GRUPO FISS BANCO DE DADOS
APOSTILA DE
MATEMÁTICA REVISÃO
APOSTILA DIGITALIZADA POR ALUNOS PARA ALUNOS SEM FIMS LUCRATIVOS COM AUTORIZAÇÃO DO PROFESSOR.
" -
GEOMETRIAProf.: Alexandre Coutinho
1- Noções primitivas
l-As noções geométricas sãoestabelecidas por meio de definições ..
Adotaremos sem definir as noçõesde:
PONTO, RETA E PLANO
2- Notação de ponto reta e plano
a) Com letras
Ponto -letras maiúsculas latinas: A, B, ..Reta -letras minúsculas latinas: a, b, ...Plano - Letras gregas minúsculas:a,p,y ....
b) Notações gráficas
p•
o ponto P. A reta r. o plano a.
Obs: As proposiçoes geométricas sãoaceitas mediante demonstrações
3- Postulados da existência.
a) Numa reta, bem com fora dela,há infinitos pontos.
b) Num plano há infinitos planos.
4- posições de dois pontos e deponto e reta
a) A e B coincidentes - é omesmo ponto, um só ponto,com dois nomes: A e B
A'B (A=B)
b) Pontos distinto:
• A • B (Ai B)
c)Ponto pertence a reta:r
•A
(A E r)
d)Pontos colineares são pontos quepertencem a uma mesma reta
A~-'
Os pontos A e B distintos deter--minam a reta que indicamos por AB.--(A ;é B, A E r, B E r) =* r = ABA expressão duas retas colnciden-
tes é equivalente a uma única reta. r = Ã8
5- Postulados da determinação
a) Da reta: Dois pontos distintosdeterminam uma única que passa poreles.
A
b)Se uma reta tem dois pontos distintosnum plano, então a reta está contidanesse mesmo plano.
(A ;é- B, r = ÃB, A E a, B E a) =- r C a
c) Três pontos não colinearesdeterminam um único plano que passapor eles
Os pontos A, B e C não colinea-res determinam um plano a que indica-mos por (A, B, C).
O plano a é O único plano que pas-sa por A. B e C.
A6,"
d) Pontos coplanares são todos ospontos que pertencem a um mesmoplano.
e)Retas concorrentes
a) Definição
Duas retas são CfJncorrentes se, esomente se, elas têm um único pontocomum.
r n s = IP]
6- Segmento de reta - Definição
Dados dois pontos distintos, a reunião do conjunto desses dois pon-tos com o conjunto dos pontos que estào entre elesé um segmento de ma.
'Assim, dados A e B, A t B, o segmento de retaAB (indicado por .4B) é oque segue:
x. ,BAA B
AR = IA, B1 U IX IX está emn A e Bl
ÂNGULOSI-Definição
29. Chama-se ângulo à reuniãode duas semi-retas de mesma ori-gem, não contidas numa mesmareta (não colineares).
3- .Ângulos adjacentes:
Dois ângulos consecutivos são ad-jacentes se, e somente se, não têm pon-tos internos comuns.
AÔB e BÔC são ângulos adja-centes.
4-Ângulos opostos pelo vértice:
Dois ângulos são opostos pelo vér-tice se, e somente se, os lados de um de-les são as respectivas semi-retas opostasaos lados do outro.
õÃ e õê opostas 1- - =>OB e OD opostas
O~~--------~--
D A
AÔB e CÔD são opostos pelo vértice.
Notemos que duas retas concorrentes determinam dois pares de ângnopostos pelo vértice.
5- Ângulo suplementar adjacentes: asoma é igual a 1800•
•a c o A
6- ângulos:
bAÔB = aÔb = ~h a)reto
. ~ •...•..AOB = OA U OB
O ponto O é o vértice do ângulo.~ 4.
As semí-retas OA e OB são oslados do ângulo.
2- Ângulos consecutivos:Dois ângulos são consecutivos se, e somente se, um lado de um deles é
zmbém lado do outro (um lado de um deles coincide com um lado do outro).
,<o~'kA A
AÔB e AÔC são AÔC e BÔC são AÔB e BÔC sãoconsecutivos consecutivos consecutivos
õÃ. é o lado comum). (OC é o lado comum). (00 é o lado comum).
b
"_______ L·..J...:..L-.... __ •••.
a
ab é retoO ângulo é igual a 90°
b)agudo
c
cd é agudoO ângulo é menor de 900
c) obtuso
e
êré obtusoO ângulo é maior de 90°
d) Ângulo raso:
O ângulo é igual a 1800
e) Ângulos complementares: São osângulos cuja soma é igual a 900
•
a+ fJ =900
f) Ângulos suplementares: São osângulos cuja soma é igual a 1800
•
a + fJ = 1800
g) Ângulos replementares: São osângulos cuja soma é igual a 3600
•
a + fJ = 3600
7- Unidade de medida de ângulos
10Grau = 60' min
l'min = 60" segundos
Grau minuto segundo
EXERCíCIOS
1) Simplifique as seguintes medidas:a) 30°70' d) 110°58'300"b) 45°150' e) 30°56'240"c) 65°39'123"
2) Determine a soma:a) 30°40' + 15°35'b) 10°30'45" + 15°29'20"
3) Determine as diferenças:a) 20°50'45" - 5°45'30"b) 31°40' - 20"45'
c) 90°15'20" - 45°30'50"d) 90° - 50°30'45"
4) Determine os produtos:a) 2 x (10°35'45") b) 5 x (6°15'30")
5) Determine o valor de x nos casos:~ ~ ~
Áo. ••30· xx .
b) d)
- / 1"_"0 /'~ ~
Obs: Se dois ângulos são opostos pelovértice, então eles são iguais.
6) Determine o valor de x nos casos:~ ~
7) Determine o valor de a nos casos:a) b)
2x - 10·
I\a = x + 40°
8)Calcule O complemento dos seguintesângulos:a) 47° b) 25° c) 3r25'
9)Calcule o complemento dos seguintesângulos:a) 72° b) 141° c) 93°15'
10)Dado um ângulo de medida x,indique:a) seu complemento;b) seu suplemento;c) o dobro do seu complemento;d) o triplo do seu suplemento;e) a sétima parte do complemento;f) a quinta parte do suplemento;
11) Dê a medida do ângulo que vale odobro do seu complemento.
12) Determine a medida do ângulo igualao triplo do seu complemento;
13) Calcule um ângulo, sabendo que umquarto do seu suplemento vale 36° .
14) Qual é o ângulo que .excede o seusuplemento em 66° .
15) Na figura, o ângulo x mede a sextaparte do ângulo y, mais a metade doângulo z. Calcule o ângulo y.
TRIÂNGULOS
1- Definição : Dados três pontos A, B, eC não colineares, à reunião dos,
- -seguimentos AB, BC e AC chama-setriangulo ABC.Indicação:Triangulo ABC = MBC
c
B~L--------a------~~
2- Classificação:a) Quanto aos lados, os triângulospodem se classificar em:- eqüiláteros se, e somente se, tem ostrês lados congruentes;- isósceles se, e somente se, dois os trêslados congruentes;- escalenos se, e somente se, dois os trêslados congruentes;
MBC equílátero 6RST isósceles 6MNP escaleno
A R N
p
b) Quanto aos ângulos, os triângulospodem se classificar em:- retângulo se, e somente se, têm umângulo reto;- acutângulo se, e somente se, têm ostrês ângulos agudos;- obtusângulo se, e somente se, têm osum ângulo obtuso.
c o R
B F T
6ABC retângulo em A bJJEF acutârígulo 6RST obtusângulo em S
3- Congruência de triângulos
a) Definição: Um triângulo écongruente (congruente ==) a outro se,somente se, é possível estabelecer umacorrespondência entre seus vértices demodo que:
seus lados são ordenadamentecongruentes aos lados do outro e
seus ângulos são ordenadamentecongruentes aos ângulos do outro.
A A'
(
AB == A'B' ~ == ~')A ABC =- 1\ "B'C' AC A'C - -LVl ,_>ft Ç=> _ == _' e B == B'
BC == B'C ê == t:A congruência entre triângulos é reflexiva, simétrica e transitiva.
b) Casos de congruência:1°caso - LAL - postulado:
• Se dois triân~ulos têm ordenadamente congruentes dois lados e oangulo compreendIdo, então eles são congruentes.
2°caso-ALA
"Se dois triângulos têm ordenadament~. congrue~tes um lado e ~~dois ângulos a ele adjacentes, então esses tnangulos sao congruentes.
At; ~~
A' A' = X
B' C' B' C'
3°caso-LLL
Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes os três lados. er.-tão esses triângulos são congruentes.
4°caso - LAAo
Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes um lado, um ân-gulo adjacente e o ângulo oposto a esse lado, então esses triângulos sãocongruentes.
C'
o1\
/~/ \
A / \
~Hipótese
BC == B'C (I), fi == fi' (2), Â == Ã' (3)
Tese===> .6ABC == ,t\,A'B'C
4- Mediana de um triângulo - definição
Mediana de um triângulo é umsegmento com extremidades num vérti- Ace e no ponto médio do lado oposto.
M( é o ponto médio do lado BC.AM( é a mediana relativa ao lado
BC.
AMJ é a mediana relativa aovértice A,
B M,
5- Bissetriz interna de um triângulodefinição
Bíssetriz interna de um triânguloé o segmento, com extremidades numvérticee no lado oposto, que divide oângulo desse vértice em dois ânguloscongruentes.
S( E BC, SjÂB == S(ÂC
_ AS( é a bissetriz relativa ao ladoBC.
AS( é a bissetriz relativa ao vér-tice A.
6- Teorema do ângulo externo
Dado um /',ABe e sendo a a=Heta oposta à semi-reta éB, o ân-.g;;jo
A
ê = ACX
= t:bgulo externo do /',ABe adjacente-t e não adjacente aos ângulos  e li. e~ -----..:.....\ ....•......
O ângulo ê é o suplementar adjacente de ê.,
Exercícios1- Se o MBC é isósceles de base BC,determine x.
A
2- o MBC é eqüilátero. Determine x ey.
A
3- Se o MBC é isósceles de base BC,determine BC .
A:;AsB 2x + 4 C
4- Se o MBC é isóscelesde base BC,determine x.
A
~B C
5- Se o MBC é isósceles de base AC ,determine x.
A
B
c
6- Se o MBC é isósceles de base AC,determine x e y.
A
2x - 40°
B
7- Determine o valor de x e y, sabendoque o MBC é eqüilátero.
a) b)A A
B y+4 c8 y
8- Se o perímetro de um triânguloequilátero é de 75 em, quanto medecada lado?
9- Se o perímetro de um triânguloisósceles é de 100cm e a base mede 40em, quanto mede cada um dos outroslados?
10- Determine o perímetro do MBCnos casos:a) TriânguloAB = x+2y,BC=x+y+3
eqüilátero comAC=2x- y e
b)Triângulo isósceles de bas~ BC comAR = 2x +3, AC = 3x - 3e ;0 = x +3
11- Num triângulo isósceles, osemiperímetro vale' '7,5 cm. Calcule oslados desse triângulo, sabendo que asoma dos lados congruentes é oquádruplo da base.
12- Na figura, o triângulo ABC écongruente ao triângulo DCE.Determine o valor de a e fi .
E
A'"""jf-;;-t--;-hL--I-....::J.i~D
B
13-Na figura ao lado, o triângulo ABCé congruente ao triângulo CBD. Calculex e y e os lados do triângulo ACD.
o
~A " Bx . ov C
14- Na figura, o triângulo CBA écongruente ao triângulo CDE. Calcule xe y e a razão entre os perímetros dessestriângulos.
B E
A D
PARALELISMO
1- 'Retas paralelas - definição - Duasretas são paralelas ( símbolo: Ii ) se, esomente se, são coincidentes ( iguais )ou' são coplanares e não têm nenhumponto em comum.aca,bca,anb={}
ba
2- Reta transversal - sejam a e b duasretas distintas, paralelas ou não, e t umareta concorrentes com a e b:a) t é uma transversal de a e b:
b
a 4 3
a 5 6b
t
1 2
8 75 6
8 7
b) Com mais detalhes podemos ter:- Alternos internos: 3 e 5 , 4 e 6- Alternos externos: 1 e 7 , 2 e 8- Colaterais internos: 3 e 6 , 4 e 5- Colaterais externos: 1 e 8 , 2 e 7
c) Ângulos congruentes:(1=3=5=7)(2 = 4 = 6 = 8)
ÂNGULOS1- Ângulo externo - Em todo triângulo,qualquer ângulo externo é igual à somados dois ângulos internos nãoadjacentes a ele.
A
G8 Ce=A+B
2- Soma dos ângulos internos de umtriângulo
A
I Â + B + ê = 1800
Exercícios
1- Sendo a reta a paralela a reta b,determine x nos casos:
a) b)
b
~ ~~\_w_·_ ~a ~~ _
b
2) Se as retas r e s são paralelas,determine x nos casos:
a) b)
3- Se as retas r e s são paralelas,determine x e y.
a) b)
s 2x
4- Na figura, sendo a // b, calculea+P-r·
a
b
5- Sendo a paralela a b, calcule x.
a
b
6- Sendo a paralela a b, calcule x.
ac
b
7- Na figura abaixo, sendo r Ii s,calcu1e x e y.
t
s
8- Sendo as retas r e s paralelas,determine x, y e z nos casos:
. a) b)
s
9- Determine y nos casos:
a) b)
10- Determine x nos casos:
a) b)
11- Determine x e y:
a)
100·
130·fi
12- Determine os ângulos do triângulonos casos:
ca)
x + 20·B<--.J. ~:::::.. A
b)
BU'--------'--""A
13- Calcule o valor de x, sendo r/I s.
40" r
s
14- Calcule o valor de x e y, sendo r I I s..
r
5
15- Se r Ii s, calcule a.
16- Se r Ii s, calcule a.
A
B
5
c
QUADRILÁTEROS NOTÁVEIS
Definição: Os quadriláteros notáveis sãoos trapézios, os paralelogramos, osretângulos, os losangos e os quadradosque possuem duas diagonais e a somados ângulos internos igual a 3600•
1- Trapézio: Um quadrilátero planoconvexo é um trapézio, se somente se,possuem dois lados paralelos.ABCDé trapézio <=> (AB Ii CD)
a) Trapézio isósceles, se os lados nãoparalelos são iguais.
AB e CD são bases do trapézío isósceles == (ê == f> e  == fi
A B
QD C
b) Trapézio escaleno, se os lados nãoparalelos são diferentes.
Trapézio retângulo (ou bi-retângulo) é um trapézio que tem dois iin@;los retos.
OLJDDA BA B A B A atrapézlc eescees trepéztõ escaleno trapézlo escaleno trapézlo retâng
2- Paralelogramo- Possui ladosângulos opostos iguais dois a dois.
D C
L---/ ---::!./A BABCD é paralelogramo <=> AB II CD
--e co ADII BC
1'\ A '" 1\
A==C e B==D
e
3- Retânguloângulos iguaisdois.
Possui os quatrose lodos iguais dois a
D C
DA B
ABCD é retângulo <=> Â = Ê == ê == f>- As diagonais são iguais e se cortam aomeio.4- Losango - Possui quatro lados iguaise paralelos dois a dois e com isso osângulos opostos também são iguais.
D
cA
B
ABCD é losango <=> AB == BC = CD == DA1\ 1\ 1\ 1\
A==C e B==D
5- Quadrado - Possui quatro lados equatro ângulos iguais- As diagonais são iguais e se cortam aomeIO.
DD~c
. l-A B
ABCDéquadrado <=> (Â == B == ê == DeAB == BC == CD == DA)
Exercícios1) Determine o valor de x nos casos:
b)
2) Determine os ângulos do quadriláteroABCD nos casos:
aJ o
B ••••.•.----w
b) B
3) Determine O' valor de x nos casos:
a) PA = PB
c
D
B
b) AB = AD e CB = CD
A
B
4L Se AP e BP são bissetrizes,determine x nos casos:
a)',.-------" B
D
o,--,---...,.--,.
A--- _=:::::~fi
5) Se O' trapézio ABCD é isósceles deA
bases AB e CB determine A.
A B
2x - 15°D~L-------------L~C
6) Se ABCD é um paralelogramo eA A AA = 2x e C = x + 70° , determine B .
7) Calcule os lados de um retângulocujo perímetro mede 40 em, sabendoque a base excede a altura em 4 cm.
SEMELHANÇA DE TRIANGULOS
I-Definição: dois triângulos sãosemelhantes se, somente se, possuemtrês ângulos ordenadamentecongruentes e os lados homólogosproporcionais.
A
CAbc>.B C
A'
6B' a'
(Ã=Ã' )
AABC - AA'B'Ç' -= B es tl' e ~ = ~ = ~ê"" t' a' b' c'
Exercícios:l-Os triângulos ABC e A'B'C' das.figuras são semelhantes. Se a razão de
3semelhança do 10para ao 2o e -2
determine:a) a, b e C
b)a razão entre os seus perímetros:
c A
a C
A'
ÜB' 14 C'
2- Os triângulos ABC e PQRsemelhantes. Determine x e y.
Q
'~'~B 20 C
são
3-0s triângulos KLM e FGH sãosemelhantes. Determine x.
K
M
F
GG x42
4-0s três lados de um triangulo ABCmedem 8 em, 18 em e 16 cm.Determine os lados de um TrianguloA' B' C' semelhante a ABC, sabendoque a razão de semelhança do primeiropara o segundo é 3.
5-Se DE//Be, determine x nos casos:
a)
A
f-----~E
c
b) x = AD
E
6- O perímetro de um triângulo é 60 m eum dos lados tem 25 m. Qual operímetro do triangulo semelhante cujoo lado homólogo ao lado dado mede 15em?
7- Os lados de um triângulo medem 8,4em, 15,6cm e 18 em. Esse triângulo ésemelhante a um triângulo cujoperímetro mede 35cm. Calcule o maiorlado do segundo triângulo.
8-0s lados de um triângulo ABCmedem 4 em, Sem e 6 em. Calcule oslados de um triângulo semelhante aABC , cujo perímetro mede 20em.
9-Se os ângulos com marcas iguais sãocongruentes, determine as incógnitasnos casos:
a)
b)
9~X 2:1-~ y
6
10-Se a =p, determine x e y noscasos:
a)
b)
2 y
ll-Detennine x e y nos casos:
a)
b)
~A~~------------~~x
12-Sendo r e s retas paralelas, determinex.
a)
13- Nas figuras, determine x.
~17
b)
RELACÓESMÊTIDCASNOTRIÂNGULO RETÂNGULO
Sendo o triângulo ABC, retângulo emA, com altura AD.
A
~/ b
--_---"'...a.. CJ
A A!
!c jhL IL_RB n D 6
D
Explorando a semelhança de triângulos,temos que:
a c 2MBC ~ I1DBA => - = - => c = a.n ;c na b 2MBC ~ I1DAC => - = - => b = a.m ;b mh n 2I1DBA ~ I1DAC => - = - => c = a.n .m h
Essas são as principais relações dotriângulo retângulo, mas outras relaçõessão importantes, como:- a.h = b.c- e o teorema de Pitágoras a2 = b2 + c2
Exercícios:1- Determine o valor de x:a)
5
x
b)
3
2- Determine o valor de x nos casos:
a)
5
x
b)x+2
6
x
3-Num triângulo retângulo, os catetossão de 3 em e 4cm. Determine ahipotenusa, as projeções dos catetossobre a hipotenusa e a altura relativa àhipotenusa.
4-A altura relativa à hipotenusa de umtriangulo retângulo mede 4,8 e ahipotenusa mede 10cm. Calcule amedidas dos catetos.
5)Calcule x, y, z e t no trianguloretângulo abaixo.
,
,~x
15
6-Num triangulo retângulo a alturadetermina na hipotenusa dois segmentosde medidas 9 em e 16cm. Calcule ahipotenusa os catetos e a altura.
7- Determine o valor de x:
a)
b)x
~
(56 .
. . 34
8- Determine o valor de x e m cadacaso:
a)
b)
9- Determine o valor de x nos casos :
a) retângulo
5
12
b) quadrado
6
10 - O perímetro de um retângulo é de30 cm e a diagonal 5./5 m. Determineos lados desse retângulo.
11- Determine o valor de x e m cadacaso:
a)
4~
x
b}
~10
c)A
c
ÁREAS DE FIGURAS PLANAS
* Retângulo
*Quadrado: Dada um quadrado de ladoa.
a
a
Ao = a . a => , Ao::;: a2 I
*Parale1ogramo: Equivale a área doretângulo.
r-----
1,
DJ,,,h
II- b __ o-j f---b_
*Triângulo:
--------7I
r,- '---------:::.,'
--b----I
A--º--:...1L
T - 2
Obs: Área do triangulo eqüilátero delado a. um triângulo eqüilátero de lado
a-J3a tem altura h=-- e sua área é então:
2
s ~ + a af = l_s_=: a_2_f3=-3_
*Trapézio:
b2
I A ~ (b, + b,)· hTra 2
*Losango:
* hexágono: Temos em um hexágonoexatamente seis triângulos eqüiláteros.
1_ t __~1
Ahexásono = 6 . S
*Área do círculo
A 3lj 2hexágono = ~
*Área da coroa circular
EXERCÍCIOS1)Detennine a área das figuras abaixo,sendo o metro a unidades das medidasr---------------~ indicadas.ã)\ quadrado ~~ retângulo
ou (D)~ 1rDzAr = 'ir T = --4-
Obs: O comprimento da circunferênciaé dado pela seguinte fórmula C = 2w
*Área do setor
*Área do segmento circular
RA =(f-h)-segm 2
6 8
c) paralelogramo-;»
6
d) losango e) quadrado
g) trapézio h) paralelogramo
D/~ 2 ,/
" ~*t"
j)
2) A área do polígono é dada entreparênteses, em cada caso. Determine x.a) quadrado (36 m') b) quadrado (50 mZ)
<>d) trapézio (10 mZ) e) trapézio (18 m2)
x + 2 x + 2
3) Na figura temos um quadrado ABCDinscrito no triângulo PQR. Se QC éigual ao lado do quadrado, RD= 3cm, aaltura, relativa a AB, do triângulo PABé igual a 4cm e a área do triângulo PQRé de 75cm. Determine o lado doquadrado.
p
R '---:!:-__ .,!:-__ ~ Q
4) Determine a área do retângulo noscasos a seguir, sendo o metro a unidade
8 de medida.a) b)
o C5J15 12
c)
5) Determine a área dos paralelogramosnos casos a seguir, sendo o metro aunidade de medida.
a) b)
16 f3 4-
c)
6) Determine a área dos triângulos noscasos a seguir, sendo o metro a unidadede medida.
a) b)
17 12
d) e)
7)' Determine a área do triângulos noscasos a seguir, sendo o metro a unidadede medida.
a) b)
d) e)
6
~10
8) A área de um retângulo mede 40cm2
e sua base excede em 6 em a sua altura.Determine a altura do retângulo.
9) Um retângulo tem 24cm2 de área e20 em de perímetro. Determine suasdimensões.
lO)Uma das bases de um trapézioexcede a outra em 4cm. Determine asmedidas dessas bases, sendo 40cm 2 aárea do trapézio e Scm sua altura.
11)Determine a área de um losango,sendo 120cm o seu perímetro e 36cm amedida do diagonal menor.
12) Determina o lado de um quadrado,sabendo-se que, se aumentarmos seulado em 2cm, sua área aumenta em36cm2
•
13) Determine a área do círculo e ocomprimento da circunferência noscasos:
a) b)
e)
Q.: ~'\~/12m
14) Determine a área da coroa circularnos casos:
b)a)
IS)Determine a área do setor circularsombreado nos casos abaixo:~ W
d}
6m
c)
16) Determine a área da regiãosombreada nos casos:a) quadrado de lado 8 m
o
b) hexágono regular de lado 6 m
oc) triângulo equilátero de lado
12 m
d) quadrado de lado 8 m
oe) hexágono regular de lado 12 m
f) triângulo equilátero de 6 m delado
17) Calcule a área da superficiesombreada, sabendo-se que Oquadrilátero dado é um quadrado.
a) b)
18) Calcule a área da superficiesombreada.
a) quadrado ' b) retângulo c
19) Determine a área sombreada, nasfiguras abaixo, sendo AC o triplo de CBe AB igual a 32 cm.
a)
B
b)
AI------'*---+=:.....--fB
20) Calcule a área da superficiesombreada.