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Análisis Numérico y Mecánica Geométrica
Javier Fernandez
Instituto BalseiroUniversidad Nacional de Cuyo – C.N.E.A.
Departamento de Matemática, F.C.E., U.N.L.P., julio de 2014
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Integradores numéricos
Integradores Numéricos
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Integradores numéricos
Un problema muy general
I Resolver el problema de valores inicialesq = f (q)
q(0) = q0.(1)
I Más simple: resolver aproximadamente el problema (1).I Derivadas = límite de cocientes incrementales
IdeaReemplazar derivadas por cocientes incrementales.
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Integradores numéricos
Un problema muy general
I Resolver el problema de valores inicialesq = f (q)
q(0) = q0.(1)
I Más simple: resolver aproximadamente el problema (1).I Derivadas = límite de cocientes incrementales
IdeaReemplazar derivadas por cocientes incrementales.
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Integradores numéricos
Un problema muy general
I Resolver el problema de valores inicialesq = f (q)
q(0) = q0.(1)
I Más simple: resolver aproximadamente el problema (1).
I Derivadas = límite de cocientes incrementales
IdeaReemplazar derivadas por cocientes incrementales.
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Integradores numéricos
Un problema muy general
I Resolver el problema de valores inicialesq = f (q)
q(0) = q0.(1)
I Más simple: resolver aproximadamente el problema (1).I Derivadas = límite de cocientes incrementales
IdeaReemplazar derivadas por cocientes incrementales.
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Integradores numéricos
Un problema muy general
I Resolver el problema de valores inicialesq = f (q)
q(0) = q0.(1)
I Más simple: resolver aproximadamente el problema (1).I Derivadas = límite de cocientes incrementales
IdeaReemplazar derivadas por cocientes incrementales.
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Integradores numéricos Métodos de Euler
Método de Euler explícito
I Tomar tk := kh.
I q(t) solución de (1), entoncesI Definir
• q0 := q0,• qk+1 := qk + hf (qk ) si k ∈ N ∪ 0.
I La sucesión qk es el método de Euler explícito.
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Integradores numéricos Métodos de Euler
Método de Euler explícito
I Tomar tk := kh.I q(t) solución de (1), entonces
I Definir
• q0 := q0,• qk+1 := qk + hf (qk ) si k ∈ N ∪ 0.
I La sucesión qk es el método de Euler explícito.
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Integradores numéricos Métodos de Euler
Método de Euler explícito
I Tomar tk := kh.I q(t) solución de (1), entonces
f (q(tk )) = q(tk ) ' q(tk+1)− q(tk )
tk+1 − tk=
q(tk+1)− q(tk )
h
I Definir
• q0 := q0,• qk+1 := qk + hf (qk ) si k ∈ N ∪ 0.
I La sucesión qk es el método de Euler explícito.
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Integradores numéricos Métodos de Euler
Método de Euler explícito
I Tomar tk := kh.I q(t) solución de (1), entonces
f (q(tk )) = q(tk ) ' q(tk+1)− q(tk )
tk+1 − tk=
q(tk+1)− q(tk )
h
I Definir
• q0 := q0,• qk+1 := qk + hf (qk ) si k ∈ N ∪ 0.
I La sucesión qk es el método de Euler explícito.
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Integradores numéricos Métodos de Euler
Método de Euler explícito
I Tomar tk := kh.I q(t) solución de (1), entonces
f (q(tk )) = q(tk ) ' q(tk+1)− q(tk )
tk+1 − tk=
q(tk+1)− q(tk )
h
I Definir• q0 := q0,
• qk+1 := qk + hf (qk ) si k ∈ N ∪ 0.I La sucesión qk es el método de Euler explícito.
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Integradores numéricos Métodos de Euler
Método de Euler explícito
I Tomar tk := kh.I q(t) solución de (1), entonces
f (q(tk )) = q(tk ) ' q(tk+1)− q(tk )
tk+1 − tk=
q(tk+1)− q(tk )
h
I Definir• q0 := q0,• qk+1 := qk + hf (qk ) si k ∈ N ∪ 0.
I La sucesión qk es el método de Euler explícito.
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Integradores numéricos Métodos de Euler
Método de Euler explícito
I Tomar tk := kh.I q(t) solución de (1), entonces
f (q(tk )) = q(tk ) ' q(tk+1)− q(tk )
tk+1 − tk=
q(tk+1)− q(tk )
h
I Definir• q0 := q0,• qk+1 := qk + hf (qk ) si k ∈ N ∪ 0.
I La sucesión qk es el método de Euler explícito.
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Integradores numéricos Métodos de Euler
Un ejemplo: el péndulo plano (ideal)
I barra de longitud l (sin masa)I masa puntual mI aceleración de la gravedad gI variable: θ = ánguloI dinámica definida por lagrangiano
L(θ, θ) :=12
ml2θ2 −mgl(1− cos(θ))
I ecuación de movimiento
θ +gl
sin(θ) = 0
g
l
mθ
I problema: la ecuación es de segundo orden...
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Integradores numéricos Métodos de Euler
Un ejemplo: el péndulo plano (ideal)
I barra de longitud l (sin masa)
I masa puntual mI aceleración de la gravedad gI variable: θ = ánguloI dinámica definida por lagrangiano
L(θ, θ) :=12
ml2θ2 −mgl(1− cos(θ))
I ecuación de movimiento
θ +gl
sin(θ) = 0
g
l
mθ
I problema: la ecuación es de segundo orden...
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Integradores numéricos Métodos de Euler
Un ejemplo: el péndulo plano (ideal)
I barra de longitud l (sin masa)I masa puntual m
I aceleración de la gravedad gI variable: θ = ánguloI dinámica definida por lagrangiano
L(θ, θ) :=12
ml2θ2 −mgl(1− cos(θ))
I ecuación de movimiento
θ +gl
sin(θ) = 0
g
l
mθ
I problema: la ecuación es de segundo orden...
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Integradores numéricos Métodos de Euler
Un ejemplo: el péndulo plano (ideal)
I barra de longitud l (sin masa)I masa puntual mI aceleración de la gravedad g
I variable: θ = ánguloI dinámica definida por lagrangiano
L(θ, θ) :=12
ml2θ2 −mgl(1− cos(θ))
I ecuación de movimiento
θ +gl
sin(θ) = 0
g
l
mθ
I problema: la ecuación es de segundo orden...
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Integradores numéricos Métodos de Euler
Un ejemplo: el péndulo plano (ideal)
I barra de longitud l (sin masa)I masa puntual mI aceleración de la gravedad gI variable: θ = ángulo
I dinámica definida por lagrangiano
L(θ, θ) :=12
ml2θ2 −mgl(1− cos(θ))
I ecuación de movimiento
θ +gl
sin(θ) = 0
g
l
mθ
I problema: la ecuación es de segundo orden...
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Integradores numéricos Métodos de Euler
Un ejemplo: el péndulo plano (ideal)
I barra de longitud l (sin masa)I masa puntual mI aceleración de la gravedad gI variable: θ = ánguloI dinámica definida por lagrangiano
L(θ, θ) :=12
ml2θ2 −mgl(1− cos(θ))
I ecuación de movimiento
θ +gl
sin(θ) = 0
g
l
mθ
I problema: la ecuación es de segundo orden...
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Integradores numéricos Métodos de Euler
Un ejemplo: el péndulo plano (ideal)
I barra de longitud l (sin masa)I masa puntual mI aceleración de la gravedad gI variable: θ = ánguloI dinámica definida por lagrangiano
L(θ, θ) :=12
ml2θ2 −mgl(1− cos(θ))
I ecuación de movimiento
θ +gl
sin(θ) = 0
g
l
mθ
I problema: la ecuación es de segundo orden...
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Integradores numéricos Métodos de Euler
Un ejemplo: el péndulo plano (ideal)
I barra de longitud l (sin masa)I masa puntual mI aceleración de la gravedad gI variable: θ = ánguloI dinámica definida por lagrangiano
L(θ, θ) :=12
ml2θ2 −mgl(1− cos(θ))
I ecuación de movimiento
θ +gl
sin(θ) = 0
g
l
mθ
I problema: la ecuación es de segundo orden...
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Integradores numéricos Métodos de Euler
Paso a primer orden
I Agregar las derivadas primeras como variables adicionales
I Se convierte en q = f (q),
q(0) = q0
I con
q :=
(θν
)y f (q) :=
(q2
−gl sin(q1)
)I Fijamos
l :=g2
y q0 :=
(π20
)
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Integradores numéricos Métodos de Euler
Paso a primer orden
I Agregar las derivadas primeras como variables adicionales
I Se convierte en q = f (q),
q(0) = q0
I con
q :=
(θν
)y f (q) :=
(q2
−gl sin(q1)
)I Fijamos
l :=g2
y q0 :=
(π20
)
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Integradores numéricos Métodos de Euler
Paso a primer orden
I Agregar las derivadas primeras como variables adicionales
ν = θ
I Se convierte en q = f (q),
q(0) = q0
I con
q :=
(θν
)y f (q) :=
(q2
−gl sin(q1)
)I Fijamos
l :=g2
y q0 :=
(π20
)
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Integradores numéricos Métodos de Euler
Paso a primer orden
I Agregar las derivadas primeras como variables adicionales
ν = θθ = ν
ν = −gl sin(θ)
I Se convierte en q = f (q),
q(0) = q0
I con
q :=
(θν
)y f (q) :=
(q2
−gl sin(q1)
)I Fijamos
l :=g2
y q0 :=
(π20
)
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Integradores numéricos Métodos de Euler
Paso a primer orden
I Agregar las derivadas primeras como variables adicionales
ν = θθ = ν
ν = −gl sin(θ)
I Se convierte en q = f (q),
q(0) = q0
I con
q :=
(θν
)y f (q) :=
(q2
−gl sin(q1)
)I Fijamos
l :=g2
y q0 :=
(π20
)
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Integradores numéricos Métodos de Euler
Paso a primer orden
I Agregar las derivadas primeras como variables adicionales
ν = θθ = ν
ν = −gl sin(θ)
I Se convierte en q = f (q),
q(0) = q0
I con
q :=
(θν
)y f (q) :=
(q2
−gl sin(q1)
)
I Fijamos
l :=g2
y q0 :=
(π20
)
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Integradores numéricos Métodos de Euler
Paso a primer orden
I Agregar las derivadas primeras como variables adicionales
ν = θθ = ν
ν = −gl sin(θ)
I Se convierte en q = f (q),
q(0) = q0
I con
q :=
(θν
)y f (q) :=
(q2
−gl sin(q1)
)I Fijamos
l :=g2
y q0 :=
(π20
)Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Integradores numéricos Métodos de Euler
Resultados
I h = 0.02
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Integradores numéricos Métodos de Euler
Resultados
I h = 0.02
Figura : x
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Integradores numéricos Métodos de Euler
Resultados
I h = 0.02
Figura : x Figura : x − v
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Integradores numéricos Métodos de Euler
Resultados
I h = 0.02
Figura : x Figura : x − v Figura : ∆ energía
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Integradores numéricos Métodos de Euler
Observaciones
I La solución es buena sit < 2
I Si t > 2 la solución“adelanta”
I Mismo fenómeno en elespacio de fases
I Trayectoria no cerrada enespacio de fases
I La energía crece
Figura : x
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Integradores numéricos Métodos de Euler
Observaciones
I La solución es buena sit < 2
I Si t > 2 la solución“adelanta”
I Mismo fenómeno en elespacio de fases
I Trayectoria no cerrada enespacio de fases
I La energía crece
Figura : x
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Integradores numéricos Métodos de Euler
Observaciones
I La solución es buena sit < 2
I Si t > 2 la solución“adelanta”
I Mismo fenómeno en elespacio de fases
I Trayectoria no cerrada enespacio de fases
I La energía crece
Figura : x − v
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Integradores numéricos Métodos de Euler
Observaciones
I La solución es buena sit < 2
I Si t > 2 la solución“adelanta”
I Mismo fenómeno en elespacio de fases
I Trayectoria no cerrada enespacio de fases
I La energía crece
Figura : x − v
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Integradores numéricos Métodos de Euler
Observaciones
I La solución es buena sit < 2
I Si t > 2 la solución“adelanta”
I Mismo fenómeno en elespacio de fases
I Trayectoria no cerrada enespacio de fases
I La energía crece
Figura : ∆ energía
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Integradores numéricos Métodos de Euler
Observaciones
I La solución es buena sit < 2
I Si t > 2 la solución“adelanta”
I Mismo fenómeno en elespacio de fases
I Trayectoria no cerrada enespacio de fases
I La energía crece
Figura : x − v
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Integradores numéricos Método de Störmer–Verlet
Método de Störmer–Verlet (2 pasos)
I Ecuaciones de la formaq = f (q)
q(0) = q0, q(0) = q′0.(2)
I Aproximar derivada segunda por cocientes incrementales
I Ecuación:q(tk+1)− 2q(tk ) + q(tk−1) ' h2f (qk )
I Método:qk+1 = 2qk − qk−1 + h2f (qk )
I datos iniciales⇒ q0 y q1
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Integradores numéricos Método de Störmer–Verlet
Método de Störmer–Verlet (2 pasos)
I Ecuaciones de la formaq = f (q)
q(0) = q0, q(0) = q′0.(2)
I Aproximar derivada segunda por cocientes incrementales
I Ecuación:q(tk+1)− 2q(tk ) + q(tk−1) ' h2f (qk )
I Método:qk+1 = 2qk − qk−1 + h2f (qk )
I datos iniciales⇒ q0 y q1
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Integradores numéricos Método de Störmer–Verlet
Método de Störmer–Verlet (2 pasos)
I Ecuaciones de la formaq = f (q)
q(0) = q0, q(0) = q′0.(2)
I Aproximar derivada segunda por cocientes incrementales
I Ecuación:q(tk+1)− 2q(tk ) + q(tk−1) ' h2f (qk )
I Método:qk+1 = 2qk − qk−1 + h2f (qk )
I datos iniciales⇒ q0 y q1
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Integradores numéricos Método de Störmer–Verlet
Método de Störmer–Verlet (2 pasos)
I Ecuaciones de la formaq = f (q)
q(0) = q0, q(0) = q′0.(2)
I Aproximar derivada segunda por cocientes incrementales
I Ecuación:q(tk+1)− 2q(tk ) + q(tk−1) ' h2f (qk )
I Método:qk+1 = 2qk − qk−1 + h2f (qk )
I datos iniciales⇒ q0 y q1
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Integradores numéricos Método de Störmer–Verlet
Método de Störmer–Verlet (2 pasos)
I Ecuaciones de la formaq = f (q)
q(0) = q0, q(0) = q′0.(2)
I Aproximar derivada segunda por cocientes incrementales
I Ecuación:q(tk+1)− 2q(tk ) + q(tk−1) ' h2f (qk )
I Método:qk+1 = 2qk − qk−1 + h2f (qk )
I datos iniciales⇒ q0 y q1
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Integradores numéricos Método de Störmer–Verlet
Método de Störmer–Verlet (2 pasos)
I Ecuaciones de la formaq = f (q)
q(0) = q0, q(0) = q′0.(2)
I Aproximar derivada segunda por cocientes incrementales
I Ecuación:q(tk+1)− 2q(tk ) + q(tk−1) ' h2f (qk )
I Método:qk+1 = 2qk − qk−1 + h2f (qk )
I datos iniciales⇒ q0 y q1
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Integradores numéricos Método de Störmer–Verlet
Método de Störmer–Verlet (1 paso)
I Reducción del orden introduciendo nuevas variables.
I El método: vk+ 1
2:= vk + h
2 f (qk )
qk+1 = qk + hvk+ 12
vk+1 = vk+ 12
+ h2 f (qk+1)
I Evolución en un paso (espacio de fases):
(qk , vk ) 7→ (qk+1, vk+1)
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Integradores numéricos Método de Störmer–Verlet
Método de Störmer–Verlet (1 paso)
I Reducción del orden introduciendo nuevas variables.
q = v , v = f (q)
I El método: vk+ 1
2:= vk + h
2 f (qk )
qk+1 = qk + hvk+ 12
vk+1 = vk+ 12
+ h2 f (qk+1)
I Evolución en un paso (espacio de fases):
(qk , vk ) 7→ (qk+1, vk+1)
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Integradores numéricos Método de Störmer–Verlet
Método de Störmer–Verlet (1 paso)
I Reducción del orden introduciendo nuevas variables.
q = v , v = f (q)
I El método: vk+ 1
2:= vk + h
2 f (qk )
qk+1 = qk + hvk+ 12
vk+1 = vk+ 12
+ h2 f (qk+1)
I Evolución en un paso (espacio de fases):
(qk , vk ) 7→ (qk+1, vk+1)
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Integradores numéricos Método de Störmer–Verlet
Método de Störmer–Verlet (1 paso)
I Reducción del orden introduciendo nuevas variables.
q = v , v = f (q)
I El método: vk+ 1
2:= vk + h
2 f (qk )
qk+1 = qk + hvk+ 12
vk+1 = vk+ 12
+ h2 f (qk+1)
I Evolución en un paso (espacio de fases):
(qk , vk ) 7→ (qk+1, vk+1)
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Integradores numéricos Método de Störmer–Verlet
Péndulo con Störmer–Verlet
I h = 0.02
I Gráficas indistinguibles de la solución exacta (numérica)I Diferencias con la solución exacta (numérica):
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Integradores numéricos Método de Störmer–Verlet
Péndulo con Störmer–Verlet
I h = 0.02I Gráficas indistinguibles de la solución exacta (numérica)
I Diferencias con la solución exacta (numérica):
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Integradores numéricos Método de Störmer–Verlet
Péndulo con Störmer–Verlet
I h = 0.02I Gráficas indistinguibles de la solución exacta (numérica)I Diferencias con la solución exacta (numérica):
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Integradores numéricos Método de Störmer–Verlet
Péndulo con Störmer–Verlet
I h = 0.02I Gráficas indistinguibles de la solución exacta (numérica)I Diferencias con la solución exacta (numérica):
Figura : ∆ x
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Integradores numéricos Método de Störmer–Verlet
Péndulo con Störmer–Verlet
I h = 0.02I Gráficas indistinguibles de la solución exacta (numérica)I Diferencias con la solución exacta (numérica):
Figura : ∆ x Figura : ∆ v
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Integradores numéricos Método de Störmer–Verlet
Péndulo con Störmer–Verlet
I h = 0.02I Gráficas indistinguibles de la solución exacta (numérica)I Diferencias con la solución exacta (numérica):
Figura : ∆ x Figura : ∆ v Figura : ∆ x − v
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Integradores numéricos Método de Störmer–Verlet
Mismos gráficos para Euler explícito
Figura : ∆ x
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Integradores numéricos Método de Störmer–Verlet
Mismos gráficos para Euler explícito
Figura : ∆ x Figura : ∆ v
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Integradores numéricos Método de Störmer–Verlet
Mismos gráficos para Euler explícito
Figura : ∆ x Figura : ∆ v Figura : ∆ x − v
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Integradores numéricos Método de Störmer–Verlet
Observaciones
I Las gráficas de Störmer–Verlet y Euler explícita soncualitativamente similares.
I Son cuantitativamente muy diferentes.
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Integradores numéricos Método de Störmer–Verlet
Observaciones
I Las gráficas de Störmer–Verlet y Euler explícita soncualitativamente similares.
I Son cuantitativamente muy diferentes.
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Integradores numéricos Método de Störmer–Verlet
∆ Energía con Euler explícito y Störmer–Verlet
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Integradores numéricos Método de Störmer–Verlet
∆ Energía con Euler explícito y Störmer–Verlet
Figura : Störmer–Verlet
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Integradores numéricos Método de Störmer–Verlet
∆ Energía con Euler explícito y Störmer–Verlet
Figura : Störmer–Verlet Figura : Euler explícito
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Integradores numéricos Método de Störmer–Verlet
Observaciones
I Energía: comportamiento cualitativamente muy distinto en ambosmétodos.
I Störmer–Verlet: oscila cerca del valor exacto.I Euler explícito crece aproximadamente linealmente.
I Posición y velocidad: para h = 1 el error con Störmer–Verlet escomparable al error de Euler explícito con h = 0.02.
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Integradores numéricos Método de Störmer–Verlet
Observaciones
I Energía: comportamiento cualitativamente muy distinto en ambosmétodos.
I Störmer–Verlet: oscila cerca del valor exacto.
I Euler explícito crece aproximadamente linealmente.
I Posición y velocidad: para h = 1 el error con Störmer–Verlet escomparable al error de Euler explícito con h = 0.02.
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Integradores numéricos Método de Störmer–Verlet
Observaciones
I Energía: comportamiento cualitativamente muy distinto en ambosmétodos.
I Störmer–Verlet: oscila cerca del valor exacto.I Euler explícito crece aproximadamente linealmente.
I Posición y velocidad: para h = 1 el error con Störmer–Verlet escomparable al error de Euler explícito con h = 0.02.
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Integradores numéricos Método de Störmer–Verlet
Observaciones
I Energía: comportamiento cualitativamente muy distinto en ambosmétodos.
I Störmer–Verlet: oscila cerca del valor exacto.I Euler explícito crece aproximadamente linealmente.
I Posición y velocidad: para h = 1 el error con Störmer–Verlet escomparable al error de Euler explícito con h = 0.02.
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Integradores numéricos Errores locales
Orden de un método
I Φh integrador (método numérico)I q(t) solución exacta (condición inicial q0)
Definición (orden de Φh)
Si Φh(q0)− q(h) = O(hr+1), el método tiene orden r .
I Euler explícito:I Störmer–Verlet: orden 2.
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Integradores numéricos Errores locales
Orden de un método
I Φh integrador (método numérico)
I q(t) solución exacta (condición inicial q0)
Definición (orden de Φh)
Si Φh(q0)− q(h) = O(hr+1), el método tiene orden r .
I Euler explícito:I Störmer–Verlet: orden 2.
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Integradores numéricos Errores locales
Orden de un método
I Φh integrador (método numérico)I q(t) solución exacta (condición inicial q0)
Definición (orden de Φh)
Si Φh(q0)− q(h) = O(hr+1), el método tiene orden r .
I Euler explícito:I Störmer–Verlet: orden 2.
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Integradores numéricos Errores locales
Orden de un método
I Φh integrador (método numérico)I q(t) solución exacta (condición inicial q0)
Definición (orden de Φh)
Si Φh(q0)− q(h) = O(hr+1), el método tiene orden r .
I Euler explícito:I Störmer–Verlet: orden 2.
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Integradores numéricos Errores locales
Orden de un método
I Φh integrador (método numérico)I q(t) solución exacta (condición inicial q0)
Definición (orden de Φh)
Si Φh(q0)− q(h) = O(hr+1), el método tiene orden r .
I Euler explícito:
I Störmer–Verlet: orden 2.
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Integradores numéricos Errores locales
Orden de un método
I Φh integrador (método numérico)I q(t) solución exacta (condición inicial q0)
Definición (orden de Φh)
Si Φh(q0)− q(h) = O(hr+1), el método tiene orden r .
I Euler explícito:
Φh(q0)− q(h) =q0 + hf (q0)−(q(0) + hq(0) +O(h2)
)=q0 + hf (q0)−
(q0 + hf (q0) +O(h2)
)=O(h2).
I Störmer–Verlet: orden 2.
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Integradores numéricos Errores locales
Orden de un método
I Φh integrador (método numérico)I q(t) solución exacta (condición inicial q0)
Definición (orden de Φh)
Si Φh(q0)− q(h) = O(hr+1), el método tiene orden r .
I Euler explícito: orden 1
Φh(q0)− q(h) =q0 + hf (q0)−(q(0) + hq(0) +O(h2)
)=q0 + hf (q0)−
(q0 + hf (q0) +O(h2)
)=O(h2).
I Störmer–Verlet: orden 2.
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Integradores numéricos Errores locales
Orden de un método
I Φh integrador (método numérico)I q(t) solución exacta (condición inicial q0)
Definición (orden de Φh)
Si Φh(q0)− q(h) = O(hr+1), el método tiene orden r .
I Euler explícito: orden 1
Φh(q0)− q(h) =q0 + hf (q0)−(q(0) + hq(0) +O(h2)
)=q0 + hf (q0)−
(q0 + hf (q0) +O(h2)
)=O(h2).
I Störmer–Verlet: orden 2.
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Integradores numéricos Errores locales
¿Podría ser el orden?
I ¿Distinto orden⇒ distinto comportamiento energía?
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Integradores numéricos Errores locales
¿Podría ser el orden?
I ¿Distinto orden⇒ distinto comportamiento energía?
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Integradores numéricos Errores locales
¿Podría ser el orden?
I ¿Distinto orden⇒ distinto comportamiento energía?
Figura : Euler explícito(h = 0.0004)
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Integradores numéricos Errores locales
¿Podría ser el orden?
I ¿Distinto orden⇒ distinto comportamiento energía?
Figura : Euler explícito(h = 0.0004) Figura : Runge-Kutta (h = 0.02)
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Integradores numéricos Errores locales
¿Podría ser el orden?
I ¿Distinto orden⇒ distinto comportamiento energía?
Figura : Euler explícito(h = 0.0004) Figura : Runge-Kutta (h = 0.02)
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Integradores numéricos Algunos resultados generales
Ecuaciones hamiltonianasq = ∂pH(q,p)
p = −∂qH(q,p)
I H(q,p) función suavedada.
I donde XH satisface
ω(XH , ·) = dH
I ω es la forma simpléctica
DefiniciónΦh es simpléctico si conserva la estructura simpléctica, es decir, si
Φ∗h(ω) = ω.
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Integradores numéricos Algunos resultados generales
Ecuaciones hamiltonianasq = ∂pH(q,p)
p = −∂qH(q,p)
I H(q,p) función suavedada.
I donde XH satisface
ω(XH , ·) = dH
I ω es la forma simpléctica
DefiniciónΦh es simpléctico si conserva la estructura simpléctica, es decir, si
Φ∗h(ω) = ω.
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Integradores numéricos Algunos resultados generales
Ecuaciones hamiltonianasq = ∂pH(q,p)
p = −∂qH(q,p)
I H(q,p) función suavedada.
Versión intrínseca:
I donde XH satisface
ω(XH , ·) = dH
I ω es la forma simpléctica
DefiniciónΦh es simpléctico si conserva la estructura simpléctica, es decir, si
Φ∗h(ω) = ω.
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Integradores numéricos Algunos resultados generales
Ecuaciones hamiltonianasq = ∂pH(q,p)
p = −∂qH(q,p)
I H(q,p) función suavedada.
Versión intrínseca:
γ(t) = XH(γ(t))
I donde XH satisface
ω(XH , ·) = dH
I ω es la forma simpléctica
DefiniciónΦh es simpléctico si conserva la estructura simpléctica, es decir, si
Φ∗h(ω) = ω.
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Integradores numéricos Algunos resultados generales
Ecuaciones hamiltonianasq = ∂pH(q,p)
p = −∂qH(q,p)
I H(q,p) función suavedada.
Versión intrínseca:
γ(t) = XH(γ(t))
I donde XH satisface
ω(XH , ·) = dH
I ω es la forma simpléctica
DefiniciónΦh es simpléctico si conserva la estructura simpléctica, es decir, si
Φ∗h(ω) = ω.
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Integradores numéricos Algunos resultados generales
Ecuaciones hamiltonianasq = ∂pH(q,p)
p = −∂qH(q,p)
I H(q,p) función suavedada.
Versión intrínseca:
γ(t) = XH(γ(t))
I donde XH satisface
ω(XH , ·) = dH
I ω es la forma simpléctica
DefiniciónΦh es simpléctico si conserva la estructura simpléctica, es decir, si
Φ∗h(ω) = ω.
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Integradores numéricos Algunos resultados generales
Ecuaciones hamiltonianasq = ∂pH(q,p)
p = −∂qH(q,p)
I H(q,p) función suavedada.
Versión intrínseca:
γ(t) = XH(γ(t))
I donde XH satisface
ω(XH , ·) = dH
I ω es la forma simpléctica
DefiniciónΦh es simpléctico si conserva la estructura simpléctica, es decir, si
Φ∗h(ω) = ω.
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Integradores numéricos Algunos resultados generales
Para Störmer–Verlet
TeoremaStörmer–Verlet aplicado a sistemas hamiltonianos es simpléctico.
I Se deduce de que
• Störmer–Verlet puede ser visto como un integrador variacional• Todo integrador variacional es simpléctico.
CorolarioStörmer–Verlet aplicado a sistemas hamiltonianos preservavolúmenes en el espacio de fases.
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Integradores numéricos Algunos resultados generales
Para Störmer–Verlet
TeoremaStörmer–Verlet aplicado a sistemas hamiltonianos es simpléctico.
I Se deduce de que
• Störmer–Verlet puede ser visto como un integrador variacional• Todo integrador variacional es simpléctico.
CorolarioStörmer–Verlet aplicado a sistemas hamiltonianos preservavolúmenes en el espacio de fases.
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Integradores numéricos Algunos resultados generales
Para Störmer–Verlet
TeoremaStörmer–Verlet aplicado a sistemas hamiltonianos es simpléctico.
I Se deduce de que• Störmer–Verlet puede ser visto como un integrador variacional
• Todo integrador variacional es simpléctico.
CorolarioStörmer–Verlet aplicado a sistemas hamiltonianos preservavolúmenes en el espacio de fases.
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Integradores numéricos Algunos resultados generales
Para Störmer–Verlet
TeoremaStörmer–Verlet aplicado a sistemas hamiltonianos es simpléctico.
I Se deduce de que• Störmer–Verlet puede ser visto como un integrador variacional• Todo integrador variacional es simpléctico.
CorolarioStörmer–Verlet aplicado a sistemas hamiltonianos preservavolúmenes en el espacio de fases.
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Integradores numéricos Algunos resultados generales
Para Störmer–Verlet
TeoremaStörmer–Verlet aplicado a sistemas hamiltonianos es simpléctico.
I Se deduce de que• Störmer–Verlet puede ser visto como un integrador variacional• Todo integrador variacional es simpléctico.
CorolarioStörmer–Verlet aplicado a sistemas hamiltonianos preservavolúmenes en el espacio de fases.
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Integradores numéricos Algunos resultados generales
Backward error analysis
I Φh integrador numérico de y = f (y)
I yk = Φkh(y) no satisface yk = y(kh).
I Idea: construir una ecuación modificada cuya solución y satisfagayk = y(kh).
I Pueden no existir tales ecuaciones modificadas (problemas deconvergencia).
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Integradores numéricos Algunos resultados generales
Backward error analysis
I Φh integrador numérico de y = f (y)
I yk = Φkh(y) no satisface yk = y(kh).
I Idea: construir una ecuación modificada cuya solución y satisfagayk = y(kh).
I Pueden no existir tales ecuaciones modificadas (problemas deconvergencia).
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Integradores numéricos Algunos resultados generales
Backward error analysis
I Φh integrador numérico de y = f (y)
I yk = Φkh(y) no satisface yk = y(kh).
I Idea: construir una ecuación modificada cuya solución y satisfagayk = y(kh).
I Pueden no existir tales ecuaciones modificadas (problemas deconvergencia).
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Integradores numéricos Algunos resultados generales
Backward error analysis
I Φh integrador numérico de y = f (y)
I yk = Φkh(y) no satisface yk = y(kh).
I Idea: construir una ecuación modificada cuya solución y satisfagayk = y(kh).
I Pueden no existir tales ecuaciones modificadas (problemas deconvergencia).
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
![Page 97: Análisis Numérico y Mecánica Geométrica - … · Análisis Numérico y Mecánica Geométrica Javier Fernandez Instituto Balseiro Universidad Nacional de Cuyo – C.N.E.A. Departamento](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021907/5bc222fa09d3f2fa268c5945/html5/thumbnails/97.jpg)
Integradores numéricos Algunos resultados generales
Backward error analysis
I Φh integrador numérico de y = f (y)
I yk = Φkh(y) no satisface yk = y(kh).
I Idea: construir una ecuación modificada cuya solución y satisfagayk = y(kh).
I Pueden no existir tales ecuaciones modificadas (problemas deconvergencia).
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
![Page 98: Análisis Numérico y Mecánica Geométrica - … · Análisis Numérico y Mecánica Geométrica Javier Fernandez Instituto Balseiro Universidad Nacional de Cuyo – C.N.E.A. Departamento](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022021907/5bc222fa09d3f2fa268c5945/html5/thumbnails/98.jpg)
Integradores numéricos Algunos resultados generales
Existencia de ecuaciones modificadas (truncadas)
TeoremaDada la ecuación y = f (y) y el integrador Φh de la misma tal que
Φh(y) = y + hf (y) +∞∑
j=2
Dj(y)hj ,
entonces existen únicos fj tales que para cada K ∈ N vale
Φh(y) = φh,K (y) +O(hK+1),
donde φh,K es el flujo exacto de la ecuación diferencial modificadatruncada:
y = f (y) +K∑
j=2
fj(y)hj−1. (3)
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Integradores numéricos Algunos resultados generales
Existencia de ecuaciones modificadas (truncadas)
TeoremaDada la ecuación y = f (y) y el integrador Φh de la misma tal que
Φh(y) = y + hf (y) +∞∑
j=2
Dj(y)hj ,
entonces existen únicos fj tales que para cada K ∈ N vale
Φh(y) = φh,K (y) +O(hK+1),
donde φh,K es el flujo exacto de la ecuación diferencial modificadatruncada:
y = f (y) +K∑
j=2
fj(y)hj−1. (3)
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Integradores numéricos Algunos resultados generales
Más resultados
TeoremaSi Störmer–Verlet se aplica a un sistema hamiltoniano, entonces todaslas ecuaciones modificadas truncadas son hamiltonianas.
TeoremaEl error local del integrador Φh como integrador de la ecuaciónmodificada truncada es exponencialmente pequeño. Un poco másprecisamente, se tiene que
|Φh(y)− φh,K (y)| ≤ hB exp(−h0/h)
donde B y h0 son constantes dependientes de Φh y de la región en laque y toma valores.
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Integradores numéricos Algunos resultados generales
Más resultados
TeoremaSi Störmer–Verlet se aplica a un sistema hamiltoniano, entonces todaslas ecuaciones modificadas truncadas son hamiltonianas.
TeoremaEl error local del integrador Φh como integrador de la ecuaciónmodificada truncada es exponencialmente pequeño. Un poco másprecisamente, se tiene que
|Φh(y)− φh,K (y)| ≤ hB exp(−h0/h)
donde B y h0 son constantes dependientes de Φh y de la región en laque y toma valores.
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Integradores numéricos Algunos resultados generales
Más resultados
TeoremaSi Störmer–Verlet se aplica a un sistema hamiltoniano, entonces todaslas ecuaciones modificadas truncadas son hamiltonianas.
TeoremaEl error local del integrador Φh como integrador de la ecuaciónmodificada truncada es exponencialmente pequeño. Un poco másprecisamente, se tiene que
|Φh(y)− φh,K (y)| ≤ hB exp(−h0/h)
donde B y h0 son constantes dependientes de Φh y de la región en laque y toma valores.
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Integradores numéricos Algunos resultados generales
El último....
TeoremaEl hamiltoniano de la sucesión del método de Störmer–Verlet (qk ,pk )satisface
|H(qk ,pk )− H(q0,p0)| ≤ Ch2 + CK hK t
donde 0 ≤ t = kh ≤ h−K , para cualquier K ∈ N. Las constantes C yCK son independientes de t y h y dependen de cotas en las derivadasde H y de la región que contiene a los puntos de la sucesión.
I La demostración usa la simplecticidad de Störmer–Verlet.
I La demostración (y el resultado) valen para integradoressimplécticos mucho más generales.
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Integradores numéricos Algunos resultados generales
El último....
TeoremaEl hamiltoniano de la sucesión del método de Störmer–Verlet (qk ,pk )satisface
|H(qk ,pk )− H(q0,p0)| ≤ Ch2 + CK hK t
donde 0 ≤ t = kh ≤ h−K , para cualquier K ∈ N. Las constantes C yCK son independientes de t y h y dependen de cotas en las derivadasde H y de la región que contiene a los puntos de la sucesión.
I La demostración usa la simplecticidad de Störmer–Verlet.
I La demostración (y el resultado) valen para integradoressimplécticos mucho más generales.
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Integradores numéricos Algunos resultados generales
El último....
TeoremaEl hamiltoniano de la sucesión del método de Störmer–Verlet (qk ,pk )satisface
|H(qk ,pk )− H(q0,p0)| ≤ Ch2 + CK hK t
donde 0 ≤ t = kh ≤ h−K , para cualquier K ∈ N. Las constantes C yCK son independientes de t y h y dependen de cotas en las derivadasde H y de la región que contiene a los puntos de la sucesión.
I La demostración usa la simplecticidad de Störmer–Verlet.
I La demostración (y el resultado) valen para integradoressimplécticos mucho más generales.
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Integradores numéricos Algunos resultados generales
El último....
TeoremaEl hamiltoniano de la sucesión del método de Störmer–Verlet (qk ,pk )satisface
|H(qk ,pk )− H(q0,p0)| ≤ Ch2 + CK hK t
donde 0 ≤ t = kh ≤ h−K , para cualquier K ∈ N. Las constantes C yCK son independientes de t y h y dependen de cotas en las derivadasde H y de la región que contiene a los puntos de la sucesión.
I La demostración usa la simplecticidad de Störmer–Verlet.
I La demostración (y el resultado) valen para integradoressimplécticos mucho más generales.
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Mecánica Clásica
Mecánica Clásica
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Mecánica Clásica
Sistema mecánico
I Q: Variedad diferencial espacio de configuración
I L : TQ → R lagrangianoI Ejemplo (péndulo)
• Q := S1 ' R/(2πZ)• L(θ, θ) := 1
2 ml2θ2 −mgl(1− cos(θ))
I Trayectorias: curvas q : [0,1]→ Q tales que
• dS(q(·))(δq(·)) = 0 para• S(q(·)) =
∫ 10 L(q(t), q(t))dt y
• δq variación de q(·) con extremos fijos.
Teorema
q(·) es trayectoria⇔ ∂L∂q −
ddt∂L∂q = 0 (coordenadas locales)
I Ecuación de Euler–Lagrange
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Mecánica Clásica
Sistema mecánico
I Q: Variedad diferencial espacio de configuraciónI L : TQ → R lagrangiano
I Ejemplo (péndulo)
• Q := S1 ' R/(2πZ)• L(θ, θ) := 1
2 ml2θ2 −mgl(1− cos(θ))
I Trayectorias: curvas q : [0,1]→ Q tales que
• dS(q(·))(δq(·)) = 0 para• S(q(·)) =
∫ 10 L(q(t), q(t))dt y
• δq variación de q(·) con extremos fijos.
Teorema
q(·) es trayectoria⇔ ∂L∂q −
ddt∂L∂q = 0 (coordenadas locales)
I Ecuación de Euler–Lagrange
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Mecánica Clásica
Sistema mecánico
I Q: Variedad diferencial espacio de configuraciónI L : TQ → R lagrangianoI Ejemplo (péndulo)
• Q := S1 ' R/(2πZ)• L(θ, θ) := 1
2 ml2θ2 −mgl(1− cos(θ))
I Trayectorias: curvas q : [0,1]→ Q tales que
• dS(q(·))(δq(·)) = 0 para• S(q(·)) =
∫ 10 L(q(t), q(t))dt y
• δq variación de q(·) con extremos fijos.
Teorema
q(·) es trayectoria⇔ ∂L∂q −
ddt∂L∂q = 0 (coordenadas locales)
I Ecuación de Euler–Lagrange
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Mecánica Clásica
Sistema mecánico
I Q: Variedad diferencial espacio de configuraciónI L : TQ → R lagrangianoI Ejemplo (péndulo)
• Q := S1 ' R/(2πZ)
• L(θ, θ) := 12 ml2θ2 −mgl(1− cos(θ))
I Trayectorias: curvas q : [0,1]→ Q tales que
• dS(q(·))(δq(·)) = 0 para• S(q(·)) =
∫ 10 L(q(t), q(t))dt y
• δq variación de q(·) con extremos fijos.
Teorema
q(·) es trayectoria⇔ ∂L∂q −
ddt∂L∂q = 0 (coordenadas locales)
I Ecuación de Euler–Lagrange
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Mecánica Clásica
Sistema mecánico
I Q: Variedad diferencial espacio de configuraciónI L : TQ → R lagrangianoI Ejemplo (péndulo)
• Q := S1 ' R/(2πZ)• L(θ, θ) := 1
2 ml2θ2 −mgl(1− cos(θ))
I Trayectorias: curvas q : [0,1]→ Q tales que
• dS(q(·))(δq(·)) = 0 para• S(q(·)) =
∫ 10 L(q(t), q(t))dt y
• δq variación de q(·) con extremos fijos.
Teorema
q(·) es trayectoria⇔ ∂L∂q −
ddt∂L∂q = 0 (coordenadas locales)
I Ecuación de Euler–Lagrange
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Mecánica Clásica
Sistema mecánico
I Q: Variedad diferencial espacio de configuraciónI L : TQ → R lagrangianoI Ejemplo (péndulo)
• Q := S1 ' R/(2πZ)• L(θ, θ) := 1
2 ml2θ2 −mgl(1− cos(θ))
I Trayectorias: curvas q : [0,1]→ Q tales que
• dS(q(·))(δq(·)) = 0 para• S(q(·)) =
∫ 10 L(q(t), q(t))dt y
• δq variación de q(·) con extremos fijos.
Teorema
q(·) es trayectoria⇔ ∂L∂q −
ddt∂L∂q = 0 (coordenadas locales)
I Ecuación de Euler–Lagrange
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Mecánica Clásica
Sistema mecánico
I Q: Variedad diferencial espacio de configuraciónI L : TQ → R lagrangianoI Ejemplo (péndulo)
• Q := S1 ' R/(2πZ)• L(θ, θ) := 1
2 ml2θ2 −mgl(1− cos(θ))
I Trayectorias: curvas q : [0,1]→ Q tales que• dS(q(·))(δq(·)) = 0 para
• S(q(·)) =∫ 1
0 L(q(t), q(t))dt y• δq variación de q(·) con extremos fijos.
Teorema
q(·) es trayectoria⇔ ∂L∂q −
ddt∂L∂q = 0 (coordenadas locales)
I Ecuación de Euler–Lagrange
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Mecánica Clásica
Sistema mecánico
I Q: Variedad diferencial espacio de configuraciónI L : TQ → R lagrangianoI Ejemplo (péndulo)
• Q := S1 ' R/(2πZ)• L(θ, θ) := 1
2 ml2θ2 −mgl(1− cos(θ))
I Trayectorias: curvas q : [0,1]→ Q tales que• dS(q(·))(δq(·)) = 0 para• S(q(·)) =
∫ 10 L(q(t), q(t))dt y
• δq variación de q(·) con extremos fijos.
Teorema
q(·) es trayectoria⇔ ∂L∂q −
ddt∂L∂q = 0 (coordenadas locales)
I Ecuación de Euler–Lagrange
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Mecánica Clásica
Sistema mecánico
I Q: Variedad diferencial espacio de configuraciónI L : TQ → R lagrangianoI Ejemplo (péndulo)
• Q := S1 ' R/(2πZ)• L(θ, θ) := 1
2 ml2θ2 −mgl(1− cos(θ))
I Trayectorias: curvas q : [0,1]→ Q tales que• dS(q(·))(δq(·)) = 0 para• S(q(·)) =
∫ 10 L(q(t), q(t))dt y
• δq variación de q(·) con extremos fijos.
Teorema
q(·) es trayectoria⇔ ∂L∂q −
ddt∂L∂q = 0 (coordenadas locales)
I Ecuación de Euler–Lagrange
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Mecánica Clásica
Sistema mecánico
I Q: Variedad diferencial espacio de configuraciónI L : TQ → R lagrangianoI Ejemplo (péndulo)
• Q := S1 ' R/(2πZ)• L(θ, θ) := 1
2 ml2θ2 −mgl(1− cos(θ))
I Trayectorias: curvas q : [0,1]→ Q tales que• dS(q(·))(δq(·)) = 0 para• S(q(·)) =
∫ 10 L(q(t), q(t))dt y
• δq variación de q(·) con extremos fijos.
Teorema
q(·) es trayectoria⇔ ∂L∂q −
ddt∂L∂q = 0 (coordenadas locales)
I Ecuación de Euler–Lagrange
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Mecánica Clásica
Sistema mecánico
I Q: Variedad diferencial espacio de configuraciónI L : TQ → R lagrangianoI Ejemplo (péndulo)
• Q := S1 ' R/(2πZ)• L(θ, θ) := 1
2 ml2θ2 −mgl(1− cos(θ))
I Trayectorias: curvas q : [0,1]→ Q tales que• dS(q(·))(δq(·)) = 0 para• S(q(·)) =
∫ 10 L(q(t), q(t))dt y
• δq variación de q(·) con extremos fijos.
Teorema
q(·) es trayectoria⇔ ∂L∂q −
ddt∂L∂q = 0 (coordenadas locales)
I Ecuación de Euler–Lagrange
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Mecánica Clásica
Sistema mecánico
I Q: Variedad diferencial espacio de configuraciónI L : TQ → R lagrangianoI Ejemplo (péndulo)
• Q := S1 ' R/(2πZ)• L(θ, θ) := 1
2 ml2θ2 −mgl(1− cos(θ))
I Trayectorias: curvas q : [0,1]→ Q tales que• dS(q(·))(δq(·)) = 0 para• S(q(·)) =
∫ 10 L(q(t), q(t))dt y
• δq variación de q(·) con extremos fijos.
Teorema
q(·) es trayectoria⇔ ∂L∂q −
ddt∂L∂q = 0 (coordenadas locales)
I Ecuación de Euler–Lagrange (equivalente Ec. Newton)
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Mecánica discreta
Mecánica Discreta
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Mecánica discreta Sistema dinámico
Sistema mecánico discreto
I Formalismo análogo a la mecánica clásica
I Q: Variedad diferencial espacio de configuraciónI Ld : Q ×Q → R lagrangiano discreto.I Ejemplo (péndulo discreto)
• Q := S1 ' R/(2πZ)•
Ld (θ0, θ1) := h(
12
(θ1 − θ0
h
)2
− 2 cos(θ0)
)• h > 0, constante
I Más general, si Q es un espacio vectorial y L : TQ → R
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Mecánica discreta Sistema dinámico
Sistema mecánico discreto
I Formalismo análogo a la mecánica clásicaI Q: Variedad diferencial espacio de configuración
I Ld : Q ×Q → R lagrangiano discreto.I Ejemplo (péndulo discreto)
• Q := S1 ' R/(2πZ)•
Ld (θ0, θ1) := h(
12
(θ1 − θ0
h
)2
− 2 cos(θ0)
)• h > 0, constante
I Más general, si Q es un espacio vectorial y L : TQ → R
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Mecánica discreta Sistema dinámico
Sistema mecánico discreto
I Formalismo análogo a la mecánica clásicaI Q: Variedad diferencial espacio de configuraciónI Ld : Q ×Q → R lagrangiano discreto.
I Ejemplo (péndulo discreto)
• Q := S1 ' R/(2πZ)•
Ld (θ0, θ1) := h(
12
(θ1 − θ0
h
)2
− 2 cos(θ0)
)• h > 0, constante
I Más general, si Q es un espacio vectorial y L : TQ → R
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Mecánica discreta Sistema dinámico
Sistema mecánico discreto
I Formalismo análogo a la mecánica clásicaI Q: Variedad diferencial espacio de configuraciónI Ld : Q ×Q → R lagrangiano discreto.I Ejemplo (péndulo discreto)
• Q := S1 ' R/(2πZ)•
Ld (θ0, θ1) := h(
12
(θ1 − θ0
h
)2
− 2 cos(θ0)
)• h > 0, constante
I Más general, si Q es un espacio vectorial y L : TQ → R
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Mecánica discreta Sistema dinámico
Sistema mecánico discreto
I Formalismo análogo a la mecánica clásicaI Q: Variedad diferencial espacio de configuraciónI Ld : Q ×Q → R lagrangiano discreto.I Ejemplo (péndulo discreto)
• Q := S1 ' R/(2πZ)
•
Ld (θ0, θ1) := h(
12
(θ1 − θ0
h
)2
− 2 cos(θ0)
)• h > 0, constante
I Más general, si Q es un espacio vectorial y L : TQ → R
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Mecánica discreta Sistema dinámico
Sistema mecánico discreto
I Formalismo análogo a la mecánica clásicaI Q: Variedad diferencial espacio de configuraciónI Ld : Q ×Q → R lagrangiano discreto.I Ejemplo (péndulo discreto)
• Q := S1 ' R/(2πZ)•
Ld (θ0, θ1) := h(
12
(θ1 − θ0
h
)2
− 2 cos(θ0)
)
• h > 0, constanteI Más general, si Q es un espacio vectorial y L : TQ → R
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Mecánica discreta Sistema dinámico
Sistema mecánico discreto
I Formalismo análogo a la mecánica clásicaI Q: Variedad diferencial espacio de configuraciónI Ld : Q ×Q → R lagrangiano discreto.I Ejemplo (péndulo discreto)
• Q := S1 ' R/(2πZ)•
Ld (θ0, θ1) := h(
12
(θ1 − θ0
h
)2
− 2 cos(θ0)
)• h > 0, constante
I Más general, si Q es un espacio vectorial y L : TQ → R
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Mecánica discreta Sistema dinámico
Sistema mecánico discreto
I Formalismo análogo a la mecánica clásicaI Q: Variedad diferencial espacio de configuraciónI Ld : Q ×Q → R lagrangiano discreto.I Ejemplo (péndulo discreto)
• Q := S1 ' R/(2πZ)•
Ld (θ0, θ1) := h(
12
(θ1 − θ0
h
)2
− 2 cos(θ0)
)• h > 0, constante
I Más general, si Q es un espacio vectorial y L : TQ → R
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Mecánica discreta Sistema dinámico
Sistema mecánico discreto
I Formalismo análogo a la mecánica clásicaI Q: Variedad diferencial espacio de configuraciónI Ld : Q ×Q → R lagrangiano discreto.I Ejemplo (péndulo discreto)
• Q := S1 ' R/(2πZ)•
Ld (θ0, θ1) := h(
12
(θ1 − θ0
h
)2
− 2 cos(θ0)
)• h > 0, constante
I Más general, si Q es un espacio vectorial y L : TQ → R
Ld (q0,q1) := h L(
q0,q1 − q0
h
)
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Mecánica discreta Sistema dinámico
Caminos discretos
I T := 0,h, . . . ,Nh.I Camino discreto: q : T → Q.I Cd (Q) = espacio de los caminos discretos
• Cd (Q) ' QN+1
I subvariedad de segundo orden discreta:Qd := ((q0,q1), (q2,q3)) ∈ (Q ×Q)× (Q ×Q) : q1 = q2
• Qd ' Q ×Q ×Q
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Mecánica discreta Sistema dinámico
Caminos discretos
I T := 0,h, . . . ,Nh.
I Camino discreto: q : T → Q.I Cd (Q) = espacio de los caminos discretos
• Cd (Q) ' QN+1
I subvariedad de segundo orden discreta:Qd := ((q0,q1), (q2,q3)) ∈ (Q ×Q)× (Q ×Q) : q1 = q2
• Qd ' Q ×Q ×Q
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Mecánica discreta Sistema dinámico
Caminos discretos
I T := 0,h, . . . ,Nh.I Camino discreto: q : T → Q.
I Cd (Q) = espacio de los caminos discretos
• Cd (Q) ' QN+1
I subvariedad de segundo orden discreta:Qd := ((q0,q1), (q2,q3)) ∈ (Q ×Q)× (Q ×Q) : q1 = q2
• Qd ' Q ×Q ×Q
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Mecánica discreta Sistema dinámico
Caminos discretos
I T := 0,h, . . . ,Nh.I Camino discreto: q : T → Q.I Cd (Q) = espacio de los caminos discretos
• Cd (Q) ' QN+1
I subvariedad de segundo orden discreta:Qd := ((q0,q1), (q2,q3)) ∈ (Q ×Q)× (Q ×Q) : q1 = q2
• Qd ' Q ×Q ×Q
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Mecánica discreta Sistema dinámico
Caminos discretos
I T := 0,h, . . . ,Nh.I Camino discreto: q : T → Q.I Cd (Q) = espacio de los caminos discretos
• Cd (Q) ' QN+1
I subvariedad de segundo orden discreta:Qd := ((q0,q1), (q2,q3)) ∈ (Q ×Q)× (Q ×Q) : q1 = q2
• Qd ' Q ×Q ×Q
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Mecánica discreta Sistema dinámico
Caminos discretos
I T := 0,h, . . . ,Nh.I Camino discreto: q : T → Q.I Cd (Q) = espacio de los caminos discretos
• Cd (Q) ' QN+1
I subvariedad de segundo orden discreta:Qd := ((q0,q1), (q2,q3)) ∈ (Q ×Q)× (Q ×Q) : q1 = q2
• Qd ' Q ×Q ×Q
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Mecánica discreta Sistema dinámico
Caminos discretos
I T := 0,h, . . . ,Nh.I Camino discreto: q : T → Q.I Cd (Q) = espacio de los caminos discretos
• Cd (Q) ' QN+1
I subvariedad de segundo orden discreta:Qd := ((q0,q1), (q2,q3)) ∈ (Q ×Q)× (Q ×Q) : q1 = q2
• Qd ' Q ×Q ×Q
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Mecánica discreta Sistema dinámico
La dinámica no está determinada por “Ecuaciones de Newton”
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Mecánica discreta Sistema dinámico
Trayectorias discretas
I Acción discreta: Sd : Cd (Q)→ R
Sd (q·) :=N−1∑k=0
Ld (qk ,qk−1)
I Variaciones infinitesimales
• q· ∈ Cd (Q),• Tq·Cd (Q) = (δq0, . . . , δqN) : δqk ∈ Tqk Q '
∏Nk=0 Tqk Q
• extremos fijos δq0 = 0, δqN = 0.
I Trayectorias de (Q,Ld )
• q· ∈ Cd (Q) tal que• ∀ δq· con extremos fijos,
0 = dSd (q·)(δq·) =N−1∑k=0
dLd (qk ,qk+1)(δqk , δqk+1)
• CLd (Q) = espacio de las trayectorias de (Q,Ld ).
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Mecánica discreta Sistema dinámico
Trayectorias discretas
I Acción discreta: Sd : Cd (Q)→ R
Sd (q·) :=N−1∑k=0
Ld (qk ,qk−1)
I Variaciones infinitesimales
• q· ∈ Cd (Q),• Tq·Cd (Q) = (δq0, . . . , δqN) : δqk ∈ Tqk Q '
∏Nk=0 Tqk Q
• extremos fijos δq0 = 0, δqN = 0.
I Trayectorias de (Q,Ld )
• q· ∈ Cd (Q) tal que• ∀ δq· con extremos fijos,
0 = dSd (q·)(δq·) =N−1∑k=0
dLd (qk ,qk+1)(δqk , δqk+1)
• CLd (Q) = espacio de las trayectorias de (Q,Ld ).
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Mecánica discreta Sistema dinámico
Trayectorias discretas
I Acción discreta: Sd : Cd (Q)→ R
Sd (q·) :=N−1∑k=0
Ld (qk ,qk−1)
I Variaciones infinitesimales
• q· ∈ Cd (Q),• Tq·Cd (Q) = (δq0, . . . , δqN) : δqk ∈ Tqk Q '
∏Nk=0 Tqk Q
• extremos fijos δq0 = 0, δqN = 0.I Trayectorias de (Q,Ld )
• q· ∈ Cd (Q) tal que• ∀ δq· con extremos fijos,
0 = dSd (q·)(δq·) =N−1∑k=0
dLd (qk ,qk+1)(δqk , δqk+1)
• CLd (Q) = espacio de las trayectorias de (Q,Ld ).
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Mecánica discreta Sistema dinámico
Trayectorias discretas
I Acción discreta: Sd : Cd (Q)→ R
Sd (q·) :=N−1∑k=0
Ld (qk ,qk−1)
I Variaciones infinitesimales• q· ∈ Cd (Q),
• Tq·Cd (Q) = (δq0, . . . , δqN) : δqk ∈ Tqk Q '∏N
k=0 Tqk Q• extremos fijos δq0 = 0, δqN = 0.
I Trayectorias de (Q,Ld )
• q· ∈ Cd (Q) tal que• ∀ δq· con extremos fijos,
0 = dSd (q·)(δq·) =N−1∑k=0
dLd (qk ,qk+1)(δqk , δqk+1)
• CLd (Q) = espacio de las trayectorias de (Q,Ld ).
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Mecánica discreta Sistema dinámico
Trayectorias discretas
I Acción discreta: Sd : Cd (Q)→ R
Sd (q·) :=N−1∑k=0
Ld (qk ,qk−1)
I Variaciones infinitesimales• q· ∈ Cd (Q),• Tq·Cd (Q) = (δq0, . . . , δqN) : δqk ∈ Tqk Q '
∏Nk=0 Tqk Q
• extremos fijos δq0 = 0, δqN = 0.I Trayectorias de (Q,Ld )
• q· ∈ Cd (Q) tal que• ∀ δq· con extremos fijos,
0 = dSd (q·)(δq·) =N−1∑k=0
dLd (qk ,qk+1)(δqk , δqk+1)
• CLd (Q) = espacio de las trayectorias de (Q,Ld ).
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Mecánica discreta Sistema dinámico
Trayectorias discretas
I Acción discreta: Sd : Cd (Q)→ R
Sd (q·) :=N−1∑k=0
Ld (qk ,qk−1)
I Variaciones infinitesimales• q· ∈ Cd (Q),• Tq·Cd (Q) = (δq0, . . . , δqN) : δqk ∈ Tqk Q '
∏Nk=0 Tqk Q
• extremos fijos δq0 = 0, δqN = 0.
I Trayectorias de (Q,Ld )
• q· ∈ Cd (Q) tal que• ∀ δq· con extremos fijos,
0 = dSd (q·)(δq·) =N−1∑k=0
dLd (qk ,qk+1)(δqk , δqk+1)
• CLd (Q) = espacio de las trayectorias de (Q,Ld ).
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Mecánica discreta Sistema dinámico
Trayectorias discretas
I Acción discreta: Sd : Cd (Q)→ R
Sd (q·) :=N−1∑k=0
Ld (qk ,qk−1)
I Variaciones infinitesimales• q· ∈ Cd (Q),• Tq·Cd (Q) = (δq0, . . . , δqN) : δqk ∈ Tqk Q '
∏Nk=0 Tqk Q
• extremos fijos δq0 = 0, δqN = 0.I Trayectorias de (Q,Ld )
• q· ∈ Cd (Q) tal que• ∀ δq· con extremos fijos,
0 = dSd (q·)(δq·) =N−1∑k=0
dLd (qk ,qk+1)(δqk , δqk+1)
• CLd (Q) = espacio de las trayectorias de (Q,Ld ).
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Mecánica discreta Sistema dinámico
Trayectorias discretas
I Acción discreta: Sd : Cd (Q)→ R
Sd (q·) :=N−1∑k=0
Ld (qk ,qk−1)
I Variaciones infinitesimales• q· ∈ Cd (Q),• Tq·Cd (Q) = (δq0, . . . , δqN) : δqk ∈ Tqk Q '
∏Nk=0 Tqk Q
• extremos fijos δq0 = 0, δqN = 0.I Trayectorias de (Q,Ld )
• q· ∈ Cd (Q) tal que
• ∀ δq· con extremos fijos,
0 = dSd (q·)(δq·) =N−1∑k=0
dLd (qk ,qk+1)(δqk , δqk+1)
• CLd (Q) = espacio de las trayectorias de (Q,Ld ).
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Mecánica discreta Sistema dinámico
Trayectorias discretas
I Acción discreta: Sd : Cd (Q)→ R
Sd (q·) :=N−1∑k=0
Ld (qk ,qk−1)
I Variaciones infinitesimales• q· ∈ Cd (Q),• Tq·Cd (Q) = (δq0, . . . , δqN) : δqk ∈ Tqk Q '
∏Nk=0 Tqk Q
• extremos fijos δq0 = 0, δqN = 0.I Trayectorias de (Q,Ld )
• q· ∈ Cd (Q) tal que• ∀ δq· con extremos fijos,
0 = dSd (q·)(δq·) =N−1∑k=0
dLd (qk ,qk+1)(δqk , δqk+1)
• CLd (Q) = espacio de las trayectorias de (Q,Ld ).
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Mecánica discreta Sistema dinámico
Trayectorias discretas
I Acción discreta: Sd : Cd (Q)→ R
Sd (q·) :=N−1∑k=0
Ld (qk ,qk−1)
I Variaciones infinitesimales• q· ∈ Cd (Q),• Tq·Cd (Q) = (δq0, . . . , δqN) : δqk ∈ Tqk Q '
∏Nk=0 Tqk Q
• extremos fijos δq0 = 0, δqN = 0.I Trayectorias de (Q,Ld )
• q· ∈ Cd (Q) tal que• ∀ δq· con extremos fijos,
0 = dSd (q·)(δq·) =N−1∑k=0
dLd (qk ,qk+1)(δqk , δqk+1)
• CLd (Q) = espacio de las trayectorias de (Q,Ld ).
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Mecánica discreta Sistema dinámico
Caracterización de dSd
Lema RimbombanteI Dado (Q,Ld )
I Existen:
• DDELLd : Qd → T ∗Q• θ±Ld
∈ Ω1(Q ×Q)
I Tales que
• ∀q· ∈ Cd (Q) y δq· variación,• vale
dSd [q·](δq·) =N−1∑k=1
DDELLd ((qk−1,qk ), (qk ,qk+1))δqk
+ θ+Ld(qN−1,qN)(δqN−1, δqN)− θ−Ld
(q0,q1)(δq0, δq1).
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Mecánica discreta Sistema dinámico
Caracterización de dSd
Lema RimbombanteI Dado (Q,Ld )I Existen:
• DDELLd : Qd → T ∗Q
• θ±Ld∈ Ω1(Q ×Q)
I Tales que
• ∀q· ∈ Cd (Q) y δq· variación,• vale
dSd [q·](δq·) =N−1∑k=1
DDELLd ((qk−1,qk ), (qk ,qk+1))δqk
+ θ+Ld(qN−1,qN)(δqN−1, δqN)− θ−Ld
(q0,q1)(δq0, δq1).
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Mecánica discreta Sistema dinámico
Caracterización de dSd
Lema RimbombanteI Dado (Q,Ld )I Existen:
• DDELLd : Qd → T ∗Q• θ±Ld
∈ Ω1(Q ×Q)
I Tales que
• ∀q· ∈ Cd (Q) y δq· variación,• vale
dSd [q·](δq·) =N−1∑k=1
DDELLd ((qk−1,qk ), (qk ,qk+1))δqk
+ θ+Ld(qN−1,qN)(δqN−1, δqN)− θ−Ld
(q0,q1)(δq0, δq1).
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Mecánica discreta Sistema dinámico
Caracterización de dSd
Lema RimbombanteI Dado (Q,Ld )I Existen:
• DDELLd : Qd → T ∗Q• θ±Ld
∈ Ω1(Q ×Q)
I Tales que
• ∀q· ∈ Cd (Q) y δq· variación,• vale
dSd [q·](δq·) =N−1∑k=1
DDELLd ((qk−1,qk ), (qk ,qk+1))δqk
+ θ+Ld(qN−1,qN)(δqN−1, δqN)− θ−Ld
(q0,q1)(δq0, δq1).
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Mecánica discreta Sistema dinámico
Caracterización de dSd
Lema RimbombanteI Dado (Q,Ld )I Existen:
• DDELLd : Qd → T ∗Q• θ±Ld
∈ Ω1(Q ×Q)
I Tales que• ∀q· ∈ Cd (Q) y δq· variación,
• vale
dSd [q·](δq·) =N−1∑k=1
DDELLd ((qk−1,qk ), (qk ,qk+1))δqk
+ θ+Ld(qN−1,qN)(δqN−1, δqN)− θ−Ld
(q0,q1)(δq0, δq1).
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Mecánica discreta Sistema dinámico
Caracterización de dSd
Lema RimbombanteI Dado (Q,Ld )I Existen:
• DDELLd : Qd → T ∗Q• θ±Ld
∈ Ω1(Q ×Q)
I Tales que• ∀q· ∈ Cd (Q) y δq· variación,• vale
dSd [q·](δq·) =N−1∑k=1
DDELLd ((qk−1,qk ), (qk ,qk+1))δqk
+ θ+Ld(qN−1,qN)(δqN−1, δqN)− θ−Ld
(q0,q1)(δq0, δq1).
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Mecánica discreta Sistema dinámico
La cuenta
dSd [q·](δq·) =N−1∑k=0
dLd (qk ,qk+1)(δqk , δqk+1)
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Mecánica discreta Sistema dinámico
La cuenta
dSd [q·](δq·) =N−1∑k=0
dLd (qk ,qk+1)(δqk , δqk+1)
=N−1∑k=0
(D1Ld (qk ,qk+1)(δqk ) + D2Ld (qk ,qk+1)(δqk+1)
)
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Mecánica discreta Sistema dinámico
La cuenta
dSd [q·](δq·) =N−1∑k=0
dLd (qk ,qk+1)(δqk , δqk+1)
=N−1∑k=0
(D1Ld (qk ,qk+1)(δqk ) + D2Ld (qk ,qk+1)(δqk+1)
)=
N−1∑k=1
(D1Ld (qk ,qk+1) + D2Ld (qk−1,qk )
)(δqk )
+ D1Ld (q0,q1)(δq0) + D2Ld (qN−1,qN)(δqN),
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Mecánica discreta Sistema dinámico
La cuenta
dSd [q·](δq·) =N−1∑k=0
dLd (qk ,qk+1)(δqk , δqk+1)
=N−1∑k=0
(D1Ld (qk ,qk+1)(δqk ) + D2Ld (qk ,qk+1)(δqk+1)
)=
N−1∑k=1
(D1Ld (qk ,qk+1) + D2Ld (qk−1,qk )︸ ︷︷ ︸
DDELLd ((qk−1,qk ),(qk ,qk+1))
)(δqk )
+ D1Ld (q0,q1)︸ ︷︷ ︸−θ−Ld
(q0,q1)
(δq0) + D2Ld (qN−1,qN)︸ ︷︷ ︸θ+Ld
(qN−1,qN)
(δqN),
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Mecánica discreta Sistema dinámico
Caracterizacón de las trayectorias
Proposición
I q ∈ Cd (Q)
I q· es trayectoria⇔I para todo k
DDELLd (qk−1,qk ,qk+1) = D1Ld (qk ,qk+1) + D2Ld (qk−1,qk ) = 0
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Mecánica discreta Sistema dinámico
Caracterizacón de las trayectorias
ProposiciónI q ∈ Cd (Q)
I q· es trayectoria⇔I para todo k
DDELLd (qk−1,qk ,qk+1) = D1Ld (qk ,qk+1) + D2Ld (qk−1,qk ) = 0
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Mecánica discreta Sistema dinámico
Caracterizacón de las trayectorias
ProposiciónI q ∈ Cd (Q)
I q· es trayectoria⇔
I para todo k
DDELLd (qk−1,qk ,qk+1) = D1Ld (qk ,qk+1) + D2Ld (qk−1,qk ) = 0
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Mecánica discreta Sistema dinámico
Caracterizacón de las trayectorias
ProposiciónI q ∈ Cd (Q)
I q· es trayectoria⇔I para todo k
DDELLd (qk−1,qk ,qk+1) = D1Ld (qk ,qk+1) + D2Ld (qk−1,qk ) = 0
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Mecánica discreta Sistema dinámico
Caracterizacón de las trayectorias
ProposiciónI q ∈ Cd (Q)
I q· es trayectoria⇔I para todo k
DDELLd (qk−1,qk ,qk+1) = D1Ld (qk ,qk+1) + D2Ld (qk−1,qk ) = 0
ecuaciones de Euler–Lagrange discretas
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Mecánica discreta Sistema dinámico
Flujo lagrangiano discreto
I (Q,Ld ) regular⇔ ∂q0∂q1Ld (q0,q1) es no singular en q0 = q1.I Flujo lagrangiano discreto: FLd : Q ×Q → Q ×Q
DefiniciónFLd es llamado un integrador variacional
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Mecánica discreta Sistema dinámico
Flujo lagrangiano discreto
I (Q,Ld ) regular⇔ ∂q0∂q1Ld (q0,q1) es no singular en q0 = q1.
I Flujo lagrangiano discreto: FLd : Q ×Q → Q ×QDefiniciónFLd es llamado un integrador variacional
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Mecánica discreta Sistema dinámico
Flujo lagrangiano discreto
I (Q,Ld ) regular⇔ ∂q0∂q1Ld (q0,q1) es no singular en q0 = q1.I Flujo lagrangiano discreto: FLd : Q ×Q → Q ×Q
DefiniciónFLd es llamado un integrador variacional
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Mecánica discreta Sistema dinámico
Flujo lagrangiano discreto
I (Q,Ld ) regular⇔ ∂q0∂q1Ld (q0,q1) es no singular en q0 = q1.I Flujo lagrangiano discreto: FLd : Q ×Q → Q ×Q
FLd (q0,q1) = (q1,q2) ⇔ D1Ld (q1,q2) + D2Ld (q0,q1) = 0
DefiniciónFLd es llamado un integrador variacional
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Mecánica discreta Sistema dinámico
Flujo lagrangiano discreto
I (Q,Ld ) regular⇔ ∂q0∂q1Ld (q0,q1) es no singular en q0 = q1.I Flujo lagrangiano discreto: FLd : Q ×Q → Q ×Q
FLd (q0,q1) = (q1,q2) ⇔ D1Ld (q1,q2) + D2Ld (q0,q1) = 0
DefiniciónFLd es llamado un integrador variacional
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Propiedades de la evolución Simplecticidad
Estructura simpléctica
I Dado (Q,Ld ) sistema mecánico discreto
I 2-forma lagrangiana discreta: ωLd = dθ±Ld∈ Ω2(Q ×Q).
I (Q,Ld ) regular⇒ ωLd es una forma simpléctica
• cerrada por definición• no degenerada por regularidad de Ld
I ωLd es simpléctica en un entorno de la diagonal.
Teorema
I (Q,Ld ) regular. EntoncesI F ∗Ld
(ωLd ) = ωLd (FLd es una aplicación simpléctica)I Los integradores variacionales son simplécticos
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Propiedades de la evolución Simplecticidad
Estructura simpléctica
I Dado (Q,Ld ) sistema mecánico discretoI 2-forma lagrangiana discreta: ωLd = dθ±Ld
∈ Ω2(Q ×Q).
I (Q,Ld ) regular⇒ ωLd es una forma simpléctica
• cerrada por definición• no degenerada por regularidad de Ld
I ωLd es simpléctica en un entorno de la diagonal.
Teorema
I (Q,Ld ) regular. EntoncesI F ∗Ld
(ωLd ) = ωLd (FLd es una aplicación simpléctica)I Los integradores variacionales son simplécticos
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Propiedades de la evolución Simplecticidad
Estructura simpléctica
I Dado (Q,Ld ) sistema mecánico discretoI 2-forma lagrangiana discreta: ωLd = dθ±Ld
∈ Ω2(Q ×Q).I (Q,Ld ) regular⇒ ωLd es una forma simpléctica
• cerrada por definición• no degenerada por regularidad de Ld
I ωLd es simpléctica en un entorno de la diagonal.
Teorema
I (Q,Ld ) regular. EntoncesI F ∗Ld
(ωLd ) = ωLd (FLd es una aplicación simpléctica)I Los integradores variacionales son simplécticos
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Propiedades de la evolución Simplecticidad
Estructura simpléctica
I Dado (Q,Ld ) sistema mecánico discretoI 2-forma lagrangiana discreta: ωLd = dθ±Ld
∈ Ω2(Q ×Q).I (Q,Ld ) regular⇒ ωLd es una forma simpléctica
• cerrada por definición
• no degenerada por regularidad de Ld
I ωLd es simpléctica en un entorno de la diagonal.
Teorema
I (Q,Ld ) regular. EntoncesI F ∗Ld
(ωLd ) = ωLd (FLd es una aplicación simpléctica)I Los integradores variacionales son simplécticos
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Propiedades de la evolución Simplecticidad
Estructura simpléctica
I Dado (Q,Ld ) sistema mecánico discretoI 2-forma lagrangiana discreta: ωLd = dθ±Ld
∈ Ω2(Q ×Q).I (Q,Ld ) regular⇒ ωLd es una forma simpléctica
• cerrada por definición• no degenerada por regularidad de Ld
I ωLd es simpléctica en un entorno de la diagonal.
Teorema
I (Q,Ld ) regular. EntoncesI F ∗Ld
(ωLd ) = ωLd (FLd es una aplicación simpléctica)I Los integradores variacionales son simplécticos
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Propiedades de la evolución Simplecticidad
Estructura simpléctica
I Dado (Q,Ld ) sistema mecánico discretoI 2-forma lagrangiana discreta: ωLd = dθ±Ld
∈ Ω2(Q ×Q).I (Q,Ld ) regular⇒ ωLd es una forma simpléctica
• cerrada por definición• no degenerada por regularidad de Ld
I ωLd es simpléctica en un entorno de la diagonal.
Teorema
I (Q,Ld ) regular. EntoncesI F ∗Ld
(ωLd ) = ωLd (FLd es una aplicación simpléctica)I Los integradores variacionales son simplécticos
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Propiedades de la evolución Simplecticidad
Estructura simpléctica
I Dado (Q,Ld ) sistema mecánico discretoI 2-forma lagrangiana discreta: ωLd = dθ±Ld
∈ Ω2(Q ×Q).I (Q,Ld ) regular⇒ ωLd es una forma simpléctica
• cerrada por definición• no degenerada por regularidad de Ld
I ωLd es simpléctica en un entorno de la diagonal.
TeoremaI (Q,Ld ) regular. Entonces
I F ∗Ld(ωLd ) = ωLd (FLd es una aplicación simpléctica)
I Los integradores variacionales son simplécticos
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Propiedades de la evolución Simplecticidad
Estructura simpléctica
I Dado (Q,Ld ) sistema mecánico discretoI 2-forma lagrangiana discreta: ωLd = dθ±Ld
∈ Ω2(Q ×Q).I (Q,Ld ) regular⇒ ωLd es una forma simpléctica
• cerrada por definición• no degenerada por regularidad de Ld
I ωLd es simpléctica en un entorno de la diagonal.
TeoremaI (Q,Ld ) regular. EntoncesI F ∗Ld
(ωLd ) = ωLd (FLd es una aplicación simpléctica)
I Los integradores variacionales son simplécticos
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Propiedades de la evolución Simplecticidad
Estructura simpléctica
I Dado (Q,Ld ) sistema mecánico discretoI 2-forma lagrangiana discreta: ωLd = dθ±Ld
∈ Ω2(Q ×Q).I (Q,Ld ) regular⇒ ωLd es una forma simpléctica
• cerrada por definición• no degenerada por regularidad de Ld
I ωLd es simpléctica en un entorno de la diagonal.
TeoremaI (Q,Ld ) regular. EntoncesI F ∗Ld
(ωLd ) = ωLd (FLd es una aplicación simpléctica)I Los integradores variacionales son simplécticos
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Propiedades de la evolución Simetrías
Conservación del momento discreto
I G grupo de simetrías de (Q,Ld )
I JLd : Q ×Q → g∗
I JLd (q0,q1)(ξ) = D2Ld (q0,q1)(ξQ(q1)).
Teorema
I q· ∈ CLd (Q)
I Jd es constante sobre q·
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Propiedades de la evolución Simetrías
Conservación del momento discreto
I G grupo de simetrías de (Q,Ld )
I JLd : Q ×Q → g∗
I JLd (q0,q1)(ξ) = D2Ld (q0,q1)(ξQ(q1)).
Teorema
I q· ∈ CLd (Q)
I Jd es constante sobre q·
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Propiedades de la evolución Simetrías
Conservación del momento discreto
I G grupo de simetrías de (Q,Ld )
I JLd : Q ×Q → g∗
I JLd (q0,q1)(ξ) = D2Ld (q0,q1)(ξQ(q1)).
Teorema
I q· ∈ CLd (Q)
I Jd es constante sobre q·
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Propiedades de la evolución Simetrías
Conservación del momento discreto
I G grupo de simetrías de (Q,Ld )
I JLd : Q ×Q → g∗
I JLd (q0,q1)(ξ) = D2Ld (q0,q1)(ξQ(q1)).
TeoremaI q· ∈ CLd (Q)
I Jd es constante sobre q·
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Propiedades de la evolución Simetrías
Conservación del momento discreto
I G grupo de simetrías de (Q,Ld )
I JLd : Q ×Q → g∗
I JLd (q0,q1)(ξ) = D2Ld (q0,q1)(ξQ(q1)).
TeoremaI q· ∈ CLd (Q)
EntoncesI Jd es constante sobre q·
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Discretización: relación con sistemas continuos
En lo anterior todos los sistemas mecánicos discretos son “puramenteabstractos”.No tiene por que haber un sistema mecánico continuo que los motive.
Los sistemas mecánicos discretos que se usan como integradoresnuméricos están asociados a un sistema continuo que se quiereintegrar.
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Discretización: relación con sistemas continuos
En lo anterior todos los sistemas mecánicos discretos son “puramenteabstractos”.No tiene por que haber un sistema mecánico continuo que los motive.
Los sistemas mecánicos discretos que se usan como integradoresnuméricos están asociados a un sistema continuo que se quiereintegrar.
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Discretización: relación con sistemas continuos
Lagrangiano discreto exacto
I (Q,L) sistema mecánico continuo.
I Lagrangiano discreto exacto LEd
I q0,1(t) = trayectoria de L con
• q0,1(0) = q0 y q0,1(h) = q1.
I (Q,L) regular⇒ q0,1(t) existen y son únicos (para h pequeño)I (Q,L) regular⇒ (Q,LE
d ) regular.
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Discretización: relación con sistemas continuos
Lagrangiano discreto exacto
I (Q,L) sistema mecánico continuo.I Lagrangiano discreto exacto LE
d
I q0,1(t) = trayectoria de L con
• q0,1(0) = q0 y q0,1(h) = q1.
I (Q,L) regular⇒ q0,1(t) existen y son únicos (para h pequeño)I (Q,L) regular⇒ (Q,LE
d ) regular.
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Discretización: relación con sistemas continuos
Lagrangiano discreto exacto
I (Q,L) sistema mecánico continuo.I Lagrangiano discreto exacto LE
d
LEd (q0,q1,h) :=
∫ h
0L(q0,1(t), q0,1(t))dt
I q0,1(t) = trayectoria de L con
• q0,1(0) = q0 y q0,1(h) = q1.
I (Q,L) regular⇒ q0,1(t) existen y son únicos (para h pequeño)I (Q,L) regular⇒ (Q,LE
d ) regular.
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Discretización: relación con sistemas continuos
Lagrangiano discreto exacto
I (Q,L) sistema mecánico continuo.I Lagrangiano discreto exacto LE
d
LEd (q0,q1,h) :=
∫ h
0L(q0,1(t), q0,1(t))dt
I q0,1(t) = trayectoria de L con
• q0,1(0) = q0 y q0,1(h) = q1.I (Q,L) regular⇒ q0,1(t) existen y son únicos (para h pequeño)I (Q,L) regular⇒ (Q,LE
d ) regular.
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Discretización: relación con sistemas continuos
Lagrangiano discreto exacto
I (Q,L) sistema mecánico continuo.I Lagrangiano discreto exacto LE
d
LEd (q0,q1,h) :=
∫ h
0L(q0,1(t), q0,1(t))dt
I q0,1(t) = trayectoria de L con• q0,1(0) = q0 y q0,1(h) = q1.
I (Q,L) regular⇒ q0,1(t) existen y son únicos (para h pequeño)I (Q,L) regular⇒ (Q,LE
d ) regular.
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Discretización: relación con sistemas continuos
Lagrangiano discreto exacto
I (Q,L) sistema mecánico continuo.I Lagrangiano discreto exacto LE
d
LEd (q0,q1,h) :=
∫ h
0L(q0,1(t), q0,1(t))dt
I q0,1(t) = trayectoria de L con• q0,1(0) = q0 y q0,1(h) = q1.
I (Q,L) regular⇒ q0,1(t) existen y son únicos (para h pequeño)
I (Q,L) regular⇒ (Q,LEd ) regular.
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Discretización: relación con sistemas continuos
Lagrangiano discreto exacto
I (Q,L) sistema mecánico continuo.I Lagrangiano discreto exacto LE
d
LEd (q0,q1,h) :=
∫ h
0L(q0,1(t), q0,1(t))dt
I q0,1(t) = trayectoria de L con• q0,1(0) = q0 y q0,1(h) = q1.
I (Q,L) regular⇒ q0,1(t) existen y son únicos (para h pequeño)I (Q,L) regular⇒ (Q,LE
d ) regular.
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Discretización: relación con sistemas continuos
Flujos continuos y flujos discretos
Teorema (Versión lagrangiana)
I (Q,L) regularI h > 0 suficientemente pequeñoI Entonces existe una correspondencia:
• q(t) 7→ qk := q(kh),∀k y• q· 7→ q(t) = qk,k+1(t),∀t ∈ [kh, (k + 1)h]
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Discretización: relación con sistemas continuos
Flujos continuos y flujos discretos
Teorema (Versión lagrangiana)I (Q,L) regular
I h > 0 suficientemente pequeñoI Entonces existe una correspondencia:
• q(t) 7→ qk := q(kh),∀k y• q· 7→ q(t) = qk,k+1(t),∀t ∈ [kh, (k + 1)h]
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Discretización: relación con sistemas continuos
Flujos continuos y flujos discretos
Teorema (Versión lagrangiana)I (Q,L) regularI h > 0 suficientemente pequeño
I Entonces existe una correspondencia:
• q(t) 7→ qk := q(kh),∀k y• q· 7→ q(t) = qk,k+1(t),∀t ∈ [kh, (k + 1)h]
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Discretización: relación con sistemas continuos
Flujos continuos y flujos discretos
Teorema (Versión lagrangiana)I (Q,L) regularI h > 0 suficientemente pequeñoI Entonces existe una correspondencia:
• q(t) 7→ qk := q(kh),∀k y• q· 7→ q(t) = qk,k+1(t),∀t ∈ [kh, (k + 1)h]
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Discretización: relación con sistemas continuos
Flujos continuos y flujos discretos
Teorema (Versión lagrangiana)I (Q,L) regularI h > 0 suficientemente pequeñoI Entonces existe una correspondencia:
• q(t) 7→ qk := q(kh),∀k y
• q· 7→ q(t) = qk,k+1(t),∀t ∈ [kh, (k + 1)h]
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Discretización: relación con sistemas continuos
Flujos continuos y flujos discretos
Teorema (Versión lagrangiana)I (Q,L) regularI h > 0 suficientemente pequeñoI Entonces existe una correspondencia:
• q(t) 7→ qk := q(kh),∀k y• q· 7→ q(t) = qk,k+1(t),∀t ∈ [kh, (k + 1)h]
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Discretización: relación con sistemas continuos
No hay más problemas... ¿o si?
ObservaciónEl lagrangiano discreto exacto resuelve todos los problemas...
ObservaciónLo que se hace es aproximar a algún orden el lagrangiano discretoexacto y ver que esta aproximación se traduce en aproximación de losflujos discreto y continuo.
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Discretización: relación con sistemas continuos
No hay más problemas... ¿o si?
ObservaciónEl lagrangiano discreto exacto resuelve todos los problemas...
ObservaciónLo que se hace es aproximar a algún orden el lagrangiano discretoexacto y ver que esta aproximación se traduce en aproximación de losflujos discreto y continuo.
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Discretización: relación con sistemas continuos
No hay más problemas... ¿o si?
ObservaciónEl lagrangiano discreto exacto resuelve todos los problemas...Excepto que, en la práctica, no se lo puede calcular.
ObservaciónLo que se hace es aproximar a algún orden el lagrangiano discretoexacto y ver que esta aproximación se traduce en aproximación de losflujos discreto y continuo.
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Discretización: relación con sistemas continuos
No hay más problemas... ¿o si?
ObservaciónEl lagrangiano discreto exacto resuelve todos los problemas...Excepto que, en la práctica, no se lo puede calcular.
ObservaciónLo que se hace es aproximar a algún orden el lagrangiano discretoexacto y ver que esta aproximación se traduce en aproximación de losflujos discreto y continuo.
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Discretización: relación con sistemas continuos
Problemas abiertos
I Entender de manera clara la relación entre el orden deaproximación de Ld a LE
d y el orden del integrador variacionalasociado a Ld .
I Desarrollar una teoría análoga para sistemas mecánicos noholónomos.
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Discretización: relación con sistemas continuos
Problemas abiertos
I Entender de manera clara la relación entre el orden deaproximación de Ld a LE
d y el orden del integrador variacionalasociado a Ld .
I Desarrollar una teoría análoga para sistemas mecánicos noholónomos.
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014
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Discretización: relación con sistemas continuos
Problemas abiertos
I Entender de manera clara la relación entre el orden deaproximación de Ld a LE
d y el orden del integrador variacionalasociado a Ld .
I Desarrollar una teoría análoga para sistemas mecánicos noholónomos.
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Referencias
Referencias
Ernst Hairer, Christian Lubich, and Gerhard Wanner,Geometricnumerical integration illustrated by the Störmer–Verlet method,Acta Numer. (2003), 399–450.
Ernst Hairer, Christian Lubich, and Gerhard Wanner, Geometricnumerical integration, second ed., Springer Series inComputational Mathematics, vol. 31, Springer-Verlag, Berlin, 2006,Structure-preserving algorithms for ordinary differential equations.MR MR2221614 (2006m:65006)
J. E. Marsden and M. West, Discrete mechanics and variationalintegrators, Acta Numer. 10 (2001), 357–514. MR MR2009697(2004h:37130)
Javier Fernandez (Instituto Balseiro) Análisis Numérico & Mecánica UNLP, 2014