a.a. 2014/2015
Laurea triennale in Informatica
Analisi Matematica
Numeri reali e funzioni reali di variabile reale
Avvertenza
Questi sono appunti “informali” delle lezioni,
che vengono resi disponibili per comodita degli studenti.
Parte del materiale presentato e tratto dai libri di testo consigliati,
la cui consultazione e vivamente incoraggiata.
L’insieme dei numeri reali
L’insieme dei numeri reali R e un campo ordinato che soddisfa
l’assioma di Dedekind.
Campo ???
Campo ordinato ???
Assioma di Dedekind ???
1
R e un campo
In R sono definite due leggi di composizione interna
• + (addizione)
• · (moltiplicazione)
con le seguenti proprieta:
Proprieta commutativa
Per ogni a, b ∈ R : a + b = b + a , a · b = b · a
Proprieta associativa
Per ogni a, b, c ∈ R : (a + b) + c = a + (b + c) , (a · b) · c = a · (b · c)
Proprieta distributiva
Per ogni a, b, c ∈ R : a · (b + c) = a · b + a · c −→ “raccoglimentoa fattor comune”
2
Esistenza e unicita degli elementi neutri
• Esiste in R un unico elemento 0 tale che
a + 0 = a per ogni a ∈ R .
• Esiste in R un unico elemento 1, diverso da 0, tale che
a · 1 = a per ogni a ∈ R .
Esistenza e unicita degli inversi
• Per ogni a ∈ R esiste un unico elemento di R , che si denota con −ae si chiama opposto di a , tale che a + (−a) = 0.
• Per ogni a ∈ R \ {0} esiste un unico elemento di R , che si denota
con a−1 e si chiama reciproco di a , tale che a · a−1 = 1.
Notazione: R∗ := R \ {0}
3
Conseguenze degli assiomi di campo
Tramite gli inversi si definiscono le operazioni inverse:
• la sottrazione si definisce per ogni a, b , ponendo
a− b := a + (−b);
• la divisione si definisce per ogni a e per ogni b 6= 0, ponendo↓ perche?
a
b:= a · b−1.
In particolare,1
b= b−1 .
4
Legge di annullamento del prodotto
Per ogni a, b ∈ R : a · b = 0 ⇐⇒ a = 0 oppure b = 0.
Osservazioni
• 0 non puo ammettere reciproco.
• La legge di annullamento del prodotto vale anche per il prodotto
di tre o piu fattori.
5
Proprieta degli inversi
IN1 Per ogni a ∈ R : −(−a) = a .
IN2 Per ogni a ∈ R∗ : (a−1)−1 = a .
IN3 Per ogni a, b ∈ R : −(a + b) = −a− b .
IN4 Per ogni a, b ∈ R∗ : (a · b)−1 = a−1 · b−1 .
IN5 Per ogni a, b ∈ R : (−a) · b = −(a · b).
IN6 Per ogni a, b ∈ R : (−a) · (−b) = a · b .
IN7 Per ogni a ∈ R∗ : (−a)−1 = −a−1 .
Osservazione
L’opposto del prodotto non e il prodotto degli opposti;
il reciproco della somma non e uguale alla somma dei reciproci.
Esempio? 6
R e un campo ordinato
In R e definita una relazione di ordine totale ≤ (minore o uguale)
con le seguenti proprieta:
Compatibilita rispetto all’addizione
Per ogni a, b, c ∈ R : a ≤ b =⇒ a + c ≤ b + c
Compatibilita rispetto alla moltiplicazione
Per ogni a, b, c ∈ R : a ≤ b , 0 ≤ c =⇒ a · c ≤ b · c
7
Conseguenze degli assiomi di campo ordinato
A partire dalla relazione ≤ definiamo le relazioni
a ≥ bDEF⇐⇒ b ≤ a maggiore o uguale
a < bDEF⇐⇒ a ≤ b e a 6= b minore
a > bDEF⇐⇒ a ≥ b e a 6= b maggiore
8
Osservazioni
• Riformuliamo la proprieta di compatibilita rispetto alla moltiplicazione:
Per ogni a, b, c ∈ R : a ≤ b , c ≥ 0 =⇒ a · c ≤ b · c .
Per ogni a, b, c ∈ R : a ≥ b , c ≥ 0 =⇒ a · c ≥ b · c .
• Riformuliamo la proprieta di compatibilita rispetto all’addizione:
Per ogni a, b, c ∈ R : a ≥ b =⇒ a + c ≥ b + c .
• Per ogni a, b, c ∈ R :a < b =⇒ a + c < b + c
a > b =⇒ a + c > b + c
• Riformuliamo la proprieta di dicotomia della relazione d’ordine:
Per ogni a, b ∈ R e soddisfatta una e una sola delle condizioni
a < b , a = b , a > b .
• Per ogni a, b ∈ R : a<=>
b ⇐⇒ a− b<=>
0
9
Regole algebriche per l’addizione
A1 Per ogni a ∈ R : a<=>
0 =⇒ −a>=<
0
A2 Per ogni a, b ∈ R : a<=>
b =⇒ −a>=<− b
A3 Per ogni a, b ∈ R :a ≤ 0 , b ≤ 0 =⇒ a + b ≤ 0
a ≥ 0 , b ≥ 0 =⇒ a + b ≥ 0
Se nella premessa almeno una disuguaglianza e stretta,
lo e anche nella conseguenza.
A4 Siano a, b ∈ R con a ≤ 0 e b ≤ 0 oppure a ≥ 0 e b ≥ 0.
Se a + b = 0, allora a = b = 0.
A5 Per ogni a, b, c ∈ R : a + b<=>
c ⇐⇒ a<=>
c − b
10
Definiamo gli insiemi
R− := {x ∈ R | x ≤ 0} insieme dei numeri reali negativi
R+ := {x ∈ R | x ≥ 0} insieme dei numeri reali positivi
R∗− := {x ∈ R | x < 0} insieme dei numeri reali strettamente negativi
R∗+ := {x ∈ R | x > 0} insieme dei numeri reali strettamente positivi
Osservazioni
1 R− ∪ R+ = R , R− ∩ R+ = {0} , R∗− ∪ R∗+ = R∗ , R∗− ∩ R∗+ = ∅
2 R− , R+ , R∗− e R∗+ sono chiusi rispetto alla addizione.
11
Regole algebriche per la moltiplicazione
M1 Per ogni a, b ∈ R : a ≥ 0, b ≥ 0 =⇒ a · b ≥ 0
a ≤ 0, b ≤ 0 =⇒ a · b ≥ 0
a ≥ 0, b ≤ 0 =⇒ a · b ≤ 0
Se nelle premesse tutte le disuguaglianze sono strette,
lo sono anche nelle conseguenze.
Osservazioni
• Per ogni a ∈ R , posto a2 := a · a , risulta a2 ≥ 0.
Piu precisamente: a2 = 0⇐⇒ a = 0 e a2 > 0⇐⇒ a 6= 0.
In particolare: 1 > 0.
• Due numeri si dicono concordi se sono entrambi positivi oppure
entrambi negativi, discordi se uno e positivo e l’altro e negativo.
Da M1 segue che a e b sono concordi se e solo se a · b ≥ 0
e sono discordi se e solo se a · b ≤ 0.12
M2 Per ogni a, b, c ∈ R :
a<=>
b , c > 0 =⇒ a · c<=>
b · c
a<=>
b , c < 0 =⇒ a · c>=<
b · c
M3 Per ogni a ∈ R∗ : a <> 0 =⇒ a−1 <
> 0
M4 Per ogni a, b ∈ R∗ :a < b , a · b > 0 =⇒ a−1 > b−1
a < b , a · b < 0 =⇒ a−1 < b−1
M5 Per ogni a, b, c ∈ R :
a · b<=>
c , b > 0 =⇒ a<=>
c
b
a · b<=>
c , b < 0 =⇒ a>=<
c
b
13
Osservazione
Le proprieta A5 e M5 permettono di risolvere equazioni e disequazioni
di primo grado. Per esempio, se a ∈ R∗+ e b ∈ R :
a x + b ≤ 0 ⇐⇒ a x ≤ −b ⇐⇒ x ≤ −ba
Regole di semplificazione
S1 Per ogni a, b, c ∈ R : a + c<=>
b + c =⇒ a<=>
b
S2 Per ogni a, b, c ∈ R :
a · c<=>
b · c , c > 0 =⇒ a<=>
b
a · c<=>
b · c , c < 0 =⇒ a>=<
b
Osservazione
Le medesime regole valgono per le operazioni inverse.
14
Addizione e moltiplicazione membro a membro
Siano a, b, c , d ∈ R con a ≤ b e c ≤ d . Allora:
1 a + c ≤ b + d
2 a · c ≤ b · d se a, b, c , d > 0
a · c ≥ b · d se a, b, c , d < 0
Se nella premessa almeno una disuguaglianza e stretta,
lo e anche nelle conseguenze.
15
Alcuni sottoinsiemi speciali di R
Insieme dei numeri naturali
N := {0, 1, 2, 3, . . .} N∗ := N \ {0}
Insieme dei numeri interi (relativi)
Z := N ∪ −N = {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .} Z∗ := Z \ {0}
Insieme dei numeri razionali
Q :={mn
∣∣∣m ∈ Z, n ∈ Z∗}
Q∗ := Q \ {0}
Insieme dei numeri irrazionali R \Q
Osservazioni
• N ⊂ Z ⊂ Q• N e Z non sono campi
• Q e un campo ordinato. Qual e la differenza con R?16
L’assioma di Dedekind
Sia (X ,≤) un insieme totalmente ordinato; siano A ⊂ X e B ⊂ X .
Diciamo che (A,B) e una sezione di X se
• A ∩ B = ∅• A ∪ B = X
• per ogni a ∈ A e per ogni b ∈ B risulta a < b .
Esempio?
Assioma di Dedekind
Per ogni sezione (A,B) di R esiste un unico numero reale λ tale che
per ogni a ∈ A e per ogni b ∈ B si ha a ≤ λ ≤ b .
λ si chiama elemento separatore della sezione (A,B).
17
Esempio (da ricordare)
Gli insiemi
A ={q ∈ Q | q < 0
}∪{q ∈ Q | q ≥ 0, q2 < 2
}B =
{q ∈ Q | q ≥ 0, q2 ≥ 2
}costituiscono una sezione di Q che non ha elemento separatore in Q .
Dimostrazione . . .
Al campo ordinato Q “manca qualcosa”.
Un modo alternativo di esprimere questa proprieta si ottiene attraverso
la rappresentazione geometrica.
18
Rappresentazione geometrica dei numeri razionali
Sia data una retta r .
Fissiamo su r due punti distinti O (origine) e U (punto unita);
essi individuano:
• un verso di percorrenza positivo sulla retta, quello che porta
da O a U ;
• una unita di misura, cioe il segmento OU .
La retta r prende il nome di retta orientata.
Possiamo definire una applicazione di Q nella retta orientata.
Procedimento . . .
Questa applicazione
• e ingettiva, se identifichiamo tra loro frazioni equivalenti;
• non e surgettiva.
19
Formulazione equivalente dell’assioma di Dedekind:
esiste una corrispondenza biunivoca tra R e la retta orientata che
prolunga la applicazione definita in Q con il procedimento descritto.
Punti che corrispondono ai numeri irrazionali? Piu avanti . . .
In base a questa proprieta, possiamo identificare ciascun numero reale x
con il punto Px che corrisponde a x sulla retta orientata r .
Sottointendendo questa identificazione, chiameremo retta reale l’insieme
dei numeri reali R .
Osservazione
La relazione di ordine in R si esprime come segue: se x , y ∈ R e x < y ,
allora Px precede Py rispetto al verso di percorrenza positivo.
Cosa corrisponde in R ai concetti geometrici di segmento, semiretta,
distanza?20
Intervalli limitati
Siano a, b ∈ R , con a ≤ b :
[a, b] := {x ∈ R | a ≤ x ≤ b} intervallo chiuso
(a, b) := {x ∈ R | a < x < b} intervallo aperto
[a, b) := {x ∈ R | a ≤ x < b} int. chiuso a sinistra, aperto a destra
(a, b] := {x ∈ R | a < x ≤ b} int. aperto a sinistra, chiuso a destra
Casi particolari:
[a, a] = {a}
(a, a) = [a, a) = (a, a] = ∅
21
Intervalli illimitati
Sia a ∈ R :
[a,+∞) := {x ∈ R | x ≥ a} interv. chiuso illimitato superiormente
(a,+∞) := {x ∈ R | x > a} interv. aperto illimitato superiormente
(−∞, a] := {x ∈ R | x ≤ a} interv. chiuso illimitato inferiormente
(−∞, a) := {x ∈ R | x < a} interv. aperto illimitato inferiormente
(−∞,+∞) := R
Casi particolari:
[0,+∞) = R+ , (−∞, 0] = R−
(0,+∞) = R∗+ , (−∞, 0) = R∗−
22
Notazioni e terminologia:
• +∞ e −∞ si leggono “piu infinito” e “meno infinito”;
sono simboli, non numeri reali.
• R ∪ {−∞,+∞} =: R retta reale ampliata
• Invece di [a,+∞) ∪ {+∞} scriveremo [a,+∞] ;
analogamente negli altri casi.
Osservazione
Ciascuno degli insiemi che abbiamo chiamato intervallo ha la proprieta
che comunque si scelgano x e y in esso, tutti i numeri compresi tra
x e y vi appartengono.
Non tutti i sottoinsiemi di R hanno questa proprieta. Per esempio:
• l’insieme dei numeri naturali N non e un intervallo;
• l’insieme R∗ non e un intervallo.
23
Valore assoluto
Per ogni numero reale x si chiama valore assoluto (o modulo) di x
il numero reale, denotato con |x | , definito ponendo
|x | :=
x se x ≥ 0
−x se x < 0.
Osservazioni
• |x | coincide con la distanza dall’origine di Px .
• |x − y | coincide con la distanza tra Px e Py .
24
Proprieta immediate del valore assoluto
• |x | ≥ 0 per ogni x ∈ R
• |x | = 0 ⇐⇒ x = 0; |x | > 0 ⇐⇒ x 6= 0
• |−x | = |x | per ogni x ∈ R
• r > 0, |x | = r ⇐⇒ x = r oppure x = −r
|x | < r ⇐⇒ −r < x < r
|x | > r ⇐⇒ x > r oppure x < −r
• r < 0, |x | = r mai
|x | < r mai
|x | > r per ogni x
25
Ulteriori proprieta del valore assoluto
• |x · y | = |x | · |y | per ogni x , y ∈ R
•∣∣∣∣xy∣∣∣∣ =|x ||y |
per ogni x , y ∈ R , y 6= 0
• −|x | ≤ x ≤ |x | per ogni x ∈ R
• |x + y | ≤ |x |+ |y | per ogni x , y ∈ R (disuguaglianza triangolare)
•∣∣|x | − |y |∣∣ ≤ |x − y |
26
Conseguenze dell’assioma di Dedekind
Sia E ⊆ R un insieme non vuoto. Sia x ∈ R .
Se per ogni x ∈ E si ha x ≤ x , diciamo che x e un maggiorante di E .
Se esiste un maggiorante di E che appartiene a E , lo chiamiamo
massimo di E e lo denotiamo con maxE .
Osservazioni
• Non e detto che E abbia maggioranti. Esempio?
Se E ha maggioranti, diciamo che E e limitato superiormente.
• Un insieme limitato superiormente ha infiniti maggioranti.
• Un insieme limitato superiormente puo non avere massimo;
tuttavia il massimo, se esiste, e unico.
27
Sia E ⊆ R un insieme non vuoto. Sia x ∈ R .
Se per ogni x ∈ E si ha x ≥ x , diciamo che x e un minorante di E .
Se esiste un minorante di E che appartiene a E , lo chiamiamo
minimo di E e lo denotiamo con minE .
Osservazioni
Mutatis mutandis, sono le stesse della pagina precedente.
28
Teorema
1 Sia E ⊂ R un insieme non vuoto e limitato superiormente.
Allora: esiste il minimo dell’insieme dei maggioranti di E ,
che si chiama estremo superiore di E e si denota con supE .
2 Sia E ⊂ R un insieme non vuoto e limitato inferiormente.
Allora: esiste il massimo dell’insieme dei minoranti di E ,
che si chiama estremo inferiore di E e si denota con inf E .
Dimostrazione . . .
Notazioni
Sia E ⊂ R un insieme non vuoto.
Se E e illimitato superiormente, scriviamo supE = +∞ .
Se E e illimitato inferiormente, scriviamo inf E = −∞ .
29
Osservazioni
Sia E un insieme limitato superiormente.
• Se E ha massimo, allora maxE = supE ;
in particolare, supE appartiene a E .
• Se supE appartiene a E , allora supE e il massimo di E .
Analoghe considerazioni valgono per un insieme limitato inferiormente.
Esempio
Determinare gli estremi dell’insieme
E =
{n − 1
n
∣∣∣ n ∈ N∗}
30
Conseguenze dell’esistenza dell’estremo superiore
1 Proprieta archimedea di RPer ogni a, b ∈ R , con a > 0, esiste n ∈ N∗ tale che n a > b .
banale se b ≤ 0↓
2 Proprieta di densita di Q in RPer ogni x , y ∈ R , con x < y , esiste q ∈ Q tale che x < q < y .
Interpretazione geometrica?
Dimostrazione . . .
Osservazione
La proprieta archimedea (con x = 1) implica che l’insieme N non e
limitato superiormente.
31
Parentesi: rappresentazione decimale
Allineamento decimale: espressione della forma
± c0 . c1c2c3 . . . (∗)
c0 ∈ N , c1, c2, . . . ∈ {0, 1, 2, . . . , 8, 9} .
• Allineamento decimale limitato:
esiste k ∈ N tale che cn = 0 per ogni n ≥ k + 1.
(∗) si interpreta come somma:
±(c0 +
c1
10+ · · ·+ ck
10k
)• Allineamento decimale illimitato Somma? Serie numerica!
• periodico: un gruppo di cifre si ripete indefinitamente
• non periodico
32
Esempi
2.35
12.444444444444 . . . = 12.4
12.35444444444444 . . . = 12.354
12.35456456456456 . . . = 2.35456
1. 234567891011121314151617181920 . . .
3. 1010010001000010000010000001000 . . .
Osservazioni
• Ogni allineamento decimale limitato puo essere pensato come
periodico di periodo 0.
• Identifichiamo gli allineamenti decimali illimitati periodici di periodo 9
con allineamenti decimali limitati. Esempi: 4.9 = 5, 4.359 = 4.36.
• A ogni numero razionale corrisponde un allineamento decimale
periodico, e viceversa.33
Formulazione equivalente dell’assioma di Dedekind:
esiste una corrispondenza biunivoca tra R e l’insieme degli allineamenti
decimali (periodici o non periodici).
Osservazioni
• Le operazioni in R corrispondono alle operazioni con gli allineamenti
decimali.
• La relazione d’ordine in R corrisponde all’ordinamento lessicografico
tra allineamenti decimali.
• I numeri irrazionali corrispondono ad allineamenti decimali
non periodici. Rappresentazione sulla retta orientata . . .
34
Tramite gli allineamenti decimali illustriamo la proprieta di densita dei
numeri razionali (e anche dei numeri irrazionali) in R , cioe :
∀ x , y ∈ R, x < y =⇒
{∃ q ∈ Q t.c. x < q < y
∃ p ∈ R \Q t.c. x < p < y
x = 2. 36847264328589 . . .
y = 2. 36847527349870 . . .
q = 2. 368475
p = 2. 3684750101001000100001 . . .
x = 2. 36847264328589 . . .
y = 2. 36847500027349 . . .
q = 2. 368475
p = 2. 3684750000101001000100001 . . .
Implicazioni “geometriche” . . .
35
Osservazione
E impossibile scrivere un allineamento decimale illimitato.
Nella pratica dobbiamo approssimare allineamenti illimitati con
allineamenti limitati; dobbiamo tener conto dell’errore di approssimazione,
a cominciare dalla scrittura:
π = 3.14 X π ' 3.14 X
2
3= 0.66667 X
2
3' 0.66667 X
Fine della parentesi
36
Funzioni reali di variabile reale
Una funzione f : D → C si dice
• reale se C ⊆ R ;
• di variabile reale se D ⊆ R .
Esempi
• La funzione che a ogni numero intero associa il suo doppio e reale
di variabile reale.
• La funzione che associa al peso (in grammi) di una lettera
l’affrancatura (in centesimi di euro) necessaria alla spedizione e reale
di variabile reale.
• La funzione che a ogni citta sulla terra, individuata in base alla sua
latitudine e longitudine, associa l’altitudine e reale ma non di variabile
reale (e di due variabili reali).
37
Sia f : D ⊆ R→ R . Ricordiamo che:
• D e il dominio o insieme di definizione di f ;
notazione alternativa: dom(f );
• per x ∈ D : f (x) e l’unico elemento di R che f associa a x ,
chiamato valore di f in x , o anche immagine di x tramite f
• per D ′ ⊆ D , l’insieme f (D ′) :={f (x) | x ∈ D ′
}e l’immagine di D ′
tramite f ;
• f (D) e l’immagine di f ; notazione alternativa: imm(f );
• per y ∈ R , l’insieme{x ∈ D | f (x) = y
}e la controimmagine di y
tramite f ;
• per Y ⊆ R , l’insieme{x ∈ D | f (x) ∈ Y
}e la controimmagine di Y
tramite f .
38
Esempio
Sia f : R→ R tale che f (x) = 2x + 1. Determiniamo:
f (0) f (1.5) f (−2.34) f (π)
f ({−3,√
2, 2.1}) f ([−2, 4.5))
controimmagine di 3.6 controimmagine di [1, 8)
39
Siano A e B insiemi qualsiasi e sia f : A→ B .
Il grafico di f e l’insieme
graf(f ) :={
(x , y) ∈ A× B | y = f (x)}.
In particolare, se f e una funzione reale di variabile reale,
il grafico di f e un sottoinsieme di R× R . Apriamo una parentesi. . .
40
Parentesi: rappresentazione geometrica di R× R
A partire dalla corrispondenza biunivoca tra R e la retta orientata,
possiamo stabilire una corrispondenza biunivoca tra il prodotto cartesiano
R× R e il piano cartesiano.
Concetti di base:
• sistema ortogonale / ortonormale
• assi coordinati
• come associare alla coppia (x , y) un punto nel piano
• come associare al punto P nel piano una coppia di numeri
• ascissa
• ordinata
41
Grazie alla corrispondenza tra R2 e il piano cartesiano,
possiamo descrivere “cartesianamente” un oggetto geometrico,
ossia “tradurre” le proprieta geometriche che lo caratterizzano
in una o piu relazioni (equazioni e/o disequazioni) tra le ascisse
e le ordinate dei punti che lo compongono.
Esempi
• assi coordinati
• rette parallele agli assi coordinati
• semipiani
• strisce parallele agli assi coordinati
• quadranti
• bisettrici di primo e terzo quadrante (prima bisettrice)
e di secondo e quarto quadrante (seconda bisettrice)
(in un sistema monometrico) Fine della parentesi42
Se f e una funzione reale di variabile reale:
• il grafico di f e un sottoinsieme di R× R ,
che e in corrispondenza biunivoca con il piano cartesiano;
• il grafico di f si identifica con un sottoinsieme del piano cartesiano
(una “curva”);
• il grafico di f puo essere disegnato.
Attenzione: non tutte le curve sono grafici di funzione!
Test delle rette verticali
Una curva nel piano cartesiano e grafico di una funzione della variabile x
se e solo se ogni retta parallela all’asse delle y interseca la curva al piu
una volta. Esempi . . .
43
Informazioni immediatamente deducibili da un grafico
Assegnato il grafico di una funzione f = f (x):
• dom(f ) e la proiezione del grafico sull’asse delle ascisse;
• imm(f ) e la proiezione del grafico sull’asse delle ordinate;
• per x0 ∈ dom(f ), il valore f (x0) e l’ordinata dell’unico punto
del grafico di f che si trova sulla retta di equazione x = x0 ;
• per y0 ∈ imm(f ), la controimmagine di y0 e formata dalle ascisse dei
punti del grafico di f che si trovano sulla retta di equazione y = y0 .
44
Esempio
Stabilire se la curva disegnata e il grafico di una funzione.
In caso affermativo, detta f la funzione in oggetto, determinare
(approssimativamente)
dom(f )
imm(f )
f (0)
f (2)
f ([−1, 1.5])
controimmagine di 0
controimmagine di 6
controimmagine di 2.5
controimmagine di [1.5, 7]
45
Alcune funzioni “modello” Grafici
• Funzione costante
Sia c ∈ R . Sia f : R→ R tale che f (x) = c per ogni x ∈ R .
• Funzione identica
Sia f : R→ R tale che f (x) = x per ogni x ∈ R .
• Funzione opposto
Sia f : R→ R tale che f (x) = −x per ogni x ∈ R .
• Funzione reciproco
Sia f : R∗ → R tale che f (x) =1
xper ogni x ∈ R∗ .
46
• Funzione valore assoluto
Sia f : R→ R tale che f (x) = |x | per ogni x ∈ R .
Esplicitando:
f (x) =
{x se x ≥ 0
−x se x < 0(funzione definita a tratti)
• Funzione segno
Sia sign : R→ R tale che
sign(x) =
1 se x > 0
0 se x = 0
−1 se x < 0
• Funzione parte intera inferiore o floor
Sia f : R→ R tale che f (x) = bxc per ogni x ∈ R .
• Funzione mantissa o parte frazionaria
Sia m : R→ R tale che m(x) = x − bxc per ogni x ∈ R .47
Come ottenere funzioni da funzioni
1 Operazioni algebriche
A partire da due funzioni reali f e g possiamo definire le seguenti
funzioni:
nome simbolo valore in x dominio
somma f + g f (x) + g(x) dom(f ) ∩ dom(g)
differenza f − g f (x)− g(x) dom(f ) ∩ dom(g)
prodotto f · g f (x) · g(x) dom(f ) ∩ dom(g)
reciproco1
g
1
g(x)
{x ∈ dom(g) | g(x) 6= 0
}rapporto
f
g
f (x)
g(x)
{x ∈ dom(f ) ∩ dom(g) | g(x) 6= 0
}48
Esempi
Determinare le funzioni somma, prodotto, reciproco di f ,
rapporto di f e g , specificandone il dominio:
• f (x) = x + 1 g(x) = |x | − 2
• f (x) = bxc g(x) =1
x
49
2 Composizione funzionale
Siano f e g due funzioni (qualsiasi) e sia
D :={x ∈ dom(f ) | f (x) ∈ dom(g)
}.
Se D e non vuoto, definiamo la funzione composta di f e g ,
che denotiamo con g ◦f , ponendo
(g ◦f )(x) := g(f (x)) per ogni x ∈ D .
Osservazioni
In generale, dom(g ◦f ) ⊆ dom(f );
l’uguaglianza e garantita se imm(f ) ⊆ dom(g).
La composizione funzionale non e commutativa.
50
Esempi
Determinare (se possibile) g ◦f e f ◦g , specificandone il dominio:
• f (x) = x + 1 g(x) = |x |
• f (x) = x2 + 1 g(x) =1
x
• f (x) = x2 − 1 g(x) =1
x
• f (x) = bxc g(x) =1
x
51
3 Inversione funzionale
Sia f : D ⊆ R→ R .
Se per ogni y ∈ f (D) l’equazione f (x) = y ha una e una sola soluzione
in D , diciamo che f e invertibile in D .
Osservazione (test delle rette orizzontali)
Con le stesse notazioni: f e invertibile se e solo se ogni retta parallela
all’asse delle x interseca il grafico di f al piu in un punto.
Funzioni modello?
Sia f : D ⊆ R→ R invertibile.
La funzione che a ogni elemento y di f (D) fa corrispondere l’unico
elemento x di D tale che f (x) = y si chiama funzione inversa di f
e si denota con il simbolo f −1 .
52
Conseguenze immediate della definizione
• Il dominio di f −1 coincide con l’immagine di f .
• L’immagine di f −1 coincide con il dominio di f .
• f −1(y) = x ⇐⇒ f (x) = y
• f −1(f (x)) = x ∀x ∈ D f −1 ◦ f funzione identica di D
• f (f −1(y)) = y ∀y ∈ f (D) f ◦ f −1 funzione identica di f (D)
53
Proprieta generali delle funzioni
1 Periodicita
Sia T ∈ R∗+ . Una funzione si dice periodica di periodo T se
• per ogni x ∈ dom(f ) si ha x ± T ∈ dom(f ),
• f (x + T ) = f (x) per ogni x ∈ dom(f ).
Interpretazione grafica della periodicita?
Funzioni modello?
54
2 Simmetria
Sia f una funzione tale che dom(f ) sia simmetrico rispetto all’origine.
• Diciamo che f e una funzione pari se per ogni x ∈ dom(f )
si ha f (−x) = f (x).
• Diciamo che f e una funzione dispari se per ogni x ∈ dom(f )
si ha f (−x) = −f (x).
Osservazione
fpari
dispari⇐⇒ il grafico di f e simmetrico rispetto
all’asse delle y
all’origine degli assi
Esistono funzioni della variabile x il cui grafico sia simmetrico rispetto all’asse
delle x ?
Funzioni modello?
55
Esercizio teorico
Giustificare le seguenti affermazioni:
f =⇒ −f 1/f f −1
pari pari pari !!!
dispari dispari dispari dispari
f g =⇒ f + g f · g f ◦ gpari pari pari pari pari
dispari dispari dispari pari dispari
pari dispari– – – dispari pari
dispari pari
Osservazione
Le affermazioni su somma e prodotto valgono anche per differenza
e rapporto, rispettivamente.56
3 Limitatezza ed estremi
Sia f : D ⊆ R→ R .
Diciamo che f e limitata (superiormente, inferiormente)
se lo e la sua immagine f (D).
Maggioranti, minoranti, estremo superiore, estremo inferiore
dell’immagine di f si chiamano, rispettivamente,
maggioranti, minoranti, estremo superiore, estremo inferiore di f .
In simboli: supD
f := sup f (D), infD
f := inf f (D).
Se esiste, il massimo/minimo dell’immagine di f si chiama
massimo/minimo globale di f .
In simboli: maxD
f := max f (D), minD
f := min f (D)
57
Esplicitiamo alcune delle nozioni ora introdotte:
f limitata superiormente ⇐⇒ ∃ c ∈ R t.c. ∀x ∈ D : f (x) ≤ c
f limitata inferiormente ⇐⇒ ∃ c ∈ R t.c. ∀x ∈ D : f (x) ≥ c
f ha massimo globale in D ⇐⇒ ∃ x ∈ D t.c. ∀ x ∈ D : f (x) ≤ f (x)
f ha minimo globale in D ⇐⇒ ∃ x ∈ D t.c. ∀ x ∈ D : f (x) ≥ f (x)
Interpretazione grafica . . .
Funzioni modello?
Nota
x si chiama punto dimassimo
minimoglobale di f in D .
58
Sia f : D ⊆ R→ R , x ∈ D .
x si dice punto dimassimo
minimolocale di f in D se
esiste δ ∈ R∗+ tale chef (x) ≤ f (x)
f (x) ≥ f (x)per ogni x ∈ D ∩ (x − δ, x + δ).
Osservazioni e terminologia
• Un intervallo del tipo (x − δ, x + δ) si chiama intorno di x
(anche: intorno sferico, intorno completo).
• x si dice punto di estremo locale/globale se e punto di massimo
oppure di minimo locale/globale.
• Un punto di estremo globale e anche di estremo locale;
il viceversa non e vero. Esempi?
• Il valore di f in un punto di estremo si chiama estremo di f .
Unicita? Molteplicita?59
4 Monotonia
Sia f : D ⊆ R→ R .
Diciamo che f e
crescente
strettamente crescente
strettamente decrescente
decrescente
in D se
per ogni x1, x2 ∈ D : x1 < x2 =⇒
f (x1) ≤ f (x2)
f (x1) < f (x2)
f (x1) > f (x2)
f (x1) ≥ f (x2)
Una funzione (strettamente) crescente o decrescente si dice
(strettamente) monotona.
Interpretazione grafica . . .
Funzioni modello?60
Esercizio teorico
Giustificare le seguenti affermazioni:
• f monotona =⇒ −f monotona di tipo opposto
• f e g monotone dello stesso tipo =⇒f + g monotona dello stesso tipo
• f di segno costante e monotona =⇒1/f monotona di tipo opposto
• f e g positive e monotone dello stesso tipo =⇒f · g positiva e monotona dello stesso tipo
• f e g negative e monotone dello stesso tipo =⇒f · g positiva e monotona di tipo opposto
• f strett. monotona =⇒ f −1 strett. monotona dello stesso tipo
• f e g monotone dello stesso tipo =⇒ f ◦ g crescente
• f e g monotone di tipo opposto =⇒ f ◦ g decrescente
61
Trasformazioni di grafici: traslazioni
Supponiamo che una funzione sia ottenuta dalla funzione f mediante una
determinata operazione; descriviamo come ottenere il suo grafico a partire
da quello di f .
Sia c ∈ R∗ e sia g(x) = f (x) + c .
Il grafico di g si ottiene da quello di f mediante una traslazione verticale
• verso l’alto se c > 0
• verso il basso se c < 0
62
Trasformazioni di grafici: traslazioni
Sia c ∈ R∗ e sia g(x) = f (x + c).
Il grafico di g si ottiene da quello di f mediante una traslazione
orizzontale
• verso sinistra se c > 0
• verso destra se c < 0
Esistono funzioni il cui grafico resta inalterato rispetto a una traslazione
orizzontale? E rispetto a una traslazione verticale?63
Trasformazioni di grafici: dilatazioni e compressioni
Sia c ∈ (0, 1) ∪ (1,+∞) e sia g(x) = c f (x).
Il grafico di g si ottiene da quello di f mediante
• una dilatazione verticale se c > 1
• una compressione verticale se c < 1
64
Trasformazioni di grafici: dilatazioni e compressioni
Sia c ∈ (0, 1) ∪ (1,+∞) e sia g(x) = f (c x).
Il grafico di g si ottiene da quello di f mediante
• una compressione orizzontale se c > 1
• una dilatazione orizzontale se c < 1
65
Trasformazioni di grafici: riflessioni
Siano g(x) = −f (x) e h(x) = f (−x).
• Il grafico di g si ottiene da quello di f mediante una riflessione
rispetto all’asse delle ascisse.
• Il grafico di h si ottiene da quello di f mediante una riflessione
rispetto all’asse delle ordinate.
Esistono funzioni il cui grafico resta inalterato rispetto a una riflessione rispetto
all’asse delle ordinate? E rispetto all’asse delle ascisse?66
Trasformazioni di grafici: composizione con il valore assoluto
Sia g(x) = |f (x)| .Il grafico di g si ottiene da quello di f
• lasciando invariata la porzione nel semipiano superiore,
• riflettendo la porzione nel semipiano inferiore simmetricamente rispetto
all’asse delle ascisse.
67
Trasformazioni di grafici: composizione con il valore assoluto
Sia g(x) = f (|x |).
Il grafico di g si ottiene da quello di f
• trascurando la porzione nel semipiano sinistro,
• lasciando invariata la porzione nel semipiano destro e riflettendola
simmetricamente rispetto all’asse delle ordinate.
68
Trasformazioni di grafici: passaggio al reciproco
Sia g(x) =1
f (x).
Osserviamo che:
• g e definita in tutti i punti in cui f e definita e diversa da 0;
• g non assume mai il valore 0;
• g e positiva dove f e positiva, negativa dove f e negativa;
• se in un intervallo f ha segno costante ed e monotona, nel medesimo
intervallo g ha lo stesso segno di f e monotonia opposta.
69
Trasformazioni di grafici: passaggio all’inversa funzionale
Supponiamo che f sia invertibile e sia g la inversa funzionale di f .
Osserviamo che:
• dom(g) = imm(f ), imm(g) = dom(f )
• (a, b) ∈ graf(f ) =⇒ b = f (a) =⇒ a = g(b)
=⇒ (b, a) ∈ graf(g)
Quindi:
i grafici di f e g sono simmetrici rispetto alla retta di equazione y = x .
70
Osservazione importante
Le funzioni1
f(reciproco di f ) e f −1 (inversa funzionale di f )
sono “inversi” di f rispetto a leggi di composizione diverse.
Pertanto, sono funzioni diverse tra loro e non devono essere confuse.
Esempi
f := x ∈ R 7→ x2 + 1
1
f:= x ∈ R 7→ 1
x2 + 1f −1 non esiste! ???
f := x ∈ R 7→ 2x + 1
1
f:= x ∈ R \
{−1
2
}7→ 1
2x + 1f −1 := x ∈ R 7→ x − 1
2
Confrontare i grafici . . .71
R I C H I A M I
72
Relazione di ordine totale
Una relazione binaria R su un insieme X si dice relazione d’ordine totale
se soddisfa le seguenti proprieta:
Proprieta riflessiva
Per ogni a ∈ X : a R a .
Proprieta antisimmetrica
Per ogni a, b ∈ X : a R b , b R a =⇒ a = b .
Proprieta transitiva
Per ogni a, b, c ∈ X : a R b , b R c =⇒ a R c .
Proprieta di dicotomia
Per ogni a, b ∈ X : a R b oppure b R a .
Esempio di relazione d’ordine non totale?
73
G R A F I C I
74
Esempio
Stabilire se la curva disegnata e il grafico di una funzione.
In caso affermativo, detta f la funzione in oggetto, determinare
(approssimativamente)
dom(f )
imm(f )
f (0)
f (2)
f ([−1, 1.5])
controimmagine di 0
controimmagine di 6
controimmagine di 2.5
controimmagine di [1.5, 7]
75
Esempio
Stabilire se la curva disegnata e il grafico di una funzione.
In caso affermativo, detta f la funzione in oggetto, determinare
(approssimativamente)
dom(f )
imm(f )
f (0)
f (2)
f ([−1, 1.5])
controimmagine di 0
controimmagine di 6
controimmagine di 2.5
controimmagine di [1.5, 7]
76
Esempio
Stabilire se la curva disegnata e il grafico di una funzione.
In caso affermativo, detta f la funzione in oggetto, determinare
(approssimativamente)
dom(f )
imm(f )
f (0)
f (2)
f ([−1, 1.5])
controimmagine di 0
controimmagine di 6
controimmagine di 2.5
controimmagine di [1.5, 7]
77
Esempio
Stabilire se la curva disegnata e il grafico di una funzione.
In caso affermativo, detta f la funzione in oggetto, determinare
(approssimativamente)
dom(f )
imm(f )
f (0)
f (2)
f ([−1, 1.5])
controimmagine di 0
controimmagine di 6
controimmagine di 2.5
controimmagine di [1.5, 7]
78
Esempio
Stabilire se la curva disegnata e il grafico di una funzione.
In caso affermativo, detta f la funzione in oggetto, determinare
(approssimativamente)
dom(f )
imm(f )
f (0)
f (2)
f ([−1, 1.5])
controimmagine di 0
controimmagine di 6
controimmagine di 2.5
controimmagine di [1.5, 7]
79
Esempio
Stabilire se la curva disegnata e il grafico di una funzione.
In caso affermativo, detta f la funzione in oggetto, determinare
(approssimativamente)
dom(f )
imm(f )
f (0)
f (2)
f ([−1, 1.5])
controimmagine di 0
controimmagine di 6
controimmagine di 2.5
controimmagine di [1.5, 7]
80
Esempio
Stabilire se la curva disegnata e il grafico di una funzione.
In caso affermativo, detta f la funzione in oggetto, determinare
(approssimativamente)
dom(f )
imm(f )
f (0)
f (2)
f ([−1, 1.5])
controimmagine di 0
controimmagine di 6
controimmagine di 2.5
controimmagine di [1.5, 7]
81
Esempio
Stabilire se la curva disegnata e il grafico di una funzione.
In caso affermativo, detta f la funzione in oggetto, determinare
(approssimativamente)
dom(f )
imm(f )
f (0)
f (2)
f ([−1, 1.5])
controimmagine di 0
controimmagine di 6
controimmagine di 2.5
controimmagine di [1.5, 7]
82
Esempio
Stabilire se la curva disegnata e il grafico di una funzione.
In caso affermativo, detta f la funzione in oggetto, determinare
(approssimativamente)
dom(f )
imm(f )
f (0)
f (2)
f ([−1, 1.5])
controimmagine di 0
controimmagine di 6
controimmagine di 2.5
controimmagine di [1.5, 7]
83
Grafici delle funzioni modello - I
funzione costante funzione identica
funzione opposto funzione reciproco
84
Grafici delle funzioni modello - II
funzione valore assoluto funzione segno
funzione parte intera inferiore funzione mantissa
85