Angle inscrit – Angle au centre –
Angle tangentiel
DEFINITIONS
Angle inscrit : Angle inscrit : définitiondéfinition
• Un angle inscrit dans un cercle est un angle dont le sommet est un point du cercle et dont les côtés sont des cordes du cercle.
• Ici, l’angle inscrit est l’angle bleu.
Angle au centre : Angle au centre : définitiondéfinition
• Dans un cercle, un angle au centre est un angle dont le sommet est le centre de ce cercle.
• Ici, l’angle au centre est l’angle mauve.
Angle tangentiel: Angle tangentiel: définitiondéfinition
• Un angle tangentiel à un cercle est un angle dont le sommet est un point du cercle et dont un côté est tangent au cercle, tandis que l’autre côté est sécant au cercle.
• Ici, l’angle tangentiel est l’angle rose.
Propriétés
Propriété n°1:Propriété n°1:
Dans tout cercle, l’amplitude d’un angle inscrit est égale à la moitié de
celle de l’angle au centre interceptant le même arc de cercle.
Trois cas sont à envisager:Trois cas sont à envisager:
• 1er cas: Le centre O du cercle est sur un des côtés de l’angle inscrit.
• 2ème cas: Le centre O du cercle est à l’intérieur de l’angle inscrit.
• 3ème cas: Le centre O du cercle est à l’extérieur de l’angle inscrit.
1er cas: Le centre O du cercle est sur un des côtés de l’angle inscrit.
• Hypothèses:
BAC est un angle inscrit;BOC est un angle au centre.
• Démonstration:
AOB est un triangle isocèle.Donc, l’angle A = l’angle
B.
L’angle BOC est un angle extérieur du triangle AOB.
Donc, l’angle O= l’angle A + l’angle B
OUL’angle O = 2 x l’angle A
• Conclusion:
• L’angle A = ½ de l’angle O
• Thèse:
BAC = ½ BOC
• Hypothèses:
BAC est un angle inscrit;
BOC est un angle au centre.
• Démonstration: On trace le diamètre [AD].
On a: - l’angle A1 = ½ de l’angle O1
- l’angle A2 = ½ de l’angleO2
On additionne ces deux égalités membre à membre: A1 + A2 = ½ O1 + ½ O2.
• Conclusion:
L’angle A = ½ de l’angle O
• Thèse:
BAC = ½ BOC
2ème cas: Le centre O du cercle est à l’intérieur de l’angle inscrit.
• Hypothèses:
BAC est un angle inscrit;BOC est un angle au centre.
• Démonstration:
On trace le diamètre [AD].
On a: - L’angle A3 = ½ de l’angle O3- L’angle A2 = ½ de l’angle O2.
On soustrait les deux égalités membre à membre: A3 – A2 = ½ O3 – ½ O2
• Conclusion:
L’angle A = ½ de l’angle O
• Thèse:
BAC = ½ BOC
3ème cas: Le centre O du cercle est à l’extérieur de l’angle inscrit.
Propriété n°2:Propriété n°2:
Dans tout cercle, deux angles inscrits interceptant le même arc de cercle ont
la même amplitude.
• Hypothèses:
L’angle A est un angle inscrit;L’angle B est un angle inscrit;L’angle O est un angle au centre.
• Démonstration:
L’angle A est un angle inscrit et l’angle O est un angle au centre.Donc A = ½ O
L’angle B est un angle inscrit et l’angle O est un angle au centre
Donc B = ½ O
• Conclusion:
L’angle A = l’angle B
• Thèse:
L’angle A = l’angle B
Propriété n°3:Propriété n°3:
Dans tout cercle, l’amplitude d’un angle tangentiel égale la moitié de celle de l’angle au centre interceptant le même arc de cercle.
• Hypothèses:
AB est une tangente au cercle en A;L’angle A1 est un angle tangentiel;L’angle O est un angle au centre.
• Démonstration:
Le triangle AOC est isocèle.Donc, l’angle A2 = l’angle C
Dans le triangle AOC: O + A2 + C = 180°
Or, A1 + A2 = 90°
On en déduit que:O + A2 + C = 2 . (A1 +
A2)OU O + 2A2 = 2A1 + 2A2OU O = 2A1
• Conclusion:
L’angle A = ½ de l’angle O
• Thèse:
L’angle A1 = ½ de l’angle O