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7/21/2019 antologia matematicas 1
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UNIDAD 11.- LENGUAJE ALGEBRAICO.1.1.- TRADUCCION DEL LENGUAJE COTIDIANO AL LENGUAJEALGEBRAICO Y VICEVERSA.
-LENGUAJE COTIDIANO
3 grupos de 8 niños, mas 2 grupos de 3 niños, nos hacen un grupo de ¿cuantosniños?
-LENGUAJE ALGEBRAICO3(8)+2(3)=1x24+6=x=3!
"#$%&'# '"%#*'- "#$%&'# -./'$-3a0 # tripe de un numero a cuadrado
(+c)2 "a mitad de a suma de 2 nmeros
#5empos
7# doe de un nmero 2x
7# cuadrado de un nmero x0
7# tripe de un nmero 3x
7# cuo de un nmero x
7# doe de cuo de un nmero,9enos e tripe de otro nmero a cuadrado 2x73:0
EXPRESION ALGEBRAICA
3x+2:=;
<iendo 3x 2: ;, e termino ageraico, >ue se compone de e signo,coeciente, @ariae : gradoA
<%$- positi@os (+) negati@os (7)
-#B#$.# #s e nmero >ue nos indica por cuantas @eces se @a amutipicar a @ariae
C'*'"# #s a etra >ue puede adoptar muchos @aores
%*'/- # grado de un tDrmino con respecto a una etra, es e exponente dedicha etraA # 1 representa e primer grado, e 2, o sea a cuadrado, representae segundo grado, e 3 tercer grado : asE sucesi@amenteA
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Jerarquía de oera!"o#e$.
1º.Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves.
2º.Calcular las potencias y raíces .
3º.Efectuar los productos y cocientes .
4º.Realizar las sumas y restas .
TAREA 1.
-F#*'-$#< '*.9#.'<A
2+48=34 2G(H+3)(4+2)I=J6 (2+4)8=48G(K+3)(H2)IL2=H! H+472+H272+1!L2=1K 1K2G1!!7
(1!1!)I=!'%*&F'*A
12L(371)=6 (2!L2)+3=13 (6+372)=KH(876)=1! (1H7H+3)2=26 (1H7H)+(32)=16
1.%.- PROBLE&AS DE VARIACION.
Var"a!"'# d"re!(a.
*eacin entre dos @ariaes de manera >ue os @aores de amas @ariaesaumentan o disminu:en a mismo tiempo a una ra;n constanteA
:=Mx
Var"a!"'# "#)er$a.*eacin entre dos @ariaes de manera >ue cuando e @aor de una @ariaeaumenta, a otra disminu:e o @ice@ersaA
: ¿ k
x
Var"a!"'# *"#ea*.
y=mx+b
<i x=! entonces :N!
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' di@idir e a@ance en O:P entre e a@ance en OxP entre 2 pare5as de nmeros eresutado es constanteA
#5empo ! 1 2 3 H
Q 3 J 1H 21 33
<e cumpe a primer condicin por >ue x=! entonces :=3
*e@isin de segunda condicinA
'@ance en :=J73=6∆ y
∆ x =
6
1=6
'@ance en x=17!=1
'@ance en :=3371H=18∆ y
∆ x =
18
3=6
'@ance en x=H72=3
<e cumpe con a segunda condicin, por o tanto estamos haando de una@ariacin ineaA<iendo e 6 a constante de proporcionaidad @aor de a pendienteA<oo RatarEa determinar e @aor de OP, amada tamiDn ordenada a origen,por >ue esta tiene e @aor de O:P para cuando x=!A #n este caso seria:=mx+3=6(!)+=3
TAREA %.
C'*'-$ /*#.' Q C'*'-$ $C#*<'A7<i una pugada e>ui@ae a 2AH4cm ¿uSntos cm ha: en 32! pugadas?
R=320 x2.54
1=812.80 cm (Cariacin directa)
7#n una 5ornada de traa5o 4 costureras ogran armar 12H pa:eras ¿uSntascostureras necesitamos para >ue en una 5ornada terminen 3KH pa:eras?
R=375 x 4
125=12costureras (Cariacin in@ersa)
7<i 3H iretas cuestan T42! ¿uSnto costaran 1! iretas?
R=420 x 10
35=120 pesos (Cariacin directa)
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7&n a@in consume 1! tonA /e comustie en un recorrido de 2H!! Mm,¿uSntas tonA /e comustie necesita para un recorrido de 3H!! Mm?
R=3500 x10
2500=14 ton. (Cariacin directa)
7# mismo a@in @ia5a a una @eocidad de J!!UmVra : se tarda 4H minA #n erecorridoA <i e a@in se tardo 1 horaA ¿a >ue @eocidad hi;o e mismo recorrido?
R=900 x 45
60=675 (Cariacin in@ersa)
TAREA +.
# @ia5e directo en a@in de a ciudad de 9Dxico a 9adrid se reai;a en 1! horascon un consumo de 4H!! tshra, antes de partir, e a@in se carga con 46,!!!ts de comustieA
a) #scrie e modeo matemStico >ue representa a cantidad decomustie >ue >ueda en e a@in despuDs de @oar OxP cantidad dehorasA
y=46000−4500 x
) #aora una taa con 1! @aores
1 2 3 4 H 6 K 8 J 1! Q 41H!!3K!!!32H!!28!!!23H!!1J!!!14H!!1!!!!HH!! 1!!!
c) #aora una graca >ue represente a modeo
d) /eterminar a pendiente de a recta
74H!!
e) /eterminar e @aor de a ordenada a origen
46!!!
TAREA ,.-
/# "' <%&#$.# .'"' /#.#*9$'A
a) #cuacin :=!AHx+1!!) %racac) Fendiente m=!AHd) -rdenada a origen 1!!
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.aa
73 4! 71! H Q J8AH 12! JH 1!2AH
%.- ECUACIONES LINEALES CON UNA VARIABLE
ax+b=0
#cuacin #s una iguadad en a >ue ha: una o @arias cantidades desconocidas,amadas incgnitas : cu:o @aor soo se @erica para determinados @aores deeasA
"a cantidad de souciones para a incgnita en una ecuacin esta dada por egrado de a expresinA
#5empos
2x+3=H 4x+6x7K76=38 4x7x=2x+HKx+873=28
+H=H 3x78+2x7K+Hx7J=!
TAREA .
1
x−1−3 x+2=0
x=1
8 x+3 x−4+9− x=2 x− x+28 x=23J
( x ² x +8 x)2=10 x=1!18
√ 9 x ²+3 x+10=0 x=71!6
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[3 ( x−8) ] 8−48=0 x=414
+.- SISTE&A DE ECUACIONES LINEALES CON % VARIABLES.
ax+by=c
dx+ey=f
.enemos 3 posies caminos para cuando tratamos de reso@er sistemas deecuaciones ineaes con 2 @ariaesA
- Coa("/*e de(er"#ado.
"as 2 rectas se cortan en un puntoa
d ≠
b
e
7 I#!oa("/*e.
"as 2 rectas son paraeasa
d=
b
e ≠
c
f
7 Coa("/*e "#de(er"#ada.
"as 2 rectas son coincidentesa
d=b
e=c
f
+.1.- SOLUCION POR &ETODO GRA0ICOBases para resoucin de sistemaA1A7 <e despe5a O:P en amas ecuacionesA
2A7 <e constru:e taa de @aores (x,:)A3A7 <e representan grScamente amas rectas en e5es coordenadosA
omo resutado tenemos una de as 3 opciones anteriores, en caso de >uesea compatie determinado, a soucin es donde se cru;an amas rectas,para os otros 2 casos no existe soucinA
#5empos
#ncontrar e @aor de (x,:) >ue satisRaga en amas ecuaciones por emDtodo gracoA
2x+3:=16 Hx+8:=HH4x+8:=6!
Hx72:=2 2x72:=74 2x7:=7H
3A2A7 <-"&-$ F-* 9#.-/-< '"%#*'-<A
9#.-/- /# *#/&-$
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<e trata de sumar as 2 ecuaciones >ue tenemos, para de esta Rormaeiminar una @ariaeA For o tanto deemos mutipicar por @aorescominados : asE pro@ocar >ue una de as incgnitas tenga e mismo @aorpero con signo contrarioA
9#.-/- /# %&'"'-$
#n este mDtodo despe5amos una incgnita en as 2 ecuaciones, uego asiguaamos : nos >ueda una ecuacin con una incgnita, de esta Rormadeterminamos su @aor a despe5araA
9#.-/- /# <&<..&-$
.enemos 2 ecuaciones, en una despe5amos una @ariae, en a otrasustituimos esa @ariae por e dato >ue otu@imos de a primera : nos>ueda una ecuacin con una incgnita, despe5amos : istoA
/#.#*9$'$.#< /# 9'.*#<*ega de cramerA7
ax+:=cdx+e:=R
x=ce−bf
ae−bd
y=af −cd
ae−bd
TAREA .-*#<-"C#* "-< <%A <<.#9'< /# #&'-$#< F-* #" 9#.-/- W&#
%&<.#$A
72x+H:=34 (x=3, :=8) Hx+J:=23 (x=1, :=2)4x+J:=84 2x73:=74
2x73:=2! (x=4, :=74) 3x+H:=731 (x=72, :=7H)8x+2:=24 12x76:=6
7x74:=734 (x=2, :=8)2x74:=728
,.- SISTE&A DE ECUACIONES LINEALES CON + VARIABLES.
"a resoucin de os sistemas de ecuaciones ineaes con mSs de dos incgnitasocup durante os sigos C : C a una riante escuea de ageristas,
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principamente itaianosA <us ingeniosos mDtodos ageraicos an siguenproponiDndose como aternati@a a a teorEa de matrices >ue Rue desarroada :renada en os sigos posterioresA&no de os procedimientos conceptuamente mSs sencios para reso@er$"$(ea$ !uadrado$ (con igua nmero de incgnitas : ecuaciones) de mSsde dos ecuaciones se asa en a amada 2ora e$!a*o#adaA #sta tDcnica
consiste en transRormar sucesi@amente, segn cua>uiera de os mDtodosageraicos comunes ($u$("(u!"'#, "3ua*a!"'# o redu!!"'#), e sistema deecuaciones en otro e>ui@aente >ue tenga Rorma escaonaA
&4(odo de Gau$$#n a resoucin de sistemas cuadrados con tres incgnitas se utii;a unprocedimiento escaonado, conocido por 4(odo de Gau$$, >ue consiste enuna generai;acin de 4(odo de redu!!"'#A #ste mDtodo, apicae tamiDna otras resouciones, dee su nomre a su descuridor, e matemStico aemSnar Briedrich %auss (1KKK718HH)A<egn e mDtodo de %auss, e sistema origina se @a transRormando en otros,hasta otener un
$"$(ea equ")a*e#(e na con7&na primera ecuacin con tres incgnitas x, :, ;A7&na segunda ecuacin con dos incgnitas :, ;A7&na tercera ecuacin con una incgnita ;A
<e resue@e a tercera ecuacin para otener ;, se sustitu:e en a segunda : seotiene :, : se rempa;an :, ; en a primera para reso@er competamente esistemaA#n un sistema de tres ecuaciones con tres incgnitas, de a Rormaax + : + c; = dex + R: + g; = hix + 5: + M; = m/onde a,,c : d son nmeros reaes, con a, : c, no todos nuos, en unaecuacin inea con tres @ariaes ( x, :, ; )A/e a misma manera >ue se puede reso@er un sistema de dos ecuacionesineaes con dos incgnitas ( x, :), se puede reso@er un sistema de tresecuaciones ineaesAa soucin corresponde a os @aores de x, : : ; >ue hacen @erdadera as tresecuaciones, >ue corresponderEan a as coordenadas de un punto en e espacio,es decir a interseccin de tres panos (tercera dimensin)
Pro!ed""e#(o ara re$o*)er u# S"$(ea de e!ua!"o#e$ +5+##9F"-A6x X 4: X H; = 12 ecuacin (1)4x X 2: X 3; = 8 ecuacin (2)Hx + 3: X 4; = 4 ecuacin (3)
onsideremos as ecuaciones (1) : (2) : eiminemos a O:P mutipicando por (72) a ecuacin (2)6x X 4: X H; = 12 ecuacin (1)78x +4: + 6; = 716 ecuacin (2)
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*eai;ando a suma ageraica72x + ; = 74 : a Dsta e amamos ecuacin (4)<e toma entonces a ecuacin (3) >ue no se utii; en e paso anterior : concua>uier otra de as ecuaciones se eimina a misma incgnita por e mismomDtodo de cominacin ineaA
4x 7 2: 7 3; = 8 ecuacin (2)Hx + 3: X 4; = 4 ecuacin (3)<e procede a eiminar a misma @ariae (:) en as dos ecuacionesmutipicando a ecuacin (2) por e coeciente de : de a ecuacin (3) siempre: cuando >uede e signo contrario de a ecuacin (2) : a a ecuacin (3) por ecoeciente de : de a ecuacin (2)12x 7 6 : 7 J ; = 241!x + 6 : 7 8; = 8<umando tDrminos seme5antes22x 7 1K; = 32 #cuacin (H)omo resutado de seguir os pasos anteriores >uedarS un sistema de dosecuaciones con dos incgnitas, a cua puede reso@erse por e mDtodo eegido
: asE haar e @aor de as dos incgnitasA72x + ; = 74 #cuacin (4)22x 7 1K; = 32 #cuacin (H)Fara eiminar a @ariae x se mutipica a ecuacin (4) por 11 : a ecuacin (H)por 1 A # caso es >ue tenemos >ue iguaar en @aor asouto os coecientes dedicha @ariae pero con diRerente signo722 x + 11 ; = 74422 x X 1K ; = 32*educiendo tDrminos seme5antes6 ; = 12/espe5ando a ;; = 2
<ustituimos ; = 2 en a ecuacin (4)72x + ; = 7472 x + 2 = 7472x = 747272x = 76x = 3
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Fara encontrar a @ariae >ue nos hace Rata a sustituimos en cua>uiera deas ecuaciones originaesA6x7 4:7H; = 126(3) X 4: X H(2) = 1218 X 4: 71! = 1274: = 127 18 + 1!
74: = 4: = 7 1
TAREA 6.-*#<&#"C# "-< <%&#$.#< <<.#9'< /# #&'-$#<
Hx X 2: + ; = 24 x=3 :=72 ;=H2x + H: X 2; = 714x X 4: + 3; = 26
x + : + ; = 4 x=2 :=71 ;=3x X 2: X ; = 1
2x X : 7 2; = 71
2x + H: +2; = H x=2 :=71 ;=33x X 2: X 3; = 712x + 3: + 3; = 1!
##*- #$ "'<#&na compañEa produce tres tipos de siones e inRanti, norma : e de u5oA #proceso de produccin de cada pie;a consta de tres etapas corte, construccin: acaadoA # tiempo >ue se re>uiere para cada etapa se muestra en asiguiente taa
Etapas Infantil Normal De lujoCorte 5 hrs 7 hrs 8 hrsConstrucción 4 hrs 5 hrs 7 hrsAcabado 2 hrs 3 hrs 4 hrs
<i semanamente a empresa dispone de un mSximo de 216 horas para ecorte, 163 para a construccin : J2 para e acaado, ¿cuSntos siones de cadatipo puede producir a compañEa si opera a su mSxima capacidad?
UNIDAD %.
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1.-PRODUCTOS NOTABLES.Produ!(o$ #o(a/*e$ es e nomre >ue recien mutipicaciones conexpresiones ageraicas cu:o resutado se puede escriir mediante simpeinspeccin, sin @ericar a mutipicacin >ue cumpen ciertas regas 5asA <uapicacin simpica : sistemati;a a resoucin de muchas mutipicaciones
haituaesA
ada producto notae corresponde a una Rrmua de Ractori;acinA Fore5empo, a Ractori;acin de una diRerencia de cuadrados perRectos es unproducto de dos inomios con5ugados, : recEprocamenteA
1A17 inomio a cuadrado
(a+)0= a0+73a+0(a7)0= a072a+0
1A27 inomio con5ugado(a+)(a7)= a070
1A37 inomio con termino comn
(a+)(a+c)= a0+(+c)a+c
1A47 inomio a cuo
(a+)=a+3a0+3a0+
%.- 0ACTORI7ACION.
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#s expresar un poinomio o monomio en e producto de otros o5etos mSspe>ueños (Ractores), >ue, a mutipicaros todos, resuta e o5eto originaA Fore5empo, e numero 1H se Ractori;a en3 x HA
2A1A7 inomiosA
2A1A1A7 /iRerencia de cuadradosA
<e identica por tener 2 tDrminos ee@ados a cuadrado : unidos por e signomenosA <e resue@e por medio de 2 parDntesis, (a7)(a+), uno negati@o : otropositi@oA #n os parDntesis deen coocarse as raEces de cada tDrminoA#5empoAJ:074x0*aE; de J:0= 3:*aE; de 4x0= 2x(3:+2x)(3:72x)
2A1A2A7 /iRerencia de cuosA
<e identica por tener 2 tDrminos ee@ados a cuo : unidos por e signonegati@oA
1A7 se extrae a raE; cuica de cada termino de inomioA2A7 se Rorma un producto de 2 Ractores (un inomio por un trinomio)A3A7 os Ractores inomio son a diRerencia de as raEces cuicas de os tDrminosde inomioA4A7 os Ractores trinomios se determinan asE# cuadrado de a primer raE; mas e producto de estas raEces mas e cuadradode a segunda raE;A
a7= (a7)(a0+a+0)
#5empoABactori;ar :72K*aE; cuica de : = :*aE; cuica de 2K= 3*esutadoA7 (:73)(:0+3:+J)
2A1A3A7 <uma de cuosA<e identica por tener 2 tDrminos ee@ados a cuo unidos por un signopositi@oA
1A7 se extrae a raE; cuica de cada termino de inomioA2A7 se Rorma un producto de 2 Ractores (un inomio por un trinomio)A3A7 os Ractores inomio son a suma de as raEces cuicas de os tDrminos deinomioA4A7 os Ractores trinomios se determinan asE# cuadrado de a primer raE; menos e producto de estas raEces mas ecuadrado de a segunda raE;A
a+= (a+)(a07a+0)
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#5empoABactori;ar 8x+64*aE; cuica de 8x= 2x*aE; cuica de 64= 4
*esutadoA7 (2x+4)G(2x)072xY4+40I= (2x+4)(4x078x+16)
2A2A7 .rinomios2A2A1A7.rinomio cuadrado perRectoA
<e identica por tener 3 tDrminos, de os cuaes 2 tienen raEces exactas : erestante e>ui@ae a doe producto de as raEcesA Fara soucionar deemosreordenar os tDrminos de5ando de primero : de tercero os tDrminos >uetengan raE; cuadrada, uego extraemos a raE; cuadrada de primer : tercertermino : os escriimos en un parDntesis, separSndoos por e signo >ueacompaña a segundo termino : ee@amos todo e inomio a cuadradoA
#5empo
Bactori;ar 2Hx073!x:+J:0
*aE; 2Hx0 = Hx
*aE; J:0 = 3:
*esutado =(Hx73:)0
2A2A2A7 .rinomio no cuadrado perRectoA
<e identica por tener 3 tDrminos, soo una itera tiene raE; : uno de eos es etermino independienteA <e resue@e por medio de 2 parDntesis, en os cuaes secoocan a raE; cuadrada de a @ariae, uscando 2 nmeros >ue mutipicadosden como resutado e termino independiente : sumados (pudiendo sernmeros negati@os) den como resutado e termino de medioA
#5empo
Bactori;ar a0+2a71H
*aE; de a0= a
9utipicacin 1x1H=1HHx3=1H
<umar : restar 1H71=14H73=2171H=71437H=72
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*esutado (a+H)(a73)2A3A7 Bactor comnA
2A3A1A Bactor comn monomioA
1A7 <e extrae a @ariae comn de cua>uier case, >ue @iene a ser e primerRactorA2A7 <e di@ide cada parte de a expresin entre a @ariae comn : e con5unto@iene a ser e segundo RactorA
#5empoA
Bactori;ar xK+x no se aprecia un Ractor comn @isie"a @ariae comn con su menor exponente, ese es e Ractor
comnA
/i@isin x
7+ x3
x3 = x
4
+1
*esutado (x4+1)(x)
2A3A2A Bactor comn por agrupacinA
1A7 <e extrae e Ractor comn de cua>uier case, >ue @iene a ser e primerRactorA2A7 <e di@ide cada parte de a expresin entre e Ractor comn : e con5unto@iene a ser e segundo RactorA
#5empoA
Bactori;ar a(x+3)+(x+3) se aprecian Ractores comunes notaementeABactor comn con su menor exponente (x+3)
/i@isina ( x+3)+b( x+3)
( x+3) =a+b
*esutado (a+)(x+3)
Tarea 1 Tarea +BormuarioBactori;ar
Tarea %Jx072H:0= (3x+H:)(3x7H:) 2x6+4x0=2x0(x4+2)(2x+K:)0= 4x0+28x:+4J:0 x³+2x²+x=x(x²+2x+1)(3x+H)(3x7K)= Jx076x73H
4a0+2a+6a0=2a(2a+1+3)(x+4:)=x+12x0:+48x:0+64:
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x0+6x+J=(x+3)0x071!x+2H=(x7H)0
UNIDAD +.
1A7 -F#*'-$#< -$ B*'-$#< W&# $"&Q#$ 9-$-9-<A
Braccin
Fropia &na Rraccin propia tiene su numerador menor >ue su denominadorA2
3,5
8,10
13
mpropia &na Rraccin impropia tiene su numerador ma:or o igua >ue sudenominadorA <e expresa como un entero con RraccinA
21
2,5
3
7,3
8
9
1A1A7 <impicacinA
Reducir una expresión o una ecuación a una forma ms senci!!a " e#ui$a!en%e a !a inicia!
<e pueden simpicar, productos, di@isiones, sumas : restasA
#n este tema nos ocupara e simpicar Rracciones con monomiosA
1A2A FroductoA
# producto de 2 Rracciones es igua a a mutipicacin de os numeradoressore a mutipicacin de os denominadoresA
#5empo
3
8 x
5
6=
15
48
' apicar esto a mutipicacin de monomios nos darEa
3ab ²c ³
2abc x
6 a ²bc ²
abc ²=
3ab ²c ³6a ²bc ²
2abcabc ²=
18 a ³b ³ c5
2a ²b ² c ³=9abc ²
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1A3A /i@isinA
"a di@isin de 2 Rracciones es igua a mutipicar e numerador de a primera pore denominador de a segunda, e resutado se sita en e numerador de aresutante : para e denominador de a resutante astara con mutipicar e
denominador de a primera por e numerador de a segundaA
#5empo3
8÷ 5
6=
18
40=
9
20
' apicar esto a di@isin de monomios nos darEa
3ab ²c ³
2abc ÷
6 a ²bc ²
abc ²=
3ab ²c ³ abc ²
2abc6 a ²bc ²=
3a ²b ³c5
12a ³b ² c ³=
3bc ²
12a
1A4A <uma : resta
/enominador iguaA
uando tenemos suma : resta de Rracciones con denominador igua, o nico>ue tenemos >ue hacer es sumar o restar (segn indi>ue e signo de aoperacin) a os numeradores, e denominador seguirS siendo e mismoA
#5empo
2
9+5
9=7
9 ó 5
7−3
7=2
7
' apicar esto a suma o resta de monomios nos darEa
4abc
a ²+3abc
a ²=
7abc
a ²
omo a @ariae (ac) es a misma en amos casos soamente tenemos >uesumar os coecientes (4 : 3) : e denominador es e mismo soo o pasamosA
¿Wue pasa si a @ariae tiene una pe>ueña modicacin?
4ab ² c
a ²+3abc
a ²=(4ab2
c+3abc )a ²
<e expresarEa de esa Rorma, sin poder sumar coecientesA
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/enominador distintoA
uando tenemos suma : resta de Rracciones con denominador distinto, o >uetenemos >ue hacer para e nue@o denominador es e producto de osdenominadores : para e nue@o numerador seria a suma de producto de
numerador de primero por e denominador de segundo mas e producto denumerador de segundo por e denominador de primeroA
#5empo
3
4+2
5=15+820
=23
20
' apicar esto a suma o resta de monomios nos darEa
4abc
a +
3abc
a ²=
4 abca ²+a3abc
a3
=4a ³bc+3a ²bc
a ³
omo a @ariae en os numeradores son distintas, no se pueden sumar oscoecientes, o >ue si podemos hacer es simpicar este resutado sacando eRactor comnA
4a ³bc+3a ²bc
a ³=
a ²(4abc+3bc )a ³
=4 abc+3bc
a
#n estos casos si en ugar de suma se tratara de una resta, e signo positi@o secamiaria por uno negati@o, si os numeradores tu@ieran as mismas @ariaes,entonces sus coecientes se restarEan, si no, se >uedarEa expresado con signonegati@oA
2A7 -F#*'-$#< -$ B*'-$#< W&# $"&Q#$ F-"$-9-<A
2A1A <impicacinA
Fara simpicar poinomios tendremos >ue echar mano de os productosnotaes : de mucha agera, por e5empo
4 x2−25 y ²
6 x ²+15 xy =(2 x−5 y)(2 x+5 y)
3 x (2 x+5 y) =
2 x−5 y
3 x
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/e i;>uierda a derecha e primer numerador es una diRerencia de cuadrados, ecua transRormamos en un inomio con5ugado (segundo numerador), a primerdenominador e sacamos Ractor comn (3x), por utimo simpicamos etermino de numerador con e de denominador (2x+H:)A
#5ercicios
1) x ²+ x
ax+a=
x
a 2)an−nx
n ²−ny=
a− x
n− y 3) x ²−a ²
x ²+ax =
x−a
x
4)25 x ²−9
10 x−6=
5 x+32 H)
8a+8b
12n−12 y=
2(a+b)3(n− y ) 6)
4 x ² y−8 xy ²
12ax ³−24ax ² y=
y
3ax
2A2A FroductoA
# producto de 2 Rracciones es igua a a mutipicacin de os numeradoressore a mutipicacin de os denominadoresA
' apicar esto a mutipicacin de poinomios nos darEa
3 x+2 y6 x−3 y
x 3 x
6 y= 3 x (3 x+2 y )6 y (6 x−3 y )
= 9 x ²+3 xy36 xy−18 y ²
1A3A /i@isinA
"a di@isin de 2 Rracciones es igua a mutipicar e numerador de a primera pore denominador de a segunda, e resutado se sita en e numerador de a
resutante : para e denominador de a resutante astara con mutipicar edenominador de a primera por e numerador de a segundaA
' apicar esto a di@isin de poinomios nos darEa
3 x+2 y
6 x−3 y ÷ 3 x
6 y=
3 x (6 x−3 y )6 y (3 x+2 y)
= 18 x ²−9 xy
12 y ²+18 xy=
9 x(2 x− y )6 y (3 x+2 y)
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1A4A <uma : resta
/enominador iguaA
uando tenemos suma : resta de Rracciones con denominador igua, o nico>ue tenemos >ue hacer es sumar o restar (segn indi>ue e signo de a
operacin) a os numeradores, e denominador seguirS siendo e mismoA
' apicar esto a suma o resta de poinomios nos darEa
3 x+2 y6 x−3 y
+ 3 x
6 x−3 y=3 x+2 y+3 x6 x−3 y
= 6 x+2 y
6 x−3 y= 2(3 x+ y )3(2 x− y )
omo a @ariae (3x+2:) : (3x) no es a misma en amos casos soamentetenemos >ue sumar os coecientes de as @ariaes iguaes : e denominadores e mismo soo o pasamosA
¿Wue pasa si a @ariae tiene una pe>ueña modicacin?
/enominador distintoA
uando tenemos suma : resta de Rracciones con denominador distinto, o >uetenemos >ue hacer para e nue@o denominador es e producto de osdenominadores : para e nue@o numerador seria a suma de producto denumerador de primero por e denominador de segundo mas e producto denumerador de segundo por e denominador de primeroA
' apicar esto a suma o resta de poinomios nos darEa
3 x+2 y6 x−3 y
+3 x
3 y=
3 y (3 x+2 y )+3 x (6 x−3 y )3 y (6 x−3 y )
=9 xy+6 y ²+18 x ²−9 xy
3 y (6 x−3 y ) =
6 (3 x2+ y2)3 y (6 x−3 y )
#n estos casos si en ugar de suma se tratara de una resta, e signo positi@o secamiaria por uno negati@o, si os numeradores tu@ieran as mismas @ariaes,entonces sus coecientes se restarEan, si no, se >uedarEa expresado con signonegati@oA
/C<-$ /# F-"$-9-<A
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&i$idir'
43223422 376 7 1535 y xy y x y x x y xy x −+−−−+
0
3 5
3 5
62 10
373 10
9 3 15
23
376 7 1535
4322
4322
3223
43223
2234
22
43223422
y xy y x
y xy y x
xy y x y x
y xy y x y x
y x y x x
y xy x
y xy y x y x x y xy x
+−−
−+
−+
−++−
+−−
+−
−+−−−+
Pro/*ea$.-
-F#*'-$#< -$ 9-$-9-<
3
8c ²+
2
4c ²−
2
6c2=¿
3
6a ²−
2
5a+
2
6a2=¿
2
5b ³∗6
3
b3∗2
5b2=¿
32
16 x ² y ³÷
4
6 x ³ y=¿
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-F#*'-$#< /# F-"$-9-< -$ 9-$-9-<
2
5 x ³ y (34 xy ²+
2
3 x ² y )=¿
( 26 y ³ x+ 2
3 y ² x ²)÷ 25 x ³ y ³=¿
-F#*'Z$ -$ F-"$-9-<
(2 x+8 ) (3 x ²−2 )=¿
(4
7
x ²+8 x−3
5
)(2
3
x ²+3
5
x+8
)=¿
(4 x ³−58 x−24 )÷ (2 x−8 )=¿
3A7 #&'-$#< &'/*'.'<A
Qa saemos >ue e grado de una ecuacin es e >ue determina e numero desouciones para estaAuando en una ecuacin tenemos en nuestra incgnita un exponente (2),saemos >ue se pueden encontrar dos @aores >ue satisRagan a ecuacinA#stas ecuaciones se aman de segundo grado o cuadrSticas, : a Rorma generapara estas es
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ax ²+bx+c=0
&na ecuacin de segundo grado puede ser incompeta, si
$o tiene e tDrmino inea ax ²+c=0
$o tiene e tDrmino independiente ax ²+bx=0
"as ecuaciones de segundo grado competas pueden reso@erse principamentepor Ractori;acin, cuando e trinomio sea Ractori;ae mediante a Rormuagenera
x=−b±√ b ²−4 ac
2a
"as ecuaciones de segundo grado incompetas de a Rorma ax0+c=! seresue@en de Rorma mu: sencia, pues soo tienen una incgnitaAFodemos representar su soucin con a siguiente Rormua
x=±√−c
a
on esta Rormua se otendrSn 2 @aores para OxP, uno positi@o : otro negati@o,siempre : cuando OcP sea menor >ue cero, es decir >ue sea un numeronegati@o de o contrario no tendrEa soucin en os nmeros reaesAFor e5empo, para dar soucin a a ecuacin 2x07H!=!, primero oser@amos>ue no tiene termino inea[ es decir , de a Rorma x, por o >ue seguimos e
procedimiento con a Rormua :a indicada
x=±√−50
2=±√ 25 x1=+√ 25=5 x2=−√ 25=−5
"as ecuaciones de segundo grado incompetas, de a Rorma ax0+x=![ esto es,sin termino independiente (c), se resue@en Ractori;ando por Ractor comn,oteniendo siempre en una de sus souciones e ceroA <u Rormua genera es
x (ax+b )=0
/e donde se desprenden as 2 posiiidades de soucin
x1=
0
ax+b=0
x2=ax+b=0
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For e5empo, para dar soucin a a ecuacin 3x07Jx=!, oser@amos >ue notiene termino independiente, por o >ue seguimos e siguiente procedimiento
Frimero Ractori;amos x(3x7J)=! : despuDs apicamos a Rormua
3x7J=!3x=J=J3=3
For o tanto e otro @aor de OxP serS ceroA
<-"&-$ F-* B'.-*\'-$ #&'-$ &'/*'.' -9F"#.'A
Fara dar soucin a una ecuacin cuadrStica por este mDtodo, deemosrecordar as Ractori;aciones de trinomios de Rorma x²+x+c " de !a forma ax²+x+c*a ecuación se dee fac%oriar, u%i!iando !os m-%odos "a expues%os
.! fac%oriar se o%ienen dos inomios como fac%ores/ es%os se i0ua!an a cero para asio%ener !os 2 $a!ores de nues%ra inco0ni%a
emp!o'
ncuen%ra !os 2 $a!ores posi!es para !a incó0ni%a en !as si0uien%es ecuacionescuadr%icas u%i!iando e! m-%odo de fac%oriación
a) x²+5x+=
(x+3)(x+2)=
x+3= x+2=x=3 x=2
) "²2"15=
("+3)("5)=
"+3= "5="=3 "=5
c) 5x²8x+3=
(x1)(5x3)=
x1= 5x3=x=1 x=365
*9:;< R >R?9*. @<R.*
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&e una expresión de !a forma ax²+x+c= saemos #ue es una ecuación cuadr%ica &e!as cua!es exis%en expresiones no fac%oria!es, para %a!es casos deemos reso!$er!asmedian%e !a formu!a 0enera!'
x=
−b±√ b ²−4 ac
2a
emp!o'
ncuen%ra !os 2 $a!ores posi!es para !a incó0ni%a en !as si0uien%es ecuacionescuadr%icas u%i!iando !a formu!a 0enera!
a) 4x²+1x+7=
x=−(16)±√ (16 )
2
−4(4)(7)2(4)
=−16±√ 144
8
x1=−16+12
8=−4
8=−1
2
x2=−16−12
8=−28
8=−7
2
) 2x²42=5x
2x²5x42=
x=−(−5)±√ (−5 )
2
−4(2)(−42)2(2)
=−16±√ 144
8
x1=
5+194
=24
4=6
x2=
5−19
4=−14
4=−7
2
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"e:es de os exponentes
Los exponentes también se llaman potencias o índices
El exponente de un número dice cuántas veces se
multiplica el número.
En este eemplo! 82 = 8 × 8 = 64
• #n paaras 82 se puede eer ]8 a asegunda potencia], ]8 a a potencia2] o simpemente ]8 a cuadrado]
.odo o >ue necesitas saerAAA
"odas las #Le$es de los Exponentes# %o también #re&las de los exponentes#' (ienen de tres
ideas!
# exponente de un nmero dice u*("*"!a e* #8ero or $í
"$o tantas @eces
"o contrario de mutipicar es di@idir, asE >ue un e5o#e#(e
#e3a(")o $"3#"9!a d")"d"r
&n exponente Rraccionario como 1:# >uiere decir ;a!er
*a raí< #-4$"a
)i entiendes esto* +entonces entiendes todos los exponentes,
- todas las re&las ue si&uen se basan en esas ideas.
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"e:es de os exponentes
/u estn las le$es %las explicaciones estn después'!
Le= E>e*o
x1 = x 61 = 6
x! = 1 K! = 1
x71 = 1x 471 = ^
xmxn = xm+n x2x3 = x2+3 = xH
xmxn = xm7n x4x2 = x472 = x2
(xm)n = xmn (x2)3 = x2_3 = x6
(x:)n = xn:n (x:)3 = x3:3
(x:)
n
= x
n
:
n
(x:)
2
= x
2
:
2
x7n = 1xn x73 = 1x3
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#xpicaciones de as e:es
Las tres primeras le$es %x1 x* x0 1 $ x1 1x' son slo parte de la sucesin natural de
exponentes. ira este eemplo!
E>e*o? o(e#!"a$ de
% 1 @ @ 2H
1 1 @ H
1 1
-1 1 !A2
-% 1 !A!4
AAA etcAAA
(ers ue los exponentes positi(os* cero $ ne&ati(os son en realidad parte de un mismo
patrn* es decir 5 (eces ms &rande %o peueo' cuando el exponente crece %o disminu$e'.
"a e: >ue dice >ue xmxn = xm+n
En xmxn* 8cuntas (eces multiplicas #x# Respuesta: primero #m# (eces* después otras #n#
(eces* en total #m:n# (eces.
#5empo x2x3 = (xx) _ (xxx) = xxxxx = xH
/s ue x2x3 x%2:3' x5
"a e: >ue dice >ue xmxn = xm7n
;omo en el eemplo anterior* 8cuntas (eces multiplicas #x# <espuesta! #m# (eces*
después reduce eso #n# (eces %porue ests di(idiendo'* en total #mn# (eces.
#5empo x472 = x4x2 = (xxxx) (xx) = xx = x2
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%<ecuerda ue xx 1* as ue cada (e= ue >a$ una x #sobre la lnea# $ una #bao la lnea#
puedes cancelarlas.'
Esta le$ también te muestra por ué x0=1 !
#5empo x2x2 = x272 = x! =1
"a e: >ue dice >ue (xm)n = xmn
?rimero multiplicas x #m# (eces. @espués tienes ue hacer eso "n" veces* en total mAn(eces.
#5empo (x3)4 = (xxx)4 = (xxx)(xxx)(xxx)(xxx) = xxxxxxxxxxxx = x12
/s ue %x3'4 x3A4 x12
"a e: >ue dice >ue (x:)n = xn:n
?ara (er cmo Bunciona* slo piensa en ordenar las #x#s $ las #$#s como en este eemplo!
#5empo (x:)3 = (x:)(x:)(x:) = x:x:x: = xxx::: = (xxx)(:::) = x3:3
"a e: >ue dice >ue (x:)n = xn:n
?arecido al eemplo anterior* slo ordena las #x#s $ las #$#s
#5empo (x:)3 = (x:)(x:)(x:) = (xxx)(:::) = x3:3
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"a e: >ue dice >ue
?ara entenderlo* slo recuerda de las Bracciones ue nm n A %1m'!
#5empo
Q eso es todo
Si te cuesta recordar todas las leyes, acuérdate de esto:
siempre puedes calcular todo si entiendes las tres ideas de la parte de arriba de esta p&ina.
'h, una cosa mSsAAA ¿WuD pasa si x= !?
#xponente positi@o(n`!)
!n = !
#xponente negati@o(n!)
No de9#"do (For>ue di@idimosentre !)
#xponente = ! Ummm ... bee mSs aa5o
# extraño caso de !!
Va: dos argumentos diRerentes sore e @aor correctoA !! podrEa ser 1, o >ui;Ss!, asE >ue aguna gente dice >ue es ]indeterminado]
x! = 1, asE >ue AAA !! = 1
!n = !, asE >ue AAA !! = !
uando dudesAAA !! = "indeterminado"
ercicios'
x6
x−10
=¿
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√ ❑ es el signo radical.
n! es el "ndice.
a! es el radicando.
#! es la ra"z o soluci$n del radical.
Leyes de los radicales
n√ x¿
n= x¿
n√ a∗
n√ b=
n√ ab
n√ an√ b
=n
√a
b
n√ x
n= x
m
√
n
√ a=
mn
√ a
%ara &ue sir'en(((
1.- re)o'er factores del radicando
2.- con'ertir el radicando en no fraccionario
3.- e*presar un radical co)o un radical de orden )as #a+o
4.- incluir un factor dentro del signo radicalE+e)plos.-
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b2¿
1
2
a4¿
1
2 ¿
81a4
b2¿
1
2=81
1
2 ¿
√ 81a4
b2
=¿
¿√ 81a4
2 b2
2
¿9a ²b
n12 ¿
1
4
m4 ¿
1
4 ¿
81m4
n12¿
1
4=81
1
4 ¿4
√ 81m4
n12=¿
¿ 4
√ 81m4
4 n12
4
¿3mn³
64a6¿
1
6
¿
b12¿
1
6
¿¿¿
6
√64 a6
b12 +a=¿
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√ 8a ³b ³+ 3
√ ab−3
√ 8a4
b4−4
√ 4 a ²b ²
√ (2ab)²2ab+3
√ ab−3
√ (2ab)3
ab−√ √ (2ab)²
2ab√ 2ab+3
√ ab−2ab3
√ ab−√ 2ab
2ab√ 2ab−√ 2ab+3
√ ab−2ab3
√ ab
√ 2ab (2ab−1 )+ 3
√ ab(1−2ab)
(2ab−1)(√ 2ab− 3
√ ab)
E+ercicios.