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Sumrio
1 Mensagens Secretas Obtidas por Substituio
Introduo ao Estudo de Permutaes 1
1.1 Criptografia de Jlio Csar . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Construo de Aparatos que Ajudam a Criptografar . 4
1.3 Princpios de Contagem em Criptografia . . . . . . . . 151.4 Quantas Maneiras Diferentes de Criptografar Podemos
Construir? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5 Como Quebrar o Cdigo de Jlio Csar . . . . . . . . 21
2 A Escrita Braille e o Cdigo Binrio
Introduo ao Estudo de Combinaes 30
2.1 Explorando Conceitos Matemticos com a Linguagem
Braille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.2 Combinaes Matemticas . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.3 As Combinaes e a Linguagem Braille . . . . . . . . . 51
2.4 Matemticos com Problemas Visuais . . . . . . . . . . 54
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ii SUMRIO
2.5 O Sistema Binrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
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Captulo 1
Mensagens Secretas Obtidas
por Substituio
Introduo ao Estudo de
Permutaes
Enviar mensagens secretas uma tarefa muito antiga; ela nasceu
com a diplomacia e com as transaes militares. Hoje em dia, entre-
tanto, com o advento da comunicao eletrnica, muitas atividades
essenciais dependem do sigilo na troca de mensagens, principalmente
aquelas que envolvem transaes financeiras e uso seguro da Internet.
A cincia que estuda sistemas de envio e recepo de mensagens
secretas chama-se CRIPTOLOGIA. Simplificadamente, temos o se-
guinte diagrama:
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2 CAP.1: MENSAGENS SECRETAS OBTIDAS POR SUBSTITUIO
MensagemMensagemMensagemMensagem
original secretasecretasecretaenviada recuperada
Codificao Decifrao
Espionagem
Nosso objetivo apresentar atividades com criptografia atravs de
aparatos que possam efetivamente ser construdos com materiais sim-
ples (papel, palito de dente, clipe, furador de papel, cola e tesoura)
para explorar alguns aspectos matemticos destas construes, prin-
cipalmente os ligados contagem.
1.1 Criptografia de Jlio Csar
Um dos primeiros sistemas de criptografia conhecido foi elaborado
pelo general Jlio Csar, no Imprio Romano. Jlio Csar substituiu
cada letra, pela terceira letra que a segue no alfabeto.
A B C D E F G H I J K L M N O P
D E F G H I J K L M N O P Q R S
Q R S T U V W X Y Z
T U V W X Y Z A B C
Segundo este sistema, a palavra MATEMTICA passa a ser
PDWHPDWLFD.
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SEC.1.2: CONSTRUO DE APARATOS QUE AJUDAM A CRIPTOGRAFAR 3
Atividade 1: Decifre a mensagem:
OHJDO FRQVHJXL
Ao invs de caminhar 3 letras para frente, podemos andar um
outro nmero de letras e teremos um novo mtodo de cifrar men-
sagens. Este nmero chamado de chave ou senha do sistema crip-
togrfico; ele deve ser conhecido apenas por que envia a mensagem epor quem a recebe.
Podemos tambm transformar letras em nmeros, segundo uma
ordem pr-estabelecida. Por exemplo:
A=0 B=1 C=2 D=3 E=4 F=5 G=6 H=7
I=8 J=9 K=10 L=11 M=12 N=13 O=14 P=15
Q=16 R=17 S=18 T=19 U=20 V=21 W=22 X=23
Y=24 Z=25
Deste modo, a letra codificada obtida da letra original, somando-
se 3 ao nmero correspondente. E se o resultado ultrapassar 25? Caso
isto ocorra, a letra codificada estar associada ao resto da diviso por
26 do nmero associado letra original somado com 3. Por exemplo,
a letra Y corresponde originalmente ao nmero 24, somando-se 3,
obteremos 24 + 3 = 27 e, dividindo 27 por 26, obteremos resto 1 que
corresponde letra B. Assim Y deve ser codificado por B.
Se um espio conhecer a chave (o nmero de letras que andamos
- no nosso exemplo igual a 3), poder facilmente decifrar uma men-sagem interceptada, trocando cada letra pela terceira anterior. Mas,
no se conhecendo a chave, como decifrar mensagens criptografadas?
Pense um pouco a respeito disso.
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4 CAP.1: MENSAGENS SECRETAS OBTIDAS POR SUBSTITUIO
1.2 Construo de Aparatos que Ajudam a Crip-
tografar
Vamos apresentar cinco aparatos simples para agilizar a crip-
tografia no estilo de Jlio Csar:
as rguas deslizantes, o quadrado de Vigenre1,
os crculos giratrios e
dois projetos: a lata de criptografar e o CD para criptografar.
Como veremos, so todos variaes simples de um mesmo tema.
Atividade 2: Recorte e monte as rguas deslizantes, con-
forme as instrues na pgina seguinte.
1Blaise Vigenre foi um diplomata francs, estudioso de Criptografia, que viveu
no sculo XVI.
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26 25 24 23 21 2022 18 1619 17 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1A
B C D E F G
H
I J K L
M N O
PQ R S
TU V W
XYZA
B C D
E F G H I J K
LM N O
PQ R S
TU V W
XYZ
Recorte estepequeno retngulo
Instrues da Rgua
Recorte os dois retngulos com as letras. Corte na linhapontilhada e encaixe a Segunda fita no corte pontilhadoda primeira. Veja como ficaro encaixadas:
Deslize a rgua interna para codificar, letra a letra, asmensagens.
Como se deve proceder para decodificar uma mensagemcriptografada?
Aviso: Esta pgina est no encarte que veio junto com a apostila.
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SEC.1.2: CONSTRUO DE APARATOS QUE AJUDAM A CRIPTOGRAFAR 7
As diferentes posies que a rgua deslizante ocupa quando movi-
mentada podem ser simultaneamente visualizadas no quadrado de
Vigenre:
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A
C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B
D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C
E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D
F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E
G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F
H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G
I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H
J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I
K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J
L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K
M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L
N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M
O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N
P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O
Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O PR S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q
S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R
T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S
U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T
V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U
W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V
X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W
Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X
Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y
Atividade 3: Utilizando a rgua deslizante ou o
quadrado de Vigenre, decifre a mensagem:
UHV JVUZLNBP KLJPMYHY UHKH
Leia em voz alta o que voc decifrou.
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8 CAP.1: MENSAGENS SECRETAS OBTIDAS POR SUBSTITUIO
Atividade 4: Recorte e monte os discos giratrios, con-
forme as instrues da prxima pgina. Nos espaos
vazios complete cada um deles com uma letra diferente
sua escolha para que voc tenha sua maneira de crip-
tografar.
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SEC.1.2: CONSTRUO DE APARATOS QUE AJUDAM A CRIPTOGRAFAR 9
1 23
4
5
6
7
8
9
10
11
1213141516
17
18
19
20
21
22
23
24
25 26
A B C D E F
G H I J K L
M N O P Q R
S T U V W X
Y Z
Recorte as letras do alfa-
beto abaixo, embaralhe-as
e cole-as uma a uma nos
espaos vazios do crculo
maior.
A B CD
E
F
G
H
I
J
KL
MNOPQ
R
S
T
U
V
W
XY
Z
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SEC.1.2: CONSTRUO DE APARATOS QUE AJUDAM A CRIPTOGRAFAR 11
Atividade 5:
Projetos prticos de criptografia
Lata de criptografar
CD para criptografar
Para confeccionar este aparato voc vai precisar de um CD que
no tenha mais uso e tambm de sua caixinha.
Reproduza e recorte o crculo e cole-o no CD. O CD deve ser
encaixado dentro da caixinha.
O quadrado com o furo no meio deve ser colocado na capa do CD.Para fazer a mquina funcionar voc deve recortar na parte detrs
da caixinha dois pequenos retngulos, suficientes para introduzir os
dedos e girar o CD.
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12 CAP.1: MENSAGENS SECRETAS OBTIDAS POR SUBSTITUIO
Faa entalhes nestes
locais que permitam
colocar os dedos e girar
o CD.
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SEC.1.2: CONSTRUO DE APARATOS QUE AJUDAM A CRIPTOGRAFAR 13
Crculo para Criptografia
A B CD
E
F
G
H
I
J
KL
MNOPQ
R
S
T
U
V
W
XY
Z
Recorte
este crculo e cole
em um CD que j foi
descartado. Encaixe
o CD na posiousual dentro da
caixinha.
A BC
D
E
F
G
H
I
J
K
LMNOP
Q
R
S
T
U
V
W
XY
Z
Recorte este
crculo central e
obtenha um quadrado
com furo no meio. Este
deve ser colocado na capa
do CD. Atravs deste
furo pode-se ver o
CD girar.
Aviso: Use um CD
usado como molde
em uma folha de pa-
pel e copie a figura
ajustando o tamanho
para ser igual ao do
CD.
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SEC.1.3: PRINCPIOS DE CONTAGEM EM CRIPTOGRAFIA 15
Atividade 6: Resolva a seguinte questo (OBMEP 2007)
1.3 Princpios de Contagem em Criptografia
Nos sistemas que seguem o princpio do de Jlio Csar, podemos
usar 25 chaves diferentes para obter codificaes diferentes, j que
o sistema com chave 0 (ou 26), no codifica nada. Nestes sistemas
o alfabeto codificado seguindo a ordem usual, apenas iniciando em
um lugar diferente. Se, entretanto, pudermos alterar a ordem, obtere-
mos um enorme nmero de maneiras de criptografar. Vejamos alguns
exemplos:
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16 CAP.1: MENSAGENS SECRETAS OBTIDAS POR SUBSTITUIO
a) Alfabeto quebrado ao meio:
A B C D E F G H I J K L M N O
N O P Q R S T U V W X Y Z A B
P Q R S T U V W X Y Z
C D E F G H I J K L M
b) Troca de dois vizinhos:
A B C D E F G H I J K L M N O
B A D C F E H G J I L K N M P
P Q R S T U V W X Y Z
O R Q T S V U X W Z Y
Observe que nenhuma letra ficou no seu lugar original. Neste
caso, dizemos que houve um desordenamento.
c) Usando a sequncia que aparece no teclado do computador:
A B C D E F G H I J K L M N O
Q W E R T Y U I O P A S D F G
P Q R S T U V W X Y ZH J K L Z X C V B N M
Aqui tambm houve desordenamento.
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SEC.1.4: QUANTAS MANEIRAS DIFERENTES DE CRIPTOGRAFAR PODEMOSCONSTRUIR? 17
Atividade 7: Usando o cdigo:
A B C D E F G H I J K L
Z Y X W V U T S R Q P O
M N O P Q R S T U V W
N M L K J I H G F E D
X Y Z
C B A
Decifre a mensagem:
Z TIZNZ V ZNZITZ
Leia de trs para frente a mensagem decifrada.
1.4 Quantas Maneiras Diferentes de Criptogra-
far Podemos Construir?
Digamos que no planeta Plunct os alfabetos fossem formados por
apenas trs smbolos: , , e . Poderamos criptografar mensagens
de seis maneiras diferentes:
A primeira dessas maneiras a trivial e no serve para codificar
nada. Sem listar as mensagens, poderamos concluir que existem seis
maneiras diferentes de permutar as letras deste alfabeto? claro que
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18 CAP.1: MENSAGENS SECRETAS OBTIDAS POR SUBSTITUIO
sim: para a primeira letra existem 3 possibilidades de codificao,
para a segunda apenas duas e para a terceira resta somente uma
possibilidade. Pelo Princpio Multiplicativo da Contagem, so
3 2 1 = 6 Se uma deciso puder ser tomada de maneirasdiferentes e se, uma vez tomada esta primeira deciso,
outra deciso puder ser tomada de maneiras diferentes,
e nt o, no to ta l s er o tomadas deci s es .
m
n
m n
O Princpio Multiplicativo da Contagem:
as possibilidades. H uma notao muito til para se trabalhar como
produtos do tipo acima, camada fatorial. Por exemplo, o fatorial de
3 3! = 3 2 1. No caso geral, para um inteiro positivo n, define-se
n! = n (n 1) (n 2) . . . 3 2 1 e, por conveno, 0! = 1.
Observe que dentre estas, so trs as possibilidades que mantm
a ordem usual (1 2 3 1) inalterada:
Quantos desordenamentos h neste caso? Apenas dois:
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SEC.1.4: QUANTAS MANEIRAS DIFERENTES DE CRIPTOGRAFAR PODEMOSCONSTRUIR? 19
No planeta Plact (talvez mais evoludo que Plunct) so quatro as
letras empregadas: , , e . H, neste caso, 4 3 2 1 = 4! = 24
maneiras diferentes de permutar as letras. Dentre estas, apenas 4
respeitam a ordem usual . Quais so elas?
H 9 desordenamentos:
O que ocorre se usarmos as 26 letras de nosso alfabeto? Podemos
inferir algo?
Existem 26! maneiras diferentes de criptografar, isto d
403 291 461 126 605 635 584 000 000
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SEC.1.5: COMO QUEBRAR O CDIGO DE JLIO CSAR 21
1.5 Como Quebrar o Cdigo de Jlio Csar
Mapas de tesouros
Vamos ilustrar a teoria da decifrao com
um trecho de um conto do escritor EdgarAllan Poe, intitulado O Escaravelho de
ouro2.
O personagem principal deste conto, em
uma certa altura da obra, encontra um
velho pergaminho que acredita ser um
mapa de um tesouro, com os seguintes di-
zeres:
(53+305) )6*; 4826) 4.)4);806*;48+8
60))85;1(;:*8+83(88)5*+;46(;88*96*?;8)*(;485);5*+2:*(;4956* 2
(5*-4)88* ; 4069285);)6+8)4;1(9;48081 ; 8:81;48+85;4) 485 +
528806* 81(9;48; (88;4 ( ? 34;48) 4 ; 161 ; : 188; ?;
No conto, aps uma anlise baseada na freqncia das letras do al-
fabeto ingls feita pelo protagonista, a mensagem toma a seguinte
forma:A good glass in the bishops hostel in the devils seat forty-
one degrees and thirteen minutes north-east and by north main
branch seventh limb east side shoot from the left eye of the
deaths-head a bee line form the tree through the shot fifty feet
out.
2Este conto faz parte do livro Histria de Mistrio e Imaginao de Edgar
Allan Poe, Editorial Verbo, no. 15, Lisboa.
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22 CAP.1: MENSAGENS SECRETAS OBTIDAS POR SUBSTITUIO
Como isto foi obtido? A letra que aparece com mais frequncia
na lngua inglesa a letra e; muitas vezes ela aparece dobrada ee. Na
mensagem secreta acima o smbolo 8 aparece 33 vezes, muito mais do
que as outras letras e portanto plausvel que 8 deva significar a letra
e. Substituindo 8 por e e tentando o mesmo esquema com outras
letras possvel decifrar a mensagem. Sua traduo para o portugus
:
Um bom vidro na hospedaria do bispo na cadeira do diabo
quarenta e um graus e treze minutos nordeste e quarta de norte
ramo principal stimo galho do lado leste a bala atravs do olho
esquerdo da cabea do morto uma linha de abelha da rvore
atravs da bala cinquenta ps para fora.
O conto ento revela, de uma maneira fantstica, como, a partir destas
informaes, o personagem principal encontra um tesouro h muito
tempo enterrado por um pirata que passou pelo lugar descrito na
mensagem.
O estudo da frequncia das letras do alfabeto constitui um mtodo
eficaz para se quebrar mensagens no estilo de Jlio Csar.
Frequncia aproximada das letras em portugus
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SEC.1.5: COMO QUEBRAR O CDIGO DE JLIO CSAR 23
A B C D E F G H I J K L
14,6 1,0 3,8 4,9 12,5 1,0 1,3 1,2 6,1 0,4 0,02 2,7
M N O P Q R S T U V W X
4,7 5,0 10,7 2,5 1,2 6,5 7,8 4,3 4,6 1,6 0,01 0,2
Y Z
0,01 0,4
Curiosidade: apesar da letra a aparecer em quase todos os textos
escritos em portugus, possvel encontrar textos em que esta letra
no aparece nunca ou quase nunca. Voc conseguiria escrever um
texto com 5 linhas sem usar nenhuma vez a letra a?
Como curiosidade, veja como aproximadamente se distribuem as
letras no espanhol e no ingls:
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24 CAP.1: MENSAGENS SECRETAS OBTIDAS POR SUBSTITUIO
Atividade 8: Usando as frequncias das letras em por-
tugus, decifre a mensagem abaixo e complete a tabela para
registrar as substituies encontradas.
Urtklm tr dqapuakcftr ltr iasqtr aj nmqsuouar
lacfdqa t jakrtoaj tetfxm a cmjniasa t steait ntqt
qaofrsqtq tr ruersfsufcmar akcmksqtltr.
Observe na tabela as ocorrncias:
Nmero de vezes Nmero de vezes
Letra que aparece Letra que aparece
na frase na frase
t 18 l 4
a 16 j 4
r 13 n 3
q 9 i 3
s 8 o 3
u 6 e 3
m 6 d 1
f 6 p 1
k 5 x 1
c 5
Como a frequncia de letras em portugus segue a ordem; A E O R SI N , muito provavelmente a letra t deve ser a codificao da letra
A, pois a mais frequente, assim como a deve ser a codificao da
letra E, que a segunda mais freqente, mas isto, por enquanto, s
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SEC.1.5: COMO QUEBRAR O CDIGO DE JLIO CSAR 25
uma especulao.
Se substituirmos t por A e a por E na mensagem criptografada,
chegaremos a
UrAklm Ar dqEpuEkcfAr lAr iEsqAr Ej nmqsuouEr
lEcfdqE A jEkrAoEj AeAfxm E cmjniEsE A sAeEiA nAqA
qEofrsqAq Ar ruersfsufcmEr EkcmksqAlAr.
Ser que j conseguimos descobrir o que est escrito? Vamos analisar
a terceira letra mais frequente; a letra r que aparece 13 vezes na frase.
Ela pode estar codificando as seguintes letras ou O ou R ou S.
Se r codificar O a mensagem fica:
UOAklm AO dqEpuEkcfAO lAO iEsqAO Ej nmqsu-
ouEO lEcfdqE A jEkOAoEj AeAfxm E cmjniEsE A sAeEiA
nAqA qEofOsqAq AO OueOsfsufcmEO EkcmksqAlAO.
Se r codificar R a mensagem fica:
URAklm AR dqEpuEkcfAR lAR iEsqAR Ej nmqsu-
ouER lEcfdqE A jEkRAoEj AeAfxm E cmjniEsE A sAeEiA
nAqA qEofRsqAq AR RueRsfsufcmER EkcmksqAlAR.
Se r codificar S a mensagem fica:
USAklm AS dqEpuEkcfAS lAS iEsqAS Ej nmqsuouES
lEcfdqE A jEkSAoEj AeAfxm E cmjniEsE A sAeEiA nAqA
qEofSsqAq AS SueSsfsufcmES EkcmksqAlAS.
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26 CAP.1: MENSAGENS SECRETAS OBTIDAS POR SUBSTITUIO
Das trs opes acima a mais provvel a terceira, pois muitas palavras
terminam em S.
A quarta letra a ser analisada a letra q. Provavelmente ela a
codificao da letra O ou da letra R.
Se for da letra O, a mensagem fica:
USAklm AS dOEpuEkcfAS lAS iEsOAS Ej nmOsu-
ouES lEcfdOE A jEkSAoEj AeAfxm E cmjniEsE A sAeEiA
nAOA OEofSsOAO AS SueSsfsufcmES EkcmksOAlAS.
(observe a palavra nAOA em negrito, ela corresponde a alguma palavra
em portugus?). melhor ficar com a segunda opo em que a letra
q corresponde letra R:
USAklm AS dREpuEkcfAS lAS iEsRAS Ej nmRsu-
ouES lEcfdRE A jEkSAoEj AeAfxm E cmjniEsE A sAeEiAnARA REofSsRAR AS SueSsfsufcmES EkcmksRAlAS.
A palavra Ej em negrito uma pista de que a letra j deve ser a
codificao da letra m. Se for, a mensagem se transforma em:
USAklm AS dREpuEkcfAS lAS iEsRAS EM nmRsu-
ouES lEcfdRE A MEkSAoEM AeAfxm E cmMniEsE A
sAeEiA nARA REofSsRAR AS SueSsfsufcmES Ekcmk-
sRAlAS.
A palavra MEkSAoEM deve ser a codificao de MENSAGEM. Logo
k corresponde letra N e o corresponde letra G. Fazendo essas
substituies:
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USANlm AS dREpuENcfAS lAS iEsRAS EM nmR-
suGuES lEcfdRE A MENSAGEM AeAfxm E cmMniEsE
A sAeEiA nARA REGfSsRAR AS SueSsfsufcmES ENcmN-
sRAlAS.
Podemos reconhecer as palavras em negrito: lEcfdRE deve ser DE-
CIFRE e REGfSsRAR deve ser REGISTRAR. Se assim for, l D, c C mesmo, f I, d F e s T. Fazendo estas substituies:
USANDm AS FREpuENCIAS DAS iETRAS EM nm-
RTuGuES DECIFRE A MENSAGEM AeAIxm E CmM-
niETE A TAeEiA nARA REGISTRAR AS SueSTITu-
ICmES ENCmNTRADAS.
possvel decifrar agora? Se voc no conseguir, volte e releia o
enunciado da atividade 8.
Se voc achou trabalhoso decifrar a mensagem da Atividade acima,
saiba que existem vrios softwares que fazem esta tarefa brincando.
Veja por exemplo os sites:
http://demonstrations.wolfram.com/CipherEncoder/
http://demonstrations.wolfram.com/LetterHighlightingInText/
Veja tambm a beleza do recurso criptogrfico utilizado na poesia
abaixo:
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28 CAP.1: MENSAGENS SECRETAS OBTIDAS POR SUBSTITUIO
PULSAR
Poesia Concreta de Augusto de Campos
Variaes
1) Uma maneira de encriptar mensagens consiste em escolher uma
palavra chave que deve ser mantida em segredo por quem as
envia e por quem as recebe. Esta palavra no deve ter letras
repetidas. Por exemplo, consideramos a palavra TECLADO.
Para fazer a troca de letras, podemos usar a seguinte corres-
pondncia:
A B C D E F G H I J K L M NT E C L A D O B F G H I J K
O P Q R S T U V W X Y Z
M N P Q R S U V W X Y Z
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Trata-se de um texto escrito em Braille, um mtodo de escrita
desenvolvido para que pessoas com deficincias visuais possam ler
pelo tato. Seu criador, Louis Braille, ficou cego aos trs anos de idade
devido a um ferimento no olho feito com um objeto pontiagudo que
seu pai usava para fabricar selas de animais; o ferimento infeccionou
e isto provocou tambm a perda da viso no outro olho, provocando
sua deficincia visual total.
O cdigo Braille baseado em um arranjo 3 2 de pontos, dis-
postos como nas pedras de um domin:
3 2
(Trs linhas e duas colunas)
Para registrar uma dada letra do alfabeto, alguns desses 6 pontos
so marcados ou perfurados, de modo a se tornarem sobressalentes,para que possam ser sentidos com as pontas dos dedos das mos.
Neste texto, quando um ponto estiver marcado, usaremos um cr-
culo negro e, quando no estiver, um crculo branco. Veja os exemplos:
Somente a primeira casa foi marcada: oponto que est na primeira linha e na
primeira coluna aparece em negro.
Letra
a
A letra k tem marcas pretas em dois pontos: o
ponto da primeira linha e da primeira coluna e
o ponto da terceira linha e primeira coluna.
Letra
k
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32 CAP.2: A ESCRITA BRAILLE E O CDIGO BINRIO
Atividade 1:
a) Quantos diferentes padres (disposies de pontos)
podemos formar usando o sistema 32 descrito acima?
b) Se quisermos codificar
todas as letras minsculas,
todas as letras maisculas,
os algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9,
os sinais de pontuao: . (ponto final), : (dois
pontos), ? (ponto de interrogao), ! (ponto de
exclamao) e , (vrgula),
os sinais de operaes matemticas: +, , e ,
os padres obtidos nas dimenses 32 sero sufi-cientes?
c) Quantos padres podemos formar se dispusermos pon-
tos arranjados em um quadrado 22? E em um retn-
gulo 14? Porque ser que eles no so usados?
Eis aqui a maneira usual de codificar em Braille as letras mins-
culas e os algarismos:
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34 CAP.2: A ESCRITA BRAILLE E O CDIGO BINRIO
Smbolo paranmero
Smbolorestituidorpara letra
Observe tambm que a mesma configurao de
pontos usada ora para denotar algumas letras,
ora para denotar os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6,
7, 8, 9 e 0. A fim de evitar confuso, para re-
presentar os nmeros, usa-se um smbolo inicial,
antecedendo as 10 primeiras letras do alfabeto.
Quando houver risco de confuso, para voltar no-vamente a usar o smbolo para significar letras,
devemos anteced-las com outro smbolo inicial,
indicando a restaurao, ou seja, indicando que
os smbolos que viro sero novamente letras.
Veja como so as representaes dos dez algarismos:
Letra aminscula
Smbolo
nmeropara
Smbolo
nmeropara
Letra bminscula
Smbolo
nmeropara
Smbolo
nmeropara
Smbolo
nmeropara
Smbolo
nmeropara
Smbolo
nmeropara
Smbolo
nmeropara
Smbolo
nmeropara
Smbolo
nmeropara
Letra cminscula
Letra dminscula
Este conjuntorepresentao nmero 1
Este conjuntorepresentao nmero 2
Este conjuntorepresentao nmero 2
Este conjuntorepresentao nmero 3
Este conjuntorepresenta
Este conjuntorepresentao nmero 4
Este conjuntorepresenta
Este conjuntorepresentao nmero 5
Este conjuntorepresenta
Letra eminscula
Este conjuntorepresenta
o nmero 6
Este conjuntorepresentao nmero 1
Letra fminscula
Letra gminscula
Este conjuntorepresenta
o nmero 7
Este conjuntorepresenta
o nmero 8
Letra hminscula
Este conjuntorepresenta
o nmero 9
Letra iminscula
Este conjuntorepresenta
o nmero 0
Letra jminscula
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Atividade 2:
a) Traduza para a linguagem usual
O que voc acha que significa?
b) Escreva em Braille a frase: Louis Braille (1809-1852)
nasceu na Frana. No se esquea de usar o smbolo
para maisculas e o smbolo que transforma letras em
nmeros. Voc j leu esta frase antes?
Voc deve ter notado na atividade anterior que apenas letras e
nmeros no so suficientes para escrever todas as frases que dese-
jamos. Na verdade existem muitos outros smbolos que so usados
em Braille; eles tambm variam de pas para pas. Veja alguns exem-
plos tpicos usados em portugus:
Todos os sinais grficos tm representao em Braille. Veja alguns:
, ; : . ? ! ( ) [ ] *
Veja tambm alguns smbolos usuais da Matemtica:
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a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 k
b 2 b 2 b 2 b 2 b 2 l
c 3 c 3 c 3 c 3 c 3 m
d 4 d 4 d 4 d 4 d 4 n
e 5 e 5 e 5 e 5 e 5 o
f 6 f 6 f 6 f 6 f 6 p
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+ + + + + maiscula
nmero maiscula
nmero nmero
nmero nmero
= = = = > nmero
> < < Sinal res-tituidor de
letra
Sinal res-
tituidor de
letra
nmero
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Tabela para consulta:
Letras e nmeros em Braille
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44 CAP.2: A ESCRITA BRAILLE E O CDIGO BINRIO
2.1 Explorando Conceitos Matemticos com a
Linguagem Braille
Existem 26 = 64 configuraes que podem ser obtidas no cdigo
de Braille usual 32. fcil descobrir que isto verdade, quando
aplicamos o Princpio Multiplicativo da Contagem: h duas possibili-dades para a primeira casa ou ela marcada ou no (ou pintamos
de preto ou de branco) - do mesmo modo h duas possibilidades para
cada uma das outras casas, o que resulta em
2 2 2 2 2 2 = 26 possibilidades.
Se uma deciso puder ser tomada de maneiras
diferentes e se, uma vez tomada esta primeira deciso,
outra deciso puder ser tomada de maneiras diferentes,ento, no total sero tomada s d ecis es .
m
n
m n
O Princpio Multiplicativo da Contagem:
Vale a pena explorar este exemplo com estratgias diferentes.
Mtodo 1: Focando na quantidade de pontos, indepen-
dentes de estarem pintados ou no:
Comeando com um s ponto, teremos s 2 possibilidades:
Com dois pontos h 4 possibilidades, pois h duas escolhas para
cada uma das configuraes j vistas acima (com um ponto apenas):
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SEC.2.1: EXPLORANDO CONCEITOS MATEMTICOS COM A LINGUAGEMBRAILLE 45
J com trs pontos h 8 possibilidades (duas para cada uma das
configuraes com dois pontos vistas acima):
Continuando assim, com quatro pontos teremos 16 configuraes
distintas, com cinco pontos 32 configuraes e, claro, com 6 pontos
chegaremos a 64 padres diferentes de pontos. Isto fcil de entender:
cada configurao em um estgio anterior produz duas novas confi-
guraes no estgio seguinte. Dentre as 64 possibilidades, temos dois
casos extremos: um em que nenhum dos pontos marcado e outro
em que todos os seis pontos so marcados:
Em Braille, por
motivos bvios,
esta
configurao
no usada.
Na linguagem Braille, esta
configurao tem a funo de
referencial de posio, para
auxiliar a indicar sinais grficos
tais como a crase ou o trema.
usada para indicar a letra.
Mtodo 2: Focando na quantidade pintada de pontos:
Com nenhum ponto marcado temos apenas uma configurao:
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46 CAP.2: A ESCRITA BRAILLE E O CDIGO BINRIO
Com apenas um ponto marcado, temos 6 possibilidades:
As configuraes com dois pontos marcados totalizam 15. Veja:
Todas estas conf iguraes tm ponto
preto na casa com a seta, s est fal-
tando uma que j foi contada, pois ela a
primeira configurao do grupo anterior.
Todas estas tm a primeira
casa marcada em preto (veja
a seta
Todas estas tm ponto preto na
casa com a seta, mas esto faltando
duas que j foram contadas anterior-mente.
Todas estas tm ponto preto
na casa com a seta, esto fal-
tando trs que j foram conta-
das anteriormente.
Resta somente esta ltima
configurao que no apa-
receu em nenhum dos gru-
pos anteriores,
Deste modo, com dois pontos pretos h 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15possibilidades.
Com trs pontos marcados em negro, h 20 possibilidades. Veja:
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SEC.2.1: EXPLORANDO CONCEITOS MATEMTICOS COM A LINGUAGEMBRAILLE 47
Poderamos continuar agora exibindo todas as configuraes com
4 pontos negros (so 15 ao todo), todas com 5 pontos pretos (so 6
no total) e todas com 6 pontos negros (apenas 1), mas no faremos
isto porque h um belo argumento de simetria aqui:
Escolher 4 pontos para marcar com preto entre 6 pontos brancos
o mesmo que escolher 2 pontos para marcar de branco entre
6 negros!
De modo anlogo, o nmero de escolhas de 5 pontos para pint-
los de preto dentre 6 pontos brancos o mesmo nmero de
escolhas de 1 nico ponto para pintar de branco dentre 6 pontos
negros.
Simetricamente s h uma possibilidade em que todos os pon-
tos esto marcados e s h uma possibilidade em que todos os
pontos no esto marcados.
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48 CAP.2: A ESCRITA BRAILLE E O CDIGO BINRIO
Resumidamente, temos:
Nmero de pontos
negros
Nmero de possveis
configuraes
Total
S
M
E
T
R
I
I
A
0
1
1
1
2
3
4
5 6
6
6
15
15
20
64
Estes padres so encontrados nas combinaes, que passaremosa estudar.
2.2 Combinaes Matemticas
Existem situaes envolvendo contagens em que a ordem dos ele-
mentos importante e outras em que no. Para entender melhor este
fato, vamos comparar os dois exemplos abaixo:
Exemplo 2.1. De quantas maneiras diferentes podemos estacionar 3carros em 2 garagens?
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SEC.2.2: COMBINAES MATEMTICAS 49
Soluo:
A resposta muito simples, se pensarmosda seguinte maneira: existem 3 possibili-dades para preencher a primeira garagem,mas apenas duas para a estacionarmos nasegunda; pelo Princpio Multiplicativo, o
nmero total de maneira 3 2 = 6 possi-bilidades.Se A, B e C so os carros, essas 6maneiras so as seguintes: AB, BA, AC,CA, BC e CB.
Exemplo 2.2. Quantas saladas de frutas diferentes podemos fazer
usando duas das seguintes frutas: abacaxi, banana ou caqui?
Soluo:
Procedemos como antes: primeiro escolhemosumas das trs frutas (3 possibilidades), depois
a segunda e ltima fruta (2 possibilidades).Com isto teremos 3 2 = 6 possibilidades.Entretanto o nmero de saladas de frutas no 6 e sim 3. Porqu?
Se a, b e c so as frutas, essas 6 escolhas so as seguintes: ab, ba,
ac, ca, bc e cb; mas uma salada de frutas feita com abacaxi e banana
a mesma que uma feita com banana e abacaxi, ou seja ab = ba e
de modo semelhante, ac = ca e bc = cb. O que importante obser-
var aqui que quando duas frutas so permutadas, elas produzem
a mesma salada. Neste caso a ordem de escolha das frutas no importante e o nmero correto de saladas
3 2
2= 3.
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50 CAP.2: A ESCRITA BRAILLE E O CDIGO BINRIO
O nmero 2 no denominador corresponde permutao de duas fru-
tas. Ou seja, contamos tudo como se a ordem fosse importante e
dividimos o resultado pelo nmero de permutaes de 2 elementos.
Este ltimo exemplo o prottipo do que se chama em Matem-
tica de uma combinao simples. Observe bem o que fizemos:
Aplicamos o Princpio Multiplicativo para se obter todas as pos-
sibilidades, respeitando a ordem (3 2 = 6).
Dividimos o resultado obtido acima pelo nmero de permu-
taes da quantidade previamente combinada que d o tamanho
de cada escolha (como combinamos fazer saladas com apenas 2
frutas, dividimos por 2! = 2, obtendo (3 2)/2 = 3).
No caso geral, se tivermos n objetos distintos nossa disposio
e tivermos que escolher p objetos distintos dentre esses, obteremos
as combinaes simples de n elementos tomados p a p. claro que
p n.
O nmero total dessa combinaes denotado por Cpn e calculado
da seguinte maneira:
Cpn
=n (n 1) . . . (n (p 1))
p (p 1) (p 2) . . . 3 2 1
ou, em notao fatorial:
Cpn
=n!
p!(n p)!
(voc sabe justificar porque vale esta ltima frmula?).
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SEC.2.3: AS COMBINAES E A LINGUAGEM BRAILLE 51
No exemplo das saladas de frutas, n = 3, p = 2 e o nmero de
saladas de frutas C23
=3!
2!(3 2)!=
3 2!
2!1!= 3. Vejamos mais um
exemplo:
Exemplo 2.3. Quantos so os subconjuntos de {a,b,c,d,e} que pos-
suem exatamente trs elementos?
Soluo: A resposta C35
=5!
3!(5 3)!=
5 4 3!
3!2!= 10 pois a ordem
dos elementos listados em um conjunto no relevante. De fato os
subconjuntos so os seguintes: {a,b,c}, {a,b,d}, {a,b,e}, {a,c,d},
{a,c,e}, {a,d,e}, {b,c,d}, {b,c,e}, {b,d,e}, {c,d,e}.
2.3 As Combinaes e a Linguagem Braille
Podemos analisar agora todas as possibilidades da escrita Braille
em uma clula 3 2:
Neste caso, o nmero de pontos que podemos combinar entre si
n = 6.
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52 CAP.2: A ESCRITA BRAILLE E O CDIGO BINRIO
Nmero de pontos em preto Quantidade de combinaes distintas
p = 0 C06
=6!
0!(6 0)!= 1
p = 1 C16
=6!
1!(6 1)!= 6
p = 2 C26
=6!
2!(6 2)!= 15
p = 3 C3
6 =
6!
3!(6 3)! = 20
p = 4 C46
=6!
4!(6 4)!= 15
p = 5 C56
=6!
5!(6 1)!= 6
p = 6 C66
=6!
6!(6 6)!= 1
Podemos, a partir deste exemplo, inferir algumas concluses:
A simetria dos resultados acima sugere que Cpn = Cnp
n . De
fato,
Cpn
=n!
p!(n p)!=
n!
(n p)!(n (n p))!= Cnp
n.
C2n
igual soma dos n-1 primeiros nmeros naturais. De fato,
C2n
=n!
2!(n 2)!=
n.(n 1)
2= 1 + 2 + . . . + (n 1).
C0n
+ C1n
+ C2n
+ . . . + Cnn
= 2n.
Para ver porque isto vlido, observe que Cpn o nmero de subcon-
juntos com exatamente p elementos do conjunto {1, 2, . . . , n} e por-
tanto C0n
+ C1n
+ C2n
+ . . . + Cnn
o nmero total de subconjuntos de
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SEC.2.4: MATEMTICAS COM PROBLEMAS VISUAIS 53
{1, 2, . . . , n}. Devemos responder ento a seguinte pergunta: quantos
so os subconjuntos de {1, 2, . . . , n}?
Para determinar um desses subconjuntos, olhamos para o nmero
1 e perguntamos: ele est ou no no subconjunto? Existem apenas
duas respostas: sim ou no. Olhamos para o nmero 2 e repetimos a
pergunta: 2 est ou no no subconjunto em considerao? Mais uma
vez temos duas respostas e continuamos assim at o nmero n. No
total teremos que tomar n decises e, cada uma delas, admite apenas
duas possibilidades. Pelo Princpio Multiplicativo, existiro ento
2 2 . . . 2 = 2n decises,
e como cada deciso determina um e um s subconjunto, teremos que
o nmero total de subconjuntos de {1, 2, . . . , n} 2n.
Atividade 4:
a) Procedendo como na linguagem Braille, se ao invs de
uma clula 3 2, tivermos uma 3 4, como a da figura,
quantas configuraes diferentes teremos no total?
b) Em uma clula 3 4, quantas so as configuraes que
possuem exatamente 5 pontos marcados?
c) Em uma clula nm, quantas configuraes diferentes
podemos formar?
d) Em uma clula n m, quantas configuraes tm exa-
tamente p pontos marcados?
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2.4 Matemticos com Problemas Visuais
Eratstenes (nasceu em 276 a.C. e faleceu em
194 a.C.) foi o diretor da Biblioteca de Alexandria e
um homem de grande distino em muitos ramos do
conhecimento.Em Matemtica trabalhou com o problema da du-
plicao do volume do cubo, com nmeros primos o
crivo de Eratstenes at hoje empregado na Teoria dos Nmeros -
e, surpreendentemente, calculou com preciso o raio da Terra, com-
parando sombras em duas diferentes cidades do Egito. Ele tambm
calculou a distncia entre o Sol e a Lua, usando medies durante
eclipses e fez muitas descobertas em Geografia. Mesmo atuando em
tantos ramos do conhecimento seu apelido era Beta, pois em cada
rea especfica sempre havia um outro pensador cujo trabalho espe-cializado tinha mais volume ou profundidade que o de Eratstenes. Na
velhice se tornou deficiente visual e conta-se que morreu de inanio,
deixando voluntariamente de comer.
Leonhard Euler (1707-1783, l-se iler), foi
um grande matemtico do sculo XVIII, trabalhou
em quase todos os ramos da Matemtica: teo-
ria dos nmeros, equaes diferenciais, clculo das
variaes, fundamentos do Clculo e Topologia,
ramo da Geometria que foi fundador. Para Eu-ler estes campos de pesquisa estavam intimamente
conectados; seus trabalhos, to criativos eram, que chegam a beirar
a genialidade. Perdeu totalmente a viso de um olho em 1738, poca
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em que uma catarata comeou a se desenvolver no outro olho. Em
1771 uma operao mal sucedida da catarata deixou-o com deficincia
visual total. Apesar da cegueira, devido a sua notvel memria, mais
metade de seu volumoso trabalho foi realizado depois que se tornou
completamente deficiente visual.
Joseph Plateau (1801-1883, l-se plat)
era professor de uma escola secundria em Lige
(Frana); durante o perodo que lecionava elaborou
sua tese de doutorado sobre as impresses que a luz
exerce no olho. Em 1829, realizou um experimento
imprudente que consistia em olhar diretamente para
a luz do sol, por isto seus olhos ficaram irritados durante anos e sua
viso ficou restrita. Em 1841 sofreu uma infeco nos olhos e, em dois
anos, perdeu completamente sua viso. Antes disto, porm, realizou
experimentos para estudar as formas das bolhas de sabo, originando
assim o estudo das superfcies mnimas em Geometria Diferencial.
Sua velhice foi atpica: bem humorado, apesar dos problemas com a
viso, seu estado fsico e mental eram excelentes, sempre envolvido
com ensino, em contato direto com estudantes.
Lev Pontryagin (1908-1988), nasceu quando
sua me Tatyana Pontryaguin tinha 29 anos de
idade. Ela foi uma costureira e uma mulher notvel
que teve um importante papel na carreira matem-
tica de seu filho. Com 14 anos de idade Pontryagin
sofreu um acidente com uma exploso que o tornou
deficiente visual total. Desta poca em diante sua
me assumiu completamente a responsabilidade de cuidar de todos
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os aspectos de sua vida. Apesar de grandes dificuldades, ela tra-
balhou por muitos anos como sua secretria, lendo artigos cientfi-
cos em diversas lnguas, escrevendo frmulas em manuscritos, cor-
rigindo trabalhos, etc. Pontryagin foi um dos grandes matemticos do
sculo XX, foi chefe de departamento de Matemtica na Rssia e vice-
presidente da Unio Internacional de Matemtica. Atuou em quase
todas as reas de Matemtica, com destaque em Topologia, lgebra,Equaes Diferenciais, Teoria do Controle e Sistemas Dinmicos.
Para maiores informaes consulte o site
http://turnbull.mcs.st-and.ac.uk/history/
2.5 O Sistema Binrio
Vamos estudar agora o sistema em que as clulas possuem umalinha somente e 6 colunas. Ele ser muito semelhante ao sistema usual
da linguagem Braille 3 2,pois existe uma correspondncia um-a-um
entre as configuraes com clulas 3 2 e configuraes em clulas
1 6. Veja:
3 2 1 6
Sistemas do tipo 1 n servem para escrever nmeros na base 2 e,assim sendo, tm muitas aplicaes na Matemtica e na Informtica.
Podemos escrever qualquer nmero natural na base 2, utilizando-
se para isto apenas os dgitos 0 e 1. Para compreender como isto pode
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ser realizado, trabalharemos, por simplicidade, com os nmeros que
vo de 0 a 63.
Dado um nmero qualquer (tomaremos como exemplo o nmero
41), veja como agrupar para escrever o nmero na base 2:
41 = 20 2 + 1 41 = 10 4 + 1
.
41 = 5 8 + 1
Formamos 20 pares,
observe que sobra
uma unidade
Usamos os 20 pares
anteriores para formar
10 grupos de quatro
elementos cada um.
.
Usamos os 10 grupos de
quatro elementos obtidos
anteriormente para agrup-
los em cinco grupos maio-
res com oito elementos
cada.
41 = 2 16 + 1 8 + 1 41 = 1 32 + 1 8 + 1
Usamos os 5 grupos de oito
elementos obtidos anteriormente
para agrup-los em dois grupos
maiores com dezesseis elementos
cada. Note que sobra um grupo de
oito elementos e tambm uma
unidade.
Finalmente usamos os dois grupos de
dezesseis elementos que surgiram no
estgio anterior para agrup-los em
um nico grupo maior com trinta e
dois elementos. Alm desses restam
um grupo de oito e uma unidade
simples.
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Concluso:
41 = 1 25 + 0 24 + 1 23 + 0 22 + 0 21 + 1 20 .
Esta expresso escrita abreviadamente na seguinte forma:
41 = (1 0 1 0 0 1)2
(l-se: 41 um, zero, um, zero, zero, um, na base 2).
Veja como represent-lo no estilo Braille:
20
21
22
23
24
25
Os nmeros de 0 a 63 podem ser representados na base 2, de
acordo com o seguinte diagrama de rvore:
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Atividade 5: Resolva o seguinte problema (OBMEP 2007)
Atividade 6: Um pequeno computador de papel os
cartes binrios
Vamos utilizar cartes de cartolina perfurados para trabalhar com
nmeros de 0 a 31, utilizando-se a base 2. Esses nmeros podem ser
escritos com apenas 5 dgitos, observe:
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Base 10 Base 2 Base 10 Base 2 Base 10 Base 2 Base 10 Base 2
0 00000 8 01000 16 10000 24 11000
1 00001 9 01001 17 10001 25 11001
2 00010 10 01010 18 10010 26 11010
3 00011 11 01011 19 10011 27 11011
4 00100 12 01100 20 10100 28 11100
5 00101 13 01101 21 10101 29 11101
6 00110 14 01110 22 10110 30 11110
7 00111 15 01111 23 10111 31 11111
a) Recorte, perfure e corte as fendas dos cartes das pginas se-
guintes.
b) Cada buraco representar o nmero 1 e cada fenda o nmero
0. Faa um mao com as cartas. Se voc colocar um pa-
lito (ou um canudo ou um clipe) por alguns dos buracos do
mao, e levant-lo, algumas cartas cairo e outras ficaro pre-
sas no palito. Repetindo organizadamente este procedimentovoc poder realizar vrias operaes com os nmeros binrios
de 0 a 31. Veja algumas delas:
Separar as cartas pares da mpares. Basta colocar o palito no
primeiro furo direita e levantar. Todas os cartes com nmeros
pares cairo.
Com somente 5 colocaes de palitos e levantamentos possvel
colocar as cartas de 0 a 31 em ordem crescente. Embaralhe as
cartas. Comece colocando o palito no primeiro buraco da direita(casa das unidades). Com cuidado levante o mao, deixando que
as cartas caiam, mas mantendo a ordem. Coloque as cartas que
caram na frente das demais e repita o mesmo procedimento
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para todos os demais 4 buracos, sempre mantendo a ordem.
Quanto terminar as cartas estaro em ordem.
Pode-se localizar qualquer nmero de 0 a 31 com a colocao do
palito e levantamento do mao 5 vezes. Isto se deve ao fato de
que qualquer nmero natural tem representao nica na base
2. Veja como voc pode fazer para localizar a carta 23:
24 23 22
21 20
000002
Coloque o palito na casa das unidades e levante o mao, descarte
as que caram. A seguir coloque no buraco 21, levante e descarte as
que caram. Prossiga, colocando o palito na casa 22, descarte as que
caram. Coloque na casa 23, levante e descarte as que ficaram presas.
Agrupe as cartas que caram e mais uma vez use o palite na casa 2 4.
A carta que ficou presa a 23.
Responda:
1. Se fizermos cartas com 6 buracos ao invs de 5, quantos nmeros
diferentes obteremos?
2. Qual o nmero mnimo de buracos que teremos fazer nos
cartes para representar os nmeros de 0 at 127?3. Leia a prxima atividade O dia do aniversrio na pgina 71 e
descreva uma maneira de adivinhar o aniversrio de uma pessoa
usando os cartes perfurados que voc fabricou.
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12= )
2
0110 0(
13= )
2
0110 1(
14= )
2
1110 0(
15= )
2
1110 1(
16= )
2
0001 0(
17= )
2
0001 1(
18= )
2
1001 0(
19= )
2
1001 1(
20= )
2
0101 0(
21= )
2
0101 1(+16
+ +16 8 4 + 1
4 + 1 +16+ +1 6 8 4 + 1
4
+16+ +1 6 8 4 + 1
2 + 1 +16+ +16 8 4 + 1
2
+8+ +1 6 8 4 + 1
4 + + 1+ +1 6 8 4 + 1
2
16 + +1 6 8 4 + 1 1+ 16+ +1 6 8 4 + 1
+ +1 6 8 4 + 1
48 ++ +1 6 8 4 + 1
2+
8 ++ +1 6 8 4 + 1
4 ++ +1 6 8 4 + 1
1 8+ +1 6 8 4 + 1
4+
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Atividade 6: O dia de aniversrio
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72 CAP.2: A ESCRITA BRAILLE E O CDIGO BINRIO
Como funciona o truque:
Como adivinhar o dia em que uma pessoa nasceu:
1. Pea pessoa que indique em quais dos calendrios a data de
seu nascimento aparece sublinhada.
2. Some os primeiros nmeros sublinhados que aparecem nos ca-
lendrios que a pessoa escolheu e voc descobrir a data de seu
aniversrio, sem que ela lhe conte.
Por exemplo: Se a pessoa nasceu no dia 7, os calendrios em que este
nmero aparece sublinhado so: o primeiro, o segundo e o terceiro.
Somando os primeiros nmeros sublinhados destes trs calend-
rios teremos 1 + 2 + 4 = 7. No legal? Se voc seguir o roteiro
abaixo, poder descobrir o signo e tambm o ms que a pessoa nasceu.
Como adivinhar o ms em que uma pessoa nasceu
consulte seu horscopo para encontrar o ms de
nascimento:
ries 21 de maro a 20 de abril
Hoje um dia muito favorvel para lidar com clculos matemticos. Abra
sua mente para a beleza da Matemtica e no deixe de acreditar no seu
potencial criativo. Voc nasceu no dia ...
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Touro 21 de abril a 20 de maio
Um ciclo de novas idias se abre para voc. Tudo se alterna tal qual uma
funo trigonomtrica. tempo de estudar e desenvolver os seus potenciais
criativos. Voc nasceu no dia...
Gmeos 21 de maio a 20 de junho
Hoje um dia em que muitas coisas no caminham muito de acordo com seus
planos, mas lembre-se que problemas devem estar nos livros de Matemtica
e mesmo assim eles podem ser solucionados! Voc nasceu no dia ...
Cncer 21 de junho a 21 de julho
Alegre-se! Hoje um dia harmonioso para voc interagir, fazer novas
amizades e dar incio a projetos pessoais como o estudo da Matemtica.
Voc nasceu no dia ...
Leo 22 de julho a 22 de agosto
Problemas existem, mas com disposio, talento e criatividade voc vence
qualquer obstculo. Quando estudar Matemtica, no desista, a soluo
sempre estar a seu alcance. Voc nasceu no dia ...
Virgem 23 de agosto a 22 de setembro
Hoje um dia de muita sensibilidade e pensamento positivo. Realize hoje
mesmo seus sonhos, estudando Matemtica com dedicao. Acredite no seu
potencial. Voc nasceu no dia ...
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Libra 23 de setembro a 22 de outubro
Hoje um dia favorvel para lidar com os assuntos da Geometria. Comece
investindo no seu visual e surpreenda a todos, principalmente seu professor,
fazendo todos os exerccios de Matemtica. Voc nasceu no dia ...
Escorpio 23 de outubro a 21 de novembro
bem provvel que o que voc esteja procurando externamente esteja dentro
de voc, por isto, resolva voc mesmo seus problemas de Matemtica, sem
procurar ajuda. Voc consegue! Voc nasceu no dia ...
Sagitrio 22 de novembro a 21 de dezembro
Descubra seu potencial criativo, resolvendo problemas de Matemtica. Com
isso estar afastando a rotina e admirando a beleza desta cincia. Observe
o mundo com os olhos da razo! Voc nasceu no dia ...
Capricrnio 22 de dezembro a 20 de janeiro
No se aborrea com pequenos atritos do dia-a-dia. No de deixe abalar
quando no encontrar imediatamente a soluo de um problema de Mate-
mtica. No desista e entenda que h propsitos maiores cujas portas sero
abertas pela dedicao e estudo. Voc nasceu no dia ...
Aqurio 21 de janeiro a 19 de fevereiro
Hoje a vida lhe dar tudo para ser feliz. H tesouros que temos e muitas
vezes no os percebemos; por exemplo, h uma satisfao enorme quando
resolvemos um belo problema de Matemtica. Voc nasceu no dia ...
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Peixes 20 de fevereiro a 20 de maro
Hoje um dia de oportunidades e novidades, principalmente nos estudos.
Voc ir resolver com facilidade todos os problemas de Matemtica que lhe
forem apresentados. tempo fazer planos, trabalhar as idias criativas e
execut-las. Voc nasceu no dia...
Podemos implementar todas as operaes que so realizadas nabase 10 tambm na base 2. Existem mquinas simples que ajudam
a entender como estas operaes so feitas. Uma delas est indicada
abaixo.
Bons estudos! Bom divertimento!