema 1.1.4, considere os problemas
dv
du=
cv − f(u) +u
γ
v
v(0) = 0
(1.16)
e
dv
du=
cv − f(u) +u
γ
v+
w − u
γ
v
dw
du=ε(u− γw)
cv
v(0) = 0 e w(0) = 0.
(1.17)
Pelo item (i) do Lema 1.1.3, w <u
γ. Comparando as soluções de (1.16) e (1.17) concluímos que
a componente v da solução de (1.17) satisfaz
v(ξ) ≤ φ′(ξ), para todo ξ > 0.
10 TEORIA BÁSICA 1.1
Lema 1.1.6 Para qualquer u+ > u(0) tal que
F (u) =
∫ u
0
(f(s)− s
γ
)ds > 0 para u ∈ (0, u+),
existe ξ+, tal que u(ξ+) = u+ e u(ξ) > 0, u(ξ)− γw(ξ) > 0, v(ξ) > 0 para ξ ∈ (−∞, ξ+].
Demonstração. Veja Gao e Wang (2004), p.671 .
Teorema 1.1.2 Sob as hipóteses (H1)-(H4), para todo ε > 0, existe c∗ ∈ (c, c) tal que existe uma
solução onda viajante do problema (1) com velocidade c∗ satisfazendo (6), isto é, existe um único
c∗ ∈ (c, c) tal que existe uma única, a menos de translação, solução do problema (5)-(6).
Demonstração. Suponha que Γc começa em um ponto na região
R =
(u, v, w); 0 < u < u2, 0 < w < max
f(u),
u
γ
, v > 0
em ξ = 0.
Pelo Lema 1.1.4, se c ≥ c, Γc não intersecta com o plano v = 0 para qualquer ξ > 0 e portantoΓc entrará na região
S =
(u, v, w); u > u2, max f(u), 0 < w <
u
γ, v > 0
.
Pelo Lema 1.1.5, se c = c, Γc intersecta com v = 0 em algum ponto (up, 0, wp) tal que u1 ≤up ≤ u2 e 0 ≤ wp ≤
upγ.
Logo, se c = c ou Γc entra na região
T = (u, v, w); u2 < u < 1, w < f(u), v < 0 .
ou tende para (u2, 0, w2) quando ξ → +∞.Suponha que Γc entra na região T e sejam
C = c > 0, ∃ ξ0 tal que Γc está em R se ξ ∈ (−∞, ξ0) e entra em S em ξ = ξ0
eC = c > 0,∃ ξ0 tal que Γc está em R se ξ ∈ (−∞, ξ0) e entra em T em ξ = ξ0 .
C e C são conjuntos abertos, não vazios e além disso C ∩ C = ∅. Podemos escrever
C = (c1, c2) ∪ (c3, c4) ∪ · · · ∪ (ci, ci+1) ∪ · · ·
onde 0 < c1 < c2 < · · · < ci < · · · < c.Suponha que c ∈ (cj−1, cj) então c < cj e cj pertence a fronteira de C. Como Γcj não entra em
T , existem dois casos a serem considerados:Caso 1: Γcj permanece na região R. Como u′ = v > 0 e que u ∈ (0, u2) é limitado então
ou limξ→+∞
(u, v, w) = (u1, 0, w1) ou limξ→+∞
(u, v, w) = (u2, 0, w2). Pelo Lema 1.1.6 concluímos que
limξ→+∞
(u, v, w) = (u2, 0, w2).
Caso 2: Γcj sai da região R. Como Γcj tem dependência contínua relativa a c, Γcj irá passarpor algum ponto do contorno de S em algum tempo nito ξ = ξ1. Γcj irá passar por algum ponto(u(ξ1), v(ξ1), w(ξ1))
1.1 EXISTÊNCIA DE ONDAS VIAJANTES 11
B = (u, v, w); u2 ≤ u ≤ 1, w = f(u), v = 0
Temos u′(ξ1) = v(ξ1) = 0, w′(ξ1) =ε
c(u(ξ1)− γw(ξ1)) > 0, u′′(ξ1) = v′(ξ1) = 0.
u′′′(ξ1) = v′′(ξ1) =d
duf(u(ξ1))v(ξ1) + w′(ξ1) + cv′(ξ1)
=ε
c(u(ξ1)− γw(ξ1)) > 0.
Então Γcj entrará na região S e cj ∈ C. Como C é aberto, então existe δ > 0 tal que (cj−δ, cj +
δ) ⊂ C ∪ C o que contradiz C ∪ C = ∅.
1.1.3 Teoria geométrica da perturbação singular
A existência de ondas viajantes para equação de FitzHugh-Nagumo foi estudada e demonstradade diferentes formas. Uma dessas formas é a Teoria Geométrica da Perturbação Singular (GPS) quede forma sucinta, vamos descrever os passos de sua demonstração para o caso da órbita heteroclínica.
Quando ε = 0 no sistema
u′ = v,
v′ = cv − f(u) + w, ′ = ddξ
w′ =ε
c(u− γw),
c′ = 0,
(1.18)
então w′ = 0 e portanto w atua como um parâmetro no sistema
u′ = v
v′ = cv − f(u) + w
w′ = 0
c′ = 0.
(1.19)
O sistema (1.19) tem os pontos de equilíbrios no conjunto
S = (u, v, w, c); v = 0 e w = f(u) .
Denem-se duas curvas SL e SR contidas em S onde f ′(u) < 0 como mostra a Figura 1.2 paraum valor de c xo.
Como SL e SR foram denidas longe dos pontos onde f ′(u) = 0, os pontos (u, 0, f(u), c) de SLe SR são pontos xos hiperbólicos e denem uma variedade estável W s e uma variedade instávelW u.
Como existe c tal que, existe uma órbita no plano w ≡ 0 saindo de (0, 0) chegando em (1, 0)(Lema 1.1.1), isto signica que as variedades W u(0, 0, 0, c) e W s(1, 0, 0, c) se intersectam comoilustra a Figura 1.3.
Seja δ > 0 sucientemente pequeno e Iδ = [c− δ, c+ δ], vamos denotar por
N u =⋃c∈Iδ
W u(0, 0, 0, c) e N s =⋃c∈Iδ
W s(u2, 0, f(u2), c). (1.20)
12 TEORIA BÁSICA 1.2
Figura 1.2: Curvas SL e SR para c xo.
Figura 1.3: Intersecção das variedades Wu(0, 0, 0, c) e W s(1, 0, 0, c).
Como existe uma órbita heteroclínica (φ, φ′, 0, c) ligando os pontos (0, 0, 0, c) ∈ N u e (1, 0, 0, c) ∈N s isto implica que as variedades N u e N s se intersectam. O Teorema 4.1 de Szmolyan (1991)mostra que esta intersecção é transversal.
Para mais detalhes desta demonstração veja os artigos de Szmolyan (1991) e Jones (1995).
Seja Γ0 = Γ1 ∪ Γ2 a curva suave por partes, onde Γ1 é a trajetória de φ do Lema 1.1.1 e Γ2 é ográco de f(u) para u ∈ [u2, 1] como mostra a Figura 1.4
Yanagida (1989) usou os argumentos do GPS para enunciar o seguinte resultado
Teorema 1.1.3 Se ε > 0 for sucientemente pequeno, (1) tem uma solução onda viajante cuja
órbita Γε satisfaz; Γε → Γ0 e sua velocidade de propagação c∗ → c, quando ε→ 0.
1.2 Estabilidade de ondas viajantes
Nesta seção, vamos discutir a estabilidade da onda viajante
u(x, t) = φ(x+ c∗t), w(x, t) = ψ(x+ c∗t), (1.21)
de (1), que satisfaz as condições
(φ(−∞), φ′(−∞), ψ(−∞)) = (0, 0, 0) e (φ(+∞), φ′(+∞), ψ(+∞)) = (u2, 0,1
γu2), (1.22)
1.2 ESTABILIDADE DE ONDAS VIAJANTES 13
Figura 1.4: Γ1 e Γ2.
obtida no Teorema 1.1.2.
Como observamos na introdução, a onda viajante (φ, ψ, c∗) de (1) pode ser olhada como equilí-brio de um sistema evolutivo num sistema de coordenadas móvel: se (u,w) é uma solução de (1) eξ = x+ c∗t, então u(ξ, t) = u(x, t) e w(ξ, t) = w(x, t) satisfazem
ut = uξξ − c∗uξ + f(u)− wwt = −c∗wξ + ε(u− γw).
(1.23)
Nessas variáveis, (φ, ψ) é um ponto de equilíbrio de (1.23). Obviamente, como solução de umsistema autonômo (5), translações no tempo ξ também são soluções, de modo que (φ(·+k), ψ(·+k)) : k ∈ R é uma família uniparamétrica de pontos de equilíbrios de (1.23).
Desta forma, o conceito de estabilidade da onda viajante é o conceito de estabilidade orbital,que discutiremos neste capítulo. Naturalmente, precisamos eleger um espaço de fase X e examinar(1.23) como um sistema de evolução em X. Na próxima subseção, faremos uma breve discussãodesses assuntos, já que a literatura a respeito da boa colocação de (1) é bastante conhecida.
1.2.1 Existência de Soluções
Nessa seção trataremos de modo sucinto a teoria básica de soluções de (1.23). Seguiremos deperto o tratamento dado por Bates e Jones (1989). Detalhes podem também ser encontrados nasreferências Evans (1972), Smoller (1983) e Rauch e Smoller (1978)
Em primeiro lugar, diversos espaços podem ser escolhidos para formular (1.23) como uma equa-ção de evolução, mas vamos focar nos seguintes espaços de Banach:
1) Cunif(R) = u : R→ R : u é limitada e uniformemente contínua com a norma
‖u‖∞ = sup|u(x)| : −∞ < x <∞;
2) Wm,p(R) = u : R→ R : u, u′, ..., u(m) ∈ Lp(R)1, m ∈ Z∗+ com a norma
‖u‖m,p =
∫ ∞−∞
(|u(x)|p + ...+ |u(m)(x)|p) dx1/p
.
1Derivadas no sentido de distribuição
14 TEORIA BÁSICA 1.2
Nesse último caso, admitimos que 1 < p < ∞. Um fato básico que usaremos sistematicamenteé o seguinte
Teorema 1.2.1 Para todo 1 < p < ∞, W 1,p(R) e Cunif(R) são espaços de Banach e W 1,p(R) ⊂Cunif(R) com inclusão contínua:
sup−∞<x<∞
|u(x)| ≤ c∫ ∞−∞
(|u(x)|p + |u′(x)|p) dx1/p
,
para toda u ∈W 1,p(R), com c > 0. Em particular, H1(R) := W 1,2(R) é um espaço de Hilbert.
Demonstração. Pode ser encontrada em Brezis (2010).
Seja X qualquer um dos espaços X = Cunif(R)2 ou X = H1(R)2. Tomando perturbação daforma
u(ξ, t) = φ(ξ) + u(ξ, t), w(ξ, t) = ψ(ξ) + w(ξ, t), (1.24)
com (u(·, t), w(·, t)) ∈ X, então (u,w) satisfazut = uξξ −c∗uξ + f ′(φ(ξ))u− w + f(φ(ξ) + u)− f(φ(ξ))− f ′(φ(ξ))uwt = −c∗wξ + ε(u− γw).
(1.25)
Dena os seguintes operadores em X:
A =
[d2
dξ20
0 0
], B =
[−c∗ ddξ 0
0 −c∗ ddξ
], C =
[f ′(0) −1ε −εγ
]e K =
[f ′(φ(ξ))− f ′(0) 0
0 0
];
então, as equações (1.25) podem ser escritas como o sistema de evolução
d
dt
(uw
)= (A+B + C +K)
(uw
)+
(f(φ(ξ) + u)− f(φ(ξ))− f ′(φ(ξ))u
0
). (1.26)
Agora, −A é setorial e, portanto, A gera um semigrupo analítico em X. Como C é um operadorlimitado, então A+ C é o gerador de um semigrupo analítico P (t) em X. Também, para a ∈ R, ooperador translação Ta : X → X dado por Ta(u,w)(ξ) = (u(ξ+a), w(ξ+a)) é um operador limitado(isometria) e é o C0-grupo gerado por B. Um cálculo explícito mostra então que A + B + C geraTc∗tP (t), que é um C0-semigrupo emX. Finalmente, comoK é um operador limitado, A+B+C+Ké o gerador de um C0-semigrupo em X.
Como f é de classe C2, a aplicação F : X → X dada por
F (u,w)(ξ) = (f(φ(ξ) + u(ξ))− f(φ(ξ))− f ′(φ(ξ))u(ξ), 0)
é de classe C1, no sentido de Frechet, e portanto, o problema de Cauchy para (1.25) tem soluçãofraca local única. Existência global pode ser também ser obtida e recomendamos as referênciasRothe (1984), Rauch (1976) Bates e Jones (1989), Pazy (2012).
Denição 1.2.1 Dizemos que a solução onda viajante (φ, ψ) de (1.23) é estável se, dado ε >0, existe δ > 0 tal que ‖(u0, w0)‖ < δ, então a solução (u(·, t), w(·, t)) de (1.23) satisfazendo
(u(·, 0), w(·, 0)) = (φ+ u0, ψ + w0) satisfaz ‖(u(·, t), w(·, t))‖ < ε, para todo t ≥ 0.Dizemos que a solução onda viajante (φ, ψ) de (1.23) é orbitalmente estável se ela é estável e
existe ρ > 0 tal que se ‖(u0, w0)‖ < ρ, então existe ξ0 ∈ R tal que a solução (u(·, t), w(·, t)) de
(1.23) satisfazlimt→∞
[‖u(ξ, t)− φ(ξ − ξ0)‖+ ‖w(ξ, t)− ψ(ξ − ξ0)‖] = 0.
1.2 ESTABILIDADE DE ONDAS VIAJANTES 15
Como ‖f(φ(ξ) + u)− f(φ(ξ))− f ′(φ(ξ))u‖/‖u‖ → 0 quando ‖u‖ → 0, a equação linearizada daequação (1.23) ao redor de (φ, ψ) é dada por
ut = uξξ −c∗uξ + f ′(φ(ξ))u− wwt = −c∗wξ + ε(u− γw).
(1.27)
Vamos agora fazer algumas observações importantes a respeito do resultado estabilidade vialinearização implica estabilidade da equação não linear. Devido ao caráter `hiperbólico' da segundaequação em (1.27), os resultados de Henry (1981) não podem ser aplicados imediatamente. Evans(1972) demonstrou que a estabilidade da equação linearizada implica na estabilidade orbital daequação não linear para uma classe de equações que incluem o sistema de FitzHugh-Nagumo nocaso de ondas homoclínicas. A conclusão foi mais tarde generalizada por Bates e Jones (1989). Nopresente contexto (de ondas heteroclínicas), o resultado é de fato também verdadeiro e, segundonosso conhecimento, decorrem dos recentes resultados contidos em Ghazaryan et al. (2011) e suasreferências.
Seja L : D(L) ⊂ X → X o operador linear com domínio
D(L) = (u,w) ∈ X : (u′, w′) ∈ X e (u′′, 0) ∈ X
denido pela equação linear (1.27) dado por
L
(uw
)(ξ) =
(u′′(ξ)− c∗u′(ξ) + f ′(φ(ξ))u(ξ)− w(ξ)−c∗w′(ξ) + ε(u(ξ)− γw(ξ))
)(1.28)
e indiquemos por σ(L) o espectro de L.
O resultado básico que usaremos para obter estabilidade orbital foi utilizado por Yanagida(1989) e demonstrado por Bates e Jones (1989) e também por Ghazaryan et al. (2011) e consistedo seguinte
Teorema 1.2.2 A solução onda viajante (φ, ψ) da equação (1.23) é exponencialmente estável se
(i) Existe δ > 0 tal que σ(L) satisfaz σ(L)\0 ⊂ µ ∈ C : Re µ ≤ −δ;
(ii) 0 é um autovalor simples de L, isto é, a equação
u′′(ξ)− c∗u′(ξ) + f ′(φ(ξ))u(ξ)− w(ξ) = φ′(ξ)−c∗w′(ξ) + ε(u(ξ)− γw(ξ) = ψ′(ξ) −∞ < x <∞ (1.29)
não tem solução limitada.
Para estudar o espectro de L, vamos recordar a seguinte
Denição 1.2.2 Sejam L um operador linear e σ(L) o espectro de L.
i) O espectro normal σn(L) de L é o conjunto de todos µ ∈ C tais que µ é um autovalor isolado
de multiplicidade nita.
ii) O espectro essencial σe(L) é denido por σe(L) = σ(L) \ σn(L).
Como φ(ξ) → 0 e φ(ξ) → u2 quando ξ → ∓∞, os coecientes do operador L dado em (1.28)são assintoticamente constantes; tem, portanto, interesse estudar os seguintes operadores com coe-cientes constantes L− e L+, com mesmos domínios que o de L, denidos por
L−
(uw
)(ξ) =
(u′′(ξ)− c∗u′(ξ) + f ′(0)u(ξ)− w(ξ)−c∗w′(ξ) + ε(u(ξ)− γw(ξ))
)(1.30)
16 TEORIA BÁSICA 1.2
e
L+
(uw
)(ξ) =
(u′′(ξ)− c∗u′(ξ) + f ′(u2)u(ξ)− w(ξ)−c∗w′(ξ) + ε(u(ξ)− γw(ξ))
). (1.31)
O fato fundamental aqui é que as diferenças L− L− e L− L+ são da forma
(L− L±)u(ξ) = a±(ξ)u(ξ),
onde a−(ξ) = f ′(φ(ξ)) − f ′(0) e a+(ξ) = f ′(φ(ξ)) − f ′(u2) e denem operadores compactos emL2(R−) e em L2(R+), respectivamente, (ver Bates e Jones (1989) e Pego (1985)) e vale o seguinteresultado
Lema 1.2.1 Se K : X → X é um operador compacto, então σe(L) = σe(L+K).
A demonstração do Lema 1.2.1 pode ser encontrada, por exemplo, em Henry (1981).
Dess a forma, o espectro essencial de L pode ser obtido como a reunião dos espectros essenciaisde L− e de L+, os quais estudaremos a seguir. Por comodidade, no que segue, indicaremos por αqualquer um dos números f ′(0) ou f ′(u2). O fato essencial é que α é um número negativo: α < 0.
Vamos inicialmente analisar o resolvente de L+. Um número λ ∈ C pertence ao conjunto resol-vente de L+ se dado (f, g) ∈ X, existe um único (u,w) ∈ D(L+) tal que
(L+ − λI)
(uw
)=
(fg
)(1.32)
e a aplicação (f, g) 7→ (u,w) : X → X é contínua.
A equação (1.32) pode ser escrita de forma equivalente como o sistema
d
dξz(ξ) = M(λ)z(ξ) + h(ξ), (1.33)
onde
M(λ) =
0 1 0λ− α c∗ 1ε
c∗0 −εγ + λ
c∗
e h(ξ) =
0f(ξ)
−g(ξ)/c∗
.
Lema 1.2.2 Uma condição necessária e suciente para que (1.33) tenha solução limitada em
(−∞,∞) para toda h limitada é que M(λ) não tenha autovalor no eixo imaginário. Além disso,
se M(λ) não tem autovalor no eixo imaginário, então para toda h ∈ BC(R), existe uma única
z = K(h) ∈ BC(R) tal que K(h) é a única solução limitada de (1.33) e o operador K : BC(R)→BC(R) é linear e contínuo.
Aqui, BC(R) indica o espaço das funções contínuas e limitadas com a norma do sup.
A demonstração pode ser encontrada em Hale (1980).
Portanto, o espectro essencial de L+ consiste dos números complexos λ tais que M(λ) temalgum autovalor no eixo imaginário. Seja p(µ) = det(M(λ)−µI) polinômio característico deM(λ).Então,
p(µ) = det(M(λ)− µI) =1
c∗(εγ + λ+ c∗µ)[µ2 − c∗µ+ α− λ]− ε
c∗, (1.34)
e o espectro essencial de L+ é
σe(L+) = λ ∈ C : existe τ ∈ R tal que p(iτ) = 0.
1.2 ESTABILIDADE DE ONDAS VIAJANTES 17
Agora, a equação p(iτ) = 0 é equivalente a
(εγ + λ+ ic∗τ)[−τ2 − ic∗τ + α− λ]− ε = 0.
Escrevendo λ = x+ iy, com x, y ∈ R, a equação acima se escreve como
[(εγ + x) + i(y + c∗τ)][(α− τ2 − x)− i(y + c∗τ)] = ε.
Efetuando o produto indicado e igualando partes real e imaginária, concluímos que x e y sãosoluções reais do sistema
(εγ + x)(α− τ2 − x) + (y + c∗τ)2 = ε
(y + c∗τ)[α− τ2 − x− εγ − x] = 0.
A segunda equação implica que y = −c∗τ ou x = 12 [α− εγ − τ2].
Se y = −c∗τ , a primeira equação implica que (εγ + x)(α− τ2 − x) = ε, isto é,
x2 − (α− εγ − τ2)x+ ε[1− γ(α− τ2) = 0.
Segue-se então que
x = x±(τ) =1
2[(α− εγ − τ2)±
√(α+ εγ − τ2)2 − 4ε].
(para ε > 0 sucientemente pequeno, o termo em √ é positivo).
Substituindo τ = −y/c∗, obtemos duas curvas no plano complexo que contém o espectro essen-cial de L+; a curva mais à direita x = x+(−y/c∗) é dada por
x+ =1
2c∗2
[c∗2(α− εγ)− y2 +
√c∗2(α+ εγ − y2)2 − 4εc∗2
],
que satisfaz
lim|y|→∞
x+ = lim|τ |→∞
x+(τ) = −1
2lim|τ |→∞
(εγ + α− τ2)2 − 4ε− (εγ − α+ τ2)2
(α− εγ − τ2) +√
(α+ εγ − τ2)2 − 4ε= −εγ
e tem o comportamento indicado na Figura 1.5.Quando x = 1
2 [α − εγ − τ2], os pontos λ ∈ σe(L+) satisfazem Reλ ≤ 12 [α − εγ] < −εγ, se ε é
sucientemente pequeno (por exemplo, 0 < ε < 1γ min−f ′(0),−f ′(u2)).
Procedendo da mesma forma, obtemos uma estimativa análoga para o espectro essencial de L−.Demonstramos, portanto, o seguinte
Teorema 1.2.3 Se ε > 0 é sucientemente pequeno, então existe δ ∈ (0, εγ) tal que Reλ < −δ,para todo λ ∈ σe(L).
Uma vez que o espectro essencial de L satisfaz a hipótese i) do Teorema 1.2.2, vamos analisaros autovalores de L no semiplano Reλ ≥ −δ. Para isso, queremos determinar λ ∈ C com Reλ ≥ −δtal que a equação L(u,w) = λ(u,w) tem solução não nula. Isso é equivalente a determinar λ paraos quais
u′′(ξ)− c∗u′(ξ) + f ′(φ(ξ))u(ξ)− w(ξ) = λu(ξ)
−c∗w′(ξ) + ε(u(ξ)− γw(ξ)) = λw(ξ)(1.35)
18 TEORIA BÁSICA 1.2
Figura 1.5: Comportamento de x+(y) e x−(y).
tem solução limitada não-nula.
Podemos escrever (1.35) na forma
d
dξz(ξ) = M(λ, ξ)z(ξ), (1.36)
onde
M(λ, ε) =
0 1 0λ− f ′(φ) c∗ 1
ε
c∗0 −εγ + λ
c∗
ou ainda nas equações equivalentes:
d
dξz(ξ) = (M1(λ) +R1(ξ))z(ξ) (1.37)
onde
M1(λ) =
0 1 0λ− f ′(0) c∗ 1
ε
c∗0 −λ+ εγ
c∗
e R1(ξ) =
0 0 0f ′(0)− f ′(φ(ξ)) 0 0
0 0 0
e
d
dξz(ξ) = [M2(λ) +R2(ξ)]z(ξ), (1.38)
onde
M2(λ) =
0 1 0λ− f ′(u2) c∗ 1
ε
c∗0 −λ+ εγ
c∗
e R2(ξ) =
0 0 0f ′(u2)− f ′(φ(ξ)) 0 0
0 0 0
.
Lema 1.2.3 Suponha que α é um número real negativo. Se ε > 0 é sucientemente pequeno, então
1.2 ESTABILIDADE DE ONDAS VIAJANTES 19
existe uma constante δ1 > 0 tal que se Re λ ≥ −δ1, então a matriz
M(λ) =
0 1 0λ− α c∗ 1ε
c∗0 −λ+ εγ
c∗
(1.39)
tem um autovalor com parte real positiva e dois autovalores com parte real negativa.
Demonstração. Como vimos na demonstração do Teorema 1.2.3, para todo α < 0, existe δ > 0 talque seM(λ) tem um autovalor no eixo imaginário, então Reλ < −δ. Portanto, tomando 0 < δ1 ≤ δ,concluímos que se Reλ ≥ −δ1, então M(λ) não tem autovalores no eixo imaginário. Logo, paraReλ ≥ −δ1, o número de autovalores de M(λ) em cada um dos semiplanos Reµ > 0 e Reµ < 0 éconstante.
Para determinar esse número, vamos calculá-lo quando λ = 0. Os autovalores de M(0) são asraízes do polinômio (1.34) com λ = 0, e se reduz a
(εγ + c∗µ)[µ2 − c∗µ+ α]− ε = 0.
Pelo Teorema da Função Implícita, essa última equação tem três raízes reais distintas dadas por
µ3(ε) = µ− −ε
c∗µ+
√c∗2 − 4α
+O(ε2),
µ2(ε) =1− αγc∗α
ε+2(1− αγ)
c∗α3ε2 +O(ε3)
eµ1(ε) = µ+ +
ε
c∗µ+
√c∗2 − 4α
+O(ε2),
onde µ− < 0 e µ+ > 0 são as raízes de µ2 − c∗µ+ α = 0.
Como α < 0, temos µ3(ε) < µ2(ε) < 0 < µ1(ε), para todo ε > 0 sucientemente pequeno.Portanto,M(λ) tem dois autovalores com parte real negativa e um autovalor com parte real positiva.
A seguir, vamos enunciar um resultado que será útil nas próximas seções
Teorema 1.2.4 Seja A ∈ CN×N uma matriz constante e R uma matriz integrável satisfazendo∫ ∞0‖R(t)‖ dt <∞.
Suponha que A é diagonalizável. Se λ é um autovalor de A e p é um autovetor correspondente,
então o sistema
x = Ax+R(t)x
tem uma solução φ que satisfaz
limt→∞
φ(t)e−λt = p.
Demonstração. A demonstração pode ser encontrada no livro de Coddington e Levinson (1955),p. 104.
20 TEORIA BÁSICA 1.2
1.2.2 Função de Evans para sistema reduzido
Considere o problema de autovalor
u′′ − cu′ + f ′(φ(ξ))u = λu, −∞ < ξ <∞. (1.40)
O problema (1.40) pode ser reescrito na equação
d
dξZ0(ξ, λ) = B(ξ, λ)Z0(ξ, λ), (1.41)
onde Z0(ξ, λ) = (u, v) e
B(ξ, λ) =
(0 1
λ− f ′(φ(ξ)) c
). (1.42)
Como φ(−∞) = 0 e φ(+∞) = 1 podemos considerar
d
dξZ0(ξ, λ) = B1(λ)Z0(ξ, λ), (1.43)
onde
B1(λ) =
(0 1
λ− f ′(0) c
)quando ξ → −∞ (1.44)
ed
dξZ0(ξ, λ) = B2(λ)Z0(ξ, λ), (1.45)
onde
B2(λ) =
(0 1
λ− f ′(1) c
)quando ξ → +∞. (1.46)
Pelo Teorema A2 do Capítulo 5 de Henry (1981) sabemos que o espectro essencial está naregião Re λ < −δ0 < 0, onde δ0 = min−f ′(0),−f ′(1).
Se Re λ ≥ −δ0, as matrizes (1.44) e (1.46) possuem autovalores satisfazendo, respectivamente:
r− < 0 < r+ e s− < 0 < s+,
e seus correspondentes autovetores:
ρ± = (1, r±) e κ± = (1, s±).
Pelo Teorema 1.2.4, existe uma solução de (1.43) Z+0 tal que
limξ→−∞
Z+0 (ξ, λ)e−r+ξ = ρ+.
A menos de multiplicação por constantes, Z+0 é a única solução limitada de (1.41) quando
ξ → −∞.Por outro lado (1.41) pode ser escrita na forma Z ′0 = (B2(λ) + R2(ξ))Z0, onde B2(λ) é dada
por (1.46) e
R2(λ) =
(0 0
f ′(1)− f ′(φ) 0
). (1.47)
Portanto podemos denir uma solução Z−0 (λ, ξ) de (1.41) com a seguinte forma:
Z−0 (λ, ξ) = E0(λ)κ+es+ξ + E1(λ)κ−e
s−ξ +O(es−ξ),
1.3 FUNÇÃO DE EVANS PARA SISTEMA FITZHUGH-NAGUMO 21
onde Ei, i = 0, 1 são constantes em relação a ξ, mas dependem de λ.
A solução Z−0 será limitada se, e somente se, E0(λ) = 0. Desta forma, podemos construir umasolução Z0 tal que
Z0 → ρ+er+ξ quando x→ −∞ (1.48)
eZ0 → E0(λ)κ+e
s+ξ quando x→∞. (1.49)
Encontrar os valores de λ tal que E0(λ) = 0 signica encontrar os valores de λ para o qual Z0 éuma solução limitada que é equivalente a encontrar os autovalores do problema (1.40). A função deEvans na literatura é apresentada de várias formas, esta última foi sugerida por Yanagida (1989).Outras formas da função de Evans podem ser encontradas em Kapitula e Promislow (2013), Jones(1984), Sandstede (2002) e referências.
Lema 1.2.4 Propriedades de E0(λ):
(i) E0(λ) é analítica e real se λ for real
(ii) E0(0) = 0
(iii)d
dλE0(0) 6= 0
Demonstração. Veja Yanagida (1985) Lema 4.7.
1.3 Função de Evans para sistema FitzHugh-Nagumo
Voltando ao problema (1.35), considerando α = f ′(0) ou α = f ′(u2) em (1.37) ou em (1.38),sejam ri e si, i = 1, 2, 3 os autovalores de M1(λ) e M2(λ), respectivamente, que satisfazem:
Re r1 > 0 > Re r2 > Re r3 e Re s1 > 0 > Re s2 > Re s3.
Sejam ρi e κi os autovetores correspondentes aos autovalores ri, si, i = 1, 2, 3, respectivamente,dados por
ρi(λ, ε) =
(1, ri,
ε
c∗ri + λ+ εγ
)e
κi(λ, ε) =
(1, si,
ε
c∗si + λ+ εγ
).
Como R2(ξ) satisfaz as hipóteses do Teorema 1.2.4, existe uma base φs1 , φs2 , φs3 de soluçõesde (1.38) tal que φsi(ξ)e
−siξ → κi quando ξ → +∞.
Da mesma forma, R1(ξ) também satisfaz as hipóteses do Teorema 1.2.4 e uma solução φ de(1.37) é limitada quando ξ → −∞ se, e somente se,
limξ→−∞
φ(ξ)e−r1ξ = ρ1.
Escrevendo φ como combinação linear das funções da base φs1 , φs2 , φs3, isto é,
φ = c1φs1 + c2φs2 + c3φs3 ,
22 TEORIA BÁSICA 1.3
concluímos que φ é limitada em (−∞,∞) se, e somente se, a componente de φ na direção φs1 ézero, isto é, c1 = 0. Da mesma forma como zemos para o sistema reduzido, podemos construiruma solução Z de (1.33) que satisfaz
Z → ρ1(λ, ε)er1(λ,ε)ξ quando ξ → −∞ (1.50)
eZ → E(λ, ε)κ1(λ, ε)es1(λ,ε)ξ quando ξ →∞. (1.51)
Observemos que Mi(λ), i = 1, 2, tem autovalores distintos e dependem analiticamente de λpara Reλ > −δ, concluímos que as soluções de (1.37) (ou equivalentemente, (1.38)) são funçõesanalíticas de λ, bem como os autovalores e autovetores de Mi(λ). Assim, a componente c1 = c1(λ)de φ também é uma função analítica de λ, denida no semiplano Reλ > −δ.
Denição 1.3.1 Para Reλ > −δ, denimos E(λ) := c1(λ), onde c1 = c1(λ) é a função denida
no parágrafo anterior e dizemos que E é a função de Evans associada ao problema (1.35).
O seguinte resultado é imediato
Teorema 1.3.1 Um número complexo λ é autovalor de (1.35) se, e somente se, E(λ) = 0.
Na referência Evans (1975), descreve as propriedades fundamentais da função E. No teoremaa seguir, enunciamos as mais importantes, que estão ligadas ao tema de nosso estudo.
Teorema 1.3.2 Seja Ω ⊂ C a componente do resolvente de L que contém 0. Então, a função Epode ser estendida de modo analítico a Ω× (0, ε) e tem as seguintes propriedades:
(i) E é analítica em λ e é real se λ ∈ Ω é real;
(ii) E(0, ε) = 0 e ddλE(0, ε) 6= 0 para todo ε ∈ (0, ε0);
(iii) E(λ, ε) 6= 0 para todo λ ∈ Ω\0 e ε ∈ (0, ε0).
As demonstrações dessas propriedades podem ser encontradas no Lema 4 em Yanagida (1989).
Observação: Derivando a equação
φ′′ − c∗φ′ + f(φ)− ψ = 0−c∗ψ′ + ε(φ− γψ) = 0
obtemosφ′′′ − c∗φ′′ + f ′(φ)φ′ − ψ′ = 0−c∗ψ′′ + ε(φ′ − γψ′) = 0.
(1.52)
portanto (φ′, ψ′) é uma autofunção associada ao autovalor λ = 0 do problema (1.32).
O próximo lema estabelece uma importante relação entre E(λ, ε) e E0(λ).
Lema 1.3.1 Existem funções H1(λ, ε) e H2(λ, ε) suaves em ε e analíticas em λ tal que
E(λ, ε) = H1(λ, ε)E0(λ) +H2(λ, ε). (1.53)
Além disso H1(λ, ε) 6= 0 para todo λ e H2(λ, ε)→ 0 quando ε→ 0+.
Demonstração. Como mencionado na introdução, soluções ondas viajantes é uma família unipa-ramétrica da forma (φ(·+k), ψ(·+k)), k ∈ R, ou seja, as translações no espaço de ondas viajantessão ainda soluções ondas viajantes do mesmo sistema. Por isso vamos normalizar as trajetórias deΓε = (φ(ξ), φ′(ξ), ψ(ξ)) do problema (5)-(6) e de Γ1 = (φ(ξ), φ
′(ξ)), a trajetória do problema (1.1)
porφ(0) = φ(0) = a.
1.3 FUNÇÃO DE EVANS PARA SISTEMA FITZHUGH-NAGUMO 23
Pelo Teorema 1.1.3, Γε → Γ0 quando ε→ 0+, então
(φ(ξ, ε), φ′(ξ, ε), ψ(ξ, ε))→ (φ(ξ), φ′(ξ), 0) quando ε→ 0+ e ξ xo. (1.54)
Existe uma função monótona decrescente ξ0(ε) satisfazendo ξ0(ε) → +∞ quando ε → 0+ talque a condição de convergência (1.54) seja uniforme em (−∞, ξ0(ε)). Então a trajetória de Γε ésucientemente próxima da trajetória de Γ1 para ξ ∈ (−∞, ξ0(ε)) e sucientemente próxima de Γ2
para (ξ0(ε),+∞) como mostra a Figura 1.6.
Figura 1.6: Trajetória de Γε.
Vamos considerar o comportamento de Z = (φ, φ′, ψ) para ξ ∈ (−∞, ξ0(ε)).Como r1(λ, ε) é o único autovalor com parte real positiva para ε ≥ 0 e Z é contínua em ε = 0
então, se ξ é xo;Z(ξ, λ, 0) = lim
ε→0+Z(ξ, λ, ε)
e satisfaz a equaçãod
dξZ(ξ, λ, 0) = M(ξ, λ, 0)Z(ξ, λ, 0),
onde
M(ξ, λ, 0) =
0B(ξ, λ) 1
0 0−λc
(1.55)
e B(ξ, λ) é a matriz (1.42). Desta forma, Z(ξ, λ, 0) e (φ(ξ), φ′(ξ), 0) satisfazem a mesma equação.
Por outro lado, a condição (1.50) pode ser escrita na forma
Z(ξ, λ, 0) ' ρ1(λ, 0)er1(λ,0)ξ quando ξ → −∞. (1.56)
24 TEORIA BÁSICA 1.3
Fazendo ξ → −∞ na equação (1.55) obtemos
M(ξ, λ, 0) =
0B1(λ) 1
0 0−λc
e isto signica que r1(λ, 0) = r+(λ) e ρ1(λ, 0) = (ρ+, 0). Como Z(ξ, λ, 0) e (Z0(ξ, λ), 0) satisfazema mesma condição quando ξ → −∞, isto implica que
Z(ξ, λ, 0) =
(Z0(ξ, λ)
0
), −∞ < ξ <∞.
Podemos escolher ξ0(ε) de tal forma que a divergência de ξ0(ε) para o innito é sucientementelenta, obtemos
Z(ξ0(ε), λ, ε)→(Z0(ξ, λ)
0
)com ε→ 0+.
Consequentemente, pela relação (1.49) obtemos
Z(ξ0(ε), λ, ε)→ E0(λ)
(κ+
0
)e[s+(λ)ξ0(λ)], ε→ 0+. (1.57)
Vamos considerar o comportamento de Z(ξ, λ, ε) para ξ ∈ [ξ0(ε),+∞). Sejam
M(λ, ε, u) =
0 1 0λ− f ′(u) c 1
ε
c0−(λ+ γε)
c
e σi(λ, ε, u), i = 1, 2, 3, as raízes características de M .
Como f ′(u) < 0 para u ∈ [u2, 1], assumimos que
Reσ3 < Reσ2 < 0 < Reσ1.
Sejam os autovetores
vi(λ, ε, u) =
(1, σi,
ε
cσi + λ+ εγ
), i = 1, 2, 3.
Como os autoespaços dependem continuamente dos parâmetros podemos assumir, por uma normali-zação apropriada, que vi, i = 1, 2, 3, depende continuamente de λ, ε > 0 e u ∈ [u2, 1]. Seja V (ξ, λ, ε)uma matriz 3× 3 função de ξ cujas colunas são os vetores v′is, isto é:
V (ξ, λ, ε) =(v1 v2 v3
)∣∣u=φ(ξ,ε)
.
SejaW (ξ, λ, ε) ≡ V −1(ξ, λ, ε)Z(ξ, λ, ε)eI , (1.58)
onde
I = −∫ ξ
ξ0(ε)σ1(λ, ε, φ(s, ε))ds− s+(λ)ξ0(ε). (1.59)
Como
M(λ, 0, 1) =
0B2(λ) 1
0 0−λc
(1.60)
1.3 FUNÇÃO DE EVANS PARA SISTEMA FITZHUGH-NAGUMO 25
e φ(ξ0(ε), ε) → 1 quando ε → 0+, v1(λ, ε, φ(ξ0(ε), ε)) → (κ+, 0). Portanto, pelas equações (1.57) e(1.58) obtemos
W (ξ0(ε), λ, ε) '
E0(λ)00
quando ε→ 0+. (1.61)
Por outro lado, de acordo com as equações (1.33) e (1.58)
d
dξW =
d
dξ
(V −1Z
)eI − V −1ZeIσ1
=
[d
dξV −1Z + V −1 d
dξZ
]eI − V −1ZeIσ1
=d
dξV −1ZeI + V −1MZeI − V −1ZeIσ1
=d
dξV −1ZeI + V −1MVW −Wσ1
= −V −2dV
dξV W +NW,
onde N é uma matriz 3× 3 tal que N ≡ V −1MV + σ1I. Logo W satisfaz
d
dξW =
(N − V −1dV
dξ
)W. (1.62)
Pela denição de V , a matriz N tem a forma
N(ξ, λ, ε) =
0 0 00 σ2 − σ1 00 0 σ3 − σ1
:=
0 0 000 N0(ξ, λ, ε)
. (1.63)
Comod
dξψ(ξ, ε) =
ε
c(φ(ξ, ε)− γψ(ξ, ε)) > 0 (1.64)
podemos fazer a mudança de variáveis de ξ para φ na equação (1.62). Usando (1.64) e (1.62) logo
dW
dψ=dW
dξ
dξ
dψ
=
(N − V −1dV
dξ
)W
[−c
ε(f−1(ψ)− γψ)
].
ComodV
dψ=dV
dξ
[−c
ε(f−1(ψ)− γψ)
],
logodW
dψ=
(−c
ε(f−1(ψ)− γψ)N − V −1dV
dψ
)W, (1.65)
onde f−1 é uma função inversa de f a qual está denida para [0, w2] cuja imagem está sobre [u2, 1].Por (1.63), a parte real das raízes características da matriz
c
ε(f−1(ψ)− εψ)N0
diverge para o innito quando ε → 0+. Portanto, se resolvemos a equação (1.65) com a condiçãoinicial (1.61) a segunda e a terceira componente de W tende para zero quando ε → 0+ paraξ ≥ ξ0(ε). Logo o comportamento da primeira componente W1 de W é descrita aproximadamente
26 TEORIA BÁSICA 1.3
pela equaçãod
dψW1 '
(−V −1dV
dψ
)∣∣∣∣11
W1, ε→ 0+, (1.66)
onde (·)|11 denota a componente a11 da matriz. Como V é suave em ε = 0, então(−V −1dV
dψ
)∣∣∣∣11
tem um limite nito quando ε→ 0+.Como a equação (1.66) é homogênea em W1, logo W1 pode ser escrita como
W1(+∞, λ, ε) ' J(λ, ε)E0(λ), ε→ 0+,
onde J(λ, ε) é analítica em λ ∈ C, suave em ε ≥ 0, positiva para λ real e J(λ, ε) 6= 0 para qualquerλ e ε ≥ 0.
Consequentemente,
W (+∞, λ, ε) '
J(λ, ε)E0(λ)00
, ε→ 0+. (1.67)
Como v1(λ, ε, u2) = κ1(λ, ε) e σ1(λ, ε, u2) = s1(λ, ε) segue das equações (1.58) e (1.67) que
Z(ξ, λ, ε) ' κ1(λ, ε)H1(λ, ε) [E0(λ) +H2(λ, ε)] es1(λ,ε)ξ, ξ → +∞,
onde
H1(λ, ε) ≡ J(λ, ε)exp
[∫ +∞
ξ0(ε)(σ1(λ, ε, φ(ξ, ε))− s1(λ, ε)dξ + s+ξ0(ε)
]e
H2(λ, ε) ≡ E(λ, ε)
H1(λ, ε)− E0(λ).
Teorema 1.3.3 Se ε > 0 for sucientemente pequeno, a onda viajante (φ(ξ), ψ(ξ)) do problema
(1) é exponencialmente estável, isto é, existem constantes K > 0 e ω > 0 tais que para algum x0 ∈ R
|u(x, t)− φ(x+ ct− x0)| < Ke−ωt
e
|w(x, t)− ψ(x+ ct− x0)| < Ke−ωt (1.68)
para todo x ∈ R e todo t ≥ 0.
Demonstração. Seja δ1 > 0 a constante do Lema 1.2.3. Seja R0 > 0 uma constante independentede ε e considere
C1 ≡ λ ∈ C; |λ| ≤ R0, Re λ ≥ −δ1
C2 ≡ λ ∈ C; |λ| > R0, Re λ ≥ −δ1.
Sejam R0 xo e ε > 0 sucientemente pequeno. Como E0(0) = 0, usando o Teorema 1.3.2 e oLema 1.3.1 temos
H1(0, ε)H2(0, ε) = 0 =⇒ H2(0, ε) = 0.
Como C1 é compacto, a convergência H2(λ, ε) → 0 quando ε → 0+ é uniforme em C1. Pelo fatoque E0(λ) 6= 0 em C1 \ λ ∈ C;Reλ < 0. Logo λ = 0 é o único zero de E0(λ) + H2(λ, ε) emC1 \ λ ∈ C;Reλ < 0.
1.3 FUNÇÃO DE EVANS PARA SISTEMA FITZHUGH-NAGUMO 27
Agora vamos provar que não existe autovalor em C2 se R0 é sucientemente grande.Se ε > 0 é sucientemente pequeno e Reλ > −δ1, existe k > 0 tal que as raízes de M1(λ, ε)
satisfazem:
r1(λ, ε) =c
2+
√c2 + 4(λ− f ′(0))
2+ k(ε),
r2(λ, ε) =c
2−√c2 + 4(λ− f ′(0))
2+ k(ε),
r3(λ, ε) = −λ2
+ k(ε).
(1.69)
Comor1(λ, ε)√
λ=
1
2
c+ k(ε)√
λ+
√4 +
c2 − f ′(0)
λ
,
logo
limλ→+∞
r1(λ, ε)√λ
= 1 =⇒ limλ→+∞
r1(λ, ε)−√λ√
λ= 0
e podemos concluir que
r1(λ, ε) =√λ+O(1) quando λ→ +∞. (1.70)
De forma análoga, concluímos que
r2(λ, ε) = −√λ+O(1),
r3(λ, ε) = −λc
+O(1), quando |λ| → +∞.(1.71)
O mesmo vale para as raízes do polinômio característico de M2
s1(λ, ε) =√λ+O(1)
s2(λ, ε) = −√λ+O(1)
s3(λ, ε) = −λc
+O(1) quando |λ| → +∞.
(1.72)
Sejam as matrizes P (λ, ε) e Q(λ, ε) cujas colunas são os autovetores associados aos autovaloresr′is e s
′is, isto é,
P (λ, ε) =
1 1 1r1 r2 r3
ε
cr1 + λ+ εγ
ε
cr2 + λ+ εγ
ε
cr3 + λ+ εγ
(1.73)
e
Q(λ, ε) =
1 1 1s1 s2 s3
ε
cs1 + λ+ εγ
ε
cs2 + λ+ εγ
ε
cs3 + λ+ εγ
. (1.74)
ConsidereX1(ξ, λ, ε) ≡ P−1(λ, ε)Z(ξ, λ, ε)
X2(ξ, λ, ε) ≡ Q−1(λ, ε)Z(ξ, λ, ε)(1.75)
28 TEORIA BÁSICA 1.3
Por (1.36), (1.37) e (1.75), X1(ξ, λ, ε) satisfaz
d
dξX1(ξ, λ, ε) = P−1(λ, ε)
d
dξZ(ξ, λ, ε)
= P−1(λ, ε)M(ξ, λ, ε)Z(ξ, λ, ε)
= P−1(λ, ε)[M1(λ, ε) +R1(ξ)]Z(ξ, λ, ε)
= P−1(λ, ε)M1(λ, ε)P (λ, ε)X1(ξ, λ, ε) + P−1(λ, ε)R1(ξ)P (λ, ε)X1(ξ, λ, ε).
Desta forma podemos escrever
d
dξX1(ξ, λ, ε) = [N1(λ, ε) + N1(ξ, λ, ε)]X1(ξ, λ, ε),
onde
N1 =
r1 0 00 r2 00 0 r3
e N1(ξ, λ, ε) = P−1(λ, ε)R1(ξ)P (λ, ε).
Usando (1.70), vemos que todas as componentes de N1 tendem para zero quando |λ| → +∞,ou seja, quando ξ é xo e |λ| → +∞ todas as componentes de
X1(ξ, λ, ε)−
100
er1ξ
tornam-se pequenas em comparação com er1ξ.Logo, por (1.75),
Z(ξ, λ, ε) = ρ1er1ξ =⇒ Z(0, λ, ε) = ρ1 quando |λ| → +∞
e pela igualdade (1.70) temos
Z(0, λ, ε) =
1 + o(1)√λ+ +O(1)o(1)
quando |λ| → +∞. (1.76)
Por outro lado, X2 satisfaz
d
dξX2(ξ, λ, ε) = [N2(λ, ε) + N2(ξ, λ, ε)]X2(ξ, λ, ε),
onde
N2 =
s1 0 00 s2 00 0 s3
e N2(ξ, λ, ε) = Q−1(λ, ε)R2(ξ)Q(λ, ε). De maneira similar concluímos que
Z(0, λ, ε) = E(λ, ε)
1 + o(1)√λ+ +O(1)o(1)
quando |λ| → +∞. (1.77)
Comparando (1.77) com (1.76) obtemos E(λ, ε)→ 1 quando |λ| → +∞.Como o comportamento das raízes características ri e si, i = 1, 2, 3, quando |λ| → +∞, não
depende essencialmente de ε, a convergência de E(λ, ε) é uniforme para ε pequeno. Pelo Teorema1.3.1, existe uma constante R0 > 0, independente de ε, tal que C2 não contém autovalor da equação
1.3 FUNÇÃO DE EVANS PARA SISTEMA FITZHUGH-NAGUMO 29
(1.35).Vamos provar que λ = 0 é um autovalor simples.A equação (1.29) pode ser reescrita na forma
d
dξZ(ξ, ε) = M(ξ, 0, ε)Z(ξ, ε) +
0
φ′(ξ, ε)
−ψ′(ξ, ε)
c∗
. (1.78)
Mostrar que 0 é um autovalor simples é mostrar que (1.78) não tem solução limitada.Seja Z(ξ, λ, ε) a única solução de (1.36), a menos de multiplicação por constantes, que é limitada
quando ξ → −∞.Como (φ′, ψ′) satisfaz (1.52) e é uma solução limitada de (1.36), podemos escrever
Z(ξ, 0, ε) = C1
φ′
φ′′
ψ′
para alguma constante C1 6= 0. Substituindo Z(ξ, λ, ε) na equação (1.36) e diferenciando em λ,temos
d
dλ
(d
dξZ(ξ, λ, ε)
)∣∣∣∣λ=0
=d
dλ
(M(ξ, λ, ε)Z(ξ, λ, ε)
)∣∣∣λ=0
d
dξZλ(ξ, 0, ε) =
d
dλM(ξ, λ, ε)
∣∣∣∣λ=0
Z(ξ, 0, ε) +M(ξ, 0, ε)d
dλZ(ξ, λ, ε)
∣∣∣λ=0
=
0 0 01 0 0
0 0 − 1
c∗
C1
φ′
φ′′
ψ′
+M(ξ, 0, ε)Zλ(ξ, 0, ε),
ou seja
d
dξZλ(ξ, 0, ε) = +M(ξ, 0, ε)Zλ(ξ, 0, ε) + C1
0φ′
−ψ′
c∗
, (1.79)
isto signica que1
C1Zλ(ξ, 0, ε) é uma solução particular da equação (1.78). Por outro lado, é a única
solução, a menos de multiplicação de contantes, da equação (1.36) com λ = 0 que é limitada quandoξ → −∞. Isto signica que qualquer solução da equação (1.78) que é limitada quando ξ → −∞pode ser escrita como
Z(ξ, ε) =
(1
B1
)Zλ(ξ, 0, ε) + C2
φ′(ξ, ε)φ′′(ξ, ε)ψ′(ξ, ε)
(1.80)
para alguma constante C2.Diferenciando a equação (1.51)
d
dλZ(ξ, 0, ε) =
d
dλ
(E(λ, ε)κ1(λ, ε)es1(λ,ε)ξ
)∣∣∣∣λ=0
= Eλ(0, ε)κ1(0, ε)es1(0,ε)ξ + E(0, ε)d
dλκ1(λ, ε)es1(λ,ε)ξ
∣∣∣∣λ=0
.
Como E(0, ε) = 0 e Eλ(0, ε) 6= 0 então Zλ não é limitada quando ξ → ∞ e portanto a equação
30 TEORIA BÁSICA 1.4
(1.78) não tem solução limitada e λ = 0 é um autovalor simples. Pelo Teorema 1.2.2 segue que aonda viajante (φ, ψ) é exponencialmente estável.
1.4 Outros resultados - estimativas uniformes
Considere o problema de Cauchyyt = yxx − cyx + f(y)− zzt = −czx + ε(y − γz)
y(x, 0) = y0(x) e z(x, 0) = z0(x),
(1.81)
onde 0 ≤ y0(x) ≤ u2 e 0 ≤ z0(x) ≤ w2.O resultado abaixo é um teorema da comparação para o problema (1.81) e foi enunciado
em Klaasen e Troy (1981), Tuma e Blázquez (1992) e demonstrado para casos gerais em Tuma(1987).
Teorema 1.4.1 ConsidereN1(y, z) ≡ yt − yxx + cyx − f(y) + z = 0
N2(y, z) ≡ zt + czx − ε(y − γz) = 0.
y(x, 0) = y0(x) z(x, 0) = z0(x)
(1.82)
Sejam y, z, y, z soluções limitadas de classe C2 com N1(y, z) ≥ 0, N2(y, z) ≤ 0, N1(y, z) ≤ 0 e
N2(y, z) ≥ 0 em R× R+.
Se y(x, 0) ≤ y(x, 0) e z(x, 0) ≤ z(x, 0) para todo x ∈ R, então y(x, t) ≤ y(x, t) e z(x, t) ≤ z(x, t)para todo (x, t) ∈ R× R+.
Lema 1.4.1 Seja f satisfazendo as hipóteses (H1)-(H4). Suponha que
limx→−∞
sup y0(x) < u1 limx→∞
inf y0(x) > u1.
limx→−∞
sup z0(x) < w1 limx→∞
inf z0(x) > w1.
Então, existem constantes x1, x2 ∈ R e k1, k2, ν > 0 tais que
φ(x− x1)− k1e−νt ≤ y(x, t) ≤ φ(x− x2) + k1e
−νt
ψ(x− x2)− k2e−νt ≤ z(x, t) ≤ ψ(x− x1) + k2e
−νt(1.83)
para todo (x, t) ∈ R× R+
Demonstração. Vamos provar as desigualdades
φ(x− x1)− k1e−νt ≤ y(x, t) (1.84)
z(x, t) ≤ ψ(x− x1) + k2e−νt. (1.85)
Para isto vamos denir as seguintes funções
y(x, t) = φ(x− n(t))−m1(t)
z(x, t) = ψ(x− n(t)) +m2(t)
1.4 OUTROS RESULTADOS - ESTIMATIVAS UNIFORMES 31
escolhendo as funções n(t), m1(t) e m2(t) de tal forma que N1(y, z) ≤ 0 e N2(y, z) ≥ 0 em R×R+
e y(x, 0) ≤ y(x, 0) e z(x, 0) ≤ z(x, 0) para todo x ∈ R. As desigualdades (1.85) serão consequênciasdo Teorema 1.4.1.
Considere m1(t) = k1e−νt e m2(t) = k2e
−νt, onde as constantes k1 e k2 satisfazem
u1 < u2 − k1 < limx→∞
inf y0(x) e w1 > k2 > limx→∞
inf z0(x).
Seja x∗ sucientemente grande tal que
φ(x− x∗)− k1 ≤ y0(x) = y(x, 0)ψ(x− x∗) + k2 ≥ z0(x) = z(x, 0)
onde n(0) = x∗.
Seja τ = x− n(t),
N1(y, z) = yt− y
xx+ cy
x− f(y) + z
= −n′(t)φ′(τ)−m′1(t)− φ′′(τ) + cφ′(τ)− f(φ−m1) + ψ +m2
= −n′(t)φ′(τ)−m′1(t) + f(φ)− f(φ−m1) +m2(t),
pois φ′′(τ)− cφ′(τ) + f(φ)− ψ = 0.
N2(y, z) = zt + czx − ε(y − dz)= −n′(t)ψ′(τ) +m′2(t) + cψ′(τ)− ε(φ−m1 − γ(ψ +m2))
= −n′(t)ψ′(τ) +m′2(t) + εm1(t) + εγm2(t),
pois cψ′(τ)− ε(φ− γψ) = 0.
Seja δ > 0, vamos considerar o intervalo δ ≤ φ ≤ u2−δ, nesta faixa sabemos que φ′(τ), ψ′(τ) ≥ βpara algum β > 0.
Pela diferenciabilidade de f temos, f(φ)− f(φ−m1) ≤ Cm1, para alguma constante C > 0. Sen′(t) > 0 então
N1(y, z) ≤ −n′(t)β + (C + ν)m1 +m2.
Como φ′(±∞), ψ′(±∞) = 0, então existe M > 0 tal que φ′(τ), ψ′(τ) < M para todo τ ∈ R e
N2(y, z) ≥ −n′(t)M + εm1 + (εγ − ν)m2.
Existem constantes positivas γ1 e γ2 tais que
N1(u,w) ≤ −n′(t)β + γ1m1 + γ2m2
N2(u,w) ≥ −n′(t)M + γ1m1 + γ2m2 se n′(t) ≥ 0.
Basta tomar εγ > ν, C + ν ≤ γ1 ≤ n e 1 ≤ γ1 ≤ εγ − ν. Como β < φ′(τ) < M então sejam
n′(t) =γ1m1 + γ2m2
β
32 TEORIA BÁSICA 1.4
e n(0) = x∗. Então n(t) = x1 + x1e−νt, onde
x1 = x∗ +γ1k1 + γ2k2
νβe x1 =
γ1k1 + γ2k2
−νβ.
Note que n′(t) ≥ 0 e n(t)→ x1 quando t→∞ e com essa escolha, N1(y, z) ≤ 0 e N2(y, z) ≥ 0para δ < φ < u2 − δ.
Agora considere
J(φ,m1) =
f(φ−m1)− f(φ)
m1se m1 > 0
−f ′(φ) se m1 = 0
J é contínua para m1 ≥ 0 e para 0 ≤ m1 ≤ k1 temos
u1 < u2 − k1 < u2 −m1 < u2.
Logo J(u2,m1) > 0, ∀ m1 ∈ [0, k1]. Existe η > 0 tal que J(u2,m1) > 2η para m1 ∈ [0, k1].Por continuidade, existe δ > 0 tal que J(φ,m1) > η para m1 ∈ [0, k1] e u2 − δ < φ < u2.
Portanto, nesta faixa, temos
f(φ− q1)− f(φ) ≥ ηm1. (1.86)
Pelos mesmos argumentos, podemos concluir que para 0 ≤ φ ≤ δ e φ > m1 também ocorre(1.86).
Portanto, como φ′(τ), ψ′(τ) > 0, ∀τ ∈ R, e n′(t) > 0 existem constantes β1, β2 > 0 tais que
−n′(t)ψ′(τ) +m′2(t) + εm1(t) + εγm2(t) ≥ m′2(t) + β1m1(t) + β2m2(t).
Logo podemos concluir que
N1(y, z) ≤(ν − η)m1 +m2
N2(y, z) ≥β1m1 + (β2 − ν)m2.
Portanto, se
(ν − η)k1 + k2 ≤ 0
β1k1 + (β2 − ν)k2 ≥ 0
então
ν ≤ ηk1 − k2
k1
e
ν ≤ βk1 + β2k2
k2.
Para η > k2k1, seja
ν0 = min
εγ ,
ηk1 − k2
k1,βk1 + β2k2
k2
.
Logo para todo 0 ≤ ν ≤ ν0,
N1(y, z) ≤ 0 e N2(y, z) ≥ 0 para todo (x, t) ∈ R× R+.
1.4 OUTROS RESULTADOS - ESTIMATIVAS UNIFORMES 33
A demonstração das desigualdades
y(x, t) ≤ φ(x− x2) + k1e−νt
ψ(x− x2)− k2e−νt ≤ z(x, t).
é feita de forma análoga.
Estimativas de Schauder: Sejam y e z soluções de (1.82) em R× R+, com 0 ≤ y(x, t) ≤ u2,0 ≤ z(x, t) ≤ w2, e seja F (x, t) ≡ f(y(x, t))−z(x, t). Para x2−x1 > 2, t2−t1 > 1 e t1 > 0 denimosQ ≡ [x1, x2]× [t1, t2] e Q′ ≡ [x1 + 1, x2 − 1]× [t1 + 1, t2]. Sejam
|y|Q0 ≡ supQ|y(x, t)|,
|y|Q1 ≡ |y|Q0 + |yx|Q0 ,
|y|Q2 ≡ |y|Q1 + |yxx|Q0 + |yt|Q0 .
Como y é solução da equação yt − yxx + cyx − F (x, t) = 0 as estimativas de Schauder implicamque existe uma constante l > 0 tal que
|y|Q1 ≤ l(|F |Q0 + |y|Q0 ),
|y|Q′
2 ≤ l(|F |Q1 + |y|Q0 ) ≤ l(|Fy|Q0 |yx|
Q0 + |Fz|Q0 |zx|
Q0 + |y|Q0 ).
(1.87)
Para mais detalhes veja Fife e McLeod (1977) e Friedman (2013) . Como Fy e Fz são unifor-
memente limitadas em [0, u2]× [0, w2] obtemos limites em |yt|Q′
0 , |yx|Q′
0 , |yxx|Q′
0 em termos de |y|Q0 ,|F |Q0 , |z|
Q0 , |zx|
Q0 .
Lema 1.4.2 Sob as hipóteses do Lema 1.4.1 existem constantes C1 > 0, k < 0 e σ > 0, tais quek2 + σ > 0 e satisfazem
|u2 − y|, |w2 − z|, |yt|, |yx|, |yxx|, |zx|, |zt| < C1(e(− k2−σ)x + e−νt), ∀t ≥ 0, x ≥ 0 (1.88)
e
|y|, |z|, |yt|, |yx|, |yxx|, |zx|, |zt|, < C1(e(− k2
+σ)x + e−νt), ∀t ≥ 0, x ≤ 0 (1.89)
Demonstração. Primeiro vamos considerar o caso para x ≥ 0.Na Subseção 1.1.2 vimos que a matriz do sistema linear
d
dξ
φ
φ′
ψ
=
0 1 0
−f ′(u2) c 1
ε
c0 −εγ
c
φ
φ′
ψ
(1.90)
possui três raízes satisfazendo r3 < r2 < 0 < r1.
Escrevendo o polinômio característico da matriz acima na forma fatorada
p(r) = (r − r3)(r2 + kr + l)
segue que r1,2 =−k ±
√k2 − 4l
2.
34 TEORIA BÁSICA 1.4
Seja σ =
√k2 − 4l
2então
r1 = −k2
+ σ e r2 = −k2− σ.
Usando a relação (1.4) e as equações de Girard, temos
r1 + r2 + r3 =(c− εγ
c
).
Como r1 + r2 = −k então −k = c− εγ
c− r3. Como 0 > −εγ
c> r3 e c > 0 segue que k < 0.
Como (φ, ψ)→ (u2, w2) exponencialmente quando x→∞, então existe um valor K1 tal que
max|u2 − φ|, |w2 − ψ| < K1er2x = K1e
(− k2−σ)x para x ≥ 0.
Logo, usando o Lema 1.4.1 obtemos
|u2 − y| ≤ |u2 − φ|+ |φ− y| ≤ K1e(− k
2−σ)x + k1e
−νt
< K1
(e(− k
2−σ)x + e−νt
)e também
|w2 − z| < K1
(e(− k
2−σ)x + e−νt
). (1.91)
Sejam x2 − x1 > 2, t2 − t1 > 1 e t1 > 0, denimos Q ≡ [x1, x2] × [t1, t2]. As soluções y e zquando avaliadas no retângulo Q cam dentro do retângulo R = [0, u2]× [0, w2]. Logo
|F |Q0 = supQ|f(y)− z| = sup
Q|f(y)− f(u2) + f(u2) + w2 − z − w2|
≤ supy∗∈[0,u2]
|f ′(y∗)||u2 − y|+ |w2 − z|
≤ K2
(e(− k
2−σ)z + e−µt
).
Pelas estimativas de Schauder,
|y|Q0 + |yx|Q0 ≤ l(|F |Q0 + |y|Q0 )
|yx|Q0 ≤ K3
(e(− k
2−σ)x + e−µt
).
Estimativa para zx e zt : Como
ε(y − γz) = ε(y − u2 + u2 − γ(z − w2 + w2))
= ε(y − u2) + εγ(w2 − z) + ε(u2 − γw2)
logo
|zt| ≤ ε|y − u2|+ εγ|w2 − z|
|zt| ≤ K(e(− k
2−σ)x + e−µt
).
e também
|zx| ≤ K(e(− k
2−σ)x + e−µt
).
1.4 OUTROS RESULTADOS - ESTIMATIVAS UNIFORMES 35
E nalmente as estimativas para as derivadas de u
|y|Q′
2 ≤ l(|Fy|Q0 |yx|
Q0 + |Fz|Q0 |zx|
Q0 + |y|Q0 )
|y|Q0 + |yx|Q0 + |yxx|Q0 + |yt|Q0 ≤ K4
(e(− k
2−σ)x + e−νt
).
Para x ≤ 0, sabemos que (φ, ψ) converge exponencialmente para (0, 0) quando x → −∞ eportanto existe K1 > 0 tal que
max|φ|, |ψ| < K1er1z = K1e
(− k2
+σ)x para x ≤ 0.
e as demais estimativas seguem de forma análoga pelas estimativas de Schauder.
36 TEORIA BÁSICA 1.4
Capítulo 2
Aproximando ondas viajantes
2.1 Denição do problema não local
Dado que existe c∗ > 0 e uma única solução onda viajante (φ(ξ), ψ(ξ)), a menos de translação,do problema (1) que satisfaz (6) e que esta solução é assintoticamente estável, nosso interesse agoraé obter uma caracterização do perl (φ, ψ) e da velocidade de propagação c∗. Na literatura é muitocomum usar métodos numéricos para aproximar ondas viajantes, mas para isso é necessário xar umdomínio computacional nito. Estudos anteriores1 mostraram que, o comportamento do problemaem um intervalo nito pode ter um comportamento completamente diferente do sistema originalquando truncado neste mesmo intervalo, embora sejam equivalentes em R.
Uma saída para solucionar este problema consiste em aproximar o perl (φ, ψ) por equilíbriosda equação local
ut = uxx − c∗ux + f(u)− wwt = −c∗wx + ε(u− γw)
já que soluções ondas viajantes (φ, ψ) podem ser vistas como equilíbrios de tais equações. Porém,tanto (φ, ψ) quanto c∗ são desconhecidas, o que diculta a utilização dessa abordagem.
Queremos calcular tanto perl (φ, ψ) quanto a velocidade c∗ ao mesmo tempo. Vamos adotar aproposta utilizada em Arrieta et al. (2011) para aproximar ondas viajantes no caso da equação dereação-difusão unidimensional.
A título de motivação das equações que serão consideradas a seguir, vamos determinar expressõespara c∗. Multiplicando por φ′ na primeira equação do sistema (4) e depois integrando ao longo deR, usando o fato que φ′(±∞) = 0, obtemos
c∗ =〈f(φ)− ψ, φ′〉〈φ′, φ′〉
(2.1)
onde 〈·, ·〉 é o produto interno em L2(R).Por outro lado, se multiplicarmos ψ′ na segunda equação do sistema (4) e depois integrar em R
concluímos que
c∗ =〈ε(φ− γψ), ψ′〉〈ψ′, ψ′〉
. (2.2)
Observe que essas duas denições são equivalentes pois
〈f(φ)− ψ, φ′〉〈φ′, φ′〉
− 〈ε(φ− γψ), ψ′〉〈ψ′, ψ′〉
= −〈φ′′, φ′〉〈φ′, φ′〉
+ c∗〈φ′, φ′〉〈φ′, φ′〉
− c∗ 〈ψ′, ψ′〉
〈ψ′, ψ′〉= 0.
1Veja Beyn et al. (2014)
37
38 APROXIMANDO ONDAS VIAJANTES 2.2
Fazendo uma mudança de variáveis (2.1) pode ser escrita na forma
c∗ =F (u2)−
∫∞−∞ φ
′(x)ψ(x) dx∫∞−∞ φ
′(x)2 dx=F (u2)− 〈φ′, ψ〉〈φ′, φ′〉
, (2.3)
onde F (u2) =∫ u2
0 f(s)ds.
Substituindo a expressão de c∗ encontrados acima em (4), concluímos que (φ, ψ) é solução dosistema não local
φ′′(x)− F (u2)− 〈φ′, ψ〉〈φ′, φ′〉
φ′(x) + f(φ(x))− ψ(x) = 0
−F (u2)− 〈φ′, ψ〉〈φ′, φ′〉
ψ′(x) + ε(φ(x)− γψ(x)) = 0.(2.4)
Por outro lado, a mudança de variáveisu(x, t) = p(x+ η(t), t)w(x, t) = q(x+ η(t), t)
(2.5)
transforma (1) no sistema pt = pxx −η′(t)px + f(p)− q
qt = −η′(t)qx + ε(p− γq).(2.6)
A simples comparação de (2.4) com (2.6) sugere que, para que (2.6) seja uma aproximaçãorazoável de (1), devemos escolher as função η(t) de tal forma que η′(t) → c∗ quando t → +∞,i = 1, 2.
Sendo assim, podemos denir
η′(t) =A− 〈q(·, t), px(·, t)〉〈px(·, t), px(·, t)〉
(2.7)
ou, equivalentemente,
η(t) =
∫ t
0
A− 〈q(·, s), px(·, s)〉〈px(·, s), px(·, s)〉
ds (2.8)
onde A =∫ u2
0 f(s) ds.
Consideremos o problema de Cauchy para o sistema não localpt = pxx −
A− 〈q, px〉〈px, px〉
px + f(p)− q,
−∞ < x <∞, t > 0.
qt = −A− 〈q, px〉〈px, px〉
qx + ε(p− γq),
(2.9)
Como é de se esperar, e provaremos nos próximos resultados, as soluções de (2.9) estão intima-mente relacionadas com as soluções de (1).
2.2 PROPRIEDADES DAS SOLUÇÕES DO PROBLEMA LOCAL 39
2.2 Propriedades das soluções do problema local
No que segue, vamos admitir que as condições iniciais u0, w0 de (1) satisf azem 0 ≤ u0(x) ≤ u2,0 ≤ w0(x) ≤ w2 e mais as hipóteses do Lema 1.4.1:
limx→−∞
supu0(x) < u1 limx→∞
inf u0(x) > u1.
limx→−∞
supw0(x) < w1 limx→∞
inf w0(x) > w1.
Nessas condições, pelos Teorema 1.3.3 e Lema 1.4.1, a solução de (1) com condições iniciais
u(x, 0) = u0(x) e w(x, 0) = w0(x) (2.10)
converge para uma translação de (φ, ψ).
Seja u0 ∈ Lp(R) ∩ C2+α(R) e w0 ∈ Lp(R) ∩ Cα(R) com p ∈ [1,∞] e α ∈ (0, 1). A existênciae unicidade de uma solução clássica global do problema (1)-(2.10) em espaços Lp(R) podem serencontrados em Rothe (1984) e Rauch (1976).
Pela limitação das condições iniciais feita acima concluímos que existe uma única solução limi-tada tal que (u,w) ∈ [0, u2] × [0, w2], para todo x ∈ R e t ≥ 0. Veja, por exemplo, Pao (2012) ouRothe (1984) para tal conclusão.
No que segue, precisaremos de algumas estimativas sobre ux, uxx e wx em alguns espaços Lp.Considere
Xp = u ∈ Lploc(R) : ∂xu ∈ Lp(R), p ≥ 1.
Se (u0, w0) ∈ Xp × Xp, pelo Teorema 2.2 de Rauch e Smoller (1978) o problemaht = hxx + f ′(u(x, t))h− g,
−∞ < x <∞gt = ε(h− γg),
(2.11)
com condições iniciais
h(x, 0) = ∂xu0 ∈ Xp e g(x, 0) = ∂xw0 ∈ Xp (2.12)
tem única solução clássica em Lp(R)×Lp(R), ou seja, ux, wx ∈ Lp(R) para p ≥ 1. Logo o problema(1)-(2.10) tem uma única solução clássica e limitada em Xp × Xp para p ≥ 1.
Proposição 2.2.1 Sob as condições acima, são verdadeiras as seguintes armações:
(i) existe β > 0 tal que ‖ux(·, t)‖L2(R) ≥ β e ‖wx(·, t)‖L2(R) ≥ β para todo t > 0;
(ii) Seja γ >1
maxf ′(0), f ′(u2)existe C > 0 tal que ‖ux(·, t)‖L1(R) ≤ C e ‖wx(·, t)‖L1(R) ≤ C para
todo t > 0;(iii) uxx ∈ L1(R) e existe C > 0 tal que ‖uxx(·, t)‖L1(R) ≤ C, para todo t > 1.
Demonstração. (i) Pelo Teorema 1.3.3, as soluções (u,w) se aproximam exponencialmente da solu-ção onda viajante e portanto lim inf
t→∞‖ux(·, t)‖L2(R) > 0, ou seja, existem T1 e β1 com ‖ux(·, t)‖L2(R) ≥
β1 para todo t ≥ T1.Suponha que para todo t ∈ (0, T1), ‖ux(·, t)‖L2(R) = 0. Logo ux(·, t) = 0 e portanto u(·, t) = C(t)
para todo t ∈ (0, T1]. Como u(x, 0) = u0(x), pela unicidade de solução u(·, t) = u0(x) = C(t) = Kpara todo x ∈ R e t ≥ 0 o que é um absurdo, logo ‖ux(·, t)‖L2(R) > 0 para todo t ∈ [0, T1].
Considerando a função contínua t ∈ [0, T1] 7→ ‖ux(·, t)‖L2(R), existe um β > 0 tal que
‖ux(·, t)‖L2(R) ≥ β
para todo t ∈ [0, T1].
40 APROXIMANDO ONDAS VIAJANTES 2.2
O mesmo raciocínio usamos para provar que ‖wx(·, t)‖L2(R) ≥ β > 0.
(ii) O resultado que queremos provar é equivalente a mostrar a limitação uniforme de ‖yx(·, t)‖L1(R)
e ‖zx(·, t)‖L1(R), ondey(x+ ct, t) = u(x, t) e z(x+ ct, t) = w(x, t).
Se h = ux e g = wx então h e g satisfazem o sistemaht = hxx + f ′(y(x, t))h− g
−∞ < x <∞gt = ε(h− γg)
(2.13)
Multiplicando a primeira equação por sign(h) e a segunda por sign(g), temos
|h|t ≤ |h|xx + c|h|x + f ′(y)|h|+ |g|,
|g|t ≤ c|g|x + ε|h| − εγ|g|.
Pelo Teorema 1.3.3 e por f ′ ser contínua podemos estimar
|f ′(u(x, t))− f ′(φ(x− x0))| ≤ C|u(x, t)− φ(x− x0)| ≤ Ke−ωt.
Como f ′(0), f ′(u2) < 0 existem L > 0 e t0 > 0, sucientemente grande, tal que
f ′(u(x, t)) ≤ f ′(φ(x− x0)) + k1e−νt ≤ −β < 0 para todo |x| ≥ L e t ≥ t0,
para algum β > 0.Integrando no conjunto x ∈ R; |x| ≥ L, obtemos
d
dt
∫|x|≥L
|h(x, t)|dx ≤∫
|x|≥L
(|h|xx + c|h|x)dx− β∫
|x|≥L
|h(x, t)|dx+
∫|x|≥L
|g(x, t)|dx,
d
dt
∫|x|≥L
|g(x, t)|dx ≤ c∫
|x|≥L
|g|xdx+ ε
∫|x|≥L
|h(x, t)|dx− εγ∫
|x|≥L
|g(x, t)|dx,
Usando as estimativas do Lema 1.4.2, concluímos que existem C > 0 e k > 0 tais que
d
dt
∫|x|≥L
|h(x, t)|dx ≤∫
|x|≥L
|h|xxdx+ c(lim supM→±∞
|h(M, t)|+ |h(±L, t)|)− β∫
|x|≥L
|h(x, t)|dx
+
∫|x|≥L
|g(x, t)|dx
≤ C1e−k1t + (lim sup
M→±∞|hx(M, t)|+ |hx(±L, t)|)− β
∫|x|≥L
|h(x, t)|dx
+
∫|x|≥L
|g(x, t)|dx
≤ Ce−kt − β∫
|x|≥L
|h(x, t)|dx+
∫|x|≥L
|g(x, t)|dx
e tambémd
dt
∫|x|≥L
|g(x, t)|dx ≤ Ce−kt + ε
∫|x|≥L
|h(x, t)|dx− εγ∫
|x|≥L
|g(x, t)|dx.
2.3 PROPRIEDADES DAS SOLUÇÕES DO PROBLEMA NÃO LOCAL 41
Sejam m(t) =
∫|x|≥L
|h(x, t)|dx e n(t) =
∫|x|≥L
|g(x, t)|dx. Note que
d
dt
(m(t)n(t)
)≤(−β 1ε −εγ
)(m(t)n(t)
)+ C
(e−kt
e−kt
)Considere o sistema x′ = Mx+ Ce−kt, onde
M =
(−β 1ε −εγ
).
A matriz M tem dois autovalores reais tais que r1 < r2 < 0. Como m(t) > 0 e n(t) > 0, paratodo t ≥ t0, existem constantes D > 0 e d > 0 tais que
m(t) < De−dt ≤ K e n(t) < De−dt ≤ K para t ≥ t0.
Logo, para todo t ≥ t0, usando as estimativas do Lema 1.4.2, temos
∫R
|h(x, t)|dx =
∫|x|≥L
|h(x, t)|dx+
∫|x|≤L
|h(x, t)|dx
≤ K + 2L supx∈[−L,L]
|h(x, t)| ≤ C.
De forma análoga obtemos∫R
|g(x, t)|dx ≤ C.
Para obtermos a limitação em (0, t0] recordemos que U = (ux, wx) é solução de (2.13)-(2.12) epelo Teorema 2.2 de Rauch e Smoller (1978) tem-se a estimativa: ‖U(t)‖Lp(R) ≤ kect‖U0‖Lp(R).
(iii) Considerando h = ux como solução de (2.11)-(2.12) por propriedades de regularização é possívelmostrar2 que ‖hx(·, t + 1)‖L1(R) ≤ C‖h(·, t)‖L1(R) e pelo item (ii) desta proposição o resultado éimediato.
2.3 Propriedades das soluções do problema não local
Nesta seção vamos usar as propriedades das soluções do problema local para vericar a boacolocação do problema não local e mostrar que o problema (2.9) tem uma família de ondas viajantescom velocidade c = 0 cujo perl converge exponencialmente para o perl da onda viajante doproblema original encontrada no Capítulo 1, assim como o termo n′(t)→ c∗ quando t→∞.
Teorema 2.3.1 Seja (u,w) a única solução clássica de (1) com condição inicial (u0, w0) satisfa-
zendo as condições enunciadas acima. Denindo (p, q) por
p(x, t) := u(x− η(t), t),x ∈ R, t > 0
q(x, t) := w(x− η(t), t),(2.14)
com
η(t) =
∫ t
0
A− 〈w(·, s), ux(·, s)〉〈ux(·, s), ux(·, s)〉
ds, t > 0, (2.15)
então, (p, q) está bem denida e é uma solução clássica de (2.9).
2Veja pag 13 de Arrieta et al. (2011)
42 APROXIMANDO ONDAS VIAJANTES 2.3
Demonstração. Como (u,w) é solução clássica de (1), então satisfazem(i) ux(·, t), wx(·, t) ∈ L1(R) ∩ L2(R), para todo t ≥ 0;
(ii) existe β > 0 tal que ‖ux(·, t)‖L2(R) ≥ β, para todo t ≥ 0, e, além disso, 0 ≤ u(x, t) ≤ u2 e0 ≤ w(x, t) ≤ w2.
Por (i)
A− 〈w(·, t), ux(·, t)〉 ≤ A+
∫ ∞−∞|w(x, t))||ux(x, t)|dx
≤ C‖ux(·, t)‖L1(R) <∞.
Portanto, o produto interno acima é convergente. Sejam
λ(t) :=A− 〈w(·, t), ux(·, t)〉〈ux(·, t), ux(·, t)〉
. (2.16)
Por (i) e (ii) o denominador de (2.16) é nito e estritamente positivo, logo t 7−→ λ(t) deneuma função contínua e limitada, para todo t > 0. Portanto η(t) e, consequentemente p e q, estãobem denidas.
Pela invariância com respeito a translações do produto interno em L2(R), para cada t ≥ 0 xo,
A− 〈q(·, t), px(·, t)〉 = A− 〈w(·, t), ux(·, t)〉.
E também‖px(·, t)‖2L2(R) = ‖ux(·, t)‖2L2(R).
Então,
λ(t) =A− 〈q(·, t), px(·, t)〉〈px(·, t), px(·, t)〉
(2.17)
e (p, q) satisfaz (2.9).
Teorema 2.3.2 Sob as condições do Teorema 1.3.3 e, além disso, assuma que u0, w0 ∈ X1 ∩ X2 o
problema (2.9) é bem posto e sua solução (p, q) é dada por (2.14)-(2.16). Seja ω do Teorema 1.3.3
e seja ω < ω. Então, existem x∗ ∈ R e constantes positivas C1 e C2 tais que
(i) Para c∗ velocidade de propagação do Teorema 1.1.2 e λ1 em (2.17), temos
| λ(t)− c∗ |≤ C1e−ωt. (2.18)
(ii) Para (φ, ψ) a única solução, solução onda viajante do problema (1), a menos de translação,
temos|p(x, t)− φ(x− x∗)| ≤ C2e
−ωt, x ∈ R, t > 0
|q(x, t)− ψ(x− x∗)| ≤ C2e−ωt,
(2.19)
para alguma constante C2 > 0 e x∗ ∈ R.
Demonstração. (i) Inicialmente, temos
| λ(t)− c∗ |=∣∣∣∣A− 〈q, px〉〈px, px〉
− c∗∣∣∣∣ =
1
‖px‖22
∣∣A− 〈q, px〉 − c∗‖px‖22∣∣.Logo, pelo item (i) da Proposição 2.2.1, para algum C > 0 temos
| λ(t)− c∗ |≤ C∣∣A− 〈q, px〉 − c∗‖px‖22∣∣.
2.3 PROPRIEDADES DAS SOLUÇÕES DO PROBLEMA NÃO LOCAL 43
Seja (y, z) como em (1.81)
A− 〈q, px〉 − c∗‖px‖22 = A− 〈z, yx〉 − c∗‖yx‖22
e para (φ, ψ) = (φ(x− x0), ψ(x− x0)), com x0 do Teorema 1.3.3 usando a fórmula (2.3) obtemos
A− 〈q, px〉 − c∗‖px‖22 = A− 〈z, yx〉 − c∗‖yx‖22= A− 〈z, yx〉 − c∗‖yx‖22 −A+ 〈ψ, φ′〉+ c∗‖φ′‖22.
Portanto,
A− 〈q, px〉 − c∗‖px‖22 = 〈ψ − z, yx〉+ 〈ψ, φ′ − yx〉 − c∗〈yx − φ′, yx + φ′〉. (2.20)
Vamos analisar cada elemento da soma acima separadamente.
Na primeira parcela de (2.20), concluímos pelo Teorema 1.3.3 e pelo item (ii) da Proposição2.2.1 que existe constante C > 0 tal que
|〈ψ − z, yx〉| ≤ Ce−ωt. (2.21)
Na segunda parcela de (2.21), usando integração por partes,
|〈ψ, φ′ − yx〉| = limL→∞
∣∣∣∣∫ L
−Lψ(φ′ − yx)dx
∣∣∣∣≤ lim sup
L→∞
∣∣∣∣ψ(φ− y)|x=Lx=−L −
∫ L
−L(φ− y)ψ′dx
∣∣∣∣≤ lim sup
L→∞|ψ(φ− y)|x=L
x=−L + |〈ψ′, φ− y〉|.
A análise da segunda parcela é então dividida em duas partes:
1a parte: Como ψ é limitada
lim supL→∞
∣∣∣ψ(φ− y)|x=Lx=−L
∣∣∣ ≤ lim supL→∞
C|φ(L)− y(L, t)|+ C|φ(−L)− y(−L, t)| .
Pelo Lema 1.4.2,
|φ(L)− y(L, t)| ≤ |φ(L)− u2|+ |u2 − y(L, t)|
≤ K1e−νt + C1(e(− k
2−σ)L + e−νt), ∀t ≥ 0,
e também
|φ(−L)− y(−L, t)| ≤ C2(e−(− k2
+σ)L + e−νt) +K2e−νt, ∀t ≥ 0.
Portanto, existem C > 0 e σ∗ > 0 tais que
max|φ(L)− y(L, t)|, |φ(−L)− y(−L, t)| ≤ C(e−σ∗L + e−νt).
E assim,
lim supL→∞
∣∣∣ψ(φ− y)|x=Lx=−L
∣∣∣ ≤ limL→∞
C(e−σ∗L + e−νt) ≤ Ce−νt.
2a parte: Como ψ′(±∞) = 0 e pelo Teorema 1.3.3 temos
|〈ψ′, φ− y〉| ≤ C supx∈R|φ− y| ≤ Ce−ωt
44 APROXIMANDO ONDAS VIAJANTES 2.3
.Logo, existe ˜C > 0 tal que
|〈ψ, φ′ − yx〉| ≤ ˜C(e−νt + e−ωt). (2.22)
Agora vamos analisar a terceira e última parcela de (2.20).Fazendo integração por partes
|〈yx − φ′, yx + φ′〉| ≤ limL→∞
∣∣∣∣∫ L
−L(yx − φ′)(yx + φ′)dx
∣∣∣∣≤ lim sup
L→∞
∣∣∣∣(yx + φ′)(y − φ)∣∣x=L
x=−L −∫ L
−L(y − φ)(yxx + φ′′)dx
∣∣∣∣≤ lim sup
L→∞
∣∣(yx + φ′)(y − φ)∣∣x=L
x=−L + |〈y − φ, yxx + φ′′〉|
Pelo Lema 1.4.2, existem constantes C ′′′ > 0 e σ∗∗ > 0 tais que
lim supL→∞
∣∣(yx + φ′)(y − φ)∣∣x=L
x=−L ≤ limL→∞
C ′′′(e−νt + e−σ∗∗
) ≤ Ce−νt.
Pelo Teorema 1.3.3 e pelo item (iii) da Proposição 2.2.1,
|〈y − φ, yxx + φ′′〉| ≤∫ ∞−∞|y − φ||yxx + φ′′|dx
≤ supx∈R|y(x, t)− φ(x− x0)|‖yxx + φ′′‖L1(R)
≤ Ce−ωt.
Portanto, existe constante˜C > 0 tal que
|〈yx − φ′, yx + φ′〉| ≤˜C(e−νt + e−ωt). (2.23)
Concluímos de (2.21), (2.22) e (2.23) que | λ(t)− c∗ |≤ Ce−νt + Ce−ωt. Sejam ω < minν, ω eC1 > max2C, 2C então
| λ(t)− c∗ |≤ C1e−ωt.
(ii) Devido a (2.18) sabemos que∫ ∞0
(λ(s)− c∗) ds ≤ limt→∞
∫ t
0|λ(s)− c∗|ds
≤ limt→∞
∫ t
0C1e
−ωsds
≤ limt→∞
(−C1
ωe−ωt +
C1
ω
)<∞.
2.3 PROPRIEDADES DAS SOLUÇÕES DO PROBLEMA NÃO LOCAL 45
Seja I =
∫ ∞0
(λ(s)− c∗) ds, I ∈ R, e lembrando que η′ = λ, obtemos
| − η(t) + c∗t+ I| =∣∣∣∣−(∫ t
0λ(s)ds− c∗t
)+
∫ ∞0
λ(s)− c∗ ds∣∣∣∣
=
∣∣∣∣−∫ t
0(λ(s)− c∗)ds+
∫ ∞0
(λ(s)− c∗)ds∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∫ ∞t
(λ(s)− c∗)ds∣∣∣∣
≤∫ ∞t
C1e−ωsds
≤ Ce−ωt,
para alguma constante C > 0.Fixando x∗ = x0 + I e usando a igualdade (2.14) e a mudança de variáveis
u = (x, t) = y(x+ ct, t) e w(x, t) = z(x+ ct, t)
que satisfazem (1.81)
|p(x, t)− φ(x− x∗)| = |y(x− I − η(t) + c∗t+ I, t)− φ(x− I − x0)|≤ |y(x− I − η(t) + c∗t+ I, t)− y(x− I, t)|+ |y(x− I, t)− φ(x− I − x0)|≤ sup
x∈R(|yx(x, t)|)| − η(t) + c∗t+ I|+ |y(x− I, t)− φ(x− I − x0)|
≤ C2e−ωt.
(2.24)
E também
|q(x, t)− ψ(x− x∗)| = |z(x− I − η(t) + c∗t+ I, t)− ψ(x− I − x0)|≤ |z(x− I − η(t) + c∗t+ I, t)− z(x− I, t)|+ |z(x− I, t)− ψ(x− I − x0)|≤ sup
x∈R(|zx(x, t)|)| − η(t) + c∗t+ I|+ |z(x− I, t)− ψ(x− I − x0)|
≤ C2e−ωt.
(2.25)
Portanto, pelo Teorema 1.3.3 existe uma constante C2 > 0 tal que
|p(x, t)− φ(x− x∗)| ≤ C2e−ωt
e|q(x, t)− ψ(x− x∗)| ≤ C2e
−ωt.
46 APROXIMANDO ONDAS VIAJANTES 2.3
Capítulo 3
Problema local em um intervalo limitado
Para implementações numéricas é necessário limitar o domínio, por esta razão vamos estudara existência e as propriedades espectrais de soluções estacionárias do problema não local em umdomínio limitado. Muitas propriedades do problema não local são herdadas do problema local e porisso serão estudadas neste capítulo.
3.1 Existência e unicidade de soluções estacionárias
Vamos estudar a existência e unicidade de soluções estacionárias do problema local, em umintervalo J := [x−, x+] ⊂ R tal que 0 ∈ J e |J | = x+ − x−, dado por
ut = uxx − cux + f(u)− w, x ∈ J, t > 0wt = −cwx + ε(u− γw),
(3.1)
com as condições iniciais u(x, 0) = u0(x) e w(x, 0) = w0(x). Ao problema (3.1) adicionamos ascondições de contorno
u(x−, t) = w(x−, t) = 0 e u(x+, t) = u2. (3.2)
Como vimos na introdução, equilíbrios (u,w) da equação (3.1) são soluções deφ′′ − cφ′ + f(φ)− ψ = 0
−cψ′ + ε(φ− γψ) = 0(3.3)
que devem satisfazer as condições: φ(x−) = ψ(x−) = 0 e φ(x+) = u2.Para encontrar soluções estacionárias do problema acima usaremos a mesma estratégia do Ca-
pítulo 1, isto é, encontrar soluções do problema equivalente
u′ = v
v′ = cv − f(u) + w
w′ =ε
c(u− γw)
(3.4)
com as condições
(u(x−), v(x−), w(x−)) = (0, v−, 0) e (u(x+), v(x+), w(x+)) = (u2, v+, w+) v±, w+ > 0. (3.5)
Sobre o problema (3.3) podemos identicar os seguintes aspectos sobre suas soluções:
i) Analisando o campo de vetores no ponto (0, v−, 0) concluímos que as soluções que iniciam
47
48 PROBLEMA LOCAL EM UM INTERVALO LIMITADO 3.1
neste ponto entram na região onde u > 0 e v > 0.
ii) Resolvendo a última equação de (3.4) com a condição w(x−) = 0, obtemos
w(ξ) =ε
c
∫ ξ
x−
e−εγc
(ξ−s)u(s)ds
e portanto w > 0 enquanto u > 0. Além disso usando a integração por partes na igualdadeacima concluímos que
w(ξ) =u(ξ)
γ− 1
γ
∫ ξ
x−
eεγc
(s−ξ)u′(s) ds.
Logo w(ξ) ≤ u(ξ)
γenquanto u′(ξ) > 0.
Enquanto u′ > 0, podemos expressar v(ξ) e w(ξ) como funções de u(ξ), isto é, considere funçõesm,n tais que m(u(ξ)) = v(ξ) e n(u(ξ)) = w(ξ). Pelo Teorema da Função Inversa, m e n satisfazema EDO
dm
du= c− f(u)− n(u)
m(u)
dn
du=ε
c
(u− γn(u))
m(u)
com condições iniciais m(0) = v− e n(0) = 0. Portanto soluções de (3.4)-(3.5) podem ser vistascomo uma curva no R3 cuja parametrização é dada por u 7−→ Γ := (u,m(u), n(u)).
Lema 3.1.1 Existe c > 0 sucientemente pequeno tal que Γ intercepta o plano v = 0.
Demonstração. Suponha que para c > 0 sucientemente pequeno não exista ξ0 ∈ J tal quev(ξ0) = 0. Seja cii∈N uma sequência tal que lim
i→∞ci = 0.
Para cada ci considere mi e ni soluções de
m′i =cimi − f(u) + ni
mi
n′i =ε(u− γni)cimi
mi(0) = v− e ni(0) = 0.
Pela primeira equação, obtemos
m′imi = cimi − f(u) + ni
d
du
[(mi)
2
2
]= cimi − f(u) + ni
(mi(u))2
2=
∫ u
0(cimi(s)− f(s) + ni(s)) ds.
Já pela segunda equação temos
n′i +εγ
cimini =
εu
cimi
ni(u) =1
µ(u)
∫ u
0
εs
cimi(s)µ(s) ds,
3.1 EXISTÊNCIA E UNICIDADE DE SOLUÇÕES ESTACIONÁRIAS 49
onde µ(u) = exp
(∫ u
0
εγ
cimi(τ)dτ
).
Usando integração por partes, temos
ni(u) =1
µ(u)
[∫ u
0sdµ
γ
]ni(u) =
1
µ(u)
[u
γµ(u)− 1
γ
∫ u
0µ(s) ds
]
ni(u) =u
γ− 1
γ
∫ u
0exp
(−∫ u
s
εγ
cimi(u)dτ
)ds.
Como limi→∞
ci = 0 e, se 0 ≤ u ≤ u2, então limi→∞
ni(u) =u
γ. Desta forma, se 0 ≤ u ≤ u2 então
0 < limi→∞
(mi(u))2
2= lim
i→∞
∫ u2
0(cimi(s)− f(s) + ni(s)) ds
0 <
∫ u2
0
(−f(s) +
s
γ
)ds,
o que contradiz a hipótese (H4). Logo, existe c > 0 sucientemente pequeno tal que Γ intercepta oplano v = 0.
Observação: Seja C = c > 0; v(ξ) = 0, para algum ξ ∈ J. O conjunto C é um conjunto
aberto, não vazio e limitado superiormente, pois se
c > supu∈[0,u2]
∣∣∣∣f(u)− n(u)
m(u)
∣∣∣∣ ,então m′ > 0 e, portanto, v(ξ) > 0 para todo ξ ∈ J .
Denindo c1 = sup C e pela discussão acima sobre as caraterísticas das soluções de (3.4) con-cluímos o resultado abaixo.
Corolário 3.1.1 Existe c1 > 0 tal que para todo c > c1 as soluções de (3.4)-(3.5) tem as seguintes
propriedades
0 ≤ u(ξ) ≤ u2, 0 ≤ w(ξ) ≤ u2
γe v(ξ) > 0, para todo ξ ∈ J.
Para simplicar as demonstrações, a seguir vamos chamar de soluções simples toda solução(u(ξ), v(ξ), w(ξ)) de (3.4) que satisfaz as condições em (3.5).
Lema 3.1.2 Para cada c > c1, temos os seguintes resultados:
(i) Se Γ é uma solução simples, o tempo que ela leva do ponto (u(ξ0), v(ξ0), w(ξ0)) ao ponto
(u(ξ1), v(ξ1), w(ξ1)), é dado por
ξ1 − ξ0 =
∫ u(ξ1)
u(ξ0)
du
m(u).
Em particular, o tempo que leva do ponto (0, v−, 0) ao ponto (u2, v+, w+) é dado por
x+ − x− =
∫ u2
0
du
m(u).
(ii) Existe um c2 > 0 tal que, se c > c2 então Γ chega a um ponto (u2, v+, w+) tal que v+ > v− e,
se c < c2, Γ chega a um ponto (u2, v+, w+) tal que v+ < v−.
50 PROBLEMA LOCAL EM UM INTERVALO LIMITADO 3.2
Demonstração. (i) Como v(ξ) = m(u(ξ)) =d
dξu(ξ), então dξ =
du(ξ)
m(u(ξ)). Logo,
ξ1 − ξ0 =
∫ u(ξ1)
u(ξ0)
du
m(u).
(ii) Considere o vetor normal ~n = (0, 1, 0) ao plano v = v− e o campo de vetores das soluções de(3.4) no ponto (u, v−, w)
X(u, v, w) =(v, cv − f(u) + w,
ε
c(u− γw)
).
Logo~n ·X(u, v, w) = cv− − f(u) + w.
Seja
c2 > sup0≤u≤u2
|f(u)− n(u)|v−
.
Se c > c2, o produto escalar é positivo e, portanto, as soluções permanecem acima do planov = v− e v′(ξ) > 0, ∀ ξ ∈ J , e portanto chegam a um certo valor v+ > v−. Se c < c2, Γ furao plano v = v− e v′(ξ) < 0, para algum ξ > x−, e portanto chega a um ponto (u2, v+, w+) ondev+ < v−.
Diante do exposto acima, podemos concluir o seguinte teorema:
Teorema 3.1.1 Para cada c > c1, existe uma única solução (φ, ψ) de (3.3). Além disso, φ′(ξ) > 0,para todo ξ ∈ J .
Demonstração. Pelo Corolário 3.1.1, se c > c1, então u′(ξ) > 0, ∀ξ ∈ J , e portanto todas assoluções de (3.4) saindo do ponto (0, v−, 0) são soluções simples e o tempo que esta solução leva de
(0, v−, 0) a (u2, v+, w+) é dado por x+−x− =
∫ u2
0
du
m(u). A unicidade segue por teoremas clássicos
de existência e unicidade de sistemas de EDO. Veja, por exemplo, Sotomayor (1979).
3.2 Análise espectral do problema em intervalo nito
A análise espectral de sistemas parabólico-hiperbólico em intervalo nito foi estudada porRottmann-Matthes (2005) como uma extensão do trabalho de Beyn e Lorenz (1999) feito paraproblemas parabólicos. Nesta primeira subseção, vamos, de forma sucinta, apresentar as hipóteses eos principais resultados da Tese de Rottmann-Matthes (2005) e depois vericar que estes resultadossão aplicados ao nosso problema.
3.2.1 Hipóteses e principais resultados
Vamos considerar um sistema parabólico-hiperbólico da forma(utwt
)= L
(uw
):=
(A 00 0
)(uxxwxx
)+
(B11 B12
0 B22
)(uxwx
)+
(C11 C12
C21 C22
)(uw
),
onde L : H2(R,Cn)×H1(R,Cm)→ L2(R,Cn)× L2(R,Cm).Hipóteses sobre o operador L
3.2 ANÁLISE ESPECTRAL DO PROBLEMA EM INTERVALO FINITO 51
i) As matrizes Bij(x) e Cij(x) são de classe C2 e satisfazem:
limx→±∞
Bij(x) := Bij± e limx→±∞
Cij(x) := Cij±
limx→±∞
∂xB22(x) = 0;
‖∂2xB22‖∞ <∞, ‖∂xC22‖∞ <∞ e ‖∂xB12‖∞ <∞.
ii) A matriz A ∈ Cn,n satisfaz A+A∗ ≥ αI, para algum α ∈ R.
iii) A função real B22 é uma matriz diagonal e existem b0 e β > 0 tal que, para todo x ∈ R, oselementos da diagonal satisfazem:
|bii(x)− bjj(x)| ≥ β, para i 6= j,
bii(x) ≥ b0, para 1 ≤ i ≤ r e −bii(x) ≥ b0, para r + 1 ≤ i ≤ m.
Além disso, se c22± são os elementos da diagonal da matriz C22±, então Re c22± < −2δ, paraalgum δ > 0.
iv) Existe δ > 0 tal que, para todo τ ∈ R e para todo s ∈ C, a igualdade
det
(−τ2
(A 00 0
)+ iτ
(B11+ B12+
0 B22+
)+
(C11+ C12+
C21+ C22+
)− µIn+m
)= 0
ou
det
(−τ2
(A 00 0
)+ iτ
(B11− B12−
0 B22−
)+
(C11− C12−C21− C22−
)− µIn+m
)= 0
implica que Re s ≤ −δ.
Para análise das propriedades espectrais de L considere a equação resolvente
(µI − L)
(uw
)=
(fg
)(3.6)
que é equivalente ao sistema de primeira ordem:
L(µ)z := zx −M(x, µ)z =
0
−f +B12B−122 g
−B22g
,
onde z := (u,Aux, w),
M(·, µ) =
0 A−1 0
B12B−122 C21 + (µI − C11) −B11A
−1 −C12 −B12B−122 (µIm − C22)
−B−122 C21 0 B−1
22 (µIm − C22)
e L(s) : H2(R,Cn)×H1(R,Cn)×H1(R,Cm)→ H1(R,Cn)×L2(R,Cn)×L2(R,Cm). Pela hipótese(iv), as matrizes lim
x→±∞M(x, µ) := M±(µ) existem e são hiperbólicas, para todo µ ∈ C com Re µ >
−δ e, para nossos propósitos, iremos estudar apenas a parte do espectro que está contido no conjuntoµ ∈ C;Re µ > −δ.
Denotamos por V u±(µ) ⊂ Cl,r a base do subespaço instável de M±(µ) e V s
±(µ) ⊂ Cl,p a base dosubespaço estável de M±(µ) tal que p+ r = l.
Lema 3.2.1 L(µ) e (µI − L) são operadores de Fredholm de índice zero para Re µ > −δ.
A proposta de Rottmann-Matthes (2005) consiste em aproximar o espectro de L pelo espectrodo operador L|J , o operador L restrito a um intervalo limitado J .
52 PROBLEMA LOCAL EM UM INTERVALO LIMITADO 3.2
Considere o intervalo limitado com as seguintes características: J = [x−, x+] ⊂ R; 0 ∈ J e|J | > 1 e a restrição da equação resolvente (3.6) a J
(µI − L|J)
(u|Jw|J
)=
(f |Jg|J
)em L2(J,Cm)× L2(J,Cn),
onde L|J é denido da mesma forma que L, porém em um intervalo limitado J .Para obter um problema bem posto no intervalo nito J impomos as condições de contorno
R
(u|Jw|J
):= R−
u|J(x−)ux|J(x−)w|J(x−)
+R+
u|J(x+)ux|J(x+)w|J(x+)
.
onde R−, R+ são elementos de Cl,lA hipótese crucial sobre R é que
D(µ) := det[R−Vs−(µ), R+V
u+(µ)].
A condição acima estabelece que o subespaço estável e instável das soluções podem ser contro-lados pelos pontos extremos do intervalo.
Considere os espaços de Banach
E := H2(R,Cn)×H1(R,Cm), F := L2(R,Cn)× L2(R,Cm);
E|J := H2(J,Cn)×H1(J,Cm), F |J := L2(J,Cn)× L2(J,Cm)× C2n+m;
e os operadores
A(µ) := µI − L ∈ L(E,F ) e A|J(µ) :=
((µI − L)|J
R
)∈ L(E|J , F |J).
Qualquer elemento não nulo do núcleo de A(µ0) é chamado de autoelemento de A(·) associadoao autovalor µ0
Para um elemento µ0 no espectro normal σn(L) de L, escolha ε > 0 tal que µ0 é o único elementodo espectro de L em uma bola fechada Bε(µ0).
Vamos denir por µ0−grupo de autovalores de A|J o conjunto:
σJ := µ ∈ Bε(µ0) : µ é um autovalor de A|J(·).
Teorema 3.2.1 Seja Σ uma vizinhança aberta do autovalor isolado µ0 com D(µ) 6= 0, para todo
µ ∈ Σ, e assuma que ε é tão pequeno que Bε(µ0) ⊂ Σ. Então existe um intervalo compacto J0 ⊂ Rtal que para todo intervalo compacto J = [x−, x+] com J0 ⊂ J o µ0-grupo de autovalores σJ converge
para o autovalor µ0 no sentido que, para cada 0 < β′ < minβ−, β+ existe, k := k(β′) > 0 tal que
maxµ∈σJ
|µ− µ0| = dist(σJ , µ0) ≤ ke−β′
κ(minx+,−x−)
,
onde κ é a ordem máxima1 dos autoelementos de A(·) associado ao autovalor µ0.
Demonstração. Veja Rottmann-Matthes (2005), pág. 106.
No caso de autovalores simples considere o operador R como uma função C1 de µ tal que
R : Σ→ L(E,C3)
1Veja Denição C.6 em Rottmann-Matthes (2005) pág 141
3.2 ANÁLISE ESPECTRAL DO PROBLEMA EM INTERVALO FINITO 53
é dada por
R(µ)
(uw
)= R−(µ)
u(x−)ux(x−)w(x−)
+R+(µ)
u(x+)ux(x+)w(x+)
(3.7)
e
D(µ) = det[R−(µ)V s−(µ), R+(µ)V u
+(µ)]. (3.8)
Teorema 3.2.2 Seja µ0 ∈ σ(L) ∩ Re µ > −δ um autovalor simples de A(·) = µI − L. Seja(φ0, ψ0) um autoelemento não trivial de A para o autovalor µ0. Além disso, assuma que D(µ0) 6= 0.Então existe um intervalo compacto J0 e δ0 > 0 tais que, para todo intervalo compacto J0 ⊂ J ,existe exatamente um autovalor simples µJ , com |µ0−µJ | ≤ δ0, da aproximação no intervalo nito
AJ(·) : µ 7−→(µI − LJR(µ)
).
Além disso, existe uma correspondente autofunção
(uJwJ
)∈ EJ := H2(J,C) × H1(J,C) tal que
as estimativas são verdadeiras
|µJ − µ0|+∥∥∥∥( uJ
wJ
)−(u0|Jw0|J
)∥∥∥∥EJ
≤ C
∣∣∣∣∣∣R−(µ0)
u0(x−)u0,x(x−)w0(x−)
+R+(µ0)
u0(x+)u0,x(x+)w0(x+)
∣∣∣∣∣∣com a constante C independente de J.
Demonstração. Veja Rottmann-Matthes (2005), pág. 108.
3.2.2 Aplicação no sistema de FitzHugh-Nagumo
Considere o operador L : H2(R,C)×H1(R,C)→ L2(R,C)× L2(R,C) dado por(utwt
)= L
(uw
):=
(1 00 0
)(uxxwxx
)+
(−c 00 −c
)(uxwx
)+
(f ′(φ) −1ε −εγ
)(uw
)As hipóteses (i) − (iii) são facilmente vericadas e a hipótese (iv) já foi discutida na demons-
tração do Teorema 1.2.3.A equação resolvente (3.6) no nosso caso é equivalente ao sistema
L(µ)z := zx −M(x, µ)z =
0h
−gc
,
onde
M(·, µ) =
0 1 0µ− f ′(φ) c 1
ε
c0−(εγ + µ)
c
.
Pelo Lema 1.2.3 a matrizM−(µ) tem três autovalores satisfazendo Re r1 > 0 > Re r2 > Re r3
com autovetores associados
ρi(µ) =
(1, ri,
ε
cri + µ+ εγ
),
e a matriz M+(µ) tem três autovalores satisfazendo Res1 > 0 > Res2 > Res3 com autoveto-res associados
κi(µ) =
(1, si,
ε
csi + µ+ εγ
).
54 PROBLEMA LOCAL EM UM INTERVALO LIMITADO 3.2
Sejam V u+(µ) = κ1 a base do subespaço instável deM+(µ), V s
−(µ) = ρ2, ρ3 base do subespaçoestável de M−(µ) e o operador
R(µ)
(uw
)=
1 0 00 0 00 0 1
u(x−)ux(x−)w(x−)
+
0 0 01 0 00 0 0
u(x+)ux(x+)w(x+)
=
u(x−)u(x+)w(x−)
.
D(µ) = det[R−Vs−(µ), R+V
u+(µ)] = det
1 1 00 0 1ε
cr2 + µ+ εγ
ε
cr3 + µ+ εγ0
=
ε
cr2 + µ+ εγ− ε
cr3 + µ+ εγ6= 0,
para qualquer µ tal que Re µ ≥ −δ.Como as hipóteses dos Teoremas 3.2.1 e 3.2.2 são satisfeitas para o problema (3.1)-(3.2), podemos
enunciar o seguinte resultado
Teorema 3.2.3 Existe δ0 > 0 e um intervalo compacto J0 tais que existe exatamente um autovalor
µJ de LJ tal que |µJ | ≤ δ0, ou seja,
σ(LJ) ∩ µ ∈ C; Re µ > −δ ⊂ µ ∈ C; |µ| ≤ δ0.
Pelos resultados numéricos que Rottmann-Matthes (2005) obteve sobre a estabilidade da ondaviajante do tipo pulso em um intervalo limitado, podemos supor que para um intervalo J sucien-temente grande temos:
σ(LJ) ⊂ µ ∈ C;Re µ < −δ, para algum δ > 0.
Capítulo 4
Problema não local em um intervalo
limitado
4.1 Soluções estacionárias do problema não local
Vamos estudar o problema não localpt = pxx − λ(p, q)px + f(p)− q,
x ∈ J, t > 0qt = −λ(p, q)qx + ε(p− γq),
(4.1)
com as condições iniciais p(x, 0) = u0(x) e q(x, 0) = w0(x) e as condições de contorno p(x−, t) = 0,p(x+, t) = u2 e q(x−, t) = 0, onde J = [x−, x+] ⊂ R, 0 ∈ J e |J | = x+ − x−.
Além disso considere λ(p, q) =A− 〈q, px〉L2(J)
‖px‖2L2(J)
, com A =
∫ u2
0f(s)ds
Lema 4.1.1 Considere o par (φ, ψ) ∈ H2(J)×H1(J) tal que φ(x−) = 0, φ(x+) = u2, ψ(x−) = 0e
c = λ(φ, ψ) ∈ R. (4.2)
Então, (φ, ψ) é uma solução estacionária de (4.1) se, e somente se, (φ, ψ) é uma solução de (3.3)satisfazendo
φ′(x−) = φ′(x+). (4.3)
Demonstração. Se (φ, ψ) é uma solução estacionária de (4.1) com c = λ(φ, ψ) então0 = φxx − cφx + f(φ)− ψ,
x ∈ J, t > 0.0 = −cψx + ε(φ− γψ),
(4.4)
Logo (φ, ψ) é solução de (3.3).Multiplicando a primeira equação de (4.4) por φ′ e integrando no intervalo J , obtemos∫ x+
x−
φ′′(x)φ′(x) dx− λ(φ, ψ)
∫ x+
x−
φ′(x)2 dx+A−∫ x+
x−
φ′(x)ψ(x) dx = 0,
onde usamos o fato de que φ(x−) = 0, φ(x+) = u2 e A =∫ u2
0 f(s)ds.A integração por partes nos permite concluir que
1
2
[(φ′(x+))2 − (φ′(x−))2
]− λ(φ, ψ)‖φ′‖2L2(J) +A− 〈ψ, φ′〉L2(J) = 0.
55
56 PROBLEMA NÃO LOCAL EM UM INTERVALO LIMITADO 4.1
Pela relação (4.2),λ(φ, ψ)‖φ′‖2L2(J) = A− 〈ψ, φ′〉L2(J),
e, portanto, φ′(x−) = φ′(x+).Por outro lado, se (φ, ψ) é solução de (3.3) e satisfaz a condição φ′(x−) = φ′(x+) como mostramos
no Capitulo 2, ela é uma solução da equaçãoφ′′(x)− A− 〈φ′, ψ〉
〈φ′, φ′〉φ′(x) + f(φ(x))− ψ(x) = 0
−ε (B − 〈φ′, ψ〉)〈ψ′, ψ′〉
ψ′(x) + ε(φ(x)− γψ(x)) = 0.
Portanto um equilíbrio de (4.1).
Teorema 4.1.1 Existe uma única solução estacionária (φ, ψ) de (4.1).
Demonstração. Pelo Lema 4.1.1, uma solução estacionária (φ, ψ) de (4.1) é uma solução de (3.3)que satisfaz a condição φ′(x−) = φ′(x+).
Pelo Teorema 3.1.1, para cada c > c1, existe uma única solução (φ, ψ) de (3.3) que é equivalenteas coordenadas u e w das soluções simples de (3.4). Dentre essas soluções, a que estamos procurandosão aquelas cuja componente v satisfaz v(x−) = v(x+).
Seja c2 do Lema 3.1.2, por dependência contínua em relação ao parâmetro c das soluções simplesΓ de (3.4) existe cJ ∈ (c2− δ, c2 + δ), para algum δ > 0, tal que Γ sai do ponto (0, v−, 0) e chega aoponto (u2, v+, w+) onde v− = v+. Logo, existe uma única solução (φ, ψ) de (3.3) com a propriedadeφ′(x−) = φ′(x+) e é, portanto, a única solução estacionária de (4.1).
4.1.1 Convergência das soluções estacionárias para a onda viajante quando
|J | → ∞
Nesta seção vamos estudar o comportamento da solução estacionária encontrada no Teorema4.1.1 em relação ao tamanho do intervalo J . Observe que, se (φ(ξ), φ′(ξ), ψ(ξ)) é uma solução de(3.4) então (φ(ξ + k), φ′(ξ + k), ψ(ξ + k)) também é uma solução, para qualquer constante k ∈ R,logo podemos considerar as soluções de (3.4) no intervalo [0, r] e analisar essas soluções quandor →∞.
Vamos denotar por (φr, ψr) a solução estacionária de (4.1) no intervalo [0, r] e (φ∞, ψ∞) a ondaviajante do problema original encontrada no Teorema 1.1.2.
Nos resultados a seguir considere
λr := λ(φr, ψr) e λ∞ := λ(φ∞, ψ∞) .
Lema 4.1.2 Seja λr tal que exista uma única solução de (4.1)-(4.3) no intervalo J . Então
|λr − λ∞| → 0, quando r →∞, (4.5)
onde λ∞ = c∗ do Teorema 1.1.2, isto é, a velocidade de propagação da onda viajante da equação
(1).
Demonstração. Considere o problema (3.4) no intervalo [0, r] com as condições
(u(0), v(0), w(0)) = (0, v−, 0) e (u(r), v(r), w(r)) = (u2, v+, w+), v±, w+ > 0. (4.6)
Suponha que exista uma sequência rnn∈N tal que rn → ∞, quando n → ∞, e δ > 0 tal queλrn > λ∞ + δ para todo rn.
Da mesma forma como discutimos no Capítulo 3, podemos escrever m(u) = v e n(u) = w e veras soluções de (3.4) como uma curva no R3 cuja parametrização é dada por Γ := (u,m(u), n(u)).
4.1 SOLUÇÕES ESTACIONÁRIAS DO PROBLEMA NÃO LOCAL 57
Para cada rn, considere a curva Γrn := (u,mrn(u), nrn(u)) que representa a solução do problema(3.4)-(4.6).
Pelo estudo do espaço de fase feito no Capítulo 1, se c > c∗+ ε então v(ξ) > 0, para todo ξ > 0.Dessa forma, para cada rn existe β > 0, tal que mrn(u) ≥ β para todo u ∈ [0, u2].
Mas, pelo Lema 3.1.2,
rn =
∫ u2
0
du
mrn(u)≤ u2
β,
contradizendo o fato que rn →∞.Para o caso λrn < λ∞ − ε sabemos que v(ξ0) = 0, para algum ξ0 > 0, onde u1 ≤ u(ξ0) ≤ u2, ou
seja, a solução entra na região
T = (u, v, w); u2 < u < 1, w < f(u), v < 0 ,
o que contradiz a denição de λrn que denimos no Teorema 3.1.1.
Lema 4.1.3 Seja (φr, φ′r, ψr) o equilíbrio obtido no Teorema 4.1.1 e (φ∞, φ
′∞, ψ∞) a onda viajante
encontrada no Teorema 1.1.2. Se v− > 0 for sucientemente pequeno, então
(φr, φ′r, ψr)→ (φ∞, φ
′∞, ψ∞)|J , quando r →∞,
onde (φ∞, φ′∞, ψ∞)|J é a restrição de (φ∞, φ
′∞, ψ∞) no intervalo J = [0, r].
Demonstração. No Capítulo 1 vimos que (φ∞, φ′∞, ψ∞) pode ser vista como uma solução do
problema (5)−(6) e pelos comentários feitos antes do Lema 1.1.3 podemos selecionar (u(0), v(0), w(0))da curva integral Γ = (φ∞, φ
′∞, ψ∞) sucientemente próximo de (0, 0, 0), ou seja, podemos ver
(φ∞, φ′∞, ψ∞)|J como solução do problema
u′ = vv′ = cv − f(u) + w
w′ =ε
c(u− γw)
(4.7)
com condição inicial (u(0), v(0), w(0)) = (u0, v0, w0), onde |u0|+ |v0|+ |w0| < ε1, para algum ε1 > 0sucientemente pequeno.
Seja v− > 0 sucientemente pequeno e (φ∞, φ′∞, ψ∞) uma solução de (4.7) com condição inicial
(u(0), v(0), w(0)) = (0, v−, 0). Pelo Teorema da Dependência Contínua em relação as condiçõesiniciais: para todo ε1 > 0, existe δ > 0 tal que, se |v− − v0| < δ, então
|φ∞(ξ; v−)− φ∞(ξ; v0)| < ε12, ξ ∈ J.
Como limr→∞
λr = λ∞, para todo δ > 0, existe r0 > 0 tal que, para todo r ≥ r0, tem-se |λr−λ∞| <δ.
Pelo Teorema da Dependência Contínua em relação aos parâmetros: para todo ε2 > 0, existeδ > 0 tal que, se |λr − λ∞| < δ, então
|φr(ξ; v−)− φ∞(ξ; v−)| < ε22, ξ ∈ J.
Logo, para todo ε > 0, existe r0 > 0 tal que, ∀r ≥ r0,
|φr(ξ; v−)− φ∞(ξ; v0)| ≤ |φr(ξ; v−)− φ∞(ξ; v−)|+ |φ∞(ξ; v−)− φ∞(ξ; v0)| < ε, ξ ∈ J.
De forma análoga, provamos para as outras componentes.
58 PROBLEMA NÃO LOCAL EM UM INTERVALO LIMITADO 4.2
Vamos normalizar a órbita (φr, φ′r, ψr) tal que φr(0) = a assim como já mencionamos no Capítulo
1, onde normalizamos (φ∞, φ′∞, ψ∞) por φ∞(0) = a.
4.2 Propriedades espectrais
Para analisar as propriedades espectrais do equilíbrio (φr, ψr) encontrado na seção anterior,vamos considerar a linearização de (4.1) ao redor de (φr, ψr) dada por
mt = mxx − λ(φr, ψr)mx + f ′(φr)m− n+ φ′rΠr(m,n),
x ∈ J, t > 0nt = −λ(φr, ψr)nx + ε(m− γn) + ψ′rΠ
r(m,n),
com as condições m(x−, t) = m(x+, t) = 0 e n(x−, t) = 0.O termo Πr(m,n) tem a forma
Πr(m,n) =2λr〈φ′r,mx〉+ 〈ψr,mx〉+ 〈φ′r, n〉
‖φ′r‖2
e, tanto o produto interno, quanto a norma são consideradas em L2(J).Considere o operador linear Lr : D(Lr) ⊂ L2(J)× L2(J)→ L2(J)× L2(J), onde
D(Lr) = (m,n) ∈ H2(J)×H1(J); m(x−) = m(x+) = 0 e n(x−) = 0,
denido por
Lr(mn
)=
mxx − λrmx + f ′(φr)m− n+ φ′rΠr(m,n)
−λrnx + ε(m− γn) + ψ′rΠr(m,n)
.
Considere o operador local no intervalo J
Lr0
(mn
)=
mxx − λrmx + f ′(φr)m− n
−λrnx + ε(m− γn)
.
Podemos escrever
Lr(mn
)= Lr0
(mn
)+ Πr(m,n)
(φ′rψ′r
). (4.8)
4.2.1 Propriedades espectrais de Lr
Pela relação dada em (4.8) entre Lr e Lr0 temos que µ é um autovalor de Lr0 se, e somente se, µfor um autovalor de Lr de σ(Lr) com o resolvente de Lr0, ρ(Lr0).
Lema 4.2.1 Seja µ ∈ σ(Lr) ∩ ρ(Lr0). Então, µ é um autovalor geometricamente simples, isto é,
Ker(Lr − µI) é unidimensional. Além disso, o autoespaço associado é gerado por Y = (y1, y2), aúnica solução de
(Lr0 − µI)Y =
(φ′rψ′r
)e
Πr(Y ) = −1.
Demonstração. Seja Z = (z1, z2) 6= (0, 0) tal que LrZ = µZ, logo
0 = (Lr − µI)Z = (Lr0 − µI)Z + Πr(Z)
(φ′rψ′r
).
4.2 PROPRIEDADES ESPECTRAIS 59
Seja Y tal que (Lr0 − µI)Y =
(φ′rψ′r
)logo,
0 = (Lr0 − µI)Z + Πr(Z)
(φ′rψ′r
)= (Lr0 − µI)Z + Πr(Z)(Lr0 − µI)Y
= (Lr0 − µI)(Z + Πr(Z)Y ).
Como µ ∈ ρ(Lr0) então (Lr0−µI) é injetora, e portanto, Z = −Πr(Z)Y . Como Πr é um operador
linear Πr(Y ) = Πr
(−Z
Πr(Z)
)= −1.
Pelo comentário no nal do Capítulo 3, podemos supor que σ(Lr0) ⊂ s ∈ C : Re s < 0 e, comesta hipótese, temos o seguinte resultado:
Proposição 4.2.1 Não existe autovalor real µ ≥ 0 no espectro de Lr.
Demonstração. Suponha que exista um autovalor µ ≥ 0 de Lr, logo µ ∈ ρ(Lr0).Para µ ≥ 0 e µ ∈ σ(Lr) ∩ ρ(Lr0) considere (m,n) tal que
(Lr0 − µI)
(mn
)=
(φ′rψ′r
),
isto é, m′′ − λrm′ + (f ′(φr)− µ)m− n = φ′r
−λrn′ + ε(m− γn) = ψ′r.(4.9)
Multiplicando a primeira equação de (4.9) por φ′r e integrando em J , obtemos
〈m′′, φ′r〉 − λr〈m′, φ′r〉+ 〈f ′(φr)m,φ′r〉 − 〈n, φ′r〉 − µ〈m,φ′r〉 = ‖φ′r‖2. (4.10)
Usando integração por partes em 〈f ′(φr)m,φ′r〉 e m(x±) = 0, obtemos
〈f ′(φr)m,φ′r〉 = −〈m′, f(φr)〉= 〈m′, φ′′r〉 − λr〈m′, φ′r〉+ 〈m′, ψr〉.
Substituindo a igualdade acima na equação (4.10), temos
〈m′′, φ′r〉+ 〈m′, φ′′r〉 − 2λr〈m′, φ′r〉 − 〈n, φ′r〉 − 〈m′, ψr〉 − µ〈m,φ′r〉 = ‖φ′r‖2
〈m′′, φ′r〉‖φ′r‖2
+〈m′, φ′′r〉‖φ′r‖2
− 2λr〈m′, φ′r〉+ 〈n, φ′r〉+ 〈m′, ψr〉‖φ′r‖2
− µ〈m,φ′r〉
‖φ′r‖2= 1.
Pelo Lema 4.2.1, Πr(m,n) =2λr〈m′, φ′r〉+ 〈n, φ′r〉+ 〈m′, ψr〉
‖φ′r‖2= −1, logo
〈m′′, φ′r〉+ 〈m′, φ′′r〉 = µ〈m,φ′r〉.
Como (µ− Lr0)
(mn
)= −
(φ′rψ′r
)e φ′r > 0, pelo princípio do máximo1, temos então m(x) <
0, para x ∈ J .Por integração por partes
〈m′′, φ′r〉 = φ′r(x+)m′(x+)− φ′r(x−)m′(x−)− 〈m′, φ′′r〉1veja por exemplo Protter e Weinberger (2012), pág. 190.
60 PROBLEMA NÃO LOCAL EM UM INTERVALO LIMITADO 4.2
Do Lema 4.1.1, seja K = φ′r(x−) = φ′r(x+), então
K[m′(x+)−m′(x−)] = 〈m′′, φ′r〉+ 〈m′, φ′′r〉 = µ〈m,φ′r〉 ≤ 0
e, portanto, m′(x+) ≤ m′(x−).Se m < 0 e m(x−) = 0 então m′(x−) ≤ 0, caso contrário m seria crescente e positiva em uma
vizinhança de x−.Se m < 0 e m(x+) = 0 então m′(x+) ≥ 0, caso contrário m seria decrescente e positiva na
vizinhança de x+.Ou seja, m deve ser decrescente na vizinhança de x− e crescente na vizinhança de x+ logo
m′(x−) ≤ 0 ≤ m′(x+). Mas, acima, armamos que m′(x+) ≤ m′(x−), então só nos resta concluirque
m′(x+) = m′(x−) = 0.
Veja que (m,n) satisfaz a equação (4.9) e as condições m(x−) = n(x−) = 0. Se, além disso,m′(x−) = 0 então
m′′(x−)− λrm′(x−) + f ′(φ(x−))m(x−)− µm(x−)− n(x−) = φ′r(x−),
ou seja, m′′(x−) = φ′r(x−) > 0 e, portanto, m seria positiva para uma vizinhança de x−,o que é umabsurdo.
4.2.2 Propriedades espectrais de L∞
Seja o operador não local L∞ : H2(R,C)×H1(R,C)→ L2(R,C)
L∞(mn
)=
mxx − λ∞mx + f ′(φ∞)m− n+ φ′∞Π∞(m,n)
−λ∞nx + ε(m− γn) + ψ′∞Π∞(m,n)
, (4.11)
que pode ser reescrito na forma
L∞(mn
)= L∞0
(mn
)+ Π∞(m,n)
(φ′∞ψ′∞
)(4.12)
onde L∞0 é o operador local em R
L∞0
(mn
)=
mxx − λ∞mx + f ′(φ∞)m− n
−λ∞nx + ε(m− γn)
(4.13)
e
Π∞(m,n) =2λ∞〈φ′∞,mx〉+ 〈ψ∞,mx〉+ 〈φ′∞, n〉
‖φ′∞‖2.
Lema 4.2.2 Considere o operador (4.13) e seu espectro σ(L∞0 ), são verdadeiras as armações:
i) Existe δ > 0 tal que σ(L∞0 ) \ 0 ⊂ µ ∈ C; Re µ ≤ −δ;
ii) 0 é um autovalor simples de L∞0 com autofunção associada (φ′, ψ′), isto é, não existe (u, w) ∈H2(R)×H1(R) tal que
L∞0
(uw
)=
(φ′
ψ′
).
Demonstração. Como λ∞ = c∗, este é o mesmo resultado provado no Teorema 1.3.3.
4.2 PROPRIEDADES ESPECTRAIS 61
Lema 4.2.3 O operador (m,n) 7−→ Π∞(m,n)
(φ′∞ψ′∞
)é compacto e tem posto 1.
Demonstração. Seja F (m,n) := Π∞(m,n)Φ∞ onde Φ∞ =
(φ′∞ψ′∞
)é xo. Pela denição de Π∞,
F é um operador linear contínuo e, portanto, existe C > 0 tal que
‖F‖ ≤ C‖Φ∞‖.
Seja K ⊂ D(F ) um conjunto limitado. Então
F (K) = Π∞(X)Φ∞ : X ∈ K ⊂ spanΦ∞.
Se Y ∈ F (K) então ∃X ∈ K tal que Y = Π∞(X)Φ∞ e, portanto,
‖Y ‖ ≤ C‖Φ∞‖ <∞.
Como F (K) é limitado e está contido em um espaço de dimensão nita, temos que F (K) é compactoe, portanto, F é um operador compacto.
O próximo resultado arma que o espectro de L∞0 e o espectro de L∞ gozam das mesmas
propriedades.
Proposição 4.2.2 Sejam L∞0 e L∞ denidos em (4.13) e (4.11), respectivamente, temos σ(L∞0 ) =σ(L∞) e, além disso, 0 é um autovalor simples de L∞. Em particular, as propriedades do Lema
4.2.2 são verdadeiras para σ(L∞).
Demonstração. Considere L∞ na forma (4.12). Pelo item (ii) do Lema 4.2.2,
L∞0
(φ′
ψ′
)=
(00
).
Além disso, usando integração por partes no termo 〈ψ∞, φ′′∞〉, podemos ver que
Π∞(φ′∞, ψ′∞) =
2λ(φ∞, ψ∞)〈φ′∞, φ′′∞〉+ 〈ψ∞, φ′′∞〉+ 〈φ′∞, ψ′∞〉‖φ′∞‖2
= 0.
Portanto podemos concluir que 0 é autovalor de L∞ com autofunção associada (φ′∞, ψ′∞).
Para ver que 0 é autovalor simples, suponha que exista (u, w) ∈ D(L∞) tal que
L∞(uw
)=
(00
),
o que implica (00
)= L∞0
(uw
)+ Π∞(u, w)
(φ′∞ψ′∞
).
Se Π∞(u, w) = 0 então (u, w) é múltiplo de (φ′∞, ψ′∞), pois 0 é um autovalor simples de L∞0 .
Se Π∞(u, w) 6= 0 então
L∞0
(uw
)= −Π∞(u, w)
(φ′∞ψ′∞
).
Mas isto é impossível pelo item (ii) do Lema 4.2.2.Para mostrar que σ(L∞) = σ(L∞0 ), vamos mostrar que os dois operadores possuem o mesmo
resolvente, isto é, ρ(L∞0 ) = ρ(L∞) .1o) ρ(L∞0 ) ⊂ ρ(L∞) : Se µ ∈ ρ(L∞0 ) então (L∞0 − µI)−1 existe, é limitada e denida em um
conjunto denso X × Y .
62 PROBLEMA NÃO LOCAL EM UM INTERVALO LIMITADO 4.2
Sejam (U,W ) ∈ X × Y e (m, n) o único elemento de D(L∞0 ) tal que
(L∞0 − µI)
(mn
)=
(UW
). (4.14)
Se Π∞(m, n) = 0 então µ ∈ ρ(L∞), pois
(L∞ − µI)
(mn
)= (L∞0 − µI)
(mn
)=
(UW
).
Suponha que Π∞(m, n) 6= 0 e considere(m∗
n∗
)=
(mn
)+
1
µΠ∞(u, w)
(φ′∞ψ′∞
). (4.15)
Como L∞ é linear,
L∞(m∗
n∗
)= L∞
(mn
)+
1
µΠ∞(u, w)L∞
(φ′∞ψ′∞
).
Pela relação (4.12) e por L∞(φ′∞ψ′∞
)=
(00
)temos
L∞(m∗
n∗
)= L∞0
(mn
)+ Π∞(u, w)
(φ′∞ψ′∞
).
Por (4.14),
L∞(m∗
n∗
)=
(U + µm+ Π∞(u, w)φ′∞W + µn+ Π∞(u, w)ψ′∞
)
=
U + µ
[m+
1
µΠ∞(u, w)φ′∞
]
W + µ
[n+
1
µΠ∞(u, w)ψ′∞
]
=
(U + µm∗
W + µn∗
).
Logo, para qualquer (U,W ) ∈ X × Y , existe (m∗, n∗) ∈ D(L∞) tal que
(L∞ − µI)
(m∗
n∗
)=
(UW
)(4.16)
e, portanto, (L∞ − µI) é sobrejetora.Suponha que existam dois elementos (m∗1, n
∗1), (m∗2, n
∗2) ∈ D(L∞) tais que
(L∞ − µI)
(m∗1n∗1
)=
(UW
)e
(L∞ − µI)
(m∗2n∗2
)=
(UW
).
Usando a relação (4.12) podemos concluir que
(L∞0 − µI)
(m∗1n∗1
)=
(UW
)−Π∞(m∗1, n
∗1)
(φ′∞ψ′∞
)
4.2 PROPRIEDADES ESPECTRAIS 63
e, além disso, como
Π∞(m∗2 −m∗1, n∗2 − n∗1) = Π∞(m∗2, n∗2)−Π∞(m∗1, n
∗1),
obtemos
(L∞0 − µI)
(m∗1 −m∗2n∗1 − n∗2
)= Π∞(m∗2, n
∗2)−Π∞(m∗1, n
∗1)
(φ′∞ψ′∞
).
SeΠ∞(m∗2, n
∗2) = Π∞(m∗1, n
∗1),
então (L∞ − µI) é injetora, pois (L∞0 − µI) é injetora.Se
Π∞(m∗2, n∗2) 6= Π∞(m∗1, n
∗1),
então
(L∞0 − µI)
(mn
)= −Π∞(m, n)
(φ′∞ψ′∞
),
ondem = m∗2 −m∗1,
n = n∗2 − n∗1.
Como (L∞0 − µI)−1 existe, podemos escrever(mn
)= −Π∞(m, n)(L∞0 − µI)−1
(φ′∞ψ′∞
).
Usando a igualdade
(L∞0 − µI)−1
(φ′∞ψ′∞
)= − 1
µ
(φ′∞ψ′∞
)vemos que (m, n) é uma combinação linear de (φ′∞, ψ
′∞), logo
Π∞(m, n) = 0,
o que é uma contradição. Logo (L∞ − µI) é injetora e concluímos que (L∞ − µI)−1 existe.Agora, (L∞ − µI)−1 é limitada, pois as igualdades (4.14) e (4.15) nos permitem concluir que
(L∞ − µI)−1
(UW
)=
(m∗
n∗
)=
(mn
)+ Π∞(u, w)
(φ′∞ψ′∞
)= (L∞0 − µI)−1
(UW
)+
1
µΠ∞(u, w)
(φ′∞ψ′∞
)e concluímos que ρ(L∞0 ) ⊂ ρ(L∞). A outra inclusão segue o mesmo raciocínio usando a igualdade
L∞0
(mn
)= L∞
(mn
)−Π∞(m,n)
(φ′∞ψ′∞
),
portanto 0 é um autovalor simples de L∞.
Além disso, como Π∞(m,n)
(φ′∞ψ′∞
)é um operador compacto de posto 1, pelo Lema 1.2.1,
σe(L∞) = σe(L
∞0 ).
64 PROBLEMA NÃO LOCAL EM UM INTERVALO LIMITADO 4.2
Capítulo 5
Convergência espectral
5.1 Denições e resultados básicos
Sejam E e F espaços de Banach separáveis e sejam Err>0 e Frr>0 famílias de espaços deBanach separáveis. Sejam mrr>0, mr ∈ L(E,Er) e nrr>0, nr ∈ L(F, Fr) operadores lineareslimitados tais que:
limr→∞
‖mre‖Er → ‖e‖E , para cada e ∈ Elimr→∞
‖nrf‖Fr → ‖f‖F , para cada f ∈ F. (5.1)
Denição 5.1.1 Uma família err>0, er ∈ Er, éM−convergente para e ∈ E, se
limr→∞
‖er −mre‖Er = 0. (5.2)
Neste caso, denotamos por erM→ e. A denição de N−convergência é análoga.
Denição 5.1.2 Uma família err>0, er ∈ Er, éM−compacta se cada sequência innita contém
uma subsequênciaM−convergente. A denição de N−compacidade é análoga.
Denição 5.1.3 Uma família de operadores lineares limitados Trr>0, Tr ∈ L(Er, Fr) éMN−convergentea T ∈ L(E,F ) se
erM→ e =⇒ Trer,
N→ Te quando r →∞.
Neste caso, denotamos TrMN→ T .
Denição 5.1.4 Dizemos que Tr MN− converge regularmente para T se, e somente se, TrMN→ T
e se para cada sequência limitada err>0, er ∈ Er, tal que a sequência Trerr>0 é N−compacta
implica que a sequência err>0 éM−compacta.
Denição 5.1.5 Sejam X e Y espaços de Banach e T : X → Y um operador linear. T é um
operador de Fredholm se Ker(T ) e coKer(T ) := Y/Im(T ) têm dimensão nita.
O índice de um operador de Fredholm é denido por
ind(T ) = dimKer(T )− dim(coKer(T )).
Teorema 5.1.1 Seja a família de operadores T (s) = T − sR ∈ L(E,F ) e Tr(s) = Tr − sRr ∈L(Er, Fr), onde o parâmetro s ∈ S, com S um subconjunto limitado do plano complexo C, quesatisfaz as seguintes hipóteses:
(i) Tr(s) MN−converge regularmente para T (s), para todo s ∈ S,
(ii) Para cada s ∈ S, o operador Tr(s) e T (s) são Fredholm com índice 0,
(iii) Existe s′ ∈ S tal que Ker(T (s′)) = 0,
65
66 CONVERGÊNCIA ESPECTRAL 5.2
(iv) Existe uma constante C = C(S) > 0 tal que ‖Tr(s)‖L(Er,Fr) ≤ C, para todo r ≥ 0.Então, se denotamos por W (s0) o subespaço associado a T (s0), isto é, o subespaço gerado pela
cadeia de vetores e0, e1, . . . , ek, . . . denido como
(T − s0R)e0 = 0, (T − s0R)e1 = Re0, . . . (T − s0R)ek = Rek−1, . . .
e se denotamos por Wr(s0, δ) todos os subespaços associado a Tr(s) para todo |s − s0| ≤ δ, s ∈ S,então temos que, para δ > 0 pequeno o bastante,
distH(Wr(s0, δ),W (s0))→ 0, quando r → +∞
e, portanto, existe um δ > 0 pequeno, tal que
dim(Wr(s0, δ)) = dimW (s0), quando r → +∞.
Demonstração. Veja Vainikko (1979) .
Teorema 5.1.2 Se T : X → Y é de Fredholm e S : X → Y é um operador linear compacto, então
T + S é um operador de Fredholm com índice
ind(T + S) = ind(T ).
Demonstração. Veja Gohberg et al. (2012) .
5.2 Convergência espectral
Vamos considerar E = H1(R,C3) e F = L2(R,C3) e, para um intervalo nito Jr, considere osespaços Er = H1(Jr,C3) e Fr = L2(Jr,C3)×C3. Para E,F e Er consideramos as normas usuais epara Fr consideramos a norma
‖(f, η)‖Fr = ‖f‖L2(Jr) + |η|.
Denimos a família de operadores lineares mr : E → Er e nr : F → Fr tais que
mr
uvw
=
u|Jrv|Jrw|Jr
,
nr
uvw
=
u|Jrv|Jrw|Jr
000
.
Considere a família de operadores T s∞, Ts0,∞, Π∞ : E → F denidos como
T s∞
uvw
=
uxvxwx
+
0 −1 0f ′(φ∞)− s −λ∞ −1
− ε
λ∞0
εγ + s
λ∞
u
vw
+
0φ′∞Π∞(u,w)
− 1
λ∞ψ′∞Π∞(u,w)
,
T s0,∞
uvw
=
uxvxwx
+
0 −1 0f ′(φ∞)− s −λ∞ −1
− ε
λ∞0
εγ + s
λ∞
u
vw
5.2 CONVERGÊNCIA ESPECTRAL 67
e
Π∞
uvw
=
0φ′∞Π∞(u,w)
− 1
λ∞ψ′∞Π∞(u,w)
. (5.3)
Observe que T s∞ = T s0,∞ + Π∞. Além disso, o operador T s0,∞ é um operador local. O operadorT s∞ pode ser decomposto como
T s∞ = T 0∞ − sR∞, (5.4)
onde
R∞
uvw
=
0
u
− w
λ∞
. (5.5)
Denimos os operadores em um intervalo limitado, T sr , Ts0,r, por Πr : Er → Fr
T sr
uvw
=
uxvxwx000
+
0 −1 0f ′(φr)− s −λr −1
− ε
λr0
εγ + s
λr0 0 00 0 00 0 0
u
vw
+
0φ′rΠ
r(u,w)
− 1
λrψ′rΠ
r(u,w)
000
+
000
u(x−)u(x+)w(x−)
,
T s0,r
uvw
=
uxvxwx000
+
0 −1 0f ′(φr)− s −λr −1
− ε
λr0
εγ + s
λr0 0 00 0 00 0 0
u
vw
+
000
u(x−)u(x+)w(x−)
e
Πr
uvw
=
0φ′rΠ
r(u,w)
− 1
λrψ′rΠ
r(u,w)
000
(5.6)
de forma similar temos a igualdade T sr = T 0r − sRr com
Rr
uvw
=
0u
− wλr000
.
Teorema 5.2.1 Considere o operador diferencial linear T : E → F denido por Tz := zx −M(·)z
68 CONVERGÊNCIA ESPECTRAL 5.2
e a sequência de operadores lineares limitados em um intervalo nito Tr : Er → Fr denido por
Trz :=
(zx −M(·)z
Rz
).
Se D 6= 01 então TrMN→ T regularmente, quando r →∞.
Demonstração. Veja Beyn e Rottmann-Matthes (2007), pág 6.
Proposição 5.2.1 Com a notação acima, para qualquer s ∈ s ∈ C;Re s > −δ temos:
(i) A sequência de operadores T s0,r MN−converge regularmente para T s0,∞, quando r →∞.
(ii)A sequência de operadores T sr MN−converge regularmente para T s∞, quando r →∞.
(iii) Os operadores T s∞ e T sr são operadores Fredholm de índice 0.
Demonstração. (i) Considere o operador T s0,r : Er → Fr denido por
T s0,r
uvw
=
uxvxwx000
+
0 −1 0f ′(φ∞)− s −λ∞ −1
− ε
λ∞0
εγ + s
λ∞0 0 00 0 00 0 0
u
vw
+
000
u(x−)u(x+)w(x−)
,
onde f ′(φ∞) está restrita ao intervalo Jr. Pelo Teorema 5.2.1, sabemos que T s0,r MN−convergeregularmente para T s0,∞.
Seja
Rr =
0 0 0
−f ′(φ∞) + f ′(φ′r) λ∞ − λr 0
ε
λ∞− ε
λr0
εγ
λr− εγ
λ∞0 0 00 0 00 0 0
uvw
.
Portanto T s0,r = T s0,r + Rr.Pelo Lema 4.1.2, quando r →∞, λr → λ∞. Pelo Lema 4.1.3,
|f ′(φ∞)− f ′(φr)| → 0 quando r →∞,
e, portanto, ‖Rr‖L(Er,Fr) → 0, quando r →∞.Logo T s0,r MN−converge regularmente para T s0,∞, quando r →∞.
(ii) Segue das igualdades
T sr = T s0,r + Πr e T s∞ = T s0,∞ + Π∞,
do item (i) deste lema e do fato que Πr MN−converge para Π∞.(iii) 1o) T sr é Fredholm com índice 0. De fato,
1Relembre as denições de R e D em (3.7) e (3.8)
5.2 CONVERGÊNCIA ESPECTRAL 69
Considere o operador Dr : Er → Fr dado por
Dr
uvw
=
uxvxwx000
.
A dimensão doKer(Dr) = 3, poisKer(Dr) = (u, v, w) ∈ Er : u, v e w são constantes ≡ C×C×Ce como a imagem de Dr é L2(Jr) × L2(Jr) × L2(Jr) × 0 × 0 × 0 ⊂ Fr e tem codimensão 3,segue que Dr é operador de Fredholm com índice 0.
Agora, considere o operador T s0,r −Dr : Er → Fr, isto é,
(T s0,r −Dr)
uvw
=
0 −1 0f ′(φr)− s −λr −1
− ε
λr0
εγ + s
λr0 0 00 0 00 0 0
u
vw
+
000
u(x−)u(x+)w(x−)
.
Como T s0,r −Dr é um operador limitado de L2(Jr,C)×L2(Jr,C)×L2(Jr,C) em Fr, logo T s0,r −Dr
é um operador compacto de Er em Fr. Pelo Teorema 5.1.2, T s0,r é um operador de Fredholm deíndice 0.
Como T sr = T s0,r + Πr e Πr é um operador compacto então T sr é um operador de Fredholm deíndice 0.
2o) T s∞ é Fredholm de índice 0. De fato, seja T s∞ = P s∞ +K∞ + Π∞, onde Π∞ foi denido em(5.3),
K∞
uvw
=
0[f ′(φ∞)− V (·)]u
0
e
P s∞
uvw
=
uxvxwx
+
0 −1 0V (·)− s −λ∞ −1
− ε
λ∞0
εγ + s
λ∞
u
vw
.
O termo V que aparece em P s∞ é denido por
V (x) =
f ′(0), se x ∈ (−∞, 0]
f ′(u2), se x ∈ (0,+∞).
Como f ′(φ∞(x)) − V (x) → 0 quando x → ±∞, concluímos que K∞ : E → F é um operadorcompacto. Como Π∞ também é um operador compacto, a ideia é mostrar que P s∞ é um operadorde Fredholm de índice 0, e usar o Teorema 5.1.2 para concluir a demonstração.
Para mostrar que o operador P s∞ é Fredholm de índice 0 precisamos que Ker(P s∞) = 0 eIm(P s∞) = L2(R,C3).
Podemos escrever P s∞ na forma
P s∞
uvw
=
uxvxwx
+M(x, s)
uvw
70 CONVERGÊNCIA ESPECTRAL 5.2
onde
M(x, s) = M−(s) =
0 −1 0f ′(0)− s −λ∞ −1
− ε
λ∞0
εγ + s
λ∞
, x < 0,
e
M(x, s) = M+(s) =
0 −1 0f ′(u2)− s −λ∞ −1
− ε
λ∞0
εγ + s
λ∞
, x > 0.
Seja (u, v, w) ∈ H1(R,C3) tal que
P s∞
uvw
=
000
. (5.7)
Se considerarmos x > 0, (5.7) é uma EDO linear com coecientes constantes e como (u, v, w) sãofunções limitadas, o comportamento de sua solução quando x→∞, é determinado pelos autovalorese os correspondentes autovetores da matriz M+(s). Analogamente, se considerarmos x < 0.
Mostramos no Lema 1.2.3 que, para ε > 0 sucientemente pequeno, existe δ > 0 tal que, seRe s > −δ, as matrizes M+(s) e M−(s) não tem autovalores no eixo imaginário e seus autovaloressatisfazem:
Re ρ±3 < Re ρ±2 < 0 < Re ρ±1 e seus respectivos autovetores são dados por(1,−ρ±i ,
ε
ρ±i λ∞ − s− εγ
).
Logo a solução (u(x), v(x), w(x)) de (5.7) satisfaz
u(x)v(x)w(x)
= C2eρ−2 x
1
−ρ−2
ε
ρ−2 λ∞ − s− εγ
+ C3eρ−3 x
1
−ρ−3
ε
ρ−3 λ∞ − s− εγ
, x > 0
e
u(x)v(x)w(x)
= C1eρ+1 x
1
−ρ+1
ε
ρ+1 λ∞ − s− εγ
, x < 0,
onde Ci ∈ C, i = 1, 2, 3, são constantes. Como (u, v, w) ∈ H1(R,C3), devemos ter
C2
1
−ρ−2
ε
ρ−2 λ∞ − s− εγ
+ C3
1
−ρ−3
ε
ρ−3 λ∞ − s− εγ
= C1
1
−ρ+1
ε
ρ+1 λ∞ − s− εγ
.
5.2 CONVERGÊNCIA ESPECTRAL 71
Das igualdades C2 + C3 = C1
−C2ρ−2 − C3ρ
−3 = −C1ρ
+1
(5.8)
temosC2(−ρ−2 + ρ+
1 ) = C3(ρ−3 − ρ+1 ). (5.9)
Simplicando a expressão
C2ε
ρ−2 λ∞ − s− εγ
+C3ε
ρ−3 λ∞ − s− εγ
=C1ε
ρ+1 λ∞ − s− εγ
e usando o fato de C2 + C3 = C1, obtemos
C2(ρ−3 λ∞ − s− εγ)(λ∞(−ρ−2 + ρ+
1 )) + C3(ρ−2 λ∞ − s− εγ)(λ∞(ρ+
1 − ρ−3 )) = 0.
Pela igualdade (5.9) concluímos
[C3λ∞(ρ+
1 − ρ−2 )][λ∞(ρ−3 − ρ
−2 )] = 0.
Como λ∞ 6= 0, ρ+1 6= ρ−2 e ρ−3 6= ρ−2 , temos que C3 = 0.
Das igualdades em (5.8) concluímos que C1 = C2 = 0 e, portanto, Ker(P s∞) = 0.Pelo Lema 1 pag 137 de Henry (1981) podemos concluir que Im(P s∞) = L2(R,C3).
Teorema 5.2.2 Existe R0 > 0 tal que, para todo r > r0, temos
σ(Lr) ∩ s ∈ C; |s| ≤ r0, Re s > −δ = s(r).
Além disso, s(r) < 0 é um autovalor simples de Lr e s(r)→ 0, quando r → +∞.
Demonstração. Seja s tal que Re s > −δ. Ker(T s∞) 6= 0 se, e somente se, s é um autovalor deL∞. Pela Proposição 4.2.2, σ(L∞) = σ(L∞0 ).
Podemos dividir a região z ∈ C;Re s > −δ em dois subconjuntos
C1 ≡ s ∈ C; |s| ≤ R0, Re s > −δ
eC2 ≡ s ∈ C; |s| > R0, Re s > −δ.
Na demonstração do Teorema 1.3.3, vimos que, se R0 > 0 é sucientemente grande, não existemautovalores de L∞0 em C2. No conjunto C1, o único autovalor de L∞0 é s = 0. Para aplicar o Teorema5.1.1 vamos considerar s no subconjunto limitado C1.
Pela Proposição 5.2.1 e os comentários acima, as hipóteses (i)−(iv) são satisfeitas. Vamos então,calcular o subespaço W (s0), onde s0 = 0:
e0 deve ser um vetor tal que T 0∞e0 = 0. Como (φ′∞, ψ
′∞) é autofunção de L∞ associada ao
autovetor s = 0, vamos tomar e0 = (φ′∞, φ′′∞, ψ
′∞) ;
Para calcular e1, precisamos resolver T 0∞e1 = R∞e0, isto é,
uxvxwx
+
0 −1 0f ′(φ∞) −λ∞ −1
− ε
λ∞0
εγ
λ∞
u
vw
+
0φ′∞Π∞(u,w)−ψ′∞λ∞
Π∞(u,w)
=
0
φ′∞
−ψ′∞λ∞
,
72 CONVERGÊNCIA ESPECTRAL 5.2
ou seja,
ux − v = 0
vx + f ′(φ∞)u− λ∞v − w + φ′∞Π∞(u,w) = φ′∞
wx −ε
λ∞(u− γw)− ψ′∞
λ∞Π∞(u,w) =
−ψ′∞λ∞
.
O problema acima é equivalente a uxx − λ∞ux + f ′(φ∞)u− w
−λ∞wx − ε(u− γw)
= (1−Π∞(u,w))
(φ′∞ψ′∞
), (5.10)
ou seja, L∞0
(uw
)∈ [(φ′∞, ψ
′∞)]. Como (φ′∞, ψ
′∞) é uma autofunção de L∞0 associada ao autovalor
simples 0, (5.10) não tem solução, e portanto
W (0) = span
(φ′∞ψ′∞
)e dim(W (0)) = 1.
Aplicando o Teorema 5.1.1 obtemos:(i) Todos os valores s(r) ∈ C1 tais que Ker(T s(r)r ) 6= 0 satisfazem: s(r)→ 0, quando r →∞.(ii) Existe δ > 0 pequeno tal que, para r sucientemente grande, tem-se dim(Wr(0, δ)) = 1.
Armação: s(r) é um número real:
Se s(r) for um número complexo, então seu complexo conjugado s(r) deve satisfazerKer (Ts(r)r ) 6=
0.Como T s(r)r (u, v, w) = (0, 0, 0) e a parte imaginária de s(r) 6= 0 então a parte imaginária de
(u, v, w) 6= (0, 0, 0). Além disso, como todos os coecientes de T s(r) são reais (exceto para s(r)),
teríamos T s(r)r (u, v, w) = (0, 0, 0) e, portanto, teríamos pelo menos dois números, s(r) e s(r) noconjunto
s : Re s > −δ, Ker(T sr ) 6= 0.
De (i) teríamos s(r) e s(r) aproximando de 0 e portanto dim(Wr(0, δ)) ≥ 2 o que contradiz (ii).Isto nos mostra que s(r) ∈ R e é um autovalor de Lr,e pela Proposição 4.2.1, s(r) < 0.
Capítulo 6
Resultados Numéricos
Neste capítulo apresentamos alguns resultados numéricos para ilustrar o resultado principal doCapítulo 2.
6.1 Denição da equação não local
Tomando os parâmetros: ε = 0.01 , α = 0.25, γ = 20 e a função f(u) = u(u − 0.25)(1 − u),calculamos os valores u2 e F (u2) cujas expressões são dadas por:
u2 =1 + α
2+
√(1− α)2 − 4
γ
2e F (u2) =
∫ u2
0f(s)ds,
ou seja,u2 = 0.9260 e F (u2) = 0.039842.
Com isso, temos a equação não local na forma
ut = uxx − λux + u(u− 0.25)(1− u)− wwt = −λwx + 0.01(u− 20w)
onde
λ =0.039842− 〈w, ux〉
〈ux, ux〉.
Consideramos ainda, as condições iniciais
u(x, 0) =x+ a
2ae w(x, 0) =
x+ a
40apara − a ≤ x ≤ a,
e as condições de contorno
u(−a, t) = 0, u(a, t) = 0.9260, w(−a, t) = 0 e w(a, t) = 0.0463 para t > 0.
6.2 Resultados numéricos
Para o sistema de FitzHugh-Nagumo, com o termo não liner da forma f(u) = u(u− α)(1− u),
Gao e Wang (2004) mostrou que, para qualquer ε > 0, se γ >9
(1− 2a)(2− s)então a solução
heteroclínica da equação u′(ξ) = v(ξ)v′(ξ) = cv(ξ)− f(u(ξ)) + w(ξ)
w′(ξ) =ε
c(u(ξ)− γw(ξ)),
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74 RESULTADOS NUMÉRICOS
satisfazendo
(u(−∞), v(−∞), w(−∞)) = (0, 0, 0) e (u(+∞), v(+∞), w(+∞)) = (u2, 0,1
γu2)
tem velocidade de propagação c∗ ∈ [c, c), onde
c =√
2(u2
2− u1
)e c =
√2
(1
2− a).
Com os parâmetros descritos na primeira seção deste capítulo, c ' 0, 19 e c ' 0, 35. Logo, λ(t)deve convergir para um valor dentro do intervalo [0, 19, 0, 35).
De fato, usando solver ode15s do MATLAB, reformulamos o problema na forma
ut = uxx − λux + u(u− 0.25)(1− u)− w,wt = −λwx + 0.01(u− 20w),
λ〈ux, ux〉 − 0.039842 + 〈w, ux〉 = 0,
u(x, 0) =x+ a
2ae w(x, 0) =
x+ a
40apara − a ≤ x ≤ a,
u(−a, t) = 0, u(a, t) = 0.9260, w(−a, t) = 0 w(a, t) = 0.0463 para t > 0,
(6.1)
e tomando a = 40, obtemos a velocidade de propagação
Figura 6.1: Velocidade de propagação λ
Da mesma forma, vemos que as soluções u e w convergem para o perl de onda viajante
RESULTADOS NUMÉRICOS 75
Figura 6.2: Solução u(x, t)
Figura 6.3: Solução w(x, t)
76 RESULTADOS NUMÉRICOS
Referências Bibliográcas
Arrieta et al. (2011) Jose M Arrieta, Maria Lopez-Fernandez e Enrique Zuazua. Approximatingtravelling waves by equilibria of non local equations. arXiv preprint arXiv:1101.3454. Citado na
pág. 37, 41
Bates e Jones (1989) Peter W Bates e Christopher KRT Jones. Invariant manifolds for semilinearpartial dierential equations. Em Dynamics reported, páginas 138. Springer. Citado na pág. 13, 14,15, 16
Beyn e Lorenz (1999)Wolf-Jürgen Beyn e Jens Lorenz. Stability of traveling waves: dichotomiesand eigenvalue conditions on nite intervals. Numerical Functional Analysis and Optimization,20(3-4):201244. Citado na pág. 50
Beyn e Rottmann-Matthes (2007) Wolf-Jürgen Beyn e Jens Rottmann-Matthes. Resolventestimates for boundary value problems on large intervals via the theory of discrete approximations.Numerical functional analysis and optimization, 28(5-6):603629. Citado na pág. 68
Beyn et al. (2014) Wolf-Jürgen Beyn, Denny Otten e Jens Rottmann-Matthes. Stability andcomputation of dynamic patterns in pdes. Em Current challenges in stability issues for numerical
dierential equations, páginas 89172. Springer. Citado na pág. 37
Brezis (2010) Haim Brezis. Functional analysis, Sobolev spaces and partial dierential equations.Springer Science & Business Media. Citado na pág. 14
Budincevic (2010) Mirko Budincevic. A comparison theorem of dierential equations. Novi SadJ. Math, 40(1):5556. Citado na pág. 7
Coddington e Levinson (1955) Earl A Coddington e Norman Levinson. Theory of ordinary
dierential equations. Tata McGraw-Hill Education. Citado na pág. 19
Evans (1972) John W Evans. Nerve axon equations. i. linear approximations. Indiana Univ.
Math. J, 21(9):877885. Citado na pág. 13, 15
Evans (1975) John W Evans. Nerve axon equations. iv. the stable and unstable impulse. IndianaUniv. Math. J, 24(1169-1190):123124. Citado na pág. 3, 22
Fife e McLeod (1977) Paul C Fife e J Bryce McLeod. The approach of solutions of nonlineardiusion equations to travelling front solutions. Archive for Rational Mechanics and Analysis, 65(4):335361. Citado na pág. 5, 33
FitzHugh (1961) Richard FitzHugh. Impulses and physiological states in theoretical models ofnerve membrane. Biophysical journal, 1(6):445. Citado na pág. 1
Friedman (2013) Avner Friedman. Partial dierential equations of parabolic type. Courier Cor-poration. Citado na pág. 33
Gao e Wang (2004) Wenliang Gao e Jinghua Wang. Existence of wavefronts and impulses totzhughnagumo equations. Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications, 57(5):667676.Citado na pág. 10, 73
77
78 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Ghazaryan et al. (2011) Anna Ghazaryan, Yuri Latushkin e Stephen Schecter. Stability oftraveling waves for degenerate systems of reaction diusion equations. Indiana Univ. Math. J,60(2):443472. Citado na pág. 15
Gohberg et al. (2012) Israel Gohberg, Seymour Goldberg e Marinus Kaashoek. Basic classes of
linear operators. Birkhäuser. Citado na pág. 66
Hale (1980) Jack K. Hale. Ordinary Dierential Equations. Robert E. Krieger Publishing Co.Citado na pág. 16
Henry (1981) Daniel Henry. Geometric theory of semilinear parabolic equations. Lecture Notes
in Math, 840. Citado na pág. 3, 5, 15, 16, 20, 71
Hodgkin e Huxley (1952) Alan L Hodgkin e Andrew F Huxley. A quantitative description ofmembrane current and its application to conduction and excitation in nerve. The Journal of
physiology, 117(4):500. Citado na pág. 1
Jones (1984) Christopher KRT Jones. Stability of the travelling wave solution of the tzhugh-nagumo system. Transactions of the American Mathematical Society, 286(2):431469. Citado na
pág. 2, 3, 21
Jones (1995) Christopher KRT Jones. Geometric singular perturbation theory. Em Dynamical
systems, páginas 44118. Springer. Citado na pág. 12
Kapitula e Promislow (2013) Todd Kapitula e Keith Promislow. Spectral and dynamical stability
of nonlinear waves. Springer. Citado na pág. 21
Klaasen e Troy (1981) Gene A Klaasen e William C Troy. The stability of traveling wave frontsolutions of a reaction-diusion system. SIAM Journal on Applied Mathematics, 41(1):145167.Citado na pág. 30
Nagumo et al. (1962) Jinichi Nagumo, Suguru Arimoto e Shuji Yoshizawa. An active pulsetransmission line simulating nerve axon. Proceedings of the IRE, 50(10):20612070. Citado na pág.
1
Oliveira (1992) Luiz A. F. de Oliveira. Existence of travelling waves in the tzhugh-nagumoequation. Dynamic Systems and Applications, 1:8392. Citado na pág. 2
Pao (2012) Chia-Ven Pao. Nonlinear parabolic and elliptic equations. Springer Science & BusinessMedia. Citado na pág. 39
Pazy (2012) Amnon Pazy. Semigroups of linear operators and applications to partial dierential
equations, volume 44. Springer Science & Business Media. Citado na pág. 14
Pego (1985) Robert L Pego. Compactness in l2 and the fourier transform. Proceedings of the
American Mathematical Society, 95(2):252254. Citado na pág. 16
Protter e Weinberger (2012) Murray H Protter e Hans F Weinberger. Maximum principles in
dierential equations. Springer Science & Business Media. Citado na pág. 59
Rauch (1976) Jerey Rauch. Global existence for the tzhughnagumo equations. Communica-
tions in Partial Dierential Equations, 1(6):609621. Citado na pág. 14, 39
Rauch e Smoller (1978) Jerey Rauch e Joel Smoller. Qualitative theory of the tzhugh-nagumoequations. Advances in Mathematics, 27:1244. Citado na pág. 13, 39, 41
Rothe (1984) Franz Rothe. Global solutions of reaction-diusion systems. Citado na pág. 14, 39
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 79
Rottmann-Matthes (2005) Jens Rottmann-Matthes. Spectral properties of mixed hyperbolic-parabolic systems. Diplomathesis, Universität Bielefeld, Bielefeld. Citado na pág. 50, 51, 52, 53,54
Sandstede (2002) Björn Sandstede. Stability of travelling waves. Handbook of dynamical systems,2:9831055. Citado na pág. 21
Smoller (1983) Joel Smoller. Shock waves and reactiondiusion equations, volume 258. SpringerScience & Business Media. Citado na pág. 13
Sotomayor (1979) Jorge Sotomayor. Licões de equacões diferenciais ordinárias, volume 11. Ins-tituto de Matemática Pura e Aplicada, CNPq. Citado na pág. 50
Szmolyan (1991) Peter Szmolyan. Transversal heteroclinic and homoclinic orbits in singularperturbation problems. Journal of dierential equations, 92(2):252281. Citado na pág. 2, 12
Tuma (1987) E Tuma. Comparison principles for strongly coupled reaction-diusion equations.Proceedings of the Royal Society of Edinburgh: Section A Mathematics, 106(3-4):209219. Citado
na pág. 30
Tuma e Blázquez (1992) E Tuma e CM Blázquez. The stability of solutions in an initial-boundaryreaction-diusion system. Bulletin of the Australian Mathematical Society, 46(03):441448. Citadona pág. 30
Vainikko (1979) Gennadii M Vainikko. Regular convergence of operators and the approximatesolution of equations. Itogi Nauki i Tekhniki. Seriya"Matematicheskii Analiz", 16:553. Citado na
pág. 66
Yanagida (1989) E Yanagida. Stability of travelling front solutions of the tzhugh-nagumo equa-tions. Mathematical and Computer Modelling, 12(3):289301. Citado na pág. 3, 12, 15, 21, 22
Yanagida (1985) Eiji Yanagida. Stability of fast travelling pulse solutions of the tzhughnagumoequations. Journal of Mathematical Biology, 22(1):81104. Citado na pág. 2, 21