Filtri di Alimentazione
giovedì 26 febbraio 2009 Corso di Elettronica 1
Appendice al modulo relativo al Diodo
premessa
Esaminando il diodo a semiconduttore sono stati
studiati i circuiti raddrizzatori a singola e a
doppia semionda osservando che, con
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doppia semionda osservando che, con
l’introduzione del filtro capacitivo, si ottiene un
notevole livellamento della ondulazione residua.
In questa appendice di vogliono approfondire le
problematiche di filtraggio degli alimentatori non
stabilizzati
Di cosa si parlerà
Il picco di corrente nel raddrizzatore
Il filtro induttivo
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Il filtro induttivo
Il filtro induttivo - capacitivo
Il picco di corrente (1)
Vs
D
CRL I
Vm
Riconsideriamo il raddrizzatore asingola semionda con filtrocapacitivo. Come è noto lacorrente che fluisce nel diodo nonè costante, infatti il carico è
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Vogliamo esaminare proprio questo picco di ricarica che condiziona la scelta del raddrizzatore.
è costante, infatti il carico èalimentato dal condensatoredurante l’interdizione del diodo,mentre il diodo è percorso da unforte picco di corrente nella fasedi ricarica di C.
Il picco di corrente (2)
VM-∆∆∆∆V
VM
Vm
∆∆∆∆V~T
L’ondulazione residua: èevidenziato il tempo di ricarica∆t e il periodo di scarica T.
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∆∆∆∆t
~T
∆∆∆∆t
IDmax
Il picco di corrente: èevidenziato il forte picco dicorrente IDmax nel tempo ∆t .
Il picco di corrente (3)
Dovendo essere la carica persa dal condensatore pari a quella acquisita si ha:
t
TIITItI DD
∆=⋅=∆ maxmax quindi e
Il punto di minimo del ripple si può calcolare approssimando la curva di
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Il punto di minimo del ripple si può calcolare approssimando la curva diricarica della tensione ad un arco di cosinusoide VMcos(ωt). Quindi:
2
)(
2
)(
2
)(11)cos(
222t
Vt
Vt
VtVVV mMMMM
∆≅
∆=
∆−−≅∆−=∆
ωωωω
Dove si è sfruttato un conveniente sviluppo di Taylor per il coseno,considerando che la quantità ∆t è molto piccola rispetto al periodo T.
Il picco di corrente (4)
Ricordando che Vm=RLI e che pulsazione e periodo sono collegati si ha:
22
2
∆=∆ t
T
IRV L π
Ma è noto cheI
V =∆ allora eguagliando le due espressioni di ∆V:
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Ma è noto chefC
IV =∆
e quindi
allora eguagliando le due espressioni di ∆V:
CfRT
t
T
tIR
fC
I
L
L
2
1 ricava si cui da 4
2
22
ππ =
∆
∆=
CfRIt
TII LD 2max π=
∆=
Il picco di corrente (5)
Nel modulo sul diodo (applicazioni – filtro capacitivo) si era studiato il seguentealimentatore:
1
2
4
DT1..
220Veff Vs Vm
Dove Vm=12V per I=1A,quindi RL=12Ω. Per unripple desiderato r=10% si
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3RC
ripple desiderato r=10% siera calcolato uncondensatore C=2400µµµµF.
Vediamo quanto sarà il picco di corrente nei diodi, tenendo presente che il raddrizzatore è un doppia semionda e quindi f=100Hz:
ACfRII LD 54,710010240012212 6max ≅⋅⋅⋅⋅⋅== −ππ
Il filtro induttivo (1)
L’utilizzazione del filtro capacitivo può presentare qualcheproblema in ordine alle variazioni del carico e della corrente dipicco nel raddrizzatore.
Essendor
1=
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CfRr
L
capacitivo32
=
appare evidente che una diminuzione dell’impedenza dicarico produca una incremento del ripple.
Inoltre se si eccede con il valore della capacità si rischia, comenoto, che il raddrizzatore debba sostenere correnti eccessive.
Una soluzione è ricorrere ad un filtro induttivo.
Il filtro induttivo (2)
Ecco l’alimentatore con filtroinduttivo. Dopo il raddrizzatore èpresente la classica tensionepulsante VS unipolare a frequenzaf=100Hz.
E1
2
4
3
D
L
RL
VS
IL
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Come è noto tale VS presenterà unvalore medio:
πmax2 S
Sm
VV =
Osservazione n°1: se L→→→→0 allora tutta laVS sarebbe su RL inalterata e si avrebbe sulcarico una corrente media:
L
S
L
SmLm
R
V
R
VI
πmax2
==
Il filtro induttivo (3)
E1
2
4
3
D
L
RL
VS
IL
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Osservazione n°2: se L→∞→∞→∞→∞ allora sul carico circolerebbe la solacomponente continua di VS, visto che L si opporrebbe a qualunque variazionedi corrente.
Osservazione n°3: per una valore di L finito è presumibile che sul carico cisia la componente continua di VS con sovrapposto un residuo di alternata.
Il filtro induttivo (4)
Sulla base delle precedenti osservazioni si proceda a sviluppare secondoFourier la tensione pulsante VS all’uscita del raddrizzatore:
++−−= ...)4cos(5
4)2cos(
3
42)( maxmaxmax t
Vt
VVtV SSS
S ωπ
ωππ
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È costituita dal solito valore medio più una serie di armoniche di frequenze chesono multipli pari di 2f, essendo f la frequenza di rete. Ora ricordando che lareattanza induttiva XL=ωωωωL, quindi cresce con la frequenza, è validal’approssimazione al primo contributo armonico:
)2cos(3
42)( maxmax t
VVtV SS
S ωππ
−≅Quindi anche la VL dovràavere una forma simile…
Il filtro induttivo (5)
VSMAX
Vm∆∆∆∆V
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Ecco come apparirà VL. Si osservi il suo valore medio Vm (componentecontinua) e l’ondulazione residua ∆∆∆∆V a frequenza 2f.
Ora si può procedere alla determinazione del ripple…
Il filtro induttivo (6)
Ricorrendo alla definizione di ripple si ha
m
eff
V
Vr
∆=
Ora per la determinazione di Vm sul carico non bisogna portare in conto gli
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Ora per la determinazione di Vm sul carico non bisogna portare in conto glieffetti reattivi dell’induttore poiché trattasi di una componente continua
πmax2 S
m
VV =
Discorso diverso per il ∆∆∆∆V, poiché esso è una ondulazione residua afrequenza 2f, quindi l’effetto reattivo dell’induttore è manifesto…
Il filtro induttivo (7)
Calcolo il picco di ∆∆∆∆V come:
22
max
)2(3
4
LR
RVV
L
LSP
ωπ +
=∆
Considerando, ovviamente, la componente a frequenza 2f che è l’origine della
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Considerando, ovviamente, la componente a frequenza 2f che è l’origine dellaondulazione. Chiaramente tale componente va scalata con il partitoreohmmico – induttivo. Quindi ho
22
max
)2(23
4
2 LR
RVVV
L
LSPeff
ωπ +=
∆=∆
Sostituendo il tutto …
Il filtro induttivo (8)
si ha:
22max
22
max
)2(3
2
2)2(23
4
LR
R
VLR
RVr
L
L
SL
LS
ω
π
ωπ +=⋅
+=
Tenendo presente che certamente RL<<2ωL si giunge all’espressione finale:
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Tenendo presente che certamente RL<<2ωL si giunge all’espressione finale:
L
Rr L
ω23≅
Al diminuire del carico oradiminuisce il ripple,succede il contrario delfiltro capacitivo!
Il filtro induttivo va bene per grossi carichi (grandi assorbimenti), inoltrenon ci sono più picchi di corrente perché i diodi conducono sempre!
Filtro induttivo – capacitivo (1)
Si è osservato che il filtro capacitivo ha un ripple crescente con la
corrente assorbita dal carico, mentre il filtro induttivo ha un
comportamento esattamente opposto.
Appare quindi evidente cercare una soluzione induttivo – capacitiva che
dovrebbe portare ad una sostanziale indipendenza di r da RL.
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E1
2
4
3
D
L
RLCVS
Varranno le seguenti ipotesi
alla frequenza di rete
f=50Hz.
1. XL>>XC||RL
2. XC<<RL
Filtro induttivo – capacitivo (2)
Si avrà, quindi, un residuo di alternata come accadeva nel filtro induttivo,
solo che ora tale residuo (opposto sostanzialmente da XL) si chiuderà
solo su XC e non su RL.
Quindi, per l’analisi della componente alternata, si ha:
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LLCLeq XXXRZ ≅+=⇒ //
e dove
)2cos(3
42)( maxmax t
VVtV SS
S ωππ
−≅ come al solito.
Filtro induttivo – capacitivo (3)
Posso quindi calcolare il picco di corrente del residuo di alternataconsiderando la sola seconda armonica (in base al circuito equivalente di
prima) come:
S
S
V
V
Iπ 43
4
max
max
≅
=
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e visto che tale componente si chiude solo su XC si ha:
L
S
eqX
V
ZI
π
π
3
43 maxmax ≅=
L
CSCP
X
XVXIV
π3
4 maxmax ==∆
Filtro induttivo – capacitivo (4)
E quindi
e quindi il ripple:
LC
V
CL
V
X
XVVV SS
L
CSPeff 2
maxmaxmax
23)2)(2(23
4
23
4
2 πωωωππ===
∆=∆
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e quindi il ripple:
LCV
LC
V
V
Vr
S
S
m
eff
2max
2max
26
1223
ω
π
πω=
=∆
=
È evidente l’indipendenza del ripple dal carico!
Filtro induttivo – capacitivo (5)
Essendo poi tipicamente f=50Hz, si può usare la seguente espressionesemplificata:
LCLCLCr
6
22
102,1
)502(26
1
26
1 −⋅≅==
πω
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LCLCLC )502(2626 πω
Ad esempio con L=20H e C=10µF si otterrebbe un ripple costantedell’1%.
Però non bisogna dimenticare che gli induttori possono essere ingombrantie pesanti; inoltre presentano una resistenza interna e ciò comporta unacaduta di tensione proporzionale alla corrente media con conseguenteriduzione della VL.
Filtro induttivo – capacitivo (6)
Altro problema è poi l’effetto della corrente di seconda armonica. Essanon deve mai superare, in ampiezza, il valore medio della corrente sulcarico. Se ciò si verificasse, durante la semionda negativa della secondaarmonica, si avrebbe l’interruzione della conduzione dei diodi!
Essendo
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Essendo
L
Sm
Sa
R
VI
L
VI
πωπmaxmax)2( 2
e )2(3
4==
dovrà essere
L
LL
SSm
aRL
RLR
V
L
VII >⇒<⇒<⇒< ω
ωπωπ3
1
3
12
)2(3
4 maxmax)2(
Filtro induttivo – capacitivo (7)
In definitiva:
ω3L
critica
RLL =>
RR
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Nel caso comune di f=50Hz si ha:10005023
LLcritica
RRL ≅
⋅⋅=
πIn conclusione, per il progetto del filtro LC a 50Hz, valgono leespressioni:
1000 e
102,1 6LR
LLC
r >⋅
=−